Persamaan dasar lingkaran Berpusat di titik O(0,0) Berpusat di titik P(a,b) Melalui titik A(x,y) pada lingkaran Melalui titik A(x,y) pada lingkaran Lingkaran memiliki beberapa macam persamaan yaitu 1. 2. Persamaan umum lingkaran 3. Persamaan garis singgung lingkaran 1) Melalui titik A(x,y) pada lingkaran RANGKUMAN Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang berbentuk melengkung dan kumpulan titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Contoh benda-benda yang berbentuk lingkaran yaitu koin, piring, jam dinding, kaset CD/DVD, dan cermin. Sifat-sifat yang dimiliki lingkaran yaitu terdapat 1 titik pusat, tidak ada titik sudut, memiliki 1 sisi, memiliki jumlah sudut 360°, memiliki simetri lipat dan simetri putar tak hingga, terdapat jari-jari dan keliling, memiliki luas dan keliling karena lingkaran merupakan bangun dua dimensi.Lingkaran memiliki beberapa unsur, diantaranya titik pusat, jari-jari, diameter,tali busur, busur, juring, tembereng, dan apotema. Karena lingkaran merupakan bangun datar, maka lingkaran mempunyai rumus keliling dan luas. Geometri analitik bidang & ruang 46
Melalui titik A(x,y) pada lingkaran Lingkaran berpusat di titik O(0,0) Lingkaran berpusat di titik (a,b) Lingkaran dengan persamaan Jika K > 0, maka titik ada di luar lingkaran. Jika K = 0, maka titik terletak pada lingkaran. Jika K < 0, maka titik terletak di dalam lingkaran. 2) Melalui titik diluar lingkaran 3) Dengan gradien tertentu Selain itu terdapat pula kuasa titik dan garis pada lingkaran. Nilai kuasa digunakan untuk menentukan letak titik pada lingkaran. Garis kuasa dapat ditentukan dengan rumus L1-L2 = 0 dan titik kuasa dapat ditentukan dengan melakukan substitusi ke salah satu variabel pada persamaan garis kuasanya. Geometri analitik bidang & ruang 47
Latihan Soal Geometri analitik bidang & ruang 48 1.Unsur lingkaran yang diperlukan untuk menentukan keliling lapangan yang berbentuk lingkaran adalah … 2.Rudi memiliki halaman belakang yang luas. Ia berencana ingin menjadikan sebuah taman yang berbentuk lingkaran. Taman tersebut memiliki keliling 220 m dan akan ditanami berbagai macam bunga. Harga bunga adalah Rp 35.000/meter persegi. Biaya yang dibutuhkan Rudi adalah … 3.Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan: a.x +y +11=0 b.3x +9y -39=0 c.x +y -6x+8y+5=0 4.Persamaan lingkaran yang berpusat di (3,-4) dan menyinggung garis x - 5= 0 adalah … 5. Persamaan garis singgung lingkaran x +y =9 yang melalui titik (0,9) adalah ... 6. Lingkaran x +y -12x+10y+t= 0 berpusat di titik C(r,s) dan berdiameter 4. Nilai r+s+t adalah ... 7. Letak titik A(2,-5) terhadap persamaan lingkaran: x +y -2x+3y+9=0 adalah berada di ... 8. Diketahui terdapat 2 persamaan lingkaran yaitu (x-1) +(y+4) =0 dan x + y +x+y-10=0.Persamaan garis kuasa pada kedua lingkaran tersebut adalah ... 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
BAB 4 ELIPS Dapat merumuskan bentuk umum persamaan dan persamaan standar elips Dapat mencari persamaan elips dengan kondisi tertentu Dapat menentukan persamaan garis singgung elips Dapat mentukan persamaan tali busur elips Dapat menggunakan konsep-konsep yang dirancang sari suatu bangun hasil irisan kerucut yang terbentuk kurva tertutup terdiri dari lingkaran dan elips dalam system koordinat cartesian 1. 2. 3. 4. 5. Tujuan pembelajaran: Geometri analitik bidang & ruang 49
A. Pengertian Elips Sebuah elips atau oval yang beraturan adalah gambar yang hampir menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus). Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beraturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni bulat lonjong (atau lonjong saja), bulat bujur, dan bulat panjang. Elips merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus/titik api. Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik ini disebut titik fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks. Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor. Cara termudah untuk memahami geometri elips adalah dengan memotong kerucut dengan sudut lebih besar dari nol. B. Unsur - unsur Elips Untuk memahami unsur-unsur dari Elips, perhatikan gambar dan penjelasan berikut. Gambar 4.1 1. Titik P ( adalah titik sembarang pada elips sehingga berlaku [F1P] + [F2P] = 2a 2. Titik pusat elips : M (0,0) 3. Titik fokus elips: F1 (-c, 0) dan F2 (c, 0) 4. Sumbu mayor: garis AB 5. Sumbu minor : garis CD 6. Sumbu utama atau transver axis adalah sumbu simetri kurva elips yang melalui titik fokus F1 dan F2, ditunjukkan oleh sumbu X. 7. Sumbu sekawan atau cojugate axis dalah sumbu simetri kurva elips yang melalui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu utama, ditunjukkan oleh sumbu Y. 8. Direktris adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu mayor dan berada diluar elips yang ditunjukkan oleh garis g dan garis h. Geometri analitik bidang & ruang 50
Misalkan titik fokusnya adalah 1 (−, 0) dan 2(, 0) dengan jarak |12| = 2. Terdapat dua titik puncak yaitu (−, 0) dan (, 0) serta titik pusat elips adalah (0,0). Ambil sembarang himpunan titik (, ) pada kurva elips. Jarak titik P ke 1 dan titik ke 2 adalah tetap yaitu sebesar 2 dengan > 0, artinya dapat dituliskan |1| + |2| = 2. Perhatikan segitiga 2 adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema Phythagoras yaitu: ² = ²+ ² atau ² − ² = ² C. Persamaan Standar Elips 1. Persamaan Elips dengan titik pusat M(0,0) Untuk mendapatkan persamaan elipsnya dapat menggunakan rumus jarak antara dua titik pada bidang. a. Kurva Elips dengan Titik Pusat (, ) dan Sumbu Mayor di Sumbu- Geometri analitik bidang & ruang 51 Gambar 4.2
b. Kurva Elips dengan Titik Pusat (, ) dan Sumbu Mayor di Sumbu- Misalkan titik fokusnya adalah 1(0, −) dan 2(0, ) dengan jarak |12| = 2. Terdapat dua titik puncak yaitu (0, −) dan (0, ) serta titik pusat elips adalah (0,0). Ambil sembarang himpunan titik (, ) pada kurva elips. Jarak titik ke ₁ dan titik ke 2 adalah tetap yaitu sebesar 2 dengan > 0, artinya dapat dituliskan |1| + | 2| = 2. Perhatikan segitiga 2 adalah segitiga sikusiku sehingga berlaku teorema Phythagoras yaitu: ² = ² + ² atau ² − ² = ². Untuk mendapatkan persamaan elipsnya dapat menggunakan rumus jarak antara dua titik pada bidang. Geometri analitik bidang & ruang 52 Gambar 4.3
CONTOH SOAL Selidiki dan sketsakan grafik dari persamaan 9x² + 25y² = 225 Penyelesaian: Titik Puncak : (±5,0) Titik Pusat : (0,0) Titik Fokus : (±4,0) Panjang Sumbu Mayor = 2 = 2.5 = 10 Panjang Sumbu Minor = 2 = 2.3 = 6 Titik potong dengan sumbu (0, ±3) Dari hasil diatas, maka sketsakan gambar grafiknya seperti berikut: 2. Persamaan Elips dengan Titik Pusat (, ) Persamaan Elips dengan titik pusat (, ) bisa diperoleh dengan menggunakan konsep translasi atau pergeseran, yaitu dengan cara menggeser persamaan elips yang titik puncaknya itu (0,0) ke titik puncak (, ). Sesuai dengan konsep translasi tersebut, menggeser sejauh satuan searah sumbu-x dan sejauh satuan searah sumbu y. • Kurva Elips dengan Titik Pusat (, ) dan Sumbu Mayor di Sumbu - Sehingga: Perhatikan gambar diatas Gambar 4.4 Geometri analitik bidang & ruang 53
Geometri analitik bidang & ruang 54 • Kurva Elips dengan Titik Pusat (, ) dan Sumbu Mayor di Sumbu- Persamaan awal kurva elipsnya : 1 Sehingga persamaan baru setelah digeser yaitu menjadi : Atau bisa juga kita tulis menjadi: Contoh soal Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, dan panjang latus rectum! (x-1)² (y-3)² 25 169 + = 1 Penyelesaian: Persamaan elipsnya: (x-1)² 25 + (y-3)² 169 = 1 Menentukan nilai , , dan , : ² = 169 → = 13 ²= 25 → = 5 ²= ²+ ² → 169 = 25 + ² → ²= 144 → = 12 − = − 1 → = 1 − = − 3 → = 3 Karena ada di bagian bawah , maka sumbu mayornya sejajar sumbu y. Sehingga persamaan yang dipakai : (x-p)² b² a² (y-q)² + = 1 Menentukan unsur-unsurnya: •Panjang sumbu mayor: 2 = 2.13 = 26 •Panjang sumbu minor: 2 = 2.5 = 10 •Panjang Latus Rectum: •Titik pusat: (, ) = (1,3) •Titik fokus sejajar sumbu (sumbu mayor), nya berubah dengan = 12: 1(1,3 − 12) = (1, −9) 2(1,3 + 12) = (1,15) •Titik puncak sejajar sumbu (sumbu mayor), y nya berubah dengan = 13: (1,3 − 13) = (1, −10) (1,3 + 13) = (1,16) 2b² a 13 2.5² = = 50 13 Gambar 4.5
Sebelum lanjut, bentuk umum persamaan elips: Ax² +By² +Cx +Dy + E = 0 •Jika A < B maka elips- nya horizontal dan •Jika A > B maka elips-nya vertikal Untuk menentukan unsur-unsur dari elips, maka persamaan elips dirubah menjadi: - Elips Horizontal. -Elips Vertikal (x-p)² (x-p)² (y-q)² D. PERSAMAAN UMUM ELIPS a² (y-q)² b² + = 1 b² a² + = 1 Contoh soal Diketahui sebuah elips dengan persamaan 16² + 25² − 160 − 150 − 975 = 0, tentukan panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, jarak antar fokus, koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik fokus dan panjang latus rectum! Penyelesaian: 16² + 25² — 160 — 150 — 975 = 0 16² — 160 + 25² – 150 — 975 = 0 16(²— 10) + 25(²— 6) = 975 16((— 5)² — 25) + 25(( — 3)² — 9) = 975 16( — 5)² — 400 + 25( — 3)² — 225 = 975 16( — 5)² + 25( — 3)² = 1600 Jika kedua ruas dibagi 1600 maka: (x - 5)² 100 64 (y - 3)² + = 1 jadi ² = 100 → = 10 ² = 64 → = 8 ²= ² − ² → 100 − 64 = 36 → ² = 36 → = 6 Panjang sumbu mayor: 2 = 2.10 = 20 Panjang sumbu minor: 2 = 2.8 = 16 Jarak antar fokus: 2 = 2.6 = 12. Menentukan titik pusat: Dengan melihat (x - 5)² 100 (y - 3)² 64 + = 1 − 5 = 0, = 5 − 3 = 0, = 3 Jadi, titik pusat (5,3) Geometri analitik bidang & ruang 55
•Menentukan puncak: Karena Sumbu mayor sejajar dengan sumbu-, maka nya berubah dengan = 10 (5 + 10,3) = (15,3) (5 − 10,3) = (−5,3) Jadi koordinat puncaknya (– 5, 3) dan (15, 3) •Menentukan koordinat fokus: Titik fokus sejajar sumbu sehingga berubah dengan = 6 1 = (5 − 6,3) = (−1,3) 2 = (5 + 6,3) = (11,3) Jadi, koordinat fokusnya adalah (– 1, 3) dan (11, 3). •Panjang latus rectum LR = 2b² a = 2.8² 10 = 128 10 = 12,8 Gambar 4.6 Gambar 4.7 G t i litik bid & 56
•D < 0, diperoleh dua akar imajiner. Secara geometri berarti garis tidak memotong elips 4. Agar garis y = mx + k menyinggung elips Sehingga persamaan garis singgung elips E. Persamaan Garis Singgung Elips Pada kegiatan ini kita akan mempelajari, bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung elips yang bergradien, persamaan garis singgung melalui titik (x, y) pada elips, dan persamaan garis singgung yang melalui titik (x, y) di luar elips. Untuk menentukan persamaan garis singgung elips pahami dan lakukanlah kegiatan-kegiatan berikut ini. Menentukan Persamaan Garis Singgung elips yang berpuncak di O(0,0)dan P(p,q) dengan gradien. Untuk menentukan persamaan garis singgung elips yang berpusat di O(0,0)dan P(p,q) dengan gradien lakukanlah kegiatan - dan perhatikan Gambar di bawah ini. Gambar 4.8 Kegiatan 4.8. Gradien garis singgung diketahui dan elips yang berpusat di O(0,0). Langkah-langkahnya: 1. Carilah koordinat titik potong antara persamaan elips dan persamaan garis y= mx + k 2. Subsitusikan garis y = mx + n ke persamaan elips sebagai berikut. sehingga diperoleh. 3. Persamaan (1) di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel Ax² + Bx + C = 0. Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (1) mempunyai nilai: •Diskriminan (D) positif atau D > 0, diperoleh dua akar riil yang berbeda. secara geometri berarti garis y = mx + k memotong elips pada dua titik atau garis berada di luar elips •D = 0 , diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis y = mx + k menyinggung parabola pada suatu titik. maka ambil D = 0, yaitu: dengan gradien m atau sejajar dengan garis y = mx + k adalah: Geometri analitik bidang & ruang 57
Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di tentukan persamaan garis singgung elips dengan gradien m. Geser titik puncak elips O(0,0) ke titik P(p,q). Akibatnya persamaan garis singgung bergeser menjadi: Sehingga persamaan garis singgung elips dengan gradien m atau yang sejajar dengan garis y = mx + k adalah: Dengan cara yang sama seperti di atas, dapat di simpulkan bahwa persamaan garissinggung pada elips dengan gradien m adalah: Dan persamaan garis singgung elips dengan gradien m adalah Contoh soal Tentukan persamaan garis singgung elips6x² + 10y² = 60 dengan gredien √3! Penyelesaian: Pertama sekali kita ubah persamaan elips 6x² + 10y² menjadi, Dengan a = ±√10 , b = ±√6 dan c = ±√2 Persamaan garis singgung elips yang berpusat (0,0) dengan gradien m= √3 adalah, Jadi, persamaan garis singgung elips adalah √3x + 6 dan √3x - 6 Geometri analitik bidang & ruang 58
B. Menentukan Persamaan Garis Singgung Melalui titik (x1, y1) Pada Elips yang berpusat di O(0,0) dan P(p,q) Untuk menentukan persamaan garis singgung elips yang berpusat di O(0,0) dan P(p,q) yang melalui titik (x1, y1). Gambar 4.9 Perhatikan gambar diatas Cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya sebagai berikut: 1. Misalkan persamaan elips dan titik P(x1, y1 ) dan Q(x2, y2) yang terletak pada elips 2. Sehingga persamaan dari garis PQ adalah: 3. Karena titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) terletak pada elips maka berlaku persamaan berikut: Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan persamaan baru yaitu: 4. Subsitusikan persamaan (4) ke persamaan (1) sehingga diperoleh: Geometri analitik bidang & ruang 59
5. Apabila titik Q(x2,y2) bergerak mendekati titik P(x1,y1), sehingga titik Q(x2,y2) dan P(x1, y1) berimpit, dan garis akan menjadi garis singgung elips di titik P(x1, y1), akibatnya x2 = x1 dan y2 = y1 sehingga persamaan (5) menjadi: Berdasarkan persamaan (2) diperoleh, Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1, y1) pada elips adalah: Bentuk persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) pada persamaan elips adalah: Dengan cara yang sama seperti di atas, dapat disimpulkan bahwa persamaan garis singgung elips melalui titik P(x1, y1) adalah: Dan persamaan garis singgung elips melalui titik P(x1, y1) adalah Geometri analitik bidang & ruang 60
Contoh soal Tentukan persamaan garis singgung di titik yang berordinat 2 pada elips yang persamaannya Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal permasalahan di atas, pertama sekali kita cari nilai x dengan cara mensubstitusikan nilai y = 2 ke persamaan elips adalah, Jadi, titik singgungnya adalah ( 3√3,2 ) dan ( -3√3,3) Persamaan garis singgung elips yang melalui titik (3√3,2) adalah: Jadi, persamaan garis singgung elips yang melalui titik (3√3,2) adalah: 2√3x + 3y = 24 Persamaan garis singgung elips yang melalui titik (-3√3,2) adalah: Jadi, persamaan garis singgung elips yang melalui titik (-3√3,2) adalah: -2√3x + 3y = 24 Geometri analitik bidang & ruang 61
2. Dari titik P dapat dibuat 2 buah garis singgung elips yaitu g dan l. Garis g menyinggung elips di Q(x2, y2); garis menyinggung elips di R(x3, y3). Jadi, titik P merupakan titik potong garis singgung dan . C. Menentukan Persamaan Garis Singgung di titik A(x1, y1) di Luar Elips Agar kalian dapat menentukan persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) di luar elips, perhatikan dengan seksama penjelasan berikut! Menentukan Titik P(x1, y1) dan Garis Polar Jika titik (x1, y1) terletak di luar elips yang berpusat di O(0,0) seperti yang terlihat pada Gambar 4.10 di bawah ini: Gambar 4.10 Persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1, y1) tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: 1. Titik P(x1, y1) berada di luar elips 3. Tentukan persamaan garis singgung PQ dengan menggunakan persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu Titik P(x1, y1) pada PQ, sehingga diperoleh Itu berarti B(x2, y2) pada garis 4. Tentukan persamaan garis singgung PR dengan menggunakan persamaan garis singgung diperoleh Itu berarti c(x3, y3) pada persamaan 5. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis QR (garis penghubung antara titik Q danR) yaitu yang juga disebut garis polar dari titik P(x1, y1) terhadap ellips adalah Berdasarkan kegiatan di atas berlaku pula: 1. Persamaan garis polar dari titik P(x1, y1 ) terhadap elips adalah: Geometri analitik bidang & ruang 62
2. Persamaan garis polar dari titik P(x1, y1) terhadap elips adalah 3. Persamaan garis polar dari titik P(x1, y1) terhadap elips adalah Menentukan persamaan garis singgung dari titik P(x1, y1) di luar elips baik yang berpusat di O(0, 0) maupun yang berpusat di P(a,b). diperlukan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Membuat garis polar dari titik terhadap elips. 2. Mencari koordinat titik potong garis polar dengan elips. 3. Menentukan persamaan garis singgung di titik potong antara garis polar dan elips tersebut. Contoh Soal Tentukan persamaan-persamaan garis singgung dari titik A(1,3) pada elips Penyelesaian: Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu persaman garis polar yaitu, Subsitusikan persamaan (1) ke persamaan elips sehingga diperoleh, Substitusikan nilai persamaan (1) sehingga diperoleh nilai Sehingga titik singgung elips adalah Geometri analitik bidang & ruang 63
Dan persamaan garis singgung elips dengan titik adalah: Setelah kita memperoleh titik singgung maka kita dapat menentukan persamaan garis singgung elips adalah: Geometri analitik bidang & ruang 64
F. Kuasa Titik dan Garis pada Elips Kuasa titik pada elips atau bisa kita sebut sebagai kedudukan titik terhadap elips. Sama halnya dengan lingkaran dan parabola irisan kerucut elips juga memiliki kedudukan titik terhadap bidang elips. Pada prinsipnya, kedudukan titik terhadap elips dilakukan dengan menguji titik yang diberikan pada persamaan elips yang diberikan. Sebelumnya bayangkan sebuah elips dan sebuah titik yang terletak pada bidang kartesius yang sama. Kedudukan titik pada elips tersebut pastinya akan membentuk sebuah hubungan. Hubungan tersebut dapat berubah kedudukan titik di dalam elips,kedudukan titik di dalam elips,kedudukan titik pada elips,dan kedudukan titik diluar elips. Perhatikan gambar dibawah ini! Gambar 4.11 a b c Berdasarkan gambar diatas •Gambar a adalah titik berada di dalam elips •Gambar b adalah titik berada pada elips •Gambar c adalah titik berada di luar elips Misalkan diberikan titik (x1,y1) sebagai titik tinjauan terhadap bidang elips, misalkan dengan persamaan elips standar atau persamaan elips tak standar titik (x1,y1) secara aljabar, dapat dinyatakan dengan tiga ketentuan sebagai berikut: Dengan ini kedudukan Geometri analitik bidang & ruang 65 a. Kuasa titik pada elips
Contoh Soal 1. Tentukan kedudukan titik (4 , 2) pada elips dengan persamaan Substitusikan titik (4 , 2) pada persamaan elips, sehingga akan diproleh perhitungan sebagai berikut: Penyelesaian : Geometri analitik bidang & ruang 66 b. Kuasa garis terhadap elips Setelah mengetahui ketentuan titik terhadap elips,sekarang kita akan melihat kuasa garis pada elips atau kedudukan garis terhadap elips. Pada bagian ini akan diawali dengan penurunan rumus. Bagaimana menentukan parameter kedudukan garis terhadap elips tanpa menggambarkannya. Misal diberikan persamaan elips standar horizontal dan sebuah garis lurus dengan persamaan y = mx + c . Dengan melakukan proses substitusi diperoleh :
Maka dapat ditulis : Ax² + Bx + c = 0 Persamaan di atas merupakan persamaan kuadrat. Selanjutnya untuk menentukan apakah garis lurus tersebut memotong kurva di dua titik berbeda, menyinggung kurva, atau tidak menyentuh kurva,dapat di periksa nilai diskriminan dari persamaan kuadrat di atas. Deskriminan adalah hubungan antara koefisien dalam persamaan kurva Hubungan kedudukan garis terhadap elips. Jika, diketahui persamaan kuadrat Ax² + Bx + c maka nilai deskriminan yang diproleh rumus D = B² - 4AC Rumus Diskriminan Subtitusi kembali Expanding Simplify Sehingga diproleh bentuk yang paling sederhana dari nilai deskriminan yaitu : Melalui bentuk sederhana nilai diskriminan di atas, kedudukan garis terhadap elips dapat dilakukan dengan melihat nilai Diskriminanya,pada 3 kondisi berikut : 1. Jika nilai D > 0, maka garis memotong elips, hal ini berarti 2. Jika nilai D = 0, maka garis menyinggung elips, hal ini berarti 3. Jika nilai D < 0, maka garis tidak memotong dan menyinggung elips Geometri analitik bidang & ruang 67
Ketentuan di atas , juga dapat dibuat pada tipe elips standar vertikal, dengan elips tak standar lainnya. Namun demikian perlu untuk menyesuaikan bentuk persamaannya masing. Berikut ilustrasi geometris mengenai kedudukan garis terhadap elips standar horizontal : Gambar 4.12 Geometri analitik bidang & ruang 68 (a) Ilustrasi Kedudukan garis terhadap elips (b) tidak melalui elips , (c)menyinggung elips dan (d) memotong elips Contoh soal Tentukan kedudukan garis 3y − 2x − 27 = 0 pada elips dengan persamaan Penyelesaian : i.Ubah kedalam bentuk standar persamaan garis, dan mengidentifikasi parameter – parameternya: ii.Karena elipsnya berupa elips vertikal sehingga ketentuan yang diidentifikasi adalah b²m² + a² - c² dengan ini kita dapatkan ¡¡¡. Gambarnya berikut ini
Geometri analitik bidang & ruang 69 Rangkuman Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus). Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beraturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni bulat lonjong (atau lonjong saja), bulat bujur, dan bulat panjang. Persamaan elips-nya adalah Kuasa titik pada elips atau bisa kita sebut sebagai kedudukan titik terhadap elips. Sama halnya dengan lingkaran dan parabola irisan kerucut elips juga memiliki kedudukan titik terhadap bidang elips. Pada prinsipnya, kedudukan titik terhadap elips dilakukan dengan menguji titik yang diberikan pada persamaan elips yang diberikan. Elips mempunyai beberapa sifat yaitu memiliki 2 simetri lipat, mempunyai 2 simetri putar, hanya punya 1 sisi dan tidak memiliki titik sudut. Kedudukan titik pada elips terdapat 3 posisi 1. Titik berada di dalam elips 2. Titik berada pada elips 3. Titik berada di luar elips
Geometri analitik bidang & ruang 70 Latihan Soal 1.Tentukan titik pusat, titik fokus, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, persamaan garis direktriks, persamaan eksentrisitas dan panjang latus rectum dari persamaan elips berikut. a. x² + 4y² = 4 b. x² + 4y² + 24y - 36 = 0 2. Tentukan persamaan elips apabila diketahui, a. Titik fokus (-6, 0) dan (6, 0), serta panjang sumbu mayor = 20 b. Titik fokus (3, 2) dan (3, 6), panjang sumbu mayor , serta panjang sumbu minor = 8 3. Tentukan persamaan garis singgung elips 9x² + 12y² = 108 yang: a. Sejajar garis x + 2y - 6 = 0 b. Tegak lurus garis 2x - y = 6 4. a. Tentukan persamaan garis singgung elips 5x² + y² = 5 yang ditarik dari titik (2, -1). b tentukan gradien garis singgung tersebut dan tentukan koordinat titik potong garis singgung tersebut dengan elips!
BAB 5 PARABOLA Dapat merumuskan bentuk umum persamaan dan persamaan standar parabola Dapat mencari persamaan parabola dengan kondisi tertentu Dapat menentukan persamaan garis singgung parabola Dapat membuat latihan soal dan menyelesaikannya 1. 2. 3. 4. Tujuan pembelajaran: Geometri analitik bidang & ruang 71
A A. DEFINISI PARABOLA Parabola adalah tempat kedudukan titik (himpunan titik) yang berjarak sama dari titik dan garis tertentu. Titik tertentu disebut fokus (F ) dan garis tertentu disebut direktriks. Titik - titik (misalnya P) yang jarak antara titik P dan titik fokus (titik F) sama dengan jarak dari titik P ke garis lurus (garis finis). Unsur-unsur parabola garis lengkung warna biru merupakan kurva parabola Titik F(p,0) adalah titik fokus parabola Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola Garis direktris atau arah merupakan garis g Unsur-unsur dari kurva parabola di samping yaitu : 1. 2. 3. 4. 5. 6. Garis sumbu simetri yaitu garis mendatar yang melalui titik fokus dan titik puncak parabola serta tegak lurus dengan direktris(sumbu x) 7. Garis L1 ke L2 disebut latus rectum dengan panjangnya dapat dihitung yaitu L1.L2 = |4p| 8. Jarak titik P ke F sama dengan jarak P ke garis direktris (garis g) Geometri analitik bidang & ruang 72 Gambar 5.1
Titik puncak (a,b) Titik pumcak F(a+p,0) persamaan direktris : x =a -p Sumbu simetri : y = b Persamaan parabola dan unsur-unsurnya titik puncak M (a,b) : bentuk pertama yaitu Unsur-unsurnya : 1. 2. 3. 4. Parabola searah sumbu x, jika p > 0 (positif) maka menghadap kekanan dan sebaliknya Menentukan persamaan parabola Titik puncak (0,0) Titik pumcak F(p,0) persamaan direktris : x = -p Sumbu simetri : y = 0 Persamaan parabola dan unsur-unsurnya titik puncak O (0,0) : bentuk pertama yaitu Unsur-unsurnya : 1. 2. 3. 4. Parabola searah sumbu x, jika p > 0 (positif) maka menghadap kekanan dan sebaliknya B a. mentukan persamaan parabola dengan puncak (a, b) Langkah-langkahnya : gambarkan sebuah parabola dengan memisalkan titik fokus (g)dan garis direktrik sejajar dengan sumbu y 1. Geometri analitik bidang & ruang 73 Gambar 5.2
2. Perpotongan garis g dengan sumbu x adalah titik A, dan puncak adalah titik tengah AF dan sumbu simetri sejajar dengan sumbu x yaitu y = b, seperti yang terlihat pada Gambar 5.2 di atas 3. Misalkan jarak |AF) = p, berarti titik Fokusnya adalah sehingga persamaan garis g adalah 4, Ambil sembarang titik pada parabola yaitu titik T(x,y), maka berlaku persamaan |TF| = jarak T ke garis g atau 5. Kuadratkan kedua ruas dan dijabarkan sehingga diperoleh suatu persamaan Persamaan (1) di atas merupakan persamaan parabola dengan puncak P(a, b). Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika puncak parabola P(a,b) adalah 0(0,0), maka persamaan (1) menjadi seingga di peroleh persamaan parabola persamaan ( 2 ) merupakan persamaan parabola dengan puncak O(0,0) b. mentukan persamaan parabola dengan puncak O (0, 0) Sesuai dengan pengertian parabola, jarak titik p ke titi fokus [|PF|] sama dengan jarak titik P ke titik R[|PR|] Persamaan parabola dengan titik puncak O(0,0) dengan titik fokus F (p,0) dan parabola menghadap kearah kanan (arah sumbu x positif) adalah Geometri analitik bidang & ruang 74
1, misalkan jarak |AF|= p,berarti titik fokusnya adalah F (a,b+1/2p), sehingga persamaan garis l adalah y = b-1/2p 2. ambil sembarang titik pada parabola yaitu titik T(x,y) berdasarkan definisi parabola maka berlaku persamaan |TF| = jarak T ke garis l atau 3. Kuadratkan kedua ruas dan jabarkan sehingga diperoleh suatu persamaan Persamaan (3) diatas merupakan persamaan parabola dengan puncak P(a,b). Dengan cara proses aljabar, dapat ditentukan jika puncak parabola P(a,b) adalah O(0,0), maka persamaan (3) menjadi: tentukan persamaan parabola jika diketahui koordinat fokus dan persamaan direktrisnya penyelesaian : untuk menyelesaikan persamaan di atas, pertama sekali kita tentukan nilai parameter parabola tersebut dengan menggunakan persamaan fokus yaitu berrati p = 5 persamaan direktriks jadi persamaan parabolanya adalah Dengan cara penghitungan yang mirip dengan cara di atas, maka kita akan dapat menentukan tiga persamaan parabola lainnya yang menghadap ke arah yang berbeda. Berikut adalah ilustrasi kuna parabola yang ada empat jenis dengan menghadap ke kanan, ke kiri, ke atas, dan ke bawah lengkap dengan persamaannya. Untuk Cara Menemukan Persamaan Parabola, silahkan teman-teman lakukan seperti perhitungan di atas yaitu : |PF|-|PR| Contoh 5.1 Geometri analitik bidang & ruang 75 Gambar 5.3
Jika p > 0, maka parabola tersebut terbuka ke atas Jika p < 0, maka parabola tersebut terbuka ke bawah sehingga di[peroleh persamaan parabola, Persamaan (4) merupakan persamaan parabola dengan pumcak O(0,0). CATATAN (2) Untuk persamaan parabola Carilah koordinat titik potong antara persamaan parabola dan persamaan garis y = mx + k sebagai berikut: Langkah-langkahmnya: 1. c. Menggambar Persamaan Parabola Kordinat puncak (a,b) berarti P(-3, 2) Persamaan sumbu simetri y = b beartiy = 2 Persamaan direktris x = a- 1/2p berarti x = -4 Koordinat fokus F((a + 1/2p), b) berarti F (-2,2) Koordinat titik potong latus rectum dengan parabola ((a + 1/2p), (b + p)) dan ((a +1/2p),(b - p)) berarti (-2,4) dan (-2,0) Panjang latus rertum |2p| berarti LR = 4 Titik bantu untuk x = 1, maka dipero;eh titik 91,6) dan (1,-2) Gambarlah sketsa parabola dengan persamaan Dari persamaa parabo;a diatas dapat kita peroleh nilai a = -3, b = 2 dan 2p = 4 maka p = 2. Untuk melukis parabola dengan persamaan ini ikutilah langkah-langkah berikut: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. a. Menentukan persamaan garis singgung parabola yang berpuncak di O(0.0) dan P(a,b) dengan gradien Untuk menentukan persamaan garis singgung parabola yang berpuncak di O(0.0) dan P(a,b) dengan gradien. Parabola yang berpuncak di O(0,0). Gradien garis singgung diketahui dan parabola yang berpuncak di O(0,0). Geometri analitik bidang & ruang 76 C Persamaan Garis Singgung Parabola Gambar 5.4 Gambar 5.5
2. Subsitusikan garis y = mx + n ke persamaan parabola sehingga diperoleh: Diskriminan (D) positif atau D > 0, maka diperoleh dua akar rill yang berbeda. Secara geometri berarti garis y = m + k memotong parabola pada dua titik. D < 0, diperoleh dua akar imajiner. secra geometri berarti garis y = mx + k tidak memotong parabola atau garis y = mx berada diluar parabola. D = 0, diperoleh dua akar kembar. Secara geometri berarti garis y = mx + k mnyinggung parabola pada suatu titik. 4. Agar garis y = mx + k menyinggung parabola maka a,bil D = 0 yaitu: Sehingga persamaan garis singgung parabola dengan gradien m atau sejajar dengan garis y = mx + k adalah: Dengan menggunakan prinsip translasi maka dapat dengan mudah di tentukan persamaan garis singgung parabola dengan gradien m. Geser titik puncak parabola O(0,0) ke titik P(a.b). Akibatnya persamaan garis singgung y = mx + p/2m bergeser menjadi: Sehingga persamaa garis singgung parabola dengan gradien m atau yang sejajar dengan garis y = mx + k adalah: Dengan cara yang sama seperti di atas, dapat disipulkan bahwa persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien m adalah: 3. Persamaan (1) diatas merupakan persamaa kuadrat dalam variabel x. Berdasarkan sifat-sifat akar sebuah persamaan kuadrat, jika persamaan (1) mempunyai nilai: dan persamaan garissinggung parabola melalui titik A(x1,y1) adalah: b. Menentukan persamaan garis singgung melalui titik (x1,y1) pada parabola yang berpuncak di O(0,0) dan P(a,b). Untuk menentukan persamaan jaris singgung parabola berpuncak di O(0,0) dan P(a,b) dengan gradian m. Geometri analitik bidang & ruang 77 Gambar 5.6
Misalkan persamaan parabola dan titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) yang terletak pada parabola. Sehingga persamaan garis AB adalah: 1. 2. 3.Karena titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) berada pada parabola maka berlaku persamaan berikut: Dengan cara yang sama seperti di atas, dapat disimpulkan bahwa persamaan garis singgung parabola melalui titik A(x1,y1) adalah: Dan persamaa garis singgung parabola melalui titik A(x1,y1) adalah: 5. Apabila titik B(x2,y2) bergerak mendekati titik A(x1,y1), sehingga titik B(x2,y2) dan A(x1,y1) berimpit, dan garis AB akan menjadi garis singgung parabola di titikA(x1,y1), akibatnya x2 = x1 dan y2 = y1. Sehingga persamaan (4) menjadi: Selanjutnya kedua persamaan tersebut dieliminasi menghasilkan atau 4.Subsitusikan persamaan (5) ke persamaan (1) sehingga diperoleh: Bentuk persamaan garis singgung di titik A(x1,Y1) pada persamaan parabola adalah: Geometri analitik bidang & ruang 78
Titik P(x1,y1) berada diluar parabola . Dari titik P dapat dibuat 2 biah garis singgung parabola yaitu g dan l. Garis g menyinggung parabola di q(x2,y2); garis l menyinggung parabola di R(x3,y3). Jadi, titik P merupakan titik potong garis singgung g dan l. Tentukan persamaan garis singgung PQ dengan menggunakan persamaan garis singgung yang melalui titik yaitu y1y = p(x + x1). Titik P(x1,y1) pada PQ, sehingga diperoleh y2y1 = p(x2 + x1). Itu berarti B(x2,y2) pada garis y1y = p(x + x1) ....(1) Tentukan persamaan garis singgung PR dengan menggunakan persamaan garis singgung diperoleh y3y1 = p(x3 + x1). Itu berarti C(x3,y3) pada persamaan y1y = p(x + x1) ....(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan garis QR (garis penghubung antara titik Q dan R) yaitu y1y = p(x + x1), yang juga isebut garis polar dari titik P(x1,y1) terhadap parabola y1y = p(x + x1) adalah: 1. 2. 3. 4. 5. Berdasarkan kergiatan diatas berlaku pula: 3. Persamaan garis polar dari titik P(x1,y1) terhadap parabola adalah: 4. Persamaan garis polar dari titik P(x1,y1) terhadap parabola adalah: 5. Persamaan garis polar dari titik P(x1,y1) terhadap parabola adalah: c. Menentukan persamaan garis singgung di titik A(x1,y1) diluar parabola Contoh 5.2 Tentukan persamaan garis singgung parabola yang melalui titik A(2.3) yang terletak di luar parabola y = 16x penyelesaian : Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, pertama sekali kita tentukan terlebih dahulu persaman garis polar yaitu seperti persamaan di samping Geometri analitik bidang & ruang 79 Gambar 5.7
subtitusikan persamaan (1) di atas kepersamaan parabola y^2=16x sehingga di peroleh : Substitusikan nilai x₁=1ataux₂=4 ke persamaan (1) sehingga diperoleh nilai y₁ = 6 atau y₂ =8. Sehingga titik singgung parabola adalah (1,6) dan (4.8). Setelah kita memperoleh titik singgung maka kita dapat menentukan persamaan garis singgung parabola y^2 = 16x dengan titik (1,6) adalah: persamaan garis singgung parabola y^2 = 16x dengan titik (4,8) adalah: Jadi persamaan garis singgung parabola adalah 2x - 3y +2 = 0 dan x - 2y + 4 = 0 D Kuasa titik pada parabola Kuasa titik pada parabola adalah jarak titik tersebut ke fokus parabola. Semakin dekat titik tersebut ke fokus, maka semakin besar kuasa titiknya. Kuasa Garis pada Parabola Kuasa garis pada parabola adalah jarak garis tersebut ke fokus parabola. Semakin dekat garis tersebut ke fokus, maka semakin besar kuasa garisnya. Kuasa titik dan garis singgung parabola Geometri analitik bidang & ruang 80
Contoh 5.3 Misalkan terdapat sebuah parabola dengan persamaan y = x^2 dan fokus (0, 2). Tentukan titik listrik dan garis untuk titik (3, 5) dan garis y = -2. Penyelesaian Kuasa Titik: Jarak titik (3, 5) ke fokus (0, 2) adalah (3-0)^2 + (5-2)^2) = (30). Jadi, kontak titik ke titik (3, 5) adalah 30. Kuasa Garis: Jarak garis y = -2 ke fokus (0, 2) adalah 4. Jadi, kuasa garis untuk garis y = -1 adalah 4. Geometri analitik bidang & ruang 81
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik (himpunan titik) yang berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut Fokus ( F ) dan garis tertentu itu disebut Direktrik. Parabola dapat diartikan sebagai tempat kedudukan titik – titik ( misalkan P ) sedemikian sehingga jarak titik P dengan titik focus ( titik F ) sama dengan jarak titik P ke garis direktris (garis arahnya ). Himpunan titik P ( , ) pada kurva parabola dapat kita susun suatu persamaan yaitu persamaan parabola. Parabola memiliki empat arah yaitu hadap kanan, hadap kiri, hadap atas dan hadap bawah. Dan juga kita menentukan titik titik di persamaan Parabola dan Garis Singgung Persamaan Parabola. Kuasa titik pada parabola adalah jarak titik tersebut ke fokus parabola. Semakin dekat titik tersebut ke fokus, maka semakin besar kuasa titiknya. Kuasa garis pada parabola adalah jarak garis tersebut ke fokus parabola. Semakin dekat garis tersebut ke fokus, maka semakin besar kuasa garisnya. Rangkuman Geometri analitik bidang & ruang 82 Persamaan parabola dan unsur-unsurnya titik puncak O(0,0) Persamaan parabola dan unsur-unsurnya titik puncak M(a,b persamaan garis singgung parabola yang berpuncak di O(0.0) &P(a,b)
Rangkuman Geometri analitik bidang & ruang 83
1. Diketahui persamaan parabola y² + 4x – 8y – 12 = 0, Tentukan titik puncak dari persamaan tersebut? 2. Diketahui persamaan parabola (y – 8)² = 12 (x – 4), Tentukan persamaan direktris dari parabola tersebut? 3. Diketahui persamaan parabola x² + 8x – 12y – 32 = 0, Tentukan sumbu simetri dari persamaan tersebut? 4. Diketahui persamaan parabola x² + 8x – 12y – 32 = 0, Tentukan titik fokus dari persamaan tersebut? 5. Tentukan persamaan parabola yang memiliki fokus (3,0) dan direktiks x = -3. 6. Tentukan persamaan parabola yang melalui titik (1,4) dan memiliki sumbu simetri x = 2. 7. Tentukan fokus, direktiks, dan titik potong sumbu y dari parabola y = 2(x + 3)^2 + 5 8. Tentukan persamaan parabola yang memiliki titik puncak (2, -3) dan melalui titik (-1, 0). 9. Tentukan titik puncak dan panjang lintasan horizontal dari parabola y = -3x² + 12x – 9. 10. Tentukan persamaan parabola yang melalui titik (-2, 5) dan memiliki titik puncak (1, 3). Latihan Soal Geometri analitik bidang & ruang 84
BAB 6 HIPERBOLA Dapat merumuskan bentuk umum persamaan dan persamaan standar hiperbola Dapat mencari persamaan hiperbola dengan kondisi tertentu Dapat menentukan persamaan garis singgung hiperbola Dapat membuat latihan soal dan menyelesaikannya 1. 2. 3. 4. Tujuan pembelajaran: Geometri analitik bidang & ruang 85
Hiperbola merupakan bangun datar yang diperoleh dari sebuah bangun ruang yang berbentuk kerucut lalu mengirisnya dengan saling bertolak belakang dan dipotong tegak lurus, tetapi tidak memotong puncak bangun kerucut tersebut. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang besar kedua titik tetap terhadap selisih jaraknya, yang disebut dengan titik focus dengan jarak titiknya yaitu 2a. Titik tetap disebut sebagai focus (F1 dan F2) konstan. 1. Unsur-unsur Hiperbola A. Definisi Hiperbola Sebelum anda mempelajari persamaan dari hiperbola. Anda telah memepelajari persamaan parabola dan persamaan elips pada bab sebelumnya. Hiperbola mempunyai kesamaan dengan parabola hanya saja pembedanya parabola terdiri dari satu kurva sedangkan hiperbola terdiri dari dua kurva yang masing-masing kurvanya disebut cabang. Maka dari itu, dipaparkan unsur-unsur hiperbola sebagai berikut: gambar 6.1. Unsur-unsur hiperbola Hiperbola memiliki sumbu horizontal dan sumbu vertical yang tegak lurus dan saling berpotongan dititik pusat (a, b). Sumbu utama/nyata/transversal/mayor adalah garis yang melalui titik focus. Sumbu sekawan/imajiner/konjugasi/minor adalah garis yang tegak lurus sumbu utama dan melalui titik pusat hiperbola. Titik puncak yaitu perpotongan hiperbola dengan sumbu utama. Geometri Analitik Bidang & Ruang 86
Garis yang menyinggung dan melewati titik pusat pada hiperbola jauh tak hingga disebut asimtot. Ada dua persamaan asimtot yaitu persamaan asimtot berousat O (0,0) dan asimtot berpusat (h,k). Latuc rectrum merupakan garis yang melalui salah satu titik focus, dan tegak lurus sumbu mayor dan memotong hiperbola di dua titik. Panjangnya dapat dicari dengan sebuah persamaan. Nilai eksentrisitas hiperbola yaitu: Persamaan garis direktris hiperbola: Gambar 6.2. Unsur-unsur Hiperbola B. Persamaan Hiperbola Persamaan hiperbola dapat anda bedakan menjadi dua jenis berdasarkan titik pusatnya yaitu hiperbola berpusat pada titik O (0,0) dan hiperbola yang bertranslasi pada titik (h,k) sehingga berpusat pada titik (h,k). Persamaan hiperbola juga dapat anada bedakan berdasarkan titik puncaknya yaitu ada dua jenis juga yakni titik puncak yang terletak pada sumbu x (hiperbola horizontal) dan yang terletak pada sumbu y (hiperbola vertical). Berikut adalah bentuk-bentuk umum dari persamaan hiperbola: 1 Hiperbola Horizontal Pusat O (0,0) Hiperbola horizontal adalah hiperbola yang dimana pada sumbu x terdapat titik puncaknya. Perhatikan gambar 6.4 dibawah ini. Berdasarkan definisi hiperbola, maka untuk mencari selisih jarak anatar titik P dengan titik fokus hiperbola yaitu F1 dan F2. Geometri Analitik Bidang & Ruang 87
Gambar 6.3. Hiperbola horizonta pusat O (0,0) diperoleh, |P1F1 – P1F1| = |(c – a) – (a + c))| = |-2a| = 2a. Setelah dapat jarak selisih tetapnya yaitu 2a maka untuk mencari bentuk umumnya dapat di misalkan sebuah titik yang terletak pada hiperbola yaitu titik P(x,y). Dengan menggunakan definisi hiperbola maka diperoleh |d1 – d2| = 2a. Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui tiik fokusnya adalah (10,0) dan (-10,0), serta titik puncanya adalah (4,0) dan (-4,0) Penyelesaian: Titik fokus hiperbola horizontal adalah (c,0) = (10,0) → c =10 Titik puncak hiperbola horizontal adalah (a,0) = (4,0) → c = 4 Contoh Soal 6.1: Geometri Analitik Bidang & Ruang 88 Jadi persamaan hiperbola adalah
2 Hiperbola Vertikal Pusat O (0,0) Hiperbola vertikal adalah hiperbola yang dimana pada sumbu y terdapat titik puncaknya. Perhatikan ganbar 6.4. Gambar 6.4. Hiperbola vertikal pusat O (0,0) Dengan menggunakan cara yang sama untuk mencari persamaan umumnya, diperoleh Contoh Soal 6.2: Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui titik puncaknya adalah (0,4) dan (0,-4) dan persamaa asimtotnya adalah Geometri Analitik Bidang & Ruang 89
Penyelesaian: Titik puncak hiperbola vertikal (0,a) = (0,4) → c = 4 3. Persamaan Hiperbola Horizontal Pusat (h,k) Gambar 6.5. Hiperbola horizontal pusat (h,k) Pada gambar 6.5 ditunjukkan hiperbola dengan titik (h,k) dan titik F1 (h + c,k) dan titik F2 (h – c,k) sebagai titik fokus 2. Selisih jarang sembarangnya yaitu titik P(x,y) ke F1 dan F2 adalah 2a. Seperti sebelumnya, diketahui bahwa |d1 – d2| = 2a. Untuk mendapatkan persamaan pada pusat (h,k), maka ditunjukkan sebgai berikut: Seperti gambar 6.5, kita ketahui jarak titik pusat ke titik fokus lebih besar dari jarak titik ousat ke titik puncak (c > a). Dari persamaan terakhir diatas, (a2 – c2) berhasil negatife karena c > a. Misalkan nilai tetap (a2 – c2) diubah -b2, maka persamaan dapat kita tulis menjadi: Geometri Analitik Bidang & Ruang 90
Jadi, persamaan hiperbola berpusat dititik (h,k) dengan sumbu x sejajar dengan titik fokus pada sumbu utama, serta titik fokusnya F1 (h + a,k) dan F2 ( h- c,k) serta titik puncaknya P1 (h + a,k) dan F2 (h – a,k) ialah: Contoh Soal 6.3: Tentukan koordinat pusat, fokus, puncak dan jarak dari kedua fokus hiperbola Penyelesaian: Kita ubah persamaaan ke bentuk standar menggunakan kuadrat sempurna Geometri Analitik Bidang & Ruang 91
4. Persamaan Hiperbola Vertikal Pusat (h,k) Gambar 6.6. Hiperbola vertikal pusat (h,k) Persamaan hiperbola vertikal pada pusat (h,k) yang sejejar pada sumbu y dapat ditentukan dengan cara yang sama, tetapi titik fokusnya diganti menjadi F1 (h,k + c ) dan F2 (h,k - c). Maka dapat kita temukan persamaannya dengan titik fokus pada sumbu utama yang sejajar dengan sumbu y, yaitu: Jadi, persamaan hiperbola vertikal pada pusat (h,k) dengan titik fokus pada sumbu utama, sejajar dengan sumbu x dengan titik fokusnya F1 (h + c,k) dan F2 (h – c,k) dan titik puncaknya P1 (h + a,k) dan F2 ( h + c,k) adalah: Geometri Analitik Bidang & Ruang 92
Tentukanlah titik pusat, titik ujung, titik fokus dari persamaan berikut ini! Contoh Soal 6.4: Penyelesaian: Ubah persamaan menjadi bentuk umum persamaan hiperbola: Dari persamaan diatas, dpat kita peroleh bahwa : 5. Asimtot-asimtot Hiperbola Pada hiperbola terdapat dua asimtot, yaitu asimtot hiperbola berpusat pada O(0,0) dan hiperbola berpusat pada (h,k): (i) Persamaan asimtot hiperbola pusat O(0,0) Persamaan asimtot hiperbola pusat O(0,0) dapat kita gunakan persamaan berikut: Gambar 6.7. Asimtot hiperbola pusat O(0,0) Geometri Analitik Bidang & Ruang 93
Karena asimtot merupakan garis yang melewati titik puncak dan menyinggung hiperbola jauh di jauh tak hingga, maka ketika nilai x semakin membesar dan mendekati tak hingga maka nilai a menjadi tidak berpengaruh sehingga nilai a diabaikan. Oleh karena itu persamaan asimtot hiperbola berpusat pada O(0,0) adalah: Contoh Soal 6.5: Tentukan persamaan asimtot dari hiperbola Penyelesaian: Ubah persamaan diatas menjadu persamaan baku hiperbola maka diperoleh nilai sehingga asimtot pada hiperbola tersebut adalah Geometri Analitik Bidang & Ruang 94
(ii) Persamaan asimtot hiperbola pusat (h,k) Gambar 6.8. Asimtot hiperbola pusat (h,k) Persamaan asimtot hiperbola pusat (h,k) dapat kita gunakan persamaan berikut: Sama dengan persamaan hiperbola pusat O(0,0) tadi, maka nilai x semakin membesar dan mendekati tak hingga maka nilai 1 dapat kita abaikan sehingga Oleh karena itu, persamaan asimpot hiperbola pusat (h,k) adalah: Contoh Soal 6.6: Tentukan persamaan asimtot dari hiperbola Geometri Analitik Bidang & Ruang 95