คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์

ตรีโกณมติ ิ เป็นศาสตร์ท-ีวา่ ดว้ ยเร-ืองของ มุม และ ดา้ น ซ-ึงมีประโยชนใ์ นการนาํ มาใชง้ านใน

ชีวติ ประจาํ วนั เป็นอยา่ งมาก เช่น ดา้ นวศิ วกรรมการก่อสร้าง เป็นตน้

จากรูป AO! C = BO! D

BO! C = A O! D

นนั- คือ มุมตรงขา้ มจะเท่ากนั

หน่วยที-ใชว้ ดั มุม มี 2 หน่วย คือ องศา และ เรเดียน

หน่วยเป็ นองศา 1 องศา เท่ากบั 60 ลิปดา

1 ลิปดา เท่ากบั 60 ฟิ ลิปดา

1 องศา เท่ากบั 60 × 60 = 3600 ฟิ ลิปดา

หน่วยเรเดยี น 180 องศา =p เรเดียน

มุมวงกลมหน-ึงหน่วย มีหน่วยเป็น องศา และ เรเดียน

เช่น มุม = 3p มีค่าเท่ากบั กี-องศา
6
เราทราบวา่ p = 180°
= 3´618013=0 90°
ดงั นQนั 3p ตอบ
6 ตอบ

เช่น มุม 30 องศา เท่ากบั กี-เรเดียน

มุม 180 องศา เท่ากบั p 1เรเดียน
p ´ 30
มุม 30 องศา เท่ากบั 6 180 เรเดียน

มีค่าเท่ากบั p เรเดียน
6

จากแผนภาพ ABC เป็ นสามเหลี-ยมมุมฉาก (A! = 90°)
a เป็นความยาวอยตู่ รงขา้ มมุม A
b เป็นความยาวอยตู่ รงขา้ มมุม B
c เป็นความยาวอยตู่ รงขา้ มมุม C

@ ถ้าให้ q เป็ นมุมภายในรูปสามเหลยี> มมุมฉาก ดงั รูป

(ตรง) (ฉาก)

(ชิด)

K อตั ราส่วนตรีโกณมิติของรูป D มุมฉาก คือ

1) sinq = = b อ่านวา่ ไซน์ (Sine) ของมุม q
2) cosq = a
3) tanq =
4) cosecq = = c อ่านวา่ โคไซน์ (Cosine) ของมุม q
5) si cq = a
6) cotq =
= b อ่านวา่ แทนแจนต์ (Tangent) ของมุม q
c

= a อ่านวา่ โดเซคแคนต์ (Cosecant) ของมุม q
b

= a อ่านวา่ เซแคนต์ (Secant) ของมุม q
c

= c อ่านวา่ โดแทนแจนต์ (Cotangent) ของมุม q
b

ข้อสังเกต จะเห็นวา่ มุม cosecq เป็นส่วนกลบั ของ sinq นน-ั คือ cosecq = 1
sinq

มุม secq เป็นส่วนกลบั ของ cosq นน-ั คือ secq = 1
cosq

มุม cotq เป็นส่วนกลบั ของ tanq นนั- คือ cot q = 1
tanq
การท่องจาํ นกั เรียนสามารถจาํ อตั ราส่วนตรีโกณมิติทQงั 6 มุมไดง้ ่าย ๆ ดงั นQี

sinq = cosecq =
cosq = secq =
tanq = cotq =

เช่น จากรูปท-ีกาํ หนดใหจ้ งหาค่าอตั ราส่วนตรีโกณมิติทQงั 6 ของมุม q

sinq = = 3 cosecq = = 5
cosq = 5 secq = 3
tanq = cotq =
= 4 = 5
5 4

= 3 = 4
4 3

จากตวั อย่าง การหาค่าของอตั ราส่วนตรีโกณมิติ เราตอ้ งทราบค่าความยาวของดา้ นทQงั 3 ดา้ น

ซ-ึงมีบางโจทยห์ รือปัญหา ท-ีเราจาํ เป็นตอ้ งหาดา้ นอื-นๆ ซ-ึงโจทยจ์ ะบอกความยาวดา้ นมาให้ 2 ดา้ น เราจะใช้
ทฤษฎขี องปิ ทาโกรัสหาดา้ นที- 3 ไดด้ งั นQี

(BC)2 = (AB)2 + (AC)2

วธิ ีจาํ ดา้ นท-ียาวที-สุดยกกาํ ลงั สอง(ฉาก2) = ดา้ นที-สQนั สองดา้ นยกกาํ ลงั สองบวกกนั (ตรง2 + ชิด2)

ตวั อยา่ งที- 1.1 กาํ หนดให้ D ABC ซ-ึงมีมุม B! = 90° และ sin A = 3 จงหาความยาวดา้ น AB
5

วธิ ีคิด โจทยบ์ อกวา่ sin A = 3 =
5

เราจะได้ ความยาวดา้ นตรง (BC) = 3
ความยาวดา้ นฉาก (AC) = 5

โจทยใ์ หห้ าดา้ น AB ซ-ึงเราทราบดา้ น BC = 3
และ AC = 5 จากสูตร ปิ ทาโกรัส

สูตร AC2 = AB2 + BC2

แทนค่า (5)2 = AB2 +(3)2

25 = AB2 +9 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
25 - 9 = AB2

16 = AB2 (หารากท-ี 2)
± 16 = AB

±4 = AB ( 16 = 4 ´ 4 = 4) ตอบ

\ ดา้ น AB = 4 (ดูเฉพาะค่าบวก)

ตวั อยา่ งท-ี 1.2 กาํ หนดให้ D ABC มีมุม B! = 90° และ sin A = 4 จงหาค่าของ cosec A + cot A
5

วธิ ีคิด จากโจทย์ บอกวา่ sin A = 4
5
เราทราบดา้ นตรง BC = 4
ดา้ นฉาก AC = 5
เราตอ้ งหาดา้ นชิด AB โดยใชส้ ูตรปิ ทาโกรัส คือ
สูตร AC2 = AB2 + BC2
แทนค่า (5)2 = AB2 +(4)2

25 = AB2 +16 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
25 -16 = AB2

9 = AB2

± 9 = AB (หารากที- 2 )

±3 = AB ( 9 = 3´ 3 = 3)
3 = AB
(ดูเฉพาะค่าบวก)
หาค่า cosec A = = 5
4 ตอบ

หาค่า cot A = = 3
4

จะได้ cosec A = + cot A = 5 + 3
4 4

= 8 2
4 1

=2

0° 30° 45° 60° และ 90° โดยใช้กฎมือซ้าย
1) ใหน้ ิQวต่างๆ เป็ นมุม 0° 30° 45° 60° 90° ดงั นQี

หมายเหตุ การหาค่าของมุม cosec q, sec q, cot q เป็นส่วนกลบั ของมุม sin q, cos q, tan q
ตามลาํ ดบั

2) หาค่าของมุมใด ใหห้ กั นิQวนQนั ลง (มีค่าเป็น 2) และเติม ใหก้ บั นิQวทQงั สองขา้ ง และหาค่าอตั ราส่วน
ตรีโกณมิติ ดงั นQี

ค่าของรากท>ี 2

0 =0
1 =1
2 = 1.414
3 = 1.732
4=2

ข้อสังเกต ค่าของ cosec ,sec , cot จะเป็ นส่วนกลบั sin , cos , tan ตามลาํ ดบั





ตวั อยา่ งที- 1.3 จงหาค่าของ sin 30o + tan 45o + sec 60o
วธิ ีคิด ใหใ้ ชก้ ฎมือซา้ ยหาค่ามุมต่าง ๆ ดงั นQี

sin 30! = 1 = 1 tan 45! = 2 = 1 sec 60! = 2 = 2
2 2 2 1

จะได้ sin 30! + tan 45! + sec 60! = 1 +1+ 2 ตอบ
2

= 1 + 3
2

= 7
2

ตวั อยา่ งท-ี 1.4 จงหาค่าของ sin2 30! +4cos2 45!
วธิ ีคิด หาค่าของมุมต่าง ๆ ดว้ ยกฎมือซา้ ย

sin 30! = 1 = 1 cos 45! = 2
2 2 2

จากโจทย์ sin 2 30! +4 cos2 45! = æ 1 ö2 + 4 æ 2 ö2
çè 2 ÷ø çèç 2 ø÷÷

= æ 1 ´ 1 ö + 4 æ 2 ´ 2ö
çè 2 2 ø÷ èçç 2 2 ø÷÷

= 1 + 4 æèç 2ö
4 4 ÷ø

= 1 + 8
4 4

= 9 ตอบ
4

ตวั อยา่ งที- 1.5 จงหาค่าของ cos ec30! - tan 45!
sin2 60!

วธิ ีคิด หาค่าของมุมต่าง ๆ ดวั ยกฎมือซา้ ย

cos ec30! = 2 = 2 tan 45! = 2 = 1 sin 60! = 3
1 2 2

จากโจทย์ cos ec30! - tan 45! = 2- 1
sin2 60! æ 3 ö2

çèç 2 ÷ø÷

= 2 - 1
9

4

= 2 - æ 1 ´ 4 ö
çè 1 9 ø÷

= 2 - 4 = 18 - 4 = 14 ตอบ
9 9 9

จากท-ีไดศ้ ึกษามาจะเป็นมุม 0° 30° 45° 60° 90° ซ-ึงสามารถใชก้ ฎมือซา้ ยหาค่าตรีโกณมิติได้
แต่ถา้ มุมที-ใหห้ าไม่ใช่มุมหลกั ๆ ที-กล่าวมา นกั เรียนตอ้ งหาค่าโดยใชต้ ารางตรีโกณมิติ (อยใู่ นภาคผนวก)
ดงั นQี

จากรูป การหาค่าตรีโกณมิติ ไดโ้ ดยแบ่งเป็น 2 กรณี คือ
กรณที ี> 1 ตQงั แต่มุม 0! - 45! ใหด้ ูจากข้างบนลงล่าง

เช่น หาค่ามุม sin 21! = 0.3584

กรณที ี> 2 ตQงั แต่มุม 46! - 90! ใหด้ ูจากข้างล่างขนึS บน

เช่น หาค่ามุม tan 82! = 7.1154

ตวั อยา่ งท-ี 1.6 จงใชต้ ารางตรีโกณมิติ หาค่าของ tan20o+cos70o

วธิ ีคิด จากตาราง tan 20! = 0.3640

cos 70! = 0.3420

จากโจทย์ tan 20! + cos 70! = 0.3640 + 0.3420

= 0.7060 ตอบ

ตวั อยา่ งท-ี 1.7 จงหาค่าของ tan122! × cos 33! + sec 316!
cosec 229! sin 3!

วธิ ีคิด ขQนั 1 จากตาราง cos33! = 0.8387

sin 3! = 0.0523

หาค่า tan122! ตอ้ งใชว้ งกลมหน-ึงหน่วยกบั ตารางตรีโกณมิติ

จตุภาค 2 (Q2) ค่า tan q เป็น ลบ

( )มุม tan122! = - tan 180! - 58!

= - tan 58!

จากตาราง - tan 58! = -1.6003

หาค่า sec316! อยใู่ นจตุภาค 4 (Q4) ค่า secq จะเป็ น บวก
มุม sec 316! = + sec(360! - 44! )

= + sec 44!

จากตาราง sec 44! =1.3902

หาค่า cos ec229! อยใู่ นจตุภาค 3 ค่า cos ecq จะเป็ น ลบ

มุม cos ec229! = -cosec(180! - 49! )

= -co sec 49!

จากตาราง -cosec 49! = -1.3250

ขQนั ท-ี 2 แทนค่ามุมต่าง ๆ ลงในโจทย์

จากโจทย์ tan122! × cos 33! + sec 316!
cos ecq 229! sin 3!

แทนค่า = (-1.6003)(0.8387) + 1.3902
(-1.3250) 0.0523

= -1.3421 + 1.3902
-1.3250 0.0523

= 1.0129 + 26.5812 ตอบ
= 27.5941

วงกลมหน)ึงหน่วย คือ วงกลมที)มีจุดศูนยก์ ลาง (0,0) และมีรัศมีเท่ากบั หน)ึงหน่วย (r =1)ซ)ึงเกิด
จากสมการ x2 + y2 = 1 ดงั ภาพขา้ งล่าง

จากภาพจะได้ว่า

sinq = = y = y = y ( y = sinq )
cosq = r 1 (x = cosq )
tanq =
= x = x = x
r 1

= y = sin q
x cosq

cosecq = 1 = 1
sinq y

s ecq = 1 = 1
cosq x

cot q = 1 = x
tan q y

ข้อสังเกต ตาํ แหน่งโดออดิเนตรของ (x, y) คือ (cosq,sinq) เพราะวา่ x = cosq, y = sinq

จากภาพขา้ งบน

สรุป วงกลมหน)ึงหน่วย ทาํ ใหน้ กั เรียนทราบค่าต่างๆ ดงั นJี

จากภาพข้างบน

1) นกั เรียนจะทราบวา่ ค่าโดออดิเนตร (x, y) ในแต่ละจตั ุภาค (Q) วา่ มีค่าเป็น + หรือ -
2) ทราบวา่ จุดตดั บนแกน x และแกน y มีค่าเป็นเท่าไร และค่าของมุมเท่าไร
(ทJงั องศาและเรเดียน)
3) อยา่ ลืมวา่ x = cosq, y = sinq นะครับ

เช่น (x, y) = (0,1) มีมุมเป็ น 90! = p แสดงวา่
2
cos90! = 0 และ sin 90! = 1 เพราะวา่
(x, y) คือ โดออดิเนตรของ (cosq,sinq )

การหาค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติท)ีมีมุมค่าเกินกวา่ 90! นกั เรียนตอ้ งใชแ้ ผนภาพขา้ งบนประกอบ
ในการแกป้ ัญหาโจทย์ เพราะจากการศึกษาในหน่วยเรียนที) 1 นกั เรียนจะหาค่าระหวา่ งมุม 0! - 90!
เท่านJนั ซ)ึงหากมุมเกิน 90! นกั เรียนใชแ้ ผนภาพขา้ งบนจะทาํ ใหห้ าค่าไดง้ ่ายขJึน เพราะค่าที)เกินจะอยู่
ระหวา่ ง 0! - 90! ซ)ึงเราสามารถใชก้ ฎมือซา้ ย และตารางหาค่าได้ โดยค่าที)ไดจ้ ะเป็น + หรือ - ตาม
จตุภาค (Q) ท)ีฟังกช์ นั ตรีโกณมิติอยู่ และหามุมได้

ตวั อยา่ งที) 2.1 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติมุม tan150! 1. มีค่าเป็นลบ
วธิ ีคิด ขJนั 1 มุม tan150! อยใู่ นจตุภาคท)ี 2 แสดงวา่ 2. มุมคือ (180 -q )

ขJนั 2 จะได้ tan150! = - tan(180 - 30) เพราะ 180! - 30! = 150!

= - tan 30! (ใชก้ ฎมือซา้ ย)
=- 1
ตอบ
3

ตวั อยา่ งที) 2.2 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติมุม cos120! มีค่าเป็ นลบ
วธิ ีคิด ขJนั 1 มุม cos120! อยใู่ นจตุภาค 2 แสดงวา่ มุมคือ (180 -q )

ขJนั 2 จะได้ cos120! = -cos(180! - 60! ) เพราะ 180! - 60! = 120!

= - cos 60!

= - 1 (กฎมือซา้ ย) ตอบ
2

ตวั อยา่ งที) 2.3 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุม 240! ทJงั หมด

วธิ ีคิด 1. tan 240!,cot 240! เป็ นบวก

ขJนั 1 มุม 240! อยใู่ นจตุภาค 3 แสดงวา่ นอกนJนั เป็นลบ

2. มุม (180 +q )

ขJนั 2 จะได้ sin 240! = - sin (180! + 60! )

= - sin 60!

=- 3 (กฎมือซา้ ย)
2

@ มุมที)เป็ นส่วนกลบั คือ cosce 240! = - 2

3

cos 240! = - cos (180! + 60! )

= - cos 60!

= - 1 (กฎมือซา้ ย)
2
@ มุมท)ีเป็ นส่วนกลบั คือ sec 240! = -2

tan 240! = + tan (180! + 60! )

= + tan 60!

= 3 (กฎมือซา้ ย)

@ มุมท)ีเป็ นส่วนกลบั คือ cot 240! = 1 ตอบ

3

ตวั อยา่ งที) 2.4 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ cos 5p
3

วธิ ีคิด ขJนั 1 cos 5p = cos 5 ´ 180! = cos 300!
3 3

อยใู่ นจตุภาค 4 แสดงวา่ 1. cosq,secq เป็ นบวก

ขJนั 2 cos300! = + cos(360! - 60! ) 2. มุม (360 -q )
เพราะ 360! - 60! = 300!

= + cos 60!

= 1 (กฎมือซา้ ย) ตอบ
2

ตวั อยา่ งท)ี 2.5 จงหาค่าฟังกช์ นั โกณมิติ cos 240! + tan 300!

1. tanq,cotq เป็ นบวก
วธิ ีคิด ขJนั 1 cos 240! อยใู่ นจตุภาค 3 แสดงวา่

2. มุม (180 +q )

ขJนั 2 จะได้ cos 240! = - cos (180! + 60!)

= - cos 60!

= - 1 (กฎมือซา้ ย)
2

= -0.5

! หามุม tan 300! 1. cosq,secq เป็ นบวก
ขJนั 1 tan 300! อยใู่ นจตุภาค 4 แสดงวา่ 2. มุม (360 -q )

ขJนั 2 จะได้ tan 300! = - tan 360! - 60!

= - tan 60!

=- 3 (กฎมือซา้ ย)

= -1.732

จากโจทย์ cos 240! + tan 300! = (-0.5 + (-1.732)) ตอบ

= -2.232

360o

การหาค่ามุมมากกวา่ 360! (เกิน 1 รอบ) นJนั ถา้ เราพิจารณาจากรูปวงกลมหน)ึงหน่วย ทาํ ใหเ้ รา
ทราบวา่ เม)ือครบรอบวงกลมแลว้ ส่วนที)เกินจะตกอยใู่ นจตุภาคทJงั 4 จตุภาค หรือ สรุปไดว้ า่ ใหน้ กั เรียนลบ
จาํ นวนรอบที)เกินออกกจ็ ะไดม้ ุมภายในวงกลมหน)ึงหน่วยมาหาค่าไดแ้ บบเดิมนนั) เอง

เช่น มุม 780! จะอยใู่ นจตุภาค 1 (คือ มุม 60! )
เพราะวา่ 1 รอบวงกลม เท่ากบั 360!
2 รอบวงกลม เท่ากบั 720!
ดงั นJนั มุม 780! - 720! = 60!

สรุป การหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติท)ีมีมุมเกิน 360! (> 360! ) ใหล้ บจาํ นวนรอบที)เกินออก

กจ็ ะไดเ้ ป็นวงกลมหน)ึงหน่วย การหาค่าต่าง ๆ กใ็ ชห้ ลกั การเดิมท)ีเรียนมาแลว้

ตวั อยา่ งท)ี 2.6 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ sin 750!
วธิ ีคิด

ขJนั 1 sin 750! = sin(750! - 720! ) เพราะเกินไป 2 รอบ

= sin 30! 1. ทุกฟังกช์ นั เป็นบวก
2. มุม q
นน)ั คืออยใู่ นจตุภาค 1 แสดงวา่

ขJนั 2 จะได้ sin 30! = + sin 30!

= + 1
2
ตอบ

ตวั อยา่ งท)ี 2.7 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ cot1125!

1 รอบเท่ากบั 360!
2 รอบเท่ากบั 720!
3 รอบเท่ากบั 1080!

ขJนั 1 cot1125! = cot(1125! -1080! = 45! )
= cot 45!

นน)ั คืออยใู่ นจตุภาค 1 แสดงวา่ 1. ทุกฟังกช์ นั เป็น บวก
2. มุม (q )

ขJนั 2 จะได้ cot 45! = + cot 45!

=+ 2 ตอบ
2

=1

การเขียนกราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตินJนั กาํ หนดให้ แกน x เป็นค่าของมุมในฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
และแกน y เป็นค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตินJนั ๆ

เช่น ใหเ้ ขียนกราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ y = sin x ดงั นJี

ขJนั 1 หาค่าของ y โดยใชก้ ฎมือซา้ ยกบั วงกลมหน)ึงหน่วย

x 0 30! 45! 60! 90! 120! 135! 150! 180! 210! 225! 240!

y = sin x 0 1 23 3 21 0 - 1 - 2 - 3
2 2 21 2 22 2 2 2

270! 300! 315! 330! 360!

-1 - 3 - 2 - 1 0
2 2 2

ขJนั 2 เขียนกราฟ

ตอบ

ตวั อยา่ งท)ี 2.8 จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของ y = - 3 cos x
5

วธิ ีคิด ขJนั 1 หาค่า y โดยใชก้ ฎมือซา้ ย และวงกลมหน)ึงหน่วย ดงั นJี

x0 45! 90! 135! 180! 225! 270! 315! 360!

y = cos x 1 2 0 -2 -1 -2 0 2 1
0 2 2
2 2

y = - 3 cos x - 3 - 32 32 3 32 - 32 - 3
5 5 10 10 5 10 0 10 5

ขJนั 2 เขียนกราฟ

ตอบ

นกั เรียนไดศ้ ึกษาเรื0องของสมการเชิงเสน้ มาแลว้ จะเห็นวา่ สมการจะเขียนในรูปของตวั แปร x, y
เช่น 2x + 3y - 5 = 0 แต่ถา้ เป็นสมการของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติจะเขียนอยใู่ นรูปของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
คือ sinq,cosq, tanq เช่น sin2 x + 6sin x + 9 = 0 ซ0ึงการหาค่าสมการ จะใชว้ ธิ ีแยกตวั ประกอบ
เหมือนกบั สมการทวั0 ไป โดยคาํ ตอบของสมการตรีโกณมิติจะเป็นค่าของ q

1. sinq × cos ceq = 1

2. sinq × cos ceq = 1

3. tanq × cotq = 1

4. tan q = sin q
cosq

5. cot q = cosq
sin q

6. sin2 q + cos2 q = 1

7. sin2 q - tan2 q = 1

8. cos ec2q - cot2 q = 1

9. sin 2q = 2sinq cosq = 1 2 tanq
+ tan2 q

10. cos 2q = cos2 q - sin2 q

ตวั อยา่ งที0 3.1 จงหาค่า x จากสมการ 2sin x -1 = 0

วธิ ีคิด ขQนั 1 จากสมการ 2sin x -1 = 0

2sin x = 1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)

sin x = 1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
2

ขQนั 2 ใชว้ งกลมหน0ึงหน่วย หาค่ามุม x เพราะค่าที0ไดจ้ ะมี 2 ค่า

y

Q2 Q1

sinq,cosecq เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +

มุม (180! -q ) มุม q

x

tanq,cotq เป็ น + cosq,secq เป็ น +

มุม (180! + q ) มุม (360! -q )

Q3 Q4

จากวงกลมหน0ึงหน่วย เราจะทราบวา่ sin x อยใู่ น Q1 และ Q2

หาค่า sin x = 1 ในจตุภาค 1 (Q1)
2

จาก sin x = 1 (มุมคือ q )
2

sin 30! = 1 (ใชก้ ฎมือซา้ ย จะไดม้ ุม 30! )
2

\ จะได้ x = 30!

หาค่า sin x = 1 ในจตุภาค 2 (Q2)
2

จาก sin x = 1 (มุม 180! -q )
2

sin = 150! = 1 (180! - 30! = 150! )
2

\ จะได้ x = 150!

ดงั นQนั x = 30! และ 150! ตอบ

ตวั อยา่ งที0 3.2 จงหาค่า x จากสมการ 2sin2 x - 3sin x +1 = 0

วธิ ีคิด ขQนั 1 จากสมการ 2sin2 x - 3sin x + 1 = 0

วธิ ีแยกตวั ประกอบ 2sin x × sin x 1´1

(2sin x -1)(sin x -1) = 0

-1sin x
-2sin x

-3sin x

นาํ ค่าแต่ละวงเลบ็ ใหเ้ ท่ากบั ศูนย์ แลว้ ใชว้ ธิ ียา้ ยขา้ งเพื0อหาค่ามุมของแต่ฟังกช์ นั

2sin x -1 = 0 sin x -1 = 0

2sin x = 1 sin x = 1

sin x = 1
2

จากการแกส้ มการดว้ ยวธิ ีแยกตวั ประกอบ จะได้ sin x = 1 และ sin x = 1
2

ขQนั 2 ใชว้ งกลมหน0ึงหน่วย และกฎมือซา้ ย

Q2 y Q1 x

sinq,cosecq เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +
มุม (180! -q ) มุม q

tanq,cotq เป็ น + cosq,secq เป็ น +
มุม (180! + q ) มุม (360! -q )

Q3 Q4

หาคาํ ตอบกรณีที0 1 sin x = 1 อยใู่ นจตุภาคท0ี 1 และ 2
หาค่า 2

sin x = 1 ในจตุภาคท-ี 1 ดงั นQี
2

จาก sin x = 1 sinq =
2

sin 30! = 1 sin 30! = 1 = 1
2 2 2

จะได้ x = 30! #

หาค่า sin x = 1 ในจตุภาคที- 2 ดงั นQี
2

จาก sin x = 1 มุมในจตุภาคท0ี 2 คือ (180! -q )
2

sin150! = 1 (มุม 180! - 30! = 150! )
2

จะได้ x = 150! #

หาคาํ ตอบกรณีที0 2 sin x = 1 อยใู่ นจตุภาคท0ี 1 และ 2

หาค่า sin x = 1 ในจตุภาคท0ี 1 ดงั นQี ซ้าย
จาก sin x = 1 sinq = 2

sin 90! = 1 sin 90! = 4 = 2 =1
2 2
จะได้ x = 90!

หาค่า sin x = 1 ในจตุภาคท0ี 2 ดงั นQี

จาก sin x = 1 มุมในจตุภาคท0ี 2 คือ (180! -q )

sin 90! = 1 (180! - 90! = 90! )

จะได้ x = 90!

ดงั นQนั x = 30! ,90! ,150! ตอบ

ตวั อยา่ งที0 3.3 จงหาค่า x จากสมการ tan2 x - 3 = 0

วธิ ีคิด ขQนั 1 จากสมการ tan2 x - 3 = 0 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)

tan2 x = 3

tan x = ± 3 (วธิ ีรากที0 2)

จะได้ tan x = 3 เท่านQนั (tan x = - 3 หาคาํ ไม่ได)้

ขQนั 2 ใชว้ งกลมหน0ึงหน่วย และกฎมือซา้ ย

Q2 y Q1

sinq,cosecq เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น + x
มุม (180! -q ) มุม q

tanq,cotq เป็ น + cosq,secq เป็ น +
มุม (180! + q ) มุม (360! -q )

Q3 Q4

\จะเห็นวา่ tan x = 3 จะอยใู่ นจตุภาค 1 และจตุภาค 3 เพราะค่าเป็นบวก

หาวา่ tan x = 3 ในจตุภาค 1 ดงั นQี tan 60! = ซ้าย
จาก tan x = 3 ขวา

tan 60! = 3 tan 60! = 3 = 3
1
จะได้ x = 60!

หาวา่ tan x = 3 ในจตุภาค 3 ดงั นQี

จาก tan x = 3 มุมในจตุภาคที0 3 คือ (180! +q)

tan 240! = 3 (180! + 60! = 240! )

จะได้ x = 240!

ดงั นQนั x = 60! และ 240! ตอบ

ตวั อยา่ งที0 3.4 จงหาค่า x จากสมการ 4cos2 x -1 = 0
วธิ ีคิด ขQนั 1 จากสมการ 4cos2 x -1 = 0

4 cos2 x = 1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
(วธิ ียา้ ยขา้ ง)
cos2 x = 1
4 (หารากท0ี 2)
(ใชเ้ ฉพาะค่าบวก)
cos x = ± 1
4

cos x = 1
4

cos x = 1
2

ขQนั 2 ใชว้ งกลมหน0ึงหน่วย จะได้ cos x = 1 อยใู่ นจตุภาคที0 1 และ 4 เพราะวา่
2
ค่า cos เป็น + ดงั รูป

Q2 y Q1

sinq,cosecq เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +
มุม (180! -q )
มุม q
tanq,cotq เป็ น +
มุม (180! + q ) x

Q3 cosq,secq เป็ น +

มุม (360! -q )

Q4

หาค่า cos x = 1 อยใู่ นจตุภาค 1 ดงั นQี
2

จาก cos x = 1 ฎมือซา้ ย cosq = ขวา
2
2

cos = 60! = 1 cos 60! = 1 = 1
2 2 2

จะได้ x = 60!

หาค่า cos x = 1 อยใู่ นจตุภาค 4 ดงั นQี
2

จาก cos x = 1 มุมในจตุภาคท0ี 4 คือ (360! -q )
2

cos 300! = 1 (360! - 60! = 300! )
2

จะได้ x = 300!

ดงั นQนั x = 60! และ 300! ตอบ

จากที&นกั เรียนไดศ้ ึกษาเกี&ยวกบั ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ซ&ึงนกั เรียนสามารถนาํ ความรู้ที&เรียนมาใช้
ประยกุ ตใ์ นชีวติ ประจาํ วนั ได้ เช่น นกั เรียนตอ้ งเขา้ แถวหนา้ เสาธงของโรงเรียนทุกวนั ถา้ นกั เรียนอยาก
ทราบวา่ เสาธงโรงเรียนสูงเท่าไร นกั เรียนสามารถนาํ ความรู้เรื&องตรีโกณมิติมาใชห้ าความสูงได้ ดงั นNี

จากเสาธงใหน้ กั เรียนเดินออกห่างจากฐานของเสาธง 4 ม. แลว้ มองไปท&ียอดเสาธงเป็น
มุม 60 องศา (ดงั ภาพขา้ งบน)
เราจะทราบความยาวดา้ น (AB) = 4 เมตร และความยาวดา้ น (AC) คือความสูงของเสาธง
และ มุม q = 60!
จะได้ tan 60! = ตรง = AC
ชิด AB

แทนค่า 3 = AC
4

4 3 = AC

6.928 = AC

\ เสาธงสูง 6.928 เมตร

สรุป การนําตรีโกณมติ มิ าแก้ปัญหาโจทย์ นักเรียนจะต้องมคี วามรู้ คือ

1) อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ ทBงั 6 ฟังก์ชันได้ คือ

1. sinq = ตรง = c 4. cosceq = ฉาก = a
ฉาก a ตรง c

2. cosq = ชิด = b 5. secq = ฉาก = a
ฉาก a ชิด b

3. tanq = ตรง = c 6. cotq = ชิด = b
ชิด b ตรง c

2) สูตรปิ ทาโกรัสหาค่าด้านทสIี าม

c2 = a2 +b2

3) กฎมือซ้ายหาค่ามุม 0!, 30!, 45!, 60!, 90!

4. วงกลมหนIึงหน่วยหาค่ามุมทเIี กนิ 360!

Q2 y Q1

sinq , cosecq เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +

มุม (180! -q ) มุม q

x

tanq , cotq เป็ น + cosq , secq เป็ น +
มุม (180! + q ) มุม (360! -q )

Q3 Q4

ตวั อยา่ งท&ี 4.1 จ๊อบยนื ห่างจากเสาโทรศพั ท์ 6 เมตร สงั เกตเห็นเสาทาํ มุม 60 องศา ถา้ จ๊อบ
มีความสูง 1.50 เมตร เสาโทรศพั ทส์ ูงเท่าไร

วธิ ีคิด จากรูป

จะไดว้ า่ tanq =
แทนค่า
tan 60! = h ( tan 60! = 3 = 3 )
6
1
3 = h
6 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)

1.732 ´ 6 = h

10.392 = h

ความสูงเสาโทรศพั ท์ = h + ความสูงของจ๊อบ

= 10.392 + 1.5 ตอบ

= 11.892 เมตร

ตวั อยา่ งที& 4.2 นอ้ งฟ้า อยบู่ นประภาคารสูง 90 ฟุต มองเห็นเรือ 2 ลาํ อยใู่ นแนวเดียวกนั เป็นมุม
กบั 30! และ 45! ตามลาํ ดบั อยากทราบวา่ เรือทNงั 2 ลาํ อยหู่ ่างกนั เท่าไร

วธิ ีคิด ……………………………………………………………… … ระดบั สายตา

45!
30!

90 ฟุต

ประภาคาร ทะเล

X1

X2

จากรูป เรือจะอยหู่ ่างกนั เท่ากบั X 2 - X1

หาค่า X1 คือ เรือลาํ ท&ี 1 อยหู่ ่างจากประภาคารสูง 90 ฟุต และทราบมุม q = 30!

จะได้ tan 30! = X1 ( tanq = ตรง )
90 ชิด

1 = X1
3 90

90 = X1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
1.732

51.96 = X1

หาค่า X 2 คือ เรือลาํ ที& 2 อยหู่ ่างจากประภาคารสูง 90 ฟุต และทราบมุม q = 45!

จะได้ tan 45! = X2 ( tanq = ตรง )
90 ชิด

1= X2
90
(วธิ ียา้ ยขา้ ง)
1´ 90 = X 2

90 = X 2 ตอบ

\ เรือทNงั สองลาํ อยหู่ ่างกนั เท่ากบั X2 – X1 = 90 - 51.96 = 38.04 ฟุต

กาํ หนดให้ ABC เป็นสามเหลี&ยมใด ๆ มี a เป็นความยาวตรงขา้ มมุม A!
b เป็นความยาวตรงขา้ มมุม B!
c เป็นความยาวตรงขา้ มมุม C!

จะไดว้ า่ a = b = c
sin A sin B sin C

ตวั อยา่ งที& 4.4 ให้ ABC เป็นรูป ใด ๆ กาํ หนดให้ a,b,c เป็นความยาวดา้ นตรงขา้ มมุม A, B
และ C ตามลาํ ดบั ถา้ a =10,A! = 30",B! =120" จงหาความยาวดา้ น b

วธิ ีคิด

จากรูป เราจะใช้ a A = b
แทนค่า sin sin B

10 b
sin 30! = sin120!

10 = b
1 3

22
20 = b × 2

3

3 × 20 = b
2

17.32 = b ตอบ

ตวั อยา่ งท&ี 4.5 ให้ ABC เป็นรูป ใด ๆ ถา้ b = 6 และ c = 2 3 และมุม B = 30!
จงหามุม C

วธิ ีคิด

จากรูป b = c
sin B sin C

แทนค่า 6 = 23
sin 30! sin C

6 = 23
1 sin C

2

2 6 = 23
sin C

sin C = 2 3
26

sin C = 3
3× 2

sin C = 1
2

sin 45! = 1 ( 2 = 2 . 2= 2 = 1)
2 2 2 2 22
2

\ C! = 45! ตอบ

จะไดว้ า่ กาํ หนดให้ ABC เป็นสามเหล&ียมใด ๆ มี
a เป็นความยาวตรงขา้ มมุม A!
b เป็นความยาวตรงขา้ มมุม B!
c เป็นความยาวตรงขา้ มมุม C!

a2 = b2 + c2 - 2bc COS A
b2 = a2 + c2 - 2ac COS B
c2 = a2 + b2 - 2ac COS C

ตวั อยา่ งที& 4.6 ให้ ABC เป็นสามเหล&ียมใด ๆ ถา้ มุม B = 120! ความยาว a = 2 c = 4
จงหาความยาวดา้ น b

วธิ ีคิด จากรูป b2 = a2 + c2 - 2ac COS B

แทนค่า b2 = (22 ) + (42 ) - 2(2)(4) COS 120!

b2 = 4 + 16 -16 COS 120!

b2 = 20 - 16 æ - 1ö
èç 2 ÷ø

b2 = 20 + 8

b2 = 28

b = ± 28 (ใชค้ ่าบวก)
b=2 7

ตอบ

ตวั อยา่ งที& 4.7 ชายคนหน&ึงนาํ บนั ไดยาว 60 ฟุต พาดกบั กาํ แพง โดยปลายบนของบนั ไดชิดกาํ แพง
พอดี เขาสงั เกตเห็นบนั ไดทาํ มุม 60! กบั พNืนราบ จงหาความสูงของกาํ แพงและระยะห่างระหวา่ ง
ปลายล่างของบนั ไดถึงกาํ แพง
วธิ ีคิด

@ หาความสูงของกาํ แพง (h)

จากโจทยเ์ ราทราบ มุม q = 60! และดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก = 60 ฟุต และตอ้ งการหาความสูง
กาํ แพง (h) ไดจ้ าก

sinq = ตรง
ฉาก

แทนค่า sin 60! = h
60

3h
2 = 60!

60 × 3 = h
2

30 ´1.732 = h ( 3 = 1.732)

51.96 = h

@ หาระยะทางระหว่างปลายล่างของบนั ไดถงึ กาํ แพง

จากรูป x2 = (60)2 + (51.96)2 - (60)(51.96) cos 60!

x2 = 3600 + 2699.84 - 3117.60cos 60!
x2 = 6299.84 - 3117.60(0.5)

x2 = 6299.84 -1558.80 ตอบ
x2 = 4741.04
x = ± 4741.04

x = 68.85 ฟุต

1. ระบบจาํ นวน

จาํ นวนเชิงซอ้ น (C)

จาํ นวนจริง (R) จาํ นวนจินตภาพ (R')

จาํ นวนตรรกยะ (Q) จาํ นวนอตรรกยะ (Q')

จาํ นวนเตม็ (I) จาํ นวนเศษส่วน จาํ นวนทศนิยม

จาํ นวนเตม็ บวก (I+) จาํ นวนเตม็ ศูนย์ (I0) จาํ นวนเตม็ ลบ (I-)

2. จาํ นวนจนิ ตภาพ (Image Number) คือค่าของ √−1 เขียนแทนดว้ ย i

เช่น √−1 = i
√−4 = 2√−1 = 2i
√−25 = 5√−1 = 5i
√−7 = √7√−1 = √7i

3. การหาค่าของ (i)n

เศษ 1 เศษ 2 เศษ 3 เศษ 0

I1=(√−1)1= i I2=(√−1)2= -1 I3=(√−1)3= -i I4=(√−1)4= 1

I5=(√−1)5= i I6=(√−1)6= -1 I7=(√−1)7= -i I8=(√−1)8= 1

. . . .
. . . .
. . . .

เศษ หาไดจ้ าก เลขช9ีกาํ ลงั
*

ตวั อยา่ งทีI 5.1 i9 = i เพราะ *+-. = เศษ 1
i10 = -1 เพราะ = เศษ 2
*
-*0--**.0=== เ ศเเศศษษษ 3 00
i11 = -i เพราะ
i12 = 1 เพราะ
i20 = 1 เพราะ

i35 = -i เพราะ 23 = เศษ 3
*
40
i13462 = -1 เพราะ **0 = เศษ 2 (ยกกาํ ลงั มาก ๆ ใหใ้ ช้ 2 หลกั ทา้ ย)
i525342 = -1 เพราะ * = เศษ 2 (ยกกาํ ลงั มาก ๆ ใหใ้ ช้ 2 หลกั ทา้ ย)

ตวั อยา่ งทีI 5.2 จงหาค่าของ i64 + i41 + i122 + i203 ตอบ
i64 = 1
i41 = i
i122 = -1
i203 = -i

จะได้ 1 + i + (-1) + (-i) = 0

ตวั อยา่ งทIี 5.3 จงหาค่าของ 5677
588

i100 = 1
i55 = -i

จะได้ - ตอบ
95

ขอ้ ควรรู้ เมIือ in เลขช9ีกาํ ลงั 4 ตวั เรียงกนั จะไดว้ า่

§ ผลบวก เท่ากบั 0 กําลงั ของ i ต้องเรียงกนั ครัง2 ละ 4 ตวั
§ ผลคูณ เท่ากบั -1
ตวั อยา่ งทIี 5.4 จงหาค่าของ
1. i+i2+ i3+ i4 = i+(-1)+(-i)+1 = 0 ตอบ
2. i . i2. i3 . i4 = i . (-1) . (-i) .1 = i2 = -1 ตอบ

ตวั อยา่ งทีI 5.5 จงหาค่าต่อไปน9ี
1. i121+ i122+ i123+ i124 = 0
2. i+i2+ i3+ i4+ i5+ i6 = 0 + i + (-1) = -1 + i
3. i+i2+ i3+ i4+ … + i100 = 0 เพราะ หารลงตวั แสดงวา่ มีกาํ ลงั เรียงกนั ท9งั หมด 25 ชุด
-.. = 25
*
-.-
4. i+i2+ i3+ i4+ … + i101 = 0 + i101 = 0 + i = i เพราะ * เหลือเศษ 1

5. i3+i4+ i5+ i6+ … + i200 = i1 + i2+ i3+i4+ i5+ i6+ … + i200 – (i1 + i2) = 0 –(i-1) = -i+1=1-i
6. i . i2. i3. i4… i37 = (-1.-1.-1.-1.-1.-1.-1.-1.-1).i37 = (-1)(i) = -i

4. จาํ นวนเชิงซ้อน
รูปแบบจาํ นวนเชิงซอ้ น Z = a + bi
จาํ นวนจินตภาพ (Im)
จาํ นวนจริง (Re)

ตวั อยา่ งทIี 5.6 จงหาส่วนทีIเป็นจาํ นวนจริง และ จินตภาพ ของจาํ นวนเชิงซอ้ นต่อไปน9ี

จาํ นวนเชิงซอ้ น (Z) จาํ นวนจริง (Re) จาํ นวนจินตภาพ (Im)

2+4i 2 4

6-7i 6 -7

-3-i -3 -1

6i 0 6

5. พชี คณติ ของจาํ นวนเชิงซ้อน
5.1) การเท่ากนั (Z1=Z2)

ถา้ a+bi = c+di แลว้ a=c และ b=d

ตวั อยา่ งทIี 5.7 กาํ หนดให้ x+2yi = 5+8i จงหาค่าของ x และ y
x=5
2y = 8
:
y = 0 = 4

5.2) การบวก ลบ จาํ นวนเชิงซอ้ น (Z1± Z2)

§ นําสว่ นจํานวนจริง มาบวก หรือ ลบกนั
§ นําสว่ นจํานวนจินตภาพ มาบวก หรือ ลบกนั

ตวั อยา่ งทIี 5.8 จงหาผลบวก และ ลบ ของจาํ นวนเชิงซอ้ นต่อไปน9ี
8.1) (2+3i) + (4+5i) = (6+8i) ตอบ
8.2) (2-3i) + (4-5i) = (6-8i) ตอบ
8.3) (-3-i) - (3+i) = -3-i-3-i = -6-2i ตอบ
8.4) (2+i) - (-2-i) = 2+i+2+i = 4+2i ตอบ
8.5) 4(2-3i) - (2-8i) = (8-12i)-(2-8i) = 8-12i-2+8i = 6-4i ตอบ
8.6) (5+4i) + 2i = 5+4i+2i = 5+6i ตอบ
8.7) (8+3i) - 6 = 2+3i ตอบ

5.3) การคูณจาํ นวนเชิงซอ้ น (Z1. Z2)
คือการแจกแจงการคณู คือการคณู เข้าไปในวงเลบ็ เลย

ตวั อยา่ งทีI 5.9 จงหาผลคูณ ของจาํ นวนเชิงซอ้ นต่อไปน9ี
9.1) i(3-i) = 3i – i2 = 3i – (-1) = 1+3i ตอบ
9.2) i2(3-4i) = 3i2 – 4i3 = 3(-1) – (4.-i) = -3+4i ตอบ
9.3) √2i(i-√2) = √2i2 – 2i = √2 (-1) – 2i = -√2 – 2i ตอบ
9.4) (3+2i)(2-5i) = 6-15i+4i+10i2 = 6 -11i - (10.(-1)) = 16 – 11i ตอบ
9.5) (4+i)2 = (4+i) (4+i) = 16+4i+4i+i2= 16+8i+(-1) = 15+8i ตอบ
9.6) (√2+√3i) (√2-√3i) = 2-√6< + √6< -3i2 = 2-3(-1) = 2+3 = 5 ตอบ

5.4) การสังยุค(Conjugate) ใชใ้ นการหาค่าการหารจาํ นวนเชิงซอ้ น

¨ >̅ อ่านวา่ การสงั ยคุ ของ Z

หรือ คอนจูเกตของ Z
หรือ Z-bar
¨ เปลีIยนเครืIองหมายหนา้ i + เป็น -
- เป็น +

¨ ประโยชนข์ อง >̅ ใชใ้ นการหาร Z หรือ ใชเ้ ปลีIยน Z เป็น |Z|

¨ Z = a + bi แลว้ >̅ = (DDADD+DDDDBDCDD) = a – bi

ตวั อยา่ งทIี 5.10 จงหาค่า >̅
>̅ = D(D3DD+DDDD4DCDD) = (3-4i) ตอบ
>̅ = D(D2DD−DDDD3DCDD) = (2+3i) ตอบ
>̅ = D(D−DD4DDD+DDD5DDCD) = (-4-5i) ตอบ
>̅ = D(D6DDCD) = -6i ตอบ
>̅ = D(D2DD) = 2 ตอบ

ความลบั ของ >̅
1) aHHH+HHHbHHı = (a + bi)
2) ZDD-DD+DDDDZD0D = ZD1 + ZD2
3) ZDD-DD−DDDDZD0D = ZD1 - ZD2
4) ZDD-DD. DZD0D = ZD1 . ZD2
PDDLDDDMMQDD6NDOD= =(PMMDD̅6N)Q
5)
6)

ตวั อยา่ งทีI 5.11 กาํ หนดให้ Z1 = 2-i และ Z2 = -3+2i จงหาค่าของ
11.1) zD1 = 2+i
ตอบ
11.2) ZDD-DD.DZD0D = (DD2DD−DDDCD)DD(D−DD3DDD+DDD2DDCD)
= −DDD6DD+DDD4DDCD+DDD3DDCDD−DDD2DCD0D
= D−DD6DD+DDD7DDCDD−DDD2D(DD−DD1DD)
= D −DDD4DD+DDD7DDC
= -4-7i
ตอบ

11.3) zD1 . zD2 = (2+i)(-3-2i)
= -6-4i-3i-2i2
= -6-7i-2(-1)
= -4-7i ตอบ
11.4) ZDD-DD+DDDDZD0D = (DD2DD−DDDCD)DD+DDD(D−DDD3DD+DDD2DDCD)
= −DDD1DDD+DDDC
= -1- i ตอบ
11.5) zD1 + zD2 = (2+i)+(-3-2i)
= -1-i ตอบ

6. จาํ นวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขCวั
จากบทนิยามการคูณ และการหารากทีIสองของจาํ นวนเชิงซอ้ น จะเห็นวา่ การคูณจาํ นวนเชิงซอ้ น

หลาย ๆ จาํ นวน หรือยกกาํ ลงั n หรือหารากทIี n ของจาํ นวนเชิงซอ้ นมีความซบั ซอ้ น จึงจะหาวธิ ีการอืIน ๆ
มาช่วยในการแกป้ ัญหาเหล่าน9ีไดง้ ่ายข9ึน

ถา้ Z = x + yi ¹ 0 เป็นจาํ นวนเชิงซอ้ น จะสามารถเขียนแทน Z ดว้ ยเวกเตอร์บนระนาบ ดงั น9ี

cos Z =cosฉชาิดZก = T s i n Z r.=sinฉตราZกง = U
r. = S = S
T U

จากรูป เราะใชค้ วามสมั พนั ธ์ของ r และ q จาก x และ y ดงั น9ี
จากสูตรพิทาโกรัส S0 = T0 + U0

S = VT0 + U0 = |z|

ไดว้ า่ tan Z = ตรง = [
ชิด \

tan Z = [
\

และจาก Z = x + yi
Z = r. cosq + r. sinq . i
Z = r ( cosq + sinq. i) จะอยู่ในรูปเชิงขCวั (Polar form)

พิจารณาจากรูปวงกลมหนIึงหน่วย เราจะทราบวา่ และเรียก q ว่า argument

cos (q + 2np) = cosq

sin (q + 2np) = sinq

2np เป็นการวนครบรอบของมุมฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของวงกลมหนIึงหน่วย

ดงั น9นั cos (q + 2np) + i sin (q + 2np) = cosq + i. sinq

แสดงวา่ ถา้ q เป็นอาร์กิวเมนตข์ องจาํ นวนเชิงซอ้ น Z แลว้ (q + 2np) เป็นอาร์กิวเมนตข์ อง Z

สาํ หรับทุกจาํ นวนเตม็ n
นอกจากน9ี ถา้ Z1 = r1 ( cosq1 + i . sinq1)
และ Z2 = r2 ( cosq2 + i . sinq2)

จะไดว้ า่ Z1= Z2 กต็ ่อเมIือ r1= r2 และ q1 - q2 = 2np เมืIอ n เป็นจาํ นวนเตม็

สรุป จาํ นวนเชิงซอ้ น Z = X + Y i
เขียนในรูปเชิงข9วั Z = r (cosq + i . sinq) เรียก q วา่ อาร์กิวเมนต์
จะได้ S = VT0 + U0 = |z|
[
tan Z = \

และ cosq= cos (q + 2np)
sinq = sin (q + 2np)

โดยทIี n เป็นจาํ นวนรอบ เช่น 1 รอบ = 1.2p = 2p

2 รอบ = 2.2p = 4p
3 รอบ = 3.2p = 6p

กรณี มี 2 จาํ นวนเชิงซอ้ น คือ Z1 = r1 ( cosq1 + i . sinq1)
Z2 = r2 ( cosq2 + i . sinq2)

ถา้ Z1= Z2 กต็ ่อเมIือ r1= r2 และ q1 - q2 = 2np เมIือ n เป็นจาํ นวนเตม็

ตวั อยา่ งทIี 5.12 จาก Z = 2 + 2i ใหอ้ ยใู่ นรูปเชิงข9วั
วธิ ีทาํ Z = 2 + 2i เราจะทราบวา่ x = 2 , y = 2

จะได้ S = VT0 + U0 tan θ = b
c
S = √20 + 20 0
S = √4 + 4 tan θ = 0
S = √8
S = 2√2 tan θ = 1 e
*
q = 45° = (ค่า q หาจากกฎมือซา้ ย)

รูปเชิงข9วั Z = r (cosq + i . sinq) เมIือ k เป็นจาํ นวนเตม็ ตอบ
แทนค่า r, q Z = 2√2 (cose* + i . sine*)
รูปเชิงข9วั สมบูรณ์
Z = 2√2 [cos(e* + 2fp) + i . sin(e* + 2fp)]

ตวั อยา่ งทีI 5.13 จาก Z = √3 - i ใหอ้ ยใู่ นรูปเชิงข9วั
วธิ ีทาํ Z = √3 - i เราจะทราบวา่ x = √3 , y = -1 และ (+,-) อยใู่ น Q4

จะได้ S = VT0 + U0 tan θ = b
c
S = g√30 + (−1)0
S = √3 + 1 tan θ = 9- ค่า q อยใู่ นจตุภาค 4
S = √4 √2
S=2 q= =2p e --e (หาจากวงกลมหนIึงหน่วย)
- 4 4

รูปเชิงข9วั Z = r (cosq + i . sinq) เมIือ k เป็นจาํ นวนเตม็ ตอบ
แทนค่า r, q Z = 2 (cos--4e + i . sin--4e)

รูปเชิงข9วั สมบูรณ์ Z = 2 [cos(--4e + 2fp) + i . sin(--4e + 2fp)]

ตวั อยา่ งทีI 5.14 จาก Z = -1 + √3 i ใหอ้ ยใู่ นรูปเชิงข9วั
วธิ ีทาํ Z = -1 + √3 i เราจะทราบวา่ x = -1 , y = √3 และ (-,+) อยใู่ น Q2

จะได้ S = VT0 + U0 tan θ = b
c
S = g(−1)0 + √30
S = √1 + 3 tan θ = √2 ค่า q อยใู่ นจตุภาค 2
S = √4 9-
S=2 q= =p e 0e (หาจากวงกลมหนIึงหน่วย)
- 2 2

รูปเชิงข9วั Z = r (cosq + i . sinq) เมIือ k เป็นจาํ นวนเตม็ ตอบ
แทนค่า r, q Z = 2 (cos02e + i . sin02e)

รูปเชิงข9วั สมบูรณ์ Z = 2 [cos(02e + 2fp) + i . sin(02e + 2fp)]

ตวั อยา่ งทีI 5.15 จาก Z = - 4 - 4√3 i ใหอ้ ยใู่ นรูปเชิงข9วั
วธิ ีทาํ Z = - 4 - 4√3 i เราจะทราบวา่ x = -4 , y = -4√3 และ (-,-) อยใู่ น Q3

จะได้ S = VT0 + U0 tan θ = b
c
S = g(−4)0 + (−4√3)0
S = √16 + 48 tan θ = 9*√2
S = √64 9*
S=8
tan θ = √3 ค่า q อยใู่ นจตุภาค 3

q= =p + e *e (หาจากวงกลมหนIึงหน่วย)
2 2

รูปเชิงข9วั Z = r (cosq + i . sinq) เมืIอ k เป็นจาํ นวนเตม็ ตอบ
แทนค่า r, q Z = 8 (cos*2e + i . sin*2e)

รูปเชิงข9วั สมบูรณ์ Z = 8 [cos(*2e + 2fp) + i . sin(*2e + 2fp)]