CálcDifRJimenez

90 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

11. y = ex − e−x ( )dy = 4
ex + e−x
dx ex + e−x

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Cuando estudiamos las funciones exponenciales, mencionamos que e = 2.71828181 es
un número irracional que aparece de manera natural en fenómenos físicos, biológicos,
sociales económicos, etcétera, y que se define como:

( )e = ⎛ + 1⎞x = 1+ 1 = 2.71828181
lím ⎝⎜ 1 x ⎠⎟ lím x x

x→∞ x →0

Derivada de loga u
La derivada del logaritmo de base a de u con respecto a x es:

d loga u = loga e ⋅ du
dx u dx
Propiedades de los logaritmos

( )1. log ab = log a + log b

Demostración 2. log a = log a − log b
b
( )Si y = log u y u = f x , entonces:
a 3. log an = n log a

( )y + ∆y = log u + ∆u
a

( )∆y = loga = u + ∆u
u + ∆u − loga u loga u (recuerda las propiedades de los logaritmos).

Derivadas de funciones logarítmicas • 91

∆u Luego, si multiplicamos el segundo miembro de la igualdad por 1, pero escrito como
u u
⋅ ∆u , tenemos:

∆y = loga u + ∆u ∆u ⋅ u y si dividimos entre ∆x :
u
u ∆u
u

∆y u u + ∆u ⋅ ∆u ⎛ u + ∆u ⎞ ∆u ⋅ ∆u (otra propiedad de los logaritmos).
∆x ∆x u ⎝⎜ u ⎠⎟
= loga u∆x = loga u∆x

u

∆y ⎛ u + ∆u⎞ ∆u ⋅ 1 ⋅ ∆u
∆x ⎜⎝ u ⎠⎟ u ∆x
= loga

⎡ u⎤
∆y ⎢ ⎛ ∆u ⎞ ∆u ⎥ 1 lím ⋅ ∆u
lím ∆x = lím ⎢ log ⎝⎜ 1 + u ⎠⎟ ⎥
⎣⎢ a ⎥⎦ u ∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆x→0

dy = loga e ⋅ du.

dx u dx

EJEMPLOS

1) Derivar ( )y = log 3x

Hagamos u = 3x ; luego, du = 3
dx

entonces:

( )dy = log e 3 = log e
dx 3x x

2) Hallar la derivada de ( )y = log 2 − 3x

Hagamos u = 2 − 3x; luego, du = −3
dx

entonces:

( )dy = log e −3 = −3 log e
dx 2 − 3x 2 − 3x

92 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

Derivada de la función logaritmo natural y
La derivada de y = ln u es: y=lnx

d ln u = 1 du (1, 0) x
dx u dx

Demostración
Recordemos que:

log u = ln u
e

Luego, si recurrimos a la derivada de los logaritmos de base a:

d log u = log e du = 1 du
e

dx e u dx u dx

d ln u = 1 du
dx u dx

EJEMPLOS

1) Derivar ( )y = ln 2 − 3x

Hagamos u = 2 − 3x ⇒ du = −3; luego,
dx

( )dy = 1 −3 = − 3
dx 2 − 3x 2 − 3x

2) Derivar

y = x ln x

Aquí debemos derivar como producto, entonces hagamos:

f (x) = x; fЈ(x) = 1 y g (x) = ln x; luego, gЈ(x) = 1
x

Derivadas de funciones logarítmicas • 93

Por lo tanto: ( )dy = ⎛ 1⎞ + ln x 1 = 1 + ln x
3) Derivar x ⎜⎝ x ⎟⎠
dx

f (x) = ln 3 1 − x2

Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos:

1 = 1 ln
( ) ( )f (x) = ln 3 1 − x2 3
= ln 1 − x2 1 − x2 , al aplicar log an = n log a.
3

Esta última expresión es más sencilla de derivar:

( )dy = 1 ⎡ 1 ⎤
3 ⎢ − x2 −2x ⎥
dx ⎣1
⎦

dy = 1 ⎡ −2x ⎤
dx 3 ⎢ ⎥
⎣ 1 − x2 ⎦

( )dy = − 2x

dx 3 1 − x2

EJERCICIOS
Encontrar la derivada en las funciones siguientes.

( )1. y = ln l − x2 dy = − 2x 2. y = ln x4 − 4x
dx 1 − x2

94 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

)(3. dy = 3 ln2 x ( )4. y = ln x x2 − 1
y= 3 dx x

ln x

5. y = ln x dy = 1 − 2 ln x 6. y = ln(sen x)
x2 dx x3

7. y = ln x − 1 dy = ( 1 1) 8. y = ln sen x − 1
x+1 dx sen x + 2
x − 1)( x +

( )9. y = ln x + x2 − 1 Derivadas de funciones implícitas • 95
dy = 1
dx x2 − 1

10. y = x2 3x − 2

( )2

x−1

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

Hasta aquí, hemos estudiado casi todas las funciones que se pueden describir al expresar
de forma explícita una variable en términos de otra. Sin embargo, a veces las funciones
están definidas de manera implícita, es decir, alguna de sus variables no está despejada.
Vea la tabla siguiente para comprenderlo mejor.

Función implícita Función explícita Derivada
xy = 2 y= 2 dy = − 2
x dx x2

96 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

El ejemplo nos enseña que es relativamente fácil despejar y de la función implí-
cita para así, obtener su derivada. Pero sabemos que a veces en ciertas funciones, no
se puede despejar la y o es muy difícil hacerlo; entonces hay que preguntarse si dichas
funciones se pueden derivar de manera implícita. La respuesta es sí, y es necesario
hacerlo término a término considerando que la ecuación determina a y como función

de x.

EJEMPLOS

1) Derivar x2 + y2 = 25. y

Al derivar término a término tenemos que: 0x

( )d x2 + d y2 = d 25 x2 + y2 =25

dx dx dx y
2x + 2y dy = 0
dx 0x
2y dy = −2x
dx y = 2 5−x2
dy = − 2x = − x
dx 2y y y
y=− 25−x2
Comprobación del ejemplo 1.
0x
Si en el ejemplo 1 hacemos explícita la función, entonces:

y = 25 − x2

( ) ( )dy = 1−1 x =− x
25 − x2 2 −2 x =−

1

25 − x2 2
( )dx 2 25 − x2

Pero si en el denominador sustituimos 25 − x2 por y, obtenemos el mismo resul-
tado que en el ejemplo 1.

dy = − x
dx y

Ecuaciones de la tangente y de la normal • 97

ECUACIONES DE LA TANGENTE

Y DE LA NORMAL

EJEMPLOS
1) Con relación al ejemplo 1, encuentra la ecuación de las rectas tangente y normal a

( )la curva x2 + y2 = 25 en el punto 3, 4 .

Solución

Como la derivada de la función es dy = − x, tenemos que la pendiente en y Tangente
( )el punto 3, 4 es dx y 0 (3,4)

m=−x =−3 Normal
y4
x

( )Por lo tanto, la ecuación de la tangente al círculo en 3, 4 es:
( )y − 4 = − 3 x − 3 o 3x + 4y = 25

4

( )La recta normal es la perpendicular a la recta tangente en el punto 3, 4 ; luego,

su ecuación es:

( )y − 4 = 4 x − 3 o 4x − 3y = 0
3

Recta normal. Recta perpendicular a otra.

Condiciones de perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares si sus pendien-
tes m y m son recíprocas y de signo contrario.

12

m =− 1
1m

2

98 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

2) Calcular dy la ecuación sen y = x y
dx sen y=x

d sen y = dx –1 1 x
dx dx
cos y dy = 1

dx
dy = 1
dx cos y

3) Derivar x3 − xy + y2 = 9

⎛ x dy + y 1 ⎞
⎜ dx ⎟
⎝⎜ xy⎟⎠
derivada del producto
−( )3x2 + 2y dy = 0
dx
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭

( )3x2 − x dy − y 1 + 2y dy = 0 al igualar a cero.
dx dx al transponer términos.
)(dy −x + 2y = y − 3x2
dx
dy = y − 3x2
dx 2y − x

EJERCICIOS
Hallar dy de forma implícita.

dx

Ecuaciones de la tangente y de la normal • 99

1. x2 − y2 = 16 dy = x 2. x2 − y3 = 0
dx y

3. x + y = 9 dy = − y 4. x2 + y2 = 2
dx x

5. y3 − y = x dy = 1 6. y = x − 2y
dx 3y2 − 1

100 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

7. x2 y + y2 x = −2 dy = − 2xy + y2 8. y2 = x2 − 9
dx x2 + 2xy x2 + 9

( )9. x + y 3 = x3 + y3 dy = − 2xy + y2 10. x3 y3 − y = x
dx x2 + 2xy

11. xy = x − 2y dy = 2x − 5y 12. sen x cos y = 1
dx 5x − 8y

Ecuaciones de la tangente y de la normal • 101

13. exy + y = 3 dy = − yexy 14. xey − 3x + ln y = 4
dx 1 + xexy

Aplicaciones

EJEMPLOS

1) Se deja caer una roca sobre un estanque en reposo y, al hacerlo, produce ondas circu-
lares concéntricas. El radio de la onda exterior crece al ritmo constante de 1 pies / seg.
Cuando su radio es de 3 pies, ¿a qué ritmo está creciendo el área A de la zona pertur-
bada?

Área de la onda: A = π r2;

Solución

En estos casos, la variable independiente es el tiempo t, de manera que hay que derivar
la variable A con respecto al tiempo.

Crecimiento del radio: dr = 1 pies / seg, cuando r = 3.
dt

( )Crecimiento del área: dA = d π r2 = 2π r dr ; luego, si r = 3 , entonces:
dt dt dt

( )( )dA = 2π 3 1 = 6π pies2

dt seg

102 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

2) Suponer que la escalera de la figura se está deslizando sobre el piso a razón de 3

pies / seg. ¿A qué velocidad se desliza la parte superior de la escalera en el momento

en que la base está a 8 pies del muro? Es decir, ¿cuál es el valor de dy cuando
dt
dx = 3 y x = 8?
dt

Solución

El teorema de Pitágoras nos da la relación:

x2 + y2 = 102, de donde y = 100 − x2 10

y

x

Si derivamos x2 + y2 = 102 con respecto al tiempo,

2x dx + 2y dy = 0
dt dt

al despejar dy = − 2x dx = − x dx .
dt 2y dt y dt

al sustituir dy = − x dy
dt 100 − x2 dx

( )= − 8 3 = 4 pies / seg.
100 − 82

EJERCICIOS
Resolver los siguientes problemas.

Ecuaciones de la tangente y de la normal • 103

1. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal al círculo x2 + y2 = 9 el

( )punto 2, 5 . La recta normal en un punto es la perpendicular a la recta tan-

gente en dicho punto.

(2, 5 )
r=3

2. La curva y2 = x3 + 3x2 se llama cúbica de Tschirnhausen. Encuentra y dibuja

( )las ecuaciones de la tangente y la normal en el punto 1, 2 .

y
(1, 2)
x

3. Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4.5 pulgadas cúbicas por minuto.
Hallar la razón de cambio del radio cuando éste es de 2 pulgadas.

104 • U N I D A D 2 Razón de cambio y la derivada

4. Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El
diámetro de la base del cono es de alrededor el doble de su altura. ¿A qué ritmo
está cambiando la altura del montón cuando su altura es de 15 pies?

h = altura
r= radio

5. Un aeroplano que viaja a 390 pies por segundo a una altitud de 5 000 pies vuela
directamente sobre un observador como se muestra en la figura.
a) Encuentra una ecuación que relacione a x y r.

b) Halla el valor de x cuando r es 13 000.

c) ¿A qué velocidad está cambiando la distancia entre el aeroplano y el ob-
servador cuando el aeroplano está a 13 000 pies del observador? Es decir,
¿cuánto vale dr cuando dx = 390 y r = 13000?
dt dt

5000 x
r

Observador

UNIDAD

3

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo 106

Funciones crecientes y decrecientes 116

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada 118

Derivadas de orden superior 123

Aceleración 125

Concavidad y punto de inflexión 128

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada 129

Trazado de curvas 131

Más aplicaciones de la derivada 134

105

106 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

APLICACIONES DE LA DERIVADA:

VALOR MÁXIMO Y VALOR MÍNIMO

Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial se presentan cuando
queremos encontrar la mejor manera de hacer algo. Esta situación se puede resumir
como la determinación del valor máximo o mínimo de una función.

Para comprender mejor el tema de máximos y mínimos consideremos la siguiente
situación:

Tenemos un rectángulo que tiene 100 cm de perímetro (figura mostrada) y quere-
mos expresar su área A como función de x. También deseamos calcular la base y la
altura que nos da la figura de mayor área. Veamos lo que tenemos que hacer:

Si el perímetro es 100 cm, entonces:

2x + 2y = 100 al despejar y A=xy y
x + y = 50
y = 50 − x

El área del rectángulo es:

x

A = xy al sustituir el valor de y
al simplificar.
( )A = x 50 − x

A = 50x − x2

Con la ecuación del área A = 50x − x2 com- x 0 10 20 30 40 50
pleta la siguiente tabla y grafica los valores obte-

nidos para el área. A

¿Qué nos enseña la gráfica? A x

Que la función área es una parábola, que 800
existe un valor máximo para A y que dy = m es 700
600
dx 500
igual a cero en donde A es máxima. Por lo 400
tanto: 300
200
dA = 50 − 2x 100
dx
50 − 2x = 0 10 20 30 40 50 60

x = 25 cm
y = 50 − x
y = 25 cm

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo • 107

Conclusión. La base y la altura del rectángulo deben medir 25 cm para obtener el
rectángulo de mayor área.

Asimismo, se concluye que una parábola con concavidad hacia arriba tiene un valor
mínimo y que su derivada en ese punto también es cero.

EJEMPLOS y
1) Determina si la parábola y = x2 − 2x − 2 tiene un

valor máximo o mínimo.

Primero hay que obtener la derivada de y = x2 − 2x − 2.

dy = 2x − 2 x
dx m=0

A partir de la gráfica es evidente que hay un punto
mínimo; por lo tanto,

2x − 2 = 0

( ) ( )x = 2 = 1
2 2

⇒ y = 1 − 2 1 − 2 = −3

( )Esto significa que la función tiene un valor mínimo en el punto P 1, −3 y no tiene

máximo.

2) Se desea elaborar una caja abierta con una pieza cuadrada de material de 4 pulgadas

de lado, cortando cuadraditos iguales de cada esquina y doblando por las líneas de

puntos de la figura. Hallar el volumen máximo que puede lograrse con una caja

así.
x

El volumen de la caja es el área de la base por la al-

tura:

( )V = 4 − 2x 2 x = 16x − 16x2 + 4x3 4-2x

Luego, al derivar obtenemos: x
dV = 16 − 32x + 12x2 x 4-2x x
dx

16 − 32x + 12x2 = 0 si el volumen es máximo o mínimo. x
4 − 8x + 3x2 = 0 al sacar cuarta a la ecuación.
4-2x
4-2x

108 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

x = 8 ± 64 − 48 = 8 ± 4 al utilizar la fórmula general.
66

De donde x = 8 + 4 = 2 5 Pmáx (0.66, 4.74)
16 4
3
y 2
x = 8−4 = 2. 1
263

La solución factible es x = 2 3 , porque x =2
2 1
partiría la pieza cuadrada en cuatro partes 12 3

iguales. Gráfica de la función volumen

( )3) Desde la superficie de la Tierra, se lanza un proyectil hacia arriba con una veloci-
dad inicial de 160 pies / seg s = 160t − 16t 2 . Las gráficas de posición, velocidad y
aceleración se muestran abajo. Hallar:

a) La velocidad del proyectil en un tiempo t, b) el tiempo para alcanzar la altura
máxima, c) la altura máxima que alcanza el proyectil.

Solución

a) Primero calculemos la derivada de la función, que repre-
senta la velocidad del proyectil en cualquier tiempo.

v = ds = 160 − 32t.
dt

b) Sabemos que cuando alcance su altura máxima v = 0 , por
tanto,

160 − 32t = 0 en el punto más alto, luego,
al despejar t:

t = −160 = 5 seg es el tiempo para llegar al punto
−32

más alto.

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo • 109

( ) ( )c) La máxima altura es pues, smáx = 160 5 − 16 5 2 = 400 pies.

s v a

400 200 –32

300 100

200 5 t t

100

t

EJERCICIOS
Resuelve los siguientes problemas.

1. Encuentra dos números positivos de manera tal que la suma del doble de uno
más el otro, sea mínima, si el producto de dichos números es 288.

R. 12 y 24

2. Halla dos números, cuya diferencia sea 50, de modo que su producto sea mí-
nimo.

110 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

3. Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares
(figura mostrada). ¿Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada sea máxima?

R. 50 * 33.3 pies

y

xx

4. Diseña un envase cilíndrico con capacidad de 300 cm3 de forma que la cantidad de material usado
en su construcción sea mínima. (Calcula las dimensiones).

r A= π r2

A=2 π rh h r
h

2πr
Material necesario

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo • 111

5. Se supone que la tos humana incrementa el flujo del aire hacia los pulmones y, al hacerlo, despla-

za partículas que bloquean la tráquea. La velocidad del aire a través de una tráquea con un radio

( ) ( )r
0
es de alrededor de V r = cr2 r0 − r , para una constante c. Calcula el radio que maximice la

velocidad del aire de la traquea.

r = 2 r.
3

( )6. Se lanza un proyectil hacia arriba a una velocidad inicial de 49 m / s s = 30 + 49t − 4.9t 2 desde
un edificio de 30 m. Encuentra:
a) La altura máxima que alcanza el proyectil.
b) El tiempo para alcanzar esa altura.
c) La velocidad en un tiempo t .
d) Las gráficas de posición, velocidad y aceleración.

30 m

s va

t t
t

112 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

Aplicaciones a la economía

Antes de abordar los ejemplos de la aplicación de la derivada en la economía definamos
los siguientes conceptos.

( )Función de costo C x . Es el costo de producir x unidades de cierto producto.

( )Costo marginal. Es la razón de cambio de C x con respecto a x, es decir, la deri-

( )vada CЈ x de la función costo.

Costo promedio. Es el costo por unidad cuando se producen x unidades:

c(x) = C(x)
x

Función de ingreso total. Es la venta de x unidades al precio por unidad o función

( )de demanda p x , entonces el ingreso total es:
R(x) = xp(x)

( )Función de ingreso marginal. Es la derivada RЈ x de la función de ingreso.
( )Utilidad total P x . Si se venden x unidades de un producto, la utilidad total se

obtiene mediante la expresión:

P(x) = R(x)−C(x)

( )Función de utilidad marginal. Es la derivada PЈ x de la función de utilidad total.

EJEMPLOS

1) Una compañía estima que el costo en dólares de producir x artículos es:

( )C x = 2600 + 2x + 0.001x2

a) Encuentra el costo, el costo promedio y el costo marginal de producir 1000
artículos.

b) ¿A qué nivel de producción el costo promedio será el más bajo y cuál será el
costo promedio mínimo?

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo • 113

Solución
a) El costo de producir 1000 artículos es:

( ) ( ) ( )2

C 1000 = 2600 + 2 1000 + 0.001 1000 = 5600 dólares.

( ) ( )La función de costo promedio es cx C x = 2600 + 2 + 0.001x , pero para
=
xx
1000 artículos se puede calcular así:

( ) ( )c 1000
C 1000 = 5600 = 5.6 dólares por artículo.
=
1000 1000

( )La función de costo marginal es la derivada de C x = 2600 + 2x + 0.001x2, es

decir:

CЈ(x) = 2 + 0.002x

( ) ( )Por lo tanto, CЈ 1000 = 2 + 0.002 1000 = 4 dólares por artículo.

b) Para minimizar el costo promedio, será necesario derivar el costo promedio:

( )c x = 2600 + 2 + 0.001x
x
Enseguida igualar a cero y resolver para x :

( )cЈ x = − 2600 + 0.001 al igualar a cero
x2 al despejar x
− 2600 + 0.001 = 0
x2

x = 2600 ≈ 1612
0.001

Por lo tanto, el costo promedio mínimo es:

( ) ( )c 1612 = 2600 + 2 + 0.001 1612 = 5.22 dólares por artículo.
1612

114 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

2) Encuentra el nivel de producción que maximizará la utilidad para una compañía
mediante funciones de costo y demanda.

( )C x = 84 + 1.26x − 0.01x2 + 0.00007x3 ( )p x = 3.5 − 0.01x

Solución P(x)
La función de ingreso es: 70

( ) ( ) ( )R x = xp x = x 3.5 − 0.01x = 3.5x − 0.01x2

De modo que la función de utilidad es: 103 x

( ) ( ) ( )P x = R x − C x = 2.24x − 0.00007x3 − 84 P(x)= 2.24x − 0.00007x3 −84

Luego, la utilidad marginal es la derivada de la función de utilidad:

( )PЈ x = 2.24 − 0.00021x2

2.24 − 0.00021x2 = 0 ⇒ x ≈ 103 al igualar a cero y resolver para x.

Lo que significa que un nivel de producción de 103 unidades maximiza la utilidad.

EJERCICIOS

( )1. El costo promedio de producir x unidades de un artículo es c x = 21.4 − 0.002x.
Encuentra el costo marginal para un nivel de producción de 1000 unidades.
¿Qué implica tu respuesta?

17.4 $ / unidad

Aplicaciones de la derivada: valor máximo y valor mínimo • 115

2. Una compañía estima que el costo en dólares de producir x artículos es:

( )C x = 1600 + 8x + 0.01x2

Encuentra:
a) El costo, el costo promedio y el costo marginal de producir 1000 unidades.
b) El nivel de producción que minimizará el costo promedio.
c) El costo promedio mínimo.

3. Para las funciones de costo y demanda dadas, encuentra el nivel de producción
que maximizará la utilidad.

( )C x = 680 + 4x − 0.01x2 ( )p x = 12 − x / 500

333 unidades

4. Para las funciones de costo y demanda dadas, encuentra el nivel de producción
que maximizará la utilidad.

( )C x = 1000 + 28x − 0.01x2 + 0.002x3 ( )p x = 90 − 0.02x

116 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

Más de máximos y mínimos

Hemos estudiado sólo la aplicación de la derivada para funciones que, por su naturale-
za, tienen máximos y mínimos relativos, y en donde la derivada siempre es horizontal y,
por lo tanto, igual a cero. Sin embargo, ahora hay que preguntarnos si existen métodos
más exhaustivos que garanticen cómo encontrar los máximos o mínimos de una fun-
ción, porque ocurre que hay funciones con valores extremos en donde la derivada no
es cero o bien que la derivada en un punto de una gráfica es igual a cero y no un valor
máximo o mínimo.

yy y

xx x

Si f(x)=x3, entonces f´(0)=0, Si f(x)=|x|, entonces f(0)=0 Esta función tiene un valor
pero f no tiene máximo ni es un valor mínimo, pero en ese máximo, pero la derivada no
mínimo punto la derivada no existe existe en ese punto

Definición. Una función f posee un máximo local (o máximo relativo) en un valor

( ) ( )crítico c, si f c ≥ f x cuando x está cerca de c. De la misma manera, f tiene un
( ) ( )mínimo local en c, si f c ≤ f x , cuando x está cerca de c.

¿Cómo encontrar un primer método para analizar los máximos y mínimos relativos
en la gráfica de una función y = f (x)?

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Comencemos por analizar si las funciones son crecientes o decrecientes y observemos
cómo es la pendiente o derivada en cada punto de las gráficas.

m siempre es Funciones crecientes y decrecientes • 117
positiva
m siempre es
negativa

Función creciente. Es cuando x crece Función decreciente. Es cuando x
y también lo hace y. Su pendiente o crece y decrece y. Su pendiente o
derivada siempre es positiva. derivada siempre es negativa.

Ahora bien, si complementamos los conceptos de funciones creciente y decreciente
de las gráficas anteriores al analizar la concavidad de una curva, veremos pues que una
curva cóncava hacia abajo, sin lugar a dudas tiene un valor máximo y su derivada cambia
de positiva a negativa, es decir, decrece y que en una curva cóncava hacia arriba tiene
un mínimo y la derivada cambia de negativa a positiva, es decir, crece. Esta idea nos da
la pauta para encontrar un criterio que garantice cómo encontrar los valores extremos
de una función.

Función cóncava hacia abajo Función cóncava hacia arriba
m =0

m positiva m negativa m negativa m positiva

Valor máximo m =0
Valor mínimo

Una función tiene un máximo relativo Una función tiene un mínimo relativo
cuando su pendiente es cero y su cuando su pendiente es cero y su
derivada pasa de ser positiva a ser derivada pasa de ser negativa a ser
negativa haciendo el recorrido de positiva haciendo el recorrido de
izquierda a derecha. izquierda a derecha.

Con todo lo antes dicho y el análisis de las ilustraciones anteriores ya estamos en
condiciones de formular el primer método para calcular los máximos y mínimos relati-
vos de una función y = f (x).

118 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

CON EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Criterio de la primera derivada para calcular los máximos
y mínimos relativos de una función.

1. Calcular la derivada de y = f (x).

2. Igualar a cero la derivada de y = f (x) y resolver la ecuación, estas soluciones se
llaman valores críticos.

3. Analizar el signo de dy un valor antes y uno después de cada valor crítico sin
dx

omitir alguno de ellos:
a) Si la derivada de y = f (x) cambia de (+) a (−) se trata de un máximo.
b) Si la derivada de y = f (x) cambia de (−) a (+) se trata de un mínimo.
c) Si no hay cambio de signo no es ni máximo ni mínimo.

4. Graficar.

EJEMPLOS
1) Calcular los máximos y mínimos de la función y = x3 − 6x2 + 9x. Graficar

Primero calculamos la derivada de la función Máx (1, 4)
4
dy = 3x2 − 12x + 9 3
dx 2
igualamos a cero la derivada de la función 1

3x2 − 12x + 9 = 0 1234
al factorizar y resolver la ecuación, tenemos que Mín (3, 0)

( )( )3 x − 3 x − 1 = 0,

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada • 119

entonces los valores críticos son: x =3⇒y =0
x =1⇒y =4 22

11

Análisis del valor crítico x = 1
1

Si x < 1, por ejemplo 0.9 ⇒ dy = 3(−)(−) = +
dx
x > 1, por ejemplo 1.1 ⇒ dy = 3(−)(+) = −
dx

( )Como la derivada cambia de positiva a negativa concluimos que en el punto 1, 4

hay un máximo relativo.

Análisis del valor crítico x = 3.
2

Si x < 3, por ejemplo 2.9 ⇒ dy = 3(−)(+) = −
dx

Si x > 3, por ejemplo 3.1 ⇒ dy = 3(+)(+) = +.
dx

( )Como la derivada cambia de negativa a positiva concluimos que en el punto 3, 0

hay un mínimo relativo.

2) Calcular los máximos y mínimos de la función y = sen x en el intervalo ⎣⎡0, 2π ⎤⎦.
Graficar
Primero calculamos la derivada de la función

dy = cos x
dx
igualamos a cero la derivada de la función y resolvemos para x

cos x = 0, entonces x = π = 90º y x = 3 π = 270º, etcétera.
12 22

120 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

Análisis del valor crítico x = π = 90º
12

Si x < π , entonces dy = +
2 dx

Si x > π , entonces dy = −.
2 dx

Como la derivada cambia de positiva a negativa concluimos que en el punto ⎛ π ⎞
un máximo relativo. ⎝⎜ 2 , 1⎟⎠
hay

Análisis del valor crítico x = 3π = 270º
22

Si x < 3π , entonces dy = −
2 dx

Si x > 3π , entonces dy = +.
2 dx

Como la derivada cambia de negativa a positiva concluimos que en el punto

⎛ 3π , ⎞ hay un mínimo relativo. Por ultimo, verificamos mediante una gráfica.
⎜⎝ 2 −1⎠⎟

y

1

π π 3π 2π x

22

–1

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la primera derivada • 121
EJERCICIOS

1. Calcular los máximos y mínimos de la función y = 2x2 − x4.

1

–2 –1 12
–1

2. Comprobar que la función y = x4 − 4x tiene un sólo valor extremo, y que es un

( )mínimo en 1, −3 .

y

x

y = x4 − 4x

122 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

3. Hallar los máximos y mínimos de y = 3x4 − 4x3 − 12x2. Enseguida te mostramos
la gráfica como referente.

y

x

y = 3x4 − 4x3 −12x2

( )Mín. −1, −5
( )Máx. 0, 0
( )Mín. 2, −32

4. Determinar los máximos y mínimos de y = x2 + 2 .
x

y

x

y = x2 + 2
x

Derivadas de orden superior • 123

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Hemos visto que, la derivada de una función de x, es también otra función de x. Si
ocurre que esta nueva función es derivable; en este caso la derivada de la prime-
ra derivada se llamará segunda derivada. De forma semejante, la derivada de la se-
gunda derivada se denomina tercera derivada, y así, de forma sucesiva hasta la enésima
derivada. Ejemplo:

Si y = 5x3 ⇒ dy = 15x2 y d ⎛ dy ⎞ = 30x, etcétera
dx dx ⎝⎜ dx ⎟⎠

Símbolos para indicar las derivadas sucesivas:

( )yЈ = fЈ x = dy, significa la primera derivada de y con respecto a x
dx

( )yЉ = f Љx = d2 y, significa la segunda derivada de y con respecto a x
dx2

( )y ЉЈ = f ЉЈ x = d3 y, significa la tercera derivada de y con respecto a x
dx3

( )y IV = f IVx = d4 y , significa la cuarta derivada de y con respecto a x etcétera.
dx4

EJEMPLO
1) Derivar y = 2x2 − 5x + 2 hasta la segunda derivada

dy = 4x − 5 Primera derivada
dx Segunda derivada
dy = 4
dx

124 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

EJERCICIOS 2. Hallar la segunda derivada de:
1. Hallar la tercera derivada de:
( )2
y = x4 + 5x − 4
y= x−2

3. Hallar la segunda derivada de: 4. Hallar la segunda derivada de:
y= 3−x
y = (x − 3)(x + 3)

Aceleración • 125

5. En la figura se muestran las gráficas de f, fЈ y f Љ. Identifica cada curva y explica
tus elecciones.

y y y
x x x

ACELERACIÓN

Sabemos que la aceleración media de un móvil es la relación del cambio de velocidad

entre el tiempo transcurrido. En símbolos esto se expresa así: amed = ∆v; por lo tanto,
∆t

la aceleración instantánea será el límite de dicha relación cuando el tiempo tienda a

cero.

a = lím ∆v = dv
∆t→0 ∆t dt

Pero como v = ds ⇒ a = d ⎛ ds ⎞ = d2s , es decir, la segunda derivada del despla-
dt dt ⎜⎝ dt ⎠⎟ dt 2

zamiento con respecto a t es la aceleración del móvil.

La derivada de la aceleración es la tercera derivada de la posición de un móvil y se

conoce como tirón y, de hecho, debe su nombre a que un gran tirón o jalón implica un

cambio súbito en la aceleración.

126 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

EJEMPLO

1) Desde lo alto de un edificio de 160 pies de altura, se arroja una pelota hacia arriba
con una velocidad inicial de 64 pies / seg .

a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima?

c) ¿Cuándo llega al piso?

d) ¿Con qué velocidad llega al piso? 160 pies

e) ¿Cuál es la aceleración al momento t = 2?

Solución
¿Qué sabemos?

Que s0 = 160 pies, v0 = 64 pies / seg, a = −32 pies / seg2 y que la posición en cual-
quier tiempo es:

s= s0 + vt + gt 2 = 160 + 64t − 16t 2
2

Por lo tanto,

v = ds = 64 − 32t
dt

¿Qué queremos saber?

a) Que la pelota alcanza su altura máxima cuando v = 0, luego,

−32t + 64 = 0, de donde t = 2 seg .

( ) ( )b) Cuando t = 2 seg, s = −16 2 2+ 64 2 + 160 = 224 pies.

c) s = 0, cuando la pelota golpea el suelo, es decir;
−16t 2 + 64t + 160 = 0

Aceleración • 127

Al dividir entre 16, t = 4 ± 16 + 40 = ± 5.74
2

Sólo t = 5.74 segundos tiene sentido, no hay tiempo negativo.

( )d) Cuando t = 5.74 segundos, v = −32 5.74 + 64 = −119.73 m / seg.

e) La aceleración siempre es −32 pies / s2.

EJERCICIO

1. Un punto se mueve a lo largo de un eje horizontal de tal forma que su posición
en el momento t está dada por:

s = t 3 − 12t 2 + 36t − 30 pies / seg

a) ¿Cuándo es igual a cero su velocidad?
b) ¿Cuándo es positiva la velocidad?
c) ¿Cuándo el punto se mueve a la izquierda?
d) ¿Cuándo es negativa la aceleración?

Sugerencia: Grafica en una computadora las ecuaciones de posición, velocidad y
aceleración.

128 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

C O N C AV I D A D Y P U N T O D E I N F L E X I Ó N

Concavidad de una curva. Cuando recorremos una curva de izquierda a derecha y la
tangente de ésta en cada punto gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, se
dice que la curva es cóncava hacia arriba; si gira en sentido opuesto, la gráfica es cón-
cava hacia abajo.

Luego, es evidente que la derivada de una función con concavidad hacia arriba es
creciente, por lo tanto, su segunda derivada es positiva. Por otro lado, si la concavidad
es hacia abajo, la primera derivada es decreciente y su segunda derivada es negativa. Por
último, un cambio de concavidad se encuentra en un punto llamado punto de inflexión.
Los diagramas siguientes nos ayudarán a comprender mejor todo esto.

Función cóncava hacia arriba Gráfica de la primera derivada

f (x) f´(x)

valor mínimo f"(x)> 0

fЈ (x) es creciente, luego x fЈ (x) es creciente, luego x
f Љ (x) positiva y la función
tiene un mínimo f Љ (x) es positiva

Función cóncava hacia abajo Gráfica de la primera derivada

f (x) f´(x)

valor máximo f"(x)< 0

fЈ (x) es decreciente, luego x fЈ (x) es decreciente, luego x

f Љ (x) negativa y la función f Љ (x) es positiva
tiene un mínimo

Cálculo de máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada • 129
Punto de inflexión. El significado de este punto es que la razón de cambio de la
función alcanza su valor máximo precisamente en ese punto.

y

Punto de inflexión

Concavidad Concavidad x
hacia arriba hacia abajo

CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON

EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Si analizamos y sintetizamos estas ilustraciones podemos concluir un segundo método

( )para calcular los máximos y mínimos de una función y = f x .

1. Calcular la primera derivada.
2. Encontrar los valores críticos.
3. Hallar la segunda derivada.
4. Evaluar la segunda derivada en cada uno de los valores críticos para conocer el

signo de ésta:

( )a) Si f Љ x es negativa, la función tiene un máximo.
( )b) Si f Љ x es positiva, la función tiene un mínimo.
( )c) Si f Љ x es cero o no existe, por lo general, es un punto de inflexión.

5. Graficar

130 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

EJEMPLOS
1) Hallar los valores máximos y mínimos de f (x) = 1 x3 − x2 − 3x + 4.

3

Solución y

( )Al derivar f x tenemos:

)(fЈ x = x2 − 2x − 3

Luego,

x

x2 − 2x − 3 = 0 en un máximo o mínimo.

Al resolver la ecuación los valores críticos son:

x = −1 y x = 3
12

Calculamos la segunda derivada:

f Љ(x) = 2x − 2
)(Evaluamos f Љ x en x = −1 y x = 3

12

( ) ( )f Љ −1 = 2 −1 − 2 = −4, es negativa, por lo tanto, hay un máximo ≈ 5.67 en

x = −1 .

( ) ( )f Љ 3 = 2 3 − 2 = 4, es positiva, por lo tanto, hay un mínimo = −5 en x = 3 .

2) Analiza la curva y = x4 − 4x3 y verifica la concavidad, puntos de inflexión y máximos
y mínimos locales.

Trazado de curvas • 131

Solución y
Obtenemos la primera derivada y los valores críticos
y = x4 − 4x3
( )dy = 4x3 − 12x2 = 4x2 x − 3
x
dx
Puntos de
( )4x2 x − 3 = 0 , de donde x = 0 inflexión
1
(2,−16)
y
x =3. (3,−27)

2

La segunda derivada es

( )d2 y = 12x2 − 24x = 12x x − 2 .

dx2

( )( )Si evaluamos la segunda derivada en x = 3; yЉ = 12 3 3 − 2 = 36 > 0 significa que
2

( )en el punto 3, −27 es un mínimo local.
Observa también que la segunda derivada en x = 0 y x = 2 es igual a cero, por lo
tanto, allí hay dos puntos de inflexión porque las concavidades de la gráfica se com-
portan de la siguiente manera:

Intervalo f Љ( x) = 12 x ( x − 2) Concavidad

x<3 positiva hacia arriba
0<x<2 negativa hacia abajo
positiva hacia arriba
x>2

TRAZADO DE CURVAS

Con el mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión se puede
graficar la curva.

132 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

EJERCICIOS
1. Halla los máximos y mínimos f (x) = x3 − 3x + 4. Grafica.

2. Analiza la curva f (x) = x4 + x3 y verifica la concavidad, puntos de inflexión, y
máximos y mínimos locales.

Trazado de curvas • 133
3. Analiza la curva f (x) = 5x2 − 3x − x3 + 4 y verifica la concavidad, puntos de

inflexión, y máximos y mínimos locales.

y
x

4. Analiza la curva f (x) = 5x2 − 3x − x3 + 4 y verifica la concavidad, puntos de
inflexión, y máximos y mínimos locales.

y
x

134 • U N I D A D 3 Máximos y mínimos relativos

MÁS APLICACIONES DE LA DERIVADA

1. El área del papel de un tríptico debe tener 600 cm2, con márgenes inferior y
laterales de 2 cm y superior de 4 cm. Determina las dimensiones del papel que
permitan el área impresa mayor.

4Área impresa

22

2

2. Hay que construir una caja abierta rectangular con base cuadrada que contenga
6400 cm3 a un costo de $1.00 por cm2 para la base y $0.50 por cm2 para el área
lateral. ¿Cuáles son las dimensiones que producen el costo mínimo para cons-
truir la caja?

6400 cm3

y

x
x

Más aplicaciones de la derivada • 135
3. Se desea construir un envase cilíndrico vertical con tapa, el costo de las paredes

del cilindro $1.25 el cm2 y el de la tapa $2.00 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones
que producen el costo mínimo para construir el envase?

radio

h