Lukisan Kejuruteraan Tingkatan 4_clone

2.5.2 Membina Pentagon Sekata Mengikut Kaedah yang Betul
2.5 Poligon
Membina Pentagon Sekata Apabila Diberi Panjang Sisi

Kaedah membina pentagon sekata apabila diberi panjang sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.35. BAB 2: GEOMETRI
Standar 2.5.1 Poligon Sekata dan Poligon Tidak Sekata
Pembelajara Langkah 1 Langkah 2
Poligon merupakan rajah satah yang terdiri daripada beberapa
sisi sekata atau tidak sekata. Jadual 2.1 menunjukkan perbezaan
Murid boleh: antara poligon sekata dan poligon tidak sekata. Rajah 2.33 A E 6
• Mengenal pasti poligon
sekata dan poligon tidak menunjukkan poligon tidak sekata, manakala Rajah 2.34 4
sekata menunjukkan poligon sekata.
i. Pentagon A E 45° 60°
ii. Heksagon A E
iii. Heptagon Jadual 2.1 Perbezaan antara poligon sekata dan poligon tidak sekata.
iv. Oktagon
• Membina pentagon sekata Poligon Sekata Poligon Tidak Sekata Diberi panjang sisi AE. Bina sisi AE dan bahagi dua Bina garisan bersudut 45° dan
mengikut kaedah yang betul sama serenjang. 60° di titik A dan E bersilang
berdasarkan parameter yang Bilangan paksi simetri sama Bilangan paksi simetri di garisan serenjang. Titik 4
diberi dengan bilangan sisi. bergantung kepada
i. Panjang sisi bentuk poligon. dan 6 diperoleh.
ii. Bulat terterap lilit
• Membina heksagon Nilai sudut dalam sama. Nilai sudut dalam berbeza. Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5
sekata mengikut sekata Sisi sama panjang. Sisi tidak sama panjang.
mengikut kaedah yang betul C C
berdasarkan parameter yang
diberi
i. Panjang sisi
ii. Jarak antara rata 6 B D B D
iii. Jarak antara sudut 5 6 5 6 5
• Membina oktagon sekata 4
mengikut sekata mengikut 4 4
kaedah yang betul
berdasarkan parameter yang A E
diberi A E A E
i. Panjang sisi Pentagon Heksagon
ii. Bulatan terterap lilit
Bahagi dua sama panjang 4 • Berpusat di titik 5, bina Lukiskan pentagon ABCDE.
dan 6, titik 5 diperoleh. bulatan berjejari 5A/5E
melalui titik A dan
E menyilang garisan
serenjang di C.
• Berpusat di A dan E, bina
lengkok berjejari AE
Heptagon Oktagon menyilang di B dan D.
Rajah 2.35 Kaedah membina pentagon sekata apabila diberi panjang sisi.




Lukis pentagon sekata jika diberi panjang sisi = 70 mm.



Nonagon Dekagon


Rajah 2.33 Poligon tidak sekata. Rajah 2.34 Poligon sekata.
42 43

Membina Pentagon Sekata Apabila Diberi Bulatan Terterap Lilit 2.5.3 Membina Heksagon Sekata Mengikut Kaedah yang Betul
Membina Heksagon Sekata Apabila Diberi Panjang Sisi
Kaedah membina pentagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit ditunjukkan dalam Rajah 2.36.
Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi panjang sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.37. BAB 2: GEOMETRI
Langkah 1 Langkah 2
Langkah 1
A A
1 1
2 2
3 3
O 5 4 2' 5 4 2' P
A F O

X X
Diberi bulatan berpusat di O. • Bina garisan diameter Berpusat di A dan X, A F
AX dan bahagikan bina lengkok berjejari AX Diberi panjang sisi AF. • Berpusat pada titik A dan F, bina lengkok
kepada lima bahagian menyilang di P. berjejari AF menyilang pada O.
yang sama. • Berpusat di O, bina bulatan berjejari OA
• Selarikan titik 2 kepada melalui titik A dan F.
garisan 5X. Titik 2’
diperoleh. Langkah 2 Langkah 3
C D C D
Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5

A A A
B O E B E
E E B E B
2'
P
A F A F
D C D C Berpusat di A dan F, bina lengkok berjejari AF Lukiskan heksagon sekata ABCDEF.
X X X
menyilang pada lilitan bulatan. Titik B, C, D
Bina garisan dari P melalui Menggunakan panjang AE, Lukiskan pentagon ABCDE. dan E diperoleh.
titik 2’ dan menyilang pada bina lengkok yang bersilang Rajah 2.37 Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi panjang sisi.
lilitan bulatan di E. pada lilitan bulatan. Titik B, C
dan D diperoleh.
Rajah 2.36 Kaedah membina pentagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit. Lukis heksagon sekata jika diberi panjang sisi 55 mm.

Membina Heksagon Sekata Apabila Diberi Jarak Antara Rata

Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara rata ditunjukkan dalam Rajah 2.38.
Lukis pentagon sekata jika diberi bulatan terterap lilit berjejari = 55 mm.
Kaedah ini juga boleh Langkah 1
digunakan untuk membina
sebarang poligon iaitu dengan
cara membahagikan diameter
bulatan mengikut bilangan sisi O
yang dikehendaki. X Y
X Y


Diberi jarak antara rata XY. Bahagi dua sama garisan XY. Titik O diperoleh.

44 45

Membina Pentagon Sekata Apabila Diberi Bulatan Terterap Lilit 2.5.3 Membina Heksagon Sekata Mengikut Kaedah yang Betul
Membina Heksagon Sekata Apabila Diberi Panjang Sisi
Kaedah membina pentagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit ditunjukkan dalam Rajah 2.36.
Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi panjang sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.37. BAB 2: GEOMETRI
Langkah 1 Langkah 2
Langkah 1
A A
1 1
2 2
3 3
O 5 4 2' 5 4 2' P
A F O

X X
Diberi bulatan berpusat di O. • Bina garisan diameter Berpusat di A dan X, A F
AX dan bahagikan bina lengkok berjejari AX Diberi panjang sisi AF. • Berpusat pada titik A dan F, bina lengkok
kepada lima bahagian menyilang di P. berjejari AF menyilang pada O.
yang sama. • Berpusat di O, bina bulatan berjejari OA
• Selarikan titik 2 kepada melalui titik A dan F.
garisan 5X. Titik 2’
diperoleh. Langkah 2 Langkah 3
C D C D
Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5

A A A
B O E B E
E E B E B
2'
P
A F A F
D C D C Berpusat di A dan F, bina lengkok berjejari AF Lukiskan heksagon sekata ABCDEF.
X X X
menyilang pada lilitan bulatan. Titik B, C, D
Bina garisan dari P melalui Menggunakan panjang AE, Lukiskan pentagon ABCDE. dan E diperoleh.
titik 2’ dan menyilang pada bina lengkok yang bersilang Rajah 2.37 Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi panjang sisi.
lilitan bulatan di E. pada lilitan bulatan. Titik B, C
dan D diperoleh.
Rajah 2.36 Kaedah membina pentagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit. Lukis heksagon sekata jika diberi panjang sisi 55 mm.

Membina Heksagon Sekata Apabila Diberi Jarak Antara Rata

Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara rata ditunjukkan dalam Rajah 2.38.
Lukis pentagon sekata jika diberi bulatan terterap lilit berjejari = 55 mm.
Kaedah ini juga boleh Langkah 1
digunakan untuk membina
sebarang poligon iaitu dengan
cara membahagikan diameter
bulatan mengikut bilangan sisi O
yang dikehendaki. X Y
X Y


Diberi jarak antara rata XY. Bahagi dua sama garisan XY. Titik O diperoleh.

44 45

Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4 2.5.4 Membina Oktagon Sekata Mengikut kaedah yang Betul
F F Membina Oktagon Sekata Apabila Diberi Panjang Sisi
E A E 30° 30° A E A Kaedah membina oktagon apabila diberi panjang sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.40. BAB 2: GEOMETRI

30° O 30° 30° O 30° O
X Y X Y X Y Langkah 1 Langkah 2
O
D B D 30° 30° B D B
G G
C C
• Bina garisan tegak pada Pada titik A, B, D dan E, bina Lukiskan heksagon ABCDEF. A H A H 45° A H
titik X dan Y. garisan bersudut 30°. Titik C
• Berpusat pada titik O, dan F diperoleh. Diberi panjang sisi AH. Pada titik H, bina garisan Bahagi dua sama sisi AH dan
bina sudut 30° menyilang bersudut 45° dan lengkok HG. Titik O diperoleh.
pada garis tegak. Titik A, berjejari AH menyilang di G.
B, D dan E diperoleh.
Langkah 3 Langkah 4
Rajah 2.38 Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara rata.
D E D E

C F
Lukis heksagon sekata jika diberi panjang jarak antara rata = 70 mm. C F
O
Membina Heksagon Sekata Apabila Diberi Jarak Antara Sudut
B G B G
Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara sudut ditunjukkan dalam Rajah 2.39.
Lukis oktagon sekata jika diberi
A H A H panjang sisi = 40 mm
Langkah 1 Langkah 2 • Berpusat pada O, bina Lukiskan oktagon sekata
B C bulatan berjejari OA ABCDEFGH.
melalui titik A, H dan G.
A D A O D A O D • Bina lengkok berjejari
AH menyilang pada
lilitan bulatan. Titik B, C,

F E D, E dan F diperoleh.
Diberi jarak antara sudut AD. • Bahagi dua sama garisan Berpusat pada A dan D, Rajah 2.40 Kaedah membina oktagon apabila diberi panjang sisi.
AD. Titik O diperoleh. bina lengkok berjejari AO
• Berpusat pada O, bina menyilang pada lilitan Membina Oktagon Sekata Apabila Diberi Bulatan Terterap Lilit
bulatan berjejari OA bulatan. Titik B, C, E dan F Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit ditunjukkan dalam Rajah 2.41.
melalui titik A dan D. diperoleh.
Langkah 3 Langkah 1
B C
O
O O
A D A E
Lukis heksagon sekata jika diberi nilai jarak antara sudut = 60 mm.

F E
Lukiskan heksagon ABCDEF. Diberi satu bulatan. Bina diameter AE. Bina garisan serenjang AE
Rajah 2.39 Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara sudut. di O.
46 47

Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4 2.5.4 Membina Oktagon Sekata Mengikut kaedah yang Betul
F F Membina Oktagon Sekata Apabila Diberi Panjang Sisi
E A E 30° 30° A E A Kaedah membina oktagon apabila diberi panjang sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.40. BAB 2: GEOMETRI

30° O 30° 30° O 30° O
X Y X Y X Y Langkah 1 Langkah 2
O
D B D 30° 30° B D B
G G
C C
• Bina garisan tegak pada Pada titik A, B, D dan E, bina Lukiskan heksagon ABCDEF. A H A H 45° A H
titik X dan Y. garisan bersudut 30°. Titik C
• Berpusat pada titik O, dan F diperoleh. Diberi panjang sisi AH. Pada titik H, bina garisan Bahagi dua sama sisi AH dan
bina sudut 30° menyilang bersudut 45° dan lengkok HG. Titik O diperoleh.
pada garis tegak. Titik A, berjejari AH menyilang di G.
B, D dan E diperoleh.
Langkah 3 Langkah 4
Rajah 2.38 Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara rata.
D E D E

C F
Lukis heksagon sekata jika diberi panjang jarak antara rata = 70 mm. C F
O
Membina Heksagon Sekata Apabila Diberi Jarak Antara Sudut
B G B G
Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara sudut ditunjukkan dalam Rajah 2.39.
Lukis oktagon sekata jika diberi
A H A H panjang sisi = 40 mm
Langkah 1 Langkah 2 • Berpusat pada O, bina Lukiskan oktagon sekata
B C bulatan berjejari OA ABCDEFGH.
melalui titik A, H dan G.
A D A O D A O D • Bina lengkok berjejari
AH menyilang pada
lilitan bulatan. Titik B, C,

F E D, E dan F diperoleh.
Diberi jarak antara sudut AD. • Bahagi dua sama garisan Berpusat pada A dan D, Rajah 2.40 Kaedah membina oktagon apabila diberi panjang sisi.
AD. Titik O diperoleh. bina lengkok berjejari AO
• Berpusat pada O, bina menyilang pada lilitan Membina Oktagon Sekata Apabila Diberi Bulatan Terterap Lilit
bulatan berjejari OA bulatan. Titik B, C, E dan F Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit ditunjukkan dalam Rajah 2.41.
melalui titik A dan D. diperoleh.
Langkah 3 Langkah 1
B C
O
O O
A D A E
Lukis heksagon sekata jika diberi nilai jarak antara sudut = 60 mm.

F E
Lukiskan heksagon ABCDEF. Diberi satu bulatan. Bina diameter AE. Bina garisan serenjang AE
Rajah 2.39 Kaedah membina heksagon sekata apabila diberi jarak antara sudut. di O.
46 47

Langkah 2 Langkah 3 2.6 Skala

G G
H F H F
Lukis oktagon sekata jika diberi Skala ialah nisbah atau kadar jarak sebagai ganti saiz sebenar. Standar BAB 2: GEOMETRI
A O E A O E bulatan terterap lilit berjejari
= 50 mm. Dalam lukisan kejuruteraan, skala digunakan untuk mengecilkan Pembelajara
atau membesarkan sesuatu lukisan. Contohnya, struktur sesebuah
B D B D bangunan tidak dapat dilukis menggunakan ukuran penuh di Murid boleh:
C C atas sekeping kertas lukisan. Namun dengan menggunakan • Mengenal pasti jenis-jenis
• Bahagi setiap sukuan Lukiskan oktagon sekata skala bersesuaian, keseluruhan struktur bangunan tersebut skala:
i.
Skala biasa
kepada dua bahagian yang ABCDEFGH. dapat dilukis dengan terperinci. Begitu juga dengan objek yang ii. Skala pepenjuru
sama supaya membentuk terlalu kecil tidak dapat dilihat dengan jelas di atas kertas lukisan • Menyatakan skala dengan
lapan bahagian. jika menggunakan ukuran sebenar. Oleh itu penggunaan skala cara:
Nisbah
i.
• Titik B, C, D, F, G dan H tertentu diperlukan untuk membesarkan objek di atas kertas ii. Pecahan
diperoleh. lukisan tanpa mengubah bentuk asal objek. iii. Pernyataan
Rajah 2.41 Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit. Skala terbahagi kepada dua iaitu skala biasa dan skala
pepenjuru.
Membina Oktagon Sekata Apabila Diberi Segi Empat Sama

Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi segi empat sama ditunjukkan dalam Rajah 2.42. 2.6.1 Jenis-jenis Skala
Contoh pembaris skala yang
Langkah 1 Langkah 2 (a) Skala Biasa biasa digunakan.
Skala biasa digunakan sebagai ukuran yang boleh diambil
S T S D E T
terus bacaannya daripada pembaris skala. Saiz dan nisbah
bagi pembaris skala metrik ditunjukkan dalam Jadual 2.2,
C F manakala Rajah 2.43 menunjukan skala biasa.
X X
Jadual 2.2 Saiz dan nisbah bagi pembaris skala metrik.
B G
Nisbah Skala
1:2
V U V A H U 1:50 Pengecilan m (unit meter)
Diberi segi empat sama. Bina garisan pepenjuru SU • Berpusat pada S, bina 1:100 1 m
dan TV. Titik persilangan X lengkok berjejari SX 1:1 Saiz penuh
diperoleh. menyilang pada B dan E. 2:1 0 1 m 2 m 3 m 4 m
• Ulang langkah untuk 50:1 Pembesaran 1:50
titik T, U dan V untuk 150:1
mendapatkan titik D, G, A, Rajah 2.43 Skala biasa.
Langkah 3
F, C dan H.
D E (b) Skala Pepenjuru
Skala pepenjuru digunakan bagi menunjukkan pecahan unit
yang lebih kecil contohnya bagi unit bacaan sekecil 0.01 unit.
C F
Rajah 2.44 menunjukkan skala pepenjuru.
Lukis oktagon sekata jika diberi panjang sisi segi empat sama = 55 mm.
B G
Bahagian 2.53
pepenjuru
A H skala 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 m 2 m 3 m
Lukiskan oktagon sekata Bacaan = 2.53
ABCDEFGH.
Rajah 2.42 Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi segi empat sama. Rajah 2.44 Skala pepenjuru.
48 49

Langkah 2 Langkah 3 2.6 Skala

G G
H F H F
Lukis oktagon sekata jika diberi Skala ialah nisbah atau kadar jarak sebagai ganti saiz sebenar. Standar BAB 2: GEOMETRI
A O E A O E bulatan terterap lilit berjejari
= 50 mm. Dalam lukisan kejuruteraan, skala digunakan untuk mengecilkan Pembelajara
atau membesarkan sesuatu lukisan. Contohnya, struktur sesebuah
B D B D bangunan tidak dapat dilukis menggunakan ukuran penuh di Murid boleh:
C C atas sekeping kertas lukisan. Namun dengan menggunakan • Mengenal pasti jenis-jenis
• Bahagi setiap sukuan Lukiskan oktagon sekata skala bersesuaian, keseluruhan struktur bangunan tersebut skala:
i.
Skala biasa
kepada dua bahagian yang ABCDEFGH. dapat dilukis dengan terperinci. Begitu juga dengan objek yang ii. Skala pepenjuru
sama supaya membentuk terlalu kecil tidak dapat dilihat dengan jelas di atas kertas lukisan • Menyatakan skala dengan
lapan bahagian. jika menggunakan ukuran sebenar. Oleh itu penggunaan skala cara:
Nisbah
i.
• Titik B, C, D, F, G dan H tertentu diperlukan untuk membesarkan objek di atas kertas ii. Pecahan
diperoleh. lukisan tanpa mengubah bentuk asal objek. iii. Pernyataan
Rajah 2.41 Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi bulatan terterap lilit. Skala terbahagi kepada dua iaitu skala biasa dan skala
pepenjuru.
Membina Oktagon Sekata Apabila Diberi Segi Empat Sama

Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi segi empat sama ditunjukkan dalam Rajah 2.42. 2.6.1 Jenis-jenis Skala
Contoh pembaris skala yang
Langkah 1 Langkah 2 (a) Skala Biasa biasa digunakan.
Skala biasa digunakan sebagai ukuran yang boleh diambil
S T S D E T
terus bacaannya daripada pembaris skala. Saiz dan nisbah
bagi pembaris skala metrik ditunjukkan dalam Jadual 2.2,
C F manakala Rajah 2.43 menunjukan skala biasa.
X X
Jadual 2.2 Saiz dan nisbah bagi pembaris skala metrik.
B G
Nisbah Skala
1:2
V U V A H U 1:50 Pengecilan m (unit meter)
Diberi segi empat sama. Bina garisan pepenjuru SU • Berpusat pada S, bina 1:100 1 m
dan TV. Titik persilangan X lengkok berjejari SX 1:1 Saiz penuh
diperoleh. menyilang pada B dan E. 2:1 0 1 m 2 m 3 m 4 m
• Ulang langkah untuk 50:1 Pembesaran 1:50
titik T, U dan V untuk 150:1
mendapatkan titik D, G, A, Rajah 2.43 Skala biasa.
Langkah 3
F, C dan H.
D E (b) Skala Pepenjuru
Skala pepenjuru digunakan bagi menunjukkan pecahan unit
yang lebih kecil contohnya bagi unit bacaan sekecil 0.01 unit.
C F
Rajah 2.44 menunjukkan skala pepenjuru.
Lukis oktagon sekata jika diberi panjang sisi segi empat sama = 55 mm.
B G
Bahagian 2.53
pepenjuru
A H skala 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 m 2 m 3 m
Lukiskan oktagon sekata Bacaan = 2.53
ABCDEFGH.
Rajah 2.42 Kaedah membina oktagon sekata apabila diberi segi empat sama. Rajah 2.44 Skala pepenjuru.
48 49

2.6.2 Menyatakan Skala 2.7

Skala boleh dinyatakan dalam tiga cara iaitu nisbah, pecahan dan pernyataan. Jadual 2.3 di bawah Pembesaran dan Pengecilan
menunjukkan cara menyatakan skala, manakala Rajah 2.45 menunjukkan aplikasi pembaris skala. BAB 2: GEOMETRI


Jadual 2.3 Cara menyatakan skala. 2.7.1 Konsep Pembesaran dan Pengecilan Standar
Cara Menyatakan Skala Keterangan Rajah boleh dibesarkan atau dikecilkan dengan menggunakan Pembelajara
Nisbah (x:y) x unit pada lukisan mewakili y unit pada objek sebenar. konsep pembesaran dan pengecilan. Ini bermaksud rajah Murid boleh:
mempunyai bentuk dan sudut yang sama tetapi saiz yang • Menerangkan konsep
Pecahan (x/y) x unit pada lukisan diwakili y unit pada objek sebenar.
berlainan dan boleh dibandingkan dengan kaedah nisbah sisi pembesaran dan pengecilan.
Pernyataan atau nisbah luas. • Membezakan kaedah nisbah
(x mewakili y) x unit pada lukisan mewakili y unit pada objek sebenar. Rajah 2.46 menunjukkan poligon tidak sekata ABCD, sisi dan nisbah luas bagi
pembesaran dan pengecilan
A'B'C'D' dan A''B''C''D'' yang serupa. rajah.
= 59 mm Poligon tidak sekata A'B'C'D' adalah rajah yang dikecilkan • Melukis rajah yang dibesarkan
dan dikecilkan mengikut
dengan nisbah sisi 1:2 daripada rajah ABCD manakala poligon i. Nisbah sisi
0 10 mm 20 mm 30 mm 40 mm 50 mm 60 mm 70 mm tidak sekata A''B''C''D'' adalah rajah yang dibesarkan dengan ii. Nisbah luas
Secara berkumpulan, ukur nisbah 2:1.
meja lukisan di bilik Lukisan 1:1
Kejuruteraan dan berapakah TAHUKAH
skala yang sesuai digunakan = 340 mm Imej ANDA
2:1
untuk melukis meja tersebut
di atas kertas lukisan. D''
Pengecilan dan pembesaran
0 100 mm 200 mm 300 mm 400 mm kaedah nisbah sisi adalah
berbeza dengan kaedah
1:5 Objek C'' nisbah luas.
= 2900 mm Imej D
Pusat 1:2
pengecilan/ D' C B''
0 1 m 2 m 3 m 4 m pembesaran C'
B Pengecilan nisbah
B'
1:50 A' A A'' 2 : 3
Rajah 2.45 Aplikasi pembaris skala. 1 Rajah yang dilukis Rajah asal
2
Contoh pengiraan skala 4 Pembesaran nisbah
Hubungkait penukaran antara unit-unit panjang dapat dirumuskan seperti di bawah. 5 : 2
Rajah 2.46 Konsep pembesaran dan pengecilan mengikut nisbah sisi. Rajah yang dilukis Rajah asal
× 1000 × 100 × 10

2.7.2 Membezakan Kaedah Nisbah Sisi dan Nisbah Luas bagi Pembesaran dan
KM M CM MM Pengecilan Rajah

Bagi kaedah nisbah sisi, panjang sisi rajah yang berkaitan akan dikurangkan atau ditambahkan
÷ 1000 ÷ 100 ÷ 10 mengikut nisbah tertentu. Manakala bagi kaedah nisbah luas, luas sesuatu rajah dikecilkan atau
dibesarkan mengikut nisbah tertentu. Rajah 2.47 menunjukkan perbezaan antara kaedah nisbah
sisi dengan kaedah nisbah luas bagi dua rajah yang serupa.
Untuk menukarkan unit besar kepada unit Untuk menukarkan unit kecil kepada unit
kecil, perlu mendarabkannya (×). Contoh: besar, perlu membahagikannya (÷). Contoh:
Tukarkan 3 cm kepada unit mm. Tukarkan 90 cm kepada unit m.
1 cm = 10 mm 100 cm = 1 m
3 cm = 3 × 10 mm 90 cm = 90 ÷ 100
= 30 mm = 0.9 m
50 51

2.6.2 Menyatakan Skala 2.7

Skala boleh dinyatakan dalam tiga cara iaitu nisbah, pecahan dan pernyataan. Jadual 2.3 di bawah Pembesaran dan Pengecilan
menunjukkan cara menyatakan skala, manakala Rajah 2.45 menunjukkan aplikasi pembaris skala. BAB 2: GEOMETRI


Jadual 2.3 Cara menyatakan skala. 2.7.1 Konsep Pembesaran dan Pengecilan Standar
Cara Menyatakan Skala Keterangan Rajah boleh dibesarkan atau dikecilkan dengan menggunakan Pembelajara
Nisbah (x:y) x unit pada lukisan mewakili y unit pada objek sebenar. konsep pembesaran dan pengecilan. Ini bermaksud rajah Murid boleh:
mempunyai bentuk dan sudut yang sama tetapi saiz yang • Menerangkan konsep
Pecahan (x/y) x unit pada lukisan diwakili y unit pada objek sebenar.
berlainan dan boleh dibandingkan dengan kaedah nisbah sisi pembesaran dan pengecilan.
Pernyataan atau nisbah luas. • Membezakan kaedah nisbah
(x mewakili y) x unit pada lukisan mewakili y unit pada objek sebenar. Rajah 2.46 menunjukkan poligon tidak sekata ABCD, sisi dan nisbah luas bagi
pembesaran dan pengecilan
A'B'C'D' dan A''B''C''D'' yang serupa. rajah.
= 59 mm Poligon tidak sekata A'B'C'D' adalah rajah yang dikecilkan • Melukis rajah yang dibesarkan
dan dikecilkan mengikut
dengan nisbah sisi 1:2 daripada rajah ABCD manakala poligon i. Nisbah sisi
0 10 mm 20 mm 30 mm 40 mm 50 mm 60 mm 70 mm tidak sekata A''B''C''D'' adalah rajah yang dibesarkan dengan ii. Nisbah luas
Secara berkumpulan, ukur nisbah 2:1.
meja lukisan di bilik Lukisan 1:1
Kejuruteraan dan berapakah TAHUKAH
skala yang sesuai digunakan = 340 mm Imej ANDA
2:1
untuk melukis meja tersebut
di atas kertas lukisan. D''
Pengecilan dan pembesaran
0 100 mm 200 mm 300 mm 400 mm kaedah nisbah sisi adalah
berbeza dengan kaedah
1:5 Objek C'' nisbah luas.
= 2900 mm Imej D
Pusat 1:2
pengecilan/ D' C B''
0 1 m 2 m 3 m 4 m pembesaran C'
B Pengecilan nisbah
B'
1:50 A' A A'' 2 : 3
Rajah 2.45 Aplikasi pembaris skala. 1 Rajah yang dilukis Rajah asal
2
Contoh pengiraan skala 4 Pembesaran nisbah
Hubungkait penukaran antara unit-unit panjang dapat dirumuskan seperti di bawah. 5 : 2
Rajah 2.46 Konsep pembesaran dan pengecilan mengikut nisbah sisi. Rajah yang dilukis Rajah asal
× 1000 × 100 × 10

2.7.2 Membezakan Kaedah Nisbah Sisi dan Nisbah Luas bagi Pembesaran dan
KM M CM MM Pengecilan Rajah

Bagi kaedah nisbah sisi, panjang sisi rajah yang berkaitan akan dikurangkan atau ditambahkan
÷ 1000 ÷ 100 ÷ 10 mengikut nisbah tertentu. Manakala bagi kaedah nisbah luas, luas sesuatu rajah dikecilkan atau
dibesarkan mengikut nisbah tertentu. Rajah 2.47 menunjukkan perbezaan antara kaedah nisbah
sisi dengan kaedah nisbah luas bagi dua rajah yang serupa.
Untuk menukarkan unit besar kepada unit Untuk menukarkan unit kecil kepada unit
kecil, perlu mendarabkannya (×). Contoh: besar, perlu membahagikannya (÷). Contoh:
Tukarkan 3 cm kepada unit mm. Tukarkan 90 cm kepada unit m.
1 cm = 10 mm 100 cm = 1 m
3 cm = 3 × 10 mm 90 cm = 90 ÷ 100
= 30 mm = 0.9 m
50 51

Nisbah Kaedah Nisbah Sisi Kaedah Nisbah Luas Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4
D D
D' C C C
Pengecilan D' C Pusat C B O C' B O C' B O C'
pengecilan
Rajah Pusat C' 3 2 C' O' O' O' BAB 2: GEOMETRI
pengecilan 1 B' D B' D B' D
Nisbah 2:3 A B' B A B' B D' D' D'
1
Pusat pembesaran 2 3
dan pengecilan A E' E A E' E A E' E
boleh dipilih pada D' D' 1 1 1
mana-mana titik D 2 2 2
pada rajah. D C' 3 4 3 3 4
Pembesaran C' C 4
Rajah C E' • Bina garisan selari ED dari Berpusat di O', bina lengkok Lukis dan hitamkan AB'C'D'E'.
E' 3 E titik E' menyilang garisan berjejari O'C' melalui titik C'
Nisbah 3:2 E Pusat 2 1 A BB'
Pusat B' pembesaran AD. Titik D' diperoleh. dan B'.
pembesaran A 1 B
2 • Begitu juga dengan garisan
3
yang selari DC, CO dan
Rajah 2.47 Perbezaan antara kaedah nisbah sisi dengan kaedah nisbah luas. OB sehingga titik C', O',
dan B' diperoleh.
2.7.3 Melukis Rajah yang Dibesarkan dan Dikecilkan Mengikut Nisbah Sisi dan Rajah 2.48 Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah sisi.
Nisbah Luas
Pembesaran Rajah Mengikut Nisbah Sisi
Pengecilan Rajah Mengikut Nisbah Sisi
Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.49.
Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah sisi Langkah 1 Langkah 1 Langkah 2
ditunjukkan dalam Rajah 2.48.
C D'
C O
O B D D
B D B' C' D
D B C O B C
E O E B C O E'
E
A E' E
1
A E 2 A F A F F'
3 1 A F F'
4 2 3
Diberi rajah ABCDE serta pusat lengkok O. • Pilih A sebagai pusat pengecilan. 4 3 4
Kecilkan rajah mengikut kaedah nisbah sisi 3:4. • Bina garisan pancaran AB, AO, AC, AD Diberi rajah ABCDEF dan • Pilih A sebagai pusat • Bina garisan yang selari
dan AE. bulatan berpusat O. Besarkan pembesaran. dengan FE dari titik F'
• Bina garisan condong pada titik A dan rajah mengikut nisbah sisi 4:3. • Bina garisan pancaran AB, menyilang pada garisan
bahagikan kepada empat bahagian AC, AD, AO, AE dan AF. AE. Titik E' diperoleh.
yang sama. • Bina garisan condong • Begitu juga dengan garisan
• Bina garisan 4-E dan selarikan kepada pada titik A dan yang selari dengan ED,
titik 3 bagi mendapatkan E'. bahagikan kepada 4 DC dan CB sehingga titik
bahagian yang sama. D', C' dan B' diperoleh.
• Bina garisan pada 4 selari
dengan garisan 3-F. Titik
F' diperoleh.


52 53

Nisbah Kaedah Nisbah Sisi Kaedah Nisbah Luas Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4
D D
D' C C C
Pengecilan D' C Pusat C B O C' B O C' B O C'
pengecilan
Rajah Pusat C' 3 2 C' O' O' O' BAB 2: GEOMETRI
pengecilan 1 B' D B' D B' D
Nisbah 2:3 A B' B A B' B D' D' D'
1
Pusat pembesaran 2 3
dan pengecilan A E' E A E' E A E' E
boleh dipilih pada D' D' 1 1 1
mana-mana titik D 2 2 2
pada rajah. D C' 3 4 3 3 4
Pembesaran C' C 4
Rajah C E' • Bina garisan selari ED dari Berpusat di O', bina lengkok Lukis dan hitamkan AB'C'D'E'.
E' 3 E titik E' menyilang garisan berjejari O'C' melalui titik C'
Nisbah 3:2 E Pusat 2 1 A BB'
Pusat B' pembesaran AD. Titik D' diperoleh. dan B'.
pembesaran A 1 B
2 • Begitu juga dengan garisan
3
yang selari DC, CO dan
Rajah 2.47 Perbezaan antara kaedah nisbah sisi dengan kaedah nisbah luas. OB sehingga titik C', O',
dan B' diperoleh.
2.7.3 Melukis Rajah yang Dibesarkan dan Dikecilkan Mengikut Nisbah Sisi dan Rajah 2.48 Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah sisi.
Nisbah Luas
Pembesaran Rajah Mengikut Nisbah Sisi
Pengecilan Rajah Mengikut Nisbah Sisi
Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.49.
Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah sisi Langkah 1 Langkah 1 Langkah 2
ditunjukkan dalam Rajah 2.48.
C D'
C O
O B D D
B D B' C' D
D B C O B C
E O E B C O E'
E
A E' E
1
A E 2 A F A F F'
3 1 A F F'
4 2 3
Diberi rajah ABCDE serta pusat lengkok O. • Pilih A sebagai pusat pengecilan. 4 3 4
Kecilkan rajah mengikut kaedah nisbah sisi 3:4. • Bina garisan pancaran AB, AO, AC, AD Diberi rajah ABCDEF dan • Pilih A sebagai pusat • Bina garisan yang selari
dan AE. bulatan berpusat O. Besarkan pembesaran. dengan FE dari titik F'
• Bina garisan condong pada titik A dan rajah mengikut nisbah sisi 4:3. • Bina garisan pancaran AB, menyilang pada garisan
bahagikan kepada empat bahagian AC, AD, AO, AE dan AF. AE. Titik E' diperoleh.
yang sama. • Bina garisan condong • Begitu juga dengan garisan
• Bina garisan 4-E dan selarikan kepada pada titik A dan yang selari dengan ED,
titik 3 bagi mendapatkan E'. bahagikan kepada 4 DC dan CB sehingga titik
bahagian yang sama. D', C' dan B' diperoleh.
• Bina garisan pada 4 selari
dengan garisan 3-F. Titik
F' diperoleh.


52 53

Langkah 3 Langkah 4 Langkah 2 Langkah 3
D' D' C O C O
B D B D
D D
B' x' B' BAB 2: GEOMETRI
C' C' O' 5 E 5 E
B C x O' E' B C O E' 4 3 2 4 3 2
O y' E E 1 1
y 5' 3' A F 5' 3' A F' F

A F F' A F F' Y Y
X X
3 3
4 4
• Bina garisan condong pada A dan • Bina garisan pada X-F dan selarikan
• Bina garisan FO menyilang lilitan bulatan. Lukis dan hitamkan garisan AB'C'D'E'F' dan
Titik x dan y diperoleh. bulatan. bahagikan kepada 5 bahagian sama. dengan titik Y. Titik F' diperoleh.
• Bina garisan pancaran Ax dan Ay. • Bina garisan yang selari dengan 5-5' dari • Bina garisan pancaran AB, AC, AO, AD,
• Bina garisan yang selari dengan FO dari titik 3. Titik 3' diperoleh. AE dan AF.
tiitk F' menyilang pada garisan AO. Titik • Bahagi dua sama jarak F-3' dan bina separuh
O', x', y' diperoleh. bulatan menyilang garisan serenjang pada Y.
• Bina bulatan berpusat O' berjejari O'x'
melalui pada titik x' dan y'. Langkah 4 Langkah 5
Rajah 2.49 Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah sisi.
C O C O
B C' O' D B C' O' D
Pengecilan Rajah Mengikut Nisbah Luas B' D' B' D'
5 4 E 5 4 E
Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah luas ditunjukkan dalam Rajah 2.50. 3 2 1 E' 3 2 1 E'
5' 3' A F' F 5' 3' A F' F
Langkah 1
C O
C O B D Y Y
B D X X
E
E A • Bina garisan yang selari dengan FE dari F' • Berpusat pada titik O', bina lengkok berjejari
5' F menyilang pada garisan AE. Titik E' diperoleh. O'D' melalui pada titik C' dan D'.
A F • Begitu juga dengan garisan-garisan • Lukis dan hitamkan rajah AB'C'D'E'F'
yang selari dengan ED, DO, OC dan CB yang mempunyai keluasan 3:5 dari rajah
X sehingga titik D', O', C', dan B' diperoleh. ABCDEF.

Diberi rajah ABCDEF dan pusat lengkok O. • Pilih A sebagai pusat pengecilan. Rajah 2.50 Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah luas.
Kecilkan rajah mengikut nisbah luas 3:5. • Pada titik A, bina garisan serenjang dan
separuh bulatan berjejari AF menyilang
pada X. Titik 5' diperoleh.












54 55

Langkah 3 Langkah 4 Langkah 2 Langkah 3
D' D' C O C O
B D B D
D D
B' x' B' BAB 2: GEOMETRI
C' C' O' 5 E 5 E
B C x O' E' B C O E' 4 3 2 4 3 2
O y' E E 1 1
y 5' 3' A F 5' 3' A F' F

A F F' A F F' Y Y
X X
3 3
4 4
• Bina garisan condong pada A dan • Bina garisan pada X-F dan selarikan
• Bina garisan FO menyilang lilitan bulatan. Lukis dan hitamkan garisan AB'C'D'E'F' dan
Titik x dan y diperoleh. bulatan. bahagikan kepada 5 bahagian sama. dengan titik Y. Titik F' diperoleh.
• Bina garisan pancaran Ax dan Ay. • Bina garisan yang selari dengan 5-5' dari • Bina garisan pancaran AB, AC, AO, AD,
• Bina garisan yang selari dengan FO dari titik 3. Titik 3' diperoleh. AE dan AF.
tiitk F' menyilang pada garisan AO. Titik • Bahagi dua sama jarak F-3' dan bina separuh
O', x', y' diperoleh. bulatan menyilang garisan serenjang pada Y.
• Bina bulatan berpusat O' berjejari O'x'
melalui pada titik x' dan y'. Langkah 4 Langkah 5
Rajah 2.49 Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah sisi.
C O C O
B C' O' D B C' O' D
Pengecilan Rajah Mengikut Nisbah Luas B' D' B' D'
5 4 E 5 4 E
Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah luas ditunjukkan dalam Rajah 2.50. 3 2 1 E' 3 2 1 E'
5' 3' A F' F 5' 3' A F' F
Langkah 1
C O
C O B D Y Y
B D X X
E
E A • Bina garisan yang selari dengan FE dari F' • Berpusat pada titik O', bina lengkok berjejari
5' F menyilang pada garisan AE. Titik E' diperoleh. O'D' melalui pada titik C' dan D'.
A F • Begitu juga dengan garisan-garisan • Lukis dan hitamkan rajah AB'C'D'E'F'
yang selari dengan ED, DO, OC dan CB yang mempunyai keluasan 3:5 dari rajah
X sehingga titik D', O', C', dan B' diperoleh. ABCDEF.

Diberi rajah ABCDEF dan pusat lengkok O. • Pilih A sebagai pusat pengecilan. Rajah 2.50 Kaedah pengecilan rajah mengikut nisbah luas.
Kecilkan rajah mengikut nisbah luas 3:5. • Pada titik A, bina garisan serenjang dan
separuh bulatan berjejari AF menyilang
pada X. Titik 5' diperoleh.












54 55

Pembesaran Rajah Mengikut Nisbah Luas Langkah 4 Langkah 5

Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah luas ditunjukkan dalam Rajah 2.51. D' D'

O ' D O ' D BAB 2: GEOMETRI
Langkah 1 E' E'
O O
E y' E
D C' O 5 C' O ' O y 5
D O E C 2 3 4 C x' x 2 3 4
O E O 1 1
C B' B A 3' 5' B' B A 3' 5'
O
C
B A 3'
B A X X
Y Y
X
• Bina garisan yang selari dengan BC dari • Bina garisan BO2 menyilang lilitan
Diberi rajah poligon ABCDE dan pusat lengkok • Pilih A sebagai pusat pembesaran. B' menyilang pada garis AC. Titik C' bulatan. Titik x dan y diperoleh.
O dan pusat bulatan O . Lukis pembesaran • Panjangkan garisan BA. diperoleh. • Bina garisan pancaran Ax dan Ay.
2
1
rajah dengan kaedah nisbah luas 5:3. • Pada titik A, bina garisan serenjang dan • Begitu juga dengan garisan yang selari • Bina garisan yang selari dengan BO2 dari
separuh bulatan berjejari AB menyilang dengan CO1, O1D, DE sehingga titik O1', tiitk B' menyilang titik O2', x' dan y'.
pada X. Titik 3' diperoleh. D' dan E' diperoleh. • Bina bulatan berpusat O2' berjejari O2'x'
• Berpusat pada titik O1', bina lengkok berjejari melalui pada titik x' dan y'.
Langkah 2 Langkah 3
O1'C' melalui pada titik C' dan D'.
D D
O E O E Langkah 6
O 5 O 5
C 2 3 4 C 3 4 D'
1 2 O '
1 D E'
B A 3' 5' B' B A 3' 5' O E
O '
C' O 4 5
X X C 1 2 3
Y Y B' B A 3' 5'

• Bina garisan condong pada A dan • Bina garisan pada Y selari dengan garisan
bahagikan kepada 5 bahagian yang sama. X-B. Titik B' diperoleh. X
• Bina garisan yang selari dengan 3-3' dari • Bina garisan pancaran AB, AC, AO1, AO2, Y
titik 5. Titik 5' diperoleh . AD dan AE.
• Bahagi dua sama jarak B-5' dan bina Lukis dan hitamkan rajah AB'C'D'E' yang
separuh bulatan menyilang pada titik Y. mempunyai keluasan 5:3 dari rajah ABCDE.
Rajah 2.51 Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah luas.




Imbas QR Code di sebelah
untuk mengakses aktiviti
berkaitan pembesaran
dan pengecilan.



56 57

Pembesaran Rajah Mengikut Nisbah Luas Langkah 4 Langkah 5

Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah luas ditunjukkan dalam Rajah 2.51. D' D'

O ' D O ' D BAB 2: GEOMETRI
Langkah 1 E' E'
O O
E y' E
D C' O 5 C' O ' O y 5
D O E C 2 3 4 C x' x 2 3 4
O E O 1 1
C B' B A 3' 5' B' B A 3' 5'
O
C
B A 3'
B A X X
Y Y
X
• Bina garisan yang selari dengan BC dari • Bina garisan BO2 menyilang lilitan
Diberi rajah poligon ABCDE dan pusat lengkok • Pilih A sebagai pusat pembesaran. B' menyilang pada garis AC. Titik C' bulatan. Titik x dan y diperoleh.
O dan pusat bulatan O . Lukis pembesaran • Panjangkan garisan BA. diperoleh. • Bina garisan pancaran Ax dan Ay.
2
1
rajah dengan kaedah nisbah luas 5:3. • Pada titik A, bina garisan serenjang dan • Begitu juga dengan garisan yang selari • Bina garisan yang selari dengan BO2 dari
separuh bulatan berjejari AB menyilang dengan CO1, O1D, DE sehingga titik O1', tiitk B' menyilang titik O2', x' dan y'.
pada X. Titik 3' diperoleh. D' dan E' diperoleh. • Bina bulatan berpusat O2' berjejari O2'x'
• Berpusat pada titik O1', bina lengkok berjejari melalui pada titik x' dan y'.
Langkah 2 Langkah 3
O1'C' melalui pada titik C' dan D'.
D D
O E O E Langkah 6
O 5 O 5
C 2 3 4 C 3 4 D'
1 2 O '
1 D E'
B A 3' 5' B' B A 3' 5' O E
O '
C' O 4 5
X X C 1 2 3
Y Y B' B A 3' 5'

• Bina garisan condong pada A dan • Bina garisan pada Y selari dengan garisan
bahagikan kepada 5 bahagian yang sama. X-B. Titik B' diperoleh. X
• Bina garisan yang selari dengan 3-3' dari • Bina garisan pancaran AB, AC, AO1, AO2, Y
titik 5. Titik 5' diperoleh . AD dan AE.
• Bahagi dua sama jarak B-5' dan bina Lukis dan hitamkan rajah AB'C'D'E' yang
separuh bulatan menyilang pada titik Y. mempunyai keluasan 5:3 dari rajah ABCDE.
Rajah 2.51 Kaedah pembesaran rajah mengikut nisbah luas.




Imbas QR Code di sebelah
untuk mengakses aktiviti
berkaitan pembesaran
dan pengecilan.



56 57

2.8 Rajah Sama Luas Langkah 2 B C Langkah 3 B C





Standar 2.8.1 Konsep Rajah Sama Luas D D BAB 2: GEOMETRI
Pembelajara Rajah sama luas merupakan dua rajah yang berlainan bentuk tetapi
mempunyai luas yang sama. Contohnya segi tiga yang mempunyai
Murid boleh: ukuran tapak dan tinggi yang sama dan berada pada garisan selari, Y A X E Y A X E
• Menerangkan konsep rajah
sama luas. maka segi tiga tersebut adalah sama luas. Rajah 2.52 menunjukkan • Bina garisan yang selari dengan CA dari B Lukis dan hitamkan segi tiga CXY. Poligon
• Menunjukkan peringkat segi tiga yang terletak di antara dua garisan selari. Luas segi tiga menyilang pada garisan AE. Titik Y diperoleh. tidak sekata ABCDE adalah sama luas dengan
perubahan bentuk rajah ABC adalah sama dengan segi tiga ABC' dan segi tiga ABC''.
mengikut turutan yang betul. • Bina garisan CY. segi tiga CXY.
• Melukis mengikut turutan C' C C''
perubahan bentuk pelbagai Rajah 2.53 Perubahan bentuk poligon kepada segi tiga.
rajah kepada bentuk segi
empat sama.
Segi Tiga kepada Segi Empat Tepat

Tinggi Kaedah perubahan bentuk segi tiga kepada segi empat tepat ditunjukkan dalam Rajah 2.54.

Langkah 1
B
B
A B
Rajah 2.52 Segi tiga sama luas.

2.8.2 Pembinaan Rajah Sama Luas
A C
Poligon kepada Segi Tiga A C
Diberi segi tiga ABC. • Bina garisan tinggi berserenjang dari
Kaedah perubahan bentuk poligon kepada segi tiga ditunjukkan dalam Rajah 2.53. puncak B.
• Bahagi dua sama garis tinggi.
Langkah 1

B C B C Langkah 2 Langkah 3

B B
D D
Y X Y X


A E A X E
A C A C
Diberi bentuk poligon tidak sekata ABCDE. • Bina garisan yang selari dengan CE dari Bina garisan berserenjang pada titk A dan C Lukis dan hitamkan segi empat tepat AYXC.
D menyilang pada garisan AE. Titik X menyilang pada X dan Y. Segi tiga ABC adalah sama luas dengan segi
diperoleh. empat tepat AYXC.
• Bina garisan CX.
Rajah 2.54 Perubahan bentuk segi tiga kepada segi empat tepat.



58 59

2.8 Rajah Sama Luas Langkah 2 B C Langkah 3 B C





Standar 2.8.1 Konsep Rajah Sama Luas D D BAB 2: GEOMETRI
Pembelajara Rajah sama luas merupakan dua rajah yang berlainan bentuk tetapi
mempunyai luas yang sama. Contohnya segi tiga yang mempunyai
Murid boleh: ukuran tapak dan tinggi yang sama dan berada pada garisan selari, Y A X E Y A X E
• Menerangkan konsep rajah
sama luas. maka segi tiga tersebut adalah sama luas. Rajah 2.52 menunjukkan • Bina garisan yang selari dengan CA dari B Lukis dan hitamkan segi tiga CXY. Poligon
• Menunjukkan peringkat segi tiga yang terletak di antara dua garisan selari. Luas segi tiga menyilang pada garisan AE. Titik Y diperoleh. tidak sekata ABCDE adalah sama luas dengan
perubahan bentuk rajah ABC adalah sama dengan segi tiga ABC' dan segi tiga ABC''.
mengikut turutan yang betul. • Bina garisan CY. segi tiga CXY.
• Melukis mengikut turutan C' C C''
perubahan bentuk pelbagai Rajah 2.53 Perubahan bentuk poligon kepada segi tiga.
rajah kepada bentuk segi
empat sama.
Segi Tiga kepada Segi Empat Tepat

Tinggi Kaedah perubahan bentuk segi tiga kepada segi empat tepat ditunjukkan dalam Rajah 2.54.

Langkah 1
B
B
A B
Rajah 2.52 Segi tiga sama luas.

2.8.2 Pembinaan Rajah Sama Luas
A C
Poligon kepada Segi Tiga A C
Diberi segi tiga ABC. • Bina garisan tinggi berserenjang dari
Kaedah perubahan bentuk poligon kepada segi tiga ditunjukkan dalam Rajah 2.53. puncak B.
• Bahagi dua sama garis tinggi.
Langkah 1

B C B C Langkah 2 Langkah 3

B B
D D
Y X Y X


A E A X E
A C A C
Diberi bentuk poligon tidak sekata ABCDE. • Bina garisan yang selari dengan CE dari Bina garisan berserenjang pada titk A dan C Lukis dan hitamkan segi empat tepat AYXC.
D menyilang pada garisan AE. Titik X menyilang pada X dan Y. Segi tiga ABC adalah sama luas dengan segi
diperoleh. empat tepat AYXC.
• Bina garisan CX.
Rajah 2.54 Perubahan bentuk segi tiga kepada segi empat tepat.



58 59

Segi Empat Tepat kepada Segi Empat Sama Langkah 2 Langkah 3
B B
Kaedah perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat sama ditunjukkan dalam Rajah 2.55. X X
Langkah 1 BAB 2: GEOMETRI
N
B C B C A C D A C D
Bina garisan DX. Lukis dan hitamkan segi tiga AXD. Segi tiga
A D ABC adalah sama luas dengan segi tiga AXD.
A D M Rajah 2.56 Perubahan bentuk segi tiga kepada segi tiga yang diberi satu sisi.

Diberi segi empat tepat ABCD. • Panjangkan garisan AD. Segi Empat Sama kepada Segi Empat Tepat yang Diberi Satu Sisi
• Berpusat di D, bina lengkok berjejari DC
menyilang di M. Kaedah perubahan bentuk segi empat sama kepada segi empat tepat yang diberi satu sisi ditunjukkan
• Bahagi dua sama AM dan bina separuh dalam Rajah 2.57.
bulatan menyilang di N. Langkah 1
Langkah 2 Langkah 3 B C B C

N Q N Q
B C B C


E A D E F A D
A D M P A D M P Diberi segi empat sama ABCD dan sisi DE. Bina dan bahagi dua sama garisan EB
• Berpusat di D, bina lengkok berjejari DN Lukis dan hitamkan segi empat sama DNQP. menyilang pada F.
dan menyilang di P. Segi empat tepat ABCD adalah sama luas
• Berpusat di N dan P, bina lengkok berjejari dengan segi empat sama DNQP. Langkah 2 Langkah 3
DN dan menyilang di Q.
B C B C
Rajah 2.55 Perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat sama. I H I H

Segi Tiga kepada Segi Tiga yang Diberi Satu Sisi

Kaedah perubahan bentuk segi tiga kepada segi tiga yang diberi satu sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.56.
E F A G D E F A G D
Langkah 1 • Berpusat di F, bina lengkok berjejari FE Lukis dan hitamkan segi empat tepat AEIH.
B B menyilang pada G. Segi empat sama ABCD adalah sama luas
X • Berpusat di A, bina lengkok berjejari AG dengan segi empat tepat AEIH.
menyilang pada H.
• Bina garisan serenjang di E dan H
menyilang pada I.
A C D A C D Rajah 2.57 Perubahan bentuk segi empat sama kepada segi empat yang diberi satu sisi.

Diberi bentuk segi tiga ABC dan sisi AD. Bina garisan yang selari dengan DB dari C
menyilang pada garisan AB. Titik X diperoleh.




60 61

Segi Empat Tepat kepada Segi Empat Sama Langkah 2 Langkah 3
B B
Kaedah perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat sama ditunjukkan dalam Rajah 2.55. X X
Langkah 1 BAB 2: GEOMETRI
N
B C B C A C D A C D
Bina garisan DX. Lukis dan hitamkan segi tiga AXD. Segi tiga
A D ABC adalah sama luas dengan segi tiga AXD.
A D M Rajah 2.56 Perubahan bentuk segi tiga kepada segi tiga yang diberi satu sisi.

Diberi segi empat tepat ABCD. • Panjangkan garisan AD. Segi Empat Sama kepada Segi Empat Tepat yang Diberi Satu Sisi
• Berpusat di D, bina lengkok berjejari DC
menyilang di M. Kaedah perubahan bentuk segi empat sama kepada segi empat tepat yang diberi satu sisi ditunjukkan
• Bahagi dua sama AM dan bina separuh dalam Rajah 2.57.
bulatan menyilang di N. Langkah 1
Langkah 2 Langkah 3 B C B C

N Q N Q
B C B C


E A D E F A D
A D M P A D M P Diberi segi empat sama ABCD dan sisi DE. Bina dan bahagi dua sama garisan EB
• Berpusat di D, bina lengkok berjejari DN Lukis dan hitamkan segi empat sama DNQP. menyilang pada F.
dan menyilang di P. Segi empat tepat ABCD adalah sama luas
• Berpusat di N dan P, bina lengkok berjejari dengan segi empat sama DNQP. Langkah 2 Langkah 3
DN dan menyilang di Q.
B C B C
Rajah 2.55 Perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat sama. I H I H

Segi Tiga kepada Segi Tiga yang Diberi Satu Sisi

Kaedah perubahan bentuk segi tiga kepada segi tiga yang diberi satu sisi ditunjukkan dalam Rajah 2.56.
E F A G D E F A G D
Langkah 1 • Berpusat di F, bina lengkok berjejari FE Lukis dan hitamkan segi empat tepat AEIH.
B B menyilang pada G. Segi empat sama ABCD adalah sama luas
X • Berpusat di A, bina lengkok berjejari AG dengan segi empat tepat AEIH.
menyilang pada H.
• Bina garisan serenjang di E dan H
menyilang pada I.
A C D A C D Rajah 2.57 Perubahan bentuk segi empat sama kepada segi empat yang diberi satu sisi.

Diberi bentuk segi tiga ABC dan sisi AD. Bina garisan yang selari dengan DB dari C
menyilang pada garisan AB. Titik X diperoleh.




60 61

Segi Empat Tepat kepada Segi Empat Tepat Lain yang Diberi Satu Sisi Langkah 2 Langkah 3
D D
Kaedah perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat tepat lain yang diberi satu sisi C C
ditunjukkan dalam Rajah 2.58. BAB 2: GEOMETRI

Langkah 1 B E
C D C D
G A F H I G H
F • Bina garisan yang selari dengan DF dari E • Bina garisan yang selari dengan DG dari C
menyilang pada titik H. menyilang pada titik I.
E B A E B A • Bina garisan DH. Rajah CDHG adalah • Bina garisan DI. Segi tiga DHI adalah
sama luas dengan poligon tidak sekata sama luas dengan Rajah CDHG.
Diberi segi empat ABCD dan sisi AE. Bina garisan yang selari dengan ED dari B ABCDEF.
menyilang pada garisan AD. Titik F diperoleh.
Langkah 4 Langkah 5
Langkah 2 Langkah 3 D M P

C D C D J K
J K
G F G F

I H L N
E B A E B A I H
• Berpusat di E, bina lengkok berjejari AF. Lukis dan hitamkan segi empat tepat AEGF. • Bina garisan tinggi serenjang dari • Berpusat di H, bina lengkok berjejari HK
• Berpusat di F, bina lengkok berjejari AE Segi empat tepat ABCD adalah sama luas puncak D. menyilang di L.
menyilang di G. dengan segi empat tepat AEGF. • Bahagi dua sama garisan tinggi. • Bahagi dua sama garisan IL dan bina
• Bina garisan serenjang pada titik I dan H separuh bulatan menyilang di M.
Rajah 2.58 Perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat tepat lain yang diberi satu sisi. menyilang pada titik J dan K. • Berpusat di H, bina lengkok berjejari HM
• Bina segi empat HIJK. Segi tiga DHI menyilang di N.
2.8.3 Melukis Mengikut Turutan Perubahan Bentuk Pelbagai Rajah Sama Luas adalah sama luas dengan segi empat tepat • Berpusat di M dan N, bina lengkok

Kaedah melukis turutan perubahan bentuk pelbagai rajah kepada bentuk segi empat sama HIJK. berjejari HM menyilang di P.
ditunjukkan dalam Rajah 2.59. • Bina segi empat sama HMPN. Segi empat
tepat HIJK adalah sama luas dengan segi
Langkah 1
D D empat sama HMPN.
C C Rajah 2.59 Perubahan bentuk pelbagai rajah kepada bentuk segi empat sama.

E E
B B
D
A F G A F C M P

Diberi bentuk poligon tidak sekata ABCDEF. • Panjangkan garisan AF.
• Bina garisan yang selari dengan CA dari B E
menyilang pada G. B Imbas QR Code di atas untuk
• Bina garisan GC. I A F H N mengakses aktiviti berkaitan
rajah sama luas.
Poligon tidak sekata ABCDEF adalah sama
luas dengan segi empat sama HMPN.

62 63

Segi Empat Tepat kepada Segi Empat Tepat Lain yang Diberi Satu Sisi Langkah 2 Langkah 3
D D
Kaedah perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat tepat lain yang diberi satu sisi C C
ditunjukkan dalam Rajah 2.58. BAB 2: GEOMETRI

Langkah 1 B E
C D C D
G A F H I G H
F • Bina garisan yang selari dengan DF dari E • Bina garisan yang selari dengan DG dari C
menyilang pada titik H. menyilang pada titik I.
E B A E B A • Bina garisan DH. Rajah CDHG adalah • Bina garisan DI. Segi tiga DHI adalah
sama luas dengan poligon tidak sekata sama luas dengan Rajah CDHG.
Diberi segi empat ABCD dan sisi AE. Bina garisan yang selari dengan ED dari B ABCDEF.
menyilang pada garisan AD. Titik F diperoleh.
Langkah 4 Langkah 5
Langkah 2 Langkah 3 D M P

C D C D J K
J K
G F G F

I H L N
E B A E B A I H
• Berpusat di E, bina lengkok berjejari AF. Lukis dan hitamkan segi empat tepat AEGF. • Bina garisan tinggi serenjang dari • Berpusat di H, bina lengkok berjejari HK
• Berpusat di F, bina lengkok berjejari AE Segi empat tepat ABCD adalah sama luas puncak D. menyilang di L.
menyilang di G. dengan segi empat tepat AEGF. • Bahagi dua sama garisan tinggi. • Bahagi dua sama garisan IL dan bina
• Bina garisan serenjang pada titik I dan H separuh bulatan menyilang di M.
Rajah 2.58 Perubahan bentuk segi empat tepat kepada segi empat tepat lain yang diberi satu sisi. menyilang pada titik J dan K. • Berpusat di H, bina lengkok berjejari HM
• Bina segi empat HIJK. Segi tiga DHI menyilang di N.
2.8.3 Melukis Mengikut Turutan Perubahan Bentuk Pelbagai Rajah Sama Luas adalah sama luas dengan segi empat tepat • Berpusat di M dan N, bina lengkok

Kaedah melukis turutan perubahan bentuk pelbagai rajah kepada bentuk segi empat sama HIJK. berjejari HM menyilang di P.
ditunjukkan dalam Rajah 2.59. • Bina segi empat sama HMPN. Segi empat
tepat HIJK adalah sama luas dengan segi
Langkah 1
D D empat sama HMPN.
C C Rajah 2.59 Perubahan bentuk pelbagai rajah kepada bentuk segi empat sama.

E E
B B
D
A F G A F C M P

Diberi bentuk poligon tidak sekata ABCDEF. • Panjangkan garisan AF.
• Bina garisan yang selari dengan CA dari B E
menyilang pada G. B Imbas QR Code di atas untuk
• Bina garisan GC. I A F H N mengakses aktiviti berkaitan
rajah sama luas.
Poligon tidak sekata ABCDEF adalah sama
luas dengan segi empat sama HMPN.

62 63

2.9.2 Menentukan Pusat Bulatan atau Lengkok dengan Menggunakan kaedah
2.9 Bulatan Dua Perentas
Bulatan

Kaedah menentukan pusat bulatan dengan menggunakan kaedah dua perentas ditunjukkan dalam BAB 2: GEOMETRI
Standar 2.9.1 Ciri-ciri dan Istilah dalam Bulatan Rajah 2.61.
Pembelajara Langkah 1 Langkah 2
Bulatan ditakrifkan sebagai lokus bagi titik yang bergerak dengan
jarak yang sama dari satu titik tetap. Titik yang bergerak itu
Murid boleh:
• Menerangkan ciri-ciri istilah menghasilkan lilitan bulatan, manakala titik tetap dinamakan C O C
dalam bulatan pusat bulatan. Jarak titik yang bergerak dengan titik tetap pula A A
i. Pusat bulatan
ii. Jejari dipanggil jejari. Rajah 2.60 menunjukkan ciri-ciri bulatan,
manakala Jadual 2.4 menerangkan beberapa istilah yang
iii. Diameter B B
iv. Lilitan digunakan dalam bulatan. Diberi satu bulatan. Bina dua garisan perentas AB • Bahagi dua sama perentas
v. Perentas dan BC. AB dan BC.
vi. Tembereng
vii. Sukuan Lilitan bulatan • Persilangan garisan
pembahagi dua perentas
viii. Lengkok
ix. Sektor adalah pusat bulatan O.
• Menentukan pusat bulatan Pusat bulatan
atau lengkok dengan Rajah 2.61 Kaedah menentukan pusat bulatan dengan menggunakan kaedah dua perentas.
menggunakan kaedah dua
perentas. Lengkok
• Membina bulatan atau Diameter
lengkok apabila diberi Jejari Kaedah menentukan pusat lengkok dengan menggunakan kaedah dua perentas ditunjukkan dalam
parameter berikut Rajah 2.62.
i. Jejari Langkah 1 Langkah 2
ii. Diameter
iii. Tiga titik A A
• Membina bulatan terterap lilit
i. Di luar segi tiga Sukuan Tembereng O
ii. Di dalam segi tiga
C C
B B
Perentas Diberi satu lengkok. Bina dua garisan perentas AB • Bahagi dua sama perentas
dan BC. AB dan BC.
Lengkok
• Persilangan garisan
Sektor pembahagi dua perentas
adalah pusat bulatan O.
Rajah 2.60 Ciri-ciri dan istilah dalam bulatan. Rajah 2.62 Kaedah menentukan pusat lengkok dengan menggunakan kaedah dua perentas.
Jadual 2.4 Istilah dalam bulatan. 2.9.3 Membina Bulatan atau Lengkok Apabila Diberi
Istilah Keterangan Jejari
Pusat bulatan Titik tetap yang jaraknya dari sebarang titik pada sempadan adalah malar.
Jejari Garis lurus dari pusat bulatan ke sebarang titik pada lilitan bulatan. Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi jejari ditunjukkan dalam Rajah 2.63.
Diameter Garis lurus dari satu sisi bulatan ke sisi yang bertentangan dan melalui pusat bulatan. Langkah 1 Langkah 2
Lilitan Panjang sempadan atau perimeter bulatan.
Perentas Garis lurus yang menyambungkan sebarang dua titik pada lilitan bulatan. J J
Tembereng Satu rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan perentas. O O
Sukuan Satu per empat daripada satu bulatan.
Lengkok Mana-mana satu bahagian daripada lilitan bulatan. Diberi jejari J. Tentukan kedudukan pusat Berpusat di O, lukiskan bulatan
Sektor Satu rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari di kedua-dua hujung lengkok itu. bulatan atau lengkok. atau lengkok dengan jejari J.
Rajah 2.63 Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi jejari.
64 65

2.9.2 Menentukan Pusat Bulatan atau Lengkok dengan Menggunakan kaedah
2.9 Bulatan Dua Perentas
Bulatan

Kaedah menentukan pusat bulatan dengan menggunakan kaedah dua perentas ditunjukkan dalam BAB 2: GEOMETRI
Standar 2.9.1 Ciri-ciri dan Istilah dalam Bulatan Rajah 2.61.
Pembelajara Langkah 1 Langkah 2
Bulatan ditakrifkan sebagai lokus bagi titik yang bergerak dengan
jarak yang sama dari satu titik tetap. Titik yang bergerak itu
Murid boleh:
• Menerangkan ciri-ciri istilah menghasilkan lilitan bulatan, manakala titik tetap dinamakan C O C
dalam bulatan pusat bulatan. Jarak titik yang bergerak dengan titik tetap pula A A
i. Pusat bulatan
ii. Jejari dipanggil jejari. Rajah 2.60 menunjukkan ciri-ciri bulatan,
manakala Jadual 2.4 menerangkan beberapa istilah yang
iii. Diameter B B
iv. Lilitan digunakan dalam bulatan. Diberi satu bulatan. Bina dua garisan perentas AB • Bahagi dua sama perentas
v. Perentas dan BC. AB dan BC.
vi. Tembereng
vii. Sukuan Lilitan bulatan • Persilangan garisan
pembahagi dua perentas
viii. Lengkok
ix. Sektor adalah pusat bulatan O.
• Menentukan pusat bulatan Pusat bulatan
atau lengkok dengan Rajah 2.61 Kaedah menentukan pusat bulatan dengan menggunakan kaedah dua perentas.
menggunakan kaedah dua
perentas. Lengkok
• Membina bulatan atau Diameter
lengkok apabila diberi Jejari Kaedah menentukan pusat lengkok dengan menggunakan kaedah dua perentas ditunjukkan dalam
parameter berikut Rajah 2.62.
i. Jejari Langkah 1 Langkah 2
ii. Diameter
iii. Tiga titik A A
• Membina bulatan terterap lilit
i. Di luar segi tiga Sukuan Tembereng O
ii. Di dalam segi tiga
C C
B B
Perentas Diberi satu lengkok. Bina dua garisan perentas AB • Bahagi dua sama perentas
dan BC. AB dan BC.
Lengkok
• Persilangan garisan
Sektor pembahagi dua perentas
adalah pusat bulatan O.
Rajah 2.60 Ciri-ciri dan istilah dalam bulatan. Rajah 2.62 Kaedah menentukan pusat lengkok dengan menggunakan kaedah dua perentas.
Jadual 2.4 Istilah dalam bulatan. 2.9.3 Membina Bulatan atau Lengkok Apabila Diberi
Istilah Keterangan Jejari
Pusat bulatan Titik tetap yang jaraknya dari sebarang titik pada sempadan adalah malar.
Jejari Garis lurus dari pusat bulatan ke sebarang titik pada lilitan bulatan. Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi jejari ditunjukkan dalam Rajah 2.63.
Diameter Garis lurus dari satu sisi bulatan ke sisi yang bertentangan dan melalui pusat bulatan. Langkah 1 Langkah 2
Lilitan Panjang sempadan atau perimeter bulatan.
Perentas Garis lurus yang menyambungkan sebarang dua titik pada lilitan bulatan. J J
Tembereng Satu rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan perentas. O O
Sukuan Satu per empat daripada satu bulatan.
Lengkok Mana-mana satu bahagian daripada lilitan bulatan. Diberi jejari J. Tentukan kedudukan pusat Berpusat di O, lukiskan bulatan
Sektor Satu rantau yang dibatasi oleh satu lengkok dan dua jejari di kedua-dua hujung lengkok itu. bulatan atau lengkok. atau lengkok dengan jejari J.
Rajah 2.63 Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi jejari.
64 65

Diameter Langkah 3

Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi diameter ditunjukkan dalam Rajah 2.64. x
Langkah 1 Langkah 2 B BAB 2: GEOMETRI
O
Bina bulatan terterap lilit di luar sebuah segi tiga apabila diberi
panjang sisi 45 mm, 55 mm dan 70 mm.
D y
O O C
A
Lukiskan bulatan berjejari Oy
Diberi diameter, D. Lukis diameter D dan bahagi Berpusat di O, bina bulatan menyentuh pada titik x dan y.
dua sama diameter untuk atau lengkok berjejari ½ D. Rajah 2.66 Kaedah membina bulatan terterap lilit di luar segi tiga.
menentukan pusat bulatan atau
lengkok. Titik O diperoleh. Membina Bulatan Terterap Lilit di Dalam Segi Tiga
Rajah 2.64 Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi diameter.
Kaedah membina bulatan terterap lilit di dalam segi tiga ditunjukkan dalam Rajah 2.67.
Tiga Titik
Langkah 1 Langkah 2
Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi tiga titik ditunjukkan dalam Rajah 2.65. B B B
Langkah 1 Langkah 2 x
A A
A A A A
B B O O y
O B O

C
C C C
C C
Diberi tiga titik A, B dan C. • Bina garisan AC dan BC. Berpusat di O, bina bulatan Diberi segi tiga ABC. Bahagi dua sama sudut BAC Bina garisan serenjang dari O
• Bahagi dua sama garisan atau lengkok melalui titik A,B dan ACB untuk menentukan ke garisan AB dan BC supaya
tersebut untuk menentukan dan C. kedudukan pusat bulatan O. menyilang di x dan y.
pusat bulatan atau lengkok. Langkah 3
Titik O diperoleh.
Rajah 2.65 Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi tiga titik. B

2.9.4 Membina Bulatan Terterap Lilit Di Luar dan Di Dalam Segi Tiga x
Membina Bulatan Terterap Lilit di Luar Segi Tiga A Bina bulatan terterap lilit di dalam sebuah segi tiga apabila diberi
O y
panjang sisi 50 mm, 60 mm dan 70 mm.
Kaedah membina bulatan terterap lilit di luar segi tiga ditunjukkan dalam Rajah 2.66.
Langkah 1 Langkah 2 C
B x Berpusat di O, bina bulatan
B p° berjejari Ox menyentuh titik x
O B O dan y.
Rajah 2.67 Kaedah membina bulatan terterap lilit di dalam segi tiga.
C q°
A C C y
A A Imbas QR Code di sebelah
Diberi segi tiga ABC. • Panjangkan sisi AB dan AC. Bina garisan serenjang dari O untuk mengakses aktiviti
• Bahagi dua sama sudut p° ke garisan AB dan AC supaya berkaitan bulatan.
dan q° supaya menyilang menyilang di x dan y.
di O.
66 67

Diameter Langkah 3

Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi diameter ditunjukkan dalam Rajah 2.64. x
Langkah 1 Langkah 2 B BAB 2: GEOMETRI
O
Bina bulatan terterap lilit di luar sebuah segi tiga apabila diberi
panjang sisi 45 mm, 55 mm dan 70 mm.
D y
O O C
A
Lukiskan bulatan berjejari Oy
Diberi diameter, D. Lukis diameter D dan bahagi Berpusat di O, bina bulatan menyentuh pada titik x dan y.
dua sama diameter untuk atau lengkok berjejari ½ D. Rajah 2.66 Kaedah membina bulatan terterap lilit di luar segi tiga.
menentukan pusat bulatan atau
lengkok. Titik O diperoleh. Membina Bulatan Terterap Lilit di Dalam Segi Tiga
Rajah 2.64 Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi diameter.
Kaedah membina bulatan terterap lilit di dalam segi tiga ditunjukkan dalam Rajah 2.67.
Tiga Titik
Langkah 1 Langkah 2
Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi tiga titik ditunjukkan dalam Rajah 2.65. B B B
Langkah 1 Langkah 2 x
A A
A A A A
B B O O y
O B O

C
C C C
C C
Diberi tiga titik A, B dan C. • Bina garisan AC dan BC. Berpusat di O, bina bulatan Diberi segi tiga ABC. Bahagi dua sama sudut BAC Bina garisan serenjang dari O
• Bahagi dua sama garisan atau lengkok melalui titik A,B dan ACB untuk menentukan ke garisan AB dan BC supaya
tersebut untuk menentukan dan C. kedudukan pusat bulatan O. menyilang di x dan y.
pusat bulatan atau lengkok. Langkah 3
Titik O diperoleh.
Rajah 2.65 Kaedah membina bulatan atau lengkok apabila diberi tiga titik. B

2.9.4 Membina Bulatan Terterap Lilit Di Luar dan Di Dalam Segi Tiga x
Membina Bulatan Terterap Lilit di Luar Segi Tiga A Bina bulatan terterap lilit di dalam sebuah segi tiga apabila diberi
O y
panjang sisi 50 mm, 60 mm dan 70 mm.
Kaedah membina bulatan terterap lilit di luar segi tiga ditunjukkan dalam Rajah 2.66.
Langkah 1 Langkah 2 C
B x Berpusat di O, bina bulatan
B p° berjejari Ox menyentuh titik x
O B O dan y.
Rajah 2.67 Kaedah membina bulatan terterap lilit di dalam segi tiga.
C q°
A C C y
A A Imbas QR Code di sebelah
Diberi segi tiga ABC. • Panjangkan sisi AB dan AC. Bina garisan serenjang dari O untuk mengakses aktiviti
• Bahagi dua sama sudut p° ke garisan AB dan AC supaya berkaitan bulatan.
dan q° supaya menyilang menyilang di x dan y.
di O.
66 67

Parabola
2.10 Elips dan Parabola
Parabola adalah satu titik yang bergerak dari satu titik tetap (titik
fokus) yang sentiasa mempunyai jarak yang sama dengan jarak A D

Standar 2.10.1 Ciri-ciri Elips dan Parabola serenjang titik itu dengan satu garis lurus (direktriks). Parabola BAB 2: GEOMETRI
Pembelajara mempunyai mercu dan paksi simetri. Mercu parabola adalah
Elips separuh daripada jarak serenjang titik fokus dengan direktriks
yang ditetapkan manakala paksi simetri adalah pembahagi dua
Murid boleh: parabola. Rajah 2.69 menunjukkan kedudukan mercu, titik fokus, B C
• Menyatakan ciri-ciri elips dan Elips adalah satu titik yang bergerak supaya jumlah jaraknya E
parabola dari dua titik tetap (fokus) adalah sama. Elips mempunyai paksi paksi simetri dan direktriks. Titik E adalah titik tangen
i. Elips major dan paksi minor. Paksi yang panjang adalah paksi major, bagi lengkung parabola
(a) Pusat Direktriks di dalam segi empat tepat.
(b) Paksi major manakala paksi yang pendek adalah paksi minor. Hubungan
antara paksi major, paksi minor, dan titik fokus (F) ditunjukkan
(c) Paksi minor Mercu
ii. Parabola
(a) Mercu dalam Rajah 2.68.
(b) Paksi simetri Pusat Elips
• Membina elips menggunakan KBAT
kaedah bulatan sepusat Paksi simetri
• Membina parabola
menggunakan kaedah segi Paksi minor Titik fokus
empat tepat

Rajah 2.69 Kedudukan mercu, titik fokus, paksi simetri dan direktriks.


Paksi major
D (a) Paksi major dan paksi minor. Mengapakah piring
1
J= paksi major Pelajar dibahagikan kepada beberapa kumpulan kecil. pemancar dan penerima
2
isyarat telekomunikasi
A C B Setiap kumpulan diminta bergerak di sekitar kawasan sekolah berbentuk parabola?
untuk mencari objek yang berbentuk elips dan parabola.
Jejari (J) Bentangkan hasil dapatan setiap kumpulan.
B
A C
Titik A, B, C dan D adalah titik F F
tangen bagi lengkung elips 2.10.2 Membina Elips Menggunakan kaedah Bulatan Sepusat
di dalam segi empat tepat.
Kaedah pembinaan elips menggunakan kaedah bulatan sepusat ditunjukkan dalam Rajah 2.70.
D
(b) Titik fokus F dibina pada paksi major dengan jejari separuh Langkah 1 Langkah 2
paksi major.
B x y AC = Paksi major paksi minor a ½ paksi major
½ paksi
minor
F1B + F2B = AC
A C F1x + F2x = AC
F F paksi major b
F1y + F2y = AC

D Diberi paksi minor a dan paksi Bina dua bulatan sepusat Bahagi bulatan kepada 12
(c) Paksi minor adalah sama panjang dengan hasil tambah major b. dengan jejari ½ paksi minor a bahagian yang sama.
mana-mana dua garisan yang menyentuh elips dan kedua- dan ½ paksi major b.
dua titik fokus F1 dan F2.

Rajah 2.68 Ciri-ciri elips dan hubungan antara paksi minor, paksi major
dan titik fokus, F.

68 69

Parabola
2.10 Elips dan Parabola
Parabola adalah satu titik yang bergerak dari satu titik tetap (titik
fokus) yang sentiasa mempunyai jarak yang sama dengan jarak A D

Standar 2.10.1 Ciri-ciri Elips dan Parabola serenjang titik itu dengan satu garis lurus (direktriks). Parabola BAB 2: GEOMETRI
Pembelajara mempunyai mercu dan paksi simetri. Mercu parabola adalah
Elips separuh daripada jarak serenjang titik fokus dengan direktriks
yang ditetapkan manakala paksi simetri adalah pembahagi dua
Murid boleh: parabola. Rajah 2.69 menunjukkan kedudukan mercu, titik fokus, B C
• Menyatakan ciri-ciri elips dan Elips adalah satu titik yang bergerak supaya jumlah jaraknya E
parabola dari dua titik tetap (fokus) adalah sama. Elips mempunyai paksi paksi simetri dan direktriks. Titik E adalah titik tangen
i. Elips major dan paksi minor. Paksi yang panjang adalah paksi major, bagi lengkung parabola
(a) Pusat Direktriks di dalam segi empat tepat.
(b) Paksi major manakala paksi yang pendek adalah paksi minor. Hubungan
antara paksi major, paksi minor, dan titik fokus (F) ditunjukkan
(c) Paksi minor Mercu
ii. Parabola
(a) Mercu dalam Rajah 2.68.
(b) Paksi simetri Pusat Elips
• Membina elips menggunakan KBAT
kaedah bulatan sepusat Paksi simetri
• Membina parabola
menggunakan kaedah segi Paksi minor Titik fokus
empat tepat

Rajah 2.69 Kedudukan mercu, titik fokus, paksi simetri dan direktriks.


Paksi major
D (a) Paksi major dan paksi minor. Mengapakah piring
1
J= paksi major Pelajar dibahagikan kepada beberapa kumpulan kecil. pemancar dan penerima
2
isyarat telekomunikasi
A C B Setiap kumpulan diminta bergerak di sekitar kawasan sekolah berbentuk parabola?
untuk mencari objek yang berbentuk elips dan parabola.
Jejari (J) Bentangkan hasil dapatan setiap kumpulan.
B
A C
Titik A, B, C dan D adalah titik F F
tangen bagi lengkung elips 2.10.2 Membina Elips Menggunakan kaedah Bulatan Sepusat
di dalam segi empat tepat.
Kaedah pembinaan elips menggunakan kaedah bulatan sepusat ditunjukkan dalam Rajah 2.70.
D
(b) Titik fokus F dibina pada paksi major dengan jejari separuh Langkah 1 Langkah 2
paksi major.
B x y AC = Paksi major paksi minor a ½ paksi major
½ paksi
minor
F1B + F2B = AC
A C F1x + F2x = AC
F F paksi major b
F1y + F2y = AC

D Diberi paksi minor a dan paksi Bina dua bulatan sepusat Bahagi bulatan kepada 12
(c) Paksi minor adalah sama panjang dengan hasil tambah major b. dengan jejari ½ paksi minor a bahagian yang sama.
mana-mana dua garisan yang menyentuh elips dan kedua- dan ½ paksi major b.
dua titik fokus F1 dan F2.

Rajah 2.68 Ciri-ciri elips dan hubungan antara paksi minor, paksi major
dan titik fokus, F.

68 69

Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5 Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5
4 3 3 3 3 3
B d e f 2 1E C B d e f 2 1E 1 2 f' e' d' C B d e f 2 1E 1 2 f' e' d' C
1 1 1 1 1 BAB 2: GEOMETRI
2 c 2 c c' 2 2 c c' 2
3 3 3 3 3
4 b 4 b b' 4 4 b b' 4
a a a' a a'
A F D A F D A F D
Bina garisan menegak dari d, • Ulang langkah untuk Lukis lengkung parabola melalui
Bina garisan mengufuk pada Bina garisan menegak pada titik Lukiskan lengkung elips e dan f menyilang di garisan bahagian simetri. titik persilangan menggunakan
setiap titik persilangan garisan persilangan garisan pembahagi melalui titik persilangan garisan Ea, Eb dan Ec. Titik lengkung • Titik-titik parabola lengkung Perancis atau lengkung
pembahagi 12 dengan bulatan 12 dengan bulatan major. mengufuk dan menegak. parabola diperoleh. bahagian simetri ini boleh lentur.
minor. Gunakan lengkung Perancis juga boleh di tentukan
atau lengkung boleh lentur. menggunakan konsep
pantulan.
Rajah 2.70 Kaedah pembinaan elips menggunakan kaedah bulatan sepusat.
• Gunakan jangka lukis dan
pembaris sesiku T.

Rajah 2.71 Langkah pembinaan parabola menggunakan kaedah segi empat tepat.
Lukis elips apabila diberi panjang paksi major=90 mm dan paksi minor= 60 mm


2.10.3 Membina Parabola Menggunakan kaedah Segi Empat Tepat Lukis parabola jika diberi panjang AB = 55 mm dan AD = 70 mm.

Kaedah pembinaan parabola menggunakan kaedah segi empat tepat ditunjukkan dalam Rajah 2.71.
LATIHAN 2.10
Langkah 1 Langkah 2
1. Lukiskan elips apabila diberi ukuran seperti berikut.
B E C 4 3 4 3 (a) (b) (c)
B d e f 2 1 E C B d e f 2 1 E C 70
1 1 120
2 c 2 c 70 30°
3 3
4 b 4 b 30
a a
A D
A F D A F D 45
50

Diberi segi empat ABCD dan Bina paksi simetri EF dan Bina garisan dari mercu E ke
kedudukan mercu E. bahagikan AB, BE kepada 4 titik pembahagian A, a, b dan c. 2. Lukis parabola apabila diberi ukuran berikut. Titik A adalah mercu parabola.
bahagian sama. Titik a, b, c, d, (a) (b)
e, dan f diperoleh. 120
60
80

A
80


45°
A


70 71

Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5 Langkah 3 Langkah 4 Langkah 5
4 3 3 3 3 3
B d e f 2 1E C B d e f 2 1E 1 2 f' e' d' C B d e f 2 1E 1 2 f' e' d' C
1 1 1 1 1 BAB 2: GEOMETRI
2 c 2 c c' 2 2 c c' 2
3 3 3 3 3
4 b 4 b b' 4 4 b b' 4
a a a' a a'
A F D A F D A F D
Bina garisan menegak dari d, • Ulang langkah untuk Lukis lengkung parabola melalui
Bina garisan mengufuk pada Bina garisan menegak pada titik Lukiskan lengkung elips e dan f menyilang di garisan bahagian simetri. titik persilangan menggunakan
setiap titik persilangan garisan persilangan garisan pembahagi melalui titik persilangan garisan Ea, Eb dan Ec. Titik lengkung • Titik-titik parabola lengkung Perancis atau lengkung
pembahagi 12 dengan bulatan 12 dengan bulatan major. mengufuk dan menegak. parabola diperoleh. bahagian simetri ini boleh lentur.
minor. Gunakan lengkung Perancis juga boleh di tentukan
atau lengkung boleh lentur. menggunakan konsep
pantulan.
Rajah 2.70 Kaedah pembinaan elips menggunakan kaedah bulatan sepusat.
• Gunakan jangka lukis dan
pembaris sesiku T.

Rajah 2.71 Langkah pembinaan parabola menggunakan kaedah segi empat tepat.
Lukis elips apabila diberi panjang paksi major=90 mm dan paksi minor= 60 mm


2.10.3 Membina Parabola Menggunakan kaedah Segi Empat Tepat Lukis parabola jika diberi panjang AB = 55 mm dan AD = 70 mm.

Kaedah pembinaan parabola menggunakan kaedah segi empat tepat ditunjukkan dalam Rajah 2.71.
LATIHAN 2.10
Langkah 1 Langkah 2
1. Lukiskan elips apabila diberi ukuran seperti berikut.
B E C 4 3 4 3 (a) (b) (c)
B d e f 2 1 E C B d e f 2 1 E C 70
1 1 120
2 c 2 c 70 30°
3 3
4 b 4 b 30
a a
A D
A F D A F D 45
50

Diberi segi empat ABCD dan Bina paksi simetri EF dan Bina garisan dari mercu E ke
kedudukan mercu E. bahagikan AB, BE kepada 4 titik pembahagian A, a, b dan c. 2. Lukis parabola apabila diberi ukuran berikut. Titik A adalah mercu parabola.
bahagian sama. Titik a, b, c, d, (a) (b)
e, dan f diperoleh. 120
60
80

A
80


45°
A


70 71

2.11.2 Melukis Garisan Bertangen kepada Bulatan
2.11 Ketangenan Titik Berada pada Lilitan Bulatan



Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik berada pada lilitan bulatan BAB 2: GEOMETRI
Standar 2.11.1 Konsep dan Ciri-ciri Ketangenan ditunjukkan dalam Rajah 2.73.
Pembelajara
Tangen adalah satu garis lurus atau bulatan yang bersentuhan Langkah 1 Langkah 2
dengan bulatan atau lengkok pada satu titik. Titik ini dikenali
Murid boleh: C
• Menerangkan konsep dan ciri sebagai titik tangen. Garisan yang menyambungkan pusat T
ketangenan bulatan dengan titik tangen tersebut adalah garisan normal dan T B T B
i. Tangen garisan kepada O A A
bulatan garisan ini berserenjang dengan garisan tangen. Konsep dan O O
ii. Tangen bulatan kepada ciri-ciri ketangenan dapat dilihat seperti Rajah 2.72.
bulatan
• Melukis garisan bertangen
kepada bulatan apabila Diberi satu bulatan dengan • Bina dan panjangkan Berpusat di A dan B, bina
i. Titik berada pada lilitan J pusat O dan titik tangen T. garisan normal OT. lengkok berjejari sama
bulatan Garisan
ii. Titik berada di luar bulatan normal • Berpusat di T, bina lengkok menyilang di C.
iii. Titik menyentuh luar dua menyilang pada garisan OT.
bulatan
iv. Titik bersilang antara dua Titik A dan B diperoleh.
bulatan Titik tangen
• Membina bulatan bertangen Langkah 3
kepada (a) Bulatan menyentuh garisan.
i. Satu garisan lurus apabila C R35
diberi jejari bulatan
ii. Dua garisan lurus apabila T B Sentiasa membina garisan
diberi jejari bulatan Titik A normal untuk menentukan
• Membina bulatan bertangen J j tangen O O T titik tangen.
kepada
i. Satu bulatan lain dan O O
menyentuh di sebelah luar Garisan
ii. Satu bulatan lain dan normal Lukiskan garisan tangen
menyentuh di sebelah CT yang bertangen dengan Lukis garisan bertangen kepada
dalam bulatan berjejari 35 mm.
iii. Dua bulatan lain yang (b) Bulatan menyentuh bulatan di sebelah dalam. bulatan.
menyentuh di sebelah Rajah 2.73 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik berada pada lilitan bulatan.
dalam
iv. Dua bulatan lain yang Titik Titik Berada di Luar Bulatan
menyentuh di sebelah luar tangen
• Melukis pencontoh yang J
diberi menggunakan kaedah j Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik
ketangenan, elips dan parabola berada di luar bulatan ditunjukkan dalam Rajah 2.74.
O O
Langkah 1

Garisan
normal
(c) Bulatan menyentuh bulatan di sebelah luar.
O O
Rajah 2.72 Konsep dan ciri-ciri ketangenan. A
T T

Diberi satu bulatan dengan Bina garisan OT dan bahagi
Konsep tangen boleh dilihat
Secara berkumpulan, bincangkan tiga objek/produk yang pusat O dan titik tangen T dua sama. Titik A diperoleh.
pada rantai basikal seperti
menggunakan konsep ketangenan.
gambar di atas. di luar bulatan.
72 73

2.11.2 Melukis Garisan Bertangen kepada Bulatan
2.11 Ketangenan Titik Berada pada Lilitan Bulatan



Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik berada pada lilitan bulatan BAB 2: GEOMETRI
Standar 2.11.1 Konsep dan Ciri-ciri Ketangenan ditunjukkan dalam Rajah 2.73.
Pembelajara
Tangen adalah satu garis lurus atau bulatan yang bersentuhan Langkah 1 Langkah 2
dengan bulatan atau lengkok pada satu titik. Titik ini dikenali
Murid boleh: C
• Menerangkan konsep dan ciri sebagai titik tangen. Garisan yang menyambungkan pusat T
ketangenan bulatan dengan titik tangen tersebut adalah garisan normal dan T B T B
i. Tangen garisan kepada O A A
bulatan garisan ini berserenjang dengan garisan tangen. Konsep dan O O
ii. Tangen bulatan kepada ciri-ciri ketangenan dapat dilihat seperti Rajah 2.72.
bulatan
• Melukis garisan bertangen
kepada bulatan apabila Diberi satu bulatan dengan • Bina dan panjangkan Berpusat di A dan B, bina
i. Titik berada pada lilitan J pusat O dan titik tangen T. garisan normal OT. lengkok berjejari sama
bulatan Garisan
ii. Titik berada di luar bulatan normal • Berpusat di T, bina lengkok menyilang di C.
iii. Titik menyentuh luar dua menyilang pada garisan OT.
bulatan
iv. Titik bersilang antara dua Titik A dan B diperoleh.
bulatan Titik tangen
• Membina bulatan bertangen Langkah 3
kepada (a) Bulatan menyentuh garisan.
i. Satu garisan lurus apabila C R35
diberi jejari bulatan
ii. Dua garisan lurus apabila T B Sentiasa membina garisan
diberi jejari bulatan Titik A normal untuk menentukan
• Membina bulatan bertangen J j tangen O O T titik tangen.
kepada
i. Satu bulatan lain dan O O
menyentuh di sebelah luar Garisan
ii. Satu bulatan lain dan normal Lukiskan garisan tangen
menyentuh di sebelah CT yang bertangen dengan Lukis garisan bertangen kepada
dalam bulatan berjejari 35 mm.
iii. Dua bulatan lain yang (b) Bulatan menyentuh bulatan di sebelah dalam. bulatan.
menyentuh di sebelah Rajah 2.73 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik berada pada lilitan bulatan.
dalam
iv. Dua bulatan lain yang Titik Titik Berada di Luar Bulatan
menyentuh di sebelah luar tangen
• Melukis pencontoh yang J
diberi menggunakan kaedah j Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik
ketangenan, elips dan parabola berada di luar bulatan ditunjukkan dalam Rajah 2.74.
O O
Langkah 1

Garisan
normal
(c) Bulatan menyentuh bulatan di sebelah luar.
O O
Rajah 2.72 Konsep dan ciri-ciri ketangenan. A
T T

Diberi satu bulatan dengan Bina garisan OT dan bahagi
Konsep tangen boleh dilihat
Secara berkumpulan, bincangkan tiga objek/produk yang pusat O dan titik tangen T dua sama. Titik A diperoleh.
pada rantai basikal seperti
menggunakan konsep ketangenan.
gambar di atas. di luar bulatan.
72 73

Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4

P P T T J40
J35
P BAB 2: GEOMETRI
O O 30° A T
A A J25
T T
75 B 90
• Berpusat di A, bina Lukiskan garisan tangen PT. Lukis garisan bertangen kepada bulatan
separuh bulatan supaya Lukis garisan bertangen di luar Lukiskan garisan tangen T1T2. apabila titik menyentuh luar dua bulatan.
menyilang di P. bulatan.
• Bina garisan normal OP. Rajah 2.75 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik menyentuh luar dua bulatan.

Rajah 2.74 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik Titik Bersilang antara Dua Bulatan
berada di luar bulatan.
Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik bersilang antara dua bulatan
Titik Menyentuh Luar Dua Bulatan ditunjukkan dalam Rajah 2.76.

Langkah 1
Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik menyentuh luar dua bulatan
ditunjukkan dalam Rajah 2.75. J
Langkah 1
A
j A
J O
B
A B
j A
B O Diberi dua bulatan berjejari J dan j. • Bina garisan AB dan bahagi dua sama,
B
titik tengah O diperoleh.
Diberi dua bulatan berjejari J dan j. • Bina garisan AB dan bahagi dua sama. • Bina bulatan berjejari OA atau OB.
Titik tengah O diperoleh.
• Bina separuh bulatan berjejari OA atau OB. Langkah 2 Langkah 3

Langkah 2 Langkah 3 P P

T (J + j) T
(J-j) P P A A

A A T
B B
B B T


Berpusat di A. bina lengkok berjejari (J-j) • Bina garisan normal dari titik A melalui P Berpusat di A, bina lengkok berjejari (J+j) • Bina garisan normal dari titik A melalui P
menyilang di P. hingga menyilang pada T1. menyilang di P. menyilang pada T1.
• Bina garisan selari dengan AT1 dari B • Bina garisan yang selari dengan AT1 dari
menyilang pada T2. B menyilang pada T2.
• Titik T1 dan T2 adalah titik ketangenan. • Titik T1 dan T2 adalah titik ketangenan.




74 75

Langkah 2 Langkah 3 Langkah 4

P P T T J40
J35
P BAB 2: GEOMETRI
O O 30° A T
A A J25
T T
75 B 90
• Berpusat di A, bina Lukiskan garisan tangen PT. Lukis garisan bertangen kepada bulatan
separuh bulatan supaya Lukis garisan bertangen di luar Lukiskan garisan tangen T1T2. apabila titik menyentuh luar dua bulatan.
menyilang di P. bulatan.
• Bina garisan normal OP. Rajah 2.75 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik menyentuh luar dua bulatan.

Rajah 2.74 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik Titik Bersilang antara Dua Bulatan
berada di luar bulatan.
Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik bersilang antara dua bulatan
Titik Menyentuh Luar Dua Bulatan ditunjukkan dalam Rajah 2.76.

Langkah 1
Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik menyentuh luar dua bulatan
ditunjukkan dalam Rajah 2.75. J
Langkah 1
A
j A
J O
B
A B
j A
B O Diberi dua bulatan berjejari J dan j. • Bina garisan AB dan bahagi dua sama,
B
titik tengah O diperoleh.
Diberi dua bulatan berjejari J dan j. • Bina garisan AB dan bahagi dua sama. • Bina bulatan berjejari OA atau OB.
Titik tengah O diperoleh.
• Bina separuh bulatan berjejari OA atau OB. Langkah 2 Langkah 3

Langkah 2 Langkah 3 P P

T (J + j) T
(J-j) P P A A

A A T
B B
B B T


Berpusat di A. bina lengkok berjejari (J-j) • Bina garisan normal dari titik A melalui P Berpusat di A, bina lengkok berjejari (J+j) • Bina garisan normal dari titik A melalui P
menyilang di P. hingga menyilang pada T1. menyilang di P. menyilang pada T1.
• Bina garisan selari dengan AT1 dari B • Bina garisan yang selari dengan AT1 dari
menyilang pada T2. B menyilang pada T2.
• Titik T1 dan T2 adalah titik ketangenan. • Titik T1 dan T2 adalah titik ketangenan.




74 75

Dua Garisan Lurus apabila Diberi Jejari Bulatan
Langkah 4
Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua garisan lurus apabila diberi jejari bulatan
J 45
P ditunjukkan dalam Rajah 2.78.
Langkah 1 Langkah 2 BAB 2: GEOMETRI
T
C C C
J 20
A
100 J
B O
T Lukis garisan bertangen kepada J
bulatan apabila titik bersilang B A B A B A
antara dua bulatan.
Lukiskan garisan tangen T1T2. Diberi dua garis lurus dan Berpusat di B, bina lengkok • Bina garisan serenjang di B
jejari bulatan J. dan bahagi dua sama sudut dan tandakan ketinggian J.
Rajah 2.76 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik
bersilang antara dua bulatan. ABC. • Bina garisan selari BA
berketinggian J menyilang
2.11.3 Membina Bulatan Bertangen
Bulatan baharu (hasil tambah/ Langkah 3 Langkah 4 di O.
Satu Garisan Lurus apabila Diberi Jejari Bulatan tolak) mesti berpusatkan pada
pusat bulatan besar. C C
Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu garisan lurus T T
apabila diberi jejari bulatan ditunjukkan dalam Rajah 2.77.
O O Lukis bulatan bertangen kepada
Langkah 1 dua garisan lurus apabila diberi
B T A B T A jejari bulatan, J = 55 mm dan
sudut ABC = 60°.
J
Bina garisan serenjang dari titik Berpusat di O, lukiskan bulatan
O ke garisan AB dan BC. Titik berjejari J yang bertangen
A
tangen T1 dan T2 diperoleh. di T1 dan T2.
A Rajah 2.78 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua garisan lurus apabila diberi jejari bulatan.
Diberi satu titik A pada garisan Berpusat di A, bina garisan
dan jejari J. serenjang. 2.11.4 Membina Bulatan Bertangen

Satu Bulatan Lain dan Menyentuh di Sebelah Luar
Langkah 2 Langkah 3
Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah luar
ditunjukkan dalam Rajah 2.79.
Langkah 1 Langkah 2

O O J J J
J j
O T
A A O (J + j) T P O T P

Berpusat di A, bina lengkok Berpusat di O, lukis bulatan
berjejari J menyilang di O. berjejari OA bertangen pada Diberi satu bulatan berjejari J, • Bina dan panjangkan Berpusat di P, lukiskan bulatan
titik A. Lukis bulatan bertangen titik tangen T dan satu jejari j. garisan normal OT. berjejari j yang menyentuh
kepada satu garisan lurus
Rajah 2.77 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu garisan lurus apabila diberi jejari = 55 mm. • Berpusat di O, bina titik tangen T.
apabila diberi jejari bulatan. lengkok berjejari (J+j)
menyilang pada P.
Rajah 2.79 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah luar.
76 77

Dua Garisan Lurus apabila Diberi Jejari Bulatan
Langkah 4
Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua garisan lurus apabila diberi jejari bulatan
J 45
P ditunjukkan dalam Rajah 2.78.
Langkah 1 Langkah 2 BAB 2: GEOMETRI
T
C C C
J 20
A
100 J
B O
T Lukis garisan bertangen kepada J
bulatan apabila titik bersilang B A B A B A
antara dua bulatan.
Lukiskan garisan tangen T1T2. Diberi dua garis lurus dan Berpusat di B, bina lengkok • Bina garisan serenjang di B
jejari bulatan J. dan bahagi dua sama sudut dan tandakan ketinggian J.
Rajah 2.76 Kaedah melukis garisan bertangen kepada bulatan apabila titik
bersilang antara dua bulatan. ABC. • Bina garisan selari BA
berketinggian J menyilang
2.11.3 Membina Bulatan Bertangen
Bulatan baharu (hasil tambah/ Langkah 3 Langkah 4 di O.
Satu Garisan Lurus apabila Diberi Jejari Bulatan tolak) mesti berpusatkan pada
pusat bulatan besar. C C
Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu garisan lurus T T
apabila diberi jejari bulatan ditunjukkan dalam Rajah 2.77.
O O Lukis bulatan bertangen kepada
Langkah 1 dua garisan lurus apabila diberi
B T A B T A jejari bulatan, J = 55 mm dan
sudut ABC = 60°.
J
Bina garisan serenjang dari titik Berpusat di O, lukiskan bulatan
O ke garisan AB dan BC. Titik berjejari J yang bertangen
A
tangen T1 dan T2 diperoleh. di T1 dan T2.
A Rajah 2.78 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua garisan lurus apabila diberi jejari bulatan.
Diberi satu titik A pada garisan Berpusat di A, bina garisan
dan jejari J. serenjang. 2.11.4 Membina Bulatan Bertangen

Satu Bulatan Lain dan Menyentuh di Sebelah Luar
Langkah 2 Langkah 3
Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah luar
ditunjukkan dalam Rajah 2.79.
Langkah 1 Langkah 2

O O J J J
J j
O T
A A O (J + j) T P O T P

Berpusat di A, bina lengkok Berpusat di O, lukis bulatan
berjejari J menyilang di O. berjejari OA bertangen pada Diberi satu bulatan berjejari J, • Bina dan panjangkan Berpusat di P, lukiskan bulatan
titik A. Lukis bulatan bertangen titik tangen T dan satu jejari j. garisan normal OT. berjejari j yang menyentuh
kepada satu garisan lurus
Rajah 2.77 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu garisan lurus apabila diberi jejari = 55 mm. • Berpusat di O, bina titik tangen T.
apabila diberi jejari bulatan. lengkok berjejari (J+j)
menyilang pada P.
Rajah 2.79 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah luar.
76 77

Satu Bulatan Lain dan Menyentuh di Sebelah Dalam Langkah 3

Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam T R 95
ditunjukkan dalam Rajah 2.80. T BAB 2: GEOMETRI
Langkah 1 Langkah 2 A B Lukis bulatan bertangen
J100 kepada dua bulatan lain yang
menyentuh di sebelah dalam.
P
J j j J25

T O T P (J-j) O T P O J45


Berpusat di P, lukiskan bulatan
atau lengkok berjejari R yang
Diberi satu bulatan berjejari J, • Bina dan panjangkan Berpusat di P, lukiskan bulatan
titik tangen T dan satu jejari j. garisan normal OT. berjejari j yang menyentuh menyentuh titik tangen T1
• Berpusat di O, bina titik tangen T. dan T2.
Rajah 2.81 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah dalam.
lengkok berjejari (J-j)
menyilang di P. Dua Bulatan Lain yang Menyentuh di Sebelah Luar
Rajah 2.80 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam.
Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar
ditunjukkan dalam Rajah 2.82.
Langkah 1 Langkah 2
Lukis bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam jika diberi nilai
J=45 mm dan j= 30 mm.
J j A B A B
A B
Dua Bulatan Lain yang Menyentuh di Sebelah Dalam T T

Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah dalam R (R + J) (R + j)
ditunjukkan dalam Rajah 2.81. P P
Langkah 1 Langkah 2 Diberi dua bulatan berjejari J • Berpusat di A, bina lengkok • Bina garisan normal
dan j serta satu jejari R. berjejari (R+J). dari titik P ke A hingga
T • Berpusat di B, bina lengkok menyilang pada T1.
J j T berjejari (R+j). Titik • Bina garisan normal
A B A B A B Langkah 3 persilangan P diperoleh. dari titik P ke B hingga
(R – j) menyilang pada T2.
(R – J)
R P P A B


Diberi dua bulatan berjejari J • Berpusat di A, bina • Bina garisan normal dari T R T 90
dan j serta satu jejari R. lengkok berjejari (R-J). titik P melalui A hingga J40
• Berpusat di B, bina lengkok menyilang pada T1. J20
berjejari (R-j). Titik • Bina garisan normal dari P
persilangan P diperoleh. titik P melalui B hingga
menyilang pada T2. Berpusat di P, bina bulatan
atau lengkok berjejari R yang J50
menyentuh titik tangen T1 Lukis bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh
dan T2. di sebelah luar.
Rajah 2.82 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar.
78 79

Satu Bulatan Lain dan Menyentuh di Sebelah Dalam Langkah 3

Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam T R 95
ditunjukkan dalam Rajah 2.80. T BAB 2: GEOMETRI
Langkah 1 Langkah 2 A B Lukis bulatan bertangen
J100 kepada dua bulatan lain yang
menyentuh di sebelah dalam.
P
J j j J25

T O T P (J-j) O T P O J45


Berpusat di P, lukiskan bulatan
atau lengkok berjejari R yang
Diberi satu bulatan berjejari J, • Bina dan panjangkan Berpusat di P, lukiskan bulatan
titik tangen T dan satu jejari j. garisan normal OT. berjejari j yang menyentuh menyentuh titik tangen T1
• Berpusat di O, bina titik tangen T. dan T2.
Rajah 2.81 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah dalam.
lengkok berjejari (J-j)
menyilang di P. Dua Bulatan Lain yang Menyentuh di Sebelah Luar
Rajah 2.80 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam.
Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar
ditunjukkan dalam Rajah 2.82.
Langkah 1 Langkah 2
Lukis bulatan bertangen kepada satu bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam jika diberi nilai
J=45 mm dan j= 30 mm.
J j A B A B
A B
Dua Bulatan Lain yang Menyentuh di Sebelah Dalam T T

Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah dalam R (R + J) (R + j)
ditunjukkan dalam Rajah 2.81. P P
Langkah 1 Langkah 2 Diberi dua bulatan berjejari J • Berpusat di A, bina lengkok • Bina garisan normal
dan j serta satu jejari R. berjejari (R+J). dari titik P ke A hingga
T • Berpusat di B, bina lengkok menyilang pada T1.
J j T berjejari (R+j). Titik • Bina garisan normal
A B A B A B Langkah 3 persilangan P diperoleh. dari titik P ke B hingga
(R – j) menyilang pada T2.
(R – J)
R P P A B


Diberi dua bulatan berjejari J • Berpusat di A, bina • Bina garisan normal dari T R T 90
dan j serta satu jejari R. lengkok berjejari (R-J). titik P melalui A hingga J40
• Berpusat di B, bina lengkok menyilang pada T1. J20
berjejari (R-j). Titik • Bina garisan normal dari P
persilangan P diperoleh. titik P melalui B hingga
menyilang pada T2. Berpusat di P, bina bulatan
atau lengkok berjejari R yang J50
menyentuh titik tangen T1 Lukis bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh
dan T2. di sebelah luar.
Rajah 2.82 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar.
78 79

Dua Bulatan Lain dan Menyentuh di Sebelah Dalam dan Luar Satu Bulatan Lain yang Menyentuh Titik Tangen Bulatan dan Melalui Satu Titik yang Diberi

Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam dan Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh titik tangen bulatan
luar ditunjukkan dalam Rajah 2.83. melalui satu titik yang diberi ditunjukkan dalam Rajah 2.84. BAB 2: GEOMETRI
Langkah 1 Langkah 1

T T
J j

A B A B O
(R - J) (R + j) O Q Q

R
P

Diberi dua bulatan dengan jejari J dan j serta • Berpusat di A, bina lengkok berjejari (R-J). Diberi satu titik tangen T pada bulatan dan Bina dan panjangkan garisan dari titik tangen
satu jejari R. • Berpusat di B, bina lengkok berjejari (R+j). titik Q. T ke pusat O.
Titik persilangan P diperoleh.
Langkah 2 Langkah 3
Langkah 2 Langkah 3 T T
T
T

A R B O O Q
A B Q
T
T
P
P
P P
• Bina garisan dari titik tangen T ke Q. Berpusat di P, lukis bulatan atau lengkok yang
• Bina garisan normal dari titik P melalui A • Bahagi dua sama garisan TQ dan menyentuh titik tangen T dan melalui titik Q.
hingga menyilang pada T1. panjangkan sehingga menyilang garisan
• Bina garisan normal dari titik P ke B Berpusat di P, bina lengkok atau bulatan TO. Titik P diperoleh.
menyilang pada T2. berjejari R yang menyentuh titik tangen T1 Rajah 2.84 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh
dan T2. titik tangen bulatan dan melalui satu titik yang diberi.
Rajah 2.83 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam dan luar.
Satu Bulatan Lain yang Menyentuh di Sebelah Luar Bulatan yang Diberi dan Menyentuh
Satu Titik Tangen pada Garisan


85 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar
bulatan yang diberi dan menyentuh satu titik tangen pada garisan ditunjukkan dalam Rajah 2.85.
J50
Langkah 1
Lukis bulatan bertangen kepada dua bulatan lain
yang menyentuh di sebelah dalam dan luar.
J20 O
J35 O

P
P
Diberi satu bulatan dan titik P pada garisan. Bina garisan serenjang pada titik P.
80 81

Dua Bulatan Lain dan Menyentuh di Sebelah Dalam dan Luar Satu Bulatan Lain yang Menyentuh Titik Tangen Bulatan dan Melalui Satu Titik yang Diberi

Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam dan Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh titik tangen bulatan
luar ditunjukkan dalam Rajah 2.83. melalui satu titik yang diberi ditunjukkan dalam Rajah 2.84. BAB 2: GEOMETRI
Langkah 1 Langkah 1

T T
J j

A B A B O
(R - J) (R + j) O Q Q

R
P

Diberi dua bulatan dengan jejari J dan j serta • Berpusat di A, bina lengkok berjejari (R-J). Diberi satu titik tangen T pada bulatan dan Bina dan panjangkan garisan dari titik tangen
satu jejari R. • Berpusat di B, bina lengkok berjejari (R+j). titik Q. T ke pusat O.
Titik persilangan P diperoleh.
Langkah 2 Langkah 3
Langkah 2 Langkah 3 T T
T
T

A R B O O Q
A B Q
T
T
P
P
P P
• Bina garisan dari titik tangen T ke Q. Berpusat di P, lukis bulatan atau lengkok yang
• Bina garisan normal dari titik P melalui A • Bahagi dua sama garisan TQ dan menyentuh titik tangen T dan melalui titik Q.
hingga menyilang pada T1. panjangkan sehingga menyilang garisan
• Bina garisan normal dari titik P ke B Berpusat di P, bina lengkok atau bulatan TO. Titik P diperoleh.
menyilang pada T2. berjejari R yang menyentuh titik tangen T1 Rajah 2.84 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh
dan T2. titik tangen bulatan dan melalui satu titik yang diberi.
Rajah 2.83 Kaedah membina bulatan bertangen kepada dua bulatan lain dan menyentuh di sebelah dalam dan luar.
Satu Bulatan Lain yang Menyentuh di Sebelah Luar Bulatan yang Diberi dan Menyentuh
Satu Titik Tangen pada Garisan


85 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar
bulatan yang diberi dan menyentuh satu titik tangen pada garisan ditunjukkan dalam Rajah 2.85.
J50
Langkah 1
Lukis bulatan bertangen kepada dua bulatan lain
yang menyentuh di sebelah dalam dan luar.
J20 O
J35 O

P
P
Diberi satu bulatan dan titik P pada garisan. Bina garisan serenjang pada titik P.
80 81

Langkah 2 Langkah 3 Langkah 2 Langkah 3
T T
A A

T A A BAB 2: GEOMETRI
O O B B
T D T D
C C
P P O
Dari titik O, bina garisan selari dengan garisan Bina garisan AP yang menyilang pada bulatan. O
serenjang P dan menyilang pada lilitan bulatan. Titik T diperoleh. • Bina garisan TD menyilang di T2. Berpusat di O, jejari OT/OB lukis bulatan atau
Titik A diperoleh. • Bina dan panjangkan garisan BT2 hingga lengkok menyentuh titik tangen T dan T2.
menyilang di O.
Langkah 4 Langkah 5 Rajah 2.86 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar
dan dalam titik tangen pada bulatan diberi.
A A

T C T C 2.11.5 Melukis Pencontoh yang Diberi Menggunakan Kaedah Ketangenan, Elips
O O dan Parabola
Rajah 2.87 menunjukkan kaedah melukis pencontoh yang menggabungkan konsep ketangenan,
P P elips dan parabola.
Bina garisan OT dan dipanjangkan hingga Berpusat di C, lukis bulatan berjejari CP/CT B Separuh elips
menyilang garisan serenjang. Titik C diperoleh. yang menyentuh titik tangen T dan P. paksi major = 120 mm
paksi minor = 70 mm
Rajah 2.85 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh Diberi pencontoh ABCDEF. Titik A,B,C,D,E
di sebelah luar bulatan yang diberi dan menyentuh satu titik tangen pada garisan. A O C dan F adalah titik-titik tangen. Titik O ialah

Satu Bulatan Lain yang Menyentuh di Sebelah Luar dan Dalam Titik Tangen pada Bulatan Diberi J 20 F pusat separuh elips, manakala titik D adalah
J 25 80 mercu bagi suku parabola. Lukis pencontoh
Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar dan E itu mengikut saiz penuh dengan menggunakan
dalam titik tangen pada bulatan diberi ditunjukkan dalam Rajah 2.86. kaedah geometri.
D
Langkah 1 J 30 60 Suku parabola

T T

Langkah 1 • Tentukan pusat elips O dan bina dua semi bulatan sepusat dengan
A A
B B jejari ½ panjang paksi major dan ½ panjang paksi minor.
D B • Bahagikan semi bulatan kepada 6 bahagian yang sama.
C • Pada setiap titik persilangan garisan pembahagi 6 dengan
bulatan minor, bina garisan mengufuk.
Diberi dua bulatan dan titik tangen T. • Bina dan panjangkan garisan dari titik T A O C • Pada setiap titik persilangan garisan pembahagi 6 dengan
ke pusat bulatan A menyilang di C. bulatan major, bina garisan menegak.
• Bina garisan yang selari dengan TC dari • Lukis separuh elips melalui titik persilangan yang diperoleh
titik B menyilang di D. menggunakan lengkung Perancis atau lengkung boleh lentur.







82 83

Langkah 2 Langkah 3 Langkah 2 Langkah 3
T T
A A

T A A BAB 2: GEOMETRI
O O B B
T D T D
C C
P P O
Dari titik O, bina garisan selari dengan garisan Bina garisan AP yang menyilang pada bulatan. O
serenjang P dan menyilang pada lilitan bulatan. Titik T diperoleh. • Bina garisan TD menyilang di T2. Berpusat di O, jejari OT/OB lukis bulatan atau
Titik A diperoleh. • Bina dan panjangkan garisan BT2 hingga lengkok menyentuh titik tangen T dan T2.
menyilang di O.
Langkah 4 Langkah 5 Rajah 2.86 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar
dan dalam titik tangen pada bulatan diberi.
A A

T C T C 2.11.5 Melukis Pencontoh yang Diberi Menggunakan Kaedah Ketangenan, Elips
O O dan Parabola
Rajah 2.87 menunjukkan kaedah melukis pencontoh yang menggabungkan konsep ketangenan,
P P elips dan parabola.
Bina garisan OT dan dipanjangkan hingga Berpusat di C, lukis bulatan berjejari CP/CT B Separuh elips
menyilang garisan serenjang. Titik C diperoleh. yang menyentuh titik tangen T dan P. paksi major = 120 mm
paksi minor = 70 mm
Rajah 2.85 Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh Diberi pencontoh ABCDEF. Titik A,B,C,D,E
di sebelah luar bulatan yang diberi dan menyentuh satu titik tangen pada garisan. A O C dan F adalah titik-titik tangen. Titik O ialah

Satu Bulatan Lain yang Menyentuh di Sebelah Luar dan Dalam Titik Tangen pada Bulatan Diberi J 20 F pusat separuh elips, manakala titik D adalah
J 25 80 mercu bagi suku parabola. Lukis pencontoh
Kaedah membina bulatan bertangen kepada satu bulatan lain yang menyentuh di sebelah luar dan E itu mengikut saiz penuh dengan menggunakan
dalam titik tangen pada bulatan diberi ditunjukkan dalam Rajah 2.86. kaedah geometri.
D
Langkah 1 J 30 60 Suku parabola

T T

Langkah 1 • Tentukan pusat elips O dan bina dua semi bulatan sepusat dengan
A A
B B jejari ½ panjang paksi major dan ½ panjang paksi minor.
D B • Bahagikan semi bulatan kepada 6 bahagian yang sama.
C • Pada setiap titik persilangan garisan pembahagi 6 dengan
bulatan minor, bina garisan mengufuk.
Diberi dua bulatan dan titik tangen T. • Bina dan panjangkan garisan dari titik T A O C • Pada setiap titik persilangan garisan pembahagi 6 dengan
ke pusat bulatan A menyilang di C. bulatan major, bina garisan menegak.
• Bina garisan yang selari dengan TC dari • Lukis separuh elips melalui titik persilangan yang diperoleh
titik B menyilang di D. menggunakan lengkung Perancis atau lengkung boleh lentur.







82 83

Langkah 2
B
• Bina segi empat tepat berukuran 60 mm × 80 mm pada titik O.
• Bahagi garisan CX dan DX kepada empat bahagian yang LUKISAN
A C sama. Titik a, b, c, d, e dan f diperoleh.
O • Bina garisan dari mercu D ke titik pembahagian C, a, b dan c.
a • Bina garisan menegak dari d, e dan f menyilang di garisan ORTOGRAFIK
b Da, Db dan Dc. Titik lengkung parabola diperoleh.
• Lukis lengkung parabola melalui titik persilangan
c
menggunakan lengkung Perancis atau lengkung boleh lentur.
D f e d X


Langkah 3

B • Bina bulatan berjejari 20 mm pada pusat bulatan O1 dan 30
mm pada pusat bulatan O2.
• Berpusat pada O1, bina bulatan berjejari 45 mm (20 mm +
A C 25 mm) manakala berpusat pada O2 bina lengkok 55 mm
O O
F (25 mm + 30 mm) menyilang pada P.
• Bina garisan normal dari titik O1 ke P menyilang di F.
P
E • Bina garisan normal dari titik O2 ke P menyilang di E.
• Berpusat pada P, bina lengkok berjejari 25 mm. Titik tangen
F dan E diperoleh.
O D
• Lukis dan hitamkan pencontoh ABCDEF.


Rajah 2.87 Kaedah melukis pencontoh yang menggabungkan konsep ketangenan, elips dan parabola.




Imbas QR Code di sebelah
untuk mengakses aktiviti
berkaitan ketangenan.







Imbas QR Code di sebelah untuk
mengakses latihan pengukuhan
berkaitan geometri. njuran ortografik ialah lukisan dua dimensi kerana objek yang dilukis menggunakan kaedah
Uini akan memberikan dua dimensi ukuran, iaitu lebar dan tinggi atau panjang dan tinggi
sesuatu objek tersebut. Kenal pasti dan senaraikan bangunan yang anda tahu di Malaysia, dan
sediakan lukisan ortografik yang menunjukkan reka bentuk sebenar bangunan tersebut. Bincang
bersama guru anda.


STANDARD KANDUNGAN

3.1 Pengenalan kepada Lukisan Ortografik
3.2 Lukisan Ortografik unjuran sudut ketiga
3.3 Aplikasi Lukisan Ortografik unjuran sudut ketiga
84 85

Langkah 2
B
• Bina segi empat tepat berukuran 60 mm × 80 mm pada titik O.
• Bahagi garisan CX dan DX kepada empat bahagian yang LUKISAN
A C sama. Titik a, b, c, d, e dan f diperoleh.
O • Bina garisan dari mercu D ke titik pembahagian C, a, b dan c.
a • Bina garisan menegak dari d, e dan f menyilang di garisan ORTOGRAFIK
b Da, Db dan Dc. Titik lengkung parabola diperoleh.
• Lukis lengkung parabola melalui titik persilangan
c
menggunakan lengkung Perancis atau lengkung boleh lentur.
D f e d X


Langkah 3

B • Bina bulatan berjejari 20 mm pada pusat bulatan O1 dan 30
mm pada pusat bulatan O2.
• Berpusat pada O1, bina bulatan berjejari 45 mm (20 mm +
A C 25 mm) manakala berpusat pada O2 bina lengkok 55 mm
O O
F (25 mm + 30 mm) menyilang pada P.
• Bina garisan normal dari titik O1 ke P menyilang di F.
P
E • Bina garisan normal dari titik O2 ke P menyilang di E.
• Berpusat pada P, bina lengkok berjejari 25 mm. Titik tangen
F dan E diperoleh.
O D
• Lukis dan hitamkan pencontoh ABCDEF.


Rajah 2.87 Kaedah melukis pencontoh yang menggabungkan konsep ketangenan, elips dan parabola.




Imbas QR Code di sebelah
untuk mengakses aktiviti
berkaitan ketangenan.







Imbas QR Code di sebelah untuk
mengakses latihan pengukuhan
berkaitan geometri. njuran ortografik ialah lukisan dua dimensi kerana objek yang dilukis menggunakan kaedah
Uini akan memberikan dua dimensi ukuran, iaitu lebar dan tinggi atau panjang dan tinggi
sesuatu objek tersebut. Kenal pasti dan senaraikan bangunan yang anda tahu di Malaysia, dan
sediakan lukisan ortografik yang menunjukkan reka bentuk sebenar bangunan tersebut. Bincang
bersama guru anda.


STANDARD KANDUNGAN

3.1 Pengenalan kepada Lukisan Ortografik
3.2 Lukisan Ortografik unjuran sudut ketiga
3.3 Aplikasi Lukisan Ortografik unjuran sudut ketiga
84 85

3.1.2 Membezakan Antara Lukisan Ortografik Unjuran Sudut Pertama dan
3.1 Pengenalan kepada Lukisan Ortografik Unjuran Sudut Ketiga


Kedudukan sesuatu objek yang terletak dalam sukuan sudut pertama atau sukuan sudut ketiga
3.1.1 Menerangkan Konsep Lukisan Ortografik
Standar dapat dibezakan dengan menggunakan simbol unjuran.
Pembelajara Unjuran Sudut Pertama dan Sudut Ketiga Simbol unjuran sudut pertama dan unjuran sudut ketiga ditunjukkan dalam Jadual 3.1. Simbol BAB 3: LUKISAN ORTOGRAFIK
ini menggambarkan bentuk kon terpenggal dan bulatan yang biasanya diletakkan di penghujung
Lukisan ortografik merupakan lukisan yang dilihat bersudut tepat
Murid boleh: 90° kepada sesuatu bongkah objek. Bongkah objek di unjurkan sebelah kanan bawah kertas lukisan.
• Menerangkan konsep
Lukisan Ortografik unjuran melalui tiga pandangan iaitu pandangan atas, pandangan hadapan Jadual 3.1 Simbol unjuran sudut pertama dan unjuran sudut ketiga.
dan pandangan sisi.
sudut pertama dan unjuran
sudut ketiga. Berdasarkan Rajah 3.1 (a), satu objek diletakkan di dalam Sukuan Sudut Pertama Sukuan Sudut Ketiga
• Membezakan antara
Lukisan Ortografik unjuran kotak kaca. Jika pandangan yang dilihat diunjurkan tepat kepada
sudut pertama dan unjuran permukaan kotak kaca, maka lukisan yang terhasil adalah seperti
sudut ketiga.
Rajah 3.1 (b). Pandangan atas Pandangan atas

Pandangan atas Pandangan atas
Kotak kaca Kotak kaca

A A
A A A


B C B B C C B B C C


hadapan
Pandangan Pandangan Pandangan Pandangan Pandangan
Pandangan sisi Pandangan sisi hadapan sisi
Rajah 3.1 (a) Objek hadapan
hadapan
Rajah 3.1 (b) Pandangan yang diunjurkan.
Merujuk Rajah 3.1 (b) dari pandangan atas, permukaan A dapat dilihat manakala permukaan
B dan C tidak kelihatan. Dari pandangan hadapan pula, hanya permukaan B atau C sahaja yang Pandangan sisi Pandangan hadapan Pandangan atas
kelihatan. Dari arah pandangan sisi kanan, hanya permukaan C sahaja yang kelihatan manakala dari
arah sisi kiri, permukaaan B sahaja yang kelihatan. Jika empat kotak kaca disusun secara bertindih
dan bersebelahan di antara satu sama lain, empat sukuan akan terhasil. Objek yang diletakkan
dalam sukuan sudut pertama dan sukuan sudut ketiga ditunjukkan dalam Rajah 3.2.



2 1 sukuan Pandangan atas
kedua
3 4 sukuan Pandangan hadapan Pandangan sisi
A pertama
B C
Anda berada di dalam kelas A
Lukisan Kujuruteraan.
Ambil satu objek yang terdapat B
berdekatan dengan anda. C simbol unjuran sudut pertama simbol unjuran sudut ketiga
Dapatkah anda melakarkan sukuan
pandangan atas, pandangan ketiga sukuan
hadapan dan pandangan sisi keempat
objek tersebut?
Rajah 3.2 Objek di dalam kotak sukuan pertama dan sukuan ketiga.
86 87

3.1.2 Membezakan Antara Lukisan Ortografik Unjuran Sudut Pertama dan
3.1 Pengenalan kepada Lukisan Ortografik Unjuran Sudut Ketiga


Kedudukan sesuatu objek yang terletak dalam sukuan sudut pertama atau sukuan sudut ketiga
3.1.1 Menerangkan Konsep Lukisan Ortografik
Standar dapat dibezakan dengan menggunakan simbol unjuran.
Pembelajara Unjuran Sudut Pertama dan Sudut Ketiga Simbol unjuran sudut pertama dan unjuran sudut ketiga ditunjukkan dalam Jadual 3.1. Simbol BAB 3: LUKISAN ORTOGRAFIK
ini menggambarkan bentuk kon terpenggal dan bulatan yang biasanya diletakkan di penghujung
Lukisan ortografik merupakan lukisan yang dilihat bersudut tepat
Murid boleh: 90° kepada sesuatu bongkah objek. Bongkah objek di unjurkan sebelah kanan bawah kertas lukisan.
• Menerangkan konsep
Lukisan Ortografik unjuran melalui tiga pandangan iaitu pandangan atas, pandangan hadapan Jadual 3.1 Simbol unjuran sudut pertama dan unjuran sudut ketiga.
dan pandangan sisi.
sudut pertama dan unjuran
sudut ketiga. Berdasarkan Rajah 3.1 (a), satu objek diletakkan di dalam Sukuan Sudut Pertama Sukuan Sudut Ketiga
• Membezakan antara
Lukisan Ortografik unjuran kotak kaca. Jika pandangan yang dilihat diunjurkan tepat kepada
sudut pertama dan unjuran permukaan kotak kaca, maka lukisan yang terhasil adalah seperti
sudut ketiga.
Rajah 3.1 (b). Pandangan atas Pandangan atas

Pandangan atas Pandangan atas
Kotak kaca Kotak kaca

A A
A A A


B C B B C C B B C C


hadapan
Pandangan Pandangan Pandangan Pandangan Pandangan
Pandangan sisi Pandangan sisi hadapan sisi
Rajah 3.1 (a) Objek hadapan
hadapan
Rajah 3.1 (b) Pandangan yang diunjurkan.
Merujuk Rajah 3.1 (b) dari pandangan atas, permukaan A dapat dilihat manakala permukaan
B dan C tidak kelihatan. Dari pandangan hadapan pula, hanya permukaan B atau C sahaja yang Pandangan sisi Pandangan hadapan Pandangan atas
kelihatan. Dari arah pandangan sisi kanan, hanya permukaan C sahaja yang kelihatan manakala dari
arah sisi kiri, permukaaan B sahaja yang kelihatan. Jika empat kotak kaca disusun secara bertindih
dan bersebelahan di antara satu sama lain, empat sukuan akan terhasil. Objek yang diletakkan
dalam sukuan sudut pertama dan sukuan sudut ketiga ditunjukkan dalam Rajah 3.2.



2 1 sukuan Pandangan atas
kedua
3 4 sukuan Pandangan hadapan Pandangan sisi
A pertama
B C
Anda berada di dalam kelas A
Lukisan Kujuruteraan.
Ambil satu objek yang terdapat B
berdekatan dengan anda. C simbol unjuran sudut pertama simbol unjuran sudut ketiga
Dapatkah anda melakarkan sukuan
pandangan atas, pandangan ketiga sukuan
hadapan dan pandangan sisi keempat
objek tersebut?
Rajah 3.2 Objek di dalam kotak sukuan pertama dan sukuan ketiga.
86 87

Prinsip Sukuan Ortografik 3.2

Terdapat dua prinsip unjuran yang digunakan dalam unjuran ortografik iaitu unjuran sudut pertama Lukisan Ortografik Unjuran Sudut Ketiga
dan unjuran sudut ketiga.
Unjuran sudut pertama merupakan unjuran yang terawal dan tertua digunakan dalam lukisan (a) Bongkah yang Mempunyai Permukaan Rata Standar
kejuruteraan. Lukisan dalam sudut unjuran ini dianggap sebagai unjuran piawai tradisi British Pembelajara
dan Eropah untuk kegunaan para arkitek dan jurutera. Kedudukan pandangan hadapan berada Bongkah berpermukaan rata mempunyai pinggir yang selari BAB 3: LUKISAN ORTOGRAFIK
di sebelah atas yang selari dengan pandangan sisi manakala bagi pandangan atas berada di bawah dengan satah mengufuk dan menegak sahaja. Ukuran yang
kedudukan pandangan hadapan. diunjurkan ke satah mengufuk dan menegak merupakan ukuran Murid boleh:
• Membina Lukisan Ortografik
Unjuran sudut ketiga dikenali juga sebagai unjuran Amerika. Kini, penggunaannya telah panjang sebenar objek. unjuran sudut ketiga bagi
meluas di serata dunia. Kedudukan pandangan atas berada di atas dan selari dengan pandangan Rajah 3.3 (a) menunjukkan contoh bongkah berpermukaan bongkah yang mempunyai
hadapan di bawah manakala kedudukan pandangan sisi pula berada sebaris dengan pandangan rata. Rajah 3.3 (b) menunjukkan kaedah membina lukisan permukaan
i.
Rata
hadapan. Jadual 3.2 menunjukkan perbandingan antara unjuran sudut pertama dan unjuran ortografik bagi bongkah permukaan rata. ii. Condong
sudut ketiga. iii. Bulat
Pandangan atas iv. Oblik
v. Lengkung
Jadual 3.2 Perbandingan antara unjuran sudut pertama dan unjuran sudut ketiga. vi. Gabungan pelbagai
L1 permukaan
Unjuran Sudut Pertama Unjuran Sudut Ketiga D D1 L
A
Pandangan atas Pandangan atas
B
D
T C
T1
E T2
F G

Pandangan hadapan Pandangan sisi kanan
Pandangan Pandangan Pandangan Pandangan
hadapan sisi hadapan sisi Rajah 3.3 (a) Contoh bongkah berpermukaan rata.
40 25 70 Langkah 1 Langkah 2


Pandangan Pandangan atas Pandangan atas
50 Pandangan sisi hadapan L L
L1 L1
20 D1 A D1 A
D E D E
C C

Berdasarkan rajah di atas,
lakarkan pandangan atas, B
pandangan hadapan dan
pandangan sisi dalam Pandangan atas Pandangan Pandangan sisi T T1
hadapan
unjuran sudut ketiga. F T2
Pandangan hadapan Pandangan sisi kanan
• Pindahkan ukuran kelebaran (L, L1) dan • Unjurkan ukuran kelebaran (L, L1) dari
kedalaman (D, D1) bagi keseluruhan pandangan atas dan pindahkan ukuran
objek pada pandangan atas. ketinggian (T, T1, T2) pada pandangan
Simbol unjuran sudut pertama Simbol unjuran sudut ketiga
• Permukaan A, C dan E diperoleh. hadapan.
• Permukaan B dan F diperoleh.
88 89

Prinsip Sukuan Ortografik 3.2

Terdapat dua prinsip unjuran yang digunakan dalam unjuran ortografik iaitu unjuran sudut pertama Lukisan Ortografik Unjuran Sudut Ketiga
dan unjuran sudut ketiga.
Unjuran sudut pertama merupakan unjuran yang terawal dan tertua digunakan dalam lukisan (a) Bongkah yang Mempunyai Permukaan Rata Standar
kejuruteraan. Lukisan dalam sudut unjuran ini dianggap sebagai unjuran piawai tradisi British Pembelajara
dan Eropah untuk kegunaan para arkitek dan jurutera. Kedudukan pandangan hadapan berada Bongkah berpermukaan rata mempunyai pinggir yang selari BAB 3: LUKISAN ORTOGRAFIK
di sebelah atas yang selari dengan pandangan sisi manakala bagi pandangan atas berada di bawah dengan satah mengufuk dan menegak sahaja. Ukuran yang
kedudukan pandangan hadapan. diunjurkan ke satah mengufuk dan menegak merupakan ukuran Murid boleh:
• Membina Lukisan Ortografik
Unjuran sudut ketiga dikenali juga sebagai unjuran Amerika. Kini, penggunaannya telah panjang sebenar objek. unjuran sudut ketiga bagi
meluas di serata dunia. Kedudukan pandangan atas berada di atas dan selari dengan pandangan Rajah 3.3 (a) menunjukkan contoh bongkah berpermukaan bongkah yang mempunyai
hadapan di bawah manakala kedudukan pandangan sisi pula berada sebaris dengan pandangan rata. Rajah 3.3 (b) menunjukkan kaedah membina lukisan permukaan
i.
Rata
hadapan. Jadual 3.2 menunjukkan perbandingan antara unjuran sudut pertama dan unjuran ortografik bagi bongkah permukaan rata. ii. Condong
sudut ketiga. iii. Bulat
Pandangan atas iv. Oblik
v. Lengkung
Jadual 3.2 Perbandingan antara unjuran sudut pertama dan unjuran sudut ketiga. vi. Gabungan pelbagai
L1 permukaan
Unjuran Sudut Pertama Unjuran Sudut Ketiga D D1 L
A
Pandangan atas Pandangan atas
B
D
T C
T1
E T2
F G

Pandangan hadapan Pandangan sisi kanan
Pandangan Pandangan Pandangan Pandangan
hadapan sisi hadapan sisi Rajah 3.3 (a) Contoh bongkah berpermukaan rata.
40 25 70 Langkah 1 Langkah 2


Pandangan Pandangan atas Pandangan atas
50 Pandangan sisi hadapan L L
L1 L1
20 D1 A D1 A
D E D E
C C

Berdasarkan rajah di atas,
lakarkan pandangan atas, B
pandangan hadapan dan
pandangan sisi dalam Pandangan atas Pandangan Pandangan sisi T T1
hadapan
unjuran sudut ketiga. F T2
Pandangan hadapan Pandangan sisi kanan
• Pindahkan ukuran kelebaran (L, L1) dan • Unjurkan ukuran kelebaran (L, L1) dari
kedalaman (D, D1) bagi keseluruhan pandangan atas dan pindahkan ukuran
objek pada pandangan atas. ketinggian (T, T1, T2) pada pandangan
Simbol unjuran sudut pertama Simbol unjuran sudut ketiga
• Permukaan A, C dan E diperoleh. hadapan.
• Permukaan B dan F diperoleh.
88 89

Langkah 3 Langkah 2 Langkah 3
L L
L L1 L1
L1 • Unjurkan ukuran pandangan atas (D, D1) H H
melalui garisan unjuran 45° dan ukuran D2 G D1 D2 G D1
D1 A D D
D E ketinggian (T, T1, T2) dari pandangan C D C D BAB 3: LUKISAN ORTOGRAFIK
C hadapan kepada pandangan sisi kanan.
• Permukaan D dan G diperoleh.


B D H E D
D F F
T T T
T1 F T2 G B T1 A B T1
• Unjurkan ukuran kelebaran (L, L1) dari • Unjurkan ukuran pandangan atas
Rajah 3.3 (b) Kaedah membina lukisan ortografik bagi bongkah permukaan rata. pandangan atas dan pindahkan ukuran (D, D1, D2) melalui garisan unjuran 45° dan
ketinggian (T, T1) pada pandangan hadapan. ukuran ketinggian (T, T1) dari pandangan
• Permukaan B, D dan F diperoleh. hadapan kepada pandangan sisi kiri.
• Permukaan A, E dan H diperoleh.
Lukiskan unjuran ortografik sudut ketiga seperti bongkah Rajah 3.3 (a) apabila diberi nilai:
L= 60 mm, L1 = 20 mm, D = 60 mm, D1= 50 mm, T= 50 mm, T1=35 mm, T2=20 mm Rajah 3.4 (b) Kaedah membina lukisan ortografik bagi bongkah permukaan condong.
(b) Bongkah yang Mempunyai Permukaan Condong
Lukiskan unjuran ortografik sudut ketiga seperti bongkah Rajah 3.4 (a) apabila diberi nilai:
Bongkah berpermukaan condong mempunyai pinggir yang tidak selari dengan satah menegak D= 60 mm, D1 = 35 mm, D2 = 20 mm, L = 60 mm, L1= 20 mm, T= 60 mm, T1 = 25 mm
atau satah mengufuk. Ukuran panjang sebenar sisi condong boleh dipindahkan dengan mengambil (c) Bongkah yang Mempunyai Permukaan Oblik
ukuran pada hujung pinggir satah menegak atau satah mengufuk.
Rajah 3.4 (a) di bawah menunjukkan contoh bongkah berpermukaan condong. Rajah 3.4 (b) Bongkah berpermukaan oblik mempunyai permukaan yang tidak selari dengan mana-mana satah
menunjukkan kaedah membina lukisan ortografik bagi bongkah permukaan condong. paksi simetri. Pengunjuran pandangan ortografik bagi bongkah berpermukaan oblik dilakukan
dengan mengunjurkan bucu-bucu oblik ke satah mengufuk dan menegak. Kemudian ukuran setiap
Langkah 1 bucu dipindahkan ke satah mengufuk dan menegak.
Pandangan atas
Pandangan atas Rajah 3.5 (a) menunjukkan contoh bongkah berpermukaan oblik. Rajah 3.5 (b) menunjukkan
L kaedah membina lukisan ortografik bagi permukaan oblik.
L1
L L1 D1 D D2 H Langkah 1
G G D1 D Pandangan atas Pandangan atas
C L
D L1
H D L1 L E
F E D H H
T D1 F D2
D
C T1 T I G D1 I D B
D2 F E
A T1 L2
B D
Pandangan sisi kiri Pandangan hadapan A
L2 C D2
Pandangan sisi kiri Pandangan hadapan • Pindahkan ukuran kelebaran (L, L1) dan Pandangan B Pandangan sisi kanan
kedalaman (D, D1, D2) bagi keseluruhan hadapan Pandangan hadapan Pandangan sisi kanan
Rajah 3.4 (a) Contoh bongkah berpermukaan condong objek pada pandangan atas.
di D dan H. • Pindahkan ukuran kelebaran (L, L1,
• Permukaan C, D, G dan H diperoleh. L2) dan kedalaman (D, D1, D2) bagi
Rajah 3.5 (a) Contoh bongkah berpermukaan oblik di B.
keseluruhan objek pada pandangan atas.
• Permukaan B ,D, E, F, H dan I diperoleh.
90 91

Langkah 3 Langkah 2 Langkah 3
L L
L L1 L1
L1 • Unjurkan ukuran pandangan atas (D, D1) H H
melalui garisan unjuran 45° dan ukuran D2 G D1 D2 G D1
D1 A D D
D E ketinggian (T, T1, T2) dari pandangan C D C D BAB 3: LUKISAN ORTOGRAFIK
C hadapan kepada pandangan sisi kanan.
• Permukaan D dan G diperoleh.


B D H E D
D F F
T T T
T1 F T2 G B T1 A B T1
• Unjurkan ukuran kelebaran (L, L1) dari • Unjurkan ukuran pandangan atas
Rajah 3.3 (b) Kaedah membina lukisan ortografik bagi bongkah permukaan rata. pandangan atas dan pindahkan ukuran (D, D1, D2) melalui garisan unjuran 45° dan
ketinggian (T, T1) pada pandangan hadapan. ukuran ketinggian (T, T1) dari pandangan
• Permukaan B, D dan F diperoleh. hadapan kepada pandangan sisi kiri.
• Permukaan A, E dan H diperoleh.
Lukiskan unjuran ortografik sudut ketiga seperti bongkah Rajah 3.3 (a) apabila diberi nilai:
L= 60 mm, L1 = 20 mm, D = 60 mm, D1= 50 mm, T= 50 mm, T1=35 mm, T2=20 mm Rajah 3.4 (b) Kaedah membina lukisan ortografik bagi bongkah permukaan condong.
(b) Bongkah yang Mempunyai Permukaan Condong
Lukiskan unjuran ortografik sudut ketiga seperti bongkah Rajah 3.4 (a) apabila diberi nilai:
Bongkah berpermukaan condong mempunyai pinggir yang tidak selari dengan satah menegak D= 60 mm, D1 = 35 mm, D2 = 20 mm, L = 60 mm, L1= 20 mm, T= 60 mm, T1 = 25 mm
atau satah mengufuk. Ukuran panjang sebenar sisi condong boleh dipindahkan dengan mengambil (c) Bongkah yang Mempunyai Permukaan Oblik
ukuran pada hujung pinggir satah menegak atau satah mengufuk.
Rajah 3.4 (a) di bawah menunjukkan contoh bongkah berpermukaan condong. Rajah 3.4 (b) Bongkah berpermukaan oblik mempunyai permukaan yang tidak selari dengan mana-mana satah
menunjukkan kaedah membina lukisan ortografik bagi bongkah permukaan condong. paksi simetri. Pengunjuran pandangan ortografik bagi bongkah berpermukaan oblik dilakukan
dengan mengunjurkan bucu-bucu oblik ke satah mengufuk dan menegak. Kemudian ukuran setiap
Langkah 1 bucu dipindahkan ke satah mengufuk dan menegak.
Pandangan atas
Pandangan atas Rajah 3.5 (a) menunjukkan contoh bongkah berpermukaan oblik. Rajah 3.5 (b) menunjukkan
L kaedah membina lukisan ortografik bagi permukaan oblik.
L1
L L1 D1 D D2 H Langkah 1
G G D1 D Pandangan atas Pandangan atas
C L
D L1
H D L1 L E
F E D H H
T D1 F D2
D
C T1 T I G D1 I D B
D2 F E
A T1 L2
B D
Pandangan sisi kiri Pandangan hadapan A
L2 C D2
Pandangan sisi kiri Pandangan hadapan • Pindahkan ukuran kelebaran (L, L1) dan Pandangan B Pandangan sisi kanan
kedalaman (D, D1, D2) bagi keseluruhan hadapan Pandangan hadapan Pandangan sisi kanan
Rajah 3.4 (a) Contoh bongkah berpermukaan condong objek pada pandangan atas.
di D dan H. • Pindahkan ukuran kelebaran (L, L1,
• Permukaan C, D, G dan H diperoleh. L2) dan kedalaman (D, D1, D2) bagi
Rajah 3.5 (a) Contoh bongkah berpermukaan oblik di B.
keseluruhan objek pada pandangan atas.
• Permukaan B ,D, E, F, H dan I diperoleh.
90 91

Langkah 2 Langkah 3 Langkah 2 Langkah 3
L L L L
L1 L1
H F E D2 H F E D2 G G
D D D D1 B D E D D1 B D E
D1 I D D1 I D BAB 3: LUKISAN ORTOGRAFIK
B B L1 L1 L1 L1
L2 L2 J1 J1
F F
J2 J2
I I T T G
T F T F G E T1 T2 A T1 T2 A
T1 A B T1 A B B C
• Unjurkan ukuran kelebaran (L, L1) dari • Unjurkan ukuran pandangan atas (D, D1)
• Unjurkan ukuran kelebaran (L, L1) dari • Unjurkan ukuran pandangan atas (D, pandangan atas dan pindahkan ukuran melalui garisan unjuran 45° dan ukuran
pandangan atas dan pindahkan ukuran D1, D2) melalui garisan unjuran 45° dan ketinggian (T, T1, T2) pada pandangan ketinggian (T, T1, T2) dari pandangan
ketinggian (T, T1) pada padangan hadapan. ukuran ketinggian (T, T1) dari pandangan hadapan. hadapan kepada pandangan sisi kanan.
• Permukaan A, B, F dan I diperoleh. hadapan kepada pandangan sisi kanan. • Lukis semi bulatan berjejari J1 dan J2. • Permukaan G diperoleh.
• Permukaan B, C, E dan G diperoleh. • Permukaan A dan F diperoleh.
Rajah 3.5 (b) Kaedah membina lukisan ortografik bagi bongkah permukaan oblik. Rajah 3.6 (b) Kaedah membina lukisan ortografik bagi bongkah permukaan bulat.



Lukiskan unjuran ortografik sudut ketiga seperti bongkah Rajah 3.6 (a) apabila diberi nilai:
Lukiskan unjuran ortografik sudut ketiga seperti bongkah Rajah 3.5 (a) apabila diberi nilai: L= 60 mm, L1 = 10 mm, D = 60 mm, D1 = 30 mm, J1 = 30 mm, J2 = 20 mm, T = 60 mm, T1= 30 mm, T2= 10 mm
L= 60 mm, L1 = 10 mm, D = 60 mm, D1 = 30 mm, J1 = 30 mm, J2 = 20 mm, T = 60 mm, T1= 30 mm, T2= 10 mm
(e) Bongkah yang Mempunyai Permukaan Lengkung
(d) Bongkah yang Mempunyai Permukaan Bulat
Bongkah berpermukaan lengkung mempunyai permukaan yang melengkung dengan satah
Bongkah berpermukaan silinder biasanya berpermukaan bulat. Rajah 3.6 (a) menunjukkan contoh mengufuk dan satah menegak. Rajah 3.7 (a) menunjukkan contoh bongkah berpermukaan lengkung.
bongkah berpermukaan bulat. Rajah 3.6 (b) menunjukkan kaedah membina lukisan ortografik bagi Rajah 3.7 (b) menunjukkan kaedah membina lukisan ortografik bagi permukaan lengkung.
permukaan bulat.
Langkah 1
Langkah 1 Pandangan atas
Pandangan atas Pandangan atas Pandangan atas
L
L L1 L1
D D1 L
D J1 C D1 C E D2
L G
D B D D J1
J2 G D1 B D E B
F T E
T L1 L1 T1
B A F T2
T1 T2 C G
D L1 E Pandangan J1 D2
A D1 hadapan Pandangan sisi kanan Pandangan hadapan Pandangan sisi kanan
Pandangan Pandangan Pandangan hadapan Pandangan sisi kanan
hadapan sisi kanan • Pindahkan ukuran kelebaran (L, L1) dan Rajah 3.7 (a) Contoh bongkah berpermukaan • Pindahkan ukuran kelebaran (L, L1) dan
kedalaman (D, D1) bagi keseluruhan lengkung di F. kedalaman (D, D1, D2) bagi keseluruhan
Rajah 3.6 (a) Contoh bongkah berpermukaan bulat di G.
objek pada pandangan atas. objek pada pandangan atas.
• Permukaan B, D, E dan G diperoleh. • Lukis suku bulatan berjejari J1.
• Permukaan B, C dan E diperoleh.
92 93