Penyelesaian: Dari persamaan hiperbola di atas diketahui bahwa maka persamaan asimtotnya adalah: 6. Latus Rectrum Gambar 6.9. Latus Rectrum Jika persamaan hiperbola adalah Telah diketahui bahwa latus rectrum terletak pada sumbu x dengan kordinat (c,0) dan (-c,0) sehingga diperoleh Geometri Analitik Bidang & Ruang 96
Hal ini berarti garis x memotong hiperbola di titik Maka untuk mencari panjang latus rectrum diperoleh dengan mencari jarak antara dua titik yaitu titik Oleh karena itu, persamaan panjang latus rectrum adalah Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui kedua titik fokusnya adalah (8,0) dan (-8,0) serta titik puncaknya adalah (5,0) dan (-5,0)! Penyelesaian: Titik fokus hiperbola horizontal adalah (c,0) = (8,0) ⇒ = c = 8 Titik puncak hiperbola horizontal adalah (a,0) = (5,0) ⇒ = a = 5 Sehingga persamaan hiperbola tersebut adalah maka panjang latus rectrum dapat dicari menggunakan rumus Geometri Analitik Bidang & Ruang 97 Contoh Soal 6.6:
Garis yang menyinggung hiperbola dapat kita cari persamaan garisnya dengan syarat diketahui gradien garis atau titik singgung antar garis tersebut dengan hiperbola. Berikut bentuk-bentuk persamaan garis singgung hiperbola berdasarkan syaratnya. C. Persamaan Garis Singgung Hiperbola Terdapat tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap hiperbola yaitu: Garis yang tidak memotong maupun menyinggung hiperbola. Gambar 6.10 menunjukkan garis g yang tidak memotong maupun menyinggung hiperbola. Hal ini terjadi apabila nilai D < 0. Garis menyinggung hiperbola. Gambar 6.10 menunjukkan garis g menyinggung hiperbola di titik T. Hal ini terjadi apabila nilai D = 0. Gsris yang memotong hiperbola di dua titik yag ebrbeda. Gambar 6.10 menunjukkan garis g memotong hiperbola di dua titik berbeda yaitu T dan Q. Hal ini terjadi apabila nilai D > 0. Gambar 6.10. Kedudukan garis terhadap hiperbola 1. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m a. Pada hiperbola horizontal dengan pusat O(0,0) Gambar 6.11. Persamaan garis singgung gradien m hiperbola pusat O(0,0) Misalkan persamaan garis yang gradiennya m adalah y = mx + n dan persamaan hiperbolanya Geometri Analitik Bidang & Ruang 98
Jadi, persamaan garis singgung pertama singgung kedua adalah Absis titik-titik potong garis dan hiperbola diperoleh dari Persamaan kuadrat diatas mempunyai dua akar yang sma atau apabila diskriminannya D = 0. Ini terjadi karena garis akan menyinggung hiperbola jika titik-titik potongnya berhimpit. Substitusi nilai n sehingga persamaan garis singgung bergradiennya m pada hiperbola horizontal dengan pusat O(0,0) adalah Contoh Soal 6.7: Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola yang sejajar garis 2x - 2y + 13 = 0 Penyelesaian: Gradien garis 2x - 2y + 13 = 0 adalah m = 1. Berarti gradien garis singgung hiperbola juga adalah 1. Persamaan garis singgungnya dan garis Geometri Analitik Bidang & Ruang 99
Tentukanlah persamaan garis singgung pada hiperbola yang tegak lurus terhadap garis Penyelesaian: Gradien garis adalah m1 = −√2. Karena garis tegak lurus dengan gradien garis singgung yang ditanya maka gradien garis singgung dapat diperoleh dengan rumus b. Pada hiperbola vertikal dengan pusat O(0,0) Gambar 6.11. Persamaan garis singgung gradien m hiperbola vertikal pusat O(0,0) Untuk persamaan hiperbola vertikal garis singgung y = mx + n maka persamaan garis singgung dengan gradien m adalah adalah dengan misalkan Garis akan menyinggung hiperbola jika D = 0 Substitusi nilai n sehingga persamaan garis singgung bergradiennya ݉pada hiperbola vertikal dengan pusat O(0,0) adalah Contoh Soal 6.8: Geometri Analitik Bidang & Ruang 100
Jadi, persamaan garis singgung pertamanya adalah dan persamaan garis singgung keduanya adalah Pada gambar 6.12., hiperbola horizontal dengan pusat O(0,0) memperoleh PSG bergradien m pada hiperbola horizontal dengan pusat (h,k) maka misalkan garis y = mx + n, maka dan diketahui persamaan hiperbola horizontal dengan pusat (h,k) adalah Sederhanakanlah persamaan hiperbola dengan membagi persamaan tersebut oleh 9 diperoleh Maka diperoleh nilai Jadi persamaan garis singgung yang memenuhi hiperbola tersebut dapat dicari dengan rumus c. Pada hiperbola horizontal dengan pusat (h,k) Gambar 6.12. Persamaan garis singgung gradien m hiperbola horizontal pusat (h,k) kemudian substitusikan persamaan garis ke persamaan hiperbola diperoleh Geometri Analitik Bidang & Ruang 101
Penyelesaian: Dari persamaan hiperbola yang diberikan, dapat diketahui bahwa hiperbola tersebut berpusat di titik (1,2) atau ℎ = 1 dan k = 2. Sedangkan Garis singgung hiperbola tersebut tegak lurus dengan garis x - y + 7 = 0 berarti Gradien garis x - y + 7 = 0 adalah maka gradien garis yang menyinggung hiperbol dan tegak lurus dengan garis x - y + 7 = 0 adalah Untuk mencari nilai n maka gunakan rumus hingga diperoleh nilai Substitusi harga n݊ ke persamaan garis diperoleh Maka persamaan garis singgung hiperbola horizontal bergradien m yang berpusat di (h,k) adalah Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola yang tegak lurus garis x - y + 7 = 0! Contoh Soal 6.9: Geometri Analitik Bidang & Ruang 102
Pada gambar 6.13 sama seperti sebelumnya, untuk memperoleh PGS bergradien m pada hiperbola vertikal dengana pusat (h,k) adalah dengan memisalkan garis y = mx + n, maka dan diketahui persamaan hiperbola vertikal dengan pusat (h,k) adalah Sehingga persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan rumus Jadi, persamaan garis singgung pertamanya adalah y = -x + 5 dan persamaan garis singgung keduanya adalah y = -x + 1. d. Pada hiperbola vertikal degan pusat (h,k) Gambar 6. 13. Garis singgung bergradien m pada hiperbola vertikal dengan pusat (h,k) kemudian substitusikan persamaan garis ke persamaan hiperbola diperoleh Geometri Analitik Bidang & Ruang 103
Untuk mencari nilai ݊, maka gunakan rumus hingga diperoleh nilai Substitusi harga n ke persamaan garis sehingga diperoleh maka persamaan garis singgung hiperbola vertikal dengan pusat (h,k) adalah Tentukan persamaan garis singgung dari hiperbola garis 4x + 3y + 15 = 0! yang sejajar Penyelesaian : Karena sejajar maka Dari persamaan hiperbola diketahui bahwa Maka persamaan garis singgungnya: Geometri Analitik Bidang & Ruang 104 Contoh Soal 6.10:
2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Singgung pada Hiperbola a. Pada hiperbola horizontal degan pusat O(0,0) Gambar 6.14. Garis singgung melalui titik singgung pada hiperbola horizontal pusat O(0,0) Dari gambar 6. 14, misalkan titik T(x1,y1) titik singgung hiperbola maka berlaku misalkan titik P(x2,y2) suatu titik pada hiperbola maka berlaku dari persamaan (i) & (ii) diperoleh Setelah dijabarkan diperoleh sehingga persamaan garis PT adalah Jika P mendekati T sedemikian P sangat dekat dengan T sehingga x1 =x2 dan y1 = y2. Akibatnya, PT menjadi garis singgung di titik T dan persamaannya adalah dan setelah dijabarkan diperoleh Tentukan persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik (6,0)! Geometri Analitik Bidang & Ruang 105 Contoh Soal 6.11:
Dari gambar 6. 15, misalkan titik T(x1,y1) titik singgung hiperbola maka berlaku Penyelesaian: b. Pada hiperbola vertikal dengan pusat O(0,0) Gambar 6. 15. Garis singgung melalui titik singgung pada hiperbola vertical pusat O(0,0) misalkan titik P(x2,y2) suatu titik pada hiperbola maka berlaku dari persamaan (i) & (ii) diperoleh Setelah dijabarkan diperoleh sehingga persamaan garis PT adalah Jika P mendekati T sedemikian P sangat dekat dengan T sehingga x1 =x2 dan y1 = y2. Akibatnya, PT menjadi garis singgung di titik T dan persamaannya adalah dan setelah dijabarkan diperoleh Geometri Analitik Bidang & Ruang 106
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik (2,2)! Penyelesaian: c. Pada hiperbola horizontal dengan pusat (h,k) Gambar 6.16. Garis singgung melalui titik singgung pada hiperbola horizontal pusat (h,k) Dari gambar 6.16, misalkan titik T(x1,y1) merupakan titik singgung. Dengan mensubtitusikan titik T ke persamaan hiperbola horizontal dengan pusat (h,k) yaitu maka diperoleh misalkan titik P(x2,y2) suatu titik pada hiperbola maka berlaku dari persamaan (i) & (ii) diperoleh Contoh Soal 6.12: Geometri Analitik Bidang & Ruang 107
Dari persamaan hiperbola dapat kita ketahui bahwa hiperbola tersebut berpusat pada titik (-7,1) atau h = -7 dan k = 1. Sedangkan Hiperbola ini melalui titik (-1,6) berarti x1 = -1 dan y1 = 6 sehingga PGS dapat ditentukan dengan rumus: sehingga persamaan garis PT adalah Jika P mendekati T sedemikian P sangat dekat dengan T sehingga x1 =x2 dan y1 = y2. Akibatnya, PT menjadi garis singgung di titik T dan persamaannya adalah Sehingga diperoleh persamaan garis singgung yang melalui titik pada hiperbola horizontal dengan pusat (h,k) yaitu Tentukanlah persamaan garis singgung pada hiperbola di titik (-1, 6)! Penyelesaian: jadi Pgs hiperbola yang melalui titik (-1,60 adalah 5x -2y + 17 =0 Contoh Soal 6.13: Geometri Analitik Bidang & Ruang 108
d. Pada hiperbola vertikal dengan pusat (h,k) Gambar 6.17. Garis singgung melalui titik singgung pada hiperbola vertikal pusat (h,k) Untuk mendapatkan PGS hiperbola vertikal pusat (h,k), adalah dengan misalkan titik T(x1,y1) ialah titik singgung. Lalu subtitusikan titik T ke persamaan hiperbola vertikal dengan pusat (h,k) yaitu misalkan titik P(x2,y2) suatu titik pada hiperbola maka berlaku dari persamaan (i) & (ii) diperoleh sehingga persamaan garis PT adalah Jika P mendekati T sedemikian P sangat dekat dengan T sehingga x1 =x2 dan y1 = y2. Akibatnya, PT menjadi garis singgung di titik T dan persamaannya adalah Geometri Analitik Bidang & Ruang 109
Dari persamaan berikut dapat kita ketahui hiperbola berpusat pada titik (-3,1) atau k = -3 dan h = 1. Sedangkan Hiperbola tersebut melalui titik (-1,6) berati x1 = 1 dan y1 = -6. Sehingga PGS dapat ditentukan dengan rumus: Sehingga diperoleh persamaan garis singgung yang melalui titik pada hiperbola vertikal dengan pusat (h,k) yaitu Carilah persamaan garis singgung hiperbola Penyelesaian: di titik (1, -6)! Jadi, PGS dari hiperbola melalui titik (1, -6) adalah y = -6 3. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Hiperbola Gambar 6.18. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Hiperbola Misalkan titik adalah titik-titik singgung dari gari-garis singgung hiperbola yang melalui titik diluar hiperbola persamaan garis singgung di titik Karena P pada garis singgung maka Persamaan Garis Singgung di titik Contoh Soal 6.14: Geometri Analitik Bidang & Ruang 110
Persamaan disebut persamaan tali busur di titik Tanpa melihat letak titik , persamaan disebut persamaan garis kutub dari P terhadap hiperbola Karena P pada garis singgung maka Dari persamaan (i) & (ii) dapat disimpulkan bahwa titik A & B terletak pada garis dengan persamaan Dari titik (3, -4) dibuat suatu garis singgung pada hiperbola Tentukan PGS yang menghubungkan kedua titik singgungnya. Penyelesaian Garis yang menghubungkan kedua titik singgung itu adalah garis kutub. Persamaan garis kutub dari titik (3, -4) terhadap hiperbola Contoh Soal 6.15: Geometri Analitik Bidang & Ruang 111
RANGKUMAN Geometri Analitik Bidang & Ruang 112
LATIHAN SOAL Geometri Analitik Bidang & Ruang 113
Geometri Analitik Bidang & Ruang 114
Geometri Analitik Bidang & Ruang 115
Geometri Analitik Bidang & Ruang 116 DAFTAR PUSTAKA Ammariah, Hani. (2022). “Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus I Matematika Kelas 8”.Ruangguru.com: https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas -8-cara-menentukan-persamaan-garis-lurus Bang Greg. (29 Mei 2017) Cara Menetukan Jarak Dua Titik Pada Bidang Koordinat Cartesius. Berita Hari Ini. (31 Maret 2021) Koordinat Kartesius: Pengertian, Sistem Koordinat, dan contohsoal.Retrievedfromkumparan.com: https://kumparan.com/berita_hari_ini/koordinat_kartesius_pengertian_ sistem_koordinat_ dan_contoh_soal_1vSaUc5u1z1/full Budiarto, M. T. (2004). Irisan kerucut. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Retrieved April 23, 2017, from Busrah, Z., & Buhaerah. (2021). GEOMETRI ANALITIK BIDANG. Parepare: IAIN PAREPARE NUSANTARA PRESS. Busrah, Zulfiqar dkk. 2020. Geometri Analitik Bidang (Integrasi Teori, Komputasi Geogebra dab Budaya Lokal). IAIN Parepare Nusantara Press. Danuri, M. (2008). Irisan kerucut untuk guru matematika SMK. Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik. Darmayasa, P. (2017, Agustus 1). Persamaan Garis Singgung Parabola. Retrieved from Belajar Matematika Bersama: Darmayasa. (2017, 8). Cara Menemukan Persamaan Elips. Retrieved from Konsep Matematika:https://www.konsep-matematika.com/2017/08/cara-menemukan -persamaan-elips.html Darmayasa. (2017, 8). Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya. Retrieved from Konsep Matematika:https://www.konsep-matematika.com/2017/08/persamaan-elips-danunsur- unsurnya.html Darmayasa. (2017, Agustus 1). Kedudukan Titik Terhadap Elips. Retrieved from Belajar Matematika Bersama: https://www.konsep-matematika.com/2017/08/ kedudukan-titik- terhadap-elips.html?m=1 Darmayasa. (2017, Agustus 1). Persamaan Elips dan Unsur-Unsurnya. Retrieved from Belajar Matematika Bersama: https://www.konsep- matematika.com/2017/08/ persamaan-elips-dan-unsur-unsurnya.html?m=1
Darmayasa. (2017, Agustus 1). Persamaan parabola dan Unsur-Unsurnya. Retrieved from Belajar Matematika Bersama Dr. Ellis Mardiana Panggabean, M.Pd . (2020) Bidang Geometri Analitik: Sistem Koordinat Cartesius. Retrieved from academia.edu: https://www.academia.edu/42929254/Geometri_Analitik_Bidang_Sistem_Koordinat _Car tesius Dr. Ellis Mardiana Panggabean, M.Pd . (2020) Bidang Geometri Analitik: Sistem Koordinat Cartesius. Dr. Pradnyo Wijayanti, M. (2022, Maret 20). Pustaka UT. Retrieved Maret 31, 2023, from Sistem Koordinat Cartesius dan Persamaan Garis Lurus - MODUL 1 : Eridani. (2012). Pengantar geometri dan kalkulus peubah banyak. Surabaya: Unisversitas Airlangga Press. Hamdunah, A. Y. (2017). Modul Geometri Analitik. Padang: Erka. Hutagaol, Jibang, P. (2020). “Materi Terlengkap, Contoh Soal + Contoh Persamaan Garis Singgung Lingkaran”. [On Line].Tersedia: https://www.ruangparabintang.com /2020/12/persamaan-garis-singgung-lingkaran.html?m=1 Julianti, Dwi. (2022). “Persamaan Garis Lurus – Pengertian, Rumus, Sifat, dan Grafik”. Zenius.net: https://www.zenius.net/blog/rumus-grafik-persamaan-garis-lurus Kuasa Lingkaran, Titik Kuasa, dan Garis Kuasa Lingkaran. “Tanpa Tahun”. Konsepmatematika.com: https://www.konsep-matematika.com/2015/10/kuasa-lingkaran -titik-kuasa-dan-garis-kuasa-lingkaran.html?m=1 Pengertian Persamaan Garis Lurus – Rumus, Grafik dan Soal. (2021). Quipper.com: https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/persamaan-garis-lurus/ Persamaan Garis Lurus. “Tanpa Tahun”. Studiobelajar.com:https://www.studiobelajar .com/persamaan-garis-lurus-gradien/ Persamaan Garis Singgung Parabola. “Tanpa Tahun”. Konsep-matematika.com: https://www.konsep-matematika.com/2017/08/persamaan-garis-singgungparabola.html Persamaan Parabola dan Unsur-Unsurnya. “Tanpa Tahun”. Konsep-matematika.com: https://www.konsep-matematika.com/2017/07/persamaan-parabola-dan-unsurunsurnya.html?m=1 Geometri Analitik Bidang & Ruang 117
Puspitasari, Ajeng. “Tanpa Tahun”. “Modul Persamaan Garis Lurus Kelas VIII KD 3.4 dan 4.4”. [On Line]. Tersedia:https://www.academia.edu/64815666/Modul Persamaan_Garis_Lurus_Kelas_VIII_KD_3_4_dan_4_4 Wijayanti, Fradnyo . “Tanpa Tahun”. Sistem Koordinat Cartesius dan Persamaan Garis Lurus. [On Line]. Tersedia:https://pustaka.ut.ac.id/lib/wp-content/uploads/pdfmk/ PEMA431702-M1.pdf Geometri Analitik Bidang & Ruang 118