เนื้อหาวิชากลศาสตร์วิศวกรรมปี63

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-7

ตารางที่ 1 จุด Centroid ของรูปทรงเรขาคณิตบางชนดิ [1]

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-8

5/4 Composite body

การหาจุดศูนยถวง หรือจุดกลางรูปตามท่ีไดก ลาวมาในหัวขอกอ นหนา สามารถใชหาได
ในทกุ กรณี ไมวา วตั ถจุ ะมีรปู รา งใดๆ อยา งไรก็ตามถา วตั ถนุ ้นั มีรูปรา งที่เกิดขึ้นจากการประกอบ
กันของรปู ทรงเรขาคณติ พนื้ ฐาน เชน วงกลม สามเหลยี่ ม สีแ่ หลยี่ ม ซ่ึงรูตําแหนง จุดศูนยถ ว งอยู
แลว นัน้ การคาํ นวณหาจดุ ศนู ยถว งจะสามารถหาไดงาย โดยการแบง สว นวัตถุกอ นใหญใ หเ ปน
ชน้ิ เรขาคณติ ยอ ยๆ ดังตัวอยา งในรปู ที่ 6

(a) (b)

รปู ที่ 6 การหาจุดศนู ยถว งของ Composite body [1]

วัตถุทีแ่ สดงในรูปท่ี 6(a) เกดิ จากการประกอบกันของช้ินสวนยอ ยๆ ดงั แสดงในรูปท่ี
6(b) โดยเกดิ จากช้ินสวนที่ 1 ประกอบกบั ชน้ิ ท่ี 2 และหักออกดว ยช้นิ สวนที่ 3 และชิ้นสว นที่ 4
เน่อื งจากชิ้นสว นแตล ะชน้ิ ในรูป 6(b) เปนรปู เรขาคณติ พ้ืนฐานซ่งึ รูจดุ ศนู ยถ ว ง (หรอื จุด
Centroid) อยแู ลว การหาจดุ ศนู ยถว งของวัตถทุ ้งั ชน้ิ จึงสามารถหาไดจ ากจุดศนู ยถว งของชนิ้
สวนยอ ยๆ ดงั น้ี

โมเมนตว ัตถทุ ง้ั ชน้ิ = ผลรวมโมเมนตของชิ้นสว นยอย (ชน้ิ 1 + ชน้ิ 2 - ชิน้ 3 - ชน้ิ 4)

X ⋅ ( A1 + A2 − A3 − A4 ) = A1x1 + A2 x2 − A3 x3 − A4 x4

X = A1x1 + A2 x2 − A3 x3 − A4 x4
( A1 + A2 − A3 − A4 )

โดย X คือจดุ กลางรูปของวตั ถุทงั้ กอน
คอื จดุ กลางรปู ของชิ้นสว นยอ ย
x คอื พื้นทขี่ องชิ้นสว นยอย
A

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-9

ขอ สงั เกต เนอื่ งจากวัตถทุ ง้ั ช้ินเกิดจากการรวมชิ้นที่ 1 และ 2 และหกั ออกดวยชิ้นที่ 3 และ 4
ดงั น้ันการหาจุดกลางรปู จึงเปนการรวมของโมเมนตเ นือ่ งจากชิ้นที่ 1 และ 2 และตอ งลบดว ย
โมเมนตที่เกดิ จากชน้ิ ท่ี 3 และ 4

สมการทีใ่ ชใ นการหาจดุ ศนู ยถ วงหรือจุดกลางรูปของ Composite body สามารถเขยี น

ในรูปท่วั ไปไดด ังน้ี

X = ∑ mx , Y = ∑ my , Z = ∑ mz (10)
∑m ∑m ∑m

โดย m สามารถเปล่ยี นเปน V หรือ A ไดแลว แตก รณี

5/5 ทฤษฎีของ Pappus

ทฤษฎีของ Pappus ใชหาพน้ื ท่ี หรอื ปรมิ าตร ซ่ึงเกดิ จากการหมุน เสน หรอื พ้ืนท่ี รอบ
แกนหมนุ โดยทแ่ี กนหมนุ ไมไดตดั กบั เสน หรือพนื้ ทที่ นี่ ํามาหมนุ
1. การหาพน้ื ท่ีท่เี กดิ จากการหมุนของเสนรอบแกนหมนุ

รปู ท่ี 7 การหาพนื้ ทที่ ่เี กดิ จากการหมนุ เสนรอบแกนหมุน [1]

รปู ที่ 7 แสดงพื้นทีท่ ่ีเกิดจากการหมนุ เสน รอบแกนหมนุ โดยพนื้ ทีว่ งแหวนยอ ยๆ หาไดจากเสน
รอบวงคณู ดว ยความหนายอ ยๆ ของวงแหวน และสามารถเขียนเปน สมการไดดังนี้

dA = (2πy)dL (11)
(12)
A = 2π∫ ydL
เนือ่ งจาก ∫ ydL = y ⋅ L แทนในสมการ (11) จะได

A = 2πyL

โดย y คอื ตาํ แหนง Centroid ของเสนท่ีนาํ มาหมุน โดยวัดจากแกนหมุน
L คือความยาวของเสน

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-10

ถาหมุนเสนรอบแกนไมครบ 2π เรเดียน จะสามารถหาพ้นื ท่ีไดจ ากสมการ (13) (13)

A = θyL

โดย θ เปน มุมในหนว ยเรเดยี น

2. การหาปริมาตรที่เกดิ จากการหมุนพื้นทีร่ อบแกนหมนุ

รปู ที่ 8 การหาปริมาตรที่เกดิ จากการหมุนพื้นท่รี อบแกนหมุน [1]

รปู ที่ 8 แสดงปริมาตรทีเ่ กิดจากการหมุนพนื้ ทีร่ อบแกนหมุน โดยปริมาตรยอ ยๆ หาไดจากเสน
รอบวงคูณดว ยพนื้ ท่หี นา ตดั ยอยๆ พืน้ ที่รวมทงั้ หมด และสามารถเขยี นเปน สมการไดด งั น้ี

dV = (2πy)dA (14)
(15)
V = 2π∫ ydA
เน่อื งจาก ∫ ydA = y ⋅ A แทนในสมการ (14) จะได

V = 2πyA

โดย y คอื ตําแหนง Centroid ของพ้นื ท่ีท่นี ํามาหมุน โดยวัดจากแกนหมุน
A คอื พน้ื ทร่ี วมทนี่ าํ มาหมุน

ถา หมนุ พนื้ ทีร่ อบแกนไมค รบ 2π เรเดยี น จะสามารถหาปรมิ าตรท่ีไดจ ากสมการ (16)

V = θyA (16)

โดย θ เปน มมุ ในหนวยเรเดยี น

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-11

5/1 The thickness of the triangle plate varies linearly with y from a value t0
along its base y = 0 to 2t0 at y = h. Determine the y-coordinate of the center of
mass of the plate. [Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/29]

b-x

วธิ ที าํ หาความสมั พันธข องรูปรา งในรูปสมการคณติ ศาสตรไดดงั นี้

1.ความสัมพันธร ะหวางพกิ ดั y กบั ความหนา

t = t0 + y t0 = t0 (1+ y )
h h

2.ความสมั พันธข องรูปรางหนา ตัดสามเหลี่ยม

x =b x= b y
yh h

ปริมาตรของแผน สามเหล่ยี มหาไดด งั นี้

= h y )(b − = h y )(b − by )dy
h h h
t0 (1+ t0 (1+

0 0
∫ ∫V
x)dy

=∫Vh y2 )dy
h2
bt0 (1−

0

จุด Centroid หาไดจ าก

โมเมนตของปริมาตรรวม = ผลรวมของโมเมนตข องชิ้นสว นยอยๆ

⋅ h bt0 (1− y2 = h yt0 (1+ y −
∫ ∫Y 0 h2 )dy 0 h )(b x)dy

⋅ h y2 = h + y3
h2 h2 )dy
bt 0 (1− bt0 ( y

0 0
∫ ∫Y )dy

Y = 3h Ans
8

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-12

5/2 The two circular arcs AB and BC are revolved about the vertical axis to
obtain the surface of revolution shown. Compute the area A of the outside of
this surface. [Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/81]

1

2

วธิ ที าํ หาพืน้ ท่ผี ิวโดยใชท ฤษฎขี อง Pappus
แบง พื้นผิวออกเปน 2 สว น สวนท่ี 1 เกิดจากการหมนุ เสนโคง AB รอบแกนใน
แนวดง่ิ สวนที่ 2 เกดิ จากการหมุนเสน โคง BC รอบแกนในแนวด่งิ

จากสมการของ Pappus A = θyL

จากตารางจะได y = 2r

π

1 y1 y1 = (100 − 2 ⋅ 50 )
2 y2 π

y2 = (100 + 2 ⋅50)
π

พนื้ ทีส่ ว นท่ี 1 A1 = 2π(100 − 2 ⋅50)( 2π ⋅50) = 3.3640 ×104 mm2
พน้ื ทส่ี ว นที่ 2 π 4
พน้ื ที่รวม 2 ⋅50)(2π ⋅50)
A2 = 2π(100 + π4 = 6.5055 ×10 4 mm2

A1 + A2 = (3.3640 + 6.5055) ×104 = 9.87 ×104 mm2 Ans

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-13

5/9 Fluid statics

ในบทกอนๆ เราพิจารณาแรงท่กี ระทาํ ระหวา งของแขง็ แตในบทนจี้ ะพิจารณาถงึ แรงท่ี
กระทาํ เนอ่ื งจากความดนั ของของไหล กอ นจะศกึ ษาแรงเน่ืองจากความดันของของไหล จาํ เปน
จะตองรสู มบตั ขิ องของไหลในสภาวะอยนู งิ่ เสียกอ นดังน้ี
สมบตั ขิ องของไหลในสภาวะอยูนง่ิ

1. ของไหลในสภาวะอยูนงิ่ ไมส ามารถรับแรงเฉอื นได
2. จากผลของขอ 1 จะไดว า แรงทกี่ ระทาํ โดยของไหลท่ีอยนู งิ่ จะเกิดเฉพาะแรงใน

แนวต้ังฉากกบั ผิวของไหลเทา นน้ั

ความดันของของไหล

จากกฎของปาสคาล (Pascal’s law) ทราบวา เมอ่ื พจิ ารณาจุดๆ หน่ึงในของไหล ความ
ดนั ท่ีกระทาํ กบั จุดๆ น้ีไมวา จะเปนทิศทางใดจะมขี นาดเทากันตลอด กฎของปาสคาลนีส้ ามารถ
พิสจู นไ ดโ ดยพจิ ารณาชน้ิ ของไหลซง่ึ มขี นาดเล็กๆ (พิจารณาเหมือนเปน จดุ ๆ หน่ึงในของไหล)
ดงั แสดงในรูปท่ี 9

รูปท่ี 9 แรงทก่ี ระทํากับช้ินของไหลเล็กๆ [1]

จากรปู ความดันทก่ี ระทาํ ทแี่ ตล ะผวิ ของชน้ิ ของไหล มคี า เทากบั p1, p2, p3 และ p4

ตามลําดบั ดังน้ันจะสามารถหาแรงทก่ี ระทํากบั แตล ะพนื้ ผวิ ไดโ ดยนาํ เอาความดันมาคูณกับ

พน้ื ทหี่ นาตดั ดงั แรงท่ีแสดงในรูปที่ 9 เนือ่ งจากของไหลอยนู งิ่ แรงทก่ี ระทําในแตละทศิ ทาง

จะอยูในสภาวะสมดุล ดังแสดงในสมการ (17)

สมดุลตามแนวแกน x p1 ⋅ dy ⋅ dz = p3 ⋅ ds ⋅ dz ⋅ sin θ

สมดลุ ตามแนวแกน y p2 ⋅ dx ⋅ dz = p3 ⋅ ds ⋅ dz ⋅ cos θ + ρg ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz (17)
2

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-14

เน่ืองจาก ds ⋅ sin θ = dy , ds ⋅ cos θ = dx และ คา ρg ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz มีคานอยมากเมอื่ เทยี บ

2

กับเทอมอน่ื ๆ สามารถละทง้ิ ได

แทนความสมั พันธเ หลา นล้ี งในสมการ (17) จะได

p1 = p2 = p3 = p (18)

จากสมการ (18) จะไดวา ความดนั ท่กี ระทาํ กับจุดๆ หนงึ่ ในของไหล (ช้ินของไหลเล็กๆ ตามรูป)

จะมขี นาดเทากัน ไมว า จะกระทาํ ในทศิ ทางใด ซ่ึงสอดคลองกบั กฎของปาสคาล

ความดนั ของของไหลท่รี ะดับความลกึ ตา งกัน

ความดนั ของของไหลมีความสมั พันธกบั ระยะในแนวด่ิง รปู ท่ี 9 แสดงแรงในแนวดิ่งท่ี
กระทํากับชนิ้ ของไหล

รปู ที่ 9 แรงในแนวด่งิ ทกี่ ระทาํ กับชนิ้ ของไหล [1]

เนือ่ งจากของไหลอยใู นสภาวะสมดุล จะเขยี นสมการสมดุลในแนวดง่ิ ไดดงั น้ี

p ⋅ dA + ρ ⋅ g ⋅ dA ⋅ dh − ( p + dp)dA = 0

dp = ρ ⋅ g ⋅ dh (19)

จากสมการท่ี (19) จะเหน็ วา ความดันของไหลจะเพิ่มข้นึ เม่อื ระยะ h หรอื ความลกึ มากขนึ้ เมอ่ื

ของไหลเปน ของเหลว ซ่ึงมคี า ความหนาแนน ρ คงที่ สมการท่ี (19) จะเขียนไดดังนี้

p = p0 + ρgh (20)

โดย p0 เปนความดันท่ีผวิ ของของเหลว (h = 0)
หนวยของความดัน คือ N/m2 หรือ Pa

ถาผิวของของเหลวเปดสบู รรยากาศ สมการ (20) จะเขยี นไดดงั น้ี

p = pa + ρgh (21)

โดย pa เปน ความดนั บรรยากาศ มคี าเทา กับ 101.3 kPa

เครอื่ งมือวดั ความดันโดยทั่วไปจะวดั ความแตกตางระหวา งความดนั ของของไหล กับ

ความดันบรรยากาศ หรอื กลาวอกี อยา งหนึ่งวา วัดความดนั ทเี่ พ่มิ ข้ึนข้ึนจากความดนั บรรยากาศ

ความดันทเ่ี คร่ืองมือวัดวดั ไดเรียกวา ความดันเกจ pg และมคี วามสมั พนั ธต ามสมการ (22)

pg = ρgh (22)

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-15

ความดนั ของเหลวท่กี ระทาํ ตอแผน สเี่ หลี่ยมจมในของเหลว

ปญ หาแผนสเ่ี หลย่ี มจมในของเหลวพบไดท ่วั ไปในงานวศิ วกรรม ตวั อยางปญ หาประเภท
นไ้ี ดแก ปญ หาแรงดันท่กี ระทาํ กับผนังเขอื่ น หรอื ผนังแทง็ กน ้าํ เปนตน

pa

pa
pg

pa

(a) (b)

รปู ท่ี 10 แผน ส่ีเหล่ียมจมในของเหลว [1]

รปู ท่ี 10 แสดงตวั อยางของแผนสีเ่ หล่ยี มจมในของเหลว ในรูปที่ 10(a) เสนบางสีแดง
แสดงถึงความดนั ของของเหลวท่กี ระทาํ กบั แผน สี่เหลี่ยม จะเห็นวา ท่รี ะดับความลึกมากขน้ึ
ความดันของของเหลวจะมากข้ึนดว ยตามสมการ dp = ρ ⋅ g ⋅ dh และแสดงใหเหน็ ดวยความ
ยาวของเสน บางสีแดงทีย่ าวมากขน้ึ ความดนั ของของเหลวนี้จะกระทาํ กระจายทวั่ ทั้งแผน
ส่ีเหลยี่ ม

รูปท่ี 10(b) แสดงมมุ มองดา นขา งของแผนสเ่ี หล่ยี ม เน่อื งจากระบบนเ้ี ปน ระบบเปด ซ่ึง
ผิวของเหลวเปด สูบรรยากาศ แรงดันบรรยากาศ pa จะกระทาํ ตอ ผิวของแผนสี่เหลย่ี มทกุ ๆ
ดาน ดังน้นั แรงลพั ธเน่ืองจากแรงดนั บรรยากาศจงึ หกั ลางกนั ไปหมด และมคี า เทา กบั 0 การคิด
แรงที่กระทําในกรณรี ะบบเปดสบู รรยากาศจึงคิดเพยี งแคค วามดันเกจ ซ่ึงแสดงโดยเสน สีแดง
เทา นั้น เม่อื พิจารณาเสนบางสีแดงในรูปที่ 10(a) ก็จะพบวาแสดงเฉพาะความดนั เกจเชนกนั
โดยจะเห็นไดจากทผ่ี วิ ของเหลวมคี วามดันเปน ศูนย เมือ่ รวมแรงทเ่ี กิดจากความดนั นีจ้ ะสามารถ
รวมไดเปนแรงลพั ธ R แสดงดวยเสนประทบึ สแี ดง

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-16

การหาขนาดของแรงลพั ธเ นือ่ งจากความดนั ของของเหลว

การหาขนาดของแรงลพั ธเน่ืองจากความดันของของเหลวกระทาํ ได 3 วธิ ี ไดแกว ิธกี าร
อนิ ทเิ กรตโดยตรง วิธกี ารหาโดยใชหลกั การหาจุด Centroid และวธิ หี าปรมิ าตรของปรซิ ึมความ
ดัน
1.วธิ ีการอนิ ทเิ กรต
พิจารณาการหาแรงกระทาํ กับแผนส่เี หลย่ี มจมในของเหลว แสดงดังรปู ท่ี 11

รปู ที่ 11 การหาแรงกระทาํ กบั แผน สี่เหลย่ี มจมในของเหลว [1]

แรงลัพธ R = ∫ dR = ∫ pdA

y1 (23-1)

R = ∫ (ρgh)dA = ∫ (ρgy cos θ)bdy
y2

R = ρgb cos θ( y12 − y22 ) = ρgb cos θ ( y1 + y2 )( y1 − y2 )
22

R = ρgbL ( y1 cos θ + y2 cos θ) = ρgbL h1 + h2
22

โดย h เปน ความลกึ จากผวิ ของเหลว
b คอื ความกวา งของแผน ส่เี หล่ียม (ลึกลงไปในกระดาษ)
L คือความยาวของแผน

แรงลัพธส ามารถเขียนในรปู ความดนั ไดด ังนี้ (23-2)

R = ρgbL h1 + h2 = p1 + p2 bL
22

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-17

2. การหาแรงลพั ธอาจจะพจิ ารณาโดยใชความรูเ กย่ี วกบั การหาจุด Centroid

R = ∫ (ρgh)dA = ρg∫ hdA = ρgh A (24-1)

โดย ∫ hdA = hA

h คอื ความลกึ ที่จุด Centroid ของแผนส่เี หล่ยี ม ซง่ึ ในกรณแี ผนสเ่ี หลย่ี ม คา นี้จะเทา กับ

ความลึกเฉล่ยี

การหาแรงลพั ธสามารถเขียนในรปู ความดนั ไดดังนี้

R = ρgh A = p ⋅ A (24-2)

โดย p คือความดันทจ่ี ุด Centroid ของแผน สเี่ หลยี่ ม ซ่งึ ในกรณแี ผนสเี่ หลยี่ ม คา นจ้ี ะเทา กับ

ความดนั เฉลย่ี

3. วิธหี าปรมิ าตรของปริซมึ ความดัน

พจิ ารณารปู ที่ 11 เชน เดยี วกับการหาโดยวิธีการอนิ ทเิ กรต

แรงลพั ธ R = ∫ dR = ∫ pdA

R = ∫ pbdy = ∫ bpdy = ∫ bdA′ (25)

โดย dA′ = ∫ pdy คอื พืน้ ทีท่ แ่ี รเงาสแี ดงในรูปที่ 11

ดังนั้น ผลคณู ของ b กับ dA′ จงึ เปนปรมิ าตรสว นยอ ยๆ และแรงลัพธ R จึงเปน

ปรมิ าตรรวมของปริซมึ ความดนั ซง่ึ มีหนาตัดเปน จดุ 1-2-6-5 และมคี วามหนาเขา ไปในกระดาษ

b เมือ่ พจิ ารณาในรปู ที่ 10 แรงลพั ธ R สามารถหาไดป รมิ าตรของปรซิ ึมความดนั ซ่งึ ลอ มรอบ

ดว ยจุด 1-2-3-4-5-6-7-8

การหาตาํ แหนงของแรงลพั ธ

การหาตาํ แหนงของแรงลพั ธเ น่ืองจากความดันของของเหลวใชหลกั การของโมเมนต
โดยผลรวมโมเมนตเนอื่ งจากแรงยอยๆ จากความดันของเหลว มคี า เทากับโมเมนตซ ง่ึ เกิดจาก
แรงลัพธร วม การหาตําแหนง ของแรงลพั ธก ระทําได 2 วิธี ไดแกวธิ ีการอนิ ทเิ กรตโดยตรง และวธิ ี
หาตาํ แหนงของแรงลัพธรวมจากตาํ แหนง แรงยอ ยๆ
1.วิธีการอินทเิ กรต
พจิ ารณารปู ที่ 11 แรงลัพธ R กระทําผานจุด C ซึ่งหางจากจุด B ตามแนวแกน y เปน ระยะ Y

โมเมนตเน่อื งจากแรงลัพธ = ผลรวมโมเมนตเนอ่ื งจากแรงยอยๆ

Y ⋅ R = ∫ ypdA = ∫ ypbdy

Y ⋅ ∫ pbdy = ∫ ypbdy

Y = ∫ ypbdy (26)
∫ pbdy

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-18

กรณีแผน สี่เหล่ยี ม b มคี า คงที่ ดงั นั้นสมการที่ (26) จะกลายเปน

Y = ∫ ypdy = ∫ ydA′ (27)
∫ pdy ∫ dA′

ซึ่งจะพบวา Y คือตําแหนงจุด Centroid ของพน้ื ทีส่ ่ีเหลย่ี มคางหมู 1-2-6-5 ในรปู ที่ 11 น่ันเอง

2. วิธีหาตําแหนงแรงลัพธรวมจากตาํ แหนง แรงยอยๆ

รูปที่ 12 การหาตําแหนงแรงลัพธจ ากแรงยอ ยๆ [1]

เนื่องจากแรงลพั ธหาไดจ ากปรมิ าตรของปริซึมความดันซึง่ มหี นา ตัดสเ่ี หล่ยี มคางหมู 1-

2-6-5 และตําแหนงของแรงลัพธเปนตาํ แหนง จดุ Centroid ของรูปสี่เหล่ยี ม 1-2-6-5 ดังน้นั จะ

สามารถหาตําแหนง จุด Centroid ของสเ่ี หลี่ยมคางหมูไดโดยแบงสเ่ี หลยี่ มคางหมูออกเปน สอง

สว นคือ สว นท่ีเปนสามเหลย่ี ม และสว นทเ่ี ปน สเ่ี หลย่ี มผนื ผา ดังแสดงในรูปที่ 12

โมเมนตเ นอื่ งจากแรงลัพธ = โมเมนตเนื่องจากชิน้ สามเหลย่ี ม + โมเมนตจ ากสี่เหล่ยี ม

Y ⋅ R = y1R1 + y2 R2 (28)

Y , y1, และ y2 อาจจะวดั จากตาํ แหนง อางองิ ตามรปู ท่ี 11 ก็ได หรอื จะวดั จากตาํ แหนง อืน่ ก็ได

เชนถา วัดจากจุด 2 สามารถหาตาํ แหนง จุดแรงลัพธก ระทาํ ไดดังนี้

Y ⋅ (R1 + R2 ) = 2L R1 + L R2 (29)
3 2

โดย Y จะวัดจากจุด 2 ดา นบนของแผนสี่เหลี่ยม

ความดนั ของเหลวทก่ี ระทาํ บนแผนสเ่ี หลย่ี มโคงจมในของเหลว

พจิ ารณาแรงท่ีกระทํากบั แผน สีเ่ หลยี่ มโคง จมในของเหลวแสดงดงั รปู ที่ 12 จากรปู จะ
พบวาความดันท่กี ระทาํ กบั แผนโคง จะมีทศิ ทางตงั้ ฉากกับผิวโคง เสมอ อยางไรก็ตามทิศทางของ
ความดันและแรงที่กระทาํ แตละจุด จะเปลีย่ นแปลงไปตลอดแนวโคง การหาแรงลพั ธ R ซ่ึงเปน

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-19

ปริมาณเวคเตอร และตําแหนง ทแี่ รงลพั ธก ระทํา จงึ จาํ เปน ตองคํานึงถงึ ทศิ ทางแรงกระทาํ ดวย

ดังจะเหน็ ไดจ ากสมการ (30) ดงั นี้

Rx = b∫ ( pdL) x = b∫ pdy และ Ry = b∫ ( pdL) y = b∫ pdx (30)

การพจิ ารณาหาแรงและตาํ แหนง ของแรงทกี่ ระทาํ กบั ผวิ โคง ยังสามารถทาํ ไดอีกวธิ หี น่งึ
โดยใชห ลักการของสมดุล พจิ ารณารปู ที่ 13 ซ่ึงแสดง FBD ของระบบท่ีจะพจิ ารณา

รปู ที่ 12 แผนสเ่ี หลีย่ มโคง จมในของเหลว [1]

รูปท่ี 13 ระบบท่พี ิจารณาเพื่อหาแรงทก่ี ระทํากบั แผนส่เี หลยี่ มโคง [1]
การหาแรงทีก่ ระทํา R กับแผน ส่เี หลย่ี มโคง ในรูปท่ี 12(b) โดยวธิ ขี องสมดุลจะพจิ ารณา
โดยตดั ของเหลวซึง่ ติดกบั แผน โคง (สวนสีเขยี ว ABC ในรูปท่ี 13) มาคิดแทน และแรงทแ่ี ผน
สเี่ หลี่ยมโคง กระทาํ กับสว นของเหลว R จะมีคา เทา กับแรงที่ของเหลวกระทํากบั แผน ส่เี หลย่ี มโคง
ในรูป 12(b) โดยเปนแรง action-reaction กนั ตามกฎของท่ี 3 ของนิวตนั แรงน้เี ปน แรงท่ไี ม
ทราบคาและตอ งการจะหา สาํ หรบั แรงอืน่ ๆ ทก่ี ระทาํ กับของเหลวไดแ ก แรงทีผ่ ิว Px และ Py

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-20

ซึ่งสามารถหาไดโ ดยงา ยตามวธิ ีทีไ่ ดก ลา วมาแลว และแรงเนอื่ งจากนา้ํ หนกั ของของเหลว W ซง่ึ
กส็ ามารถหาคาไดเชน กัน เม่อื ทราบคา Px, Py และ W แลว กใ็ ชส มการสมดลุ จะสามารถ
หาคา R ออกมาได ตาํ แหนง ของแรงลพั ธ R ก็สามารถหาคา ไดโดยใชห ลักการสมดลุ ของ
โมเมนตกบั FBD ทแี่ สดงในรปู ท่ี 13

ความดันของเหลวท่กี ระทาํ บนแผนเรยี บจมในของเหลว

พจิ ารณาแรงท่ีกระทํากับแผนเรยี บรปู รางใดๆ ซงึ่ จมในของเหลวแสดงดังรปู ท่ี 14 การหาแรงที่
กระทาํ กับแผน เรยี บสามารถพจิ ารณาไดห ลายรูปแบบดงั น้ี

รปู ที่ 14 แรงท่กี ระทาํ กับแผนเรียบจมในของเหลว [1]

1. การหาขนาดของแรงลัพธในกรณีน้ีทาํ โดยวิธีการอนิ ทเิ กรต

R = ∫ pdA = ρg∫ hxdy (31)

เนื่องจาก x เปนฟงกชัน่ ของ y ถา รูค วามสัมพนั ธของ x กับ y จะสามารถอินทเิ กรตสมการ (31)

โดยตรงเพอื่ หาแรงลพั ธอ อกมาได

2. การหาขนาดของแรงลพั ธอาจจะใชหลกั การของการหาจดุ Centroid (32)

R = ∫ pdA = ρg∫ hdA
เน่อื งจาก ∫ hdA = hA ดงั นัน้

R = ρgh A

โดย h คอื ความลกึ ทจ่ี ุด Centroid ของพื้นท่ี A

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-21

3. ใชหลกั การหาปรมิ าตรของรปู ทรงความดัน

R = ∫ pdA = ∫ dV ′ = V ′ (33)

โดย V ′ คอื ปริมาตรของรปู ทรงทลี่ อ มรอบดว ยแผนเรยี บสเี ขยี ว และเสนบางสแี ดงแสดง

ในรูปท่ี 14(b)

การหาตําแหนงของแรงลพั ธ

การหาตาํ แหนงของแรงลพั ธในกรณแี ผน เรยี บซงึ่ มรี ูปรา งใดๆ ใชหลกั การของโมเมนต
เชน เดียวกบั กรณีของแผน สเ่ี หลยี่ ม ดังน้ี

R ⋅Y = ∫ ydR

Y ⋅ ∫ pxdy = ∫ ypxdy

Y = ∫ ypxdy = ∫ ydV ′ Centroil (34)
∫ pxdy ∫ dV ′ ของรปู ทรงที่

จากสมการท่ี (34) พบวา ตาํ แหนงของแรงลพั ธจะผา นจดุ

ลอมรอบดว ยแผน เรยี บสีเขยี ว และเสนบางสแี ดง

สรปุ การหาแรงลพั ธแ ละตาํ แหนง ของแรงลพั ธ

การหาแรงลัพธ และตําแหนงของแรงลพั ธส ามารถสรุป และมขี อ แนะนาํ ดงั นี้
1. การหาโดยวธิ กี ารอนิ ทิเกรตอาจจะดยู าก แตถ าเขา ใจแลว ทําไดท กุ กรณีไมว าจะหาขนาด
แรง หรือตาํ แหนงของแรงลัพธโดยไมเกิดความสับสน
2. กรณีแผน สเี่ หลย่ี มเรยี บ หาขนาดแรงโดยการหาปริมาตรของปรซิ มึ ความดันทําไดง าย
ที่สุด สว นตําแหนงของแรงลัพธค อื ตําแหนง Centroid ของปรมิ าตรปริซมึ ความดัน ซึ่ง
ทําไดโดยแบง ปรซิ มึ เปน รูปทรงเรขาคณติ ท่รี ตู าํ แหนงจดุ Centroid และใชหลักการของ
โมเมนต
3. กรณแี ผนส่ีเหล่ียมโคง ใชว ิธีการตัดสวนของเหลว และใชส มการสมดลุ ในการหาขนาด
ของแรงลพั ธ และตําแหนง ของแรงลัพธ
4. กรณีแผนเรยี บทมี่ รี ูปรางใดๆ ใชส ตู รการหาจะงา ยทสี่ ดุ โดย
ขนาดของแรงลัพธ R = ρghA โดย h คือความลึกทจี่ ุด Centroid ของพนื้ ทห่ี นาตัด
ไมใชความลกึ เฉลย่ี
ตาํ แหนง ของแรงลพั ธ เกิดท่ีตําแหนง Centroid ของปรมิ าตรรปู ทรงท่เี กดิ จากความดนั
โดยปกติมกั จะตองใชก ารตงั้ สมการอินทเิ กรตเพอ่ื หาตาํ แหนงแรงลพั ธ

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-22

แรงลอยตัว (Buoyancy)

B

A

B A Mg
F C

F F
(d) (e) (f)

รูปที่ 15 แรงลอยตัว [1]

แรงลอยตัวสามารถอธิบายไดดงั รูปท่ี 15 พิจารณาของเหลวทอี่ ยนู ่งิ ดงั รปู 15(a) เมือ่
ตดั ชน้ิ ของเหลวออกมาพจิ ารณาแรงกระทํา ของเหลวทตี่ ัดมาเรยี กวา ของเหลว A สว นของเหลว
เดมิ ทเ่ี หลือจากการตดั เรียกวาของเหลว B แรงทีข่ องเหลว A กระทาํ กับของเหลว B
แสดงในรปู ท่ี 15(b) สวนแรงที่ของเหลว B กระทํากับของเหลว A แสดงดวยลูกศรสีแดงในรูปที่
15(c) จะพบวา แรงทีก่ ระทําทผี่ ิวของเหลวจะต้ังฉากกับผิวของเหลว และกระจายตลอดผวิ

พิจารณารูปท่ี 15(c) เมื่อรวมแรงกระจายเขา ดว ยกนั จะสามารถเขยี นแรงท่ีทํากับ
ของเหลว A ไดดังรูปท่ี 15(e) เน่อื งจากของเหลวอยนู ง่ิ (อยใู นสภาวะสมดุล) และมแี รงเพยี งแค
2 แรงกระทาํ กบั ของเหลว A แรงลัพธจากแรงกระจาย F จงึ มีคา เทา กับน้ําหนกั ของของ-
เหลว A ซึ่งมคี า mg และทศิ ทางของแรงตองอยใู นแนวเสนตรงกับแรงเนือ่ งจากน้ําหนกั ของ
ของเหลว หรอื อาจกลา วอีกอยา งวา แรง F ตองผา นจึงศูนยถ ว งของของเหลว A ถา ของเหลว A
มีเน้ือสมาํ่ เสมอ อาจกลาวไดว าแรง F ตองกระทําผา นจดุ Centroid ของของเหลว A เมื่อ
พิจารณาของเหลว B จะพบวา มแี รง F ที่ของเหลว A กระทํากบั ของเหลว B ดงั แสดงในรปู ที่
15(d) แรงนเ้ี ปนแรง action-reaction กบั แรง F ในรูป 15(e) นัน่ เอง

สมมตุ ิใหมวี ัตถุ C รปู รางเหมือนของเหลว A ทุกประการ วางแทนทข่ี องเหลว A ใน
ของเหลว B จะพบวา แรงเน่อื งวตั ถุ C กระทํากบั ของเหลว B จะยังมีคา F เทา เดิม เน่อื งจาก
รูปรางเหมอื นเดิม ดังนัน้ เมื่อพิจารณาทว่ี ตั ถุ C แรงเน่อื งจากของเหลว B ที่กระทาํ กบั วตั ถุ C จงึ
มีขนาด F เทา เดมิ และมที ศิ ทางช้ีขึน้ รวมถึงตาํ แหนง ของแรงเหมือนเดมิ เน่ืองจากแรง F จะช้ี
ขนึ้ เสมอ จึงเรยี ก F วาแรงลอยตวั และเน่อื งจากขนาดของแรง F สมดลุ กับน้ําหนกั ของเหลว A
ดังน้นั จึงกลา วไดวา แรง F มีขนาดเทา กบั นํ้าหนักของเหลว A นัน่ คอื ของเหลวทถี่ กู วตั ถุ C
แทนทน่ี ่ันเอง

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-23

จากทอ่ี ธบิ ายขางตน สามารถสรปุ ไดด งั นี้ แรงลอยตวั มีขนาดเทากบั น้ําหนกั ของเหลวที่

ถูกแทนท่ี โดยทิศทางของแรงจะชี้ขน้ึ และผา นจุดศนู ยถวงของของเหลวท่ถี กู แทนที่ แรงลอย

ตวั เขยี นเปนสมการไดด ังน้ี

F = ρ fluid gV (35)

โดย ρ fluid คือความหนาแนนของของเหลวทถี่ กู แทนท่ี
V คอื ปรมิ าตรของเหลวทีถ่ ูกแทนที่

รปู ท่ี 16 แรงลอยตัวกับการออกแบบเรือ [1]

แรงลอยตัวสามารถนาํ ไปประยกุ ตใชกบั การออกแบบเรือไดดงั แสดงในรูปที่ 16 รูปท่ี
16(a) แสดงเรอื ขณะทไี่ มเกิดการโคลง น้ําหนักของเรือ mg กระทาํ ผา นจุดศนู ยถวงของเรือ G
สว นแรงลอยตัว F กระทาํ ผานจุดศูนยก ลางของแรงลอยตวั B ซึง่ เปน จดุ Centroid ของปริมาตร
สว นท่ีจม (ซึ่งกค็ ือจดุ ศนู ยถ ว งของของเหลวทถ่ี กู แทนทน่ี ่นั เอง)

เม่อื เรือโคลงตามรปู ที่ 16(b) จะพบวา ตําแหนง จุด B ทีแ่ รงลอยตวั ผา น จะยา ยไปที่
ตาํ แหนง B′ เน่ืองจากเกิดการเปลย่ี นแปลงรปู รา ง และปริมาตรของของเหลวสว นที่จม
ตําแหนง แรงลอยตวั นี้ จะมีแนวโนมทําใหเกิดโมเมนตห มุนใหเ รอื กลับเขา สสู ภาวะท่ีมีเสถยี รภาพ
ได สวนรูปที่ 16(c) เนื่องจากออกแบบรปู รา งเรือตา งกนั ตําแหนง ทแ่ี รงลอยตวั กระทําจะตา งกนั
ในกรณนี แี้ ขนของโมเมนตเนอื่ งจากแรงลอยตัวจะนอยกวา แขนของโมเมนตเ น่อื งจากนา้ํ หนกั ซึ่ง
มีแนวโนม ท่เี รอื จะพลิกควํ่าได

เอกสารอางอิง
[1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI

Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-24

5/3 The hydraulic cylinder operates
the toggle which closes the vertical
gate against the pressure of fresh
water on the opposite side. The gate
is rectangular with a horizontal width
of 2 m perpendicular to the paper. For
a depth h = 3 m of water, calculate
the required oil pressure p which acts
on the 150-mm-diameter piston of the
hydraulic cylinder. [Engineering Mechanics

Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/179]

วิธีทาํ เขียน FBD ของประตนู ํ้าไดด ังนี้

A y เนอ่ื งจากระบบนีเ้ ปน ระบบเปด สูบ รรยากาศ ผล
Ax ของความดันบรรยากาศท้งั สองดา นของประตนู ํา้
หักลา งกันหมด จึงไมต อ งคดิ ความดันบรรยากาศ
Ay

1 mg x แรงลัพธ R หาโดยวิธีการปรซิ มึ ความดนั ดังนี้
0.5 R
R = 1 (ρgh)(h)(gate width)
F 2

p = ρgh R = 1 (103 ⋅9.81⋅3)(3)(2) = 88290 N
2

เนือ่ งจากลักษณะปรซิ ึมเปน รปู สามเหลย่ี ม จึงรูวา
แรง R กระทาํ ท่คี วามสูง 1/3 ของ h นับจากฐาน

[∑ M A = 0] CCW+ F ⋅ ( 1 ) ⋅ 2 − 88290 ⋅3 = 0
12 + 0.52

F = 148066.83 N

พิจารณาแรงกระทาํ ทขี่ อ ตอ ของกระบอกสบู

θ [∑ Fx = 0] F2 cos θ − F cos θ = 0 F2 = F
F [∑ Fy = 0]
F2 F3 − 2F sin θ = 0
F3
F3 − 2 ⋅148066.83⋅ 0.5 = 0
12 + 0.52

F3 = 132435 N

ความดันในกระบอกสบู p = F3 4 = 132435 = 7.494 ×106 Pa Ans
πd 2 π(150 ×10−3 )2 4

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-25

5/4 A deep-submersible diving chamber designed in the form of a spherical
shell 1500 mm in diameter is ballasted with lead so that its weight slightly
exceeds its buoyancy. Atmospheric pressure is maintained within the sphere
during an ocean dive to a depth of 3 km. The thickness of the shell is 25 mm.
For this depth calculate the compressive stress σ which acts on a diametral
section of the shell, as indicated in the right-hand view. [Engineering Mechanics

Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/167]

วธิ ีทาํ เน่ืองจากวัตถทุ ่พี จิ ารณามคี วามโคง จึงตอ งตดั FBD สว นของน้ํามาคดิ โดยตัด
ใหเปนรปู รา งทีส่ ามารถพิจารณาไดงายดงั น้ี

σ

y

CR

x
σ

ใน FBD ดานบนจะแสดงเพียงแคแรงในแนวแกน x เทา นน้ั และเนือ่ งจากระบบน้เี ปน
ระบบเปดสบู รรยากาศ และภายในเรอื ดําน้ําก็มคี วามดันเทากับความดนั บรรยากาศ
เพราะฉะนน้ั ผลของความดันบรรยากาศจึงหกั ลา งกันหมด จึงไมต อ งคดิ ผลของความ
ดนั บรรยากาศ

แรงลพั ธ R หาไดโดยพิจารณาใหผวิ ดา นขา งดา นท่มี แี รงดันน้าํ กระทํา เปน เหมอื น
แผนเรยี บที่มีหนาตัดวงกลม ซึง่ กรณีนก้ี ารใชส ตู รหาแรงลพั ธจะทาํ ไดงา ยทส่ี ดุ

R = ρgh A

h คือ ความลึกท่จี ุด Centroid ของวงกลม ซงึ่ เทากบั 3 km
A คอื พนื้ ท่ีทีแ่ รงดันนํา้ กระทาํ ในที่น้คี อื พื้นทีว่ งกลม

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-26

R = (1030)(9.81)(3×103)( π ⋅1.52 )
4

แรงในเนอื้ วสั ดุ ⎡ π ⋅D 2 π⋅(D − 50 ×10−3 )2 ⎤
⎢ 4 4 ⎥
F = σ ⎣ − ⎦

[∑ Fx = 0] R−F =0

(1030)(9.81)(3×103)( π ⋅1.52 ) − σ⎡⎢ π ⋅1.52 − π ⋅ (1.5 − 50×10−3 )2 ⎤ = 0
4 ⎣ 4 4 ⎥
⎦

σ = 462.4 MPa Ans

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-27

5/5 A block of wood in the form of a waterproofed 400 mm cube is floating in
a tank of salt water with a 150 mm layer of oil floating on the water. Assume
that the cube floats in the attitude shown, and calculate the height h of the
block above the surface of the oil. The density of oil, salt water, and wood are
900, 1030, and 800 kg/m3, respectively. [Engineering Mechanics Statics 5th edition,

Meriam & Kraige, prob.5/172]

วธิ ีทํา เขยี น FBD ไดด ังน้ี Ans

mg

y

Boil
x

Bwater

[∑ Fy = 0]

− mg + Boil + Bwater = 0
− ρwood gVwood + ρoil gVoil + ρwater gVwater = 0
− 800A(400) + 900A(150) +1030A(400 −150 − h) = 0
h = 70.39 mm

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-28

แบบฝก หัด หวั ขอ 5/9

1. A fresh-water channel 3 m wide (normal to the plane of the paper) is blocked at its

end by a rectangular barrier, shown in section ABD. Supporting struts BC are

spaced every 0.6 m along the 3-m width. Determine the compression C in each

strut. Neglect the weights of the members. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam

& Kraige]

(Ans C = 2.83 kN)

2. The hinged gate ABC closes an opening of width b (perpendicular to the paper) in a

water channel. The water has free access to the underside as well as the right of

the gate. When the water level rises above a certain value of h, the gate will open.

Determine the critical value of h. Neglect the mass of the gate. [Engineering Mechanics

STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans h = a 3 )

รูปประกอบแบบฝก หดั ขอ 1 รูปประกอบแบบฝก หดั ขอ 2

3. A flat plate seals a triangular opening in the vertical wall of a tank of liquid of
density ρ. The plate is hinged about the upper edge O of the triangle. Determine the
force P required to hold the gate in a closed position against the pressure of the
liquid. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans P = ρgab ⎛⎜ h + a ⎟⎞ )

6 ⎝ 2⎠

4. The upstream side of an arched dam has the form of a vertical cylindrical surface of

240-m radius and subtends an angle of 60°. If the fresh water is 90 m deep,
determine the total force R exerted by the water on the dam face. [Engineering Mechanics

STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans R = 9.54 GN)

Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-29

รูปประกอบแบบฝกหดั ขอ 3 รปู ประกอบแบบฝก หดั ขอ 4

Statics/ Chapter 6 Friction 6-1

สถิตยศาสตร (Statics)

บทที่ 6 แรงเสียดทาน

6/1 บทนํา

ในบทกอนๆ การสัมผัสกันของวตั ถมุ ักถูกสมมุตใิ หมแี รงในแนวต้ังฉากกบั ผิววตั ถุเพยี ง
อยางเดียว ซงึ่ หมายความวาพื้นผวิ น้นั เรยี บ ถงึ แมวาสมมุตฐิ านนี้จะสามารถใชไดด ีกับปญหาใน
หลายๆ กรณโี ดยมคี วามคลาดเคล่ือนเพยี งเลก็ นอ ย แตในหลายๆ กรณี จาํ เปน ตอ งคํานงึ ถึงแรง
ตา นทานในแนวสัมผสั กับผวิ วตั ถทุ เี่ รยี กวา แรงเสยี ดทานดวย แรงเสียดทานเปน แรงตานทาน
การเคลอ่ื นท่ี หรือตานทานแนวโนมทจี่ ะเกิดการเคล่ือนที่ ดงั นั้นทศิ ทางของแรงเสยี ดทานจะ
ตรงกนั ขามกบั ทิศทางการเคลือ่ นท่ี หรอื ทศิ ทางที่มแี นวโนม จะเกดิ การเคลื่อนทเี่ สมอ

ในเครอื่ งจักรกลหลายๆ ชนิด เชน รองลน่ื (ตลบั ลกู ปน, แบริ่ง Bearing) เฟอง สกรูสง
กําลงั หรอื การไหลของของเหลวในทอ ไมตอ งการใหมแี รงเสียดทาน ซึ่งทําใหเ กดิ การเสียดสี
ความรอ น และการสึกหรอข้ึน อยางไรกต็ ามเครื่องจักรกลหลายๆ ชนดิ ใชประโยชนจากแรง
เสียดทานเชนกัน เชน เบรก คลตั ช สายพาน ยางรถยนต เปนตน

6/2 ประเภทของแรงเสียดทาน

แรงเสยี ดทานสามารถแบง ไดเปน ประเภทใหญๆ 3 ประเภทดงั นี้
1. Dry Friction

แรงเสยี ดทานประเภทนเี้ กดิ ขึน้ เมอ่ื มีการสัมผัสกันของผวิ ของแขง็ ซง่ึ ไมเ รยี บ และมีการ
เคล่อื นทส่ี มั พทั ธก ัน หรือมีแนวโนมท่ีจะเคล่อื นทสี่ ัมพทั ธกัน ทศิ ทางของแรงเสียดทานจะตรงกัน
ขา มกับทศิ การเคล่ือนท่ี หรอื ทศิ ทม่ี ีแนวโนม จะเคลือ่ นที่ แรงเสยี ดทานชนิดนเ้ี รยี กอีกอยางหน่งึ
วา Coulomb friction
2. Fluid Friction

Fluid Friction เกิดเม่ือแตละชัน้ ของอนภุ าคของไหล (ของเหลว หรือ กาซ) เคลื่อนที่
สมั พทั ธกนั แรงเสียดทานประเภทนี้ขน้ึ อยกู ับ ความเรว็ ของของไหล และความหนดื ของของไหล
แรงเสยี ดทานชนดิ นมี้ ีความสาํ คญั อยา งมากในการศกึ ษาวิชากลศาสตรของไหล
3. Internal Friction

แรงเสียดทานประเภทน้ีเกดิ ขน้ึ ในของแข็งทกุ ชนดิ ซง่ึ รบั แรงแบบเปนคาบกลบั ไป
กลับมา (Cyclical loading) ตัวอยา งแรงเสียดทานประเภทนี้คอื การสัน่ สะเทือนของของแขง็ ซึ่ง
จะสูญเสยี พลงั งานไปทกุ ๆ รอบของการส่นั ทาํ ใหข นาดการส่นั สะเทอื นลดลงจนกระทั่งหยุดนิ่ง

สําหรับในบทนีจ้ ะกลา วถงึ เพยี งแค Dry Friction เทานน้ั

Statics/ Chapter 6 Friction 6-2

รูปที่ 1 Dry Friction [1]

6/3 Dry Friction

Mechanism of Dry Friction
พิจารณากลองมวล m ซงึ่ วางอยูบนพื้นขรขุ ระ ดงั แสดงในรปู ที่ 1(a) แรง P เปน แรง

ภายนอกทกี่ ระทํากับกลองนี้ FBD ของกลองน้แี สดงดงั รูปท่ี 1(b) เนอ่ื งจากพืน้ ขรุขระ จึงตอ งมี
แรงเสียดทาน F ตานทานการเคลอ่ื นท่เี กิดขึน้ ดวย เนือ่ งจากเมื่อใหแ รง P วตั ถจุ ะมีแนวโนม
เคลอื่ นทีไ่ ปทางขวามอื ตามทศิ ทางแรง P ดงั นนั้ แรงเสียดทานจงึ ตอ งมีทิศทางไปทางดา นซา ย
ตรงขา มกับแรง P สวนแรง R คอื ผลรวมของแรงเสียดทาน F และ แรงปฏกิ ิรยิ าทพี่ ้นื ดันกลอง N

รปู ท่ี 1(d) แสดงความสมั พนั ธของขนาดของแรง P และแรงเสยี ดทาน F เมื่อขนาดของ
แรง P คอ ยๆ เพมิ่ ข้ึนจากศูนย ถา ขณะนน้ั กลอ งยังไมเ คลอื่ นทแ่ี สดงวากลองยังอยูในสภาวะ
สมดุล นน่ั คอื แรงเสียดทาน F จะมคี า เทา กับแรงภายนอก P และจะเรยี กแรงเสยี ดทานในชวงน้ี
วา แรงเสียดทานสถิต อยางไรก็ตามถาเพม่ิ แรง P จนถึงคาๆ หนึ่ง กลองจะเรมิ่ เคลอ่ื นที่ คาแรง
เสียดทานสถติ สดุ ทา ยกอนท่ีกลองจะเคลอ่ื นท่ีเรยี กวา แรงเสียดทานสถิตสูงสดุ เมอ่ื กลองเร่ิม
เคลอื่ นทแี่ ลว จะพบวา ขนาดแรงเสยี ดทานจะลดลงเล็กนอย และมีคา คอนขางคงท่ี แรงเสยี ดทาน
ในชวงนี้จะเรยี กวาแรงเสียดทานจลน อยา งไรกต็ ามถา ความเรว็ ในการเคล่อื นที่มากข้นึ ขนาด
แรงเสยี ดทานจะลดลงเลก็ นอ ย สําหรบั การคาํ นวณจะพจิ ารณาใหคา แรงเสียดทานจลนมคี าคงที่

เพ่อื ใหเขาใจถงึ กลไกของแรงเสียดทานดยี ิ่งข้นึ พิจารณารปู ที่ 1(c) ซ่ึงแสดงภาพขยาย
ของผิวสมั ผสั ระหวา งกลอ งกบั พ้ืน จะเห็นวาทั้งผิวกลองและผิวของพืน้ ขรขุ ระ ทาํ ใหก ารสัมผสั

Statics/ Chapter 6 Friction 6-3

กันของทงั้ 2 ผวิ เกดิ ทบี่ างตําแหนง เทาน้นั แรง R1, R2 และ R3 แสดงแรงปฏิกิริยายอ ยๆ ทีแ่ ต
ละตําแหนง จดุ สัมผัส จากรูปจะเห็นวาแรง R1, R2 และ R3 มที ิศทางไมเหมือนกนั ข้นึ อยูก ับ
ลักษณะรูปรางของพืน้ ผวิ และการเสยี รปู ของยอดขรุขระ ผลรวมของแรง R1, R2 และ R3 คอื
แรงลัพธ R สว นผลรวมของแรง R1, R2 และ R3 ในทิศทางต้งั ฉาก (ทศิ ทาง n) และทิศทาง
สัมผัส (ทศิ ทาง t) ก็คอื แรง N และแรง F ในรปู ที่ 1(b) ตามลาํ ดบั ในขณะท่วี ตั ถุเคลอื่ นทก่ี าร
สัมผัสกนั ของผิว จะเกดิ ทส่ี ว นยอดของผิวขรขุ ระเทานนั้ ดว ยสาเหตนุ ีแ้ รงเสียดทานซ่งึ เกดิ ข้ึนใน
ขณะทีเ่ คลื่อนทีห่ รอื แรงเสียดทานจลน จึงมีคา นอ ยกวาในขณะทหี่ ยุดนง่ิ (แรงเสียดทานสถติ
สงู สดุ )

แรงเสียดทานสถติ (Static Friction)

แรงเสยี ดทานที่เกิดขึน้ ในชว งกอ นที่จะเกดิ การเคลื่อนทเ่ี รียกวา แรงเสียดทานสถิต จาก

รูปท่ี 1(d) พบวา ขนาดของแรงเสียดทานนเี้ ปลีย่ นแปลงต้ังแตศ ูนยถ ึงคาแรงเสียดทานสถติ สูงสดุ

โดยคาแรงเสียดทานสถติ สงู สุดหาไดจากสมการ

Fmax = μs N (1)

สมการท่ี (1) จะใชไดใ นกรณีท่วี ตั ถกุ ําลงั จะเคลือ่ นท่ีซ่ึงแรงเสียดทานสถติ มีคา สูงสดุ

เทาน้นั ถา วตั ถยุ งั ไมเ กดิ การเคล่อื นท่ี แรงเสยี ดทานตอ งมีคาเทา กับแรงทีท่ าํ ใหระบบสมดุล และ

มีคานอ ยกวา คาแรงเสียดทานสถิตสูงสุด ( F < μs N )

แรงเสียดทานจลน (Kinematic Friction)

เมอื่ วัตถุเกิดการเคลอื่ นทแ่ี รงเสียดทานจะมีคาลดลง เรียกวา แรงเสยี ดทานในชวงนีว้ า

แรงเสยี ดทานจลน ขนาดของแรงเสยี ดทานจลนสามารถคาํ นวณไดจากสมการ

FK = μk N (2)

เนอ่ื งจากท่ีพ้ืนผวิ เดียวกนั แรงเสียดทานจลนจะมีคา นอ ยกวาแรงเสยี ดทานสถติ เสมอ

ดังนัน้ จะพบวา μS > μk เสมอ

Statics/ Chapter 6 Friction 6-4

มมุ ของแรงเสียดทาน (Friction Angles)

mg

P

F
α
N

รปู ท่ี 2 มุมของแรงเสยี ดทาน α

รปู ที่สองแสดง FBD ของวตั ถุมวล m ซง่ึ ถกู ดงึ ดว ยแรง P จะพบวาแรงทีพ่ ืน้ กระทํากับ

วัตถมุ ีอยู 2 แรง คอื แรง N และแรงเสียดทาน F เม่อื รวมแรง N และ F เขาดว ยกนั จะไดแรงลัพธ

ซ่ึงทาํ มุมกบั แนวด่งิ เทากบั มุม α มมุ ความสมั พนั ธข องมมุ α กบั แรง N และ F เปนดังนี้

tanα = F (3)
N

จะพบวา เม่ือเพ่ิมแรง P ข้ึนเรื่อยๆ จนวตั ถุเริ่มเคล่อื นที่ แรงเสยี ดทาน F จะมีคามากท่สี ดุ ทาํ ให

มุม α มคี า มากท่สี ดุ เทา กบั φS เรยี กมุม φS น้ีวา มุมของแรงเสียดทานสถิต โดย

tan φS = Fmax = μS N = μS (4)
N N

ทาํ นองเดยี วกนั กาํ หนดใหมุมของแรงเสียดทานจลนค อื

tan φk = μk N = μk (5)
N

ชนดิ ของปญหาเร่ืองแรงเสยี ดทาน

ปญ หาเร่ืองแรงเสยี ดทาน สามารถแบง ออกไดเ ปน 3 ประเภทดงั น้ี
1. ปญหาซ่งึ รูวา วตั ถกุ ําลังจะเคล่ือนท่ี

เมอื่ วตั ถุกาํ ลังจะเคลือ่ นท่ี หรอื เปล่ียนสภาพจากหยดุ น่ิงไปเปน เคลอื่ นท่ี แรงเสียดทาน
จะมคี ามากท่ีสดุ โดย F = Fmax = μs N

นอกจากนเ้ี น่อื งจากวตั ถุกาํ ลังจะเคล่อื นที่ หมายถึงวตั ถยุ งั หยุดน่งิ อยู ดังน้ันจงึ สามารถ
ใชส มการสมดุลกับปญ หาประเภทนี้ไดตามปกติ
2. ปญหาซง่ึ รูวาวตั ถุกําลังเคล่ือนทอ่ี ยู

เนอื่ งจากวตั ถกุ าํ ลงั เคลือ่ นทข่ี นาดของแรงเสยี ดทานจะมคี า เทากบั แรงเสียดทานจลน
ตามสมการ F = FK = μk N

เนือ่ งจากกรณีนว้ี ตั ถเุ คลือ่ นท่ี จึงอาจจะอยหู รือไมอ ยใู นสภาพสมดลุ ก็ได ถา เคล่ือนท่ี
ดวยความเรว็ คงทใี่ นแนวเสน ตรงจะอยูใ นสภาวะสมดุล แตถาเคลอ่ื นทด่ี วยความเรงจะไมอยูใ น
สภาพสมดุล ทําใหไ มส ามารถใชสมการสมดลุ ในทิศทางทเ่ี กิดความเรง ได

Statics/ Chapter 6 Friction 6-5

3. ปญหาซง่ึ ไมรสู ภาพการเคลือ่ นท่ขี องวตั ถุ
ในกรณีนี้ ไมรวู า วตั ถุยงั ไมเ คล่ือนท่ี กําลงั จะเคลอ่ื นท่ี หรือเคลื่อนทอี่ ยู การแกปญหาใน

กรณีนส้ี ามารถทําไดต ามขนั้ ตอนดงั น้ี
1. สมมุติใหวตั ถอุ ยูใ นสภาพสมดลุ
2. ใชสมการสมดลุ คํานวณหาแรงเสียดทาน F (ไมแ ทน F ดว ย F = Fmax = μs N
เนอื่ งจากไมรูวา วตั ถอุ ยใู นสภาพกาํ ลังจะเคลือ่ นที่หรือไม)
3. เมอ่ื หาคา F ไดจ ากสมการสมดุล ตรวจสอบคา F วา เปน ไปไดหรือไมดังนี้

ถา คา F < μs N แสดงวา เกิดแรงเสียดทานน้ไี ด กรณนี ี้วัตถยุ ังหยุดนง่ิ อยู คาแรงเสียดทาน
จึงมีคานอ ยกวาคา แรงเสียดทานมากที่สดุ ดังนนั้ ท่ีสมมตุ ิใหว ตั ถอุ ยใู นสภาพสมดุลถูกตองแลว

ถา คา F = μs N แสดงวา เกิดแรงเสียดทานน้ไี ด กรณีน้ีวัตถกุ าํ ลงั จะเรมิ่ เคลื่อนที่ คาแรง
เสยี ดทานจงึ มคี า เทากบั แรงเสียดทานมากทีส่ ุด ดังนั้นท่ีสมมุตใิ หวตั ถอุ ยใู นสภาพสมดุลถกู ตอ ง
แลว

ถาคา F > μs N แสดงวาแรงเสยี ดทานนเ้ี ปน ไปไมได การสมมุตผิ ิดความเปน จริง วตั ถเุ กิด
การเคลอ่ื นท่ี

เอกสารอา งอิง

[1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI
Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.

Statics/ Chapter 6 Friction 6-6

46/1 The 30-kg homogeneous cylinder of
400-mm diameter rests against the vertical
and inclined surfaces as shown. If the
coefficient of static friction between the
cylinder and the surface is 0.3, calculate the
applied clockwise couple M which would
cause the cylinder to slip. [Engineering

Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.6/8]

F1 M วธิ ีทาํ เขยี น Free-body diagram ไดด งั
y O รปู โดยจะสังเกตไดวาเริม่ แรกจะ
W
x N2 แทนแรงเสียดทานแตล ะจดุ ดวยคา
N1 30º F เสยี กอ น

F2

W = mg = (30)(9.81) N

[∑ Fx = 0] (1)

F1 cos 30° + N1 sin 30° − N2 = 0

[∑ ]Fy = 0 N1 cos 30° − F1 sin 30° + F2 − (30)(9.81) = 0 (2)

[ ]∑ MO = 0 CW+ M − F1(0.2) − F2 (0.2) = 0 (3)

เน่อื งจากโมเมนต M ที่ใสเขาไปทําใหเ กดิ การหมุนรอบจดุ O ดงั น้ันจดุ สัมผสั ทั้ง
สองจะตอ งเกิดการไถลพรอมกัน

F1 = μN1 = 0.3N1 และ F2 = μN2 = 0.3N2

แทนคา แรงเสยี ดทาน F1 และ F2 ลงในสมการ (1) และ (2) ได (4)

0.3N1 cos 30° + N1 sin 30° − N2 = 0
(0.3cos 30° + sin 30°)N1 − N2 = 0

N1 cos 30° − 0.3N1 sin 30° + 0.3N2 − (30)(9.81) = 0 (5)
(cos 30° − 0.3sin 30°)N1 + 0.3N2 = (30)(9.81)

Statics/ Chapter 6 Friction 6-7

แกสมการที่ (3) และ (4) จะได Ans

N1 = 311.7691 N
N2 = 236.8846 N

แทนคา N1 และ N2 ลงในสมการที่ (3) จะได

M − (0.3)(311.7691)(0.2) − (0.3)(236.8846)(0.2) = 0
M = 32.9 Nm

Statics/ Chapter 6 Friction 6-8

46/2 Determine the smallest couple moment which can be applied to the 20-N
(≈2-kg) wheel that will cause impending motion. The cord is attached to the
30-N (≈3-kg) block, and the coefficients of static friction are μB = 0.2 and μD
= 0.3. [Engineering Mechanics Statics 11th edition, R.C.Hibbeler, prob.8/46]

0.15 m

MC

0.3 m

0.15 m

BD

วิธที าํ เขยี น Free-body diagram ของลอ และบล็อกไดด งั นี้

20N 30N
TT

y M FB x
x B FD E
NB
ND

จาก Free-body diagram สามารถเขยี นสมการสมดุลไดด งั นี้

ท่ีลอ T − FB = 0 NB = 20 N (1)
(2)
[∑ Fx = 0] NB − 20 = 0 ;
[∑ Fy = 0] (3)
(4)
ที่บลอ็ ก FD − T = 0 ND = 30 N

[∑ Fx = 0] ND − 30 = 0 ;

[∑ Fy = 0]

เมือ่ ให moment ท่ลี อจนเรม่ิ เกิดการเคลือ่ นท่ี การเคล่อื นทีท่ ่ีเกดิ ขึน้ ได เปน ไปได 3
กรณี ดังน้ี
1. เกิดการไถลระหวา งลอกบั พนื้ (ลอหมุนฟรี บล็อกไมเคลือ่ นท่ี)
2. เกดิ การไถลระหวา งบล็อกกับพน้ื (ลอ กลิ้งโดยไมไถล ดงึ ใหบลอ็ กเคลอื่ นท่ี)
3. บล็อกลม (ลอกล้งิ โดยไมไถล ดงึ ใหบ ลอ็ กลม )

Statics/ Chapter 6 Friction 6-9

สมมตุ ใิ หเ กดิ การไถลระหวา งลอ กับพ้ืนกอ น
ดังนัน้ FB = Fmax = μB NB = 0.2(20) = 4 N
จาก (1) จะได T = FB = 4 N
จาก (3) จะได FD = T = FB = 4 N

เนือ่ งจากสมมตุ ิใหเกดิ การไถลระหวา งลอ กบั พ้ืนกอน ดงั น้นั ทบ่ี ล็อกตองยังไมเกิด
การไถล และไมเกิดการลม
สามารถตรวจสอบวา ท่ีสมมุติไวเ ปนจริงหรือไมไ ดดังนี้

ตรวจสอบการไถลระหวา งบล็อกกบั พ้ืน

(FD )max = μD ND = 0.3(30) = 9 N

เนอ่ื งจาก FD ท่ีคาํ นวณไดจากสมการสมดลุ เทากบั 4 N มีคานอยกวา คา (FD)max
ซึ่งเทา กบั 9 N แสดงวา บลอ็ กไมเ กิดการไถล ดังนนั้ ท่สี มมุติไวจ งึ เปน ไปได

ตรวจสอบการลมของบลอ็ ก
เม่อื ออกแรงดึงแลว บลอ็ กเร่ิมลม ปลายดานขวาของบล็อกจะเรมิ่ ยก ทาํ ใหแ รง ND
ยา ยไปทางดา นซา ยเรอื่ ยๆ และจะเริ่มลม เมอ่ื แรง ND เลื่อนไปอยูท่จี ดุ E ดงั นน้ั การ
ตรวจสอบวา บล็อกจะลมหรือไม ก็คอื การตรวจสอบวา แรง ND กระทําทต่ี าํ แหนงใด
ถา แรง ND กระทาํ อยูภ ายในฐานของบล็อกแสดงวา วตั ถุยงั อยูใ นสภาพสมดลุ อยแู ละ
บลอ็ กไมลม แตถาคาํ นวณตาํ แหนงแรง ND แลวตําแหนงแรงกระทาํ อยูภ ายนอก
ฐาน ซึ่งเปนไปไมไ ด แสดงวา วตั ถุตองเกิดการลม กอ น

[∑ M E = 0] CW+ 30(0.15) − N D ( 0.15 − x) − T (0.3) = 0
2 2

2.25 − 30(0.075 − x) − 4(0.3) = 0

x = 0.04 m

เนื่องจาก x ท่ีคาํ นวณไดจ ากสมการสมดลุ มคี าเทา กับ 0.04 m ซึ่งนอ ยกวา ระยะ
จากจุดศูนยก ลางมวลไปยงั มมุ E แสดงวา แรง ND ยังกระทาํ อยูใ นขอบฐานของ
บล็อก ดงั น้ันบลอ็ กจงึ ไมล มตามท่สี มมตุ ิไว

จากทต่ี รวจสอบพบวา เกิดการไถลที่ลอ น่ันคอื ลอหมุนฟรี แตบ ลอ็ กไมเ คลอื่ นทแี่ ละไมล ม

คดิ ทีล่ อ [∑ M B = 0] M −T (0.3) = 0 Ans

M = 4(0.3) = 1.2 Nm

Statics/ Chapter 6 Friction 6-10

46/3 The industrial truck is used to move the
solid 1200-kg roll of paper up the 30°

incline. If the coefficients of static and
kinetic friction between the roll and the

vertical barrier of the truck and between the
roll and the incline are both 0.40, compute
the required tractive force P between the

tires of the truck and the horizontal surface.

[Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam &
Kraige, prob.6/43]

วิธีทํา เขียน Free-body diagram ของมว นกระดาษไดดงั น้ี

mg [∑ Fx = 0] (1)
FA (2)
P − N sin 30° − FB cos 30° = 0 (3)
A O
P [∑ Fy = 0]

B FB N cos 30° − FA − FB sin 30° − mg = 0
y N
[∑ MO = 0] CCW+
30º
FAr − FBr = 0 ; FA = FB

x

เน่อื งจากมจี ดุ ท่มี ว นกระดาษสมั ผัสกบั ช้นิ สวนอืน่ อยู 2 จดุ ดงั น้นั การไถลอาจจะเกดิ
ไมพ รอมกนั คอื เกดิ ทจ่ี ดุ A หรือจุด B กอ นกไ็ ด

สมมตุ ใิ หเกิดการไถลทจี่ ุด B กอ น เมื่อกําลงั จะเกดิ การไถล FB = μN (4)

แทนคา FA และ FB จากสมการ; (4) และ (3) ลงในสมการ (2)

N cos 30° − μN − μN sin 30° − mg = 0

N = mg = 1200(9.81) = 44251.416 N

cos30° − μ − μ sin 30° cos30° − 0.4 − 0.4sin 30°

แทนคา N ลงในสมการ (1) เพ่อื หาคา P

P = N sin 30° + μN cos 30°

P = (44251.413) sin 30° + 0.4(44251.413) cos 30° = 37454.8456 N

คา P ท่ีไดนี้ยงั ไมใ ชค าํ ตอบ เน่อื งจากเกิดจากการสมมตุ ิใหเ กิดการไถลที่จดุ B
กอ น การตรวจสอบวาทีส่ มมุตนิ เี้ ปนจรงิ หรือไมท าํ โดย ตรวจสอบวา FA ท่ี
คาํ นวณไดจ ากสมการสมดุลมีคา มากกวาคา (FA)max หรอื ไม

Statics/ Chapter 6 Friction 6-11

จากสมการ (3) FA = FB = μN = 0.4(44251.413) N
(FA )max = μP = 0.4(37454.8456) N

จะเห็นวา FA ทีค่ ํานวณไดจากสมการสมดลุ มคี า มากกวา (FA)max ซึ่งเปน ไปไมได
ดังนนั้ ทีส่ มมตุ ิมาตอนแรกใหเกิดการไถลทจี่ ุด B กอ นจงึ ไมเ ปนความจรงิ การไถล
ตองเกิดท่ีจดุ A กอ น และ

FA = (FA )max = μP

จากสมการ (1) ได N sin 30° = P − FB cos30° (5)
จากสมการ (2) ได N cos30° = FA + FB sin 30° + mg (6)

(5)/(6) tan 30° = P − FB cos 30° (7)
FA + FB sin 30° + mg

เนือ่ งจาก FA = FB = μP

สมการ (7) จะเขียนไดเปน tan 30° = μP P − μP cos 30°
+ μP sin 30° + mg

จัดรปู เพือ่ หาคา P ไดดงั น้ี

P = mg tan 30°
1− μ cos 30° − μ tan 30°(1+ sin 30°)

P = (1200)(9.81) tan 30°
1− 0.4 cos 30° − 0.4 tan 30°(1+ sin 30°)

P = 22125.7 N ≈ 22.1 kN Ans

Statics/ Chapter 6 Friction 6-12

แบบฝกหัด

1. The light bar is used to support the 50-kg block in its vertical guides. If the
coefficient of static friction is 0.3 at the upper end of the bar and 0.4 at the lower
end of the bar, find the friction force acting at each end for x = 75 mm. Also find the
maximum value of x for which the bar will not slip. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition,

Meriam & Kraige]

(Ans FA = FB = 126.6 N, xmax = 86.2 mm)
2. A block of mass m0 is placed between the vertical wall and the small ideal roller at

the upper end A of the uniform slender bar of mass m. The lower end B of the bar
rests on the horizontal surface. If the coefficient of static friction is μs at B and also
between the block and the wall, determine a general expression for the minimum
value θmin of θ for which the block will remain in equilibrium. Evaluate you
expression for μs = 0.5 and m/m0 = 10. For these conditions, check for possible
slipping at B. [Engineering Mechanics STATICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans θ min = tan −1 ⎛⎜⎜⎝ 2m0 ⎠⎞⎟⎟ , θ min = 21.8° )
μsm

รปู ประกอบแบบฝกหัดขอ 1 รูปประกอบแบบฝก หัดขอ 2

3. Determine the normal force P that must be exerted on the rack to begin pushing the

100-kg pipe shown in Figure up the 20º incline. μsA = 0.15, μsB =0.4. [Engineering

Mechanics STATICS 11th edition, R.C.Hibbeler]

(Ans P = 498 N)
4. Two blocks A and B, each having a mass of 6 kg, are connected by the linkage

shown. If the coefficient of static friction at the contacting surfaces is μs = 0.5,
determine the largest vertical force P that may be applied to pin C of the linkage

Statics/ Chapter 6 Friction 6-13

without causing the blocks to move. Neglect the weight of the links. [Engineering

Mechanics STATICS 11th edition, R.C.Hibbeler]

(Ans P = 23.887 N)

CB

P
A 30º

30º

รปู ประกอบแบบฝกหดั ขอ 3 รูปประกอบแบบฝกหัดขอ 4

5. Block C has a mass of 50-kg and is confined between two walls by smooth rollers.
If the block rests on top of the 40-kg spool, determine the minimum cable force P
needed to move the spool. The cable is wrapped around the spool’s inner core. The
coefficients of static friction at A and B are μA=0.3 and μB=0.6. [Engineering Mechanics

STATICS 11th edition, R.C.Hibbeler]

(Ans P = 589 N)
6. Three boxes are placed on the incline in contact with each other and released from

rest. The coefficients of static friction under boxes A, B, and C are 0.30, 0.20, and
0.35, respectively. Describe what happens. [Engineering Mechanics STATICS 10th edition,

R.C.Hibbeler]

(Ans A และ B ไถลตดิ กันลงตามพื้นเอยี ง C หยุดน่ิงบนพน้ื เอยี ง)

รูปประกอบแบบฝกหัดขอ 5 รปู ประกอบแบบฝกหัดขอ 6