เนื้อหาวิชากลศาสตร์วิศวกรรมปี63

เอกสารประกอบการสอน

วิชา 2103213 กลศาสตรว ศิ วกรรม 1
(Engineering Mechanics 1)
สว นท่ี 1 STATICS

โดย อ.ดร.ชนัตต รัตนสุมาวงศ
ภาควิชาวิศวกรรมเครือ่ งกล

คณะวศิ วกรรมศาสตร
จฬุ าลงกรณม หาวิทยาลยั

คาํ นํา

กลศาสตรเ ปนวิทยาศาสตรก ายภาพท่เี กยี่ วขอ งกับแรง และผลของแรงบนวัตถุ วิชากล
ศาสตรเ ปนพน้ื ฐานที่สําคัญของวิศวกรรมศาสตรหลายๆ แขนง จงึ ไดถ กู บรรจุเปนวชิ าบงั คบั ใน
หลักสตู รวศิ วกรรมศาสตรบ ณั ฑิตของทกุ สาขา สําหรับหลกั สตู รวศิ วกรรมศาสตรบ ณั ฑติ ของ
จุฬาลงกรณม หาวิทยาลยั มวี ิชาทีเ่ กย่ี วขอ งกับกลศาสตรอยูท้งั หมด 3 วชิ า ไดแ ก วิชากลศาสตร
วศิ วกรรม (Engineering Mechanics I) วชิ าสถติ ยศาสตร (Statics) และวิชาจลศาสตร (Dynamics)
สาํ หรบั นิสิตภาควชิ าวิศวกรรมเคร่ืองกล และวศิ วกรรมอตุ สาหการ ซ่งึ จําเปนตองใชว ชิ านเ้ี ปนอยา ง
มากจะเรียนวชิ าสถติ ยศาสตร และวชิ าจลศาสตร รวม 2 วชิ า แตก ับภาควิชาอ่นื ๆ นั้น จะเรียนวชิ า
กลศาสตรวศิ วกรรมเพยี งตวั เดียว โดยเนอื้ หาของวิชากลศาสตรว ศิ วกรรมจะประกอบดว ยเนอ้ื หา
บางสวนของวชิ าสถิตยศาสตร และบางสวนของวิชาจลศาสตร สาํ หรบั เอกสารประกอบการสอนนม้ี ี
จดุ ประสงคห ลกั เพ่อื ใชสําหรบั วชิ ากลศาสตรว ศิ วกรรม จึงมีเน้อื หาสว นท่ี 1 เปน สว นสถติ ยศาสตร
และเน้อื หาสว นท่ี 2 เปนจลศาสตร

การเรยี งบทและหัวขอ ในเอกสารประกอบการสอนน้ี จะอางอิงตามบทและหวั ขอที่แสดงไว
ในหนงั สือ Engineering Mechanics STATICS และ Engineering Mechanics DYNAMICS ซึ่ง
เขียนโดย Meriam และ Kraige ซ่งึ เปน หนังสอื อา นบงั คบั ในวชิ ากลศาสตรว ิศวกรรม และยัง
สอดคลอ งกับเนอื้ หา และลาํ ดบั หัวขอ ที่เขยี นไวในประมวลรายวชิ า ทงั้ น้เี พอ่ื ความสะดวกของนิสติ ใน
การใชอานประกอบกบั หนังสอื อา นบังคับ ดวยเหตนุ ี้จะเห็นไดว าเลขบทและเลขหวั ขอ ในเอกสาร
ประกอบการสอนน้ี บางสว นจะไมเรียงลาํ ดบั ตามตวั เลข โดยจะขา มบท หรอื หวั ขอทไี่ มมีการเรียน
การสอนไป การเขยี นเอกสารประกอบการสอนน้ี ผเู ขยี นไมไ ดแปลมาจากหนังสอื อา นบงั คบั
ภาษาองั กฤษโดยตรง แตจะแปล เรยี บเรยี ง และบางสว นมีการอธบิ ายเพ่มิ เตมิ เพื่อใหน ิสิตสามารถ
เขา ใจเนื้อหาไดง ายและรวดเร็วย่ิงขนึ้ รูปภาพและโจทยตัวอยางในเอกสารนีผ้ เู ขยี นนํามาจากหนังสอื
Engineering Mechanics STATICS และ DYNAMICS ซ่งึ เขยี นโดย Meriam และ Kraige เปนหลัก
และเสริมดวยบางสว นจากหนังสอื Engineering Mechanics STATICS และ DYNAMICS ซงึ่ เขียน
โดย R.C.Hibbeler ซึง่ เปนหนง่ึ ในหนงั สอื อานบังคบั เชนกนั โดยทีม่ าของรูปและโจทยปญหาได
อางอิงไวด งั แสดงในรายการเอกสารอา งองิ ทายหวั ขอนัน้ ๆ

สดุ ทายนผ้ี ูเขยี นยนิ ดรี บั ฟง ความคดิ เหน็ และขอ เสนอแนะตางๆ เพือ่ ปรับปรุงเอกสาร
ประกอบการสอนนใี้ หดียงิ่ ๆ ขึ้นไป โดยสามารถเสนอความคิดเห็นไดโดยผา นทางอเี มลของผูเขียน
[email protected]

ชนัตต รัตนสมุ าวงศ

สารบญั Statics

บทที่ 1 บทนํา ......................................................................................................1-1

1/1 กลศาสตร (Mechanics) ..................................................................................... 1-1
1/2 แนวคดิ พืน้ ฐาน................................................................................................... 1-1
1/3 สเกลารแ ละเวคเตอร........................................................................................... 1-2
1/4 กฎของนิวตัน..................................................................................................... 1-7

บทที่ 2 ระบบของแรง..........................................................................................2-1

2/1 บทนํา ................................................................................................................ 2-1
2/2 แรง.................................................................................................................... 2-1
ระบบแรงในสองมิติ
2/3 ระบบพิกดั ฉาก................................................................................................... 2-5
2/4 โมเมนต........................................................................................................... 2-12
2/5 คปั เปล (Couple).............................................................................................. 2-19
2/6 Resultants ...................................................................................................... 2-23
ระบบแรงในสามมิติ
2/7 ระบบพกิ ดั ฉาก................................................................................................. 2-29
2/8 โมเมนตและคัปเปล .......................................................................................... 2-37
2/9 Resultants ...................................................................................................... 2-46

บทที่ 3 สภาพสมดุล.............................................................................................3-1

3/1 บทนํา ................................................................................................................ 3-1
สภาพสมดลุ ในสองมติ ิ
3/2 การเขียน Free-body diagram ........................................................................... 3-1
3/3 สภาพสมดลุ ....................................................................................................... 3-8
สภาพสมดุลในสามมติ ิ
3/4 สภาพสมดลุ ..................................................................................................... 3-21

บทที่ 5 แรงกระจาย.............................................................................................5-1

5/1 บทนํา ................................................................................................................ 5-1
5/2 จดุ ศนู ยกลางมวล ............................................................................................... 5-3
5/3 Centroids of Lines, Areas, and Volumes ........................................................ 5-5

5/4 Composite body............................................................................................... 5-8
5/5 ทฤษฎีของ Pappus............................................................................................ 5-9
5/9 Fluid Statics.................................................................................................... 5-13

บทที่ 6 แรงเสียดทาน..........................................................................................6-1

6/1 บทนาํ ................................................................................................................ 6-1
6/2 ประเภทแรงเสียดทาน ........................................................................................ 6-1
6/3 Dry Friction....................................................................................................... 6-2

Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-1

สถติ ยศาสตร (Statics)

บทที่ 1 บทนาํ

1/1 กลศาสตร (Mechanics)

กลศาสตร เปน วิทยาศาสตรก ายภาพที่เกี่ยวขอ งกับแรงและผลของแรงบนวัตถุ ถงึ แมว า
หลกั การของวชิ ากลศาสตรจะมไี มมาก แตก ส็ ามารถนําไปประยกุ ตใ ชกับปญ หาหลากหลาย
ในทางวศิ วกรรมได เชน การส่ันสะเทือน เสถียรภาพและความแข็งแรงของโครงสรางหรอื
เครอ่ื งจกั ร หนุ ยนต การออกแบบควบคมุ รถยนต ยานอวกาศ เครอื่ งยนต การไหลของของไหล
เครอ่ื งจักรกลทางไฟฟา หรือแมแต แรงในระดบั อะตอม เปน ตน ดังนน้ั การเขาใจถึงหลักการของ
วิชากลศาสตร จงึ เปน พืน้ ฐานสําคญั ในการศึกษาวชิ าอนื่ ๆ ในทางวศิ วกรรมตอไป

กลศาสตร สามารถแบง ออกเปน 2 แขนงใหญๆ ไดแก สถิตยศาสตร (Statics) ซึ่ง
พจิ ารณาถึงสมดลุ ของวตั ถภุ ายใตแรงกระทาํ ตา งๆ และ พลศาสตร (Dynamics) ซง่ึ พจิ ารณา
เก่ยี วกับการเคลือ่ นทขี่ องวตั ถุ

1/2 แนวคดิ พน้ื ฐาน

กอ นทจ่ี ะศกึ ษาวิชากลศาสตร จาํ เปนท่ีจะตอ งเขา ใจแนวคดิ และคาํ จํากดั ความพ้ืนฐาน
ดังน้ี
สเปซ (Space) คอื พน้ื ที่ ซึ่งบรรจุวตั ถุไว ตาํ แหนง ของวตั ถุสามารถบอกไดเปน พกิ ัด โดยวัด
อา งองิ กับระบบพิกัดแบบตา งๆ เชน ปญหาสามมิติ วดั เปน x-y-z หรอื r-θ-z ปญ หาสองมิติ วัด
เปน x-y หรือ r-θ เปนตน สาํ หรบั ปญหาสามมติ ิ พกิ ดั 3 ตวั ซึ่งเปน อิสระตอกนั จาํ เปนตอ งใช
ในการบอกพกิ ดั สวนปญ หาสองมติ ิ จาํ เปน ตอ งใชพ กิ ัดเพียง 2 ตวั ซึ่งเปนอิสระตอ กัน ในการ
บอกพิกัด
เวลา (Time) คอื การวัดความตอเนอ่ื งของเหตกุ ารณ “เวลา” เปน ปริมาณพ้ืนฐานที่สาํ คัญใน
การศึกษาพลศาสตร แตไ มจําเปนตอ งคํานึงถงึ ในการพจิ ารณาปญ หาสถิตยศาสตร
มวล (Mass) คอื ปรมิ าณความเฉื่อยของวัตถุ เปนตวั บอกถึงความตา นทานการเปล่ยี นแปลง
ความเรว็ ของวตั ถุ มวลยังอาจพิจารณาอีกดา นหนง่ึ ไดเปน ปรมิ าณของสสารทอี่ ยูในวตั ถุ สําหรบั
มวล 2 ชิ้น จะมีแรงดงึ ดูดระหวา งกนั เกดิ ขน้ึ เสมอ ขนาดของแรงดึงดดู นี้จะข้นึ อยกู ับขนาดของ
มวล โดยถา มวลขนาดใหญจ ะมีแรงดึงดูดมาก
แรง (Force) เปนการกระทาํ ของวตั ถหุ นงึ่ ตอ วตั ถุอน่ื ๆ วตั ถทุ ไี่ ดรบั แรงกระทาํ จะเกิดการ
เคล่อื นท่ีไปตามทศิ ทางทีแ่ รงกระทํา เนอ่ื งจากขนาด ทิศทาง และตาํ แหนงทแ่ี รงกระทาํ มี
ความสําคญั ตอ วัตถทุ ีไ่ ดรบั แรง ดงั นั้นแรงจงึ เปน ปริมาณท่ตี อ งคํานึงท้ังขนาด และทศิ ทาง ซง่ึ
เรียกวา “ปริมาณเวคเตอร” คณุ สมบตั ิของปริมาณเวคเตอรจะไดกลา วถงึ ในหวั ขอถดั ไป

Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-2

อนุภาค (Particle) คือวัตถุทขี่ นาดถูกพจิ ารณาวาไมมีความสาํ คญั ในทางคณิตศาสตร อนุภาค

หมายถึงวตั ถทุ ่มี ีขนาดเลก็ มากๆ เปรียบเสมือนเปน จดุ และมวลของอนุภาคท้งั กอ น จะถูก
พจิ ารณาใหร วมอยทู จ่ี ุดๆ เดียว ในหลายๆ ครัง้ อนภุ าคอาจจะไมไ ดมีขนาดเล็กก็ได วตั ถุใดๆ ซงึ่
ขนาดของมัน ถกู พิจารณาแลว วา ไมมีความสาํ คัญตอการเคลอื่ นท่ีโดยรวม หรือ ไมม ีความสําคัญ
ตอ การวิเคราะหแ รง จะถูกพิจารณาใหเ ปนอนุภาค ตัวอยา งอนุภาคในกรณีนเ้ี ชน การพิจารณา
การเคลือ่ นท่ีของเครอื่ งบิน เครอ่ื งบนิ ถอื วา เปนอนุภาค เนอ่ื งจากขนาดของมันมขี นาดเล็กเมอื่
เทยี บกบั เสน ทางการบนิ และการพิจารณาขนาดของเครอื่ งบนิ ใหเ ปน จดุ ไมสงผลกระทบตอการ
วิเคราะห เสนทางการบนิ โดยรวม
วตั ถแุ ข็งเกรง็ (Rigid body) คอื วตั ถทุ ่ีถือวา ไมมีการเสียรูป หรอื มกี ารเสยี รปู นอ ยมาก เมื่อมี

แรงมากระทาํ

1/3 สเกลาร และเวคเตอร

ปริมาณทางฟสิกส สามารถแบง ไดเปน 2 ชนดิ คือปริมาณสเกลาร และปรมิ าณเวคเตอร
ปรมิ าณสเกลาร เปน ปริมาณซ่ึงมแี ตขนาด เชน เวลา ปริมาตร ความหนาแนน อัตราเรว็ อัตรา
เรง พลงั งาน มวล เปนตน
ปริมาณเวคเตอร เปน ปรมิ าณซึ่งมีท้ังขนาด และทิศทาง เชน การขจดั ความเรว็ ความเรง แรง
โมเมนต โมเมนตัม เปน ตน
ปริมาณเวคเตอรย งั สามารถแบง ยอยๆ ตามความสาํ คญั ของตําแหนง ไดอ กี เปน 3 ชนดิ และ
แสดงดังรปู ท่ี 1(a) -1(c) ดงั น้ี
1. Free vector เปนเวคเตอรต ามนิยามทางคณิตศาสตร คอื สามารถเลอื่ นตามแนวเสน ตรง

หรอื ยายไปตําแหนงอื่นๆ ได โดยจะใหผ ลลัพธเ ชนเดมิ ตวั อยางของ free vector ไดแ ก การ
ขจัดของวัตถซุ งึ่ เล่อื นท่โี ดยไมมกี ารหมุน ในกรณนี ี้ เวคเตอรก ารขจดั ของตาํ แหนง ใดๆ บนวตั ถุ
สามารถใชเ พอ่ื อธิบายการเคลือ่ นทขี่ องวตั ถไุ ด กลา วอกี อยา งหนงึ่ คอื เวคเตอรก ารขจัดสามารถ
ยายไปท่ีตาํ แหนง ใดๆ บนวัตถุได โดยไดผลลพั ธค อื แสดงการขจดั ไดเทาเดิม
2. Sliding vector เปน เวคเตอรท ี่สามารถเลอ่ื นไปมา ตามแนวเสน ตรงได โดยไมท ําใหผ ลลพั ธ

เปลย่ี นแปลง แตไ มส ามารถยา ยไปตาํ แหนง อื่นๆ ได ตัวอยางของเวคเตอรช นดิ น้ีคอื เวคเตอร
ของแรงทกี่ ระทาํ ตอ วตั ถแุ ขง็ เกร็ง จากรปู ท่ี 1(b) พบวา ไมวาจะออกแรงดัน หรอื ออกแรงดงึ วัตถุ
วตั ถุจะเคล่ือนที่เหมือนกนั แสดงใหเ ห็นวา เวคเตอรข องแรงสามารถเลอ่ื นได
3. Fixed vector เปนเวคเตอรทไี่ มส ามารถเลือ่ นหรือยา ยตาํ แหนง ได จดุ ทีเ่ วคเตอรกระทํามี

ความสําคญั ตอ ผลลพั ธท ี่ได ตวั อยางของเวคเตอรชนดิ นคี้ อื เวคเตอรข องแรงทก่ี ระทํากบั วตั ถุที่
เสียรปู ได เชน ดนิ นํ้ามนั จะพบวาแรงทกี่ ดดินน้าํ มัน กับแรงท่ดี งึ ดินนา้ํ มนั แมแนวแรงจะอยใู น
แนวเสน ตรงเดยี วกัน แตก จ็ ะทาํ ใหด ินน้ํามนั เสยี รูปตางกัน เนื่องจากการเสียรปู ของดินนา้ํ มนั
ข้นึ กับตําแหนง ของแรงกระทํา ดงั นัน้ เวคเตอรข องแรงในกรณีนจ้ี ึงถอื วา เปน fixed vector

Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-3

(a)v v (b)
S vS
v S vv
S FF

Rigid body

(c)

Fv K Fv

Deformable body

รูปที่ 1 เวคเตอรชนดิ ตา งๆ

ความรพู ื้นฐานของเวคเตอร

1. การเขยี นเวคเตอร

รปู เวคเตอรส ามารถเขียนแทนไดโดยลกู ศร ตามแสดงในรูปท่ี 2(a) โดย ความยาวของ

ลูกศรแสดงถงึ ขนาดของเวคเตอร และ ทิศทางของหวั ลกู ศรแสดงถงึ ทศิ ทางของเวคเตอร การ

เขียนสัญลักษณข องเวคเตอร อาจเขยี นดว ยอักษรตวั หนา หรอื เขียนสญั ลกั ษณหวั ลกู ศรบน
v
ตวั อักษร ดงั น้ี V1 หรอื V1

ในกรณที เี่ ปน เวคเตอรตดิ ลบ ใหเขียนขนาดหัวลกู ศรยาวเทาเดิม แตทศิ ทางตรงกันขาม

ดังแสดงในรูปท่ี 2(b)

2. การบวกเวคเตอร

การบวกเวคเตอรส ามารถทําไดโดยตอ เวคเตอรเขาดว ยกนั โดยใชก ฎส่เี หลี่ยมดา นขนาน

หรอื ตอ กนั แบบหวั ตอหาง ดงั แสดงในรปู ท่ี 3 จากรปู จะพบวา การบวกแบบเวคเตอรจะไดข นาด

ของเวคเตอรล พั ธ นอยกวา หรือเทากับการบวกขนาดของแตละเวคเตอรเ ขาดว ยกนั ตรงๆ (การ

บวกแบบสเกลาร)

(a) (b)

r r
V
Magnitude = | V | or V
θ
r θ = Direction
Vector = V or V r
−V (same magnitude but

opposite direction)

รูปท่ี 2 การเขยี นเวคเตอร

Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-4

r r r r
V2 V2 V Vr
r V2
r V1
V=1Vr1 V ≠ V1 + V2
r r + r
V1 V V2

รปู ที่ 3 การบวกเวคเตอร

r r
V2 r r r r (−Vr2 ) V1
V = V1 − V2 = V1 + r
r
r V
V1 −V2

รปู ที่ 4 การลบเวคเตอร

การลบเวคเตอรส ามารถทาํ ไดท ํานองเดยี วกบั การบวกเวคเตอร โดยทาํ ใหเวคเตอรท จ่ี ะ
เอามาลบเปน เวคเตอรติดลบ โดยกลับทศิ ทางหวั ลกู ศรเสียกอน แลว คอยนํามาบวกกับเวคเตอร
ท่ีตองการ วิธกี ารลบเวคเตอรแ ละสมการทใ่ี ชค าํ นวณ แสดงในรูปท่ี 4
3. การประยุกตใชสมการตรโี กณมิติกบั การบวกลบเวคเตอร

การบวกลบเวคเตอรโดยตอเวคเตอรแ บบหวั ตอ หาง จะไดแ ผนภาพเวคเตอรเ ปน รูป
สามเหลี่ยม ทาํ ใหส ามารถใชส ตู รตรโี กณมติ ิคาํ นวณความสัมพนั ธข องขนาด และทศิ ทางของ
เวคเตอรไ ด ดังแสดงในรปู ที่ 5

r V 2 = V12 + V22 − 2V1V2 cos(β )
Vr
θ r β V2 V2 = V

V1 sin(θ ) sin(β )

รูปท่ี 5 การประยกุ ตส มการตรโี กณมติ ิกบั การบวกลบเวคเตอร

Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-5

ตวั อยา งท่ี 1/1
ก30ําºหจนงดคใาํหนขวนณาดหขาอขงนเาวดคขเตอองเรว คVvเ1ตแอลระVwVv=2
มีคาเปน 10 และ 20 หนวยตามลาํ ดับ มมุ θ เทา กบั
v v มุม β
V2 − V1 และ

V2 V = V2 -V1
β
θ
V1

วธิ ีทํา จากรูป ใชกฎของ cosine V 2 = V12 + V22 − 2V1V2 cos(θ )

V 2 = 102 +122 − 2(10)(12) cos(30o )

V = 6.013 หนว ย Ans
Ans
จากกฎของ sine V2 = V
sin β sinθ

12 = 6.013
sin β sin 30o

β = 86.26º หรือ 93.74º

ตรวจคําตอบโดยใชกฎของ cosine

กรณี β = 86.26º, 122 = 102 + 6.0132 − 2(10)(6.013) cos(86.26o )

144 ≠ 128

กรณี β = 93.74º, 122 = 102 + 6.0132 − 2(10)(6.013) cos(93.74o )

144 = 144

∴ β = 93.74º

4. การแยกสวนประกอบของเวคเตอร

4.1 แยกสว นประกอบของเวคเตอรเ ปนสองสว นไมต้งั ฉากกัน

การแยกสวนประกอบของเวคเตอรเ ปนสองสวนไมตงั้ ฉากกนั สามารถทําไดโ ดยเขียน

รูปเวคเตอร คลายการบวกเวคเตอรด ว ยกฎสีเ่ หล่ียมดานขนาน แลวหาขนาดเวคเตอรทตี่ อ งการ

โดยใชก ฎของ sine หรือกฎของ cosine v
V
จากรปู ท่ี 6(a) หากทราบขนาดของเวคเตอร มุม θ และมมุ β จะสามารถหาขนาด
v v
ของเวคเตอรย อย V1 และ V2 ไดจ ากความสมั พันธต อไปน้ี

V2 = V และ V1 = V
sinθ sin β
sin(180 − θ − β ) sin β

Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-6

(a) (b)

r 2r y r
V2 V V
r
rθ Vy x
V1
β rθ
Vx
1

รปู ที่ 6 การแยกสวนประกอบของเวคเตอร

4.2 แยกสวนประกอบของเวคเตอรเปน สองสว นตง้ั ฉากกนั

การแยกสว นประกอบของเวคเตอรอ อกเปนสองสว นตง้ั ฉากกัน ทําไดโ ดยการตั้งแกน

พกิ ัดฉาก แลว แตกเวคเตอรใหเ ขา แกนพกิ ัดฉาก ดงั แสดงในรปู ท่ี 6(b) โดย Vx = V cosθ และ

Vy = V sinθ

5. เวคเตอรหนวย

เวคเตอรทม่ี ีขนาดหน่งึ หนวย จะถูกเรยี กวาเวคเตอรหนว ย เวคเตอรใดๆ สามารถเขยี น

อยูใ นรูปผลคณู ระหวางขนาดของเวคเตอร และเวคเตอรห น่ึงหนวยในทศิ ทางของเวคเตอรน นั้ ๆ

ดังแสดงในสมการ (1) v
V
= Vvnˆ (1)
V
โดย nˆ เปน เวคเตอรห น่ึงหนว ยในทศิ ทางของ

จากวธิ กี ารเขยี นรูปเวคเตอรใดๆ ในรูปของเวคเตอรหนวย ทําใหสามารถเขยี นเวคเตอร

ใดๆ ในสามมติ เิ ปน ผลรวมของเวคเตอรในทิศทางของแกนพิกดั x-y-z ดังน้ี (รปู ที่ 7)
r
V = Vxiˆ + Vy ˆj + Vz kˆ (2)

และ

Vx = V cosθ x = lV , Vy = V cosθ y = mV , Vz = V cosθ z = nV
โดย iˆ , ˆj , kˆ คอื เวคเตอรห น่งึ หนว ยในทศิ ทางแกน x, y, z ตามลําดับ สว น l, m, n เรียกวา

direction cosine

รูปที่ 7 การแยกสว นประกอบของเวคเตอรใ นสามมติ เิ ปน เวคเตอรย อ ยในแกนพกิ ดั ฉาก [1]

Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-7

ความสัมพันธข อง l, m, n เปน ดงั สมการ (3)

l 2 + m2 + n2 = cos2 θ x + cos2 θ y + cos2 θ z = 1 (3)
(4)
จากความสมั พนั ธส มการ (3) จะได

V2 = Vx2 + V 2 + Vz2
y

1/4 กฎของนิวตนั

เซอร ไอแซค นวิ ตัน เปนคนแรกที่สามารถอธบิ ายการเคลือ่ นทข่ี องอนภุ าคไดอยา ง

ถกู ตอง กฎการเคลอ่ื นทขี่ องนวิ ตนั มอี ยู 3 ขอ ไดแก

กฎขอ ที่ 1

วัตถุจะคงสภาพหยดุ นงิ่ หรือเคล่ือนท่ดี ว ยความเร็วคงที่ (ทศิ ทางคงที่ และอตั ราเร็วคงท)่ี

เมื่อผลรวมของแรงลัพธทก่ี ระทาํ ตอมันเปน ศนู ย

กฎขอท่ี 1 ของนวิ ตันสามารถแสดงไดดงั สมการที่ (5) และ (6) ดงั นี้
∑ av = 0
v (5)
∑ F = 0 (6)

ในสวนของสถติ ยศาสตร จะพิจารณาเมือ่ วตั ถหุ ยุดนิ่งหรอื อยูในสมดลุ ดงั นั้นจงึ ใชแคก ฎ

ขอ ท่ี 1 ของนวิ ตันเทานั้น

กฎขอ ท่ี 2

ความเรง ของวตั ถจุ ะแปรผนั ตรงกบั เวคเตอรของแรงลพั ธท ่ีกระทํากับมัน ในทศิ ทางของ

เวคเตอรแรงลพั ธน้ัน

กฎขอท่ี 2 ของนวิ ตันสามารถแสดงไดดังสมการ (7) (7)

∑ Fv = mav

กฎขอ น้เี ปน พน้ื ฐานทีส่ าํ คญั ของการเคล่อื นทีข่ องวัตถุ กฎขอ นี้จะไดเรียนตอ ไปในสว น

ของพลศาสตร

กฎขอท่ี 3

แรงกรยิ า และแรงปฏิกิรยิ า ระหวางผวิ สมั ผสั คูหน่งึ ๆ จะมขี นาดเทากัน แตม ีทิศทาง

ตรงกนั ขา ม และอยใู นแนวเสน ตรงเดียวกนั

ตัวอยา งของแรงกริยา และแรงปฏิกิรยิ า แสดงในรูปท่ี 8 ในรปู ที่ 8 คนกาํ ลังยกมือดนั

กําแพงไว ในที่น้ี แรงกริยา คอื แรงทีค่ นดันกาํ แพง แรงนี้จะกระทําทก่ี าํ แพง สว นแรงปฏกิ ิรยิ า

คือแรงทกี่ าํ แพงดนั คน แรงน้ีจะกระทาํ ทีค่ น จะพบวา แรงทง้ั คูมขี นาดเทา กนั และมีทศิ ทาง

ตรงกนั ขาม และแรงทง้ั คกู ระทาํ กบั วตั ถุคนละชนิ้ กนั ดงั นนั้ ถาพจิ ารณาแรงท่ีกระทาํ กบั คน

จะมแี รงที่กําแพงดนั คนเทานัน้ สวนถา พจิ ารณาท่กี ําแพง จะมแี ตแรงทีค่ นดันกําแพงเทา น้นั ใน

กรณที ่ีพิจารณาคนกบั กาํ แพงรวมเปนวตั ถุเดียวกนั แรงทั้งคจู ะถอื วา เปนแรงภายในและหกั ลา ง

กันหมด

Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-8

r −Fr
F

FF

รปู ที่ 8 แรงกรยิ า และแรงปฏกิ ริ ิยา ตามกฎขอท่ี 3 ของนิวตัน

เอกสารอางองิ
[1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI

Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-1

สถิตยศาสตร (Statics)

บทท่ี 2 ระบบของแรง (ตอนที่ 1)

2/1 บทนาํ

ในบทนี้จะกลา วถึงระบบของแรงในงานวศิ วกรรม เน้ือหาในบทนจ้ี ะเปนพนื้ ฐานสาํ คัญใน
การศึกษาวชิ ากลศาสตรช นั้ สูงตอไป เชน การวิเคราะหค วามเคน การออกแบบโครงสราง และ
เคร่ืองจกั รกล การไหลของของไหล เปน ตน

2/2 แรง

แรงเปนปรมิ าณเวคเตอร เน่อื งจากผลของแรงจะข้ึนอยกู ับปจ จัยทั้งขนาด ทศิ ทาง ของ
แรงกระทาํ เมอื่ พิจารณารูปที่ 1 จะพบวาเมือ่ ออกแรงกระทํากับวตั ถุทเี่ สียรปู ได เชน ดินนํ้ามัน
ตําแหนงท่ีแรงกระทํา มคี วามสาํ คัญตอการเสียรปู ของวตั ถเุ ชน กนั ดังนนั้ แรงจึงถกู พิจารณาวา
เปน Fixed vector
แรงภายนอกและแรงภายใน

แรงสามารถแบง ออกไดเปนแรงภายนอกและแรงภายใน พจิ ารณาแรงกระทาํ กับวตั ถุใน
รปู ที่ 2 เม่อื พจิ ารณาทตี่ วั วตั ถุ จะพบวา แรงภายนอกท่ีกระทํากบั มนั ประกอบดว ยแรงดนั P แรง
ทห่ี มุดยดึ O และแรงที่ตวั รองรบั C สวนแรงทอ่ี ยภู ายในระบบทเี่ ราพจิ ารณานั้นจะเรยี กวา แรง
ภายใน ในทนี่ ้ีแรงภายในคอื แรงทอี่ ยใู นเนอื้ วัตถแุ ละสง ผลใหวตั ถุมกี ารเสยี รูป การเสียรปู ของ
วตั ถุนั้นขึน้ กบั ขนาด ทศิ ทาง และตาํ แหนงของแรง รูปรางวตั ถุ รวมถึงวสั ดุที่ใชท ําวัตถนุ ้ันดวย
การเสียรูปน้จี ะไดเรยี นในวชิ ากลศาสตรว สั ดุตอไป

r
Fr

F

รปู ท่ี 1 ผลของตําแหนง แรงกระทาํ

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-2

r r External
F F

C C
O O

r Internal
F

O Fixed C

รูปท่ี 2 แรงภายนอกและแรงภายใน

หลักการสง ผา น

ถงึ แมว าตาํ แหนง ของแรงจะมผี ลตอการเสียรูปของวตั ถุ แตถาวตั ถทุ พ่ี ิจารณามีลกั ษณะ
ใกลเคยี งกบั วตั ถุแข็งเกร็ง ผลของตาํ แหนงของแรง (ท่อี ยูใ นแนวเสน ตรงเดียวกัน) ตอ การเสยี รปู
ของวตั ถสุ ามารถละเลยได ในกรณีน้ีไมว าจะออกแรงทีต่ ําแหนง ใดในแนวเสน ตรงเดยี วกัน ผล
ของแรงน้ันจะมีคา เหมอื นกนั น่ันคือแรงสามารถพจิ ารณาเปน Sliding vector ได

พิจารณารูปท่ี 3 จากรปู พบวา ไมวาแรงจะใหท ่ีตาํ แหนง A หรอื ตาํ แหนง B ผลของแรง
จะมีคา เหมือนกนั นั่นคอื แรงทีเ่ กดิ ท่หี มดุ ยึด O และแรงทีต่ ัวรองรบั C ที่เกิดเนอื่ งจากแรง P จะ
มคี าเทา กนั หลักการทก่ี ลาวมานีเ้ รยี กวา “หลกั การสงผาน (Principle of Transmissibility)”

ในวชิ านจี้ ะพจิ ารณาแคแ รงท่กี ระทาํ ตอ วตั ถแุ ข็งเกร็ง ดังน้นั หลกั การสงผา นสามารถ
ใชได และแรงสามารถพิจารณาเปน Sliding vector ได

รปู ท่ี 3 หลกั การสง ผาน [1]

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-3

(a) (b) (c)

รูปท่ี 4 แรงทีแ่ นวแรงบรรจบกัน และการรวมแรง [1]

แรงทแี่ นวแรงบรรจบกนั (Concurrent forces)
AและแรFvง2ทแัง้ใรสนงอรทปูงแ่ี สทนาี่ วม4แา(aรรงถ)บรเวรปรมน จกแบนัรกงเปนัทน่แี หแนมรวงาแลยรพั งถบธึงรรแRจvรบงทกโดีเ่นั สยนใเนขชออ่ืก งงฎแจกานากวรแแรนวรงมวตแแัดรบงกบขันสอทีเ่ งห่จีแลดุ รยี่ใงดทมจด้ังดุสาหอนงนขต่ึงนดั าแกนรันงทแี่จลFvดุะ1
แรงลพั ธ Rv ทีไ่ ดก จ็ ะผา นจดุ A ที่แนวแรงบรรจบกันเชน กนั

ขอ ระวังในการรวมแรงคอื แรงลัพธท ไี่ ดต อ งผานจุดทแี่ นวแรงบรรจบกัน ดงั นั้นผลการ
รวมแรงในรูปที่ 4(b) จะใหผ ลท่ถี กู ตอง อยางไรก็ตามสาํ หรับการรวมแรงตามรูปท่ี 4(c) ถงึ แมว า
แรงจะถูกรวมอยางถกู ตอ งตามหลักการบวกเวคเตอร ทาํ ใหไ ดขนาดและทศิ ทางของแรงที่
ถกู ตอ ง แตตําแหนง ทแี่ รงลพั ธกระทําจะผดิ ไป
สว นประกอบยอยของแรง

นอกจากการรวมแรงสองแรงเปน แรงลพั ธแ รงเดยี วแลว ในหลายๆครงั้ จําเปน ที่จะตอ ง
แตกแรงออกเปน สวนประกอบยอ ยๆ ตามแนวตา งๆ โดยผลรวมของแรงยอยๆ ที่แตกออกมา
ตอ งมคี าเทากบั แรงเดิมเสมอ
b วธิ ีหาแรูปรงทFี่ v51(แaล)ะแสFvด2งถทงึ าํ กโดารยแเขยยีกนแรรงูปลกพั าธรร วRvมเอวอคกเตเปอนรแแบรงบสFvเ่ี 1หแลลย่ี ะมดFvา2นขตนามานแนแวลแะกในชส aมแกลาะร
ตรีโกณมติ ิ (กฎของ sine และกฎของ cosine) คาํ นวณขนาดของสว นประกอบยอ ยๆ ตามวิธที ี่
แสดงในบทท่ี 1

b rb

r Fb r
R R

r a ra
F2 r
Fa
F1

(a) (b)

รปู ที่ 5 การแตกแรงเปน สว นประกอบยอ ย และโปรเจคชนั่ ของแรง [1]

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-4

โปรเจคช่นั ของแรง

โปรเจคช่นั ของเวคเตอรบ นแกนใดๆ หมายถงึ ภาพฉายต้ังฉากบนแกนนั้นๆ รูปที่ 5(b)
v
แสดงถึงภาพฉายของแรงลพั ธ R บนแกน a และ b เนอื่ งจากแกน a และ b ไมตงั้ ฉากกนั
v v Rv Rv
ดังนัน้ ผลรวมของแรง Fa กับ Fb ซึง่ เปน โปรเจคชั่นของ จงึ ไมเทากับแรงลัพธ

การรวมแรงในกรณแี รงสองแรงขนานกัน

การรวมแรงทมี่ ีแนวแรงบรรจบกนั จะสามารถรตู ําแหนงของแรงลพั ธว าจะตองผา น

ตาํ แหนงทแ่ี นวของแรงตดั กนั อยางไรก็ตามถาแรงทีจ่ ะรวมเปน แรงสองแรงซง่ึ ขนานกนั ทําให

ไมมีจดุ ตัดจะไมสามารถหาตาํ แหนงของแรงลัพธได วธิ กี ารรวมแรงในกรณนี ้สี ามารถทําไดตาม

ข้ันตอนดังน้ี v Fvและซึ่งFvม2ีขซนงึ่ ามดที เทศิ าทกาันงขแลนะาอนยกูในั นแ(รนูปวทเส่ี 6น(ตaร))งเดียวกนั
F1
1. แรงทีจ่ ะรวมคอื แรง −
2. v
เพม่ิ แรง F และ v v แตทิศทาง
F F
ตรงกนั ขามเขา ไปในระบบ โดยแนวแรง และ − กระทําผา นจุดบนเสนตรงซ่ึงลาก
เ−ช่อืFvมจมดุ ีคทา่ีแเรทงากFบัv1ศนูแลยะ v Fv
F2 กระทาํ (รปู ท่ี 6(b)) เน่อื งจากแรงลัพธของแรง และ

ดงั น้นั การเพิ่มแรงคนู ้เี ขาไปจึงไมมีผลกระทบกบั แรงรวมของทง้ั

ระบบ
รทลRRvvวัพํา12มกธแแตา ลรราRงระvมวลRมvRําซvแ2ด1ง่ึ รับมตงแทีา(ลมรศิFะvปูตท1แทอารกง่ีงง6ับกข(าแนbRvรร)า2)งน(รกเูปFขvบั ทาแดี่ แร6วงล(ยcเะร)กแ)ม่ิ นัรตงนตFvา2Fมv1วกธิ ับแรี ลแวะรมงแFรv−ง2ทFvแ่ีแลนจะวะกแไรรดะงแทบราํรงผรรจาวบนมจกเปดุนั นตดั จขRะvไอ1ดงแแแ ลรรงงะ
3.
4.

r
R

r r
R1 R2

F2 r r r r
F2 R2 R1 F2 R2 R1

F1 F1 F1

FF FF

(a) (b) (c)

รปู ท่ี 6 การรวมแรงสองแรงทข่ี นานกนั [1]

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-5

SECTION A. ระบบแรงในสองมิติ

2/3 ระบบพิกดั ฉาก

วิธีทว่ั ไปในการหาคําตอบของแรงในปญ หาสองมติ ิ คอื การแยกสว นประกอบของแรง
Fv v v
ออกเปนสองสว นตามระบบพิกดั ฉาก ตามรปู ที่ 7 แรง จะแยกไดเ ปน แรง Fx และ Fy และ

เขยี นสมการไดดงั นี้ v v v
F Fx Fy
= + (1)

เขยี นในรูปผลคณู สเกลารของแตละสว นประกอบกับเวคเตอรหนงึ่ หนว ยแสดงทิศทางไดดงั น้ี
Fv = Fxiˆ + Fy ˆj
คา Fx และ Fy v (2)
สามารถเปน บวก หรือลบก็ได ขึ้นกับทศิ ทางของแรง F และ สามารถหาได

ตามสมการตอ ไปนี้

Fx = F cosθ Fy = F sinθ (3)
F = Fx2 + Fy2 θ = arctan( Fy )

Fx

รูปที่ 7 การแตกแรงในระบบพิกัดฉาก [1]

การคิดเครอื่ งหมายบวกลบของ F
การคิดเคร่อื งหมายบวกลบ สามารถทําไดต ามข้ันตอนตอไปน้ี

1. เขียนเวคเตอรข องแรง
2. ตงั้ แกนพิกดั ฉาก
3. ทาํ การแตกแรงเปนสวนประกอบยอยตามแนวแกนพิกัด
4. ถาทศิ ของแรงท่แี ตกได มีทศิ เดียวกบั ทศิ บวกของแกนพิกดั เคร่ืองหมายเปนบวก
5. ถาทิศของแรงท่ีแตกได มที ศิ ตรงขา มกบั ทศิ บวกของแกนพิกัด เคร่อื งหมายเปนลบ
พิจารณาตวั อยางการคดิ เคร่อื งหมายบวกลบจากตวั อยา งดังแสดงในรูปที่ 8

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-6

r r
F F
yβ
x
θ
θ

y Fx= −Fcosθ
Fy= −Fsinθ

r x x
F
yθ Fx= Fcosθ Fx= Fsin(β−θ)
Fy= −Fsinθ Fy= −Fcos(β−θ)

รูปที่ 8 ตัวอยา งการแตกแรงในระบบพกิ ดั ฉาก

การบวกลบเวคเตอรในระบบพิกดั ฉาก

การบวกลบเวคเตอรในระบบพกิ ดั ฉากทําไดโดย แตกเวคเตอรแตละตวั ใหม ที ศิ ทางตาม

แกนพิกัดฉากเสียกอน แลวจึงบวกลบเวคเตอรย อ ยทม่ี ที ิศทางเดียวกนั เขา ดว ยกนั การบวกลบ

เวคเตอรในระบบพิกัดฉากแสดงในรูปท่ี 9 และสมการที่ (4)
v v v
R = F1 + F2 = (F1xiˆ + F1y ˆj) + (F2xiˆ + F2 y ˆj)
v = + F2x )iˆ + (F1y + F2 y ) ˆj
จดั รูปไดด ังน้ี R Rxiˆ + Ry ˆj = (F1x

เพราะฉะน้ันจะได ∑Rx = F1x + F2x = Fx

∑Ry = F1y + F2 y = Fy (4)

รปู ที่ 9 การบวกลบเวคเตอรในระบบพกิ ดั ฉาก [1]

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-7

2/1 Determine the components of the
800-N force F along the oblique axes a
and b. Also, determine the projections
of F onto the a- and b-axes. [Engineering

Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige,
prob.2/19]

วิธที ํา 1 หาสว นประกอบของเวคเตอรแรงตามแนวแกน a และ b

Fb b
75° F = 800 N Fb

a 45° 75°
Fa 60°

45°

จากรปู พิจารณาการตอ เวคเตอรแ บบหวั ตอ หาง ซึ่งจะตอ เวคเตอรเปนรปู สามเหลยี่ ม
จากรูปสามเหล่ียมน้ีจะสามารถหาขนาดของ Fa และ Fb ไดจ ากกฎของ sine ดังน้ี

กฎของ sine 800 = Fa = Fb Ans
∴จะได sin 45° sin 75° sin 60°

Fa = 1092.82 N
Fb = 979.80 N

2 หาโปรเจคชนั่ ตามแนวแกน a และ b

F = 800 N โปรเจคชัน่ บนแกน a Ans
Ans
Fb Fa = 800 cos 60° = 400N
b
โปรเจคช่ันบนแกน b
a 60° 75°
Fa 45° Fb = 800 cos 75° = 207.06N

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-8

2/2 The cable AB prevents bar OA
from rotating clockwise about the
pivot O. If the cable tension is 750 N,
determine the n- and t- components of
this force acting on point A of the bar.

[Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam
& Kraige, prob.2/23]

TAB θ วิธที าํ

เนอ่ื งจากตองการหาสว นประกอบของแรงตึง
TAB ในแนวแกน n-t จงึ ตองแตกแรง TAB เขา
แกน n-t
การจะแตกแรงไดจ ําเปน ตองรูม มุ θ เสียกอน

หาขนาดของมมุ α ไดด ังนี้

α
tanα = 1.5sin 60° = 0.6662
1.2 +1.5cos 60°
α = 33.6705°

จากมมุ α สามารถหามมุ θ ไดด ังน้ี

θ = 180° −120° − 33.6705° = 26.3295°

แรง Tt ตามแนวแกน t = TAB cosθ = 750cos 26.3295° Ans
Ans
= 672 N

เนือ่ งจากทิศทางของแรง Tt ตรงขามกับแกนบวกของแกน t
ดังนัน้ แรง Tt = -672 N

แรง Tn ตามแนวแกน n = TAB sinθ = 750sin 26.3295°

= 332.65 N
เนอื่ งจากทิศทางของแรง Tn ตรงกบั แกนบวกของแกน n
ดังน้ัน แรง Tn = 332.65 N

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-9

TAB α θ TAC 2/3 The guy cables AB and AC are
R attached to the top of the transmission
tower. The tension in cable AC is 8
kN. Determine the required tension T
in cable AB such that the net effect of
the two cable tension is a downward
force at point A. Determine the
magnitude R of this downward force.

[Engineering Mechanics Statics 5th edition,
Meriam & Kraige, prob.2/25]

วธิ ที าํ

จากรปู พจิ ารณาแรงกระทําท่ีจุด A จะพบวามี
แรงเน่อื งจากแรงตึงของเคเบิล 2 แรง ไดแ ก
แรง TAC และ TAB ท้ังสองแรงน้ีจะรวมกนั ได
เปน แรงกด R ซ่ึงมีทิศทางพงุ ลงตามแนวดงิ่

θ TAC = 8kN หาขนาดของมุม θ, α และ β ไดดงั น้ี

Rβ θ = arctan(40) = 33.69°
α 60
TAB
α = arctan(50 ) = 51.34°
40

β = 180° − 33.69° − 51.34° = 94.97°

นาํ แรงทั้ง 3 แรงมาเขียนเวคเตอรผลบวกของแรง
แบบหัวตอหางไดดังรปู

จากกฎของ sine TAC = TAB = R
sinα sinθ sin β
8 = TAB = R
sin 51.34° sin 33.69° sin 94.97°

TAB = 5.68 kN Ans
R = 10.21 kN

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-10

แบบฝกหัด หวั ขอ 2/2-2/3

1. Combine the two forces P and T, which act on the fixed structure at B, into a single
equivalent force R. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans R = 524 N, θ = 48.6°)
2. If the equal tensions T in the pulley cable are 400 N, express in vector notation the

force R exerted on the pulley by the two tensions. Determine the magnitude of R.

[Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans R = 600i + 346j N, R = 693 N)
3. The 500-N force F is applied to the vertical pole as shown.

1. Write F in terms of the unit vector i and j and identify both its vector and scalar

components.
2. Determine the scalar components of the force vector F along the x'- and y'- axes.

3. Determine the scalar components of F along the x- and y'- axes.

[Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans (1) F = 250i - 433j

(2) Fx’ = 500 N, Fy’ = 0 N
(3) Fx = 1000N, Fy’ = -866 N)

รปู สาํ หรบั แบบฝกหัดขอ 1 รปู สาํ หรบั แบบฝกหดั ขอ 2

รปู สาํ หรบั แบบฝก หดั ขอ 3

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-11

เอกสารอางอิง

[1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI
Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-12

สถติ ยศาสตร (Statics)

บทที่ 2 ระบบของแรง (ตอนท่ี 2)

2/4 โมเมนต

การเคลือ่ นทขี่ องวัตถุมีทัง้ การเคลอ่ื นที่แบบเลอ่ื นที่ และการเคล่ือนท่แี บบหมนุ พจิ ารณา
รปู ที่ 1(a) แรงกระทําวตั ถผุ า นจุดศูนยกลางมวลทาํ ใหว ัตถเุ ลื่อนทเี่ พยี งอยา งเดียว สวนในรปู ท่ี
1(b) แรงกระทาํ ไมผ านจุดศูนยกลางมวล วัตถุจึงเลอ่ื นท่ีไปพรอมๆ กบั เกดิ การหมุน แนวโนมที่
จะเกดิ การหมนุ นี้ เรียกวา “โมเมนต (Moment)” ในหลายๆ ครั้งโมเมนตอาจถกู เรียกวาทอรก
(Torque)

r C.G.
F C.G.
r
F d

Translation Translation + Rotation

รูปที่ 1 แรงและการเคลอ่ื นท่แี บบเลอื่ นทแี่ ละแบบหมนุ

รูปที่ 2 แสดงการใชป ระแจขันทอ (Pipe wrench) หมุนทอ พบวาหากเปรียบเทยี บการ
ใชประแจหมนุ ทอ กับการใชม อื หมนุ โดยตรงแลว การใชป ระแจหมนุ จะทําใหเ กดิ การหมุนได
มากกวา ใชมือหมนุ โดยตรง หากใชแ รงในการหมนุ ใกลเ คียงกนั ทงั้ น้เี นือ่ งจากวาการใชประแจ
หมุนจะเกิดโมเมนต หรอื เกิดแนวโนม ทจี่ ะหมนุ มากกวา การใชมือหมุน นอกจากนี้จะพบวา เมอ่ื
แขนของประแจยาวขึ้น จะชวยผอนแรงท่ีหมนุ ได (ใชแ รงหมุนนอยลง) ดงั น้นั อาจสรุปไดวา
โมเมนตจะขึ้นอยกู บั ขนาดของแรง และระยะหา งของแรงกระทาํ จากแกนการหมุน

รูปที่ 2 รปู ตวั อยางแสดงโมเมนต [1]

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-13

รูปท่ี 3 แสดงทศิ ทางแรงตางๆ ตอการหมุน โดยทอจะหมนุ ไดร อบแกน A-A จากรปู จะ
พบวา แรง F1 และ F4 จะทาํ ใหทอ หมุนทวนเข็มนาฬกิ า และ ตามเข็มนาฬกิ าตามลําดับ สวน
แรง F2 และ F3 ซง่ึ แนวแรงขนานกับทอ และผา นแกนทอจะไมท าํ ใหท อหมุน แตจะทําใหทอ เกดิ
การดัดแทน ดงั น้นั อาจจะสรปุ ไดวา แรงทจี่ ะทาํ ใหเกิดโมเมนตน น้ั ตอ งกระทาํ ทที่ ศิ ทางใดๆ ซึ่ง
ไมขนานกบั แกนการหมนุ และแนวของแรงไมผา นแกนหมนุ

รปู ที่ 3 ทิศทางของแรงตอการหมนุ

โมเมนตรอบจดุ v
F
รูปที่ 4 แสดงถงึ แรง ทก่ี ระทําตอวตั ถสุ องมติ ิ ทาํ ใหเกดิ การหมุนรอบแกน O-O ซึ่ง

ตงั้ ฉากกบั ระนาบของวตั ถุ ขนาดของโมเมนตส ามารถนิยามไดวาเปน ผลคณู ของขนาดแรง (F)

กบั ระยะทางตง้ั ฉากจากแกนหมนุ ถึงแนวแรง (d) ดงั แสดงในสมการ (1) จากสมการนี้จะพบวา

โมเมนตจ ะมหี นวยเปน N.m ในหนวย SI

M = Fd (1)

เนือ่ งจากการหมนุ ตองมกี ารบอกทศิ ทางวาหมนุ ไปทิศทางใด เชน ตอ งบอกวาหมุน

ทศิ ทางตามเขม็ นาฬิกา หรือทวนเข็มนาฬกิ า จงึ จะเปนการบอกลกั ษณะการหมุนไดสมบูรณ

ดงั น้นั โมเมนตจ งึ เปน ปริมาณเวคเตอร โดยทิศทางของโมเมนตห าไดจ ากกฎมือขวา ดังแสดงใน

รูปท่ี 4 ตาํ แหนงของเวคเตอรโมเมนตสามารถเลื่อนขน้ึ ลงไดอ สิ ระบนแกนหมุน แตไ มสามารถ

เล่อื นไปทต่ี าํ แหนง อน่ื ๆ ได เนอ่ื งจากจะทําใหก ารหมุนเปลย่ี นแปลงไป ดังนั้นโมเมนตจ งึ ถอื เปน

Sliding vector

รูปท่ี 4 รูปแสดงนยิ ามของโมเมนต และทศิ ทางของโมเมนต [1]

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-14

รูปท่ี 5 แรงและโมเมนตในสองมติ ิ [1]

สําหรับกรณสี องมิตินัน้ แกนของการหมุนจะกลายเปน จุด ดังแสดงในรปู ท่ี 5 การ

กาํ หนดทิศทางการหมนุ สามารถกาํ หนดใหทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ า หรอื ตามเข็มนาฬิกา ทิศใดทิศ

หนง่ึ เปนทศิ ทางบวกก็ได

การครอสเวคเตอร (The Cross Product)

ในปญ หาหลายๆ ปญ หา โดยเฉพาะปญ หาสามมติ ิ การคํานวณโมเมนตอาจทาํ ไดงา ย
v
กวาโดยใชว ิธกี ารเวคเตอร โมเมนตของแรง F รอบจดุ A ดังแสดงในรปู ท่ี 4 สามารถหาไดจาก

การครอสเวคเตอร ดังนี้ Mv = rv × Fv

rv v (2)
F
โดย คือเวคเตอรท่ชี ีจ้ ากจดุ A ไปยังจุดใดๆ บนแนวแรง

เม่อื คดิ ขนาดของโมเมนตอยา งเดยี ว จะสามารถหาโมเมนตไดจากสมการ (3) ดังนี้

M = Fr sinα = Fd (3)
v
โดย α เปน มุมระหวา งเวคเตอร rv และแรง F

ทศิ ทางของโมเมนตสามารถหาไดจ ากกฎมอื ขวา โดยวางมือตามแนวเวคเตอร rv และ
กวาดนิ้วไปตามทิศทางแรง Fv ทศิ ทางของน้วิ โปงจะเปน ทิศทางของโมเมนต Mv เนือ่ งจาก
rv v
โมเมนตเ ปน ผลจากการครอสเวคเตอร ดงั นั้นจงึ ไมส ามารถสลับเวคเตอร และ F จากสมการ
v v
(2) เปน M = F × rv ได เน่ืองจากจะไดทศิ ทางผดิ เปน ตรงกันขา ม

Varignon’s Theorem

Varignon’s Theorem กลาวไวว า “โมเมนตของแรงรอบจุดใดๆ มคี า เทา กบั ผลรวมของ

โมเมนตข องสว นประกอบยอ ยๆ ของแรงน้ันรอบจุดเดียวกัน” Varignon’s Theorem สามารถ

แสดงไดโดยรูปท่ี 6 และสมการตอ ไปน้ี v v v
R P Q
v = rv × = = + ×( Pv + v
M = v rv Q)
v O R v
Rv Pv Q
MO rv × = rv × + rv × (4)

กรณคี ิดเปน สเกลารจะได

M O = Rd = − pP + qQ (5)

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-15

รูปท่ี 6 Varignon’ theorem [1]

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-16

2/4 The force exerted by the plunger of cylinder AB on the door is 40 N

directed along the line AB, and this force tends to keep the door closed.

Compute the moment of this force about hinge O. What force FC normal to
the plane of the door must the door stop at C exert on the door so that the

combined moment about O of the two forces is zero? [Engineering Mechanics Statics

5th edition, Meriam & Kraige, prob.2/42]

วิธที าํ หาโมเมนต MO เนอ่ื งจากแรงใน
แนว FAB
θ
FC tanθ = arctan(100 ) = 14.0362°
FAB=40 N 400

แตกแรง FAB เปน แรงยอยในแนวดงิ่ และแนวระดับ ตามเสน สีนํ้าเงนิ และหาโมเมนต
ของแรง FAB จากผลรวมของโมเมนตของแรงยอยไดด ังน้ี

M O = (40 cosθ )(75×10−3) + (40sinθ )(400 + 25) ×10−3

แทนคามุม θ จะได MO = 7.03 Nm CW Ans

หาแรง FC ซึง่ ทาํ ใหโ มเมนตรวมท่ี O = 0 (โมเมนตเ กิดจากแรง FAB และ FC เทาน้ัน
สวนแรงท่หี มดุ ยดึ ประตูน้นั เนือ่ งจากแรงกระทําทีจ่ ุด O จึงไมทําใหเ กิดโมเมนตท่ีจุด O)

M O = FC (0.825) Ans
7.03 = FC (0.825)

FC = 8.53N

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-17

วธิ ที ํา l = 80 mm 2/5 The spring-loaded follower A
bears against the circular portion of
x0 the cam until the lobe of the cam
lifts the plunger. The force required
to lift the plunger is proportional to
its vertical movement h from its
lowest position. For design
purposes determine the angle θ for
which the moment of the contact
force on the cam about the bearing
O is a maximum. In the enlarged
view of the contact, neglect the
small distance between the actual
contact point B and the end C of the
lobe. [Engineering Mechanics Statics 5th

edition, Meriam & Kraige, prob.2/45]

F

จากรูปจะพบวา
III ชว ง I และ II ยงั ไมเกดิ แรง เน่ืองจาก

x สปรงิ ยงั ไมเกดิ การหดตัว
II ดังนน้ั ชวงทเี่ กิดแรงและโมเมนตมาก
θ ทสี่ ุดจะเกิดในชว งที่ III เม่ือสว น
I แหลมของลูกเบ้ียวสมั ผัสกับตัวตาม

แรงจากสปริงจะแปรผันตรงกับระยะหดนน่ั คือ

F = k(x − x0 )

โดย x = l sinθ

x0 = 40mm l = 80mm

หาโมเมนตจาก M = Fl cosθ = k(l sinθ − x0 )(l cosθ )

M = kl(l sinθ cosθ − x0 cosθ )

M = kl( l sin 2θ − x0 cosθ )
2

หาคาสูงสุดของโมเมนตโดยหาตาํ แหนง ท่อี นุพันธเทียบกบั มมุ θ มคี า เทากับศนู ย

dM = kl ( l cos 2θ (2) − x0 (− sin θ )) = 0
dθ 2

l cos 2θ + x0 sinθ = 0

l(1− 2sin2 θ ) + x0 sinθ = 0

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-18

แทนคา x0 = 40mm, l = 80 mm จะได

80(1− 2sin2 θ ) + 40sinθ = 0

4sin2 θ − sinθ − 2 = 0

sinθ = 0.8431, -0.5931

คา -0.5931 อยใู นตาํ แหนงท่ีแรงสปริงเปน ศูนย ดงั น้นั จงึ พจิ ารณาแตคา 0.8431

sinθ = 0.8431, θ = 57.47º Ans

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-19

2/5 คบั เปล (Couple)

คบั เปล เปน โมเมนตซ ง่ึ เกดิ ขนึ้ จากแรงคคู วบ (แรงสองแรงซงึ่ มขี นาดเทา กนั แตม ที ศิ ทาง

ตรงกันขาม และเปนแรงทไ่ี มอยใู นแนวแรงเดียวกนั ) พิจารณารูปท่ี 7 ซึง่ แสดงคบั เปล จากแรง
Fv และ − Fv การหาโมเมนตเ นือ่ งจากคับเปล ทาํ ไดโดยสมมตุ จิ ุดหมุนทตี่ ําแหนง ใดๆ O โมเมนต

หาไดดังน้ี

M = F (a + d ) − Fa = Fd (6)

จากสมการ (6) จะพบวา โมเมนตท่เี กิดไมข้ึนกับตาํ แหนงจุดหมนุ O เลย เนอื่ งจากไมม ี

พจน a ซึ่งแสดงระยะหางของแรงกบั จดุ หมุน ขนาดของคับเปล จะข้ึนกบั ขนาดของแรงกระทํา

และระยะหา งในแนวต้งั ฉากของแนวแรงท้ังสองเทา น้นั

รูปท่ี 7 คับเปล [1]

เมือ่ พจิ ารณาแบบเวคเตอร คบั เปลสามารถหาไดด งั แสดงในรปู ท่ี 8 และสมการท่ี (7)
r rrrvA××FFrr + rrB r (rrA rrB r
Mr = × (−F ) = − ) × F
M =
v v (7)
F F
โดย คือเวคเตอรซ ่ึงช้จี ากจุดใดๆ บนแนวแรง − ไปยงั จุดใดๆ บนแนวแรง
v v
ทิศทางของคบั เปลจะต้งั ฉากกบั ระนาบทแี่ รง F และ − F อยู และสามารถพจิ ารณาได

ตามกฎมอื ขวาทํานองเดยี วกับทศิ ทางของโมเมนต อยา งไรกต็ ามเนือ่ งจากขนาดของคับเปลมคี า

เทากนั ไมว าจะเลือกจุดหมนุ ท่จี ุดไหน ดังน้ันคบั เปล จงึ ถกู พิจารณาเปน Free vector สําหรบั ใน

สองมติ ิ คบั เปล สามารถเขียนแสดงไดต ามรูปที่ 9

r
M

rrA A rr

O rrB r Br
−F

F

รูปท่ี 8 คับเปล ในสามมติ ิ

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-20

รปู ท่ี 9 สญั ลักษณแสดงคบั เปล [1]

คบั เปล ทีเ่ ทากัน
คบั เปล ท่เี ทา กนั หมายถงึ คบั เปล ท่มี ขี นาดเทากัน และมที ิศทางเดยี วกนั คปั เปล ที่

เทา กนั อาจจะเกิดจากแรงคูท ่ีไมเทากนั หรือทําทตี่ ําแหนง ตา งกนั กไ็ ด (เนอ่ื งจากคับเปด เปน
Free vector) รูปที่ 10 แสดงถงึ แรงคคู วบตางๆ กระทาํ ทต่ี าํ แหนง ตางๆ กัน แตใ หผ ลลพั ธ
คับเปล ทเ่ี ทากนั น่นั คอื คบั เปล ขนาด M และมีทศิ ทางชี้ขึ้นดานบน

รูปที่ 10 คับเปล ทมี่ ขี นาดเทา กัน [1]

ระบบของแรงและคบั เปล

เมื่อแรงหน่ึงแรงกระทํากับวตั ถุ แรงน้นั จะสงผลใหวตั ถเุ คลือ่ นที่ตามแนวแรงกระทํา และ

อาจสง ผลใหว ตั ถหุ มุนรอบแกนใดๆ นั่นแสดงใหเ หน็ วาผลของแรง อาจแยกออกเปน ผลของแรง

ทีด่ งึ หรือดันวตั ถุใหเคลอ่ื นทไี่ ปตามแนวแรง และผลของคบั เปล ทที่ าํ ใหวตั ถหุ มุนรอบแกนใดๆ ได

นนั่ คือ เราอาจเขียนแทนแรงหนง่ึ แรงไดดว ยแรงและคบั เปล ได พจิ ารณาขน้ั ตอนการเขียนดัง

แสดงในรูปที่ 11
1. ในรปู ท่ี 11(a) แรง Fv กระทําท่ีจดุ A
v v
2. เพ่มิ แรง F และ − F ที่จุด B ดงั แสดงในรปู ท่ี 11(b) เนือ่ งจากแรงลัพธที่เพมิ่ เขา

ไปในระบบเปน ศูนย ดังนน้ั แรงท่เี พมิ่ จึงไมสง ผลใดๆ ตอ ระบบ
3. จากรปู ท่ี 11(c) จับคูแ รง Fv กระทําทจ่ี ุด A และแรง − Fv กระทําที่จดุ B จะไดแ รง

คูควบ 1 คู

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-21

4. แรง v ท่ีกระทาํ ท่จี ดุ A ในรูปที่ 11(a) สามารถเขยี นแทนไดเปน แรง v กระทาํ ท่ี
F F

จดุ B และแรงคูควบขนาด Fd โดย d เปนระยะหา งระหวา งแรงคูควบ ดงั แสดงใน

รูปท่ี 11(d)

การเขยี นแทนแรงๆ หน่งึ ดว ยแรงและคับเปล อาจกลา วอกี อยางไดว า ถงึ แมวาแรงจะเปน

Sliding vector (กรณีกระทาํ กบั วตั ถแุ ขง็ เกร็ง) แตแ รงกส็ ามารถยายตาํ แหนงได โดยเม่อื ยา ย

ตําแหนงแลวจะตอ งเกิดคบั เปล เพ่มิ ขนึ้ เพอ่ื ชดเชยผลของโมเมนตท ี่จะเปลย่ี นไป

A∑ddFvto=th0e system Couple

(a) (b) (c) (d)

รปู ที่ 11 ระบบของแรงและคบั เปล [1]

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-22

2/6 Calculate the moment of the 1200-N
force about pin A of the bracket. Begin
by replacing the 1200-N force by a force-
couple system at point C. [Engineering

Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige,
prob.2/68]

วิธีทํา เมื่อยายแรง 1200N มาท่จี ุด C จะไดแ รง
1200N ทจี่ ดุ C บวกกับโมเมนต ดังแสดง
M โดยเสน สนี า้ํ เงินในรูป

1200N โมเมนต M จากการยา ยแรงสามารถหา
หาโมเมนตร อบจุด A ไดดังนี้

M = 1200× 0.2 = 240Nm

M A = 1200sinθ (0.6) + M

M A = 1200× 1 × 0.6 + 240
5

= 562 Nm CCW Ans

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-23

2/6 Resultants

แรงและคบั เปล ท่กี ระทํากบั ระบบสามารถรวมใหเปนรูปแบบอยา งงายได โดยไมท ํา

ใหผลกระทบของแรงและคบั เปล เปลยี่ นแปลงไป รปู แบบอยา งงายนี้เรียกวา Resultants

Resultants นีจ้ ะเปน แรงเพยี งแรงเดยี ว หรือเปน คบั เปลเพยี งอยางเดยี วในปญ หา 2 มิติ และเปน

ผลรวมของแรงและโมเมนตใ นปญหา 3 มติ ิ เFปv3นแสรางมลาพั รถธร วRvม1
ไกดอโนดยใแชรลกูปวาทจรึงี่ รร1วว2มม(แaแร)รงงแตสาRดvม1งวถกธิ งึีทับกีไ่แาดรรกงรลวFามv1วแมรเพางแเอื่ พลหือ่ว าหโาRดeยRsทeuาํsltกualาntaรtรnRวtvมแแขรรงองงFรvFะ1vบ,2 แบFvล2ะ
และ

v
F3

วธิ นี ี้จะรไู ดวาแนวแรง

ลัพธผ านทตี่ าํ แหนง ใด

สาํ หรับขนาดของแรงลพั ธ อาจหาไดโ ดยตอเวคเตอรของแรงเขา ดว ยกันแบบหวั ตอ หาง

หรอื แยกแรงแตล ะแรงเปน สว นประกอบยอ ยๆ ตามแนวแกน x-y และรวมแรงยอ ยๆ เขาดว ยกัน

ตามท่ีแสดงในรปู ท่ี 12(b) หรือแสดงในสมการ (8)
∑Rv v v v Fv
= F1 + F2 + F3 +K =

∑Rx = Fx ∑ ∑ ∑Ry = Fy R = ( Fx )2 + ( Fy )2
∑θ = arctan( Ry ) = arctan( Fy )
(8)
∑Rx Fx

(a) (b)

รปู ท่ี 12 การหา Resultants [1]

Algebraic Method
การหา Resultants สามารถหาไดโ ดยวิธีทางพชี คณติ ดงั แสดงในรูปท่ี 13 วธิ กี ารน้ใี ช

หลักการท่วี า แรงแรงหน่ึงสามารถเขียนแทนไดด วยแรงขนาดเดียวกันกระทําทต่ี ําแหนงอน่ื และ
คบั เปล (หวั ขอ 2/5) โดยวธิ ีการนจี้ ะทําการยายแรงทุกแรงไปทีจ่ ุดเดยี วกันทีห่ าโมเมนตส ะดวก
เพื่อหาแรงรวมและโมเมนตร วม จากน้ันจงึ ทาํ การยา ยตําแหนง ของแรงรวมอกี ครง้ั หนึง่ เพื่อ
ชดเชยใหผ ลของคับเปล หายไป

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-24

วิธกี ารพีชคณติ มขี ้ันตอนดงั ตอไปน้ี

1. เลือกจดุ ทีห่ าโมเมนตส ะดวกจุดใดกไ็ ดเ พือ่ ทําการยายแรง (รูปท่ี 13(a))

2. ทาํ การยายแรงไปทจ่ี ุดน้นั (ในรปู คอื จุด O) ดังแสดงในรูปท่ี 13(b) เมอ่ื ยา ยแรงไป
v
จะตอ งเกิดคับเปล ขึน้ ตามหลกั การทีแ่ สดงในหวั ขอ 2/5 โดย เมือ่ ยา ยแรง F1 จะเกิด

3. รคFvวับ2มเปแแรลล งะแMลFvะ31คแขบั ลนเวปากลด็จทะงั้Fเหก1dมิด1ดคขบัทอเศิ ปงทรล าะงบMตบา2มแเขลม็ะไดนMเาปฬ3นิกแขารน้ึ งใเนชนทกําRนันvอ=งเ∑ดียFวvกนั เมือ่ ยายแรง
และคบั เปล

M O = ∑(Fd) ดงั แสดงในรูปท่ี 13(c)

4. เนือ่ งจากแรงๆ หนึ่งสามารถเขยี นแทนไดด วย แรงขนาดเทากันท่ีตําแหนงอื่นและ

คับเปล ในทางกลับกนั แรงและคับเปล กส็ ามารถเขียนแทนไดดวยแรงเพียงแรง

เดยี วเชนกัน ในกรณตี ามรปู 13(c) ถา แรงกระทาํ ทจี่ ุด O จะเกดิ คับเปลหมุนใน

ทศิ ทางตามเขม็ นาฬิกา เมื่อตอ งการเขียนแทนดวยแรงเพยี งแรงเดยี ว จําเปนตอ ง
เล่อื นแรง Rv ขึน้ เปน ระยะ d ดังแสดงในรูปที่ 13(d) เพ่ือใหเ กดิ โมเมนตร อบจุด O

ชดเชยคบั เปล โดยระยะ d สามารถหาไดจากความสัมพันธ Rd = MO

รูปท่ี 13 การหา Resultants ดว ยวิธีพชี คณติ [1]

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-25

ตัวอยา ง Resultants กรณอี ื่นๆ

พจิ ารณาตัวอยางการหา Resultants กรณีอนื่ ๆ แสดงในรูปที่ 14(a) และ 14(b)
Fแv3รงดรวงั นมั้นระเมหอื่วาร วงแมรกงบั แFvร1ง v v
รปู ท่ี 14(a) และ F2 มคี าเทากบั − F3 แตไมไ ดอ ยใู นแนว
เสน ตรงเดียวกันกบั
จงึ มแี รงรวมเปน ศนู ย ในกรณีน้ี Resultant จึง

เปนคับเปล โดยมีขนาดเทากับ F3d

รูปท่ี 14(b) แนวแรงทัง้ สามแรงผา นจุด O ดงั น้นั เม่อื หาโมเมนตรวมท่ีจุด O จึงได
v v
โมเมนตร วมเปน ศูนย ในกรณีนี้ Resultant จึงเปน แรงลัพธ และมคี าเทา กับ R = ∑ F

rr
F1 F1

rr r r r
F1 + F2 = −F3 F2 F2

O

dr r
F3 F3

(a) (b)

รูปที่ 14 Resultants กรณีอืน่ ๆ

เอกสารอางอิง

[1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI
Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-26

2/7 The asymmetric roof truss is of the type used when a near normal angle of
incidence of sunlight onto the south-facing surface ABC is desirable for solar
energy purpose. The five vertical loads represent the effect of the weight of the
truss and supported roofing materials. The 400-N load represents the effect of
wind pressure. Determine the equivalent force-couple system at A. Also,
compute the x-intercept of the line of action of the system resultant treated as a
single force R. [Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.2/86]

2.5

2.5 2.5

วธิ ที ํา ยา ยแรงท้งั หมดมาท่ีจุด A จะหาแรงลพั ธไ ดด งั น้ี

400 N A Ax = 400 cos 30° = 346.4101N
M Ay = 2000 + 400sin 30° = 2200N

250+500+500+500+250 แรงลพั ธ A = 346.41iˆ − 2200 ˆj N
= 2000 N Ans

เม่ือยา ยแรงท้งั หมดมาที่จุด A จะเกิดโมเมนต M รอบจดุ A ซ่งึ หาไดดงั น้ี Ans

M = 400(2.5) + 500(2.5) + 500(5) + 500(7.5) + 250(10)
M = 11000Nm

M Ax ให Resultant ตัดแกน x ท่ีตําแหนง หา งจากจดุ
A A A = x จะพบวาแรงท่ีทาํ ใหเกิดโมเมนต M เปน
แรง Ay เทาน้นั ระยะ x หาไดด ังนี้
x
Ay Ay (x) = M

x = M = 11000 = 5m Ans
Ay 2200

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-27

แบบฝก หัด หัวขอ 2/4 - 2/6

1. Calculate the magnitude of the moment about the base point O of the 600-N force.

[Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans MO = 2610 Nm)
2. The rigid structural member is subjected to a couple consisting of the two 100-N

forces. Replace this couple by an equivalent couple consisting of the two forces P

and –P, each of which has a magnitude of 400 N. Determine the proper angle θ.

[Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans θ = 51.3°)

รูปสาํ หรบั แบบฝกหัด ขอ 1 รูปสาํ หรับแบบฝก หัด ขอ 2

3. Determine and locate the resultant R of the two forces and one couple acting on the
I-beam. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]
(Ans R = -3j kN
x = 4.33 m)

รปู สําหรบั แบบฝกหดั ขอ 3 รูปสาํ หรับแบบฝกหดั ขอ 4

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-28

4. Replace the three forces acting on the bent pipe by a single equivalent force R.
Specify the distance x from point O to the point on the x-axis through which the line
of action of R passes. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]
(Ans R = -200i + 80j N
x = 1.625 m (off pipe))

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-29

สถติ ยศาสตร (Statics)

บทท่ี 2 ระบบของแรง (ตอนท่ี 3)

ระบบของแรงในสามมิติ
2/7 ระบบพิกัดฉาก

ปญ หาในทางกลศาสตรหลายๆ ปญหา ตองพจิ ารณาในสามมิติ ระบบพิกดั พ้นื ฐานทใ่ี ช
ในการพิจารณาคือระบบพกิ ัดฉาก (x-y-z) ดงั นั้นแรง Fv ในสามมิติจะสามารถแตกออกไดเ ปน
แรง Fx, Fy และ Fz ตามแนวแกน x, y และ z ตามลําดบั ดังแสดงในรูปท่ี 1

รปู ที่ 1 การแตกแรงในระบบพิกดั ฉาก [1]

ขนาดของแรง แรง Fx, Fy และ Fz สามารถคํานวณไดต ามสมการตอ ไปนี้

Fx = F cos(θx ) Fy = F cos(θ y ) Fz = F cos(θz ) (1)
v
โดย θ x , θ y และ θ z คือมมุ ที่แรง F กระทาํ กับแกน x, y และ z ดังแสดงในรูปท่ี 1

ขนาดของแรงรวม จะหาไดจากสมการท่ี (2)

นอกจากนแี้ รง v F = Fx2 + Fy2 + Fz2 (2)
F x, y
ยังสามารถเขียนไดในรปู ของผลบวกเวคเตอรข องแรงยอ ยในแนวแกน

และ z ไดด งั น้ี r
F
r = Fxiˆ + Fy ˆj + Fzkˆ ˆj + cosθ z kˆ) (3)
F = F (cosθxiˆ + cosθ y (4)

โดย iˆ , ˆj และ kˆ เปน เวคเตอรห น่งึ หนว ยในแนวแกน x, y และ z

กาํ หนดให l = cosθx , m = cosθ y และ n = cosθ z และเรยี ก l, m, n วา ไดเรกชน่ั โคไซน
(Direction Cosine) โดยไดเรกช่ันโคไซนจ ะมคี ุณสมบัติดงั แสดงในสมการ (5)

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-30

l2 + m2 + n2 =1 (5)

แทนคา l, m, n ลงในสมการ (4) จะได
r
F = F (liˆ + mˆj + nkˆ) (6)

จากคณุ สมบัตแิ สดงในสมการ (5) จะไดว าเวคเตอร (liˆ + mˆj + nkˆ) มีขนาด 1 หนวย ดงั นั้น

สมการ (6) จะสามารถเขยี นไดใ นรปู ของขนาดของแรง F คณู ดว ยเวคเตอร 1 หนวยในทศิ ทาง
เดียวกับแรง Fv , nˆF ดงั น้ี
r
F = FnˆF (7)

สมการ (7) แสดงใหเหน็ วา เวคเตอรใ ดๆ สามารถเขยี นใหอ ยูใ นรปู ของ ขนาดของแรง คูณกับ

ทศิ ทางขโอดงยแทรัว่งซไปง่ึ แกสารดเงขใยีหนเ หเวน็ คโเดตยอเรว คเFvตอรใหหนอ ยึ่งหูในนรวะยบบnˆแFกไนดพ กิ ดั ฉาก จะสามารถแบง วธิ เี ขยี น
v
ตามเง่ือนไขทก่ี าํ หนดมาใหไ ด 2 กรณี คือ 1) การเขยี นเวคเตอร F ในกรณที ่กี าํ หนดจดุ 2 จุดท่ี
v
เวคเตอรผาน และ 2) การเขยี นเวคเตอร F เมื่อกําหนดมุม 2 มุม

1. กรณกี ําหนดจุด 2 จดุ ทเ่ี วคเตอรผา น

รปู ท่ี 2 การหาเวคเตอรหนง่ึ หนว ยซ่งึ ผา นจดุ 2 จุดที่กําหนด [1]

จากรูปเวคเตอร Fv มขี นาด F และมที ิศทางทผ่ี านจุด A และจุด B
v
จะสามารถเขยี นเวคเตอร F ในรปู ของขนาดแรงคูณกบั เวคเตอรห นึ่งหนวยบอกทศิ ทาง ดงั

แสดงในสมการ (8) ไดดงั นี้ | rrvvAABB

r = FnˆF = F | (8)
F (9)

โดย rvAB คอื เวคเตอรท ่ชี ้จี ากจุด A ไปยงั จุด B และ
rrAB = (x2 − x1)iˆ + ( y2 − y1) ˆj + (z2 − z1)kˆ

ดังนั้น r (x2 − x1)iˆ + ( y2 − y1) ˆj + (z2 − z1)kˆ (10)
F=F
(x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-31

จากสมการ (10) ถาทราบพกิ ดั จดุ A และจดุ B จะสามารถเขียนเวคเตอรทีผ่ านจดุ ทง้ั สองได

2. กรณีกาํ หนดมุมให 2 มมุ

รูปที่ 3 การหาเวคเตอรห นงึ่ หนว ยเม่อื กาํ หนดมมุ ท่ีแรงกระทํากับแกนมาให [1]

จากรปู ท่ี 3 การเขยี นเวคเตอร v ใหอยใู นระบบแกนพกิ ัดฉาก ทําไดโดยแตกเวคเตอร v
F F

ออกเปน สวนประกอบยอ ยๆ ดงั น้ี

1. แตกเวคเตอร เปนสวนประกอบในแนวดงิ่ และแนวระดบั บนระนาบ xy

สวนประกอบในแนวดิ่ง Fz = F sin φ (11)

สว นประกอบในแนวระดับ Fxy = F cosφ

2. แตกสวนประกอบในแนวระดับ เปน สว นประกอบในแนวแกน x, y

สวนประกอบตามแกน x Fx = Fxy cosθ = F cosφ cosθ (12)
สว นประกอบตามแกน y Fy = Fxy sinθ = F cosφ sinθ (13)

3. แทนสวนประกอบของเวคเตอรต ามแกน x, y และ z ในสมการ (11) – (13) ลงในสมการ

(3) จะสามารถเขียนเวคเตอร ใหอ ยูในระบบแกนพิกัดฉากตามตองการ

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-32

Dot Product r r
P F

α P cos(α ) r rr
r Fn = F ⋅ nˆ Fn = (F ⋅ nˆ)nˆ
Q
nr

(ก) (ข)

รูปท่ี 4 การดอทเวคเตอร (Dot product)

นยิ ามของการดอทเวคเตอร v และ v ดงั แสดงในรูปที่ 4(ก) แสดงดังสมการ (14)
P Q

โดย α คือมุมระหวา งเวคเตอร v และ v และคาท่ไี ดจ ากการดอทจะเปน สเกลาร
Pr r Q
P Q
⋅ = PQ cos(α ) (14)

เมอ่ื ทาํ การจัดรูปสมการ (14) เสยี ใหม จะไดผลการดอทเวคเตอรดังน้ี
r r
หรอื Pr ⋅ Qr = (P cos(α ))Q Pv บน v ](Q) v (15)
P ⋅ Q = [ภาพฉายของ Q v Q
P
จากสมการ (15) สามารถกลาวไดว า ผลการดอทเวคเตอร และ คือการนําเอา
v v v
ภาพฉายของ P บน Q มาคูณดวยขนาดของเวคเตอร Q ในทางกลบั กนั กส็ ามารถ
Pv v v Pv
กลาวไดว า ผลการดอทเวคเตอร และ Q คอื การนาํ เอาภาพฉายของ Q บน มาคณู ดวย
v
ขนาดของเวคเตอร P ก็ได r
F
ในกรณที ่ีเปน การดอทกันของเวคเตอร และ เวคเตอรห นึ่งหนวย nˆ ดังแสดงในรูปที่

4(ข) ผลการดอทจะไดด งั น้ี v
F
⋅ nˆ = F (1) cos(α ) = F cos(α ) (16)

จากสมการ (16) จะพบวา การดอทกนั ของเวคเตอรใ ดๆ กับเวคเตอรหนงึ่ หนวยนนั้ จะ

ไดขนาดของภาพฉายของเวคเตอรน ้ันๆ บนเวคเตอรห น่งึ หนวย (เนอื่ งจากคา ทีไ่ ดจ ากการดอท

จะเปน สเกลาร) สําหรับเวคเตอรภาพฉายของเวคเตอรใดๆ บนเวคเตอรห นึ่งหนว ยน้นั

สามารถหาไดจ ากสมการ (17) v (Fv
Fn
= ⋅ nˆ)nˆ (17)

คณุ สมบตั ิอน่ื ๆ ของการดอทเวคเตอรม ีดงั นี้

1. เวคเตอรห นึ่งหนว ยซง่ึ มที ศิ ทางเดยี วกันดอทกนั มคี า เทา กับ 1

iˆ ⋅iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1 (18)

2. เวคเตอรห นึ่งหนว ยทศิ ทางต้ังฉากกนั ดอทกันมคี าเทา กับ 0

iˆ ⋅ ˆj = ˆj ⋅iˆ = iˆ ⋅ kˆ = kˆ ⋅iˆ = ˆj ⋅ kˆ = kˆ ⋅ ˆj = 0 (19)

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-33

มุมระหวา งเวคเตอร Pv

Pv′
αv

Q

รูปท่ี 5 มมุ ระหวางเวคเตอร

เม่ือเวคเตอร 2 เวคเตอร อยูใ นระนาบเดยี วกนั เชนเวคเตอร Pv ′ และ v ดงั แสดงในรปู
Q

ท่ี 5 แลว การหามุมระหวา งเวคเตอรส ามารถทาํ ไดง า ยโดยเล่ือนใหหางของเวคเตอรท้งั 2 มาชน
v v
กนั แลว วัดมมุ อยา งไรกต็ ามหากเวคเตอรท งั้ สองอยูคนละระนาบดงั เชน เวคเตอร P และ Q

แลว การหามมุ โดยตรงจะทาํ ไดยาก ในกรณีนี้การหามมุ จะทําไดง ายขึ้นโดยใชผ ลของการดอท

เวคเตอร r ⋅ r = PQ cos(α ) (14)
จากนิยามการดอทเวคเตอร P Q

จะสามารถหามุมระหวา งเวคเตอรไ ดดังนี้ (15)

rr
θ = cos−1 P ⋅ Q

PQ

ในกรณีทมี่ เี วคเตอรห นึ่งเปน เวคเตอรหนงึ่ หนวยจะได
r
θ = cos−1 P ⋅ nˆ (16)
P

ถาผลของการดอทเวคเตอรมีคา เปน 0 โดยเวคเตอรต ง้ั ตนไมเ ทากับศนู ย จากสมการ (14) จะได

วา มุมของเวคเตอรทง้ั สองตอ งทํามมุ กันเทา กับ 90º

เอกสารอางอิง

[1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI
Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-34

2/8 The tension in the supporting cable BC is 3200 N. Write the force which this

cable exerts on the boom OAB as a vector T. Determine the angle θx, θy, and θz
which the line of action of T forms with the positive x-, y-, and z-axes.

[Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.2/103]

วธิ ีทํา เนอ่ื งจากแนวแรง T ผา นจดุ B และจดุ C จงึ ตองหาพิกัดจดุ B
กับจุด C กอน

พิกดั จดุ B : (1.5, 2.1, 0.45)
พิกัดจดุ C : (1.8, 0, 0.9)

เวคเตอร BC : BC = 0.3iˆ − 2.1ˆj + 0.45kˆ

เวคเตอรหน่งึ หนว ยในทิศทาง BC :

nˆBC = 0.3iˆ − 2.1ˆj + 0.45kˆ = 0.1383iˆ − 0.9684 ˆj + 0.2075kˆ
0.32 + 2.12 + 0.452

เวคเตอรข องแรง v
T

v = TBC nˆBC = 3200(0.1383iˆ − 0.9684 ˆj + 0.2075kˆ)
TBC

v = 442.56iˆ − 3098.88 ˆj + 664.05kˆ Ans
TBC

หามมุ ท่ที าํ กบั แกน x
⋅ Qv
จาก [ v = PQ cosθ ] nˆBC ⋅iˆ = (1)(1) cosθx
P

cosθx = (0.1383iˆ − 0.9684 ˆj + 0.2075kˆ) ⋅ (iˆ)

cosθx = 0.1383 Ans
θx = 82.05o

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-35

ทาํ นองเดียวกัน

หามมุ ท่ที าํ กับแกน y
⋅ Qv
จาก [ v = PQ cosθ ] nˆBC ⋅ ˆj = (1)(1) cosθ y
P

cosθ y = (0.1383iˆ − 0.9684 ˆj + 0.2075kˆ) ⋅ ( ˆj)

cosθ y = −0.9684 Ans
θ y = 165.56o

หามุมที่ทาํ กับแกน z
v
จาก v ⋅ Q = PQ cosθ ] nˆBC ⋅ kˆ = (1)(1) cosθz
[P

cosθz = (0.1383iˆ − 0.9684 ˆj + 0.2075kˆ) ⋅ (kˆ)

cosθz = 0.2075 Ans
θ z = 78.02o

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-36

แบบฝก หดั หัวขอ 2/7

1. A force F with a magnitude of 100 N is applied at the origin O of the axes x-y-z as

shown. The line of action of F passes through a point A whose coordinates are 3m,

4m and 5m. Determine (a) the x, y and z scalar components of F, (b) the projection

Fxy of F on the x-y plane, and (c) the projection FOB of F along the line OB.

[Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans (a) Fx = 42.4 N, Fy = 56.6 N, Fz = 70.7 N
(b) Fxy = 70.7 N
(c) FOB = 84.4 N)

2. The cable BC carries a tension of 750 N. Write this tension as a force T acting on

point B in terms of the unit vector i, j and k. The elbow at A forms a right angle.

[Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans T = -598i + 411j +189.5k N)

รปู สาํ หรับแบบฝก หัด ขอ 1
รปู สาํ หรบั แบบฝกหดั ขอ 2

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-37

สถติ ยศาสตร (Statics)

บทที่ 2 ระบบของแรง (ตอนที่ 4)

2/8 โมเมนตแ ละคับเปล

ในปญหาสองมิติ การหาโมเมนตม ักจะทาํ โดยวิธีสเกลารโดยการหาผลคูณระหวา งแรง
และระยะต้งั ฉากระหวา งแรงกบั จุดหมุน อยางไรกต็ ามในกรณีของปญหาสามมิติ การหาระยะตงั้
ฉากทําไดยุงยากกวา ในสองมิติมาก วิธีเวคเตอรจงึ เปน อีกทางเลอื กหนึง่ ซ่งึ มักถกู ใชในการ
คํานวณหาโมเมนต
โมเมนตใ นสามมติ ิ

รปู ที่ 1 โมเมนตใ นสามมิติ [1]

รปู ที่ 1 แสดงถึงแรง v กระทาํ ตอวัตถุ ทาํ ใหเกดิ โมเมนต v รอบจุด O โมเมนตหา
F MO

ไดโดยวิธีการเวคเตอรดังแสดงในสมการ (1)
v rv × Fv
MO = Fv (1)

โดย rv คอื เวคเตอรช จี้ ากจดุ หมนุ O ไปยงั จุดใดๆ บนแนวแรง
แลว กวาทดMvมศิ Oือทตางาขมคอทืองศิ โโทมมเาเมมงนขนอตตงร แอMรบvงจOดุ FvมOีททศิ ศิ ทกาางรตชาข้ี มอกงฎนมว้ิ หอื ัวขแวมาม (อื นคิ้วอื มทอื ิศททั้งาง4ขอชงีต้ โามมเมทนศิ ตเว) คเตอร rv

ในปญหาสองมติ ิ นิสิตอาจจะคุนเคยกับการหาโมเมนตร อบแกนใดๆ ซึ่งแกนการหมุนจะ

มีทศิ ทางขนานกบั แกน z สวนในสามมติ จิ ะมคี าํ วา โมเมนตรอบจุดเพิม่ เขามา คาํ วาโมเมนตร อบ

จดุ น้จี รงิ ๆ แลวกค็ ือโมเมนตร อบแกนใดแกนหน่ึง โดยท่แี กนนัน้ ผา นจดุ นนั่ เอง

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-38

ตัวอยางโมเมนตใ นสามมิติ
ตัวอยางที่ 1

รูปท่ี 2 ตัวอยา งโมเมนตใ นสามมิติ [2]

ตัวอยา งน้ีแสดงใหเห็นโมเมนตซ งึ่ เกิดจากการออกแรง v หมนุ ทอ ในรูปท่ี 2(a) แรง
F

กระทําในทศิ ทาง –x ทําใหเกิดโมเมนตท ศิ ทางชขี้ ึน้ ตามแกน z ในกรณนี ้ีโมเมนตรอบจดุ O คือ

โมเมนตรอบแกน z น่ันเอง สวนในรปู ที่ 2(b) เมอื่ ออกแรงกระทําในทศิ ทาง +z จะทําใหเ กิด

โมเมนตใ นทศิ ทางหมนุ รอบแกน x ในกรณีนี้โมเมนตรอบจุด O คอื โมเมนตรอบแกน x นั่นเอง

อยา งไรกต็ ามถาออกแรงในทศิ ทางซ่ึงไมข นานกบั แกนพิกดั x-y-z จะทําใหเ กดิ โมเมนต

รอบแกนใดๆ ซึ่งไมใ ชแกน x-y-z เชนกนั ในกรณีนีโ้ มเมนตรอบจุด O จะไมเทา กบั โมเมนตรอบ

แกน x, y หรอื z แตจ ะเทา กับผลรวมของโมเมนตร อบแกน x, y และ z

ตวั อยา งที่ 2

(a) (b)

รปู ท่ี 3 ตัวอยา งโมเมนตในสามมติ ิ [2]

ตัวอยา งนแี้ สดงถงึ การใชป ระแจขนั สลักเกลยี ว รปู ที่ 3(a) แสดงการขนั ท่ีออกแรงในแนว
ระดับ ทร่ี ะดับเดียวกบั จดุ หมุน A ทําใหเกดิ โมเมนตทิศทางตามแกน z ในกรณีนีโ้ มเมนตร อบจุด
A จะมีคา เทากบั โมเมนตร อบแกน z สาํ หรบั รปู ท่ี 3(b) แรงท่อี อกจะอยทู ีร่ ะดบั สงู กวา จุด A ทาํ ให
เกดิ โมเมนต MA ซง่ึ กค็ อื โมเมนตรอบจดุ A นนั่ เอง จะเห็นวากรณีน้โี มเมนตรอบจดุ A มคี า ไม
เทากับโมเมนตร อบแกน z โมเมนตรอบแกน z เปน เพียงแคส วนประกอบหน่ึงของโมเมนตรอบ
จดุ A เทาน้ัน