คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์

ตวั อยา่ งทีI 5.16 จงหาค่าของ r และ q เมืIอกาํ หนดให้ r (cos 2q + i . sin 2q) = √3 + i และ 0 £ q £ 2p
วธิ ีทาํ จาก r (cos 2q + i . sin 2q) = √3 + i
เราจะทราบวา่ x = √3 , y = 1 และ (+,-) อยใู่ น Q1

หาค่า r

S = VT0 + U0

S = g(√3)0 + 10
S = √3 + 1
S = √4
S=2

หาค่า q b
c
tan θ =

tan θ = -
√3
q= =30° e ค่า q อยใู่ นจตุภาค 1
4
รูปเชิงข9วั Z = r (cosq + i . sinq)
Z = 2 [cos(e4 + 2fp) + i . sin(e4 + 2fp)]

จะได้ 2q = e + 2fp
4
-
นาํ 0 คูณตลอด =q e + fp
-0

โจทยก์ าํ หนด 0 £ q £ 2p ให้ k = 0 = =q e 15°
-0
ให้ k = 1 = = =q
e +p -2e 195°
-0 -0

ให้ k = 2 =q e +2p = =03e 375° (มีค่าเกิน 2p)
-0 -0

จะได้ ค่า r = 2 ค่า q = e , -2e ตอบ
-0 -0

ทฤษฎบี ท ให้ Z1 = r1 ( cosq1 + i . sinq1)

และ Z2 = r1 ( cosq2 + i . sinq2) โดยทีI Z2¹ 0
แลว้ 1) Z1. Z2= r1 r2[cos(q1+q2) + i . sin(q1+q2)]
- -
2) = ( cosq2 - i . sinq2)
3) MMN6 = iiN6 [ cos(q1- q2) + i . sin(q1- q2)]
MN iN
4) zD = r1 [cos(-q1) + i . sin(-q1)]

พสิ ูจน์ทฤษฎบี ทข้อ 1 Z1. Z2= r1 r2[cos(q1+q2) + i . sin(q1+q2)]

จาก Z1 = r1 ( cosq1 + i . sinq1) และ Z2 = r2 ( cosq2 + i . sinq2)
Z1. Z2 = r1 ( cosq1 + i . sinq1) . r2 ( cosq2 + i . sinq2)
= r1 r2 [( cosq1 + i . sinq1) . ( cosq2 + i . sinq2)]
= r1 r2 [ cosq1 cosq2 + i . cosq1sinq2 + i . cosq2sinq1 + i2 . sinq1sinq2)]
= r1 r2 [ cosq1 cosq2 + i . cosq1sinq2 + i . cosq2sinq1 - sinq1sinq2)] เพราะ (i2 = -1)
= r1 r2 [ (cosq1 cosq2 - sinq1sinq2) + i .(cosq1sinq2 + sinq1cosq2)]
= r1 r2 [cos(q1+q2) + i . sin(q1+q2)]

หมายเหตุ cos(A+B) = cosA cosB – sinA sinB
sin(A+B) = cosA sinB+ sinA cosB

พสิ ูจน์ทฤษฎบี ทข้อ 2 - = - ( cosq2 - i . sinq2)
MN iN
จาก Z2 = r2 ( cosq2 + i . sinq2)

- = r2 ( cosθ2 -
jN
+ i .sinθ2)

= - . - . lmno2 9 q .nqro2 ( ใช้ Conjugate)
kN lmno2 p q .nqro2 lmno2 9 q .nqro2

= - . lmno2 9 q .nqro2
kN lmnNo2p nqrNo2

= - . cosθ2 − i . sinθ2 ( เอกลกั ษณ์ตรีโกณมติ ิ cos2θ0 + sin2θ0 = 1)
kN

พสิ ูจน์ทฤษฎบี ทข้อ 3 M6 = i6 [ cos(q1- q2) + i . sin(q1- q2)]
MN iN
จาก Z1 = r1 ( cosq1 + i . sinq1) และ Z2 = r2 ( cosq2 + i . sinq2)
j6
jN = r1 ( cosθ1 + i sinθ1)
r2( cosθ2 + i sinθ2)
= k6 ( lmno1 p q nqro1) (lmno2 9 q nqro2)
kN ( lmno2 p q nqro2) (lmno2 9 q nqro2)
k6 ( lmno1 p q nqro1).(lmno2 9 q nqro2)
= kN ( lmnNo2p nqrNo2)

= k6 ( lmno1 p s nqro1).(lmno2 – s nqro2)
kN -

k6 ( cosθ1 + i sinθ1). (cosθ2 − i sinθ2) - i2 . sinq1sinq2)] เพราะ (i2= -1)
+ sinq1sinq2)]
= kkN6 [ cosq1 cosq2 - i . cosq1sinq2 + i . cosq2sinq1 - sinq1cosq2)]
= kkN6 [ cosq1 cosq2 - i . cosq1sinq2 + i . cosq2sinq1
= kkN6 [ (cosq1 cosq2 + sinq1sinq2) + i .(cosq1sinq2
= kkN6 [cos(q1- q2) + i . sin(q1- q2)]
= kN

หมายเหตุ cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB
sin(A-B) = sinA cosB- cosA sinB

พสิ ูจน์ทฤษฎบี ทข้อ 4 zD = r1 [cos(-q1) + i . sin(-q1)]
จาก Z1 = r1 ( cosq1 + i . sinq1)
Z1 = r1cosq1 + i . r1sinq1)

zD- = SDD-DuDvDDwDZDD-DD D+DDD DCD .DSD-DDwDCDxDDZD-D
zD- = S-uvwZ- − < . S-w<xZ-

zD- = S-(uvwZ- − < . w<xZ-)
zD- = S-[uvwZ- + < (−w<xZ-)]
zD- = S- cos(−Z-) + < w<x(−Z-)

หมายเหตุ cos(-A) = cosA
sin(-A) = - sin(A)

เรืIองทีIตอ้ งรู้

cos(A+B) = cosA cosB – sinA sinB
cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB
sin(A+B) = cosA sinB+ sinA cosB
sin(A-B) = sinA cosB- cosA sinB
sin2q + cos2q = 1
cos(-A) = cosA
sin(-A) = - sin(A)

ตวั อยา่ งทีI 5.17 จงเขียน [ 2 √3 cos(--4e) + i . sin(--4e )] [ 4 cos(*2e) + i . sin(*2e )]

ใหอ้ ยใู่ นรูป x + yi เมIือ x และ y เป็นจาํ นวนจริง
วธิ ีทาํ Z1. Z2 = r1 r2[cos(q1+q2) + i . sin(q1+q2)]
= (2 √3).4) [cos(--4e )*e + i sin(--4e *2e)]
+ +
2
= 8√3 [cos(-+4e) + i sin(-+4e)]
= 8√3 [cos(e4 + 3{) + i sin(e4 + 3{)] (2{ เท่ากบั 1 รอบ)
= 8√3 [cos(|4e) + i sin(|4e)]
= 8√3 [− i)] [ใชก้ ฎมือซา้ ยหาค่า และ อยใู่ น Q3 (-,-)]
√2 − 1 e
0 2 4
= −12 −4√3 i ตอบ

ตวั อยา่ งทIี 5.18 จงเขียน [ 0 lmn(}~)p q .nqr(}~ )] ใหอ้ ยใู่ นรูป x+ yi เมืIอ x และ y เป็นจาํ นวนจริง
[ : lmn(Ä})p q .nqr(Ä} )]
M6 ii0:N6[[ccoossL(Å4q1−- q*22Å)O++i . sin(q1- q2)]
วธิ ีทาํ MN =
= i sin LÅ4 − *2ÅO
]

= - [ cos L− |4ÅO + i sin L− |4ÅO ]
= -* [
* − √2 +i (-(-0-)) ] (cos(-q) = cosq และ sin(-q) = - sinq )
0
+ i ]= [-
* − √2 -
0 0

+ i= − √2 - ตอบ
: :

จากสูตรการคูณของจาํ นวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขCวั จะได้ว่า

ถา้ Z = r (cosq + i . sinq)
Z2 = Z.Z = r (cosq + i . sinq) . r (cosq + i . sinq)
Z2 = r0(cos2q + i . sin2q)
Z3 = Z2.Z = r2 (cos2q + i . sin2q) . r (cosq + i . sinq)
Z3 = r2(cos3q + i . sin3q)
.. .
.. .
Zn = rr[cos(nq) + i . sin(nq)]

จะได้ทฤษฎบี ทของ เดอมวั ฟวร์ (De Moivre’s Theorem)

ถา้ Z = r (cosq + i . sinq) เป็นจาํ นวนเชิงซอ้ นในรูปเชิงข9วั

และ n เป็นจาํ นวนเตม็ บวก (n Î I+)
แลว้ Zn = rr[cos(nq) + i . sin(nq)]

ตวั อยา่ งทIี 5.18 จงเขียน ( 2 + 2 < )12 ใหอ้ ยใู่ นรูป x + yi เมIือ x และ y เป็นจาํ นวนจริง
√0 √0

วธิ ีทาํ แสดงเป็นรูปเชิงข9วั 2
2 2 2 √0
จาก √0 + √0 < เราทราบค่า x = √0 และ y = อยใู่ น Q1

จะได้ S = VT0 + U0

S = gL√20O0 + L√20O0

S = g0+ + +
0

S = g-0:
S = √9
S=3

จาก Z = 2 + 2 < =3 (√-0 + - <)
√0 √0 √0
Z = 3 (cos 45∘ + i sin 45∘ )
Z = 3 (cos e + i sin e )
* -0e * -0e
Z12 = 312 (cos * + i sin * )

Z12 = 312 (cos 3{ + i sin 3{ )

Z12 = 312 [(-1)+ (0)]

Z12 = 312 (-1)

Z12 = -53144 ตอบ

ตวั อยา่ งทIี 5.19 ถา้ 2(uvZw=e22(+uv<w we2<x+e2<) w<จxงหe2า)ค่าของ Z7 ในรูปเชิงข9วั
วธิ ีทาํ จาก

และ Zn = rr[cos(nq) + i . sin(nq)]
Z7 = 2|[cos(7. e2) + i . sin(7.e2)]
Z7 = 128 [cos( |2e) + i . sin(|2e)]
Z7 = 128 [cos( e2 + 2{ + i . sin(e2 + 2{)] (2{ เท่ากบั 1 รอบ)
Z7 = 128 [cos( e2) + i . sin(e2)] ตอบ

เรืQองทนQี ักเรียนต้องรู้

1) cos (a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
2) cos (a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
3) sin (a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
4) sin (a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
5) sin (2a) = 2cos(a) sin(a)
6) cos (2a) = cos2(a) - sin2(a)
7) 1 = sin2(q) + cos2(q)
8) sin (-q) = - sin (q)
9) cos (-q) = cosq

ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องรูปวงกลมหนQึงหน่วย

เมทริกซ์ (Matrix) หมายถึง กลุ่มของจาํ นวนเลขที9เขียนอยใู่ นรูปของแถว (Row) และ คอลมั น์
(Column) ภายใตเ้ ครื9องหมาย [ ] หรือ ( ) และมีตวั เลขกาํ กบั เพ9ือใชบ้ อกขนาดของเมทริกซ์วา่ มีกี9แถว
กี9คอลมั น์ (m x n) เรียกวา่ “ขนาด” หรือ “มิติ” ดงั นKี

เช่น é 5 0ù เป็นเมทริกซ์ขนาด 2 แถว 2 คอลมั น์
êë-2 3úû2´2

é5ù

êê0úú เป็นเมทริกซ์ขนาด 3 แถว 1 คอลมั น์

êë1úû3´1

é1 2 3 -1ù เป็นเมทริกซ์ขนาด 3 แถว 4 คอลมั น์
êê4 ú
5 6 0 ú

êë7 2 0 1 úû3´4

æ a11 a12 a13 ö เป็นเมทริกซ์ขนาด 3 แถว 3 คอลมั น์
ç aa3211 aa3222 aa3233 ÷
ç ÷
çè ÷ø3´3

( )1 0 เป็นเมทริกซ์ขนาด 2 แถว 2 คอลมั น์

0 1 2´2

(2)1´1 เป็นเมทริกซ์ขนาด 1 แถว 1 คอลมั น์

กาํ หนดให้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด m x n (คือ มี m แถว และ n คอลมั น)์

éa11 a12 ! a1n ù แถวท'ี 1
êêa21 ú แถวที' 2
เขียนไดเ้ ป็น A = ê" a22 ! a2n ú
" ….
"ú
ëêam1 ú แถวท'ี m
am2 ! amn û

คอลมั น์ 1 คอลมั น์ 2 คอลมั น์ n

จากเมทริกซ์ A เราจะทราบวา่

- A เป็นช9ือของเมทริกซ์ ซ9ึงเราจะใชต้ วั อกั ษรพิมพใ์ หญ่แทน เช่น B,C, D เป็นตนั
- a11,a12,...amn เป็ นสมาชิกของเมทริกซ์ A โดย สมาชิกแต่ละตวั จะมีเลขกาํ กบั ไว้

เพื9อบอกใหท้ ราบวา่ เป็นสมาชิกอยทู่ 9ีแถว (Row) หรือ คอลมั น์ (colamn) ใด ของ
เมทริกซ์ A ดงั นKี

a11 บอกวา่ สมาชิกตวั นKีอยทู่ ี9 แถวท9ี 1 คอลมั นท์ ี9 1
a12 บอกวา่ สมาชิกตวั นKีอยทู่ 9ี แถวท9ี 1 คอลมั นท์ ี9 2
a34 บอกวา่ สมาชิกตวั นKีอยทู่ ี9 แถวที9 3 คอลมั นท์ ี9 4
amn บอกวา่ สมาชิกตวั นKีอยทู่ 9ี แถวที9 m คอลมั นท์ 9ี n

- m x n เป็นมิติของเมทริกซ์ A บอกใหท้ ราบวา่ เมทริกซ์ A มีจาํ นวนแถวทKงั หมด
m แถว และมีจาํ นวนคอลมั นท์ Kงั หมด n คอลมั น์

เราสามารถเขียนเมทริกซ์ A ขนาด m x n เป็นแบบยอ่ ได้ ดงั นKี

A = êëéaij ù

ûúmxn

โดยท9ี i แทน แถว (Row) i = 1, 2,..., m

j แทน คอลมั น์ (Column) j = 1,2,..., n
m x n แทน เป็นมิติของเมทริกซ์ A

ตวั อยา่ งท9ี 6.1 กาํ หนดให้ A = é1 0 2ù จากเมทริกซ์ A นกั เรียนทราบอะไร
วธิ ีคิด êë3 -1 5ûú

1. เป็นเมทริกซ์ขนาด 2´ 3 คือมี 2 แถว 3 คอลมั น์
2. สมาชิกแถวท9ี 1 คอลมั นท์ 9ี 1 a11 คือ 1
สมาชิกแถวที9 1 คอลมั นท์ ี9 2 a12 คือ 0
สมาชิกแถวที9 1 คอลมั นท์ 9ี 3 a13 คือ 2
สมาชิกแถวที9 2 คอลมั นท์ ี9 1 a21 คือ 3
สมาชิกแถวที9 2 คอลมั นท์ 9ี 2 a22 คือ -1
สมาชิกแถวท9ี 2 คอลมั นท์ ี9 3 a23 คือ 5

3. จาํ นวนสมาชิกเมทริกซ์ A มี 6 ตวั ซ9ึงหาไดจ้ าก

จาํ นวนสมาชิก = จาํ นวนแถว × จาํ นวนคอลมั น์

แทนค่า = 2´3 ตอบ
=6

ตัวอย่างที+ 6.2 โรงงานแห่งหน9ึงผลิตเสKือ กางเกง รองเทา้ ดงั ตารางต่อไปนKี

เดือน ม.ค. ก.พ. มี.ค.

เสKือ 160 180 170
กางเกง 140 120 200
รองเทา้ 150 130 90

จากขอ้ มูลของโรงงานแห่งนKี ใหน้ าํ เขียนอยใู่ นรูปของเมทริกซ์ไดอ้ ยา่ งไร

วธิ ีคิด จากท9ีเราไดเ้ รียนมาจะเห็นวา่ เมทริกซ์จะอยใู่ นรูปของตารางคือ มีแถวกบั คอลมั น์
ดงั นKนั เราสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ ดงั นKี

é160 180 170ù
A = êê140 120 200úú

êë150 130 90 úû3´3

ตอบ

3.1 เมทริกซ์แถว (Row Matrix) เป็นเมทริกซ์ที9มี 1 แถวเท่านKนั (จะมีกี9คอลมั นก์ ไ็ ด)้
หรือ มีมิติเป็น 1´ n

เช่น A = [1 0 5 ]7 1´4
B = [1 ]-1 1´2
C = [1]1´1

3.2 เมทริกซ์คอลมั น์ (Column Matrix) เป็นเมทริกซ์ที9มี 1 คอลมั นเ์ ท่านKนั (จะมีกี9แถวกไ็ ด)้
หรือ มีมิติเป็น m ´1

é1ù

เช่น A = êê2úú

ëê3úû3´1

é0ù
êê-1úú
B = ê2ú

ê 4 ú
ë û 4´1

C = [5]1´1

ขอ้ สงั เกต เมทริกซ์ [ ]a11 1´1 เช่น [1] หรือ [5] เป็นทKงั เมทริกซ์แถว และเมทริกซ์คอลมั น์

3.3 เมทริกซ์ศูนย์ (Zero Matrix) เป็นเมทริกซ์ที9มีสมาชิกทุกตวั เป็นศูนยเ์ ขียนแทนดว้ ย
O (เมทริกซ์ศูนย์ )

เช่น A = [O]

B = [O O O]

C = éO Où
ëêO Oûú

3.4 เมทริกซ์จตั ุรัส (Square Matrix) เป็นเมทริกซ์ที9มีจาํ นวนแถวเท่ากบั จาํ นวนคอลมั น์
หรือมีมิติเท่ากนั คือ n ´ n

เช่น A = [ ]-3 1´1

B = é2 0ù
êë1 3úû 2´2

é1 0 -1ù
C = êê3 -2 ú
4 ú

êë0 1 0 úû3´3
3.5 เมทริกซ์เฉียง (Diagonal Matrix) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสและสมาชิกเหนือและใตข้ อง
เสน้ ทแยงมุมหลกั เป็นศูนยท์ Kงั หมด ส่วนแนวเสน้ ทแยงเป็นอะไรกไ็ ด้

เช่น A = é3 0ù
êë0 -1úû 2´2

é1 0 0 ù
B = êê0 3 ú
0 ú

êë0 0 -1ûú3´3

3.6 เมทริกซ์สเกลาร์ (Scalar Matrix) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ที9มีสมาชิกในแนวเสน้
ทแยงมุมหลกั เท่ากนั หมด ส่วนสมาชิกอื9น ๆ เป็นศูนยท์ Kงั หมด

เช่น A = é2 0ù
êë0 2 úû 2´2

é1 0 0ù
B = êê0 0 0úú

ëê0 0 1úû3´3

3.7 เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity Matrix) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ท9ีมีสมาชิกแนว
เสน้ ทแยงมุมหลกั เท่ากบั 1 ส่วนสมาชิกอื9น ๆ เป็นศูนยท์ Kงั หมด

เช่น A = é1 0ù
ëê0 1 ûú 2´2

é1 0 0ù
B = êê0 1 0úú

ëê0 0 1 úû3´3

ทKงั เมทริกซ์เฉียง เมทริกซ์สเกลาร์ เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ จะมีสมาชิกอื9นๆ เป็น 0 ทKงั หมด
แต่ในแนวเสน้ ทแยงมุมหลกั จะแตกต่างกนั คือ

เมทริกซ์เฉียง แนวเสน้ ทแยงหลกั มคี ่าเท่าไรกไ็ ด้
เมทริกซ์สเกลาร์ แนวเสน้ ทแยงหลกั มคี ่าเท่ากนั
มคี ่าเป็ น 1 เสมอ
เมทริกซ์เฉียง แนวเสน้ ทแยงหลกั

3.8 เมทริกซ์สามเหลี9ยมบน (Upper Triangular Matrix) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส และ
สมาชิกใตเ้ สน้ ทแยงมุมหลกั เป็น 0 ทKงั หมด

é1 3 0 ù

เช่น A = êê0 2 -1úú

ëê0 0 1 ûú3´3

B = é1 3ù
êë0 1úû 2´2

3.9 เมทริกซ์สามเหลี9ยมล่าง (Lower Triangulor Matrix) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส และ
สมาชิกเหนือเสน้ ทแยงมุมหลกั เป็น 0 ทKงั หมด

é1 0 0ù

เช่น A = êê2 -3 0úú

êë1 1 0úû3´3

B = é1 0ù
ëê5 1 ûú 2´2

ดูรูปสามเหล9ียม ถา้ เป็นเมทริกซ์สามเหลี9ยมบน จะอยลู่ ่าง
แต่เป็นเมทริกซ์สามเหลี9ยมล่าง จะอยบู่ น
(ตรงข้ามกบั ช:ือเมทริกซ์นะครับ)

é2 0 0ù

ตวั อยา่ งที9 6.3 ให้ A = êê0 2 0úú เป็นเมทริกซ์ชนิดใดไดบ้ า้ ง

êë0 0 2úû

วธิ ีคิด 1) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส เพราะมีมิติเป็น 3´ 3 (Row = column)
2) เป็นเมทริกซ์สเกลาร์ เพราะสมาชิกแนวเสน้ ทแยงหลกั เท่ากนั ทKงั หมด (คือ2)
เพราะสมาชิกอ9ืนเป็น 0 หมด
3) เป็นทKงั เมทริกซ์สามเหล9ียมบน และเมทริกซ์สามเหลี9ยมล่าง ตอบ

1. ขนาดหรือมติ เิ ท่ากนั

เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากนั ตอ้ งมี

2. สมาชิกทอี: ยู่ตาํ แหน่งเดยี วกนั เท่ากนั

เช่น A = [2 ]9 1´2

B = é 4 32 ù หรือ é4 = 2 32 = 3´ 3 = 9ûùú1´2
êë 2 úû1´2 ëê 2

1. มีมิติเท่ากนั คือ 1´ 2

จะได้ A = B เพราะ

2. สมาชิกตาํ แหน่งเดียวกนั เท่ากนั คือ

a11 = 2 = 4
2

a12 = 9 = 32 = 3´ 3 = 9

เช่น A = é2 3ù
êë1 0 úû 2´2

A¹ B เพราะมมี ติ ไิ ม่เท่ากนั

B = é0ù
êë1 ú
û1´2

คุณสมบตั ทิ ค:ี วรจาํ ของเมทริกทเี: ท่ากนั

กาํ หนดให้ A, B และ C เป็นเมทริกซ์ ใดๆ
1) กฎไตรวภิ าค (Trichotomy law) คือ A = B หรือ A ¹ B อยา่ งไรอยา่ งหน9ึงเท่านKนั
2) การสะทอ้ น (Reflexive property) คือ A = A
3) การสมมาตร (Symmetric property) คือ ถา้ A = B แลว้ B = A
4) การถ่ายทอด (Transitive property) คือ ถา้ A = B แลว้ B = C จะไดว้ า่ A = C ดวั ย
@ คุณสมบตั ิเหล่านKีนกั เรียนสามารถนาํ ไปใชแ้ กป้ ัญหาโจทยไ์ ด้ ดงั นKนั นกั เรียนควรเรียนรู้และ

จาํ ใหไ้ ดน้ ะครับ

ตวั อยา่ งท9ี 6.4 กาํ หนดให้ A = éx + 2 3ù
êë 4 1 - yúû

B = é4 - x 3ù
êë 4 5úû

จงหาค่า x + 2y เม9ือ A = B

วธิ ีคิด จากโจทยก์ าํ หนดให้ A = B ดงั นKนั เราทราบวา่ 1. มีมิติเท่ากนั 2 ´ 2
2. สมาชิกที9อยใู่ นตาํ แหน่ง
นน9ั คือ éx + 2 3 ù = é4 - x 3ù
ê - ú ê 5úû 2´2 เดียวกนั เท่ากนั
ë 4 1 y û 2´2 ë 4

จะได้ x + 2 = 4 - x (วธิ ียา้ ยขา้ ง)

x+ x = 4-2

2x = 2

x = 2
2

x =1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)

และ 1- y = 5

1-5 = y

-4 = y

\ เราทราบค่า x = 1 และ y = -4 ตอบ
หาค่า x + 2y
แทนค่า = 1+ 2(-4)

=1-8
= -7

นิยาม การบวกเมทริกซ์ ให้ A = ëéaij ùû และ B = éëbij ûù เป็ นเมทริกซ์ขนาด m ´ n เท่ากนั

จะได้ A + B = ëéaij + bij ùûm´n

1. มีมิติเท่ากนั

สรุป A + B ไดก้ ต็ ่อเมื9อ 2. จบั สมาชิกในตาํ แหน่ง เดียวกนั บวกกนั ได้เลย

3. ผลลพั ธ์มีมิติเหมือนเดิม

เช่น กาํ หนดให้ A = é1 -4ù และ B = é1 2ù จงหา A + B
ëê0 ú êë-1 4 úû 2´2
3 û 2´2

1. เมทริกซ์ A และมีมิติเท่ากนั คือ 2´ 2

วธิ ีคิด A + B ไดเ้ มื9อ 2. นาํ สมาชิกตาํ แหน่งเดียวกนั บวกกนั

3. ไดม้ ิติเดิม คือ 2 ´ 2

จะได้ é1 -4ù + é1 2ù = é2 -2ù
êë0 3 úû êë-1 4ûú ëê-1 ú
7 û 2´2

ตวั อยา่ งท9ี 6.5 กาํ หนดให้ A = é1 1ù B = é -1 2ù และ C é5 3ù
êë0 3úû êë-2 1úû êë0 -1ûú

จงหาค่า (A + B) + C

วธิ ีคิด หาค่า A + B = é1 1ù + é -1 2ù = é0 3ù
ëê0 3úû 2´2 ëê-2 -1úû 2´2 ëê-2 4 úû 2´2

หา (A + B) + C = é0 ù + é5 3ù = é5 6ù
ëê-2 4 ûú 2´2 êë0 -1úû 2´2 êë-2 ú
û 2´2

ตวั อยา่ งท9ี 6.6 กาํ หนดให้ A = é1 2 3ù จงหา A + A ตอบ
êë0 1 2úû ตอบ

วธิ ีคิด หา A + A = é1 2 3ù = é1 2 3ù
ëê0 1 2 ûú 2´3 êë0 1 ú
2 û 2´3

= é1 + 1 2+2 3+3ù
êë0 + 0 1+1 2 + 2úû2´3

= é-2 4 6ù
ëê0 2 4 úû 2´3

นิยาม การลบเมทริกซ์ กาํ หนดให้ A = ëéaij ûù และ B = éëbij ûù เป็นเมทริกซ์ ขนาด m ´ n เท่ากนั

จะได้ A - B = A + (-B) เพราะวา่ (-B = (-1)B)

เช่น กาํ หนดให้ A = é1 2ù B = é2 4ù จงหา A-B
ëê3 4ûú êë1 3ûú

วธิ คิด A - B = é1 2 ù - é2 4ù
ëê3 4 ú êë1 ú
û 2´2 3 û 2´2

= é1 - 2 2 - 4ù = é-1 -2ù ตอบ
ëê3 - 1 4 - 3ûú2´2 êë 2 1 úû2´2

สรุป การลบเมทริกซ์ไดจ้ ะตอ้ ง 1. มีมิติเท่ากนั
2. จบั สมาชิกตาํ แหน่งเดียวกนั มาลบกนั ได้เลย
3. ผลลพั ธ์มีมิติเหมือนเดิม

ข้อควรจาํ คุณสมบตั ิการบวกของเมทริกซ์

กาํ หนดใหเ้ มทริกซ์ A, B,C และ O (เมทริกซ์ศนูย)์ มีขนาดเท่ากนั จะได้
1) A + B = B + A (การสลบั ที9)
2) A + (B + C) = (A + B) + C (การมีจดั หมู่)
3) A + O = O + A = A (การมีเอกลกั ษณ์)
4) A + C = B + C กต็ ่อเมื9อ A = B (การตดั ออก)

5) A + (-A) = O = (-A) + A (การมีวนิ เจอร์ส์)

นิยาม กาํ หนดใหเ้ มทริกซ์ A = éëaij ûù มีขนาดเป็ น m ´ n และ k Ï R
จะได้ kA = k ëéaij ûù = [ka]m´n

สรุป การคูณดว้ ยสเกลาร์ ใหน้ าํ สเกลาร์ไปคูณสมาชิกในเมทริกซ์ทุก ๆ ค่า

เช่น กาํ หนดให้ A = é1 2ù จงหาค่า 3A และ -2A
êë-3 0ûú

วธิ ีคิด 3 A = 3 é1 2ù = é3 6ù
ëê-3 ú ëê-9 0 úû 2´2
0 û 2´2

-2 A = -2 é1 2ù = é-2 -4ù
êë-3 0úû êë 6 ú
0 û 2´2

ระวงั เครื:องหมาย บวก ×บวก ได้ค่าบวก (เคร9ืองหมายเหมือนกนั คูณกนั ได้บวก)
ลบ × ลบ

บวก ×ลบ ได้ค่าลบ (เครื9องหมายต่างกนั คูณกนั ได้ลบ)
ลบ × บวก

ควรจาํ เครื9องหมายเหมือนกนั คูณกนั ไดบ้ วก แต่ถา้ ต่างกนั คูณกนั ไดล้ บ

ตวั อยา่ งท9ี 6.7 กาํ หนดให้ A = é1 1ù B = é -1 2ù และ C = é5 3ù
จงหาค่าของ êë0 3ûú ëê-2 1ûú ëê0 -1ûú

วธิ ีคิด หาค่าของ 4A + (2B - 3C)
หาค่าของ
หาค่าของ 4 A = 4 é1 1ù = é4 4ù
หาค่าของ ëê0 3ûú 2´2 êë0 12 ûú 2´2
หาค่าของ
2B = 2 é -1 2ù = é-2 4ù
ëê-2 1 úû 2´2 ëê-4 2 ûú 2´2

3C = 3 é-5 3ù = é15 9ù
êë 0 -1ûú 2´2 ëê 0 -3ûú 2´2

(2B - 3C) é-2 4ù = é15 9ù
ëê-4 ú ê -3úû 2´2
2 û 2´2 ë 0

4 A + (2B - 3C) é4 4ù = é17 -5ù ตอบ
êë0 12 úû 2´2 ëê-4 ú
5 û 2´2

หมายเหตุ โจทยน์ Kีมีนกั เรียนจะตอ้ งรู้เร9ือง การบวก การลบ และ การคูณ ดว้ ยจาํ นวนของเมทริกซ์

กาํ หนดให้ A = éëaij ùûm´n และ k Î R ( R แทน จาํ นวนจริง)
จะไดว้ า่ kA = k éëaij ûùm´n = ëékaij ûùm´n

ใหน้ าํ ค่า k คูณสมาชิกทุกตวั ในเมทริกซ์

@ คุณสมบัตกิ ารคูณเมทริกซ์ดวั ยจาํ นวนจริง

กาํ หนดให้ A B เป็นเมทริกซ์ ขนาด mxn และ k,l Î R จะได้
1) kA จะมีมิติเป็น m x n
2) (kl)A = k(lA) = l(kA)
3) k(A + B) = kA + kB
4) (k + l)A = kA + lA
5) 1× A = A
6) (-1)A = -A

ตวั อยา่ งทFี 7.1 กาํ หนดให้ A = é1 8ù จงหาค่า 1 A
êë2 4úû 4

วธิ ีคิด 1A = 1 é1 8ù
4 4 êë2 4 ûú 2´2

= éëêêêê12´´1414 8 ´ 1 ù
4 ´ 4 ú
1 ú
4 ú 2´2
úû

é1 2úù
ê
= ê 4 ú ตอบ
ê 1 ตอบ
1 ú
ëê 2 ûú
2´2

ตวั อยา่ งทีF 7.2 กาํ หนดให้ A = é-1 3ù จงหาค่า (-2)A
ê 4úû
ë 2

วธิ ีคิด (-2) A = (-2) é-1 3ù
ëê 2 4 ûú 2´2

= é(-1) ´ (-2) 3 ´ (-2)ù
ëê 2(-2) 4 ´ (-2)ûú2´2

= é2 -6ù
ëê-4 -8 ûú 2´2

ตวั อยา่ งทีF 7.3 กาํ หนดให้ A = é-1 2ù จงหาค่า (2´ 4)A
êë 3 4ûú

วธิ ีคิด (2 ´ 4) A = 8 A = 8 é-1 2ù
êë 3 4 ûú 2´2

= é8´1 8´ 2ù
êë8 ´ 3 8 ´ 4úû2´2

= é8 16 ù
ëê24 32 úû 2´2

หรือ (2 ´ 4) A = 2 ( 4 A) = 2 ïíì4 é1 2ù üï (จากคุณสมบตั ิ 2)
ïî ëê3 4ûú ý ตอบ
2´2 ïþ

= 2 ìïé4 ´1 4 ´ 2ù üï
íïîëê4 ´ 3 4úû ý
4 ´ 2´2 þï

= 2 é4 6ù
ëê12 ú
16 û 2´2

= é 4´2 8´2 ù
ëê12 ´ 2 ú
16 ´ 2 û 2´2

= é8 16 ù
êë24 32 úû 2´2

ตวั อยา่ งทีF 7.4 กาํ หนดให้ A = é1 -2 0 3ù จงหาค่า - 1 A
ëê0 -1 1 0ûú2´4 2

วธิ ีคิด (- 1 ) A = - 1 é1 -2 0 3ù
2 2 ëê0 -1 1 0 úû 2´4

êêé1.èæç - 1 ÷öø -2.æèç - 1 öø÷ 0.èæç - 1 ÷øö 3.èæç - 1 ÷øö ù
êêë0.æèç - 2 ö 2 2 2 ú
= 1 ø÷ ú
2 1 1 1 öú
-1.çæè - 2 ö 1.èæç - 2 ö 0.èæç - 2 ø÷úû 2´4
ø÷ ÷ø

êé- 1 1 0 - 3ù
ê 2 - ú
= 1 2 ú
2
êêë..0 1 0úúû2´4
2

ตอบ

นิยาม กาํ หนดให้ A = ëéaij ûùm´n และ B = ëébij ùûn´p แลว้

A × B = ëéaij ûùm´n × ëébij ûùn´p = éëcij ûùm´p

โดยทีF cij = aij × bij + ai2b2 j + ... + ain × bnj

แผนภาพอธิบายนิยาม

éa11 a12 ! a1n ù éêêbb1211 b12 b1p ù êêécc1211 c12 c1p ù
a22 ! êê! b22 ú c22 ú
êêa21 " ! a2n ú ëêbn1 ! b2 ú c2 ú
×=AB = ê" am2 ! ú × bn2 p p

"ú ! ú êê! ! ! ú
êëam1 ú ú ú
amn û m´n bnp úûn´ p êëcm1 cm2 cmp ûúm´ p

C1p = a11 × b1p + a12 × b2 p + ... + a1n × bnp
C12 = a11 × b12 + a12 × b22 + ... + a1n × bn2
C11 = a11 × b11 + a12 × b21 + ... + a1n × bn1

จากภาพการคูณเมทริกซ์ดวั ยเมทริกซ์

1) มติ ขิ องาคอลมั น์ (n) ของเมทริกซ์ เท่ากบั มติ ขิ องแถว (n) ของเมทริกซ์หลงั
2) คาํ ตอบของเมทริกซ์ จะมมี ติ เิ ป็ น m ´ p (ส่วนมติ ทิ เีJ หลือจากข้อ 1)
3) สมาชิกแต่ละค่าหาได้จากผลบวกของแถวเมทริกซ์แรกคูณกบั คอลมั น์เมทริกซ์สอง

(ทาํ จนครบจาํ นวนสมาชิกของคาํ ตอบ)

ตวั อยา่ งทีF 7.5 กาํ หนดให้ A = [2 ]4 1´2 และ B = é1 2ù จงหา A × B
êë4 2 úû 2´2

วธิ ีคิด é1 2ù
ëê4 2ûú2´2
[ ] [ ]=A× B = 2 4 1´2
× c11 c12 1´2

c12 = (2 ´ 2) + (4 ´ 2) = 4 + 8 = 12

จะได้ A× B = [18 ]12 1´2 c11 = (2 ´1) + (4 ´ 4) = 2 +16 = 18

ตอบ

ตวั อยา่ งทFี 7.6 กาํ หนดให้ A = é3 2ù B = é1 4 5ù จงหา AB และ BA
ëê6 4ûú êë2 3 2úû

วธิ ีคิด 1) หาค่า A × B = é3 2ù × é1 4 =5 ù éc11 c12 c13 ù
ëê6 4 úû 2´2 ëê2 3 ëêc21 c22 ú
2 úû 2´3 c23 û 2´3

c23 = (6 ´ 5) + (4 ´ 2) = 30 + 8 = 38
c22 = (6 ´ 4) + (4 ´ 3) = 24 +12 = 36
c21 = (6 ´1) + (4 ´ 2) = 6 + 8 = 14

c11 = (3´1) + (2 ´ 2) = 3 + 4 = 7
c12 = (3´ 4) + (2 ´ 3) = 12 + 6 = 18
c13 = (3´ 5) + (2 ´ 2) = 15 + 4 = 19

A × B = é7 18 19 ù
ëê14 36 38ûú 2´3

2) หาค่า B × A = é1 4 5ù × é3 2ù
êë2 3 2 úû 2´3 ëê6 4ûú2´2

\ หาค่าไม่ไดเ้ พราะมิติของคอลมั น์ ไม่เท่ากนั มิติของแถวนOนั 3 ¹ 2

ตอบ

คุณสมบตั กิ ารคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

กาํ หนดให้ A = éëaij ûùm´n และ B = ëébij ûùn´p จะไดว้ า่
1) มีสมบตั ิปิ ดการคูณ

2) AB ¹ BA (ไม่การสลบั ทFี)

3) (AB)C = A(BC) (มีการจดั หมู่)

4) AI = IA = A (มีเอกลกั ษณ์)

5) AO = OA = O (มีอินเวอรส)

6) A(B + C) = AB + AC (มีการแจกแจง)

ตวั อยา่ งทีF 7.7 กาํ หนดให้ A = é3 2ù I = é1 0ù จงหา AI และ IA
ëê-1 0 ûú 2´2 ëê0 ú
1 û 2´2

วธิ ีคิด หาค่า AI = é3 2ù × é1 0ù = é3 2ù = A
êë-1 0 úû 2´2 ëê0 1ûú2´2 ëê-1 1 úû 2´2

หาค่า IA = é1 0ù × é3 2ù = éc11 c12 ù
êë0 1 ûú 2´2 ëê-1 0ûú2´2 êëc21 ú
c22 û 2´2

c22 = (0 ´ 2) + (1´ 0) = 0

c21 = (0´3) + (1´ -1) = -1

c11 = (1´3) + (0´ -1) = 3

c12 = (1´ 2) + (0 ´ 0) = 2

= é3 2ù = A ตอบ
êë-1 0ûú

ตวั อยา่ งทีF 7.8 กาํ หนดให้ é1 3 ù
จงหาค่า A = êê2 -1úú

ëê0 4 ûú

B = é1 0 -1 0ù
êë2 1 3 4úû

A× B

é1 3 ù éc11 c12 c13 c14 ù
A × B = êê2 -1úú × ê ú
วธิ ีคิด é1 0 -1 =0ù ê ! ! ! ! ú
êë0 4 úû3´2 ëê2 1 3
4 úû 2´4 ê! ! ! !ú
ê ú
ë ! ! ! ! û3´4

c14 = (1´ 0) + (3´ 4) = 0 +12 = 12

c13 = (1´ -1) + (3´ 3) = -1+ 9 = 8

c12 = (1´ 0) + (3´1) = 0 + 3 = 3

c11 = (1´1) + (3´ 2) = 1+ 6 = 7

…… ค่าอืFนๆ หาเหมือนกนั …….
……………………………………

é7 3 8 12 ù ตอบ
= êê0 -1 -5 -4úú

ëê8 4 12 16 úû3´4

ดเี ทอร์มแิ นนต์ (Determinant)

1) ความหมาย

ดีเทอร์มิแนนต์ หมายถึง ผลการบวกของผลคูณระหวา่ งสมาชิกในแนวเสน้ ทแยงมุม
กาํ หนดเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ดีเทอร์มิแนนตข์ อง A เขียนแทนดว้ ย det A

2) การหาค่าดเี ทอร์มแิ นนต์

กาํ หนดใหเ้ มทรืกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสขนาด 2´ 2 การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ ไดด้ งั นKี

ให้ A = é a11 a12 ù
êëa21 ú
a22 û 2´2

-(a21 × a12 ) =

หาค่า det A = é a11 a12 ù + ผลลพั ธ์
ê ú
ë a21 a22 û

+(a11 × a22 ) =

เช่น กาํ หนดให้ A = é3 2ù จงหาค่า det A
êë1 5ûú

-(1´ 2) = -2

แนวคิด det A A = 3 2 + 13
1 5

\ det A = +(3´ 5) = 15

13 ตอบ

เช่น กาํ หนดให้ A = é-1 3ù จงหาค่า det A
êë-5 7ûú

-(-5´ 3) = 15

แนวคิด det A -1 3 + 8
-5 7

\ det A = +(-1´ 7) = -7 ตอบ

8

กาํ หนดใหเ้ มทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด 3´ 3 การหาดีเทอร์มิแนนต์ ไดด้ งั นKี

ให้ éa11 a12 a13 ù
A = êêa21 ú
a22 a23 ú

ëêa31 a32 a33 ûú3´3

-(a31 × a22 × a13 )

-(a32 × a23 × a11 )

หาค่า =det A a11 a12 a13 a11 a12 -(a33 × a21 × a12 )

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

+(a13 × a21 × a32 )

+(a12 × a23 × a31 )

+(a11 × a22 × a33 )

é1 0 1ù จงหา det A

เช่น กาํ หนดให้ A = êê3 -1 2úú -(2 ´ -1´1) = +2 -8
-(5 ´ 2 ´1) = -10
êë2 5 8ûú3´3 -(8 ´ 3´ 0) = 0

1 0 11 0 + -1

แนวคิด det A = 3 -1 2 3 -1

2 5 82 5

+(1´ 3´ 5) = 15 +7
+(0 ´ 2 ´ 2) = 0
+(1´ -1´ 8) = -8

จะได้ det A = -1 ตอบ

é 2 1 3ù

เช่น กาํ หนดให้ A = êê-1 0 1úú จงหาค่า det A

êë 2 4 5ûú3´3

-0
-8 -3
+5

แนวคิด 2 1 32 1 + -13

det A = -1 0 1 -1 0

2 4 52 4

จะได้ det A = -13 -12
+2 -10
0

ตอบ

3) คุณสมบัตขิ องดเี ทอร์มแิ นนต์

1) ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n ´ n แลว้ มีแถว หรือ คอลมั นใ์ ดมีค่าเป็น 0 ทKงั หมด
แลว้ det A = 0

เช่น กาํ หนดให้ é1 0 2ù
A = êê3 2 4úú

êë0 0 0úû3´3

แนวคิด จากโจทย์ เมทริกซ์ A มีแถวทQี 3 มีค่าเป็น 0 ทKงั หมด

สรุปวา่ det A = 0 เราพิสูจนไ์ ดด้ งั นKี

0
00
0

1 0 31 0 +0

det A = 3 2 4 3 2

0 0 00 0

0 0
0
0

จะได้ det A = 0

2) ถา้ เมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n ´ n ซQึงมี 2 แถว หรือ 2 คอลมั นใ์ ด ๆ เท่ากนั
แลว้ det A = 0

é2 -2 1ù

เช่น A = êê2 -2 1úú

ëê3 1 0úû3´3

แนวคิด จากโจทย์ เมทริกซ์ A มี แถวทีQ 1 และ แถวทQี 2 มีค่าเท่ากนั จะได้ det A= 0
(ตามคุณสมบตั ิขอ้ 2) เรามาพิสูจนโ์ ดยหาค่าของ det A ดงั นKี

+6
-2 +4
-0

2 -2 1 2 -2 + 0
det A = 2 -2 1 ..2 -2

3 1 031

+2
-6 -4
..0

จะได้ det A = 0 ตอบ

3) ถา้ เมทริกซ์ B เกิดจากการสลบั 2 แถวใด ๆ หรือ 2 คอลมั นใ์ ด ๆ ของเมทริกซ์ A
แลว้ det B = -det A

é1 2 3ù é2 1 1ù (สลบั แถว 1 กบั 2)

เช่น êê2 1 1úú = êê1 2 3úú

ëê3 3 2úû ëê3 3 2ûú

-9 -3 -8 = -20

det B = 1 2 31 2 +6
2 1 1 ..2 1
3 3 23 3

2+6 + 18 = 26
-6 -18 -2 = -26

2 1 121 + -6
det A = 1 2 3 ..1 2

3 3 23 3

+8+9+3 = +20

จะได้ det B = - det A ตอบ

4) ทราสโพสของเมทริกซ์ (Transport)

นิยาม กาํ หนดใหเ้ มทริกซ์ A มีขนาด m ´ n แลว้ ทรานสโพส์ของเมทริกซ์ A จะมี

ขนาดเป็น n ´ m เขียนแทนดว้ ย At

สรุป การหาค่าทรานสโพส์ของเมทริกซ์ใด ๆ ใหเ้ ราเปลีQยนค่าของแถวไปเป็ นคอลมั น์ ดงั นKี

เปลีQยน แถว ® คอลมั น์

เช่น ให้ A = é1 3 2ù 1 4
ëê4 5 0 ûú 2´3 3 5
2 0

é1 4ù
At = êê3 5úú
0ûú3´2
ëê2

5) ไมเนอร์ (Minor)

นิยาม กาํ หนดให้ A = éëêaij ù แลว้ ไมเนอร์ของ aij คือ ดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทริกซ์

ûún´n
ทQีได้ จากการตดั แถวทQี i และคอลมั นท์ Qี j ของเมทริกซ์ A ออก เขียนแทนดว้ ย Mij

สรุป การหาค่าไมเนอร์

1) ตอ้ งเป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n ´ n
2) หาไมเนอร์ของ Mij ใหต้ ดั แถวทีQ i และคอลมั น์ j ออก

เช่น ให้ éa11 a12 a13 ù
A = êêa21 ú
a22 a23 ú

ëêa31 a32 a33 úû3´3

หา éa11 a12 a13 ù ใหต้ ดั แถวทQี 1 คอลมั นท์ ีQ 1 ออก
ê ú
M11 = ê a21 a22 a23 ú

ëêa31 a32 a33 úû3´3

M11 = éa22 a23 ù
ê ú
ë a32 a33 û 2´2

3) หาค่า det M11

ตวั อยา่ งทQี 8.1 กาํ หนดให้ A = é2 4ù จงหาค่า M11, M12 , M21 และ M 22
วิธีคิด ëê3 1úû
2´2

1) หา M11 ใหต้ ดั แถวทQี 1 คอลมั น์ 1 ออก ดงั นKี

M11 = é2 4ù
ëê3 1úû

M11 = 1 det (M11 ) =1

2) หา M12 ใหต้ ดั แถวทQี 1 คอลมั น์ 2 ออก ดงั นKี

M12 = é2 4ù
êë3 1ûú

M12 = 3 det (M12 ) = 3

3) หา M21 ใหต้ ดั แถวทีQ 2 คอลมั น์ 1 ออก ดงั นKี

M 21 = é2 4ù
êë3 1úû

M21 = 4 det (M21 ) = 4

4) หา M22 ใหต้ ดั แถวทQี 2 คอลมั น์ 2 ออก ดงั นKี

M 22 = é2 4ù
êë3 1ûú
ตอบ
M 22 = 2 det (M22 ) = 2

é1 4 1 ù

ตวั อยา่ งทีQ 8.2 กาํ หนดให้ A = êê3 1 -1úú จงหาไมเนอร์ของเมทริกซ์ A

ëê2 -2 3 úû3´3

é1 4 1 ù
วธิ ีคิด หา M11 = êê3 1 -1úú ตดั แถว 1 คอลมั น์ 1 ออก

êë2 -2 3 úû

M11 = é1 -1ù
êë-2 3 úû

-2

det M11 = 1 -1 = 1
-2 3

+3

é1 4 1 ù ตดั แถว 1 คอลมั น์ 2 ออก

หา M12 = êê3 1 -1úú

êë2 -2 3 ûú

M12 = é3 -1ù
êë2 3 úû

+2

det M12 = 3 -1 = 11
2 3

+9

é1 4 1 ù ตดั แถว 1 คอลมั น์ 3 ออก

หา M13 = êê3 1 -1úú -8

êë2 -2 3 úû

M13 = é3 1ù
ëê2 -2ûú

-2

det M13 = 3 1 =
2 -2

-6

é1 4 1 ù ตดั แถว 2 คอลมั น์ 1 ออก

หา M21 = êê3 1 -1úú 14

êë2 -2 3 úû ตดั แถว 2 คอลมั น์ 2 ออก

M 21 = é4 1ù 1
ëê-2 3ûú
ตดั แถว 2 คอลมั น์ 3 ออก
+2
-10
det M 21 = 4 1 =
-2 3

+12

é1 4 1 ù

หา M22 = êê3 1 -1úú

êë2 -2 3 ûú

M 22 = é1 1ù
ëê2 3ûú

-2

det M 22 = 1 1 =
2 3

+3

é1 4 1 ù

หา M23 = êê3 1 -1úú

êë2 -2 3 ûú

M 23 = é1 4ù
êë2 -2úû

-8

det M 23 = 1 4 =
2 -2

-2

é1 4 1 ù ตดั แถว 3 คอลมั น์ 1 ออก

หา M31 = êê3 1 -1úú -5

êë2 -2 3 úû ตดั แถว 3 คอลมั น์ 2 ออก

M 31 = é4 1ù -4
êë1 -1ûú

-1

det M 31 = 4 1 =
1 -1

-4

é1 4 1 ù

หา M32 = êê3 1 -1úú

ëê2 -2 3 ûú

M 32 = é1 1ù
ëê3 -1úû

-3

det M 32 = 1 1 =
3 -1

-1

é1 4 1 ù ตดั แถว 3 คอลมั น์ 3 ออก
หา M33 = êê3 1 -1úú
-11
êë2 -2 3 úû
ตอบ
M 33 = é1 4ù
êë3 1úû

-12

det M 33 = 1 4 =
3 1

+1

6. โคแฟกเตอร์ (Cofactor)

นิยาม กาํ หนดให้ A = éëêaij ûúùn´nโคแฟกเตอร์ของผลคูณของ aij คือ ผลคูณของ (-1)i+ j

และ Mij (A) เขียนแทนดว้ ย Cij ดงั นKี
Cij = (-1)i+ j Mij

สรุป การหาโคแฟกเตอร์

1) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n ´ n
2) หาไมเนอร์ของ Mij ตามทีQไดศ้ ึกษามาแลว้ นนัQ คือ

2.1 หา Mij ใหต้ ดั แถวทีQ i และคอลมั นท์ ีQ j ออก
2.2 หา det Mij กจ็ ะไดไ้ มเนอร์ตามตอ้ งการ
3) หาโคแฟกเตอร์จาก Cij = (-1)i+ j Mij

ตวั อยา่ งทีQ 8.3 กาํ หนดให้ A = é1 -2ù จงหาโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ A
ëê3 ú
-4 û 2´2

วธิ ีคิด ขKนั 1 หาค่าไมเนอร์ ก่อนดงั นKี

M11 = é1 -2ù ตดั แถว 1 คอลมั น์ 1 ออก M11 = -4
êë3 -4úû ตดั แถว 1 คอลมั น์ 2 ออก M12 = 3
-2ù ตดั แถว 2 คอลมั น์ 1 ออก M21 = -2
M12 = é1 -4ûú ตดั แถว 2 คอลมั น์ 1 ออก M22 = 1
êë3 -2ù
-4ûú
M 21 = é1 -2ù
ëê3 -4ûú

M 22 = é1
ëê3

ขKนั 2 หาค่าโคแฟกเตอร์ จาก Cij = (-1)i+ j Mij

C11 = (-1)1+1 × M11 = (-1)2 × (-4) = (1)(-4) = -4
C12 = (-1)1+2 × M12 = (-1)3 × (3) = (-1)(3) = -3
C21 = (-1)2+1 × M 21 = (-1)3 × (-2) = (-1)(-2) = 2
C22 = (-1)2+2 × M 22 = (-1)4 × (1) = (1)(1) = 1

Cof.(A) = é-4 -3ù ตอบ
ëê 2 1 ûú2´2

ข้อสังเกต นกั เรียนจะเห็นวา่ ค่าของ (-1)i+ j จะมีค่าไดเ้ พียง 2 ค่า คือ
-1 ถา้ i + j เป็น จาํ นวนเลข คQี
+1 ถา้ i + j เป็น จาํ นวนเลข คู่

ตวั อยา่ งทีQ 8.4 é1 3 1 ù จงหาโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์
วธิ ีคิด
กาํ หนดให้ A = êê0 -1 -1úú

êë1 2 4 ûú3´3

ขKนั 1 หาไมเนอร์ของ Mij ไดด้ งั นKี

+2

é1 3 1 ù -1 -1 = -2
M11 = êê0 -1 -1úú =2 4

ëê1 2 4 úû

-4

+1

é1 3 1ù 0 -1 =1
M12 = êê0 -1 -1úú =1 4
2 4 úû
êë1

0

+1

é1 3 1 ù 0 -1 =1
M13 = êê0 -1 -1úú =1 2
0
ëê1 2 4 úû

-2

é1 3 1ù 3 1 = 10
M 21 = êê0 -1 -1úú =2 4
2 4 ûú
êë1

+12

-1

é1 3 1ù 1 1 =3
M 22 = êê0 -1 -1úú =1 4
2 4 úû +4
ëê1

-3

é1 3 1ù 1 3 = -1
M 23 = êê0 -1 -1úú =1 2
2 4 ûú +2
êë1

+1

é1 3 1ù 31 =4
M31 = êê0 -1 -1úú = -1 1
2 4 ûú +3
êë1

0

é1 3 1ù 1 1 = -1
M32 = êê0 -1 -1úú =0 -1
2 4 ûú -1
êë1 0

é1 3 1ù 1 3 = -1
M33 = êê0 -1 -1úú =0 -1
2 4 úû -1
êë1

ขKนั 2 หาค่าโคแฟกเตอร์ จาก Cij = (-1)i+ j Mij ได้ ดงั นKี

C11 = (-1)1+1 × M11 = (-1)2 (-2) = (1)(-2) = -2
C12 = (-1)1+2 × M12 = (-1)3(1) = (-1)(1) = -1
C13 = (-1)1+3 × M13 = (-1)4 (1) = (1)(1) = 1
C21 = (-1)2+1 × M 21 = (-1)3 (10) = (-1)(10) = -10
C22 = (-1)2+2 × M 22 = (-1)4 (3) = (1)(3) = 3
C23 = (-1)2+3 × M 23 = (-1)5 (-1) = (-1)(-1) = 1
C31 = (-1)3+1 × M31 = (-1)4 (4) = (1)(4) = 4

C32 = (-1)3+2 × M32 = (-1)5 (-1) = (-1)(-1) = 1
C33 = (-1)3+3 × M33 = (-1)6 (1) = (1)(-1) = -1

ตอบ

ข้อสังเกต การหาค่าโคแฟกเตอร์ เราจะเห็นวา่ ค่าทีQไดเ้ กิดจากค่าของ (-1)i+ j
(ซQึงมีค่าเป็น +1 หรือ -1) มาคูณกบั Mij จะเห็นวา่ เป็นการเปลQียน

เครืQองหมาย + หรือ - เท่านKนั

1) ความหมาย

นิยาม กาํ หนดให้ A = ëêéaij ù เป็นจตั ุรัสเทริกซ์ และ A-1 = êéëaij ù เป็ น

ûún´n ûún´n

จตั ุรัสเมทริกซ์ ถา้ A× A-1 = A-1× A = I แลว้ A-1 เป็น อินเวอร์สของเมทริกซ์ A

A-1 อ่านวา่ อินเวอร์สของ A”

หมายเหตุ เมทริกซ์จตั ุรัสใด ๆ อาจจะไม่มีอินเวอร์สกไ็ ด้ เพราะ A× A-1 ¹ A-1 × A ¹ I

เช่น ให้ A = é1 -2ù B = é-1 2ù
ëê1 -1úû êë-1 1ûú

ขFนั 1 หาค่า A× B

A×B = é1 -2ù × é-1 2ù = éC11 C12 ù
ëê1 -1úû 2´2 ëê-1 1 úû 2´2 ëêC21 ú
C22 û 2´2

C22 = (1)(2) + (-1)(1) = 2 -1 = 1
C21 = (1)(-1) + (-1)(-1) = -1+1 = 0
C12 = (1)(2) + (-2)(1) = 2 - 2 = 0
C11 = (1)(-1) + (-2)(-1) = -1+ 2 = 1

A×B = é1 0ù = I2
êë0 1 úû 2´2

ขFนั 2 หาค่า B × A

B×A = é-1 2ù × é1 -2ù = éC11 C12 ù
ëê-1 ú êë1 -1úû 2´2 êëC21 ú
1 û 2´2 C22 û 2´2

C22 = (-1)(-2) + (1)(-1) = 2 -1 = 1
C21 = (-1)(1) + (1)(1) = -1+1 = 0
C12 = (-1)(-2) + (2)(-1) = 2 - 2 = 0
C11 = (-1)(1) + (2)(1) = -1+ 2 = 1

B×A = é1 0ù = I2
ëê0 ú
1 û 2´2

จะได้ A× B = B × A = I2

นนJั คือ เมทริกซ์ B เป็นอินเวอร์สของเมทริกซ์ A หรือ A = B-1
เมทริกซ์ A เป็นอินเวอร์สของเมทริกซ์ B หรือ B = A-1

2´2

กาํ หนดให้ A = éa bù
êëc d ûú2´2

A-1 = 1 A × adjA
det

@ ข/นั ตอนการหาอนิ เวอร์ส 2´ 2

1) หา det A

2) หาโคแฟกเตอร์ A (cof × A)

3) หาแอด็ จ๊อยของ A (adj A) โดยการทรานสโพส (At) โคแฟกเตอร์ของ A

4) หา A-1 = 1 A .adj.A
det

ตวั อยา่ งทีJ 9.1 ให้ A = é2 4ù จงหา A-1
êë1 3 ûú 2´2

-4

วธิ ีคิด ขFนั 1 หา det A = 2 4 =2
1 3

+6

ขFนั 2 หา cof × A

C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 é2 4ù = (1)(3) = 3
ëê1 3úû

C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 é2 4ù = (-1)(1) = -1
êë1 3ûú

C21 = (-1)2+1 M 21 = (-1)3 é2 4ù = (-1)(4) = -4
êë1 3úû

C22 = (-1)2+2 M 22 = (-1)4 é2 4ù = (1)(2) = 2
ëê1 3úû

cof .A = é3 -1ù
ëê-4 2 ûú

ขFนั 3 adj.A = [cof .A]t = é3 -4ù
êë-1 2 úû

ขFนั 4 หา A-1 = 1 A × adjA
det

แทนค่า A-1 = 1 é3 -4ù
2 ëê-1 ú
2 û

é3 -2ùú ตอบ
A-1 = êëêêê-212 ú
ú
1 úû

ตวั อยา่ งทJี 9.2 ให้ A = é1 3ù จงหา A-1
êë-4 2 úû 2´2

+12

วธิ ีคิด ขFนั 1 หา det A = 1 3 = 14
-4 2

+2

ขFนั 2 หา cof × A

C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 é1 3ù = (1)(2) = 2
êë-4 2ûú

C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 é1 3ù = (-1)(-4) = 4
ëê-4 2ûú

C21 = (-1)2+1 M 21 = (-1)3 é1 3ù = (-1)(3) = -3
êë-4 2ûú

C22 = (-1)2+2 M 22 = (-1)4 é1 3ù = (1)(1) = 1
êë-4 2ûú

cof .A = é2 4ù
êë-3 1ûú

ขFนั 3 adj.A = [cof .A]t = é2 -3ù
ëê4 1 úû

ขFนั 4 หา A-1 = 1 A × adjA
det

แทนค่า A-1 = 1 é2 -3ù
14 ëê4 ú
1 û

é1 - 3 ù
ê 14 ú
A-1 = ê 7 ú
ê 2 1 ú

êë 7 14 ûú

ตอบ

3´3

1) หา det A

2) หา cof .A

3) หา adj.A= (cof .A)t คือ แอด็ จ๊อยเมนตข์ องเมทริกซ์ A

4) หา A-1 = 1 A × adj.A
det

ตวั อยา่ งทีJ 9.3 กาํ หนดให้ é1 2 -1ù จงหา A-1
A = êê0 -3 ú
2 ú

ëê4 -1 0 ûú3´3

-12 +2 0 = -10

1 2 -1 1 2 =6

วธิ ีคิด ขFนั 1 หา det A = 0 -3 2 ..0 -3

4 -1 0 4 -1

0 +16 0 = +16

ขFนั 2 หา cof .A

+2

é1 2 -1ù -3 2
C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 êê0 -3 ú -1 0
-1 2 ú = (1) = (1)(2) = 2
êë4
0 úû

0

-8

é1 2 -1ù 0 2
C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 êê0 -3 ú 4 0
-1 2 ú = (-1) = (-1)(-8) =8
êë4
0 úû

0

+12

é1 2 -1ù 0 -3
C13 = (-1)1+3 M13 = (-1)4 êê0 -3 ú 4 -1
-1 2 ú = (1) = (1)(12) = 12
êë4
0 ûú

0

-1

é1 2 -1ù 2 -1
C21 = (-1)2+1 M 21 = (-1)3 êê0 -3 ú -1 0
-1 2 ú = (-1) = (-1)(-1) =1
êë4
0 ûú

0

+4

é1 2 -1ù 1 -1
C22 = (-1)2+2 M 22 = (-1)4 êê0 -3 ú 4 0
-1 2 ú = (1) = (1)(4) = 4
êë4
0 úû

0

-8

é1 2 -1ù 1 2
C23 = (-1)2+3 M 23 = (-1)5 êê0 -3 ú 4 -1
-1 2 ú = (-1) = (-1)(-9) = 9
ëê4
0 úû

-1

-3

é1 2 -1ù 2 -1
C31 = (-1)3+1 M31 = (-1)4 êê0 -3 ú -3 2
-1 2 ú = (1) = (1)(1) = 1
ëê4
0 úû

4

0

é1 2 -1ù 1 -1
C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)5 êê0 -3 ú 0 2
-1 2 ú = (-1) = (-1)(2) = -2
ëê4
0 úû

2

0

é1 2 -1ù 1 2
C33 = (-1)3+3 M33 = (-1)6 êê0 -3 ú 0 -3
-1 2 ú = (1) = (1)(-3) = -3
ëê4
0 úû

-3

é2 8 12ù
cof .A = êê1 4 ú
\ 9 ú

ëê1 -2 -3ûú

ขFนั 3 หา adj.A = [cofA]t

é2 1 1ù
ê 4 -2úú
adj.A = ê 8

êë12 9 -3úû

ขFนั 4 หา A-1 = 1 A × adjA
det

แทนค่า 1 é2 1 1ù
6 ê 4 -2úú
A-1 = ê 8 9 -3úû

êë12

é1 1 1 ù
ê ú
ê 3 6 6 ú
ê 4 2 ú
= - 1 ú ตอบ
ê3 3 3
ê ú
ê2 3 - 1 ú
êë 2 2 úû

ตวั อยา่ งทีJ 9.4 ให้ A = é2 1ù และ B = é1 -1ù
êë1 1ûú 2´2 ëê-1 ú
2 û 2´2

จงแสดงวา่ B เป็นอินเวอร์สการคูณของ A

วธิ ีคิด โจทยใ์ หห้ าวา่ B เป็นอินเวอร์สการคูณของ A นนัJ คือ A× B = I

หา A × B = é2 1ù × é1 -1ù = éC11 C12 ù
ëê1 1úû 2´2 ëê-1 ú êëC21 ú
2 û 2´2 C22 û 2´2

C22 = (1)(-1) + (1)(2) = -1+ 2 = 1
C21 = (1)(1) + (1)(-1) = +1-1 = 0
C12 = (2)(-1) + (1)(2) = -2 + 2 = 0
C11 = (2)(1) + (1)(-1) = +2 -1 = 1

A × B = é1 0ù = I2
ëê0 1 úû 2´2

แสดงวา่ B เป็นอินเวอร์สของการคูณของเมทริกซ์ A ตอบ

นกั เรียนไดเ้ รียนรู้เก,ียวกบั วธิ ีแกส้ มการเชิงเสน้ 2 ตวั แปร มาแลว้ ในคณิตศาสตร์ประยกุ ต์ 1
(2000 – 1501) โดยวธิ ีแทนค่า หรือ การกาํ จดั ตวั แปร มาแลว้ สาํ หรับในหน่วยเรียนนNีเราจะใชเ้ มทริกซ์
มาช่วยแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใช้

1) อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์
2) กฎของคราเมอร์

เช่น กาํ หนดให้ 3x + 4y = -7 ---------------- Œ
2x + y = -3 ----------------- 

เขียนเป็ นเมทริ กซ์ é3 4ù é xù = é-7ù (ใชก้ ารคูณเมทริกซ์)
เช่น กาํ หนดให้ ëê2 1 úû 2´2 êë y úû 2´1 ëê -3úû 2´1

x + y - z = 2 ----------------- Œ
2x - y - 3z = 5 ----------------- 
x + 2y + z = 5 ----------------- Ž

เขียนเป็ นเมทริ กซ์ é1 1 -1ù é xù é2ù (ใชก้ ารคูณเมทริกซ์)
êê2 -1 -3úú ê yúú = êê5úú
ê
êë1 2 1 ûú3´3 êë z úû3´1 êë5úû3´1

การแกส้ มการเพ,ือหาคาํ ตอบดว้ ยอินเวอร์สของเมทริกซ์ ไดจ้ าก
X = A-1×B

ตวั อยา่ ง 10.1 จงแกส้ มการโดยใช้ Inverse Matrixของสมการ

x + y = 3 ----------------- Œ
2x - 3y = -4 ----------------- 

วธิ ีคิด ขNนั 1 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปเมทริกซ์

é1 1ù é xù = é3ù
ëê2 -3ûú ëê y ûú ëê-4ûú

ขNนั 2 จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปของอินเวอร์ส X = A-1 × B

นน,ั คือ é xù = é1 1 ù-1 é 3 ù
ëê y úû ëê2 -3ûú ëê-4úû

ขNนั 3 หาค่าอินเวอร์สของ é1 1 ù-1 ซ,ึงมีขนาด 2´2 ดงั นNี
ëê2 -3úû

-2

3.1 หา det A = 1 1 = -5
2 3

-3

3.2 หา A-1 = 1 A × adjA
det

C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 é1 1ù = (1)(-3) = -3
ëê2 -3úû

C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 é1 1ù = (-1)(2) = -2
êë2 -3úû

C21 = (-1)2+1 M 21 = (-1)3 é1 1ù = (-1)(1) = -1
êë2 -3úû

C22 = (-1)2+2 M 22 = (-1)4 é1 1ù = (1)(1) = 1
ëê2 -3úû

จะได้ cof .A = é-3 -2ù
êë-1 1 ûú