คณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์

3.4 หา adj.A = [cof .A]t = é-3 -1ù
3.5 หา ëê-2 1 úû

A-1 = 1 A × adjA
det

แทนค่า = 1 é-3 -1ù
-5 ëê-2 ú
1 û

é3 1ù
ê ú
A-1 = ê 5 5 ú
ê 2 ú
- 1 ûú
êë 5 5

ขNนั 4 แทนค่า ต่าง ๆ ใน ขNนั ท,ี 2 และหาผลคูณของเมทริกซ์ ดงั นNี

x é3 1ù
y ê ú éc11 ù
é ù = ê 5 5 ú × é3ù = ëêc12 ú
ëê úû ê 2 ú êë-4ûú2´1 û
- 1 ûú 2´1
ëê 5 5
2´2

c12 = ( 2 × 3) + (- 1 × -4) = 2
5 5

c11 = ( 3 × 3) + ( 1 × -4) = 1
5 5

é xù = é1ù
ëê y ûú2´1 ëê 2 úû 2´1

จะได้ x =1 (การเท่ากนั ของเมทริกซ์)
y=2

ตอบ

ตวั อยา่ งที, 10.2 จงแกส้ มการโดยใชอ้ ินเวอร์สของเมทริกซ์

2x + y + z = 0 ----------------- Œ
4x + 3y + 2z = 2 ----------------- 
2x - y - 3z = 0 ----------------- Ž

วธิ ีคิด ขNนั 1 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของเมทริกซ์

é2 1 1 ù éxù é0ù
êê4 3 ú ê yúú êê2úú
2 ú ê =

ëê2 -1 -3ûú êë z úû ëê0ûú

ขNนั 2 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของอินเวอร์ส x = A-1 × B

é xù é2 1 1 ù-1 é0ù
ê y úú êê4 ú × êê2úú
ê = 3 2 ú

ëê z ûú ëê2 -1 -3úû ëê0ûú

é2 1 1 ù
ขNนั 3 หาอินเวอร์สของเมทริกซ์ êê4 3 ú มีขนาด ไดจ้ าก
2 ú 3´3

ëê2 -1 -3úû

A-1 = 1 A × adjA
det

-6 +4 +12 = +10

3.1 หา 2 1 1 21 = -8
detA = 4 3 2 ..4 3

2 -1 -3 2 -1

-18 +4 - 4 = - 18

3.2 หา cof .A

2

é2 1 1ù 3 2
C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 êê4 3 ú -1 -3
-1 2 ú = (1) = (1)(-7) = -7
êë2
-3ûú

-9

-4

é2 1 1ù 4 2
C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 êê4 3 ú 2 -3
-1 2 ú = (-1) = (-1)(-16) = 16
ëê2
-3ûú

-12

-6

é2 1 1ù 4 3
C13 = (-1)1+3 M13 = (-1)4 êê4 3 ú 2 -1
-1 2 ú = (1) = (1)(-10) = -10
êë2
-3ûú

-4

+1

é2 1 1ù 1 1
C21 = (-1)2+1 M 21 = (-1)3 êê4 3 ú -1 -3
-1 2 ú = (-1) = (-1)(-2) = 2
êë2
-3úû

-3

-2

é2 1 1ù 2 1
C22 = (-1)2+2 M 21 = (1)4 êê4 3 ú 2 -3
-1 2 ú = (1) = (1)(-8) = -8
ëê2
-3úû

-6

-2

é2 1 1ù 2 1
C23 = (-1)2+3 M 23 = (-1)5 êê4 3 ú 2 -1
-1 2 ú = (-1) = (-1)(-4) = 4
ëê2
-3úû

-2

-3

é2 1 1ù 1 1
C31 = (-1)3+1 M31 = (1)4 êê4 3 ú 3 2
-1 2 ú = (1) = (1)(-1) = -1
ëê2
-3úû

+2

-4

é2 1 1ù 2 1
C32 = (-1)3+2 M32 = (-1)5 êê4 3 ú 4 2
-1 2 ú = (-1) = (-1)(0) = 0
êë2
-3úû

+4

-4

é2 1 1ù 2 1
C33 = (-1)3+3 M33 = (1)6 êê4 3 ú 4 3
-1 2 ú = (1) = (1)(2) = 2
êë2
-3úû

6

จะได้ é-7 16 -10ù
ê ú
cof × A = ê 2 -8 4 ú

êë-1 0 2 úû

3.3 หาค่า adj × A = [cof × A]t

é -7 2 -1ù
ê ú
adi.A = ê 16 -8 0 ú

êë-10 4 2 úû

3.4 หาอินเวอร์สของเมทริกซ์

A-1 = 1 A × adjA
det

แทนค่า 1 é -7 2 -1ù
-8 ê ú
A-1 = ê 16 -8 0 ú
4
êë-10 2 úû

é7 - 2 1 1 ù
= êêêê-818621 8 4 ú
8 ú
ú
81 - 0 ú
8
ê 81 ú
ê 1 -4182 ú
10 5 - 4 2 úû
8
êë 8 4

é7 - 1 1ù
= êêê-82 4 ú
8 ú
1 0 ú

ê5 - 1 - 1 ú
ê 2 4 ú
ë 4 û

ขNนั 4 แทนค่าต่าง ๆ ลงในขNนั ตอนท,ี 2 และหาผลคูณของเมทริกซ์ ดงั นNี

xù é7 - 1 1ù é0ù éC11 ù
y úú êêê-82 4 ú × êê2úú
é 8 ú = êêC21 ú
ê = 1 0 ú ú
ê
ëê z ûú ê5 1 1ú ëê0úû3´1 ëêC31 ûú3´1
ê - 2 - ú
ë 4 4 û3´3

c31 = 0 + æ - 1 ö (2 ) + 0 = -1
çè 2 ÷ø

c21 = 0 + (1)(2) + 0 = 2
1
c11 = 0 + æ - 1 ö + 0 = - 1
çè 24 ø÷ (2) 2

é xù = êêêé--212 ù
ê y úú ú
ê ú
ú
êë z ûú ê -1 ú
ëê úû

จะได้ x=-1 (จากการเท่ากนั ของเมทริกซ์)
2

y=2

z = -1

ตรวจคาํ ตอบ ใหน้ าํ ค่า x = - 1 , y = 2, z = -1 ไปแทนในสมการใดสมการหน,ึง ถา้ แทนแลว้ ทาํ ใหไ้ ด้
2
ค่าเท่ากนั แสดงวา่ ค่า x, y, z ท,ีไดถ้ ูกตอ้ ง ดงั นNี

จาก สมการ 1 2x + y + z = 0
แทนค่า
2(- 1 ) + 2 + (-1) = 0
2

-1 + 2 -1 = 0

0=0

หรือ จากสมการ 3 2x - y - 3z = 0

แทนคาํ 2(- 12) - 2 - 3(-1) = 0

-1 - 2 + 3 = 0 ตอบ
0=0

กาํ หนดให้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด m ´ n โดยที, det(A) ¹ 0 แลว้ ระบบสมการท,ีเขียนในรูป
ของเมทริกซ์ Ax = B เมื,อตวั แปร คือ x1, x2,..., xn และ ค่าคงท,ี คือ b1,b2,...,bn โดยที,

é x1 ù éb1 ù
ê ú êêb2 ú
x = ê x2 ú และ B = ê! ú
ú ú
ê! ú êëbn ú
ê û û
ë xn

จะไดค้ ่าของตวั แปร คือ x1 = det( A1)
det( A)

x2 = det(A2 )
det( A)

!!

xn = det( An )
det( A)

เมื-อ Ai คือ เมทริกซ์ทไ-ี ด้จากการแทนหลกั ที- i ของ A ด้วยหลกั ของ B

ตวั อยา่ ง 10.3 จงแกร้ ะบบสมการโดยใชก้ ฎของคราเมอร์
3x + 4y = -2 ----------------- Œ
5x + 3y = 4 ----------------- 

วธิ ีคิด ขNนั 1 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของเมทริกซ์

é3 4ù éxù = é-2ù
êë5 3ûú êë yúû ëê 4 úû

ขNนั 2 หาค่าของ det A ดงั นNี

-20

det A = 3 4 = -11
5 3

+9

ขNนั 3 หาค่าของ det A1 โดยนาํ คอลมั นข์ องเมทริกซ์ B = é-2ù ไปแทนคอลมั นท์ ,ี 1
êë 4 úû
ของเมทริกซ์ก่อนหา det A1 ดงั นNี

-16

det A1 = é-2 4ù = -22
ëê 4 3úû

-6

\ การหา det A2 กห็ าเหมือนขา้ งตน้ ดงั นNี
+10

det A2 = é3 -2ù = 22
ëê5 4 ûú

+12

ขNนั 4 หาค่า x และ y ดงั นNี

x = det A1 = -22 = 2
det A -11

y = det A2 = 22 = -2
det A -11

จะได้ x = 2

y = -2

ตรวจคาํ ตอบ โดยนาํ ค่า x = 2, y = -2 ไปแทนค่าในสมการ 1

จากสมการ 1 3x + 4y = -2

แทนค่า x, y 3(2) + 4(-2) = -2

6 - 8 = -2

-2 = -2

หรือ นาํ ไปแทนในสมการ 2 จะได้

จากสมการ 2 5x + 3y = 4

แทนค่า x, y 5(2) + 3(-2) = 4

10 - 6 = 4
4=4

ตอบ

ตวั อยา่ งที, 10.4 จงใชก้ ฎของคราเมอร์ หาระบบสมการของ

x - 3z = 2 ----------------- Œ
2x - y + z = 4 ----------------- 
----------------- Ž
y - 2z =1

วธิ ีคิด ขNนั 1 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของเมทริกซ์

é1 0 -3ù é xù é2ù
êê2 -1 ú ê ú êê4úú
1 ú ê y ú =

êë0 1 -2ûú êë z úû ëê1ûú

สมการ A . X = B

ขNนั 2 หาค่าของ det A

0 -1 0 = -1

1 0 -3 1 0 + จะได้ - 5
det A = 2 -1 1 ..2 -1

0 1 -2 0 1

+2 0 -6 = - 4

ขNนั 3 หาค่าของ det A1, det A2 และ det A3 โดยนาํ ค่าคอลมั น์ é2ù ไปแทนใน
B = ê4ú
คอลมั นท์ ,ี 1,2,3 ของเมทริกซ์ A ดงั นNี
êë 1 ûú

-3 -2 0 = -5
จะได้ -13
2 0 -3 2 0
det A1 = 4 -1 1 ..4 -1 = -8

1 1 -2 1 1

4 0 -12

0 -1 8 = +7

1 2 -3 1 2 จะได้ -7

det A2 = 2 4 1 .. 2 4
0 1 -2 0 1

-8 0 -6 = -14
0 -4 0 = -4

1 0 21 0 จะได้ -1

det A3 = 2 -1 4 .. 2 -1
0 1 101

-1 0 4 = 3

ขNนั 4 หาค่าของ x, y, z ดงั นNี

x = det A1 = -13 = 13
det A -5 5

y = det A2 = -7 = 7
det A -5 5

z = det A3 = -1 = 1
det A -5 5

ตรวจคาํ ตอบ โดยนาํ ค่า x = 13 , y = 7 และ z = 1 ไปแทนในสมการใด สมการหน,ึง ดงั นNี
5 5 5

จากสมการ Ž y - 2z =1

แทนค่า y, z 7 - 2 æ 1 ö = 1
5 èç 5 ø÷

7 - 2 = 1
5 5

5 = 1
5

1=1 ตอบ