43 Persamaan: 1. Metode Tali Busur juga merupakan metode iteratif yang digunakan untuk menemukan akar persamaan tak linier. 2. Dalam setiap iterasi, pendekatan baru +1 dihitung berdasarkan dua pendekatan sebelumnya, yaitu în dan în-1. 3. Metode ini mengkombinasikan ide dari Metode Newton-Raphson dengan interpolasi linear. 4. Tujuan utama metode ini adalah untuk mengatasi masalah konvergensi lambat yang mungkin terjadi dalam Metode NewtonRaphson. 3. Perhitungan akar persamaan dengan emt (elementary mathematical toolkit) Perhitungan Akar Persamaan dengan EMT (Elementary Mathematical Tools) adalah pendekatan yang menggunakan berbagai teknik matematika dasar untuk menemukan akar persamaan tak linier tanpa mengandalkan metode iteratif yang khas dalam Metode Newton-Raphson atau Metode Tali Busur. Metode ni dapat mencakup berbagai teknik tergantung pada jenis persamaan dan masalah yang dihadapi. Metode ini berguna ketika metode iteratif seperti Metode Newton-Raphson tidak sesuai atau terlalu rumit untuk diterapkan pada suatu masalah. Namun, metode ini mungkin lebih terbatas dalam kasus-kasus
44 tertentu dan mungkin tidak dapat digunakan untuk semua jenis persamaan tak linier. Salah satu contoh penggunaanya adalah menggunakan pembagian interval untuk mencari interval yang mengandung akar dan kemudian melakukan interpolasi atau metode lainnya dalam interval tersebut. Tools Python Output
45 Tools C++ Output
46 Tools PHP Output
47 BAB 5 INTERPOLASI POLINOMINAL BENTUK BAKU DENGAN POLINOMINAL NEWTON & METODE SELISIH TERBAGI NEWTON 1. Memahamkan pembaca tentang prinsip dasar interpolasi polinomial dan mengapa metode numerik menjadi krusial dalam konteks ini. 2. Menyajikan dengan jelas dan sistematis tentang Metode Newton sebagai salah satu pendekatan yang efektif dalam interpolasi polinomial. 3. Menjelaskan secara rinci tentang Metode Selisih Terbagi Newton, dan memberikan contoh kasus di mana metode ini sangat berguna. TUJUAN PEMBELAJARAN
48 etode numerik merupakan alat yang sangat penting dalam pemecahan berbagai masalah matematis dan fisika dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu aplikasi krusial dari metode numerik adalah dalam interpolasi polinomial, di mana kita dapat mengestimasi nilai di antara titik-titik data yang ada. Dengan semakin kompleksnya fenomena alam dan perkembangan teknologi, diperlukan pendekatan numerik yang tepat dan efisien untuk menghadapi tantangan ini. Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsi berdasarkan nilai-nilai fungsi tersebut pada sekumpulan titik yang diberikan (tabel nilai fungsi). Nilai-nilai fungsi tersebut mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan atau diperoleh melalui pengamatan dan pencatatan, misalnya suhu di suatu tempat, cacah kendaraan yang melewati sebuah ruas jalan raya, cacah penduduk di suatu daerah. Dalam hal ini, rumus fungsifungsi yang terkait tidak diketahui secara eksplisit (misalnya sebagai fungsi waktu), dan pengamatan/pencatatan tidak mungkin dilakukan sepanjang waktu, melainkan hanya pada waktu-waktu tertentu. Untuk mengetahui nilai-nilai fungsi pada waktu-waktu selain saat dilakukan pengamatan/pencatatan dapat digunakan interpolasi. Fungsi interpolasi biasanya dipilih dari sekelompok fungsi tertentu, salah satunya adalah fungsi polinomial yang paling banyak dipakai. Fungsifungsi polinomial banyak dipakai dalam interpolasi, karena fungsifungsi tersebut mudah dihitung nilainya (hanya menggunakan empat operasi aritmetika dasar: penjumlahan/pengurangan, perkalian/ pembagian). Selain itu, polinomial mudah diturunkan, diintegralkan, dan perilakunya baik - semua turunannya ada dan kontinyu. M
49 Interpolasi digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam bidang teori hampiran yang lebih umum. Berikut adalah beberapa masalah hampiran (aproksimasi) dan kemungkinan pemakaian interpolasi untuk menyelesaikannya. Interpolasi polinomial adalah teknik matematis yang digunakan untuk memperkirakan polinomial yang melewati sejumlah titik data yang diketahui. Dalam konteks ini, kita memiliki sejumlah titik data berpasangan dan tujuan utama interpolasi adalah untuk menemukan polynomial dengan derajat tertentu yang akan melewati semua titik data ini. Polinomial interpolasi umumnya ditulis dalam bentuk umum: Di sini, adalah polinomial interpolasi yang mencoba mendekati atau melewati titik-titik data yang diketahui. Koefisien-koefisien adalah yang harus kita tentukan agar polinomial ini memenuhi semua titik data. Polinomial Newton adalah salah satu metode yang digunakan untuk mengonstruksi polinomial interpolasi. Ide utama di balik Polinomial Newton adalah menggabungkan titik-titik data satu per satu dan membangun polinomial
50 secara bertahap. Polinomial Newton memiliki bentuk umum berikut: Di sini dan seterusnya adalah koefisien-koefisien yang harus kita hitung. Polinomial Newton membagi kontribusi dari masing-masing titik data sehingga kita dapat menghitungnya secara iteratif. Metode Selisih Terbagi Newton adalah alat penting dalam menghitung koefisien-koeifisien yang diperlukan dalam Polinomial Newton. Metode ini memungkinkan kita untuk menghitung koefisien-koefisien secara sistematis. Rumus umum untuk menghitung koefisien selisih terbagi Newton adalah sebagai berikut: Di mana adalah koefisien selisih terbagi yang menggambarkan kontribusi titik data
51 terhadap polinomial interpolasi. Proses perhitungan ini dilakukan secara berulang untuk mendapatkan semua koefisien yang dibutuhkan dalam Polinomial Newton. Sebuah tabel dibentuk yang disebut tabel perbedaan terbagi. Tabel perbedaan terbagi: Setiap metode memiliki kelebihan dan kekurangan sendiri dalam konteks interpolasi polinomial. Kelebihan Polinomial Newton antara lain kemudahan dalam penulisan polinomial dan pengurangan perhitungan yang harus dilakukan saat data tambahan diperoleh. Sementara itu, Metode Selisih Terbagi Newton membantu menghindari perhitungan ulang ketika titik data baru ditambahkan. Kekurangan keduanya adalah peningkatan kompleksitas perhitungan ketika jumlah titik data menjadi besar, dan kesalahan akibat pembulatan dalam perhitungan. .
52 Tools Python Output
53 Tools C++ Output \
54 Tools PHP Output
55 BAB 6 INTERPOLASI POLINOMINAL BENTUK BAKU DENGAN POLINOMINAL LAGRANGE SPLINE LINIER, KUADRATIK, KUBIK 1. Memahami hubungan data, khususnya antara penjualan produk dan waktu. 2. Menjelaskan penggunaan interpolasi (linear, eksponensial, dan polinomial) untuk menyajikan data dengan baik. 3. Memahami perbedaan regresi (menyatakan fungsi) dan interpolasi (mencari nilai antara titik-titik diketahui). 4. Menguraikan konsep dan langkah-langkah interpolasi linear dan Lagrange, dengan penekanan pada interpolasi Lagrange untuk menemukan titik-titik di antara data yang diketahui. TUJUAN PEMBELAJARAN
56 ermasalahan yang banyak berhubungan dengan pola suatu data adalah fungsi yang melibatkan data. Sebagai contoh bila diketahui data-data penjualan suatu produk, akan muncul pertanyaan adakah yang fungsi yang menyatakanbahwa penjualan merupa-kan fungsi dari waktu. Contoh kenyatan yang menunjukkan bahwa penjualan dipengaruhi oleh waktu ialah “penjualan es campur pada siang hari akan lebih baik dari pada penjualan di malam hari. Kenyataan tersebut dapat di katakana bahwa penjualan merupakan fungsi dari waktu .Persoalannya adalah bagaiman menyajikan fungsi tersebut.I ni adalah persoalan yang sangat tidak mudah untuk di pecahkan , karena betapa idealnya bila di ketahui suatu fungsi yang bias menyatakan penjualan adalah fungsi waktu atau di tuliskan dengan J = F (t ). Untuk dapat menyajikan fungsi , yang dapat di lakukan adalah menggunakan fungsi pendekatan , yaitu fungsi yang paling sesuai untuk menyatakan suatu data berdasarkan model fungsi tertentu seperti model fungsi linear , fungsi eksponensial , dan fungsi polinomeal .Cara pendekatan semacam ini di namakan dengan regeresi. Cara pendekatan yang lain bukan untuk menyatakan fungsi tetapi untuk mencari nilai – nilai antara titik – titik yang di ketahui sehingga pola fungsinya semakin jelas terlihat atau membentuk suatu kurva . Cara pendekatan ini di namakan dengan interpolasi. Interpolasi di gunakan untuk menentukan titik – titik yang lain berdasarkan fungsi pendekatan yang di tentukan sebelumnya. Interpolasi linear adalah suatu bentuk interpolasi untuk menentukan titik – titik antara dari titik –titik yang di ketahui menggunakan fungsi pendekatan yang berupa fungsi linear dengan interpolasi linear akan di peroleh sejumlah titik antara dua titik 1(1,1) dan 2 (2,2) P
57 .Interpolasi lagrange adalah suatu bentuk interpolasi dengan fungsi pendekatan berupa fungsi polinomal lagrange.Pada transformasi lagrange, fungsi polynomial pangkt n memerlukan n+1 titik.Bila jumlh titiknya 2 buah ,maka interpolasi lagrange akan menjadi interpolasi linear.Untuk mencari titik (, ) pada nilai x yang ditentukan dengan diketahui n buah titik (1,1), (2,2),…..,( ,) menggunakan interpolasi lagrange.. Andaikan kita memiliki tabulasi data yang terbebas dari kesalahan dan ingin menaksir harga(-harga) yang terletak di antara titik-titik data dalam tabel. Metode yang digu- nakan untuk maksud tersebut adalah interpolasi. Untuk (n+1) titik data, ada satu dan hanya satu polinom yang melewati semua titik data (derajat polinom n atau kurang dari n).. Interpolasi Bentuk interpolasi Yang paling sederhana adalah maghubungkan dua titik data dengan garis lurus.td<hnik ini
58 dinamakan interpolasi linear,dilukiskan saara grafis pada gambar diatas da-lgan memakai s±angun sehingga diperoleh: , Yang dapat di susun ulang menjadi (x-xo) Cara penulisan fl(x) menunjukkan bahwa ini adalah polinom interpolasi orde pertama (interpolasi lanjar).perhatikan bahv.ra disamping menyatakan kemiringan garis Yang menghubugkan titik-titik, bentuk [f(xl — xo) adalah hampiran (aproksimasi) beda hingga terbagi dari turunan pertama. urnumnya semakin kail sele diantara titik-titik data, sanakin baik hampirannya. Algoritma Irterpolasi 1. Tentukan dua titik PI dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x0,y0) dan (xl,yl) 2. Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari 3. Hitung nilai y dengan (xo) + (x-xo) 4. Tampilkan nilai titik ßlg banl Q(x,y) Interpolasi Kuadratik (polinom orde kedua) digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah) P1 (x0.y0), P2(x1,y1)dan P3(x2,y2) ,polinom kuadrat yang
59 digunakan untuk persamaan ini ialah: f2(x)=b0+ b1 (x-x0 )+ b2 (x-x0)(x-x1)……………………(P.12.3). Suatu prosedur yang sederhana dapat dipaki untuk menentukan nilai koefisien-koefisiennya.Untuk b_0 (P.12.3) dengan x=0 dapat dipakai menghitung ; b0=f(x_0)…………………………………………….(P.12.4) (P.12.4) dapat disubstitusikan ke (P.12.3) yang dapat dihitung pada x =x_1 untuk b_1= (f(x1 )-f(x0))/(x2-x0 )………………………………………………(P.12.5) Akhirnya, (P.12.4) dan (p.12.5) dapat disubstitusikan ke (P.12.3) yang dapat dihitung pada x=x2 dan dipecahakn(setelah melakukan manipulasi aljabar: Sebuah fungsi matematika (f(x))) dengan kode ((1,3,6,7,9)) diwakilkan oleh fungsi interpolasi polinomial (p(x))) berbasis lagrange. Pada tabel di bawah ini, diberikan nilai fungsi interpolasi polinomial (p(x))) pada beberapa titik tabel:
60 Tools Python Output
61 Tools C++ Output
62 Tools PHP Output
63 BAB 7 INTEGRASI NUMERIK : PENGERTIAN KUADRATUR DENGAN ATURAN JUMLAH KANAN/KIRI/TENGAH, ATURAN SIMPSON, SIMPSON 3/8, ATURAN BOOLE,METODE ROMBERG 1. Memahami pengertian integrasi numerik dan berbagai metode yang digunakan, seperti kuadratur dengan aturan jumlah kanan/kiri/tengah, aturan Simpson, Simpson 3/8, aturan Boole, dan metode Romberg. 2. Menerapkan metode-metode integrasi numerik tersebut untuk menghitung nilai integral suatu fungsi secara numerik. 3. Mengidentifikasi kelebihan dan kekurangan dari masingmasing metode integrasi numerik yang digunakan. 4. Mengembangkan pemahaman dan keterampilan dalam menggunakan metode integrasi numerik untuk memecahkan permasalahan matematika yang melibatkan integral. TUJUAN PEMBELAJARAN
64 ada saat ini, pemecahan persamaan atau fungsi matematika kompleks menjadi sangat penting dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Namun, terkadang kita tidak dapat menemukan solusi analitik yang eksak, sehingga diperlukan metode numerik untuk mengestimasi solusi tersebut. Salah satu metode numerik yang sering digunakan adalah integrasi numerik. Metode numerik adalah salah satu pendekatan yang digunakan dalam matematika komputasi untuk memecahkan masalah yang melibatkan perhitungan numerik. Metode ini mengandalkan pemodelan matematika dan implementasi algoritma komputasi untuk mendapatkan pendekatan solusi yang mendekati solusi yang sebenarnya. Integrasi numerik adalah salah satu teknik penting dalam ilmu matematika yang digunakan untuk menghitun g nilai integral dari suatu fungsi matematika dalam bentuk aproksimasi. Integrasi numerik menjadi sangat berguna ketika integral tersebut tidak dapat diselesaikan secara analitis atau ketika fungsi yang akan diintegralkan sangat rumit. Dalam makalah ini, kami akan membahas beberapa metode integrasi numerik yang umum digunakan, yaitu Kuadratur dengan Aturan Jumlah Kanan, Kiri, Tengah, Aturan Simpson, Simpson 3/8, Aturan Boole, dan Metode Romberg.. Metode kuadratur adalah metode numerik yang digunakan untuk menghitung integral secara numerik. Metode ini didasarkan pada aproksimasi integral menggunakan polinomial interpolasi. P
65 1. Pengertian Kuadratur Metode kuadratur adalah metode numerik yang digunakan untuk menghitung integral secara numerik. Metode ini didasarkan pada aproksimasi integral menggunakan polinomial interpolasi. Tujuan dari metode ini adalah untuk mendapatkan perkiraan nilai integral dengan tingkat akurasi tertentu. 2. Aturan Jumlah Kanan Aturan jumlah kanan merupakan salah satu metode kuadratur yang digunakan untuk menghitung integral dengan membagi interval menjadi beberapa subinterval dan menggunakan titik-titik pada sisi kanan setiap subinterval untuk menghitung nilai integral. Pada metode ini, diperlukan jumlah subinterval yang lebih besar untuk mendapatkan tingkat akurasi yang lebih baik. Rumus matematisnya sebagai berikut : 3. Aturan Jumlah Kiri Aturan jumlah kiri mirip dengan aturan jumlah kanan, namun titiktitik yang digunakan adalah pada sisi kiri setiap subinterval. Metode ini juga membagi interval menjadi beberapa subinterval dan menggunakan titiktitik pada sisi kiri setiap subinterval untuk menghitung nilai integral. Rumus matematisnya adalah sebagai berikut:
66 4. Aturan Jumlah Tengah Aturan jumlah tengah juga mirip dengan aturan jumlah kanan dan jumlah kiri, namun titik-titik yang digunakan adalah pada tengah setiap subinterval. Metode ini membagi interval menjadi beberapa subinterval dan menggunakan titik-titik pada tengah setiap subinterval untuk menghitung nilai integral. Rumus matematisnya adalah sebagai berikut: Aturan Simpson adalah metode kuadratur yang lebih akurat dibandingkan dengan aturan jumlah kanan/kiri/ tengah. Metode ini menggunakan polinomial orde dua (polinomial kuadrat) untuk mengaproksimasi integral. Aturan Simpson dapat digunakan untuk menghitung integral dari fungsi yang kontinu. Pengertian Aturan Simpson Aturan Simpson merupakan metode kuadratur yang menggunakan polinomial orde dua (polinomial kuadrat) untuk mengaproksimasi integral. Metode ini menghitung nilai integral dengan membagi interval menjadi subinterval dengan jumlah yang genap dan mengguna-kan polinomial kuadrat untuk mengaproksimasi integral pada setiap subinterval. Rumus matematisnya adalah sebagai berikut:
67 Di sini, $x_0$ adalah titik awal subinterval, $x_1$ adalah titik tengah subinterval, dan $x_2$ adalah titik akhir subinterval. Simpson 3/8 adalah variasi dari aturan Simpson yang memberikan tingkat akurasi yang lebih tinggi. Metode ini menggunakan polinomial orde tiga (polinomial kubik) untuk mengaproksimasi integral. Simpson 3/8 juga digunakan untuk menghitung integral dari fungsi yang kontinu. Pengertian Simpson 3/8 Simpson 3/8 merupakan variasi dari aturan Simpson yang menggunakan polinomial orde tiga (polinomial kubik) untuk mengaproksimasi integral. Metode ini membagi interval menjadi subinterval dengan jumlah yang kelipatan tiga dan menggunakan polinomial kubik untuk mengaproksimasi integral pada setiap subinterval. Rumus matematisnya adalah sebagai berikut: D. Aturan Boole adalah metode kuadratur yang menggunakan polinomial orde empat (polinomial kuartik) untuk mengaproksimasi integral. Metode ini memberikan tingkat akurasi yang lebih tinggi dibandingkan dengan aturan Simpson 3/8. Aturan Boole juga digunakan untuk menghitung integral dari fungsi yang kontinu.
68 Pengertian Aturan Boole Boole merupakan metode kuadratur yang menggunakan polinomial orde empat (polinomial kuartik) untuk mengaproksimasi integral. Metode ini menggunakan polinomial kuartik untuk menghitung nilai integral dengan 5 membagi interval menjadi subinterval dengan jumlah yang kelipatan empat. Rumus matematisnya adalah sebagai berikut: Metode Romberg adalah metode kuadratur yang menggunakan pendekatan iteratif untuk menghitung integral. Metode ini menggunakan kombinasi dari aturan jumlah kanan/kiri/tengah, aturan Simpson, dan aturan Boole untuk mendapatkan estimasi yang lebih akurat. Pengertian Metode Romberg Metode Romberg adalah metode kuadratur yang menggunakan pendekatan iteratif untuk menghitung integral. Metode ini menggunakan kombinasi dari aturan jumlah kanan/kiri/tengah, aturan Simpson, dan aturan Boole untuk mendapatkan estimasi yang lebih akurat. Metode ini dapat memberikan estimasi yang lebih akurat dengan jumlah iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan menggunakan metode kuadratur secara terpisah.
69 Tools Python Output
70 Tools C++ Output
71 Tools PHP Output
72
73 BAB 8 ITEGRASI NUMERIK DENGAN KUADRATUR GAUSS -LEGENDRE DAN PERHITUNGAN KUADRATUR DENGAN EM 1. Menjelaskan konsep integrase kuadratur gauss dalam 2. konteks metode numerik untuk memberikan pemahaman yang mendalam tentang jenis tersebut. 3. Mengidentifikasi relevansi pentingnya pemahaman tentang galat pembulatan dalam penggunaan metode numerik dalam menyelesaikan permasalahan matematika dan ilmu lainnya. 4. Mengetahui langkah-langkah algoritma metode integrasi kuadratur gauss. TUJUAN PEMBELAJARAN
74 etode Numerik adalah salah satu bidang penting dalam ilmu komputer dan matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan secara analitis. Dalam penggunaannya, metode numerik seringkali melibatkan perhitungan dengan bilangan pecahan, yang selalu melibatkan pembulatan angka. Dalam konteks ini, kuadrat gauss menjadi sangat relevan, karena dapat memengaruhi hasil akhir dari perhitungan numerik. Aproksimasi integrasi dalam metode numerik dapat terbagi menjadi dua bagian besar berdasarkan cara pengambilan panjang interval. Kedua macam metode aproksimasi tersebut bertujuan untuk memperoleh ketelitian yang lebih mendekati nilai sebenarnya dan kedua metode tersebut yaitu Metode Kuadratur Gauss Pendekatan lain dengan metode Kuadratur Gaus, nilai integrasi numeri cukup diperoleh dengan menghitung nilai fungsi f(x) pada beberapa titik tertentu. Pada Metode Kuadratur Gaus terdapat dua perumusan untuk mendapatkan nilai integrasi numerik, yaitu: Kuadratur Gaus dengan Pendekatan Dua Titik dan Kuadratur Gauss dengan Pendekatan Tiga Titik.. Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasi kan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan dengan berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain: 1. Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana. Sedangkan Masalah real yang komplek dan non linier tidak dapat diselesaikan. M
75 2. Metode Grafik, metode ini digunakan Sebagai pendekatan penyelesaian yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini Tidak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu. 3. Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan pemasukan data. Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai kelemahankelemahan metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami pula bawa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manual yang membosankan. Sehinggga waktu dapat lebih banyak digunakan untuk tujuan yang lebih kreatif, seperti penekanan pada formulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak terjebak dalam rutinitas hitung menghitung. Metode Integrasi Gauss atau Kuadratur Gauss merupakan metode yang tidak menggunakan pembagian area yang banyak, tetapi memanfaatkan titik berat dan pembobot integrasi. Metode ini secara komputasi memiliki banyak keuntungan karena mempunyai kecepatan yang tinggi hal ini ditunjukkan dengan jumlah pembaginya yang kecil dan dengan jumlah pembagi yang relatif kecil mempunyai kesalahan yang sama dengan metode lain dengan jumlah pembagi yang besar.
76 Metode integrasi Gauss dapat dijelaskan sebagai berikut : Gambar Integral dihampiri dengan kuadratur Gauss Pertama yang harus dilakukan adalah mengubah range x = [ a,b ] pada integrasi diatas menjadi u = [ − 1,1] dengan menggunakan perbandingan trapesium yang sebangun: diperoleh Sehingga bentuk integral dapat dituliskan menjadi :
77 Dimana : Sehingga diperoleh: Dari bentuk ini, dapat diambil sejumlah titik pendekatan yang digunakan sebagai titik acuan dalam integrasi kuadratur gauss sebagai berikut: Dengan c1, c2, x1, dan x2 adalah sembarang nilai yang dapat mewakili. Persamaan di atas menggunakan dua titik. Persamaan ini dapat diperluas menjadi 3 titik, 4 titik, dan seterusnya. Persamaan di atas memiliki empat buah variable yang tidak diketahui. Variabel-variabel tersebut harus diisi sedemikian sehingga galat yang dihasilkan minimum. Oleh karena itu dicari empat persamaan simultan yang mengandung c1, c2, x1, dan x2 . Dengan mengambil fungsi yang memiliki galat = 0 jika dihitung dengan aturan trapesium, dalam hal ini adalah f(x) = 1, f(x) = x, f(x)
78 Sehingga diperoleh 4 persamaan, yaitu : yang apabila dieliminasi menghasilkan : Jadi, diperoleh untuk n=2:
79 Untuk n selanjutnya bisa dilihat pada table n c x 2 1 = 1 2 = 1 3 1 = 0 Algoritma Metode Integrasi Gauss dengan n = 2 1. Definisikan fungsi f(x) 2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) 3. Hitung nilai konversi variabel : 4. Tentukan fungsi g(u) dengan: 5. Hitung: 2 = −√ 3 5
80 Pada aproksimasi integrasi f(x) pada interval *−1,1+, didefinisikan sebagai berikut: dengan xi adalah titik-titik pembuat nol (pn(x)), f(xi) adalah fungsi dengan variabel xi; wi adalah interval yang ditentukan (bobot); En(f) adalah galat atau error aproksimasi sebagai berikut: Dengan asumsi f(x) dapat diturunkan 2n kali dan kontinu pada *−1,1+ Misalkan diberikan sebuah fungsi f(x). Fungsi f(x) ini dapat dihampiri dengan menggunakan definisi sebagai berikut f(x) = Hn(x) + εn(x), dengan
81 Untuk mendapatkan rumus integrasi pada interval *−1,1] maka kedua ruas pada persamaan (2.1) diintegrasikan menjadi Dari persamaan (2.3), dengan i = 1,··· ,n diperoleh integral h ˜ i(x) dengan batas *−1,1]. Diketahui bahwa polinomial Legendre yang berderajat n adalah sebagai berikut , polinom berderajat 2n sehingga . Jadi Integrasi Kuadratur Gauss digunakan untuk menghitung jarak yang ditempuh sebuah roket. Gunakan Kuadratur Gauss untuk menghitung jarak yang ditempuh oleh sebuah roket dari a=8 dan b=30 yang diberikan dengan;
82 Penyelesaian: Ubah integral Dengan menggunakan tabel (2 titik) Jadi, integral = 11(296.8317) + 11(708.4811) = 11058 Secara analisis integral dapat diselesaikan yaitu 11061.34 sehingga error yang terjadi adala 11061.34 – 11058.44 = 2.90m
83 Menghitung integral dari fungsi f(x) = sqrt(x) pada interval [0, 2], dan kemudian menghitung error mutlak dengan menggunakan metode error mutlak (EM) Tools Python Output
84 Tools C++ Output
85 Tools PHP Output
86
87 BAB 9 PENURUNAN FUNGSI SECARA NUMERIK: METODE SELISIH MAJU,MUNDUR/ PUSAT DAN EKSTRAPOLASI RICHARDSON DAN TURUNAN TINGKAT TINGGI 1. Menguasai berbagai metode numerik untuk Menghitung turunan fungsi, termasuk metode Selisih Maju, Selisih Mundur, Selisih Pusat, Ekstrapolasi Richardson, dan Turunan Tingkat Tinggi. 2. Memahami konsep dan penerapan Metode Ekstrapolasi Richardson untuk meningkatkan akurasi perkiraan turunan. TUJUAN PEMBELAJARAN
88 enurunan fungsi secara numerik adalah suatu teknik dalam ilmu komputasi dan matematika yang digunakan untuk menghitung turunan suatu fungsi matematika. Turunan fungsi adalah salah satu konsep dasar dalam kalkulus yang menyajikan perubahan nilai suatu fungsi terhadap perubahan variabel independennya. Dalam banyak aplikasi ilmiah dan teknis, kita sering perlu menghitung turunan fungsi untuk menganalisis, memodelkan, atau mengoptimalkan sistem. Beberapa metode turunan numerik yang umum digunakan adalah metode selisih maju, selisih mundur, selisih pusat, ekstrapolasi Richardson, dan turunan tingkat tinggi. Metode selisih maju, selisih mundur, dan selisih pusat adalah metode turunan numerik yang paling sederhana. Metode ini didasarkan pada rumus beda hingga dengan orde ketelitian yang rendah. Metode selisih maju digunakan untuk menghitung turunan pada titik x dengan menggunakan nilai f(x) dan f(x+h). Metode selisih mundur digunakan untuk menghitung turunan pada titik x dengan menggunakan nilai f(x) dan f(x-h). Sedangkan metode selisih pusat digunakan untuk menghitung turunan pada titik x dengan menggunakan nilai f(x+h) dan f(x-h). Ekstrapolasi Richardson adalah metode turunan numerik yang digunakan untuk meningkatkan orde ketelitian dari metode selisih maju, selisih mundur, dan selisih pusat. Metode ini didasarkan pada prinsip bahwa hampiran turunan dengan orde ketelitian yang lebih tinggi dapat diperoleh dengan menggabungkan dua hampiran turunan dengan orde ketelitian yang lebih rendah. Turunan tingkat tinggi adalah metode turunan numerik yang digunakan untuk meningkatkan orde ketelitian dari metode selisih pusat. Metode ini didasarkan pada rumus beda hingga dengan orde ketelitian yang lebih tinggi. P
89 Metode numerik yang digunakan untuk menurunkan fungsi, yang merupakan salah satu konsep penting dalam analisis matematika dan ilmu rekayasa. Penurunan fungsi adalah proses untuk menghitung turunan suatu fungsi, yang memberikan kita informasi tentang bagaimana fungsi tersebut berubah ketika variabel independennya berubah. Terdapat berbagai metode numerik yang digunakan untuk menghitung turunan fungsi, dan dalam bab ini, kita akan membahas metode Selisih Maju, Selisih Mundur, Selisih Pusat, Ekstrapolasi Richardson, dan Turunan Tingkat Tinggi. Metode Selisih Maju adalah salah satu metode sederhana yang digunakan untuk menghitung turunan numerik dari suatu fungsi. Metode ini didasarkan pada pendekatan limit yang didekati dengan menggunakan beda hingga yang sangat kecil. Selisih maju menghitung turunan dengan mengambil nilai fungsi pada titik awal dan titik yang agak lebih maju, lalu membagi selisih antara kedua nilai ini dengan selisih antara kedua titik tersebut. Rumusnya adalah sebagai berikut: Misalkan f(x) adalah sebuah fingsi rill satu variabel dan termasuk kelas fungsi 2 . Perhatikan polinomial taylor berabjad 1 untuk f(x) disekitar x = 0: Dengan c adalah sebuah bilangan antara x dan 0 . Misalkan x = 0 + h, dengan h > 0. Maka dapat ditulis ulang sebagai
90 Jadi, Jika h mengecil, ( f (0 +ℎ ) – f (0 ))/h akan memberikan taksiran untuk nilai 1 .( 0). Ini berarti Galat didilam hampiran ini dinyatakan sebagai dengan M adalah batas atas 11 (x) pada [ 0,0 +ℎ ]. Batas galat dapat diturunkan dari deret taylor. Gambar 1 gradien busur sebagai hampiran gradien garis singgung rumus selisih maju Metode Selisih Mundur serupa dengan Selisih Maju, tetapi kali ini kita mengambil nilai fungsi pada titik awal dan titik yang agak lebih mundur, lalu membagi selisih antara
91 kedua nilai ini dengan selisih antara kedua titik tersebut. Rumusnya adalah: Misalkan kita memiliki fungsi g(x) = 2x^3 + 4x - 1. Hitunglah nilai pendekatan turunan fungsi ini pada x = 2 menggunakan metode mundur dengan h = 0.01. Metode mundur digunakan untuk menghitung pendekatan turunan dengan menggunakan rumus: g’(x) ≈ (g(x) - g(x - h)) / h Pada x = 2, kita dapat menghitung: g(2) = 2(2)^3 + 4(2) - 1 = 31 g(2 - 0.01) = 2(2 - 0.01)^3 + 4(2 - 0.01) - 1 = 30.959701 h = 0.01 Maka, kita dapat menghitung pendekatan turunan sebagai berikut: g’(2) ≈ (g(2) - g(2 - 0.01)) / 0.01 ≈ (31 - 30.959701) / 0.01 ≈ 4.0301 Jadi, nilai pendekatan turunan fungsi g(x) = 2x^3 + 4x - 1 pada x = 2 menggunakan metode mundur dengan h = 0.01 adalah 4.0301. Metode ini juga sederhana dan mudah digunakan, namun keakuratannya juga tergantung pada nilai h yang dipilih. Metode pusat menghitung pendekatan turunan dengan menggunakan perbedaan nilai fungsi di titik x+h/2 dan x-h/2. Rumusnya adalah sebagai berikut: f’(x) ≈ (f(x + h/2) - f(x - h/2)) / h Misalkan kita memiliki fungsi h(x) = 3x^2 + 2x + 1. Hitunglah nilai pendekatan turunan fungsi ini pada x = 0 menggunakan metode pusat dengan h = 0.1.
92 Jawab: Metode pusat digunakan untuk menghitung pendekatan turunan dengan menggunakan rumus: h’(x) ≈ (h(x + h/2) - h(x - h/2)) / h Pada x = 0, kita dapat menghitung: h(0) = 3(0)^2 + 2(0) + 1 = 1 h(0 + 0.1/2) = 3(0 + 0.1/2)^2 + 2(0 + 0.1/2) + 1 = 1.015 h(0 - 0.1/2) = 3(0 - 0.1/2)^2 + 2(0 - 0.1/2) + 1 = 0.985 h = 0.1 Maka, kita dapat menghitung pendekatan turunan sebagai berikut: h’(0) ≈ (h(0 + 0.1/2) - h(0 - 0.1/2)) / 0.1 ≈ (1.015 - 0.985) / 0.1 ≈ 3 Metode ini menghasilkan pendekatan turunan yang lebih akurat daripada metode selisih maju dan mundur, karena menggunakan perbedaan nilai fungsi di sekitar titik x. Namun, metode ini juga membutuhkan perhitungan lebih lanjut. Metode ekstrapolasi Richardson digunakan untuk meningkatkan akurasi pendekatan turunan dengan menggabungkan hasil dari beberapa pendekatan menggunakan nilai h yang berbeda. Dengan menggunakan pendekatan turunan yang didapatkan dari metode selisih maju dan mundur, kita dapat menghitung pendekatan turunan yang lebih akurat. Metode ini membutuhkan perhitungan yang lebih kompleks, namun dapat menghasilkan hasil yang lebih akurat.