Layout Matematika Dasar 1, Aljabar umum_15.5x23 cm

A. Pengertian Persaman Eksponen

Persamaan Eksponen adalah persamaan yang di dalamnya
terdapat pangkat (eksponen) yang berbentuk suatu fungsi
dalam x.

B. Bentuk-bentuk persamaan Eksponen

1. Bentuk : a f (x)  a g(x) , maka f(x) = g(x)

Contoh :
Tentukan nilai x`dari persamaan :

5  5x2 3x5 2 x1

Jawab :

x2  3x  5  2x 1

x2  5x  6  0

(x  3)(x  2)  0

x1  3
x2  2

2. Bentuk : a f (x)  b f (x) ,maka f(x) = 0, sebab a0 = b0

Contoh :
Tentukan nilai x`dari persamaan :

5  3x2 3x2 x2 3x2

93

Jawab :

x2  3x  2  0

(x 1)(x  2)  0

x1  1
x2  2

3. Bentuk : a f (x)  bg(x)

Contoh :
Tentukan nilai x`dari persamaan :

53x1  32x1

Jawab :
Cara 1 :

53x1  32x1

Kedua ruas dikalikan dengan : 51  3 2x agar

pangkat x terdapat hanya dalam satu ruas saja

53x.32x  51.31

(52.32 )x  15

(125)x  15
9

x log(125)  log15
9

x(log125  log 9)  log15

x  log15  1,17609  1,17609

log125  log 9 2,09691  0,95424 1,14267

log x  log1,17609  log1,14267  0,07044  0,01252  0,0152

x  1,029

94

Cara 2 :
Langsung dengan menggunakan logaritma

53x1  32x1
(3x  1) log 5  (2x  1) log 3
(3x  1).0,69897  (2x  1).0,47712
2,09691x  0,95424x  0,47712  0,69897
1,14267x  1,17609

x  1,17609  1,029
1,14267

h(x) f (x)  h(x)bg(x) tersebut ada

4. Bentuk:
5. Untuk menyelesesaikan persamaan

beberapa kemungkinan :

a. Eksponen (pangkat ) sama : f(x) = g(x)
b. Bilanangan pokok = h(x) = 1, sebab 1f(x)=1g(x)

c. Bilangan pokok h(x)=-1, asalkan f(x) dan g(x) setelah

nilai x diketahui menjadi :

(-1)f(x)=(-1)g(x)= +1 (misalnya kedua ekspoenenya itu

genap) Atau

(-1)fx=(-1)g(x) = -1 (misalnya kedua eksponennya itu

ganjil

d. Bilangan pokok = h(x)= 0, asalkan f(x) dan g(x)

keduanya positip, karena 0f(x) = 0g(x)=0

Contoh:

Tentukan nilai x`dari persamaan :

(x2  5x  5)2x3  (x2  5x  5)3x2

Jawab :

a. 2x + 3 = 3x – 2
x1 = 5

b. X2 - 5x + 5 = 1

95

X2 - 5x + 4 =0
(x-1)(x-4) = 0
x2 = 1 dan x3 = 4
c. x2 - 5x + 5 = -1
X2 - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 dan x = 3
Untuk x = 2 dan x = 3 kita masukkan kedalam
persamaan :
f(2) = 2x + 3 = 2.2 +3 = 7
g(2) = 3x – 2 = 3.2 -2 = 4
sehingga :
(-1)f(2) = (-1)g(2)
(-1)7 = (-1) 4
-1 = 1 (salah)
Sehingga x = 2 (tidak memenuhi)
f(3) = 2x + 3 = 2.3 +3 = 9
g(3) = 3x – 2 = 3.3 -2 = 7
sehingga :
(-1)f(3) = (-1)g(3)
(-1)9 = (-1) 7
-1 = - 1 (Benar)
x4 = 3
d. x2 - 5x + 5 = 0

 (5)  (5)2  4.1.5  5  5
x
22

5 5

x5  ......(positip)
2

x6  5 5 ........(positip)
2

96

Jadi penyelesain dari soal tersebut Adela:

{5 , 1 , 4, 3, 5 5 ,5 5 }
2 2

SOAL LATIHAN
Hitunglah x dari persamaan berikut ini :

1. a 34  a 3x5

2. 3 4 b x .6 b 2x  b x .b 3

3. c x2 5x4  c 2x3

4. c33  c 2x
c 4 3 c 2x4 4 c x3

1

5. 32 x  x4 2

6. (27) x 1 2 .(1 ) 1  ( 1 1
 x1
) 32x
3 81

7. 4 x1  5.2 x1  6

8. 5x1  3.5x  2  0

9. (5x  2) x5  (5x  2)2x1

 10. 2x2  5x  3)2x3  (2x2  5x  3)x3

97

98

A. Yang Berhubungan Dengan Fungsi Eksponen
Contoh :
1. Tentukan x yang memenuhi :

22x1  5.2x1  8  0

Jawab :
Misalkan 2x = a, maka

22x1  5.2x1  8  0

Menjadi :
2a2 - 10a + 8 ≥ 0

a2 - 5a + 4 ≥ 0
(a -1)(a -4) ≥ 0
a=1 ,a=4

14

a ≤ 1 atau a ≥ 4

2x ≤ 1 2x ≥ 4

x≤0 x ≥2

Jadi himpunan penyelesaian : {x / x ≤ 0 atau x ≥ 2}

2. Tentukan harga-harga x yang yang memenuhi :

7 x  3.71x  4

99

Jawab :

7 x  3.71x  4

Dikalikan dengan 7x karena 7x selalu positip, maka
tidak merubah tanda pertidaksamaan, sehingga
menjadi:
72x  3.7  4.7x

72x  4.7x  21  0, dengan memisalkan 7x  p, maka :

p2  4 p  21  0

( p  3)( p  7)  0

p  3, p  7

-3 7
-3 < p < 7
-3 < 7x < 7
7x > -3, maka x ε Real
7x < 7 ↔ x < 1
Jadi himpunan penyelesaian : {x < 7, xε Real}

Catatan :

1) 21  2,22  4,23  8,.dan seterusnya

Ternyata semakin besar eksponennya, makin besar
pula hasil perpangkatannya, sehingga :
Untuk g > 1, maka :

g f (x)  g h(x)  f (x)  g(x)

g f (x)  g h(x)  f (x)  g(x)

2). ( 1 )1  1 , ( 1 )2  1 , (1 )3  1 , dan seterusnya
2 22 42 8

Ternyata semakin besar pangkatnya, makin kecil

perpangkatannya,

100

sehingga :
untuk : 0 < g < 1, maka :

g f (x)  g h(x)  f (x)  g(x)
g f (x)  g h(x)  f (x)  g(x)

B. Yang Berhubungan dengan Fungsi Logaritma :

Contoh :
1. Tentukan batas-batas x yang memenuhi

pertidaksamaan:

2 log( x  3)  1

Jawab :

2 log( x  3)  1  x  3  21  x  5........1()
syarat :
x  3  0  x  3.......(2)

Dari (1) dan (2) :
Diperoleh Himpunan penyelesaiannya :
{x/ 3 < x < 5}

2. Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi :

x2 log(8  x)  2

Jawab :
Kita periksa kemungkinan-kemungkinannya :

a. 1). x  2  1  x  3...............(1)

101

2). x2 log(8  x)  2 x2 log(8  x) x2 log( x  2)2
 8  x  (x  2)2
 8  x  x2  4x  4
 x2  3x  4  0
 (x  1)(x  4)  0
1  x  4........................(2)
3). 8  x  0  x  8..................(.3)

-1 3 4 8

Himpunan penyelesaiannya : {3 < x < 4}………(4)

b. 1). 0  x  2  1  2  x  3...............(1)

2). x2 log(8  x)  2  8  x  (x  2)2

 x2  3x  4  0
 (x 1)(x  4)  0

 x  1 atau x  4.................................(2)

3). 8  x  0  x  8..................(.3)

Dari (1),(2),(3) jika di iriskan hasilnya himpunan
kosong.

Jadi himpunan pertidaksaman tersebut adalah :
{x / 3 < x < 4}

3. Tentukan batas-batas nilai x dari persamaan :

5 log(5x  7)5 log 18  2  x

102

Jawab :

5 log(5x  7)5 log18  2  x
5 log 5x  7  log 52x

18
5x  7  52x

18
5x  7  18.52x (dikalikan 5x , maka :)
52x  7.5x  18.52
misal : 5x  p
p2  7 p 18.25  0
( p 18)( p  25)  0

p  18 atau x  25
5x  8 (tidak mungkin)
5x  25
x2

Jadi Himpunan penyelesaian = {x / x > 2, x ε real}

Catatan : Perhatikan
Untuk : g > 0 contoh 2 diatas.

g log f (x)  p  f (x)  g p

g log f (x)  p  f (x)  g p

Untuk : 0 < g < 1

g log f (x)  p  f (x)  g p

g log f (x)  p  f (x)  g p

103

SOAL LATIHAN
Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi :

1. 2 x5  1 11. lox2x  1
12. log log x  1
2. ( 1 )3x2  1 13. 6 log( x2  x  6)  1
2 256

3. x log x  10000

4. 32x  4.3x1  27  0 14. 5 log(5x  30)  (x  3)  0

5. 2x  1 x2  32 15. 5 log(2x 1)2x1log 625  0

22 1

6. 2 x3  4 x1  480 16. 4 log( x  4) 2 log( x  2)  0

7. 2 x  2x  8 1 17. x1log 3  0
8 18. 2x1log( x2 1)  1
19. x2 log( x2  x  6)  2
8. (5x1  2)(5x1  4)  3 20. x4 log(2x2  6x  8)  2
9. 2 log(10  x)  1
10. 3 log(2x  4)  0

104

A. Pengertian harga mutlak

Harga mutlak suatu bilangan x ditulis x , bernilai x jika x

 0 dan bernilai –x, jika x<0
Secara matematis :

x  x, x  0 0
 x, x 

x  x2

Contoh sederhana :

 3  3,

3 3

B. Persamaan harga mutlak

Untuk lebih memahami persamaan harga mutlak, pelajari
contoh-contoh dibawah ini :

Contoh 1:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :

3x  4  5

105

Jawab :

3x  4  5

(3x  4)2  5

( (3x  4)2 )2  52
(3x  4)2  25

3x  4   25  5

3x  4  5  x1  3

3x 4  5  x2  1
3

Contoh 2:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :
x2  x 11  1

Jawab :
x2  x 11  1

(x 2  x 11)2  1

(x 2  x 11)2  1
x2  x 11  1
x2  x 11  1  x2  x 12  0  (x  4)(x  3)  0
x1  4
x2  3
x2  x 11  1  x2  x 10  0

x   (1)  (1)2  4.1.(10)  1  41
22

x3  1 41
2

x4  1  41
2

106

Contoh 3:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :

2 2x  3 2  20 2x  3  32  0

Jawab:

Misal : 2x  3  p

2 2x  3 2  20 2x  3  32  0

2 p 2  20 p  32  0

p 2  10 p  16  0

( p  2)( p  8)  0

p2 p8

2x  3  2 2x  3  8

(2x  3)2  4 (2x  3)2  64

2x  3  2  x   3  2 2x  3  8  x   3  8
2 2

x1  1 dan x2  5 x3  5 dan x4   11
2 2 2 2

SOAL LATIHAN
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :

1. 3  4x  7
2. 3x2 1  4

3.  6x  4  4
4. x2  x 1  1

5. 3  1
2x 1

6. 3x  4 2 10 3x  4  8  50

107

7. 2 x  7 2  7 x  7  4  0
8. 6 6  x 2 116  x 10  0
11. x  5 4  5 x  5 2  4  0
12. x  2 4  2 x  2 3  7 x  2 2  8 x  2 12  0

108

A. Bentuk Umum Pertidaksamaan Harga Mutlak :

1. │F(x)│ < a dengan a > 0
2. │F(x)│ ≤ a
3. │F(x)│ > a
4. │F(x)│ ≥ a

Ada 2 teorema yang sering digunakan didalam
menyelesaiakn pertidaksamaan harga mutlak .

Teorema 1:
Jika x ε R, a ε R, a > 0, maka │x│ < a, jika dan hanya jika –a
<x<a

Teorema 2:
Jika x ε R, a ε R, a > 0, maka │x│ > a, jika dan hanya jika x<-
a atau x > a

B. Penyelesaian Pertidaksamaan Harga Mutlak

Perhatikan beberapa contoh berikut ini :
Contoh 1:
Tentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan :
│3x - 4│≥ 5

109

Jawab :
│3x - 4│≥ 5, menurut teorema yang kedua, maka:
(3x-4) ≤ - 5 atau (3x-4) ≥ 5
3x – 4 ≤ -5 ↔ 3x ≤ -1 ↔ x ≤ -1/3
3x – 4 ≥ 5 ↔ 3x ≥ 9 ↔ x ≥ 3
Jadi Himpunan penyelesaian :
{x / x ≤ -1/3 atau x ≥ 3 , x ε R}

Contoh 2 :

Tentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan :

2│3x+1│2 + 7│3x+1│- 4 < 0

Jawab :

Misal : │3x+1│= m, maka :

2 m2 + 7m – 4 < 0

(2m – 1) (m + 4) < 0↔ - 4 < m < ½

Dengan mengganti m = │3x+1│,

-4 < │3x+1│ < ½, berarti :

│3x+1│ > -4 dan │3x+1│ < ½

xεR -1/2 < 3x+1 < ½

-3/2 < 3x < -1/2

-1/2 < x < -1/6

Jadi himpunan penyelesaian :

{ x / -1/2 < x < -1/6, x ε R }

Contoh 3 :
Tentukan batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan :
│2x2-8x-1│≤ 1

Jawab :
│2x2-8x-1│≤ 1, menurut teorema 1 :

-1 ≤ 2x2-8x-1 ≤ 1, bentuk ini sama dengan:
2x2-8x-1 ≥ -1 dan 2x2-8x-1 ≤ 1

110

Untuk :
2x2-8x-1 ≥ -1 ↔ 2x2-8x ≥ 0 ↔ 2x(x-8) ≥ 0 ↔ x ≤ 0 atau x ≥
8 ……(1)

Untuk :
2x2-8x-1 ≤ 1 ↔ 2x2-8x-2 ≤ 0 ↔ x2-4x-1 ≤ 0
x2-4x-1 = 0

x   (4)  (4)2  4.1.(1)  4  20  2  5
22

Sehingga : x2-4x-1 ≤ 0 ↔ 2  5  x  2  5 ……..(2)

Jika (1) dan (2) , diiriskan , maka

2 5 0 2 5 8

Jadi Himpunan penyelesaian :

{ x / 2  5 ≤ x ≤ 0, x ε R}

SOAL LATIHAN
Tentukan batas-batas x yang meemnuhi :

1. 3  4x  7
2. 3x2 1  4

3.  6x  4  4
4. x2  x 1  1

5. 3  1
2x 1

6. 3x  4 2 10 3x  4  8  50
7. 2 x  7 2  7 x  7  4  0

111

8. 6 6  x 2 116  x 10  0
11. x  5 4  5 x  5 2  4  0
12. x  2 4  2 x  2 3  7 x  2 2  8 x  2 12  0

112

A. Pengertian Barisan dan Deret :

Sebuah barisan ialah susunan bilangan-bilangan yang
dibentuk berdasarkan syarat-syarat tertentu

Misal : U3 U4 ……………………. Un
U1 U2 5 7 ……………………. 2n-1
13 1/3 ¼ ……………………. 1/n
1½ 2.32 2.33 ……………………. 2.3n-1
2 2.3 3x2 4x3 ……………………. nxn-1
1 2x

B. Barisan dan Deret Aritmatika

U1 U2 U3 U4 ……………………. Un

a a+b a+2b a+3b ……………………. a+(n-1)b

Keterangan :
Suku pertama : U1 = a
Selisih = beda = b
Suku ke-n = Un
Jumlah n suku pertama = Sn

113

RUMUS-RUMUS BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Un – Un-1 = b ………………………………………………………………(1)

Un = a + (n-1) b ……………………………………………………………(2)

Sn = 1 U n)  1 n2a  (n 1)b………………………………(3)
2 n(U1
2

Keterangan :

Sn = U1 + U2 + U3 + ……………………………………+ Un

Bukti Rumus (3)

Sn = a + (a+b) + (a+2b)+….. . +{a+(n-2)b}+{a+(n-1)b}

Sn = {a+(n-1)b}+{a+(n-2)b} +{a+(n-3)b …+ (a+b) + a +

2Sn = {2a+(n-b)}+ {2a+(n-b)}+ {2a+(n-b)}…+ {2a+(n-b)}+{2a+(n-b)}
2Sn = n. {2a+(n-b)}

Sn = n {2a+(n-b)}= 1 n{a+ a+(n-b)}= 1 n(a+Un)
22 2

UNTUK DERET ARITMATIKA YANG BANYAK SUKUNYA GANJIL
(misal banyak sukunya = 2n + 1)

Suku tengah = Ut = Un+1= a+nb…………………………………………..(4)
1

St= (u1 + U2n+1)…………………….........................................(5)
2
1

S2n+1= 2 (2n+1)(u1+U2n+1)=(2n+1)Ut………………………….(6)

UNTUK DERET ARITMATIKA YANG BANYAKNYA SUKU GENAB
(banyanya suku = 2n)

U1 + U2n = U2-U2n-1=……..=Un + Un+1…………………………………(7)

114

UNTUK SETIAP DERET BERLAKU
Sn –Sn-1 = Un……………………………………(8)

Bukti Rumus (8)

Sn = U1 + U2 + U3+ ……………………………+Un-2 + Un-1 + Un

Sn-1 = U1 + U2 + U3+……………………………+Un-2+Un-1 _

Sn - Sn-1 = Un

CATATAN:
Jika 3 buah bilangan a , b , dan c merupakan deret aritmatika, maka:

b = 1 (a+c)
2

b disebut pembanding tengah deret tersebut

Contoh Soal :
1. Diketahui deret aritmatika :
4 , 9 , 14, . . . . . . . . . . . ,Un
Tentukan :
U5 , U12, Un, dan Sn ?
Jawab :
a = 4 , b = 14 – 9 = 9 – 4 = 5
U5 = a + 4b = 4 + 20 = 24
U12 = a + 11b = 4 + 55 = 59
Un = a + (n-1)b = 4 + (n-1)5 = 5n -1
Sn = n {2a+(n-b)}= n {2.4+(n-5)}= n (5n+3)
222

2. Dari deret aritmatika , diketahui : U3 = 11, Ut = 14 dan
suku akhir = 23.
Tentukan banyak suku-sukunya dan jumlah suku-
sukunya ?

115

Jawab : -
Ut = Un+1 = a + nb = 14 ↔ 2a + 2nb = 28
Suku akhir = U2n+1 = 23 ↔ a + 2nb = 23

a =5
U3 = a +2b =11 ↔ 5 + 2b = 11↔ b =3
Ut = a + nb = 14 ↔ 5 +n.3 = 14 ↔ n = 3
Jadi : Banyak suku = 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7

Jumlah suku-sukunya = s2n+1 = 1 (2n+1)(u1+U2n+1)
2

= 1 (2.3+1)(5 +23) = 98
2

3. Lima buah bilangan membentuk deret aritmatika,
jumlah bilangan-bilangan itu = 25 dan hasil kali
bergandanya = 945. Bilangan-bilangan manakah itu ?
Jawab:
Karena banyak bilangan ganjil yaitu 5 buah, maka:
Kita misalkan bilangan-bilangan itu :
Ut-2b, Ut-b, Ut, Ut+b , Ut+2b
Jumlahnya = Ut -2b + Ut-b + Ut +Ut+b + Ut+2b
25 =5 Ut
Ut = 5
Hasil kalinya = (Ut-2b)(Ut-b)(ut)(Ut+b)(Ut+2b)
945 =(5-2b)(5-b)(5)(5+b)(5+2b)
189 = (25-4b2)(25- b2)
Misalkan b2 = y
(25 - 4y) (25 - y) = 189
4y2 - 125y + 146 = 0

y  125  15625  6976  125  93
88

y1  125  93  27 1 dan y2  125  93  4
8 4 8

116

Jadi :

b2  y1  27 1  b   1 109
4 2

b2 y2 4  b   2

Jadi bilangan-bilangan tersebut Adela :

Untuk nilai b = 1 109 , maka :
2

5- 109 , 5 - 1 109 , 5, 5+ 1 109 , 5 + 109
22

Untuk nilai b =- 1 109 , maka :
2

5 + 109 ,5+ 1 109 ,5, 5 - 1 109 ,5- 109
22

Untuk nilai b = 2, maka:
1 , 3 , 5 , 7,9
Untuk nilai b = -1 , maka :
9 , 7 , 5 , 3, 1

4. Empat buah bilangan merupakan deret aritmatika.
Jumlah bilangan-bilangan tersebut = 26 dan hasil kali
bergandanya = 880. Tentukan bilangan-bilangan itu ?
Jawab :
Karena banyak bilangan = 4 ( berarti genab), maka:
Dimisalkan :
(p-3m), (p-m), (p+m), (p+3m)
Jumlahnya = (p-3m)+ (p-m)+ (p+m)+ (p+3m)

26 = 4p ↔ p = 6 1
2

Hasil kalinya = (p-3m). (p-m). (p+m). (p+3m)

880 = (6 1 -3m)( 6 1 -m)( 6 1 +m)( 6 1 +3m)
2 22 2

117

9m4 -422 1 m2 + 905 1 = 0
2 16

Apabila dicari dengan rumus kuadrat (rumus abc)
diperoleh :

m = ± 1609 dan m = ± 1 1
2

Jadi bilangan-bilangan tersebut :

(6 1 -3m) , ( 6 1 -m) , ( 6 1 +m) , ( 6 1 +3m)
2 22 2

(6 1 -3 1609 ) , ( 6 1 - 1609 ) , ( 6 1 + 1609 ) , ( 6 1 +3 1609 )
2 22 2

Atau

(6 1 +3 1609 ) , ( 6 1 + 1609 ) , ( 6 1 - 1609 ) , ( 6 1 -3
2 2 22
1609 )

atau
2 , 5 , 8 , 11
atau
11 , 8 , 5 , 2

SOAL LATIHAN

1. Hitung jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan
1000 yang habis dibagi 7 ?

2. Seorang pegawai menabung pada sebua bank.
Tahun pertama ia menabung tiab-tiap bulan Rp.
500.000,-. Tahun kedua menabung tiap-tiab bulan Rp.
750.000,-

118

Tahun ketiga menabung tiap-tiab bulan Rp. 1.000.000,-
Dan seterusnya tiap-tiap tahun tabungannya bertambah
Rp. 250.000,-. Berapa besar uang tabungan pegawai itu
setelah 20 tahun ?
3. Sebuah deret aritmatika diketahui : U7 = 10 dan U13 =-2
Tentukan : Un dan Sn ?
4. Empat bilangan merupakan deret aritmatika. Hasil kali
kedua suku pinggirnya = 46 dan hasil kali kedua suku
tengahnya = 144. Tentukan bilangan-bilangan itu ?
5. Tiga buah bilangan merupakan deret aritmatika.
Jumlahnya ketiga bilangan itu = 15 dan jumlah
kuadratnya = 83. Tentukan bilangan-bilangan tersebut?
6. Lima buah bilangan membentuk deret aritmatika.
Jumlah kedua suku pinggirnya = 6 dan hasil kali ketiga
suku tengahnya = 24. Tentukan bilangan-bilangan itu ?

C. Sisipan pada deret Aritmatika

Jika diantara tiap-tiap suku suatu deret aritmatika
disisipkan beberapa suku baru, sehingga keseluruhannya
membentuk deret aritmatika baru, maka kita jumpai hal-hal
sebagai berikut :
1. Apabila deret semula merupakan deret aritmatika naik,

maka deret yang baru juga merupakan deret aritmatika
naik, begitu juga jika deret semula merupakan deret
aritmatika turun, maka deret yang baru juga merupakan
deret aritmatika turun.
2. Antara beda yang lama ( = b) dan beda baru ( = b’)
terdapat hubungan :
(jika k : banyaknya suku yang disisipkan), maka :
Deret aritmatika lama : U1 = a disisipka k suku U2 = a+b
Deret aritmatika baru : U1’ = U1 = a

119

U2’= a+ b’, . . . .,U’k+2=U2=a+(k+1)b
Ternyata : s’k+2 = S2

a + (k+1)b’ = a + b
(k+1)b’ = b

Jadi:

b= b
k 1

3. Suku pertama deret semula = suku pertama deret baru
setelah ada sisipan (U1 = U1’ = a)
Suku terakhir deret semula = suku terakhir deret baru
setelah ada sisipan ( Un = Un’, n’ = banyaknya suku
setelah disisipkan)

4. Apabila banyaknya suku deret semula ganjil, maka suku
tengah deret semula tetap menjadi suku tengah deret
setelah ada sisipan :

Ut = 1 (U1  U 2)  1 (U1'Un')
22

5. Suku-suku sisipan terletak dalam ruang diantara tiap-
tiap dua suku. Apabila banyaknya suku semula = n,
maka banyaknya ruangan = n-1. Tiap-tiap ruangan diisi
oleh k suku sisipan, sehingga banyaknya suku yang
disipkan (n-1)k suku. Jadi banyaknya suku deret
aritmatika baru setelah ada sisipan :
n’ = n + (n-1)k

6. Mengingat no. 3, maka jumlah suku-suku setelah ada
sisipan :

S’n’ = 1 n'(U1'Un)
2

S' n'  n'  n  (n 1)k
Sn n n

120

Contoh:
1. Dari deret aritmatika diketahui : Ut = 10 dan Sn = 50.

Berapa suku harus disisipkan antara tiap-tiap dua suku
supaya jumlah deret aritmatika yang baru menjadi = 170?
Jawab :
Sn =

1 n(U1  Un)  1 .n.2Ut  1 .n.2.10  50  n  5
2 22

S' n'  n'  170  n'  n'  17
Sn n 50 5

n' n  (n 1)k  17  5  4k  k  3

2. Suatu deret aritmatika diketahui suku Ut = 11 dan Sn =

140. Kita susun dua buah deret aritmatika baru yaitu

deret yang pertama dengan menyisipkan diantara tiap

dua suku 3 suku baru dan yang kedua menyisipkan

diantara tiap dua suku 5 suku baru. Jika jumlah deret

baru berbanding sebagai 25 : 37. Tentukan banyaknya

suku dan beda dari deret semula ?

Jawab :

Sn = 1 n(Ut  Un)  140  1 n(11  Un)
22

Sn = 280 11n ...........(1)
n

S ' n'  1 n'(U1  Un)  25
2

S"n" 1 n"(U1  Un) 37
2

n  (n 1).3  25  4n  3  25  n  7
n  (n 1).5 37 6n  5 37

121

Disisipkan pada (1) :Un  280  77  29
7

Un = a + (n-1)b  29  11  6b  b  3

3. Pada malam pertunjukan untuk amal, ruangan temapt
duduk untuk para penonton dibagi atas kelompok-
kelompok yangmasing-masing kelompok terdiri atas 200
tempat duduk. Harga karcis kelompok terdepan Rp.
150.000,- seorang dan harga karcis kelompok terbelakang
Rp. 50.000,-. Harga karcis ini untuk tiap tempat duduk
merupakan deret aritmatika.
Apabila semua karcis habis terjual, maka panitia
mengharapkan uang masuk Rp. 120.000.000,-.
Tentukan harga karcis untuk masing-masing kelompok?
Jawab :
U1 = 200 x 150.000 = 30.000.000
U2 = 200 x 50.000 = 10.000.000

S'n' 1 n'(U1  U 2)  120.000.000 1 n'(30.000.000 10.000.000)  n' 6
2 =2
Banyaknya kelompok yang disipkan = 6-2 = 4
b = 10.000.000 – 30.000.000 = -20.000.000
b’ = b   20.000.000  4.000.000
k 1 5
Hasil kelompok :
Rp. 30.000.000,- ; Rp. 26.000.000,-; Rp. 22.000.000,-; Rp.
18.000.000,- ; Rp. 14.000.000, - dan Rp. 10.000.000,-
Harga karcis tiap kelompok :
Rp. 150.000,- ; Rp. 130.000,- ; Rp. 110.000; Rp. 90.000,-;
Rp. 70.000,- ; Rp. 50.000,-

122

SOAL LATIHAN
1. Suatu deret aritmatika diketahui U1 = 1 , b = 12 dan

banyaknya suku = n. Diantara tiap-tiap dua suku disisipkan
n suku baru, sehingga terjadi deret aritmatika baru yang
jumalhnya = 5n3. Tentukan deret aritmatika semula?
2. Seorang hendak menyisipkan beberapa bilangan antara 7
dan 43 sehingga merupakan deret aritmatika, tetapi
membuat kekeliruan yang disisipkan 2 bilangan lebih
banyak dari pada seharusnya, maka jumlahnya menjadi 50
lebih banyak dari pada seharusnya. Deret aritmatika yang
mana seharusnya ia buat?
3. Dari deret aritmatika diketahui : U1 = x2 – x + 1, Sn = x3.
Diantara tiap-tiap dua suku disisipkan x suku, sehingga
deret itu menjadi deret aritmatika pula. Suku ke (-6x2 + 54x +
61) deret baru = 1800. Tentukan x dan deret aritmatika
semula ?
4. Ditentukan deret-deret sebagai berikut :

2 , 7 , 11 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.(1)

1 ,3,5,7,9,......................
(2)

Diantara tiap suku deret (1) disisipkan k suku, sehingga
menjadi deret aritmatika baru. Diantara tiap-tiap dua suku
deret (2) disisipkan (n2 – 2n + 5) suku, sehingga terbentuk
deret aritmatika baru. Hitunglah k yang sekecil-kecilnya agar
jumlah masing-masing deret aritmatika baru itu sama besar.
Hitung pula beda masing-masing deret baru tersebut ?

D. Hubungan Deret Aritmatika Dengan Fungsi
1. Tiap-tiap deret aritmatika :
a. Suku ke n berbentuk fungsi linier dalam n.
Un = a + (n-1) b ↔ Un = bn + (a – b)

123

b. Jumlah n suku pertama berbentuk fungsi kuadrat
dalam n

Sn = 1 n2a  (n 1)b  Sn  1 bn 2  (a  1 b)n
2 2
2

2. Sebuah deret merupakan deret aritmatika, jika suku

yang ke n merupakan fungsi linier dalam n

Diketuhi : Un = An + B

Buktikan : deret itu deret aritmatika ?

Bukti :

Un = An + B

Un-1 = A(n-1) + B ↔ Un-1 = An – A + B -

Un – Un-1= A
Untuk setiap nilai n selisih dua suku yang berurutan
bilangan tetap A, jadi deret itu deret aritmatika.
3. Sebuah deret merupakan deret aritmatika, jika jumlah n
suku pertama merupakan fungsi kuadrat dalam n tanpa
suku tetap.
Diketahui : Sn = An2 + Bn
Buktikan : deret itu deret aritmatika ?
Bukti :

Sn = An2 + Bn
Sn-1 = A(n-1)2+B(n-1)↔ Sn-1 = An2 – (2A – B)n + (A – B) -

Sn – Sn-1 = 2An – (A-B)
Sn – Sn-1 = Un ↔ Un = 2An – (A-B)
Jadi Un merupakan fungsi linier di dalam n, menurut 2,
merupakan deret aritmatika

Contoh :
1. Dari suatu deret diketahui : pn = 3n2 + 4n + 5

Buktikan, bahwa selisih diantara setiap suku-
sukunya yang berurutan dari deret itu merupakan
deret aritmatika ?

124

Bukti :
U1 = p2 – p1 ; U2 = p3 – p2; …………….Un = P(n+1) – Pn
Un = p(n+1) – pn

 = 3(n 1)3  4(n 1)  5  (3n2  4n  5)

= 6n + 7
Karena Un berbentuk fungsi linier, maka berbentuk
deret aritmatika

2. Seorang pemilik kebun semenjak pohon mangganya
berbuah tiap-tiap hari mencatat banyaknya buah
yang masak dan berkesimpulan, bahwa hasilnya
tiap-tiap hari mengandung rumus = (-30n +270).
Berapa jumlah seluruh mangga yang dihasilkan ?
Jawab :
Un = (-30n + 270), merupakan fungsi linier, jadi
merupakan deret aritmatika.
Buah tersebut dipetik pada hari pertama hingga
tidak ada hasilnya lagi yaitu :
Un = 0.
-30n +270 = 0 ↔ n = 9.
Jadi hasilnya yang terakhir dipetik pada hari ke 8.
U1 = -30+270 = 240
Un = -240 + 270 = 30
Seluruh dasil mangga = S8 =
1 .8(240  30)  1080 buah
2

3. Dari suatu deret diketahui : Sn = 3n2 – 15n
Tentukan :
a. Suku ke berapa = 0 ?
b. U5, U10 dan U12 ?
c. Jumlah n suku yang kedua ?

125

d. Jumlah ke enam suku yang pertama dan
keenam suku yang kedua

Jawab :
a. Un = Sn – Sn-1

Un = 3n2 – 15n – {3(n-1)2-15(n-1)}
= 6n -18

Un = 0
6n – 18 = 0 ↔ n = 3
Jadi U3 = 0
b. U5 = 6.5 -18 = 12
U10 = 6.10 -18 = 42
U12 = 6. 12 – 18 = 54
c. Jumlah n suku yang kedua = S2n – Sn
={3(2n)2 – 15(2n)}- 3n2 – 15n = 9n2 -15n
d. Jumlah ke enam suku yang pertama = S6 = 3(6)2 -
15.6 = 18
Jumlah ke enam suku yang kedua = S12 – S6
= 9(6)2 -15(6) = 234

SOAL LATIHAN
1. Buktikan bahwa bagi tiap-tiap deret aritmatika, berlaku :

a. Sn – 2Sn-1 + Sn-2 = b
b. Un+2 – 3 Un+1 + 3Un – Un+1 = 0
c. Sn+5 – 2Sn+4 + Sn+3 – Sn+2 + 2 Sn+1 – Sn = 0
d. Sn+2 + Sn+1 – 2Sn = Un+2 + Un+1
e. U3n = 2U2n – Un

f. S2n – Sn = 1
3 .S3n

2. Dari suatu deret diketahui : Sn = 1 (4x3  63x 2  n)
6

a. Tentukan Un ?

126

b. Suku-suku mana dari deret tersebut merupakan bilangan
positip?

c. Suku mana = 0 ?
d. Suku yang ke berapa mempunyai nilai yang terkecil ?
e. Kita bentuk deret baru yang terdiri atas selisih suku-suku

deret diatas sebagai berikut :
(U2-U1), (U4 – U3), U6 – U5), . . . . . . .
Buktikan bahwa deret ini merupakan deret aritmatika
dan hitunglah jumlah n suku pertamanya ?
3. Dalam mata pelajaran fisika kita jumpai rumus : pt = po(1 +

 t).

Jika panjang sebatang besi pada 0o Celcius = 30 cm dan
koefisien muai panjang besi = 12 . 10-6, maka rumus panjang
besi itu menjadi :
Pt = 30(1 + 12 . 10-6t).
a. Merupakan deret apakah panjang batang besi tersebut,

jika temperaturnya tiap-tiap kali dinaikkan satu derajat ?
b. Tentukan panjangnya pada suhu 100o Celcius ?

E. Deret Arimatika Bertingkat

1. Sebuah deret aritmetika bertingkat x adalah sebuah deret
aritmetika , yang deret bilangan-bilangan bedanya yang ke x
terdiri dari bilangan-bilangan yang sama;
Perhatikan barisan berikut ini :
3 5 7 9 11 . . . . Deret aritmetika tingkat 1

2 22 2 beda = b

5 6 10 17 27 . . . . Deret aritmetika tingkat 2

1 4 7 10 beda pertama

3 33 beda ke dua

127

2. Mencari rumus suku ke n ( Un) deret bertingkat :
A (A+B) (A+2B+C) (A+3B+3C+D) (A+4B+6C+4D+E)

B (B+C) (B+2C+D) (B+3C+3D+E

C (D+E) (D+2E+F)

Dari gambar tersebut , kita peroleh :

U1 = A

U2 = (A+B)

U3 = (A+2B+C)

U4 =(A+3B+3C+D)

U5 = (A+4B+6C+4D+E)

.

.

Un =

A  (n 1)B  (n 1)(n  2)C  (n 1)(n  2)(n  3)D  .....
0! 1! 2! 3!

Bagaimana dengan Sn ?

S1 = U1 = A

S2 = U1 + U2 = A+(A+B) =2A + B

S3 = U1+U2+U3 = 2A+B+A+2B+C = 3A + 3B + C

S4 = U1+U2+U3+U4= 3A+3B+C+A+3B+3C+D = 4A+6B+4C+D

.

.

.

Sn =

nA  n(n 1)B  n(n 1)(n  2)C  n(n 1)(n  2)(n  3)D  ....
1! 2! 3! 4!

128

Contoh 1 : 17 27 . . . .
Diketahui deret :
5 6 10
Tentukan :

a. Un
b. Sn
c. U100
d. S75
Jawab :

5 6 10 17 27 . . . .

14 7 10

333
A= 5

B =1
C =3

a. Un = A  (n 1)B  (n 1)(n  2)C
0! 1! 2!

= 5  (n 1)1  (n 1)(n  2)3
0! 1! 2!

= 5  n 1  3(n2  3n  2)
11 2

= 10  2n  2  3n2  9n  6
1

= 3n2  7n  14
2

129

b.Sn = nA  n(n 1)B  n(n 1)(n  2)C
1! 2! 3!

= n.5  n(n 1).1  n(n 1)(n  2).3
1! 2! 3!

= n.5  n2  n  3(n3  3n2  2n)
12 6

= 30n  3n2  3n  3(n3  3n2  2n)
66 6

= 3n3  6n2  33n
6

c. Un = 3n2  7n  14
2

U100 = 3(100)2  7(100)  14 = 14.657
2

d. Sn = 3n3  6n2  33n
6

S75 = 3(75)3  6(75)2  33(75) = 205.725
6

Contoh 2 :
Suatu deret terdiri atas bilangan-bilangan yang
berkelompok-kelompok sebagai berikut :
(1) (4,7,10), (13,16,19,22,25), . . . .
Tentukan :
a. Banyak bilangan pada kelompok ke 50 ?
b. Bilangan pertama pada kelompok ke 60 ?
c. Bilangan terakhir pada kelompo ke 45 ?
d. Jumlah bilangan-bilangan pada kelompok ke 40 ?
e. Banyak bilangan pada kelompok ke n ?
f. Bilangan pertama pada kelompok ke n?
g. Bilangan terakhir pada kelompo ke n ?
h. Jumlah bilangan-bilangan pada kelompok ke n?

130

Jawab :
a. Banyak bilangan masing-masing kelompok

membantuk deret :
1,3,5,...
Merupakan barisan aritmetika dengan a = 1 dan b =
2, sehingga
U50 = 1+ (50-1) 2 = 1 + 49.2 = 99
Jadi banyak bilangan-bilangan pada kelompok ke 50
= 99 bilangan.
b. Bilangan pertama pada masing- masing kelompok
memntuk deret :

1 , 4 , 13 , 28 , . . .

3 9 15

66
Merupakan barisan aritmetika bertingkat 2 :

A=1 , B=3 ,C=6

Un = A  (n 1)B  (n 1)(n  2)C
0! 1! 2!

U 60  1 (60 1)3  (60 1)(60  2)6
0! 1! 2!

U 60  1  177  20532  10444
11 2

Jadi bilangan pertama pada kelompok ke 60 = 10444

c. Bilangan terakhir pada masing-masing kelompok
membentuk deret :
1 , 10 , 25 , . . . .

9 15

6

131

Merupakan deret aritmetika bertingkat 2:

A=1 , B=9 ,C=6

U 45  1 (45 1)9  (45 1)(45  2)6
0! 1! 2!

U 45  1 396  11352  6073
1 1 2

d. Jumlah bilangan pada kelompok ke 40 :

Bilangan pertama pada kelompok ke 40 =

A=1 , B=3 ,C=6

U 40  1 (40 1)3  (40 1)(40  2)6
0! 1! 2!

U 40  1  117  8892  4564
11 2

Banyaknya bilangan pada kelompok ke 40 :

U40 = 1+ (40-1) 2 = 79
Bilangan terakhir pada kelompok ke 40 :

A=1 , B=9 ,C=6

U 40  1 (40 1)9  (40 1)(40  2)6
0! 1! 2!

U 45  1 351  8892  4798
1 1 2

Dari data diatas , kita peroleh :
a = 4564
n = 79
Un = 4798

Sn = n (a  Un)  79 (4564  4798)  369799
22

Jadi jumlah bilangan pada kelompok ke 40 = 369799

132

e. Banyak bilangan pada kelompok ke n :
Un = 1+ (n-1) 2 = 2n -1
Jadi N = 2n – 1

f. Bilangan pertama pada kelompk ke n :
A=1 , B=3 ,C=6

Un  1 (n 1)3  (n 1)(n  2)6
0! 1! 2!

U 40 1 3n  3  6n 2 18n 12  6n 2 12n  8
1 1 2 2

A  6n2 12n  8
2

g. Bilangan terakhir pada kelompok ke n :
A=1 , B=9 ,C=6

Un  1  (n 1)9  (n 1)(n  2)6
0! 1! 2!

Un  1 9n  9  6n 2  18n  12
1 1 2

Un  6n2  4  3n 2 2
2

UN = 3n2 -2

h. Dari soal no. e , f , dan g :

Banyak suku = N = 2n -1

Suku pertama  A  6n2 12n  8
2

Suku terakhir = UN = 3n2 -2
Jadi Jumlah bilangan pada kelompok ke n =

Sn = n (a  Un)  2n 1 6n2 12n  8  3n2  2)
(
2 22

133

 2n 1 (12n2 12n  4)
22

 (2n 1)(12n2 12n  4)
4

SOAL LATIHAN
Ditentukan Barisan bilangan sebagai berikut :

1. 10 , 15 , 23 , 36, 56 , 85 , . . .
Ditanyakan :
Suku ke 100 ?
ab.. Suku ke 120 ?
c. Rumus suku ke-n ?
d. Jumlah 100 suku pertama?
e. Rumus jumlah n suku pertama ?
Sebuah deret terdiri dari bilangan-bilangan yang

2. berkelompok-kelompok sebagai berikut :
(1,3,5),(7,9,11,13,15),(17,19,21,23,25,27,29), . . .
Ditanyakan :
a. Banyak bilangan pada kelompok ke 50 ?
b. Bilangan pertama pada kelompok ke 60 ?
c. Bilangan terakhir pada kelompo ke 45 ?
d. Jumlah bilangan-bilangan pada kelompok ke 40 ?
e. Banyak bilangan pada kelompok ke n ?
f. Bilangan pertama pada kelompok ke n?
g. Bilangan terakhir pada kelompo ke n ?
h. Jumlah bilangan-bilangan pada kelompok ke n?

134

A. Bentuk Umum Barisan Geometri

Bentuk umum dari barisan geometri :
a , ar , ar2 , ar3 , ar4 , . . . , arn-1
Keterangan :
a : suku pertama
Sn : Jumlah n suku pertama

B. Rumus-Rumus pada Deret Geometri

r  U 2  U3  U 4  ....  U n ................(1)
U1 U2 U3 U n1

U n  a.r n1.............................................(.2)

U n  Sn  Sn1.........................................(3)

Sn  a(r n  1)  a(1  r n ) ..........................(4)
r 1 1 r

Untuk deret yang banyak sukunya ganjil ( dimisalkan =
2n+1 suku)
Maka :

Ut  U n1  ar n ......................................................(5)

U1U 2n1  U 2U 2n  U3U 2n1  ........ U 2t .................(6)

Untuk deret yang banyak sukunya genap (dimisalkan = 2n),

135

Maka :

U1U 2n  U 2U 2n1  ...... U nU n1..................................(7)

Hasil kali n suku pertama :

Hn  a n r 1 n ( n 1) ................................(8)
2

Contoh 1:
Diketahui deret :
1 , 3 , 9, 27 , 81 , . . .
Tentukan :

a. Suku ke 30 ?
b. Jumlah 30 suku pertama ?
c. Rumus suku ke-n ?
d. Rumus jumlah n suku peertama ?

Jawab :
1 , 3 , 9, 27 , 81 , . . .
Dari deret tersebut :
Suku pertama = a = 1

Rasio = r = U 2  U 3  3
U1 U2

a. U30  a.r 29  1.329  329

b. S30  a(r 30  1)  1(330  1)  330  1
r 1 2 2

c. U n  ar n1  1.3n1  3n1

d. Sn  a(r n  1)  1(3n  1)  3n 1
r 1 2 2

Contoh 2 :

Dari suatu deret diketahui : Sn = 3.2n – 1
a. Buktikan deret itu merupakan deret geometri ?

b. Tentukan : U1 , r dan U5

136

c. Tentukan hasil kali berganda 5 suku yang pertama ?

Jawab :

a. U n  Sn  Sn1  3.2n  1  (3.2n1  1)  3.2n1 (2  1)  3.2n1

Un  3.2 n 1 2 , merupakan bilangan tetap,
U n1 3.2.n2

sehingga r = 2, merupakan deret geometri

b. U n  3.2n1  U1  3.211  3 dan U 5  3.251  58

c. Hn  a rn 1 n(n1)  H5  35.2 1.5.4  35.210  (3.22 )5  125
2 2

Contoh 2 :
Tiga buah bilangan merupakan deret geometri. Jumlahnya
= 26. Jika suku tengahnya ditambah 4, maka terdapat deret
aritmetika.
Tentukan bilangan-bilangan itu ?
Jawab :

Misalkan bilangan itu : Ut ,Ut,Ut .r
r

Jumlahnya = Ut  Ut  Ut .r  26
r

Ut (1 r  r 2 )  26.......................................(1)
r

Karena : Ut ,Ut  4,Ut .r , merupakan deret geometri, maka
r

berlaku :

2(U t  4)  Ut  Ut .r  Ut  4  Ut (1 r 2 )......................(2)
r 2r

Dari (1) dan (2):

Ut (1 r  r 2 )  26.......................................(1)
r

137

Ut (1  r  r 2 )  26  Ut .2(1  r 2 )  U t  26
r 2r

2(U t  4)  U t  26  3U t  18  U t  6

sehingga :

U t (1  r  r 2 )  26
r
6 (1  r  r 2 )  26  6r 2  20r  6  0  (r  3)(3r 1)  0
r
r1  3 dan U t  6  2 , 6 , 18

r2  1 dan U t  6  18 , 6, 2
3

Jadi bilangan-bilangan tersebut : 2 , 6 , dan 18

Catatan :
Untuk memudahkan perhitungan seringkali digunakan
pemisalan :
1. Jika 3 bilangan meruapakan deret geometri , maka di

misalkan

Ut , Ut  4 , Ut .r
r

Jika 5 bilangan merupakan deret geometri, maka
2. dimisalkan :

Ut , Ut , Ut  4 , Ut .r , Ut.r 2
r2 r

3. Jika 4 bilangan merupakan deret geometri, maka

dimisalkan :

k , k , km , km2
m3 m

138

SOAL LATIHAN
1. Dari soal berikut ini tentukan suku ke-10 dan Jumlah 5
suku pertama ?

a. 1 , 1 , 1 , . . .
24

b. 3 , -1 , 1 , . . . .
3

c. (1,05) , (1,05)2 , (1,05)3 , . . . .

d. 100 , 100 , 100 , . . .
(1,05) (1,05)2

2. Suatu deret geometri diketahui : U5 = 64 dan U8 = 10 1 .

22

Hitung S6 ?

3. Dari deret geometri diketahui : U4 = ½ , U2 = 2 dan Ut= 1.

Tentukan deret tersebut ?

4. Tiga buah bialngan meruoakan deret geometri.

Jumlahnya = 93 dan hasil kali berganda suku-sukunya =

3375. Tentukan bilangan-bilangan itu ?

5. Empat buah bilangan merupakan deret geometri dengan

hasil kali bilangan-bilangannya = 24.36 dan jumlah

kedua bilangan-bilangan pinggirnya = 2 1 kali jumlah
3

bilangan-bilangan tengahnya. Tentukan bilangan-
bilangan itu ?
6. Dari suatu deret diketahui : Sn = 3n – 1
a. Buktikan bahwa deret itu deret geometri ?
b. Hitung : Un , U4 dan U2n

7. Ditentukan deret geometri : 1 , 2 ½ , 6 1 , . . .
4

Tentukan batas-batas dari n, agar memenuhi :

25 3  x  805 83 ?
8 128

139

8. Dari persamaan kuadrat : x2 – (2a+4)x + (3a+4) = 0, yang
akar-akarnya x1 and x2 diketahui : x1 , a, dan x2
merupakan suku-suku yang berurutan dari deret
geometri.
Tentukan nilai a dan akar-akarnya ?

C. SISIPAN

Jika diantara tiap-tiap suku suatu deret geometri disisipkan
beberapa suku baru, sehingga keseluruhannya berbentuk
deret geometri baru, maka akan kita jumpai hal-hal sebagi
berikut :
1. Apabila k = banyaknya suku yang disisipkan diantara

tiap-tiap suku, r = rasio yang lama dan r’ = rasio deret
yang baru,maka :
Deret geometri awal :
U1 = a ..(disisipkan k suku)…U2 = ar
Deret geometri baru:
U1’ = U1 = a , U2’ = ar’ , U3’=a(r’)2, . . . .; U’k+2 = U2
Ternyata :
U’k+2=U2
a(r’)k+1 = ar ↔ (r’)k+1 = r

rk 1

r’ =
2. Sebelum dan sesuadah sisipan yang tidak berubah ialah

: U1’ = U1 = a dan U’n’ = Un = arn-1 , apabila banyaknya
suku ganjil juga U’t = Ut
3. Seperti pada deret aritmetika rumus mengenai
banyaknya suku setelah ada sisipan ialah :
n’ = n + (n-1) k

140

Contoh 1 :
Sisipkan antara 2 dan 486 empat bilangan sehingga merupakan
deret geometri ?

Jawab :
r = 486  243  35
2

r'  k1 r  5 35  3

Jadi deret geometri tersebut :
2 , 6 , 18 , 54 ,, 162 , 486

Contoh 2 :
Dari sebuah deret geometri diketahui : Ut = 192, hasil kali
suku-sukunya = 35.230 dan jumlah ketiga suku pertama = 219.
Diantara tiap-tiap dua suku disisipkan k suku baru sehingga
terbentuk deret geometri baru.
a. Tentukan deret geometri semula ?
b. Tentukan k agar jumlah kedua suku yang dimuka dan

belakang suku tengahnya= 480 ?
Jawab :
Misalkan banyak suku = (2n +1)
Ut = Un+1 = arn =
192…………………………………………….(1)
H2n+1 = (Ut)2n+1 = (192)2n+1 = 35.230
(192)2n+1 = 35.230  (192)2n+1 = (3.26)5  (192)2n+1 = (192)5  n = 2
Disisipkan pada (1), menjadi :

ar2 =192  a = 192
r2

a(r 3  1) 192 (r 3  1)
r2
S3 =  219   219  64(r 3  1)  73r 2 (r  1)
r 1 r 1

 64(r 1)(r 2  r 1)  73r 2 (r 1)  0

141

 (r 1)(64r 2  64r  64  73r 2 )  0

 (r 1)  0 dan (64r 2  64r  64  73r 2 )  0

 r ≠ 1 dan (r-8)(-9r-8) = 0
Jadi :
r1 = 8  ar2 = 192  a1 = 3

r2 = -8  ar 2  192  a2  243
9

a. Jadi deret tersebut adalah : 3 , 24 , 192 , 1536 , 12288 atau

12288 , 1536 , 192 , 24 , 3

b. 192  192r'  480  2  2r'  5  2(r')2  5r'2  0
r' r'

 (r'2)(2r'1)  0

r1' 2 atau r2 '  1
2

r'  k1 r  r  (r')k1

8  2k1  k  2

8  (1)k1  k  4 (tidak berlaku)
2

Jadi k = 2

SOAL LATIHAN
1. Sisipkan :
a. 3 bilangan antara 1 dan 4 , agar menjadi deret
4 81
geometri ?
b. 2 bilangan antara a dan b2 , agar menjadi deret
b a2
geometri ?
2. Berapa bilangankah yang harus disisipkan agar deret
geometri yang terbentuk :

142