ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี เปิด รายวิชา 1301 391 วิธีการค านวณเชิงตัวเลข ผู้ช่วยศาสตราจารย์ อดุลย์ จรรยาเลิศอดุลย์
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (สารบัญ) ผู้ช่วยศาสตราจารย์ อดุลย์ จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี ค ำน ำ เอกสารประกอบค าสอนเล่มนี้ เป็ นเอกสารประกอบค าสอนรายวิชา 1301 391 วิธีการ ค านวณเชิงตัวเลข (Numerical method) ซึ่งเป็ นวิชาบังคับ ส าหรับนักศึกษา ชั้นปี ที่ 3 ภาควิชา วิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี เอกสารการสอนเล่นนี้ใช้ประกอบการสอนเพื่อให้ นักศึกษาได้เรียนรู้เนื้อหาที่ครอบคลุมและครบถ้วนตามค าอธิบายรายวิชา โดยแบ่งเนื้อหาออกเป็ น 8 บท ดังนี้ บทที่ 1 บทน า บทที่2 รากของสมการ บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น บทที่ 4 การประมาณ ค่าในช่วงและนอกช่วง บทที่ 5 การถดถอยก าลังสองน้อยที่สุด บทที่ 6 การหาค่าอินทิกรัลและการ ค่าอนุพันธ์เชิงตัวเลข บทที่ 7 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และ บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (สารบัญ) ผู้ช่วยศาสตราจารย์ อดุลย์ จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี สำรบัญ ค ำน ำ i สำรบัญ ii บทที่ 1 บทน ำ 1.1 บทน า 1-1 1.2 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข 1-4 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 1 1-14 บทที่ 2 รำกของสมกำร 2.1 ระเบียบวิธีกราฟ 2-1 2.2 ระเบียบวิธีแบ่งครึ่ งช่วง 2-3 2.3 ระเบียบวิธีวางตัวผิดที่ 2-6 2.4 วิธีการทา ซ้า แบบหน่ึงจุด 2-9 2.5 ระเบียบวิธีของนิวตัน-ราฟสัน 2-10 2.6 ระเบียบวิธีเซแคนต์ 2-12 2.7 ระเบียบวิธีการหารากของระบบสมการ 2-14 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 2 2-21 บทที่ 3 ระบบสมกำรเชิงเส้น 3.1 กฎของคราเมอร์ 3-2 3.2 ระเบียบวิธีการก าจัดแบบเกาส์ 3-3 3.3 ระเบียบวิธีการทา ซ้า แบบยาโคบี 3-9 3.4 ระเบียบวิธีการทา ซ้า แบบเกาส์-ไซเดล 3-12 3.5 ระเบียบวิธีการผ่อนปรนเกินสืบเนื่อง 3-15 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 3 3-19
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (สารบัญ) ผู้ช่วยศาสตราจารย์ อดุลย์ จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี บทที่ 4 กำรประมำณค่ำในช่วงและนอกช่วง 4.1 การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น 4-2 4.2 การประมาณค่าในช่วงก าลังสอง 4-5 4.3 การประมาณค่าในช่วงฟังก์ชันพหุนาม 4-9 4.4 การประมาณค่านอกช่วง 4-10 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 4 4-12 บทที่ 5กำรถดถอยแบบกำ ลงัสองน้อยที่สุด 5.1 การถดถอยเชิงเส้น 5-2 5.2 การประยุกต์การถดถอยเชิงเส้นกับข้อมูลไม่เชิงเส้น 5-6 5.3 การถดถอยแบบพหุนาม 5-10 5.4 การถดถอยแบบหลายเชิง 5-15 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 5 5-18 บทที่ 6กำรหำค่ำอนิทิกรัลและอนุพนัธ์เชิงตวัเลข 6.1 กฎสี่เหลี่ยมคางหมู 6-1 6.2 กฎสี่เหลี่ยมคงหมูแบบหลายช่วง 6-3 6.3 กฎของซิมป์ สัน 6-6 6.4 กฎของซิมป์ สันแบบหลายช่วง 6-9 6.5 สูตรอินทิเกรตของนิวตัน-โคตส์ 6-11 6.6 การหาค่าอนุพันธ์ 6.14 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 6 6-20 บทที่ 7กำรแก้สมกำรเชิงอนุพนัธ์สำมญั 7.1 ระเบียบวิธีของออยเลอร์ 7-1 7.2 ระเบียบวิธีของฮวน 7-4 7.3 ระเบียบวิธีออยเลอร์ที่ปรับปรุงแล้ว 7-7 7.4 ระเบียบวิธีของรุงเง-คุตตา 7-9 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 7 7-17
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (สารบัญ) ผู้ช่วยศาสตราจารย์ อดุลย์ จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี บทที่8กำรแก้สมกำรเชิงอนุพนัธ์ย่อย 8.1 ประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย 8-1 8.2 การแบ่งชนิดของสมการอนุพันธ์ 8-2 8.3 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอลลิปติก 8-3 8.4 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์พาราโบลิก 8-7 8.5 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ไฮเพอร์โบลิก 8-13 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 3 8-17
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-1 บทที่ 1 บทน ำ ส าหรับเนื้อในรายวิชาการค านวณเชิงตัวเลข หรือ Computation Methods หรือ Numerical Methods เป็นพูดถึงการหาค าตอบโดยประมาณของปัญหาซึ่งทราบสมการทาง คณิตศาสตร์ที่แทนพฤติกรรมของปัญหา(Math Model) ในรูปแบบต่าง ๆ โดยทั่ว ๆ ไปวิธีการนี้ จะใช้การเขียนโปรแกรม และท าการค านวณหาค าตอบโดยการใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยใน การค านวณหาค่าที่ต้องการออกมา ส าหรับสมการหรือปัญหาที่จะศึกษาในรายวิชานี้ จะเป็น ปัญหาพื้นฐานและค่อนข้างง่ายต่อการประดิษฐ์สมการด้วยวิธีผลต่างสืบเนื่อง(Finite Different Method) ยกตัวอย่างเช่น ปัญหาการหารากของสมการ, การหาค่าอินทิกรัล, การหาค่าอนุพันธ์ สามัญ ฯ ส าหรับปัญหาจริงนั้นจะมีความซับซ้อนในเรื่องของทั้งรูปทรงของปัญหา และพฤติกรรม ของปัญหา ท าให้การหาผลเฉลยโดยประมาณนั้นมีความยุ่งยากเป็นอย่างมาก วิธีที่ใช้ก็ต้องเป็น วิธีที่มีความเหมาะสมเช่น วิธีปริมาตรสืบเนื่องและวิธีไฟไนต์อิลิเมนต์ ซึ่งต้องอาศัยความรู้และ ทรัพยากรทั้งเครื่องค านวณความเร็วสูง หรือคนที่ต้องมาพัฒนาโปรแกรม ตัวโครงสร้าง โปรแกรมนั้นมักจะมีขนาดใหญ่มีความยาวไม่ต ่ากว่าหมื่นบรรทัด แต่อย่างไรก็ตามในปัจจุบันได้มีการประดิษฐ์โปรแกรมส าเร็จรูป เพื่อหาผลเฉลย โดยประมาณได้ทันทีที่ออกแบบชิ้นงานเสร็จสิ้น เราจะสามารถท านายถึงความเสียหายหรืออายุ การใช้งาน ความเหมาะสมของชิ้นงานที่ได้ท าการออกแบบไว้ และสามารถท าการปรับปรุงได้ ในทันทีซึ่งจะเป็นการประหยัดงบประมาณและเวลาเป็นอย่างมาก ซึ่งท าให้นักศึกษาอาจไม่ต้อง เขียนโครงสร้างโปรแกรมเอง เพียงแต่รู้วิธีใช้งานโปรแกรมส าเร็จรูปต่าง ๆ ก็สามารถท าการหา ผลเฉลยโดยประมาณได้ แต่อย่างไรก็ตามถ้าไม่มีความรู้พื้นฐานที่เพียงพอแล้วนักศึกษาก็ไม่ สามารถที่จะหาค าตอบที่ถูกต้องจากโปรแกรมได้ ไม่สามารถประเมินค่าของข้อมูลที่โปรแกรมให้ มาได้ ดังนั้นการศึกษา 1.1 บทน า การศึกษาปัญหาและการวิเคราะห์ปัญหาต่าง ๆ ทางด้านวิศวกรรมศาสตร์, วิทยาศาสตร์ ตลอดจนถึงคณิตศาสตร์ ในปัจจุบัน ต้องการความรู้ความเข้าใจทางด้านระเบียบ วิธีเชิงตัวเลขเป็นอย่างมาก ด้วยเหตุที่สมการพฤติกรรมของปัญหาเหล่านั้น ล้วนในรูปแบบ สมการเชิงอนุพันธ์ที่ซับซ้อน หรือไม่ก็พบว่า รูปร่างขอบเขตของปัญหามีความซับซ้อน หรือทั้ง สองอย่างประกอบกัน สิ่งเหล่านี้จะส่งผลให้ไม่สามารถหาค าตอบแม่นตรง (Exact Solution) ของ ปัญหาต่าง ๆ เหล่านั้นได้ อาทิเช่น กรณีปัญหาเป็นการไหลแบบคงตัว (Steady) กดอัดไม่ได้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-2 (Incompressible) ของไหลเป็นของไหลแบบนิวโตเนียน (Newtonian fluid) และมีคุณสมบัติ เหมือนกันในทุกทิศทาง (Isotropic) ในสามมิติ แบบจ าลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบาย พฤติกรรมของ ของไหลทั้งในด้าน มวล พลังงานและโมเมนตัม จะอยู่ในรูปสมการนาเวียร์ – สโตกส์ (Navier-Stokes equation) เป็นดังนี้ V 0 (1.1) u S Mx x p uV . (1.2) My v S y p vV . (1.3) w S Mz z p wV . (1.4) เมื่อ x w x z v x y u x S Mx y w y z v y y u x S My z w z z v z y u x S M z เห็นได้ว่าล าพังตัวสมการเองนั้นมีความซับซ้อนเป็นอย่างมาก ในกรณีที่ขอบเขตของ ปัญหามีรูปทรงที่ไม่ซับซ้อน การหาค าตอบแม่นตรงของปัญหานั้นสามารถท าได้ เช่น ถ้ารูปร่าง ของปัญหาเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีทางเข้าและทางออกเต็มระนาบการไหลและขอบบนขอบล่าง เป็นผนัง ดังเช่นปัญหาการไหลผ่านแผ่นระนาบคู่ขนานดังรูปที่ 1.1 รูปที่ 1.1 แสดงปัญหาการไหลระหว่างแผ่นระนาบคู่ขนาน Fully Developed. L H Uniform velocity. y x
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-3 สามารถผลเฉลยแม่นตรงได้โดยการแก้สมการ ซึ่งความเร็วที่ทางออกมีค่าเท่ากับ 2 1 4 3 ( ) h y h q u y แต่ถ้าปัญหาดังกล่าวซับซ้อนขึ้นเพียงเล็กน้อยกลายเป็นปัญหาการ ไหลผ่านช่องสี่เหลี่ยมที่มีหน้าตัดขยายออกในทันทีดังรูปที่ 1.2 ของไหลไหลเข้าไม่เต็ม พื้นที่หน้าตัด และขยายออกในทันที จะท าให้ไม่สามารถหาผลเฉลยแม่นตรงได้ เนื่องจาก เงื่อนไขขอบเขตของปัญหามีความซับซ้อนมากขึ้น รูปที่ 1.2 แสดงปัญหาการไหลผ่านช่องสี่เหลี่ยมที่มีหน้าตัดขยายออกในทันที เมื่อไม่สามารถหาผลเฉลยแม่นตรงได้ สิ่งที่ท าได้ก็คือการหาผลเฉลยโดยประมาณ โดย วิธีการเชิงตัวเลขเช่น วิธีปริมาตรสืบเนื่อง (Finite volume method) วิธีไฟไนต์อิลิเมนต์ (Finite element method) และวิธีผลต่างสืบเนื่อง (Finite difference) ในขั้นแรกนี้ขอยกผล เฉลยเชิงตัวเลขที่ได้โดยวิธีปริมาตรสืบเนื่องดังรูปที่ 1.3 รูปที่ 1.3 แสดงเวกเตอร์ความเร็วที่จุดต่างๆในสนามการไหลของปัญหาการไหลผ่านช่องที่มี หน้าตัดขยายออก โดยทันที ที่ค่าเลขเรย์โนลด์ 133 จากรูปที่ 1.3 เห็นได้ว่าวิธีเชิงตัวเลขนั้นจะให้ผลเฉลยโดยประมาณที่มีลักษณะเฉพาะจุด (Node) ต่างกับผลเฉลยแม่นตรงที่มีค าตอบในลักษณะเป็นสมการต่อเนื่องทั้งปัญหา Fully Developed. Fully Developed. L h H x y xR Eddy. Eddy.
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-4 1.2 ระเบียบวิธีเชิงตวัเลข โดยปรกติแล้วสมการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายพฤติกรรมของปัญหาสามารถหาได้ โดยไม่ยาก ไม่ว่าจะพิจารณาทั้งในด้าน มวล พลังงานและโมเมนตัม ดังเช่น สมการนาเวียร์ – สโตกส์ (Navier-Stokes equation) แต่ที่เป็นปัญหาคือการแก้สมการเหล่านี้เพื่อหาผลเฉลย แม่นตรง (Exact Solution) จะท าได้ยากล าบาก หรือแม้แต่ท าไม่ได้เลยถ้าปัญหาที่มีความ ซับซ้อน ดังนั้นวิธีการเชิงตัวเลขจึงเป็นอีกทางเลือกหนึ่งที่มีความเหมาะสมในการน ามาใช้ เนื่องจากวิธีการเชิงตัวเลขเป็นการจ าลองปัญหาโดยการเขียนโปรแกรมบนคอมพิวเตอร์ซึ่งเป็น การประหยัดทรัพยากรประกอบกับปัจจุบันได้มีการพัฒนาศักยภาพของเครื่องคอมพิวเตอร์อย่าง รวดเร็ว ท าให้วิธีเชิงตัวเลขได้รับความสนใจเป็นอย่างมาก วิธีการการค านวณเชิงตัวเลข เช่น วิธีปริมาตรสืบเนื่อง (Finite volume method), วิธี ไฟไนต์อิลิเมนต์ (Finite element method)และวิธีผลต่างสืบเนื่อง (Finite difference method) ใช้หลักการเดียวกันคือ (1) การแปลงสมการเชิงอนุพันธ์ให้อยู่ในรูปของสมการพีชคณิต (สมการผลต่าง) ที่อยู่ ในรูปความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่จุดต่อ (2) ท าการแปลงพื้นที่ปัญหา ให้อยู่ในรูปโนด (3) วิธีการค านวณเชิงตัวเลขเป็นวิธีการท าซ ้าจนกว่าจะได้ผลเฉลยที่ตรงตามเงื่อนไข มี ข้อดีเหนือกว่าวิธีอื่น คือ ใช้หน่วยความจ าของเครื่องคอมพิวเตอร์น้อยมาก แต่ก็มีข้อจ ากัดคือ ในบางกรณีพบว่าผลเฉลยที่ได้ไม่สอดคล้องกับปัญหาการไหลจริงและมีค่าความถูกต้องต ่า การ ประยุกต์โดยใช้กริดขนาดละเอียดมาก ๆ จะท าให้ผลเฉลยที่ได้มีความถูกต้องมากขึ้น ในทาง กลับกัน จ านวนของกริดที่มากขึ้นจะท าให้เวลาที่ใช้ในการค านวณเพิ่มมากขึ้นด้วย โดยเฉพาะในกรณีที่ปัญหาการไหลนั้นมีขนาดใหญ่มักพบว่าหลังจาก 2-3 รอบแรกของการ ค านวณผลเฉลยอัตราการลู่เข้าของผลเฉลยจะช้าลงเรื่อย ๆ กล่าวโดยสรุปได้ว่าวิธีการแก้ปัญหาหรือหาค าตอบของสมการสามารถท าได้ 2 วิธี 1) วิธีทางคณิตศาสตร์ เพื่อหาค าตอบแบบแม่นตรง 2) วิธีการค านวณเชิงตัวเลข เพื่อหาค าตอบโดยประมาณ และสาเหตุที่เราจ าเป็นต้องเรียนวิธีการค านวณเชิงตัวเลข เนื่องจากเหตุผลดังต่อไปนี้ 1) เราไม่สามารถมาแก้ปัญหาขนาดใหญ่และซับซ้อนด้วยวิธีการทาง คณิตศาสตร์ เพื่อหาค าตอบแบบแม่นตรง 2) การที่จะสร้างโปรแกรมที่ค านวณเพื่อหาค าตอบแม่นตรงนั้นเป็นเรื่องที่ยาก มาก 3) วิธีการค านวณเชิงตัวเลขถูกน ามาใช้ในการหาค าตอบเกือบทุกสาขาวิชาทาง วิศวกรรมศาสตร์และวิทยาศาสตร์
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-5 4) วิธีการค านวณเชิงตัวเลขเป็นพื้นฐานการการเรียนในวิชาการค านวณชั้นสูงที่ มีการเรียนการสอนในระดับบัณฑิตศึกษา 1.3 การแก้ปัญหาด้วยวิธีทางคณิตศาสตรแ์ละวิธีการคา นวณเชิงตวัเลข เพื่อให้เกิดความเข้าใจถึงข้อแตกต่างระหว่างการแก้ปัญหาหรือการแก้สมการด้วยวิธี ทางคณิตศาสตร์ซึ่งได้เรียนรู้มาก่อนหน้านี้แล้วในวิชาต่าง ๆ กับวิธีการค านวณเชิงตัวเลขที่จะได้ เรียนในวิชานี้ จึงขอยกตัวอย่างต่อไปนี้ ตวัอย่าง 1.1 ยานอวกาศที่ตกสู่พื้นโลกด้วยแรงโน้มถ่วงของโลกจะมีแรงต้านของอากาศที่ กระท ากับยานอวกาศนั้นด้วย จงหาความเร็วของยานอวกาศที่เวลาใด Sol รูปที่ 1.4 การวิเคราะห์ปัญหาของยานอวกาศร่อนลงสู่พื้นโลกด้วยแรงโน้มถ่วง หมายเหตุ ภาพจาก ปราโมทย์ เดชะอ าไพ, ระเบียบวิธีเชิงตัวเลขในงานวิศวกรรม เริ่มต้นการวิเคราะห์ปัญหาซึ่งเป็นเนื้อหาจากวิชาทางวิศวกรรมศาสตร์ เพื่อหาความสัมพันธ์ว่ามี ตัวแปรใดบ้างที่มีผลต่อการตกของยานอวกาศนี้ จาก กฎข้อที่สองของนิวตัน (1.1) ซึ่ง ในที่นี้ให้แรงที่กระท ากับยานอวกาศประกอบด้วย 2 แรงได้แก่ F = Air resistance force v = v(t) 2 F = Gravitational force 1
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-6 แรงเนื่องจากน ้าหนักของยานอวกาศ) แรงเนื่องจากการต้านของอากาศโดยให้ เป็นสปัระสทิธแิ์รงตา้น เป็นความเร็ว แทนค่า และ ลงในสมการที่ (1.1) จะได้ จะพบว่าสมการดังกล่าวอยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Linear Ordinary Differential Equation) (1.2) การแก้สมการนี้จะได้ผลลัพธ์ของความเร็ว ที่อยู่ในรูปของฟังก์ชันก์ โดยสามารถแก้สมการ นี้ได้ 2 วิธี กล่าวคือ 1) วิธีทางคณิตศาสตร์เพื่อหาผลเฉลยแม่นตรง (Exact Solution) 2) วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (Approximate Solution)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-7 การใช้วิธีทางคณิตศาสตร์นั้น ได้เรียนมาแล้วในวิชาแคลคูลัส ซึ่งเป็นการอินทิเกรต โดย การแยกตัวประกอบ ∫ ∫ ซึ่งเป็นค าตอบทั่วไป การหาค่า จึงจะท าให้ได้ค าตอบเฉพาะ โดยการแทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้น (Initial Condition) ในที่นี้ ก าหนดให้ที่เวลา ความเร็ว จะได้ แทนค่า จะได้ ( ) (1.3) นั่นคือผลเฉลยแบบแม่นตรง หากสมมุติให้ค่า น ้าหนักของยานอวกาศ ค่าสมัประสทิธแิ์รงตา้นของอากาศ ค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง จะได้ค่าความเร็วของยานอวกาศ ซึ่งเป็นผลเฉลยแบบแม่นตรง เท่ากับ Ans
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-8 จากสมการ (1.2) หากเราใช้วิธีการค านวณเชิงตัวเลข เราสามารถหาผลเฉลย โดยประมาณได้ด้วยวิธีการหาค่าความชันดังรูป 1.5 รูปที่ 1.5 แสดงการประมาณค่า ⁄ ⁄ จากรูปที่ 1.5 อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วแทนที่จะหาค่าความชัน ด้วยการหาค่าอนุพันธ์ อาจประมาณค่าได้ด้วย สมการ ดังนี้ (1.4) จะพบว่าการประมาณค่าความชันด้วยสมการ (1.4) จะใกล้เคียงกับค่าอนุพันธ์ เมื่อ มีค่า น้อยลง ซึ่งเรียก ว่าค่าช่วงเวลา (time step) จากสมการ (1.2) สามารถเขียนให้อยู่ใน รูปแบบใหม่ดังนี และเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปโดยให้ (1.5)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-9 จัดรูปใหม่ได้ ( ) แทนค่าต่าง ๆ ของมวล สมัประสทิธแรงต้าน และความเร่งจากแรงเนื่องจากแรงโน้มถ่วง ิ์ (1.6) ซึ่งจะหาค าตอบด้วยผลเฉลยโดยประมาณเปรียบเทียบกับผลเฉลยแบบแม่นตรงได้ดังตาราง (1.1) ตาราง 1.1 ผลเฉลยโดยประมาณที่ค่าช่วงเวลา 10, 5, 1 วินาทีและผลเฉลยแบบแม่นตรง i t (sec) ผลเฉลย โดยประมาณ ( t=10) ผลเฉลย โดยประมาณ ( t=5) ผลเฉลย โดยประมาณ ( t=1) ผลเฉลย แม่นตรง 0 0 0 0 0 0 1 10 100 98 97 97 2 20 194 191 189 188 3 30 282 278 275 274 4 40 364 359 355 354 5 50 441 435 431 429 6 60 514 507 502 500 7 70 582 574 568 567 8 80 645 637 631 630 9 90 705 696 690 688 10 100 761 752 745 744
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-10 จะพบว่าที่ค่าช่วงเวลาน้อยลงจะท าให้ผลเฉลยโดยประมาณเข้าใกล้ผลเฉลยแม่นตรงมากยิ่งขึ้น
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-11 1.4 ค่าความผิดพลาด จากตัวอย่าง 1.1 พบว่ามีค่าความแตกต่างระหว่างค่าผลลัพธ์โดยประมาณกับผลลัพธ์ แม่นตรงซึ่งค่าความแตกต่างดังกล่าวเรียกว่าค่าความผิดพลาด ซึ่งค่าความผิดพลาดนี้เรียกว่า ค่าความผิดพลาดแท้จริง (true error) ดังแสดงในสมการ (1.7) (1.7) เมื่อ แทนด้วยผลลัพธ์ที่แท้จริง และ แทนด้วยผลลัพธ์โดยประมาณ ดังนั้น สามารถหาร้อยละความผิดพลาดที่แท้จริงได้จาก สมการ (1.8) (1.8) ตัวอย่างเช่นในตาราง 1.1 ที่เวลาที่ 80 วินาที จะสามารถหาร้อยละความผิดพลาดที่ แท้จริงได้ดังนี้ เมื่อค านวณโดยใช้ค่า sec จะได้หาค่าร้อยละความผิดพลาดได้ดังนี้ เมื่อค านวณโดยใช้ค่า sec จะได้หาค่าร้อยละความผิดพลาดได้ดังนี้ เมื่อค านวณโดยใช้ค่า sec จะได้หาค่าร้อยละความผิดพลาดได้ดังนี้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-12 ในทางปฏิบัติปัญหาที่เราจะใช้วิธีการค านวณเชิงตัวเลขนั้น เราจะไม่สามารถหาค่าผล เฉลยแม่นตรงได้ฉะนั้นเราจะสามารถหาค่าได้เพียงค่าความผิดพลาดโดยประมาณ ซึ่งค่า ดังกล่าวหาได้จากผลการค านวณที่แตกต่างกันสองครั้ง ซึ่งได้จากสมการ (1.9) (1.9) เมื่อ แทนด้วยผลลัพธ์ที่แท้จริง และ แทนด้วยผลลัพธ์โดยประมาณ ดังนั้นสามารถหาร้อยละความผิดพลาดที่แท้จริง ได้จาก สมการ (1.10) (1.10) ตัวอย่างเช่นในตาราง 1.1 ที่เวลาที่ 80 วินาที จะสามารถหาร้อยละความผิดพลาดที่ แท้จริงได้ดังนี้ เมื่อค านวณโดยใช้ค่า sec ซึ่งเป็นการค านวณครั้งที่ 1 และ sec ซึ่งเป็นการค านวณครั้งที่ 2 จะได้หาค่าร้อยละความผิดพลาดโดยได้ดังนี้ และเมื่อค านวณโดยใช้ค่า sec ซึ่งเป็นการค านวณครั้งใหม่ เทียบ sec ซึ่งเป็นการค านวณครั้งใหม่ จะได้หาค่าร้อยละความผิดพลาดโดยได้ดังนี้ ซึ่งค่าความผิดพลาดโดยประมาณนี้ใช้ในการตัดสินใจที่จะต้องลดค่าช่วงเวลา ลง อีกหรือไม่ หากค่าความผิดพลาดโดนประมาณนั้นยอมรับได้ก็จะใช้ ค่าช่วงเวลานั้นในการหาผล เฉลยที่ต้องการ เนื่องจาก หากใช้ ค่าช่วงเวลาที่น้อยจนเกินจะท าให้ใช้เวลาเวลาในการค านวณ มากขึ้น เช่น การใช้ช่วงเวลา เท่ากับ 1 เพื่อหาค่าผลเฉลยที่เวลา ที่ 80 วินาที ต้อง ค านวณถึง 80 รอบ หากใช้ช่วงเวลา เท่ากับ 10 เพื่อหาค่าผลเฉลยที่เวลา ที่ 80 วินาที
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-13 จะค านวณเพียงแค่ 10 รอบ แต่ความแม่นย าของผลลัพธ์ที่ช่วงเวลา เท่ากับ 1 จะแม่นย ากว่า ผลลัพธ์ที่ช่วงเวลา เท่ากับ 10
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 1 บทน า) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 1-14 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 1 1. จงอธิบายการแก้ปัญหาโดยการหาผลลัพธ์ของสมการ วิธีการค านวณเชิงตัวเลขมีความ แตกต่างจากการหาผลลัพธ์ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์อย่างไร 2. จากตัวอย่างที่ 1.1 ให้หาผลเฉลยโดยประมาณของความเร็วของยานอวกาศ โดยใช้ ช่วงเวลา 30 10 และ 1 วินาที และหาร้อยละความผิดพลาดโดยประมาณ และ ร้อยละ ความผิดพลาดแท้จริง ในแต่ละช่วงเวลา 3. จงอธิบายถึงความจ าเป็นในการเรียนวิชา วิธีค านวณเชิงตัวเลข
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-1 บทที่ 2 รากของสมการ ในบทนี้จะเป็นการศึกษาวิธีการแก้สมการเพื่อหาค าตอบ(ราก)หรือค่า x ของสมการและสมการ ไม่เชิงเส้นในรูป f x 0 โดยวิธีการแทนค่าซ ้าซ้อนหรือเรียกว่าวิธีการท าซ ้า (Iterative Methods) 2.1 ระเบียบวิธีกราฟ จัดเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการหารากของสมการ f x 0 ท าได้โดยการสมมุติค่า x ขึ้นมา ช่วงหนึ่งที่คาดว่ารากของสมการจะอยู่ในช่วงนั้น ๆ แทนค่าในสมการเพื่อหาค่า f x ที่สอดคล้องกัน ท าการพล็อตกราฟความสัมพันธ์ เราจะได้กราฟความสัมพันธ์ ให้หาจุดตัดแกน x ซึ่งค่า x ที่จุด ดังกล่าวเป็นค่าซึ่งท าให้ f x 0 และเป็นค าตอบของสมการระเบียบวิธีกราฟได้แสดงดังตัวอย่างที่ 2.1 ตวัอย่างที่2.1 จงหารากของสมการ 2 1 0 4 f x e x x , 0 x 10 วิธีทา ทดลองแทนค่า x ต่าง ๆ ในช่วงเพื่อที่จะได้ค่า f x 0 ซึ่งได้ค่าดังตาราง x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) 1.0000 -0.2212 -1.0000 -1.4724 -1.7358 -1.8595 -1.8925 -1.8689 -1.8120 -1.7378 -1.6567 และท าการพล็อตกราฟความสัมพันธ์ได้ดังนี้
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-2 จากกราฟเห็นได้ว่ารากของสมการมีค่าอยู่ในช่วง 0.75-0.8 เราจึงจะค านวณและพล็อตกราฟในช่วง ดังกล่าวได้ดังนี้ x 0.750 0.755 0.760 0.765 0.770 0.775 0.780 0.785 0.790 0.895 0.800 f(x) 0.0363 0.0309 0.0254 0.0200 0.0146 0.0092 0.0039 -0.0015 -0.0069. -0.0122 -0.0175 จากกราฟเห็นได้ว่ารากของสมการมีค่าอยู่ในช่วง 0.780-0.785 เราจะค านวณและพล็อตกราฟในช่วง ดังกล่าวได้ดังนี้ จากกราฟเห็นได้ว่า จากกราฟจะเห็นว่ารากของสมการมีค่าประมาณ x 0.7835 Ans x 0.78 0.7805 0.781 0.7815 0.782 0.7825 0.783 0.7835 0.784 0.7845 0.785 f(x) 0.0039 0.0033 0.0028 0.0022 0.0017 0.0012 0.0006 0.0001 -0.0004 -0.0010 -0.0015
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-3 2.2 ระเบียบวิธีแบ่งครึ่งช่วง พิจารณาจากตัวอย่างที่ 2.1 และจากรูปที่ 2.1 พบว่าค่าของฟังก์ชัน f x บริเวณรอบ ๆ ค าตอบ x ทางด้านซ้าย L x และด้านขวา R x ค่าของ L f x และ R f x จะมีเครื่องหมายต่างกันเสมอ ดังรูปที่ 2.1 รูปที่ 2.1 แสดงค่าของฟังก์ชั่นรอบ ๆ รากของสมการ ท าให้ ( ) ( ) เสมอ เมื่อมีค าตอบอยู่ในช่วง ระเบียบวิธีแบ่งครึ่งช่วงจะเริ่มจากการแบ่งครึ่งช่วงระหว่าง ค่ากลางที่ได้คือ เมื่อ ได้ค่ากลางก็จะท าการแบ่งช่วงเป็นสองช่วงคือ และ แล้วท าการพิจารณาว่า ค าตอบอยู่ในช่วงใดจากการตรวจสอบว่า ( ) ( ) หรือ ( ) ( ) ถ้าผลคูณ ดังกล่าวน้อยกว่าศูนย์แสดงว่าค าตอบจะอยู่ระหว่าง และ ให้น าค่า ที่ได้มาเป็นค่า ของ การค านวณรอบถัดไป แต่ถ้าผลคูณดังกล่าวจะมีค่ามากกว่าศูนย์ แสดงว่าค าตอบจะอยู่ระหว่าง และ ให้น าค่า ที่ได้มาเป็นค่า ของการค านวณรอบถัดไป ท าให้ช่วงที่พิจารณาเล็กลงครึ่งหนึ่ง ดัง รูปที่ 2.2 รูปที่ 2.2 แสดงการด าเนินการวิธีการแบ่งครึ่งช่วง 1 ซ ้า
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-4 ด าเนินการซ ้าอีกไปเรื่อย ๆ ดังรูปที่ 2.3 รูปที่ 2.3 แสดงช่วงค าตอบที่แคบลงเรื่อยๆ ของท าซ ้า 5 รอบ ของวิธีการแบ่งครึ่งช่วง จากรูปที่ 2.3 เห็นได้ว่าค าตอบของวิธีการแบ่งครึ่งช่วงนั้นค่า M x จะมีค่าเข้าใกล้รากของสมการ ขึ้นทุกครั้งที่ท าซ ้า ค่าความผิดพลาดสูงสุด n หลังจากการด าเนินการท าซ ้า n ครั้ง จะเท่ากับ n n R L x x 2 1 ซึ่งค่าความผิดพลาดสูงสุดนี้อาจใช้เป็นค่าตัดสินว่าจะด าเนินการท าซ ้ากี่รอบ หรืออาจจะใช้เกณฑ์การลู่เข้า(Convergence Criteria) โดยติดตามเปอร์เซ็นต์ความเปลี่ยนแปลง ของค่า M x ก็ได้ดังสมการ new S M M new M x x x *100% โดย S แทนค่าความผิดพลาดที่ยอมรับได้เพื่อหยุดการค านวณ(Stopping Tolerance) ปกตินิยมใช้ค่า เท่ากับ 0.001% หรืออาจใช้เกณฑ์ความผิดพลาดที่ยอมรับได้ดังสมการ M f x
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-5 ตวัอย่างที่2.2 จงหารากของสมการ 2 1 0 4 f x e x x , 0 x 10 โดยวิธีการแบ่งครึ่งช่วง และให้ใช้เกณฑ์การลู่เข้า S 0.05% วิธีทา ใช้วิธีการแบ่งครึ่งช่วง รอบแรกเริ่มต้นที่ช่วง 0,10 และ 5 M x ได้ค่าดังตาราง จากการค านวณดังตารางเห็นได้ว่าค่า L M f x * f x มีค่าเท่ากับ -1.8595 แสดงว่ารากอยู่ในช่วง 0,5 ดังนั้นเลือกช่วงนี้ เป็นช่วงเริ่มต้นในการท าซ ้ารอบต่อไปดังตาราง ท าซ ้าไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งค่าความผิดพลาดสอดคล้องกับเกณฑ์การลู่เข้าดังตาราง ครั้งที่ xL xM xR f(xL ) f(xM) f(xR) f(xM) x f(xR) Tolerance 1 0.000000 5.000000 10.000000 1.000000 -1.859514 -1.656680 3.0806202801 2 0.000000 2.500000 5.000000 1.000000 -1.267631 -1.859514 2.3571775551 100.0000% 3 0.000000 1.250000 2.500000 1.000000 -0.451288 -1.267631 0.5720668825 100.0000% 4 0.000000 0.625000 1.250000 1.000000 0.176100 -0.451288 -0.0794717869 100.0000% 5 0.625000 0.937500 1.250000 0.176100 -0.159493 -0.451288 0.0719774657 33.3333% 6 0.625000 0.781250 0.937500 0.176100 0.002516 -0.159493 -0.0004013497 20.0000% 7 0.781250 0.859375 0.937500 0.002516 -0.079895 -0.159493 0.0127427052 9.0909% 8 0.781250 0.820313 0.859375 0.002516 -0.039046 -0.079895 0.0031195626 4.7619% 9 0.781250 0.800781 0.820313 0.002516 -0.018354 -0.039046 0.0007166656 2.4390% คร ้ งัท ี่ xL xM xR f(xL) f(xM) f(xR) f(xL)*f(xM) f(xM)*f(xR) Tolerance 1 0.000000 5.000000 10.000000 1.000000 -1.859514 -1.656680 -1.8595143906 3.0806202801
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-6 10 0.781250 0.791016 0.800781 0.002516 -0.007942 -0.018354 0.0001457631 1.2346% 11 0.781250 0.786133 0.791016 0.002516 -0.002718 -0.007942 0.0000215869 0.6211% 12 0.781250 0.783691 0.786133 0.002516 -0.000102 -0.002718 0.0000002781 0.3115% 13 0.781250 0.782471 0.783691 0.002516 0.001207 -0.000102 -0.0000001235 0.1560% 14 0.782471 0.783081 0.783691 0.001207 0.000552 -0.000102 -0.0000000565 0.0779% 15 0.783081 0.783386 0.783691 0.000552 0.000225 -0.000102 -0.0000000230 0.0390% 16 0.783386 0.783539 0.783691 0.000225 0.000061 -0.000102 -0.0000000063 0.0195% 17 0.783539 0.783615 0.783691 0.000061 -0.000021 -0.000102 0.0000000021 0.0097% ดังนั้นรากของสมการมีค่าเท่ากับ 0.783386 Ans 2.3 ระเบียบวิธีวางตวัผิดที่ ระเบียบวิธีนี้คล้ายกับระเบียบวิธีแบ่งครึ่งช่วงในหัวข้อก่อนหน้านี้ ต่างกันที่ระเบียบวิธีแบ่งครึ่ง ช่วงใช้ค่ากลางในการสร้างค่าใหม่ ส่วนวิธีวางตัวผิดที่จะใช้จุดตัดระหว่างแกน กับเส้นเชื่อมระหว่างจุด ปลายทั้งสองข้างในการสร้างจุดใหม่ ดังรูปที่ 2.4 รูปที่ 2.4แสดงวางตัวของจุดตัดในระเบียบวิธีวางตัวผิดที่
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-7 พิจารณาจากรูปที่ 2.4 เห็นได้ว่ามุม และ เป็นมุมทะแยง ดังนั้น tan tan 1 x x f x R R 1 x x f x L L 1 x R L L R R L f x f x x f x x f x ขั้นตอนการค านวณด้วยวิธีวางตัวผิดที่นั้นจะเหมือนระเบียบวิธีแบ่งครึ่งช่วงทุกประการ ต่างกันก็เพียง ระเบียบวิธีวางตัวผิดที่จะวางต าแหน่งค่าใหม่โดยใช้สูตรข้างต้น ตวัอย่างที่2.3 จงหารากของสมการ 2 1 0 4 f x e x x , 0 x 10 โดยวิธีการวางตัวผิดที่ และให้ใช้เกณฑ์การลู่เข้า S 0.05% วิธีทา ใช้วิธีการวางตัวผิดที่ รอบแรกเริ่มต้นที่ช่วง 0,10 จะสามารถหาค่า 3.764097 x1 ได้จากสูตร และเริ่มท าการค านวณค่าต่าง ๆ ดังตาราง จากการค านวณดังตารางเห็นได้ว่าค่า 1 f x * f x L มีค่าเท่ากับ -1.6884 แสดงว่ารากอยู่ในช่วง [0, 3.764097] ดังนั้นเลือกช่วงนี้ เป็นช่วงเริ่มต้นในการท าซ ้ารอบที่ 2 และค านวณซ ้าเช่นเดิมจนได้ เกณฑ์การลู่เข้า ดังตาราง ครั้งที่ xL x1 xR f(xL) f(x1) f(xR) f(xL)*f(x1) f(x1)*f(xR) 1 0.000000 3.764097 10.000000 1.000000 - 1.688400 - 1.656680 -1.688400 2.797138
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-8 ครั้งที่ xL x1 xR f(xL ) f(x1 ) f(xR) f(xL )*f(x1 ) f(x1 )*f(xR) Tolerance 1 0.000000 3.764097 10.000000 1.000000 - 1.688400 - 1.656680 - 1.688400 2.797138 2 0.000000 1.882048 3.764097 1.000000 - 0.926318 - 1.688400 - 0.926318 1.563995 100.00% 3 0.000000 0.941024 1.882048 1.000000 - 0.163019 - 0.926318 - 0.163019 0.151007 100.00% 4 0.000000 0.470512 0.941024 1.000000 0.359756 - 0.163019 0.359756 - 0.058647 100.00% 5 0.470512 0.705768 0.941024 0.359756 0.084886 - 0.163019 0.030538 - 0.013838 33.3333% 6 0.705768 0.823396 0.941024 0.084886 - 0.042296 - 0.163019 - 0.003590 0.006895 14.2857% 7 0.705768 0.764582 0.823396 0.084886 0.020470 - 0.042296 0.001738 - 0.000866 7.6923% 8 0.764582 0.793989 0.823396 0.020470 - 0.011117 - 0.042296 - 0.000228 0.000470 3.7037% 9 0.764582 0.779286 0.793989 0.020470 0.004626 - 0.011117 0.000095 - 0.000051 1.8868% 10 0.779286 0.786637 0.793989 0.004626 - 0.003258 - 0.011117 - 0.000015 0.000036 0.9346% 11 0.779286 0.782961 0.786637 0.004626 0.000680 - 0.003258 0.000003 - 0.000002 0.4695% 12 0.782961 0.784799 0.786637 0.000680 - 0.001290 - 0.003258 - 0.000001 0.000004 0.2342% 13 0.782961 0.783880 0.784799 0.000680 - 0.000305 - 0.001290 0.000000 0.000000 0.1172% 14 0.782961 0.783421 0.783880 0.000680 0.000188 - 0.000305 0.000000 0.000000 0.0587% 15 0.783421 0.783651 0.783880 0.000188 - 0.000059 - 0.000305 0.000000 0.000000 0.0293% ดังนั้นรากของสมการมีค่าเท่ากับ 0.783651 Ans
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-9 2.4 วิธีการทา ซา ้แบบหนึ่งจดุ (One-Point Iteration Method) จัดเป็นวิธีการที่ง่ายอีกวิธีหนึ่ง หลักการคือแปลงสมการในรูป f x 0 ไปเป็นสมการซึ่งอยู่ใน รูป x gx ท าการสมมุติค่าเริ่มต้นแล้วท าการค านวณโดยการท าซ ้าด้วยสมการ n n x g x 1 เมื่อ ตัวห้อย n หมายถึงรอบการท าซ ้าที่ n ตวัอย่างที่2.4 จงหารากของสมการ 2 1 0 4 f x e x x , 0.5 x0 โดยวิธีการท าซ ้าแบบหนึ่งจุดและให้ใช้เกณฑ์การลู่เข้า S 0.05% วิธีทา ใช้วิธีการท าซ ้าแบบหนึ่งจุด เริ่มต้นโดยการแปลงสมการ จะได้ 4 1 2 i x i x e รอบการท าซ ้า xi Tolerance (%) 0 0.500000 1 0.866852 42.3200 2 0.758013 14.3585 3 0.791351 4.2129 4 0.781235 1.2948 5 0.784314 0.3925 6 0.783378 0.1195 7 0.783662 0.0363 ดังนั้นรากของสมการมีค่าเท่ากับ 0.783662 Ans
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-10 2.5 ระเบียบวิธีของนิวตนั-ราฟสัน (Newton-Raphson’s Method) จัดเป็นระเบียบวิธีการหารากของสมการที่มีการใช้งานอย่างแพร่หลายที่สุด ระเบียบวิธีนี้ตั้งอยู่ บนพื้นฐานของอนุกรมเทย์เลอร์(Taylor Series) เมื่อใช้อนุกรมเทย์เลอร์2 พจน์ ประมาณค่าฟังชั่นท าให้ ได้ความสัมพันธ์ตามระเบียบวิธีนิวตัน-ราฟสัน จากอนุกรมเทย์เลอร์ ( ) ... ! ( ) ( ) ... 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 0 0 0 0 f x n x x f x x x f x f x x x f x n n หาก พิจารณาถึงอนุพันธ์ล าดับที่ 1 f (x) f (x0 ) (x x0 ) f (x0 ) 0 หรือ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x x f x f x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x f x x x ดังนั้นจะได้ n f x n f x n x n x x 1 หรือ x n x n x 1 ตวัอย่างที่2.5 จงหารากของสมการ 2 1 0 4 f x e x x โดยใช้ระเบียบวิธีนิวตัน-ราฟสัน ค่าเริ่มต้นเท่ากับ 5 และให้ใช้เกณฑ์การลู่เข้า S 0.05% วิธีทา ใช้ระเบียบวิธีนิวตัน-ราฟสัน เริ่มต้นโดยการหาค่าอนุพันธ์ดังนี้
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-11 2 1 4 f x e x x 2 4 3 4 x f x e x ใช้ค่าเริ่มต้น 5 x0 ในการค านวณตามสมการ i i i i f x f x x x 1 หรือ i i i f x f x x 1 จะได้ 0.266801 1.213433 0.323745 0 0 1 f x f x x และท าให้ได้ x1 x0 x0 0.766801 น าค่าที่ได้ไปแทนเป็นค่าเริ่มต้นในรอบต่อไป และท าซ ้าจนกว่าจะได้ตามเงื่อนไขการลู่เข้า ดังตาราง รอบการ ท าซ ้า xi f(xi ) f'(xi) ∆xi+1 Tolerance (%) 0 0.5 0.323745 -1.213433 0.266801 1 0.766801 0.018073 -1.080072 0.016733 34.794045 2 0.783534 0.000067 -1.072125 0.000062 2.135550 3 0.783596 0.000000 -1.072095 0.000000 0.007923 ดังนั้นรากของสมการมีค่าเท่ากับ 0.783596 Ans
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-12 2.6 ระเบียบวิธีเซแคนต์ ระเบียบวิธีนี้มีขั้นตอนและวิธีการเช่นเดียวกันกับระเบียบวิธีนิวตัน-ราฟสัน แต่จะมีการปรับอีก นิดคือ ถ้าดูตามวิธีนิวตัน-ราฟสันจะเห็นว่าบางปัญหานั้นจะหาค่าอนุพันธ์ของฟังชั่นนั้นท าได้ยาก ระเบียบวิธีนี้จึงใช้การประมาณค่าอนุพันธ์แทนในสมการ คือ i i i i i x x f x f x f x 1 1 เพื่อแทนในสมการ ( ) ( ) 1 1 i i i i i i f x f x f x x x x ตวัอย่างที่2.6จงหารากของสมการ 2 1 0 4 f x e x x , 2 x0 และ 3 x1 โดยระเบียบวิธีเซแคนต์ และให้ใช้เกณฑ์การลู่เข้า S 0.05% วิธีทา ใช้ระเบียบวิธีวิธีเซแคนต์ เมื่อก าหนด 2 x0 และ 3 x1 ท าให้หาค่า (2) (3) (3) (2 3) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 f f f f x f x f x x x x 3.11700 ( 1) ( 1.472367) 1.472367 ( 1)
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-13 และท าให้ได้ 0.117000 x2 x1 x1 น าค่าที่ได้ไปแทนเป็นค่าเริ่มต้นในรอบต่อไป และท าซ ้าจนกว่าจะได้ตามเงื่อนไขการลู่เข้า ดังตาราง รอบการท าซ ้า xi f'(xi -1) f'(xi ) ∆xi Tolerance (%) 0 2.000000 1 3.000000 -1.000000 -1.472367 -3.117000 33.333333 2 -0.117000 -1.472367 1.179837 1.386602 2664.102200 3 1.269602 1.179837 -0.468242 -0.393953 109.215486 4 0.875649 -0.468242 -0.096706 -0.102540 44.989795 5 0.773109 -0.096706 0.011269 0.010702 13.263366 6 0.783811 0.011269 -0.000230 -0.000214 1.365356 7 0.783596 -0.000230 -0.000001 0.000000 0.027370 8 0.783596 -0.000001 0.000000 0.000000 0.000063 ดังนั้นรากของสมการมีค่าเท่ากับ 0.783596 Ans
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-14 2.7 ระเบียบวิธีการหารากของระบบสมการ จากหัวข้อที่ผ่านมาก่อนหน้านี้ เราได้ศึกษาระเบียบวิธีการหารากของสมการ ในที่นี้จะได้ กล่าวถึงการหาค่ารากของระบบสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้น(System of nonlinear equation) สมการไม่เชิง เส้น n ตัวแปร สามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปได้ดังนี้ N สมการ ซึ่งเขียนสามารถจัดสมการใหม่ ให้อยู่ในรูปของเมตริกซ์ได้ดังนี้ ส าหรับระเบียบวิธีการแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นที่กล่าวถึงในหัวข้อนี้จะเป็นวิธีการท าซ ้าโดยตรง และ ระเบียบวิธีการท าซ ้าของนิวตัน-ราฟสัน 2.7.1 วิธีการทา ซา ้โดยตรง ใช้หลักการท าซ ้ามาแก้ปัญหาเช่นเดียวกันกับวิธีการท าซ ้าแบบหนึ่งจุด โดยจากสมการตั้งต้นที่อยู่ในรูป แปลงให้อยู่ในรูป , ,..., 0 . . . , ,..., 0 , ,..., 0 1 2 2 1 2 1 1 2 n n n n f x x x f x x x f x x x nxn nx1 Bnx1 A x , ,..., 0 , ,..., 0 , ,..., 0 1 2 2 1 2 1 1 2 n n n n f x x x f x x x f x x x . . .
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-15 โดยตัวยก k หมายถึงรอบการท าซ ้าครั้งที่ k ขั้นตอนการค านวณเริ่มการการสมมุติค่าเริ่มต้น ท าการค านวณเมื่อได้ค่ารอบใหม่ แล้ว ด าเนินการท าซ ้าเช่นเดียวกันกับวิธีการท าซ ้าแบบหนึ่งจุดส าหรับเกณฑ์การลู่เข้าใช้การตรวจสอบตาม เปอร์เซ็นต์ความเปลี่ยนแปลงของค่าตัวแปรทุก ๆ ตัวแปร i x ตามเงื่อนไข k S i k i k i x x x 1 *100 % 1 ตวัอย่างที่2.7 จงหารากของระบบสมการไม่เชิงเส้นที่อยู่ในรูป 5 1 1 1 1 2 1 2 x x x โดยใช้วิธีการท าซ ้าโดยตรง ให้ใช้ค่าเริ่มต้นเท่ากับ 0 และให้ใช้เกณฑ์การลู่เข้า S 0.05% วิธีทา เขียนสมการตามโจทย์ใหม่ ได้ดังนี้ 1 x1 x2 5 2 x1 x2 ท าการแปลงสมการเพื่อประยุกต์ใช้วิธีการท าซ ้า จะได้ 2 1 1 1 k k x x k k x x1 1 2 5 ท าการค านวณตามสมการโดยค่าเริ่มต้นเท่ากับ 0 ได้ผลดังตาราง k n k k n k n k n k k k k n k k k x g x x x x g x x x x g x x x ... ... ... 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 . . .
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-16 รอบ การ ท าซ ้า (k) x1 k x2 k x1 k+1 x2 k+1 Tolerance of x1 (%) Tolerance of x2 (%) Tolerance (%) 0 0.000000 0.000000 -1.000000 2.236068 100.0000 100.0000 100.0000 1 1.000000 2.236068 1.236068 2.449490 180.9017 8.7129 180.9017 2 1.236068 2.449490 1.449490 1.940086 14.7239 26.2568 26.2568 3 1.449490 1.940086 0.940086 1.884280 54.1870 2.9617 54.1870 4 0.940086 1.884280 0.884280 2.014923 6.3109 6.4838 6.4838 5 0.884280 2.014923 1.014923 2.028724 12.8722 0.6803 12.8722 6 1.014923 2.028724 1.028724 1.996266 1.3416 1.6259 1.6259 7 1.028724 1.996266 0.996266 1.992806 3.2580 0.1736 3.2580 8 0.996266 1.992806 0.992806 2.000933 0.3485 0.4062 0.4062 9 0.992806 2.000933 1.000933 2.001798 0.8120 0.0432 0.8120 10 1.000933 2.001798 1.001798 1.999767 0.0863 0.1016 0.1016 11 1.001798 1.999767 0.999767 1.999551 0.2031 0.0108 0.2031 12 0.999767 1.999551 0.999551 2.000058 0.0216 0.0254 0.0254 13 0.999551 2.000058 1.000058 2.000112 0.0508 0.0027 0.0508 14 1.000058 2.000112 1.000112 1.999985 0.0054 0.0063 0.0063 ดังนั้นรากของระบบสมการมีค่าเท่ากับ 1.000058 x1 และ 2.000112 x2 Ans 2.7.2 วิธีการทา ซา ้ของนิวตนั-ราฟสัน ใช้อนุกรมเทย์เลอร์ส าหรับ n ตัวแปร ... , ,.., , ,..., , ,..., 1 1 2 1 1 2 2 1 2 j n j j i n i n n i n x x f x x x f x x x x x x f x x x
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-17 ถ้าให้พจน์ด้านซ้ายของสมการเท่ากับ 0 ( และ ใช้การประมาณค่าเพียง 2 พจน์ จะได้ เขียนใหม่ได้เป็น และสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์ได้ดังนี้ เมื่อ เรียกว่า ยาโคเบียนเมตริกซ์ (Jacobian Matrix) บางครั้งเรียกว่า เวคเตอร์เศษตกค้าง (Residuals) ดังนั้นถ้าประยุกต์หลักการท าซ ้าของนิวตัน-ราฟสัน ขั้นตอนการค านวณจะเริ่มต้นจากการสมมุติ ค่าเริ่มต้น k x แก้ระบบสมการ k k k J x f 1 เพื่อหาค่า 1 k x ได้ค่าผลลัพธ์ใหม่ จาก สมการ 1 1 k k k x x x น าค่าที่ได้ไปแทนเพื่อท าตามกระบวนการท าซ ้าต่อไป 3 2 1 3 2 1 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 f f f x x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f J x f nxn nx1 nx1 f i x1 x1 , x2 x2 ,..., xn xn 0 0 , ,.., , ,..., 1 1 2 1 2 j n j j i n i n x x f x x x f x x x j i n j j i x f x f 1 J f
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-18 ตวัอย่างที่2.8 จงหารากของระบบสมการไม่เชิงเส้นที่อยู่ในรูป 5 1 1 1 1 2 1 2 x x x โดยใช้ระเบียบวิธีการท าซ ้าของนิวตัน-ราฟสัน ให้ใช้ค่าเริ่มต้นเท่ากับ 0 และให้ใช้เกณฑ์การลู่เข้า S 0.05% วิธีทา เขียนสมการตามโจทย์ใหม่ ได้ดังนี้ , 1 f 1 x1 x2 x1 x2 , 5 2 f 2 x1 x2 x1 x2 หาค่าอนุพันธ์ได้ 1 , 1 1 1 2 x f x x 1 , 2 1 1 2 x f x x 1 , 1 2 1 2 x f x x 2 2 2 1 2 2 , x x f x x S 0.05% นั่นคือสมการที่ใช้หาค่าปรับแก้ตามวิธีนิวตัน-ราฟสันอยู่ในรูป k k x x x x x x x 5 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-19 หรือ k k x x x x x x x 5 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 เริ่มกระบวนการท าซ ้า โดยค่าเริ่มต้นเท่ากับ 0ในรอบแรกของการท าซ ้า จะได้ 1 1 2 1 0 0 x x 2 1 2 1 5 1 1 0 1 1 x x แก้สมการ จะได้ 2 2 2 1 6 5 x x 2 2 2 1 6 5 x x น าค่า x ที่ได้ใหม่ไปแทนค่าในสมการ จะได้ 2 2 2 1 6 5 x x 3 2 2 1 36 0 1 12 1 1 x x แก้สมการ จะได้ 3 3 2 1 - 2.7692 - 2.7692 x x 3 3 2 1 3.2308 2.2308 x x ท าซ ้าไปเรื่อย ๆ จนได้ค าตอบตามเกณฑ์การลู่เข้า ดังตาราง
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-20 ดังนั้นรากของระบบสมการมีค่าเท่ากับ 1.9996 1.0001 2 1 x x Ans รอบการท าซ ้า(k) x1 x2 ∆ x1 ∆ x2 Tolerance (%) 0 0.0000 0.0000 5.0000 6.0000 1 5.0000 6.0000 -2.7692 -2.7692 100.00 2 2.2308 3.2308 -1.0278 -1.0278 124.13 3 1.2030 2.2030 -0.1954 -0.1954 85.44 4 1.0076 2.0076 -0.0075 -0.0075 19.39 5 1.0001 2.0001 0.0000 -0.0005 0.75 6 1.0001 1.9996 0.0001 0.0004 0.03
วิธีการค านวณเชิงตวัเลข (บทที่2 รากของสมการ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 2-21 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 2 1. จงหาค าตอบของสมการ ด้วยวิธีดงัต่อไปน้ี 1.1 ระเบียบวิธีกราฟ 1.2 ระเบียบวธิีแบ่งคร่ึงช่วง ในช่วง 1.3 ระเบียบวิธีวางตัวผิดที่ ในช่วง 2. จงหาค าตอบของสมการ ด้วยวิธีดงัต่อไปน้ี 2.1ระเบียบวิธีกราฟ 2.2ระเบียบวธิีแบ่งคร่ึงช่วง ในช่วง 2.3ระเบียบวิธีวางตัวผิดที่ ในช่วง 3. จงหาค าตอบของสมการ โดยให้ค่าความผิดพลาด ด้วยวิธีดงัต่อไปน้ี 3.1 วิธีการท าซ ้าแบบหนึ่งจุด 3.2ระเบียบวิธีของนิวตัน-ราฟสัน 3.3ระเบียบวิธีเซแคนต์ 4. จงหาค าตอบของสมการ โดยให้ค่าความผิดพลาด ด้วย วิธีดงัต่อไปน้ี 4.1 วิธีการท าซ ้าแบบหนึ่งจุด 4.2ระเบียบวิธีของนิวตัน-ราฟสัน 4.3ระเบียบวิธีเซแคนต์ 5. จงหาค าตอบของระบบสมการ ด้วยวิธีการกระท าซ ้าแบบโดยตรงและระเบียบวิธีของนิวตัน-ราฟสัน 6. จงหาค าตอบของระบบสมการ ด้วยวิธีการกระท าซ ้าแบบโดยตรงและระเบียบวิธีของนิวตัน-ราฟสัน
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-1 บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส ้ น ในบทนี้จะเป็นการศึกษาวิธีการหาค าตอบของระบบสมการเชิงเส้น ระบบสมการเชิงเส้น โดยปกติจะอยู่ในรูปของระบบสมการดังนี้(กรณี 3 ตัวแปร) 11 1 12 2 13 3 b1 a x a x a x 21 1 22 2 23 3 b2 a x a x a x 31 1 32 2 33 3 b3 a x a x a x จะสามารถเขียนในรูปเมตริกซ์ได้คือ 3 2 1 3 2 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13 b b b x x x a a a a a a a a a หรือถ้าเป็นกรณี n ตัวแปร ก็สามารถเขียนอยู่ในรูปเมตริกซ์ได้ดังสมการ nxn nx1 nx1 A x B หรือ n n n n n n n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นนั้นนักศึกษาเคยพบปัญหาเหล่านี้บ้างแล้วในวิชา สถิตยศาสตร์ เช่น กรณีปัญหาที่มีสองตัวแปร สองสมการ เราสามารถแก้ปัญหาเพื่อหาค าตอบ ของสมการได้โดยง่าย แต่เมื่อปัญหาเป็นระบบสมการขนาดใหญ่และมีตัวแปรจ านวนมาก การ หาค าตอบโดยวิธีแก้สมการโดยตรงจะท าได้ยากและความผิดพลาดสูง จ าเป็นต้องมีระเบียบวิธี จัดการกับปัญหาระบบสมการเชิงเส้นเหล่านี้ ซึ่งจะกล่าวถึงในบทนี้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-2 3.1 กฎของคราเมอร์ กฎของคราเมอร์(Cramer’s Rule) เป็นระเบียบวิธีที่ใช้แก้ระบบสมการขนาดเล็กได้ดี สมการอยู่ในรูปแบบที่ง่าย ด าเนินการได้อย่างรวดเร็วด้วยขั้นตอนการค านวณที่สั้น แต่ระเบียบ วิธีนี้จะไม่เหมาะส าหรับปัญหาซึ่งมีขนาดใหญ่ และไม่เหมาะส าหรับการเขียนโปรแกรม คอมพิวเตอร์เพื่อแก้ปัญหา ถ้าก าหนดให้ปัญหาอยู่ในรูป nxn nx1 nx1 A x B กฎของคราเมอร์ใช้ใช้ค่าตัวก าหนด(Determinant) ของเมตริกซ์เป็นเครื่องมือในการหาค าตอบ ของสมการ ดังนี้ A A x i i det det เมื่อ detA แทนค่าตัวก าหนดของเมตริกซ์ A และ detA i แทนตัวก าหนดของเมตริกซ์ A หลังจากแทนคอลัมน์ i ของเมตริกซ์ A ด้วย เวคเตอร์ B ตวัอย่างที่3.1จงใช้กฎของคราเมอร์เพื่อแก้ระบบสมการ 400 400 400 0 2 4 1 4 2 4 4 0 3 2 1 x x x วิธีทา ใช้กฎของคราเมอร์เพื่อหาค่า x ดังนี้ 450 32 14,400 0 2 4 1 4 2 4 4 0 400 2 4 400 4 2 400 4 0 det det 1 1 A A x
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-3 350 32 11,200 0 2 4 1 4 2 4 4 0 0 400 4 1 400 2 4 400 0 det det 2 2 A A x 275 32 8,800 0 2 4 1 4 2 4 4 0 0 2 400 1 4 400 4 4 400 det det 3 3 A A x ดังนั้นค าตอบของระบบสมการตามโจทย์คือ 275 350 450 3 2 1 x x x Ans 3.2 ระเบียบวิธีการกา จดัแบบเกาส์ ระเบียบวิธีการก าจัดแบบเกาส์(Gauss Elimination Method) เป็นระเบียบวิธีการแก้ ระบบสมการที่ได้รับความนิยมอย่างสูง วิธีนี้เหมาะส าหรับการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อ แก้ปัญหา 3.2.1 ขั้นตอนระเบียบวิธีการกา จดัแบบเกาส์ 3.2.1.1 การก าจัดไปข้างหน้า เป็นการจัดระบบสมการให้อยู่ในรูปของเมตริกซ์จัตุรัสสามเหลี่ยมบน 3 2 1 3 2 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13 b b b x x x a a a a a a a a a 3 2 1 3 2 1 33 22 23 11 12 13 0 0 0 b b b x x x a a a a a a 3.2.1.2 การแทนค่าย้อนกลบั
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-4 เมื่อระบบสมการถูกแปลงเป็นเมตริกซ์สามเหลี่ยมบนแล้ว เห็นได้ว่า การหาค่าค าตอบนั้นท าได้ง่าย โดยการแทนค่าย้อนกลับดังสมการ 3 2 1 3 2 1 33 22 23 11 12 13 0 0 0 b b b x x x a a a a a a 33 3 3 a b x 3 2 1 3 2 1 33 22 23 11 12 13 0 0 0 b b b x x x a a a a a a 22 2 23 3 2 a b a x x 3 2 1 3 2 1 33 22 23 11 12 13 0 0 0 b b b x x x a a a a a a 11 1 12 2 13 3 2 a b a x a x x 3.2.1.3 ขนั้ตอนระเบียบวิธีการกา จดัแบบเกาสใ์นกรณีn ตัวแปร ในกรณีระบบสมการ n ตัวแปร การก าจัดไปข้างหน้ากระท าได้ดังนี้ n n n n n n n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 เราจะด าเนินการ ท าใหส้มัประสทิธใิ์นหลกั 1 ใต้แนวทแยงมีค่าเป็น 0 ทุกแถวโดย ด าเนินการที่ แถว 2 ก่อนดังนี้ โดยใช้แถว 1 หรือสมการที่ 1 เป็นหลัก หารด้วย a11 คูณด้วย 21 a แล้ว น าไปลบออกจากแถว 2 ดังนี้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-5 n n n n n n n n n n n b b a a b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 3 1 1 2 1 2 1 1 3 2 1 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 3 1 3 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 จะได้ n n n n n n n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 0 และด าเนินการแถวที่ 3 เป็นล าดับต่อไปดังนี้ ใช้แถว 1 หรือสมการที่ 1 เป็นหลัก หารด้วย a11 คูณด้วย 31 a แล้วน าไปลบออกจากแถว 3 ดังนี้ n n n n n n n n n n n b a a b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 3 1 3 1 2 1 3 2 1 1 2 3 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 3 1 3 1 1 3 1 3 2 1 2 1 1 3 1 3 1 1 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 0 จะได้ n n n n n n n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 3 3 3 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 0 0 ด าเนินการซ ้าจนถึงแถวที่ n จะได้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-6 n n n n n n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 2 1 2 3 3 2 3 3 3 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 0 0 0 เห็นได้ว่าสมาชิกทุกตัวในคอลัมน์ที่ 1 ใต้แนวทแยงมีค่าเป็น 0 แล้ว ต่อไปจึงเลื่อนไปด าเนินการ กับคอลัมน์ที่ 2 เริ่มที่แถวที่ 3 ใช้สมการที่ 2 เป็นหลัก หารด้วย 22 a คูณด้วย 32 a แล้วน าไป ลบออกจากสมการของแถวที่3 ดังนี้ n n n n n n n n n n b a a b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2 2 3 2 3 2 2 1 3 2 1 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 0 0 0 จะได้ n n n n n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a 3 2 1 3 2 1 3 3 3 3 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 0 0 0 0 0 ด าเนินการซ ้าจนได้ระบบสมการดังนี้ n n n n n n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a 1 3 2 1 3 2 1 1 3 3 3 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 0 0 0 0 0 0 และท าการแทนค่าย้อนกลับ จะได้ nn n n n n a b x 1 1
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-7 และ ii i n j i j ij i i i i a b a x x 1 1 1 1 3.2.2 การปรบัปรงุระเบียบวิธีการกา จดัแบบเกาส์ แม้วิธีการก าจัดแบบเกาส์เป็นวิธีที่ง่าย ตรงไปตรงมา สามารถประดิษฐ์ โปรแกรมคอมพิวเตอร์ได้ง่าย แต่วิธีนี้ก็ยังมีข้อด้อยที่ต้องปรับปรุงบางประการ ปัญหาที่เจอคือ ปัญหาจากการหารด้วย 0 ในขั้นตอนการก าจัดไปข้างหน้า และปัญหาการขยายของความ ผิดพลาดจากการปัดเศษ ท าให้เมื่อด าเนินการวิธีการก าจัดแบบเกาส์จ าเป็นต้องมีการปรับปรุง ดังนี้ 3.2.2.1 การเลือกตัวหลัก(Pivoting) จากกระบวนการก าจัดไปข้างหน้าเมื่อใดที่ค่าของสมาชิกในแนวทะแยงมีค่าเป็น 0 การก าจัดไปข้างหน้าจะด าเนินการต่อไปไม่ได้ หรือแม้ไม่เท่ากับ 0 แต่ถ้ามีขนาดน้อยมาก ก็ จะท าให้ความผิดพลาดขยายขนาดได้ ดังนั้นวิธีแก้ง่าย ๆ คือจัดล าดับสมการใหม่ เพื่อให้ค่าของ สมาชิกในแนวทะแยงมีค่าไม่เท่ากับ 0 หรือใกล้เคียง 0 3.2.2.2 การจัดสเกล (Scaling) บางปัญหาค่าของสมาชิกในแนวทะแยงมีค่าไม่เท่ากับ 0 หรือใกล้เคียง 0 แต่ ปรากฏว่าบางเทอมอาจมคี่าสมัประสทิธติ์่างกนัมาก ๆ เมอ่ืน าค่านนั้หารยาวตลอดทงั้สมการ จะกลายเป็นว่าสมาชิกในแนวทะแยงนั้น มีค่าใกล้เคียง 0 เมื่อประสบปัญหาเช่นนี้ จ าเป็นต้อง หารสมการดว้ยสมัประสทิธสิ์งูสุดของสมการนัน้เสยีก่อนทา การเลอืกตวัหลกั ตวัอย่างที่3.2 จงใช้ระเบียบวิธีการก าจัดแบบเกาส์เพื่อแก้ระบบสมการ 400 400 400 0 2 4 1 4 2 4 4 0 3 2 1 x x x วิธีทา กระบวนการก าจัดไปข้างหน้า
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-8 400 4 1 400 400 400 0 2 4 4 1 2 0 4 1 4 4 4 1 1 4 4 4 0 3 2 1 x x x จะได้ 400 500 400 0 2 4 0 3 2 4 4 0 3 2 1 x x x และจะได้ 3 2 400 500 500 400 3 2 4 2 3 2 0 2 3 0 3 2 4 4 0 3 2 1 x x x ท าให้ได้ 3 2,200 500 400 3 8 0 0 0 3 2 4 4 0 3 2 1 x x x ท าการแทนค่าย้อนกลับได้ดังนี้ 275 8 3 3 2 200 3 , x 350 3 500 2 275 2 x
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-9 450 4 400 4 350 1 x ดังนั้นค าตอบของระบบสมการตามโจทย์คือ 275 350 450 3 2 1 x x x Ans 3.3 ระเบียบวิธีการทา ซา ้แบบยาโคบี นักศึกษาจะเห็นได้ว่าระเบียบวิธีที่ได้ศึกษามาข้างต้น ล้วนใช้วิธีการแก้ระบบสมการเชิง เส้นเพื่อหาค าตอบแบบแม่นตรงทั้งสิ้น จึงเรียกระเบียบวิธีต่างๆที่ผ่านมาว่าเป็นระเบียบวิธี คณิตศาสตร์ (mathematic method) ข้อเสียของวิธีดังกล่าวคือขั้นตอนที่ยุ่งยากในการประดิษฐ์ โปรแกรมคอมพิวเตอร์ และง่ายต่อการก่อให้เกิดความผิดพลาดจากการปัดเศษในขณะท าการ ค านวณโดยเฉพาะระบบสมการขนาดใหญ่ ในส่วนต่อไปจะเป็นการศึกษาระเบียบวิธีแก้ระบบเชิงเส้นด้วยระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (numeric method) ในรูปแบบวิธีการท าซ ้า (Iterative Method) โดยระเบียบวิธีการท าซ ้าใน รูปแบบที่ง่ายที่สุดก่อนที่เรียกกันว่าระเบียบวิธีการท าซ ้าแบบยาโคบี (Jacobi Iteration Method) ระเบียบวิธีการท าซ ้าแบบยาโคบีนี้นับว่าคล้ายกันกับวิธีการท าซ ้าแบบหนึ่งจุดมาก โดยจะท าการ แปลงสมการให้อยู่ในรูปของสมการที่มีตัวไม่ทราบค่าล าดับถัดไปอยู่ซ้ายมือ อาศัยการสมมุติค่า เริ่มต้นและการท าซ ้าเพื่อปรับปรุงค่าค าตอบ ยกตัวอย่าง เช่น ระบบสมการที่มีสามสมการสาม ตัวแปร 3 2 1 3 2 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13 b b b x x x a a a a a a a a a จะท าการสมมุติค่าเริ่มต้นและท าซ ้าหาค่าค าตอบได้จากสมการ 11 1 1 12 2 13 3 1 a b a x a x x k k k 22 1 2 21 1 23 3 2 a b a x a x x k k k 33 1 3 31 1 32 2 3 a b a x a x x k k k
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-10 ส าหรับเกณฑ์การลู่เข้า (Convergence Criteria) ท าได้โดยคิดจากเปอร์เซ็นต์ความ เปลี่ยนแปลงของค่า k i x ของแต่ละตัวแปร แล้วพิจารณาตัวที่มากที่สุดในรอบนั้น ๆ ดังสมการ | | โดย S แทนค่าความผิดพลาดที่ยอมรับได้เพื่อหยุดการค านวณ(Stopping Tolerance) ปกตินิยม ใช้ค่าเท่ากับ 0.05% ตวัอย่างที่3.3 จงใช้ระเบียบวิธีการท าซ ้าแบบยาโคบีเพื่อแก้ระบบสมการ 400 400 400 0 2 4 1 4 2 4 4 0 3 2 1 x x x โดยก าหนดค่าเริ่มต้นให้ x1 = x 2 = x3 = 100 และใช้เกณฑ์การลู่เข้า S 0.005% วิธีทา ใช้วิธีระเบียบวิธีการท าซ ้าแบบยาโคบี เริ่มต้นโดยเขียนให้อยู่ในรูปสมการเพื่อการท าซ ้า แบบยาโคบีได้ดังนี้ 2 100 4 2 100 100 1 2 3 1 1 3 2 2 1 1 k k k k k k k x x x x x x x แทนค่าเริ่มต้นในสมการจะได้ 150 2 100 100 175 2 100 4 100 100 100 100 200 1 3 1 2 1 1 x x x