ALYANA RAMDANI PUTRI ( 2203020005 ) DIO GELVANDA ( 2203020006 ) SHINDY RAHMAWATI ( 2203020030 ) NOVITA AGUSTINA ( 2203020040 ) SELA KARTIKA ( 2203020041 ) NAMA KELOMPOK : 1. 2. 3. 4. 5. GABR G E O METRI ANAL I TIK BIDANG & RUA N G
KATA PENGANTAR Bismillahirrahmannirrahim Puji dan syukur kami panjatkan kehadiran Allah SWT yang telah memberikan nikmat dan karunianya. Alhamdulillah dan atas izinnya, kami bisa menyelesaikan Modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa memberikan taufik dan hidayahnya. Pada kesempatan ini, kami mengucapkan terima kasih banyak kepada Ibuk Susanti. S.Pd., M.Pd. sebagai dosen pengampu mata kuliah Geometri Analitik Bidang dan Ruang yang telah memberikan arahan dan membimbing kami dalam penulisan Modul ini . Semoga ilmu yang telah disampaikan kepada kami menjadi amalan baik dan berkah. Terima kasih juga kepada teman-teman anggota kelompok yang sudah berpartisipasi dalam menyelesaikan Modul ini, semoga apa yang kita kerjakan memberikan nilai positif dan bisa menjadi panduan pembelajaran yang baik. Modul ini memuat materi Geometri Analitik Bidang dan Ruang yang meliputi sistem koordinat kartesius, persamaan garis lurus, lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Flipbook ini kami buat untuk memenuhi kebutuhan kuliah pada semester dua dan untuk mampu membantu mahasiswa dalam menentukan sistem koordinat kartesius pada bidang dan ruang, persamaan garis lurus pada bidang dan ruang, persamaan lingkaran, elips, parabola serta hiperbola. Pembahasan yang disampaikan pun disertai dengan contoh soal dan penyelesaiannya yang dapat digunakan untuk mengukur tingkat ketercapaian dan ketuntasan. Kami menyadari Modul ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun agar kami dapat menyempurnakan penyajian selanjutnya. Serta kami berharap Modul ini dapat memberikan manfaat dan berguna untuk pembelajaran. Tanjungpinang, 05 Juni 2023 Kelompok 10 Geometri analitik bidang & ruang i
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR.............................................................................................i DAFTAR ISI...........................................................................................................ii BAB I SISTEM KOORDINAT KARTESIUS....................................................1 A. Sistem Koordinat Kartesius pada Bidang.............................................2 B, Sistem Koordinat Kartesius pada Ruang..............................................4 C. Koordinat Suatu Titik yang terletak diantara 2 Titik yang segaris dengan perbandingan m : n pada Bidang..............................................6 D. Koordinat Suatu Titik yang terletak diantara 2 Titik yang segaris dengan perbandingan m : n pada Ruang..............................................8 E. Koordinat Kutub.................................................................................10 BAB II PERSAMAAN GARIS LURUS.............................................................13 A. Persamaan Garis Lurus........................................................................14 B. Persamaan Normal suatu Garis Lurus..................................................17 C. Kedudukan dan Jarak Titik ke Garis....................................................21 D. Sistem Koordinat Cartesian dan Persamaan Garis Lurus pada Sistem Koordinat Cartesian..................................................................23 BAB III LINGKARAN.........................................................................................28 A. Definisi Lingkaran................................................................................29 B. Persamaan Lingkaran...........................................................................33 C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran..................................................35 D. Kuasa Titik dan Garis pada Lingkaran................................................44 BAB IV ELIPS....................................................................................................49 A. Pengertian Elips....................................................................................50 B. Unsur-unsur Elips.................................................................................50 C. Persamaaan Standar Elips....................................................................51 D. Persamaan Umum Elips.......................................................................55 E. Persamaan Garis Singgung Elips...........................................................57 F. Kuasa Titik dan Garis pada Elips.........................................................65 Geometri analitik bidang & ruang ii
BAB V PARABOLA.............................................................................................71 A. Definisi Parabola.................................................................................72 B. Persamaan Parabola.............................................................................73 C. Persamaan Garis Singgung Parabola...................................................76 D. Kuasa Titik dan Gris Singgung Parabola............................................80 BAB VI HIPERBOLA...........................................................................................85 A. Definisi Hiperbola................................................................................86 B. Persamaan Hiperbola............................................................................87 C. Persamaan Garis Singgung Hiperbola..................................................98 Geometri analitik bidang & ruang iii
BAB 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dapat menjelaskan pengertian sistem koordinat kartesian Dapat menentukan letak titik pada bidang kartesian Dapat menentukan jarak dua titik pada kartesian Dapat mencari koordinat suatu titik yang terletak diantara dua titik yang segaris dengan perbandingan m : n Dapat menentukan koordinat kutub 1. 2. 3. 4. 5. Tujuan pembelajaran: Geometri analitik bidang & ruang 1
Bidang persegi panjang(bidang datar) adalah bidang datar yang terdiri dari dua sumbu koordinat yang saling tegak lurus, yaitu sumbu horizontal dan sumbu vertikal. Sumbu x dan sumbu y dibagi menjadi sumbu x,y positif dan sumbu x,y negatif.Sedangkan sumbu y positif adalah nilai y koordinat pusat ke atas dan sumbu y negatif ke bawah. Kedua sumbu ini membagi bidang koordinat menjadi empat bagian yang disebut kuadran. A. Sistem Koordinat Kartesius Sistem koordinat segi empat ini(koordinat kartesius) terdiri dari dua jenis yaitu; Sistem kartesius dalam dimensi 2 atau 2D dan sistem koordinat persegi panjang dalam dimensi 3 atau 3D. Sistem koordinat persegi panjang 2D berurusan dengan sistem koordinat persegi panjang di bidang, sedangkan sistem koordinat persegi panjang 3D berurusan dengan sistem koordinat kartesius pada ruang. Level ini biasanya digunakan sebagai pasangan berurutan untuk mengidentifikasi titik level. Ada dua garis di bidang Cartesian. Sistem koordinat kartesius pada bidang datar memuat dua sumbu atau dua garis tegak lurus, yaitu garis bilangan horizontal dan garis bilangan vertikal.Bidang pada gambar di atas disebut bidang koordinat yang dibentuk oleh sumbu x dan sumbu y, sedangkan perpotongan sumbu x dan sumbu y disebut pusat koordinat atau titik potong koordinat (titik 0). Kuadran I : Terletak di atas sumbu x dan di sebelah kanan sumbu y, dimana luas sumbunya positif. Kuadran II : Terletak di atas sumbu x dan di sebelah kiri sumbu y, dimana daerah x negatif sedangkan daerah y positif. Kuadran III : Terletak di bawah sumbu x dan di sebelah kiri sumbu y, dimana kedua bidang yaitu. x dan y negatif. Kuadran IV: Di bawah sumbu x dan di sebelah kanan sumbu y, dengan daerah x positif sedangkan daerah y negatif. Geometri analitik bidang & ruang 2 A Sistem Koordinat Kartesius pada Bidang a. Letak titik pada bidang kartesius Gambar 1.1 Letak titik pada bidang kartesius Gambar 1.2 Letak titik pada bidang
Dari gambar 1 kemudian berubah menajadi ganbar 2 hal ini di lakukan dengan cara : Melalui titik P1 ditarik sejejar dengan sumbu x, melalui titik P2 ditarik garis sejajar sumbu y. kedua garis ini akan berpotongan di tittik T dan membentuk segitiga siku- siku P1TP2. Nah, dapat kita simpulkan bahwa Panjang ruas garis |1| = | 2 − 1|, sedangkan Panjang ras garis |2| = |2 − 1|. ruas garis |P1P2| atau jarak antara dua titik yang di cari dapat menggunakan rumus theorema phytagoras, sebagai berikut: 12|2 = |1|2 + |2|2 |12|2 = |2 − 1|2 + |2 − 1|2 |12|2 = √|2 − 1|2 + |2 − 1|2 |12| = √(2 − 1)2 + (2 − 1)2 Jarak antara dua titik pada bidang adalah dengan teorema Pythagoras. Teorema ini menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi tegak lurusnya. Untuk lebih jelasnya mengenai penentuan jarak antara dua titik pada bidang Cartesian dengan menggunakan teorema Pythagoras, simak pembahasan berikut ini! b. jarak antara dua titik pada bidang Sebagai contoh P1(x1, y1) dan P2 (x2, y2) adalah dua titik pada bidang seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut. Gambar 1.3 Gambar 1.4 Geometri analitik bidang & ruang 3
Contoh 1.1 Tentukanlah Panjang garis AB jika diketahui A(3,8) dan B(9,6)! Penyelesaian : Dik : x1=3 y1=8 x2=9 y2=6 Ditanya: Panjang garis AB? Jawab : = √(9 − 3)² + (6 − 8)² = √(6)² + (−2)² = √36 + 4 = √40 = √4 × √10 = 2√10 Maka, Panjang garis AB adalah 2√10 satuan Sistem koordinat Cartesian dalam ruang memuat tiga sumbu, atau tiga garis yang saling tegak lurus, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Ketiga sumbu koordinat tersebut membentuk sistem koordinat persegi panjang dan berpotongan dengan sumbu koordinat yang disebut titik asal. B Sistem Koordinat Kartesius pada Ruang a. Letak titik pada ruang kartesius Jika ketiga sumbu ini digabungkan akan membentuk tiga bidang koordinat, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Seperti pada gambar di atas. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi bilangan oktan VII, yaitu bilangan oktan I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. Angka oktan I, II, III dan IV berada di atas xy, level ini. Posisi angka oktan berlawanan arah jarum jam. Syarat nilai x, y, dan z untuk setiap bilangan oktan adalah sebagai berikut: Geometri analitik bidang & ruang 4 Oktan I : terdiri dari sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif Oktan II : terdiri dari sumbu x negatif, sumbu y positif, dan sumbu z positif Oktan III : terdiri dari sumbu x negatif, sumbu y negatif, dan sumbu z positif Oktan IV : terdiri dari sumbu x positif, sumbu y negatif, dan sumbu z positif Oktan VI : terdiri dari sumbu x negatif, sumbu y positif, dan sumbu z negatif Gambar 1,5 Gambar 1,6 Gambar 1,7
Oktan VI : terdiri dari sumbu x negatif, sumbu y positif, dan sumbu z negatif Oktan VII : terdiri dari sumbu x negatif, sumbu y negatif, dan sumbu z negatif Oktan VIII: terdiri dari sumbu x positif, sumbu y negatif, dan sumbu z negatif Posisi titik ditentukan oleh bidang koordinat xy, xz, yz dari jarak titik dan arah positif atau negatif. Letak suatu titik dinyatakan dengan tiga pasangan terurut, misalnya titik P(x,y,z). Pasangan pertama yaitu titik x disebut absis, pasangan kedua yaitu titik y disebut ordinat, dan pasangan ketiga yaitu titik z disebut aplikasi. Posisi titik ditentukan oleh bidang koordinat xy, xz, yz dari jarak titik dan arah positif atau negatif. Letak suatu titik dinyatakan dengan tiga pasangan terurut, misalnya titik P(x,y,z). Pasangan pertama yaitu titik x disebut absis, pasangan kedua yaitu titik y disebut ordinat, dan pasangan ketiga yaitu titik z disebut aplikasi. b. Jarak Antara Dua Titik pada Ruang Jarak antara dua titik dalam ruang ditentukan menggunakan rumus teorema Pythagoras dengan cara yang sama seperti jarak antara dua titik dalam satu bidang. Sabagai contoh pada gambar diatas kita mencari Panjang Dari titik P (1, 1, 1) dan Q (2, 2, 2) Diketahui pada gambar diatas : || = |2 − 1| || = |2 − 1| || = |2 − 1| || = || untuk mencari |AC|,dengan segitiga ABC siku-siku di B: ||2 = ||2 + ||2 ||2 = |2 − 1|2 + |2 − 1|2 Sehingga di dapat ||2 = ||2 = |2 − 1|2 + |2 − 1|2 Selanjutnya mencari |PQ|,dengan segitiga PDQ siku-siku di D: ||2 = ||2 + ||2 ||2 = |2 − 1|2 + |2 − 1|2 + |2 − 1|2 || = √|2 − 1|2 + |2 − 1|2 + |2 − 1|2 Maka didapatlah rumus untuk jarak P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) adalah || = √| − | + | − | + | − | Geometri analitik bidang & ruang 5 Gambar 1,8
Contoh 1.2 Jika garis S adalah 6x+10y+30=0 memotongsumbu x dan sumbu y di titik P dan Q, berapakah jarak P dan Q dengan PQ berupa garis lurus? Jawab : Ø Titik potonggaris S 6x+10y+30=0 terhadapsumbu x, maka y=0 6x + 10y + 30 = 0 6x + 10.0 + 30 = 0 6x + 0 + 30 = 0 6 = −30 = −5 titik potong terhadapa sumbu x= P(-5,0) Ø Titik potonggaris N 6x+10y+30=0 terhadap sumbu y, maka x=0 6x + 10y + 30 = 0 6.0 + 10y + 30 = 0 0 + 10y + 30 = 0 10y = −30 = −3 titik potongterhadapa sumbu y= Q(0,-3) jarak titik P dan Q adalah: PQ = √(2 − 1)^2 + (2 − 1)^2 = √(0 − (−5))^2 + ((−3) − 0)^2 = √(5)^2 + (−3)^2 = √25 + 9 = √34 Jadi, jarak titik P dan Q adalah √34 satuan Tentukan jarak antara titik A ke titik B, dengan A(6,-4,0)dan B(4,2,8) 1. penyelesaian : Diketahui : 1 = 6 2 =4 1 = −4 2 =2 1 =0 2 =8 ditanya : jarak titk AB ? Jawab: = √|2 − 1|2 + |2 − 1|2 + |2 − 1|2 = √|4 − 6|^2 + |2 − (−4)|^2 + |8 − 0|^2 Contoh 1.3 = √| − 2|^2 + |6|^2 + |8|^2 = √4 + 36 + 64 = √104 = √4 × √26 = 2√26 lanjutan Geometri analitik bidang & ruang 6
Koordinat Suatu Titik yang Terletak di Antara 2 Titik yang C Segaris dengan Perbandingan m:n pada Bidang Untuk menentukan koordinat titik pada garis diperlukan beberapa langkah sehingga diperoleh ∶ = ∶ , yaitu: 1. Buat sistem koordinat persegi panjang pada bidang jalan 2. Buat 3 poin untuk setiap (1, 1); (2, 2); (, ) yang berada di baris , sehingga didapat ∶ = ∶ . Perhatikan gambar di bawah ini 3, Catat ∆1 dan ∆1. Ternyata ∆1 ~ ∆1 kita dapat ∶ = 1 : 1 (untuk mendefinisikan ), maka lihat gambar (3) 4. Catat ∆1 dan ∆1. Ternyata ∆1 ~ ∆1 kita dapat ∶ = 1 : 1 (untuk mendefinisikan ), maka lihat gambar (4) GAMBAR 3 GAMBAR 4 5. Jadi koordinat titik adalah : Geometri analitik bidang & ruang 6 Gambar 1,9
Diketahui titik (12, 4) dan B(-8, 14) sedangkan C terletak pada garis AB dengan AC:CB = 2 : 8. maka koordinat titik C adalah... Contoh 1.4 Contoh 1.5 Diketahui titik (12, 4) dan B(-8, 14) sedangkan C terletak pada garis AB dengan AC:CB = 2 : 8. maka koordinat titik C adalah... Geometri analitik bidang & ruang 7
4. Buat garis melalui sejajar dengan titik ′′ (//′′) 5. Karna ∆ ~ ∆, maka ∶ = ∶ (untuk menentukan ) Koordinat Suatu Titik yang Terletak di Antara 2 Titik yang D Segaris dengan Perbandingan m:n pada Ruang Untuk menentukan koordinat suatu titik pada garis sehingga didapatkan ∶ = ∶ diperlukan beberapa langkah yaitu: 1. Pada bidang jalan dibuat sistem koordinat Kertesz 2. Buatlah 2 titik yaitu (1, 1, 1) dan (2, 2, 2). Titik berada pada garis , jadi ∶ = ∶ 3. Proyeksikan garis ke bidang dengan hasil proyeksi ′′ 6. Kemudian garis di proyeksikan ke bidang , maka (untuk menentukan y) Geometri analitik bidang & ruang 8 Gambar 1.10 Gambar 1,11
7. Selanjutnya garis di proyeksikan ke bidang maka (untuk menentukan ) 8. Jadi koordinat titik : Contoh 1.6 Diketahui titik P(12, 4, -10) dan titik Q (-4, -8. 14) sedangkan titik R terletak pada garis PQ dengan PR : RQ = -12 : 6. maka koordinat titik R adalah.... Geometri analitik bidang & ruang 9
Koordinat Kutub keterengan gambar () menunjukan bahwa : 0° < 1 < 90° 90° < 2 < 180° 180° < 3 < 270° 270° < 4 < 360° Hubungan Koordinat Kartesius dengan Koordinat Kutub Diketahui koordinat kartesius, ubahlah ke koordinat kutub ! E Koordinat kutub adalah suatu Sistem koordinat dua dimensi di mana setiap titik pada bidang diberi jarak dan sudut tertentu. Geometri analitik bidang & ruang 10 Gambar 1,12 Gambar 1,13 Gambar 1,14 Contoh 1.7
Sistem koordinat kartesius adalah sistem koordinat berupa susunan garis dan titik dalam dua dimensi. Sistem koordinat kartesius ditemukan oleh seorang filsuf, matematikawan, dan ilmuan asal Pramcis bernama Rene Descartes Manfaat sistem koordinat dalam kehidupan sehari hari adalah sebagai berikut: 1.Sistem Koordinat digunakan untuk menunjukkan suatu titik di bumi berdasarkan garis lintang dan garis bujur. 2. Membuat denah. 3. Mengetahui suatu letak. Sistem koordinat kartesius juga menjelaskan tentang koordinat titik yang membagi ruas garis dengan perbandingan ∶ pada bidang dan ruang. Dan ada juga tentang koordinat kutub yang memiliki hubungan dengan koordinat kartesius. Dalam materi ini, kami menjelaskan koordinat titik yang membagi ruas garis dengan perbandingan ∶ pada bidang dan ruang serta menjelaskan mengenai koordinat kutub. Oleh karna itu dari paparan materi, kami mengharapkan pembaca dapat mengetahui rumus koordinat kutub yang membagi ruas garis dengan perbandingan ∶ pada bidang dan ruang, serta mengetahui rumus koordinat kutub, sehingga dapat menjawab atau menyelesaikan soal – soal yang berkaitan dengan sistem koordinat pada bidang dan ruang serta koordinat kutub. Rangkuman Geometri analitik bidang & ruang 11
1.Tentukanlah Panjang garis AB jika diketahui A(8,6) dan B(12,3)! 2. Jika garis D adalah 8x+6y+20=0 memotong sumbu x dan sumbu y di titik P dan Q, berapakah jarak P dan Q dengan PQ berupa garis lurus? 3. Tentukan jarak antara titik A ke titik B, dengan A(10,-5,0) dan B(5,3,9) 4. Diketahui titik (11, 7) dan B(-6, 12) sedangkan C terletak pada garis AB dengan AC:CB = 1 : 3. maka koordinat titik C adalah.. 5. Diketahui titik (9, 8) dan B(-3, 12) sedangkan C terletak pada garis AB dengan AC:CB = 3 : 6. maka koordinat titik C adalah... 6. Diketahui titik P(11, 3, -9) dan titik Q (-3, -7, 13) sedangkan titik R terletak pada garis PQ dengan PR : RQ = -11 : 5. maka koordinat titik R adalah.... 7. Diketahui koordinat kartesius, ubahlah ke koordinat kutub ! Latihan soal : 8 A(8,8) 8 Geometri analitik bidang & ruang 12
BAB 2 PERSAMAAN GARIS LURUS Dapat dapat menentukan persamaan garis lurus Dapat menentukan persamaan normal suatu garis lurus Dapat menentukan kedudukan dan jarak titik ke garis Dapat menjelaskan system koordinat cartesian dan persamaan garis lurus pada system koordinat cartesian 1. 2. 3. 4. Tujuan pembelajaran: Geometri analitik bidang & ruang 13
Persamaan garis lurus adalah persamaan yang memiliki satu,dua, ataupun lebih variabel yang masing-masing variabelnya memiliki pangkat satu. jika persamaan digambarkan diagram cartesius,maka grafik garis lurus terbentuk dengan kemiringan tertentu.kemiringan itu disebut juga dengan gradien garis (m) 1. Gradien Menentukan persamaan Garis Lurus A. Definisi Persamaan Garis Lurus Gradien garis lurus didefinisi sebagai kemiringan/perbandingan yang menunjukkan dari suatu persamaan dengan garis x dan dinotasikan dengan huruf m Geometri analitik bidang & ruang 14 Gambar 2.1 Gradien Ada dua yang harus diiperhatikan jika ingin membuat persamaan garis lur.yaitu, nilai gradien dari garis dan sedikit satu titik yang dilalui oleh garis itu.
Contoh 2.1 Suatu garis gradien juga bisa bernilai positif atau negatif.Apabila garis tersebut naik dari kiri ke kanan gradiennya positif. jika garisnya turun dari kiri ke kanan gradiennya negatif. Gradien dari dua buah garis lurus yang dihubungkan dengan titik (1, 1) dan (2, 2) adalah 2−1 2−1 . 2. Jika diketahui gradien dan satu titik yang dilalui garis Garis AB melalui titik A( -4,6) dan B(3,-8),gradien pada garis AB adalah Penyelesaian Diketahui: Titik A dan Titik B x1 = -4 x2 = 3 y1 = 6 y2 = -8 Jawab: = y2-y1 / x2-x1 = -8-6 / 3-(-4) = -14 / 7 = -2 Geometri analitik bidang & ruang 15 Misal,suatu garis yang melalui sebuah titik (x1,y1). kita dapat menentukan persamaan garis lurusnya dengan rumus: y-y1= m(x-x1)
Contoh 2.2 3. Jika diketahui dua titik yang melalui garis Contoh 2.3 Tentuksn persamaan garis yang bergradien 4 dan melalui titik (-3,-4) Penyelesaian: Diketahui m= 4 dan (x1,y1)= (-3,-4).sehingga, y-y1= m(x-x1) y-(-4)=4(x-(-3)) y+4=4(x+3) y+4=4x+12 y= 4x+12-4 y= 4x+8 Misal,suatu garis yang melalui dua buah titik (x1,y1) dan (x2,y2).kita bisa menggunakan rumus di bawah ini agar mengetahui persamaan garisnya Geometri analitik bidang & ruang 16 contohnya,pada grafik kenaikan harga permen, jika diketahuii garis melewati beberapa titik. kita pilih dua titik dari beberapa titik,yaitu (x1,y1)= (2010,100) dan (x2,y2)= (2018,200).sehingga,
B Menentukan persamaan normal suatu garis lurus dari gambar tersebut dapat |OQ| =P disebut panjang normal garis g.Dimana OQ itu tegak lurus sama dengan garis g dan sudut a merupakan sudut yang diapit normal OQ dan sumbu-x ke arah positif untuk bisa mendapatkan persamaan garis ke dalam bentuk p dan a maka diambil sembarang titik. p(x,y) di garis g. Titik S adalah proyeksi di titik p pada sumbu -x dan di titik R adalah proyeksi titik S pada OQ. atau dilakukan dengan menarik garis dari p tegak lurus sama dengan sumbu-x sehingga memotong pada sumbu -x di S dan dari S ditarik garisnya tegak lurus dengan normal OQ dan akan memotong OQ di R.Dengan itu maka didapatkan bahwa, Maka Jadi proyeksi tegak lurus OS pada OQ merupakan Suatu garis yang dapat ditentukan dengan menentukan jarak(p) garis ke titik asal,dan sudut yaitu sudut ke arah positif dibentuk oleh sumbu x dengan garis normalnya itu ditetapkan sebagai arah dari titik asal terhadap garis. Geometri analitik bidang & ruang 17 gambar 2.2 persamaan normal suatu garis
Proyeksi tegak lurus dari SP pada OQ merupakan perhatikan bahwa Sehingga dikarenakan titik p sebarang titik di garis g, hubungan terakhirnya menyatakan persamaan di garis g. persamaan terakhir itu dinamakan persamaan normal di suatu garis. p itu menyatakan panjang normalnya,jadi p merupakan suatu bilangan positif. Contoh 2.4 Tentukan persamaan normal di suatu garis lurus yang panjang normal 10 satuan dan besar sudut apit pada garis tersebut dengan sumbu arah positifnya Penyelesaian: Misal garis lurus g merupakan garis dengan panjang normal p=10 satuan dan bersudut apit dengan sumbu x ke arah positif Maka yaitu besar sudut apit normal dengan sumbu x itu ke arah positif.persamaan normal garis g merupakan Persamaan garis AX+BY+C=0 bisa di buat ke persamaan normal agar memudahkan mengetahui informasi jarak garis ke titik o serta sudut arahnya. langkah langkah mengubah persamaan garis ke persamaaan normal Mengalikan kedua ruas persamaan umum garis lurus AX+BY+C=0 dengan konstanta k,dimana sehingga diperoleh kemudian di bandingkan persamaan Geometri analitik bidang & ruang 18
Dengan persamaan normalnya Apabila dalam bentuk normal,maka harus dipenuhi bahwa Kemudian persamaan KA dikuadratkan,lalu dijumlahkan.Maka diperoleh diperoleh Oleh karena itu persamaan KAX+KBY+KC=0 dapat ditulis Geometri analitik bidang & ruang 19
Tanda dapat dipilih sedemikian hingga p bernilai positif. Sedangkan untuk KC harus negatif, maka tanda k dipilih sedemikian hingga harga KC negatif, yaitu harga,k dipilih bertanda positif dan jika C bilangan positif, K dipilih bertanda negatif Ubahla persamaan 4x-6y-15=0 kedalam persamaan normal penyelesaian Contoh Lainnya: Karena C= -15 bernilai negatif,maka k dipilih yang bertanda positif sehingga didapatkan k Setelah itu kalikan nilai k ke persamaan awalnya sehingga, Teks paragraf Anda Jadi,persamaan terakhir yaitu Geometri analitik bidang & ruang 20
Kedudukan dua garis lurus merupakan dua garis sejajar,dua garis berimpit,dua garis berpotongan jarak titik ke garis merupakan ruas garis tegak lurus atau terpendeknya dari sebuah titik terhadap garis. Persamaan normal Hesse,n merupakan jarak antara titik pangkal koordinat garis,θ merupakan sudut antara sumbu x positif dengan garis melalui titik pangkal koordinat dan tegak lurus dengan garis dibawah ini. C. Kedudukan dan Jarak sebuah titik ke sebuah garis lurus pada gambar tersebut, garis hitam mempunyai persamaan x cos θ + y sin θ = n. Garis yang berwarna merah tegak lurus dengan garis hitam dan melalui O (titik pangkal koordinat) A itu titik potong garis hitam dengan sumbu x positif, B merupakan titik potong antara garis merah garis warna hitam. maka n merupakan jarak antara O dan garis hitam. Misal θ = ∠AOB. Jadi θ merupakan sudut antara garis merah dengan sumbu x yang positif. langkah-langkah pengerjaan: ubah bentuk Ax+By+C=0 ke bentuk persamaan normal Hesse. persamaan normal Hesse dari persamaan itu adalah: ………………………………………………. (1) pada penyebut di ruas kiri(1), ada tanda ±. pilih tanda positif(+) jika C < 0 dan pilih tanda negatif(-) jika C > 0. kita ubah ke bentuk: Dengan Geometri analitik bidang & ruang 21 gambar 2.3 persamaan normal hesse
Jika pemilihan tanda aljabar penyebut di ruas kiri betul,niilai n didapat pasti positif.bahwa n merupakan jarak garis terhadap O,sehingga tidak boleh negatif) selanjutnya, Dari koefisien x,bisa kita peroleh cos θ dan koefisien y,kita peroleh sin θ. jika garis yang semula dirotasikan terhadap O sudut rotasinya φ, hitung cos φ dan sin φ. karena cos θ, sin θ, cos φ, dan sin φ udah diperoleh,nilai cos (θ+φ) dan sin (θ+φ) dihitung dengan identitas-identitas trigonometri yaitu cos (θ+φ) = cos θ cos φ – sin θ sin φ sin (θ+φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ Selanjutnya, di subtitusikan cos (θ+φ) dan sin (θ+φ) yang telah diperoleh tadi ke persamaan garis hasil ,yaitu: x cos (θ+φ) + y sin (θ+φ) = n…………………………………………….. (2) Diketahui garis j dengan persamaan 2x-9y+9=0.garis dirotasikan terhadap O sudut rotasinya ialah dengan sudut rotasi φ di mana sin φ = ⅗, sudut φ lancip. Tentukan persamaan garis k, hasil rotasi dari j. Penyelesaian Diketahui A=2,B=-9 dan C > 0 sebagai penyebut ruas kirinya kita pilih : Dari sin φ = ⅗ dan φ sudut lancip, diperolehla cos φ = ⅘, dan – 7x + 6y = 9 (persamaan garis k ) Contoh soal 2.5 Geometri analitik bidang & ruang 22
Persamaan garis lurus merupakan persamaan jika digambarkan dalam bidang koordinat cartesius maka akan terbentuk sebuah garis lurus. Nah, sebelum itu kita harus mengetahui juga tentang sistem koordinat cartesius. sistem koordinat cartesius merupakan sistem koordinat yang menetapkan setiap titiknya secara unik di bidang dengan serangkai koordinat numerik,yang jarak bertanda titik dari dua garis tegak lurus. Persamaan garis melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) D. persamaan garis lurus pada system koordinat cartesian Contoh soal: carilah persamaan sebuah garis melalui titik O(-2,-3) dan Q( 3,6) ! Penyelesaian: -y-3=3x+6 3x+y+9=0 Geometri analitik bidang & ruang 23 Gambar 2.4
Contoh soal: Carilah gradien garis melalui titik E(-3,-4) dan G(4,7)! penyelesaian: Jika x1= -3,y1=4,x2=-4,dan y2=7,maka gradiennya adalah m= = 7-4 -4-(-3) =3 -1 Carilah persamaan garis gradien 3 dan melalui titik B(6,5) -1 penyelesaian: y-3= 3 (x-6), menjadi y= 3 -1 , -1 Persamaan garis melalui sebuah titik(x1,y1) dan bergradien m adalah y-y1=m persamaan itu di dapatkan dari persamaan (1) yang bisa diubah menjadi persamaan ekuivalen berikut ini: X+6 Geometri analitik bidang & ruang 24
Contoh soal: tentukan gradien dari persamaan 2x+6y-3=0 ! penyelesaian: Bentuk dari persamaan sama seperti Ax+By+C=0,di dapat m=-A B dari persamaa tersebut m= -2 6 = -1 3 Bentuk umum persamaan garis lurus pada bidang cartesius yaitu Ax+By+C=0 Bukti: Perhatikan persamaan (1) yang di awal tadi dapat di ubah menjadi Ax+By+c=0.(Terbukti) Persamaan garis lurus dengan gradien m dan memotong di sumbu-y titiknya (0,c) adalah y=mx+c Geometri analitik bidang & ruang 25
Persamaan garis lurus adalah persamaan yang memiliki satu,dua, ataupun lebih variabel yang masing-masing variabelnya memiliki pangkat satu. jika persamaan digambarkan diagram cartesius,maka grafik garis lurus terbentuk dengan kemiringan tertentu.kemiringan itu disebut juga dengan gradien garis (m) persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) yaitu −1 = x-x1 2−1 .x2-x1 persamaan garis melalui sebuah titik(x1,y1) dan bergradien m yaitu y-y1=m(x-x1) Kedudukan dua garis lurus merupakan dua garis sejajar,dua garis berimpit,dua garis berpotongan jarak titik ke garis merupakan ruas garis tegak lurus atau terpendeknya dari sebuah titik terhadap garis. Persamaan normal garis lurus yaitu cos + sin − = 0 Bentuk umum persamaan garis lurus di bidang cartesius yaitu Ax+By+c=0 persamaan garis lurus dengan gradien m dan memotong sumbu-y di titik (0,c) yaitu y=mx+c. Rangkuman Geometri analitik bidang & ruang 26
Persamaan garis melalui titik (4,5) dan sejajar dengan persamaannya 3x+6y-12=0 Tentukan titik potong persamaan garis terhadap sumbu x dan sumbu y. 1. 2. a. 2x+5y=-10 b. y = 2x-6 3. Tentukam gradien garis menghubungkan pasangan titik P(5,-6) dan S(-3,9) ! 4. Ubahla persamaan berikut menjadi persamaan normal. a. 5x-6y+10=0 b. 12x+3y-18=0 5. Tentukan persamaan garis H yang memotong sumbu -x di titik (4,0) dan membenruk sudut 40° dengan sumbu -x 6. ubahla persamaan -5x-4y+10=0 ke dalam persamaan normal hesse 7. Gambarlah grafik persamaan garis lurus y= 4x-2 ! 8. Gambarkan grafik persamaan garis lurus y= (2/3)x pada bidang cartesius,jika x,y variabelnya pada himpunan bilangan real. Latihan soal Geometri analitik bidang & ruang 27
BAB 3 LINGKARAN Dapat merumuskan bentuk umum persamaan dan persamaan standar lingkaran Dapat menetukan persamaan lingkaran dengan kondisi tertentu Dapat mencari persamaan garis singgung lingkaran Dapat menentukan kuasa sebuah titik terhadap lingkaran Dapat mencari garis kuasa dua lingkaran atau lebih 1. 2. 3. 4. 5. Tujuan pembelajaran: Geometri analitik bidang & ruang 28
Lingkaran memiliki pengertian sebuah bangun datar yang berbentuk melengkung dan merupakan kumpulan titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Karena lingkaran termasuk bangun dua dimensi, maka lingkaran memiliki keliling dan luas saja. Contoh benda-benda yang berbentuk lingkaran yaitu koin, piring, jam dinding, kaset CD/DVD, dan cermin. 1. Sifat-sifat lingkaran A. Definisi Lingkaran · Terdapat 1 titik pusat · Tidak ada titik sudut · Memiliki 1 sisi · Memiliki jumlah sudut 360° · Memiliki simetri lipat dan simetri putar tak hingga · Terdapat jari-jari dan keliling · Memiliki luas dan keliling karena lingkaran merupakan bangun dua dimensi Geometri analitik bidang & ruang 29
2. Unsur-unsur lingkaran Gambar 3.1 a) Titik Pusat Titik pusat lingkaran yaitu titik yang berada tepat di tengah lingkaran. Titik ini memiliki jarak yang sama dengan titik-titik pada keliling lingkaran. Titik pusat disebut juga titik tetap. Pada gambar di atas, titik O disebut sebagai titik pusat lingkaran. b) Jari-jari Jari-jari adalah sebuah garis yang ditarik dari titik pusat lingkaran menuju keliling lingkaran. Jari-jari dilambangkan dengan r atau radius dimana dirumuskan dengan 1/2 × diameter. Berdasarkan gambar di atas, garis OA,OB,OC disebut sebagai jari-jari. c) Diameter Diameter adalah sebuah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dengan syarat harus melalui titik pusat. Diameter dilambangkan dengan d. Berdasarkan gambar di atas, garis AB merupakan diameter pada lingkaran. Perhatikan bahwa AB= AO + OB. Jadi, dapat kita simpulkan bahwa diameter sama dengan dua kali jari-jari. Geometri analitik bidang & ruang 30
Juring adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur lingkaran. Juring berbentuk seperti irisan pizza. Pada gambar di atas, daerah BOC (yang diarsir berwarna merah) merupakan juring lingkaran. g) Tembereng Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur pada lingkaran. Berdasarkan gambar diatas, tembereng diarsir menggunakan warna kuning yaitu daerah AC. Apotema adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran. Garis yang dibentuk harus tegak lurus. Pada gambar di atas yang termasuk apotema yaitu garis OD. Tali busur adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran. Tali busur ditunjukkan oleh garis AC pada lingkaran di atas. d) Tali Busur e) Busur Dalam lingkaran, busur adalah kurva atau garis lengkung yang terletak pada keliling lingkaran yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran. Pada gambar di atas, contoh busur lingkaran adalah garis lengkung AC, BC, AB. f) Juring h) Apotema Geometri analitik bidang & ruang 31
3. Keliling dan luas lingkaran Untuk mencari nilai π, kita bisa menggunakan rumus pendekatan. Rumus pendekatan nilai π = keliling lingkaran diameter Menurut penelitian yang telah dilakukan, nilai π adalah atau 3,14159265358979324836…. sehingga kita bisa menemukan keliling dan luas suatu lingkaran. Diketahui keliling lapangan yang berbentuk lingkaran 220 cm. Tentukan jari-jari dan luas lapangan tersebut! Penyelesaian: Diketahui keliling lingkaran= 220 cm Ditanya r? Jawab: Keliling lingkaran = 2πr 220 = 2. 22. r 7 220.7 = 44 r 1540 = 44 r r = 35 cm Jadi, panjang jari-jari lapangan tersebut adalah dan luas lapangan tersebut adalah Contoh soal Geometri analitik bidang & ruang 32
B. Persamaan lingkaran 1. Persamaan dasar lingkaran Perhatikan gambar di samping OT = r Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dan berjari-jari r adalah Perhatikan gambar di samping PT = r Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat di titik P (a,b) dan berjari-jari r adalah 2. Persamaan umum lingkaran Pada persamaan umum lingkaran memiliki koordinat titik pusat dan berjari-jari r = . Gambar 3.2 Geometri analitik bidang & ruang 33
C O N T O H S O A L : 1.Diketahui lingkaran L memiliki jari-jari 6 dan berpusat di titik P(2,-1). Persamaan umum lingkaran L tersebut adalah… Penyelesaian: Diketahui r= 6 dan berpusat di titik P(2,-1) Ditanya persamaan umum lingkaran? Jawab: 2. Diketahui suatu lingkaran berpusat di titik O(0,0) bersinggungan dengan garis y=5. Persamaan dasar lingkaran tersebut adalah… Penyelesaian: Diketahui bersinggungan dengan garis y=5 dan berpusat di titik O(0,0) Ditanya persamaan dasar lingkaran? Jawab: Karena lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan bersinggungan dengan garis y=5, maka r=5. Geometri analitik bidang & ruang 34
Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan jari-jari r (memiliki persamaan lingkaran ) dapat diperhatikan pada gambar berikut. Sehingga garis singgung lingkaran di titik T(x,y) memiliki persamaan: C. Persamaan garis singgung lingkaran Contoh soal: Lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) bersinggungan dengan garis dan melalui titik S(-1,1). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut! Penyelesaian: Karena lingkaran bersinggungan dengan sebuah garis dan melalui titik S(-1,1), maka: Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=12 yang melalui titik S(-1,1) adalah –x +y = 12. 1) Melalui titik A(x,y) pada lingkaran Gambar 3.3 Geometri analitik bidang & ruang 35
Gambar 3.4 Geometri analitik bidang & ruang 36
Rumus yang digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung di titik A(x1,y1) pada lingkaran adalah Selain menggunakan rumus di atas, kita juga bisa mengganti persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk sehingga kita bisa menggunakan rumus persamaan lingkaran yang telah dijelaskan pada bagian b). C O N T O H S O A L Geometri analitik bidang & ruang 37
CONTOH SOAL Penyelesaian: Jadi,persamaan garis singgung lingkaran n di titik (5, 2) adalah 2x + 7y = 2. Geometri analitik bidang & ruang 38
2) Melalui titik di luar lingkaran Langkah-langkah membuat persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1,y1) di luar lingkaran: Buatlah persamaan garis kutub dari titik A(x1,y1) terhadap lingkaran Melalui titik potong antara garis kutub lingkaran Buatlah persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub dan lingkaran C O N T O H S O A L Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(1,1) di luar lingkaran ! Penyelesaian: Persamaan garis kutub di titik A(1,1) terhadap lingkaran tersebut yaitu Perpotongan garis y=9-2x dengan lingkaran dapat ditentukan dengan cara melakukan substitusi, yaitu Geometri analitik bidang & ruang 39
Dari pemfaktoran tersebut, dapat diperoleh: x = -3 atau x= 12 Untuk mencari titik potongnya, kita bisa mensubstitusikan ke dalam persamaan y=9-x. Sehingga terdapat dua persamaan garis singgung:: Jadi, persamaan garis singgung pada pada lingkaran tersebut adalah -3x+12y=9 dan 12x-3y=9. Geometri analitik bidang & ruang 40
3) Dengan gradien tertentu CONTOH SOAL Geometri analitik bidang & ruang 41 Gambar 3.5
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran adalah: CONTOH SOAL Geometri analitik bidang & ruang 42
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran adalah CONTOH SOAL Geometri analitik bidang & ruang 43
Jika K > 0, maka titik ada di luar lingkaran. Jika K = 0, maka titik terletak pada lingkaran. Jika K < 0, maka titik terletak di dalam lingkaran. Jika diketahui kuasa titik T(x1,y1) terhadap suatu lingkaran, maka kita bisa mensubstitusikan titik T(x1,y1) ke dalam suatu persamaan lingkaran tersebut. Setelah memperoleh kuasa suatu titik terhadap lingkaran, maka nilai kuasanya dapat digunakan untuk menentukan letak titik tersebut pada lingkaran. D. Kuasa titik dan garis pada lingkaran 1) Menentukan nilai kuasa suatu titik Misal terdapat sebuah titik T(x1,y1) diluar lingkaran. Lingkaran tersebut berpusat di titik P dan jari-jari r. Maka kuasa titik T(x1.y1) terhadap lingkaran tersebut memiliki persamaan: Gambar 3.6 CONTOH SOAL Tentukan kuasa titik C(-1,2) terhadap persamaan lingkaran: a) b) Penyelesaian: a) Karena nilai kuasa titik terhadap lingkaran tersebut positif (K > 0), maka titik C(-1,2) terletak di luar lingkaran. Substitusi titik C(-1,2) ke dalam persamaan lingkaran b) Karena nilai kuasa titik terhadap lingkaran tersebut negatif (K < 0), maka titik C(-1,2) terletak di dalam lingkaran. Geometri analitik bidang & ruang 44
2) Titik kuasa dan garis kuasa 2 lingkaran Misalkan ada 2 lingkaran dan terdapat titik dengan kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran tersebut. Himpunan semua titik kuasa pada lingkaran tersebut akan membentuk garis yang dinamakan garis kuasa. Garis kuasa tegak lurus dengan garis yang menghubungkan titik pusat pada kedua lingkaran. Titik kuasa adalah titik yang terletak pada garis kuasa dan mempunyai kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran. CONTOH SOAL Diketahui terdapat 2 persamaan lingkaran Tentukan persamaan garis kuasanya dan titik kuasanya pada sumbu y dan kuasanya pada kedua lingkaran! Penyelesaian: Garis kuasanya dapat ditentukan dengan persamaan: Maka diperoleh persamaan garis kuasanya yaitu Karena yang dicari titik kuasanya pada sumbu y, maka kita dapat mensubstitusikan x=0 ke persamaan garis kuasanya: Gambar 3.7 Geometri analitik bidang & ruang 45