CálcDifRJimenez

40 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

luego, mt a n = lím f (x + h) − f (x) = lím (2x + h) = 2x
h ∆x→0
∆x→0

por lo tanto, m = 2x en cualquier punto; mtan = 2(2) = 4 en x = 2.
t an

( )Recordemos que la ecuación de una recta está dada por y − y = m x − x por lo
11

tanto, la ecuación de la recta tangente es:

y − 3 = 4(x − 2)
y = 4x − 8 + 3
y = 4x − 5

Ejercicio 1. Encuentra la pendiente de la tangente a la curva y = −x2 + 2x + 2 en
el punto donde x = 2

y

P (2, 2)
x

R. 2x + y − 6 = 0

Ejercicio 2. Halla la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la función
f (x) = 1 − x2 en el punto P(2, –3). Traza la gráfica.

Diferenciabilidad • 41

Ejercicio 3. Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la función
f (x) = x3 + 1 en el punto P(1, 2). Traza la recta tangente y marca el punto de tan-
gencia.

R. 3x − y − 1 = 0

( )Ejercicio 4. Encuentra los puntos de la función f x = 1 donde su pendiente esx
–1/4. Traza las rectas tangentes en dichos puntos.

DIFERENCIABILIDAD

Tanto la continuidad como la diferenciabilidad son propiedades deseables para una
función y el teorema siguiente muestra cómo se relacionan entre sí.

( )Si f es diferenciable en a o en todo un intervalo a,b entonces, f es continua

( )en a y en el intervalo a, b .

42 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

( )¿Cómo saber cuándo y dónde se puede derivar una función y = f x ?

La interpretación geométrica de la derivada nos da la respuesta, ya que si una fun-
ción f en algún punto no tiene tangente debido a que f tiene esquinas o retorcimien-
tos o no es continua, evidentemente en esos espacios la función no es diferenciable.

yyy

recta tangente recta tangente

ax ax a x
Una esquina, pendiente infinita Un cambio de concavidad Una discontinuidad

Otra manera de verificar la diferenciabilidad es a través de una calculadora grafi-
cadora.

y

Una función no diferenciable, en a con el acercamiento se ve
mejor la esquina o el punto agudo que no se puede eliminar

recta tangente x
a

y

Una función diferenciable, en a el acercamiento nos muestra
que la gráfica se endereza y adquiere más y más la apariencia
de una recta

ax

La velocidad como una razón de cambio • 43

LA VELOCIDAD COMO UNA RAZÓN

DE CAMBIO

v0 v

s0 Ds
s

Velocidad media. El móvil representado por un automóvil en la parte superior tiene un
desplazamiento inicial s y cambia a un desplazamiento final s en un tiempo ∆t ; en

0

consecuencia, su velocidad promedio es:

vmed = ∆s = s − s0
∆t ∆t

Los experimentos demuestran que un cuerpo que cae libremente desde el reposo se

( )desplaza s(t) = 4.9t 2 metros en t segundos. De manera que cae 4.9 1 2 = 4.9 metros en
( )2

1 segundo y 4.9 2 = 19.6 metros en los 2 primeros segundos, y así sucesivamente:

( ) ( )2 ( ) ( )2

s 1 = 4.9 1 = 4.9; s 2 = 4.9 2 = 19.6

( )Es decir, en el intervalo de tiempo ∆t = (2 − 1)seg se desplazó ∆s = 19.6 − 4.9 m;

entonces, la velocidad promedio de caída es:

vmed = ∆s = (19.6 − 4.9)m = 14.7m / seg
∆t (2 − 1)seg

Velocidad instantánea. Pero si en el ejemplo anterior quisiéramos medir la velocidad v

en un instante t cualquiera ( ∆t → 0) lo que estaríamos midiendo sería una velocidad
instantánea o verdadera por la precisión; ésta sería el límite de la relación ∆s cuando
∆t
el tiempo tiende a cero.

Por lo tanto, y por la definición de derivada, la velocidad instantánea sería:

v = lím ∆s = lím s(t + ∆t) − s(t) o bien v = ds
∆t∆t→0 ∆t → 0 ∆t dt

44 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

Se dice entonces que la velocidad instantánea de un móvil es también la derivada
de su desplazamiento con respecto al tiempo:

v = ds
dt

Por ejemplo, si quisiéramos saber la velocidad de caída de un objeto en el preciso
instante de 1.2 segundos tendríamos que calcular:

v = ds = lím s(t + ∆t) − s(t)
dt ∆t→0 ∆t

v = lím 4.9(t + ∆t)2 − 4.9t 2
∆t → 0 ∆t

= lím 4.9[t 2 + 2t∆t + (∆t)2 − t 2 ]
∆t → 0 ∆t

= lím 4.9∆t(2t + ∆t) = lím (4.9)(2t + ∆t ) = (4.9)(2t ) = 9.8t
∆t → 0 ∆t ∆t → 0

v = 9.8t ⇒ v(1.2) = (9.8)(1.2) = 11.76 m / seg

Otras razones de cambio

Es importante aclarar que la derivada mide cualquier cambio con respecto al tiempo, y
que en ese sentido la vamos a estudiar a lo largo de todo el curso; es decir, la derivada
significa una razón de cambio de un fenómeno natural, social, económico, la velocidad
de un móvil, la rapidez con que actúa un medicamento, etcétera.

Los físicos se interesan por ejemplo, en la razón de cambio del trabajo con respecto
al tiempo (potencia), los químicos en una reacción química estudian la llamada velo-
cidad de reacción. Un fabricante de acero se interesa en la razón de cambio del costo
de producir x toneladas de acero por día (costo marginal), un biólogo se ocupa de la
razón de cambio de la población de una colonia de bacterias con respecto al tiempo,
etcétera.

Todas estas razones de cambio implican un significado de la interpretación geomé-
trica de la derivada o interpretación de pendientes de tangentes no sólo en el sentido
geométrico, sino que al mismo tiempo resolvemos situaciones que se presentan en los
diferentes campos del conocimiento de la ciencia y la ingeniería en donde intervienen
las razones de cambio.

EJEMPLO

( )Una empresa productora de acero produce x toneladas de este material a un costo de

C=f x .

La velocidad como una razón de cambio • 45

( )a) ¿Qué significa fЈ x ? ¿Cuáles son sus unidades?
( )b) ¿Qué significado tiene fЈ 500 = 100?

Solución

( )a) fЈ x significa la razón de cambio instantánea de C con respecto a x es decir,
la razón de cambio del costo de producción con respecto al número de tonela-
das de acero producidas. Los economistas llaman a esta razón de cambio costo
marginal.

Como

fЈ(x) = dC
dx

( )y C está expresada en dólares y x en toneladas, las unidades de fЈ x son

dólares por tonelada.

( )b) La proposición fЈ 500 = 100 significa que, después de fabricar 500 toneladas
de acero, la razón a la cual aumenta el costo de producción es de 100 dólares
por tonelada.

EJERCICIOS
Resolver cada una de las siguientes situaciones considerando la derivada como una
razón de cambio.

1. a) Hallar la velocidad instantánea de un cuerpo que cae, partiendo del reposo,
en el instante t = 5.3 segundos.

b) ¿Cuánto tardará el cuerpo en alcanzar una velocidad instantánea de
65 m / seg?

v = 51.94m / seg v = 9.8 t
t = 6.63seg

46 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

2. El consumo de combustible (medido en galones por hora) de un automóvil que
viaja a una velocidad de v millas por hora es c = f(v).

( )a) ¿Cuál es el significado de fЈ v ? ¿Cuáles son sus unidades?
( )b) ¿Qué significa fЈ 20 = −0.5?

3. Suponer que un cuerpo cae desde el reposo s = 16t 2 pies en t segundos.
a) ¿Qué distancia caerá entre t = 3 y t = 4?
b) ¿Cuál será su velocidad media en el intervalo 3 ≤ t ≤ 4?
c) Encuentra la velocidad instantánea en t = 3.

La velocidad como una razón de cambio • 47

4. Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa C(t) = 1 t 2 + 1
2
gramos después de t horas.

a) ¿Cuánto creció durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01? R. 0.02005 gr

b) ¿Cuál fue su crecimiento medio durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01?
R. 2 gr / hr

c) ¿Cuál fue su razón de crecimiento instantáneo cuando t = 2?
R. 2 gr / hr

5. Un negocio está prosperando de tal modo que su beneficio total después de t
años es G(t) = 1000 t 2.

a) ¿Cuánto producirá el negocio durante el tercer año, es decir, entre
t = 2 y t = 3?

b) ¿Cuál es su tasa promedio de utilidad (utilidad promedio marginal) durante
el primer semestre del tercer año (entre t = 2 y t = 2.5)?

c) ¿Cuál es la tasa instantánea de utilidad (utilidad marginal) para t = 2?

48 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

REGLAS PARA DERIVAR

Calcular la derivada de una función a partir de su definición es un proceso tedioso y que
demanda mucho tiempo. Ésa es la razón por la que se han desarrollado instrumentos
(teóricos y tecnológicos) que permiten acortar el largo camino que hemos visto hasta
aquí.

Recuerda que la derivada de una función f (x) nos produce otra función. Este pro-
ceso lo podemos esquematizar de la siguiente manera:

y =f(x) Operación f´(x)
de derivar

Regla 1. La derivada de una función constante f (x) = c es cero. Cuando una función
f (x) no tiene cambios su pendiente es cero.

d(c) = 0
dx

m=0
y=c

EJEMPLO
Si y = −5 ⇒ dy = d(−5)
dx dx
dy = 0
dx

Regla 2. La derivada de la función identidad f (x) = x es 1. La razón de cambio es 1 a 1.

d(x) = 1 m=1
dx y=x

Reglas para derivar • 49

Para demostrar la regla número 3 es conveniente recordar que:

( )a + b n = an + nan−1b + n(n − 1) an−2b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + nabn−1 + bn
2

Regla 3. Si f (x) = xn, entonces su derivada es, d(xn ) = nx n −1 . Es decir,
dx

df (x) = lím (x + h)n − xn
dx h → 0 h

xn + nxn−1h + n(n − 1) xn−2 (h)2 + ⋅⋅⋅ + nx(h)n−1 + h n − xn
lím 2
( ) ( )dfx
=
dx h→0 h

( )h [nxn−1 + n(n − 1) xn−2h + ⋅⋅⋅ + nx(h)n−2 + h n−1 ]
= lím 2 = nxn−1

h→0 h

Dentro del paréntesis todos los términos tienen como límite cero excepto uno, el
que no tiene como factor a h.

EJEMPLOS

1) d(x3 ) = 3x2 n = 3, n−1=2
dx n = −5, n − 1 = −6
n= 3, n−1= 1
2) d(x−5 ) = −5x−6 = − 5
dx x6 2 2

3

3) d x3 = d(x)2 = 3 x 1
dx 2

dx 2

Regla 4. Regla del múltiplo constante. Si c es una constante y f (x) una función, entonces:
d cf (x) = c d f (x)
dx dx

La justificación se deja como ejercicio.

50 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

Regla 5. Regla de la suma. Si u, v y w son funciones de x entonces:
d (u + v − w) = du + dv − dw
dx dx dx dx

Justifica la regla como un ejercicio de tarea.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4) d x7 − 3x4 + 10x3 − 5x2 + 2x − 8 = d x7 − 3 d x4 + 10 d x3 − 5 d x2 + 2 d x − d 8
dx dx dx dx dx dx dx

( ) ( ) ( ) ( )= 7x6 − 3 4x3 + 10 3x2 − 5 2x + 2 1 − 0

= 7x6 − 12x3 + 30x2 − 10x + 2

5) Encuentra los puntos de la curva y = x4 − 6x2 + 4 donde la recta tangente sea hori-
zontal.

Solución
Aquí buscamos los puntos de la gráfica en donde la derivada
sea cero porque se tienen tangentes horizontales.

( )dy = 4x3 − 6 2x + 0 = 4x3 − 12x

dx

( )4x3 − 12x = 4x x2 − 3 = 0

Al resolver la ecuación anterior tenemos valores para x igual a 0, 3, − 3 que

( ) ( )( )nos darían los puntos − 3, −5 , 0,4 , 3, −5

EJERCICIOS
Encuentra la derivada de cada una de las siguientes funciones.

Reglas para derivar • 51

1. y = 2x3 R. 6x2 2. y = π x2

3. y = −2 R. 8 4. y = 4
x4 x5 5x5

5. y = 3 − 2x + π x2 − 2 5
x4
6. f (x) = 3 x5 . Reescribe 3 x5 = x 3
R. − 2 + 2π x + 8
x5

52 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

7. y = 3 R. − 1 8. y = −x4 + 3x2 − 6x + 2 x − 1
x3 3 x4

9. y = 11x3 − 2x + 3 x3 − 4 R. 33x2 − 2 + 1
3 x2

10. y = −5x6 + 3x5 − 19 11. y = 3x7 + 3x2 − 21 R. 21x6 + 6x

Reglas para derivar • 53

12. y = 3x−5 + 2x−3 13. y = 2 − 1 R. − 2 + 2
x x2 x2 x3

14. y = 1 + 2x 15. y = 1 − 1 R. − 3 − 4
2x 2x3 x4 2x4 x5

16. Encuentra todos los puntos de la gráfica de y = x3 − x2 donde la tangente sea horizontal. Gra-
fica las tangentes horizontales.

54 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

17. Halla los puntos de la gráfica de y = 1 x3 + x2 − x donde la tangente tenga pendiente 1.
3
R. x ≈ 0.7320; x ≈ −2.7320

12

18. Un viajero espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva y = x2 Cuando apague sus
máquinas, se alejará a lo largo de la línea tangente en el punto donde esté en ese momento. ¿En qué punto
deberá apagar las máquinas para alcanzar el punto (4, 15)?

19. Una mosca camina de izquierda a derecha a lo largo de la curva y = 7 − x2. Una araña espera
en el punto (4, 0). Encuentra la distancia entre el insecto y el arácnido cuando se ven por pri-
mera vez. (Vea la figura).

R. d = 45

6 araña
5
4
3
2
1

–3 –2 –1 –1 1 2 3 4

Regla de la cadena • 55
20. La altura s en pies de una pelota sobre el piso a los t segundos está dada por

s = −16t 2 + 40t + 100.
a) ¿Cuál es la velocidad instantánea cuando t = 2?
b) ¿Cuándo es cero la velocidad instantánea?

s = −16t2 + 40t + 100

21. Una bola rueda hacia abajo en un largo plano inclinado de modo que su distancia s al punto
de partida después de t segundos es de s = 4.5t 2 + 2t pies. ¿Cuándo alcanzará la velocidad
instantánea de 30 pies por segundo?

v

REGLA DE LA CADENA

Regla 6. Si y = f (u) y u = g(x) tenemos que,
dun = nun−1 du
dx dx

Demostración
Supongamos que y = un entonces, dy = d un = nun−1 de acuerdo con la regla 3.

du du

56 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

Ahora bien, estarás de acuerdo en que:

dy = dy ⋅ du = d ⎣⎡un ⎦⎤ ⋅ du
dx du dx du dx

Por lo tanto, dy = nun−1 du . Por cierto, este proceso también se conoce como regla de
la cadena. dx dx

EJEMPLOS
1) Encuentra la derivada de y = (3 − x2 )3 .

Solución

Hagamos n = 3 y u = 3 − x2 ⇒ du = −2x; por lo tanto:
dx
y = u3 si hacemos que u = 3 − x2,

( )( )dy = 3u2 du = 3 3 − x2 −2x al derivar y sustituir u y du
dx
dx dx
al simplificar.
( )dy = −6x 3 − x2 2

dx

2) Encuentra la derivada de y = 3 .
x2 − 5

Solución

Hagamos n = − 1 y u = x2 − 5 ⇒ du = 2x ; por lo tanto:
2 dx

y= 3 −1 si hacemos que u = x2 − 5

= 3u 2

u

⎡ 1 −3 du ⎤ 3 −3 al derivar y sustituir u y du
3 ⎢− ⎥ dx
u2 x2 − 5 2
( ) ( )dy= = − 2x
dx ⎢⎣ 2 dx ⎦⎥ 2

dy = − 3x al simplificar.

( )dx x2 − 5 3

EJERCICIOS
Calcula la derivada de las siguientes funciones.

Regla de la cadena • 57

1. y = 2x3 − 3 ( )10
1
( )Reescribe la función como y = 2x3 − 3 2 . 2. y = 3 − 7x

dy = 3x2
dx 2x3 − 3

( )3. s = t2 − 5t + 2 5 4. y= 5
3 5x − 3

( )( )ds = 10t − 25 t2 − 5t + 2 4

dt

5. f (x) = 3 6. y = 3 x2 − 2x + 1
x3 − 4

dy = − 9x2

( )dx x3 − 4 2

58 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

7. y = −34 2 − 9x 8. s = 1
t2 − 2

dy = 27
( )dx
3

4 2 − 9x

9. y = − 1 10. y = x + x
x +1

dy = 1
( )dx
2x 2

x +1

11. Un automóvil se deprecia de acuerdo con la fórmula V = 7500 , donde t = 0 re-

1 + 0.4t + 0.1t 2

presenta en (años) el momento de la compra. ¿A qué razón se deprecia el automóvil 2 años

después de su compra?

dV = 1239.66
dt

Regla para derivar un producto • 59

REGLA PARA DERIVAR UN PRODUCTO

Regla 7. La derivada del producto de dos funciones derivables f (x) y g(x) viene dada
por:

d ⎡⎣ f (x)g (x)⎦⎤ = f (x)gЈ(x) + g(x) fЈ(x)
dx

Demostración

d ⎡⎣ f (x)g ( x )⎤⎦ = lím f (x + h) g ( x + h) − f (x)g(x)
dx
h→0 h

f (x + h)g(x + h) − f (x + h)g (x) + f (x + h)g (x) − f (x)g (x)

= lím
h→0 h

= lím ⎡ f ( x + h) g ( x + h) − g ( x ) + g ( x) f ( x + h) − f ( x) ⎤
⎢ ⎥
h→0 ⎣⎢ h h ⎦⎥

= lím f (x + ∆h)⋅ lím g (x + h) − g (x) + g (x) lím f (x + h) − f (x)
hh→0 h
h→0 ∆ x →0

= f (x)gЈ(x) + g (x) fЈ(x)

Sugerencia. Es conveniente memorizar la regla del producto de la siguiente manera:

La primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la se-
gunda función multiplicada por la derivada de la primera función.

EJEMPLOS

( )1) Encuentra la derivada de y = x x2 + 1

Solución
Primero hacemos f (x) = x , entonces fЈ(x) = 1, luego,

g(x) = x2 + 1 y gЈ(x) = 2x

60 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

Aplicamos la regla del producto:

( )( ) ( )dy = x 2x + x2 + 1 1

dx
= 2x2 + x2 + 1
= 3x2 + 1

( )2) Encuentra la derivada de y = x − 2 3 − x2

Solución
Hagamos f (x) = x − 2 entonces f '(x) = 1; luego,

( ) ( ) )(1 −1
2
g(x) = 3 − x2 2
y gЈ(x) = 1 3 − x2 −2 x
2

( )gЈ(x) = − x

1

3 − x2 2

Ahora aplicamos la regla 7:

⎡⎤ 1
⎢ ⎥ 2
x−2( )( ) ( )dy = ⎢− x 1 ⎥+ 3 − x2 1
( )dx ⎢ 3 − x2 2⎥
⎣
⎦

⎡⎤ 1+1
( ) ( )= 3 − x2 22
⎢ −x2 + 2x ⎥ 1 −x2 + 2x +
⎢ ⎥
1 + 3 − x2 2 = 1

⎢ 2⎥
⎦
( ) ( )⎣
3 − x2 3 − x2 2

( )−x2 + 2x + 3 − x2 = −x2 + 2x + 3− x2 = 3 + 2x − 2x2

=1 1 1
( ) ( ) ( )3 − x2 2
3 − x2 2 3 − x2 2

EJERCICIOS

En los ejercicios siguientes encuentra la derivada mediante las reglas tratadas en esta
sección.

1. y = (x2 + 2)(3x3 − 2) Regla para derivar un producto • 61
dy = 15x4 + 18x2 − 4x
dx

2. y = (5x2 + 2)(3x2 − 2x + 7)

3. y = (x4 + 2)(x3 − 2x2 + 1) dy = 7x6 − 12x5 + 4x3 + 6x2 − 8x
dx

62 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

4. y = (x2 − 2)2 1 + x

5. y = x2 3 x2 + 3 dy = 8x3 + 18x
6. y = (x4 − 1)(x2 + 1) ( )dx
2

33 x2 + 3

7. y = (x2 + 1) x Regla para derivar un cociente • 63
dy = 5x2 + 1
dx 2 x

REGLA PARA DERIVAR UN COCIENTE

Regla 8. Sean f (x) y f (x) dos funciones derivables y g(x) ≠ 0 Entonces,

d ⎡ f (x)⎤ = g (x) fЈ( x)− f (x) gЈ( x )
dx ⎢ g2 (x)
⎣ g(x) ⎥
⎦

Demostración

f (x + h) f (x)
( ) ( )d −
⎡ f (x)⎤ g x+h gx
dx⎢ = lím h
⎣ g(x) ⎥
⎦ h→0

= lím g(x) f (x + h) − f (x)g(x + h) ⋅ 1

( ) ( )h→0 h
g x g x+h

= lím g(x) f (x + h) − g(x) f (x) + f (x)g(x) − f (x)g(x + h) ⋅ 1

( ) ( )h→0 h
g x g x+h

⎣⎢⎡g(x) f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x) ⎤ ⎡ 1 ⎤
h h ⎦⎥ ⎢ g x+h ⎥
( ) ( )=lím − f (x) ⎣⎢ g x ⎥⎦

h→0

= ⎣⎡g(x) fЈ(x) − f (x)gЈ(x)⎤⎦

= g(x) fЈ(x) − f (x)gЈ(x)
g 2 ( x)

64 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

Sugerencia. Memoriza la regla del cociente de la siguiente manera:

La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador
menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el denomi-
nador al cuadrado.

EJEMPLOS

1) Encuentra la derivada de y = 3x + 5 .
3− 2x

Solución

En primer término hagamos f (x) = 3x + 5, entonces fЈ(x) = 3; luego:

g(x) = 1 y gЈ(x) = 1 (3 − −1

3 − 2x = (3 − 2x)2 2 2x) 2 (−2)

g (x)Ј = − 1

1

(3 − 2x)2

Aplicamos la regla 8,

1 ⎡⎤
2 ⎢ 1⎥
(3 − 2 x) (3) − (3x + 5) ⎢ − 1⎥

dy = ⎣⎢ (3 − 2x)2 ⎥⎦
( )dx ⎡ 1 ⎤2
⎢ 3− 2x 2 ⎥
⎢⎣ ⎦⎥

Para resolver la fracción resultante de la derivada multiplicamos y dividimos por

1

(3 − 2x)2.

( )1

(3)(3 − 2x)2 +
3x + 5 3− 2x 1⎤
1⎡ 2⎥
⎢ ⎥
dy = (3 − 2x)2 ⎢

3− 2x 1
( )dx ⎢ 2 ⎥
⎢⎣ 3− 2x ⎦⎥

= 3(3 − 2x) + 3x + 5
3
(3 − 2x)2

Regla para derivar un cociente • 65

= 9 − 6x + 3x + 5
3
(3 − 2x)2

= 14 − 3x
3
(3 − 2x)2

1

2) Halla la derivada de y = a + bx = (a + bx)2 .
a − bx 1

(a − bx)2

Solución

1 fЈ(x) = 1 −1
2
f (x) = (a + bx)2; entonces,
( ) ( )En primer término hagamos
2 a + bx b

=b

( )1

2 a + bx 2

( ) ( )1 1 −1
2
g(x) = (a − bx)2 ; entonces,
gЈ(x) = 2 a − bx −b

−1

a − bx 2
( ) ( )= 1 2 −b

= −b

( )1

2 a − bx 2

Aplicamos la regla 8,

1

( ) ( )a − bx 2 ⋅
b 1 −b

1 − a + bx 2 ⋅ 1

( ) ( )dy =
2 a + bx 2 2 a − bx 2

( )dx ⎡ 1 ⎤2
⎢ a − bx 2 ⎥
⎣⎢ ⎦⎥

66 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

1

Para resolver la fracción resultante multiplicamos y dividimos por 2(a + bx)2

( )1

a − bx 2 .

( ) ( )1 1

b a − bx 2 b a + bx 2
1 + 1 ⎡ 1 1⎤
( ) ( ) ( ) ( )dy = 2 a − bx 2 ⎥
( ) ( )dx 1⎥
a + bx 2 2 a − bx 2 ⎢2 a + bx 2
a − bx ⎢ a − bx 2 ⎦⎥
⎣⎢ 2 1

a + bx 2

( )b(a − bx) + b

=3
a + bx = ab − b2 x + ab + b2 x

1 31
( ) ( ) ( ) ( )2 a − bx 2 a + bx 2 2 a − bx 2 a + bx 2

= 2ab = ab
( ) ( ) ( ) ( )3 1

2 a − bx 2 a + bx 2
31

a − bx 2 a + bx 2

EJERCICIOS 9
1. y = 3x − 2 5 − 3x 2
5 − 3x )(dy =

dx

2. y = 3 + 2x Regla para derivar un cociente • 67
2 + 3x2 dy = 3x4 + 27x2 + 4x

3. y = 3x3 − 2 ( )dx x2 + 3 2
x2 + 3

4. y = 2x2 − 3x + 3
2 − 3x

68 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

5. y = x2 + 3x − 1 dy = − x2 + 4x + 7
x2 + 2x − 3 2

x2 + 2x − 3
( )dx

6. f (x) = c2 − x2
c2 + x2

7. La curva y = 1 se llama bruja de María Agnesi. Encuentra y grafica la

( )x2 + 1

ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto 1, 1 . x + 2y − 2 = 0
2

Regla para derivar un cociente • 69
8. ¿En qué puntos tiene tangente horizontal la gráfica de f (x) = x2 ?

x−1

9. La curva y = x se llama serpentina. Encuentra y grafica la ecuación de
x2 + 1
3x + 25y − 16 = 0
( )la recta tangente a esta curva en el punto 2, 0.4 .

10. La función f (t) = t 2 − t + 1 mide el porcentaje del nivel normal de oxígeno en
t2 +1

un estanque, donde t es el tiempo en semanas contado desde que el desecho
orgánico se arroja en él. Encuentra la razón de cambio de f con respecto a t
cuando t = 2.

70 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

11. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y crece en número
de acuerdo con la ecuación P = 500 + 2000t con t medido en horas. Encuen-
50 + t 2
tra la razón de crecimiento de la población cuando t = 2.

dP ≈ 32 bacterias/hora
dt

DERIVADAS DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

Reglas para derivar funciones trigonométricas

1. d sen u = cos u du 2. d cosu = −sen u du
dx dx dx dx

3. d tan u = sec2 u du 4. d ct gu = −csc2 u du
dx dx dx dx

5. d sec u = sec u tan u du 6. d csc u = − csc uctgu du
dx dx dx dx

Derivar cada una de las funciones propuestas a continuación:
Antes de abordar la deducción de las reglas para derivar las funciones trigonomé-

tricas analiza la tabla mostrada a continuación para comprobar que:

lím 1 − cos h = 0 lím sen h = 1
h→0 h h→0 h

h 1.0 0.5 0.1 0.01 0 –0.01 –0.1 –0.5 –1
?
1-cos h 0.45970 0.24483 0.04996 0.00500 ? – 0.0050 – 0.04996 – 0.24483 – 0.4597
0.84147 0.95885 0.99833 0.99998
h 0.99998 0.99833 0.95885 0.84147
sen h

h

Derivadas de funciones trigonométricas • 71

Regla 1. La derivada de sen x es cos x
d sen x = cos x
dx

Recordemos una vez más la definición de derivada:

sen x cos h + cos x sen h

⎫
⎪
⎬
⎪
⎭

( )d − sen x = lím sen x cos h + cos x sen h − sen x
sen x+h
sen x = lím
dx h→0 h h→0 h

= lím ⎛ − sen x 1 − cos h + cos x sen h ⎞
⎜⎝ h h ⎟⎠
h→0

= − sen x ⎡ 1 − cos h ⎤ + cos x ⎡ sen h ⎤
⎢⎣lhí→m0 h ⎦⎥ ⎣⎢lhí→m0 h ⎦⎥

= (− sen x)(0) + (cos x)(1) = cos x

Pero si y = sen(u) y u = f (x) entonces se presenta otra vez la regla de la cadena.

Como dy = cos u, tenemos que dy = dy ⋅ du por lo tanto,
du dx du dx

d sen u = cosu du
dx dx

EJEMPLOS

)(1) Derivar y = sen 2x + 1

Solución
Hagamos u = 2x + 1 entonces du = 2 luego

dx

dy = cos(2x + 1)(2) = 2 cos(2x + 1)

dx

2) Derivar y = cos x2

72 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

Solución
Hagamos u = x2, entonces du = 2x , luego

dx

( )dy = (− sen x2 ) 2x = −2x sen x2

dx

Nota: La deducción de la regla se sugiere como tarea.

EJERCICIOS
Derivar cada una de las siguientes funciones.

1. y = sen(2x − 3) ( )dy = 2 cos 2x − 3 2. y = cos(2 − 5x)

dx

3. y = 4 cos x − 2 sen x ( )4. y = cos 2 − 5x 2

dy = −2(2 sen x + cos x)

dx

Derivadas de funciones trigonométricas • 73

5. y = cos2 x dy = −2 cos x sen x 6. ¿Por qué vale cero la derivada de
dx y = cos2 x + sen2 x?

( )7. y = x2 sen 2x dy = 2x x cos 2x + sen 2x 8. s = sen t
dx t

9. y = sen x cos x dy = cos2 x − sen2 x 10. v = sen u
dx cos u

74 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

3) Demostrar que:

d tan u = sec2 u
dx

Solución
Derivamos tan u como un cociente mediante la identidad tan u = sen u

cos u
d tan u = d sen u
dx dx cosu

⎫
⎬
⎭

identidad de tan u

cos u ⎛ d sen u⎟⎠⎞ − sen u ⎛ d cos u⎟⎞⎠
⎜⎝ dx ⎝⎜ dx
= cos2 u

)(cosu cosu du − sen u − sen u du
= dx dx
cos2 u

1

⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭

= sen2 u + cos2 u du
cos2 u dx

= sec2 u du
dx

4) Una rueda de la fortuna de 30 pies de radio gira en sentido contrario a las manecillas
del reloj, a una velocidad angular de ω = 2 rad / seg ¿Con qué velocidad se eleva
verticalmente un asiento en el borde cuando está 15 pies arriba de la línea horizon-
tal que pasa por el centro de la rueda? Recuerda que la velocidad angular ω es el
desplazamiento angular θ entre el tiempo t.

Solución vy
Como ω = θ , entonces θ = ωt = 2t vx (x, 15)
2t
t
Luego, en el triángulo de la figura:

x = 30 cos 2t y y = 30sen2t
senω = sen 2t = 15 = 0.5, por lo tanto, 2t = 30º.

30

Derivadas de funciones trigonométricas • 75

La velocidad tangencial de la silla en el punto P tiene dos componentes: uno ho-

rizontal vx = dx y otro vertical vy = dy por cierto, éste último es el que nos interesa
calcular. dt dt

( ) ( )vydy d
= dx = dx 30 sen 2t = 60 cos 2t = 60 cos 30 º = 51.96 pies / seg

5) Se aplica una fuerza en el extremo de un resorte horizontal y éste se desplaza hacia
la derecha 4 cm mas allá de su posición natural o de reposo, enseguida se deja en
libertad en el instante t = 0, tal como se muestra en la figura. Su posición en el ins-
tante t es:

( )x = f t = 4 cos t.

a) Encuentra la velocidad v en el instante t, es decir, v = dx , b) halla la posición y la
dt
velocidad del extremo del resorte en el instante t = 2π y c) las gráficas de posición
3

y velocidad de la vibración en un periodo de 2π .

Solución Equilibrio 4 cm
a) La velocidad en el instante t es:
–4 0 4x
)(v = dx = d 4 cost = −4 sen t F = fuerza
dt dt

b) La posición y la velocidad en t = 2π son respectivamente:
3

s = 4 cos 2π = 4 cos 120˚ = −2 Recordemos que,
3 π rad = 180˚

v = −4 sen 2π = −3.4641 Por lo tanto:
3 2π
rad = 120˚
3

76 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

c) Gráficas de posición y velocidad en un 4 x v
periodo de 2π : π

Las gráficas nos enseñan que la oscilación 2π t
del resorte ocurre desde −4 el punto más bajo
hasta el punto más alto, es decir, 4; además
de ilustrarnos la relación entre posición y ve-
locidad.

-4

MÁS EJERCICIOS:

11. Derivar y = x2 tan x 12. Demostrar que d ctg x = − csc2 x
dx

dy = x2 sec2 x + 2x tan x
dx

13. Derivar y = x sen2 x ( )14. Derivar y = sen3 x2 + 3

dy = 2x sen x cos x + sen2 x
dx

Derivadas de funciones trigonométricas • 77

15. Derivar y = x2 sen x + 2x cos x − 2 sen x ( )16. f θ =θ
Derivar 1 − senθ

dy = x2 cos x
dx

17. Derivar y = sen x 18. Derivar y = 1 + csc x
1 − cos x 1 − csc x

dy = − 1
dx 1 − cos x

78 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

19. Observa y analiza la rueda-pistón de la figura. La rueda tiene 1 pie de radio y gira en sentido
contrario a las manecillas del reloj 2 rad / seg La varilla de conexión tiene 5 pies de longitud.
Cuando t = 0 el punto P está en (1,0). Encuentra:

a) Las coordenadas de P en el instante t. Q
b) La velocidad de Q en el momento t.

P
(1,0)

a) P (cos 2t, sen 2t )

b) vy = 2 cos 2t

20. Una masa en un resorte vibra de modo horizontal sobre una superficie lisa, en un movimiento

( )armónico simple. Su ecuación de movimiento es x t = 8sent.

Encuentra:
a) la velocidad y la aceleración en el instante t, y
b) la posición y la velocidad de la masa en el instante t = 2π .

3

Equilibrio

F

0x x

Derivadas de funciones trigonométricas • 79

21. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una pared vertical. Sea θ el ángulo entre
la parte superior de la escalera y la pared, y x la distancia entre el extremo inferior de aquélla
y la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapi-
dez cambia x con respecto a θ cuando θ = π ?
3

dx = 5 pies / rad
dθ

θ

x

22. Un bloque con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa
a lo largo de una cuerda sujeta al propio objeto. Si la cuerda forma un ángulo ϑ con el plano,
entonces, la magnitud de la fuerza es:

F = µW θ
µ senθ + cosθ

donde µ es una constante llamada coeficiente de fricción.

W

a) Encuentra la razón de cambio de F con respecto a θ.

b) ¿Cuándo es igual a cero esta razón de cambio?

c) Si W = 50 libras y µ = 0.6 dibuja la gráfica de F como función de θ mediante una calcula-

dora graficadora.

80 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

DERIVADAS DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Definición:
Cuando hablamos de las inversas de las funciones trigonométricas básicas es necesario
aclarar que nos estamos refiriendo a los ángulos cuyas funciones trigonométricas son
seno, coseno, tangente, etcétera, por ejemplo si:

y = sen x entonces, x = sen−1 y, lo cual significa que x es el ángulo cuyo seno es y.

Es importante mencionar que para obtener las inversas de las funciones trigono-
métricas se restringe el dominio y el rango se mantiene lo más grande posible, según la
función de que se trate.

π y = arc sen x

y = sen x –1 1
1 −π

–π π

–1
Dominio
restringido

y = cos x π
1 y = arc cos x

–π π –1 1

–1
Dominio
restringido

y = tan x Derivadas de funciones trignométricas inversas • 81
1
y = arc tan x
π
2

–π π –1 1
–1
π
2

Dominio
restringido

A continuación, presentamos algunas derivadas de las funciones trigonométricas in-
versas:

1. d sen−1 u = 1 du 2. d cos−1 u = − 1 du
dx 1 − u2 dx dx 1 − u2 dx

3. d tan−1 u = 1 du 4. d ctg−1 u = − 1 du
dx 1 + u2 dx dx 1 + u2 dx

5. d sec−1 u = 1 du 6. d csc−1 u = − 1 du
dx u u2 − 1 dx dx u u2 − 1 dx

Demostración de la regla 1:

d sen−1 u = 1 du
dx 1 − u2 dx

Si y = sen−1 u ⇒ u = sen y , luego

du = cos y y dy = 1
dy du cos y

82 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

( )Como y = f u y sen2 y + cos2 y = 1, tenemos que:

dy = dy ⋅ du = 1 du = 1 du = 1 du
dx du dx cos y dx 1 − sen2 y dx 1 − u2 dx

Demostración de la regla 3:
d tan−1 u = 1 du .
dx 1 + u2 dx

Si y = arctan u ⇒ u = tan y, luego,

du = sec2 y y dy = 1
dy du sec2 y

( )Como y = f u y sec2 y = 1 + tan2 y, se tiene que:

dy = dy ⋅ du = 1 du = 1 du = 1 du
dx du dx sec2 y dx 1 + tan2 y dx 1 + u2 dx

EJEMPLOS

1) Derivar

y = tan−1 2x2

Hagamos u = 2x2 ; entonces, du = 4x , y mediante la regla 3 se tiene que:
dx

( )dy = 1 4x = 4x
( )dx 1 + 2x2 2 1 + 4x4

2) Derivar

y = sec−1 a
x

Derivadas de funciones trignométricas inversas • 83

Hagamos u = a = ax−1; entonces, du = −ax−2 = − a y mediante la regla 5 se tiene
que: x dx x2

dy = 1 ⎛ − a ⎞ = 1 ⎛ − 1 ⎞
dx a a⎞2 ⎝⎜ x2 ⎟⎠ ⎝⎜ x ⎠⎟
⎛ x ⎠⎟ a2 − 1
x ⎝⎜ −1 x2

dy = 1 ⎛ − 1 ⎞
dx a2 − x2 ⎝⎜ x ⎠⎟

x2

dy = − 1 ⎛ 1⎞ =− 1
dx a2 − x2 ⎜⎝ x ⎟⎠ a2 − x2

x

3) Derivar

( )y = x sen−1 2x

Esta función se debe derivar como un producto.

( ) ( ) ( )( ) ( )Hagamos f x = x; f ' x = 1; g x = sen−1 2x g' x = 2 ; luego
( )2

1− 2x

dy ⎡⎤
dx ⎢ 1 (2)⎥⎥
= x ⎢ ⎦⎥ + sen −1 (2x)(1)
− (2x)2
⎢⎣ 1

⎡ ⎤
⎢ ⎥ + sen−1 2x
( )dy = ⎣⎢ 2x

dx
1 − 4x2 ⎥⎦

EJERCICIOS
Encuentra la derivada de y con respecto a x en cada una de las funciones siguientes.

84 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

1. y = cos−1 3x dy = − 3 2. y = cot−1 ax2
dx 1 − 9x2

3. y = xcsc–1 3x dy = csc−1 3x − 1 4. y = tan–1 a
dx 9x2 − 1 x

5. y = a2 − x2 + a sen−1 x dy = a − x
a dx a + x

Derivadas de funciones exponenciales • 85

DERIVADAS DE FUNCIONES

EXPONENCIALES

Derivada de la función exponencial au

La derivada de la función exponencial y = au, donde u = f (x) es:
d au = au ln a du
dx dx

Demostración

y = au

Al obtener el logaritmo en ambos lados de la función:
ln y = ln au

Al aplicar las propiedades de los logaritmos:
ln y = u ln a

Al derivar de manera implícita con respecto a x

1 dy = ln a du
y dx dx

dy = y ln a du = au ln a du
dx dx dx

Derivada de la función exponencial eu y y=e x
(0, 1) x
La derivada de la función exponencial y = eu, donde
u = f (x) es:

d eu = eu du
dx dx

86 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

Demostración
Si en la fórmula de la derivada de au sustituimos a por e, lo que tenemos es:

d eu = eu ln e du
dx dx

pero como ln e = 1, resulta que:

d eu = eu du
dx dx

EJEMPLOS

1) Derivar

y = e2x+3

Hagamos u = 2x + 3 entonces, du = 2, y
dx

( )dy = e2x+3 2

dx
dy = 2e2x+3
dx

2) Hallar la derivada de

y = 3ex3

Hagamos u = x3; entonces, du = 3x2, y
dx

( )dy = 3ex3 3x2

dx
dy = 9x2ex3
dx

3) Derivar

y = 105x

Derivadas de funciones exponenciales • 87

Tenemos que u = 5x; entonces, du = 5, la derivada de y = 105x es:
dx

( )dy = 105x ln10 5

dx

( )dy = 5 105x ln10

dx

4) Encontrar la derivada de:

y= 5
2e4 x

Si rescribimos la función, tenemos que y = 5 e−4x ; luego, u = −4x y du = −4
2 dx

( )dy = 5 e−4x −4

dx 2
dy = −10e−4x = − 10
dx e4x

5) Derivar

s = et

Al reescribir la expresión:

t u= t, du = 1
2 dt 2
s = e2,

ds = t ⎛ 1⎞
dt ⎜⎝ 2 ⎟⎠
e2

ds = 1 t

dt 2 e2

6) Derivar

( )y = 3x − 1 e2x

88 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

Solución “La primera por la derivada de
Al derivar como un producto tenemos que: la segunda más la segunda por la
derivada de la primera”.
( ) ( ) ( )dy = 3x − 1 e2x 2 + e2x 3

dx

( )dy = 6x − 2 e2x + 3e2x

dx

( ) ( )dy = e2x 6x − 2 + 3 = 6x + 1 e2x

dx

EJERCICIOS
Derivar las siguientes funciones exponenciales.

1. y = e2x+3 dy = 2e2x+3 2. y = e x+1
dx

3. y = ex2 −x ( )dy = 2x − 1 ex2−x 2

dx 4. y = e x

Derivadas de funciones exponenciales • 89

5. y = eln x dy = 1 eln x 6. y = ex2 ln x
dx x

7. y = e x + ex dy = 1 e x + ex 8. 1 + 1

dx 2 x 2 y = ex ex

9. y = e3sen x dy = 3 cos xe3sen x 10. y = ex cos x
dx