CálcDifRJimenez

TRIGONOMETRíA GRÁFICAS FÓRMULAS MATEMÁTICAS

(x, y) x2 + y2 = 1 Derivadas de funciones algebraicas
senθ = y = y
1 sen x cos x df (x) f (x − h) − f (x)
y 1 0 90 180 270 360 0 90 180 270 360 = lím
dx h→0 h
θ cosθ = x = x
x 1

sen2 θ + cos2 θ = 1 1. d c = 0 2. d x = 1
dx dx

Identidades trigonométricas ( ) ( )3. d cf x = c d f x 4. d vn = nvn−1 d v
0 90 180 270 0 90 180 270 dx dx dx dx
tanθ = senθ tan x cot x
sen2 θ + cos2 θ = 1 cosθ csc x 5. d ⎡⎣ f (x)+ g (x) − h ( x )⎤⎦ = f Ј( x) + gЈ(x) − hЈ( x )
sec x dx
cosθ secθ = 1 0 90 180 270
ctgθ = senθ cosθ 0 90 180 270 d ⎡⎣ (x)⋅ g (x)⎤⎦ (x)gЈ(x) + g(x) fЈ(x)
dx
6. f = f

cscθ = 1 sec2 θ = 1 + tan2 θ 7. d f (x) = g (x) f '(x)− f (x) g'(x)
senθ dx g (x)
senθ = cos(90º −θ ) ( )⎡ ⎤2
csc2 θ = 1 + ctg2 θ ⎦
⎣
cosθ = sen(90º −θ ) tanθ = ctg(90º −θ ) g x

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

FÓRMULAS DE SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS Ley de senos. Los lados de un triángulo son propor- 1. d log log e d u 2. d ln u = 1 d u
cionales a los senos de los ángulos opuestos u= a
( )sen x + y = sen x cos y + cos x sen y dx a u dx dx u dx
( )sen x − y = sen x cos y − cos x sen y a=b=c
( )cos x + y = cos x cos y − sen x sen y sen A sen B senC DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

( )cos x − y = cos x cos y + sen x sen y Ley de cósenos. El coseno de un ángulo es igual a la 1. d au = au ln a d u 2. d eu = eu d u
suma de los cuadrados de los lados que lo forman dx dx dx dx
menos el cuadrado del lado opuesto, todo dividi-
( ) ( )tan x + y = tan x + tan y tan x − y = tan x − tan y do entre dos veces el producto de los lados que lo DERIVADAS DE FUNCIONES
forman TRIGONOMÉTRICAS

1 − tan x tan y 1 + tan x tan y 1. d sen u = cos u d u 2. d cos u = − sen u d u

FÓRMULAS DE ÁNGULOS DOBLES cos A = b2 + c2 − a2 dx dx dx dx
2bc
B

cos 2x = cos2 x − sen2 x = 2 cos2 − 1 = 1 − 2 sen2 x cos B = a2 + c2 − b2 a 3. d tan u = sec2 u d u 4. d ctg u = − csc2 u d u

tan 2x = 2 tan x 2ac c dx dx dx dx
1 − tan2 x
sen 2x = 2 sen x cos x cosC = a2 + b2 − c2 C 5. d sec u = sec u tan u d u
dx dx
Fórmulas de medio ángulo 2ab b

sen2 x = 1 − cos 2x cos2 x = 1 + cos 2x A 6. d csc u = − csc uctgu d u
2 2 dx dx

DERIVADAS DE FUNCIONES INTEGRALES ∫18. du = 1 arctan u + C
TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

1. d arcsen u = 1 u u2 + a2 a a
dx 1 − u2
1. ∫ dx = x + C ∫19. du = 1 ln u − a + C

2. d arccos u = − 1 d u 2. ∫ cdu = c∫ du u2 − a2 2a u + a
dx 1 − u2 dx
3. ∫ (du + dv − dw) = ∫ du + ∫ dv − ∫ dw du 1 ln a + u
3. d arctan u = 1 d u ∫19a. a2 − u2 = 2a a − u +C
dx 1 + u2 dx
undu = un+1 + C, ∫20. du = arcsen u + C
4. d arcctg u = − 1 du ∫4. n+1 n≠1 a2 − u2 a
dx + u2 dx
1

5. d arc sec u = 1 d u 5. ∫ du = ln u + C ( )∫21. du = ln u + u2 ± a2 + C
dx u u2 − 1 dx u u2 ± a2

6. d arc csc u = − 1 d u ∫6. audu = au + C ∫22. a2 − u2 du = u a2 − u2 + a2 arcsen u + C
dx u u2 − 1 dx
ln a 2 2a

Las funciones anteriores también se escriben así: sen−1u , ∫7. eudu = eu + C ∫ ( )23. u2 ± a2 du = u u2 ± a2 ± a2 ln u + u2 ± a2 + C
cos−1 u , tan−1 u , ctg −1u , sec−1 u , etcétera. 22

Geometría 8. ∫ sen udu = − cosu + C INTEGRACIÓN POR PARTES
Círculo 9. ∫ cosudu = sen u + C
Triángulo r Sector de ∫10. sec2 udu = tan u + C ∫ udv = uv − ∫ vdu
círculo ∫11. csc2 udu = − ctg u + C
h P = 2π r ∫12. sec u tan udu = sec u + C Esfera Geometría Cono
b A = π r2 rs ∫13. csc uctgudu = − csc u + C Cilindro
A = 1 bh ∫14. tan udu = ln sec u + C
2 q ∫15. ctg udu = ln sen u + C r hh
r ∫16. sec udu = ln sec u + tan u + C rr
∫17. csc udu = ln csc u − ctg u + C
A = 1 r2θ
2

( )s = θ r rad

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS A = 4π r2 V = π r2h V = 1 π r2h
V = 4 π r3 3
y = sen x ⇒ x = sen−1 y; y = cos x ⇒ x = cos−1 y
3
y = tan x ⇒ x = tan−1 y; y = ctg x ⇒ x = cgt−1 y
y = sec x ⇒ x = sec−1 y; y = csc x ⇒ x = csc−1 y Formulario elaborado por:

René Jiménez

Este título cambia de acuerdo a los T1 • v

CÁLCULO
DIFERENCIAL

René Jiménez

Colegio de Bachilleres

JIMÉNEZ, RENÉ

Cálculo diferencial

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008

ISBN: 978-970-26-1019-9

Área: Matemáticas

Formato: 19 × 23.5 cm Páginas: 152

Editor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: [email protected]

Editora de desarrollo: Claudia Celia Martínez Amigón

Supervisor de Producción: Rodrigo Romero Villalobos

PRIMERA EDICIÓN, 2008

D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco No. 500 – 5° piso
Col. Industrial Atoto
53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031

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por escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del
editor o de sus representantes.

ISBN 10: 970-26-1019-2
ISBN 13: 978-970-26-1019-9

Impreso en México. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – 10 09 08 07

Agradecimiento

Ser maestro es una gran responsabilidad, sin duda dejamos huella en nuestros alumnos
y usted profesor René, dejó esa inquietud en mí: el gusto por las matemáticas; y por
ello, me decidí a estudiar ingeniería.

Al igual que usted, hoy me dedico a la docencia; Dios nos pone en el camino en
donde Él nos necesita y por eso, le doy las gracias por haberlo puesto en el mío.

Gracias por ser un buen maestro, por preocuparse por allegar a sus alumnos de los
conocimientos necesarios para continuar con su camino.

Ex alumna del Colegio de Bachilleres plantel núm. 1 y Tecnológico de Chihuahua

Ing. Lucía Guadalupe Muñoz Calderón
Coordinadora académica
ESFER Salesianos



Contenido

INTRODUCCIÓN IX

UNIDAD 1 LÍMITES Y CONTINUIDAD 1
Introducción 2
Presentación preliminar 3
Límites y continuidad 4
Límite de una variable 6
Límite de una función. Límites laterales 6
Teoremas fundamentales de los límites 8
Límites de funciones polinomiales 9
Límites de funciones racionales 12
Cálculo de límites de funciones especiales
20
(límites infinitos, funciones exponenciales, 26
trigonométricas, etc.,) 31
Continuidad 32
Teorema del valor intermedio
Teorema del valor extremo 35
36
UNIDAD 2 RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA 38
La derivada como razón de cambio 41
Interpretación geométrica de la derivada 43
Diferenciabilidad 48
La velocidad como una razón de cambio 55
Reglas para derivar 59
Regla de la cadena
Regla para derivar un producto

x • Contenido

Regla para derivar un cociente 63
Derivadas de funciones trigonométricas 70
Derivadas de funciones trigonométricas inversas 80
Derivadas de funciones exponenciales 85
Derivadas de funciones logarítmicas 90
Derivadas de funciones implícitas 95
Ecuaciones de la tangente y de la normal 97

UNIDAD 3 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS 105
Aplicaciones de la derivada: valor máximo
106
y valor mínimo 116
Funciones crecientes y decrecientes
Cálculo de máximos y mínimos con el criterio 118
123
de la primera derivada 125
Derivadas de orden superior 128
Aceleración
Concavidad y punto de inflexión 129
Cálculo de máximos y mínimos con el criterio 131
134
de la segunda derivada
Trazado de curvas
Más aplicaciones de la derivada

Prólogo

Aunque este libro fue pensado y diseñado para un curso básico de cálculo diferencial,
cumple, además, con todas las prerrogativas del plan de estudios del Bachillerato ge-
neral. Es un texto de matemáticas en el que se privilegia el valor y la comprensión de
los conceptos, esencia de toda asignatura. Es importante mencionar que los temas se
tratan de acuerdo con cuatro aspectos fundamentales en las matemáticas: el algebraico,
el numérico, el geométrico y el verbal o descriptivo.

El material se divide en tres grandes áreas del cálculo diferencial: los límites, la
derivada y las aplicaciones de ésta. Los límites como un antecedente fundamental en
la comprensión de la derivada, la derivada como una razón de cambio de un proceso o
un fenómeno natural y la importancia de las aplicaciones para resolver problemas que
se presentan en los diversos campos del conocimiento.

A continuación, se mencionan algunas características relevantes:

• Los temas se abordan de una forma clara y precisa para una mejor compren-
sión.

• La estructura didáctica tiene como propósito facilitar la tarea de los estudiantes
y apoyar el trabajo docente.

• El rigor matemático que se aplica no representa ningún obstáculo para que el
estudiante que se inicia en el estudio del Cálculo pueda acercarse enteramente
a éste y comprender del todo los teoremas, justificaciones y métodos emplea-
dos.

• Donde ha sido necesario se han incluido ilustraciones que permiten visualizar,
reflexionar y resolver mejor los ejemplos y ejercicios propuestos.

• Se ha procurado equilibrar la teoría del Cálculo con sus aplicaciones a fin de
que el estudiante constate la importancia que tiene el Cálculo en la solución
de problemas.

Finalmente, quiero agradecer a todas aquellas personas que me animaron y apo-
yaron para que este proyecto fuese posible, especialmente quiero mencionar a mis
compañeros profesores y alumnos, porque es de ellos de quien más he aprendido. Y a
quienes dediquen un poco de su tiempo a la lectura y reflexión del Cálculo: gracias.

René Jiménez



UNIDAD

1

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Introducción 2
Presentación preliminar 3
Límites y continuidad 4
Límite de una variable 6
Límite de una función. Límites laterales 6
Teoremas fundamentales de los límites 8
Límites de funciones polinomiales 9
Límites de funciones racionales 12
Cálculo de límites de funciones especiales (límites infinitos,
funciones exponenciales, trigonométricas, etc.) 20
Continuidad 26
Teorema del valor intermedio 31
Teorema del valor extremo 32

1

2 • UNIDAD 1 Límites y continuidad

INTRODUCCIÓN

¿Qué es el cálculo?

Para los romanos en tiempos del Imperio el calculus era una pequeña piedra utiliza-
da para contar y para apostar; en la actualidad, significa lo mismo en el lenguaje colo-
quial médico.

Siglos más tarde, calculare significaba calcular, contar o resolver. En la era moderna,
en todos los campos del conocimiento la palabra cálculo denota una reformulación de
las matemáticas elementales potenciadas con el concepto de límites; en otras palabras,
el cálculo toma las ideas fundamentales de la matemática elemental y las extrapola a
situaciones más generales. Veamos algunos ejemplos en la tabla siguiente.

Matemática elemental Cálculo Matemática elemental Cálculo

Pendiente de una recta Pendiente de una curva Movimiento a lo largo de Movimiento a lo largo de
y=mx+b y=f(x) una recta con velocidad una curva con velocidad
constante variable

Recta tangente a una Recta tangente a una Volumen de un sólido Volumen de un sólido
circunferencia curva más general rectangular limitado por una
superficie curva
Velocidad media Velocidad instantánea

Aceleración media Aceleración instantánea

Área de una región limitada Área de una región limitada Área de la superficie Área de la superficie de un
por segmentos rectilíneos por curvas de un cilindro sólido más general

Longitud de un segmento Longitud de una curva Plano tangente a una Plano tangente a una
de recta esfera superficie más general
Suma de una colección
Suma de una colección infinita de números Centro de una esfera Centro de gravedad de
finita de números un sólido más general
a1 + a2 + ⋅⋅⋅ + an + ⋅⋅⋅
a1 + a 2 + ... + a n

Presentación preliminar • 3

PRESENTACIÓN PRELIMINAR

El concepto de límite ha sido parte fundamental en el desarrollo del cálculo y, en tér-
minos generales, de toda la estructura matemática; para comprenderlo será necesario
abrir nuestra mente y hacer uso del razonamiento.

Por ejemplo, al estirar un cable hasta romperlo, se dice que éste sobrepasó su límite
de resistencia; si no hubiera fuerza de fricción, un péndulo seguiría oscilando y su mo-
vimiento no tendría fin; un globo se revienta cuando alcanza el límite de su capacidad,
etcétera.

A1 Hace por lo menos 2 500 años que surgió el cálculo; los
antiguos griegos hallaban áreas mediante el “método del
A2 A5 agotamiento”. Esta técnica consistía en dividir el área A de
A3 A4 un polígono en varios triángulos, y luego sumar las áreas
de estos triángulos. La figura 1 nos muestra el método.

A= A +A +A +A +A
12345

Figura 1

Sin lugar a dudas, era mucho más difícil obtener el área de una figura curva.
En este caso, el método del agotamiento consistía en inscribir y circunscribir polígo-
nos en torno a la figura y a continuación hacer que el número de lados de los polí-
gonos aumentara. La figura 2 nos muestra el método en el caso de un círculo, con
polígonos regulares inscritos.

A1 A2 A3 A4 A5
Figura 2

4 • UNIDAD 1 Límites y continuidad

Llamemos A el área del círculo y A el área del polígono inscrito con n lados. Al
n

aumentar n de manera indefinida, parece que A se aproxima cada vez más al área
n

del círculo. Decimos que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos
inscritos y escribimos

A = lím An

n→∞

Es conveniente aclarar que los griegos no aplicaron explícitamente los límites.

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Para comprender mejor el concepto de límite en matemáticas, analicemos el siguiente

experimento. El triángulo de la figura 1 es equilátero y las figuras sucesivas son réplicas

de éste, sólo que trazamos a partir de los puntos medios triángulos equiláteros inverti-

dos, pero aumentamos cada vez más el número de ellos. El resultado es el triángulo de

Sierpinski, un ejemplo de fractal.

Supongamos que A = 1 y enseguida calculemos el valor de a , a , y a etcétera:
12 3

a1 = 1 ? ?
4 a2 = a3 =
a2
a
3

A=1 a1

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Si siguiéramos trazando triángulos de manera indefinida y en la última figura suma-

mos todas las áreas sombreadas a con todas las áreas a y así sucesivamente hasta a
12 n
( )en donde n es un número muy grande, es decir que n tiende hacia el infinito n → ∞ en
lenguaje simbólico esta idea se escribe así;

∞
∑a = a + a +⋅⋅⋅+ a
n 12 n

n=1

y se lee ‘’la suma de todas las a subíndice n desde n = 1 hasta n = ∞. Con todo esto
sería pertinente formular las siguientes preguntas.

Límites y continuidad • 5

( )1. ¿Hacia dónde tiende el valor de a cuando n tiende al infinito n → ∞ ?
n
Respuesta

∞
∑2. ¿Cuál es el valor aproximado de a = a + a + ⋅ ⋅ ⋅ + a ?
n 12 n

n=1

Respuesta

∞

∑3. ¿Cuál es el límite del valor de la diferencia A − a ?
n
n=1

Respuesta

Por cierto, esta última idea se escribe de la siguiente manera;

n

∑lím

n→∞
A − ak

k =1

n

y se lee “el límite del valor absoluto de la diferencia A − ∑ a cuando n tiende al
k
infinito”.
k=1

Analiza la tabla siguiente para confirmar tus respuestas a las preguntas 1, 2 y 3
anteriores.

n1 2 3 45n
1⋅1 = 1
an 1 4 4 16 1 111
4 64 256 1024 22n

6 • UNIDAD 1 Límites y continuidad

Todo lo antes dicho nos enseña que:

1. Cuando n tiende al infinito, an tiende a casi cero como límite, esto se escribe así:

lím an = 0

n→∞

pero evidentemente a nunca llega a ser cero.
n

∞
∑2. Cuando n tiende al infinito, a = a + a + ⋅ ⋅ ⋅ + a tiende a 1 como límite, es
decir: n 12 n

n=1

n

∑lím ak = lním→∞(a1 + a2 + ⋅⋅⋅ + an ) = 1

n→∞
k =1

∞

∑3. Cuando n tiende al infinito, A − a tiende a cero como límite, es decir:
n
n=1

n

∑lím

n→∞
A − ak = 0

k =1

LÍMITE DE UNA VARIABLE

En general, si A es el área del triángulo inicial y ∑ a es la suma de las áreas de los
n
pequeñísimos triángulos que se forman cuando n → ∞ es fácil concluir que la diferencia

A − ∑ a llega a ser menor que cualquier número positivo pensado de antemano y se
n

llama límite de una variable.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
LÍMITES LATERALES

( )Para calcular y comprender el límite de una función, consideremos la función f x

definida por la ecuación:
f (x) = x3 − 1 , x ≠ 1
x−1

es claro que x ≠ 1 porque la función no está definida para este valor. Enseguida in-
vestigaremos valores de la función cuando x esté muy próximo a 1 por la izquierda y

Límite de una función. Límites laterales • 7

por la derecha, es decir, menores y mayores que 1 pero lo más cercanos posible a éste.

( )A esto se le conoce como límite por la izquierda y límite por la derecha de f x y se

representan de la siguiente manera

Límite por la izquierda Límite por la derecha

( )lím fx = L1, x<a ( )lím f x = L2 , x>a

x→a− x→a+

( )Cuando L y L coinciden, se dice que el límite de f x cuando x tiende hacia a es
12

L, y sólo se escribe así:

lím f (x) = L

x→a

( )En la tabla siguiente ilustramos lo que esto significa. Para una total comprensión te

sugerimos que calcules los valores de f x para los valores dados de x:

x se acerca mucho a 1 por la izquierda x se acerca mucho a 1 por la derecha

x –2 –0.5 0 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.5 2
f(x)
?

hacia dónde se acerca f(x) ? hacia dónde se acerca f(x) ?

( )Al comparar ambos lados vemos que f x se aproxima a 3 a medida que x se

aproxima a 1 por la izquierda o por la derecha.

Lo que nos enseña este experimento es que cuando el límite por la izquierda es
igual que el límite por la derecha se dice que el límite existe, es decir, en notación sim-
bólica.

lím f (x) = 3 ) )( (lím f x = 3, por lo tanto, escribimos lím f x = 3
x→1− x→1+ x→1

Para comprender la solución algebraica de este ejemplo conviene recordar que una
resta y una suma de cubos se factorizan respectivamente de la siguiente manera:

( )( )a3 − b3 = a − b a2 + ab + b2
( )( )a3 + b3 = a + b a2 − ab + b2

8 • UNIDAD 1 Límites y continuidad

Si utilizamos una técnica algebraica, el límite f (x) = x3 − 1 , x≠1
anterior puede calcularse de la siguiente manera: x−1

y

lím x3 − 1 = lím (x − 1)(x2 + x + 1) 7
x→1 x − 1 x→1 x−1 6
5
( )= lím x2 + x + 1 4
x →1 3
2
= 12 + 1 + 1 = 3

El experimento se puede apreciar gráficamente 1

en la ilustración mostrada a la derecha. El espacio x

( )vacío de f x cuando x = 1 significa que la función –3 –2 –1 12 3

no está definida en ese punto.

En general, el análisis anterior nos conduce a la siguiente definición:

Si f (x) se aproxima de manera arbitraria a un número L cuando x se aproxi-
ma a a por la izquierda y por la derecha, decimos que el límite f (x) cuando x
tiende a a es L y escribiremos:

lím f (x) = L

x →a

( )Debemos observar que no es necesario que f x esté definido cuando x = a

para que exista el límite, lo que importa es cómo está definida f cerca de a

TEOREMAS FUNDAMENTALES

DE LOS LÍMITES

Reglas básicas de los límites

Suponer que lím f (x) = L1 y que lím g(x) = L2. Entonces,

x→a x→a

1. lím ⎣⎡c ⋅ f (x)⎤⎦ = c ⋅ lím f (x) = c ⋅ L1

x→a x→a

2. lím ⎣⎡ f (x) ± g(x)⎦⎤ = lím f (x) ± lím g(x) = L1 ± L2
x→a
x→a x→a

Límites de funciones polinomiales • 9

3. lím ⎣⎡ f (x) ⋅ g(x)⎦⎤ = lím f (x) ⋅ lím g(x) = L1 ⋅ L2
x→a
x→a x→a

4. f (x) = lím f (x) = L1 ; L2 ≠ 0

lím x→a

x→a g(x) lím g(x) L2
x→a

5. lím f (x) = f (a)
x→a

Las reglas anteriores pueden expresarse como sigue:

1. El límite de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada
por el límite de la función.

2. El límite de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de los
límites.

3. El límite de un producto es el producto de los límites.
4. El límite de un cociente es el cociente de los límites.

( ) ( )5. El límite de f x cuando x tiende hacia a es f a .

LÍMITES DE FUNCIONES POLINOMIALES

( )Veamos cómo es el comportamiento de la función f x = x2 − x + 2 para valores muy

cercanos a 2, e investiguemos si ésta tiende a un límite. La tabla adjunta nos muestra
los cálculos para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2.

y f(x)=x2–x+2 x tiende f (x) x tiende f (x)
f(x) tiende a 4 4 a 2 por la a 2 por la
izquierda 2.750000 derecha 5.750000
02 x 3.440000 4.640000
1.5 3.710000 2.5 4.310000
1.8 3.852500 2.2 4.152500
1.9 3.970100 2.1 4.030100
1.95 3.985025 2.05 4.015025
1.99 3.997001 2.01 4.003001
1.995 2.005
1.999 2.001

Cuando x tiende a 2

10 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

( )A partir de la tabla y de la gráfica de f x que se muestran en la figura anterior
( )es fácil darse cuenta de que cuando x se acerca a 2 por la izquierda o por la derecha,

f x se aproxima al 4 como límite.

Solución analítica

( )De manera algebraica y si utilizamos la regla 5, el límite de f x = x2 − x + 2 cuando x

tiende a 2 puede expresarse y calcularse de la siguiente manera:

( ) ( )lím x2 − x + 2 = f 2 = 22 − 2 + 2 = 4

x→2

Observa que cuando una función está definida para un valor específico de x en su

( )gráfica el punto ⎣⎡x, f x ⎤ marca con un círculo relleno.
⎦

EJERCICIOS

Calcula los siguientes límites tabulando los valores de la función cerca del punto que se
indica y verifica tus resultados mediante la regla 5. Marca el límite con un punto.

( )1. lím x2 − 2 = R. 2
x→2
Derecha
y Izquierda x f (x)
f(x)=x2–2 x f (x) 2.5
2.2
1.5 2.05
2.01
1.9 2.005
2.001
1.95

02 x 1.99
1.995

1.999

Cuando x tiende a 2,
¿hacia dónde tiende f(x)?

Límites de funciones polinominales • 11

2. lím (x + 2) = Izquierda Derecha
x→−3 x f(x) x f(x)

( )3. lím x2 − x − 2 = Izquierda R. − 2
x→1 x f(x)
Derecha
( )4. lím x3 − x + 2 = x f(x)
x→0

Izquierda Derecha
x f(x) x f(x)

12 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES

Solución analítica y
Ejemplo 1. Calcular lím 2x + 3 mediante la regla 5.

x→−3 3x − 4
2

Solución:

lím 2x + 3 = f ⎛ − 3⎞ , porque f está
x→−3 3x − 4 ⎜⎝ 2 ⎠⎟
2
f(x) tiende a 0
definida en x = − 3 entonces 3 0 x
– 2

2 x tiende a – 3

2

( )lím 2x + 3 = 2− 3 +3
2 =0

( )x→−3 3x − 43 − 3 −4
2 2

Ejemplo 2. Hallar lím 6x − 3 mediante Una función racional es de la forma
x→−1 2x − 4
la regla 5.

Solución: r ( x) = p(x) ; q(x) ≠ 0
q(x)
lím 6x − 3 = f (−1)
donde p y q son polinomios
x→−1 2x − 4

( )lím 6 −1 −3
6x − 3 = = 3

( )x→−1 2x − 4 2 −1 − 4 2

Ejemplo 3. Encuentra el valor de lím x − 1
x→1 x2 − 1

( )Solución: Observa que la función f x = x − 1 no está definida para x = 1 sin embargo,
x2 − 1
recuerda que la definición de límite nos dice que se consideren valores cercanos a 1 por
la izquierda y por la derecha y si en ambos casos el límite es el mismo, entonces éste
existe. Con base en los valores de las tablas adjuntas conjeturamos que;

Límites de funciones racionales • 13

y x <1 f(x) x >1 f(x)

0.5 0.5 0.666667 1.5 0.40000
01
lím x−1 = 0.5 0.9 0.526316 1.1 0.476190
x2 − 1
x→1

0.99 0.502513 1.01 0.497512

0.999 0.500250 1.001 0.499750

x 0.9999 0.500025 1.0001 0.499975

Solución analítica:

x−1 = lím x−1
x2 − 1 x+1 x−1
lím x→1 Recuerda que la diferencia de dos
cuadrados se factoriza así:
( )( )x→1
( )( )a2 − b2 = a + b a − b
= lím 1 = 1 = 1 = 0.5
x→1 x + 1 1 + 1 2

Ejemplo 4. Encuentra el valor de lím x2 − x − 12
x→−3 x + 3

Solución: Como x no está definida para –3 entonces, si se observa la expresión, es fácil
darse cuenta de que el numerador puede factorizarse y obtener el límite

lím x2 − x − 12 = lím (x + 3)(x − 4)
x→−3 x + 3 x→−3 x+3

= lím (x − 4)
x→−3

= −3 − 4 = −7

Un trinomio como x2 − x − 12 es de la forma x2 + bx + c y puede factorizarse al

( )( )multiplicar los binomios x + m x + n donde

m+n=b
mn = c

14 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

Por lo tanto, en x2 − x − 12; b = −1; c = −12; luego, dos números que sumados resul-
ten –1 y multiplicados –12; son 3 y –4 que son m y n respectivamente.

( )( )x2 − x − 12 = x + 3 x − 4

EJERCICIOS
Calcula los siguientes límites graficando y tabulando donde se te indica.

1. lím x2 x −1 1 R. − 1
− 2x + 2
x→−1

Izquierda Derecha
x < –1 f(x) x >–1 f(x)

2. lím x2 − 1
x→−1 x + 1

Izquierda Derecha
x < –3 f(x) x >–3 f(x)

3. lím x2 − 1 Límites de funciones racionales • 15
x→−2 x + 1
R. − 3
4. lím x2 − 4
x→−2 x + 2 Grafica la función
en computadora
5. lím x2 − 9
x→−3 x + 3 y pégala aquí.

Grafica la función
en computadora

y pégala aquí.

Izquierda R. − 6
x < –3 f(x)
Derecha
x >–3 f(x)

16 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

6. lím x2 + 5x − 4
x2 − 3x − 4
x→−1

7. lím x2 + 4x + 3 Grafica la función
x→−3 x + 3 en computadora

8. lím x2 − 4 y pégala aquí.
x→2 x4 − 16
R. − 2

Grafica la función
en computadora

y pégala aquí.

Grafica la función
en computadora

y pégala aquí.

9. lím x2 + 6x + 9 Límites de funciones racionales • 17
x2 − 9
x→−3 R. 0

Grafica la función
en computadora

y pégala aquí.

10. lím x2 + x − 12
x→−4 x2 + 6x + 8

Grafica la función
en computadora

y pégala aquí.

Cálculo de límites de funciones que se tienen que racionalizar

EJEMPLO 1. Determinar lím x − 1
x→1 x − 1

Solución: Si utilizamos la regla 5 de los teoremas de límites es evidente que x no está
definida para 1, pero para evitar la indeterminación se racionaliza el numerador de la
siguiente manera:

lím x − 1 = lím x − 1 x + 1
x→1 x − 1 x→1 x − 1 x + 1

x−1
( )( )= lím
x→1 x − 1 x + 1

= lím 1 = 1 = 1
x→1 x + 1 1 + 1 2

18 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

Racionalización. Es el proceso mediante el cual transformamos una fracción que
tiene un numerador o denominador irracional en una fracción equivalente con
numerador o denominador racional según convenga. Este proceso se lleva a cabo
con tan sólo multiplicar la fracción por la unidad.

1 = 1 2= 2
2 22 2

Cuando la cantidad que se va a racionalizar es un binomio, se multiplica y divide
por su conjugado.

( )( )x − 1 x + 1 = x − 1 = 1

x−1 x +1 x−1 x −1 x +1

EJEMPLO 2. Calcular lím x y bosquejar su gráfica.
x →0 x+1−1

Solución: Como la función no está definida para x = 0 racionalizamos el denomi-
nador

lím x = lím x x +1+1 y

x→0 x + 1 − 1 x→0 x + 1 − 1 x + 1 + 1

= lím ( )x x + 1 + 1 x
x →0
x+1−1
= lím
x →0 ( )x x + 1 + 1

x

( )lím x + 1 + 1 = 0 + 1 + 1 = 2

x→0

( )La gráfica de f x = x se muestra en la figura y puede obtenerse con un

x+1−1

programa para graficar o bien si se tabulan los valores en su ecuación.

Límites de funciones racionales • 19

EJERCICIOS
Probar cada uno de los siguientes límites.

1. lím x − 2 = 1
x→4 x − 4 4

2. lím x − 2 = 1
x→2 x − 2 22

3. lím x + 1 − 1 = 1
x→0 x 2

20 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

4. lím x = −2
x→0 1 − x − 1

CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES

ESPECIALES

EJEMPLO 1. Determinar lím 1 mediante tabulación y gráfica
x→0 x

y
x < 0 f(x) x > 0 f(x)

– 0.100000 –10 0+ +ϱ

– 0.010000 –100 0.000001 1000000

– 0.001000 –1000 0.000010 100000

x – 0.000100 – 10000 0.000100 10000

– 0.000010 – 100000 0.001000 1000

– 0.000001 – 1000000 0.010000 100
0- 0.100000 10
–ϱ

( )Conforme x → 0; f x = 1 tiende hacia −∞ por la izquierda y hacia +∞ por la
( )x lím 1
tienden a un número; por lo tanto, x→0 x
derecha, de modo que los valores de f x

no existe.

El símbolo ∞ significa que estamos hablando de un número muy grande respecto

de otro.

Cálculo de límites de funciones especiales • 21

EJEMPLO 2. Encuentra lím 1 y x _1_
x2
x→0 y= 1 x2

Solución: Con la tabla y la gráfica x2 Ϯ1 1
es fácil conjeturar que
Ϯ0.5 4

lím 1 no existe Ϯ0.2 25
xx→0 2
Ϯ0.1 100

Ϯ0.05 400

Ϯ0.01 10 000

x Ϯ0.001 1 000 000

EJEMPLO 3. Encuentra lím ⎛ x3 + cos 5x ⎞
⎜⎝ 10 000 ⎟⎠
x→0

Solución: Mediante la regla 5 es fácil encontrar la solución

( )lím

x→0
⎛ x3 + cos 5x ⎞ = 03 + cos 5 0 = 1 = 0.0001
⎜⎝ 10 000 ⎟⎠ 10 000 10 000

EJEMPLO 4. Encuentra lím 2x2 − 3x + 4 = 2
x→∞ 3x2 − 2x − 5 3

Si usamos la regla 5

lím 2x2 − 3x + 4 = ∞
3x2 − 2x − 5
x→∞

Entonces, para evitar la indeterminación se divide cada término del numerador
y del denominador entre la potencia más grande de x que es x2. Aquí te decimos

cómo:

2x2 − 3x + 4 2x2 − 3x + 4
x2 x2 x2
lím = lím
x→∞ 3x2 − 2x − 5 x→∞ 3x2 2x 5
x2 − x2 − x2

2 − 3 + 4 =2
x x2
= lím
x→∞ 2 5 3
3 − x − x2

22 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

EJEMPLO 5. Probar que si, f (x) = 2x2 − 4x entonces lím f (x + h) − f (x) = 4x − 4
h→0 h
( )Primero busquemos f x + h ;

( ) ( ) ( )2

f x+h =2 x+h −4 x+h

= 2x2 + 4xh + 2h2 − 4x − 4h

( ) ( )Enseguida restamos f x de f x + h ;

( ) ( ) ( )f x + h − f x = 2x2 + 4xh + 2h2 − 4x − 4h − 2x2 − 4x

= 4xh + 2h2 − 4h

= h(4x + 2h − 4)

por lo tanto,

) )( (lím
f (x + h) − f (x) h 4x + 2h − 4 = lím 4x + 2h − 4 = 4x − 4
= lím
h→0 h h→0 h h→0

EJERCICIOS

1. Determinar lím 1 por medio de tabulación y gráfica
x→∞ x

y

x f(x)

x

Cálculo de límites de funciones especiales • 23

1
x−1 2
( )2. por medio de tabulación y gráfica
Encuentra lím
x→1

y x f(x)

1x

3. Hallar lím ⎛ sen 3x ⎞ Recuerda que π = 1800 R. − 1
2 ⎠⎟
x→π ⎜⎝

4. Hallar lím sen x Recuerda que π = 1800. Sugerencia: sustituye tan x por sen x.
x→0 tan x cos x

24 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

5. Hallar lím sen x . Sugerencia: sustituye tan x por sen x
x→π tan x cos x

⎛ 1 ⎞ x
x ⎟⎠
6. Por medio de tabulación encuentra lím ⎝⎜ 1 +

x→∞

x (1+ –x1–) (1+ –1x–)x y
(0,1)
1 2.00000 2.00000
5
10 x
100 x
1,000
10,000
100,000
1,000,000
10,000,000

x
7. Investiga por medio de tabulación y gráfica si existe lím .

x→0 x

y

x f(x)

Cálculo de límites de funciones especiales • 25

8. Demostrar que lím 3x3 + 2x2 − 5 = 3
5x3 − 3x + 2 5
x→∞

9. Demostrar que lím 3x2 + 2x − 5 = 3
2x2 − 3x + 2 2
x→∞

f (x + h)− f (x) R. 3

Ejercicios 10-12. Determina para cada función, lím
h→0 h

( )10. f x = 3x − 2

26 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

( )11. f x = x2 − 2x + 3

( )12. f x = 3 − 6
2x − 3 2x − 3 2
)(R.

CONTINUIDAD

En matemáticas, el término continuidad significa lo mismo que en el lenguaje cotidiano.
Decir que una función f es continua en x = a debe de entenderse como que su gráfica
no sufre interrupción en a que ni se rompe ni tiene saltos o huecos. Por ejemplo, en la
figura siguiente se muestran tres valores de x en los que la función no es continua.

En los demás puntos del intervalo (A, B) la gráfica no se interrumpe y decimos que
la función es continua en ellos. Por lo tanto, definamos la continuidad de una función
f como sigue:

Continuidad • 27

Continuidad en un punto: Una función se dice continua en a si se verifican las
siguientes condiciones

1. f (a) está definido. y

2. lím f (x) existe. f(x) no está definido
x →a f(x) tiene un salto

3. lím f (x) = f (a).
x →a

lím f(x)no coincide
A Bx

Continuidad en un intervalo abierto: Una función f se dice continua en un inter-

( )valo A,B si es continua en todo número del intervalo.

Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo, la velocidad de un móvil
o la estatura de una persona varían de forma continua con el tiempo, pero en realidad
se presentan discontinuidades como en las corrientes eléctricas o en el desplazamiento
de la luz.

EJEMPLO 1. Verificar si la función f (x) = 1 es continua en el intervalo 0 < x < 1
x

Solución:

( )f x está definida en el intervalo y

lím f (x) existe en el intervalo 0 1 x

x →a

lím f (x) = f (a) en el intervalo

x →a

Si trazamos la gráfica vemos que la función cumple las condiciones de
continuidad en el intervalo 0 < x < 1.

Es importante observar que la función en x = 0 no está definida y como
vimos antes el límite ahí no existe cuando x tiende a cero; por lo tanto, la
función en ese punto no es continua.

Indica en qué punto son discontinuas y dibuja su gráfica.

28 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

EJEMPLO 2. Determina si cada una de las siguientes funciones son continuas; en caso
contrario escribe los puntos de discontinuidad

a) f (x) = x2 − 1 b) g(x) = 1 c) h(x) = ⎣⎡⎣⎡x⎦⎤⎦⎤
x−1 x2

a) Solución: y
En la ecuación de la función es evidente que no esté de-

( )finida para f 1 ; por lo tanto, no es continua en el punto
( )1, 2 . Aquí te mostramos su gráfica.

01 x

b) Solución: y
En este caso la ecuación de la función tampoco está defi-

( ) )(nida para f 0 y además lím f x no existe; por lo tanto,
x→0

la función no es continua en x = 0 .

c) Solución: x
x
La función h(x) = ⎡⎣⎡⎣x⎤⎦⎦⎤ se llama mayor entero y tiene y

discontinuidades en todos los enteros porque lím ⎣⎡ ⎡⎣ x ⎦⎤ ⎦⎤

x→n
no existe; por lo tanto, la función no es continua si n es

un entero.

EJEMPLO 3. Con la ayuda de la gráfica adjunta determina cada uno de los límites
siguientes

a) lím f (x) b) lím f (x) c) lím f (x)
x→2− x→2+ x→2

Solución: Continuidad • 29

a) lím f (x) = 2 y
x→2− 2x

b) lím f (x) = 1
x→2+

c) lím f (x) = −2
x→2

EJERCICIOS

1. Usa la gráfica y escribe los puntos de discontinuidad de cada una de ellas (si los hay).

a) f (x) = − x3 y b) f (x) = x2 − 1 y
2 x

x x

c) f (x) = x2 − 1 y d) En f (x) = 1 − x2 escribe su intervalo de conti-
x+1 nuidad.

y
x

–1 1 x

30 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

2. Determina si cada una de las siguientes funciones son continuas; en caso con-
trario indica en qué punto son discontinuas. Dibuja su gráfica.

a) f (x) = 1 − x2 b) g(x) = 1 c) h(x) = ⎡⎣⎡⎣x⎦⎤⎦⎤
1+ x x−1

3. En un lote de estacionamiento se cobran $30 Costo
por la primera hora (o fracción) y $15 por cada 90
hora (o fracción) subsiguiente, hasta un máximo 60
de $90. Grafica el costo de estacionar un auto-
móvil, como función del tiempo que permanez-
ca aquí.

30

0 1 2 3 4 tiempo

4. Con ayuda de las gráficas adjuntas determina cada uno de los límites pedidos

a) lím f (x) = )(y a) lím f x = y
x→2− x → −1−
b) lím f (x) = –1 x
b) lím f (x) = 2 x x→−1+ y=f (x)
x→2+ ( )y=f (x) c) lím f x =
x → −1
c) lím f (x) =
x→2

Teorema del valor intermedio • 31

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

Una función continua sobre un intervalo no se salta, ni deja huecos, ni se interrum-
pe en ningún valor y como consecuencia, su gráfica es una curva de un sólo trazo.
Éste es el fundamento del teorema de los valores intermedios.

( )Teorema del valor intermedio. Si y = f x es una función continua sobre el inter-
( ) ( )valo ⎡⎣a, b⎤⎦ y N es cualquier número estrictamente entre f a y f b Entonces,
( ) ( )por necesidad, existirá un número c entre a, b que cumpla que f c = N

y y y=f (x)
y=f (x) f (b)

f (b)

f(c)=N f(c)=N
f(a) f(a)

a cb x a c1 c2 b x

( ) ( )Este teorema afirma que una función continua toma todos los valores intermedios

entre los valores de la función f a y f b Observa que el valor N se puede tomar
una sola vez como en la gráfica de la izquierda o varias veces como en la gráfica de la
derecha.

Un uso de este teorema es hallar las raíces de ecuaciones, pero debido al desarrollo
tecnológico de las calculadoras y las computadoras graficadoras, ya casi no se utiliza;
sin embargo, el teorema del valor intermedio desempeña una función importante en
estas máquinas ya que una computadora cuando grafica, calcula un número finito de
puntos de la gráfica y hace aparecer los píxeles que contienen estos puntos calculados.
Supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos pun-
tos consecutivos. Luego, la computadora une los píxeles al hacer aparecer los píxeles
intermedios.

EJEMPLO. Aplica el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz

( )de la ecuación x3 − 3x + 1 = 0 en el intervalo 0,1 .

32 • U N I D A D 1 Límites y continuidad

Solución: *

Estamos buscando un valor de c que este entre 0 y 1 que x=0.347

( )sea solución de x3 − 3x + 1 = 0 es decir que f c = 0. Por lo

tanto, en el teorema anterior a = 0 b = 1 y N = 0 .

( ) ( )f 0 = 03 − 3 0 + 1 = 1 > 0
( ) ( ) ( )3

f 1 = 1 − 3 1 + 1 = −1 < 0

( ) ( )Esto significa que N = 0 es un número entre f 0 y f 1 , es decir que la ecuación
( )tiene por lo menos una raíz en el intervalo 0,1 y si aplicamos de nuevo el teorema

para precisar más el valor de la raíz tenemos, por ejemplo, que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3

f 0.3 = 0.3 − 3 0.3 + 1 = 0.127 > 0 y f 0.4 = 0.4 − 3 0.4 + 1 = −0.136 < 0

3

0.35 − 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f
0.34 = 3 0.34 + 1 = 0.0193 > 0 yf 0.35 = 0.35 + 1 = −0.007 < 0

0.34 − 3

( )Significa que una raíz debe estar en el intervalo 0.34, 0.35 , de hecho, una compu-

tadora nos da el valor 0.3473. Vea la gráfica.

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO

Hasta ahora hemos visto que las funciones pueden crecer o disminuir de valor en fun-
ción de su gráfica. En el teorema siguiente se dan las condiciones que nos garantizan
que una función tenga valores extremos.

( )Teorema del valor extremo. Si y = f x es una función continua y está acotada en
( )el intervalo ⎣⎡a, b⎦⎤, entonces f x alcanza un valor máximo M y un valor mínimo

m en el intervalo.

y

m M
a bx

Teorema del valor extremo • 33

Es conveniente observar que cuando se omite cualquiera de las dos condiciones;
continuidad o intervalo cerrado la función no tiene que poseer valores extremos.

yy

x x

Esta función tiene un mínimo Esta función no tiene ni mínimo
de f(1)=1 pero no tiene valor ni máximo, es continua pero no
máximo, no es continua. tiene cerrado el intervalo.

La primera función de la figura anterior, está definida en el intervalo cerrado ⎡⎣1, 5⎦⎤
pero falla la continuidad, fíjate que no tiene máximo, la función toma valores arbitra-
rios cerca de 7 pero nunca alcanza dicho valor. La gráfica de la derecha en la misma

( )figura tiene continuidad en el intervalo abierto 0, 4 pero no tiene valor máximo ni

mínimo.
Por ahora quisimos adelantarnos sólo sobre las condiciones que debe tener una fun-

ción para poseer valores extremos. Sin embargo, en secciones posteriores abordaremos
este teorema con más calma y profundidad, así como su utilidad práctica.



UNIDAD

2

RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA

La derivada como razón de cambio 36

Interpretación geométrica de la derivada 38

Diferenciabilidad 41

La velocidad como una razón de cambio 43

Reglas para derivar 48

Regla de la cadena 55

Regla para derivar un producto 59

Regla para derivar un cociente 63

Derivadas de funciones trigonométricas 70

Derivadas de funciones trigonométricas inversas 80

Derivadas de funciones exponenciales 85

Derivadas de funciones logarítmicas 90

Derivadas de funciones implícitas 95

Ecuaciones de la tangente y de la normal 97 35

36 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

Si, en y = f (x) calculamos:

lím f (x + h) − f (x)
∆x→0 h

lo que estamos encontrando por definición es la derivada de la función y = f (x).

Por convención y para fines prácticos emplearemos el símbolo dy para denotar
dx
dicho límite.

Por lo tanto, decimos que si y = f (x) su derivada es dy = lím f (x + h) − f (x)
;
dx ∆x→0 h

y se lee “la derivada de y con respecto a x”. Es importante aclarar que dicha expresión

no debe verse como una fracción sino como lo que es: “un límite” o un operador diferen-

cial que nos está indicando una razón de cambio de una variable dependiente, con

respecto de otra independiente, x. y', f '(x), df (x), D
Algunos otros símbolos para indicar la derivada son: dx x

EJEMPLO
Si, f (x) = x2 − 2x hallar su derivada

Primero encontramos f (x + h)

f (x + h) = (x + h)2 − 2(x + h)
= x2 + 2xh + h2 − 2x − 2h

luego restamos f (x)

( )f (x + h) − f x = x2 + 2xh + h2 − 2x − 2h

−x2 + 2x

2xh + h2 − 2h

dividimos entre h; por lo tanto,

f (x + h) − f (x) = 2xh + h2 − 2h
hh
= h(2x + h − 2)
h
= 2x + h − 2

La derivada como razón de cambio • 37

por último calculamos el límite que estamos buscando y es precisamente la derivada

( )lím f (x + h) − f (x) = lím 2x + h − 2 , entonces
h→0 h h→0

df (x) = 2x − 2 , que se lee “la derivada de f (x) con respecto a x es 2x − 2”.
dx

EJERCICIOS
En cada una de las funciones siguientes encuentra su derivada.

1. f (x) = 2 − 3x R. − 3 2. f (x) = 1 − x2

3. s = t 3 − 12 R. 3t 2 4. y = x − 4

38 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

5. f (x) = 1 R. − 1
x−1
( )2

x−1

6. f (x) = x + 1 7. y = (x − 2)2 R. 2x − 4

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

DE LA DERIVADA

La línea tangente

El concepto de límite proporciona el modo de alcanzar la mejor descripción de línea
tangente.

En la figura sea P un punto fijo y Q un punto móvil próximo a P. Observa que la
recta secante que pasa por P y Q, tiene como posición límite la recta tangente en P
cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva.

Interpretación geométrica de la derivada • 39

También vemos que la pendiente de la secante es m = f (x + h) − f (x) .
sec h

recta secante

Q(x+h, f(x+h))

posición posición
límite límite

P(x, f(x)) P(x, f(x)) recta secante
Q(x-h, f(x-h))
h
h

x x-h
x+h x

En consecuencia, la línea tangente es la recta que pasa por P con pendiente m
t an

que satisface

mt a n = lím ( ms e c ) = lím f (x + h) − f (x) = df (x)
h dx
h→0 h→0

Definición. Se dice que la derivada de una función y = f (x) desde el punto de vista
geométrico es la pendiente de la recta tangente a f (x) en un punto dado P (x, y):

dy = m
dx

EJEMPLO

Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la f (x) = x2 − 1 en el punto
P(2,3).

Primero calcula: y

f (x + h) − f (x) = (x + h)2 − 1 − (x2 − 1) P(2, 3)
hh
= x2 + 2xh + (h)2 − 1 − x2 + 1 x
h
= h(2x + h) = 2x + h y =4x-5
h