HỆ THỐNG TRƯỜNG TIỂU HỌC - THCS&THPT HOA SEN

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Bước 1. Tìm ĐK xác định hoặc tập xác định D. (Nếu D=R thì bỏ qua bước này).

Bước 2.Tính đạo hàm y = f (x) . Tìm trên D các nghiệm phương trình f (x) = 0 và những giá
trị x làm cho f (x) không xác định.

Bước 3.Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f (x) .

Bước 4.Kết luận tính đơn điệu dựa vào định lý suy rộng sau:

Nếu f ( x)  0,x (a;b) thì hàm số f ( x) đồng biến (tăng) trên (a;b) .

Nếu f ( x)  0,x (a;b) thì hàm số f ( x) nghịch biến(giảm) trên (a;b) .

1.Tìm m để hàm số y = f (x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định (a; b) cho trước.

Bước 1.Tính đạo hàm y = f (x) .
Bước 2. Biện luận:

f ( x) đồng biến trên khoảng (a;b)  f ( x)  0,x (a;b) .

f ( x) nghịch biến trên khoảng (a;b)  f ( x)  0,x (a;b)

Chú ý: Riêng hai loại hàm số sau ta cần nhớ kết quả thường dùng sau

Hàm số y=ax3+ bx2+ cx+ d (a  0) đồng biến trên R  y  0,x  R    y  0

a  0

Hàm số y=ax3+ bx2+ cx+ d (a  0) nghịch biến trên R  y  0,x  R   y  0

  0
a

Hàm nhất biến y = ax + b tăng trên từng khoảng xác định  y '  0, x  R \  −d   ad-bc>0
cx + d  c 
 

Hàm nhất biến y = ax + b giảm trên từng khoảng xác định  y '  0, x  R \  −d   ad-bc<0
 c 
cx + d  

1/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Hình 1.

Hình 2.

2/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1: Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức

Ví dụ minh họa 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x4 − 8x2 − 4

Lời giải

Tập xác định: D = .

x = 0  y = −4

Ta có: y = 4x3 −16x . Cho y = 0  4x3 −16x = 0   x = 2  y = −20

x = −2  y = −20

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−2;0) và (2;+) .

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3 − 3x2 +1
Lời giải

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = −x3 + 3x −1
Lời giải

Ví dụ 3: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = −x4 + 4x2 +1 Tổ Toán
Lời giải

3/148

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Ví dụ minh họa 2: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = x + 5

x +1

Lời giải

Tập xác định D = \−1 .

y = −4  0 , x  D .

( x +1)2

Vậy hàm đã cho đồng biến trên các khoảng (−; −1) và (−1;− ) .

Ví dụ 4: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y = 2x +1

x +1

Lời giải

Ví dụ 5: Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = −x + 2 Tổ Toán

x −1

Lời giải

4/148

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y x3 3x2 1

Bài 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y x4 2x2 1

Bài 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y 1 x3 2x2 3x 2
3

Bài 4. Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y 2x 1
x1

Bài 5. Tìm các khoảng đồng biến của hàm số y 2x 3
x1

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Hàm số y = x3 − 3x2 nghịch biến trên khoảng nào

A. (−1;1) . B. (−;1) . C. (0; 2) . D. (2;+ ) .

Câu 2: Hàm số y = −x3 + 3x2 + 9x + 4 đồng biến trên khoảng nào?

A. (−1;3) . B. (−;−1) . C. (3;+) . D. (−3;1) .

Câu 3: Cho hàm số y = x3 − 6x2 + 9x +1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−;3) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+) .

Câu 4: Các khoảng đồng biến của hàm số y = x4 − 8x2 − 4 là

A. (−; −2) và (0; 2) . B. (−2;0) và (2;+) .

C. (−2;0) và (0; 2) . D. (−; −2) và (2;+) .

Câu 5: Hàm số y = x4 − 4x3 + 3 đồng biến trên những khoảng nảo sau đây?

A. (− 2;0),( )2;+ . (B. −;− 2),(0; 2).

C. (3;+) . D. (0;3) .

Câu 6: Hàm số y = −x3 + 3x2 + 9x + 4 đồng biến trên khoảng là

A. (−1;3) . B. (−;−1) . C. (3;+) . D. (−3;1) .

Câu 7: Hàm số y = x3 − 3x nghịch biến trên khoảng là

A. (−;−1) . B. (−;+) . C. (−1;1) . D. (0;+) .

Câu 8: Hàm số y = x4 + 8x3 + 5 nghịch biến trên khoảng:

A. (0;+) . B. (−;+) . C. (−6;0) . D. (−;−6) .

5/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 9: Hàm số y = x4 − 2x2 +1 đồng biến trên khoảng là

A. (1;+) . B. x  . C. (−1;0) và (1;+) . D. (−1;0) .

Câu 10: Cho hàm số y = x4 − 2x2 − 3 . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;0) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−;−1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) .

Câu 11: Cho hàm số y = 2x + 5 . Mệnh đề đúng là:
x +1

A. Hàm số luôn luôn đồng biến trên \−1 .

B. Hàm số luôn luôn nghịch biến trên \−1 .

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−;−1) và (−1;+) .

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−;−1) và (−1;+) .

Câu 12: Hàm số y = x + 2 nghịch biến trên các khoảng:
x −1

A. (−1;+) . B. (1;+) . C. (−;1),(1;+) . D. (3; +) .

Câu 13: Cho hàm số y = 2 − x . Mệnh đề đúng là:
x

A. Hàm số đồng biến trên hai khoảng (−;0) và (0;+) .

B. Hàm số nghịch biến trên hai khoảng (−;0) và (0;+) .

C. Hàm số đồng biến trên (−;0) (0;+) .

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.
Câu 14: Cho hàm số y = 2x −1 . Mệnh đề đúng là:

x −1

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−;+) .

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−;1)  (1;+) .

C. Hàm số nghịch biến trên tập xác định D = \ 1 .

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−;1) và (1;+) .

Câu 15: Cho hàm số y = 3x −1 . Mệnh đề đúng là:
x−2

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−;2) và (2;+) .

B. Hàm số nghịch biến trên \2 .

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−;2) và (2;+) .

D. Hàm số đồng biến trên \2 .

Câu 16: Cho hàm số y = −x3 + 6x2 − 4 . Mệnh đề sai là

6/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 4) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−;1) .

C. Hàm số đạt cực trị tại x = 0 .

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Câu 17: Cho hàm số y = 2x +1 . Mệnh đề đúng là:
x +1

A. Hàm số đồng biến trên (−;−1) và (−1;+ ) .

B. Hàm số nghịch biến trên (−;−1) và (−1;+ ) .

C. Hàm số đồng biến trên tập .

D. Hàm số đồng biến trên (−;−1) và (1;+ ) , nghịch biến trên (−1;1) .

Câu 18: Hàm số y = 2x3 − 9x2 +12x + 2021nghịch biến trên khoảng:

A. (−;1) . B. (2;+) . C. (2021;2022) . D. (1;2) .

Câu 19: Hàm số y = x4 − 2x2 nghịch biến trên khoảng nào

A. (0;1) . B. (−1;1) . C. (−1;0) . D. (1;+ ) .

Câu 20: Cho hàm số y = −x + 2 . Mệnh đề đúng là:
x −1

A. Hàm số đồng biến trên mỗi (từng) khoảng (−;1) và (1; +) .

B. Hàm số nghịch biến trên mỗi (từng) khoảng (−;1) và (1; +) .

C. Hàm số nghịch biến trên \1 .

D. Hàm số nghịch biến với mọi x  1 .
Câu 21: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên là

A. y = x4 + 2x2 + 3 . B. y = x . C. y = x3 + 3x + 2 . D. y = 2x2 .
x+2
D. (0;3) .
Câu 22: Hàm số y = 1 x3 − 2x2 + 3x +1 đồng biến trên khoảng nào
3

A. (1;3) . B. (2;+) . C. (−;0) .

Câu 23: Hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên

A. y = log1 x . B. y = −x4 + 4x2 − 4 . C. y = −x3 − 2x + 3 . D. y = x + 2 .

3 x −1

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ' ( x) = ( x +1)2 (2 − x)( x + 3) . Mệnh đề đúng là

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3;2)

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−3;−1) và (2;+)

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−;−3) và (2;+)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−3;2)

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ' ( x) = x ( x − 2)3 , với mọi x  R .

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; 3) . B. (−1; 0) . C. (0; 1) . D. (−2; 0) .

7/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 26: Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 0 và đồng biến trên khoảng 0; là

A. y x 4 x 2 1. B. y 3x 1 . C. y x 4 x 2 1 . D. y x 3 3x .
x 1

Câu 27: Hàm số nào sau đây đồng biến trên (−; 2) và (2; +) là

A. y = 2x − 5 . B. y = x −1 . C. y = x −1 . D. y = 1
x−2 x−2 x+2 x−2

Câu 28: Hàm số nào sau đây đồng biến trên (−;+ ) ?

A. y = x4 + x2 + 2 . B. y = x3 + x − 2 . C. y = x2 + x +1. D. y = x3 − x +1

Câu 29: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?

A. y = x2 +1. B. y = x . C. y = x +1. D. y = x4 +1.

x +1

Câu 30: Hàm số y = x3 − 3x2 + 3x −1 đồng biến trên khoảng nào

A. (−;1) . B. (1;+) . C. (−;1) và (1;+) . D. (−;+) .

Câu 31: Cho hàm số f ( x) = −x2 + 2x . Khẳng định đúng là

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2;2) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−;1) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) .

Câu 32: Cho hàm số y = x3 − 3x2 −1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−;0) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) .

Câu 33: Hàm số nào sau đây đồng biến trên (−3;3)là

A. y = x4 + 2x2 +1. B. y = x2 +1. C. y= x +1 . D. y = x3 + 3x −1.
x +2

Câu 34: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. y = x4 + 2x2 + 5 . B. y = −x4 − x2 .

C. y = x +1 D. y = −2x3 − 3x + 5 .
−x +3

Câu 35: Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên (1;3) .

A. y = x2 − 4x + 5 . B. y = x2 − 4x + 8 . C. y = 2x2 − x4 . D. y = x − 3 .
x −1
x−2

Câu 36: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên và có đạo hàm f ( x) = ( x +1)2 ( x −1)3 (2 − x) .

Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1;2) . B. (−;−1) . C. (−1;1) . D. (2;+) .

8/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

DẠNG TOÁN 2: Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−1;+) . B. (0;1) . C. (−;0) . D. (−;1) .

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau :

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;1) B. (1;+) C. (−;1) D. (−1;0)

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−1;+) . B. (1;+) . C. (−1;1) . D. (−;1) .

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−2;3) B. (3;+ ) C. (−;− 2) D. (−2;+ )

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

9/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;+) B. (−;−2) C. (0; 2) D. (−2;0)

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào ?

y

-1 1
O
x

-1

-2

A. (− −1) B. (−1;1) C. (−1;0) D. (0;1)

Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề đúng là

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;0) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) .
Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm
số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

x − −2 1 3 5 +

y + − + − +

A. (−2;1) . B. (1;3) . C. (−;−2) . D. (3;+) .

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−3;4) . B. (−;−1) . C. (2;+ ) . D. (−1;2) .

Câu 10: Cho đồ thị hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x) đồng biến trên

khoảng nào dưới đây?

10/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

A. (−2; 2) . B. (−; 0) . C. (0; 2) . D. (2; + ) .

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;0) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) .
Câu 12: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−2;2) . B. (0; 2) . C. (3;+ ) . D. (−;1) .

Câu 13: Hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng

A. Hàm số nghịch biến trên \2 .
B. Hàm số đồng biến trên (−;2) , (2;+) .
C. Hàm số nghịch biến trên (−;2) , (2;+) .

D. Hàm số nghịch biến trên .

11/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 14: Cho đồ thị hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f ( x) nghịch biến

trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;+) . B. (0; 2) . C. (−;2) . D. (−2;2) .

Câu 15: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng

nào dưới đây?

A. (0;2) B. (−2;2) C. (2;+ ) D. (−;0)

Câu 16: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình dưới đây.

Đáp án đúng là Tổ Toán

A. Hàm số nghịch biến trên (0; 2) .
B. Hàm số đồng biến trên (−1;0) và (2;3) .
C. Hàm số nghịch biến trên (−;0) và (2;+) .
D. Hàm số đồng biến trên (−;0) và (2;+) .
Câu 17: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

12/148

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1;+) . B. (0;3) . C. (−;+) . D. (2;+) .

Câu 18: Hàm số y = f ( x) xác định trên \−1 và có bảng biến thiên như hình dưới:

Khẳng định sai là B. f ( x) đạt cực đại tại x =1

A. f ( x) đồng biến trên khoảng (−;1)

C. f ( x) đồng biến trên khoảng (−1;1) D. f ( x) có cực đại bằng 0

Câu 19: Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình bên.
Hàm số y = f (2 − x) đồng biến trên khoảng

A. (2;+) B. (−2;1) C. (−;−2) D. (1;3)

Câu 20: Cho hàm số f (x) , bảng xét dấu của f (x) như sau:

Hàm số y = f (3− 2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;2). B. (2;3) . C. (−;− 3) . D. (3;4) .

Câu 21: Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f '( x) như sau:

Hàm số y = f (3− 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−2;1). B. (2;4). C. (1;2). D. (4; + ).

Câu 22: Cho hàm số f (x) có bảng dấu f (x) như sau:

Hàm số y = f (5 − 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (3;5). B. (5;+ ). C. (2;3) . D. (0;2) .

13/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022
Câu 23: Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số y = f ( x2 + 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−2;1) . B. (−4;−3) . C. (0;1) . D. (−2;−1).

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y = f '( x) như hình

bên.

Hỏi hàm số g ( x) = f (3 − 2x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (−1;+) B. (−;−1) C. (1;3) D. (0; 2)

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số y = f ( x2 − 2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−2;−1). B. (2;+) . C. (0; 2) . D. (−1;0) .

Câu 26: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm y = f ( x) như hình

vẽ. xét hàm số g ( x) = f (2 − x2 ) . Mệnh đề nào dưới đây sai?

y

−1 1 2 x
O

−2

14/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

A. Hàm số f ( x) đạt cực trị tại x = 2 .
B. Hàm số f ( x) nghịch biến trên (−;2) .
C. Hàm số g ( x) đồng biến trên (2;+ ) .
D. Hàm số g ( x) đồng biến trên (−1;0)

DẠNG TOÁN 3: Tìm tham số để hàm số đơn điệu

Ví dụ minh họa 1: Tìm tham số m để hàm số y = 1 x3 − 2mx2 + (m + 3)x + m − 5 đồng biến trên
3

Lời giải
Tập xác định D = .
y = x2 − 4mx + m + 3 .Hàm số đã cho đồng biến trên   = 4m2 − m − 3  0  − 3  m  1.

4

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + x2 + mx +1 đồng biến trên
.

Lời giải

Ví dụ 2: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = 1 x3 − 2mx2 + 4x − 5 đồng biến trên
3

.

Lời giải

Ví dụ 3: Cho hàm số y = − 1 x3 − mx2 + (3m + 2) x − 2018 . Tìm các giá trị của tham số m để hàm

3

số nghịch biến trên khoảng (−;+)

15/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Lời giải

Ví dụ minh họa 2: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số sau y = x + m đồng biến trên từng khoảng
x+2

xác định là

Lời giải

Tập xác định: D = \−2 .

Ta có y = ( 2− m .Để hàm số đồng biến trên ( −; −2) và ( −2; + ) thì y  0
x+
2)2

 2−m  0  2−m 0  m 2.

( x + 2)2

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2x − m đồng biến trên
x −1

khoảng xác định của nó.

Lời giải

Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx − 2 . Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên
x+m−3

các khoảng xác định của nó là.

Lời giải

16/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y mx 3 đồng biến trên
từng khoảng xác định 2x m

Bài 2. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y m 1 x 2 đồng biến trên từng khoảng xác
định. xm

Bài 3. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y (m 1)x 2m 12 nghịch biến trên khoảng xác
định xm

Bài 4. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y mx 4 nghịch biến trên khoảng xác định
xm

Bài 5. Cho hàm số y mx 2m 3 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để
xm

hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hàm số y = − 1 x3 + mx2 + (3m + 2) x +1. Tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến
Câu 2:
3

trên

A. m  −1 B. −2  m  −1. C. −2  m  −1. D. m  −1 .
m  . m  −2

−2

Tất cả các giá trị của m để hàm số y = 1 x3 + mx2 + 4x − m đồng biến trên khoảng
3

( −; + )

A. −2;2. B. (−;2) . C. (−;−2. D. 2;+) .

Câu 3: Giá trị của m để hàm số y = 1 x3 – 2mx2 + (m + 3) x – 5 + m đồng biến trên là.
Câu 4:
Câu 5: 3

A. − 3  m  1. B. m  − 3 . C. − 3  m  1. D. m 1.
4 4 4

Hàm số y = 1 x3 + (m +1) x2 − (m +1) x +1 đồng biến trên tập xác định của nó khi

3

A. m  2. B. 2  m  4 . C. −2  m 1. D. m  4.

Giá trị của m để hàm số y = mx + 4 nghịch biến trên là.

x+m

A. −2  m  −1. B. −2  m  2 . C. −2  m  2 . D. −2  m  1 .

17/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 6: Cho hàm số y = mx − 2m − 3 với m là tham số.Tất cả các giá trị nguyên của m để hàm
x−m

số đồng biến trên các khoảng xác định là

A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x + 2 đồng biến trên
x + 3m

khoảng (−;−6) .

A. 2 B. 6 C. Vô số D. 1

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x +1 nghịch biến trên
x + 3m

khoảng (6;+) ?

A. 0 B. 6 C. 3 D. Vô số

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x + 2 đồng biến trên
x + 5m

khoảng (−;−10) là

A. 2 B. Vô số C. 1 D. 3

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x + 6 nghịch biến trên
x + 5m

khoảng (10;+) là

A. Vô số B. 4 C. 5 D. 3

Câu 11: Cho hàm số y = mx − 9 . Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên
x−m

( −; 2)

A. 2  m  3 B. −3  m  3 C. m  −3 D. m  3

Câu 12: Tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx −1 nghịch biến trên khoảng  −; 1 
m − 4x  4 

là?

A. (−2;2) . B. 1;2) . C. (−2; +) . D. (−;2) .

Câu 13: Tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (9m − 6) x đồng biến

trên ?

A. m  2 hoặc m 1. B. 1  m  2 . C. m  2 hoặc m 1. D. 1  m  2

Câu 14: Tất cả các giá trị của m sao cho hàm số y = x +1 nghịch biến trên khoảng (2;+).

x+m

A. −2  m 1. B. m = −2. C. m  2. D. m  −2.

Câu 15: Cho hàm số y = mx + 4m với m là tham số. Tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số
x+m

nghịch biến trên các khoảng xác định.

A. 4 B. Vô số C. 3 D. 5

18/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Hình 1.

Hình 2.

19/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Hình 3.

Hình 4.

20/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG TOÁN 1: Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức

Ví dụ minh họa: Tìm giá trị cực đại yCD của hàm số y = x3 − 3x + 2 .

Lời giải

Tập xác định: D = .

y = 3x2 − 3  y = 0  3x2 − 3 = 0 x = 1  y (1) = 0
Ta có 
x = −1  y (−1) = 4

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số bằng 4
Ví dụ 1: Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số y x3 3x 4 .

Lời giải

Ví dụ 2: Tìm giá trị cực đại của hàm số y = x3 − 3x2 − 2 .
Lời giải

21/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Ví dụ 3: Hàm số y = 1 x4 − 1 x3 − 5 x2 − 3x + 2021 đạt cực tiểu tại điểm:
432

Lời giải

C. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN x3 3x 1 là:
Bài 1. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y

Bài 2. Hàm số y 1 x3 x2 3x 1đạt cực tiểu tại điểm
3

Bài 3. Tìm số điểm cực trị của hàm số y x4 2x2

Bài 4. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x3 x2 5x 5

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 5 có đồ thị là (C ) . Điểm cực tiểu của đồ thị (C ) là

A. M (0;5) . B. M (2;1) . C. M (1;2) . D. M (5;0) .

Câu 2: Hàm số y = x4 + 2x2 − 3 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 .

Câu 3: Giá trị cực đại của hàm số y = x3 − 3x2 − 2 .

A. −2 . B. 0 . C. 2 . D. 1.

Câu 4: Đồ thị hàm số y = −x3 + 3x có điểm cực tiểu là:

A. (−1; − 2) . B. (1;0) . C. (1; − 2) . D. (−1;0) .

Câu 5: Giá trị cực đại yC§ của hàm số y = x3 − 3x + 2 .
Câu 6:
A. yC§ = −1 B. yC§ = 4 C. yC§ = 1 D. yC§ = 0

Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x3 − 6x2 + 9x có tổng hoành độ và tung độ bằng

A. 5 . B. 1. C. 3 . D. −1.
D. yCT = 1
Câu 7: Giá trị cực tiểu yCT của hàm số y = −x3 + 3x − 4 . D. yCT = 4 .
Câu 8:
Câu 9: A. yCT = −6 B. yCT = −1 C. yCT = −2

Giá trị cực tiểu yCT của hàm số y = x3 − 3x2 + 4 là:

A. yCT = 0 . B. yCT = 3 . C. yCT = 2 .

Giá trị cực đại của hàm số y = x3 − 3x2 − 2 .

A. −2 . B. 0 . C. 2 . D. 1.

22/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 10: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = −x3 + 3x +1 là:

A. M (−1;−1) . B. N (0;1) . C. P(2;−1) . D. Q(1;3) .

Câu 11: Hàm số y = 1 x3 + x2 − 3x +1 đạt cực tiểu tại điểm
3

A. x = −1. B. x =1. C. x = −3 . D. x = 3.
D. 1.
Câu 12: Số điểm cực trị của hàm số y = x4 − 2x2 là
D. (1;0)
A. 2. B. 4. C. 3.

Câu 13: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = −x3 + x2 + 5x − 5 là

A. (−1; −8) B. (0; −5) C.  5 ; 40 
 3 27 

DẠNG TOÁN 2: Tìm cực trị dựa vào BBT, đồ thị

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

00

Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau?

A. x = 5. B. x = 0 . C. x = 2 . D. x =1.

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số y = f ( x) là

A. 4 . B. 2 . C. 0 . D. 8 .

3

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

23/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Giá trị cực tiểu y0 của hàm số là

A. y0 = 0 . B. y0 = 2 . C. y0 = 7 . D. y0 = 3 .

Câu 4: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho là

Câu 5: A. yCĐ = 3 và yCT = 0 B. yCĐ = 3 và yCT = −2
C. yCĐ = −2 và yCT = 2 D. yCĐ = 2 và yCT = 0
và có bảng biến thiên dưới đây.
Hàm số y = f ( x) liên tục trên

.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

C. Hàm số có ba điểm cực trị. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .

Câu 6: Cho hàm số f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

y

f(x)=x^3-3x^2+4
T ?p h?p 1

x
-2

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 .

C. Hàm số có hai điểm cực trị. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 .

Câu 7: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên−2; 2 và có đồ thị là hình bên dưới.

24/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

y

4

2

x

-2 -1 O1 2

Hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?

A. x =1 . B. x = −2 . C. x = 2 . D. x = −1.

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. Trên K , hàm số

có bao nhiêu cực trị?

A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1.

Câu 9: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình bên dưới.

Hàm số có giá trị cực đại bằng?

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. −1.

Câu 10: Cho hàm số y ax3 bx2 cx d a,b,c,d có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm

cực trị của hàm số này là

25/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

A. 3 B. 2 C. 0 D. 1
Câu 11: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) x(x 1)(x 2)3 , x R . Số điểm cực trị của hàm

số là C. 2 D. 5
A. 1 B. 3 x x 1 2 , x R. Số điểm cực trị của hàm số đã

Câu 12: Cho hàm số f x có đạo hàm f x

cho là

A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 3 .
. Số điểm cực trị của hàm số
Câu 13: Cho hàm số f x có đạo hàm f (x) x(x 2)2 , x

đã cho là

A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .
. Số điểm cực trị của hàm
Câu 14: Cho hàm số f x có đạo hàm f x x3 x 1 x 2 , x

số đã cho là B. 3 . C. 5 . D. 2 .
A. 1 .

Câu 15: Hàm số f x có đạo hàm f x x2 x 1 x 2 3 , x . Hỏi f x có bao nhiêu

điểm cực đại

A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 3 .

Câu 16: Cho hàm số f x có đạo hàm là f x x x 1 x 2 2 x . Số điểm cực trị của

hàm số là

A. 5. B. 2 . C. 1 . D. 3 .

Câu 17: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và f x x 1x 2 3 . Số điểm

2x

cực trị là
A. 3 B. 1 C. 0 D. 2

Câu 18: Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4 , x . Số điểm

cực trị của là
A. 3 B. 5 C. 2 D. 4

Câu 19: Cho hàm số f x có đạo hàm là f ' x x2 x 2 x2 x 2 x 1 4 thì tổng các điểm

cực trị của hàm số f x bằng

A. 1 . B. 2 . C. 1 . D. 0 .

26/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Dạng 3: Tìm để hàm số đạt cực trị tại 1 điểm 0 cho trước

a) f(x) đạt cực đại tại x0   f ( x0 ) = 0 b) f(x) đạt cực tiểu tại x0   f ( x0 ) = 0
 f ( x0 )  0  f ( x0 )  0
 

Ví dụ minh họa 1: Hàm số y = −x4 + 2mx2 +1 đạt cực tiểu tại x = 0 khi:

Lời giải

Tập xác định: D = .

Để hàm số đạt cực tiểu tại x =0 thì  y(0) = 0 .
 y ( 0 )  0


Ta có y = −4x3 + 4mx và y = −12x2 + 4m .
Vậy ta có 4m  0  m  0 .

Ví dụ minh họa 2: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( )y = 1 x3 − mx2 + m2 − m −1 x đạt
3
cực đại tại x =1.

Lời giải

Tập xác định D = .

Ta có: y = x2 − 2mx + m2 − m −1 ; y = 2x − 2m .

Hàm số đạt cực đại tại x =1 suy ra y(1) = 0  m2 − 3m = 0  m = 0 .
m = 3

Với m = 0 : y(1) = 2  0  x =1 là cực tiểu của hàm số

Với m = 3 : y(1) = −4  0  x =1 là cực đại của hàm số.

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx đạt cực tiểu tại x = 2 .

Lời giải

27/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

( )Ví dụ 2: Giá trị của tham số m để hàm số y = 1 x3 − 1 m2 +1 x2 + (3m − 2) x + m đạt cực đại tại
32
x 1?

Lời giải

Ví dụ 3: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số ( )y = 1 x3 − mx2 + m2 − 4 x + 3 đạt cực đại tại
3
x = 3.

Lời giải

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 3x2 mx đạt cực tiểu tại x 2 .
Câu 2:
A. m = 0. B. m = −2 . C. m =1. D. m = 2 .

Cho hàm số ( )f ( x) = x3 − 3mx2 + 3 m2 −1 x . Giá trị m để hàm số f ( x) đạt cực đại tại

x0 = 1 B. m = 2 . C. m = 0. D. m = 0 hoặc
A. m  0 và m  2 .

m=2.

Câu 3: ( )Giá trị của tham số m để hàm số y = 1 x3 − 1 m2 +1 x2 + (3m − 2) x + m đạt cực đại tại
Câu 4: 32

x =1

A. m = 2 B. m = −2 C. m =1 D. m = −1

Giá trị của tham số m để hàm số y x3 3mx2 6m2 3 x đạt cực trị tại x 1

A. Không có giá trị nào của m . B. m = 0. C. m =1. D. m = 0 hoặc
m =1.

28/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 5: ( )Giá trị thực của tham số m để hàm số y = 1 x3 − mx2 + m2 − 4 x + 3 đạt cực đại tại điểm
3

x =3.

A. m = −7 . B. m = 5 . C. m = −1. D. m =1.

Câu 6: ( )Giá trị thực của tham số m để hàm số y = 1 x3 − 1 (2m + 3) x2 + m2 + 3m − 4 x đạt cực
32
tiểu tại x =1.

A. m = 2 . B. m = −3 .

C. m = −3 hoặc m = 2 . D. m = −2 hoặc m = 3 .

Câu 7: Hàm số y = x3 − 2mx2 + m2x − 2 đạt cực tiểu tại x =1 khi.

A. m = 2 . B. m = −1. C. m =1. D. m = 3 .

( )Câu 8: Có tất cả bao nhiêu số thực m để hàm số y = 1 x3 − mx2 + m2 − m +1 x +1 đạt cực đại
3
tại x = 1.

A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 .

Câu 9: Giá trị thực của tham số m để hàm số y 1 x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại

3

x3

A. m 1 B. m 7 C. m 5 D. m 1

Câu 10: Các giá trị thực của tham số m để hàm số y 1 x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại

3

x 3.

A. m 1,m 5. B. m 5. C. m 1. D. m 1.

Câu 11: Các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3x2 mx 1 đạt cực tiểu tại x 2 .

A. m 0 . B. m 4 . C. 0 m 4 . D. 0 m 4 .

Câu 12: Có bao nhiêu số thực m để hàm số y 1 x3 mx2 m2 m 1 x 1 đạt cực đại tại
3 D. 3
x1 B. 2
A. 0 C. 1

DẠNG TOÁN 4: Tìm để hàm số, đồ thị hàm số bậc ba có cực trị thỏa mãn điều kiện

Hàm số bậc ba: y=ax3+ bx2+ cx+ d, (a  0)

Hàm số có 2 cực trị (gồm 1CĐ và 1CT) có 2 ng0 pb    y  0  y = 0
 a 0
 

Hàm số không có cực trị  y = 0 không có 2 ng0 pb  y  0 .

Ví dụ minh họa 1:Tìm tham số m để hàm số y = 1 x3 − mx2 + (m + 2) x + 2018 không có cực trị.

3

Lời giải
Tập xác định D = .
Ta có: y = x2 − 2mx + m + 2
Để hàm số đã cho không có cực trị khi phương trình y = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm

29/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

kép hay   0  m2 − (m + 2)  0  −1 m  2.

Ví dụ minh họa 2: Tìm tham số m để hàm số f ( x) = 1 x3 − (m +1) x2 − (2m −1) x + m + 2 , m là

3
tham số có hai điểm cực trị x1, x2 .

Lời giải

Tập xác định D = .

Ta có f ( x) = x2 − 2(m +1) x − 2m +1.

Hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 khi và chỉ khi phương trình f ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

x1, x2 .

  = m2 + 4m  0  m  0 .
m  −4

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx2 2mx 1 có hai điểm
cực trị. 3

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x3 3x2 m 0 có cực đại và cực tiểu?

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tập hợp các giá trị của m để hàm số y 1 x3 mx2 m 2 x 1 có hai cực trị là:

3

A. ; 1 2; B. ; 1 2; C. 1;2 D. 1;2

Câu 2: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + 2mx + m có cực đại và cực
Câu 3:
tiểu là

A. m  3 . B. m  − 3 . C. m  3 . D. m  3 .
2 2 2 2

Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx2 2mx 1 có hai điểm cực

3

trị.

A. 0 m 2 . B. m 2 . C. m 0 . D. m 2 .
m0

Câu 4: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m x3 + 2x2 + mx +1 có 2 điểm cực
3

trị thỏa mãn xCĐ  xCT .

A. m  2 . B. −2 m  0 . C. −2 m  2 . D. 0 m  2 .

Câu 5: Giá trị của tham số m sao cho hàm số y = x3 − 3x2 + mx −1 có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa

mãn x12 + x22 = 3 là

A. m =1. B. m = 3 . C. m = 3 . D. m = − 3 .
2 2

30/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 6: Cho hàm số ( )y = x3 + mx2 + m2 − 3m x + 4 . Tham số m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm

x1, x2 sao cho x1.x2  0 . B. m(−;0) (3;+) .

A. m(−;03;+) .

C. m0;3. D. m(0;3) .

Câu 7: Số giá trị nguyên của m để hàm số y = x3 − 5 x2 − 2x +1− m có giá trị cực đại và giá trị
2

cực tiểu trái dấu là

A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .

Câu 8: Hàm số 5M m có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 + 2x1x2 = 0 . Giá trị của m

A. m = −3 . B. m = 3 . C. m = 2 . D. m = 4 .

3

( )Câu 9: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2 x3 − mx2 − 2 3m2 −1 x + 2
33
có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x2 sao cho x1x2 + 2( x1 + x2 ) = 1.

A. m = 0. B. m = − 2 . C. m = 2 . D. m = − 1 .
3 3 2

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f ( x) = 2x3 − 6x2 − m +1 có các giá trị cực

trị trái dấu?

A. 2 . B. 9 . C. 3 . D. 7 .

DẠNG TOÁN 5: Tìm để hàm số, đồ thị hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều
kiện

Hàm số trùng phương: y= ax4 +bx2 +c(a  0 )
Hàm số có 3 cực trị  y = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 0 có 3 nghiệm phân biệt  a.b<0

Hsố có 1 cực trị  y’=0 có 1 nghiệm  a.b  0.

Hàm nhất biến không có cực trị.

Ví dụ minh họa 1: Hàm số y = x4 + mx2 − m − 5 ( m là tham số) có 3 điểm cực trị khi các giá trị
của m là:

Lời giải
Hàm số có 3 điểm cực trị  a.b  0  m  0 .

Ví dụ minh họa 2: Tìm tất cả các giá trị tham số thực m Hàm số y = x4 − (m + 3)x2 + m2 − 2 có
một cực trị

Lời giải

Tập xác định D = .
Ta có: y = x4 − (m + 3)x2 + m2 − 2

ab  0  −m − 3  0  m  −3

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

31/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = 2x4 − (m +1) x2 + 4 có 3 điểm cực trị

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị tham số thực m để hàm số y = x4 − 2(m +1) x2 + 3 có 3 cực trị.

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị tham số thực m Hàm số y = x4 + (m + 3) x2 + m2 − 2 có một cực trị

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Hàm số y x4 mx2 m 5 ( m là tham số) có 3 điểm cực trị khi các giá trị của m

là:

A. 4 m 5. B. m 0 . C. m 8. D. m 1.

Câu 2: Cho hàm số y (m 1)x4 mx2 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

có ba điểm cực trị.

A. m ( ; 1) [0; ) . B. m ( 1; 0) .

C. m ( ; 1] [0; ) . D. m ( ; 1) (0; ) .

Câu 3: Đồ thị hàm số y x4 (m 1)x2 4 có ba điểm cực trị khi và chỉ khi:

A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1.

Câu 4: Cho hàm số y mx4 x2 1. Tập hợp các số thực m để hàm số đã cho có đúng một

điểm cực trị là

A. (0; ) . B. ( ;0]. C. [0; ) . D. ( ;0) .

Câu 5: Các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x4 2 m2 m 6 x2 m 1 có ba

điểm cực trị. B. 5. C. 4. D. 3.
A. 6. (m 1)x2 1 2m có một điểm cực trị khi
Câu 6: Hàm số y mx4

A. 0 m 1. B. m 0 m 1 . C. m 0 . D. m 0 m 1.

Câu 7: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y (m 1)m4 2(m 3)x2 1 không
Câu 8:
có cực đại?

A. 1 m 3 . B. m 1. C. m 1. D. 1 m 3 .

Với tất cả giá trị nào của m thì hàm số y mx4 (m 1)x2 1 2m chỉ có một cực trị.

A. m 0 . B. 0 m 1. C. m 1. D. m 0 m 1.
mx2 2017 (1) có
Câu 9: Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y (m 1)x4
). D. m [0;1]
đúng một cực tiểu.

A. m (0; ) . B. m [1; ) C. m (0;1) (1;

Câu 10: Cho hàm số y mx4 m2 6 x2 4 . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có 3 điểm

cực trị trong đó có đúng 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại?

A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.

32/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

§2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Phương pháp chung: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D

Muốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên tập D ta lập BBT của hàm số trên tập D rồi dựa
vào BBT suy ra kết luận về max f (x) và min f (x) .

xD xD

Phương pháp riêng tìm GTLN-NN của hàm f(x) liên tục trên đoạn [a;b]:

Bước 1. Tìm trên [a,b] các điểm xi là nghiệm của pt: f/(x)=0 hoặc những điểm xi làm cho f/(x)
không xác định.

Bước 2. Tính f(a), f(b), f(xi) chọn ra số lớn nhât M và số nhỏ nhất m.

Bước 3. Kết luận max f (x) = M ; min f (x) = m .
[ a ;b ] [ a ;b ]

Chú ý: Khi đề toán không nói rõ tìm max, min trên miền nào thì ta tìm TXĐ của h/s đó:

Nếu TXĐ là một đoạn [a;b] thì ta dùng cách tìm trên đoạn.

Nếu TXĐ không phải là một đoạn thì dùng cách tổng quát.

33/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Hình 2.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1: GTLN, GTNN trên đoạn

Ví dụ minh họa 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x4 − 2x2 −15 trên đoạn −3; 2 .

Lời giải

Tập xác định D = .

x = 0−3; 2

y = 4x3 − 4x ; y = 0   x = 1−3; 2 .

x = −1−3; 2

Tính: y (2) = −7 , y (1) = −16 , y (0) = −15 , y (−1) = −16 , y (−3) = 48.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là: max y = 48 .

−3;2

Ví dụ minh họa 2: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x3 −12x +1 trên đoạn −2; 3 lần

lượt là :

Lời giải

Tập xác định D = .

Ta có: y = f (x) = x3 −12x +1.

y = 3x2 −12 ; y = 0   x = 2 .
 x = −2

34/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

f (−2) = 17; f (2) = −15; f (3) = −8 .

 max y = f (−2) = 17; min y = f (2) = −15

−2;3 −2;3

C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 9x 7 trên đoạn

4;3 .

Bài 2. Giá trị lớn nhất của hàm số f x x2 2x 3 trên khoảng 0; 3

Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 9x 1 trên đoạn 0;3

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x2 9x 5 trên 1;5 là.

A. 15 . B. 6 . C. 10 . D. 22 .

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x 1 trên đoạn 2; 0 bằng

A. 1 . B. 2 . C. 1 . D. 3 .

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x4 x2 1 trên đoạn 0;2 là.

A. 3 . B. 7 . C. 4 . D. 1.

4 10 5

Câu 4: Cho hàm số y x3 3x2 9x 1. GTLN là M và GTNN là m của hàm số trên đoạn

0; 4

A. M 28;m 4 . B. M 77; m 1. C. M 77;m 4 . D. M 28;m 1.

Câu 5: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 2x2 3x 4 trên đoạn 4; 0
Câu 6:
3

lần lượt là M và m . Giá trị của tổng M m bằng

A. M m 28 . B. M m 4 . C. M m 4 . D. M m 4.

3 3 3

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 9x 7 trên 4;3

A. 12 . B. 33. C. 20. D. 8.
Cho hàm số f(x) minx [0;2] f (x). Khi đó
Câu 7: M m bằng. x4 2x2 1. Kí hiệu M maxx [0;2] f (x), m
Câu 8:
Câu 9: A. 7. B. 5. C. 1. D. 9.

Gọi M,m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số f (x) x 1 trên đoạn 3;5 . Khi đó

x1

M m bằng

A. 7 . B. 1 . C. 2. D. 3 .

2 2 8

Giá trị lớn nhất của hàm số y 2x3 3x2 12x 2 trên đoạn 1;2 có giá trị là một

số thuộc khoảng là

A. 2;14 . B. 3;8 . C. 12;20 . D. 7;8 .

35/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 x3 + 2x2 − 5x +1 trên đoạn 0;10 là:

3

A. −5 . B. 0 . C. − 5 . D. 1.
3

Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 + 3x2 −12x + 2 trên đoạn −1;2 đạt tại x = x0 . Giá trị

x0 bằng.

A. −1. B. 1. C. −2 . D. 2 .

Câu 12: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3x2 +1 trên

1; 2.Khi đó tổng M + m bằng.

A. 2 . B. 0 . C. −4 . D. −2 .

Câu 13: Cho hàm số y = 3x −1. Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 0;2 lần

x−3

lượt là M và m . Khi đó S = m + M có giá trị là

A. S = 14 . B. S = 4 . C. S = −14 . D. S = 3 .

3 3 5

Câu 14: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x +1 trên −1;1. Khi đó giá trị của m là:

x−2

A. m = 2 . B. m = 4 . C. m = −4 . D. m = − 2 .
3 3

Câu 15: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +1 trên đoạn

2x −1

−2;0. Giá trị biểu thức 5M + m bằng

A. 0 . B. − 24 . C. 24 . D. −4 .

5 5

Câu 16: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x −1 trên đoạn 0;3 là:

x +1

A. min y = −3 . B. min y = 1 . C. min y = −1. D. min y = 1.
x0; 3 2
x0; 3 x0; 3 x0; 3

Câu 17: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn −1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M

và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn −1;3 . Giá

trị của M − m bằng

A. 1. B. 4 . C. 5 . D. 0 .
Tổ Toán
36/148

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 18: Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị
nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f ( x) trên đoạn −2;2 .

A. m = −5; M = −1. B. m = −2; M = 2 . C. m = −1; M = 0 . D. m = −5; M = 0 .

Câu 19: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên −3; 2 và có bảng biến thiên như sau. Gọi M , m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên đoạn −1;2 . Giá

trị M + m.

A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .

Câu 20: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn −1;3 như hình vẽ bên.

Khẳng định đúng là

A. max f (x) = f (0) . B. max f ( x) = f (3) . C. max f ( x) = f (2) .D. max f ( x) = f (−1)
−1;3 −1;3 −1;3 −1;3

Câu 21: Cho hàm số f ( x) liên tục trên −1;5 và có đồ thị trên đoạn −1;5 như hình vẽ bên

dưới. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên đoạn −1;5 bằng

37/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

A. −1. B. 4 . C. 1. D. 2 .

Câu 22: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên

đoạn 0;2 là:

A. Max f ( x) = 2 . B. Max f ( x) = 2 . C. Max f ( x) = 4 . D. Max f ( x) = 0 .
0;2 0;2 0;2 0;2

Câu 23: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 0;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 0;3 . Giá trị của M + m

bằng

A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 1.

Câu 24: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn 2;6 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

38/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

y
5

-2 -1 O 1 34 6 x
-1 y = f(x)

-3
-4

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
2;6 . Giá trị của M m bằng

A. 9 . B. −8 . C. −9 . D. 8 .

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x) liên tục và có đồ thị trên đoạn −2;4 như hình vẽ bên. Tổng giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên đoạn −2;4 bằng

A. 5 . B. 3 . C. 0 . D. −2 .

DẠNG TOÁN 2: GTLN, GTNN trên khoảng

Ví dụ minh họa: Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 1. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng
2

 −25; 11  . Tìm M .
10

Lời giải

Tập xác định D = .

Ta có y = 3x2 − 3x = 0  x = 1
 x = 0

Bảng biến thiên

39/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Từ bảng biến thiên ta có M = 1.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y = −x3 + 3x +1 trên khoảng (0;+) bằng:

A. 5 . B. 1. C. −1. D. 3 .

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 trên (2; 6.
Câu 3:
x−2
Câu 4:
Câu 5: A. min y = 9 . B. min y = 8 . C. min y = 4 . D. min y = 3 .
Câu 6:
Câu 7: (2; 6 (2; 6 (2; 6 (2; 6

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x + 4 trên khoảng (0;+) .
x2

A. min y = 33 . B. min y = 23 9 . C. min y = 33 9 . D. min y = 7 .
(0;+) 5
(0;+) (0;+) (0;+)

Gọi m là giá trị nhở nhất của hàm số y = x + 4 trên khoảng (0;+) . Giá trị m

x

A. m = 4 . B. m = 2 . C. m =1. D. m = 3 .

Gọi a là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 + 4 trên khoảng (0;+) . Giá trị a .

x

A. 33 4 . B. 5. C. 6 . D. 2 3 16 .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 5 + 1 trên khoảng (0; +) bằng

x

A. 0 . B. −1. C. −3 . D. −2 .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x + 1 trên nửa khoảng 2; +) là

x

A. 2 . B. 5 . C. 0 . D. 7 .

2 2

DẠNG TOÁN 3: Ứng dụng GTLN-GTNN vào bài toán thực tế

Ví dụ minh họa 1: Một chất điểm chuyển động theo quy luật S = 3t2 − t3 . Thời điểm t (giây)

tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

Lời giải .
Tập xác định D = .

( )Ta có v = S  v = 6t − 3t2  v = −3 t2 − 2t +1 + 3  v = −3(t −1)2 + 3  3 , t 

Giá trị lớn nhất của v = 3 khi t =1.

40/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Ví dụ minh họa 2: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu
của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau

khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được tính theo công thức c(t) = t (mg/L). Sau khi tiêm thuốc
t2 +1

bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Lời giải

t, −t2 +1
t2 +1 2
t2 +1
( )Với
c(t) = t  0 ta có c(t) = .

−t2 +1
t2 +1 2
( )Cho c(t) = 0  =0 t =1.

Bảng biến thiên

Vậy max c (t ) = 1 khi t =1.
(0;+) 2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1. Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau

y 2x 1 phút,sốvikhuẩn được xác định theo công thức: f (t) 1000 30t2 t3 0 t 30
x1

. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?

Bài 2. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức F x 1 x2 30 x ,
40

trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Liều lượng
thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Sau khi phát hiện ra dịch bệnh vi rút Zika, các chuyên gia sở y tế TP.HCM ước tính số

người nhiễm bệnh kể từ khi xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là

f (t ) = 15t2 − t3 . Ta xem f '(t ) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t . Tốc

độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ bao nhiêu

A. Ngày thứ 5 . B. Ngày thứ 10 . C. Ngày thứ 25 . D. Ngày thứ 20 .

Câu 2: Một vật chuyển động theo quy luật s = − 1 t3 + 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính

2

từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong
khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động,
vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng

A. 24(m / s) . B. 18(m / s) . C. 108(m / s) . D. 64(m / s) .

41/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 3: Một chất điểm chuyển động có phương trình vận tốc là v (t ) = e + et2−2t (m/s) ( t : giây là

thời gian chuyển động). Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, vận tốc nhỏ nhất
của chất điểm là

A. v = e +1 (m/s). B. v = e+ 1 (m/s) . C. v = e + 1 (m/s) . D. v = e + 1 (m/s) .
e2 e4
e

Câu 4: Một vật chuyển động theo quy luật s = − 1 t3 + 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính
3

từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong
khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động,
vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng

A. 180(m/s) . B. 36(m/s) . C. 144(m/s) . D. 24(m/s) .

Câu 5: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48 cm2, hình chữ nhật có chu vi nhỏ
nhất bằng:

A. 16 3 cm. B. 4 3 cm. C. 24 cm. D. 8 3 cm.

Câu 6: Một vật chuyển động theo quy luật s = − 1 t3 + 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính
3

từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong
khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động,
vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng

A. 243 (m/s). B. 27 (m/s). C. 144 (m/s). D. 36 (m/s).

Câu 7: Đợt xuất khẩu gạo của tỉnh A thường kéo dài trong 2 tháng ( 60 ngày). Người ta nhận
Câu 8:
thấy số lượng xuất khẩu gạo tính theo ngày thứ t được xác định bởi công thức

S (t ) = 2 t3 − 63t2 + 3240t − 3100 với (1  t  60) . Hỏi trong 60 ngày đó thì ngày thứ mấy

5
có số lượng xuất khẩu gạo cao nhất.

A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 25 .

Một vật chuyển động theo quy luật S = 10t2 − 1 t3 , với t (giây) là khoảng thời gian tính
3

từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời

gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 15 giây từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc

v(m / s) của vật đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t (s) bằng

A. 8(s) . B. 20(s) . C. 10(s) . D. 15(s) .

Câu 9: Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy

luật s (t ) = t3 − 4t2 +12 (m), trong đó t (s) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển

động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi t bằng

A. 2 (s). B. 8 (s). C. 0 (s). D. 4 (s).
3 3

DẠNG TOÁN 4: GTLN, GTNN liên quan tham số m

Ví dụ minh họa 1: Cho hàm số y = x3 + 3x + m (1) , với m là tham số thực. Tìm m để giá trị
lớn nhất của hàm số (1) trên 0;1 bằng 4

42/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Lời giải

Tập xác định D = .

y = 3x2 + 3  0 x  .
 Hàm số luôn đồng biến trên .

Vậy max y = y (1)  4 + m = 4  m = 0 .
0;1

Ví dụ minh họa 2: Hàm số y = 2x − m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 0;1 bằng 1 khi

x +1

Lời giải

Hàm số y = 2x − m có đạo hàm y = 2 + m và y(0) = −m ; y(1) = 2 −m .
x +1 x + 2
( 1)2

Trên đoạn 0;1.

Nếu 2 + m  0  m  −2 , giá trị lớn nhất của hàm số là 2 − m = 1  m = 0 (nhận).

2

Nếu 2 + m  0  m  −2, giá trị lớn nhất của hàm số là −m =1  m = −1 (loại).

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y x m2 trên
đoạn 2; 3 bằng 14. x1

Bài 2. Tìm giá trị của tham số m biết giá trị lớn nhất của hàm số 2;5 trên 2;5 bằng 7

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Giá trị của m để hàm số y = −x3 − 3x2 + m có giá trị nhỏ nhất trên −1;1 bằng 0 là

A. m = 0. B. m = 4 . C. m = 6. D. m = 2 .

Câu 2: Các giá trị m để hàm số y= mx đạt giá trị lớn nhất tại x =1 trên đoạn −2; 2
Câu 3: x2 +1
Câu 4:
A. m  0. B. m = 2 . C. m = −2 . D. m  0 .

Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2mx +1 trên 2;3 là − 1 khi m nhận giá trị bằng.
m−x 3

A. −2 . B. −5 . C. 0. D. 1.

Cho hàm số y= 5mx (m là tham số, m  0 ). Tất cả các giá trị thực của m để hàm số
x2 +1

đạt giá trị lớn nhất tại x =1 trên đoạn −2;2.

A. m  \ 0 . B. m  0. C. Không tồn tại m . D. m  0 .

Câu 5: Cho hàm số y = x +1+ m ( m là tham số thực) thỏa mãn max y = 4 . Giá trị m thuộc tập
1− x
2;5

nào B. (0;4. C. (−4;0 . D. (4;+) .

A. (−;−4.

43/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 6: Hàm số y = x − m2 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 bằng −1 khi

x +1

A. m = −1 m = − 3 C. m = −2 . D. m = 3 .
m . B.  .

=1 m = 3

Câu 7: Cho hàm số y = x + m ( m là tham số thực) thỏa mãn min y = 3. Mệnh đề đúng là
x−1 [2;4]

A. m  4 . B. 3  m  4 . C. m  −1. D. 1  m  3 .

Câu 8: Cho hàm số y x m (m là tham số thực) thỏa mãn min y 3 . Mệnh đề đúng là
x 1 0;1

A. 1 m 3 . B. m 6 . C. m 1 . D. 3 m 6 .

Câu 9: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x m trên 1;2 bằng 8 ( m là

x1

tham số thực). Khẳng định đúng là

A. m  10 . B. 8  m  10 . C. 0  m  4 . D. 4  m  8.

Câu 10: Cho hàm số y = 2x3 − 3x2 − m . Trên −1;1 hàm số có giá trị nhỏ nhất là −1. Giá trị m là

A. m = −6 . B. m = −3 . C. m = −4 . D. m = −5 .

Câu 11: Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = x + m2 + m trên
x −1

đoạn 2;3 . Tất cả các giá trị thực của tham số m để A + B = 13 .

2

A. m = 1; m = −2 . B. m = −2 . C. m = 2 . D. m = −1; m = 2 .

Câu 12: Các giá trị m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x − m2 + m trên đoạn 0;1 bằng –2

x +1

A. m =1 B. m =1 C. m = −1 D. m = 1 21 .
m . m . m = . 2

=2 = −2 2

Câu 13: Giá trị của tham số m biết giá trị lớn nhất của hàm số y = 2x + m trên 2;5 bằng 7 là

x −1

A. m =18. B. m = 3 . C. m = 8 . D. m = −3 .

Câu 14: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = x + 4 − x2 + m là 3 2 . Giá trị của m là

A. m = 2 . B. m = 2 2 . C. m = 2 . D. m = − 2 .

2

44/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

§4. TIỆM CẬN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tìm đường tiệm cận ngang (TCN) và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x).
Bước 1. Tìm TXĐ của hàm số từ đó suy ra các điểm đầu mút của mỗi khoảng xác định.

Giả sử D = (−; a)  (a;b][c;+) thì các đầu mút tìm được là x=a và  .

Bước 2. Tính tất cả các giới hạn một phía tại các điểm đầu mút đã tìm được ở Bước 1.

lim f (x) = ? lim f (x) = ? lim f (x) = ? lim f (x) = ?
x→− x→a− x→a+ x→+

Bước 3. Tùy theo kết quả ở Bước 2 để kết luận:

Nếu tồn tại lim f (x) = y0 hoặc lim f (x) = y0 mà y0 hữu hạn thì kết luận đường thẳng

x→+ x→−

y=y0 là đường tiệm cận ngang. Nếu cả hai giới hạn này đều không tồn tại hoặc kết quả cùng

vô hạn thì kết luận hàm số không có TCN.

Nếu lim f (x) =  hoặc lim f (x) =  thì kết luận đường thẳng x=a là đường tiệm cận
x→a+ x→a−

đứng. Nếu cả hai giới hạn này đều không tồn tại hoặc kết quả cùng hữu hạn thì kết luận hàm số

không có TCĐ.

Chú ý:

a) Hàm đa thức không có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.

b) Hàm nhất biến y= ax + b có TCĐ là x = −d và TCN y= a .
cx + d cc

c) Đối với hàm phân thức f(x)= P(x) có TCN  deg(P(x))  deg(Q(x)).

Q(x)

45/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG TOÁN 1: Bài toán xác định các đường tiệm cận của hàm số

Ví dụ minh họa 1: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 3 − 4x là
−2x +1

Lời giải

lim 3− 4x = lim 3 −4 = 2.
x

x→+ −2x + 1 x→+ −2 + 1
x

Vậy y = 2 là phương trình tiệm cận ngang

Ví dụ minh họa 2: Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2x +1 ?

x +1

Lời giải

Ta có lim y = lim 2x +1 = −; lim y = lim 2x +1 = + suy ra đường thẳng x = −1 là đường
x→−1+ x→−1+ x +1 x→−1− x→−1− x +1

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2x +1 .

x +1

Ví dụ 1: Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y = 2x +1 là
x −1

Lời giải

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số y = 2x − 3 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
x −1
Lời giải

46/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022
C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y x 1 là?
3x 2

Bài 2. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y x2 5x 6 bằng
x2 3x 2

Bài 3. Đồ thị hàm số C : y 2x 1 có mấy đường tiệm cận
2x 3

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1 − x có phương trình
−x + 2
Câu 2:
Câu 3: lần lượt là
Câu 4:
A. x = 1; y = 2 . B. x = 2; y = 1. C. x = 2; y = 1 . D. x = 2; y = −1.
Câu 5: 2
Câu 6:
Câu 7: Đồ thị hàm số y = x +1 có tiệm cận ngang là đường thẳng:
Câu 8:
Câu 9: 2−x

A. y = 2. B. y = −1. C. y = 1 . D. x = 2.

2

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 3 − 2x là
x−2

A. x = −2. B. x = 2 . C. y = −2 . D. y = 3 .

Cho đồ thị hàm số y = 2x − 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
−x +1

A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x =1.
B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là x = −2.
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là y = 1.

D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2 .

Cho hàm sô y = 2x −1 . Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
x+5

A. y = 2 . B. x = 2 . C. y = −5 . D. x = −5.

Đồ thị hàm số y = x + 2 có đường tiệm cận đứng là

x −1

A. y = 1. B. x =1. C. x = −2. D. y = −2 .

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x − 3 là

3x − 2

A. x = 1 . B. x = 2 . C. y = 2 . D. y = 1 .

3 3 3 3

Cho hàm số y = 2 . Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x−2

A. y = −1. B. x = 2 . C. y = 2 . D. y = 0 .

Đồ thị của hàm số y = 2x +1 có đường tiệm cận ngang là:

2x − 2

47/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

A. x = −1. B. y = −1. C. y = 1. D. x =1.

Câu 10: Đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào sao đây?

A. y = 1+ 3x . B. y = 3x2 + 3 . C. y = 1− 3x . D. y = x2 + 3x + 2 .
1+ x 2+ x
2−x x−2

Câu 11: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x2 + x − 2 là:

x−2

A. x = 2 . B. y = −2 . C. y = 2 . D. x = −2.

Câu 12: Đường thẳng nào sau đây la tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2x +1

x −1

A. x = −1. B. y = −2 . C. x =1. D. y = 2 .

Câu 13: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1− x .

x−2

A. y = 2 . B. x = 2 . C. x = −1. D. y = −1.

Câu 14: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = −2x −1 có phương trình lần

x −1

lượt là:

A. y = 1, y = −2 . B. x = 1; y = −2 . C. x = 1, x = −2 . D. x = 1, y = 2 .

Câu 15: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1− 2x ?
x−2

A. y = −2 . B. y = 1. C. x = 2 . D. x = 1 .

Câu 16: Đường tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số y = −2x +1 có phương trình là.
4−x

A. y = 2 . B. y = 4 . C. x = 2 . D. y = − 1 .
2

Câu 17: Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây?

A. y = 2x + 3 . B. y = −2x +1 . C. y = x2 + 2x + 2 . D. y = 2x +1 .
−x + 2 5− x 1− x

Câu 18: Đồ thị hàm số y= x2 −5x + 6 có tiệm cận đứng là.
x2 − 4

A. x = 2. B. x = 2 . C. x =1. D. x = −2.

Câu 19: Đồ thị hàm số y = 3 − 2x có đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là:

x −1

A. x = −1; y = −2 . B. x = 1; y = 2 . C. x = 1; y = −2. D. x = 2; y = 1.

Câu 20: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y = x2 + 2 là

(x − 2) x2 +1

A. x = −2. B. x = 0 . C. x = 2 . D. x = −1.
D. 2 .
Câu 21: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y= x2 − 3x + 2 là: D. 2 .
x2 − 4

A. 1. B. 0 . C. 3 .

Câu 22: Số tiệm cận của đồ thị hàm số y= x2 − 4x − 5 .
x2 − 3x + 2

A. 4 . B. 1. C. 3 .

48/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022

Câu 23: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1+ 2x +1 có phương trình là:

x+2

A. x = −2. B. y = 3 . C. x = −1. D. y = 2 .

Câu 24: Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = x2 − 5x + 4 .

x2 −1

A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 .
D. 0 .
Câu 25: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y= x2 − 3x − 4 .

x2 −16

A. 2 . B. 3 . C. 1.

Câu 26: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y= 4 − x2 là?
x2 −5x + 6

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .

Câu 27: Đồ thị hàm số y= 6 − x2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận.
x2 + 3x − 4

A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.

Câu 28: Hỏi đồ thị hàm số y= 1− x2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
x2 + 2x

A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.

Câu 29: Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = x + 2 là:

x+3

A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.
D. y = 1.
Câu 30: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2x −1 là:

4x2 + 3

A. y = 1 và y = −1. B. y = 2 . C. y = 2 và y = −2 .

Câu 31: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x+4−2 là
x2 + x

A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 .

Câu 32: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y= 4 − x2 là:
x2 − 3x − 4

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Câu 33: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x + 9 − 3 là

x2 + x

A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 .

Câu 34: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x + 25 − 5 là

x2 + x

A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1.

Câu 35: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x +16 − 4
x2 + x là

A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 .

Câu 36: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x − 2 +1 là

x2 − 3x + 2

A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 .

49/148 Tổ Toán

TRƯỜNG TIỂU HỌC-THCS & THPT HOA SEN NĂM HỌC 2021-2022
Câu 37: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình là

A. không tồn tại tiệm cận đứng. B. x = −2.

C. x =1. D. x = −2 và x =1.

Câu 38: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có TCĐ là đường thẳng x =1 và TCN là đường thẳng y = 2 .

B. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận.
D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng x =1 và tiệm cận đứng là đường
thẳng y = 2 .

Câu 39: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có

bảng biến thiên như hình bên. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 4 .

Câu 40: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau. Hỏi đồ thị hàm số đó có mấy tiệm cận.

A. 3 . B. 1. C. 4 . .
D. 2 .
Câu 41: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Tổ Toán
50/148