93 Misalkan kita memiliki fungsi kontinu f(x) yang didefinisikan dalam interval [a, b]. Anda ingin mengestimasi nilai integral tertentu dari f(x) menggunakan Metode Ekstrapolasi Richardson. Berikut adalah beberapa informasi yang Anda miliki: Nilai integral yang sebenarnya dari f(x) pada interval [a, b] adalah I_0. Anda telah menghitung nilai integral menggunakan metode trapesium dengan h=0.1 dan mendapatkan I_1. Kemudian, Anda menghitung nilai integral lagi menggunakan h=0.05 dan mendapatkan I_2. Tentukan perkiraan nilai integral I_0 yang lebih akurat menggunakan Metode Ekstrapolasi Richardson dengan informasi ini. Jawaban: Anda dapat menggunakan rumus Metode Ekstrapolasi Richardson berikut untuk memperkirakan I_0 yang lebih akurat: I_0 ≈ I_2 + (I_2 - I_1) / [(h_2 / h_1)^p - 1] Di mana h_1 dan h_2 adalah lebar langkah pertama dan kedua, dan p adalah orde konvergensi metode trapesium (biasanya 2 untuk trapesium). Dalam kasus ini, h_1 = 0.1, h_2 = 0.05, I_1, dan I_2 adalah integral yang dihitung dengan lebar langkah tersebut. Anda dapat menghitung nilai I_0 dengan rumus ini. Metode turunan tingkat tinggi adalah metode yang menggunakan pendekatan turunan dengan nilai h yang sangat kecil. Dengan menggunakan pendekatan ini, kita dapat memperoleh hasil yang lebih akurat, namun juga
94 membutuhkan perhitungan yang lebih rumit dan waktu yang lebih lama. Anda ingin menghitung turunan ketiga dari fungsi f(x) pada titik tertentu x=a menggunakan Metode Turunan Tingkat Tinggi. Berikut adalah beberapa informasi yang Anda miliki: Nilai f(a) = 2 Nilai f(a+h) = 3 Nilai f(a+2h) = 6 Nilai f(a+3h) = 11 Tentukan perkiraan turunan ketiga f’’’(a) menggunakan Metode Turunan Tingkat Tinggi. Jawaban: Anda dapat menggunakan rumus turunan ketiga berorde tinggi dengan informasi ini. Turunan ketiga dapat dihitung dengan rumus berikut: f’’’(a) ≈ (-f(a+2h) + 2f(a+h) - 2f(a-h) + f(a-2h)) / (2h^3) Dalam kasus ini, h adalah langkah antara nilai-nilai f(x). Dengan nilai yang diberikan, Anda dapat menghitung perkiraan turunan ketiga f’’’(a) dengan menggunakan rumus di atas. Diketahui fungsi pada x ialah f(x) = ex sin5x + 3 dengan derivatif pertamanya f’(x) = ex sin5x + 5 excos5x dengan range nilai bawah sampai atas ialah 0 sampai 1 dengan interval h = 0,05 berapakah turunan fungsi dengan metode selish maju?
95 Tools Python Output
96 Tools C++ Output
97 Tools PHP Output
98
99 BAB 10 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA SECARA NUMERIK DENGAN METODE EULER, METODE HEUN, DAN METODE RUNGE-KUTTA 1. Memahami apa itu Persamaan Differensial 2. Memahami cara menggunakan metode Euler 3. Memahami cara menggunakan metode Heun 4. Memahami cara menggunakan metode Runge-Kutta TUJUAN PEMBELAJARAN
100 ersamaan diferensial merupakan perangkat matematis yang umum dijumpai dalam konteks teknik lingkungan. Kendati terdapat berbagai metode penyelesaian analitik, seringkali persamaan tersebut sulit atau bahkan tidak mungkin dipecahkan secara eksak. Dalam situasi ini, metode numerik menjadi pendekatan yang esensial untuk memperoleh solusi perkiraan. Dalam penelitian ini, fokus utamanya adalah pada metode numerik, yaitu Metode Euler, Metode Heun, dan Metode RungeKutta, yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Persamaan diferensial, baik biasa maupun parsial, sering kali muncul dalam konteks pemodelan dan analisis fenomena lingkungan, seperti perubahan populasi, transportasi zat kimia, dan dinamika fluida. Metode numerik menjadi krusial karena memungkinkan pendekatan diskritisasi terhadap domain waktu atau ruang, memungkinkan perhitungan dengan bantuan komputer. Seiring dengan itu, penelitian ini mencakup penjelasan mengenai Persamaan Diferensial dan tujuan metode numerik, khususnya Metode Euler, Metode Heun, dan Metode Runge-Kutta. Metode Euler, sebagai pendekatan sederhana, menjadi langkah awal dengan mengubah persamaan diferensial menjadi bentuk diskritisasi dengan interval waktu konstan. Metode Heun, sebagai pengembangan dari Metode Euler, menawarkan peningkatan akurasi dengan menggunakan rata-rata dari dua kemajuan yang dihitung. Sementara itu, Metode Runge-Kutta, yang lebih kompleks, memberikan tingkat akurasi yang lebih tinggi dengan menggunakan beberapa iterasi. Melalui pemahaman dan penerapan ketiga metode numerik ini, diharapkan penelitian ini dapat memberikan kontribusi dalam pemecahan masalah persamaan diferensial biasa yang sering muncul dalam konteks teknik lingkungan, memperluas P
101 wawasan tentang penerapan metode numerik, serta meningkatkan kemampuan peneliti dalam menangani tantangan perhitungan matematis yang kompleks. Persamaan diferensial merupakan persoalan matematis yang sering dijumpai dalam bidang teknik lingkungan. Sering kali suatu persamaan diferensial tidak dapat diselesaikan secara analitik sehingga diperlukan metode numerik untuk menyelesaikannya. Kita akan membahas masalah-masalah dalam persamaan diferensial dan metode penyelesaiannya. Adapun yang akan dibahas, antara lain: Metode Euler, Metode Heun, dan Metode Runge-Kutta. Persamaan diferensial secara numerik adalah metode matematika yang digunakan untuk mendekati solusi dari suatu persamaan diferensial, baik yang bersifat biasa maupun parsial, dengan bantuan komputasi. Persamaan diferensial sendiri adalah pernyataan matematika yang menggambarkan hubungan antara suatu fungsi dengan turunan-turunan dari fungsi tersebut. Solusi dari persamaan diferensial adalah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut. Namun, dalam banyak kasus, solusi eksak dari persamaan diferensial tidak dapat ditemukan secara analitik, atau mungkin sangat sulit untuk ditemukan. Inilah saatnya metode numerik menjadi penting. Metode numerik dalam konteks ini melibatkan proses diskritisasi, di mana domain waktu atau ruang dipecah menjadi langkah-langkah diskrit, dan persamaan diferensial diubah menjadi bentuk yang dapat dihitung dengan menggunakan teknik komputasi. Dengan demikian, persamaan diferensial secara numerik memungkinkan kita
102 untuk mendekati solusi secara akurat dengan bantuan komputer, yang sering kali diperlukan dalam berbagai aplikasi ilmiah, teknik, dan teknologi. Metode numerik untuk persamaan diferensial mencakup berbagai teknik seperti metode Euler, metode Runge-Kutta, dan metode Heun, yang digunakan tergantung pada tingkat akurasi yang diinginkan dan sifat dari persamaan diferensial yang dihadapi. Metode Euler adalah salah satu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial secara numerik. Metode ini adalah salah satu pendekatan yang paling sederhana dan sering digunakan dalam perhitungan komputasi karena kemudahannya dalam implementasi. Konsep dasar dari metode Euler adalah mengubah persamaan diferensial menjadi bentuk yang dapat dihitung dengan menggunakan langkah diskrit dalam domain waktu atau ruang. Metode Euler memecah domain kontinu menjadi langkah-langkah diskrit dengan interval waktu yang konstan. Kemudian, persamaan diferensial diaproksimasi dengan menggunakan turunan pertama (differensiasi) untuk menghitung perubahan sepanjang langkah waktu tersebut. Pendekatan ini sederhana, yaitu dengan menghitung nilai fungsi pada langkah berikutnya dengan menggunakan nilai sebelumnya ditambah dengan hasil perkalian turunan pertama dengan interval waktu. a. Rumus Rumus metode Euler untuk sebuah Persamaan Diferensial dalam
103 bentuk = (, ) : +1 = + ℎ ∙ (, ) Dimana: • +1 adalah nilai estimasi dari pada iterasi berikutnya • adalah nilai dari saat ini • ℎ adalah ukuran dari Step, yang merupakan penambahan pada variabel • adalah nilai dari saat ini • (, ) adalah turunan dari terhadap yang berada pada titik (, ). Algoritma Dalam konteks persamaan diferensial biasa, langkahlangkahnya adalah sebagai berikut: 1) Tentukan Persamaan Diferensial Mulailah dengan sebuah Persamaan Diferensial, = (, ), dan tentukan kondisi awal, contoh: (0) = 0 2) Tentukan Besar Step Pilih nilai yang kecil untuk ukuran Step, ℎ, yang akan digunakan untuk menentukan seberapa besar interval antara titik yang ada.
104 3) Tentukan nilai awal Tetapkan sebagai nilai awal 0 dan untuk kondisi awal 0 4) Lakukan Iterasi dengan: • Menghitung Slope Hitung Slope (, ) pada titik saat ini (, ) • Update nilai Increment nilai dengan Step, = + ℎ • Update nilai y Gunakan Slope untuk mengestimasi nilai terbaru dari , pada titik berikutnya, = ℎ ∙ (, ) 5) Ulangi langkah-langkah di atas sebanyak jumlah iterasi yang telah ditentukan atau sebanyak yang diperlukan, hingga sampai pada titik terakhir.
105 Tools Python Output
106 Tools C++ Output
107 Tools PHP Output
108 Amri, K. (2021). Penentuan Akar Persamaan Tak Linier Menggunakan Metode Prediktor-Korektor Halley. 2. Darmawan, R. N. (2016). Perbandingan Metode Gauss- Legendre, Gauss-Lobatto, dan Gauss-Kronrod pada Integrasi Numerik Fungsi Eksponensial. JMPM: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika, 1(2), 99. https://doi.org/10.26594/jmpm.v1i2.596 Devita, R., Si, S., & Si, M. (t.t.). Analisis Variansi Galat Mutlak Data Hasil Pengukuran Arus untuk Beberapa Besaran Tegangan pada Suatu Resistansi. Handojo, A., Andjarwirawan, J., Setyawan, E., & Kristianto, L. S. (t.t.). PEMBANGUNAN JARINGAN KOMPUTER NIRKABEL DENGAN FREEBSD SEBAGAI GATEWAY. 3(2). Hariastuti, R. M. (t.t.). INTERPOLASI POLINOMIAL LEGENDRE DENGAN METODE PENYELESAIAN POLINOM NEWTON DAN ALGORITMA NEVILLE. Hasanuddin, H. (2020). Analisis Galat Energi dan Galat Fase Metode Forward 4th Order Symplectic Chin-Chen untuk
109 Kasus Sistem Osilator Harmonik Sederhana. POSITRON, 10(2), 9. https://doi.org/10.26418/positron.v10i2.40023 Hurit, R. U., Puka, A. O. B., & Maing, M. Y. (2024). PENERAPAN METODE EULER DAN HEUN PADA PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH. 7. Hutagalung, S. N. (2017). PEMAHAMAN METODE NUMERIK (STUDI KASUS METODE NEW-RHAPSON) MENGGUNAKAN PEMPROGRMAN MATLAB. 1. Muhammad Julian, Lukita Ambarwati, & Yudi Mahatma. (2022). Penentuan Derajat Optimum Interpolasi pada Metode Lagrange dan Metode Newton Gregory dalam Mengestimasi Kasus Pasien Sembuh dari Covid-19 di Indonesia. JMT : Jurnal Matematika dan Terapan, 4(1), 11–18. https://doi.org/10.21009/jmt.4.1.2 Nugraha, A. M. (t.t.). Penyelesaian Numerik Persamaan Differensial Biasa Orde Satu dan Orde Dua Berbasis Graphical Unit Interface MATLAB. Radesa, A., . N., & Ginting, B. (2016). INTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE MENGGUNAKAN PENDEKATAN INTERPOLASI HERMITE DAN POLINOMIAL LEGENDRE. Jurnal Matematika UNAND, 5(1), 148. https://doi.org/10.25077/jmu.5.1.148-153.2016 Sahfitri, V. (2012). IMPLEMENTASI DAN ANALISIS TINGKAT AKURASI SOFTWARE PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER DENGAN METODE FIXED POINT ITERATION DAN METODE BISECTION. Siswipraptini, P. C. (2015). PENENTUAN TINGKAT DAYA DUKUNG IMPLEMENTASI APLIKASI SIMULASI AKAR PERSAMAAN ITERASI SATU TITIK MATA KULIAH
110 METODE NUMERIK DI STT PLN. JURNAL TEKNIK INFORMATIKA, 8(1). https://doi.org/10.15408/jti.v8i1.1933 Sukarna, S., Abdy, M., & Rahmat, R. (2020). Perbandingan Metode Iterasi Jacobi dan Metode Iterasi Gauss-Seidel dalam Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Fuzzy. Journal of Mathematics, Computations, and Statistics, 2(1), 1. https://doi.org/10.35580/jmathcos.v2i1.12447 Wicaksono, S. R., Valentina, I., Ekadana, F. A., & Chandra, M. N. (2021). Pengukuran Kualitas Perangkat Lunak Menggunakan Function Point Analysis (Studi Kasus: Fishbowl). Decode: Jurnal Pendidikan Teknologi Informasi, 1(2), 43–49. https://doi.org/10.51454/decode.v1i2.8 Wijaya, J. Y. (t.t.). Perbandingan Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Menggunakan Metode Backpropagation, Euler, Heun, dan Runge-Kutta Orde 4.
111 Ibnu Saputra menyelesaikan Pendidikan dasar dan menengah di SDN Jurang Mangu Barat 01, SMP Yapia Pondok Aren dan SMK Yapia Pondok Aren, untuk perguruan tinggi sekarang saya masih menjadi mahasiswa di Universitas Pamulang dan mengambil studi Teknik Informatika. Mudah-mudahan dengan adanya buku ini dapat menambah pengetahuan dan praktik dalam mempelajari Metode Numerik A. Nurul Anwar. S. Kom. M. Kom. Lulus S1 di Program Studi Teknik Informatika Universitas Pamulang tahun 2016. Lulus S2 di STEMIK Eresha tahun 2018. Saat ini adalah dosen tetap Universitas Pamulang. Mengampu mata kuliah Pengantar Aplikasi Komputer, Keamanan Komputer dll. Aktif menulis artikel di berbagai jurnal ilmiah. Pernah tampil pada seminar prosiding
112 . Thoyyibah. T. S. Kom. M. Kom. Lulus S1 di Program Studi Teknik Informatika Fakultas Sains dan Teknologi tahun 2011. Lulus S2 di IPB tahun 2014. Lulus S3 di BINUS tahun 2023. Saat ini adalah dosen tetap Universitas Pamulang. Mengampu mata kuliah Komunikasi Data, Jaringan, Automata, Kecerdasan Buatan, Logika Informatika dll. Aktif menulis artikel di berbagai jurnal ilmiah. Beberapa kali menjadi pemakalah seminar prosiding nasional dan Internasional.
113