9 RepasoCentral: 619-8100 UNIDAD 1 511. La suma de los tres términos de una sustracción es 240. Hallar el minuendo.2. Hallar la suma del mayor y menor número de dos cifras.3. Multiplicar: 976 × 254. De 85 restar 675. Hallar el residuo en la siguiente división:758 ÷ 13Saberes previos1. Indicar la mayor cifra hallada: 3 4 8 + * 2 * –––––––––––– 8 7 02. Calcular \"A – B\" en: 8 A B – 4 7 A 3 8 63. Calcular el multiplicando en: _ _ _ _ × 7 8 3 8 64. Calcular el dividendo en:_ _ _ __ 0 2 _3 _3 045. Miguel recibe S/. 720 de gratificaciones, PedroS/. 250 más que Miguel, José tanto como Miguel y Pedro juntos más S/. 185 y Carlos S/. 235más que José. ¿Cuánto recibieron los cuatro entotal?6. La suma de los tres términos de una sustracción es 280. Hallar el minuendo.7. Si: CA(mn) = 5, calcular: m2 – 4n8. Si cada * representa una cifra, hallar el dividendo en:* * * * 7* * 2 * ** 3* ** 8* *9. 18 personas tienen que pagar en partes iguales un total de S/. 5 400, como algunos no puedenhacerlo, cada persona debe poner S/. 150 másde lo que le corresponde pagar. ¿Cuántas personas no pagaron?10. A una reunión bailable asistieron 120 personas. Si todos bailan a excepción de 26 mujeres,¿cuántas mujeres hay en total?11. La suma de dos números es 721, el cociente es 21 y su residuo 17. Determinar el número mayor.12. Si: abcde × 99 = ***47253 Calcular: a + b + c + d + e13. Si el complemento aritmético de wac es (w + 3)(2a)(c – 2), hallar \"w + a + c\".14. Si: 5 × edcba7 = 7edcba, calcular: ed + cba.15. Juan tiene 8 panes y Pedro 4 panes y debencompartirlos equitativamente con dos amigos. Para recompensarlos estos entregaron 18 soles.¿Cuánto le tocará a Juan?Aprende más
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 52Practica en casa18:10:451. Indicar la suma de la mayor y menor cifra hallada: * 7 6 + 1 * * –––––––––– 7 8 22. Calcular el minuendo: * * 5 – 7 A A –––––––––– 1 2 43. Calcular el multiplicando en: _ _ _ _ × 6 ––––––––––––– 2 3 3 44. Calcular la menor cifra hallada en:_ _ _ __ 3 7 _2 __ _5. Jimena compra 650 ganchos, Gabriela 140 ganchos más que Jimena, Kiara tanto como Jimenay Gabriela juntas más 230 ganchos y Brenda110 ganchos más que Kiara. ¿Cuántos ganchoscompraron en total?6. La suma de los tres términos de una sustracción es 720. Si el sustraendo es 280, hallar la diferencia.7. Si: CA(pq) = 34, calcular: p + q.8. Junior y Joel tienen 410 canicas juntos. Si Juniortiene 4 veces lo que tiene Joel, ¿cuántas canicastiene Junior?9. Hallar la suma de cifras del cociente:* * * 1 6* * 9 * ** 9* ** ** *110. Al dividir un número \"K\" entre 29 se obtuvo 16de cociente y el residuo fue el máximo posible.Hallar el dividendo.11. Al dividir un número entre 16 se obtiene 57 de cociente y el residuo fue el mínimo. Hallar el dividendo.12. Si: abcde × 99 = ***35368 Calcular: a + b + c + d + e13. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que cuando se le suma 100, se obtiene el cuádruplo de su C.A.14. Si: aabb × 77 termina en 041, hallar \"a + b\".15. Camilo es el tesorero de curso y tiene S/. 4 580en caja. El director ofreció colaborar con S/. 2 500 para la fiesta de despedida. Si tieneque gastar S/. 450 en un regalo para la profesora, ¿le alcanzará para costear la fiesta de despedida que está calculada en S/. 6 500?
Conociendo la antigua Aritmética: La teoría de los númerosEl término “aritmética” tambiénera utilizado para referirse a la“teoría de números”. Este es untérmino bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí que la teoría de números suele ser denominada “alta aritmética”, aunque el término también ha caídoen desuso.La teoría elemental de números, estudia los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elementalde números las cuestiones de “divisibilidad”, “máximo común divisor”, factorización de enteros como producto de números primos. (“Descomposición canónica”).• De la frase: “se estudian los númerosenteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas”. ¿Qué conclusión puedesextraer?AprendiZajes esperadosRazonamiento y demostración• Definir cuando un número es divisible por otro.• Identificar números primos y compuestos.• Elaborar modelos de la vida real donde se aplique elMCD y el MCM.Comunicación matemática• Reconocer y utilizar diferentes formas de representaciónde enunciados de MCD y MCM.• Interpretar el lenguaje correcto para leer enunciados deMCD y MCM.Resolución de problemas• Resolver problemas que involucren la Teoría de los Números.• Resolver problemas de contexto real y matemático que impliquen utilizar conceptos de la Teoría de los Números.• Identificar algoritmos que se puedan utilizar para resolver problemas de contexto real.NúmerosOrden1 2 3 4 5Triangulares Cuadrados Pentagonales Hexagonales Heptagonales Los números poligonales fueron descubiertos por los pitagóricos, durante los albores de la matemática. En aquella época los números se representaban mediante guijarros (calculi) que se disponían en una superficie. Algunos números pueden disponerseformando figuras geométricas, por ejemplo 3 guijarros se pueden disponer formando un triángulo, 4 forman un cuadrado, etc.UNIDAD 2
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 54Divisibilidad y multiplicidadEn este capítulo aprenderemos:• A identificar cuando un número es divisible o múltiplo de otro.• A desarrollar operaciones con múltiplos.• A expresar números no divisibles en forma de un múltiplo más un residuo.• A elaborar estrategias para la resolución de problemas diversos de divisibilidad y multiplicidad.El pequeño teorema de FermatEl pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de números relacionados con la divisibilidad. Se formula de la siguientemanera:Si \"p\" es un número primo, entonces, para cada número natural \"a\",∴ ap ≡ a (mod p)Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma:Si \"p\" es un número primo, entonces, para cada número natural\"a\" coprimo con \"p\": ap – 1 ≡ 1 (mod p)Esto quiere decir que, si se eleva un número \"a\" a la p-ésima potencia y al resultado se le resta \"a\", lo que queda es divisible por \"p\".A continuación se muestran algunos ejemplos del teorema:Pierre de Fermat• 53 – 5 = 120 es divisible por 3.• 72 – 7 = 42 es divisible por 2.• 25 – 2 = 30 es divisible por 5.• (– 3)7 + 3 = − 2 184 es divisible por 7.• 297 – 2 = 158 456 325 028 528 675 187 087 900 670 es divisible por 97.Comprueba si:a) 35 – 3 es divisible por 3 b) 42 – 4 es divisible por 21. Dividir: 856 ÷ 42. Completar: 7 × = 843. Indicar si es una división exacta o inexacta:4 248 ÷ 7Saberes previos4. ¿Cuántas veces 6 es 54?5. Del 1 al 15, ¿cuántos números se pueden dividir entre 3?
1 Divisibilidad y multiplicidadCentral: 619-8100 UNIDAD 2 55Conceptos básicosDivisibilidadLa divisibilidad, es una parte de la teoría de los números que analiza cada una de las condiciones que debetener un número para que sea divisible por otro.¿Y cuándo un número es divisible por otro?Se dice que un número es divisible por otro, cuando al dividir el primero entre el segundo, la divisiónresulta ser \"exacta\", es decir:\"A\" es divisible por \"B\" ⇔ A B0 C ← cociente entero↑residuo (cero)• ¿48 es divisible por 6? Realizamos la división:48 6 Luego, como la división es exacta (residuo = 0), se afirma que:0 8 \"48 es divisible por 6\"Ejemplos¡Ahora hazlo tú! • ¿258 es divisible por 6?ObservaciónSi un número \"A\" es divisible por otro número \"B\" podremos afirmar que:\"B\" es divisor de \"A\"MultiplicidadSe dice que un número \"A\" es múltiplo de otro número \"B\", cuando el primero contiene al segundo, unnúmero exacto y entero de veces.\"A\" es múltiplo de \"B\" ⇔ A = B . K; K ∈• ¿84 es múltiplo de 6?Sabemos que: 84 = 6 × 14 ⇒ 84 contiene a 6, catorce veces. ⇒ 84 es múltiplo de 6, es decir: 84 = °6Ejemplos
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 56¡Ahora hazlo tú!• ¿144 es múltiplo de 16?Observaciones• Todo número entero, tiene infinitos múltiplos.11 ⇒ 0; 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; ... 6 ⇒ 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; ...14 ⇒ 0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98; ... No olvidemos que los múltiplos, también pueden tomar valores negativos, además, observamosque el cero es múltiplo de todo entero positivo.• Todo número entero, tiene una cantidad finita de divisores.28 ⇒ 1; 2; 4; 7; 14; 28 ⇒ 6 divisores 36 ⇒ 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 ⇒ 9 divisores49 ⇒ 1; 7; 49 ⇒ 3 divisores Observamos que el número 1 es divisor de todo número entero positivo.Si \"A\" es divisible por \"B\" entonces \"B\" es divisor de \"A\".Recuerda que...Observaciones• Si un número no es divisible por otro, se podrá expresar multiplicidad empleando el residuo.A. 40 7Notamos que: 40 = 7(5) + 5 ⇒ 40 = °7 + 5 5 5B. 28 5Notamos que: 28 = 5(5) + 3 ⇒ 28 = °5 + 3 3 5• Podemos efectuar operaciones con múltiplos de un mismo número (principios de la divisibilidad).°n + °n = °n °n . k = °n donde: k ∈°n – °n = °n (°n)k = °n donde: k ∈ +
1 Divisibilidad y multiplicidadCentral: 619-8100 UNIDAD 2 57Síntesis teórica\"A\" es múltiplo de \"B\" si solosi \"A\" contiene a \"B\", unnúmero exacto y entero deveces.Ejemplo¿84 es múltiplo de 6?84 = 6 × 1484 contiene a 6; 14 veces.⇒ 84 es múltiplo de 6.⇒ es decir: 84 = °6Operaciones con múltiplos:°n + °n = °n°n – °n = °n°n . k = °n(°n)k = °nSi un número no esdivisible por otro:45 63 7⇒ 45 = °6 + 3Todo número entero, tiene una cantidad finita de divisores.Todo número entero, tiene infinitos múltiplos.¿96 es divisible por 4?96 40 24↓residuo→ 96 es divisible por 4ObservacionesEjemplo\"A\" es divisible por \"B\"si solo si \"A\" entre \"B\"resulta una división exacta.Divisibilidad MultiplicidadTEORÍA DE LOS NÚMEROSAplica lo comprendido10 x 5501. Indicar los seis primeros múltiplos positivos de 4.2. Indicar los divisores de 42.3. Reducir la expresión usando las operacionescon múltiplos.°8 – 8 × 9 + °8 × 25• En los siguientes ejercicios, representar los números como el múltiplo indicado más el residuo.4. 48 = °7 +5. 99 = °5 +
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 58Aprende más1. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:• 48 es divisible por 6• 1 es múltiplo de todo número• El número 36 tiene 9 divisores2. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones sonverdaderas?• 18 es múltiplo de 36• 44 tiene 8 múltiplos• 82 es múltiplo de 4 más 2• 70 tiene 15 divisores3. Relaciona correctamente, mediante líneas:81 • • Es un múltiplo de 82 128 • • Es un múltiplo de 35 463 • • Es un múltiplo de 131 625 • • Es un múltiplo de 94. Escribir verdadero (V) o falso (F), según corresponda:( ) 45 = °8 + 3 ( ) 64 = °5 – 1( ) 72 = °6 + 5 ( ) 58 = °7 + 2( ) 84 = °9 – 6 ( ) 114 = °10 + 45. ¿Cuántos divisores tiene el número 84?6. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay entre 30 y 100?7. Calcular la suma de todos los múltiplos de 6que hay entre 20 y 50.8. Del 1 al 100, ¿cuántos números son °7?9. Hallar un valor de \"x\", si: 428 = °9 + x10. Si el siguiente número: 56x es divisible por 6, calcular el valor de \"x\".11. Si: A: Cantidad de divisores de 18 B: Cantidad de divisores de 24 hallar \"A + B\"12. Del 1 al 800, ¿cuántos números son °36?13. Hallar \"x\", en: 945 = °14 + x14. Hallar la suma de valores que puede tomar \"x\",en: 74x = °315. Si el número 28x es múltiplo de 12 más 5, calcular \"x\".Aplicación cotidianaBruce va al cajero del Banco Continental para retirar una parte de su sueldoque asciende a S/. 2 850, para ello ingresa su tarjeta y marca su respectivaclave. La pantalla del cajero le pide a Bruce que ingrese el monto que va aretirar, pero teniendo en cuenta que debe ser un múltiplo de 20.16. Si Bruce quiere retirar su sueldo íntegro, ¿lo podrá realizar?17. Si tiene dos pagos por realizar donde uno de ellos asciende a la cantidadde S/. 450 y la otra de S/. 630, ¿el dinero lo debe retirar por separado ojunto? Justificar.18. ¿Cuál será lo máximo que puede retirar de su sueldo?
1 Divisibilidad y multiplicidadCentral: 619-8100 UNIDAD 2 591. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:( ) 91 es divisible por 7( ) El número 54 tiene 8 divisores( ) 0 es divisor de todo número2. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones, sonverdaderas?( ) 84 es múltiplo de 12( ) 44 tiene 8 múltiplos( ) 58 es múltiplo de 5 menos 2( ) 80 tiene 15 divisores3. Relaciona correctamente, mediante líneas:1 360 • • Es un múltiplo de 5144 • • Es un múltiplo de 725 • • Es un múltiplo de 12126 • • Es un múltiplo de 164. Escribir verdadero (V) o falso (F), según corresponda:( ) 124 = °12 + 4 ( ) 50 = °4 + 2( ) 92 = °5 + 1 ( ) 46 = °7 – 2( i) 460 = °9 – 8 ( ) 234 = °10 – 45. ¿Cuántos divisores tiene el número 92?6. ¿Cuántos números positivos de dos cifras sondivisibles por 6?7. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay entre 60 y 100?8. Calcular la suma de los cuatro primeros múltiplos positivos de 9.9. Si: A : Cantidad de divisores de 38 B : Cantidad de divisores de 26 hallar \"A + B\"10. Hallar \"x\", en: 842 = °16 + x¡Tú puedes!1. Si: abba es múltiplo de 45, calcular: a + 2ba) 9 b) 7 c) 13 d) 17 e) 62. N = ab, es un número de dos cifras. Si \"a\" es el doble de \"b\", entonces \"N\" es simultáneamente múltiplo de:a) 11 y 3 b) 3 y 5 c) 2 y 4 d) 3 y 9 e) 3 y 73. Al dividir un número entre 15, el residuo es 12. Entonces el residuo de dividir el número entre 5, es:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) – 14. Hallar el menor número \"N\", tal que: N= °7 + 3 y 4N= °15 + 13.a) 59 b) 45 c) 46 d) 52 e) 315. Si: ab = °5; ba = °9 y abc = °8, hallar \"c\"a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 0Practica en casa18:10:45
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 6011. Hallar la suma de valores que puede tomar \"x\",en: 41x = °412. Si el número 55x es múltiplo de 23 más 2, calcular \"x\".13. Si los numerales: 37 542 = °13 + a y 48 505 = °13 + b, hallar \"a + b\", sabiendo que \"a\" y \"b\" sonpositivos menores que 13.14. Indicar cuáles de los siguientes números son: °7 + 3• 87 • 878• 714 • 75315. Si el número 162a es divisible por 8, ¿cuál es elvalor de \"a\"?
2 Criterios de divisibilidadCentral: 619-8100 UNIDAD 2 61Criterios de divisibilidadConceptos básicosLlamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral, nos permite determinar si un número es divisible por otro.Divisibilidad por 2Un número es divisible por 2, cuando su última cifra es cero o par.abcd = °2 ⇔ d = 0; 2; 4; 6 u 8Divisibilidad por 4Un número es divisible por 4, cuando las dos últimas cifras del numeral forman un múltiplo de cuatro.abcde = °4 ⇔ de = °4Divisibilidad por 8Un número es divisible por 8, cuando las tres últimas cifras del numeral forman un múltiplo de ocho.abcde = °8 ⇔ cde = °8Divisibilidad por 3 ó 9Un número es divisible entre 3 ó 9, si y solo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 o 9 respectivamente.abcd = °3 ⇔ a + b + c + d = °3abcd = °9 ⇔ a + b + c + d = °9• Ejemplo aplicativo:Hallar el valor de “x”, sabiendo que 4x327 es divisible por 9.Resolución:Aplicamos el criterio:4x327 = °9 ⇒ 4 + x + 3 + 2 + 7 = °9 ⇒ x + 16 = °9Luego, tanteando valores: x = 2; puesto que: 2 + 16 = 18 = °9 ∴ x = 2Divisibilidad por 5Un número es divisible por 5, cuando su última cifra es 0 ó 5abcd = °5 ⇔ d = 0 ó d = 5Divisibilidad por 25Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras forman un °25, o terminan en dos ceros.abcd = °25 ⇔ cd = 00; 25; 50 ó 75
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 62• Ejemplo aplicativo:Hallar la suma de valores de “x”, si 351x5 es divisible por 25.Resolución:Si: 351x5 = °25 ⇒ x5 = °25 de donde: x = 2 ó x = 7∴ La suma de valores: 2 + 7 = 9Divisibilidad por 6Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 a la vez.abcd = °6 ⇔ d = 0; 2; 4; 6 u 8 y además: a + b + c + d = °3Divisibilidad por 7Un número es divisible por 7 si cumple con la siguiente regla:• Multiplicamos cada una de las cifras del número dado de derecha a izquierda por los siguientes factores:1; 3; 2; –1; –3; –2; 1; 3; 2; –1; –3; –2; … etc• Sumamos los productos obtenidos. Si el resultado final es cero o múltiplo de 7, el número dado seráentonces divisible por 7.• Ejemplo aplicativo:Hallar el valor de “x” en: 434x2 = °7Resolución:Aplicamos el criterio:–3 –1 2 3 1434x2 = °7Luego: – 12 – 3 + 8 + 3x + 2 = °73x – 5 = °7 (restando 7)3x – 12 = °73(x – 4) = °7 ⇒ x – 4 = °7∴ x = 4Divisibilidad por 11Un número es divisible por 11, si la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser cero o múltiplo de 11.• Ejemplo aplicativo:Hallar el valor de “x” en la siguiente igualdad: 41x32 = °11Resolución:Aplicamos el criterio:+ – + – +41x32 = °11Luego: (4 + x + 2) – (1 + 3) = °116 + x – 4 = °11x + 2 = °11Finalmente: x = 9; puesto que:9 + 2 = 11 = °11∴ x = 9
2 Criterios de divisibilidadCentral: 619-8100 UNIDAD 2 63ObservaciónSi un número es divisible por 4 o por 8 también podemos aplicar:2 1Si: abcd= °4 ⇒ 2c + d = °4421Si: abcd= °8 ⇒ 4b + 2c + d = °8• Ejemplo aplicativo:Hallar “x” en: 4xx2 = °4Resolución:2 14xx2= °4Luego: 2x + 2 = °42(x + 1) = °4 ⇒ x + 1 = °2Tanteando valores, tenemos: x = 1; 3; 5; 7 ó 9Aplica lo comprendido10 x 5501. De los siguientes números: 14; 200; 36 y 72, ¿cuál no es divisible por 4 y por qué?2. De los siguientes números: 72; 144; 531 y 341, ¿cuál no es divisible por 9 y por qué?3. De los siguientes números: 175; 325; 1250 y 105, ¿cuál no es divisible por 25 y por qué?4. De los siguientes números: 924; 704; 792 y 1552, ¿cuál no es divisible por 11 y por qué?5. De los siguientes números: 112; 210; 8121 y 732, ¿cuál no es divisible por 7 y por qué?
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 641. Si se tienen los números: 48; 64; 1200; 5600 y3248, ¿cuántos son múltiplos de 4?a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 52. Si se tienen los números:a0; c5; d00; bmn0 y e503¿cuántos son divisibles por 5?a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 43. Se tiene los números: 1000, 2410 y 2420, ¿cuálo cuáles de los números es divisible por 8?a) 1000 b) 1000 y 2410 c) 2410 d) 2420 e) Ninguno4. Si se tienen los números:I. 12 345 II. 43 927 III. 78 900 991¿Cuál o cuáles son divisibles por 9?a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) Ninguno5. Hallar la suma de valores de “a”, si: 29a2 = °4a) 25 b) 24 c) 23 d) 20 e) 186. Hallar la suma de valores de “x”, en: 2x4x = °5.a) 0 b) 5 c) 6 d) 7 e) 87. Calcular el valor de “a”, si 2a45a es divisible por 8.a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 28. Hallar la suma de valores de “a”, en: 2aa6 = °8a) 5 b) 10 c) 7 d) 8 e) 49. Calcular “a”, si: 3a5a243 = °9a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 610. Hallar el valor de “m” para que el numeralm235 sea °11.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 711. Determine el valor de “m”, si:m2(m+2)34 = °11a) 6 b) 9 c) 7 d) 5 e) 412. Hallar “a + b”, en: aba = °45a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 1413. Hallar “x + y”, en: 4x23 = °11 ∧ y42y =°5a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 1214. Hallar el mayor valor que puede tomar ab, si:272mab = °25a) 00 b) 25 c) 50 d) 85 e) 7515. Hallar “x”, en: 4x33y = °56, donde: x > y.a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 516. Si: 3a710b = °72, hallar “a . b”a) 8 b) 10 c) 12 d) 18 e) 24Aprende más
2 Criterios de divisibilidadCentral: 619-8100 UNIDAD 2 65¡Tú puedes!1. ¿Cuál es el residuo de dividir 762m54m2 entre 7?a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 42. Determinar “m + n”, de tal manera que el numeral 34m5n sea lo menor posible y además sea divisible por 36, si se sabe que “m” es diferente de cero.a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 83. Sabiendo que: abcd = °28, bc = °31, bcd = °5, hallar el valor de “a”.a) 7 b) 4 c) 8 d) 9 e) 34. Un alumno de Trilce recuerda que 53a33b5 es el número telefónico de su amiga. También se acuerda que 3a33b es múltiplo de 7 y de 11 y además no contiene ceros. Hallar la suma de cifras del número telefónico.a) 29 b) 28 c) 22 d) 26 e) 255. Hallar “C + P + V“, si se cumple: 6CP98V = °504.a) 15 b) 17 c) 13 d) 12 e) 16Practica en casa18:10:451. Indicar verdadero (V) o falso (F), según el caso:( ) 4a2(2a), es divisible por 2.( ) 3m(2m)6, es divisible por 3.( ) a(2a)(5a), es divisible por 5.2. Sin efectuar la división indicada, hallar el residuo que se obtiene en cada una de las siguientes divisiones:I. 5798729 ÷ 5 II. 423454238 ÷ 9III. 579221232 ÷ 8 IV. 421345313 ÷ 33. Hallar la suma de valores que puede tomar “x”,en: x(2x)xx = °24. Hallar el mayor valor que puede tomar “x”, en:x42x5 = °35. Hallar la suma de valores de “x”, en: 423xx = °46. Hallar “x”, en: 42x + 3 = °57. Si el número 3510x es °8, hallar “x2”.8. Si el número 354a8 es °9, hallar el valor de “a”9. Hallar el valor de “x” para que el numeral cumpla que: 43x91 = °1110. Calcular “b + a“, si: a5ba = °5511. Calcular “b – a”, si: ab364a = °4512. Si el número: a37b = °72, calcular el valor de “a”.13. Hallar “m + n + p”, en: m4m = °5; 2mn = °9y mp = °714. Hallar un número capicúa de tres cifras que sea múltiplo de 45, dar como respuesta la suma de sus cifras.15. Si ab es °5; ba es °9; abc es °4, hallar el mayor valor de “a + b + c”.
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 66Números primosEn este capítulo aprenderemos:• A identificar números primos, compuestos y simples.• A diferenciar cuando dos o tres números son primos entre sí.• A expresar cualquier número positivo como un único producto de factores primos.Criba de EratóstenesLa criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado \"N\". Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2y \"N\" y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: cuando se encuentraun número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que \"N\".2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100101 102 103 104 105 106 107 108 109 110111 112 113 114 115 116 117 118 119 120• Con el proceso que se indica en la lectura, encuentra los números primos que están contenidos en laimagen que se muestra en la parte superior.Saberes previos1. Indicar los divisores de 48.2. Indicar los divisores de 67.3. Indicar los divisores de 91.4. Indicar los divisores de 120.5. Indicar los divisores de 47.
3 Números primosCentral: 619-8100 UNIDAD 2 67Conceptos básicosLos números enteros positivos ( +), se pueden clasificar tomando en cuenta su cantidad de divisores, analizamos por ejemplo los 15 primeros enteros positivos y sus respectivos divisores.Número Divisores Cantidad de divisores1 1 12 1; 2 23 1; 3 24 1; 2; 4 35 1; 5 26 1; 2; 3; 6 47 1; 7 28 1; 2; 4; 8 49 1; 3; 9 310 1; 2; 5; 10 411 1; 11 212 1; 2; 3; 4; 6; 12 613 1; 13 214 1; 2; 7; 14 415 1; 3; 5; 15 4DefiniciónNúmeros primos: Son aquellos números que poseen únicamente dos divisores, estos son por ejemplo:2; 3; 5; 7; 11; 13; ...Números compuestos: Son aquellos números que poseen más de dos divisores, estos son por ejemplo:4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; ...Observaciones• La unidad (el número uno), no es ni primo, ni compuesto, ya que posee un solo divisor.• Se llama números simples, a aquellos enteros positivos que no son compuestos, es decir la unidad y los números primos.• Cuando comparamos los divisores de dos o más enteros positivos y observamos que el único divisor común es la unidad (1), entonces diremos que estos números son primos entre sí (PESI), porejemplo:a) Indicar si los números 16; 63 y 21 son primos entre sí (PESI).16 ⇒ 1; 2; 4; 8; 16 63 ⇒ 1; 3; 7; 9; 21; 6321 ⇒ 1; 3; 7; 2116; 63 y 21 son primos entre sí (Un solo divisor común)16 y 63 son primos entre sí (Un solo divisor común)16 y 21 son primos entre sí (Un solo divisor común)63 y 21 NO son primos entre sí (Cuatro divisores en común)
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 68¡Ahora hazlo tú!• Indicar si los números 28; 48 y 54 son primos entre sí (PESI).Descomposición canónicaConsiste en expresar un entero positivo, como el producto de sus divisores primos elevados a exponentesenteros y positivos.• Hallar la descomposición canónica de 1 200.1 200 2Luego:1 200 = 24 . 3 . 52 14243 Descomposición canónica600 2300 2 150 2 75 325 55 51EjemploEjemplo¡Ahora hazlo tú!• Hallar la descomposición canónica de 2 700
3 Números primosCentral: 619-8100 UNIDAD 2 69Síntesis teóricaNúmeros primos La unidad (el número uno)Poseen únicamente dosdivisores que son el mismo número y la unidad.Ejemplo: 2; 3; 5; 7; …No es primo ni compuesto por tener un solo divisor.Poseen más de dos divisores.Ejemplo: 4; 6; 8; 9; …Números simplesDescomponer 480480 2240 2120 260 230 215 35 51Descomposición canónicaExpresar un entero positivo,como el producto de sus divisores primos.Números compuestosTeorema fundamental de la AritméticaNúmeros Enteros PositivosAplica lo comprendido10 x 5501. Hallar el producto de los cuatro primeros números primos.2. Indicar si los números 44; 27 y 15 son primosentre sí.3. Hallar la suma de los divisores simples de 26.4. Hallar la descomposición canónica de 220.5. Hallar la descomposición canónica de 320.
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 701. ¿Qué grupo de números no son PESI?a) 22; 25; 16 b) 32; 60; 112 c) 17; 13; 34 d) 20; 27; 49 e) 1 001; 13; 172. Descomponer canónicamente los siguientes números:a) 170 b) 729 c) 5 400 d) 1 540 e) 9603. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:• 36 tiene nueve divisores ( )• 151 es un número primo absoluto ( )• 48 tiene siete divisores compuestos ( )4. Sea:A = Suma de los cinco menores números simples.B = Suma de los cuatro menores números compuestos. Hallar \"A + B\"5. Indicar cuál de los siguientes números tiene lamenor cantidad de divisores compuestos.A: 26 B: 38 C: 446. Indicar cuál de los siguientes números tiene lamayor cantidad de divisores primos.A: 144 B: 120 C: 1967. ¿Cuántos divisores compuestos más tiene el número 80 que el número 124?8. Calcular la suma de los divisores primos de 82.9. Calcular la suma de los divisores simples delnúmero 40.10. Calcular la suma de los divisores compuestosde 32.11. La edad del profesor de Aritmética es el producto de todos los divisores primos de 60. ¿Quéedad tiene el profesor?12. Carlos tiene una cantidad de dinero igual a lasuma de todos los números compuestos menores que 20. ¿Cuánto dinero tiene Carlos?13. ¿Cuántos números primos hay entre 40 y 50?14. ¿Cuántos números compuestos hay entre 50 y60?15. Sea: A = Número de divisores de 18. B =Mayor divisor de 28. C = Mayor divisor primo de 36. hallar \"A + B + C\"Aplicación cotidianaA la izquierda, hay un dibujo de un dado. Los dados son cubos, pero estos cumplenuna regla especial: El número total de puntos en dos caras opuestas tiene que ser unnúmero primo (dicho número no puede repetirse).16. ¿Cuáles son dichos números primos que se forman?17. A la derecha se pueden ver dos dados colocados uno encima del otro. El dado 1 tiene seis puntos en la cara del frente. ¿Cuántos puntos hay en total en las doscaras verticales que no se pueden ver (caras traseras del dado 1 y 2)?Dado 1Dado 218. A continuación se muestran tres dados para armar, ¿en qué figura(s)se cumple que el total de puntos en dos caras opuestas sea el mayor número compuesto?I. II. III.Aprende más
3 Números primosCentral: 619-8100 UNIDAD 2 71¡Tú puedes!1. ¿Cuántos divisores tiene: 242 × 424?a) 15 b) 20 c) 120 d) 385 e) 4202. ¿Cuántos divisores de 360 son múltiplos de 6?a) 10 b) 12 c) 18 d) 20 e) 253. Hallar \"n\", si 36n tiene 46 divisores compuestos.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 64. Calcular el cuadrado de \"n\", si: N = 14n +1 . 24n tiene 72 divisores no divisibles por 84.a) 4 b) 9 c) 1 d) 16 e) 255. Si: N = 3b . 5a tiene tres divisores más que el número: M = 2a. 53, hallar la diferencia de \"M\" y \"N\".a) 1 444 b) 1 525 c) 1 400 d) 1 732 e) 1 445Practica en casa18:10:451. Escribir verdadero (V) o falso (F), según corresponda:( ) 2, es el único número primo par.( ) 1, es un número primo.( ) 9 y 16 son PESI (Primos entre sí).2. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número70?3. Hallar la suma de los divisores primos de 60.4. ¿Qué grupo de números no son PESI?• 28; 35; 24 • 38; 57; 19 • 36; 18; 25 • 30; 21; 165. Descomponer canónicamente los siguientes números:• 960 • 526 • 1 058 • 2 058 • 8706. Sean: M = Menor número primo, mayor que 25. N = Mayor número primo, menor que 52. Hallar \"N – M\"7. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:• 78 tiene ocho divisores (W)• 157 es un número primo absoluto (W)• 96 tiene siete divisores compuestos (W)8. Sean: A = Cantidad de divisores primos de 200. B = Suma de divisores primos de 300 Hallar \"A + B\"9. Sea:A = Suma de los seis menores números primos.B = Suma de los cuatro menores números compuestos. Hallar \"A – B\"10. ¿Cuántos divisores compuestos más tiene el número 60 que el número 14?11. Calcular la suma de los divisores simples delnúmero 84.12. Calcular la suma de los divisores compuestosde 102.
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 7213. La edad del profesor de Geometría es el producto de todos los divisores primos de 140. ¿Quéedad tiene el profesor?14. Carla tiene una cantidad de dinero igual a lasuma de todos los números primos menores que 30. ¿Cuánto dinero tiene Carla?15. Sea:A = Número de divisores de 44.B = Mayor divisor de 13.C = Mayor divisor primo de 84.Hallar \"A + B + C\"
4 Cantidad de divisores de un númeroCentral: 619-8100 UNIDAD 2 73Cantidad de divisores de un númeroEn este capítulo aprenderemos:• A hallar la cantidad de divisores primos, compuestos y simples por medio de la \"tabla dedivisores\" y la \"cantidad de divisores\".El número primo más grande conocidoAhora el número primo más grande es el: 243 112 609 – 1Este número está formado por 13 millones de cifras.Para ayudar a visualizar el tamaño del 47º primo de Mersenne conocidos, se requeriría 3 461 páginas para mostrar el número en base 10 con 75 dígitos por línea y 50 líneas por página.El número primo hallado por Edson Smith es el 47 de Mersenne. Estos llevan el nombre del monje francésMarin Mersenne, del siglo XVII, y tienen la forma \"2n – 1\".3 1 6 4 7 0 2 6 9 3 3 0 2 5 5 9 2 3 1 4 3 4 5 3 7 2 3 9 4 9 3 3 7 5 1 6 0 5 4 1 0 6 1 8 8 4 7 5 2 6 4 64 4 1 4 0 3 0 4 1 7 6 7 3 2 8 1 1 2 4 7 4 9 3 0 6 9 3 6 8 6 9 2 0 4 3 1 8 5 1 2 1 6 1 1 8 3 7 8 5 6 7 26 8 1 6 5 3 9 9 8 5 4 6 5 0 9 7 3 5 6 1 2 3 4 3 2 6 4 5 1 7 9 6 7 3 8 5 3 5 9 0 5 7 7 2 3 8 1 7 9 3 5 79 0 0 8 7 6 4 2 6 1 0 3 9 4 3 7 8 2 3 7 6 4 9 4 5 9 1 7 4 2 9 3 4 5 8 8 4 9 7 1 1 7 5 8 7 1 4 6 9 1 6 97 2 9 8 4 7 6 1 1 5 9 0 6 0 8 7 3 2 5 0 9 3 9 4 6 2 0 8 5 5 7 5 7 4 0 7 5 4 5 7 7 0 9 8 6 2 0 5 5 8 0 11 7 7 9 5 2 9 8 8 4 0 4 2 1 9 8 2 8 7 6 4 3 3 1 9 3 3 0 4 6 5 0 6 4 4 5 5 2 3 4 9 8 8 1 4 2 1 3 9 5 6 57 8 5 4 4 7 4 7 4 0 2 3 5 4 6 3 5 3 7 5 8 5 3 7 3 2 4 8 0 1 8 3 8 1 2 0 3 8 7 6 0 0 8 6 8 4 1 6 5 2 5 40 0 7 9 0 3 8 1 2 8 5 8 8 8 2 5 6 6 8 7 0 8 5 8 5 5 4 5 6 2 3 1 5 7 7 5 2 7 9 3 9 3 0 5 9 2 0 8 1 1 7 66 5 8 5 3 0 8 6 7 0 1 3 2 1 2 9 1 5 5 2 2 1 8 0 4 3 8 1 5 4 8 6 2 5 7 8 7 9 4 3 0 2 0 6 9 4 5 2 8 0 1 59 9 9 2 2 1 7 1 8 1 9 1 5 5 7 7 6 1 ...(millones de números omitidos)... 0 6 9 9 3 4 1 5 9 7 0 9 8 03 6 8 8 3 0 8 9 9 8 3 7 2 0 5 1 4 6 3 4 4 1 1 1 5 9 7 6 0 2 8 2 2 6 9 0 9 1 5 6 6 8 2 1 9 2 0 1 3 9 8 18 3 0 8 2 2 0 1 4 0 4 6 1 0 6 6 0 9 1 1 2 9 0 3 4 2 0 3 6 5 8 6 0 8 1 2 5 3 3 5 5 0 7 9 2 4 0 7 4 4 2 61 8 1 4 8 7 0 9 1 8 0 5 5 9 2 0 4 3 2 3 7 2 3 0 1 9 6 2 0 1 6 8 3 5 3 5 9 4 6 2 3 1 0 9 8 0 0 6 7 4 3 49 8 4 6 2 5 3 8 0 7 8 7 2 4 7 8 0 2 5 3 2 7 5 8 5 1 1 3 3 3 5 0 2 4 6 0 7 7 8 8 8 4 3 3 9 0 3 4 0 1 9 70 0 9 2 7 6 6 3 9 5 8 1 6 7 6 9 8 9 0 8 0 1 0 7 3 6 1 0 1 4 1 0 1 3 6 9 9 6 8 5 2 9 2 5 7 0 3 2 7 2 5 53 5 4 4 6 2 2 4 6 4 6 8 5 9 2 8 7 0 7 5 2 6 5 6 8 1 0 5 9 9 3 6 8 9 9 1 5 2 1 8 0 7 3 8 0 1 4 4 3 4 0 49 4 5 0 0 8 2 6 6 4 2 5 9 3 2 4 1 3 1 3 9 8 2 6 9 1 5 0 8 4 0 6 9 9 9 1 1 5 9 2 7 9 7 9 1 9 0 8 3 9 8 13 0 2 2 3 3 0 4 8 2 4 0 8 3 1 1 9 0 9 3 1 9 5 9 9 8 0 1 4 5 6 2 4 5 6 3 4 7 9 4 1 2 0 2 1 9 5 9 0 0 9 28 0 7 9 6 7 0 7 2 9 4 4 7 9 2 1 6 1 6 4 9 1 8 8 7 4 7 8 2 6 5 7 8 0 0 2 2 1 8 ...• ¿En qué cifra termina este nuevo número primo?
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 741. Hallar la descomposición canónica de 460.2. Hallar la descomposición canónica de 1 200.3. Hallar la descomposición canónica de 500.Saberes previos4. Hallar la descomposición canónica de 840.5. Hallar la descomposición canónica de 980.Conceptos básicosEstudio de los divisores de un número enteroTabla de divisoresNos permite hallar el total de divisores de un número, para ello se trabajará con la descomposición canónica.• Hallar todos los divisores de 120.Si: 120 = 23 . 3. 5 Divisores23: 1; 2; 22; 23 1 2 4 83: 3 3 3 6 12 245: 5 5 5 10 20 4015 30 60 120∴ 120 tiene en total 16 divisores.• Hallar todos los divisores de 540.Si: 540 = 22 . 33 . 5 Divisores33: 1; 3; 32; 33 1 3 9 2722: 2; 22 2 2 6 18 545: 5 4 4 12 36 1085 5 15 45 13510 30 90 27020 60 180 540∴ 540 tiene en total 24 divisores.EjemploEjemplo¡Ahora hazlo tú! • Hallar todos los divisores de 280.Cantidad de divisoresA partir de la descomposición canónica, podemos hallar la cantidad total de divisores que posee un número.
4 Cantidad de divisores de un númeroCentral: 619-8100 UNIDAD 2 75• Hallar la cantidad de divisores del número 120.120 2 Luego:120 = 2 . 3 . 5Entonces:CD(120) = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 1660 230 2 15 35 51 Comprobando esto, tenemos a continuación los dieciséis divisores de 120:1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60 y 120 Observando los divisores de un número compuesto, vemos que posee tres tipos de divisores:– La unidad: 1– Divisores primos: 2; 3 y 5– Divisores compuestos: 4; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60 y 120EjemploEjemplo¡Ahora hazlo tú!• Hallar la cantidad de divisores del número 560.Conclusiones• Si la descomposición canónica de un número es:N = Aα . Bβ . Cγ Entonces:C.D.(N) = (α + 1) . (β + 1) . (γ + 1)• Para todo entero positivo, se cumple que:Total de divisores de un número(C.D.)= Total de divisores primos +Total de divisores compuestos + 1• Los divisores primos, son las bases de la descomposición canónica.Aplica lo comprendido10 x 5501. Completar el siguiente cuadro:1 2 4 … 5 … 20 … … 14 …. 35 70 140 2. Elabora la tabla de divisores de 24.3. Indicar cuantos divisores compuestos tiene 60.(Tabla de divisores)4. Hallar la suma de los divisores compuestos de 72. (Tabla de divisores)5. Hallar la cantidad de divisores de \"N\", si:N = 23 . 52 . 11
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 76• Enunciado (preguntas del 1 al 5: Tabla de divisores) Sean los números: A = 336 y B = 5401. ¿Cuántos divisores primos tiene \"A.B\"?2. ¿Cuántos divisores más tiene \"B\", respecto a\"A\"?3. ¿Cuántos divisores compuestos tiene \"B\"?4. ¿Cuántos divisores simples tiene \"A\"?5. Hallar la suma de los divisores simples de \"B\".6. El número: A = 35 . 2x tiene 24 divisores en total. Calcular el valor de \"x\".7. El número: B = 32 . 5 . 11x tiene 36 divisores entotal. Calcular el valor de \"x\".8. El número: C = 12 . 5x tiene un total de 18 divisores. Hallar el valor de \"x\".Aprende más9. El número: D = 5 . 21x tiene un total de 50 divisores. Hallar \"x\"10. El número: E = 5 . 10x tiene 42 divisores. Hallar \"x\".11. El número: F = 6x . 10 tiene 40 divisores. Hallar \"x\".12. El número: G = 3x . 108 tiene 21 divisores en total. Hallar \"x\"13. Dado el número: A = 18x . 16x hallar \"x\", si el número \"A\" tiene 55 divisores.14. El número 54x tiene 40 divisores, ¿cuántos divisores tiene 12x?15. El número: A = 7 . 132 . 5n + 2 tiene 42 divisores. Hallar \"n\"Aplicación cotidianaEl matemático Pierre de Fermat conjeturó que todos los números de la forma: 22n + 1 eran primos; con \"n ≥ 0\" (debido a lo cual se les conoce como números de Fermat). Si fuese así, comprueba dicha formapara los siguientes valores:16. Cuando: n = 0, ¿es primo o compuesto?17. Cuando: n =1, ¿es primo o compuesto?18. Cuando: n = 3, ¿es primo o compuesto?¡Tú puedes!1. Calcular la suma de los divisores de 4 680 que sean primos con 351.a) 70 b) 80 c) 100 d) 90 e) 1202. ¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha del 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos?a) 6 b) 8 c) 9 d) 5 e) 43. Si: p = (300 ... 0123\"n\" cifras)2 tiene 144 divisores no primos, halle la suma de los divisores de: 2n2 + 18.a) 62 b) 80 c) 91 d) 93 e) 98
4 Cantidad de divisores de un númeroCentral: 619-8100 UNIDAD 2 774. Si el número: N = 14n . 21 tiene 56 divisores compuestos, ¿cuántos de sus divisores son múltiplos de6?a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 325. Dado: ab = °5 y bab = °9, ¿cuántos divisores posee aba?a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20Practica en casa18:10:45• Enunciado (preguntas del 1 al 5: Tabla de divisores) Sean los números: M = 360 N = 2521. ¿Cuántos divisores primos tiene \"M\"?2. Hallar la suma de los divisores primos de \"N\".3. ¿Cuántos divisores simples tiene el producto\"M . N\"?4. Hallar el producto de los divisores simples de \"N\".5. Hallar el total de divisores de \"M\".• Enunciado (preguntas del 6 al 10: Cantidad dedivisores) Sean los números: A = 7x . 212 B = 5y . 1446. Hallar el valor de \"x\", si \"A\" tiene 24 divisores.7. Hallar el valor de \"y\", si \"B\" tiene 75 divisores.8. Hallar el valor de \"x\", si \"A\" tiene 24 divisorescompuestos.9. Hallar el valor de \"y\", si \"B\" tiene 46 divisorescompuestos.10. Hallar \"x + y\", si \"A . B\" tiene 360 divisores.(x > 1)11. Hallar el valor de \"x\", si el número: 3x . 26 tiene 32 divisores.12. Hallar el valor de \"x\", si el número: 39x . 32 tiene 48 divisores.13. El número: 34 . 31x tiene 20 divisores, hallar \"x\".14. El número: 7x . 25 tiene seis divisores más que el número: 11x . 9, hallar \"x\".15. Se tiene el número: 17 . 5x . 26 que tiene 42 divisores, hallar \"x\".
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 78Máximo común divisor y Mínimo común múltiploEn este capítulo aprenderemos:• A identificar el mayor divisor común y el menor múltiplo común en un grupo de números.• A elaborar estrategias para la resolución de problemas diversos de MCD y MCM.Algoritmo de EuclidesLos algoritmos permiten obtener paso a paso resultados de manera consistente y duradera. Un algoritmo básico es el de Euclides que permite obtener el máximo común divisor de dos números a partir deun proceso iterativo. Con ayuda de una tabla se van poniendo las divisiones sucesivas a realizar en lafila del medio, los cocientes en la fila superior y los restos en la inferior y seguimos el hilo de los datos que se obtiene:Pasos:1. Ponemos los datos del dividendo \"D\" y el divisor \"d\" en dos celdas consecutivas de la fila central yefectuamos la división, obteniendo un cociente \"C\" y un resto \"r\". El cociente se pone encima del divisor \"d\" y el resto debajo.2. Se pasa el resto a la derecha del divisor y ahora se realiza de nuevo la división, siendo: D = d y d=r.3. Se sigue repitiendo el paso 2 hasta que el resto de la división sea 0. En ese caso, el penúltimo resto esel máximo común divisor buscado.Cociente 3 1 3División 45 12 9 3Resto 9 3 0MCD (45;12) = 3• Halla el MCD de 48 y 14 utilizando el Algoritmo de Euclides.1. Hallar la descomposición canónica de 480.2. Hallar la descomposición canónica de 860.3. Mencionar los siete primeros múltiplos de 4 y 3.Saberes previos4. Indicar los divisores de 32 y 48.5. Realizar la descomposición canónica de manera adecuada: N = 16 × 15Todo número tiene infinitos múltiplos pero finitos divisores.Recuerda que...
5 Máximo común divisor y Mínimo común múltiploCentral: 619-8100 UNIDAD 2 79Conceptos básicosMáximo común divisor (MCD)Definición Se llama así al mayor divisor común que tiene un conjunto de números.Ejemplo: Sean los números: 8; 12 y 20, cuyos divisores son:8 ⇒ 1; 2; 4; 8 12 ⇒ 1; 2; 3; 4; 6; 12 20 ⇒ 1; 2; 4; 5; 10; 20 Observamos que los divisores comunes son: 1; 2 y 4, de los cuales el mayor es 4; entonces:MCD (8; 12 y 20) = 4Métodos para hallar el MCDDescomposición canónicaSe realiza la descomposición canónica de cada número.• Hallar el MCD de 60; 80 y 100Paso 1: Hacemos la descomposición canónica de cada número.60 2 80 2 100 230 2 40 2 50 215 3 20 2 25 55 5 10 2 5 51 5 5 1160 = 22 . 3 . 5 80 = 24 . 5 100 = 22 . 52Paso 2: Para hallar el MCD, tomaremos las bases comunes (en las tres descomposiciones),con los menores exponentes que tengan.∴ MCD (60; 80 y 100) = 22 . 5 = 20EjemploEjemploDescomposición simultáneaSe realiza la descomposición solo tomando los factores comunes de los números.• Hallar el MCD de 60; 80 y 10060 80 100 2Luego: MCD(60; 80 y 100) = 2 . 2 . 5 = 2030 40 50 215 20 25 53 4 5Ejemplos¡Ahora hazlo tú!• Hallar el MCD de 120; 80 y 60.Descomposición canónica: Descomposición simultánea: OJO: Investiga acerca del método llamado \"divisiones sucesivas\".
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 80Observaciones• Si un número contiene a otro, el MCD de ambos es el menor de ellos.• Si dos números son PESI, entonces su MCD es uno.Mínimo común múltiplo (mcm)DefiniciónSe llama así al menor múltiplo positivo común que tiene un conjunto de números.Ejemplo: Sean los números 4; 6 y 12, cuyos múltiplos positivos son:4 → 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; ...6 → 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; ...12 → 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; 120; ... Observamos que los múltiplos comunes son: 12; 24; 36; ..., de los cuales el menor es 12, entonces: mcm (4; 6 y 12) = 12Métodos para hallar el mcmDescomposición canónica Se realiza la descomposición canónica de cada número.• Hallar el mcm de 12; 20 y 30Paso 1: Hacemos la descomposición canónica de cada número.12 2 20 2 30 26 2 10 2 15 33 3 5 5 5 51 1 112 = 22 . 3 20 = 22 . 5 30 = 2 . 3 . 5Paso 2: Para hallar el mcm, tomaremos todas las bases que aparecen, con los mayores exponentes que tengan.∴ mcm (12; 20 y 30) = 22 . 3 . 5 = 60EjemploEjemploDescomposición simultánea Se realiza la descomposición tomando todos los factores (comunes y no comunes).• Hallar el mcm de 12; 20 y 3012 20 30 26 10 15 23 5 15 31 5 5 51 1 1 Luego: mcm(12; 20 y 30) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60Ejemplo
5 Máximo común divisor y Mínimo común múltiploCentral: 619-8100 UNIDAD 2 81¡Ahora hazlo tú!• Hallar el mcm de 160; 90 y 60.Descomposición canónica: Descomposición simultánea:Observaciones• Si un número contiene a otro, el mcm deambos es el mayor de ellos.• Si dos números son PESI, entonces su mcmes su producto.El MCD es el máximo divisor común y elmcm es el mínimo múltiplo común.Recuerda que...Síntesis teóricaEl máximo divisorcomún en un conjunto de números.Máximo común divisor (MCD) MétodosHallar el MCD de 80 y 56.80 56 240 28 220 14 210 7∴ MCD(80; 56) = 23 = 8EjemploDescomposición canónicaHallar el MCD de 80 y 56.80 = 24 . 556 = 23 . 7∴ MCD(80; 56) = 23 = 8EjemploHallar el mcm de 40 y 45.40 = 23 . 545 = 32 . 5∴ mcm(40; 45) = 23.32.5=360Ejemplo Descomposición canónicaEjemploHallar el mcm de 40 y 45.40 45 220 45 210 45 25 45 35 15 35 5 51 1∴ mcm(40; 45) = 23.32.5 = 360Descomposición simultáneaMínimo común múltiplo (mcm)El mínimo múltiplo común en un conjunto de números.MétodosDescomposición simultánea
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 82Aplica lo comprendido10 x 5501. Hallar el MCD de 12; 18 y 42. (Descomposición simultánea)2. Hallar el mcm de 8; 10 y 15. (Descomposiciónsimultánea)3. Hallar el MCD de 80; 48 y 120. (Descomposición canónica)4. Hallar el mcm de 42; 26 y 18. (Descomposicióncanónica)5. Hallar \"A + B\", si: A = MCD de 28 y 35 B = mcm de 6 y 81. Calcular el MCD de los siguientes números,aplicando el método de \"descomposición canónica\".• 50 y 80 • 64; 72 y 124• 28; 44 y 64 • 18; 90 y 160• 35; 28 y 70 • 220; 180 y 1402. Aplica el método de \"descomposición simultánea\", para hallar el MCD en cada uno de loscasos anteriores.3. Calcular el MCD de los siguientes números,aplicando el método de \"divisiones sucesivas\".• 500 y 120 • 340 y 170• 250 y 6004. Calcular el mcm de los siguientes números,aplicando el método de \"descomposición canónica\".• 40 y 70 • 48; 36 y 54• 64; 40 y 56 • 22; 143 y 11• 45; 15 y 20 • 36; 24 y 425. Aplica el método de \"descomposición simultánea\", para hallar el mcm en cada uno de loscasos anteriores.6. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir ala vez a 70; 14 y 56?7. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir ala vez a 32; 112 y 980?8. Se tiene dos depósitos que contienen 60 litros y45 litros de vino. Si se desea vaciar en pequeñosbaldes sin sobrar nada, diga, ¿cuál es el mayorvalor que puede contener el balde?9. Tres depósitos contienen 160; 144 y 176 litros. Si se desea vaciar cada contenido en pequeñosrecipientes iguales sin sobrar nada, ¿cuál es elmáximo volumen del recipiente?10. Si MCD (300K; 180K; 240K) es igual a 720, calcular \"K\".11. ¿Cuál es el menor número, diferente de cero divisible por 6; 18 y 24?12. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medirexactamente con reglas de 40; 60 y 80 cm?13. Si: mcm (9a; 4b) = 90, calcular \"a . b\".14. Si: mcm (9a; 2a)= 196, calcular \"a\".15. La edad de Luis tiene exactamente tercia, cuartay séptima. Calcular la suma de las cifras de suedad, si se sabe que no es mayor de 100 años.Aprende más
5 Máximo común divisor y Mínimo común múltiploCentral: 619-8100 UNIDAD 2 831. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:( ) El MCD de 20 y 35 es 5.( ) El mcm de 24 y 18 es 120.( ) El MCD de 5 y 13 es 55.2. Hallar el MCD de los siguientes conjuntos de números, aplicando \"descomposición canónica\".• 36; 120 y 80 • 72; 160 y 540 • 100; 240 y 220 • 180; 160 y 250 • 170; 340 y 2303. Hallar el MCD de los conjuntos del problemaanterior, aplicando descomposición simultánea.4. Hallar el MCD de los siguientes pares de números, aplicando el método de \"divisiones sucesivas\".• 24 y 368 • 700 y 120 • 72 y 240 • 1 152 y 180Aplicación cotidianaLa iglesia de Santo Domingo tiene tres campanas las cuales son tocadascada cierto tiempo, pero el día de hoy se tocaron simultáneamente y de ahí en adelante durante diferentes días: la campana \"A\" será tocadacada 7 días, la campana \"B\" cada 4 días y la campana \"C\" cada 10 días.16. ¿Después de qué tiempo se volverán a tocar juntas?17. ¿Cuántas campanadas habrá dado la campana \"A\" antes de volver a tocarse juntas por segunda vez?18. ¿Cuántas campanadas en total habrán dado las tres juntas antes de coincidir por segunda vez?¡Tú puedes!1. El MCD de dos números es 9, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de dichos números, si su productoes 1 620?a) 180 b) 20 c) 270 d) 1 620 e) 4002. Sea: MCD (A; B) =12A2 – B2 = 20 880Calcular: A – Ba) 56 b) 40 c) 82 d) 45 e) 603. El cociente de dos números es 15. Si su MCD es 18, hallar el número mayor.a) 180 b) 240 c) 200 d) 270 e) 2204. Las dimensiones de un terreno rectangular son 894 y 354 m. Se desea parcelarlo en terrenos cuadradosde tal modo que no sobre nada y se obtenga el menor número de parcelas. ¿Cuántas parcelas cuadradas resultarán?a) 354 b) 894 c) 8 940 d) 8 791 e) 8795. Hallar \"k\", sabiendo que: MCD(210K; 300K; 420K) = 1 200a) 6 b) 15 c) 40 d) 90 e) 30Practica en casa18:10:45
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 845. Hallar el mcm de los siguientes conjuntos de números, aplicando \"descomposición canónica\".• 42 y 54 • 32 y 96 • 50; 25 y 35 • 70; 14 y 140 • 44; 24 y 1606. Hallar el mcm en cada uno de los conjuntos del problema anterior, aplicando \"descomposiciónsimultánea\".7. Hallar la suma del MCD y el mcm de 14; 21 y63.8. Hallar el mayor divisor común de 27; 36 y 72.9. Hallar el menor número posible tal que dividido por 4; 15 y 18 se obtiene un residuo común el menor posible.10. ¿Cuántos números naturales, diferentes de ceroy menores que 880, son divisibles simultáneamente por 6; 15; 8 y 18?11. Completar la tabla:A B MCD(A; B) mcm(A; B)210 . 34 215 . 312122 . 152 163 . 202182 . 2 000 152 . 150352 . 402 142 . 120212. El número de divisores comunes de los números 2 304 y 1 080 es \"n\". Hallar la suma decifras de \"n\".13. ¿Cuál es el menor número de tres cifras que dividido entre 4; 6; 9; 12 y 15 produce divisiones exactas?14. ¿Cuántos números dividen exactamente a2 000; 3 200 y 7 200?15. Hallar el MCD de \"A\"; \"B\" y \"C\", si:A = 202.152; B = 123.102 y C = 182.213.114
6 ComplementoCentral: 619-8100 UNIDAD 2 85ComplementoEn este capítulo aprenderemos:• A resolver de manera adecuada los problemas propuestos, elaborando estrategias paracada proceso.Síntesis teóricaTeoría de los NúmerosMultiplicidadUn número es múltiplo de otro cuando lo contiene una cantidad exactade veces. Ejemplo:¿24 es divisible entre 8?Sabemos que: 24 = 8.324 contiene a 8, tres veces. ∴ 24 es múltiplo de 8EstudiaDivisibilidadlas propiedades de los números, en particular los enteros.Un número es divisible por otro cuando la división es exacta. Ejemplo:¿56 es divisible por 4? 56 4 56 140∴ 56 es divisible por 4Mínimo común múltiploMáximo común Números compuestos Números primosdivisorSon aquellos números quetienen más de dos divisores. Ejemplo:4; 6; 8; 9; 10; 12; 14;…Son aquellos números quetienen únicamente dos divisores. Ejemplo:2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; …Es el mayor divisor común de un grupo de números. Ejemplo:• Hallar el MCD de 24; 32 y 56.24 32 56 212 16 28 26 8 14 23 4 7∴ MCD (24; 32; 56) = 2 . 2 . 2 = 8Es el menor múltiplo común de un grupo de números. Ejemplo:• Hallar el mcm de 6; 4 y 5.6 4 5 23 2 5 23 1 5 31 1 5 51 1 1mcm(6; 4; 5) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60Teorema Fundamental: (Descomposición canónica)Expresar un número en un producto de factores primos. Ejemplo:• Hallar la descomposición canónica de 60.60 2∴ 60 = 22 . 3 . 530 215 35 51 El uno (1) no se considera ni primo ni compuesto.Recuerda que...
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 861. Indicar los divisores de 48.2. Hallar los siete primeros múltiplos positivos de 4.3. Hallar la suma de los cuatro primeros números primos.Saberes previos4. Hallar el máximo divisor común de 24; 36 y 42.5. Hallar el menor múltiplo común de 8; 6 y 9.Dos o tres números son PESI cuando tienencomo único divisor común a la unidad.Recuerda que...Aplica lo comprendido10 x 5501. Indicar cuántos de los siguientes números sondivisibles por 6.• 726 • 1 054• 2 532 • 53 2342. Si el número 27a es °3 + 2, calcular el mayor valor de \"a\".3. Hallar el valor de \"m\" para que el numeral 13msea °11.4. ¿Cuántos divisores tiene el número 280?5. Calcular la suma de los divisores primos de 150.6. Hallar la suma de las cifras del mcm de 18; 24 y 36.7. Hallar el producto de las cifras del MCD de 48;72 y 1088. ¿Cuántos de los siguientes números son primos?• 37 • 93 • 1 001 • 223 • 1079. Si al descomponer canónicamente el número1 800 se obtiene: 2a . 3b . 5c, hallar \"a + b + c\".10. Determina la suma de los valores de \"a\", paraque 378a sea divisible entre 4.11. Si: A = °7 + 2; B = °7 + 3 y C = °7 + 4, entonces \"A . B . C\" es:12. ¿Qué valor debe tomar \"a\" para que 2345a sea divisible por 9?13. ¿Cuál es el menor número entero positivo talque al dividirlo entre 16; 32 y 40 se obtienesiempre una división exacta?14. ¿Cuál es el menor número posible que al dividira 28; 42 y 35, resulta que siempre la división esexacta?15. Calcular el mayor de dos números primos quesuman 60 y además uno de ellos es menor que 10. Dar la suma de sus cifras.
6 ComplementoCentral: 619-8100 UNIDAD 2 871. Indicar cuántos de los siguientes números sondivisibles por 4.• 936 • 7 628 • 1 589 • 24 2222. Si el número 64a es °5 + 3, calcular el mayorvalor de \"a\".3. Hallar el valor de \"m\" para que el numeral 16msea °13.4. ¿Cuántos divisores tiene el número 840?5. Hallar la suma de las cifras del mcm de 12; 28 y 32.6. ¿Cuántos de los siguientes números son primos?• 39 • 41 • 57 • 49 • 1037. Si al descomponer canónicamente el número1 960 se obtiene: 2a . 5b . 7c, hallar \"a + b + c\".8. Determina la suma de los valores de \"a\", paraque 409a sea divisible entre 3.9. Si: A = °5 + 2; B = °5 + 3 y C = °5 + 1, entonces \"A . B . C\" es:a) °5 + 1 b) °5 + 2 c) °5 + 3 d) °5 + 4 e) °510. ¿Qué valor debe tomar \"a\" para que 1646a sea divisible por 8?11. ¿Cuál es el menor número entero positivo talque al dividirlo entre 8; 9 y 12 se obtiene siempre una división exacta?12. ¿Cuántos números mayores que 200 y menoresque 500, son divisibles por 12; 20 y 8?13. ¿Cuál es el menor número posible que al dividira 25; 10 y 15, resulta que siempre la división es exacta?14. ¿Qué número es tal que al dividirlo entre 6; 8 y14, siempre da como residuo 5, si es el menor posible?15. Calcular el mayor de dos números primos quesuman 60 y uno de ellos está entre 10 y 15. Darla suma de sus cifras.Practica en casa18:10:45
Los números racionales en nuestra vida cotidianaLos antiguos egipcios calculaban utilizando fracciones unitarias, como12;13;14;110; ...El jeroglífico para una boca abierta ( ) denotaba la barrade fracción (/), y un jeroglífico numéricoescrito debajo de la “boca abierta”, denotaba el denominador de la fracción.= 13; = 110Cualquier fracción que escribimos con unnumerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fracciones unitarias distintas. De ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como “fracciones egipcias”.• Representa 34 como la suma de dosfracciones unitarias.AprendiZajes esperadosRazonamiento y demostración• Identificar las clases de fracciones.• Interpretar los resultados obtenidos observando suaplicación a la vida real.• Elaborar modelos de la vida real donde se aplique los números racionales.Comunicación matemática• Reconocer y utilizar diferentes formas derepresentación de números racionales.• Utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados defracciones.Resolución de problemas• Resolver problemas que involucren númerosracionales.• Resolver problemas de contexto real y matemático queimplican utilizar conceptos de números racionales.• Elaborar estrategias para resolver problemas de contexto real.Hasta las tareas más cotidianas serían imposibles sin los números racionales, (aquellos que son la razón de dos números enteros). Por ejemplo, como expresaríamos los volúmenes menores aun litro como sucede con las botellas de la imagen superior derecha, o cómo mediríamos las masas tan pequeñas usadas en el trabajo científico, o en el comercio (para eso usamos pesas queson fracción de la unidad de masa), y por último en la naturaleza, a cada instante nos topamos con fenómenos en los cuáles la división entre dos o más es parte del proceso de desarrollo, por ejemplo la división entre 5 de los pétalos de la acacia de Nepal(a la izquierda).UNIDAD 3
1 Números fraccionariosCentral: 619-8100 UNIDAD 3 89Números fraccionariosEn este capítulo aprenderemos:• A identificar fracciones propias, impropias, equivalentes, irreductibles y reductibles.• A transformar una fracción impropia a una fracción mixta y viceversa.• A elaborar estrategias para la resolución de problemas diversos de números fraccionarios.Las fracciones egipciasEl ojo de Horus: los primeros números racionales.Los egipcios utilizaron un sistema muy antiguo para representar fracciones en medidas agrarias desuperficie y volumen, basado en las divisiones entre dos de 1/2. Los signos de las fracciones mayoresfueron tomados de las partes que componían el jeroglífico del ojo de Horus. = 12; = 14; = 18; = 116; = 132 ; = 164Cada fracción se representaba mediante una grafía del jeroglífico del ojo.• Investiga: ¿Qué otra atribución tenía el ojo de Horus?Saberes previos1. Dividir: 844 ÷ 4, indicar si la división es exactao inexacta.2. Dividir: 756 ÷ 24, indicar si la división es exacta o inexacta.3. Multiplicar: 57 × 194. Indicar los divisores comunes de 58 y 78.5. Dividir la siguiente gráfica en cuatro partesiguales.
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 90Conceptos básicosCuando estudiamos el conjunto de los números naturales ( ), vimos que era necesario extender dicho conjunto a otro más amplio que nos permita efectuar la resta o sustracción para todos los casos, apareciendo entonces el conjunto de los números enteros ( ).Pero ahora se nos presenta otra dificultad, al tratar de efectuar ciertas divisiones de números enteros, comopor ejemplo:¿Cómo divido una deuda de S/.250 en 20 cuotas? ............................... 250 ÷ 20¿Cómo divido una cuerda de siete metros en dos partes iguales? ................ 7 ÷ 2¿Cómo divido una torta en cuatro partes iguales? ....................................... 1 ÷ 4En todos estos casos anteriores no encontramos solución en el conjunto de los números enteros, ante esta situación surge la necesidad de ampliar dicho conjunto a otro que en adelante llamaremos el conjunto de los números racionales que lo reconoceremos por la letra .\" \" representa a los números racionales.Recuerda que...DefiniciónUna fracción es una división indicada de dos números enteros. En tal división, el divisor es diferente de cero.Es decir: ab, donde: b ≠ 0Además \"a\" y \"b\" son los términos de la fracción y reciben el nombre de numerador y denominador respectivamente.Algunos significados de fracciónLa fracción como parte de la unidadSi dividimos un papel en seis partes iguales y pintamos cinco de dichaspartes, entonces toda la parte pintada del papel la representamos por 56.El denominador 6, representa la cantidad de partes iguales en que se ha dividido la unidad.56El numerador 5, representa la cantidad de partes que se ha tomado de la unidad.La fracción como cocienteQueremos repartir dos tortas entre tres niños en partes iguales, a cadauno le corresponde 23 de la torta, esto significa que la fracción 23es el cociente de dividir dos entre tres; es decir:2 ÷ 3 = 23 = para cada niño La fracción como operador \"La mitad\", \"la tercera parte\", \"la cuarta parte\", etc., son nombres de operadores que fraccionan.Ejemplo:• 12de 8 = 1 × 82 = 82= 4
1 Números fraccionariosCentral: 619-8100 UNIDAD 3 91¡Ahora hazlo tú! • 13de 15 =• 35de 20 =Observación• La fracción abes un operador que multiplica por \"a\" y divide entre \"b\".Comparación de una fracción con la unidadFracción propia Se llama así cuando el numerador es menor que el denominador, estas fracciones son menores que launidad.• De un pastel tomamos las 68Ejpartes.emplo¡Ahora hazlo tú! • De un pastel tomamos las 58 partes. Fracción impropia Se llama así cuando el numerador es mayor que el denominador, estas fracciones son mayores que launidad.• De un pastel no podemos servirnos las 54partes, entonces tomamos dos pasteles así: Ejemplo¡Ahora hazlo tú! • De un pastel no podemos servirnos las 73 partes, entonces tomamos dos pasteles así:
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 92Observación• Si el numerador es igual al denominador, la fracción es igual a la unidad.De un pastel tomemos las 44 partes. Comparación de los denominadores de varias fraccionesFracción homogéneaSe llama así cuando tienen el mismo denominador.Ejemplo:27;57;157Fracción heterogéneaSe llama así cuando tienen denominadores diferentes.Ejemplo:12; 25 ; 43Transformación a mixtosLlamamos números mixtos a una forma de representar las fracciones mayores que la unidad. Así:712 es un número mixto. Donde:La parte entera es 7La parte fraccionaria es 12 Este mixto puede ser desdoblado también así: 7 +12. Entonces, también es cierto que: 7 +12= 712¿Cómo transformamos una fracción impropia a número mixto? Veámoslo en un ejemplo:• Transformar 278a mixto.Dividimos el numerador entre el denominador27 8 Cociente = 3, es la parte enteraResiduo = 3, es el numerador de la parte fraccionariaDivisor = 8, es el denominador de la parte fraccionariaLuego: 278 = 3 3824–––33Ejemplo¡Ahora hazlo tú! • Transformar 35 9a mixto.
1 Números fraccionariosCentral: 619-8100 UNIDAD 3 93¿Cómo transformamos un mixto a una fracción impropia? Para efectuar esta transformación, multiplicamos el denominador de la parte fraccionaria por la parteentera y a este producto le sumamos el numerador obteniendo así el numerador de la fracción buscada. El denominador es el mismo.Ejemplo:• Transformar 725 a fracción impropia×+7 25 = 5 × 7 + 25 = 375¡Ahora hazlo tú! • Transformar 435 a fracción impropia.Fracciones equivalentes Dos fracciones: ab y cdson equivalentes, si se cumple que:a.d = b.cEjemplo:• 37 y921 son equivalentes37 = 921 porque: 3 × 21 = 9 × 7 63 = 63¡Ahora hazlo tú! • 622 y311 son equivalentesFracción irreductibleSi los términos de una fracción tienen como único divisor común a la unidad, dicha fracción es irreductibleo irreducible.Ejemplo:• 35 ;711Simplificación de fraccionesSignifica transformarla en otra equivalente y a la vez irreductible. Para lograrlo dividimos sucesivamentelos términos de la fracción entre divisores comunes hasta lograr una fracción irreductible.
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 94Ejemplo:• Simplificar: 2418024180 = 1290 = 645 = 215÷2÷2÷2÷2÷3÷3¡Ahora hazlo tú! • Simplificar: 60252Relación de ordenRegla de productos cruzados• ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?79;35 Hacemos: 35 = ← 7935→ = 27 y como: 35 > 27, entonces: 79> 35¡Ahora hazlo tú! • ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?89; 76Transformando las fracciones a denominador común• Ordenar las siguientes fracciones de menor a mayor:59; 25 y 712Paso 1: Hallamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m.(9; 5; 12) = 180Paso 2: 59 = 100180÷× 25 = 72180÷×712 = 105180÷×Paso 3: Ordenando de acuerdo a los numeradores: 72180< 100180< 105180 ↓ ↓ ↓ 25 < 59 < 712¡Ahora hazlo tú! • Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor.34; 65 y49Una fracción impropia origina una fracción mixta.Recuerda que...
1 Números fraccionariosCentral: 619-8100 UNIDAD 3 95Síntesis teóricaNúmero FraccionarioClasificación de fraccionesSus términos Su representación• Numerador• Denominadorab (b ≠ 0)Ejemplos:74;92; 259Ejemplos:38;917; 2138Ejemplos:288 ;915; 3663Ejemplos:278 ;713; 3524Mixtas Homogéneas HeterogéneasEjemplos:523; 217; 758Ejemplos:514;914; 1314Ejemplos:85;611; 57Impropias Propias Por grupos Reductibles IrreductiblesPor los divisoresde sus términos Por sus términos1. Relacionar:I. 85a) Fracción propiaII. 311 b) Fracción impropia2. Simplificar: 48563. Convertir 458a fracción mixta.Aplica lo comprendido10 x 5504. ¿611 y 1222son equivalentes?5. Escribe la fracción que corresponde a la parte sombreada:
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 961. Relacionar:I. 27; 511 a) Fracción impropiaII. 69; 812 b) Fracción irreductibleIII. 125 ; 83 c) Fracción propiaIV. 47; 113 d) Fracción equivalente2. Calcular:a) los 23 de 24b) los 17 de 21c) la cuarta parte de 48d) los 35 de 75e) los 311 de 223. Escribe como mixto las siguientes fracciones:a) 197 b) 228 c) 136 d) 425 e) 78144. Escribe como fracciones los siguientes mixtos:a) 425 b) 614 c) 249 d) 534 e) 3 7115. Simplificar las siguientes fracciones:a) 3684 b) 22575 c) 187231 d) 128224 e) 1202166. Escribe el signo \"<\"; \">\" o \"=\" según corresponda:a) 5923 b) 127138 c) 371249d) 725413 e) 81740857. Convertir a homogéneas los siguientes gruposde fracciones:a) 23; 34; 43; 56 b) 14; 310; 25; 320 c) 1012; 2430; 1218; 858. Obtenga tres fracciones equivalentes a las siguientes fracciones irreductibles.a) 27 b) 35c) 76 d) 109 e) 1259. ¿Cuántas fracciones propias con denominador15 existen tales que sean mayores a 1/2?10. Halle una fracción equivalente a 2/3, de modoque la suma de sus términos sea el menor cuadrado posible.11. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles dedenominador 24 existen?12. Se tiene una fracción impropia cuyos términosson consecutivos. Si el denominador es el mayor número par de dos cifras diferentes, ¿cuál esla suma de las cifras del producto del numerador y el denominador?13. ¿Cuántas fracciones irreductibles con denominador 12 existen entre 1/2 y 2?14. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor que1/9 pero menor que 1/8?• 17144 • 572• 113615. Encontrar una fracción equivalente a 372/775cuya suma de sus términos sea múltiplo de 5 y cuya diferencia de los mismos esté comprendida entre 180 y 200. Indicar la suma de las cifrasdel numerador.Aprende más
1 Números fraccionariosCentral: 619-8100 UNIDAD 3 97Aplicación cotidianaCarlitos se encuentra jugando con su pelota en el segundo piso de su casa, en un descuido la lanza sinpercatarse que la ventana estaba abierta por donde sale. Sabiendo que después del tercer rebote se eleva160 cm y que en cada rebote se eleva 2/3 de la altura anterior.h160 cm16. ¿Cuál es la altura de donde sale?17. ¿Cuál es la altura que alcanza en el segundo rebote?18. Hallar la suma de las alturas que alcanza la pelota en los tres rebotes.¡Tú puedes!1. El producto del numerador por el denominador de una fracción es 52 514. Hallar dicha fracción, si al ser simplificada se obtiene 14/31. Dar la diferencia de los términos.a) 142 b) 153 c) 168 d) 187 e) 1792. Hallar una fracción equivalente a 7/12 sabiendo que si al término menor le sumamos 70, para que elvalor de la fracción no se altere, entonces el otro término debe triplicarse.a) 2848 b) 4272 c) 5696 d) 3560 e) 21363. El numerador y el denominador de una fracción son números formados por las mismas dos cifras pero dispuestos en orden inverso. Si la fracción vale 3/8, ¿cuál es la suma de las dos cifras mencionadas?a) 5 b) 9 c) 12 d) 15 e) 184. Hallar una fracción cuya suma de términos sea 12, tal que si se aumenta 3 al numerador y 5 al denominador se obtenga una fracción equivalente a 2/3.a) 210 b) 48 c) 57d) 111 e) 785. Hallar una fracción equivalente a 36/63 sabiendo que el cuadrado de la suma de sus términos es 4 356.Dar como respuesta el término mayor.a) 126 b) 96 c) 84 d) 42 e) 189
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 987. Expresar como número mixto la fracción 9517.8. Si \"pq\" es la fracción irreductible de 280420, hallar \"pq\"9. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?12; 13; 14; 15; 1610. Calcule el valor de \"a\" y \"b\", si las fraccionesson equivalentes:• 46 = 24a • 129 = b3611. ¿Qué parte del total está sombreado?12. Hallar el valor de \"a + b\" de la siguiente igualdad:4 27 = ab13. Señalar la fracción mayor que615a) 14 b) 814 c) 17 d) 622 e) 71914. ¿Cuál de las siguientes fracciones es menor que37?a) 58 b) 611 c) 46 d) 430 e) 61015. Al simplificar una fracción, obtuvimos 2/5. Sabiendo que la suma de sus términos antes de simplificarlo era 63, calcular la diferencia dedichos términos.Practica en casa18:10:451. ¿Cuánto es:a) Un tercio de 24?b) Tres quintos de 40?c) Ocho sextos de 45?d) 23de un mes?e) 45de 100 soles?2. De las siguientes fracciones, ¿cuáles son irreductibles?a) 2416 d) 98 g) 2116b) 3510 e) 724 h) 1842c) 1516 f) 41243. Si \"ab\" es la fracción irreductible de 9243, hallar \"a + b\".4. Relaciona:A. 1723;49;1531I. Fracciones equivalentesB. 52;2317;5129II. Fracciones propiasC. 1421;1827;3248III. Fracciones impropias(A; ) (B; ) (C; )5. Escribir verdadero (V) o falso (F) según corresponda:• 4756 es una fracción reductible (___)• 45 y 88110 son fracciones equivalentes (___)• 76 y 1815 son fracciones propias (___)6. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa 13?a) b)c) d)
2 Operaciones con números fraccionarios ICentral: 619-8100 UNIDAD 3 99Operaciones con números fraccionarios IEn este capítulo aprenderemos:• A elaborar estrategias para la resolución de problemas diversos de operaciones connúmeros fraccionarios.El uso de las fraccionesLos números naturales fueron los primeros en ser utilizados por el hombre y han sido empleados portodas las culturas. Con la evolución del ser humano surgió la necesidad de considerar repartos, herencias, divisiones..., es decir, fracciones.El uso de las fracciones es, sin duda, el rasgo más curioso de la Matemática egipcia. Los egipcios solo escribían de manera directa las fracciones unitarias, es decir, aquellas con numerador 1. Para ello escribíanel denominador con un punto encima o con el símbolo:Símbolo de la fracción unitaria El sistema de numeración de los egipcios no era posicional y se limitaba a sumar los valores de los símbolos:= 1, = 10, = 100, etc.= 13 = 15 = 121 = 1102Suma de los valores de los símbolos Para representar cualquier otra fracción distinta, la expresaban como suma de fracciones unitarias, intentando poner siempre denominadores los más pequeños posibles.Para poner712 escribían 712 = 13+14Para poner1526 escribían 1526 = 12+113Suma de fracciones unitarias• Representa 1322 como una suma de fracciones unitarias.
AritméticaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe 1001. ¿Cuándo una fracción es homogénea? Dar dosejemplos.2. ¿Cuándo una fracción es heterogénea? Dar dosejemplos.3. Convertir las siguientes fracciones mixtas a fracciones impropias: 637; 954 y 723.Saberes previos4. Simplificar las siguientes fracciones: 5075 y 10545 .5. Indicar cual de las siguientes fracciones es mayor:828 y 630.Si \"ab\" es una fracción, entonces: \"a\" se le llama numerador.\"b\" se le llama denominador.Recuerda que...Conceptos básicosAdición de números fraccionariosDe igual denominador Para efectuar la suma o adición de dos o más fracciones con igual denominador, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador. Veamos en forma gráfica: 36+26 = 56Ejemplo:• 617 + 517 + 217 = 6 + 5 + 217 = 1317¡Ahora hazlo tú! • 1142 + 942 + 742 =• 2 14+ 3 34 + 14 = De diferente denominador Para efectuar la suma o adición de fracciones de diferente denominador, buscamos transformar lasfracciones a otras equivalentes, de tal forma que todas tengan ahora el mismo denominador.Veamos un ejemplo gráfico: + +↓ ↓ ↓12+14+18