IMPLEMENTASI PYTHON, C++, PHP PADA METODE NUMERIK Ibnu Saputra A. Nurul Anwar. S. Kom. M. Kom. Thoyyibah. T. S. Kom. M. Kom.
IMPLEMENTASI PYTHON, C++, PHP PADA METODE NUMERIK Copyright© PT Penamudamedia, 2024 Penulis: Ibnu Saputra, A. Nurul Anwar. S. Kom. M. Kom., Thoyyibah. T. S. Kom. M. Kom. ISBN: 978-623-09-7412-0 Desain Sampul: Tim PT Penamuda Media Tata Letak: Enbookdesign Diterbitkan Oleh PT Penamuda Media Casa Sidoarium RT 03 Ngentak, Sidoarium Dodeam Sleman Yogyakarta HP/Whatsapp : +6285700592256 Email : [email protected] Web : www.penamuda.com Instagram : @penamudamedia Cetakan Pertama, Januari 2024 viii + 112, 15x23 cm Hak cipta dilindungi oleh undang-undang Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku tanpa izin Penerbit
v uji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang dengan limpahan rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan buku berjudul "Python, C++, PHP dalam Metode Numerik". Penyusunan buku ini dilakukan dengan tujuan untuk memberikan pemahaman yang komprehensif mengenai penerapan bahasa pemrograman Python, C++, dan PHP dalam konteks metode numerik. Buku ini tidak hanya berfungsi sebagai pemenuhan tugas, tetapi juga sebagai sarana untuk memperluas wawasan pembaca dalam menghadapi tantangan metode numerik dengan pendekatan yang lebih praktis menggunakan bahasa pemrograman yang relevan. Kami ingin menyampaikan rasa terima kasih kepada semua pihak yang telah terlibat, baik secara langsung maupun tidak langsung, yang telah memberikan bimbingan dan dukungan dalam proses penyusunan buku ini. Buku ini terstruktur dalam beberapa bab, masing-masing mencakup beragam konsep metode numerik dan disertai dengan contoh-contoh kasus yang relevan. Kami menyadari bahwa karya ini masih jauh dari kesempurnaan, dan dengan rendah hati kami menerima setiap kritik dan saran untuk perbaikan di masa yang akan datang.
vi Semoga buku ini dapat menjadi panduan yang bermanfaat bagi pembaca dalam memahami dan mengimplementasikan metode numerik menggunakan Python, C++, dan PHP. Terima kasih atas dukungan dan kontribusi semua pihak, dan semoga buku ini dapat memberikan manfaat yang optimal. . Tangerang Selatan, 10 Desember 2023 Penulis
vii KATA PENGANTAR................................................................ v DAFTAR ISI ........................................................................ vii BAB 1. ANALISA GALAT DALAM METODE NUMERIK.................1 BAB 2. ITERASI JACOBI DAN ITERASI GAUSS-SEIDEL .............. 11 BAB 3. AKAR NUMERIK PERSAMAAN TAK LINIER DENGAN METODE BAGI DUA DAN POSISI PALSU, TITIK TETAP 25 BAB 4. AKAR NUMERIK PERSAMAAN TAK LINIER DENGAN NEWTON RAPHSON, METODE TALI BUSUR, PERHITUNGAN AKAR PERSAMAAN DENGAN EMT..... 35 BAB 5. INTERPOLASI POLINOMINAL BENTUK BAKU DENGAN POLINOMINAL NEWTON & METODE SELISIH TERBAGI NEWTON.................................................................. 47 BAB 6. INTERPOLASI POLINOMINAL BENTUK BAKU DENGAN POLINOMINAL LAGRANGE SPLINE LINIER, KUADRATIK, KUBIK ................................................. 55 BAB 7. INTEGRASI NUMERIK : PENGERTIAN KUADRATUR DENGAN ATURAN JUMLAH KANAN/KIRI/TENGAH, ATURAN SIMPSON, SIMPSON 3/8, ATURAN BOOLE,METODE ROMBERG ...................................... 63
viii BAB 8. ITEGRASI NUMERIK DENGAN KUADRATUR GAUSS - LEGENDRE DAN PERHITUNGAN KUADRATUR DENGAN EM ...........................................................................73 BAB 9. PENURUNAN FUNGSI SECARA NUMERIK: METODE SELISIH MAJU,MUNDUR/ PUSAT DAN EKSTRAPOLASI RICHARDSON DAN TURUNAN TINGKAT TINGGI........87 BAB 10. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA SECARA NUMERIK DENGAN METODE EULER, METODE HEUN, DAN METODE RUNGE-KUTTA ........................99 DAFTAR PUSTAKA ............................................................. 108 TENTANG PENULIS ............................................................ 111
1 BAB 1 ANALISA GALAT DALAM METODE NUMERIK 1. Menjelaskan konsep galat mutlak dan galat relatif dalam konteks metode numerik untuk memberikan pemahaman yang mendalam tentang kedua jenis galat tersebut. 2. Mengidentifikasi relevansi pentingnya pemahaman tentang galat pembulatan dalam penggunaan metode numerik dalam menyelesaikan permasalahan matematika dan ilmu lainnya. TUJUAN PEMBELAJARAN
2 etode Numerik adalah salah satu bidang penting dalam ilmu komputer dan matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan secara analitis. Dalam penggunaannya, metode numerik seringkali melibatkan perhitungan dengan bilangan pecahan, yang selalu melibatkan pembulatan angka. Dalam konteks ini, galat pembulatan menjadi sangat relevan, karena dapat memengaruhi hasil akhir dari perhitungan numerik. Salah satu konsep kunci dalam memahami galat dalam metode numerik adalah pengelompokan menjadi dua jenis utama: galat mutlak dan galat relatif. Galat mutlak mengukur seberapa besar perbedaan antara hasil perhitungan numerik dengan nilai yang sebenarnya, sementara galat relatif mengukur perbedaan tersebut dalam proporsi terhadap nilai sebenarnya. Keduanya memiliki peran penting dalam menilai akurasi dan keandalan hasil perhitungan numerik. Pada umumnya, penggunaan metode numerik dalam menyelesaikan permasalahan matematika dan ilmu lainnya tidak dapat dihindari. Dalam beberapa kasus, tingkat akurasi yang tinggi sangat diperlukan, seperti dalam perencanaan struktur bangunan, simulasi pergerakan planet, atau peramalan cuaca. Oleh karena itu, pemahaman yang mendalam tentang galat mutlak dan galat relatif, serta bagaimana galat pembulatan memengaruhi hasil perhitungan, menjadi sangat penting. buku ini akan membahas konsep galat mutlak dan galat relatif dalam konteks metode numerik, menjelaskan mengapa pemahaman tentang galat pembulatan sangat relevan dalam penggunaan metode numerik, serta mengeksplorasi berbagai teknik yang dapat digunakan untuk mengurangi dampak galat pembulatan dalam perhitungan numerik. Dengan pemahaman yang baik tentang topik ini, mahasiswa dan profesional akan M
3 dapat menggunakan metode numerik secara lebih efektif dan menghasilkan hasil perhitungan yang lebih akurat dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknik. Kesalahan (error/galat) adalah besarnya perbedaan atau selisih antara nilai taksiran (hampiran/aproksimasi) dengan nilai sesungguhnya (eksak), kesalahan ini biasa timbul karena proses pengukuran atau penggunaan aproksimasi. Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak Galat dalam metode numerik disebabkan oleh dua hal, yaitu galat pembulatan (round off error) dan galat pemotongan (truncation error ). Besarnya kesalahan atas suatu nilai taksiran dapat dinyatakan secara kuantitatif dan kualitatif. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kuantitatif disebut Kesalahan Absolut. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kualitatif disebut dengan Kesalahan Relatif. Nilai eksak dapat diformulasikan sebagai hubungan antara nilai perkiraan dan nilai kesalahan sebagai berikut : = ′+∈ Dimana : V = Nilai eksak V’= Nilai Perkiraan ∈ = Nilai Kesalahan / Eror
4 1. Kesalahan Mutlak Kesalahan absolut menunjukkan besarnya perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan : ∈= | − | Kesalahan Mutlak tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan, tetapi hanya sekedar menunjukkan selisih perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan . 2. Kesalahan Relatif Kesalahan relatif menunjukkan besarnya tingkat kesalahan antara nilai perkiraan dengan nilai eksaknya yang dihitung dengan membandingkan kesalahan absolut terhadap nilai eksaknya (biasanya dinyatakan dalam % ) ∈ ∈= | |100% dimana : v = Nilai Eksak = Kesalahan Relatif a = Kesalahan Absolut Semakin kecil kesalahan relatifnya, maka nilai perkiraan yang diperoleh akan semakin baik
5 Secara umum terdapat beberapa sumber penyebab galat dala perhitungan numerik 1. Galat Pembulatan Galat Pembulatan adalah setiap perhitungan yang melibatkan bilangan real muncul kesalahan pembulatan. Bahkan ketika tidak ada kesalahan aproksimasi. Hal ini muncul karena representasi presisi terbatas dari bilangan real pada komputer mana pun yang memengaruhi representasi data dan aritmatika komputer yang terlibat, kesalahan pembulatan akan tetap ada. Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (dalam hal ini komputer) karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalam komputer. Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yang disebut galat pembulatan. Sebagai contoh 1/6 = 0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh komputer karena digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu merepresentasikan sejumlah digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresentasikan oleh komputer dibulatkan ke bilangan terdekat. Misalnya sebuah komputer hanya dapat merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti, maka representasi bilangan 1/6 = 0.1666666666… di dalam komputer 6-digit tersebut adalah 0.166667. Galat pembulatannya adalah 1/6 – 0.166667 = -0.000000333 [3].
6 2. Galat Pemotongan Galat pemotongan adalah galat yang ditimbulkan oleh pembatasan jumlah komputasi yang digunakan pada proses metode numerik. Banyak metode dalam metode numerik yang penurunan rumusnya menggunakan proses iterasi yang jumlahnya tak terhingga, sehingga untuk membatasi proses penghitungan, jumlah iterasi dibatasi sampai langkah ke n. Hasil penghitungan sampai langkah ken akan menjadi hasil hampiran dan nilai penghitungan langkah n keatas akan menjadi galat pemotongan. Dalam hal ini galat pemotongan akan menjadi sangat kecil sekali jika nilai n di perbesar. Konsekuensinya tentu saja jumlah proses penghitungannya akan semakin banyak. Namun, kita dapat menghampiri galat pemotongan dengan perhitungan deret Taylor dengan rumus suku sisa : Nilai Rn yang tepat hampir tidak pernah dapat kita peroleh, karena kita tidak mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada suatu selang tertentu. Nilai maksimum yang mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yang diberikan itu, yaitu : 3. Galat Total Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.
7 4. Galat Eksperimental Galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan pengukuran, ketidaktelitian alat ukur dan sebagainya. 5. Galat Pemrograman Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan kutu (bug). Dan proses penghilangan galat dinamakan penirkutuan (debugging). 6. Galat Mutlak dan Galat Relatif Hubungan antara hasil yang eksak atau yang sebenarnya, hasil aproksimasinya serta galatnya dapat dirumuskan sebagai berikut : Nilai Sebenarnya (true value) = aproksimasi + galat Galat numerik adalah ketidaksesuaian (dispency) antara yang sebenarnya dan aproksimasi : ∈= Nilai sejati - aproksimasi Didefinisikan galat mutlak sebagai nilai mutlak selisi antara nilai eksak (x) dengan nilai aproksimasi ( ) : ∈ = | − | Kelemahan definisi ini adalah bahwa tingkat besaran dari nilai yang diperiksa sama sekali tidak diperhatikan, misalnya galat satu sentimeter akan jauh lebih berarti jika yang diukur adalah paku bukan jembatan. Untuk mengatasi kelemahan tersebut, dihitung galat relatif, yang dihitung dengan membandingkan nilai galat dengan nilai sebenarnya .
8 Galat relatif pecahan = Galat relatif juga dapat dinyatakan dalam persen ∈= 100% Dalam kehidupan nyata seringkali jarang ditemukan kondisi dimana nilai sejati sudah diketahui. Apabila kita menemui masalah nilai sejati yang belum diketahui, kita dapat melakukan cara alternatif yaitu dengan menormalkan galat menggunakan taksiran terbaik dari nilai sebenarnya, yang kemudian disebut galat relatif hampiran. ∈= Atau dalam presentase ∈ = 100%
9 Dimana indeks a menandakan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai aproksimasi. Suatu pabrik memproduksi barang elektronik berupa televisi. Televisi tersebut diproduksi dengan standar ukuran panjang 40 cm dan lebar 25 cm. Namun, karena adanya kesalahan dalam proses produksi, ukuran televisi yang dihasilkan tidak selalu sesuai dengan standar. Untuk mengetahui kesalahan dalam proses produksi, pabrik menghitung galat mutlak dari ukuran televisi yang dihasilkan. Tools Python Output
10 Tools PHP Output Tools C++ Output
11 BAB 2 ITERASI JACOBI DAN ITERASI GAUSS-SEIDEL 1. Membantu pembaca memahami konsep dasar dan prinsip kerja dari metode Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss-Seidel. 2. Mengatahui bagaimana pengaplikasian Iterasi Jacobi dan Iterasi Seidell dalam beberapa soal mata kuliah Metode Numerik 3. Mengetahui bagaimana Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss-Seidell dalam mata kuliah metode numerik TUJUAN PEMBELAJARAN
12 etode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan yang dirumuskan atau disusun yang susunannya dituliskan dalam bentuk matematika dengan menggunakan operasi aritmatika (pengurangan, penjumlahan, perkalian, dan pembagian). Metode ini sering digunakan karena banyak permasalahan yang sulit diselesaikan secara analitis. Walaupun soal dapat diselesaikan dengan metode analitik, namun proses penyelesaian soal sangat rumit dan metode numerik memakan banyak waktu sehingga tidak efektif. Terdapat keuntungan dan kerugian terkait penggunaan metode numerik. Keuntungan dari metode ini antara lain: 1. Penyelesaian permasalahan selalu dapat dicapai. 2. Jika digunakan bantuan komputer maka perhitungan matematis dapat dilakukan dengan cepat dan diperoleh hasil yang sedekat mungkin dengan nilai aslinya. 3. Tampilan hasil perhitungan dapat disimulasikan 4. Adapun kelemahan metode ini antara lain: 5. Nilai yang diperoleh berupa pendekatan atau hampiran. 6. Jika tidak menggunakan bantuan komputer, proses perhitungan akan memakan banyak sekali waktu dan berulangulang. Metode iterasi Jacobi merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi suatu sistem persamaan linear yang biasa disebut SPL. Metode ini ditemukan oleh seorang matematikawan Jerman bernama Carl Gustav Jacob Jacobi. Jacobi lahir di Potsdam pada tanggal 10 Desember 1804 dan meninggal pada tahun di Berlin pada tanggal 18 Februari 1951. Sejak tahun 1843, Jacobi menjadi dosen di Universitas Berlin. Selain menemukan metode iteratif Jacobi, pria ini juga M
13 mengembangkan teori determinan pada tahun 1841. Nama metode ini diambil dari nama belakang penemu, yaitu Jacobi. Metode Gauss-Seidel merupakan salah satu penemuan terbesar dari Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1850). Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti pada sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Penyelesaian SPL dilakukandengan proses iterasi. buku ini akan membahas tentang "Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss-Seidel" karena kedua metode ini merupakan teknik penting dalam bidang matematika numerik dan rekayasa komputasi. Metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, yang merupakan bagian integral dari banyak aplikasi ilmiah dan teknik. Selain itu, memahami iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel juga penting bagi mereka yang bekerja di bidang yang memerlukan penyelesaian sistem persamaan linier, seperti fisika, kimia, ekonomi, dan banyak bidang teknis lainnya. Metode iterasi Jacobi adalah bidang analisis numerik yang digunakan untuk memecahkan masalah persamaan linier dan umum ditemukan di banyak disiplin ilmu yang berbeda, dimulai dari solusi perkiraan awal dan kemudian mencoba memperbaiki perkiraan dalam langkah tak terhingga namun konvergen. Metode iterasi Jacobi tidak menjamin diperolehnya solusi atau hasil karena dalam hal tertentu proses iterasi tidak konvergen (divergen). Untuk melakukan iterasi diperlukan rumus iterasi dari masing-masing variabel. Rumus iterasi bisa dibuat sesuai
14 keperluan tidak harus mengikuti urutan variabel dan urutan persamaannya. Misalnya rumus iterasi untuk x1 tidak harus ditentukan mengunakan persamaan 1, demikian pula lainnya. Hanya saja untuk mempermudah proses biasanya rumus iterasi ditentukan sesuai barisnya, misalnya : x1 ditentukan dengan persamaan 1, x3 ditentukan dari persamaan ke-3 dan seterusnya. Dari persamaan 1 diperoleh rumus iterasi untuk x1 sebagai berikut: Dari persamaan 2 diperoleh rumus iterasi untuk x2 sebagai berikut: Dengan demikian, dari perhitungan iterasi pertama diperoleh:
15 Selanjutnya, hasil yang diperoleh di atas digunakan sebagai masukan utnuk iterasi berikutnya, dan seterusnya hingga dicapai hasil dengan toleransi atau banyaknya iterasi yang ditentukan. Pada pembuatan program komputer diperlukan batasan maksimum iterasi dan/atau toleransi yang digunakan sebgai dasar penghentian proses. Toleransi tercapai pada iterasi ke-i apabila error maksimumnya = kurang dari atau sama dengan toleransi yang diberikan. Berikut contoh penyelesaian sistem persamaan linier (SPL) dengan metode iterasi Jacobi. Contoh yang digunakan adalah sistem persamaan linier dengan tiga variabel. Contoh: Diketahui SPL: Persamaan di atas dapat dituliskan dengan beberapa cara, salah satunya adalah: Rumus iterasi Jacobi yang terbentuk adalah sebagai berikut:
16 Untuk memulai perhitungan diperlukan nilai tebakan awal misalkan : (x0,y0,z0) = (1,2,3) Iterasi 1 Substitusikam nilai tebakan awal ke dalam rumus iterasi Eror yang terjadi adalah Jadi diperoleh eror maksimum pada iterasi1 = 1,375 Iterasi II Eror yang terjadi adalah
17 Jadi diperoleh eror maksimum pada iterasi I = 0,5 kemudian diuji dengan toleransi yang telah ditetapkan. Demikian seterusnya hingga eror atau galat kurang dari toleransi yang ditentukan atau iterasi telah mencapai batas maksimum iterasi ang ditetapkan. Jika sampai batas maksimum iterasi masih diperoleh galat lebih dari toleransi (belum memberikan hasil), maka proses gagal. Hal ini bisa terjadi karena metode iterasi Jacobi merupakan metode terbuka. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi padasolusi persamaan nonlinier. Metode iterasi dengan menggunakan GaussSeidel adalah metode iterasi yang menghitung nilai perkiraan saat ini dengan mengacu pada nilai perkiraan terakhir. Pada prinsipnya cara ini mirip dengan metode iterasi Jacobi, yang membedakan hanyalah hasil perhitungan yang baru diperoleh akan langsung digunakan pada perhitungan berikutnya dari iterasi ini. Pada prinsipnya cara ini mirip dengan metode iterasi Jacobi, yang membedakan hanyalah hasil perhitungan yang baru diperoleh akan langsung digunakan pada perhitungan berikutnya dari iterasi ini. Dengan kata lain, perhitungan saat ini menggunakan hasil terakhir yang diperoleh, meskipun masih berupa iterasi tunggal.
18 Metode Gauss-Seidel membolehkan pengguna untuk mengkontrol round-off error. Metode iterasi ini lebih efisien dibandingkan dengan metode langsung, serta dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi juga lebih efisien. Selain itu bila bentuk dari masalah dapat dipahami, dapat ditentukan nilai perkiraan awal yang lebih dekat, sehingga terjadinya galat dapat diminimalisir. Proses iterasi dari metode Gauss-Seidel adalah sebagai berikut. Apabila diketahui sistem persamaan linier: Berikan nilai awal darisetiap xi (i = 1 s/d n), kemudian persamaan diatas dituliskan sebagai berikut: Contoh Misalkan diketahui Sistem Persamaan Linier: Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
19 Rumus iterasi Gauss–Seidel yang terbentuk adalah sebagai berikut: Untuk memulai perhitungan diperlukan nilai tebakan awal misalnya: (x1, x2,x3 ) = (0 ,0, 0) Substitusikan nilai tebakan awal kedalam rumus iterasi Iterasi 1. Eror yang terjadi adalah: Iterasi 2: Eror yang terjadi adalah:
20 Begitu seterusnya, hasil perhitungan terakhir langsung dipakai untuk perhitungan berikutnya sampai tercapai batas toleransi atau maksimum iterasi, seperti pada table berikut. sehingga diperoleh solusi yaitu: x1 = 2, x2= 4, x3 = 3
21 Diberikan sistem persamaan linear berikut: 3x + 4y - z = 1 2x + y + z = 2 x + y + 2z = 3 Berikan solusinya dengan menggunakan metode iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel..
22 Tools Python Output
23 Tools C++ Output
24 Tools PHP Output
25 BAB 3 AKAR NUMERIK PERSAMAAN TAK LINIER DENGAN METODE BAGI DUA DAN POSISI PALSU, TITIK TETAP 1. Mengetahui definisi akar numerik persamaan tak linier dengan metode bagi dua dan posisi palsu, titik tetap. 2. Mengetahui cara menghitung akar numerik persamaan tak linier dengan metode bagi dua dan posisi palsu, titik tetap. TUJUAN PEMBELAJARAN
26 alam konteks matematika, penyelesaian persamaan tak linear merupakan sebuah tantangan. Salah satu metode numerik yang umum digunakan untuk mendekati solusi persamaan ini adalah Metode Setengah Interval atau lebih dikenal sebagai Metode Bagi Dua. Metode Setengah Interval memiliki karakteristik tertentu, seperti konvergensi yang berlangsung dengan kecepatan relatif lambat, penggunaannya yang sederhana, dan keterbatasannya dalam menemukan akar imaginernya. Meskipun memiliki keterbatasan, metode ini sering digunakan karena kemudahan implementasinya dan kemampuannya untuk menemukan satu akar dalam satu langkah iterasi. Proses Metode Setengah Interval dimulai dengan menetapkan dua titik, x 1dan x2 lalu menghitung nilai fungsi pada keduanya. Selanjutnya, dilakukan pengujian tanda fungsi pada x 1 dan x 2 untuk memastikan bahwa keduanya memiliki tanda yang berbeda. Iterasi dilanjutkan dengan menghitung nilai tengah (xt) dan mengevaluasi fungsi pada x tProses ini diulang hingga ditemukan nilai xt yang memenuhi kriteria tertentu. Sebagai contoh, kita dapat menggunakan Metode Setengah Interval untuk mencari akar dari persamaan tak linear f(x)=x 3 +x 2 −3x−3=0. Dengan mengikuti langkah-langkah Metode Setengah Interval dan menggunakan nilai toleransi 0001ε=0,0001, kita dapat memperoleh nilai akar yang diinginkan. Selain Metode Setengah Interval, penelitian ini juga akan membahas Metode Regulafalsi, yang menawarkan konvergensi yang lebih cepat dibandingkan Metode Setengah Interval. Metode ini menggunakan interpolasi linier antara dua titik dengan tanda fungsi berbeda, mempercepat proses konvergensi ke akar persamaan. D
27 Selanjutnya, Metode Iterasi Titik Tetap juga akan dibahas sebagai alternatif untuk menyelesaikan persamaan tak linear. Metode ini memisahkan variabel x dari fungsi non-linier, membentuk persamaan x=g(x) yang kemudian diiterasi hingga ditemukan solusi yang memadai. Melalui penelitian ini, diharapkan dapat diperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang penerapan Metode Setengah Interval, Metode Regulafalsi, dan Metode Iterasi Titik Tetap dalam menemukan akar persamaan tak linear. Pemahaman ini diharapkan dapat memberikan kontribusi penting dalam menangani permasalahan numerik yang kompleks dan meningkatkan akurasi solusi yang dihasilkan.. Metode setengah interval merupakan metode yang paling mudah dan sederhana dibandingkan metode lainnya. Adapun sifat dari metode ini: 1. Konvergensi lambat 2. Caranya mudah 3. Tidak dapat digunakan mencari akar imaginer 4. Hanya dapat mencari satu akar dalam satu siklus
28 Flowchart Metode Setengah Interval : Langkah-langkah perhitungan bisection methods: 1. Tentukan sembarang titik x1 dan x2, kemudian hitung nilai 2. fungsinya yaitu f(x1) dan f(x2). 3. Cek f(x1) . f(x2) <0. artinya f(x1) dan f(x2) harus berbeda tanda 4. Hitung nilai xt.
29 xt = x1 + x2 2 1. Hitung nilai fungsi f(xt) 2. Cek f(xt) . f(x1) < 0Jika ya maka nilai x2 yang baru adalah nilai xt, sedangkan nilai x₁ tetap. 3. Jika tidak maka nilai x1 yang baru adalah nilai xt, sedangkan nilai x2 tetap. 4. Cek apakah | f(xt) | ≤ ƹ dimana ƹ adalah bilangan yang kecil yang ditentukan 5. nilainya oleh user atau pengguna. Nilai ƹ = 10-5 sudah termasuk bagus.| 6. Kalau nilai f(xt) ≤ ƹ maka Xt adalah salah satu akar dari persamaan 7. Kalau nilai | f(xt) | > ƹ maka proses akan berulang ke langkah 3, demikian seterusnya sampai diperoleh nilai | f(xt) | ≤ ƹ. Dibandingkan metode setengah interval, metode regulafalsi konvergensinya (kecepatan mencapai akar persamaan) lebih cepat, dan iterasi yang dibutuhkan lebih pendek. Perhitungan metode regulafalsi berdasarkan interpolasi linier antara dua harga f(x) yang mempunyai tanda berbeda. Mula-mula diambil nilai xn dan xn+1 sembarang (gambar 2.3) kemudian dihitung f(xn) dan f(xn+1). Syaratnya f(xn) dan f(xn+1) harus berbeda tanda. Selanjutnya ditarik garis dari f(xn) menuju f(xn+1). Garis ini akan memotong sumbu x di xt. Posisi xt inilah yang dicari melalui persamaan garis yang menghubungkan titik A [xn,f(xn)] dengan titik B [xn+1, f(xn+1)].
30 Persamaan garis tersebut dapat dirumuskan: Sehingga nilai xt dapat dihitung: Metode Regulafalsi
31 Flowchart Metode Regulafalsi Metode iterasi titik tetap adalah metode yang memisahkan x dari fungsi non-linier dalam persamaan nonlinier yang ingin dicari akarnya, sedemikian sehingga diperoleh persamaan baru: x = g(x) atau dalam bentuk persamaan iterasi dituliskan sebagai:
32 Tools Python Output
33 Tools C++ Output
34 Tools PHP Output
35 BAB 4 AKAR NUMERIK PERSAMAAN TAK LINIER DENGAN NEWTON RAPHSON, METODE TALI BUSUR, PERHITUNGAN AKAR PERSAMAAN DENGAN EMT 1. Pendekatan iteratif dengan menggunakan turunan fungsi pada titik awal untuk menemukan akar persamaan. 2. Metode iteratif dengan aproksimasi linear dari fungsi, memerlukan pemilihan tali busur yang tepat dan strategi iterasi. 3. Menggunakan garis singgung pada kurva fungsi untuk mendekati akar persamaan, melibatkan pemilihan titik awal dan perhitungan gradien tangen. TUJUAN PEMBELAJARAN
36 etode numerik adalah cabang penting dalam matematika yang bertujuan untuk menemukan solusi numerik atau pendekatan solusi untuk masalah matematis yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitis. Masalah semacam ini muncul dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk fisika, teknik, ilmu komputer, ekonomi, dan banyak lagi. Metode numerik memainkan peran yang sangat penting dalam pemodelan, simulasi, analisis data, dan pemecahan masalah riil dalam dunia nyata. Sebelum perkembangan metode numerik, banyak masalah matematis yang kompleks tidak dapat dipecahkan dengan tepat dalam waktu yang wajar. Keterbatasan dalam menganalisis dan menyelesaikan persamaan diferensial, integral, atau masalah lainnya yang melibatkan perhitungan matematis membuat perlu adanya alat yang dapat membantu manusia dalam mendekati solusi-solusi ini secara numerik. Dalam dunia ilmu pengetahuan dan teknologi, persamaan tak linier adalah fenomena matematis yang seringkali muncul dalam pemodelan dan analisis berbagai masalah. Persamaan-persamaan ini seringkali tidak memiliki solusi analitis yang sederhana, dan oleh karena itu, kita perlu mengandalkan metode numerik untuk menemukan akar-akarnya. Akar dari persamaan tak linier adalah nilai-nilai di mana persamaan tersebut memiliki solusi atau hasil yang sama dengan nol. Metode numerik merupakan alat penting dalam menyelesaikan masalah akar persamaan tak linier ini. Tiga metode numerik yang akan dibahas dalam makalah ini adalah Metode NewtonRaphson, Metode Tali Busur, dan Perhitungan Akar Persamaan dengan EMT (Elementary Mathematical Toolkit). Ketiga metode ini memiliki karakteristik dan kegunaan masing-masing dalam menemukan akar persamaan tak linier. M
37 1. Metode Newton-Raphson: Metode ini adalah salah satu metode iteratif yang paling populer untuk menemukan akar persamaan tak linier. Ia menggunakan pendekatan linieris untuk mendekati akar dan seringkali konvergen dengan cepat. Metode NewtonRaphson sangat berguna dalam berbagai aplikasi, termasuk dalam pemecahan masalah fisika, rekayasa, ekonomi, dan banyak lagi. 2. Metode Tali Busur: Metode ini adalah salah satu metode numerik lain yang berguna untuk menemukan akar persamaan tak linier. Metode ini berdasarkan konsep pembagian interval yang semakin sempit dan menggunakan interpolasi untuk memperkirakan akar. Metode ini sering digunakan dalam situasi di mana akar persamaan berada dalam interval tertentu dan tidak dikenal secara pasti. 3. Perhitungan Akar Persamaan dengan EMT: Elementary Mathematical Toolkit (EMT) adalah suatu alat yang menggabungkan berbagai teknik matematika dasar untuk menemukan akar persamaan tak linier. EMT dapat menjadi solusi yang berguna untuk pemecahan masalah sederhana yang melibatkan akar persamaan, terutama ketika perangkat lunak khusus tidak tersedia. Dalam makalah ini, kita akan mendalami masing-masing metode ini secara rinci, termasuk langkah-langkah yang terlibat, kelebihan, kelemahan, dan aplikasi praktisnya. Pengetahuan tentang metode-metode ini sangat penting dalam pemecahan masalah dunia nyata di berbagai bidang, termasuk ilmu pengetahuan alam, rekayasa, keuangan, dan sebagainya. Dengan pemahaman yang baik tentang metode-metode ini, kita dapat lebih efektif dalam menyelesaikan masalah matematis yang
38 kompleks dan meningkatkan kualitas hasil analisis dan prediksi dalam berbagai konteks. Analisis persamaan tak linier dengan newton raphson, tali busur, perhitungan akar persamaan dengan EMT sebagai berikut : 1. NEWTON RAPHSON Metode Newton- Raphson Ganda merupakan metode iterasi dua langkah yang digunakan untuk mencari akarakar persamaan nonlinear dengan orde konvergensi empat. Jika pada metode analitis untuk mencari nilai optimum suatu fungsi tujuan dihitung terlebih dahulu titik optimumnya. Setelah diperoleh titik optimum maka nilai optimum fungsi tujuan dapat dihitung. Sedangkan pada metode numeris letak titik optimum ditentukan dengan menyelidiki nilai fungsinya. Titik yang mempunyai nilai fungsi terbesar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi pada titik-titik yang lain itulah titik optimumnya. Jadi titik optimunya dihitung terakhir. Menurut Luknanto (2003), metode numeris dalam optimasi satu variabel tanpa kendala, dapat dibagi menjadi dua yaitu, teknik eliminasi dan teknik pedekatan. Pada teknik eliminasi dapat dibagi lagi menjadi beberapa teknik yaitu teknik eliminasi pencarian bebas (dengan langkah tetap dan percepatan langkah), teknik eliminasi pencarian lengkap, teknik eliminasi pencarian dikotomi, teknik eliminasi pencarian fibonacci, dan teknik eliminasi rasio emas. Sedangkan pada teknik pendekatan, salah satu teknik pendekatan
39 yang dapat digunakan adalah teknik pendekatan NewtonRaphson (Kuadratik). Metode Newton-Raphson memerlukan fungsi tujuan tanpa kendala dalam interval yang menjadi perhatian dan mempunyai derivasi pertama maupun keduanya. Untuk memecahkan permasalahan optimasi multivariabel banyak menggunakan metode NewtonRaphson ini. Pada pembahasan ini, metode NewtonRaphson akan diinterpretasikan sebagai pendekan kuadratik dari suatu fungsi tujuan f. Dilihat dari tiga suku pertama dari suatu deret Taylor dari fungsi f pada titik x(k) pada iterasi ke k. F(x) menunjukan fungsi pendekatan kuadratik dari F(x) dan mempunyai derivasi pertama dan kedua yang sama di titik x(k). F(x) dapat di maksimisasi secara langsung. Jika titik x(k) berada disekitar titik optimum dari F(x) maka kurva F(x) merupakan F(x) pedekatan fungsi pada titik optimum. Jadi maksimisasi fungsi pendekatan F(x)merupakan pedekatan dari F(x) maksimisasi fungsi tujuan yang sebenarnya dari (lihat Gambar 1).
40 Persamaan:
41 a. Metode Newton-Raphson adalah metode iteratif yang digunakan untuk menemukan akar persamaan tak linier f(x) = 0. b. Dalam setiap iterasi, pendekatan baru 1 dihitung dengan menggunakan pendekatan sebelumnya. c. Iterasi berlanjut sampai perbedaan antara +1 dan,, lebih kecil dari suatu batas toleransi yang ditentukan sebelumnya. d. f(x) adalah fungsi yang mencari akarnya, dan f'(x) adalah turunan pertama dari fungsi tersebut. 2. Metode tali busur Berbeda dengan iterasi Newton – Raphson, yang hanya memerlukan sebuah hampiran awal, iterasi Tali Busur memerlukan dua buah hampiran awal. Akan tetapi dalam rumus iterasi Tali Busur tidak diperlukan perhitungan nilai turunan, melainkan perhitungan nilai sebuah fungsi di dua titik yang berbeda. Berikut adalah langkah-langkah penurunan iterasi Tali Busur, sebagaimana diilustrasikan pada contoh gambar berikut.
42 Pada langkah ke-n, sudah diketahui hampiran awal n x dan n 1 x -1 , n=1, 2, 3, … Tentukan persamaan tali busur (garis) yang yang melalui titik dan 1 1 (xn ,f (xn )) dan (xn-1 ,f (xn-1 )), yakni Hampiran berikutnya adalah absis titik potong tali busur tersebut dengan sumbu-x, yakni Metode Tali Busur (Secant Method), tidak ada persamaan linier yang digunakan untuk secara langsung mencari akar persamaan tak linier. Sebaliknya, metode ini menggabungkan dua pendekatan sebelumnya xn dan xn−1 untuk menghitung pendekatan baru xn+1 dalam setiap iterasinya menggunakan formula iteratif berikut: Dalam rumus di atas, f(xn) adalah nilai fungsi pada pendekatan xn, dan f(xn−1) adalah nilai fungsi pada pendekatan sebelumnya xn−1. Dengan kata lain, metode ini menghitung perbedaan rasio perubahan fungsi f(x) antara dua titik, xn dan xn−1, untuk mendekati akar persamaan tak linier.