ค32212-คณิตศาสตร์เพิ่มเติม-นายอิสระ สระแก้ว

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 9

3. (− ) และ (− )

4. (− ) และ (− )

5. และ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 10

6. (− ) และ (− )

2. จงหาค่าของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ ท่ตี าแหน่งของจุดปลายส่วนโคง้ ตอ่ ไปน้ี
1. เมื่อ จะได้

และ
2. เม่ือ

3. เม่ือ

4. เม่ือ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 11

5. เม่ือ
6. เม่ือ −
7. เมื่อ −

8. เม่ือ −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 12

3. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ ท่ตี าแหน่งของจดุ ปลายส่วนโคง้ ตอ่ ไปน้ี
1. เม่ือ จะได้

และ
2. เมื่อ

3. เม่ือ

4. เมื่อ

5. เม่ือ

6. เม่ือ −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 13

7. เม่ือ −

8. เม่ือ −

4. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์ ทีต่ าแหน่งของจุดปลายส่วนโคง้ ตอ่ ไปน้ี
1. เมื่อ จะได้

และ
2. เมื่อ

3. เมื่อ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 14

4. เมื่อ
5. เม่ือ
6. เม่ือ −
7. เมื่อ −
8. เม่ือ −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 15

5. จงหาค่าของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์ ทต่ี าแหน่งของจดุ ปลายส่วนโคง้ ตอ่ ไปน้ี
1. (− )

2. (− )

3. (− )

4. (− )

5.
6.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 16

6. จุดปลายของความยาวส่วนโคง้ ต่อไปน้ี ตกอยใู่ นควอดรันตใ์ ด ในวงกลมหน่ึงหน่วย

1. เม่ือ ตกอยใู่ น ______ 2. เมื่อ − ตกอยใู่ น ______

3. เมื่อ ตกอยใู่ น ______ 4. เม่ือ − ตกอยใู่ น ______

5. เมื่อ ตกอยใู่ น ______ 6. เมื่อ − ตกอยใู่ น ______

7. จงหาโคออร์ดิเนต ของจุดปลายส่วนโคง้ ของจานวนจริงหรือมุมทก่ี าหนดให้

1. เมื่อ ตกอยใู่ น ______ 2. เม่ือ − ตกอยใู่ น ______
− ตกอยใู่ น ______
3. เม่ือ ตกอยใู่ น ______ 4. เม่ือ − ตกอยใู่ น ______
− ตกอยใู่ น ______
5. เม่ือ ตกอยใู่ น ______ 6. เม่ือ

7. เม่ือ ตกอยใู่ น ______ 8. เม่ือ

8. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์ จากขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1. (− )

2.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 17

3. (− ) (− )

2.3 ฟังก์ชันตรีโกณมิตอิ ่ืน ๆ

ข้อตกลง
ฟังกช์ นั แทนเจนต์ (tangent function) เขียนแทนดว้ ย (อ่านวา่ แทน)
ฟังกช์ นั เซแคนต์ (secant function) เขียนแทนดว้ ย (อ่านวา่ เซก)
ฟังกช์ นั โคเซแคนต์ (cosecant function) เขยี นแทนดว้ ย หรือ (อ่านวา่ โคเซก)
ฟังกช์ นั โคแทนเจนต์ (cotangent function) เขียนแทนดว้ ย

บทนิยาม
สาหรับจานวนจริง θ ใด ๆ

เม่ือ ≠ เม่ือ ≠
เม่ือ ≠

เม่ือ θ≠


จากบทนิยามทก่ี ล่าวมา พบวา่ โดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ นั

1. โดเมนของฟังกช์ นั และ คอื − , | -

2. โดเมนของฟังกช์ นั และ คอื − { | }

3. เรนจข์ องฟังกช์ นั และ คือ

4. เรนจข์ องฟังกช์ นั และ คือ − { | − }

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 18

จากบทนิยามของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ อาจหาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งฟังกช์ นั ตรีโกณมิติต่าง ๆ ได้ เช่น

เมื่อ ≠ หรือ ≠

เม่ือ ≠
เม่ือ ≠

โคฟังก์ชัน (co - funtion)

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 19

จงเตมิ คาตอบลงในตารางให้ถูกต้อง
จานวนจริง sin cos tan cot cosec cot

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 20

ตวั อย่าง จงหาค่าของฟังกโ์ กณมิตติ อ่ ไปน้ี
1. (− ) และ (− )

2.

3. ( ) − (− )

4. ( ) − (− ) −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 21

5. ( ) ( )− ( ) ( )

1. − แบบฝึ กทักษะที่ 3

−

2.

3. − −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 22

4.

5. (− ) −

6. − (− )

7. (− ) (− )

8. ( ) − ( )

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 23

9. ( ) ( ) () −

10. () ( )

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 24

2.4 ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องมุม

หน่วยในการวดั มุม คือ องศา
1 องศา เทา่ กบั 60 ลิปดา
1 ลิปดา เท่ากบั 60 ฟิลิปดา

หน่วยของมุมท่เี ป็นเรเดียน (radian) คอื มุมทีจ่ ุดศนู ยก์ ลางของวงกลมซ่ึงรองรับดว้ ยส่วนโคง้ ของวงกลมท่ี
ยาวเทา่ กบั รัศมีของวงกลมวงน้นั จะถือวา่ มีขนาดเท่ากบั 1 เรเดียน

เนื่องจากความยาวเสน้ รอบวงของวกลมทม่ี ีรศั มียาว r หน่วย ยาว หน่วย ดงั น้นั มุมท่ี
จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมซ่ึงรองรบั ดว้ ยส่วนโคง้ ที่ยาว หน่วย จึงมีขนาดเทา่ กบั = เรเดียน

การเปรียบเทียบมุม ท้งั 2 แบบ
360 องศา = เรเดียน
1 องศา = เรเดียน 0.01745 เรเดียน

1 เรเดียน = องศา

ตวั อย่าง จงเปลี่ยน เรเดียนเป็นองศา และเปล่ียน 75 องศา เป็นเรเดียน

วิธีทา เรเดียน = และ 75 องศา =

ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิของมมุ
เมื่อจดุ ยอดมุมของมุม ๆ หนง่ึ อยทู่ ี่จุด (0 , 0) ดา้ นเร่ิมตน้ ทาบแกน x ทางบวกจะเรียกมุมน้นั วา่

มุมในตาแหน่งมาตรฐาน
ส่วนโคง้ ของวงกลมหน่ึงหน่วย ท่รี องรบั มุมทจ่ี ุดศนู ยก์ ลางขนาด เรเดียนจึงยาวเทา่ กบั หน่วย
เมื่อกาหนดมุมขนาด เรเดียนให้หน่ึงมุม แลว้ จดุ ส้ินสุดของดา้ นสิ้นสุดของมุมจะเป็ นจุดเดียวกนั กบั จุด

ปลายส่วนโคง้ ทยี่ าว หน่วย ดว้ ย
ไม่วา่ จะนิยามฟังกช์ นั ตรีโกณมิตขิ องมุมหรือความยาวส่วนโคง้ ของวงกลมหน่ึงหน่วย

ทีร่ องรับมุมน้นั คา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตขิ องจานวนเหล่าน้นั จึงมีคา่ เทา่ กนั

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 25

จงเปล่ียนหน่วยเรเดียนใหเ้ ป็ นองศาและเปลี่ยนองศาใหเ้ ป็นเรเดียน

ข้อ เรเดียน องศา องศา เรเดียน
1. 15

2. 18

3. 30

4. 36

5. 45

6. 54

7. 60

8. 90

9. 120

10. 150

11. 180

12. 225

13. − 405

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 26

1. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตติ อ่ ไปน้ี
1.
2.
3.
4.
5. −

6. −

7. −

8. −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 27

9. −

10. −

2. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติตอ่ ไปน้ี 2.
1.

3. 4. −

5.

6.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 28

3. จงทาให้เป็นผลสาเร็จ
1.

2. √

3. ถา้ จงหา
3.1

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 29

3.2

4. ถา้ จงหา

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 30

2.5 การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิตจิ ากตาราง เป็ นคา่ ท่ีหาจากมุมหรือจานวนจริงต้งั แต่ ถึง หรือ 0 ถึง ถา้ มุม
หรือจานวนจริงท่ีมากกวา่ น้ี ใหใ้ ชว้ ธิ ีการหาค่าฟังกช์ นั ทเ่ี ป็นจุดสมมาตรของมุมหรือจานวนจริงต้งั แต่ ถึง
หรือ หรือ 0 ถึง

ตัวอย่างตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ตัวอย่าง จงใชค้ ่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตจิ ากตารางมาหาคา่ ของฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี − Ans
1. 2. −
วิธีทา − วิธีทา

− Ans

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 31

3.

4.

1. จงอ่านคา่ ฟังกช์ นั ตรีโกณมิตจิ ากตาราง 2.
1. 4.
3. 6.
5. 8.
7. 10.
9.

2. จงอ่านค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของจานวนจริงจากตาราง
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 32

ตวั อย่าง จงอ่านค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของจานวนจริง

วธิ ีทา จากตาราง = 0.4746

= 0.4772

คา่ ของจานวนจริงต่างกนั 0.4974 – 0.4945 = 0.0029 คา่ ของฟังกช์ นั ไซนต์ า่ งกนั 0.4772 - 0.4746 = 0.0026

ค่าของจานวนจริงต่างกนั 0.495 – 0.4945 = 0.0005 ค่าของฟังกช์ นั ไซน์ตา่ งกนั

ดงั น้ัน

3. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติตอ่ ไปน้ี (เปิ ดตาราง)
1.

2.

3.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 33

4.
5.

4. กาหนดให้ จงหาคา่
1.

2. −

3. −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 34

4. −

5. จงเติมเคร่ืองหมายมากกวา่ นอ้ ยกวา่ หรือเทา่ กบั ลงในช่องวา่ งใหถ้ ูกตอ้ ง
1. ________ 2. ________
3. ________ 4. ________
5. ________ 6. ________
7. ________ 8. ________
9. ________ 10. ________

6. รูปสามเหลี่ยม ABC มี ̂ ̂ และ √ เซนตเิ มตร จงหา ̂ และความยาวรอบรูป
ของรูปสามเหล่ียม ABC

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 35

7. เสาไฟฟ้า 2 ตน้ สูงเท่ากนั อยหู่ ่างกนั 100 เมตร ชายคนหน่ึงยนื อยบู่ นพ้นื ราบระหวา่ งเสาไฟฟ้าท้งั สอง ณ จุดท่ี
ยนื มองเห็นเสาไฟฟ้า 2 ตน้ เป็นมุมเงย และ จงหาวา่ ชายคนน้ียนื อยู่ ณ จดุ ใด และเสาไฟฟ้าท้งั สองสูง
เทา่ ไร

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 36

2.6 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

แอมพลจิ ูด (Amplitude ; A) ___________________________________________________

คาบ (Period ; T) ___________________________________________________

1. รูปแบบพืน้ ฐาน

1.

2.

3.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 37

4.

5.

6.

สรุปผลที่ได้จากกราฟ โดเมน ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 38
ฟังก์ชัน
เรนจ์ แอมพลจิ ูด คาบ

2. รูปแบบประยุกต์ แบบไม่มีแกนเลื่อน

สมการ คาบ แอมพลจิ ูด กราฟ
1.

2.

3.

4. −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 39

สมการ คาบ แอมพลจิ ูด กราฟ
1.

2. −

3.

4.

สมการ คาบ แอมพลจิ ูด กราฟ
1.

2.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 40

3. −
4.

3. รูปแบบประยกุ ต์ แบบมเี ล่ือนแกน

1. จารูปแบบพ้นื ฐานใหไ้ ด้

2. หาแอมพลิจูดและคาบของกราฟตามสูตร

แอมพลิจดู || ไม่มี (A ยง่ิ มากกราฟยงิ่ ลู่)

คาบ

3. วาดกราฟ 1 คาบ ใหถ้ ูกตอ้ งท้งั แอมพลิจูดและคาบ
4. ถา้ A ติดลบ ใหก้ ลบั กราฟโดยเปลี่ยนความสูงของกราฟจาก + เป็น – และจาก – เป็น +

5. เล่ือนแกน Y เสน้ ตรง − และเลื่อนแกน X เสน้ ตรง

สมการ คาบ แอมพลิจูด กราฟ
1. − (
)

2. ( − )

3. ( − )

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 41

2.7 ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิของผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรือมุม

ถา้ A,B เป็ นจานวนหรือมุม ท่ที าใหฟ้ ังกช์ นั ตรีโกณมิติต่อไปน้ีมีค่า แลว้

จานะ 1. sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
2. sin (A-B) = sin Acos B - cos A sin B
3. cos (A+B) = cos Acos B - sin A sin B
4. cos (A-B) = cos A cos B - sin A sin B
5. tan (A+B) =

6. tan (A-B) =

7. cot (A+B) =

8. cot (A-B) =

จงแยกมุมท่กี าหนดใหใ้ หอ้ ยใู่ นสรูปผลบวกของผลต่างของมุม 2 มุม ท่สี ามารถหาคา่ ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติได้

กาหนดมมุ ทจี่ ะหาค่าของ แยกมมุ ให้อยู่ในรูปของผลต่างของมมุ แยกมุมให้อย่ใู นรูปของผลบวกของมมุ

ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ ทห่ี าค่าฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ ทห่ี าค่าฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

−-

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 42

1. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตติ ่อไปน้ี
1.

2.

3. −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 43

4.

5. ให้ − โดย จงหา
5.1 −

5.2

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 44

1. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตติ ่อไปน้ี
1.

2.
3. −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 45

4.

5. ให้ − โดย จงหา
5.1 −

5.2

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 46

1. จงหาค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตติ ่อไปน้ี
1.

2. −

3.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 47

4. (− )

5. ให้ − โดย จงหา
5.1 −

5.2

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 48

− −
−− −
−
−

ถา้ และ −
จะได้ และ

−

−

จงหาคา่ ของ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 49

ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องจานวนซึ่งเป็ นสองเท่า สามเท่าของ A

−
−

−

−
−

1. ถา้ และ โจทย์ผสม
จงหาคา่ ของ และ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 50

2.
3. −
4. −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 51

5. −
6.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 52

7.
8. −
9.

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 53

10. −
11.
12. −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 54

13.
14. −

15. ถา้ โดย ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 55
1.
จงหา
2. −

3.

4. −

16. ถา้ − √ − √ โดย ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 56
1.
จงหา

2. −

3.

4. −

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 57

2.8 ตวั ผกผนั ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บทนิยาม

1. ฟังกช์ นั คอื เซตของคูอ่ นั ดบั โดยที่ และโดเมนคือ *− + นิยม
เขียนแทนดว้ ย หรือ และโดเมน

2. ฟังกช์ นั คือเซตของคูอ่ นั ดบั โดยท่ี และโดเมน

คือ [ ] นิยมเขยี นแทนดว้ ย หรือ

3. ฟังกช์ นั คอื เซตของคู่อนั ดบั โดยท่ี

คือ (− ) นิยมเขียนแทนดว้ ย y = arctan x หรือ

ข้อควรทราบ

1. อินเวอร์สของฟังกช์ นั จะเป็นฟังกช์ นั กต็ ่อเม่ือ ฟังกช์ นั เดิมเป็นฟังกช์ นั 1 -1

2. เน่ืองจากฟังกช์ นั ตรีโกณมิติไม่เป็นฟังกช์ นั 1 -1 ดงั นนั ้ อินเวอร์สของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ จึงไม่เป็ น
ฟังกช์ นั

คณุ สมบตั ทิ ่ีสาคญั ของฟังก์ชันอินเวอร์ส
1. และ
2. และ
3. และ
4. และ
5. และ
6. และ

ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 58

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ