เนื้อหาวิชากลศาสตร์วิศวกรรมปี63

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-39

การหาโมเมนตโดยการครอสเวคเตอร (2)
(3)
จากสมการ (1) จะสามารถหาโมเมนตไ ดด งั นี้ (4)

r = rr × r = iˆ ˆj kˆ
Mo F rx ry rz

r Fx Fy Fz

M o = (ry Fz − rz Fy )iˆ + (rz Fx − rx Fz ) ˆj + (rx Fy − ry Fx )kˆ
r = M xiˆ + M y ˆj + M z kˆ
Mo

โดย M x = ry Fz − rz Fy

M y = rz Fx − rx Fz

M z = rx Fy − ry Fx

รปู ท่ี 4 การหาโมเมนตใ นสามมติ ิ [1]

การหาโมเมนตร อบแกนตา งๆ ตามสมการ (4) สามารถหาไดจ ากวิธกี ารสเกลารเ ชนกนั
โดยคูณสวนประกอบของแรงในแตล ะแกน เขา กบั ระยะตงั้ ฉากระหวางแนวแรงกบั แกนหมุน (ดู
รูปท่ี 4) โดยตอ งระวงั วาแรงในแนวเดยี วกับแกน จะไมทาํ ใหเ กิดโมเมนตร อบแกนนั้น นั่นคอื
แรงในแนว x จะไมท ําใหเ กดิ โมเมนตรอบแกน x และแรงทีผ่ านแนวแกน จะไมท ําใหเกดิ โมเมนต
รอบแกนน้ัน เชน โมเมนตร อบแกน x, Mx เกิดจากแรงซึ่งชไ้ี ปทศิ ทาง y และทิศทาง z โมเมนต
รอบแกน x ซง่ึ เกิดจากแรง Fy คือ –rzFy เนอ่ื งจากโมเมนตของแรงนมี้ ที ศิ ชไ้ี ปทางลบจึงมีคา ตดิ
ลบ สวนโมเมนตรอบแกน x ซ่งึ เกิดจากแรง Fz คอื ryFz เนอื่ งจากทศิ ของโมเมนตชไ้ี ปทางบวก
จึงมีคาบวก และจะไดโ มเมนตรอบแกน x ทง้ั หมดคือ M x = ry Fz − rz Fy เชน กนั สําหรบั
โมเมนตรอบแกนอื่นๆ กพ็ จิ ารณาไดเ ชนเดียวกนั

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-40

โมเมนตร อบแกนใดๆ

จากรปู ท่ี 3(b) จะพบวา โมเมนตรอบแกน z เปนสว นประกอบหนึ่งของโมเมนตรอบจดุ A
การหาโมเมนตรอบแกน z จึงทาํ ไดโ ดยหาโมเมนตรอบจดุ กอน แลวจงึ แตกใหโมเมนตเ ขา ไปอยู
ตามแกน z การหาโมเมนตร อบแกนใดๆ ก็สามารถทําไดโ ดยใชหลักการเดยี วกนั ดังตวั อยา ง
ตอไปน้ี

รปู ท่ี 5 การหาโมเมนตร อบแกนใดๆ [1]

พจิ ารณารูปท่ี 5 ตองการหาโมเมนตร อบแกน λ, Mλ

ขน้ั ตอนที่ 1 หาโมเมนตรอบจุดใดๆ บนแกน λ ในที่นีจ้ ะทํารอบจดุ O
v rv v
MO = × F v
M
ขน้ั ตอนที่ 2 หาขนาดสว นประกอบของโมเมนต O บนแกน λ โดยการดอทเวคเตอรข อง

โมเมนต เขา กบั เวคเตอรหน่ึงหนว ยในทศิ ทาง λ, nˆ โดยผลลัพธจ ากการดอทจะเปน ปรมิ าณ

สเกลาร v = (rv × Fv) ⋅ nˆ
Mλ
(5)

ขัน้ ตอนท่ี 3 โมเมนตร อบแกน λ คอื ผลคณู ของขนาดของโมเมนตท ี่หาไดจากสมการ (5) กับ

เวคเตอรแสดงทศิ ทางของโมเมนต ซึ่งก็คือเวคเตอรหน่งึ หนว ยในทศิ ทาง λ น่ันเอง
v [(rv v
Mλ = × F ) ⋅ nˆ]nˆ (6)

ทฤษฎบี ทของ Varignon สาํ หรบั สามมติ ิ (Varignon’s Theorem in Three Dimensions)

ทฤษฎีบทของ Varignon กลาวไวว า “ผลรวมของโมเมนตยอยๆ ซ่งึ เกิดจากแรงหลายๆ

แรงรอบจุดหมนุ ท่ีกําหนด มีคา เทากับโมเมนตซง่ึ เกดิ จากผลรวมของแรงยอยๆ รอบจุดหมุนนน้ั ”

(ดรู ปู ท่ี 6 ประกอบ) ทฤษฎบี ทของ Varignon สามารถนาํ มาเขียนเปนสมการคณติ ศาสตรไดด ัง

แสดงในสมการ (7) v v v v v
∑ ∑v rv × F1 rv F2 rv F3 KFv==rv r×v ×(FvRv1 F2 F3
= Mv + × + ) × + + + + K)
MO Fv =
O= (rv × rv × (7)

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-41

รปู ท่ี 6 การหาโมเมนตของแรงยอยๆ รูปที่ 7 คับเปล ในสามมิติ [1]
ดว ยทฤษฎีบทของ Varignon [1]

คบั เปลในสามมิติ

คับเปล หมายถงึ โมเมนตซ ึง่ เกิดจากแรงสองแรงท่ีมีขนาดเทากัน แตม ีทิศทางตรงกัน

ขา มกนั

รปู ที่ 7 แสดงการหาคับเปล ในสามมิติ สมมุติใหจุด O เปนจุดหมนุ
r rrrvA××FFrr + rrB × (−Fr ) (rrA rrB r
M = = − ) × F (8)
r = (9)
M v
F
จากสมการ (9) จะพบวาคบั เปล ไมข นึ้ กบั จดุ หมนุ O เลย ขึน้ อยเู พยี งแรง และ
v
เวคเตอรท ช่ี ้รี ะหวางแนวแรงทง้ั คู rv โดยเวคเตอร rv จะช้ีจากจุดไหนบนแนวแรง − F ไปยังจุด
v
ไหนบนแนวแรง F กไ็ ด และเนื่องจากคบั เปลมีคาเทา กนั ไมว าจุดหมุนจะอยทู ใี่ ด คับเปล จึงถือ

วาเปน Free Vector ซ่ึงจะตางกบั โมเมนต ซ่งึ ขนาดจะขึน้ อยูก บั ตําแหนง จดุ หมุน โมเมนตจงึ ถอื

วาเปน Sliding Vector สาํ หรับทศิ ทางของคับเปล กส็ ามารถหาไดโดยกฎของมือขวาเชน เดียวกนั

รูปที่ 8 การรวมคับเปล [1]

รูปที่ 8 แสดงถึงการรวมคบั เปลยอ ยจากแรง v และ v เขาดว ยกัน เนอ่ื งจากคับเปล
F1 F2

เปน Free vector การรวมจงึ สามารถรวมคบั เปลยอ ยๆ เขาโดยตรงแบบเวคเตอร หรอื อาจจะ
v v v v
รวมแรง F1 และ F2 เขา เปน แรง F กอ น จงึ หาคับเปลจากแรง F กไ็ ด

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-42

ระบบของแรงและคับเปลในสามมิติ

ในหัวขอ 2/5 ไดก ลา วถึงการยา ยแรงไปทตี่ ําแหนงอื่น และเขยี นแทนแรงเดมิ ดวยแรง

และคบั เปล ในกรณี 2 มติ ิ มาแลว ในหวั ขอนี้ก็เชนเดยี วกัน เพียงแตแ รงและคบั เปล จะอยใู น 3

มิตเิ ทา นั้น ข้ันตอนการยายแรงแสดงดังรปู ที่ 9
v
1. แรง F กระทาํ ทจ่ี ุด A
v v
2. เพม่ิ แรง F และ − F ทีจ่ ุด B เนอื่ งจากแรงลพั ธที่เพิม่ เขาไปในระบบมคี า เปน ศนู ย

การเพ่ิมแรงเขา ไปจงึ ไมส ง ผลกระทบใดๆ ตอ ระบบ
3. จากรปู กลาง จะพบวา แรง Fv เดมิ และแรง − Fv ทเ่ี พิ่มเขา ไปสามารถจับคกู นั เปน

คบั เปล ได v v r rv r
F F M F
4. เขียนแทนแรง v และ − ดวยคบั เปล = × โดยทศิ ทางของคบั เปล จะ
F
ตงั้ ฉากกับแรง ดังแสดงในรปู ขวามอื

รูปท่ี 9 ระบบของแรงและคบั เปลในสามมิติ [1]

เอกสารอา งอิง
[1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI

Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.
[2] R.C.Hibbeler, Engineering mechanics STATICS 11th Edition in SI units, Pearson

Prentice Hall, 2007.

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-43

2/9 Tension in cable AB is 143.4 N. Determine the moment about the x-axis of
this tension force acting on point A . Compare your result to the moment of the
weight W of the 15-kg uniform plate about the x-axis. What is the moment of
the tension force acting at A about line OB. [Engineering Mechanics Statics 5th edition,

Meriam & Kraige, prob.2/129]

วิธีทํา เน่ืองจากตองการหาโมเมนตเ นือ่ งจากแรงตึงในเคเบิล AB ดังนัน้
จงึ ตอ งเขยี นแรงตึง TAB ใหอ ยใู นรูปเวคเตอรเสียกอ น

พกิ ดั จดุ A : (0.7, 0.45cos20º, -0.45sin20º) หรือคือ (0.7, 0.4229, -0.1539)
พิกัดจุด B : (0.35, 0, 0.4)

เวคเตอร AB : AB = −0.35iˆ − 0.4229 ˆj + 0.5539kˆ

เวคเตอรห นึง่ หนว ยในทศิ ทาง AB :

nˆ AB = − 0.35iˆ − 0.4229 ˆj + 0.5539kˆ = −0.4488iˆ − 0.5423 ˆj + 0.7103kˆ
0.352 + 0.44292 + 0.55392

เวคเตอรข องแรง v
TAB

v = TABnˆAB = 143.4(−0.4488iˆ − 0.5423 ˆj + 0.7103kˆ)
TAB

v = −64.3579iˆ − 77.7658 ˆj + 101.857kˆ
TAB

ตอ งการหาโมเมนตรอบแกน x ข้นั แรกตอ งหาโมเมนตทจ่ี ดุ ใดๆ บนแกน x กอ น
ในทีน่ ี้จะเลือกจดุ หาโมเมนตร อบจุด O

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-44

จาก v = rv × v
MO TAB

ตอ งหาเวคเตอร r ซงึ่ เปน เวคเตอรช ีจ้ ากจดุ หมนุ O ไปยังจุดใดๆ บนแนวแรง TAB
กอน ในที่นจ้ี ะเลอื กให r ชไ้ี ปทจี่ ุด B (นิสติ สามารถเลือกให r เปนเวคเตอรท ีช่ ี้จาก O
ไปยงั จดุ A กไ็ ด)

rv = rvOB = 0.35iˆ + 0.4kˆ

v = rvOB × v = iˆ ˆj kˆ
MO TAB 0.35 0 0.4
− 77.7658 101.857
− 64.3579

v = 31.1063iˆ − 61.3931ˆj − 27.2180kˆ
MO

ตอ งการหาโมเมนตรอบแกน x ทําไดโ ดยนาํ โมเมนตร อบจดุ ทีไ่ ด ดอทกบั เวคเตอรหนง่ึ
หนว ยตามแนวแกน x หรือ เวคเตอร i

v x = v ⋅ iˆ = (31.1063iˆ − 61.3931ˆj − 27.2180kˆ) ⋅iˆ
M MO

Mv x = 31.1 Nm Ans

หาโมเมนตจากน้ําหนักประตรู อบแกน x

z v = (15)(9.81)( 0.45 cos 20o )
Mx 2

0.45 m y v = 31.1 Nm Ans
20º Mx

W = 15(9.81) N

หาโมเมนตข องแรงตงึ TAB รอบแกน OB Ans

เนื่องจากแรงตงึ TAB ผานแกน OB
ดังนน้ั จึงไมเ กิดโมเมนตข นึ้ นั่นคอื MOB = 0 Nm

ลองทาํ ดู คํานวณ MOB จาก v = v O ⋅ nˆOB
M OB M

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-45

แบบฝก หัด หวั ขอ 2/8

1. A Tension T of magnitude 10 kN is applied to the cable attached to the top A of

the rigid mast and secured to the ground at B. Determine the moment Mz of T
about the z-axis passing through the base O. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition,

Meriam & Kraige]

(Ans Mz = -84.9k kNm)
2. A force of 400 N is applied at A to the handle of the control lever which is

attached to the fixed shaft OB. In determining the effect of the force on the shaft
at a cross section such as that at O, we may replace the force by an equivalent
force at O and a couple. Describe this couple as a vector M. [Engineering Mechanics

STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans M = 94.3 Nm
θ = 32.0° on y-z plane)

3. If the magnitude of the moment of F about line CD is 50 Nm, determine the

magnitude of F. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans F = 228 N)

รปู ประกอบแบบฝก หัดขอ 1 รูปประกอบแบบฝกหัดขอ 2

รปู ประกอบแบบฝก หดั ขอ 3

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-46

สถติ ยศาสตร (Statics)

บทท่ี 2 ระบบของแรง (ตอนท่ี 5)

2/9 Resultants

ในหัวขอ 2/6 ไดก ลา วถงึ Resultants ในสองมติ ิมาแลว ครงั้ หน่ึง ในหัวขอ นจ้ี ะไดข ยาย
ความเรื่อง Resultants หรือการรวมแรงและคับเปลใหเ ปนรปู อยางงา ย ในปญหาสามมิติ

รปู ที่ 1 การหา Resultants ในสามมิติ [1]

รปู ที่ 1 แสดงถึงการหา Resultants ในสามมิติ แรง v , v และ v กระทาํ กบั วตั ถตุ าม
F1 F2 F3

แสดงในรูปที่ 1(a) ข้ันตอนในการแทนแรงท้งั สามนี้ ดว ยแรงและคบั เปล ซึง่ กระทาํ ท่ีจดุ O มดี ังนี้
v v
1. ทําการยายแรง F1 มาที่จดุ O จะเกิดคับเปล M1 ขนึ้ โดยคบั เปล น้มี ีขนาดเทา กบั
2. v v กระทําผานทีจ่ ดุ O ท้ังหมด
M1 = rv1 × F1 v v
F2 F3
ทาํ เชน เดยี วกนั กบั แรง และ จะไดว า แรงทุกแรง

ดังแสดงดังรูปท่ี 1(b) v
R
3. รวมแรงทัง้ สามแรง เปนแรง เพยี งแรงเดยี ว และรวมคับเปลทงั้ สามคับเปล เปน
v
คบั เปล M เพียงคบั เปล เดียว ดงั แสดงในรูปท่ี 1(c) โดย
v ==FvM1v+1 +Fv2Mv+2Fv+3 v
+K= F
∑R v = (rv v
M 3 + K × F ) (1)
v

∑M

การรวมแรงและโมเมนต ในระบบพิกัดฉากสามารถรวมไดด งั นี้

Rx = ∑ Fx , Ry = ∑ Fy , Rz = ∑ Fz ,

∑ ∑ ∑R = ( ,
Fx ) 2 +( Fy ) 2 +( Fz )2
(rv × v v = (rv × v
v = F)x , F , v = ∑ (rv × v ,
Mz F
∑ ∑M x
My ) y ) z

M= M 2 + M 2 + M 2
x y z

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-47

เนือ่ งจากการยา ยแรงมาทีจ่ ุด O ทําใหเ กดิ คบั เปล ซง่ึ มคี าเสมอื นโมเมนตโ ดยที่ใชจ ดุ O
เปนจุดหมุน ดงั น้ันการเลือกจดุ O ที่แตกตา งกนั กจ็ ะทาํ ใหคํานวณคา คบั เปล รวมไดต า งกนั ดว ย
อยา งไรก็ตาม ไมว าจะเลอื กจดุ ใด ก็จะไดคาแรงรวมท่ีเหมอื นเดิม

ความแตกตา งระหวาง Resultants ในสองมิติกับสามมิติ r
rM
r B M2 r
F
r rR
B O M1
AF
M=Fd

A

2D 3D

รปู ที่ 2 Resultants ในสองมติ แิ ละสามมติ ิ

เมื่อเปรยี บเทยี บการหา Resultants ในกรณี 2 มิติ กบั 3 มิติแลว ถงึ แมว าทั้งสองกรณี

จะมีวธิ ีการทเี่ หมอื นกนั แตดวยลักษณะของทิศทางแรงกระทํา จะทาํ ใหก ารลดรปู แรงตา งๆ เปน

รูปอยา งงายไดแ ตกตา งกนั

สาํ หรับกรณี 2 มติ ิ เมื่อลดรปู แรงตา งๆ ใหเ ปน แรงแรงเดียวและคบั เปลไดแ ลว เนื่องจาก

ทศิ ทางของคบั เปล กบั แรงตง้ั ฉากกัน ดงั นน้ั จะสามารถลดรูปอยา งงายใหเหลือเพยี งแรงแรงเดยี ว
v rv v
ได ดงั แสดงในรูปท่ี 2 กรณี 2 มติ ิ (เนอื่ งจาก M = × F ดังนั้นทศิ ทางของโมเมนต หรือ

คับเปล กบั ทศิ ทางของแรงจะตัง้ ฉากกันเสมอ)

อยา งไรกต็ ามในกรณี 3 มติ ิ เนอ่ื งจากทศิ ทางของคบั เปล ลัพธ ไมไ ดต ้งั ฉากกับทศิ ทาง

ของแรงลพั ธ (ดรู ูปที่ 2 กรณี 3 มิต)ิ ดังนั้นจงึ ไมส ามารถจึงยบุ แรงและคับเปล ใหเ ปนแรงลัพธ

เพียงแรงเดยี วได

กรณตี า งๆ ของแรงใน 3 มติ ิ

1. แรงทีแ่ นวแรงตัดกันทจ่ี ุดจุดเดียว (Concurrent forces)
ในกรณีนี้ Resultant จะเปนแรงลัพธเ พยี งอยา งเดยี ว โดยแรงลัพท จะตอ งผา นจดุ ท่ีแนว

แรงยอ ยๆ ตัดกันดวย
2. แรงขนานกนั แตอ ยูคนละระนาบกัน (Parallel forces)

ในกรณนี ้ี Resultant จะเปน แรงลพั ธเพยี งอยา งเดียวเชน กนั แตถาแรงลัพธร วมมีคาเปน
ศูนย Resultant จะเปนคับเปล ในทศิ ทางตงั้ ฉากกบั แนวแรงนน้ั
3. กรณีแรงอยใู นระนาบเดยี วกัน (Coplanar forces)

กรณีนค้ี อื ปญ หา 2 มิติ ตามทีไ่ ดก ลาวมาแลว

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-48

Wrench resultant

ในกรณขี องปญ หา 2 มติ ิ ระบบของแรงสามารถลดรูปไดเหลอื เพยี งแรงแรงเดยี ว หรอื
คับเปล เดียว อยางไรก็ตามในปญหา 3 มิติ ไมส ามารถลดรปู ใหเ หลอื แรงแรงเดียว หรือคับเปล
เดียวในทกุ ๆ กรณไี ด อยา งไรกต็ ามระบบแรงใน 3 มติ ิ จะสามารถลดรปู ใหอยใู นรปู ของ
Wrench resultant ดังแสดงในรูปที่ 3 ได

รปู ท่ี 3 Wrench resultant [1]

Wrench resultant คอื ระบบที่ประกอบดวยแรง 1 แรง และคบั เปล ทม่ี ที ิศทางเดียวกนั
หรอื ทศิ ตรงกนั ขามกบั แรงน้นั โดยถาแรงและคบั เปลมที ิศเดยี วกัน จะเรียกวา Positive wrench
แตถา มที ศิ ทางตรงกันขา มจะเรยี กวา Negative wrench

วธิ ีการเปลี่ยนรูปแรงและคบั เปลท่ีไดในรปู ท่ี 1(c) ใหเปน Wrench resultants ทําไดต าม
ข้นั ตอนแสดงในรูปที่ 4 ดงั นี้

รปู ที่ 4 การเปลย่ี นระบบแรงและคับเปล เปน Wrench resultant [1]

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-49

1. แตกคบั เปลใหอ ยูใ นทิศทางเดยี วกับแรง และทศิ ตงั้ ฉากกบั แรง ดังแสดงในรูปท่ี 4(b)
สแRvรํางหแรลRับvะโแม−ลเมRะvน−ตซR่ึงvMหvาซ2ง่งึ กทอนั ยี่มเใูทีปนศินแทรนะาวยงเตะส้งัน dฉตาโรดกงยกเดับยี แMวรกง2ันจ=ะใRนสาdรมปู ดาทงัรี่แถ4สเ(ขcด)ียงจนในะแหรทปูกั นทลไาี่ด4งด(กcวนั)ยหแมรดงไคปูควบ
2. v v
3. R M1

เหลือเพียงแรง และคับเปล ซึ่งมที ศิ ทางเดยี วกับทศิ ของแรง เนอ่ื งจากคบั เปล

เปน Free vector ดงั นัน้ จึงสามารถยา ยคบั เปล มาตอกบั แรงได ดังแสดงในรูปที่ 4(d)

เอกสารอางอิง

[1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI
Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-50

2/10 The resultant of the two forces and couple may be represented by a wrench.
Determine the vector expression for the moment M of the wrench and find the
coordinates of the point P in the x-z plane through which the resultant force of
the wrench passes. [Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.2/149]

วธิ ีทาํ จากรูปโจทย แรงลัพธ v = 100iˆ + 100 ˆj
R

v = 1002 +1002 = 100 2
R

หาทิศทางที่แรงลพั ธกระทาํ กับแกน x-y-z

จาก v ⋅ iˆ = R(1) cosθ x ดงั นนั้ cosθ x = Rv ⋅iˆ = Rx
R R R

cosθ x = Rx = 100 = 1
R 100 2 2

ทํานองเดยี วกัน

cosθ y = Ry = 100 = 1
R 100 2 2

cosθ z = Rz =0 2 =0
R 100

สมมตุ ิให Wrench resultant ผานจดุ P บนระนาบ x-z ดังนั้น เมอ่ื ยายแรง
ทง้ั หมดไปทจี่ ดุ P แลว จะเกดิ คบั เปล ขนึ้ ซึ่งมีขนาดเทา กับผลรวมของโมเมนต
ของแรงยอยๆ รอบจุด P และคับเปล ทเ่ี กดิ ขน้ึ นจี้ ะมีทิศทางเดียวกับแรงลพั ธ R

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-51

P

z
x

v = 100(z)iˆ + 100(0.4 − x)kˆ −100(0.3)kˆ +100(0.4 − z) ˆj − 20 ˆj
MP

v = 100ziˆ + (20 −100z) ˆj + (10 −100x)kˆ (1)
MP

เนอ่ื งจาก สมมตุ ใิ ห Wrench resultant ผา นจุด P ดงั นั้นคับเปลที่เกดิ ข้นึ นีจ้ ะมี

ทิศทางเดยี วกับแรงลพั ธ R

ทาํ นองเดียวกับแรง v ⋅ iˆ = M (1) cosθ x ดงั นน้ั cosθ x = Mv ⋅iˆ = Mx
M M M

cosθ x = Mx = 100z = 1 (2)
M M 2

ทาํ นองเดียวกนั cosθ y = My = 20 −100z = 1 (3)
M M 2

cos θ z = My = 10 −100x =0 (4)
M M

แกร ะบบสมการ (2), (3) และ (4) จะได x = 0.1 z = 0.1 M = 10 2

พกิ ัดจุด P : x = z = 0.1 m Ans

แทนคา x และ z ลงในสมการ (1) จะได Ans

v = 10iˆ +10 ˆj Nm
MP

Statics/ Chapter 2 Force systems 2-52

แบบฝก หดั หวั ขอ 2/9

1. Determine the wrench resultant of the three forces acting on the bracket. Calculate
the coordinates of the point P in the x-y plane through which the resultant force of
the wrench acts. Also find the magnitude of the couple M of the wrench. [Engineering

Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans M = -2400 Nmm, x = 60 mm, y = 40 mm)
2. Replace the system of two forces and couple by a wrench. Determine the

magnitude of the moment M of the wrench, the magnitude of the force R of the

wrench, and the coordinate of the point P in the x-y plane through which R passes.

[Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans R = -20i – 37.9j + 12.65k kN

M = 45.3j + 40.9k kNm)

รปู ประกอบแบบฝก หัดขอ 1

รปู ประกอบแบบฝก หัดขอ 2

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-1

สถติ ยศาสตร (Statics)

บทท่ี 3 สภาพสมดุล (ตอนท่ี 1)

3/1 บทนํา

สภาพสมดลุ เปนสภาพทวี่ ตั ถุหยดุ นิง่ หรอื เคลื่อนทใี่ นทิศทางตรง (ไมมีการเปล่ยี นทิศ

ทางการเคลอ่ื นท่ี) ดว ยความเร็วคงที่ ตามกฎขอ ทีส่ องของนิวตนั พบวา วตั ถุจะอยใู นสภาพ

สมดลุ ไดเมื่อ Resultant ของทุกๆ แรงและโมเมนตทก่ี ระทํากับวัตถุมีคา เปน 0 หรอื เขียนไดด ัง

สมการที่ (1) ดงั นี้ v r v v
R F M M
= ∑ = 0 และ = ∑ = 0 (1)

เนือ่ งจากวตั ถใุ นธรรมชาติมลี กั ษณะเปน สามมติ ิ ดังน้ันการพจิ ารณาปญหาสภาพสมดุล

จึงควรคดิ เปน ปญ หาสามมติ ิ อยางไรก็ตาม ถาแรงทุกๆ แรง กระทําในระนาบเดยี วกนั ทัง้ หมด

จะพจิ ารณาปญหาเปนปญหาสมดุลในสองมิตไิ ด สาํ หรับในสว นแรกของบทนี้จะกลา วถงึ ปญ หา

สภาพสมดลุ ในสองมติ ิ และจงึ กลาวถึงปญ หาสภาพสมดุลในสามมิติ ในสว นหลงั ของบทตอไป

Section A สภาพสมดลุ ในสองมิติ

3/2 การเขียน Free-body diagram

จากสมการที่ (1) พบวาการแกปญหาสมดลุ จําเปน ท่จี ะตองทราบแรง และโมเมนต
ท้ังหมดท่ีกระทํากบั วตั ถกุ อ น เนอ่ื งจากวัตถทุ เี่ ราพจิ ารณานัน้ อาจมแี รงภายนอก หรือแรง
เนอื่ งจากน้ําหนักกระทํา แรงพวกนเ้ี ห็นไดชดั เจน และมกั จะไมม ปี ญ หาในการพิจารณา อยางไร
กต็ าม โดยปกตวิ ตั ถทุ พ่ี จิ ารณามกั จะมีการเชอื่ มตอ กับวตั ถชุ นิ้ อนื่ ๆ ซงึ่ จะตอ งมีแรงกระทาํ
ระหวางกนั อยูดวย การพจิ ารณาปญหาสมดลุ จึงตองแยกแยะใหช ดั เจนกอนวา จะพจิ ารณา
วตั ถุใด และวัตถทุ พ่ี จิ ารณานนั้ มแี รงใดกระทาํ อยบู า ง แรงทกี่ ระทําหมายถงึ แรงภายนอก
แรงเนื่องจากน้ําหนกั และแรงเนอื่ งจากการเชอ่ื มตอ ของวตั ถทุ ่ีกาํ ลงั พิจารณากบั วตั ถอุ น่ื

การแยกวตั ถทุ พ่ี จิ ารณาใหเหน็ ไดอยา งชดั เจนและเขยี นแรงท่กี ระทาํ กับวตั ถนุ ัน้ เรียกวา
การเขียน Free-body diagram

กอนทีจ่ ะศกึ ษาถึงวิธกี ารเขยี น Free-body diagram จะกลาวถงึ การพจิ ารณาแรง
เนื่องจากการเช่อื มตอ หรอื สมั ผัสกันของวัตถกุ อน

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-2

แรงเนอื่ งจากการเช่อื มตอ

รปู ที่ 1 แสดงถงึ แรงกระทําเน่อื งจากการเชอื่ มตอ ของวตั ถทุ ีพ่ จิ ารณากบั วตั ถุอนื่ โดย
ทางดา นซา ยมือ จะแสดงถึงรปู การเชอ่ื มตอ สว นทางดานขวามอื จะแสดงถงึ แรงทกี่ ระทาํ กบั
วตั ถทุ ่พี จิ ารณา

รปู ท่ี 1 แรงทีก่ ระทาํ เน่อื งจากการเชื่อมตอ ในสองมิติ [1]

ตัวอยา งท่ี 1 แรงดึงทเ่ี คเบลิ กระทํากบั คาน เคเบิล หรอื เชอื กเปนชิน้ สวนทส่ี ามารถรับได
เฉพาะแรงดงึ เทา น้ัน ไมส ามารถรบั แรงกดได เนือ่ งจากถา รับแรงกดเชอื ก หรือเคเบลิ จะหยอน
ทาํ ใหไมส ามารถใชง านได เมื่อพิจารณาที่คาน เนื่องจากคานไดร บั แรงดึงจากเคเบลิ แรงที่
กระทาํ กับคานจึงมที ิศพงุ ออกจากคาน และมที ศิ ทางเดยี วกบั ทศิ ทางการขึงเคเบลิ ดงั แสดงในรูป
ท่ี 1 (ในทางตรงกนั ขาม ถา เลอื กพจิ ารณาทเี่ คเบลิ จะพบวา แรงจะตอ งพุง ออกจากเคเบลิ เชน กัน

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-3

เน่ืองจากตองเปนแรงดึง) ถาพจิ ารณานํ้าหนกั ของเคเบลิ จะพบวาเคเบลิ จะตอ งหยอนเล็กนอ ย
เนื่องจากน้าํ หนักตวั มนั เอง การเขยี นแรงในกรณีน้ยี งั คงเหมือนเดมิ เพยี งแตท ศิ ทางแรงกระทาํ
จะตา งไปจากเดมิ เลก็ นอย

ตัวอยางท่ี 2 การสมั ผสั ของผวิ เกลย้ี งซ่ึงไมมีแรงเสยี ดทาน โดยพจิ ารณาวัตถุสฟี า (ดา น
ขวามือ) เปน วัตถทุ ส่ี นใจ ข้ันแรกใหพจิ ารณาการเคลอื่ นทข่ี องวตั ถเุ สยี กอ น จะพบวา วัตถุสีฟาจะ
สามารถเลือ่ นไดอยา งอสิ ระในทศิ ทางตามผวิ ของวตั ถอุ ีกช้นิ การทว่ี ตั ถุเคลื่อนท่ีไดอยา งอิสระ
หมายถงึ จะตอ งไมมีแรงกระทําอะไรมาตา นทานการเคลือ่ นท่ใี นทศิ ทางผวิ สมั ผัส ในทางตรงกัน
ขา ม วตั ถุไมส ามารถเคลื่อนทเ่ี ขาไปในเนือ้ ของวตั ถุอกี ช้นิ ได แสดงวา จะตอ งมีแรงตานทานของ
วัตถอุ กี ช้นิ มาดันเอาไวใ นทศิ ทางตงั้ ฉากกบั ผิวสัมผัส ดังแสดงในรปู ทางดา นขวามอื นอกจากน้ี
ยงั สังเกตไดว า วตั ถุสฟี าสามารถเคลอ่ื นทอ่ี อกจากวัตถุอกี ช้ินได ดังนนั้ แรง N จึงไมส ามารถเปน
แรงดงึ ได เปนไดแ ตแรงกดเทาน้ัน

ในตวั อยางนีเ้ ราพจิ ารณาการเคล่ือนท่ี และแรงในสองทิศทางทต่ี งั้ ฉากกันเทานั้น เพราะ
แรงใดๆ ก็ตามจะสามารถแตกออกไดเ ปน แรงสองแรงในทศิ ทางตัง้ ฉากกัน การพจิ ารณาแรง
ยอยในสองทศิ ทางทตี่ งั้ ฉากกนั จงึ ครอบคลุมถงึ แรงกระทาํ ในทศิ ทางใดๆ

ตวั อยางที่ 3 การสมั ผัสของผวิ หยาบซง่ึ มแี รงเสียดทาน ตวั อยา งน้ีพจิ ารณาไดคลายๆ
กับตวั อยา งที่ 2 ตางกันท่เี ม่ือพจิ ารณาการเคล่อื นทตี่ ามผวิ สัมผสั จะพบวา มีแรงตานทานจาก
แรงเสยี ดทานเพิม่ เขา มา ดังนัน้ แรงท่กี ระทํากบั วัตถสุ ีฟา (ดา นขวา) ในกรณีน้จี งึ มที ้งั แรงใน
แนวตงั้ ฉากกบั เสนสมั ผัส N และแรงในแนวเสน สมั ผสั F โดยแรงท้ังสองจะสามารถรวมกันได
เปน แรงลพั ธ R

ทิศทางของแรงเสียดทานในแนวเสน สมั ผสั F จะขนึ้ กบั ทิศทางการเคลอ่ื นท่ี หรอื
แนวโนม ทจี่ ะเคลอ่ื นที่ โดยแรง F จะมีทศิ ทางตรงขามกับทิศทางการเคลือ่ นท่ี หรือทิศทางทต่ี าน
ไมใ หเ กดิ การเคลื่อนทเ่ี สมอ

ตัวอยางที่ 4 ช้นิ สวนรองรับแบบลกู กลง้ิ (Roller support) ตวั อยา งนพี้ ิจารณาได
เชน เดียวกบั ตวั อยางที่ 2 เชน กัน โดยลกู กลิง้ ไมสามารถเคลอื่ นทเี่ ขา ไปในพ้ืนได ดงั นัน้ จึงตองมี
แรง N กดเขา ทชี่ นิ้ สว นทีต่ อ กบั ลอ (สีฟา) เนือ่ งจากสามารถยกลกู กลง้ิ ใหส งู จากพ้ืนได ดังนั้น
แรง N จึงเปนแรงกดไดอ ยางเดยี ว เปนแรงดงึ ไมไ ด เม่ือพิจารณาการเคล่อื นทต่ี ามแนวราบ
เน่อื งจากลอ หรือลูกกลิ้งสามารถเคลอื่ นท่ีไดอ สิ ระตามแนวราบ (ไมค ิดแรงเสยี ดทาน) ดงั นนั้ จึง
ไมม ีแรงใดๆ กระทาํ ในแนวราบ

ตวั อยางที่ 5 การเลื่อนตวั เลื่อนไปตามรางลน่ื ซ่งึ ไมม แี รงเสียดทาน เน่อื งจากตัวเลอื่ น
สามารถเล่อื นไดอยา งอิสระบนราง ดังนั้นจงึ ไมม แี รงกระทาํ ใดๆ ในทศิ ทางของราง แตเ นื่องจาก
ตัวเลื่อนไมส ามารถเคลอื่ นทข่ี ึน้ ลงออกจากรางได ดงั น้นั จงึ ตองมแี รงกระทาํ ในทศิ ทางต้งั ฉากกบั
ราง ดงั แสดงในรปู ดานขวามอื

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-4

รูปที่ 2 แรงท่ีกระทาํ เนอ่ื งจากการเชอ่ื มตอ ในสองมิติ (ตอ) [1]

ตัวอยางท่ี 6 การเชื่อมตอ โดยขอ ตอแบบหมดุ (Pin connection) เมอ่ื พจิ ารณาถึงการ
เคล่อื นท่ีทเี่ ปน ไปไดข องการเชื่อมตอ แบบนี้ พบวา ช้นิ สว นสฟี า สามารถหมนุ ไปมาไดอิสระ แตไม
สามารถดงึ หรอื กด ใหแ ยกจากจุดหมุนได การที่ดงึ หรอื กดใหแ ยกออกจากจุดหมุนไมไดนั้น
แสดงวา ตอ งมีแรงตานทานการทหี่ มุดทั้งในแนวดง่ิ และในแนวระดบั โดยทิศทางของแรงจะเปน
แรงดงึ หรือกดก็ได ขน้ึ อยกู บั แรงท่ีกระทํากับช้ินสว นสฟี า

ในกรณที ีค่ ิดวา ขอตอ ฝด หมายถงึ มีโมเมนตเสียดทาน ตานทานการเคลื่อนทีด่ ว ย ดัง
แสดงในรูปท่ี 2

ตวั อยา งที่ 7 การเชือ่ มตอ แบบยึดแนน การเช่ือมตอ แบบน้หี มายถึง การเชือ่ มตอซ่งึ ทํา
ใหไ มส ามารถที่จะขยับชิ้นสว นสฟี าขน้ึ หรือลง หรือหมุนชิ้นสว นสฟี า ไดเลย การท่ไี มส ามารถ
ขยบั ไปทศิ ทางใดๆ ได หมายความวา ตอ งมแี รงตา นทานการเคล่อื นท่ที งั้ แนวดง่ิ แนวระดับ และ
โมเมนตซ ึ่งตา นทานการหมุนรวมอยูดว ย

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-5

ตวั อยา งที่ 8 แรงเนือ่ งจากนาํ้ หนกั นํ้าหนักของวัตถใุ ดๆ เปนแรงกระจายตลอดทง้ั เนอ้ื
ของวัตถนุ นั้ อยา งไรก็ตามเพื่อใหการคาํ นวณงา ยขน้ึ สามารถแทนแรงกระจายตลอดเนอ้ื วตั ถุ
เปน แรงลัพธ W ซ่ึงมคี า เทา กบั ผลคูณของมวล m กบั ความเรงเนื่องจากแรงโนมถวงของโลก g
ได โดยตาํ แหนง ของแรงลพั ธ W จะกระทําผานจดุ ศนู ยถวงของวตั ถนุ น้ั ๆ

ตัวอยางที่ 9 แรงจากสปริง แรงดงึ หรือแรงกดจากสปรงิ สามารถแทนไดด วยแรงดงึ
หรอื แรงกด ดังแสดงในรูปที่ 2

การเขยี น Free-body diagram

การเขียน Free-body diagram มขี ้ันตอนดังตอ ไปน้ี
1. เลือกวตั ถทุ ต่ี อ งการจะเขยี น Free-body diagram
2. เขยี นขอบเขตของวตั ถุนัน้
3. ใสแรงและโมเมนตท ่ีกระทาํ กบั วตั ถนุ น้ั
4. เขียนแกนพกิ ดั

ตัวอยางการเขียน Free-body diagram
พิจารณาการเขียน Free-body diagram ของโครงถกั Plane truss ซึง่ รับแรง P ดงั แสดงในรูปท่ี
3(ก) สมมตุ ิใหนา้ํ หนกั ของโครงถักมคี านอ ยมากเมื่อเทียบกับแรง P จงึ ไมคดิ นาํ้ หนักของโครงถัก

(ก) (ข)

(ค)
รปู ที่ 3 การเขยี น Free-body diagram ของโครงถกั [1]

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-6

ขน้ั ที่ 1 เลือกโครงถกั ทง้ั หมด Free-body diagram (ไมคดิ ชิ้นสวนรองรับแบบหมุดท่ี A และแบบ
ลูกกลงิ้ ที่ B)
ขัน้ ที่ 2 เขยี นขอบเขตของวตั ถุ ดงั แสดงในรูปท่ี 3(ข)
ข้ันที่ 3 เขียนแรงและโมเมนตท ัง้ หมดที่กระทาํ ดงั แสดงในรูปที่ 3(ค) แรงทง้ั หมดที่กระทําตอ
โครงถกั มีดังน้ี

1. แรงภายนอกทีก่ ระทาํ กับขอบเขตในรูปที่ 3(ข) มอี ยูแรงเดียว คือ แรง P
2. แรงเน่ืองจากการเชื่อมตอ ทจ่ี ุด A; เน่ืองจากจดุ นเี้ ปนการเชอื่ มตอแบบหมดุ จงึ มแี รง

กระทาํ สองแรงในแนวดิ่ง Ay และในแนวระดับ Ax เนอ่ื งจากยังไมทราบทศิ ทางของ
แรงท้งั สอง จึงสมมุตใิ หแรงมิทศิ ทางดังแสดงในรูป (อาจจะสมมตุ เิ ปน แบบอ่ืนกไ็ ด)
3. แรงเนือ่ งจากการเช่ือมตอทจ่ี ุด B; เน่ืองจากจุดนเ้ี ปนการเชื่อมตอ แบบลูกกลิ้งซ่งึ รับ
แรงกดเพยี งอยา งเดยี ว ดังนนั้ แรงที่แระทําจงึ ตอ งเปนแรงกดกระทาํ กับโครงถัก
4. แรงเนือ่ งจากนํา้ หนกั ; เนอ่ื งจากนํ้าหนักของโครงถักมีคา นอยกวา แรงภายนอกมาก
ในตวั อยา งนี้จึงไมค ิดแรงเน่ืองจากน้ําหนัก
ขัน้ ท่ี 4 เขียนแกนพิกัด ในตวั อยางนใี้ ชแกนพกิ ดั ฉากดงั แสดงในรปู ที่ 3(ค)

ตัวอยางอน่ื ๆ ในการเขียน Free-body diagram แสดงดังรูปที่ 4
ตวั อยา งท่ี 2 คานซ่ึงมปี ลายขา งหน่งึ ยึดแนน เนือ่ งจากคานในรูปไมสามารถเคลอ่ื นที่ขึน้

ลง หรอื ไปซา ยขวาได และไมสามารถหมนุ ได ดังนน้ั ท่ปี ลายขา งทยี่ ดึ แนนจะตอ งมแี รงกระทํา 3
แรง คือ แรงในแนวระดบั F แรงในแนวดิง่ V และโมเมนต M

เนื่องจากคานนีเ้ ปนคานสมาํ่ เสมอ และมมี วล m จงึ เขยี นแรงเนอ่ื งจากน้ําหนกั ของคาน
W = mg ไวทก่ี ง่ึ กลางคานซงึ่ เปนจุดศูนยถวง แรงภายนอกอนื่ ๆ เขยี นเชน เดยี วกบั ท่ีกําหนดให

ตวั อยา งท่ี 3 คานซึง่ มปี ลายยดึ ดวยหมุด การยึดดวยหมดุ ทําใหคานไมส ามารถเคลอื่ นที่
ข้นึ หรือลงได แตย งั สามารถหมนุ ไดอยู ดังนั้นทีจ่ ดุ ยดึ ดวยหมดุ จะมีแรงกระทํา 2 แรง คือแรงใน
แนวระดบั Bx และแรงในแนวดิ่ง By สว นท่จี ดุ A คานวางพาดไวก บั มมุ จึงมแี รงเนือ่ งจากมมุ ดัน
คานดวย โดยแรงน้จี ะกระทาํ ในทศิ ทางต้งั ฉากกบั คาน และเปนแรงกด เน่อื งจากผิวคานเปน ผิว
เรยี บไมมีแรงเสียดทาน ที่จดุ A จงึ ไมมีแรงในแนวผิวของคาน

เชน กับตวั อยา งที่ 2 คานนีเ้ ปน คานสม่าํ เสมอ แรงเนือ่ งจากนํา้ หนกั ของคานจงึ เขยี น
แสดงไวท กี่ ึง่ กลางคาน แรงและโมเมนตภ ายนอกอื่นๆ แสดงดังทกี่ าํ หนดให

ตัวอยา งที่ 4 ระบบกลไกซ่ึงมนี ํ้าหนักถว ง m ตัวอยางนพี้ ิจารณาระบบทง้ั หมด การ
เชือ่ มตอ ท่ี A เปน แบบลกู กลงิ้ จึงมีแรงในแนวดงิ่ เพยี งแนวเดียว สว นท่ีจุด B เปน หมุด จงึ มีแรง
ทั้งในแนวด่งิ และในแนวระดบั

สําหรบั นํา้ หนักของโครงสรา งกลไกถอื วามีน้าํ หนักเบา จึงไมเขยี นแรงในแผนภาพ
อยา งไรก็ตาม กลไกนี้มนี ํา้ หนกั ถวง m จึงตองเขียนแรงเน่ืองจากน้ําหนักถวง m ดวย โดยแรงนี้
กระทาํ ที่จุดศนู ยถ วงของมวล m (ถา ตดั การพจิ ารณาเพียงแคทเ่ี คเบลิ แทน จะมีแรงตึงเคเบิล

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-7

เกิดข้นึ แทน โดยขนาดของแรงตงึ จะมีคาเทากบั แรงเนื่องจากนาํ้ หนกั ของมวล m) สวนแรง
ภายนอกอ่ืน แสดงดังทกี่ ําหนดให

รปู ที่ 4 ตัวอยา งการเขียน Free-body diagram [1]

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-8

3/3 สภาพสมดุล

สภาพสมดลุ เปนสภาพทว่ี ตั ถหุ ยุดนง่ิ หรอื เคล่ือนท่ใี นทิศทางตรง (ไมม ีการเปลย่ี นทิศ

ทางการเคลือ่ นที่) ดว ยความเร็วคงท่ี ตามกฎขอท่สี องของนิวตนั พบวา วตั ถุจะอยใู นสภาพ

สมดลุ ไดเม่อื Resultant ของทุกๆ แรงและโมเมนตทีก่ ระทาํ กบั วตั ถุมคี า เปน 0 คาํ กลา วน้ี

สามารถเขียนแทนไดดว ยสมการ (2) ดังนี้

∑ Fx = 0 , ∑ Fy = 0 , และ ∑ M O = 0 (2)

สําหรบั สมการโมเมนตใ นสมการ (2) เปน โมเมนตรอบจดุ O ใดๆ จดุ นีอ้ าจจะอยูในวตั ถุ

หรืออยนู อกวัตถุก็ได

สภาพสมดลุ อาจเกิดแคบางทศิ ทางกไ็ ด เชน วัตถเุ คลอื่ นทีแ่ บบเสน ตรงดวยความเรง ใน

แนวระดบั กรณีนี้ สภาพสมดุลไมเ กิดในแนวระดบั แตสภาพสมดุลมใี นแนวดิง่ ดงั น้ันสามารถใช

สมการสมดุลในแนวด่งิ กบั กรณนี ีไ้ ด

จากสมการ (2) พบวาสมการทจ่ี ะใชว เิ คราะหส ภาพสมดลุ ในสองมิติ มเี พยี ง 3 สมการ

ดังนัน้ ปญ หาท่ีตองการวเิ คราะหตองมตี วั ไมทราบคา ไดม ากทสี่ ดุ เพยี ง 3 ตวั มเิ ชน นน้ั จะไม

สามารถแกสมการหาคาตัวไมท ราบคา ได ดวยวิธกี ารทางสถิตยศาสตร

ประเภทของสมดุลในสองมติ ิ

สมดลุ ในสองมติ สิ ามารถแบง ไดเปน ประเภทตา งๆ ดังแสดงในรปู ท่ี 5
1. แรงอยใู นแนวเสนตรงเดยี วกัน (Collinear) ในกรณนี ี้ แรงท้ังหมดจะอยูใ นแนวเสน ตรง

เดยี วกนั ดังน้ันสมการท่ีใช จะเปน เพียงสมการสมดลุ ในแนวแกนเดยี วเทา น้นั
2. แรงทัง้ หมดผานจุดๆ เดียวกนั (Concurrent at a point) ในกรณนี แ้ี รงมีทศิ ทางตางกนั

แตแรงทกุ แรงผานจุดเดยี วกันหมด สมการที่ใชจ ะเปน สมการสมดลุ ในแนวแกน x และ
แกน y ในกรณนี ีจ้ ะทาํ ใหส มการโมเมนตเ ปน จริงอยูแ ลว เน่อื งจากโมเมนตรอบจดุ ท่ี
แรงทุกๆ แรงผา นจะมีคาเทา กบั ศูนย
3. แรงขนานกัน (Parallel) ในกรณนี ีแ้ รงทง้ั หมดขนานกัน (ทศิ ทางเดียวกัน หรือตรงขา ม
กัน) แตไมอ ยใู นแนวเดียวกนั สมการท่จี าํ เปนตองใชในกรณีนคี้ อื สมการสมดลุ ใน
ทศิ ทางของแรง และสมการโมเมนต
4. กรณใี ดๆ (General) กรณีน้ีแรง ตางๆ ไมขนานกนั และไมผ านจุดเดียวกนั และอาจมี
คับเปล ดวย ในกรณีน้จี าํ เปน ตองใชสมการสมดลุ ทงั้ หมดทีแ่ สดงในสมการ (2) ในการ
วเิ คราะห

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-9

รูปที่ 5 ประเภทของสมดลุ ใน 2 มิติ [1]

สภาพสมดุลดวยแรงสองแรง (Two-force member)
เมอ่ื มีแรงเพียงสองแรงกระทาํ บนวตั ถุ แลว วตั ถุนน้ั อยใู นสภาพสมดลุ แรงท้ังสองนัน้ ตอ ง

มีขนาดเทา กัน อยูใ นแนวเสนตรงเดยี วกัน และมีทศิ ตรงกนั ขามกนั ถา แรงทงั้ สองไมอ ยใู นแนว
เสน ตรงเดยี วกนั แลว แรงท้งั สองจะทําใหวตั ถเุ กิดการหมุน จนกระท่งั แนวของแรงอยูในแนว
เสน ตรงเดียวกนั จงึ จะสมดุล

By P
Bx

Ax

Ay -P
(ก) (ข) (ค)

รปู ที่ 6 สภาพสมดุลดวยแรงสองแรง [1]

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-10

รปู ที่ 6(ก) แสดงโครงสรา งซงึ่ รับแรง F เมอื่ พจิ ารณาชน้ิ สวน AB ถาไมพจิ ารณาถงึ
นํ้าหนัก (ถา แรงเนอ่ื งจากนํ้าหนักมีคานอ ยกวาแรงภายนอกท่ีกระทาํ มากจะละทงิ้ ได) จะพบวา
จุดทแ่ี รงกระทํามเี พียง 2 จุดคือ จดุ A และจุด B และเนอ่ื งจากทีจ่ ุด A และจดุ B ยดึ ดว ยหมดุ
จากทีก่ ลาวมาในหวั ขอ 3.2 จะพบวา ตอ งมีแรงกระทาํ ทงั้ ในแนวด่ิง และแนวระดับทจ่ี ดุ A และจุด
B ดงั แสดงในรูปท่ี 6(ข) เน่อื งจากแรง Ax = -Bx และแรง Ay = -By ดงั นน้ั จากรูปท่ี 6(ข) จะ
พบวา มีตวั ไมท ราบคา 2 ตวั

อยา งไรก็ตาม เน่ืองจากแรงท่จี ดุ A และจุด B สามารถรวมเปนแรงๆ เดียวได ดังน้ันแรง
ท่กี ระทํากบั ชน้ิ สว น AB จึงสามารถลดลงไดเ ปน รูปที่ 6(ค) เนื่องจากมแี รง 2 แรงกระทาํ กบั
ช้นิ สว น AB ท่จี ุด A และ B ตามลําดบั ดังน้นั จะไดว า แรงทง้ั 2 จะตอ งมขี นาดเทากนั อยูใ นแนว
เสนตรงเดียวกัน (แนวเสนตรง AB) และมที ิศทางตรงกนั ขามกัน จากรูปที่ 6(ค) จะพบวา มตี วั ไม
ทราบคาเพียงแคต วั เดียวเทา น้นั

ในตวั อยา งน้ชี ิ้นสวน AB ถูกพิจารณาเปน 2-Force member ได เน่ืองจากไมคิดแรง
เนือ่ งจากน้าํ หนกั ของตวั มัน แตถ า คิดแรงเน่อื งจากน้ําหนกั ดวยแลว แรงทัง้ หมดท่ีกระทาํ กบั
ชน้ิ สว น AB จะมีทง้ั หมด 3 แรง ทําให แรงทีก่ ระทาํ ที่จดุ A และ B ไมอ ยใู นแนวเสน ตรงเดียวกนั

สภาพสมดุลดว ยแรงสามแรง (Three-force member)

เมอ่ื วตั ถอุ ยใู นสภาพสมดลุ ดว ยแรง 3 แรง โดยทแ่ี รงทัง้ สามไมข นานกันแลว จะไดว า
แนวแรงของแรงทง้ั สามนั้นตองตดั กันท่ีจดุ เพยี งจดุ เดยี วเทานน้ั ดังแสดงในรูปท่ี 7(a) สาเหตุท่ี
แนวแรงทั้งสามตอ งตอ งตัดกันท่ีจุดๆ เดยี ว เพ่อื ใหส ภาพสมดุลของโมเมนตเ ปน จรงิ ได จากรูป
จะพบวา ผลรวมของโมเมนตรอบจุด O ซึ่งเปน จดุ ที่แนวแรงตดั กัน จะมีคาเทา กบั ศนู ย

ถาแรงไมตัดกันที่จดุ ๆ เดยี ว เม่อื หาผลรวมโมเมนตร อบจดุ ตดั ของแรงคูห นึง่ จะพบวา
จะตองมโี มเมนตล พั ธจ ากแรงท่แี นวแรงไมไ ดผ านจดุ ตดั นั้นเหลืออยเู สมอ ทําใหไ มสามารถอยใู น
สภาวะสมดุลได

เง่อื นไขท่แี นวแรงทั้งสามตอ งผา นจดุ ๆ เดยี วกันน้นั มขี อยกเวน ในกรณที ่แี รงท้ังสาม
ขนานกัน ซ่ึงจะเกิดสภาพสมดลุ ของโมเมนตไ ดเชน กนั

รูปท่ี 7 สภาพสมดุลดวยแรง 3 แรง [1]

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-11

เมื่อสมดลุ โมเมนตเ ปนจรงิ เน่ืองจากแนวแรงทุกแรงผานจุดเดยี วกันแลว สภาพสมดุลจะ
สมบรู ณกต็ อ เม่ือ ผลรวมแรงลัพธของแรงทง้ั สามตอ งมีคา เทา กับศนู ยด ว ย จากความรเู รอ่ื ง
เวคเตอรจะพบวา เมือ่ ผลรวมเวคเตอรแ รงทั้งสามเปน ศนู ย เวคเตอรแรงทง้ั สามจะตอกนั แบบ
หวั ตอ หาง เปน รปู สามเหลย่ี มปดได ดังแสดงในรปู ที่ 7(b)

การเลือกใชส มการสมดุล

ในการแกป ญ หาสมดุล โดยปกติจะใชสมการ (2) ในการแกปญหา โดยมกั จะเรมิ่ จากการ

ใชสมการโมเมนต และตามดวยสมการสมดุลแรงในแนว x และ y การแกปญ หานมี้ ีตวั ไมท ราบ

คา 3 ตัว จึงจาํ เปนตอ งใชส มการ 3 สมการในการหาคาํ ตอบ อยางไรกต็ ามการแกป ญ หาที่มตี วั

ไมทราบคา 3 ตัวน้ี อาจใชส มการสมดุลชุดอนื่ ๆ 3 สมการในการแกปญ หากไ็ ด ดงั แสดงชุดของ

สมการในสมการ (3) และ (4)

∑ M A = 0 , ∑ M B = 0 , และ ∑ F x = 0 (3)
∑ M A = 0 , ∑ M B = 0 , และ ∑ M C = 0 (4)

Constraints
Constraints หมายถึง การจาํ กัดการเคล่ือนท่ี เชน รปู ท่ี 8(ก) การรองรับแบบลูกกล้ิง

สามารถรองรับแรงในแนวดงิ่ และจาํ กดั การเคลอ่ื นทใ่ี นแนวด่ิงได แตไ มสามารถจาํ กัดการ
เคล่ือนทใี่ นแนวระดบั ได ตวั อยางนจี้ งึ บอกไดว า ลกู กลง้ิ มี constraint ในทศิ แนวดง่ิ สาํ หรบั รูปที่
8(ข) การยึดแบบหมดุ จาํ กดั การเคล่ือนทที่ ัง้ ในแนวด่ิง และแนวระดบั จึงกลา วไดวา การยดึ แบบ
หมุดมี constraint ทั้งในแนวดิ่งและในแนวระดับ แตอ ยางไรก็ตามการยึดแบบน้ีไมสามารถ
รองรบั โมเมนตท ่ีใสเ ขาได เหน็ ไดจากชนิ้ สวนสฟี า สามารถหมนุ ไดเมื่อมีโมเมนตมากระทาํ สว น
รูปที่ 8(ค) แสดงถึงการยดึ แนน หรอื การเชื่อมติด การยึดแบบนี้ช้นิ สว นสฟี า ไมส ามารถเคลอ่ื นท่ี
ในแนวด่งิ แนวระดับ หรอื หมุนไดเ ลย ดงั น้ันจึงกลาวไดวา การยดึ แบบนม้ี ี constraint ท้งั ใน
แนวดงิ่ แนวระดับ และการหมุน

(ก) (ข)

(ค)
รปู ท่ี 8 Constraints แบบตา งๆ [1]

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-12

Statical Determinacy

เน่ืองจากสมการที่แสดงถึงสภาพสมดลุ ในสองมิติ มอี ยู 3 สมการ ดงั น้ันตวั ไมทราบคา
ของปญหานัน้ ๆ จงึ มไี ดม ากทสี่ ดุ เพียง 3 ตวั เทาน้นั พจิ ารณารปู ท่ี 9 ซ่งึ แสดงถึงปญ หาท่แี กไ ด
โดยวธิ กี ารทางสถติ ศาสตร และปญ หาท่แี กไ มไ ดโดยวธิ กี ารทางสถิตยศาสตร

PP

FAx A B FAx A B FBx

FAy FBy FAy FBy

(ก) (ข)

รปู ที่ 9 ปญ หาทแ่ี กไ ด และไมไดโดยวธิ ีทางสถติ ยศาสตร

พจิ ารณาแรงทีร่ องรับโครงสรางที่จุด A และ B ในกรณขี องรปู ที่ 9(ก) ท่ีจุด A เปนการ
ยดึ แบบหมุด จงึ มีแรงกระทํา 2 ทิศทางในแนวด่งิ และแนวระดับ สวนที่จดุ B เปน การรองรับ
แบบลกู กลงิ้ จงึ มีแรงกระทาํ ในแนวดง่ิ เพยี งอยา งเดียว จะพบวาปญหาในรปู ท่ี 9(ก) มีตัวไม
ทราบคาท่ีจดุ รองรบั 3 ตัว จึงสามารถแกป ญหาดวยวธิ กี ารทางสถิตยศาสตร โดยใชส มการ
สมดลุ ท้งั 3 สมการได ปญหาแบบนจ้ี ึงเรยี กไดว าเปน ปญหาทแ่ี กไ ดโ ดยวิธีทางสถติ ยศาสตร
(Statically determinate)

สวนในรปู ที่ 9(ข) จดุ รองรับที่จดุ B เปน แบบหมดุ ยดึ เชน เดยี วกบั ท่จี ุด A ทาํ ใหมแี รง
กระทาํ ท่จี ุด B เพ่มิ จากรูปท่ี 9(ก) เปน 2 แรง และมแี รงซ่งึ ไมทราบคา ทัง้ หมด 4 แรง อยางไรก็
ตามสมการแสดงสภาพสมดุลมอี ยูเพียง 3 สมการ ดังน้นั จงึ ไมสามารถแกปญหานไี้ ดตามวิธกี าร
สถติ ยศาสตร ปญ หาทมี่ ีลกั ษณะเชนน้เี รียกวา ปญหาทีแ่ กไ มไดโ ดยวิธีทางสถติ ยศาสตร
(Statically indeterminate) การแกป ญหาลกั ษณะนีจ้ าํ เปนท่ีจะตอ งมขี อ มูล เชน คุณสมบตั ขิ อง
วัสดุ เพ่ือใชสรางสมการเพมิ่ เตมิ

Adequacy of Constraints

การยดึ วตั ถใุ หอ ยูในสภาพสมดุลนั้น จาํ เปน ทตี่ อ งจํากดั ไมใหว ตั ถเุ คลอื่ นท่ีไดใ นแนว
ระดบั แนวดงิ่ และไมใ หว ตั ถุเกิดการหมุน หรือกลาวอีกอยางหนึ่งวา วตั ถนุ นั้ ตอ งมี Constraint
ในแนวระดับ แนวดง่ิ และการหมุน พิจารณารูปที่ 10 ซ่ึงแสดงรปู แบบการยดึ ตา งๆ กัน

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-13

รูปท่ี 10 การยึดวัตถใุ นรปู แบบตางๆ [1]

การยึดวตั ถใุ นรูปท่ี 10 จะใชก ารยึดโดยขอ ตอ โดยขอ ตอ แตล ะอนั จะสามารถรับแรงใน
แนวแกนของมนั เทาน้ัน ในรูปที่ 10(a) ขอตอในแนวระดบั ท่จี ุด A ทาํ หนา ทร่ี บั แรง และยึดไมใ ห
เกิดการเคล่ือนท่ีในแนวระดบั ขอตอ 2 ขอท่ีวางตวั ในแนวดง่ิ ทาํ หนา ทีร่ บั แรง และยดึ ไมใหเ กดิ
การเคลอ่ื นทีใ่ นแนวดงิ่ นอกจากน้ี ขอตอ ทง้ั สองขอ นีย้ งั ทําหนาทีร่ ับโมเมนต และตานทานการ
หมุนท่ีจะเกิดขน้ึ ดวย จะเห็นวา ขอตอ ทง้ั 3 ขอ สามารถยดึ ใหว ตั ถอุ ยูในสภาพสมดลุ ไดโดย
สมบรู ณ โดยขอ ตอ ทง้ั 3 ขอ มีความจาํ เปนในการยึดโดยจะขาดขอตอ ใด ขอ ตอหน่งึ ไมไ ด กรณี
น้ีจะเรยี กวา การยึดโดยสมบรู ณม ตี วั จบั ยดึ เพียงพอ (Adequate constraints)

รูปท่ี 10(b) แสดงการจบั ยดึ โดยมีขอ ตอ 3 ตวั เชนเดยี วกับท่แี สดงในรปู 10(a) ตางกัน
ตรงทท่ี ศิ ทางการวางตวั ของขอตอทง้ั สามผา นจดุ เดียวกัน ทจี่ ดุ A เน่อื งจากขอ ตอทั้งสามวางตัว
อยใู นแนวระดบั และอยใู นแนวด่งิ ขอ ตอ ทง้ั สามจงึ สามารถรับแรง และยึดไมใ หม กี ารเคลื่อนทใ่ี น
แนวระดับ และแนวดง่ิ ได อยางไรก็ตามเนือ่ งจากการวางตวั ของขอ ตอท้งั สามผา นจดุ เดียวกัน
ดงั นนั้ ขอตอท้ังสาม จึงไมสามารถรับโมเมนตซง่ึ ทาํ ใหว ตั ถหุ มนุ รอบจุด A ได ในกรณีนีจ้ ะ
เรยี กวา การยดึ บางสวนโดยมตี วั จบั ยึดไมเ พยี งพอ (Partial constraints)

รปู ที่ 10(c) แสดงการยึดโดยใชข อ ตอ 3 ตัวเชน เดียวกัน แตข อตอท้ัง 3 ตวั อยูใ นแนว
ระดับ ขอตอทงั้ 3 นจ้ี ะรบั แรง และยดึ ไมใหมีการเคล่ือนท่ใี นแนวระดบั และยดึ ไมใ หวัตถหุ มุน
จากโมเมนตท จี่ ะใสเขา มาได อยา งไรก็ตาม เนอื่ งจากระบบนี้ไมม ีขอตอซ่งึ รบั แรงในแนวดง่ิ
ดงั นั้นการยึดในรูปนี้จงึ เปน การยึดเพยี งบางสวนโดยมีตัวจบั ยดึ ไมเพยี งพอ (Partial
constraints)

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-14

รูปท่ี 10(d) แสดงการจับยดึ โดยใชขอตอ 4 ตัว 3 ตัวแรกวางตวั เชน เดยี วกับการจบั ยึด
ในรปู ที่ 10(a) ดงั น้นั จะเห็นวาเพียงแคต วั จับยึด 3 ตวั ก็ทําใหยึดไดอ ยางสมบูรณแลว การมขี อ
ตอ เพม่ิ มาอีก 1 ตวั จึงเปนการยึดซงึ่ มขี อ ตอ ทมี่ ากเกนิ ไป (Redundant constraint)

ข้นั ตอนในการแกป ญ หาสภาพสมดลุ ในสองมิติ

1. ตรวจสอบวา ปริมาณ หรือแรงใดทราบคา หรอื ไมท ราบคาบา ง
2. เลือกวตั ถทุ ี่จะพิจารณา และเขียน Free-body diagram แยกออกมา ไมเขยี นแรงในรปู

โจทย เพราะจะทําใหสบั สนไดงา ย
3. ต้ังแกนพิกดั ใหเหมาะสม และเลอื กทิศทางซงึ่ โมเมนตม ีคาบวก (อาจเลือกตามกฎมือ

ขวาก็ได)

4. เลอื กใชส มการสมดลุ ของโมเมนต ∑ M O = 0 โดยเลอื กจุดหมุนเปน จดุ ทมี่ ีแรงผาน

มากทีส่ ุด

5. เลอื กใชส มการสมดลุ ของแรงในแนว x และ y ∑ Fx = 0 , ∑ Fy = 0 (อาจเลือกใช

สมการชุดอ่นื ๆ เชน ใชส มการโมเมนตร อบจุดอืน่ อกี 1 หรอื 2 จุด เปนตน)
6. แกสมการที่ไดจ ากขั้นตอน 4-5 จะไดคาํ ตอบตามตองการ

เอกสารอา งอิง

[1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI
Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-15

3/1 The 100-kg wheel rests on a rough
surface and bears against the roller A when
the couple M is applied, If M = 60 Nm and
the wheel does not slip, compute the reaction
on the roller A. [Engineering Mechanics Statics 5th

edition, Meriam & Kraige, prob.3/15]

วธิ ีทํา กําหนด W = mg = (100)(9.81) N

M = 60 Nm

เขียน Free-body diagram ของลอ 100 kg

NA [∑ MC = 0] CW+

M C 30º 60 − f (0.3) = 0
y f = 200 N
W
f [∑ Fx = 0]
O
x N f − N A cos 30° = 0
200 − N A cos 30° = 0
N A = 230.94 N Ans

โจทยขอนเี้ น่ืองจากตองการทราบแรง NA จึงอาจเลือกจุด O ซึ่งเปน จุดท่ีลอ
สัมผสั พน้ื เปน จุดหมุนในการคิดสมดลุ โมเมนตกไ็ ด

[∑ MO = 0] CW+

60 − N A cos 30°(0.3) = 0 Ans
N A = 230.94 N

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-16

3/2 The pin A, which connects the 200-kg steel beam with center of gravity at
G to the vertical column, is welded both the beam and to the column. To test the
weld, the 80-kg man loads the beam by exerting a 300-N force on the rope
which passes through a hole in the beam as shown. Calculate the torque
(couple) M supported by the pin. [Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige,

prob.3/49]

วธิ ที ํา กาํ หนดนาํ้ หนักคาน Mg = (200)(9.81) N

นาํ้ หนักคน mg = (80)(9.81) N

แรงดึงเชือก = แรงตึงเชือก 300 N

ขอนี้ ทาํ ได 2 วิธี ขึ้นกับวาจะเขียน Free-body diagram อยางไร
วิธีแรก ทําไดโดยเขียน FBD แยกระหวางคน คาน และรอก

mg คิดท่ีคน

[∑ Fy = 0]

N − mg − T = 0

y N = 80(9.81) + 300 = 1084.8 N

x TN คิดที่คาน
M N
Ax [∑ M A = 0] CCW+

Ay M − Mg(1.2) − N (1.8) − T (2.1) = 0

Mg T M = 200(9.81)(1.2) +1084.8(1.8)
T T + 300(2.1)

M = 4937.04 N Ans
≈ 4.94 kN

T′

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-17

วธิ ที ส่ี อง ทําไดโดยเขยี น FBD โดยรวมคน และคานไวด วยกนั จะทาํ ใหแ รงปฏกิ ิรยิ า
N ระหวางคน และคานกลายเปนแรงภายในไมตองนํามาคิด (จากรูปจะเหน็ วา เมอ่ื
รวมท้ัง 2 รูปเขาดวยกนั แรง N จะหกั ลา งกันหมดไป) ดังน้นั แรงไมท ราบคาจงึ มี
เพียงแค 3 แรงเทาน้ัน คือ Ax, Ay และ M

mg

y y mg

x TN x T
M N M
Mg T
Ax Mg T Ax T
Ay Ay

คิดที่คน และคาน Ans

[∑ M A = 0] CCW+

M − Mg(1.2) − T (1.8) − mg(1.8) − T (2.1) = 0

M = 200(9.81)(1.2) + 300(1.8) + 80(9.81)(1.8) + 300(2.1)

M = 4937.04 N
≈ 4.94 kN

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-18

แบบฝกหดั หวั ขอ 3/3

1. The man pushes the lawn mower at a steady speed with a force P that is parallel to
the incline. The mass of the mower with attached grass bag is 50 kg with mass

center at G. If θ = 15°, determine the normal forces NB and NC under each pair of
wheels B and C. Neglect friction. Compare with the normal forces for the conditions
of θ = 0 and P = 0. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans NB = 214 N, NC = 260 N
With θ = P = 0: NB = 350 N, NC = 140.1 N)
2. The exercise machine is designed with a lightweight cart which is mounted on small
rollers so that it is free to move along the inclined ramp. Two cables are attached to
the cart-one for each hand. If the hands are together so that the cables are parallel
and if each cable lies essentially in a vertical plane, determine the force P which
each hand must exert on its cable in order to maintain an equilibrium position. The

mass of the person is 70 kg, the ramp angle θ is 15°, and the angle β is 18°.
In addition, calculate the force R which the ramp exerts on the cart. [Engineering

Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans P = 45.5 N, R = 691 N)

รปู ประกอบแบบฝกหดั ขอ 1 รูปประกอบแบบฝก หดั ขอ 2

3. The indicated location of the center of mass of the 1600-kg pickup truck is for the

unladen condition. If a load whose center of mass is x = 400 mm behind the rear
axle is added to the truck, determine the mass mL of the load for which the normal
forces under the front and rear wheels are equal. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition,

Meriam & Kraige]

(Ans mL = 244 kg)

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-19

รูปประกอบแบบฝก หัดขอ 3 รูปประกอบแบบฝก หัดขอ 4

4. The small crane is mounted on one side of the bed of a pickup truck. For the
position θ = 40º, determine the magnitude of the force supported by the pin at O
and the oil pressure p against the 50-mm-diameter piston of the hydraulic cylinder
BC. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]
(Ans FO = 4.14 kN, p = 2.58 MPa)

5. Pulley A delivers a steady torque (moment) of 100 Nm to a pump through its shaft
at C. The tension in the lower side of the belt is 600 N. The driving motor B has a
mass of 100 kg and rotates clockwise. As a design consideration, determine the
magnitude R of the force on the supporting pin at O. [Engineering Mechanics STATICS 5th

edition, Meriam & Kraige]

(Ans R = 1.167 kN)
6. The uniform 400-kg drum is mounted on a line of rollers at A and a line of rollers at

B. An 80-kg man moves slowly a distance of 700 mm from the vertical centerline
before the drum begins to rotate. All rollers are perfectly free to rotate, except one
of them at B which must overcome appreciable friction in its bearing. Calculate the
friction force F exerted by that one roller tangent to the drum and find the magnitude
R of the force exerted by all rollers at A on the drum for this condition. [Engineering

Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans F = 305 N, R = 3770 N)

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-20

รูปประกอบแบบฝก หดั ขอ 5 รปู ประกอบแบบฝกหดั ขอ 6

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-21

สถติ ยศาสตร (Statics)

บทที่ 3 สภาพสมดุล (ตอนที่ 2)

Section B สภาพสมดลุ ในสามมติ ิ

3/4 สภาพสมดุล

ในหวั ขอน้ีจะขยายความสภาพสมดุลใหครอบคลุมถึงปญ หาในสามมิติ โดยหลกั การแลว

สภาพสมดุลในสามมติ ิ กบั ในสองมติ จิ ะเหมือนกัน และสมการสมดุลท่ีใชยังคงเหมือนเดมิ ดัง

แสดงในสมการที่ (1) Rv r v v
F M M
= ∑ = 0 และ = ∑ = 0 (1)

ในสามมติ ิแรงและโมเมนตจ ะตองคาํ นงึ ถงึ ทศิ ทางดานลกึ ท่เี พ่ิมเขา มาดวย ดงั นั้นสมการ

ท่ี (1) จะสามารถขยายใหค รอบคลุมปญหาในสามมิติไดดงั นี้
r
∑ F = 0 หรอื ∑ Fx = 0 , ∑ Fy = 0 , และ ∑ Fz = 0 (2)
∑ Mv = 0 หรือ ∑ M x = 0 , ∑ M y = 0 , และ ∑ M z = 0 (3)

การแกปญ หาสมดลุ ในสามมิติ อาจจะใชวิธกี ารแบบสเกลาร โดยใชสมการดงั แสดงใน

สมการท่ี (2) และ (3) หรอื จะใชวธิ กี ารแบบเวคเตอรก ไ็ ด สาํ หรับการเขยี น Free-body diagram

นนั้ กอ็ าจจะใชว ธิ เี ขียนรปู แบบสามมติ ิ (pictorial view drawing) หรอื การเขยี นภาพฉายทลี ะ

ระนาบ และพิจารณาเปนปญ หา 2 มติ กิ ไ็ ด (ดตู วั อยา งที่ 3/6 ในหนังสือ “Engineering

Mechanics Statics fifth edition SI version” ของ J. L. Meriam และ L. G. Kraige)

จากสมการที่ (2) และ (3) จะพบวา เน่ืองจากมสี มการสมดุลท้ังหมด 6 สมการ ดังนัน้ ตัว

ไมท ราบคา ในการคํานวณสภาพสมดุล 3 มติ ิ จงึ มีไดมากทีส่ ุด 6 ตวั จงึ จะสามารถหาคาโดยวธิ ี

ทางสถิตยศาสตรไ ด

แรงทเ่ี กดิ จากการยดึ แบบตา งๆ

แรงจากการจัดยึดแบบตางๆ ในสามมิติ แสดงดงั รูปที่ 1
ตวั อยา งท่ี 1 แสดงถึงวัตถแุ ตะกับพ้ืนเรยี บโดยไมม ีการยดึ แนน ใดๆ หรืออาจจะพิจารณา
เปนการรองรับแบบลกู กล้งิ กไ็ ด แรงทก่ี ระทําในกรณนี จ้ี ะมีเพยี งแรงทพ่ี น้ื ดันวตั ถุ ในแนวดงิ่ N
เพยี งแรงเดียว
ตัวอยา งท่ี 2 แสดงถงึ วตั ถแุ ตะกับพืน้ ขรขุ ระ ในตวั อยา งนีจ้ ะตางกับตัวอยางแรกตรงที่มี
แรงเสียดทาน F เพ่ิมเขา มาดว ย โดยทิศของแรงเสยี ดทานเกดิ ในทศิ ทตี่ านทานแนวโนม ที่จะ
เคลอ่ื นทีข่ องวตั ถุ

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-22

รูปที่ 1 แรงจากการจับยดึ ในสามมติ ิ [1]

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-23

ตวั อยางท่ี 3 แสดงถึงลอวงิ่ บนรางลื่น จะเห็นวา ลอ ไมสามารถเคลื่อนทีใ่ นทศิ ทาง y และ
z ได ดังนน้ั ในทศิ ทาง y และ z จึงตอ งมีแรงตานทานกระทํา สว นในทิศทาง x นนั้ ลอกลิ้งได
อยางอิสระ ดังนน้ั จงึ ไมมีแรงตา นทานมากระทําในทศิ ทางนี้

ตวั อยา งท่ี 4 การยดึ แบบ Ball-and-socket joint การยดึ แบบนี้วตั ถจุ ะหมุนไดอยางอสิ ระ
ทกุ ทิศทาง แตไ มสามารถเคลอื่ นทอ่ี อกจากเบา ซงึ่ รองรับลูกบอลได ดังนนั้ การรองรับแบบน้จี ึง
ตองมีแรงตา นทานการเคลอื่ นทีก่ ระทําในทิศทาง x, y และ z

ตวั อยางที่ 5 การรองรบั แบบยดึ แนน (การเช่ือมตดิ ) การยดึ แบบนวี้ ัตถจุ ะไมสามารถ
เคล่อื นท่ี และไมสามารถหมนุ ไดด ว ย ดังนนั้ จึงตอ งมแี รงตา นทาน และโมเมนตต านทานทั้ง
ทศิ ทาง x, y และ z

ตัวอยา งที่ 6 การยดึ ดว ยรองลื่นท่ีรบั แรงในแนวแกนไดด ว ย (Thrust-bearing support)
รองลนื่ เปน อปุ กรณทางกลชนดิ หน่ึง ใชรองรับการหมุนของเพลา และบังคบั ไมใหเพลาเคลอื่ นที่
ไดในทิศทางต้งั ฉากกับแกนเพลา ความตานทานการหมนุ ของเพลาท่ีรองรบั ดวยรองล่ืนจะมีคา
นอยมาก จนถอื วา ไมม คี วามตานทานการหมนุ ได รองลน่ื ท่ีรับแรงในแนวแกนไดหมายถงึ รอง
ลน่ื ซงึ่ มลี กั ษณะพเิ ศษชวยปองกันไมใ หเ พลาเคล่อื นทใี่ นแนวแกนไดดวย

เม่อื พิจารณาการทํางานของรองล่นื แลว จะพบวาแรงตานทานทกี่ ระทํากับรองลน่ื ท่รี บั
แรงในแนวแกนได จะมีทัง้ 3 ทิศทางในแกน x, y, และ z สาํ หรับโมเมนตท ตี่ านทานการเคลื่อนท่ี
นนั้ จะมใี นทศิ ทางของการหมนุ รอบแกนซึง่ ตง้ั ฉากกับแกนเพลา ทําใหเ พลาไมสามารถหมนุ รอบ
แกนซง่ึ ตั้งฉากกบั แกนเพลาได อยา งไรกต็ ามการท่รี องลน่ื ทาํ ขึน้ เพือ่ ไมใหม ีความตานทานการ
หมนุ ดงั นน้ั จึงไมม ีโมเมนตต านทาน ในทศิ ทางการหมุนของเพลา

ในตวั อยางท่ี 5 และ 6 จะพบวาแรงและโมเมนตทเี่ กิดทีต่ วั จบั ยึด ซ่งึ มกั เปนตวั ไมท ราบ
คาจะมีจาํ นวนมาก (6 และ 5 ตวั ตามลาํ ดบั ) ในการพิจารณาปญหาสมดุลสามมิตใิ นกรณีเชน นี้
หลายๆ ครั้ง อาจจะจาํ เปน ตองต้งั สมมุติฐานใหไมมีโมเมนตตา นทานจงึ จะแกปญหาโดยวธิ ที าง
สถิตยศาสตรไ ด การตัง้ สมมตุ ฐิ านเชนนสี้ ามารถเปนไปได หมายความวา โมเมนตที่เกิดจากแรง
ทุกๆ แรงในระบบ รอบจดุ จับยดึ จะหกั ลางกันหมดพอดี ทําใหไมมโี มเมนตเ กิดทต่ี วั จับยดึ

ประเภทของสมดลุ ในสามมิติ

สมดลุ ในสามมิติแบงเปน ประเภทตา งๆ ดังแสดงในรูปท่ี 2 ดังนี้
1. แรงทกุ แรงผานจดุ ๆ เดยี ว (Concurrent at a point) ในกรณนี ้ีสมการสมดลุ ของแรง 3
สมการ ในทศิ ทาง x, y และ z ก็เพยี งพอท่ีจะแสดงสภาพสมดลุ ได เน่อื งจากผลรวม
โมเมนตร อบจดุ ทีแ่ รงตดั กนั มีคาเทา กับศนู ยแนน อนอยูแลว
2. แรงทุกแรงผานแนวเสนตรงเดียวกนั (Concurrent with a line) กรณีนี้แสดงดังตวั อยาง
ท่ี 2 ในรูปที่ 2 จากรูปจะพบวา จาํ เปนตอ งใชส มการสมดุล 5 สมการในการแสดงสภาพ
สมดุล สมการสมดุลของโมเมนตรอบแกน x (ทับกบั แกนของเสนตรงท่ีแนวแรงทกุ แรง

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-24

ผาน) ไมจ าํ เปนตองใชเนอ่ื งจากเม่ือแรงผานแกนใด จะไมทาํ ใหเกดิ โมเมนตรอบแกนนั้น

อยูแลว ดงั นัน้ จากรูป เมื่อแรงทกุ แรงผานแกน x จึงไมเกิดโมเมนตรอบแกน x

3. แรงทกุ แรงขนานกัน (Parallel) กรณีนแี้ สดงดงั ตวั อยางที่ 3 ในรูปท่ี 2 เนอ่ื งจากแรงทุก

แรงขนานกัน จงึ ใชส มการสมดุลของแรงในทิศทางทีแ่ รงขนานกนั เพียงสมการเดียว ทจี่ ะ

แสดงสภาพสมดุลของแรง สว นสภาพสมดุลของโมเมนตน ้ัน ตองใช 2 สมการในการ

แสดง สําหรบั โมเมนตร อบแกนทมี่ ที ิศทางเดยี วกบั แรง ไมจ าํ เปน ตองใช เนอ่ื งจากไม
v rv v
เกดิ โมเมนตอ ยูแลว ( M = × F น่ันคอื ทิศทางของโมเมนต หรือทศิ ทางของแกน

จะตอ งตัง้ ฉากกับทิศทางของแรงเสมอ ดังนัน้ ถาแรงมที ศิ ทางเดียวกับแกน จะไมเ กิด

โมเมนตรอบแกนนน้ั )

4. กรณใี ดๆ (General) ในกรณีน้แี รงแตล ะแรงไมผานจดุ เดียวกนั ไมผานแนวเสน ตรง

เดยี วกนั และไมขนานกนั กรณนี จ้ี ําเปน ตอ งใชสมการสมดลุ ทง้ั หมดในการแสดงสภาพ

สมดุล ดงั แสดงในตวั อยา งท่ี 4 รูปที่ 2

รูปที่ 2 สมดุลประเภทตา งๆ ใน 3 มิติ [1]

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-25

รูปที่ 3 การยึดวตั ถใุ นรูปแบบตางๆ (3 มิต)ิ [1]

Constraints and Statical Determinacy
รูปที่ 3 แสดงการยึดวัตถใุ นรปู แบบตางๆ ใน 3 มติ ิ ขอ ตอ แตล ะอันจะสามารถรบั แรงใน

แนวแกนของมนั ไดเ ทา นั้น ในรปู ที่ 3(a) ขอ ตอทว่ี างตวั ในทศิ ทางตา งๆ กนั ทั้ง 3 ทศิ ทาง ทําให
ไมเกิดการเคลอ่ื นไหวในแนวแกน x, y และ z นอกจากน้ี ขอ ตอ คู 1-6, 3-4 และ 3-5 ท้ัง 3 คยู งั
ทาํ หนาท่ีรับโมเมนตท ี่อาจจะเกดิ ข้นึ ทัง้ 3 ทิศทาง ดงั นั้นการยึดในรูปท่ี 3(a) จึงเปน การยดึ โดย
สมบูรณและมตี ัวจบั ยดึ ทีพ่ อเพยี ง (Adequate constraints)

การยดึ วัตถใุ นรปู ท่ี 3(b) ใชจ าํ นวนขอตอท้งั หมด 6 อัน เชน เดยี วกบั รูปท่ี 3(a) อยา งไรก็
ตาม สังเกตไดว า แรงท่ีกระทาํ โดยขอ ตอ ทกุ อัน ผานแนวเสนตรง AE การที่แรงทุกแรงผาน
เสนตรง AE ทําใหก ารจบั ยดึ ในรปู นไี้ มสามารถรับโมเมนตภ ายนอกท่จี ะใสเขาเพ่ือทําใหเ กดิ
โมเมนตร อบแกน AE ได ดงั นั้นการยึดแบบน้จี งึ เปน การยดึ เพยี งบางสวนโดยมีตวั จับยดึ ไม
เพียงพอ (Partial constraints)

รูปที่ 3(c) แสดงการจับยดึ โดยใชขอตอ 6 อนั เชนกัน แตจ ะสงั เกตไดว าขอ ตอ ทกุ อัน
วางตวั ในแนวแกน x และ z ไมมีขอ ตอ อนั ไหนทวี่ างตัวในแนวแกน y เลย ทาํ ใหร ะบบนีไ้ ม
สามารถรับแรงในแนวแกน y ทีจ่ ะใสเ พมิ่ เขา ไปได การยดึ แบบน้จี ึงเปน การยึดเพยี งบางสวน
โดยมตี ัวจบั ยดึ ไมเ พียงพอเชนกนั

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-26

รปู ที่ 3(d) แสดงการจบั ยดึ คลายกับรปู ที่ 3(a) เพยี งแตร ปู ที่ 3(d) มขี อตอ 7 เพม่ิ เขา มา
โดยขอ ตออ่ืนๆ ยงั วางตวั เหมอื นเดิม เนื่องจากจบั ยดึ โดยขอ ตอ 6 อัน ดงั แสดงในรูปท่ี 3(a) เปน
การจบั ยึดทีพ่ อเพียงอยแู ลว การใสข อ ตอ ท่ี 7 เขาไปจึงเปน การจบั ยึดที่มากเกนิ ความจาํ เปน
หรือเรยี กวา การจบั ยดึ ซ่งึ มขี อตอ มากเกนิ ไป (Redundant constraints) และเน่ืองจากสมการ
สมดลุ ใน 3 มิติ มเี พียง 6 สมการ แตก ารจบั ยดึ โดยขอ ตอมากกวา 6 ขอ จะทาํ ใหม ีตัวไมท ราบคา
มากกวาจาํ นวนสมการ กรณนี ้จี ึงไมสามารถหาคาํ ตอบไดโ ดยวธิ ที างสถิตยศาสตร หรืออาจ
เรยี กวา Statically indeterminate

ขัน้ ตอนในการแกปญหาสภาพสมดลุ สองมิติ

1. ตรวจสอบวา ปรมิ าณใด หรือแรงใดทราบคา หรอื ไมทราบคา บาง

2. เลอื กวตั ถทุ จี่ ะพิจารณา เขียน FBD และแกนพิกดั

3. หาพิกดั จุดตา งๆ ท่แี รงกระทํา

4. เขยี นแรงแบบเวคเตอร โดย

แรง(เวคเตอร) = (ขนาดของแรง)(เวคเตอรหนึ่งหนวยแสดงทิศทางของแรง)

5. เลือกจดุ ที่มีแรงผานมากที่สดุ และใชส มการสมดุลของโมเมนตรอบจดุ น้นั โดย
v (rv v
คาํ นวณหาโมเมนตด ังนี้ ∑ M = ∑ × F ) = 0 จากสมการโมเมนตน้ี จะทําให

สามารถหาคา แรงไมท ราบคา ซึง่ ไมไ ดผานจดุ หมนุ ได

6. ใชส มการสมดลุ ของแรง เพอื่ หาแรงในทิศทางอนื่ ๆ

เอกสารอา งอิง

[1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI
Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-27

3/3 A rectangular sign over a
store has a mass of 100 kg, with
the center of mass in the center of
the rectangle. The support against
the wall at point C may be treated
as a ball-and-socket joint. At
corner D support is provided in
the y-direction only. Calculate the
tension T1 and T2 in the supporting
wires, the total force supported at
C, and the lateral force D
supported at D. [Engineering Mechanics

Statics 5th edition, Meriam & Kraige,
prob.3/90]

วธิ ที าํ เขยี น FBD ไดดังแสดงในรปู จากรปู จะเห็นไดว า มแี รงทไี่ มท ราบคาท้ังหมด
6 แรง ดังนนั้ สามารถใชส มการสมดุล 3 มติ หิ าคา ออกมาได

พิกัดจุดตา งๆ เปน ดังนี้ T1 T2
A(0,-1.5,2.5)
B(0,1.5,2.5) E F D
C(0,0,-1) Cx
D(0,0,0)
E(4,0,0) Cy
F(2.5,0,0) Cz

เขยี นแรงทไ่ี มไดขนานกนั แกน x,
y, และ z ใหอยูในรูปเวคเตอร

mg

v = T1nˆEA = T1 (−4iˆ −1.5 ˆj + 2.5kˆ) = T1 (−4iˆ −1.5 ˆj + 2.5kˆ)
T1 42 +1.52 + 2.52 4.9497

v = T2nˆFB = T2 (−2.5iˆ +1.5 ˆj + 2.5kˆ) = T2 (−2.5iˆ + 1.5 ˆj + 2.5kˆ)
T2 2.52 + 1.52 + 2.52 3.8406

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-28

เลอื กจุดที่แรงผานมากทีส่ ุดเปน จุดหมุนในการใชส มการสมดลุ ของโมเมนต ในท่ีน้คี อื
จุด C

[∑ v = 0] rv1 × v + rv2 × v + mg (2) ˆj + D(1)(−iˆ) = 0 (1)
MC T1 T2

โดย rv1 คือเวคเตอรท ่ชี จี้ ากจุดหมุน C ไปยงั แนวแรง T1 (จดุ E)
คอื เวคเตอรท ่ีชี้จากจุดหมุน C ไปยงั แนวแรง T2 (จุด F)
rv2

rv1 × v = (4iˆ + kˆ) × T1 (−4iˆ −1.5 ˆj + 2.5kˆ) = T1 (1.5iˆ −14 ˆj − 6kˆ)
T1 4.9497 4.9497

rv2 × v = (2.5iˆ + kˆ) × T2 (−2.5iˆ + 1.5 ˆj + 2.5kˆ) = T1 (−1.5iˆ − 8.75 ˆj + 3.75kˆ)
T2 3.8406 3.8406

แทนลงในสมการ (1)

T1 (1.5iˆ −14 ˆj − 6kˆ) + T2 (−1.5iˆ − 8.75 ˆj + 3.75kˆ)
4.9497 3.8406
(2)
+100(9.81)(2) ˆj − Diˆ = 0

สมการนี้จะเปน จริงไดเมอ่ื สวนประกอบเวคเตอรในทิศทาง I, j, k เปน 0 ทั้งหมด
จากสมการท่ี (2) เมื่อคิดทีละทิศทางจะไดระบบสมการดงั น้ี

T1 (1.5) + T2 (−1.5) − D = 0
4.9497 3.8406

T1 (−14) + T2 (−8.75) = −100(9.81)(2) (3)
4.9497 3.8406

T1 (−6) + T2 (3.75) = 0
4.9497 3.8406

แกระบบสมการ (3) จะได Ans

T1 = 346.83 N, T2 = 430.586 N, D = -63.064 N

จะเห็นวา การใชส มการสมดลุ โมเมนตรอบจุด จะทําใหหาคาของแรงไมทราบคา ได 3
แรง เน่อื งจากสมการเวคเตอรครอบคลมุ ถึงทิศทางตามแกน x, y, และ z 3 ทศิ ทาง
ขั้นตอ ไปจะหาแรงท่เี หลือ โดยใชสมการสมดุลแรงในแนวแกน x, y, และ z

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-29

จากขนาดของแรง T1 และ T2 ท่ีไดจะสามารถเขยี นแรงทง้ั สองในรูปเวคเตอรไ ดด ังน้ี

v = 346.83 (−4iˆ −1.5 ˆj + 2.5kˆ) = −280.284iˆ −105.106 ˆj + 175.177kˆ
T1 4.9497

v = 430.586 (−2.5iˆ + 1.5 ˆj + 2.5kˆ) = −280.286iˆ + 168.171 ˆj + 280.286kˆ
T2 3.8406

[∑ Fx = 0] Cx − 280.284 − 280.286 = 0
[∑ Fy = 0]
[∑ Fz = 0] Cx = 560.57 N

Cy −105.106 +168.171− 63.064 = 0

Cy = 0 N

Cz +175.177 + 280.286 −100(9.81) = 0

Cz = 525.537 N

ดังนัน้ C = 560.572 + 0 + 525.5372 = 768.39 N Ans

Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-30

แบบฝก หดั หวั ขอ 3/4

1. The light right-angle boom which supports the 400-kg cylinder is supported by three
cables and a ball-and-socket joint at O attached to the vertical x-y surface.
Determine the reactions at O and the cable tensions. [Engineering Mechanics STATICS 5th

edition, Meriam & Kraige]

(Ans Ox = 1962 N, Oy = 0 N, Oz = 6540 N
TAC = 4810 N, TBD = 2770 N, TBE = 654 N)

2. The awning window is temporarily held open in the 50º position shown by a wooden
prop CD. If a = 0.8 m and b = 1.2 m and the mass of the window is 50 kg with
mass center at its geometric center, determine the compressive force FCD in the
prop and all components of the forces exerted by the hinges A and B on the
window. Assume that A is a thrust-bearing hinge but that hinge B is not. [Engineering

Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans Ax = -140.9 N, Ay = 118.2 N, Az = -92.0 N
Bx = -47.0 N, By = 285 N, FCD = 227 N)

รูปประกอบแบบฝกหัดขอ 1 รูปประกอบแบบฝก หดั ขอ 2

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-1

สถิตยศาสตร (Statics)

บทที่ 5 แรงกระจาย

5/1 บทนํา

ในบทกอ นๆ จะพิจารณาใหแรงกระทาํ ตามแนวเสน แรงกระทํา และมตี ําแหนง ท่ีแรง
กระทาํ กับวัตถุเปน จุดๆ เดียว เรยี กแรงลักษณะนว้ี า Concentrated force การพจิ ารณาแบบนี้
ชวยใหการคํานวณลดความซับซอนลงอยา งมาก อยา งไรก็ตามในความเปนจรงิ แลว ไมมีแรงๆ
ใดกระทําที่จุดๆ เดียว แตตาํ แหนง แรงกระทําจะเปน พ้ืนท่ี แรงกระทําที่กระจายทว่ั ทั้งพืน้ ท่ีน้ี
เรยี กวา แรงกระจาย

พิจารณารูปที่ 1(a) ซงึ่ แสดงแรงทพ่ี ้นื ถนนกระทํากบั ลอ รถ จะเห็นวายางจะไมสัมผัสกบั
พ้นื ถนนเพยี งแคจ ุดเดยี ว แตจะสัมผสั เปนพืน้ ท่ี เน่ืองจากยางเกิดการเสยี รปู เนอื่ งจากนํ้าหนัก
ของรถ จากรูปมคี วามกวางของผวิ สัมผสั b แรงทีพ่ ้ืนถนนกระทํากบั ลอรถจะกระจายตลอดท้ัง
พ้ืนทน่ี ้ี โดยแรงกระจายอาจจะไมส ม่ําเสมอตลอดทัง้ พื้นท่กี ไ็ ด จากรูปจะเหน็ วา บริเวณตรงกลาง
แรงทพ่ี ้ืนกระทาํ จะมขี นาดมากกวาแรงท่ีกระทําทบี่ รเิ วณขอบๆ ของพืน้ ทีส่ ัมผสั ลกู ศรเสน ประ
แสดงถงึ แรงลัพธท ีเ่ กิดจากการรวมแรงกระจายน้ี รปู ที่ 1(b) แสดงการสมั ผัสของลูกบอลแข็ง กับ
พน้ื ผวิ แข็ง ในกรณนี ีบ้ รเิ วณสมั ผัสจะเปน เพียงพ้นื ทเี่ ลก็ ๆ แตอยางไรกต็ ามเนื่องจากบรเิ วณ
สัมผสั เปนพน้ื ท่ี แรงทพ่ี ้ืนกระทํากับบอลจึงเปนแรงกระจายเชนกัน

รูปท่ี 1 ตวั อยา งแรงกระจาย [1]

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-2

รูปท่ี 1(c) แสดงแรงท่กี ระทาํ กับช้ินสว นกลซึ่งรับแรงกด C อีกดานหนงึ่ ของชิ้นสวนกล
ถูกเจาะรแู ลว ยึดดวยหมดุ จะเหน็ วาแรงท่ีเกิดในชิ้นสว นกลไมไดเ กดิ ทีจ่ ดุ ๆ เดยี ว แตก ระจาย
อยางสม่าํ เสมอตลอดพน้ื ท่ีหนา ตัดของช้ินสวนกล สําหรบั แรงทห่ี มดุ กระทาํ กบั ชน้ิ สว นกลนัน้ กจ็ ะ
กระจายตลอดพน้ื ท่ีสมั ผัสระหวางผิวหมดุ และผิวช้ินสวนกล อยา งไรกต็ ามขนาดของแรงจะ
เปล่ียนแปลงตามตําแหนงท่สี มั ผสั
แรงกระจายสามารถแบงเปน 3 ชนดิ ดงั น้ี

1. แรงกระจายตามเสน (Line Distribution) ตวั อยางของแรงกระจายชนิดนแ้ี สดงดังรูปที่
2(a) แรงทีม่ วลดงึ เคเบลิ ไวก ระทํากระจายตลอดความยาวเคเบิล หนว ยของแรงกระจาย
ตามเสน คอื N/m

2. แรงกระจายตามพ้นื ท่ี (Area Distribution) เม่ือแรงกระทาํ ทวั่ ทงั้ พ้ืนท่ี จะเรยี กแรงนีว้ า
แรงกระจายตามพืน้ ท่ี ตวั อยางของแรงกระจายชนิดนค้ี อื แรงดนั นาํ้ ทีก่ ระทํากับเขอื่ น ดงั
แสดงในรปู ที่ 2(b) แรงดนั น้ีกระทําตลอดท้ังพน้ื ที่ แตขนาดของแรงดันท่ีแตละความลึก
จะไมเทากนั ลกู ศรสีแดงในรูปแสดงถงึ แรงกระจายทีแ่ ตล ะระดบั ความลกึ หนวยของแรง
กระจายตามพ้ืนที่คือ N/m2 หรอื Pa ซง่ึ กค็ ือความดนั น่ันเอง

3. แรงกระจายตลอดปรมิ าตร (Volume Distribution) แรงกระจายตลอดปริมาตรอาจเรยี ก
อีกอยา งวา Body force ตวั อยา งของแรงชนดิ นีค้ ือ แรงดงึ ดดู เนื่องจากแรงโนมถวงของ
โลก เน่อื งจากแรงนี้กระทํากบั ทกุ ๆ สว นของมวล จงึ เรยี กวาเปน แรงกระจายตลอด
ปรมิ าตร หนวยของแรงกระจายชนิดนค้ี อื N/m3

รปู ท่ี 2 แรงกระจายชนิดตางๆ [1]

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-3

5/2 จดุ ศูนยกลางมวล

เนอื่ งจากนํา้ หนกั ของวตั ถถุ อื เปนแรงกระจายตลอดทั้งเน้ือปรมิ าตร การคาํ นวณแรง
กระจายนนั้ ยุงยากกวา การคาํ นวณแรงท่ีกระทําเปน จุดมาก ดังนั้นเพ่อื ใหงา ยตอการพิจารณา
มกั จะสมมตุ ิใหมวลของวตั ถุท้งั กอ นรวมอยทู ่ีจุดๆ เดยี ว และจดุ นีจ้ ะเปนตวั แทนของมวลท้ังกอน
เรียกจุดนี้วาจดุ ศนู ยกลางมวล (Center of mass) และหากถือวา แรงดงึ ดดู ของโลกมีคา คงที่
ตลอดวตั ถุจะไดวา จุดศนู ยก ลางมวลจะเปนจดุ เดยี วกบั จดุ ศนู ยถว ง (Center of gravity) ดว ย
สาํ หรับวตั ถชุ น้ิ หน่งึ ๆ จะมจี ดุ ศนู ยก ลางมวลเพยี งจดุ เดียวเทา นั้น และจดุ นีจ้ ะอยใู นหรอื นอกเนื้อ
วตั ถุก็ได วธิ หี าจุดศนู ยก ลางมวลดวยวธิ ที ดลองแสดงดังในรูปที่ 3 และมขี ั้นตอนดงั นี้
1. ผกู วตั ถุใหห อ ยลงอยางอสิ ระ ดังแสดงในรปู ท่ี 3(a)

เมอื่ พิจารณาใหน ํา้ หนกั ของวัตถรุ วมทจ่ี ดุ ศนู ยถว งเพียงจุดเดยี ว จะสามารถเขียน
แผนผงั แรงไดดงั แสดงในรปู ท่ี 3(d) จากแผนผังแรงพบวามีแรงเพียง 2 แรงท่ีทาํ กระทาํ กบั วัตถุ
และทาํ ใหว ัตถอุ ยใู นสภาพสมดลุ น่นั คอื น้าํ หนักของวัตถุ W และแรงตึงเชือก T เน่ืองจากเปน
การสมดุลจากแรงเพียงสองแรง ดงั นั้นแรงทั้งสองจึงตองมีขนาดเทากนั และอยใู นแนวเสนตรง
เดยี วกัน เพราะวาแรงจากนํา้ หนักของวตั ถจุ ะผา นจดุ ศูนยถวงเสมอ ดงั นัน้ จึงทราบวา
จดุ ศนู ยถวงตอ งเปนจุดใดจุดหนงึ่ บนเสนแนวดง่ิ หรืออยใู นแนวเสน เชอื ก
2. เปลย่ี นตําแหนงผกู เชอื กหอ ยวตั ถุ เปน จุด B ดังแสดงในรูปท่ี 3(b)

ทํานองเดียวกบั ขัน้ ตอนท่ี 1 จากข้ันตอนนี้จะทราบวา จุดศนู ยถ ว งตองเปน จุดใดจดุ
หนงึ่ บนเสนแนวดิง่ (B-G) เชน กัน จากผลของการผกู วตั ถุทัง้ สองครง้ั จะไดวา จุดตดั ของเสน ตรง
ทั้งสองกรณีจะเปนจดุ ศนู ยถ ว ง G และหากหอ ยวัตถทุ จี่ ดุ C ก็จะพบวา จดุ G ก็จะอยบู นแนวเสน
เชือกเชน กนั

T
FBD

(d)

รปู ท่ี 3 การหาจดุ ศูนยถ ว งดวยวธิ ีการทดลอง [1]

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-4

การหาตาํ แหนง จดุ ศนู ยถว งและจดุ ศนู ยกลางมวล

เพือ่ ทีใ่ หการพิจารณาใหนํ้าหนักรวมของวตั ถุรวมเปนจดุ เดียวท่ีจดุ ศูนยถว ง สามารถใช
ทดแทนการพิจารณานํา้ หนักของมวลยอยๆ ทกุ ๆ สว นของวตั ถไุ ด คุณสมบัติทางดานโมเมนต
ของการพิจารณาท้ังสองกรณีตองเหมอื นกัน

พจิ ารณารปู ท่ี 4(a) วตั ถใุ นรูปมีจดุ ศูนยถ ว งอยทู จ่ี ุด G ซง่ึ ยงั ไมรตู าํ แหนงแนน อน โดย
สมมตุ ิใหจ ุดศนู ยถ ว งอยทู พี่ กิ ดั (x, y, z) หากหาโมเมนตของมวลกอ นนีร้ อบแกน y สามารถหา
ไดโ ดยแบง มวลเปนกอนยอ ยๆ dW หาโมเมนตเนือ่ งจากนาํ้ หนกั ของมวลยอยๆ แลวคอ ยนํามา
รวมกนั แตเน่ืองจากวตั ถกุ อ นนส้ี ามารถคดิ เสมอื นวา นาํ้ หนกั ทัง้ หมดรวมกนั ท่จี ดุ G ซึ่งทําให
คุณสมบัตทิ างโมเมนตไ มแ ตกตางจากเดมิ ดวย ดังนั้นจงึ อาจหาโมเมนตไ ดโดยนาํ เอานํา้ หนัก
รวมมาคูณดวยแขนของโมเมนตซ่งึ วัดจากแกน y มายังจุด G การหาโมเมนตท้ัง 2 วธิ ีสามารถ
แสดงไดดังสมการ (1)

ผลรวมโมเมนตข องมวลยอยๆ = โมเมนตข องนํ้าหนกั รวมท่ีจุดศูนยถ วง (1)

∫ (x)dW = x∫ dW = xW

โดย x คอื ระยะวัดตามแกน x ไปยงั มวลกอ นยอ ยๆ (แขนของโมเมนตข องมวลกอนยอ ยๆ)
W คือนํ้าหนกั รวมของวตั ถุ
x คอื ตําแหนง จุดศูนยถว ง วัดตามแกน x

จากสมการ (1) จะสามารถหาตําแหนงจุดศนู ยถ วงไดด งั น้ี

x = ∫ (x)dW (2)
W

ทํานองเดียวกนั ตําแหนงจดุ ศนู ยถวงวัดจากแกน y และ z สามารถหาไดด ังน้ี

y = ∫ ( y)dW , z = ∫ (z)dW (3)
W W

รปู ท่ี 4 การหาจดุ ศูนยก ลางมวล [1]

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-5

เนือ่ งจากนา้ํ หนักของวัตถสุ มั พันธกบั มวลตามสมการ W = mg ถาคา g มคี าคงที่ หรอื สามารถ

ประมาณใหค งที่ตลอดชนิ้ วตั ถแุ ลว จะได

dW = (g)dm (4)

แทนสมการ (4) ลงในสมการ (3) และ (2) จะไดส มการเพือ่ หาจุดศูนยกลางมวลดังนี้

x = ∫ (x)dm , y = ∫ ( y)dm , z = ∫ (z)dm (5)
m mm

เน่ืองจากการบอกตําแหนงจุดใดๆ อาจบอกเปน พิกัด (x,y,z) หรอื บอกเปน เวคเตอรแ สดง
ตําแหนง rv = xiˆ + yˆj + zkˆ กไ็ ด ดงั นน้ั พกิ ัดทง้ั 3 ในสมการ (5) อาจจะบอกรวมไดในรูป
เวคเตอร rv ดงั นี้
rv = ∫ (rv)dm
m (6)

5/3 Centroids of Lines, Areas, and Volumes

ถาความหนาแนน ของวัตถุ ρ สม่ําเสมอตลอดทง้ั เนอ้ื วัตถุ สมการ (5) จะสามารถเขียน
ไดด งั น้ี

x = ∫ (x)ρdV , y = ∫ ( y)ρdV , z = ∫ ( z ) ρdV
ρV
ρV ρV

x = ∫ (x)dV , y = ∫ ( y)dV , z = ∫ (z)dV (7)

V V V

โดย V คือปริมาตรของมวล

จะพบวา x , y และ z จากสมการท่ี (7) ข้ึนอยูกับรปู รางของวัตถเุ พยี งอยางเดยี ว จุด x , y

และ z ในกรณีนีเ้ รียกวาจดุ กลางรปู (Centroid) การหาจดุ Centroid สามารถแบง ออกไดเ ปน 3

รูปแบบดังนี้

1 เสน การหาจดุ Centroid ในกรณีนใ้ี ชก ับวัตถุท่ีมคี วามยาวมากกวาหนา ตดั มากๆ เชน เสน

ลวดเปนตน รปู การหาจุด Centroid แสดงในรูปที่ 5(a)

ถากาํ หนดให A คือหนาตดั ของลวด สมการ (7) จะเขียนไดดังน้ี

x = ∫ (x)Adl , y = ∫ ( y)Adl , z = ∫ (z) Adl

Al Al Al

x = ∫ (x)dl , y = ∫ ( y)dl , z = ∫ (z)dl (8)
l ll

จากรปู ท่ี 5(a) จะพบวา จดุ Centroid อาจจะไมอ ยใู นเสนลวดกไ็ ด

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-6

(a) (b)

รปู ท่ี 5 จดุ กลางรูป [1]

2 พนื้ ที่ การหาจุด Centroid ในกรณนี ้ใี ชก บั วตั ถุบางที่มคี วามหนาเทา กนั ตลอดแผน

รปู การหาจุด Centroid แสดงในรูปที่ 5(b)
ถา กําหนดให t คอื หนาหนาของแผน สมการ (7) จะเขยี นไดด งั นี้

x = ∫ (x)tdA , y = ∫ ( y)tdA , z = ∫ (z)tdA

At At At

x = ∫ (x)dA , y = ∫ ( y)dA , z = ∫ (z)dA (9)
A AA
3 ปรมิ าตร การหาจุด Centroid ในกรณนี ส้ี ามารถหาไดโดยสมการ (7) ตามทไ่ี ดแสดงไวแลว

ตารางที่ 1 แสดงตาํ แหนงของจดุ Centroid ของรูปทรงเรขาคณิตบางชนิด