Layout Matematika Dasar 1, Aljabar umum_15.5x23 cm

8. Ditentukan persamaan : mx2 – 2x – 4m -1 = 0 (m ± 0)
a) Buktikan bahwa persamaan ini untuk setiap nilai m yang
nyata mempunyai dua buah akar nyata yang berlainan ?
b) Hitunglah m, supaya jumlah kuadrat akar-akarnya
ditambah jumlah akar-akar itu = 11 ?

9. Persamaan : ax2+(a-1)x-3=0 mempunayi akar-akar x1 dan x2
nyata, sedangkan x12 + x22 < 3 1 . Hitunglah nilai a ?
4

43

44

A. Bentuk Umum dan Sifat Parabola
Kurva fungsi kuadrat y = f( x ) = ax2 + bx + c, a ≠ 0,
berbentuk parabola.

Jika nilai a > 0 , maka parabola terbuka ke atas dan
mempunyai nilai ekstrem minimum
Jika nilai a < 0 , maka parabola terbuka ke bawah dan
mempunyai nilai ekstrem maksimum
Koordinat titik puncak / titik ekstrem / titik stationer / titik
balik parabola adalah :

( xp ,yp ) , dimana xp =  b , sedangkan yp = D
2a  4a

dan D = b2 – 4ac
xp = absis ( x ) titik puncak = sumbu simetri = absis ( x ) saat
mencapai nilai maksimum/minimum
yp = ordinat ( y ) titik puncak = nilai ekstrem/nilai
stationer/nilai maksimum/nilai minimum

45

B. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat / Parabola
Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi
kuadrat/parabola :
y = ax2 + bx + c
1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu
x→y=0
ax2 + bx + c = 0
Jika D = 0 , maka fungsi tersebut memotong sumbu x di
satu titik ( menyingung sumbu x)
jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai 2 akar Real
sehingga bisa dicari titik potong dengan sumbu x.
jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak
mempunyai akar-akar Real sehingga sketsa grafik
fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

setelah kita mendapatkan nilai x1 dan x2 maka titik
potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x :
( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 )

46

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x
= 0, karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan
sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem (
yp )
dari penentuan sumbu simetri (xp) dan nilai
eksterm (yp) diperoleh titik puncak grafik fungsi
kuadrat/parabola : ( xp , yp )

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat ( fungsi Parabola)

C. Mencari Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola
1. Diketahui tiga titik sembarang

Rumus : y = ax2 + bx + c
nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.

47

2. Parabola memotong sumbu x di dua titik ( x1 , 0 )dan
( x2 , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - x1 ).( x - x2 )
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik
sembarang tersebut ke x dan y.
3. Parabola menyinggung sumbu x di satu titik ( x1 , 0
) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - x1 )2 memasukkan titik
nilai a ditentukan dengan
sembarang tersebut ke x dan y.

4. Parabola melalui titik puncak ( xp , yp ) dan melalui
satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x - xp )2 + yp

48

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik
sembarang tersebut ke x dan y.

Contoh soal :
1. Tentukan titik potong Grafik fungsi y = x2 – 4x – 8

terhadap sumbu y?

Pembahasan:
Diketahui y = x2 – 4x – 8
Titik potong dengan sumbu y diperoleh jika x = 0.
y = x2 – 4x – 8

=0–0–8
= -8
Jadi grafik fungsi y = x2 – 4x – 8 memotong sumbu
y di titik (0, -8)

2. Tentukan pembuat nol dari fungsi kuadrat y = x2 – x
– 12?

Pembahasan:
Diketahui y = x2 – x – 12
Pembuat nol fungsi kuadrat diperoleh jika y = 0
x2 – x – 12 = 0
(x + 3)(x – 4) = 0
x = -3 x = 4

3. Tentukan Persamaan sumbu simetri dari parabola y
= 8 – 2x – x2 ?

Pembahasan:
y = 8 – 2x – x2 → a = -1, -2, c = 8
Persamaan sumbu simetri: x = -b/2a = 2/-2 = -1

49

4. Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x di R (1,0)
dan S (2,0).
Jika fungsi tersebut melalui titik (0,6), tentukan
persamaan fungsi kuadrat tersebut ?

Pembahasan :
Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x ditik
(x1, 0) dan (x2 , 0 ), serta melalui titik tertentu , maka
fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dengan :
y = f(x) = a (x – x1)(x – x2)

= a(x – 1)( x – 2)
f(x), melalui titik (0,6), maka dengan cara substitusi
diperoleh :
6 = a(0 – 1)(0 – 2)
 6 = 2a
a=3
Jadi fungsi kuadrat tersebut adalah :
y = f(x) = 3(x – 1)(x – 2) = 3x2-9x+6

D. Penerapan Fungsi Kuadrat :

Contoh :

1. Penerapan dalam Fisika
Seorang anak berdiri di atas tebing yang memiliki
ketinggian 5 m dari permukaan tanah, melempar bola
ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s (anggap bola
dilepaskan ketika berada 1 m di atas permukaan tebing
di mana anak tersebut berdiri). Tentukan (a) tinggi bola
setelah 3 detik, dan (b) waktu yang dibutuhkan agar
bola tersebut sampai di permukaan tanah.

50

Pembahasan :
Dengan menggunakan informasi yang diberikan soal,
kita memperoleh h = –5t2 + 20t + 6. Untuk menentukan
tinggi bola setelah 3 detik, substitusikan t = 3 ke dalam
persamaan tersebut.

Apabila bola sampai di permukaan tanah, maka
ketinggian bola tersebut adalah 0 meter. Sehingga
dengan mensubstitusi h = 0 diperoleh,

Karena waktu tidak pernah negatif, maka waktu yang
diperlukan agar bola tersebut sampai di permukaan
tanah adalah 4,28 detik.
2. Penerapan dalam kehidupan sehari-hari
Dari tahun 1995 sampai 2002, banyaknya pelanggan
telepon genggam N (dalam juta orang) dapat
dimodelkan oleh persamaan N = 17,4x2  36,1x  83,3

51

, dengan x = 0 merepresentasikan tahun 1995 [Sumber:
Data dari 2005 Statistical Abstract of the United States,
Tabel 1.372, hal. 870]. Pada tahun berapa banyaknya
pelanggan telepon genggam mencapai angka 3.750
juta?

Pembahasan :
Dari soal diketahui bahwa N = 17,4x2  36,1x  83,3
dan kita diminta untuk menentukan tahun ketika
banyaknya pelanggan telepon genggam mencapai
3.750 juta. Dengan kata lain, kita diminta untuk
menentukan nilai x ketika N = 3.750.

3750  17,4x2  36,1x  83,3
17,4x2  36,1x  3666,7  0
x   b  b2  4ac   36,1  256505,53

2a 34,8
x1  13,52
x2  15,59

Karena waktu tidak pernah negatif, maka kita
simpulkan bahwa 13,52 tahun setelah tahun 1995, yaitu
tahun 2008, banyaknya pelanggan telepon genggam
mencapai angka 3.750 juta.

52

A. Persamaan Pangkat Tinggi (polinum)

Sistem persamaan Polinum (suku banyak) adalah sistem
persamaan dengan pangkat > 2.
Bentuk umum polinum:

ao x n  a1 x n1  a2 x n2  ... an1 x  an

Istilah pada polinum :
1) Derajat (n), adalah pangkat tertinggi dalam suatu sulu

banyak
2) Variabel (x), adalah bilangan yang dimisalkan dengan

huruf, misal x
3) Koefisien (a), adalah bilangan yang mengikuti variabel

1. Sistem Polinum dilakukan untuk mendapatkan
a. Substitusi Polinum
nilai polinum

b. Substitusi F(x) dengan x = p dapat dilakukan dengan:

1) Metode substitusi normal.

Mengganti seluruh variabel x sistem persamaan

polinum dengan k

2) Metode horner

Bentuk bagan Horner untuk substitusi :

53

an an-1 an-2 an-3 . . . . . a1 ao

k●

an = Fk)

a. Letakkan seleuruh koefisien dari derajat
tertinggi samapai nol dibagian atas

b. Letakkan substitusi disamping kiri
c. Hasil akhir adalah nilai polinum

Aturan penggunaan Metode Horner :
1 3 -3

1 0 1 4 dst +

14 1 = F(k)

a. Perkalian dengan substitusi, penjumlahan
kebawah.

b. Ulang tahab diatas samapai mencapai nilai
F(k)

Contoh :

Diketahui F(x)  5x5  8x4  x2  3x  2

Tentukan nilai dari F(2) ?
Jawab :
a. Metode substitusi normal :

F(2)  5(2)5  8(5)4  (5)2  3(5)  2  32

54

b. Metode Horner :
5 -8 5 -3 2

20 10 4 18 30 +
5 5 9 1 5 32=F(2)

2. Mencari Akar Persamaan Polinum
Untuk mencari akar suatu polinum kita dapat
menggunakan cara normal dan cara cara Horner.
Contoh :
1) Tentukan akar-akar dari : x4 - 5x2 + 4 = 0 ?
Jawab :
a. Cara biasa:
x4-5x2+4 = 0
(x2-1)(x2-4)= 0
x2 – 1 = 0 dan x2 – 4 = 0
(x-1)(x+1) = 0
x1 = 1 dan x2= -1
x2-4 = 0
(x-2)(x+2) = 0
x3= 2 dan x4 = -2
Jadi akar –akar persamaan tersebut adalah : {1 ,
- 1, 2 , -2}
b. Cara Horner
Perhatikan persamaan : x4 - 5x2 + 4 = 0
Koefisien suku terakir adalah 4.
Faktor dari 4 adalah : ± 1, ± 2, dan ± 4
Dengan mencoba-coba kita pilih salah satu
faktor tersebut sehingga sisanya = 0
Misalkan kita pilih : 1
x4 - 5x2 + 4 = x4 + 0x3 - 5x2 +0x + 4

55

1 0 -5 0 4

10 1 1 -4 -4 +

1 1 -4 -4 0

Akar -1 0 -1 0 4 +

1 0 -4 0 Harus= 0

20 2 4+

12 0

-2 0 -2 +

10

Jadi akar –akar persamaan tersebut adalah : {1 , - 1,

2 , -2}

2) Salah satu akar Persamaan : x3 - 6x2 + 11x + p = 0,
adalah 1.
Tentukan p dan akar-akar yang lain?

Jawab :
F(1) = (1)3 - 6(1)2 + 11(1) + p = 0

p = -6
sehingga persamaan tersebut adalah : x3 - 6x2 +
11x - 6 = 0
x3 - 6x2 + 11x - 6 = (x-1) ( x2 + ax +6)

= x3 – (1-a)x2 + (6-a)x -6
Diperoleh:
-(1-a) = -6

a = -5
jadi : x3 - 6x2 + 11x - 6 = (x-1) ( x2 -5x +6)

= (x-1) (x-6)(x+1)
Jadi akar-akarnya adalah : {1 , - 1, 6 }

3) Persamaan : x3 + 5x2 + 8x + q = 0, mempunyai
sepasang akar kembar. Tentukan q, dan akar-akar
tersebut ?

56

Jawab :
Misal akar-akarnya : a , a , dan b
x3 + 5x2 + 8x + q = (x-a)(x-a)(x-b)

= x3 –(2a+b)x2 + (a2+2ab)x – a2b
-(2a+b) = 5↔ b = -2a - 5 ………….(1)
a2+2ab = 8 ↔ a2 + 2a(-2a-5) = 8
↔ -3a2-10a-8 = 0
↔ 3a2+10a+8 = 0
↔ (a+2)(3a+4)= 0
a1 = -2 dan a2= -4/3
Untuk a1 = -2 diperoleh b = -1, dan p = 4

4 14
Untuk a2= - 3 diperoleh b = -2 3 , dan p = 4 27

p x1=x2 x3

1
4 -2 -2 3

44 -1
4 27 - 3

3. Sifat-sifat akar-akar Polinum
1) Persamaan kuadrat
Bentuk Umum :
ax2 + bx + c = 0
dengan akar-akar x1 dan x2

x1  x2  b x1 .x 2  c
a a

2) Persamaan pangkat tiga

Bentuk Umum :

1
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (kita kalikan a , diperoleh)

57

x3  b x2  c x  d  0...........................(.1)
a aa

Sedangkan persamaan pangkat tiga yang akar-
akarnya x1, x2 , dan x3 adalah sebagai berikut :

(x  x1 )(x  x2 )(x  x3 )  0

 x2  (x1  x2 )x  x1x2 (x  x3 )  0

x3  x 2 x3  (x1  x2 )x 2  (x1x3  x2 x3 )x  x1x2 x  x1x2 x3  0
x3  (x1 x 2 x3 )x 2  (x1x2  x2 x3  x3 x1 )x  x1x2 x3  0............(2)

Karena (1) dan (2) sama dengan 0, maka :
x3  b x2  c x  d 

a aa
x3  (x1  x2  x3 )x  (x1x 2  x1x3  x2 x3 )x  x1x2 x3

Maka :

x1  x2  x3   b
a

x1 x2  x1 x3  x2 x3  c
a

x1 x2 x3  d
a

3) Persamaan pangkat empat
Bentuk umum :

ax4  bx3  cx2  dx  e  0

Sedangkan persamaan empat dengan akar-akar :
x1, x2, x3, dan x4 adalah :

(x  x1)(x  x2 )(x  x3 )(x  x4 )  0

58

Dengan cara yang sama (seperti persamaan
pangkat tiga diatas) kita peroleh :

x1  x2  x3  x4  b
a

x1 x2  x1 x3  x1 x4  x2 x3  x2 x4  x3 x4  b
a

x1 x2 x3  x1 x2 x4  x1 x3 x4 x2 x3 x4  d
a

x1 x2 x3 x4  e
a

Soal latihan
1. Tentukan akar-akar persamaan berikut :

a) .x3  x2 10x  8  0

b) 2.x4  x3  9x2 13x  5  0

c). x4  2x3 13x2 14x  24  0

d ). x4  6x3  12x2 10x  3  0

2. Persamaan : x3 –7x2 + px -12 = 0, mempunyai akar x =2.
Tentukan p dan akar-akar yang lain ?

3. Persamaan : x3 - 3x2 + px + q= 0, mempunyai sebuah akar
kembar, sedangkan akar yang ketiga berlawanan dengan
akar kembar itu. Tentukan : P, q, dan akar-akar yang lain ?

4. Persamaan : x3 - 8x2 +px + 10 p = 0, mempunyai akar = -2.
Tentukan p dan akar-kar yang lain ?

5. Persamaan : x4 + px3 + 21x2 - 4px + 10p = 0, mempunyai
sebuah akar kembar, sedangakn akar-akar yang sepasang
lagi berlawanan. Tentukan p dan akar-akarnya ?

6. Persamaan : x3 – 12x2 + px + q = 0 mempunyai akar-akar
yang membentuk deret aritmatika dengan beda = 2.
Tentukan p, q dan akar-akarnya ?

59

B. Dalil Sisa:

Sebuah suku banyak mempunyai bentuk umum :
F(x) = ao x n  a1 x n1  a2 x n2  ... an1 x  an

( ao  0; a0 , a1, a2 ,...dan seterusnya merupakan bilangan

tetap )

F(1) = ao  a1  a2  ... an1  an
Jika F(x) = 3x4  5x3  4x2  7x  6 , kita bagi dengan f(x) =

x-3

3x3  4x2 16x  55
x-3 3x4  5x3  4x2  7x  6

3x4  9x3
4x3  4x2
4x3 12x2
16x2  7x
16x2  48x
55x  6
55x  165

159

Jadi : 3x4  5x3  4x2  7x  6 : x-3 =
3x3  4x2 16x  55 dengan sisa 159

Bentuk ini dapat ditulis :

3x4  5x3  4x2  7x  6 = (x-3) . ( 3x3  4x2 16x  55 )+159

Atau : F(x) = f(x) . Q(x) + Sisa

60

Identitas ini berlaku untuk setiap harga x, sehingga jika :
F(x) = (x-3) . Q(x) + sisa dan x diambil = 3, maka :
F(3) = (3-3) . Q(x) + sisa

F(3) = 0 . Q(x) + sisa
Jadi sisa = F(3)

Dalil Sisa : Sisa pembagian F(x) oleh (x-a) adalah F(a)
F(x) = (x-a). Q(x) + Sisa
Dalil sisa : Sisa = F(a)

Catatan :
1) Derajat suku banyak dalam x ditentukan oleh

pangkat yang terbesar
2) Derajat hasil bagi Q(x) = selisih derajat F(x) dengan

f(x)
3) Sisa mempunyai derajat maksimal satu lebih rendah

dari derajat f(x)
Contoh:

1) Tentukan sisa pembagian-pembagian berikut :

a. ( 3x4  2x2  5x  6) : (x-2)

b. ( 2x4  5x3  x2  4) : (2x  5)

Jawab :

a. Sisa = F(2) = 3(2)4  2(2)2  5(2)  6)  44

b. Sisa = F( 5 ) = 2( 5)4  5( 5)3  ( 5)2  4  116 1
22 22 2

2) Tentukan sisa pembagian-pembagian berikut :

a) (x4  3x3  5x2  x  6) : (x2  x  2)

b).(3x6  4x4  2x 1) : (x 1)(x  2)(x  2)

61

Jawab :
a) F(x) =(x+1)(x-2).Q(x)+(ax+b)

 F(1)  (1)4  3(1)3  5(1)2  (1)  6  a  b

 a  b  8...........(1)

 F(2)  (2)4  3(2)3  5(2)2  ()  6  2a  b

2a  b  32..........(2)
 a  b  8..............(1)
2a  b  32..........(2)
3a  24  a  8
2a  b  32  b  2a  32.  2(8)  32  16

Jadi sisa = -8x-16

b).F(x)  (x 1)(x  2)(x  2).Q(x)  (ax2  bx  c)
F(1)  3(1)6  4(1)4  2(1) 1)  a  b  c
a  b  c  7..........(1)
F(2)  3(2)6  4(2)4  2(2) 1)  4a  2b  c
4a  2b  c  251..........(2)
F(2)  3(2)6  4(2)4  2(2) 1)  4a  2b  c
4a  2b  c  259..........(3)

Dari (1),(2), dan (3), diperolah : a= 82,b=-2 dan c= -
73
Jadi sisa = 82x2-2x-73

3) Sebuah suku banyak apabila dibagi (x-1) mempunyai
sisa 10 dan apabila dibagi (x-2) sisanya 11. Berapa
sisanya jika dibagi (x-1)(x-2) ?

62

Jawab :
F(x) = (x-1)(x-2).Q(x) = (ax+b)
F(1)= a + b = 10
F(2)=2a+b = 11
a = 1 dan b= 9
Jadi Jika dibagi (x-1)(x-2), maka sisa = x + 9

4. F(x) dibagi (x-1) bersisa 12, dibagi (x+1) bersisa 4,
dibagi (x-3) bersisa 16. Berapa sisanya jika dbagi (x2-
1)(x-3) ?
Jawab :
F(x) = (x2-1)(x-3). Q(x) + ax2+bx+c
F(1) = a + b + c = 12……….(1)
F(-1)= a –b + c = 4 ………..(2)
F(3) = 9a +3b + c = 16 ………(3)
Dari (1) – (2) , diperoleh 2b = 8  b= 4
Dari (3) – (1) , diperoleh 8a +2b = 4, untuk b = 4,
diperoleh
a= - 1
2
a = - 1 dan b = 4, maka c = 8 1
22
Jadi sisa = - 1 x2 + 4x + 8 1
22

C. Pembagian Istimewa

Berdasarkan dalil sisa diatas, kita dapatkan dalil-dalil
sebagai berikut :
1) Apabila F(a) = 0, maka F(x) habis dibagi (x-a)
2) Apabila F(x) habis dibagi (x-a) , maka F(a) = 0
3) Apabila F(a)=0 dan F(b) = 0, sedangkan a ≠ b, maka

F(x) habis dibagi (x-a)(x- b), dan sebaliknya.

63

Contoh :
1) Buktikan bahwa :

a. (4x5  x3  4x2  1) habis dibagi (x-1) ?
b. (a 4  b4  c4  2b2c2  2c2a 2  2a 2b2 ) habis dibagi

(a  b  c) ?

Bukti :

a. Sisa = F(1) = (4(1)5  (1)3  4(1)2 1)  0

b. Sisa =
F (b-c) =

 (b  c)4  b4  c4  2b2c2  2c2 (b  c)2  2(b  c)2 b2 

 b4  4b3c  6b2c2  4bc3  c4  b4  c4  2b2c2  2c2 (b2  2bc  c2 )

2b2 (b2  2bc  c2 )

 2b4  4b3c  4b2c 2  4bc3  2c 4  2b2c 2  4bc3  2c 4  2b2c 2  4bc3
2c 4  2b4  4b3c  2b2c 2

0

2) Hitung nilai p dan q , supaya ( px3  5x2  22x  q)

habis dibagi x2 – 4x – 5 ?
Jawab :
x2 – 4x – 5 = (x+1)(x-5)
F (1)  0  p(1)3  5(1)2  22(1)  q  0

 p  q  17.........1()
F (5)  0  p(5)3  5(5)2  22(5)  q  0

125 p  q  235.........(2)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh :
P = 2 dan q = -15

64

3) Buktikan :
a. an – bn habis dibagi a – b
b. a2n+1 + b2n+1 habis dibagi a + b
Bukti :
a. F(b) = bn – bn = 0, karena F(b)= 0, maka habis dibagi
b. F(-b) = (-b)2n+1 + b2n+1 = 0, karena F(-b) = 0, maka habis
dibagi

4) Mengingat bahwa (a2n+1 + b2n+1 )habis dibagi a + b
Buktikan bahwa :
a. (22n+1 + 1) habis dibagi 3
b. (9n+1 + 3) habid dibagi 12
Bukti :
a. (22n+1 + 1) = (22n+1 + 12n+1 ) habis dibagi 2+1 = 3
b. (9n+1 + 3) = ((32)n+1 + 3)= 32n+2 + 3)= 3(32n+1 +1)
c. Karena (32n+1 +1)= (32n+1 +12n+1) habis dibagi 4.
maka3(32n+1 +1)
Habis dibagi 12.

5) Tentukan p dan q, agar (x4  px2  qx  8) habis dibagi

(x-1)2
Jawab :

(x 4  px 2  qx  8)  (x 2  2x  1)(x 2  ax  8)

 x4  (a  2)x3  (2a  7)x2  (a 16)x  8

Jadi : a  2  0  a  2
 2a  7   p  p  11
a 16  q  q  18

65

SOAL LATIHAN
1. Carilah sisanya tanpa melakukan pembagain terlebih dahulu:

a. (x4 + 5x -4) : (x + 1)
b. (x3 – 2x2 + 3x – 5 ) : ( 2x – 3)
c. (x6 + 3x5 – 2xx – 4x2 + 1) : ( x – 3)
d. (2x4 -3x2 + 5x – 2) : (x2 –x -2)
e. (100x6 – 1) : (4x2 -1)
f. (a2 – 5ab – 3b2 ) : (a – b)
g. (a3 – 4a2b + 3ab2 – b2) : (a – 2b)
h. (a2 – 3ab + 2b2 + 3a -3b + 4) : (a – b + 1)

2. Sebuah suku banyak dibagi (x-2) memberikan sisa 5, dibagi
(x + 2) memberikan sisa 10. Baraoakah sisanya jika dibagi (x-
2)(x+2)?

3. F(x) dibagi (x-1) bersisa 12, dibagi (x+1) bersisa 4, dibagi (x-
3) bersisa 16. Berapa sisanay jika dibagi (x2-1)(x-3) ?

4. F(x) dibagi (x-a) bersisa 10 a, dibagi (x – 2a) bersisa 20 a.
Tentukan sisanya jika dibagi (x-a)(x-2a)?

5. Buktikan :
a. (14x3 +11x2-5x – 2) habis dibagi (x + 1) ?
b. (a+b+c)2n+1-a2n+1-b2n+1-c2n+1 habis dibagi (a+b)(b+c)(c+a) ?

6. Tentukan nilai p dan q agar (x4 + 5x3 +px2 -22x + q) habis
dibagi (x-2)(x+3) ?

7. Apabila θ =1 dan β= 3 merupakan akar-akar persamaan :
x4 -2x3 + px2 + qx – 24 = 0, Tentukan p, q, dan akar-akarnya ?

8. Tentukan hasil bagi dari :
a. (a5 – b5) : (a + b)

66

b. (a6b6 - 1 ) : (ab – 1)

9. Mengingat bahwa (an – bn) habis dibagi (a – b), buktikan :
a. (3n – 1) habis dibagi oleh 2
b. (8n – 1) habis dibagi 7

10.Tentukan A, B, dan C dari :

a. A(x-1)2-B(x+4)+C = 2x2 – 5x – 7

b. 3x2  5x  8  A(x  3)  B(x  5)  4C

x2  5x  6 x  3 x  2 (x  2)(x  3)

67

68

A. Bentuk umum pertidaksamaan suku banyak:

ao x n  a1 x n1  a2 x n2  ... an1 x  an  0

Yang mana tanda * bisa diganti dengan tanda : <, ≤, >, atau
≥

B. Cara cepat mencari Himpunan Penyelesaian
petidaksamaan suku banyak

Contoh :
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

x4 +4x3 – x2 – 16x -12 ≥ 0
Jawab:
Yang pertama kita pembuat nol , yaitu :
x4 +4x3 – x2 – 16x -12= 0
Kemudian kita cari akar-akarnya bisa cara Horner

1 4 -1 -16 -12
20 2 12 22 12 +
6 11 6 0
1 -3 -9 -6 +
-3 0 320

1

x2 + 3x + 2 = (x+2)(x+1)
sehingga pembuat nol nya :
x1 = 2, x2 = -3, x3 = -2, dan x4 = -1
kemudian kita gambag dalam garis bilangan :

69

++++ ------- ++ ------ ++++++

-3 -2 -1 2

Karena tanda pertidaksamaan adalah : ≥, maka yang

memenuhi adalah daerah yang bertanda positif :

Jadi Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

tersebut adalah :

{x/x≤ -3 atau -2≤ x ≤ -1atau x≥ 2, x ε Real}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
(x-1)2(x+3)(x-4) ≤ 0
Jawab :
Pembuat nolo :
(x-1)2(x+3)(x-4) = 0
x1 = 1, x2 = 1, x3 = -3 dan x4 = 4
Pada soal no 2 ini, pembuat nol ada yang sama (kembar) ,
yaitu x1 = x2.
Jika ada akar yang kembar perhatikan gambar berikut ini :

++++ --------- ------------ +++++++++++

-3 1 4

Karena tanda pertidaksamaannya ≤ , maka daerah yang

memenuhi adalah yang bertanda negatif.

Tentukan himpunan penyelesaian dari :

-x4 -4x3 + x2 + 16x +12 > 0

Jawab :

Perhatikan, koefisien dari x4 adalah -1 (berarti negatip),

maka

Kita tidak boleh langsung mencari pembuat nol jika

menggunakan cara cepat ini.

Sebelum kita mencari pembuat nol, kita kalikan dulu

pertidaksamaan tersebut dengan (-1), dan dengan

merubah tanda pertidaksamaannya.

70

-x4 -4x3 + x2 + 16x +12 > 0 dikalikan (-1) ++++++++
x4 +4x3 - x2 -16x -12 < 0
(x-2)(x+2)(x+3)(x+1) = 0
x1 = 2, x2 = -3, x3 = -2, dan x4 = -1

++++++ -------- ++++++++ ---------

-3 -2 -1 2

Himpunan penyelesaian = {x/-3<x<-2 atau -1<x<2, x ε

Real}

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
(x-2)2(x+3)(x2+4x+7) > 0
Jawab :
Perhatikan soal tersebut.
Pembuat nol nya mempunyai akar kembar dan juga akar
imajiner.
(x-2)2(x+3)(x2+4x+7) = 0
x1 = 2, x2 = 2, x3 = -3 dan
x2+4x+7= 0 mempunyai akar imajiner, dan merupakan
definit positif sehingga bisa diabaikan :

------ +++++++++ ++++++++++
-3 2

Himpunan penyelesaian = {x/ x > -3, x ≠ 2, x ε Real}

SOAL LATIHAN
Tentukan himpunan penbyelesian dari soal berikut ini :

1. x4 - x3 – 7x2 + x -6 ≥ 0
2. x4 – 10x2 + 9 < 0
3. x5 - 4x4 – x + 4 ≤ 0
4. -x4 + 5x2 - 4 > 0
5. (x+2)2(x-1)2(x+4)(x-5) ≤ 0
6. –(x+3)(x-2)2(x+1)(x2-2x + 9) < 0

71

72

A. Bentuk Umum Persamaan pecahan

Bentuk Umum Pecahan pecahan :

A(x) * 0, B(x)  0
B(x)

Tanda bintang bisa diganti tanda pertidaksamaan: < , ≤ , >, ≥

B. Mencari penyelesaian persamaan pecahan

1. Jika A(x) 0
B(x)

Maka :

Syarat : B(x) ≠ 0

A(x) > 0 dan B(x) > 0 atau A(x) < 0 dan B(x) < 0

Contoh :

Tentukan Himpunan penyelesaian dari :

(4x  3)  0
(2x  6)

Jawab :
Syarat : 2x – 6 ≠ 0 ↔ x ≠ 3
4x + 3 > 0↔ x >-3/4 dan 2x – 6 > 0 ↔ x > 3

-3/4 3
{x/x>3}

73

Atau :
4x + 3 < 0 ↔x < -3/4 dan 2x – 6 < 0 ↔ x < 3

-3/4 3
{x/x<-3/4}
Jadi Himpunan penyelesaian :
{x/ x < -3/4 atau x > 3}

2. Jika A(x) 0
B(x)

Maka :

Syarat : B(x) ≠ 0

A(x) < 0 dan B(x) > 0 atau A(x) > 0 dan B(x) < 0

Contoh :

Tentukan Himpunan penyelesaian dari :
(x  3)  0

(2x 10)

Jawab :
Syarat : 2x + 10 ≠ 0 ↔ x ≠ -5

x – 3< 0↔ x < 3 dan 2x + 10 > 0 ↔ x > 5

35
{x/x = himopunan kosong} = {}

Atau :

74

x – 3> 0↔ x > 3 dan 2x + 10 < 0 ↔ x < 5

35
{x/3 < x < 5}
Jadi Himpunan penyelesaian :
{x / 3 < x < 5}

C. Menyelesaiakan pertidaksamaan pecahan jika ruas kanan
≠0

Langkah pertama adalah menjadikan ruas kanan menjadi

nol, untuk selanjutnya sama dengan cara sebelumnya.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :

1. x 1  4
x2

2. 1  x 1
x 1 x  2 2

Jawab :

1. x 1  4
x2

Jawab :

x 1 4  0
x2

(x  1)  4(x  2)  0
x2

 3x  9  0  (3x  9)(x  2)  0
x2

Pembaut nol :

x1 = 3 dan x2 = 2

75

syarat x ≠ 2 . (disini syarat tidak beroengaruh karena
tanda pertidak smaan > / tidak sama dengannya)

++++++ ------------ ++++++
23

Himpunan penyelesain : { x / x <2 atau x > 3 }
2. 1  x  1

x 1 x  2 2
Jawab :

1  x 10
x 1 x  2 2
2(x  2)  x.2(x 1)  (x 1)(x  2)  0

2(x 1)(x  2)

2x  4  2x2  2x  x2  3x  2  0
2(x  1)(x  2)

 3x2  3x  2  0
2(x  1)(x  2)

 2(3x2  3x  2)(x 1)(x  2)  0 (dikalikan -1)
2(3x2  3x  2)(x 1)(x  2)  0

x1 =-1 dan x2 = -2
3x2 + 3x + 2 = 0, mempunyai akar imajiner dan definit
positif
Syarat : (x+1)(x+2) ≠ 0

++++++ ----------- +++++++

-2 -1

Himpunan penyelesaian = { x / x < -2 atau x > -1}

76

D. Cara cepat mencari himpunan penyelesain pertidakmaan
pecahan

Perhatikan contoh-contoh berikut ini :
Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. (x  3)(x 1)  0
(x  2)(x  5)

b. (2x  3)(x  1)(x  4)2  0
(x  2)(x  5)

c. (x  3)2 (x  1)(x2  4)  0
(x  2)(x  5)

Jawab :

a. (x  3)(x 1)  0
(x  2)(x  5)

(x  3)(x  1)  0 , bentuk ini bisa diubah menjadi
(x  2)(x  5)

bentuk :

(x  3)(x 1)(x  2)(x  5)  0 ,

Tanpa mengubah tanda pertidaksamaan.

Pembuat nol :

x1 = 3, x2 = 1, x3 = -2, dan x4 = 5
syarat (x+2)(x-5) ≠ 0, artinya x ≠ -2 , x ≠ 5

+++++++ ------- +++++ -------- +++++++++

-2 1 3 5

Himpunan penyelesaian :

{ x / x < -2 atau 1 ≤ x ≤ 3 atau x> 5}

77

b. (2x  3)(x  1)(x  4)2  0
(x  2)(x  5)

(2x  3)(x  1)(x  4)2 0 , bentuk ini bisa dijadikan
(x  2)(x  5)

bentuk :

(2x+3)(x+1)(x+4)2(x-2)(x-5) ≤ 0

Pembuat nol :

x1 = -3/2, x2 =- 1, x3 = -4, x4 = -4, x5 = 2, x6 = 5
syarat :

(x-2)(x-5)≠ 0, artinya x ≠ 2 , x ≠ 5

+++++ +++++ -------- ++++++ -------- ++++++

-4 -3/2 -1 2 5

Himpunan penyelesaian :

{x / x = -4 atau -3/2 ≤ x ≤ -1 atau 2 < x < 5}

c. (x  3)2 (x  1)(x2  4)  0
(x  2)(x  5)

(x  3)2 (x  1)(x2  4)  0 , bentuk ini bisa dijadikan:
(x  2)(x  5)

(x+3)2(x+1)(x2+4)(x+2)(x-5) ≥ 0

Pembuat nol :

x1 = -3, x2 =- 3, x3 = -1, x4 = -2, x5 = 5, x2+4 (diabaikan
karena akarnya imajiner)

syarat : x ≠ -2 , x ≠ 5

---------- ------ +++++ ----- +++++
-3 -2 -1 5

Himpunan penyelesaian :
{x / x = -3 atau -2 < x ≤ -1 atau x > 5 }

78

SOAL LATIHAN
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :

1. x2  4  3
x

2. 3x2  x  8  2
x2  x  2

3. 2 1
x2 x

4. (x  3)3 (x  2)  0
(x 1)2

5. (x2  4x  7)(x2  4x  4)  0
x2  6x  9

79

80

A. Bentuk umum persamaan irasional

Persamaan Irrasional yaitu persamaan yang mengandung
variabel di dalam tanda akar.
Bentuk umum persamaan irasional :

f (x)  g(x) untuk f(x) ≥ 0 atau

f (x)  g(x) Untuk f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0

B. Penyelesaian persamaan Irasional

Untuk mencari penyelesaian persamaan irasional
perhatikan contoh dibawah ini :
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini :

1. x  2  x  14

Jawab :

x  2  14  x

untuk menyelesaikan soal seperti ini, yang diperhatikan:
► x– 2 ≥ 0↔ x ≥ 2……….(1)
► 14 – x ≥ 0↔ x ≤ 14………(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh

2 14

Sehingga syaratnya 2 ≤ x ≤ 14
Langkah berikutnya kedua ruas dikuadratkan:

81

( x  2)2  (14  x)2
↔ x – 2 = 196 – 28x + x2
↔ x2 – 29x + 198 = 0
↔ ( x – 11 ) ( x – 18 ) = 0
x = 11 , x = 18
Sesuai syarat yang ada maka x adalah 11

2. 3x  2  x  7  x  8

Jawab:

3x  2  x  7  x  8 , kita ubah dulu menjadi :

3x  2  x  7  x  8

Syarat akar akar-akar nya Real:
3x-2 ≥ 0 ↔ x ≥ 2/3
x + 7 ≥ 0 ↔ x ≥ -7
x–8≥0 ↔ x ≥ 8

-7 2/3 8

Jadi syarat : { x ≥ 8 }…….(1)

( 3x  2)2  ( x  7  x  8)2

3x  2  x  7  x  8  2 x  7. x  8

x 1  2 x  7. x 8

(x 1)2  (2 x  7. x  8)2 , syarat : x-1≥ 0 ↔ x ≥

1…..(2)
x2 - 2x + 1 = 4(x+7)(x-8)
3x2 - 2x + 225 = 0
(3x + 25)(x - 9) = 0
x = - 25/3 dan x = 9
Sesuai dengan syarat x ≥ 8 atau x ≥ 1 maka :
x={9}

82

SOAL LATIHAN

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini :

1. x  3  1

2. x2  2x  8  2x

3. x  5  x  7

4. 2x  3  x 1  5

5. x  4  x  2  2x  6

6. x2  x 6  x2  x  6
8

83

84

A. Pengertian Pertidaksamaan Irasional
Pertidaksamaan irrasional adalah pertidaksamaan yang
variabelnya terletak di bawah tanda akar.
Ada dua bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar, yaitu
:

B. Mencari Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan
Irasional
Perhatian langkah-langkah penyelesaian soal berikut ini :

85

Contoh 1:
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan :

2x  6  3x 12

Jawab :
Langkah-langkah yang harus dilakukan :
► Tanda akar harus dihilangkan dengan mengkuadratkan

kedua ruas:

( 2x  6)2  ( 3x 12)2
2x – 6 < 3x – 12
-x < -6 ↔ x > 6……….(1)
► mencari syarat-sayarat yang harus dipenuhi :
2x - 6 ≥ 0 ↔ x ≥ 3 ……..(1)
3x - 12 ≥ 0 ↔ x ≥ 4……..(2)
►Ditentukan himpunan penyelesaiannya :
x ≥ 3 ……..(1)
x ≥ 4……..(2)
x > 6.…….(1)
Dari (1), (2) , dan (3) :

3 46
Himpunan penyelesaian :
{x / x > 6, x ε Real}

Contoh 2 :
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan :

x2  2x 8  2x

Jawab :
Langkah-langkah yang harus dilakukan :
► Tanda akar harus dihilangkan dengan mengkuadratkan

kedua ruas:

86

( x2  2x 8)2  ( 2x)2

x2 + 2x – 8 > 2x
x2 – 8 > 0
(x  8)(x  8)  0

-V8 V8
{x<-V8 atau x > V8 }…………(1)

► Syarat akar akarnya Real :

x2  2x 8  0
(x  4)(x  2)  0
x1  4 , x  2

-4 2

 x  4 atau x  2 ................(2)

2x  0
x  0................(3)
► mencari syarat-sayarat yang harus dipenuhi :

 x   8 atau x  8 .............(1)

 x  4 atau x  2 ..................(2)

x  0.....................................(3)

-4 -V8 0 2 V8

Jadi himpunan penyelesiaan :

 x / x  8, x  Re al

87

SOAL LATIHAN
Tentukan batas-batas x, yang meemnuhi pertidaksamaan
dibawah ini :

1. x  3  1

2. x2  2x  8  2x

3. x  5  x  7

4. 2x  3  x 1  5

5. x  4  x  2  2x  6

6. x2  x 6  x2  x  6
8

88

A. Pengertian Persamaan Logarima :

Persamaan logaritma adalah persamaan yang didalamnya
terdapat logaritma-logaritma yang numerusnya atau
bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x
Persamaan logaritma yang paling sederhana telah kita
jumpai yaitu waktu kita mencari penyelesaian :
log x= 2,3677↔ x = 233.2
log x = -1,77305 = 0,22695 - 2 ↔ x = 0,01686

B. Sifat-sifat Logaritma

syarat alog b, memiliki nilai:
b > 0, a > 0 dan a ≠ 0
Keterangan :
a : bilangan pokok atau basis logaritma
b : hasil pmangkatan atau bilangan yang dilogaritma
c : biulangan pangkat atau hasil logaritma

Sifat-sifat logaritma :

1 a log b  x  a x  b; a  0,b  0, dan a  1

2 a log a  1 dan a log 1  0

3 1  n log b ; n  0 dan n  1

a log b  b log a n log a

4 a a log b  b

5 a log(b.c)a log ba log c

89

6 a log( b )a log ba log c a log( c )
cb

7 a log bm  m.a log b an log bm  m.a log b
n

8 a log b.b log c.c log d a log d

C. Penyelesaian persamaan logaritma

Beberapa contoh soal berikut akan memudahkan kita
mengenal persamaan logaritma.

Contoh 1:
Tentukan nilai x yang memnuhi persaman :

(5 log x)2  55 log 305log 3 5 log x6  255 log 5

Jawab :
(5 log x)2  55 log 305log 3 5 log x6  25 5 log 5

1

5 log 2 x  55l0g10  6.5 log x  252
5 log 2 x  10  6.5 log x  5
5 log 2 x  6.5 log x  5  0
misalkan : 5 log x  p
p2  6 p  5  0  ( p 1)( p  5)  0
p1  1
5 log x  1  x  5
p2  5
5 log x  5  x  55  3125

Jadi penyelesaiannya : 5,3125

90

Contoh 2 :
Tentukan nilai x yang memnuhi persaman :

x log 0,0110x log 0,01  3

Jawab:

x log 0,0110x log 0,01  3

log 0,01  log 0,01  3
log x log 10x

2  2 3
log x log 10  log x

2  2 3
log x 1  log x

misal : log x  p

2 2 3
p 1 p

 2(1  p)  2( p)  3
p(1  p)

 2  2 p  2 p  3 p(1  p)

3p2  7p  2  0

(3 p  1)( p  2)  0

p1   1  log x  1  x 1  1 3 100
3 3 10
 10 3

p2  2  log x  2  x  102  1
100

Jadi penyelesai annya :  1 3 100, 1 
 
10 100

91

Contoh 3:
Tentukan nilai x yang memnuhi persaman :

2 log.2 log x2 log(10  2.2 log x) 1

Jawab:

2 log.2 log x2 log(10  2.2 log x)  1

2 log.2 log x2 log(10  2.2 log x)2log 2

2 log.2 log x2 log 2(10  2.2 log x)

2 log x  2(10  2.2 log x 52 log x  20  x  16

SOAL LATIHAN
Tentukan nilai x dari persaman berikut ini :

1. x log 2,73  1,425

2. x 0,4775  0,023830,6985

3. 2 log 2 x  4.2 log x  21  0

4. log log( x  3)  log 2  log log 16x

5. x 2log x  8 x

6. 7 log 7 log x   7

7. 100x log 10 x log 0,01  1  0
3

8. x  23log(3x  2)9 log 49

9. 7 log(log x5  15) 7 log(log x3 )
10

10. ( 1 ) log x 1  10  11x log 4 x
2

x

92