ค32212-คณิตศาสตร์เพิ่มเติม-นายอิสระ สระแก้ว

เอกสารประกอบการสอน ม.5
วชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม
เร่อื ง จานวนเชงิ ซ้อน

ผูส้ อน
นายอิสระ สระแก้ว

ครู คศ. 1
กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

ช่อื – สกลุ ....................................................................
เลขท่ี ....... ม.5/.....

จำนวนเชิงซ้อน 1

จานวนเชิงซ้อน ( Complex Number )

นิยาม จานวนเชิงซอ้ น คือ จานวนซ่ึงเขียนในรูปคูอ่ นั ดบั (a , b) โดยที่ a , b R ถา้ z = (a , b) เป็น
จานวนเชิงซอ้ นใดๆ เม่ือ a , b R เรียก a วา่ ส่วนจริง (real part) ของ z เขยี นแทนดว้ ย Re(z)
เรียก b วา่ ส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z เขียนแทนดว้ ย Im(z)
เซตของจานวเชิงซอ้ น เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ C

เช่น (-1,2) , (7,9) , (-2,  ) , (0,-4) , (-2,0) , (0,0)

นิยาม ให้ (a , b) เป็ นจานวนเชิงซ้อนใด ๆ เม่ือ a , b , c , d R
1. การเท่ากัน

(a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c , และ b = d
เช่น จงหาคา่ ของ x และ y เมื่อกาหนด

1. (x, -2) = (5 , y)
ดงั น้นั x = 5 และ y = -2

2. (3x, y-x) = (6 , 0)

3. (x + 2y , 3) = (3 , 2x - y)

จำนวนเชิงซ้อน 2

จำนวนเชงิ ซ้อน 3

2. การบวก
(a , b) + (c , d) = (a+ c , b + d)

เช่น 1. (3 , -4) + (6 , 2) =

2. (-1 , 2) + (2 , -3) + (3 , 2 ) =

3. การคูณ
(a , b) (c , d) = (ac - bd , ad + bc)

เช่น 1. (3 , 2) (1 , 1) =

2. (4 , -2) (-3 , 1) =

3. (-2 , -1) (-7 , 2) =

4.( 2 3 , 1) ( 4 3 , -3) =

5.( 2 , 2 ) (- 2 ,- 2 ) (0 , 3 ) =

การเขยี นจานวนเชิงซ้อนในรูป a + bi

นิยาม (a , b) เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ เม่ือ a , b R ดงั น้นั (a , b) = a + bi

โดยท่ี a เรียกวา่ ส่วนจริง b เรียกส่วนจนิ ตภาพ และ i เรียกหน่วยจนิ ตภาพ (imaginary unitc) ซ่ึง i = (

0 , 1) เช่น ( 3 , 4) = 3 -4i

( -1 , 7) = -1 + 7i จานวนเชิงซอ้ น

( 0 , 4 ) = 4i จานวนจินตภาพ

( -6 , 0) = -6

( 0 , 0) = 0 จานวนจริง

จำนวนเชงิ ซ้อน 4

หมายเหตุ

1. จานวนเชิงซอ้ น แบ่งเป็น 2 ประเภท คอื

- จานวนจริง จะมีส่วนจินตภาพเป็ น 0

- จานวนจนิ ตภาพ จะมีส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 เช่น 2 + 3i

(ถา้ ส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจนิ ตภาพไม่เป็น 0 เรียกวา่ จานวนจนิ ตภาพแท้ เช่น 7i )

2. การบวกและการคูณจานวนเชิงซอ้ น

ให้ (a , b) = a + bi , (c , d) = c + di เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ เม่ือ a , b , c , d R ดงั น้นั

(a , b) + (c , d) = (a +c , b +d)

หรือ (a + bi) + (c + di) = (a +c) +( b +d)i

(a , b) (c , d) = (ac – bd , ad +bc)

หรือ (a + bi) (c + di) = (ac – bd , ad +bc)i

ตัวอย่าง จงหาคา่ ของ
1. ( 3 2 + i) + (7i - 2 )

2. (2 + 3i) (7 - i )

3. (5i - 1) ( 2i )

4. 4(1 + 3i)

จำนวนเชงิ ซ้อน 5

5. (3i) ( - 2 i )

3. เม่ือ i = ( 0 , 1) ดงั น้นั i2 = -1 , i3 = - i , i4 = 1
สามารถนาความรู้การคูณพหุนาม มาใชใ้ นการคูณจานวนเชิงซอ้ นไดโ้ ดยท่ี
(2i - 1) ( 1 + 3i)

4. สมบัตทิ เ่ี กยี่ วข้องกบั การบวกและการคูณของจานวนเชิงซ้อน

กาหนดให้ z1 , z2 , z3 เป็ นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ จะไดว้ า่

1. z1+ z2 + z2+ z1 และ z1z2 + z2z1 สมบตั ิการสลบั ที่

2. (z1+ z2) + z3 = z1+ (z2 + z3) และ (z1z2) z3 = z1(z2 z3) สมบตั ิการเปล่ียนกลุ่ม

3. z1 (z2+ z3) = z1z2+ z1z3 สมบตั ิการแจกแจง

5. สังยคุ (Conjugate) ของจานวนเชิงซ้อน
นิยาม ให้ z = (a , b) = a + bi เป็นจานวนเชิงซ้อนใดๆ เมื่อ a , b R
ดงั น้นั z แทนสงั ยคุ ของ z โดยท่ี z = (a , - b) = a - bi
เช่น 2  3i  2  3i ,  7  2i  7  2i
ข้อสังเกต การคูณจานวนวเชิงซอ้ นใดๆ กบั สงั ยคุ ของจานวนเชิงซอ้ นน้นั ๆ

zz =

จำนวนเชงิ ซ้อน 6

ตัวอย่าง จงหาผลคูณของ
1. (3 – 2i) ( 3 + 2i)

2. (2 + 4i) ( -2 - i)(-2 + i)( 2 – 4i)

สมบตั ิของสังยคุ ของจานวนเชิงซ้อน

ให้ z , z1 , z2 เป็ นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ จะไดว้ า่

1. Re(z) = 1 (z  z) และ Im(z) = 1 (z  z)
2i
2

2. z = z

3. ในกรณีท่ี z ≠ 0 จะไดว้ า่ (z 1)  1  1

(z) z

4. z1  z2  z1  z2

5. z1  z2  z1  z2

6. z1z2  z1 z2

7. z1  z1 , z2 0
z2 z2

หน่วยจนิ ตภาพ (Imaginary unitc) ดงั น้นั
นิยาม ให้ i = ( 0 , 1) =
=
i2 = ( 0 , 1) ( 0 , 1) =
i3 = i2 i
i4 = (i2)2 1
ดงั น้นั i4 = i0 =

จำนวนเชิงซ้อน 7

ถา้ k แทนจานวนเตม็ บวกใดๆ
ik = i4m + x
= (i4)m ix
= (1)m ix
= 1 ix

ดงั น้นั ik = ix เม่ือ x = 0 ,1 , 2 , …
และ i0 = 1 , i = i , i2 = -1 , i3 = -i

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ

1. i37

2. i103

3. i 2552

4. i9 i20  i27i33  i43i50

จำนวนเชิงซ้อน 8

แบบฝึ กหัด

1. i  i2  i3  i4

2. in  in1  in2  in3

3. ii 2i3i4

4. i ni n1in2i n3

จำนวนเชงิ ซ้อน 9

ตัวอย่างที่ 2 จงทาใหเ้ ป็นผลสาเร็จ

1. i57  i58  i59  i60
2. i  i2  i3  ...  i95

3. i10  i11  i12  ...  i79

4. i26i27i28i 29
5. i i2i3...i178

จำนวนเชิงซ้อน 10

6. i52i53i54...i2009

i26  i27  i28  ...  i2552
7. i 22  i33  i 44

8. in1in3in5in7

จำนวนเชิงซ้อน 11

9. in1  in3  in5  in7

เอกลักษณ์และอินเวอร์สการบวกจานวนเชิงซ้อน

นิยาม ให้ z = (a , b) = a + bi เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ

1. เอกลกั ษณ์การบวกจานวนเชิงซ้อน

( 0 , 0 ) = 0 + 0i = 0 เป็นเอกลกั ษณ์การบวกจานวนเชิงซอ้ น

2. อินเวอร์สการบวกจานวนเชิงซ้อน

- z = (-a , -b ) = - a – bi เป็นอินเวอร์สการบวกจานวนเชิงซอ้ นของ z

เช่น

อินเวอร์การบวกของ (-2 , 1) คอื

อินเวอร์การบวกของ 3+2i คือ

อินเวอร์การบวกของ -7 + i คอื

การลบจานวนเชิงซ้อน

นิยาม ให้ z1 = ( a , b) = a + bi , และ z2 = (c , d) = c + di เป็ นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ

ดงั น้นั z1  z2  z1  (z2 )

แสดงวา่ z1  z2  (a, b)  (c, d )  (a  c, b  d )

หรือ z1  z2  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i

ตวั อย่าง จงหาค่าของ

จำนวนเชิงซ้อน 12

1. (2 , 3) - ( 6 , -9) + (5 , -8)
2. (-10 - 5i) + ( 3 – 4i ) – ( 8i - 7)

3. i17  (1  2i)  ( 2  i)  8i2

เอกลกั ษณ์และอนิ เวอร์การคูณจานวนเชิงซ้อน

นิยาม ให้ z = ( a , b) = a + bi เป็ นจานวนเชิงซ้อนใดๆ
1. เอกลักษณ์การคูณจานวนเชิงซ้อน

( 1 , 0 ) = 1 + 0i เป็นเอกลกั ษณ์การคูณจานวนเชิงซอ้ น

2. อนิ เวอร์สการคูณจานวนเชิงซ้อน

z 1  (a2 a , a b 2 )  a2 a  a2 b i  a  bi
 b2 2 b  b2  b2 a2  b2

ตวั อย่าง จงหาอินเวอร์การคูณของจานวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปน้ี

1. ( 3 , -4)

a2  b2  (3)2  (4)2  9  6  25

ดงั น้นั อินเวอร์การคูณจานวนเชิงซอ้ น ( 3 , -4) คอื  3 , 4 

 25 25 

จำนวนเชงิ ซ้อน 13

2. 3  2i

3.  3i
4. 7

การหารจานวนเชิงซ้อน

นิยาม z1 , z2 เป็ นจานวนเชิงซ้อนใดๆ z2 ≠ ( 0 , 0)

ดงั น้นั z1  z1z21 เม่ือ z21 เป็ นอินเวอร์สการคูณของ z2
z2

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลหารของ 4  3i

3  2i

จำนวนเชงิ ซ้อน 14

หมายเหตุ การหารจานวนเชิงซอ้ นอาจใชส้ งั ยคุ ของจานวนเชิงซอ้ นมาใชไ้ ด้
โดยอาศยั หลกั การ (a+bi)(a-bi) = a2 + b2

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคา่ ของ 2  i

4i

ตัวอย่างที่ 3 จงทาให้เป็นผลสาเร็จ
1. i  5  2i

1  3i 1  3i

2. 4  3i  5  3i

1i 2i

จำนวนเชิงซ้อน 15

3. 2  3i  1  3i

2  6i 2  i

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาคา่ ของ x และ y จากสมการ
1. 5x   4  20  yi

2. (3  i)2  x  2  yi   9

จำนวนเชิงซ้อน 16

3. (x  2y)  (2x  y)i  8  i

4. (2  i)(x  yi)  i  3

กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน
แกนจินตภาพ

แกนจริง

จำนวนเชิงซ้อน 17

ถา้ z = (a , b) = a + bi เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ กราฟของ z เขยี นได้ 2 แบบ คือ
1. จดุ (a , b)
2. เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มตน้ (0 , 0) และ จดุ สิ้นสุด ( a , b)

ตวั อย่างท่ี 1 จงเขียนจุดแทนจานวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปน้ี ( -2 , 3) , 4 + i , -3

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนเวกเตอร์แทนจานวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปน้ี
z1 = -4 + 2i
z2 = i(3-4i)
z3 = (6 - 5i) + (-1 + 5i)
z4 = (2 - i)2

นิยาม ค่าสมั บรู ณ์ ( absolute value ) ของจานวนเชิงซอ้ น a + bi คอื ระยะทางระหวา่ งจดุ กาเนิด (0 , 0) กบั
จุด ( a , b) เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ a  bi โดยท่ี a  bi  a2  b2 หรือ

(a, b)  a2  b2

ตัวอย่าง
1. 2  3i  (2)2  ( 3)2  4  3  7
2.  3  1 i

22

จำนวนเชิงซ้อน 18

3. 4i

4.  3

สมบัติของค่าสัมบูรณ์

กาหนดให้ z ,z1 , z2 เป็ นจานวนเชิงซอ้ น จะไดว้ า่
1. z 2  z  z

2. z   z  z

3. z.z1 z2 .... zn  z . z1 . z2 ... zn
4. z = 0 ก็ตอ่ เมื่อ z=0

5. z1  z 1  1 เมื่อ z0
z

6. z1  z1 , z2  0
z2 z2

สมบตั ิอื่นๆ ท่ีควรทราบ
1. ถา้ z = (a , 0) แลว้ z = a
2. ถา้ z = (0 , b) แลว้ z = b
3. ถา้ z เป็ นจานวนเชิงซอ้ น และ n เป็ นจานวนเตม็ บวกแลว้ zn  z n ,n  I

4. z1  z2  z1  z2
5. z1  z2  z1  z2
6. z1  z2  z1  z2

ตัวอย่างที่ 1 จงหา z1 เม่ือ z = 5 + (3 – 4i ) + (7i - 6)

จำนวนเชิงซ้อน 19

จำนวนเชงิ ซ้อน 20

ตวั อย่างท่ี 2 ถา้ z = 3 + i แลว้ จงหาคา่ สมั บรู ณ์ของ z3

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ 1  5i2 (6  3i)

 2i(12  5i)(1  3i)

ตวั อย่างท่ี 4 กาหนด (2 + i)(a + bi)(3 - i) = 1 – 5i จงหาคา่ ของ a  bi

จำนวนเชงิ ซ้อน 21

จานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงข้ัว ( Polar Form of Complex Numbers )

A(a,b)

b

b



0a

จากรูป OA แทนจานวนเชิงซอ้ น a + bi ดงั น้นั a + bi = rcos   i sin  
ซ่ึง 1. เรียกจานวนเชิงซอ้ นในรูป rcos   i sin   วา่ รูปเชิงข้วั ( Polar Form) ของ a + bi

2. r เรียกวา่ โมดูลสั ของ a + bi
3.  ยกวา่ อาร์กิวเมนต์ ของ a + bi
โดยท่ี r  a  bi  a2  b2

x  r cos
y  r sin 

และ tan   b เม่ือ a ≠ 0

a

ตัวอย่างที่ 1 จงเขยี นจานวนเชิงซอ้ นต่อไปน้ีในรูปเชิงข้วั
1. 3  i

จำนวนเชงิ ซ้อน 22

2.  2  2i

3.  10

4. 5i

ตวั อย่างที่ 2 จงเขียนจานวนตอ่ ไปน้ีในรูป a + bi
1. 3 2(cos 225  i sin 225)

จำนวนเชิงซ้อน 23

2. 2(cos330  i sin 330)

3. 9(cos 270  i sin 270)

นิยาม ให้ z  r(cos  i sin  ) , z1  r1(cos 1  i sin 1),

z2  r2 (cos 2  i sin 2 ) เป็นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ

1. ถา้ z1 = z2 แลว้ r1  r2 และ 1  2
2. z  r เม่ือ z เป็ นค่าสมั บรู ณ์ของ z

3. z  rcos()  i sin() เม่ือ z เป็ นสงั ยคุ ของ z

4. z1  1  1 cos  i sin  , z  0

zr

5. z1z2  r1r2[cos(1  2 )  i sin(1  2 )]

6. z1  r1 [cos(1  2)  i sin(1  2 )]; z2  0
z2 r2

7. zn = rn (cos n  i sin n ), n  I (เรียกวท่ ฤษฏบี ทของเดอร์มวั )

จำนวนเชงิ ซ้อน 24

ตวั อย่าง จงเขียนจานวนเชิงซอ้ นตอ่ ไปน้ีในรูป a + bi

1. 2 3(cos 11  i sin 11 )4(cos 4  i sin 4 )
6 6 3 3

2. 8(cos 30  i sin 30)

2(cos 240  i sin 240)

3. (  1  3 i)14

22

จำนวนเชิงซ้อน 25

   4. 2(cos 75  i sin 75) 3 108(cos 213  i sin 213)
18(cos 468  i sin 468)

รากท่ี n ของจานวนเชิงซ้อน
ทฤษฏีบท

ถ้า z  r(cos  i sin ) เป็ นจานวนเชิงซ้อนใดๆ n เป็ นจานวนเต็มบวกท่ี มากว่า 1 รากท่ี n
ของ z มที ้งั หมดที่แตกต่างกนั n รากคือ

zk  n r cos(  2k )  i sin(  2k ), k  0,1.2,3,..., n  1
n n

ตัวอย่างที่ 1 จงหารากทีส่ องของ 2(cos   i sin  )

33

จำนวนเชิงซ้อน 26

ตวั อย่างท่ี 2 จงหารากท่สี ามของ 1

ตัวอย่างที่ 3 จงหารากท่ี 4 ของ  8  8 3i

จำนวนเชงิ ซ้อน 27

ทฤษฏบี ท

กาหนด z = a + bi เป็ นจานวนเชิงซอ้ นใดๆ และ r = z  a2  b2 จะไดว้ า่ รากท่ีสองของ z คือ

  ra  r  a i  เมื่อ b
 2 2 เมื่อ b < 0


  ra  r  ai 
 2 2

ตัวอย่าง จงหารากทสี่ องของ
1. 2  2 3i

2. 1  3i

สมการพหุนาม (Polynomial Equation)

สมการพหุนาม คือ สมการท่ีเขียนในรูป

an xn + an-1 xn -1 + an-2 xn -2 + …+ a1 x + a0 = 0
เม่ือ n เป็ นจานวนเตม็ บวก an , an-1 , an-2 , … , a1 , a0 เป็ นจานวนจริงที่ an ≠ 0 ถา้ ม มี a + bi เป็ นคาตอบของ
สมการแลว้ a – bi จะเป็นคาตอบของสมการดว้ ย เม่ือ a และ b เป็นจานวนจริง โดยท่ี b ≠ 0

เช่น 3x + 5 = 0 เรียกสมการเชิงเสน้ (Linear Eqution)

2x2 – x – 1 = 0 เรียกสมการกาลงั สอง (Quadratic Eqution)

x3 – 27 = 0

จำนวนเชิงซ้อน 28

ทฤษฏบี ท
1. ถา้ p(x) เป็ นพหุนามท่ีมีดีกรีมากกวา่ 0 แลว้ สมการ p(x) = 0 จะมีคาตอบทเ่ี ป็นจานวนเชิงซอ้ น

อยา่ งนอ้ ยหน่ึงคาตอบ
2. ถา้ p(x) เป็นพหุนามดีกรี n  1 แลว้ สมการ p(x) = 0 จะมีคาตอบอยา่ งนอ้ ย 1 คาตอบ มากสุด n

คาตอบ (คาตอบอาจจะซ้ากนั ได)้
3. กาหนด p(x) เป็ นพหุนามท่มี ีดีกรีมากกวา่ หรือเทา่ กบั 1 จะไดว้ า่ พหุนาม p(x) มี x – c เป็นตวั

ประก็ตอ่ เม่ือ P(c) = 0
4. กาหนด p(x) เป็ นพหุนามในรูป an xn + an-1 xn -1 + an-2 xn -2 + …+ a1 x + a0 โดยที่ n เป็ นจานวน

เตม็ บวก an , an-1 , an-2 , … , a1 , a0 เป็ นจานวนเตม็ ที่ an ≠ 0
ถา้ x - k เป็นตวั ประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจานวนเตม็ ซ่ึง m ≠ 0 และ หรม. ของ m

m

และ k คอื 1 แลว้ m หาร an ลงตวั และ k หาร a0 ลงตวั
5. ถา้ จานวนเชิงซอ้ น z เป็นคาตอบของสมการพหุนาม
P(x) = an xn + an-1 xn -1 + an-2 xn -2 + …+ a1 x + a0 = 0

โดยทส่ี มั ประสิทธ์ิ an , an-1 , an-2 , … , a1 , a0 เป็ นจานวนจริง เม่ือ a + bi เป็ นคาตอบของสมการแลว้ a – bi
เป็นคาตอบของสมการดว้ ย เมื่อ b ≠ 0

การแก้สมการเชิงเส้นใช้สมบตั กิ ารเท่ากัน
ตวั อย่าง จงแกส้ มการต่อไปน้ี
1. 2x + 7i = 15

2. (1  3i)x  2  0

จำนวนเชิงซ้อน 29

3. 7ix  (4  i)(2  3i)  0

4. x  3i  4  xi

การแก้สมการควอดราติก ใช้การแยกตัวประกอบ หรืออาจจะใช้สูตร จากสมการ
ax2 + bx + c , a ≠ 0 แลว้ x   b  b2  4ac โดยที่

2a

1. b2 – 4ac = 0 แลว้ x   b เป็ นจานวนจริง 1 คาตอบ

2a

2. b2 – 4ac > 0 แลว้ x เป็ นจานวนจริง 2 คาตอบ
3. b2 – 4ac < 0 แลว้ x เป็ นจานวนเชิงซอ้ น 2 คาตอบ ซ่ึง x   b | b2  4ac | i

2a

ตวั อย่าง จงแกส้ มการตอ่ ไปน้ี
1. x2  4x  1  0

จำนวนเชิงซ้อน 30

2. 2x2  3x  5  0
3. x2  4i  0
4. x2  3ix  4  0
5. x2  (2i  3)x  5  i  0

จำนวนเชิงซ้อน 31

การแก้สมการพหุนามกาลังมากกว่า 1 ใช้การแยกตวั ประกอบหรือบางกรณใี ช้ทฤษฏเี ศษเหลือ
ตวั อย่างท่ี 1 จงแกส้ มการต่อไปน้ี
1. 2x3  ix2  8x  4i  0

2. x4  x2  6  0

3. x3  i  0

จำนวนเชิงซ้อน 32

ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคาตอบของสมการต่อไปน้ี
1. x3  2x2  3x  10  0

2. 2x4  5x2  5x  2  0

จำนวนเชิงซ้อน 33

ข้อสังเกต

1. ถา้ r1 , r2 เป็ นรากของสมการ x2  Ax  B  0 แลว้

r1 + r2 = - A และ r1 r2 = B

เช่น x2  (2i  3)x  5  i  0 x = 2 – 3i , 1 + i

ผลบวกของรากของสมกา ร = -A = - (2i - 3) = 3 – 2i

ผลคูณของรากของสมการ = B = 5 - i

2. ถา้ r1 , r2 , r3 เป็ นรากของสมการ x3  Ax2  Bx  c  0 แลว้
r1 + r2 + r3 = -A และ r1 r2 r3 = - c

เช่น x3  2ix2  x  2i  0 , x =  i,2i

ผลบวกของรากของสมการ = -A = - 2i

ผลคูณของรากของสมการ = - c = - 2 i

3. จากสมการ xn + an-1 xn -1 + an-2 xn -2 + …+ a1 x + a0 = 0
ผลบวกของรากของสมการ = - an-1
ผลคูณของรากของสมการ = a0 เมื่อ n เป็ นจานวนคู่
= - a0 เม่ือ n เป็ นจานวนคี่

เช่น 2x2  5x  3  0

ผลบวกของรากของสมการ =

ผลคูณของรากของสมการ =

2x3  2x2  x  1  0 =
=
ผลบวกของรากของสมการ

ผลคูณของรากของสมการ

จำนวนเชิงซ้อน 34

แบบฝึ กหัดเพิ่มเตมิ 1
จงหาค่าของ x จากสมการต่อไปน้ี
1. (2  6i)x  3i
2. (1  i)x  (4  i)(5  i)  0
3. (2  i)x  i  3
4. 3x  4i  0
5. x2  4i  0
6. x2  6ix  7  0
7. x2  (1  3i)  0

8. x2  2(i  1)x  1  2i  0

จำนวนเชิงซ้อน 35

9. (1  i)x2  4ix  (2  2i)  0
10. 2x2  (5  i)x  6  0
11. 2x2  (1  i)x  1  0
12. x2  (4  6i)x  24i  0

จำนวนเชิงซ้อน 36

แบบฝึ กหัดเพ่มิ เติม 2
จงหาเซตคาตอบของสมการตอ่ ไปน้ี
1. x2  2ix3  x  2i  0

2. 2x3  x  1  0

3. x4  x3  7x2  9x  18  0

4. x4  3x3  20x2  24x  8  0

5. x3  8i  0

6. x5  3ix4  4x  12i  0

7. x4  29x2  100  0

8. x4  2x3  x  2  0

จำนวนเชงิ ซ้อน 37

9. x4  3x3  5x2  27x  36  0
10. x4  2x3  5x2  6x  6  0
11. x6  2x3  1  0
12. x6  x5  3x4  x2  x  3  0

จำนวนเชิงซ้อน 38

การแก้สมการพหุนาม เม่อื กาหนดคาตอบของสมการให้
ถา้ c1, c2, c3,...,cn เป็ นรากของสมการ(คาตอบของสมการ) พหุนามทม่ี ี x เป็ นตวั แปรของสมการ

กาลงั n , n 1 ดงั น้นั สมการคอื

k(x  c1)(x  c2 )(x  c3 )...(x  cn )  0, k  I

เช่น สมการพหุนามกาลงั 2 ทม่ี ี -1 , 5 เป็นรากของสมการ มีสมั ประสิทธ์ิเป็นจานวนเตม็ คอื

k(x  11)(x  5)  0
k(x2  4x  5)  0, k  I

ทฤษฎบี ท สมการพหุนามกาลัง n เมื่อ n เป็ นจานวนเตม็ บวก
1. จะมีรากของสมการท่เี ป็ นจานวนเชิงซอ้ น อยา่ งนอ้ ย 1 ราก และมากสุด n ราก
2. ถา้ สมั ประสิทธข์ องสมการเป็นจานวนจริง ซ่ึง a + bi เป็นรากของสมการแลว้ a – bi จะเป็นรากของ
สมการดว้ ย เม่ือ a , b R, b  0
3. ถา้ สมั ประสิทธ์ิของสมการเป็ นจานวนตรรกยะ ซ่ึง a  b เป็ นรากของสมการแลว้ a  b จะเป็ น
รากของสมการดว้ ย เมื่อ a และ b เป็นจานวนตรรกยะ และ b เป็นจานวนอตรรกยะ

ตวั อย่างท่ี 1 จงแสดงวา่ 1 + 2i เป็ นรากของสมการ x4  2x3  9x2  8x  20  0 และหาเซตคาตอบ
ท้งั หมดของสมการ

จำนวนเชิงซ้อน 39

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาสมการพหุนามกาลงั 3 ซ่ึงมีสมั ประสิทธ์ิเป็นจานวนเตม็ มี 1 และ i-2 เป็นรากของสมการ
มีสมั ประสิทธ์ิเป็น 3

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาสมการพหุนามกาลงั 5 ท่ีมีสมั ประสิทธ์ิ เป็ นจานวนจริง มี 1  i,2i, 1 เป็ นคาตอบของ

3

สมการ

จำนวนเชิงซ้อน 40

NOTE

จำนวนเชิงซ้อน 41

NOTE

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 1

ฟังฟกัง์ชกัน์ชตันรตีโรกีโณกณมติมิ ิติ

1. ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์

วงกลมหนึง่ หน่วย (unit circle)

บทนิยาม วงกลมหน่ึงหน่วย หมายถึง วงกลมทมี่ ีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่จี ดุ กาเนิด (origin) และมีรัศมียาว

เท่ากบั 1 หน่วย วงกลมน้ีเป็ นกราฟของความสมั พนั ธ์ { |}

ความยาวของเสน้ รอบวงเท่ากบั 2r หน่วย

เม่ือ r = 1 ความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมหน่ึงหน่วยเทา่ กบั 2

วงกลมหน่ึงหน่วย

Y

X

จากรูป เป็ นพกิ ดั (x,y) ทอ่ี ยบู่ นเสน้ รอบวงของวงกลมรศั มีหน่ึงหน่วยตามค่ามุมตา่ งๆ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 2

เมื่อวดั ระยะจากจุด (1,0) ไปตามส่วนโคง้ ของวงกลมหน่ึงหน่วยยาว | | หน่วย เม่ือ แทนจานวนจริงใด

ๆ ถึงจดุ (x,y) ซ่ึงอยบู่ นวงกลมหน่ึงหน่วย

1. ไปในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬิกา
2. ไปในทิศทางตามเขม็ นาฬิกา
3. ไปปลายส่วนโคง้ คอื จดุ (1,0) เม่ือ

คา่ ของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซนข์ องจานวนจริงใด ๆ

− −
−



2. ค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์

2.1 ค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ของจานวนจริงบางจานวน
ความยาวส่วนโคง้ วดั จากจดุ (1,0) ทวนเขม็ นาฬกิ าถึงจดุ (0,1) เทา่ กบั หน่วย
ความยาวส่วนโคง้ วดั จากจดุ (1,0) ทวนเขม็ นาฬกิ าถึงจดุ (-1,0) เทา่ กบั หน่วย

ความยาวส่วนโคง้ วดั จากจุด (1,0) ทวนเขม็ นาฬิกาถึงจดุ (0,-1) เท่ากบั หน่วย
ความยาวส่วนโคง้ วดั จากจดุ (1,0) ทวนเขม็ นาฬกิ าถึงจดุ (1,0) เท่ากบั หน่วย

บทนิยาม เมื่อ (x, y) เป็ นจุดปลายส่วนโคง้ ท่ยี าว  หน่วย
ฟังกช์ นั ไซน์ (sine) คือ เซตของคู่อนั ดบั (, y)
ฟังกช์ นั โคไซน์ (cosine) คือ เซตของคู่อนั ดบั (, x)
เน่ืองจาก (, y) sine จะได้ y = sine หรือ y = sin
และ (, y) cosine จะได้ x = cosine หรือ x = cos

หมายเหตุ

จาก = 1

= 1 เม่ือ เป็นจานวนจริง

หรือ = 1 เมื่อ เป็นจานวนจริง

=1

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 3

แบบฝึ กทักษะที่ 1

จงเติมคาตอบลงในตารางใหถ้ ูกตอ้ ง

1.

ควอดรันต์ ท่ี 1 ควอดรนั ต์ ที่ 2

จานวนจริง  0     2 3 5 

6432346

sin  0

cos  1

2.

ควอดรันต์ ท่ี 3 ควอดรนั ต์ ที่ 4

จานวนจริง   7 5 4 3 5 7 11 2

6 43 2 34 6

sin 

cos 

3.

18108อ0งอศงาศเทา ่าเทก่าบั ก บั เรเเดรยีเดนยี น

(องศา) (เรเดยี น) sin cos (องศา) (เรเดยี น) sin cos

0 210
30 225
45 240
60 270
90 300
120 315
135 330
150 360
180

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 4

4. จงตอบคาถามตอ่ ไปน้ี

4.1 จุดปลายของความยาวส่วนโคง้ ควรอยทู่ ี่

4.2 จุดปลายของความยาวส่วนโคง้ − ควรอยทู่ ี่

4.3 จุดปลายของความยาวส่วนโคง้ ควรอยทู่ ่ี

4.4 จดุ ปลายของความยาวส่วนโคง้ ควรอยทู่ ี่

4.5 จดุ ปลายของความยาวส่วนโคง้ ควรอยทู่ ี่

4.6 จุดปลายของความยาวส่วนโคง้ − ควรอยทู่ ่ี

4.7 จุดปลายของความยาวส่วนโคง้ − ควรอยทู่ ี่

4.8 จุดปลายของความยาวส่วนโคง้ − ควรอยทู่ ่ี

4.9 จุดปลายของความยาวส่วนโคง้ − ควรอยทู่ ี่

4.10 จดุ ปลายของความยาวส่วนโคง้ ควรอยทู่ ่ี

5. กาหนดจานวนจริง  ใหห้ าจดุ ปลายส่วนโคง้ ที่ยาว  หน่วยทีก่ าหนดให้

1.  = 13 2.  = 36

6 4

3.  = 25 4.  =  20

4 3

5.  = 13 ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 5

3 6.  =  37

6

7.  = 99 8.  = 199

4 6

2.2 ค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ของจานวนจริงใด ๆ
ถา้ ส่วนโคง้ ของวงกลมหน่ึงหน่วยที่เชื่อมระหวา่ งจุด (1, 0) กบั (x, y) ยาว || หน่วย ส่วนโคง้ ของวงกลม

หน่ึงหน่วยท่ีเช่ือมระหวา่ งจุด (1, 0) กบั จดุ (x, -y) จะตอ้ งยาว || หน่วย เมื่อ  แทนจานวนจริงใดๆ
Y
(x,y)
 จากจุด (x,y) และ (x,-y)
(1,0) X สรุปไดว้ า่ sin (- ) = - sin
- cos (- ) = cos
(x,-y)

−−
−

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 6

การหาค่าของฟังชันก์ตรีโกณมติ ิของจานวนจริงต้งั แต่ 0 ถงึ 2

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงใด ๆ

− เมื่อ (อยใู่ นจตภุ าคที่ 2)

− − เม่ือ (อยใู่ นจตุภาคที่ 2)

− เมื่อ (อยใู่ นจตภุ าคที่ 3)
− เมื่อ (อยใู่ นจตุภาคท่ี 3)

− − เมื่อ (อยใู่ นจตุภาคท่ี 4)
− เมื่อ (อยใู่ นจตุภาคท่ี 4)

*** หมายเหตุ เป็ นความยาวของส่วนโคง้ ไม่ใช่จตุภาค

ตัวอย่าง จงหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตติ ่อไปนี้
1. และ

วิธีทา จาก = ( −)
จาก =
= Ans
= ( −)
=−

= √ Ans

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 7

2. และ
3. และ
4. และ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 8

5. และ

แบบฝึ กทักษะที่ 2

1. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์ตอ่ ไปน้ี
1. และ

2. และ