แผนการสอนวิชาการส่งและจ่ายไฟฟ้า(30104-2005)

96

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหัสวิชา 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ท่ี 8 หน่วยท่ี 3
เรื่อง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

x

รูปท่ี 3.18 เส้นฟลกั ซไ์ ฟฟ้าบนพ้ืนผิวของตวั นาทรงกระบอก

3.4.2 ความต่างศักย์ระหว่างจดุ 2 จดุ อนั เนื่องมาจากประจุประจหุ นึ่ง
ความตา่ งศกั ยร์ ะหวา่ งจุด 2 จุด ในหน่วยโวลตจ์ ะเทา่ กบั งานในหน่วยจูลต่อคูลอมบ์ ซ่ึงเกิดจาก
การเคลื่อนประจุระหวา่ งจุด 2 จุด
พิจารณาเส้นลวดตรงระยะไกลซ่ึงลาเลียงประจุบวกของ q C/m ดงั รูปที่ 3.19 จุด P1 และ P2
ห่างจากจุดศนู ยก์ ลางของเสน้ ลวด D1 และ D2
วธิ ีท่ีง่ายที่สุดในการคานวณศกั ดาครอบระหวา่ งจุด 2 จุดน้นั ทาไดโ้ ดยคานวณศกั ดาระหวา่ งพ้นื ผวิ ที่มี
ความแตกต่างศกั ยเ์ ทา่ กนั ผา่ น P1 และ P2 โดยการอินทิเกรตความเขม้ ของสนามบนเสน้ ทางรัศมีระหวา่ ง
พ้นื ผวิ ท่ีมีความต่างศกั ยเ์ ท่ากนั
ดงั น้นั ศกั ดาครอบฉบั พลนั ระหวา่ ง P1 กบั P2 เป็น

D2

V12 =  dx

D1

D2 q dx

= D1 2kx

= q 1D2 dx

2k D1 x

97

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหสั วิชา 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยท่ี 3
เรื่อง การหาค่าพารามิเตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

= q D2

ln x
2k D1

= q ln(D 2 − D1 )
2k

= q ln D2 V
2k D1

โดยที่ q เป็นประจุซ่ึงเกิดข้ึนอยา่ งฉบั พลนั บนเสน้ ลวดในหน่วยคลู อมบต์ ่อเมตร

รูปท่ี 3.19 เส้นทางการอินทิเกรตระหวา่ งจุด 2 จุดภายนอกตวั นาทรงกระบอกซ่ึงมีประจุบวกอยู่

หมายเหตุ ในหน่วย SI คา่ เปอร์มิตติวิตีของอากาศ ko เป็น 8.8510−12 F/m คา่ เปอร์มิตติวิตี
สมั พทั ธ์ k r เป็นสัดส่วนของเปอร์มิตติวิตีท่ีแทจ้ ริง k ของสารเปอร์มิตติวติ ีต่ออากาศ
ดงั น้นั kr = k / ko สาหรับอากาศแหง้ เป็น 1.00054 และจะถือวา่ เทา่ กบั 1 เม่ือใชส้ าหรับ
คานวณสายส่งบนอากาศ

98

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหสั วชิ า 30104-2005
จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยที่ 3
เรื่อง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

3.4.3 คาปาซิแตนซ์ของสายส่ง 2 เส้น
สมการค่าคาปาซิแตนซ์ต่อหน่วยความยาวของสายส่งเป็ น

C= q F/m
V

เม่ือ q เป็นประจุบนสายส่งหน่วยคลู อมบต์ อ่ เมตร
V เป็นความต่างศกั ยร์ ะหวา่ งหน่วยเป็นโวลต์

รูปที่ 3.20 แสดงใหเ้ ห็นถึงตวั นา 2 เส้น ซ่ึงมีแรงดนั ไฟฟ้า Vab ระหวา่ งตวั นาท้งั สอง

รูปที่ 3.20 ภาพตดั ขวางของสายส่ง 2 เส้น

พิจารณารูปที่ 3.21 ซ่ึงมีประจุ qa บนตวั นา a โดยตวั นา b ไมม่ ีประจุทาใหค้ วามตา่ งศกั ยพ์ ้นื ผวิ เท่ากนั
ซ่ึงจะไดค้ า่

Vab = qa ln D + qb ln rb V
2k ra 2k D

เน่ืองจาก เนื่องจาก

เพราะวา่ qb = −qa สาหรับสายส่ง 2 เส้น

Vab = qa  ln D − ln rb  V
2k ra D

99

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหัสวชิ า 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยที่ 3
เร่ือง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

เมื่อรวมเทอมเขา้ ดว้ ยกนั จะได้

Vab = qa D2 V
ln
2k rarb F/m
F/m
คาปาซิแตนซ์ระหวา่ งตวั นาเป็น

C ab = qa
Vab

( )= 2k
ln D2 / rarb

ถา้ ra = rb = r แลว้

C ab = k r )

ln(D /

รูปที่ 3.21 ความต่างศกั ยพ์ ้นื ผิวเทา่ กนั ของส่วนของสนามไฟฟ้าเน่ืองจากประจุของตวั นา a

100

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหัสวิชา 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยที่ 3
เรื่อง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

ค่าคาปาซิทีฟรีแอกแตนซร์ ะหวา่ งตวั นาสาหรับเปอร์มิตติวิตีสมั พทั ธ์ kr = 1 เป็น

X Cab =1 m
2fCab

(a) แทนคาปาซิแตนซ์ไลนต์ ่อไลน์

(b) แทนคาปาซิแตนซไ์ ลน์ต่อนิวทรัล

รูปที่ 3.22 ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งแนวคิดของคาปาซิแตนซไ์ ลนต์ ่อไลนแ์ ละคาปาซิแตนซไ์ ลน์ตอ่ นิวทรัล

บางคร้ังเราจาเป็นตอ้ งทราบค่าคาปาซิแตนซ์ระหว่างตวั นากบั นิวทรัลที่อยูร่ ะหวา่ งตวั นาท้งั สอง

ซ่ึงคา่ คาปาซิแตนซต์ ่อนิวทรัลน้ีเป็น 2 เท่าของคาปาซิแตนซ์ไลนต์ อ่ ไลน์

Cn = Can = Cbn = 2Cab = 2k r) F/m ต่อนิวทรัล

ln(D /

คา่ คาปาซิทีฟรีแอกแตนซร์ ะหวา่ งตวั นากบั นิวทรัลสาหรับเปอร์มิตติวิตีสัมพทั ธ์ kr = 1 เป็น

X cn =1   m ต่อนิวทรัล
2fCn

101

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหัสวชิ า 30104-2005
จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยที่ 3
เรื่อง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

ตัวอย่าง 3.8 สายส่งเฟสเดียวประกอบดว้ ยตวั นา 2 ตวั วางขนานกนั มีขนาดตา่ งกนั โดยท่ีตวั นา

a มีรัศมี 0.033 ft ตวั นา b มีรัศมี 0.0277 ft สายส่งน้ีเป็นสายอะลมู ิเนียมลว้ นและวงจรมีความถ่ี 50 Hz

ดงั รูป

รูปท่ี 3.23 สาหรับตวั อยา่ งที่ 3.8
จงคานวณหา

ก. ค่าคาปาซิแตนซร์ ะหวา่ งสายตวั นา
ข. ค่าคาปาซิทีฟรีแอกแตนซ์

วธิ ีทา - หาคา่ คาปาซิแตนซ์ระหวา่ งสายจากสมการ = 2k
ln D2 / rarb
( )Cab

แทนคา่ = 2  8.8510−12

202 /(0.033 0.0277)
( )Cab ln

= 55.60610−12 F/m
12.99

= 4.2810−12

= 4.2810−3 F /km

- หาค่าคาปาซิทีฟรีแอกแตนซจ์ ากสมการ X Cab =1
2fCab

แทนค่า X Cab =1
2  50 4.2810−3 10−6

= 743714.69   km

= 0.74 M  km

102

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหัสวิชา 30104-2005
จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยท่ี 3
เร่ือง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

ตัวอย่าง 3.9 สายส่งเฟสเดียวประกอบดว้ ยตวั นา 2 ตวั โดยที่ตวั นา a มีรัศมีเท่ากบั ตวั นา b คือ
0.2175 ft สายส่งน้ีเป็นสายชนิดสายอะลูมิเนียมลว้ นและระบบส่งกาลงั ไฟฟ้าในสายส่งมีความถี่ 50 Hz
ดงั รูป

จงคานวณหา รูปที่ 3.24 สาหรับตวั อยา่ งท่ี 3.9

ก. ค่าคาปาซิแตนซ์ระหวา่ งสายตวั นากบั นิวทรัล
ข. ค่าคาปาซิแตนซ์ระหวา่ งสายตวั นา
ค. ค่าคาปาซิทีฟรีแอกแตนซ์ตอ่ นิวทรัล

วิธีทา - หาค่าคาปาซิแตนซ์ระหวา่ งสายตวั นากบั นิวทรัลจากสมการ Cn = 2k r )

ln(D /

แทนคา่ Cn = 2  8.8510−12

ln(18/ 0.2175)

= 55.60610−12
4.416

= 12.5910−12 F/m

= 12.5910−3 F /km

- หาค่าคาปาซิแตนซ์ระหวา่ งสายตวั นาจากสมการ Cn = 2Cab

C ab = Cn
2

= 12.5910−3
2

= 6.2910−3 F /km

103

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหัสวชิ า 30104-2005
จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ท่ี 8 หน่วยท่ี 3
เร่ือง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

- หาค่าคาปาซิทีฟรีแอกแตนซ์ต่อนิวทรัลจากสมการ Xcn =1
2fCn

X cn = 1
2  5012.5910−3

= 0.25 M  km /นิวทรัล

3.4.4 คาปาซิแตนซ์ของสายส่ง 3 เฟสซ่ึงมีระยะห่างเท่ากนั

รูปที่ 3.25 ภาพตดั ขวางของสายส่ง 3 เฟสซ่ึงมีขนาดเทา่ กนั

สายส่ง 3 เส้นซ่ึงมีรัศมี r และวางอยดู ว้ ยระยะห่างเท่ากนั ดงั รูปท่ี 3.25 ทาใหศ้ กั ดา Vab ของสาย
ส่ง 3 เฟส เน่ืองจากประจุบนตวั นา a และ b เป็น

Vab = 1  q a ln D + qb ln r  V
2k  r D 

เนื่องจากการกระจายประจุบนพ้นื ผิวตวั นาเทา่ กบั ประจุที่ศูนยก์ ลางของตวั นา ดงั น้นั ประจุเนื่องจาก qc
เทา่ น้นั

104

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหสั วชิ า 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ท่ี 8 หน่วยท่ี 3
เร่ือง การหาค่าพารามิเตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

Vab = qc ln D V
2k D

ซ่ึงเป็นศูนย์ อยา่ งไรกต็ ามพิจารณาประจุท้งั 3 ตวั จะได้

Vab = 1  q a ln D + qb ln r + qc ln D  V
2k  r D D 

ในลกั ษณะเดียวกนั

Vac = 1  q a ln D + qb ln D + qc ln r  V
2k  r D D 

เมื่อรวมสมการจะได้

Vab + Vac = 1 2q a ln D + (q b + qc )ln r V
2k r D 

เราจะสมมุติใหด้ ินอยไู่ กลมากจนไมม่ ีผลกระทบผลรวมของประจุท้งั 3 เป็นศูนยแ์ ละสามารถเขยี น

− qa สาหรับ qb + qc จะได้

Vab + Vac = 3qa ln D V
2k r

รูปท่ี 3.26 แสดงถึงเฟสเซอร์ศกั ดา จากรูปจะไดค้ วามสัมพนั ธร์ ะหวา่ งศกั ดาไลน์ Vab , Vac

และศกั ดา Van จากไลน์ a ตอ่ นิวทรัลของวงจร 3 เฟส

รูปท่ี 3.26 แผนภาพเฟสเซอร์ศกั ดาสมดุลของสายส่ง 3 เฟส

105

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหสั วิชา 30104-2005
จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ท่ี 8 หน่วยท่ี 3
เรื่อง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

Vab = 3Van 30

= 3Van (0.866+ j0.5)

Vac = −Vca = 3Van  − 30

= 3Van (0.866− j0.5)
เม่ือรวมสมการจะได้

Vab + Vac = 3Van

แทนคา่ 3Van สาหรับ Vab + Vac ในสมการดา้ นบนจะได้

3Van = 3qa ln D V
2k r

 Van = qa ln D V
2k r

เพราะวา่ คาพาซิแตนซ์ต่อนิวทรัล เป็นสัดส่วนของประจุบนตวั นาต่อศกั ดาระหวา่ งตวั นาและนิวทรัล

vC n = qa = 2k F/ m ต่อนิวทรัล
ln(D / r)
an

สาหรับวงจรเฟสเด่ียว กระแส charging เป็นผลคณู ของศกั ดาไลน์ตอ่ ไลน์ และ Susceptance ไลน์ต่อไลน์

คอื

Ichg = jCab Vab A

สาหรับสายส่ง 3 เฟส กระแส charging เป็นผลคูณของศกั ดาต่อนิวทรัลกบั Capacitive

Susceptance ต่อนิวทรัล ซ่ึงกระแส charging ในเฟส a เป็น

Ichg = jCan Van A

106

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหสั วิชา 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ท่ี 8 หน่วยที่ 3
เร่ือง การหาค่าพารามิเตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

ตวั อย่างที่ 3.10 สายส่ง 3 เฟสมีการจดั วางตวั นาระยะห่างเท่ากนั คอื 18 ft และเส้นผา่ ศูนยก์ ลาง
ของตวั นาแต่ละตวั เทา่ กบั 0.642 นิ้ว วงจรน้ีมีความถ่ี 50 Hz ดงั รูป

รูปที่ 3.27 สาหรับตวั อยา่ งที่ 3.10

จงคานวณหา
ก. ค่าคาปาซิแตนซ์ตอ่ นิวทรัล
ข. ค่าคาปาซิทีฟรีแอกแตนซ์

วิธีทา - หาคา่ คาปาซิแตนซต์ ่อนิวทรัลจากสมการ Cn = 2k
ln(D / r)

r = 0.642 = 0.0268 ft
2 12

แทนคา่ Cn = 2  8.8510−12
ln(18/ 0.0268)

= 55.60610−12 F/ m ตอ่ นิวทรัล
6.059

= 8.54 10−12

107

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหัสวิชา 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยท่ี 3
เร่ือง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

= 8.5410−3 F / km ตอ่ นิวทรัล

- หาค่าคาปาซิทีฟรีแอกแตนซ์จากสมการ X cn =1
2fCn

แทนคา่ X cn =1
2  50 8.5410−3

= 0.37 M  km /นิวทรัล

3.4.5 คาปาซิแตนซ์ของสายส่ง 3 เฟส ซ่ึงมีระยะห่างไม่เท่ากนั

รูปท่ี 3.28 ภาพตดั ขวางของสายส่ง 3 เฟส ซ่ึงมีระยะห่างไม่สมมาตร

รูปท่ี 3.28 เป็นลกั ษณะของสายส่งที่มีระยะห่างไมเ่ ทา่ กนั ดว้ ยเฟส a ในตาแหน่ง 1, b ใน
ตาแหน่ง 2 และ c ในตาแหน่ง 3

Vab = 1  q a ln D12 + qb r + qc ln D23  V
2k r ln D 31

D12

และเม่ือ a อยใู่ นตาแหน่ง 2, b ในตาแหน่ง 3 และ c ในตาแหน่ง 1

Vab = 1  qa ln D 23 + qb r + qc ln D 31  V
2k r ln D12

D 23

และเม่ือ a อยใู่ นตาแหน่ง 3, b ในตาแหน่ง 1 และ c ในตาแหน่ง 2

Vab = 1  qa ln D 31 + qb ln r + qc ln D12  V
2k r D 31 D 23

108

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหัสวิชา 30104-2005
จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ท่ี 8 หน่วยที่ 3
เรื่อง การหาค่าพารามิเตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

ค่าเฉล่ียของศกั ดาระหวา่ งตวั นา a และ b บนสมมุติฐานวา่ ประจุเหมอนกนั บนตวั นาโดยไม่

คานึงถึงตาแหน่งของการทรานส์โพซิชนั เป็น

Vab = 1  q a ln D12D 23D31 + qb ln r3 + qc ln D12D 23D31 
6k r3 D12D 23D31 D12D 23D31
โดยที่
= 1  q c ln D eq + qb ln r  V
2k  r D eq 

D eq = 3 D12 D 23D31

ในลกั ษณะเดียวกนั คา่ เฉล่ียศกั ดาครอบจากตวั นา a ไปตวั นา c เป็น

Vac = 1  q a ln Deq + qc ln r  V
2k r D eq

และสามารถเขียนสมการใหม่ไดว้ า่

3Van = Vab + Vac = 1  2q a ln Deq + qb ln r + q c ln r 
2k r D eq D eq

เพราะวา่ qa + qb + qc = 0 ในวงจร 3 เฟสสมดุล
และ
3Van = 3q a ln Deq V
2k r

= qa = 2k F/m ต่อนิวทรัล
Van ln Deq / r
( )Cn

109

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหสั วิชา 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยที่ 3
เรื่อง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

ตัวอย่างท่ี 3.11 สายส่งสามเฟส 50 Hz จดั เรียงในแนวราบ ตวั นามีเส้นผา่ ศูนยก์ ลางภายนอก
cm. และมีระยะห่างระหวา่ งตวั นา 10 m ดงั รูป จงคานวณหาคาปาซิแตนซ์ต่อนิวทรัลและคาปาซิ
ทีฟรีแอกแตนซ์ที่ความยาว 250 km

รูปท่ี 3.29 สาหรับตวั อยา่ งท่ี 3.11

วธิ ีทา - หาคา่ คาปาซิแตนซ์ต่อนิวทรัลจากสมการ = 2k
Deq / r
( )Cnln

r = 3.28 = 0.0164 m
2 100

D eq = 3 1010 20

= 12.6 m

แทนค่า Cn = 2  8.8510−12

ln(12.6 / 0.0164)

= 55.60610−12 F/ m ต่อนิวทรัล
6.64

= 8.37 10−12

= 8.3710−3 F / km ต่อนิวทรัล

- หาค่าคาปาซิทีฟรีแอกแตนซ์ท่ี 250 km จากสมการ Xcn =1
2fCn

แทนค่า X cn = 1  250
2  50 8.37 10−3

= 1.52 10−3 M

110

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหสั วิชา 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ท่ี 8 หน่วยที่ 3
เร่ือง การหาค่าพารามิเตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

3.4.6 ผลของดนิ ต่อคาปาซิแตนซ์ของสายส่ง 3 เฟส
ในตอนน้ีเพ่ือคานวณคาปาซิแตนซ์แลว้ ดินอาจแทนดว้ ยตวั นาที่ประจุอยา่ งสมมตุ ิข้ึนมาใต้
พ้นื ดินโดยมีระยะทางเทา่ กบั ตวั นาบนอากาศเหนือดิน ดงั น้นั ตวั นามีประจุขนาดเทา่ กนั แต่สัญลกั ษณ์
ตรงกนั ขา้ มกบั ตวั นาด้งั เดิม เรียกวา่ ตวั นาจินตภาพ (Image Conductor)
การประยกุ ตใ์ ชว้ ิธีการทางจินตภาพในการคานวณคาปาซิแตนซส์ าหรับสายส่ง 3 เฟสดงั
ในรูปที่ 3.30

รูปท่ี 3.30 สายส่ง 3 เฟสและตวั นาจินตภาพ

111

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหัสวชิ า 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยท่ี 3
เรื่อง การหาค่าพารามิเตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

เราสมมตุ ิวา่ สายส่งมีการทรานส์โพซิชนั และตวั นา a, b และ c ลาเลียงประจุ qa , qb และ qc

และมีตาแหน่งอยทู่ ่ี 1, 2 และ 3 ตามลาดบั ในคร้ังแรกของการทรานส์โพซิชนั ระนาบของดินแสดงไวใ้ น
รูปและใตพ้ ้ืนดินมีจานวนจินตภาพซ่ึงมีประจุ − qa , − qb และ − qc สมการสาหรับรอบของการ

ทรานส์โพซิชนั ท้งั 3 คร้ัง สามารถเขยี นเป็นศกั ดาครอบจากตวั นา a ไปยงั ตวั นา b ซ่ึงถูกพจิ ารณาเป็น
ตวั นาประจุท้งั สามและจินตภาพของตวั นา เม่ือตวั นา a อยใู่ นตาแหน่งที่ 1, b อยใู่ นตาแหน่งท่ี 2
และ c อยใู่ นตาแหน่ง 3

Vab = 1  a  ln D12 − ln H12  + q b  ln r − ln H2  + qc ln D 23 − ln H 23 
2k q r H1 D12 H12 D 31 H 31


ในลกั ษณะเดียวกนั กบั สมการสาหรับ Vab ในรอบของการทรานส์โพซิชนั อ่ืนๆสมการสาหรับ

หาคา่ เฉล่ียของเฟสเซอร์ Vac สามารถหาไดใ้ นลกั ษณะเดียวกนั และ 3Van จะเป็นการรวมกนั ของค่า

Vab + Vac เมื่อรู้ผลรวมของประจุเป็นศูนยแ์ ลว้ เราจะไดว้ า่

= 2k F/m ตอ่ นิวทรัล
ln Deq / r − ln 3 H12H23H31 / 3 H1H2H3
( ) ( )Cn

เม่ือพิจารณาจากสมการแลว้ จะเห็นวา่ ผลของดินทาใหเ้ กิดการเพ่ิมค่าคาปาซิแตนซข์ องสายส่ง

3.4.7 ตัวนาเป็ นกลุ่ม

รูปท่ี 3.31 ภาพตดั ขวางของสายส่งตวั นากลุ่ม 3 เฟส

112

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหสั วชิ า 30104-2005
จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยที่ 3
เร่ือง การหาค่าพารามิเตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

รูปที่ 3.30 แสดงถึงสายส่งตวั นากลุ่ม ซ่ึงเราสามารถเขยี นสมการสาหรับศกั ดาจากตวั นา a ไป

ตวั นา b ไดด้ งั น้ี

ถา้ ประจุในเฟส a เป็น qa , ตวั นา a และ a แต่ละตวั มีประจุ qa / 2 และแบง่ ประจุน้ี
ดว้ ยกบั เฟส b และ c ทาให้

Vab = 1  qa  ln D12 + ln D12  + qb  ln r + ln d  + qc  ln D 23 + ln D23 
2k  2 r d  2 D12 D12 2 D 31 D 31


a a b b c c

ตวั อกั ษรใตเ้ ทอมลอการิทึม แสดงถึงตวั นาซ่ึงมีประจุอยนู่ ้นั เม่ือรวมเทอมแลว้ จะได้

Vab = 1  qa ln D12 + qb ln rd + qc ln D 23 
2k rd D12 D 31

และถา้ พจิ ารณาวา่ สายส่งมีการทรานส์โพซิชนั จะไดว้ า่

= 2k F/m ต่อนิวทรัล
ln Deq /
( )Cn rd

ค่า rd เป็นคา่ เดียวกนั D b สาหรับตวั นากลมุ่ 2 ตวั ยกเวน้ r แทนดว้ ย Ds ซ่ึงนาไปสู่
s

วธิ ีการ GMD ปรับปรุงซ่ึงไวใ้ ชค้ านวณคาปาซิแตนซข์ องตวั นากลุม่ 3 เฟส ซ่ึงมีตวั นา 2 ตวั ต่อกลุ่ม

การปรับปรุงน้ีจะใชร้ ัศมีภายนอกในส่วนของ GMR ของตวั นาเด่ียว

ถา้ เรานาค่าสแตรนด์ D b สาหรับ GMR ปรับปรุง เพอ่ื ใชใ้ นการคานวณคาปาซิแตนซแ์ ลว้
sC

จะไดว้ า่

= 2k F/m ต่อนิวทรัล
( )Cn
ln D eq / D b
sC

สาหรับกลุ่ม 2 สแตรนด์

( )D
b = 4 rd 2 = rd
sC

113

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหัสวิชา 30104-2005
จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ท่ี 8 หน่วยที่ 3
เร่ือง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

สาหรับกล่มุ 3 สแตรนด์

D b = 9 (r  d  d)3 = 3 rd2
sC

สาหรับกลมุ่ 4 สแตรนด์

 1  4
2
D b = 16 r  d  d  d  2 = 1.094 rd3
sC

ตัวอย่างท่ี 3.12 จงหาค่าคาปาซิแตนซแ์ ละค่าคาปาซิทีฟรีแอกแตนซ์ ของสายส่งกลุ่ม 50 Hz
ซ่ึงมีตวั นา ACSR Rail 3 เสน้ ตอ่ กลุ่มและมีระยะห่างระหวา่ งตวั นาในกล่มุ เป็น 18 นิ้ว ระยะห่างระหวา่ ง
จุดศนู ยก์ ลางของกลมุ่ เป็น 30, 30 และ 60 ft ดงั รูป

รูปที่ 3.32 สาหรับตวั อยา่ งที่ 3.12

วธิ ีทา - หาคา่ คาปาซิแตนซ์จากสมการ = 2k
( )Cn
ln D eq / D b
sC

ACSR Rail มีเสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางภายนอก 1.165 นิ้ว

ทาใหห้ ารัศมีของตวั นาได้ = 1.165 = 0.0485 ft

2 12

D b = 3 0.0485 (18/12)2
sC

= 0.478 ft

114

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า ใบความรู้
รหสั วิชา 30104-2005
จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ
สัปดาห์ที่ 8 หน่วยที่ 3
เร่ือง การหาค่าพารามิเตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

D eq = 3 30 30 60

= 37.79 ft

แทนคา่ Cn = 2  8.85 10−12

ln(37.79 / 0.478)

= 55.60610−12 F/ m ต่อนิวทรัล
4.37 F / km ตอ่ นิวทรัล

= 12.72 10−12

= 12.7210−3

- หาคา่ คาปาซิทีฟรีแอกแตนซจ์ ากสมการ Xcn =1
2fCn

แทนคา่ X cn = 1
2  5012.7210−3

= 0.25 M  km /นิวทรัล

3.4.8 สรุป

สมการสาคญั สาหรับคาปาซิแตนซ์ตอ่ นิวทรัลสาหรับวงจรเดี่ยว 3 เฟสคอื

= 2k F/ m ตอ่ นิวทรัล
Deq / DsC
( )Cn ln

DsC เป็นรัศมีภายนอกของตวั นาสาหรับสายส่ง ซ่ึงประกอบดว้ ยตวั นาตวั หน่ึงต่อเฟสสาหรับสายส่งบน

อากาศ k เป็น 8.8510−12 เมื่อ k r สาหรับอากาศ 1.0 คาปาซิทีฟรีแอกแตนซ์ในหน่วยโอหม์ – เมตร
เป็น 1/ 2fC โดยที่ C อยใู่ นหน่วย ฟารัด/เมตร

ท้งั Deq และ DsC อยใู่ นหน่วยเดียวกนั ส่วนมากจะเป็นฟุต สาหรับตวั นากลมุ่ DsC จะถูกแทนดว้ ย

D b และสาหรับตวั นาเด่ียวและกลมุ่
sC

D eq = 3 D12 D 23 D 31

สาหรับสายส่งตวั นากลมุ่ D12 , D23 และ D31 เป็นระยะห่างจากจุดศูนยก์ ลางของกลุ่ม a, b, c

115

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า แผนการสอน

จานวน 3 ชั่วโมง รหัสวชิ า 30104-2005
สัปดาห์ท่ี 8 หน่วยท่ี 3 จานวน 3 หน่วยกติ
เรื่อง การหาค่าพารามเิ ตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

การประเมินผล

ก่อนเรียน
..................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

ขณะเรียน
..................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

หลงั เรียน
..................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

116

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า แผนการสอน

จานวน 3 ช่ัวโมง รหสั วิชา 30104-2005
สัปดาห์ท่ี 8 หน่วยที่ 3 จานวน 3 หน่วยกติ
เรื่อง การหาค่าพารามิเตอร์ต่างๆของสายส่งไฟฟ้า

บนั ทกึ หลงั การสอน

ผลการใช้แผนการสอน
..................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนักเรียน
..................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู
..................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

117

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วิชา 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 9 หน่วยท่ี 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

หวั ข้อเรื่อง
การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

สาระสาคญั
การคานวณกระแสและแรงดนั ไฟฟ้าในระบบส่งจ่ายไฟฟ้าน้นั จะเป็นการคานวณหา

ค่าพารามิเตอร์ดา้ นตน้ ทาง พารามิเตอร์ดา้ นปลายทาง การสูญเสียในสายส่งจ่าย เปอร์เซ็นตก์ ารควบคุม
แรงดนั และส่วนสุดทา้ ยจะเป็นการหาค่าประสิทธ์ิภาพโดยรวมของระบบ

สมรรถนะท่ีพงึ ประสงค์ (ความรู้ ทักษะ คณุ ธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณวชิ าชีพ)
1. เพ่อื ใหม้ ีความรู้ ทกั ษะและประสบการณ์นาไปปฏิบตั ิงานในอาชีพไดอ้ ยา่ งมีประสิทธิภาพ

สามารถเลือกวิถีการดารงชีวิตไดอ้ ยา่ งเหมาะสมกบั ตน เพ่ือสร้างสรรค์ความเจริญต่อชุมชน ทอ้ งถิ่น
และประเทศชาติ

2. เพือ่ ใหเ้ ป็นผมู้ ีปัญญา มีทกั ษะในการจดั การ มีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์ ใฝ่ เรียนรู้เพ่ือพฒั นา
คณุ ภาพชีวติ และการประกอบอาชีพ สามารถสร้างอาชีพ และพฒั นาอาชีพใหก้ า้ วหนา้ อยเู่ สมอ
3. เพอื่ ใหม้ ีเจตคติท่ีดีต่ออาชีพ มีความมน่ั ใจและภาคภมู ิใจในวิชาชีพท่ีเรียน รักวานรักหน่วยการเรียน
สามารถทาเป็นหมู่คณะไดด้ ี โดยมีคามเคารพในสิทธิและหนา้ ท่ีของตนเองและผูอ้ ื่น
4. เพื่อใหเ้ ป็นผมู้ ีพฤติกรรมทางสงั คมท่ีดีงาม ท้งั ในการทางาน การอยูร่ ่วมกนั มีความรับผิดชอบต่อ
ครอบครัว หน่วยงาน ทอ้ งถิ่น และประเทศชาติ อทุ ิศตวั เพ่อื สังคม เขา้ ใจและเห็นคุณค่าของ
ศิลปวฒั นธรรม ภูมิปัญญาทอ้ งถิ่น รู้จกั ใช้ อนุรักษท์ รัพยากรธรรมชาติและสร้างสิ่งแวดลอ้ มท่ีดี
5. เพอ่ื ใหม้ ีบคุ ลิกภาพที่ดี มีมนุษยสัมพนั ธ์ มีคณุ ธรรม จริยธรรม และวนิ ยั ในตนเอง มีสุขภาพอามยั
สมบูรณ์เหมาะสาหรับอาชีพน้นั ๆ

118

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวิชา 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 9 หน่วยท่ี 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

เนื้อหาสาระ

การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า
- โครงสร้างของระบบผลิตและวงจรสมมูลของสายส่ง
- สายส่งระยะส้นั
- สายส่งระยะปานกลาง
- สายส่งระยะยาว

119

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วชิ า 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 9 หน่วยที่ 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

กจิ กรรมการเรียนการสอน

ข้นั ตอนหรือกจิ กรรมของครู ข้ันตอนหรือกจิ กรรมของผู้เรียน

ทดสอบก่อนเรียน ผเู้ รียนทาแบบทดสอบก่อนเรียน
ต้งั คาถามก่อนเขา้ สู่บทเรียน ผเู้ รียนตอบคาถาม
เขา้ สู่เน้ือหา ผเู้ รียนจดบนั ทึกเน้ือหาที่สาคญั
ทดสอบหลงั เรียน ผเู้ รียนทาแบบฝึกหดั

120

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วชิ า 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 9 หน่วยท่ี 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

งานท่ีมอบหมายหรือกจิ กรรม

ก่อนเรียน
ต้งั คาถามและทดสอบก่อนเรียน

ขณะเรียน
ถาม-ตอบ เกี่ยวกบั เน้ือหาและทาแบบฝึกหดั

หลงั เรียน
ทดสอบหลงั เรียน

121

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวิชา 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 9 หน่วยที่ 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

ส่ือการเรียนการสอน

ส่ือสิ่งพมิ พ์
ใบความรู้

สื่อโสตทัศน์
แผน่ ใส, โปรเจคเตอร์

หุ่นจาลองหรือของจริง

122

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วชิ า 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 9 หน่วยที่ 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

การคานวณกระแสและแรงดันไฟฟ้า
การคานวณกระแสและแรงดนั ไฟฟ้าในระบบส่งจ่ายไฟฟ้าน้นั จะเป็นการคานวณหา
ค่าพารามิเตอร์ดา้ นตน้ ทาง พารามิเตอร์ดา้ นปลายทาง การสูญเสียในสายส่งจ่าย เปอร์เซ็นตก์ ารควบคมุ
แรงดนั และส่วนสุดทา้ ยจะเป็นการหาคา่ ประสิทธ์ิภาพโดยรวมของระบบ
โครงสร้างของระบบผลิต และวงจรสมมลู ของสายส่งไฟฟ้า
รูปที่ 4.1 จะแสดงโครงสร้างของการผลิต การส่งและจ่ายไฟฟ้าไปยงั โหลด และจากบทที่
ผา่ นๆมาน้นั จะสามารถทราบไดว้ า่ พารามิเตอร์ท่ีเกิดข้ึนบนสายส่งน้นั ประกอบดว้ ยอะไรบา้ งซ่ึงก็คอื
ความตา้ นทาน(R)ค่าความเหน่ียวนา(L) คา่ ความจุไฟฟ้า(C) และค่าคอนดกั แตนซ์(G) โดยท่ีเป็นวงจร
สมมูลไดด้ งั รูปที่ 4.2

รูปที่ 4.1 แสดงโครงสร้างของเครื่องกาเนิดต่อแบบ Y-connection ส่งผา่ นสายส่งไปยงั โหลด

123

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวชิ า 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 9 หน่วยที่ 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

รูปท่ี 4.2 แสดงวงจรสมมูลของสายส่ง

ตลอดช่วงความยาวของสายส่งน้นั จะเกิดพารามิเตอร์ดงั กล่าวข้ึนตลอดท้งั สาย แตพ่ ารามิเตอร์
ดงั กล่าวน้นั จะมีคา่ เปลี่ยนแปลงไปตามขนาดของแรงรันและความยาวของสายตวั นาโดยมีการกาหนด
รูปแบบเพ่ือพจิ ารณาไว้ 3 ขนาด ไดแ้ ก่

1. สายส่งระยะส้นั (Short Transmission Line) มีความยาวสายส่งไมเ่ กิน 80 กิโลเมตร หรือ
50 ไมล์

2. สายส่งระยะปานกลาง (Medium Transmission Line) มีความยาวสายส่งระหวา่ ง 80-240
กิโลเมตร หรื 50-150 ไมล์

3. สายส่งระยะยาว (Long Transmission Line) มีความยาวของสายส่งเกิน 240 กิโลเมตร หรือ
150 ไมลข์ ้ึนไป

โดยคานวณหาค่าอิมพแี ดนซ์อนั ดบั (Series Impedance) และคา่ แอดมิตแตนซ์ ขนาน
( Shunt Admittance) ของสายส่งจะมีการกาหนดค่าตวั แปรตา่ งๆ ดงั น้ี

z = r + jx

= อิมพีแดนซอ์ นั ดบั ต่อหน่วยความยาวตอ่ เฟส
(Series Impedance Per Unit Length Per Phase)

y = G + jB

= แอดมิตเตอร์ขนานต่อหน่วยความยาวตอ่ เฟส
(Shunt Admittance Per Unit Length Per Phase To Neutral)

124

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวิชา 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 9 หน่วยที่ 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

เมื่อ  = ความยาวของสาย (m หรือ ft)
Z = z = อิมพีแดนซอ์ นั ดบั รวมต่อเฟส (Total Series Impedance Per Phase)
Y = y = แอดมิตแตนซข์ นานต่อรวมต่อเฟส (Total Shunt Admittance Per Unit
Length Per Phase To Neutral)

สายส่งระยะส้ัน ( Short Transmission Line)

จากรูปที่ 4.2 เนื่องจากสายส่งระยะส้ันน้นั จะมีค่า C และ G ที่คอ่ นคา้ งต่า ทาใหก้ ารคานวณ
สามารถตดั ทิง้ ไปได้ ทาใหเ้ หลือพารามิเตอร์ R กบั L เทา่ น้นั โดยในการศึกษาถึงความสัมพนั ธร์ ะหวา่ ง
กระแสแรงดนั ท่ีเกิดข้ึนบนสายส่งจะเนน้ ไปท่ีสภาวะตน้ ทาง คอื VS , IS และสภาวะปลายทาง คือ
VR , IR ซ่ึงสามารถเขียนออกมาเป็ นวงจรสมมูลไดด้ งั รูปที่ 4.3

จากรูปกาหนดให้ รูปที่ 4.3 แสดงวงจรสมมูลของสายส่งระยะส้นั

VS = แรงดนั ตน้ ทางหรือดา้ นส่ง
IS = กระแสตน้ ทางหรือดา้ นส่ง
VR = แรงดนั ปลายทางหรือดา้ นรับ
IR = กระแสปลายทางหรือดา้ นรับ

125

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวิชา 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 9 หน่วยท่ี 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

และจากรูปจะเห็นวา่ เป็นวงจรอนุกรม ทาให้กระแสตน้ ทางมีคา่ เดียวกบั กระแสปลายทาง นนั่ คอื

IS = IR 4.1
VS = VR + IR .Z 4.2

การหาค่าโวลเตจรีกูเลช่ัน (Voltage Regulation)
โวลเตจรีกูเลชนั่ หรือที่เรียกอยา่ งหน่ึงวา่ การควบคมุ แรงดนั หมายถึง เปอร์เซ็นตก์ าร

เปล่ียนแปลงคา่ แรงดนั ดา้ นปลายทางเมื่อไมม่ ีโหลด (No Load) ไปจนถึงโหลดเติมพกิ ดั (Full Load) ซ่ึง

เม่ือโหลดทางดา้ นปลายทางเปลี่ยนแปลงและคา่ เพาเวอร์แฟกเตอร์ของโหลดเปล่ียนแปลงไป จะส่งผลตอ่

คา่ โวลเตจรีกูเลชน่ั ของระบบดว้ ย นนั่ กค็ ือ ถา้ ค่าแรงดนั ปลายทางต่ากวา่ ตน้ ทางจานวนมากๆ จะทาให้
โวลเตจรีกเู ลชนั่ มีค่าสูง

เปอร์เซ็นตก์ ารควบคุมค่าแรงดนั = VR.NL − VR.FL 100 4.3
VR.FL

เมื่อ VR.NL = แรงดนั ไฟฟ้าดา้ นปลายทางเมื่อไม่มีโหลด

VR.FL = แรงดนั ไฟฟ้าดา้ นปลายทางเม่ือมีโหลดเตม็ พิกดั

VS = แรงดนั ตน้ ทางหรือดา้ นตน้ ทาง ซ่ึงจะถือวา่ เทา่ กบั แรงดนั ไฟฟ้าดา้ นปลายทาง

ขณะไม่มีโหลด

VR = แรงดนั ไฟฟ้าดา้ นปลายทางขณะมีโหลดเตม็ ท่ี

หรือ เปอร์เซ็นตก์ ารควบคุมค่าแรงดนั VS − VR 100 4.4

VR

เม่ือเพาเวอร์แฟกเตอร์มีการเปลี่ยนแปลงแรงดนั ก็จะมีการเปล่ียนแปลงตามไปดว้ ย สามารถ

แสดงในรูปของเฟสเซอร์ไดอะแกรม สาหรับมุมต่างเฟสระหวา่ งแรงดนั V และ VR จะเรียกวา่
มุม s ของโหลด ( 1 ) ดงั รูปท่ี 4.4 (b) 1 = 1 −  และรูปท่ี 4.4 (c) 1 =  − 1

1 = มมุ ต่างเฟสระหวา่ ง VS กบั S
1 = มมุ ตา่ งเฟสระหวา่ ง VR กบั R

126

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวชิ า 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 9 หน่วยที่ 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

รูปที่4.4 (a) กาหนด VR เป็นจุดอา้ งอิง เม่ือค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์เทา่ กบั 1 (Unity)

รูปท่ี 4.4 (b) กาหนด VR เป็นจุดอา้ งอิง เมื่อค่าเพาเวอร์แฟกเตอร์ลา้ หลงั (Lagging)

127

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วชิ า 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 9 หน่วยท่ี 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

รูปที่ 4.4 (b) กาหนด VR เป็นจุดอา้ งอิง เมื่อคา่ เพาเวอร์แฟกเตอร์นาหนา้ (Leading)

จากรูปท่ี 4.4 (a) เม่ือคา่ เพาเวอร์แฟกเตอร์เท่ากบั 1 (Unity)

VS = (VR + ) R.R 2 + ( R . L )2 4.5

จากรูปท่ี 4.4 (b) กาหนด VR เม่ือคา่ เพาเวอร์แฟกเตอร์ลา้ หลงั (Lagging)

VS = (VR cos + ) R.R 2 + (VR sin  +  R . L )2 4.6
4.7
จากรูปที่ 4.4 (b) กาหนด VR เมื่อคา่ เพาเวอร์แฟกเตอร์นาหนา้ (Leading)

VS = (VR cos + ) R.R 2 + (VR sin  −  R . L )2

การหาค่าประสิทธิภาพของสายส่งระยะส้ัน
การหาคา่ ประสิทธิภาพ (Efficiency :  ) ของสายส่งระยะส้นั จะสามารถหาไดด้ งั ต่อไปน้ี

 = Output = Output กาลงั สูญเสีย

Input Output +

ในกรณีท่ีเป็นสายส่ง 1 เฟส

 = VR . R cos 100 4.8
VR . R cos + 2 R 2 .R

ในกรณีท่ีเป็นสายส่ง 3 เฟส

= 3VR . R cos 100 4.9

3VR . R cos + 3 R 2 .R

128

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวชิ า 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 9 หน่วยท่ี 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

 = 3VR . R cos 100
3VS.S cos3

ตวั อยา่ งที่ 4.1 กาหนด สายส่งไฟฟ้าระบบ 1 เฟส แรงดนั 55 kV ความถี่ 60 Hz จ่ายกาลงั ไฟฟ้าใหก้ บั
โหลด 1500 kW มีคา่ เพาเวอร์แฟกเตอร์ 0.7 นาหนา้ ใชร้ ะยะทางในการเดินสาย 100 กิโลเมตร ตลอด
ระยะทางมีความตา้ นทาน 9.75  และมีค่ารีแอกแตนซ์ท้งั หมด 4.89  จงคานวณหา

(ก) แรงดนั ตน้ ทาง (VS )
(ข) เพาเวอร์แฟกเตอร์ตน้ ทาง (cos3 )
(ค) ประสิทธิภาพของสายส่ง
(ง) เปอร์เซ็นตก์ ารควบคุมคา่ แรงดนั

วธิ ีทา จากสมการที่ 4.7

(ก) VS = (VR cos + ) R.R 2 + (VR sin  −  R . L )2

จากโจทย์ VR = 55 kV

 R = 1500kV = 38.961A
55kV  0.7

จาก cos  = 0.7 นนั่ กค็ ือมุม  เท่ากบั 45.57 องศา

 sin = 0.714

แทนคา่ ลงในสมการที่ 4.7 จะได้

VS = (55000 0.7) + (38.961 9.75)2 (55000 0.714) − (38.961 4.89)2
VS = 55,125.76 V

129

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วชิ า 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 9 หน่วยท่ี 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

(ข) หาคา่ เพาเวอร์ แฟกเตอร์ตน้ ทาง (cos S )

รูปที่ 4.5 แสดงเฟสเซอร์ไดอะแกรมเพอื่ คานวณหามุม cos S

จากรูปท่ี 4.5

cos S = VR cos +  R .R
VS

= (55000 0.7) + (38.961 9.75)
55125.76

= 0.7052 หรือ มมุ 45.15 องศา

(ค) ค่าประสิทธิภาพของสายส่ง

 = VR . R cos 100
VR . R cos + 2 R 2 .R

= (55,000  55,000 38.961 0.7 9.75  100
38.961
0.7) + 2(38.961)2

= 98.06 %

130

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวิชา 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 9 หน่วยที่ 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

(ง) คา่ เปอร์เซ็นตก์ ารควบคุมแรงดนั

= VS − VR 100

VR

= 55,125.76 − 55,000 100

55,000

= 0.228 %

ตวั อยา่ งที่ 4.2 กาหนดสายส่งระยะส้นั 3 เฟส ความถี่ 60 Hz แรงดนั ปลายทาง 36 kV อิมพีแดนซเ์ ท่ากบั
3.59 + j 50  /เฟส ต่อเขา้ กบั โหลดขนาด 10 kW ที่เพาเวอร์แฟกเตอร์ 0.9 ลา้ หลงั จงหาค่าตอ่ ไปน้ี

(ก) แรงดนั ไฟฟ้าตน้ ทาง

(ข) มุมตา่ งเฟสของแรงดนั ไฟฟ้าตน้ ทางกบั แรงดนั ปลายทาง
(ค) เพาเวอร์แฟกเตอร์ตน้ ทาง
(ง) เปอร์เซ็นตค์ วบคุมค่าแรงดนั
(จ) ประสิทธิภาพของสายส่ง
วิธีทา (ก) กาหนดใหแ้ รงดนั ไฟฟ้าตอ่ เฟสดา้ นปลายทางเป็นค่าอา้ งอิง

VR ( N −L ) = 36  103
3

= 20,784.600 V

ค่ากระแสไฟฟ้าตน้ ทาง

S = R = 10  103
3  36103  0.9

= 0.178 − 25.84 A

= 0.16 - j0.077 A

R  Z = (0.16 − j0.077)(3.59 + j50)
= (0.178 − 25.84) (179.585.89)

= 31.95160.05 V

131

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วชิ า 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 9 หน่วยที่ 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

จากสมการที่ 4.2 นามาคานวณแรงดนั ไฟฟ้าตน้ ทาง
=VS VR +  R . Z
= 20,784.60 0 + 31.951 60.05
= (20,784.60 + j0) + ( 150951 + j27.684)
= 20,800.551 + j27.684
= 20,800.57 0.0762

หาค่าแรงดนั ไฟฟ้าระหวา่ งสาย (Line to Line ) ดา้ นตน้ ทาง
=VS(L−L) 3  20,800.57
= 36,027.644 V

(ข) มมุ ตา่ งเฟสระหวา่ งแรงดนั ไฟฟ้าตน้ ทางกบั ปลายทางเท่ากบั 0.0762 องศา หรือเรียกอีก
อยา่ งไดว้ า่ มุมของโหลด ( 1)

(ค) จากรูปท่ี 4.4 (b) จะได้
มุม S =  + 1
= 25.84 +0.0762
= 25.91 องศา
= 0.9 ลา้ หลงั

(ง) คา่ เปอร์เซ็นตก์ ารควบคมุ แรงดนั

= VS − VR 100

VR

= 20,800.57 − 20,784.60 100

20,784.60

= 0.0768 %

132

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วิชา 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 10 หน่วยที่ 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

สายส่งระยะปานกลาง (Medium Transmission Line)
ในการคานวณหาคา่ ตา่ งๆ ของสายส่งระยะปานกลางจะไมส่ ามารถคานวณตามรูปแบบธรรมดา

คอื อิมพีแดนซต์ ่ออนุกรมกนั ได้ สายส่งระยะปานกลางจะมีความยาวระหวา่ ง 80 ถึง 240 กิโลเมตร หรือ
50 ถึง 150 ไมล์ เพราะฉะน้นั เพอ่ื ใหก้ ารคานวณง่ายมากข้ึน จึงไม่รวมอิมพแี ดนซ์ (Z) และแอดมิตแตนซ์
ขนาน (Y) ใหเ้ ป็นกลุ่มใหญ่ ๆ โดยจดั วางในลกั ษณะท่ีสมมาตรกนั (Symmetry) จากน้นั เขยี นแทนดว้ ย
วงจรสมมูล 2 แบบดว้ ยกนั คือ แบบ T และแบบ 

วงจรสมมูลแบบ T (Nominal T Circuit)

จากรูปท่ี 4.6 วงจรสมมูลแบบ T น้นั จะทาการแยกอิมพแี ดนซอ์ นุกรม ออกเป็น 2 ส่วนเท่าๆ กนั

ดงั ตอ่ ไปน้ี
เทอมอิมพีแดนซ์ Z จะใชแ้ ทน (R + jX) และเทอมแอดมิตแตนซ์ Y จะใชแ้ ทน C และ G ทา

22

ใหเ้ ขียนออกมาเป็นวงจรไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี

รูปท่ี 4.6 แสดงวงจรสมมลู แบบ T

133

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวชิ า 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 10 หน่วยที่ 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

จากรูปที่ 4.6 ใชท้ ฤษฎีวงจรไฟฟ้าวิเคราะหห์ าสมการ VS และ S ไดด้ งั ต่อไปน้ี

VS = S Z + R Z + VR 4.10
2 2

เน่ืองจาก S = Y + R

 Y = VY . Y (เพระวา่ 1 = Y )

Z

 S = VY . Y + R

และ VY =  R . Z + VR
2

ฉะน้นั S =   R . Z + VR Y + R 4.11
 2 

นาสมการท่ี 4.11 แทนในสมการท่ี 4.10 กจ็ ะได้

VS =   R . Z + VR Y + R  Z +  R . Z + VR
2   2 2

จดั เรียงสมการใหม่ ดงั น้ี

VS =  R +  VR +  R . Z Y  Z +  R . Z + VR
  2 2 2

= R. Z + VR .Y. Z + RY .Z 2 + R .Z + VR
2 2 2 2

นามารวมเทอมเขา้ ดว้ ยกนั

VS = 1 + ZY VR + 2 R .Z + RY Z2
 2 2 4

VS = 1 + ZY VR +  Z + Z2Y  R 4.12
 2 4

นาสมการท่ี 4.11 มาจดั เรียงใหมไ่ ด้ ดงั น้ี

S = R + Y . VR +  R . Z .Y
2

S = Y.VR + 1 + ZY  R 4.13
 2 

134

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วิชา 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 10 หน่วยที่ 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

เมื่อนาสมการท่ี 4.12 และ 4.13 มาเขยี นในรูปของคา่ คงที่ทวั่ ไป หรือ ABCD พารามิเตอร์ จะได้

VS = AVR + BIR 4.14
S = C.VR + D. R 4.15

A = D = 1 + ZY 
2 

B = Z + Z2Y 
นนั่ ก็คือ  4.16
4
C=Y 



วงจรสมมูลแบบ  (Nominal  Circuit)
รูปแบบของวงจรสมมูลแบบ  น้นั อิมพแี ดนซอ์ นุกรมจะเขียนแทนดว้ ย Z ซ่ึงเทา่ กบั R + jX

และสาหรับคา่ แอดมิตแตนซ์จะเป็นผลรวมตลอดความยาวของสายส่ง แลว้ จึงแบง่ เป็น 2 ส่วนเทา่ กนั

 Y  โดยจะมีลกั ษณะดงั รูปที่ 4.7

2

รูปท่ี 4.7 แสดงวงจรสมมูลแบบ 

135

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วชิ า 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 10 หน่วยท่ี 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

จากรูปท่ี 4.7 ใชท้ ฤษฎีวงจรไฟฟ้าวเิ คราะหห์ าสมการ VS และ R ไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี

VS = VAB + VBC

= (C2 + R )Z + VR

=  VR . Y + R Z + VR
 2 

= ZY +  R .Z + VR
2 .VR

VS = 1 + ZY VR +. R 4.17
 2

เน่ืองจาก S = CI + 

 = C2 + R

 S = CI + C2 + R

แตว่ า่  CI = Y .
2
VS

ฉะน้นั S = Y . + Y . 4.18
2 2
VS VR +  R

นาสมการที่ 4.17 แทนในสมการท่ี 4.18 กจ็ ะได้

S = 1 + ZY VR + Z R  Y + Y . 4.19
2  2 2
VR +  R

นาสมการท่ี 4.19 มาจดั เรียงใหม่ได้ ดงั น้ี

S = Y . + Z .Y Y . + Z Y . + Y .
2 2 2 2 2
VS VR R VR +  R

= YVR + ZY 2 . + Z Y .
2 2
VR R + R

S =  Y + ZY 2 VR + 1 + Z Y  R 4.20
2  2 

เมื่อนาสมการท่ี 4.17 และ 4.20 มาเขียนในรูปของค่าคงที่ทวั่ ไป หรือ ABCD พารามิเตอร์ จะได้

VS = AVR + BIR 4.21
S = CVR + DIR 4.22

136

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วิชา 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 10 หน่วยที่ 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

A = D = 1 + ZY 
2 
นน่ั ก็คือ  4.23
B=Z 

C = Y + ZY 2 

4

การหาค่าโวลเตจรีกูเลชั่น (Voltage Regulation) ของสายส่งระยะปานกลาง
การหาคา่ โวลเตจรีกเู ลชน่ั ของสายส่งระยะปานกลาง สามารถหาไดด้ งั น้ี

Percent Voltage Regulation = VS  A − VR.FL 100 4.24

VR.FL

เมื่อ VS = แรงดนั ระหวา่ งสายกบั นิวทรัลทางดา้ นส่ง

A = ขนาดของพารามิเตอร์ A จากคา่ คงท่ีทวั่ ไปของสายส่ง

VR.FL = แรงดนั ระหวา่ งสายกบั นิวทรัลทางดา้ นปลายทางขณะรับโหลดเตม็ พิกดั

ตวั อยา่ งท่ี 4.3 กาหนดสายส่ง 3 เฟส ระดบั แรงดนั 115 kV ต่อเขา้ กบั โหลดขนาด 60 ME50 Hz ท่ีเพาเวอร์
แฟกเตอร์ 0.9 Laggihg สายส่งมีความยาว 8. กิโลเมตร มีอิมพีแดนซ์อนุกรม Z = 8560 และแอด
มิตแตนซข์ นาน Y = 0.005 68 S จากโจทยก์ าหนดใหใ้ ชว้ งจรสมมูล T คานวณค่าต่างๆ ต่อไปน้ี

(ก) พารามิเตอร์ ABCD
(ข) แรงดนั ทางดา้ นส่ง (VS )
(ค) กระแสทางดา้ นส่ง (S )
(ง) เพาเวอร์แฟกเตอร์ทางดา้ นส่ง (cosS )
(จ) เปอร์เซ็นตก์ ารควบคมุ ค่าแรงดนั
(ฉ) ประสิทธิภาพของสายส่ง ()

137

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวิชา 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 10 หน่วยที่ 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

วิธีทา เม่ือใชแ้ รงดนั ปลายทาง (ดา้ นรับ) เป็นแรงดนั อา้ งอิง จะได้

VR (L − N ) = 115 kV
3

= 66,395.28 V

= 66,395.28 0 V

กระแสปลายทาง (ดา้ นรับ) คือ

R = 60106 = 334.7A

3 115103  0.9

R = 334.7 − 25.84A

(ก) พารามิเตอร์ ABCD ของวงจรสมมลู T มีค่า ดงั น้ี

A = D = 1 + ZY
2

= 1 + (0.00560)(8568)

2

A = D = 1 + 0.425128
2

= 0.87 + j0.1674

= 0.886 10.9

B = Z + Z2Y
4

= 8568 + (8568)2 (0.00560)

4

= 31.84 + j 78.8 – 8.681 – j2.49

= 23.159 + j76.31

B = 79.74673.117

C = Y = 0.00560 S

138

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวชิ า 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 10 หน่วยที่ 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

(ข) แรงดนั ทางดา้ นส่ง

VS = AVR + BIR

VS = (0.88610.9)(66,395.280)
+ (79.74673.117)(334.7 − 25.84)

= 58,826.2110.9 + 26,690.9847.227

= 57,764.9 + j11,123.77 + 18,125.7 + j19,592.51

= 75,890.6 + j30,716.28

VS(L−N) = 81,871.022.03V
VS(L−N) = 3  81,871.0 = 141,804.7317V

(ค) กระแสทางดา้ นส่ง

..

S = C VR + D  R

S = (0.00560)(66,395.280) + (0.88610.9)(334.7 − 25.84)

= 331.97660 + 296.5442 −14.94
= 165.988+ j287.5 + 286.52 − j76.451

= 452.508 + j211.049

S = 499.325.004A

(ง) เพาเวอร์แฟกเตอร์ตน้ ทาง

S = 22.03 + 25.004

= 47.034 องศา

cosS = 0.681

(จ) เปอร์เซ็นตก์ ารควบคุมค่าแรงดนั

= VS  A − VR.FL 100
VR.

= (81,871.0 / 0.886) − 66,395.28 100

66,395.28

= 39.17 %

139

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วิชา 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 11 หน่วยท่ี 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

(ฉ) ประสิทธิภาพของสายส่ง

 = PowerOutput 100
PowerInput

= 3  VR   R  cos 100
3  VS  S cosS

= 115103  334.7  0.9 100
141,804.7317 499.3 0.7212

= 67.84 %

สายส่งระยะยาว (Long Transmission Line)
การคานวณหาค่าตา่ งๆ ของสายส่งระยะยาวน้นั มีความละเอียดและซบั ซอ้ นมากกวา่ หวั ขอ้ แรกๆ

ซ่ึงไดแ้ ก่สายส่งระยะส้นั และสายส่งระยะปานกลาง โดยจะคานวณดว้ ยการประมาณค่าในรูปแบบของ
วงจรรวม ทาใหค้ านวณไดง้ ่ายข้ึน แต่การคานวณในสายส่งระยะยาวน้นั จะตอ้ งทาอยา่ งละเอียด เน่ืองจาก
ทุกๆ พารามิเตอร์ เช่น อินดกั แตนซ์ รีแอกแตนซ์ รีซิสแตนซ์ แอดมิตแตนซ์ขนาน จะกระจายกนั อยตู่ ลอด
ช่วงความยาวของสายส่ง ซ่ึงจะมีความยาวต้งั แต่ 240 กิโลเมตร โดยการคานวณหาความสมั พนั ธ์ของ
แรงดนั และกระแสไฟฟ้าของสายส่งระยะยาว จะใชว้ ิธีการแกส้ มการในรูปของไฮเพอร์โบลิก

รูปที่ 4.8 แสดง Schematic Diagram ของสายส่งระยะยาว

140

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวิชา 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 11 หน่วยที่ 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

รูปท่ี 4.8 แสดงใหเ้ ห็นถึงการพจิ ารณาในส่วนย่อย หรือองคป์ ระกอบเลก็ ๆ บนสายส่งเพื่อคานวณหา

ความแตกต่างของแรงดนั และกระแสระหว่างปลายขององคป์ ระกอบ

ถา้ กาหนด

1. องคป์ ระกอบของสายส่ง จะมีความยาวเท่ากบั x
2. คา่ แอดมิตแตนซ์ขนานขององคป์ ระกอบ Y จะเท่ากบั Yx
3. ค่าอิมพแี ดนซ์อนั ดบั ขององคป์ ระกอบ Z จะเทา่ กบั Zx
4. ค่าแรงดนั ระหวา่ งปลายขององคป์ ระกอบดา้ นโหลดจะเท่ากบั V ซ่ึงครอบคลมุ Z และ Y

5. คา่ แรงดนั ระหวา่ งปลายขององคป์ ระกอบดา้ นเคร่ืองกาเนิดจะเท่ากบั V + vฉะน้นั คา่
แรงดนั ที่ตกคร่อมตลอดช่วงความยาว x คอื v นน่ั ก็คอื

. 4.25
4.26
v =  Z x

หรือ v = Z
และเมื่อ x

x → 0

 = dV Z 4.27
dX

ถา้ กระแสที่ไหลออกจากองคป์ ระกอบไปยงั โหลดเทา่ กบั 1 ฉะน้นั กระแสท่ีไหลออกจากเคร่ือง

กาหนด ไปยงั องคป์ ระกอบ จะเทา่ กบั  +  หมายความวา่ กระแสที่ไหลออกจากเคร่ืองกาหนดจะมีคา่
มากกวา่ กระแสที่ไหลออกจากองคป์ ระกอบไปยงั โหลดเท่ากบั  ซ่ึงความแตกต่างของกระแส  ก็
คอื กระแสท่ีไหลในแอดมิตแตนซข์ นานขององคป์ ระกอบซ่ึงจะมีคา่ เทา่ กบั Z  x

 = Z  x = VY  x

นน่ั ก็คอื  = VY 4.28


และในทานองเดียวกบั สมการท่ี 4.25 และ 4.27

 d = VY 4.29
d

141

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวิชา 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 11 หน่วยที่ 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

จากสมการท่ี 4.27 เม่ือหาผลตา่ ง (Differentiate) เทียบกบั X จะได้

d 2V = Z d 4.30
d 2 dX

จากสมการที่ 4.29 เมื่อหาผลต่างเทียบกบั X จะได้

d 2 = Z dV 4.31
d 2 dX

แทน d = VY ลงในสมการท่ี 4.30 และแทน dV = Z ลงในสมการที่ 4.31 ก็จะไดส้ มการท่ี
d d

4.32 และ 4.33 ตามลาดบั ดงั น้ี

d 2V = YZV 4.32
dX 2

d 2 = YZ 4.33
dX 2

เมื่อคา่ V, I, X เป็นตวั แปร และคา่ Y, Z เป็นค่าคงที่

เนื่องจากสมการท่ี 4.32 และ 4.33 จดั อยใู่ นรูปแบบของสมการดิฟเฟอเรนเชียลอนั ดบั ที่ 2 ฉะน้นั

จึงตอ้ งแกส้ มการหาแรงดนั V และกระแส I ดงั ต่อไปน้ี

จากสมการท่ี 4.32 จะสามารถหาคาตอบของ V ไดด้ งั น้ี

V = A1e YZ X + A2e YZ X 4.34

เมื่อทา Second Derivative ของ V เทียบกบั X ในสมการที่ 4.34 กจ็ ะได้

( )d2V YZ YZ X 4.35

dX 2
= YZ A1e X + A2e

ในทานองเดียวกนั เม่ือแทนค่า V จากสมการท่ี 4.34 ลงในสมการท่ี 4.27 คอื dV = Z คาตอบ
dX

ของกระแส I ก็จะได้

= 1 A1e YZ X− 1 A2e YZ X 4.36
Z Z

YY

142

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วิชา 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 11 หน่วยที่ 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

คา่ คงที่ A1และ A2 หาไดโ้ ดยการสมมติเงื่อนไข (Condition) ท่ีดา้ นรับ (Receiving End) ของสายส่ง
ถา้ ให้ X =0 จะได้ V = VR และ I = IR
ฉะน้นั จากสมการท่ี 4.34 และสมการท่ี 4.36 จะได้

VR = A1 + A2

และ R = 1 (A1 − A2)
Z

Y

หากสมมติให้ ZC = Z จะหาคา่ A1 และ A2 ไดด้ งั น้ี
Y

A1 = VR + R ZC
2

A2 = VR − R ZC
2

และถา้ สมมติให้  = YZ เมื่อแทนค่า A1 และ A2 ลงในสมการท่ี 4.34 และ 4.36 กจ็ ะได้

V = VR +  R ZC erx + VR −  R ZC e−rx 4.37
22

 = VR / ZC +  R erx − VR / ZC −  R e−rx 4.38
22

เม่ือ ZC = Z คอื อิมพีแดนซ์กาหนดคุณลกั ษณะในสายส่งตอ่ หน่วยความยาว(Characteristic

Y

Impedance)

 = YZ คือ คา่ คงที่ในการแพร่กระจายคลื่นแม่เหล็กในสายส่ง (Propagation Constant)
ซ่ึงจะมีค่าเท่ากบั YZ =  + j

 = คา่ บนั่ ทอนคงที่ (Attenuation)มีหน่วยเป็นเนเปอร์(Neper) ตอ่ หน่วยความยาว

 = คา่ คงท่ีเชิงมมุ (Phase Constant) มีหน่วยเป็นเรเดียลต่อหน่วยความยาว

ZC = 1 = Z คอื แอดมิตแตนซ์กาหนดคณุ ลกั ษณะในสายส่งตอ่ หน่วยความยาว
ZC
Y

(Characteristic Admittance)

143

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วชิ า 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 11 หน่วยที่ 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

โดยคา่ V และ I จากสมการที่ 4.37 และ 4.38 เป็นค่า rms และมมุ ของเฟสถูกกาหนดโดยจุดที่วดั บนสาย

ส่งระหวา่ งปลายทางดา้ นรับ (Receiving End) จนถึงจุดที่ทาการวดั

การใช้สมการฟังก์ชันไฮเพอร์โบลกิ ในสายส่งระยะยาว
สมการฟังกช์ นั ไฮเพอร์โบลิกจะมีลกั ษณะเป็นเอกซโ์ พเนนเชียล (Exponetial Form)

sinh  = e − e− 4.39
2

cosh = e − e− 4.40
2

จากสมการท่ี 4.37 และ 4.38 เม่ือแทนดว้ ยสมการฟังกช์ นั่ ไฮเพอร์โบลิกในส่วนของเอกซโ์ พเนน

เชียลจะไดส้ มการใหมด่ งั น้ี

V = VR coshx + R  ZC sinh x 4.41

 = R cosh x + VR sinh x 4.42
ZC

ถา้ ให้ X= จะไดแ้ รงดนั และกระแสดา้ นตน้ ทางดงั น้ี

VS = VR cosh + R  ZC sinh  4.43

S = R cosh + VR sinh 
ZC

S = YCVR cosh +  R cosh 4.44

จากสมการท่ี 4.43 และ 4.44 จะสามารถหาสมการของ VR และ R ในเทอมของ VS และ S

ดงั น้ี

VS = VR cosh + R  ZC sinh  4.45

R = R cosh + VR sinh 
ZC

 R = −YCVR sinh  +  R cosh 4.46

จดั สมการที่ 4.43 และ 4.44 ใหอ้ ยใู่ นรูปของเมตริกซ์ (Matrix)

 VS  =  cosh  ZC sinh   VR  4.47
S YC sinh  cosh  R

144

แผนการสอน

วชิ า การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหสั วชิ า 30104-2005

จานวน 3 ช่ัวโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ที่ 11 หน่วยที่ 4 เร่ือง การคานวณกระแสและแรงดนั ในสายส่งไฟฟ้า

จดั สมการที่ 4.45 และ 4.46 ใหอ้ ยใู่ นรูปของเมตริกซ์ (Matrix)

 VR  =  − cosh  − ZC sinh   VS  4.48
R YC sinh  cosh  S

เขยี นสมการท่ี 4.47 ใหอ้ ยใู่ นรูปค่าคงท่ีทวั่ ไป หรือ ABCD พารามิเตอร์ ไดด้ งั น้ี

 VS  =  A DB  VR  =  A B  VR  4.49
S C R C A R

ในทานองเดียวกนั จากสมการที่ 4.48 จะได้

 VR  =  A −B  VS  =  A −AB VS  4.50
R −C D S C S

จากสมการท่ี 4.47 ไปจนถึง 4.50 ทาใหท้ ราบวา่

A = D = cosh  4.51
B = ZC = sinh 
C = YC = sinh 

จากเอกลกั ษณ์สมการฟังกช์ นั ไฮเพอร์โบลิก จะสามารถหาได้ ดงั น้ี

Solution1 sinh  = sinh( + j)

sinh  = sinh  cos + jcosh sin 4.52
4.53
cosh = cosh( + j)
4.54
cosh = cosh cos + jsinh  sin

Solution2 sinh  = ( + j)

( )= 1 e .e j − e− .e− j
2

( )sinh  = 1 e − e− − 
2

145

แผนการสอน

วิชา การส่งและจ่ายไฟฟ้า รหัสวชิ า 30104-2005

จานวน 3 ชั่วโมง จานวน 3 หน่วยกติ

สป.ท่ี 11 หน่วยท่ี 4 เรื่อง การคานวณกระแสและแรงดันในสายส่งไฟฟ้า

( )sinh  = 1 e − e− − 
2

cosh = cosh( + j)

( )= 1 e .e j − e− .e− j
2

( )cosh = 1 e − e− −  4.55
2

แต่เนื่องจาก  เป็นมุมเรเดียน จึงตอ้ งมีการเปล่ียนเป็นองศาตามความสัมพนั ธด์ งั ต่อไปน้ี
ตวั อยา่ งเช่น

 = 0.2054rad = 180 0.2054
3.14

= 14.35 องศา

ตวั อยา่ งที่ 4.4 กาหนดสายส่ง 3 เฟส ยาว 145 ไมล์ ความถ่ี 50 Hz ต่อเขา้ กบั โหลดขนาด 35 MVA 158 kV
ที่เพาเวอ  / mile, L = 2.5mH / mileร์แฟกเตอร์ 0.9 Lagging มีค่า R=0.1756 และ
C = 0.014F / mile จงหาค่าต่างๆ ดงั ต่อไปน้ี

(ก) ค่าคงที่ ABCD ของสายส่ง
(ข) แรงดนั ไฟฟ้าดา้ นตน้ ทาง (Sendign End)
(ค) กระแสไฟฟ้าดา้ นตน้ ทาง
(ง) เพาเวอร์แฟกเตอร์ดา้ นตน้ ทาง
(จ) กาลงั ไฟฟ้าดา้ นตน้ ทาง
(ฉ) กาลงั ไฟฟ้าสูญเสียของสายส่ง
(ช) ประสิทธ์ิภาพของสายส่ง
(ซ) เปอร์เซ็นตก์ ารควบคมุ แรงดนั