Layout Matematika Dasar 1, Aljabar umum_15.5x23 cm

i

Penulis
Djoko Adi Susilo

Desain Cover dan Penata Isi
Tim MNC Publishing

Cetakan I, Juli 2017

Diterbitkan oleh:
Media Nusa Creative
Anggota IKAPI (162/JTI/2015)
Bukit Cemara Tidar H5 No. 34, Malang
Email: [email protected]
Website: www.mncpublishing.com

ISBN : 978-602-6743-17-8

Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau
memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ke dalam bentuk apapun,
secara elektronis maupun mekanis, termasuk fotokopi, merekam, atau
dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari Penerbit.
Undang-Undang Nomor 19 Tahun 2000 tentang Hak Cipta, Bab XII
Ketentuan Pidana, Pasal 72, Ayat (1), (2), dan (6)

ii

Sebagai matakuliah dasar pada program studi pendidikan
matematika, matakuliah Matematika Dasar I merupakan
pondasi untuk mempelajari matakuliah-matakuliah lain
dalam bidang matematika. Materi aljabar ini sebenarnya sudah
diajarkan mulai tingkat dasar (SD), namun demikian masih banyak
mahasiswa yang masih kurang memahami tentang konsep-konsep
aljabar, sehingga dengan buku ini diharapkan dapat membantu
mahasiswa dalam mempelajari mata kuliah tersebut. Selain
mahasiswa, buku ini mudah-mudahan dapat membantu guru dan
pelajar yang ingin mempelajari materi aljabar sesuai dengan
jenjang pendidikannya.

Penulis berusaha untuk menyajikan materi yang penulis
anggap sesuai dengan daya tangkap mahasiswa dan anak didik
dalam kondisi dan situasinyang dimilkinya. Dalam buku ini
diberikan contoh-contoh soal yang cukup variatif dan dilengkapai
dengan contoh dan soal yang berhubungan dengan kehidupan
sehari-hari. Kebanyakan contoh itu dibicarakan secara rinci,
walaupun kadang-kadang dimasukkan beberapa langkah yang
kurang mendasar yang maksudnya mengajak mahasiswa /
pembaca ingin tahu dan mencari pembenaran, sehingga mampu
melihat kembali pengertian-pengertian yang sangat mendasar.

Kepada teman sejawat dan para pengajar yang
menggunakan buku ini, penulis mengharapkan kritik dan saran
yang membangun, karena dari hasil pengalaman para pengajar
buku ini akan dapat disempurnakan.

Kepada mahasiswa yang menggunakan buku ini,
diharapkan untuk menyalurkan segala kemampuan dengan penuh

iii

ketekunan dan rasa tangung jawab bagi hari depan dunia
pendidikan kita.

Sebagai akhir dari kata pengantar ini, kami sampaikan
terima kasih kepada semua pihak, yang membantu hingga
tersusunnya buku ini baik dari pihak penerbit maupun pihak
manapun juga.

Malang, Juli 2017
Djoko Adi Susilo

iv

KATA PENGANTAR .................................................................. iii
DAFTAR ISI .................................................................................. v

PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL (PLSV)
A. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel ............... 1
B. Sifat-Sifat PLSV ................................................................ 2
C. Penyelesaian dan Bukan Penyelesaian ......................... 2
D. Permasalahan Yang Sering Dihadapi Siswa ................ 4
E. Penerapan Persamaan Linier Dengan Satu Variabel 5

PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL (Pt LSV)
A. Bentuk Umum Pt LSV ..................................................... 9
B. Penyelesaian Pt LSV ........................................................ 9
C. Penerapan Pt L S V .......................................................... 12

PERSAMAAN KUADRAT
A. Pengertaian Persamaan Kuadrat .................................. 15
B. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat ................. 16
C. Diskriminan Persamaan Kuadrat .................................. 19
D. Penerapan Persamaan Kuadrat .................................... 20
E. Pengembangan dari rumus kuadrat (rumus abc) ....... 24

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
A. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat ..................... 33
B. Cara cepat mencari himpunan penyelesaian
pertidaksamaan Kuadrat ................................................ 35
C. Penerapan Pertidaksamaan dalam menyelesaikan soal
persamaan kuadrat .......................................................... 38

v

FUNGSI KUADRAT
A. Bentuk Umum dan Sifat Parabola ................................. 45
B. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat / Parabola .................... 46
C. Mencari Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola ......... 47
D. Penerapan Fungsi Kuadrat ............................................. 50

PERSAMAAN PANGKAT TINGGI (POLINUM) Dan DALIL
SISA

A. Persamaan Pangkat Tinggi (polinum) .......................... 53
B. Dalil Sisa ............................................................................ 60
C. Pembagian Istimewa ....................................................... 63

PERTIDAKSAMAAN SUKU BANYAK
A. Bentuk umum pertidaksamaan suku banyak .............. 69
B. Cara cepat mencari Himpunan Penyelesaian
pertidaksamaan suku banyak ........................................ 69

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN (RASIONAL)
A. Bentuk Umum Pertidaksamaan pecahan ..................... 73
B. Mencari penyelesaian pertidaksamaan pecahan ........ 73
C. Menyelesaiakan pertidaksamaan pecahan jika ruas
kanan ≠ 0 .......................................................................... 75
D. Cara cepat mencari himpunan penyelesain
pertidaksamaan pecahan ................................................ 77

PERSAMAAN BENTUK AKAR (IRASIONAL)
A. Bentuk umum persamaan irasional .............................. 81
B. Penyelesaian persamaan Irasional ................................. 81

PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL
A. Pengertian Pertidaksamaan Irasional .......................... 85
B. Mencari Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan
Irasional ............................................................................. 85

vi

PERSAMAAN LOGARITMA
A. Pengertian Persamaan Logarima ................................... 89
B. Sifat-sifat Logaritma ........................................................ 89
C. Penyelesaian persamaan logaritma ............................... 90

PERSAMAAN EKSPONEN
A. Pengertian Persaman Eksponen .................................... 93
B. Bentuk-bentuk persamaan Eksponen ........................... 93

PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN dan LOGARITMA
A. Yang Berhibungan Dengan Fungsi Eksponen ............. 99
B. Yang Berhubungan dengan Fungsi Logaritma ............ 101

PERSAMAAN HARGA MUTLAK
A. Pengertian harga mutlak ................................................ 105
B. Persamaan harga mutlak ................................................ 105

PERTIDAKSAMAAN HARGA MUTLAK
A. Bentuk Umum Persamaan Harga Mutlak .................... 109
B. Penyelesaian Pertidaksamaan Harga Mutlak .............. 109

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
A. Pengertian Barisan dan Deret ........................................ 113
B. Barisan dan Deret Aritmatika ....................................... 113
C. Sisipan pada deret Aritmatika ....................................... 119
D. Hubungan Deret Aritmatika Dengan Fungsi .............. 123
E. Deret Arimatika Bertingkat ............................................ 127

BARISAN DAN DERET GEOMETRI
A. Bentuk Umum Barisan Geometri .................................. 135
B. Rumus Umum pada Deret Geometri ............................ 135
C. Sisipan ............................................................................... 140

DAFTAR PUSTAKA ................................................................... 145

vii

viii

Kata kunci

❶ Pengertian Persamaan Linier Satu Variabel
❷ Sifat-sifat Persamaan Linier Satu Variabel
❸ Penyelesaian dan bukan penyelesaian

Persamaan Linier Satu Variabel
❹ Permasalahan yang sering dihadapi siswa
❺ Penerapan Persamaan Linier Satu Variabel
❻ Soal Latihan

A. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel
Perhatikan kalimat-kalimat terbuka di bawah ini.
a. 2x + 3 = -5
b. m + 5 = 8

c. 5 p  7
9

Kalimat-kalimat terbuka di atas menggunakan tanda
hubung " = " (sama dengan). Kalimat-kalimat seperti ini
disebut persamaan.
Persamaan-persamaan tersebut mempunyai satu variabel
(peubah), yaitu x, m, dan p di mana derajat dari masing-

1

masing variabel adalah 1, maka persamaan seperti itu
disebut persamaan linear satu variabel (PLSV).
Bentuk umum PLSV : ax + b = 0, dengan a≠0, dan a, b 
(anggota) bilangan Real

B. Sifat-Sifat PLSV
Misalkan a = b adalah persamaan linear dengan variabel x
dan c adalah konstanta bukan nol. Persamaan a = b
ekuivalen dengan persamaan-persamaan berikut :
1. a + c = b + c
2. a – c = b – c
3. a x c = b x c
4. a : b = b : c, c ≠ 0

C. Penyelesaian dan Bukan Penyelesaian
Kalau kita menjumpai persamaan 3x – 3 = 6, dengan
variable x adalah 1,3, dan 5. Untuk menyelesaikan
persamaan ini, kita pilih penganti x, yaitu :
x = 3, maka 3.1 – 3 = 6 adalah pernyataan yang salah
x = 3, maka 3.3 – 3 = 6 adalah pernyataan yang benar
x = 5, maka 3.5 – 3 = 6 adalah pernyataan yang salah

Untuk x = 3, kalimat diatas menjadi benar, maka bilangan 3
disebut penyelesaian (jawaban/akar) dari persamaan
tersebut. Jadi ditulis akar dari persamaan tersebut x=3.
Bilangan pengganti x yang membuat pernyataan salah,
bukan merupakan penyelesaiannya seperti untuk x = 1 dan
5 bukan merupakan akar persamaan tersebut.
Cara menentukan penyelesaian di atas disebut cara
substitusi.
Untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan, selain
dengan cara substitusi dapat juga dengan cara menjumlah,

2

mengurangi, mengali, atau membagi kedua ruas
persamaan dengan bilangan yang sama.
a. Penjumlahan atau Pengurangan

Menambah dan mengurangi kedua ruas persamaan
Contoh
1. Tentukan penyelesaian dari x + 7 = 6
Penyelesaian:
x+7=6
 x + 7 – 7 = 6 – 7 (kedua ruas dikurangi 7)
 x = -1
Jadi penyelesaian persamaan tersebut adalah -1

2. Selesaikanlah persamaan 4x – 3 = 3x + 7.
Penyelesaian:
 4x – 3 = 3x + 7
 4x – 3 + 3 = 3x + 7 + 3 (kedua ruas ditambahkan 3)

4x = 3x + 10
 4x + (–3x) = 3x + 10 + (–3x) (kedua ruas

ditambahkan –3x)
 x = 10
Jadi, penyelesaiannya dari 4x – 3 = 3x + 7 adalah 10.

b. Perkalian atau Pembagian
Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan
dengan bilangan yang sama.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari persamaan :

 2 x  16 ?
3
  3 ( 2 x)   3 .16 (kedua ruas dikalikan - 3 )
3 2 2
2

 x  24

Jadi penyelesaiannya x = -24

3

Catatan :
Untuk menentukan penyelesaian PLSV dapat juga
dilakukan dengan cara berikut :
ax + b = cd + d
 ax – cx = d – b (apabila suku pindah ruas, maka tanda

tambah berubah dari + (positip)
menjadi − (negatip) dan sebaliknya)
 (a-c) x = d – b

 x= d b
ac

D. Permasalahan Yang Sering Dihadapi Siswa
Beberapa permasalahan yang sering kita jumpai , kita lebih
mudah menyelesaiakan penjumlahan, penjumlahan,
perkalian dan pembagian bilangan bulat dibandingkan
dengan bilangan pecahan.
Contoh :
Manakah yang menurut anda yang lebih mudah dari 2 soal
dibawah ini :
1. 1023 + 452 x 108 = . . .

2. 2 3 11 x 1  ...
5 32

Dari sebagian besar siswa/mahasiswa, bahkan mungkin
setiap siswa/mahasiswa akan mengatakan soal nomer 1
lebih mudah dari pada soal nomer 2.

Untuk memudahkan kita menyelesaikan soal yang
berhubungan dengan pecahan dapat dikalikan dengan
KPK dari penyebut masing-masing sukunya.

4

Contoh :
Tentukan penyelesaian dari soal dibawah ini :

3 (2 2 x  1)  5x 1 3 ?
53 2 4

Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, adalah sebagai

berikut:

 3 (8 x  1)  5x  7
53 2 4

 24 x  3  5x  7 Kedua ruas dikalikan KPK (4,10,15)= 60
15 10 4 Semua suku menjadi bilangan bulat

 96x + 9 = 300x - 105

 96x – 300x = -105 – 9

 -204x = -164  x = 164
204

E. Penerapan Persamaan Linier Dengan Satu Variabel
1) Budi membeli 20 permen di warung yang ada di dekat
rumahnya. Ketika sudah di rumah, adik-adiknya
(Iwan, Wayan, dan Wati) meminta permen tersebut
sehingga permen Budi tersisa 11 biji. Berapa banyak
permen yang diminta oleh ketiga adiknya Budi?
Jawab :
Misal permen yang diminta ketiga adik Budi adalah x,
maka:
20 – x = 11
Sehingga nilai x dari persmaan tersebut adalah:
20-x = 11
 20-20-x=11-20
 -x = -9
x=9
Jadi permen yang diberikan kepada ketiga adik Budi = 9

5

2) Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 108.
Tentukan bilangan- bilangan itu ?
Jawab :
Perhatikan : setiap bilangan genab dapat ditulis 2n
Missal ketiga bilangan genab yang berurutan tersebut
adalah : 2n, 3n, dan 4n
Maka :
2n+3n+4n = 108
↔ 9n = 108
↔ n = 12
Jadi bilang tersebut adalah : 24 , 36, dan 48

3) Suatu kolam renang berbentuk persegi panjang
memiliki lebar 7 kurangnya dari panjangnya dan
keliling 86 m. Tentukanlah ukuran panjang dan
lebarnya?
Jawab :
Misal panjang kolam = y, maka lebar = y-7
Keliling = 2 (p + l)
 86 = 2(y + y-7)
 86 = 4y -14
 86+14 = 4y
 100 = 4y
 y = 25
Jadi panjang nya = 25 dan lebarnya = 25-7 = 18

SOAL LATIHAN:
1. Tentukan penyelesaian dari soal dibawah ini :

1). 3x – 5 = 7x – 2 2). 3 x  1  5x  3 3
52 6

3). 1 (3 1 x  1)  5(x 1 3) 4).  2 ( 2 x  1)  5 3 x 1
54 3 4 37 3 4

6

2. Selesaikan soal dibawah ini:
1) Setiap hari Fitri menyisihkan uang jajannya untuk
ditabung di rumah. Setelah 11 hari uang Fitri menjadi Rp
154.000,00. Berapa rupiahkah Fitri menyisihkan uangnya
setiap hari?
2) Sebuah persegi panjang mempunyai ukuran panjang
(3x−43x−4) cm dan lebar (x+1x+1) cm.
a. Tulislah rumus kelilingnya dan nyatakan dalam
bentuk yang paling sederhana ?
b. Jika kelilingnya 34 cm, tentukan luas persegi panjang
tersebut?
3) Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk
persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek
daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan
luas tanah petani tersebut?
4) Umur ibu 3 kali umur anaknya. Selisih umur mereka
adalah 26 tahun. Tentukanlah umur masing-masing?
5) Jumlah 3 bilangan ganjil positif yang berurutan adalah 21.
Tentukanlah ketiga bilangan tersebut?

7

8

Kata kunci
❶ Bentuk Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
❷ Penyelesaian Pertidaksmaan Linier Satu

Variabel
❸ Penerapan Pertidaksamaan Linier Satu

Variabel
❹ Penerapan Pertidaksamaan Linier Satu

Variabel

A. Bentuk Umum Pt LSV
Bentuk umum dari pertidaksamaan linier adalah : ax + b *
0, dimana tanda (*) bisa diganti dengan ˂, ≤, ≥, atau ˃

B. Penyelesaian Pt LSV
Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan ini ?
Perhatikan contoh dibawah ini :
Tentukan himpunan jawab (himpunan penyelesaian) dari :
1. 2x ˃ 4
2. 2x ≥ - 6
3. -2x ≤ 8

9

Jawab :
1. 2x ˃ 4

x˃ 4
2

 x˃2

Himpunan penyelesaiannya : x  2 

2. 2x ≥ - 6

 x≥ 6
2

 x ≥ -3

Himpunan penyelesaiannya : x  3 

3. -2x ≤ 8

x ≤ 8
2

 x ≤ -4

Himpunan penyelesaiannya : x  4 

Apakah himpunan penyelesaian dari soal nomor 3 ini
benar?

Perhatikan :
jika ambil beberapa bilangan yang memenuhi x ≤ -4,
misanya x = -5, maka setelah kita subtitusikan kedalam
pertidaksamaan:
-2 (-5) ≤ 8 ↔ 10 ≤ 8
10 ≤ 8 adalah pernyataan yang salah.
Sehingga Himpunan penyelesaian tersebut salah.
Agar Himpunan penyelesaian menjadi benar, maka kedua
ruas dikalikan dengan bilangan negatip yang
mengakibatkan tanda pertidaksamaannya berubah.

10

-2x ≤ 8 (dikalikan dengan – 1, menjadi )
 2x ≥ -8
 x ≥ -4

Sehingga Himpunan penyelesaiannya x  4 

Mungkin ada yang bertanya: “Mengapa suatu pertidaksamaan jika
dikalikan bilangan negatip berubah tanda pertidaksamaan ? “
Mari kita perhatikan beberapa kejadian berikut ini :
a. 5 > 3, maka jika dikalikan -1, akan menjadi -5….. -3, ternyata -5 < -3
b. -6 < 8, maka jika dikalikan -1, akan menjadi 6…… -8, ternyata 6 > -8
c. 7 ≥ -9, maka jika dikalikan -1, akan menjadi -7…….9, ternyata -7 ≤ 9
Dari beberapa contoh diatas, terlihat ada perubahan tanda setelah
dikalikan -1

Contoh lain :
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari soal dibawah ini:

1) 3x – 5 ≤ 7x – 2

2) 3 x  1  5x  3 3
52 6

Jawab :

1) 3x – 5 ≤ 7x – 2

 3x – 5+ 5 ≤ 7x – 2 + 5

 3x ≤ 7x + 3

 3x -7x ≤ 7x – 7x +3

 -4x ≤ 3 ……….dikalikan - 1

 4x ≥ -3

 x ≥ -3/4

Jadi himpunan penyelesaiannya = x   34 

2) 3 x  1  5x  3 3
52 6

 3 x  1  5x  21 Dikalikan KPK (2,5,6) = 30
52 6

 18x  15  150x 105

 18x  15 15  150x 105 15

11

 18x  150x  120

 18x 150x  150x 150x 120

 132x  120 Dikalikan -1/132
 x  120 /132

Jadi Himpunan penyelesaiannya = x  120 
132

C. Penerapan Pt L S V
Beberapa penerapan Pt LSV :
Contoh :
Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan
ukuran panjang (x+ 5) cm, lebar (x– 2) cm, dan tinggi x cm.
a. Tentukan model matematika dari persamaan panjang
kawat yang diperlukan dalam x ?
b. Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak
lebih dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok
tersebut?
Jawab :
a. Panjang kawat = panjang ruisuk balok
= 4 (panjang + lebar + tinggi)

= 4 (x  5)  (x  2)  x

= 4 (3x+3)
= 12 x + 12
b. Panjang kawat tidak lebih dari 132, berarti
12x ≤ 132
 x ≤ 11
Jadi panjang kawat tidak lebih dari 132 cm untuk nilai
x ≤ 11

12

SOAL LATIHAN
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari soal dibawah ini :

1) 1 (3 1 x  1)  5(x 1 3)
54 3 4

2)  2 ( 2 x  1)  5 3 x 1
37 3 4

2. Selesaikan soal berikut ini :
1) Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan x – 3 < 2
dimana x € bilangan bulat
2) Tentukkan Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2m + 4 > 4m + 10, dengan m € bilangan bulat negatif ?
3) Tentukan Bentuk himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan 3x-5 > x+9, dengan x € bilangan cacah?
4) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
4x – 2 > 3x + 5 dengan x € variabel pada himpunan
bilangan cacah?
5) Untuk x € { himpunan cacah }, Tentukkan himpunan
penyelesaian dari 3x – 5 > x + 3 ?
6) Tentukan Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
5(2y +1) – 2(4y-2) ≤ 3 (y+2) dengan y € bilangan prima
yang kurang dari 20?
7) Tentukkan Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2(3r + 2 ) > 2(r – 4) dengan r € bilangan bulat negatif ?

3. Selesaikan soal dibawah ini :
1) Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang
dengan panjang 16x cm dan lebar 10x cm. Jika luasnya
tidak kurang dari 40 dm2, tentukan ukuran minimum
permukaan meja tersebut ?
2) Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan
ukuran panjang (y + 8) cm, lebar y cm, dan tinggi (y – 5)
cm. a). Tentukan model matematika dari persamaan

13

panjang kawat yang diperlukan dalam y. b). Jika panjang
kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 156
cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut ?
3) Persegi panjang mempunyai panjang (x + 7) cm dan lebar
(x – 2) cm. Jika kelilingnya tidak lebih dari 50 cm,
tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut?

14

Kata kunci
❶ Pengertian Persamaan kuadrat
❷ Menentukan akar-akar persamaan kuadrat
❸ Diskriminan Persamaan kuadrat
❹ Pengembangan Rumus Kuadrat
❺ Penerapan Persamaan Kuadrat

A. Pengertian Persamaan Kuadrat
Persamaan berbentuk ax2 + bx + c = 0, dengan a, b , c € Real
dan a ≠ 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah
(variable) x. Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 , a
adalah koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x, dan c
adalah suatu tetapan ( konstanta).
Jenis- jenis persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai dari a,
b , dan c.
1) Persamaan kuadrat lengkap
Bentuk : ax2 + bx + c = 0; a, b, c ≠ 0
Contoh : 2x2 + 4x – 9 = 0
2) Persamaan kuadrat tak lengkap ( Jika c = 0)
Bentuk : ax2 + bx = 0; a, b ≠ 0
Contoh : 5x2 + 7x = 0
3) Persamaan kuadrat biasa ( jika b, c = 0)
Bentuk : ax2 = 0; a ≠0
Contoh : 3x2 = 0
4) Persamaan kuadrat asli (murni)
Bentuk : ax2 + c = 0; a ≠0, c ≠0
Contoh : 2x2 – 7 = 0

15

B. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat
a. Faktorisasi
Pedomannya : Tentukan bilangan yang jumlahnya = b
dan hasil kalinya = c
Contoh :
Carilah akar-akar persamaan kuadrat : x2 – 5x + 6 = 0
Pembahasan :
Dua buah bilangan yang jumlahnya = -5 dan hasil
kalinya = 6 adalah -3 dan -2
Sehingga :
x2 – 5x + 6 = 0
 (x – 3) ( x - 2) = 0
 x1 = 3 dan x2 = 2
Jadi akar-akarnya adalah 3 dan 2

b. Melengkapi kuadrat sempurna
Langkah-langkah penyelesaian :
1) Pindahkan konstanta ke ruas kanan
2) Bagi kedua ruas dengan koefisien x2 (atau dibagi
dengan a)

3) Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari 1
koefisien x 2

(1.b  b )
2 a 2a

4) Ubahlah ruas kiri ke bentuk : (ax  b )2
2a

Contoh :
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat : 2x2 + 5x
+6=0

16

Pembahasan : (langkah 1)
2x2 + 5x - 6 = 0  2x2 + 5x = 6

 x2  5 x  6 (langkah 2)
22

 x 2  5 x  (1 . 5)2  6  ( 1 . 5)2 (langkah 3)
2 22 2 22

 x 2  5 x  ( 5)2  48  25
24 16 (langkah 4)

 (x  5)2  48  25  (x  5)2  73
4 16 4 16

 x  5   73  x   5  1 73
4 16 44

x1   5  1 73 x2  5  1 73
4 4 4 4

Jadi akar-akarnya : x1 = - 5  1 73 dan
44

x2 = - 5  1 73
44

c. Formula (Rumus ) Kuadrat
Bentuk umum persamaaan kuadrat :
ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c € Real dan a ≠ 0
Untuk mencari rumus kuadrat (yang dikenal di
Indonesia dengan Rumus abc), kita ikuti langkah-
langkah pada mencari akar-akar persamaan kuadrat
dengan melengkapi kuadrat sempurna.
ax2 + bx + c = 0  ax2 + bx = - c
(langkah 1)

 x2  b x  c
aa

17

(langkah 2)

 x2  b x  (1.b)2   c  (1.b)2
a 2a a 2a

(langkah 3)

 x2  b x  ( b )2   c  ( b )2
a 2a a 2a

(langkah 4)

 (x  b )2   4ac  b2
2a 4a 2

 (x  b )    4ac  b2
2a 4a 2

 (x  b )   1 b2  4ac
2a 2a

 x   b  1 b2  4ac
2a 2a

 x   b  b2  4ac
2a

Inilah yang disebut rumus kuadrat ( Rumus abc)
b2 – 4ac , dinamakan Diskrininan (sering disingkat D)
sehingga rumus kuadrat diatas, bisa ditulis :

x  b D
2a

Contoh :
Tentukan akar-akar dari persmaan kuadrat : 2x2 + 5x -
6=0
Pembahasan :
2x2 + 5x + 6 = 0
Dari soal ini diperoleh : a = 2, b = 5 dan c =- 6, sehingga
dengan rumus kuadrat kita dapatkan :

18

 5  52  4.2.(6)
x

2.2

x   5  25  48  x   5  73
44

Jadi akar-akarnya : x1 = - 5  1 73 dan x2 = -
44

5  1 73
44

C. Diskriminan Persamaan Kuadrat
Jenis akar persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, ditunjukkan
oleh nilai dari diskriminannya, yaitu :
a. D > 0 , persamaan kuadrat mempunyai 2 akar Real yang
berbeda.
Untuk D > 0, terdapat 2 kemungkinan :
1) Jika D merupakan kuadrat sempurna maka
persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 akar yang
berbeda dan Rasional
2) Jika D bukan merupakan kuadrat sempurna maka
persmaan kuadrta tersebut mempunyai 2 akar yang
berbeda dan Irasional
b. D = 0, persamaan kuadrat mempunyai 2 akar Real yang
sama ( kembar)
c. D < 0, persmaan kuadrat mempunyai 2 akar yang tidak
nyata ( Imajiner/khayal)
Contoh :
Tentukan jenis-jenis akar persamaan berikut ini?
1) x2  3x  7  0
2) x2  4x  4  0
3) x2  4x  7  0

19

Jawab :
1) x2  3x  7  0

Dari soal tersebut : a = 1, b = 3 dan c = -7
D  b2  4ac  32  4.1.(7)  9  28  37
Karena D = 37, berarti D>0, maka persmaan kuadrat
tersebut
mempunyai 2 akar real berbeda.
2) x2  4x  4  0
Dari soal tersebut : a = 1, b = 4 dan c = 4
D  b2  4ac  42  4.1.(4)  16 16  0
Karena D = 0, maka persmaan kuadrat tersebut
mempunyai 2 akar Real yang sama
3) x2  4x  7  0
Dari soal tersebut : a = 1, b = 4 dan c = 7
D  b2  4ac  42  4.1.(7)  16  28  12
Karena D = -12, berarti D < 0, maka persamaan
kuadrat tersebut mempunyai 2 akar yang tidak
nyata (Imajiner)

D. Penerapan Persamaan Kuadrat
Contoh :
1) Kuadrat suatu bilangan dikurangi empat kali bilangan
itu sama dengan -3. Tentukan model matematika dari
permasalahan tersebut?
Jawab :
Misalkan bilangan tersebut y, maka Model
matematikanya adalah :
y 2  4 y  3
2) Jumlah dua bilangan sama dengan 40. jika hasil kali
kedua bilangan itu sama dengan 300, maka tentukan
model matematika dari permasalahan tersebut?

20

Jawab :

Misalkan bilangan tersebut m dan n, maka Model

matematikanya adalah

m + n = 40

m x n = 300

3) Lebar sebuah kolam renang yang berbentuk persegi

panjang = 26 cm lebih pendek dari pada panjangnya. Jika

luas kolam 1200 m2, tentukan panjang dan lebar kolam

tersebut ?

Jawab :

Misalkan panjang kolam renang = k, maka lebarnya = k-

0,26

Luasnya = L = panjang x lebar

 1200 = k (k-0,26)

 1200 = k2 – 0,26 k

 k2 - 26 k – 1200 = 0

 (k - 50)(k + 24) = 0

k1 = 50 dan k2 = -24 (tak memenuhi)

Jadi panjang kolam tersebut adalah 50 dan lebarnya = 24

4) Jika diketahui persamaan permintaan adalah Qd = 6 – P2

dan persamaan penawaran Qs = -8 + 2P2, pada tingkat

harga dan jumlah berapakah keseimbangan pasar

terjadi?

Diketahui : Fungsi permintaan : Qd = 6 – P2

Fungsi penawaran : Qs = -8 + 2P2

Tentukan : tingkat harga dan jumlah berapakah

keseimbangan pasar ?

Jawab :

Formula keseimbangan :

Qd = Qs

 16 – P2 = -8 + 2P2

 2P2 + P2 = 16 + 8

 3P2 = 24

21

 P2 = 24 / 3 = 8
 P2
= √8 = 2,83

Substitusi Pe = 2,83 ke salah satu persamaan :
Qd = 16-
P2
 Qd  16  (2,83)2

 Qd  16  8,01

 Qd  7,99
Jadi, keseimbangan pasar tercipta pada harga Rp. 2,83
dan jumlah 7,99 unit barang.

SOAL LATIHAN :
1. Tentukan akar-akar persamaan dibawah ini dengan 3 cara

yaitu pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan
rumus kuadrat?

a. x2  9x  20  0

b. 3x2  2x  8  0

c. 6x2 11x  4  0

2. Kuadrat suatu bilangan ditambah lima kali bilangan itu
dikurangi enam sama dengan nol. Tentukan model
matematika dari permasalahan tersebut ?

3. Jumlah dua buah bilangan sama dengan 20. Jika hasil
kali kedua bilangan itu sama dengan 75. Tentukan
model matematika dari permasalahan tersebut?

4. Selembar karton berbentuk persegi panjang akan dibuat
kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi
seluas 3 x 3 cm2 di masing-masing pojoknya. Panjang
kotak 2 cm lebih dari lebarnya dan volum kotak itu

22

adalah 105 cm3. Tentukan model matematika dari
permasalahan tersebut?
5. Selembar kertas karton berbentuk persegi akan dibuat
kotak tanpa tutup dengan cara membuang bujur
sangkar seluas 2 x 2 cm2 di masing-masing pojoknya.
Panjang kotak 4 cm lebih besar dari lebarnya dan volume
kotak itu 90 cm3. Tentukan model matematika dari
permasalahan tersebut?
6. Jumlah panjang sisi depan dan sisi samping suatu
segitiga siku-siku = 8 cm. Jika luas dari segitiga siku-siku
tersebut dinyatakan dengan L, Tentukan model
matematika yang sesuai dengan soal tersebut ?
7. Jumlah dua kali sisi samping denagn sisi depan suatu
segitiga siku-siku = 24 cm. Tentukan model matematika
luas dari segitiga tersebut ?
8. Keliling sebuah persegi panjang = 28 cm dan luasnya =
40 cm2
Tentukan panjang dan lebar dari persegi panjang
tersebut ?
9. Panjang sisi sebuah pesegi panjang lebih 4 cm dari lebar
sisinya. Jika luas persegi panjang tersebut = 60 cm2,
tentakan panjang dan lebarnya
10. Seorang murid ingin membuat persegi panjang dari
seutas tali yang panjangnya 30 cm. Tentukan luas
terbesar persegi panjang yang bisa dibuat oleh murid
tersebut ?
11. Jumlah dua bilangan = 2 dan jumlah kuadratnya = 52.
Tentukan bilangan-bilangan tersebut ?
12. Selisih dua kali suatu bilangan dengan bilangan lain = 20
Tentukan dsalah satu dari bilangan tersebut ?
13. Jika diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam
persamaan R = -Q2 + 10Q dan fungsi biaya dinyatakan

23

dalam persamaan C = – 3Q2 + 5Q +10. Pada tingkat
produksi berapa unit terjadi titik pulang pokok?
14. Jika diketahui fungsi penerimaan dinyatakan dalam
persamaan R = -Q2 + 10Q dan fungsi biaya dinyatakan
dalam persamaan C = – 3Q2 + 5Q +10, tentukanlah
persamaan keuntungannya!. Berapakah keuntungan/
kerugian maksimum/minimum?

E. Pengembangan dari rumus kuadrat (rumus abc)
Bentuk rumus kuadrat :

x   b  b2  4ac
2a

b2-4ac disebut dengan Diskriminan (disingkat D)
D = b2-4ac
Sehingga rumus kuadrat bisa juga ditulis :

x b D
2a

x1  b D
2a

atau

x2  b D
2a

1) Jumlah, selisih dan hasil kali akar persamaan kuadrat

x1  x2  b D  b D   2b  b
2a 2a 2a a

x1 + x2 =  b
a

(disebut “Jumlah akar-akar opersmaan kuadrat”)

24

x1  x2  b D  b D 2 D  D
2a 2a 2a a

x1 – x2 = D ,
a

(disebut dengan selisih akar-akar persamaan kuadrat)

x1.x2  b D .b D  b2  D  b2  (b2  4ac)  4ac c
2a 2a 4a 2 4a2 4a2 a

x1 .x 2  c
a

(disebut hasil kali akar-akar persamaan kuadrat)

2) Jumlah kuadrat dan jumlah pangkat tiga akar-akar
persamaan kuadrat

(x1  x2 )2  x12  2x1x2  x22

x12  x22  (x1  x2 )2  2x1x2 , persamaan

(disebut jumlah kuadrat akar-akar
Kuadrat)

(x1  x2 )3  x13  3x12 x2  3x1x22  x23

x13  x23  (x1  x2 )3  3x1x2 (x1  x2 ) ,

(disebut jumlah akar pangkat tiga persamaan kuadrat)

Contoh :

Diketahui : x2 – 4x – 8 = 0, mempunyai akar x1 dan x2.
Tentukan :
a. Jumlah akarnya
b. Selisih akar-akarnya
c. Hasil kali akar-akanya
d. Jumlah kuadrat akar-akarnya
e. Jumlah pangkat tiga akar-akarnya

25

f. x1  x2
x2 x1

g. x2  x1
x12 x2 2

Pembahasan :

a. x1 + x2 =  b =  (4) = 4
a1

b. x1 – x2 = D = b2  4ac = (4)2  4.1.(8) =
aa 1

16  32 = 58
1

c. x1.x2 = c= 8 =-8
a 1

d. x12  x22  (x1  x2 )2  2x1x2

= (4)2 – 2 . (-8)( 58 )

= 16 + 16 58

e. x13  x23  (x1  x2 )3  3x1x2 (x1  x2 )

= (4)3 – 3.(-8)( 58 )

= 64 +24 58

f. x1  x2 = x12  x22  16 16 58  2  2 58
x2 x1 x1 x2 8

g. x2  x1 = x13  x23  64  24 58  1 3 58
x12 x2 2 (x1x2 )2 64 8

26

3) Menentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-
akarnya
Diatas telah dibahas :

x1 + x2 =  b  b  ( x1  x2 )
a a

dan x1.x2 = c  c  x1.x2
a a

Persamaan umum persamaan kuadrat adalah :

ax2 + bx + c = 0, dengan a, b , c € Real dan a ≠ 0

ax2 + bx + c = 0 ….(dikalikan dengan 1 )
2

 x 2  b x  c  0 ………dengan mengganti
aa

b  (x1  x2 ) dan c  x1.x2
a a

 x2  (x1  x2 )x  x1 x2  0

 (x  x1)(x  x2 )  0

x2  (x1  x2 )x  x1 x2  0

Inilah persamaan kuadrat yang diketahui akar-karnya
x1 dan x2
Contoh :
1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya :

a. -3 dan 7

b. 2  3 dan 2  3

c. 2  3 dan 2  3
55

Jawab :

a. x1  3 dan x1  7

x1 + x2 = -3 + 7 = 4

27

x1.x2 = -3 . 7 = 21
jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah :

x2  (x1  x2 )x  x1 x2  0

x2  4x  7  0
b. 2  3 dan 2  3

x1 + x2 = 2  3 + 2  3 = 4
x1.x2 = ( 2  3 )( 2  3 )= 4-3 = 1
jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah :
x2  (x1  x2 )x  x1 x2  0

x2  4x 1  0
c. 2  3 dan 2  3

55
x1 + x2 = 2  3 + 2  3 = 4

5 55
x1.x2 = ( 2  3 )( 2  3 )= 4

5 5 25
jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah :
x2  (x1  x2 )x  x1 x2  0

x2  4 x  4  0
5 25

 25x2  20x  4  0

4) Membentuk persamaan kuadrat baru dari persamaan
kuadrat yang Diketahui
Contoh :
Diketahui Persamaan kuadrat x2  3x  5  0 ,

mempunyai akar  dan 

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya
a. 2 kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut ?

28

b. 5 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat
tersebut?

c. saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan
kuadrat tersebut?

d.  2 dan  2
e. 1 dan 1

2 2

Jawab :

  b 3 3
a1

.  c   5  5
a3

Misal akar persamaan yang kita cari adalah x1 dan x2

a. x1  2 dan x2  2
x1  x2  2  2  2(   )  2.3  6
x1.x2  2.2  4()  4.(5)  20

Jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah :

x2  (x1  x2 )x  x1 x2  0
x2  6x  20  0
b. x1    5 dan x2    5

x1  x2    5    5  (   )  10  3  10  13
x1.x2  (  5)(  5)  ()  5(   )  25  5  5.3  25  35
Jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah :

x2  (x1  x2 )x  x1 x2  0
x2 13x  35  0

29

c. x1  1 dan x2  1
 

x1  x2 1  1     3
   5

x1.x2  1.1  1  1
  5

Jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah :

x2  (x1  x2 )x  x1 x2  0

x2  ( 3)x  1  0
55

5x2  3x 1  0
d. x1   2 dan x2   2

x1  x2   2   2  (   )2  2  (3)2  2(5)  19
x1.x2   2. 2  ()2  (5)2  25

Jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah :

x2  (x1  x2 )x  x1 x2  0

x2 19x  25  0

e. x  1 dan x2  1
2 2

x1  x2 1  1  2 2  19
2 2 (  ) 2 25

x1.x2 1 .1  1  1
2 2 (  ) 2 25

Jadi persamaan kuadrat yang dimaksud adalah :

x2  (x1  x2 )x  x1 x2  0

x 2  19 x  1  0
25 25

25x2 19x 1  0

30

SOAL LATIHAN

Diketahui Persamaan kuadrat x2  3x  5  0 , mempunyai akar
p dan q . Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya :

a. kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut ?
b. 9 kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut ?
c. pangkat tiga dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut ?

d. p 2 dan q 2
( p  q)2 ( p  q)2

e. p dan q
pq pq

31

32

Kata kunci

❶ Bentuk Umum Pertidaksamaan kuadrat
❷ Cara Cepat menentukan himpunan

penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
❸ Penerapan Pertidaksamaan kuadrat dalam

menyelesaikan soal persamaan kuadrat
❹ Penerapan Persamaan Kuadrat

A. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat :
ax2 + bx + c * 0, dimana tanda * dapat diganti ( >, <, ≤,
atau ≥ )
Ada beberapa bentuk pertidaksamaan :
a. Jika a . b ≤ 0, maka a ≤ 0 dan b ≥ 0 atau a ≥ 0 dan b ≤ 0
b. Jika a . b ≥ 0, maka a ≤ 0 dan b ≤ 0 atau a ≥ 0 dan b ≥ 0
c. Jika a . b < 0, maka a < 0 dan b > 0 atau a > 0 dan b < 0
d. Jika a . b > 0, maka a < 0 dan b < 0 atau a > 0 dan b > 0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
1) x2 – x – 6 < 0
(x – 3)(x + 2) < 0
x – 3 < 0 → x < 3 dan x + 2 > 0 → x > -2
x < 3 di iriskan x > -2 , maka -2 < x < 3………(1)
atau
x – 3 > 0 → x > 3 dan x + 2 < 0 → x < -2

33

x > 3 di iriskan x< -2, maka hasilnya himpunan
kosong…….(2)

Jika (1) dan (2) di gabungkan , maka
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut
adalah -2 < x < 3

2) x2 – 4x + 4 > 0
(x – 2)(x – 2) > 0
x – 2 > 0 → x > 2 dan x – 2 > 0 → x >2
x > 2 di iriskan dengan x > 2, maka hasilnya x >
2…………..(1)
atau
x – 2 < 0 → x < 2 dan x – 2 < 0 → x < 2………………(2)
Jika (1) dan (2) , jika di gabungkan maka :
Himpunan pertidaksamaan tersebut adalah x < 2 atau x
> 2 atau juga bisa ditulis x ≠ 2.

Permasalahan diatas berlaku jika pertidaksamaan
tersebut mempunyai akar Real.
Bagaimana jika akarnya tidak Real ?

Contoh :
1) x2 + 3x + 8 > 0

disini :
x2 + 3x + 8 mempunyai akar yang tidak Real, karena :
D = b2 – 4ac = 32 – 4.1.8 = - 23
Berarti D < 0.
Kalau kita gunakan cara sebelumnya maka hal ini
tidaklah bisa dilakukan. Kita mencoba memasukkan
bilangan Real sebarang kedalam pertidaksamaan

tersebut ternyata untuk setiap x  Real maka x2 + 3x

+ 8 selalu lebih dari 0.

34

Jadi kesimpulannya himpunan penyelesaiannya
adalah x semua bilangan Real.

Catatan : permasalahan seperti tersebut diatas
berlaku pula jika tanda pertidaksamannya “ ≥ “.

2) x2 – 4x + 10 < 0
Pada soal ini, didapatkan D < 0, artinya tidak
mempunyai akar Real. Tetapi kalau kita memasukkan
sebarang bilangan Real, maka x2 – 4x + 10 selalu
positip, sehingga tidak mungkin x2 – 4x + 10 < 0.
Jadi kesimpulannya himpunan penyelesaiannya
adalah x = {}

Catatan : permasalahan seperti tersebut diatas
berlaku pula jika tanda pertidaksamannya “ ≤ “.

B. Cara cepat mencari himpunan penyelesaian
pertidaksamaan Kuadrat
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. x2 + 8x + 15 ≤ 0
b. x2 + x – 6 ≥ 0
c. x2 -6x + 9 ≥ 0
d. x2 + 8x + 16 ≤ 0
e. x2 – 4x + 4 > 0
f. x2 + 4x + 4 < 0
g. x2 + 3x + 7 > 0
h. x2 – 2x + 6 < 0
i. x2 + x + 3 ≤ 0
j. x2 + 3x + 6 ≥ 0

35

Pembahasan :
Perhatikan dari 10 soal tersebut !!
♫ : no a) dan b), mempunyai 2 akar Real berbeda, karena
D>0
♫ : no c) s/d no. f), mempunyai 2 akar kembar (sama)
♫ : no. g) s/d no. j), mempunyai akar imajiner

Cara cepat menyelesaikan pertidaksamaan tersebut
adalah sebagai berikut :
a. Pada soal nomer a), persamaan kuadrat pada ruas kiri

mempunyai 2 akar berbeda karena D > 0, maka
himpinan penyelesaiannya :
x1 ≤ x ≤ x2, jika x1 > x2 atau x2 ≤ x ≤ x1, jika x2 > x1
Himpunan penyelesaiannya : -5 ≤ x ≤ -3
b. Pada soal nemer b ), persamaan kuadrat pada ruas kiri
mempunyai 2 akar real berbeda karena D > 0, sehingga
cara himpunan penyelesaiannya seperti soal nomer a).
Himpunan penyelesaiannya : x ≤ -3 atau x ≥ 2
c. Pada soal c), persamaan kuadrat pada ruas kiri
mempunyai akar kembar yaitu x1 = x2 = 3 dan tanda
pertidaksamaannya “ ≥”
Maka himpunan penyelesaiannya : x € Real
d. Pada soal d), persamaan kuadrat pada ruas kiri
mempunyai akar kembar yaitu x1 = x2 = -4 dan tanda
pertidaksamaannya “ ≤”
Maka himpunan penyelesaiannya : x = -4
e. Pada soal e), persamaan kuadrat pada ruas kiri
mempunyai akar kembar yaitu x1 = x2 = 2 dan tanda
pertidaksamaannya “ >”
Maka himpunan penyelesaiannya : x ≠ 2, x € Real
f. Pada soal f), persamaan kuadrat pada ruas kiri
mempunyai akar kembar yaitu x1 = x2 = - 2 dan tanda
pertidaksamaannya “ <”

36

Maka himpunan penyelesaiannya : x = {}
g. Pada soal g), persamaan kuadrat pada ruas kiri

mempunyai akar imajiner (tidak mempunyai akar real),
karena tanda pertidaksamaan “ > “ maka himpunan
penyelesaian x € Real
h. Pada soal h), persamaan kuadrat pada ruas kiri
mempunyai akar imajiner (tidak mempunyai akar real),
karena tanda pertidaksamaan “ < “ maka himpunan
penyelesaian x = {}
i. Pada soal i), persamaan kuadrat pada ruas kiri
mempunyai akar imajiner (tidak mempunyai akar real),
karena tanda pertidaksamaan “≤ “ maka himpunan
penyelesaian x = {}
j. Pada soal j), persamaan kuadrat pada ruas kiri
mempunyai akar imajiner (tidak mempunyai akar real),
karena tanda pertidaksamaan “`≥ “ maka himpunan
penyelesaian x € Real

SOAL LATIHAN
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. x2 + 7x + 12 ≤ 0
b. 2x2 + 5x – 1 ≥ 0
c. x2 -10x + 25 ≥ 0
d. x2 + 14x + 49 ≤ 0
e. x2 – 8x + 16 > 0
f. x2 - 19x + 64 < 0
g. x2 - 3x + 7 > 0
h. x2 + 2x + 8 < 0
i. x2 - x + 7 ≤ 0
j. x2 + 3x + 9 ≥ 0

37

2. Selesaikan soal dibawah ini
a. Sepasang kawat yang panjangnya x cm hendak dibentuk
kerangka berbentuk persegi. Agaer luasnya lebih besar
dari pada kelilingnya . Tentukan nilai x yang memenuhi?
b. Sebuah batu dilemparkan tegak lurus keatas dengan
kecepatan 20 m/detik. Sedangkan tinggi batu itu adalah
h setelah t detik ditentukan oleh rumus h = 20t – 5t2.
Tentukan selang t, jika h > 15 ?
c. Keliling persegi panjang = 20 cm. Jika luas persegi
panjang itu tidak kurang dari 21 cm, tentukan batas-batas
nilai panjang dari persegi panjang tersebut ?
d. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Ketingian peluru
yang dicapai (dinyatakan dalam meter) diberikan sebagai
h(t) = 30t – t2. Berapa lamakah peluru itu berada pada
ketinggian tidak kurang dari 221 meter ?

C. Penerapan Pertidaksamaan dalam menyelesaikan soal
persamaan kuadrat
1) Jenis akar-akar persamaan kuadrat
Akar-akar persmaaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1
dan x2, dimana :

x1  b D x2  b D
2a 2a

D = b2 – 4ac adalah diskriminan.

a. Jika D > 0, maka terdapat dua akar real yang berbeda
( x1 ≠ x2)

b. Jika D = 0, maka akar-akarnya sama atau kembar
dan Real ( x1 = x2)

c. Jika D < 0, maka kedua akarnya tidak Real (tidak
mempunyai akar Real)

d. Jika D ≥ 0, maka mempunyai akar Real

38

e. Mempunyai 2 akar positip ( x1 positip dan x2
positip), maka :
D ≥ 0 , (x1 + x2) > 0, dan (x1 . x 2) > 0

f. Mempunyai 2 akar negatip ( x1 negatip dan x2
negatip), maka :
D ≥ 0 , (x1 + x2) < 0, dan (x1 . x 2) > 0

g. Mempunyai 2 akar satu positip dan yang lain
negatip, maka :
D ≥ 0 , dan (x1 . x 2) < 0

Contoh :
Tentukan m supaya kedua akar persamaan : x2 + mx + m =
0 mempunyai :

a. Dua akar Real dan berlainan ?
b. akar-akar sama atau kembar dan Real ?
c. kedua akarnya tidak Real (tidak mempunyai akar

Real)?
d. akar Real ?
e. 2 akar positif ( x1 positip dan x2 positif)?
f. 2 akar negatif ( x1 negatip dan x2 negatif)?
g. 2 akar satu positif dan yang lain negatif ?

Jawab :
a. Syarat mempunyai 2 akar real berlainan adalah D > 0,

sehingga:
b2 – 4ac > 0
m2 – 4 . 1 . m > 0
m(m – 4 ) > 0
m1 = 0
m–4=0
 m2 = 4

39

○○
04
Himpunan penyelesaiannya : { m < 0 atau m > 4}
b. Syarat mempunyai 2 akar kembar : D = 0
b2 – 4ac = 0
m2 – 4 . 1 . m = 0
m(m – 4 ) = 0
m1 = 0
m – 4 = 0  m2 = 4
Himpunan penyelesaiannya : {2 , 4}
c. Syarat mempunyai akar imajiner
b2 – 4ac < 0
m2 – 4 . 1 . m < 0
m(m – 4 ) < 0
m1 = 0
m – 4 = 0  m2 = 4

○○
04

Himpunan penyelesaiannya : {2 < m < 4}
d. Syarat mempunyai akar Real :

D≥ 0
b2 – 4ac ≥ 0
m2 – 4 . 1 . m ≥ 0
m(m – 4 ) ≥ 0
m1 = 0
m–4=0
 m2 = 4

40

●●
04
Himpunan penyelesaiannya : { m ≤ 0 atau m ≥ 4}
e. Syarat mempunyai 2 akar positif :

x1 + x2 =  b > 0
a

-m > 0 → m < 0………..(1)

x1 . x2 = c > 0
a

m > 0…………………….(2)
D ≥ 0 →{m ≤ 0 atau m ≥ 4}………………….(3)
Maka: (1) irisan (2) irisan (3) = { }
Jadi tidak ada nilai m yang memenuhi persamaan
tersebut.
f. Syarat mempunyai 2 akar negatif:

x1 + x2 =  b < 0
a

-m < 0 → m > 0………..(1)

x1 . x2 = c > 0
a

m > 0…………………….(2)
D ≥ 0 →{m ≤ 0 atau m ≥ 4}………………….(3)
Maka: (1) irisan (2) irisan (3) = {x ≥ 4 }
Jadi nilai m yang memenuhi persamaan = {x ≥ 4 }
g. Syarat mempunyai akar yang satu positif dan yang lain
negatif :

x1 . x2 = c < 0
a

m < 0…………………….(1)
D ≥ 0 →{m ≤ 0 atau m ≥ 4}………………….(2)

41

Jika (1) di iriskan dengan (2), maka Himpunan
penyelesaiannya adalah
x={m<0}

SOAL LATIHAN
1. Persamaan : 2x2 - 2px + 3p + 3 = 0 mempunyai dua akar Real

yang sama, tentukan p ?
2. Untuk harga-harga m yang manakah akar-akar persamaan :

m+3)x2 + 2(m-7)x + m – 3 = 0 kedua akarnya positif ?
3. Ditentukan persamaan : mx2 – 2x – 4m – 1 = 0, (m ≠ 0).

a. Buktikan bahwa persamaan ini untuk setiap nilai m Real
mempunyai dua buah akar Real yang berlainan?

b. Hitunglah m, supaya jumlah kuadrat akar-akarnya
ditambah jumlah akar itu = 11 ?

c. Tentukan nilai m agar akar persamaan yang satu > 1 dan
akar yang lain < 1 ?

4. Persamaan : ax2 + (a-1)x – 3, akar-akarnya α dan β Real,
sedangkan :

α2 + β2 < 3 1 . Hitunglah a ?
4

5. Ditentukan persamaan kuadrat : (m-3)x2 +(2m-3)x + m – 1 = 0
Ditanyakan :
a. Berapakah harga m supaya salah satu akarnya = 0 ?
b. Untuk harga-harga m yang mana akar-akarnya tandanya
berlawanan
c. Untuk harga-harga m yang mana akar-akarnya
berlawanan ?
d. Tentukan harga-harga m, agar akar-akarnya saling
berkebalikan ?

6. Ditentukan persamaan : 2x2 – 2px -2x +3p+3 =0, mempunyai
dua akar yang sama, tentukan nilai p?

7. Untuk harga-harga m bulat yang manakah akar-0akar
persamaan (m+3)x2 + 2(m-7)x+m-3=0 keduanya positip ?

42