ค32212-คณิตศาสตร์เพิ่มเติม-นายอิสระ สระแก้ว

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 59

ฟังก์ชันตรีโกณมิติท่มี ฟี ังก์ชันผกผนั และฟังก์ชันผกผนั มโี ดเมนและเรนจ์ดงั นี้

ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์

ตวั อย่าง จงหาคา่ ของฟังกช์ นั อินเวอิ ร์สของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตติ ่อไปน้ี
1. 2.

3. 4. √

5. √ 6. (− )

7. (− √ ) 8. (− √ )
9. (− ) 10.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 60

จงหาคา่ ของฟังกช์ นั อินเวอิ ร์สของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตติ ่อไปน้ี

1. * (− )+

2. [ −]

3. * ( )+
4. [
√

]

5. * +

6. * (− )+

7. [ √]

8. [ −]

9. * ( )+

10. ( )

11. * ( )+

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 61

12. ( )
13. * − +
14. (− )

15. * ( )+

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 62

16. * −+

จงหาคา่ ของ +
1. *

2. * − +

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 63

3. * √ +

4. * −+

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 64

1. จงหาค่าของ * (− √ ) (− ) −+

2. จงหาค่าของ * − +

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 65

3. จงหาคา่ ของ

4. จงหาคา่ ของ ( )( )

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 66

5. จงหาคา่ ของ (( − ))

6. จงหาคา่ ของ √ * − + มีคา่ อยใู่ นช่วงใด (ตอบ 3)
1. −
2. − 3. 4.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 67

2.9 เอกลกั ษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ

สมการทีม่ ีฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ปรากฏอยู่ เรียกวา่ สมการตรีโกณมติ ิ

สมการตรีโกณมิติเป็นจริงสาหรบั ทุกค่าของ เป็ นจานวนจริงหรือมุมใด ๆ เรียกวา่ เอกลกั ษณ์

หลกั ในการพิสูจน์เอกลกั ษณ์

1. พสิ ูจนข์ า้ งใดขา้ งหน่ึงใหต้ รงกบั อีกขา้ งหน่ึง (ใหเ้ ลือกเอาดา้ นทซ่ี บั ซอ้ นมาพสิ ูจน์)

2. ควรจดั ทุกฟังกช์ นั ใหม้ าอยใู่ นรูปของ หรือ ก่อน

3. นาเอกลกั ษณ์ท่พี สิ ูจน์ไวแ้ ลว้ มาเลือกใช้

4. อาศยั หลกั การแยกตวั ประกอบ เช่น น − ล น ล น − ล

น −ล น − ล น นล ล

นล น ล น − นล ล

5. เอกลกั ษณ์พน้ื ฐาน ท่นี ามาช่วยอา้ งอิงในการพสิ ูจนเ์ อกลกั ษณ์ คือ เอกลกั ษณ์พื้นฐาน

1. หรือ −
2. หรือ −
3. หรือ −

4. หรือ

5. − − หรือ −
6.
7. −
8. −
9.
10. −
−

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 68

สมการตรีโกณมิติ คือ สมการทีม่ ีฟังกช์ นั ตรีโกณมิตปิ รากฏอยู่ และจะเป็นจริงสาหรับบางค่าของมุมหรือ

จานวนจริงท่อี ยใู่ นโดเมนของฟังกช์ นั น้นั ซ่ึงมีคาตอบอยู่ 2 แบบ คือ
1) คาตอบเฉพาะ หมายถึง คาตอบของสมการภายใตเ้ อกภพสมั พทั ธท์ ่ีมีขอบเขตจากดั
2) คาตอบทวั่ ไป หมายถึง คาตอบของสมการภายใตเ้ อกภพสมั พทั ธ์ R หรือสมการท่ีไม่ไดก้ าหนดเอกภพ

สมั พทั ธม์ าให้

คาตอบทัว่ ไปของสมการตรีโกณมิติ จะกาหนดเอกภพสมั พทั ธ์ เป็น R จากสูตร

ถา้ ให้ คอื มมุ หรือจานวนจริงทีต่ อ้ งการหาในสมการตรีโกณมิติ

และให้ คอื คาตอบทีเ่ ล็กทสี่ ุดทเ่ี ป็นบวกของสมการ และ แลว้ จะไดว้ า่

1. คาตอบทว่ั ไปของฟังกช์ นั และ คือ −

2. คาตอบทวั่ ไปของฟังกช์ นั และ คือ

3. คาตอบทว่ั ไปของฟังกช์ นั และ คอื

เน่ืองจาก ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ไม่เป็นฟังกช์ นั 1 – 1 ค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตขิ องมุมหรือ

จานวนจริงใด ๆ อาจจะซ้ากนั ได้ ดงั น้นั การหาคาตอบของสมการตรีโกณมิติ ถา้ โจทยไ์ ม่ได้
กาหนดวา่ คาตอบอยใู่ นช่วงใดช่วงหน่ึงแลว้ คาตอบทีค่ วรตอบ คาตอบในรูปทว่ั ไป

1. จงพสิ ูจน์เอกลกั ษณ์ต่อไปน้ี 2.
1.

3. 4.

5. ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 69
7.
9. 6. −
10. −
8.
11.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 70

12.

13. −
14.
2. จงพสิ ูจน์เอกลกั ษณ์ตอ่ ไปน้ี

1.

2.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 71

3. √

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 72

สมการตรีโกณมิติ

จงแกส้ มการตรีโกณมิตติ อ่ ไปน้ี

1. −− ถา้

2. ถา้

3. ถา้

4. − ถา้

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 73

5. √ ถา้
6. ถา้

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 74

2.10 กฎของไซน์และโคไซน์

กฏของโคไซน์ เป็ นกฎทีก่ ล่าวถึงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งดา้ นและมมุ ของรูปสามเหล่ียมใด ๆ ถา้ กาหนดดา้ น
2 ดา้ นและมุมระหวา่ งดา้ นท้งั สองมาให้ สามารถใชก้ ฎของโคไซน์ หาความยาวดา้ นและมุมท่เี หลือได้ หรือ ถา้
กาหนดดา้ นท้งั สามดา้ นมาให้ สามารถใช้ กฎของโคไซนห์ ามุมท้งั สามของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้

กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ ถา้ a ,b , c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A , B และ C
ตามลาดบั จะได้

−
−
−

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 75

ตวั อย่าง และ จงหา
1. กาหนด ̂

2. กาหนด √ และ จงหา ̂

จงใชก้ ฏของไซน์ตอบคาถามตอ่ ไปน้ี

1. √ และ จงหา

2. กาหนด และ จงหา

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 76

3. กาหนด และ จงหา ̂

4. กาหนด และ จงหาขนาดของมุมท้งั สาม

5. กาหนด และ จงหาขนาดของมุมท้งั สาม

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 77

กฏของไซน์ เป็ นกฎทก่ี ล่าวถึงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง ดา้ นและมุมของรูปสามเหล่ียม ใด ๆ เมื่อกาหนดมุม 2
มุม และดา้ นทอี่ ยรู่ ะหวา่ งมุมท้งั สองมาให้ สามารถใชก้ ฎของ ไซน์ หามุมและดา้ นท่ีเหลอื รวมท้งั ใชห้ าพ้นื ที่ของ
สามเหล่ียมรูปน้นั ได้

กฏของไซน์ ในรูปสามเหล่ียม ABC ใด ๆ ถา้ a ,b , c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A , B และ C
ตามลาดบั จะได้

พืน้ ทขี่ องรูปสามเหลยี่ ม ABC =

ตวั อย่าง ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 78
1. กาหนด
และ จงหา c และพ้นื ท่ขี องรูปสามเหล่ียม ABC

2. จงหาพ้นื ทข่ี องรูปสามเหลี่ยม ABC เม่ือกาหนด และ

3. ในรูปสามเหล่ียม ถา้ แลว้ มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 79

4. กาหนด √ และ จงหา

5. จงหาพน้ื ทีส่ ามเหล่ียม ABC เมื่อกาหนด และ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 80

2.11 การหาระยะทางและความสูง

ระยะทางและความสูง ในการวดั ระยะทางและความสูงของสิ่งใดกต็ าม บางคร้ังจะใชเ้ คร่ืองมือสาหรบั วดั
โดยตรงไม่ได้ เช่น การวดั ความสูงของภูเขา หรือการวดั ระยะระหวา่ งสถานท่ีสองแห่งท่มี ีเนินเขาก้นั กลาง เป็ นตน้
ปัญหาจากการวดั เช่นน้ี จาเป็นตอ้ งใชค้ วามรูเ้ รื่องฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ กฏของไซนแ์ ละโคไซน์ ความรู้เกี่ยวกบั มุมกม้
มุมเงย มาช่วยในการหาคาตอบ มุมเงย เกิดจาก เสน้ ระดบั สายตากบั แนวมอง เม่ือวตั ถุท่ีมองอยสู่ ูงกวา่ ระดบั สายตา
มุมกม้ เกิดจาก เสน้ ระดบั สายตากบั แนวมอง เมื่อวตั ถุทีม่ องอยตู่ ่ากวา่ ระดบั สายตา

ตวั อย่าง 1. จากรูป จงหา √

C

30 60 B
D
A
200

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 81

2. ณ จดุ หน่ึงบนพน้ื ราบ ชายคนหน่ึงมองเห็นหลอดไฟกระพริบบนเสาส่งโทรศพั ท์ เป็ นมุมเงย 30 องศา เม่ือเขา
เดินตรงเขา้ ไปหาเสาน้นั เป็นระยะ 50 เมตร แลว้ มองดูหลอดไฟกระพริบ เห็นเป็นมุมเงย 60 องศา จงหาวา่ เสาส่ง
โทรศพั ทน์ ้ีสูงเทา่ ไร

3. เสาธงตน้ หน่ึงถูกพายพุ ดั หกั ยอดเสาหกั คา้ งงอลงมาจดพน้ื ทามุมกม้ กบั พ้นื ราบ 45 องศา ปลายยอดเสาอยหู่ ่าง
จากโคนเสา 30 ฟุต จงหาวา่ เสาธงน้ีสูงเท่าไร

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 82

4. นาย A ยนื อยบู่ นประภาคารสูง 80 เมตรจากระดบั น้าทะเล มองเห็นเรือ 2 ลาในทะเล ซ่ึง อยใู่ นแนวเดียวกนั กบั
ประภาคาร พบวา่ เป็นมุมกม้ 60 องศาและ 45 องศา ตามลาดบั จงหาระยะห่างระหวา่ งเรือ
ท้งั สองลา

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 83

NOTE

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 84

NOTE