วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-11 น าค่าที่ได้ไปแทนในรอบต่อไปจะได้ 187 5 2 175 100 225 2 150 4 200 100 100 175 275 2 3 2 2 2 1 . x x x ด าเนินการท าซ ้าไปจนกว่าจะเป็นตามเงื่อนไขการลู่เข้า ได้ผลดังตาราง รอบการท าซ ้า (k) x1 x2 x3 Tolerance 0 100.00 100.00 100.00 1 200.00 175.00 150.00 50.0000% 2 275.00 225.00 187.50 27.2727% 3 325.00 262.50 212.50 15.3846% 4 362.50 287.50 231.25 10.3448% 5 387.50 306.25 243.75 6.4516% 6 406.25 318.75 253.13 4.6154% 7 418.75 328.13 259.38 2.9851% 8 428.13 334.38 264.06 2.1898% 9 434.38 339.06 267.19 1.4388% 10 439.06 342.19 269.53 1.0676% 11 442.19 344.53 271.09 0.7067% 12 444.53 346.09 272.27 0.5272% 13 446.09 347.27 273.05 0.3503% 14 447.27 348.05 273.63 0.2620% 15 448.05 348.63 274.02 0.1744% 16 448.63 349.02 274.32 0.1306% 17 449.02 349.32 274.51 0.0870%
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-12 รอบการท าซ ้า (k) x1 x2 x3 Tolerance 18 449.32 349.51 274.66 0.0652% 19 449.51 349.66 274.76 0.0434% 20 449.66 349.76 274.83 0.0326% 21 449.76 349.83 274.88 0.0217% 22 449.83 349.88 274.91 0.0163% 23 449.88 349.91 274.94 0.0109% 24 449.91 349.94 274.96 0.0081% 25 449.94 349.96 274.97 0.0054% 26 449.96 349.97 274.98 0.0041% ดังนั้นค าตอบของระบบสมการ คือ 274 98 349 97 449 96 3 2 1 . . . x x x Ans 3.4 ระเบียบวิธีการทา ซา ้แบบเกาส-์ไซเดล ระเบียบวิธีการท าซ ้าแบบเกาส์-ไซเดลคล้ายกับวิธีการท าซ ้าแบบยาโคบี แต่ถูกดัดแปลง เพื่อเร่งความเร็วในการลู่เข้าสู่ค าตอบให้เร็วขึ้น หลักการส าคัญคือเมื่อค านวณค่าค าตอบใหม่ จากสมการย่อยต่างๆ ได้ ก็จะใช้ค่าค าตอบที่ได้ใหม่ทันที ในรอบนั้น ๆ ได้เลยไม่ต้องรอรอบการ ค านวณใหม่ กล่าวคือถ้าสมการอยู่ในรูป 3 2 1 3 2 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13 b b b x x x a a a a a a a a a จะท าการสมมุติค่าเริ่มต้นและท าซ ้า หาค่าค าตอบได้จากสมการ
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-13 11 1 1 12 2 13 3 1 a b a x a x x k k k 22 23 3 1 1 2 21 1 2 a b a x a x x k k k 33 1 32 2 1 1 3 31 1 3 a b a x a x x k k k ส าหรับเกณฑ์การลู่เข้า (Convergence Criteria) ท าได้โดยคิดจากความเปลี่ยนแปลง ของค่า k i x ของแต่ละตัวแปรเช่นเดียวกันกับระเบียบวิธีการท าซ ้าแบบยาโคบี ตวัอย่างที่3.4จงใช้ระเบียบวิธีการท าซ ้าแบบเกาส์-ไซเดลเพื่อแก้ระบบสมการ 400 400 400 0 2 4 1 4 2 4 4 0 3 2 1 x x x โดยก าหนดค่าเริ่มต้น x1 = x 2 = x3 = 100 และใช้เกณฑ์การลู่เข้า S 0.005% วิธีทา ใช้วิธีระเบียบวิธีการท าซ ้าแบบเกาส์-ไซเดล เริ่มต้นโดยเขียนให้อยู่ในรูปสมการเพื่อการ ท าซ ้าแบบเกาส์-ไซเดลได้ดังนี้ 2 100 4 2 100 100 1 1 2 3 3 1 1 1 2 2 1 1 k k k k k k k x x x x x x x แทนค่าเริ่มต้นในสมการจะได้ 200 2 200 100 200 2 100 4 200 100 100 100 200 1 3 1 2 1 1 x x x น าค่าที่ได้ไปแทนในรอบต่อไปจะได้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-14 237 5 2 275 100 275 2 200 4 300 100 100 200 300 2 3 2 2 2 1 . x x x ด าเนินการท าซ ้าไปจนกว่าจะเป็นตามเงื่อนไขการลู่เข้า ได้ผลดังตาราง รอบการท าซ ้า (k) x1 x2 x3 Tolerance 0 100.00 100.00 100.00 1 200.00 200.00 200.00 50.0000% 2 300.00 275.00 237.50 33.3333% 3 375.00 312.50 256.25 20.0000% 4 412.50 331.25 265.63 9.0909% 5 431.25 340.63 270.31 4.3478% 6 440.63 345.31 272.66 2.1277% 7 445.31 347.66 273.83 1.0526% 8 447.66 348.83 274.41 0.5236% 9 448.83 349.41 274.71 0.2611% 10 449.41 349.71 274.85 0.1304% 11 449.71 349.85 274.93 0.0651% 12 449.85 349.93 274.96 0.0326% 13 449.93 349.96 274.98 0.0163% 14 449.96 349.98 274.99 0.0081% 15 449.98 349.99 275.00 0.0041% ดังนั้นค าตอบของระบบสมการ คือ 275 349.99 449.98 3 2 1 x x x Ans
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-15 3.5 ระเบียบวิธีการผอ่นปรนเกินสืบเนื่อง ระเบียบวิธีการผ่อนปรนเกินสืบเนื่อง(Successive Over-Relaxation Method)จะคล้าย กับระเบียบวิธีการท าซ ้าแบบเกาส์-ไซ แต่ถูกดัดแปลงเพื่อเร่งความเร็วในการลู่เข้าให้เร็วขึ้น โดย การถ่วงน ้าหนักค่าที่ค านวณได้ใหม่กับค่าเดิมในขั้นตอนการปรับแก้ค่า ดังสมการ k i k i k xi x x 1 1 1 * เมื่อ คือค่าตัวประกอบน ้าหนัก(Weighing Factor) มีไว้เพื่อปรับความเร็วในการลู่เข้า ปกติ แล้วค่าของ มีค่าระหว่าง 0-2 ถ้า 1 จะเป็นวิธีการท าซ ้าของเกาส์-ไซเดล ถ้าค่า 1,2 กรณีเช่นนี้จะเรียกว่าการผ่อนปรนเกิน(Over-Relaxation) จะพบว่าการ ให้ค่าตัวประกอบน ้าหนักมีค่ามากกว่า 1 ผลที่เกิดขึ้นคือการเพิ่มค่าปรับแก้ ดังนั้นส่งผลให้การ ปรับแก้เป็นไปอย่างรวดเร็ว จะท าให้การลู่เข้าเป็นไปโดยรวดเร็วมากขึ้น แต่จะเกิดการแกว่งของ ค าตอบที่รุนแรงขึ้น บางกรณีถึงขั้นท าให้การท าซ ้าเกิดการลู่ออก(Divergence) ได้ กรณีค่า 0,1 กรณีเช่นนี้จะเรียกว่าการผ่อนปรนต ่า(Under-Relaxation) จะพบว่า การแก่วงของค าตอบจากการท าซ ้าจะเป็นไปโดยราบเรียบ ลดการแกว่งของค าตอบในการท าซ ้า ได้ดี ในบางปัญหาที่ลู่ออก ถ้าลดค่า อาจส่งผลให้เกิดการลู่เข้า(Convergence)ได้ ส าหรับเกณฑ์การลู่เข้า (Convergence Criteria) ท าได้โดยติดตามเปอร์เซ็นต์ความ เปลี่ยนแปลงของค่า k i x ของแต่ละตัวแปรเช่นเดียวกันกับระเบียบวิธีการท าซ ้าแบบยาโคบี ตวัอย่างที่3.5จงใช้ระเบียบวิธีการผ่อนปรนเกินสืบเนื่อง เพื่อแก้ระบบสมการ 400 400 400 0 2 4 1 4 2 4 4 0 3 2 1 x x x โดยก าหนดค่าเริ่มต้นให้เท่ากับ x1 = x 2 = x3 = 100 และใช้เกณฑ์การลู่เข้า S 0.005% วิธีทา ใช้วิธีระเบียบวิธีการผ่อนปรนเกินสืบเนื่อง เริ่มต้นโดยเขียนให้อยู่ในรูปสมการเพื่อการ ท าซ ้าแบบเกาส์-ไซเดล โดยในครั้งแรกก าหนด 1.2 ได้ดังนี้ สมการปรับแก้ส าหรับตัวแปร x1 100 2 100 100 200 1 1 k k x x * 1 1 12 200 1 1 2 100 220 1 1 1 1 . ( ) ( . )(( ) * k k k x x x
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-16 สมการปรับแก้ส าหรับตัวแปร x2 205 2 100 4 220 100 4 2 100 3 1 1 1 2 k k k x x x * 1 2 12 205 1 12 100 226 1 2 1 2 . ( ) ( . )( ) * k k k x x x สมการปรับแก้ส าหรับตัวแปร x3 213 2 226 100 2 100 1 1 2 3 k k x x * 1 3 1 2 213 1 1 2 100 235 6 1 3 1 3 . ( ) ( . )( ) . * k k k x x x ท าการการค านวณโดยค่าเริ่มต้น และท าการท าซ ้า ได้ผลดังตาราง รอบการท าซ ้า (k) x'1 x'2 x'3 x1 x2 x3 Tolerance 0 100.00 100.00 100.00 1 200.00 205.00 213.00 220.00 226.00 235.60 57.5552% 2 326.00 304.60 260.16 347.20 320.32 265.07 36.6359% 3 420.32 341.27 272.73 434.94 345.46 274.26 20.1736% 4 445.46 349.02 274.87 447.57 349.74 274.99 2.8202% 5 449.74 350.04 275.05 450.17 350.10 275.06 0.5782% 6 450.10 350.05 275.02 450.08 350.04 275.01 0.0193% 7 450.04 350.01 275.00 450.03 350.01 275.00 0.0109% 8 450.01 350.00 275.00 450.00 350.00 275.00 0.0064% 9 450.00 350.00 275.00 450.00 350.00 275.00 0.0009% ดังนั้นค าตอบของระบบสมการตามโจทย์คือ 275 350 450 3 2 1 x x x Ans ลองพิจารณาความเร็วในการลู่เข้าปัญหาที่ 3.5 ในกรณีค่าตัวประกอบน ้าหนักต่าง ๆ โดยทดลอง เปลี่ยนแปลงค่าตัวประกอบน ้าหนักเพื่อพิจารณาความเร็วในการลู่เข้า ได้ผลดังตาราง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-17 รอบการท าซ ้า (k) Tolerance = 1.5 = 1.2 = 1 = 0.7 = 0.5 0 1 66.8394% 57.5552% 50.0000% 41.1765% 33.3333% 2 41.6058% 36.6359% 33.3333% 28.0652% 23.8095% 3 20.6372% 20.1736% 20.0000% 19.0868% 17.5123% 4 21.0740% 2.8202% 9.0909% 12.8169% 13.1331% 5 3.7752% 0.5782% 4.3478% 8.6707% 10.0022% 6 2.6664% 0.0193% 2.1277% 5.9420% 7.7164% 7 2.3571% 0.0109% 1.0526% 4.1223% 6.0175% 8 0.9496% 0.0064% 0.5236% 2.8883% 4.7352% 9 0.2756% 0.0009% 0.2611% 2.0389% 3.7542% 10 0.1444% 0.1304% 1.4473% 2.9948% 11 0.1766% 0.0651% 1.0314% 2.4012% 12 0.0366% 0.0326% 0.7372% 1.9332% 13 0.0203% 0.0163% 0.5280% 1.5618% 14 0.0091% 0.0081% 0.3787% 1.2652% 15 0.0108% 0.0041% 0.2719% 1.0273% 16 0.0020% 0.1954% 0.8357% 17 0.1405% 0.6808% 18 0.1011% 0.5553% 19 0.0727% 0.4534% 20 0.0523% 0.3705% ซึ่งจากตารางจะเห็นได้ว่าค่าตัวประกอบน ้าหนักเท่ากับ 1.2 จะท าให้เกิดการท าซ ้าเป็นจ านวน รอบที่น้อยที่สุด ซึ่งจากตารางสามารถพล็อตกราฟความสัมพันธ์ของค่าตัวประกอบน ้าหนักกับ จ านวนรอบการท าซ ้าได้ดังกราฟ
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-18 ร์ จากกราฟเห็นได้ว่าการเลือกใช้ค่าตัวประกอบน ้าหนักนั้นจะไม่มีกฎแน่นอน ตายตัว ค่าตัว ประกอบน ้าหนักที่มาก ไม่ได้ส่งผลให้การลู่เข้าเร็วขึ้นเสมอไป ในทางกลับกัน ตัวประกอบ น ้าหนักที่มีค่าน้อยก็ใช่ว่าไม่ดีเสมอไป บางปัญหาที่ไม่ลู่เข้า เราอาจปรับแก้ได้โดยการใช้ตัว ประกอบน ้าหนักที่มีค่าน้อย ๆ ก็ได้ ซึ่งการใช้ตัวประกอบน ้าหนักมีค่าน้อย ๆ นี้ จะพบมากในวิธี ปริมาตรสืบเนื่อง(Finite Volume Method) 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1.5 1.2 1 0.7 0.5
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 3-19 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 3 1. จงแสดงการแก้ระบบสมการ [ ]{ } { } ด้วยวิธีดงัต่อไปนี้ 1.1 กฎของคราเมอร์ 1.2 ระเบียบวิธีการก าจัดแบบเกาส์ 1.3 ระเบียบวธิีการทา ซ้า แบบยาโคบี 1.4 ระเบียบวธิีการทา ซ้า แบบเกาส์-ไซเดล 1.5 ระเบียบวธิีการผอ่นปรนเกินสืบเนื่อง 2. จงแสดงการแก้ระบบสมการ ด้วยวิธีดงัต่อไปนี้ 2.1 กฎของคราเมอร์ 2.2 ระเบียบวิธีการก าจัดแบบเกาส์ 2.3 ระเบียบวธิีการทา ซ้า แบบยาโคบี 2.4 ระเบียบวธิีการทา ซ้า แบบเกาส์-ไซเดล 2.5 ระเบียบวธิีการผอ่นปรนเกินสืบเนื่อง 3. จงแสดงการแก้ระบบสมการ [ ]{ } { } ด้วยวิธีดงัต่อไปนี้ 3.1 กฎของคราเมอร์ 3.2 ระเบียบวิธีการก าจัดแบบเกาส์ 3.3 ระเบียบวธิีการทา ซ้า แบบยาโคบี 3.4 ระเบียบวธิีการทา ซ้า แบบเกาส์-ไซเดล 3.5 ระเบียบวธิีการผอ่นปรนเกินสืบเนื่อง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-1 บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง ในการค านวณเชิงวิศวกรรมมักจะเจอปัญหาที่ต้องการค่าของข้อมูลที่อยู่ในรูปตาราง โดยในบางครั้งค่าที่ต้องการไม่ตรงกับค่าที่มีในตาราง ท าให้ต้องมีการประมาณค่าที่ต้องการ ออกมาจากข้อมูลที่มีอยู่ ในการประมาณค่าดังรูปที่ 4.1 ถ้าการประมาณค่าเป็นการประมาณ ในช่วงที่ทราบข้อมูลจะเรียกว่าการประมาณค่าในช่วง(Interpolation) และถ้าการประมาณค่านั้น เป็นการประมาณค่าออกไปนอกช่วงข้อมูลที่มีอยู่จะเรียกว่าการประมาณค่านอกช่วง (Extrapolation) รูปที่ 4.1 แสดงการประมาณค่าในช่วงและการประมาณค่านอกช่วง ตัวอย่างการประมาณค่าในช่วง เช่น การใช้งานตารางเทอร์โมไดนามิกตารางที่ 4.1 เป็นการหาค่าคุณสมบัติของไอร้อนยวดยิ่ง หากต้องการทราบค่าเอนทาลปี h ที่ความดัน 0.06 bar อุณหภูมิ 115 0 C นักศึกษาต้องท าการประมาณค่าในช่วงเนื่องจากค่าในตารางไม่ตรงกับค่าที่ ต้องการ ตารางที่ 4.1 แสดงตารางไอร้อนยวดยิ่ง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-2 การประมาณค่านั้นสามารถท าได้หลายวิธี เช่น ระเบียบวิธีผลต่างจากการแบ่งย่อยของ นิวตัน(Newton's divided-differences)ระเบียบวิธีฟังก์ชันพหุนามของลากรองจ์(Lagrange polynomials) และระเบียบวิธีการประมาณค่าในช่วงด้วยเส้นโค้ง(Spline interpolation)ในแต่ละ ระเบียบวิธีก็มีการแบ่งย่อยลงไปอีกว่าจะใช้อันดับเท่าใดในการพิจารณา จะเป็นเชิงเส้นหรือ ก าลังสองหรือมากกว่า แต่ไม่ว่าจะด้วยวิธีใด หลักการส าคัญก็คือฟังชันก์หรือโพลิโนเมียล ( P x n ) ที่สร้างขึ้นนั้นต้องทับข้อมูลทุกจุดเสมอดังแสดงในรูปที่ 4.2 รูปที่ 4.2 แสดงโพลิโนเมียลที่สร้างขึ้นโดยวิธีผลต่างจากการแบ่งย่อยของนิวตัน ส าหรับในบทนี้เลือกระเบียบวิธีผลต่างจากการแบ่งย่อยของนิวตันมาใช้ในการประมาณ ค่าในช่วงและนอกช่วง โดยพิจารณทั้งเป็นเชิงเส้น ก าลังสองและก าลัง n ดังนี้ 4.1 การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น ใช้สมการเส้นตรงเพื่อประมาณค่า โดยสมมุติสมการที่ต้องการอยู่ในรูป 0 1 0 f x C C x x สิ่งที่ต้องด าเนินการคือหาค่าคงที่ต่าง ๆ แทนในสมการเมื่อสมการต้องผ่านจุดข้อมูล ดังนั้นต้อง ผ่านจุด 0 0 x , f x และจุด 1 1 x , f x ตามรูปที่ 4.3
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-3 รูปที่ 4.3 แสดงโพลิโนเมียลที่สร้างขึ้นโดยวิธีถดถอยก าลังสองน้อยที่สุด เนื่องจากฟังชันก์ผ่านจุด 0 x0 x , f ดังนั้นจะแทนค่านี้เพื่อหาค่าคงที่ในสมการ จะได้ 0 0 1 0 0 C0 f x C C x x 0 0 C f x และแทนค่าจุด 1 x1 x ,f จะได้ 1 x0 C1 x1 x0 f x f 1 0 1 0 1 0 1 f x , x x x f x f x C น าค่าคงที่ที่ได้ไปแทนในสมการ จะได้สมการการประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นมีค่าเท่ากับ 0 1 0 0 f x f x f x , x x x
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-4 การหาค่า x1 x0 f , เพื่อแทนในสมการอาจก่อนให้เกิดความสับสนอยู่บ้าง ในทางปฏิบัติ จะใช้วิธีการใช้ตารางช่วยค านวณ ดังรูปที่ 4.4 รูปที่ 4.4 ตารางช่วยค านวณค่า 1 0 f x , x ของวิธีผลต่างจากการแบ่งย่อยของนิวตัน ตวัอย่างที่4.1จากข้อมูลฟังก์ชันเบสเซลในตาราง จงประมาณค่าฟังก์ชันเบสเซลที่ x 3.2 โดยสมมุติให้ใช้วิธีการแบ่งย่อยของนิวตันเชิงเส้นในการประมาณค่า ข้อมูลที่ให้ใช้คือที่ x 2 และ x 4 i x J0 (x) 0 2 0.2239 3.2 -0.3202 1 4 -0.3971 วิธีทา สร้างฟังก์ชันจากวิธการแบ่งย่อยของนิวตันในช่วง x 2 และ x 4 ฟังก์ชันจะอยู่ในรูป 2 , 2 f x f f x1 x0 x และท าการค่า 1 0 f x ,x ได้จากสมการ 0 3105 2 0 3971 0 2239 4 2 4 2 1 0 . f f . . f x ,x
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-5 หรือเพื่อความสะดวกจะเขียนเป็นตารางช่วยค านวณค่า 1 0 f x ,x ได้ดังนี้ i x J0 (x) ผลต่างจากการแบ่งย่อยของนิวตนั ครั้งที่ 1 0 2 0.2239 -0.310500 1 4 -0.3971 แทนค่าที่ได้กลับในสมการจะได้ สมการการประมาณภายในที่ได้จากวิธีการแบ่งย่อยของนิวตัน คือ f x 0.22390.3105x 2 แทนค่า ในสมการ จะได้ f 3.2 0.1487 คิดเป็นค่าความผิดพลาดเท่ากับ x f(x) Error 3.2 -0.1487 53.5603% Ans 4.2 การประมาณค่าในช่วงก าลังสอง สมมุติให้โพลิโนเมียลที่ต้องการอยู่ในรูปก าลังสอง 0 1 0 2 0 1 f x C C x x C x x x x สิ่งที่ต้องด าเนินการคือหาค่าคงที่ต่าง ๆ ในสมการเมื่อสมการต้องผ่านทุกจุดข้อมูล ดังนั้นต้อง ผ่านจุด 0 0 x , f x , จุด 1 1 x , f x และจุด 2 2 x , f x ตามรูปที่ 4.5
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-6 รูปที่ 4.5 แสดงโพลิโนเมียลที่สร้างขึ้นแบบก าลังสอง เนื่องจากฟังชันก์ผ่านจุด 0 0 x , f x ดังนั้นจะแทนค่านี้เพื่อหาค่าคงที่ในสมการ จะได้ 0 C0 0 0 C0 f x 0 0 C f x และแทนค่าจุด 1 1 x , f x จะได้ fx1 fx0 C1 x1 x0 0 1 0 1 0 1 0 1 f x , x x x f x f x C และสุดท้ายแทนค่าจุด 2 2 x , f x จะได้ 2 0 2 2 0 2 1 1 0 1 0 2 0 x x C x x x x x x f x f x f x f x
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-7 2 0 1 0 1 0 2 1 2 1 2 x x x x f x f x x x f x f x C 2 1 0 2 0 2 1 1 0 2 , , , , f x x x x x f x x f x x C น าค่าคงที่ที่ได้ไปแทนในสมการ จะได้สมการการประมาณค่าในช่วงก าลังสองมีค่าเท่ากับ 0 1 0 0 2 1 0 0 1 f x f x f x , x x x f x , x , x x x x x ตารางช่วยค านวณค่า 1 0 f x ,x และ 2 1 0 f x ,x ,x แสดงดังรูปที่ 4.6 รูปที่ 4.6 ตารางช่วยค านวณค่า 1 0 f x ,x และ 2 1 0 f x ,x ,x ของวิธีผลต่างจากการแบ่งย่อยของ นิวตัน ตวัอย่างที่4.2 จากข้อมูลฟังก์ชันเบสเซลในตาราง จงประมาณค่าฟังก์ชันเบสเซลที่ x3.2 โดยสมมุติให้ใช้วิธีการแบ่งย่อยของนิวตันก าลังสองในการประมาณค่า ข้อมูลที่ให้ใช้คือที่ x 2, x 3 และ x 4
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-8 i x J0(x) 0 2 0.2239 1 3 -0.2601 3.2 -0.3202 1 4 -0.3971 วิธีทา สร้างฟังก์ชันจากวิธีการแบ่งย่อยของนิวตัน ฟังก์ชันจะอยู่ในรูป 0 1 0 0 2 1 0 0 1 f x f x f x ,x x x f x ,x ,x x x x x ค านวณค่า 1 0 f x ,x และ 2 1 0 f x ,x ,x ได้ดังตาราง i x J0 (x) ผลต่างจากการแบ่งย่อยของนิวตนั ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 0 2 0.2239 -0.484000 0.173500 1 3 -0.2601 -0.137000 2 4 -0.3971 แทนค่าที่ได้ในสมการ f x 0.22390.484x 2 0.1735x 2x 3 ดังนั้น f 3.2 0.31526 คิดเป็นค่าความผิดพลาดเท่ากับ x f(x) Error 3.2 -0.31526 1.5428% Ans
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-9 4.3 การประมาณค่าในช่วงฟังชันก์พหุนาม ถ้าสังเกตุจากโพลิโนเมียลเชิงเส้นและก าลังสองที่ได้การวิธีผลต่างจากการแบ่งย่อยของ นิวตัน คือ 0 1 0 0 f x f x f x , x x x 0 1 0 0 2 1 0 0 1 f x f x f x , x x x f x , x , x x x x x ดังนั้นจะได้สมการอันดับ n จะอยู่ในรูป , , , ... f x f x0 f x1 x0 x x0 f x2 x1 x0 x x0 x x1 1 0 0 1 1 , ,..., ... n n n f x x x x x x x x x โดยค่าผลต่างจากการแบ่งย่อย 1 0 f x , x ,..., x n nสามารถสร้างตารางช่วยค านวณ ดังตัวอย่าง ที่ 4.3 ซึ่งจะเป็นการสร้างประมาณค่าด้วยวิธีการแบ่งย่อยของนิวตันก าลัง 3 ตวัอย่างที่4.3 จากข้อมูลฟังก์ชันเบสเซลในตาราง จงประมาณค่าฟังก์ชันเบสเซลที่ x3.2 โดยสมมุติให้ใช้วิธีการแบ่งย่อยของนิวตันก าลัง 3 ในการประมาณค่า ข้อมูลที่ให้ใช้ดังตาราง i x J0(x) 0 2 0.2239 1 2.6 -0.0968 3.2 -0.3202 2 3.4 -0.3643 3 4 -0.03971 วิธีทา สร้างฟังก์ชันจากวิธีการแบ่งย่อยของนิวตัน ฟังก์ชันจะอยู่ในรูป f x f x0 f x1 , x0 x x0 f x2 , x1 , x0 x x0 x x1 3 2 1 0 0 1 2 f x , x , x , x x x x x x x ค านวณค่า 1 0 f x , x , 2 1 0 f x ,x ,x และ 3 2 1 0 f x ,x ,x ,x ได้ดังตาราง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-10 i x J0 (x) ผลต่างจากการแบ่งย่อย ครั้งที่ 1 ครั้งที่ 2 ครั้งที่ 3 0 2 0.2239 -0.534500 0.142946 0.028423 1 2.6 -0.0968 -0.334375 0.199792 2 3.4 -0.3643 -0.054667 3 4 -0.3971 ดังนั้นจะได้ f x 0.2239 0.5345x 2 0.142946x 2x 2.6 0.028423x 2x 2.6x 3.4 จะได้ f 3.2 0.318671 คิดเป็นค่าความผิดพลาดเท่ากับ x f(x) Error 3.2 -0.318671429 0.4774% Ans 4.4 การประมาณค่านอกช่วง ส าหรับการประมาณค่านอกช่วง จะด าเนินการเช่นเดียวกันกับการประมาณค่าในช่วงทุก ประการ เพียงแต่มีข้อพึงระวังคือ ในการประมาณค่านอกช่วงนั้นจะเกิดค่าความผิดพลาดได้มาก ถ้าเราไม่ทราบลักษณะของปัญหาหรือของสมการ ดังแสดงในรูปที่ 4.7
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-11 รูปที่ 4.7 แสดงความผิดพลาดการประมาณค่านอกช่วง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 4-12 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 4 1. จากข้อมูลตามตาราง ระหว่าง ค่าความสูงกับค่าแรงโน้มถ่วงของโลก Y(m) g(m/s2 ) 0 9.8100 10,000 9.7831 20,000 9.7485 30,000 9.7021 40,000 9.6832 จงหาค่า แรงโน้มถ่วงของโลก ที่ความสูง 13,000 34,000 และ 50,000 เมตร โดยใช้วิธีการดังต่อไปนี้ 1.1 การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น 1.2 การประมาณค่าในช่วงกา ลงัสอง 1.3 การประมาณค่าในช่วงฟังชนักพ์หุนาม 1.4 การประมาณค่านอกช่วง 2. จากข้อมูลตามตารางโลก x f(x) 0 1.00000 0.2 1.2354 0.4 1.4825 0.6 1.7926 0.8 2.345 จงหาค่า f(0.05) f(0.68) f(0.95) โดยใช้วิธีการดังต่อไปนี้ 2.1 การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น 2.2 การประมาณค่าในช่วงกา ลงัสอง 2.3 การประมาณค่าในช่วงฟังชนักพ์หุนาม 2.4 การประมาณค่านอกช่วง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-1 บทที่ 5 การถดถอยแบบก าลังสองน้อยสุด วิธีการถดถอยแบบก าลังสองน้อยสุดเป็นวิธีการสร้างสมการ เพื่อแทนความสัมพันธ์ของชุด ข้อมูลที่มีอยู่ สมการที่ได้จากวิธีนี้ส่วนมากแล้วจะเป็นสมการที่สั้นและไม่ซับซ้อน ในบทก่อนหน้านี้ที่ เป็นเรื่องการประมาณค่าในช่วงและนอกช่วง เห็นได้ว่ากราฟความสัมพันธ์ที่ได้จะต้องผ่านทุกจุดข้อมูล และยิ่งความสัมพันธ์สร้างจากชุดข้อมูลจ านวนมาก ฟังก์ชั่นที่ได้มีความซับซ้อนมากขึ้นไปด้วย กราฟที่ ได้จากวิธีก าลังสองน้อยที่สุดนั้นไม่จ าเป็นว่าต้องผ่านชุดข้อมูลทุกค่า ดังแสดงในรูปที่ 5.1เป็นกราฟ เส้นตรงซึ่งสร้างจากวิธีก าลังสองน้อยที่สุด รูปที่5.1 แสดงกราฟเส้นตรงที่สร้างขึ้นโดยวิธีถดถอยก าลังสองน้อยที่สุด หลักการส าคัญวิธีการถดถอยแบบก าลังสองน้อยสุดคือการสมมุติความสัมพันธ์ขึ้นมา โดยให้ สมการติดอยู่ในรูปสัมประสิทธิ์ต่าง ๆ ที่เป็นค่าคงที่ เช่น gx a a x 0 1 y (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) (x6,y6) (x5,y5) (x4,y4) (x7,y7)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-2 แล้วหาจึงค่าคงที่เหล่านั้นออกมาโดยให้ค่าความผิดพลาดยกก าลังสองมีค่าน้อยที่สุด ก็จะสามารถหา สัมประสิทธิ์ของสมการออกมาได้ อาจกล่าวได้ว่าการต้องก าหนดความสัมพันธ์จึงจะสมมุติสมการขึ้นมาได้เป็นข้อเด่นของวิธี แต่ ข้อเสียคือเราต้องทราบความลักษณะของความสัมพันธ์ของข้อมูลที่มีอยู่ ว่าเป็นเชิงเส้น ก าลังสอง หรือ เป็นฟังก์ชันลักษณะใด 5.1 การถดถอยเชิงเส้น สมมุติสมการเพื่อแทนชุดข้อมูลอยู่ในรูปสมการเส้นตรง รูปที่5.2 แสดงกราฟเส้นตรงที่สร้างขึ้นโดยวิธีถดถอยก าลังสองน้อยที่สุด จากรูปเห็นได้ว่า ณ ต าแหน่ง i x จะมีค่าผิดพลาดเท่ากับ i d x ดังนั้นจะได้ว่าความผิดพลาดรวมยก ก าลังสอง มีค่าเท่ากับ n i 1 2 i E d x n i 1 2 E yi g xi
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-3 n i 1 2 i 0 1 x1 E y a a ท าการหาค่าต่ าสุด โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับ 0 a จะได้ 0 a E 0 2 y a a x 1 0 n i 1 i 0 1 1 y a a x 0 n i 1 1 i n i 1 0 n i 1 i n i 1 1 i n i 1 0 i na x a y ท าการหาค่าต่ าสุด โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับ 1 a จะได้ 0 a E 1 2 y a a x x 0 i n i 1 i 0 1 1 x y a x a x 0 n i 1 2 1 i n i 1 0 i n i 1 i i n i 1 1 i i n i 1 2 0 i n i 1 i x a x a x y จากทั้งสองสมการที่ได้ สามารถยุบให้อยู่ในรูปเมตริกซ์ได้ดังนี้ n i 1 i i n i 1 i 1 0 n i 1 2 i n i 1 i n i 1 i x y y a a x x n x ซึ่งจะสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นหาค าตอบมาได้โดยไม่ยาก แต่อย่างไรก็ตามถ้าใช้กฎของครา เมอร์เพื่อหาสมการในรูปแบบสมการส าเร็จรูปก็สามารถกระท าได้ และจะได้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-4 ความสูง(m) 10 15 20 25 30 35 ความเร ็ วลม(m/s) 2.2 4.6 4.2 7.0 6.6 9.2 2 n i 1 i n i 1 2 i n i 1 i n i 1 i i n i 1 2 i n i 1 i 0 n x x y x x y x a 2 n i 1 i n i 1 2 i n i 1 i n i 1 i n i 1 i i 1 n x x n x y x y a ตัวอย่างที่ 5.1 จงแสดงการถดถอยเชิงเส้นเพื่อค านวณหาเส้นตรง ส าหรับข้อมูลความเร็วลมตาม ระดับความสูง ดังแสดงในตาราง วิธีท า สมการการถดถอยเชิงเส้นคือ gx a a x 0 1 เมื่อค่าสัมประสิทธิ์หาได้จากเมตริกซ์ n i 1 i i n i 1 i 1 0 n i 1 2 i n i 1 i n i 1 i x y y a a x x n x จากข้อมูลสามารถหาค่าผลรวมต่าง ๆ ในสมการได้ดังตาราง i xi yi Xi 2 xiyi 1 10.00 2.20 100.00 22.00 2 15.00 4.60 225.00 69.00 3 20.00 4.20 400.00 84.00 4 25.00 7.00 625.00 175.00
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-5 5 30.00 6.60 900.00 198.00 6 35.00 9.20 1,225.00 322.00 135.00 33.80 3,475.00 870.00 แทนค่าที่ได้จากตารางในเมตริกซ์จะได้ 870 33.8 a a 135 3,475 6 135 1 0 แก้สมการจะได้ 0.250286 0.001905 a a 1 0 ดังนั้นสมการการถดถอยเชิงเส้นคือ gx 0.001905 0.250286x Ans และถ้าน าข้อมูลทั้งหมดมาเขียนพล็อตกราฟจะได้ ดังกราฟในรูปที่ 5.3 รูปที่5.3 แสดงกราฟเส้นตรงที่สร้างขึ้นโดยวิธีถดถอยก าลังสองน้อยที่สุด y = 0.250286x + 0.001905 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 ความเร็วลม (เมตรต่อวินาที) ความสูง (เมตร)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-6 5.2 การประยุกต์การถดถอยเชิงเส้นกับข้อมูลไม่เชิงเส้น ส าหรับบางปัญหาที่ความสัมพันธ์ของข้อมูลอยู่ในรูป b y ax เห็นได้ว่าความสัมพันธ์ของข้อมูลในลักษณะนี้จะไม่เป็นเชิงเส้น แต่อย่างไรก็ตามเราสามารถ ประยุกต์ใช้วิธีการถดถอยเชิงเส้นได้ ดังนี้ log( ) log( ) b y ax log y log a blog x ถ้าให้ y log y x log x a log a 0 a b 1 จะได้ y a a x 0 1 เห็นได้ว่าเมื่อแปลงสมการโดยการใช้ลอการิทึมจะท าให้ได้สมการเชิงเส้น ซึ่งการใช้กับปัญหาจริง ที่ ต้องด าเนินการคือ Take Log ทั้งชุดข้อมูล แล้วใช้ถดถอยเชิงเส้นกับข้อมูลที่ แล้ว จะได้สมการถดถอย เชิงเส้น ต่อไปก็น าค่าคงที่ต่าง ๆ ที่ได้กลับไปแทนโดยอาศัยสมการ 0 10a a 1 b a สุดท้ายก็สรุปได้ว่าสมการที่ได้คือ b y ax
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-7 ตัวอย่างที่ 5.2จากข้อมูลที่ก าหนด พบว่าลักษณะความสัมพันธ์อยู่ในรูปของสมการ b y ax จง ประยุกต์ใช้วิธีการถดถอยเชิงเส้นในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของสมการดังกล่าว วิธีท า สมการความสัมพันธ์ของปัญหาคือ b y ax หลักการคือ ท าการแปลงข้อมูลเพื่อให้การกระจายตัวของข้อมูลกลายเป็นเชิงเส้นโดยด าเนินการ Take Log ทั้งสองข้างของสมการ และถ้าก าหนดให้ y log y x log x a log a 0 a b 1 จะได้ y a a x 0 1 ดังนั้นในขั้นแรกจะ Take Log ข้อมูล และหาข้อมูลต่าง ๆ ได้ดังตาราง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-8 สมการถดถอยเชิงเส้นอยู่ในรูป y a a x 0 1 ค่าสัมประสิทธิ์หาได้จากเมตริกซ์ n i i i n i i n i i n i i n i i x y y a a x x n x 1 1 1 0 1 2 1 1 จากค่าต่าง ๆ ในตาราง แทนค่าที่ได้จากตารางในเมตริกซ์จะได้ 0.2955 0.648 2.0792 1.1693 5 2.0792 1 0 a a แก้สมการจะได้ 1.8543 - 0.9 1 0 a a ดังนั้น y 0.91.8543x นั่นคือ a log a 0 0.9 log a a 0.1269
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-9 และ a b 1 b 1.8543 ดังนั้นจะได้ 1.8543 y 0.1269 x Ans และถ้าน าข้อมูลทั้งหมดมาเขียนพล็อตกราฟจะได้ ดังกราฟในรูปที่ 5.4 และ 5.5 รูปที่5.4 แสดงกราฟเส้นตรงที่สร้างขึ้นโดยวิธีถดถอยก าลังสองน้อยที่สุด รูปที่5.5 แสดงกราฟเส้นตรงที่สร้างขึ้นโดยวิธีถดถอยก าลังสองน้อยที่สุด
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-10 5.3 การถดถอยแบบพหุนาม เมื่อการกระจายตัวของข้อมูลเป็นแบบไม่เป็นเชิงเส้น จะใช้วิธีการถดถอยแบบพหุนามในการ สร้างฟังก์ชันถดถอย โดยสมมุติให้สมการอยู่ในรูป m m g x a a x a x a x 2 0 1 2 รูปที่5.5 แสดงกราฟเส้นตรงที่สร้างขึ้นโดยวิธีถดถอยก าลังสองน้อยที่สุด จากรูปเห็นได้ว่า ณ ต าแหน่ง i x จะมีค่าผิดพลาดเท่ากับ i d x ดังนั้นจะได้ว่าความผิดพลาดรวมยก ก าลังสอง มีค่าเท่ากับ n i i E d x 1 2 n i i i E y g x 1 2 n i m i m E y a a x a x a x 1 2 2 0 1 2 ท าการหาค่าต่ าสุด โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับตัวไม่รู้ค่า a a a am , , , 0 1 2 ตามล าดับ เนื่องจากตัวไม่ ทราบค่ามีจ านวนมาก ดังนั้นจะแสดงบางส่วนดังนี้ หาอนุพันธ์เทียบกับ 0 a จะได้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-11 0 0 a E 0 0 1 2 2 0 1 2 0 a y a a x a x a x a E n i m i m 2 1 0 1 2 1 2 0 1 2 n i m i m y a a x a x a x 0 1 1 1 1 2 2 1 1 0 n i n i n i n i m m i i n i i i y a x a x a x a n i m i n i m i n i i n i i na x a x a x a y 1 1 2 1 2 1 1 0 หาอนุพันธ์เทียบกับ 1 a จะได้ 0 1 a E 0 1 1 2 2 0 1 2 1 a y a a x a x a x a E n i m i m 2 0 1 2 1 2 0 1 2 i n i m i m y a a x a x a x x 0 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 0 n i n i n i n i m m i i n i i i i i y x x a x a x a x a n i m i i n i m i n i i n i i n i i x a x a x a x a x y 1 1 1 2 1 3 1 1 2 0 1 โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับตัวไม่รู้ค่า a a a am , , , 0 1 2 จะได้สมการทั้งสิ้น m+1 สมการ น าสมการ เหล่านั้นมาเขียนอยู่ในรูปเมตริกซ์จะได้เมตริกซ์ซึ่งอยู่ในรูป
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-12 T 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Cp 1.00762 1.00392 1.00153 1.00000 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828 0.99849 0.99878 T 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Cp 0.99919 0.99967 1.00024 1.00091 1.00167 1.00253 1.00351 1.00461 1.00586 1.00721 n i i m i n i i i n i i i n i i n m i m i n i m i n i m i n i m i n i m i n i i n i i n i i n i m i n i i n i i n i i n i m i n i i n i i x y x y x y y a a a a x x x x x x x x x x x x n x x x 1 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 4 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 2 1 เมื่อหาค่าต่าง ๆ แทนในเมตริกซ์แล้วแก้สมการ ได้ค่าคงที่ต่าง ๆ น าไปแทนในสมการพหุนามที่สมมุติ ขึ้นมาข้างต้น จะได้ฟังก์ชันถดถอยโดยวิธีการถดถอยแบบพหุนามในการสร้าง ในรูป m m g x a a x a x a x 2 0 1 2 ตัวอย่างที่ 5.3 จากข้อมูลความสัมพันธ์ของอุณหภูมิกับค่าความร้อนจ าเพาะ(Specific Heat) ที่ ก าหนด จงประยุกต์ใช้วิธีการถดถอยพหุนามในการสร้างฟังก์ชันพหุนามอันดับสาม วิธีท า สมการพหุนามอันดับสามที่ต้องการอยู่ในรูป 3 3 2 cp a0 a1T a2T a T โดยวิธีการถดถอย ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการหาจากระบบสมการ
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-13 T Cp T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 TCp T 2 Cp T 3 Cp 0 1.00762 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 5 1.00392 2.50000E+01 1.25000E+02 6.25000E+02 3.12500E+03 1.56250E+04 5.01960E+00 2.50980E+01 1.25490E+02 10 1.00153 1.00000E+02 1.00000E+03 1.00000E+04 1.00000E+05 1.00000E+06 1.00153E+01 1.00153E+02 1.00153E+03 15 1.00000 2.25000E+02 3.37500E+03 5.06250E+04 7.59375E+05 1.13906E+07 1.50000E+01 2.25000E+02 3.37500E+03 20 0.99907 4.00000E+02 8.00000E+03 1.60000E+05 3.20000E+06 6.40000E+07 1.99814E+01 3.99628E+02 7.99256E+03 25 0.99852 6.25000E+02 1.56250E+04 3.90625E+05 9.76563E+06 2.44141E+08 2.49630E+01 6.24075E+02 1.56019E+04 30 0.99826 9.00000E+02 2.70000E+04 8.10000E+05 2.43000E+07 7.29000E+08 2.99478E+01 8.98434E+02 2.69530E+04 35 0.99818 1.22500E+03 4.28750E+04 1.50063E+06 5.25219E+07 1.83827E+09 3.49363E+01 1.22277E+03 4.27970E+04 40 0.99828 1.60000E+03 6.40000E+04 2.56000E+06 1.02400E+08 4.09600E+09 3.99312E+01 1.59725E+03 6.38899E+04 45 0.99849 2.02500E+03 9.11250E+04 4.10063E+06 1.84528E+08 8.30377E+09 4.49321E+01 2.02194E+03 9.09874E+04 50 0.99878 2.50000E+03 1.25000E+05 6.25000E+06 3.12500E+08 1.56250E+10 4.99390E+01 2.49695E+03 1.24848E+05 55 0.99919 3.02500E+03 1.66375E+05 9.15063E+06 5.03284E+08 2.76806E+10 5.49555E+01 3.02255E+03 1.66240E+05 60 0.99967 3.60000E+03 2.16000E+05 1.29600E+07 7.77600E+08 4.66560E+10 5.99802E+01 3.59881E+03 2.15929E+05 65 1.00024 4.22500E+03 2.74625E+05 1.78506E+07 1.16029E+09 7.54189E+10 6.50156E+01 4.22601E+03 2.74691E+05 70 1.00091 4.90000E+03 3.43000E+05 2.40100E+07 1.68070E+09 1.17649E+11 7.00637E+01 4.90446E+03 3.43312E+05 75 1.00167 5.62500E+03 4.21875E+05 3.16406E+07 2.37305E+09 1.77979E+11 7.51253E+01 5.63439E+03 4.22580E+05 80 1.00253 6.40000E+03 5.12000E+05 4.09600E+07 3.27680E+09 2.62144E+11 8.02024E+01 6.41619E+03 5.13295E+05 85 1.00351 7.22500E+03 6.14125E+05 5.22006E+07 4.43705E+09 3.77150E+11 8.52984E+01 7.25036E+03 6.16281E+05 90 1.00461 8.10000E+03 7.29000E+05 6.56100E+07 5.90490E+09 5.31441E+11 9.04149E+01 8.13734E+03 7.32361E+05 95 1.00586 9.02500E+03 8.57375E+05 8.14506E+07 7.73781E+09 7.35092E+11 9.55567E+01 9.07789E+03 8.62399E+05 100 1.00721 1.00000E+04 1.00000E+06 1.00000E+08 1.00000E+10 1.00000E+12 1.00721E+02 1.00721E+04 1.00721E+06 รวม 1,050 21.02805 7.17500E+04 5.51250E+06 4.51666E+08 3.85416E+10 3.38212E+12 1.05200E+03 7.19514E+04 5.53187E+06 2 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 3 2 1 0 2 1 1 6 2 1 1 5 2 1 1 4 2 1 1 3 2 1 1 5 2 1 1 4 2 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 4 2 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 21 i i i p i i i p i i i p i i p i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i T c T c T c c a a a a T T T T T T T T T T T T T T T หาค่าต่าง ๆ จากข้อมูลได้ดังตาราง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-14 แทนค่าต่าง ๆ ที่ได้จากตารางในเมตริกซ์ จะได้ 6 4 3 3 2 1 1 6 8 1 0 1 2 3 6 8 1 0 3 3 6 8 3 4 6 5.53187 10 7.19514 10 1.052 10 21.03 5.5125 10 4.51666 10 3.85416 10 3.38212 10 71.75 10 5.5125 10 4.51666 10 3.85416 10 1.05 10 71.75 10 5.5125 10 4.51666 10 21 1.05 10 7.175 10 5.5125 10 a a a a แก้เมตริกซ์ข้างต้น จะได้ 8 6 4 3 2 1 0 4.24503 10 9.85542 10 5.7136 10 1.00747 a a a a ดังนั้นจะได้สมการพหุนามที่ต้องการคือ 4 6 2 8 3 c p 1.00747 5.7136 10 T9.85542 10 T 4.24503 10 T Ans รูปที่5.5 แสดงกราฟเส้นตรงที่สร้างขึ้นโดยวิธีถดถอยก าลังสองน้อยที่สุด
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-15 5.4 การถดถอยแบบหลายเชิง ในหัวข้อก่อนหน้านี้เราได้ศึกษาการสร้างสมการถดถอยเชิงเส้นและพหุนาม ส าหรับข้อมูลที่มี ตัวแปรต้นเพียงตัวเดียวในรูป y yx ต่อไปจะเป็นการศึกษาการแก้ปัญหาที่มีหลายตัวแปรต้น เช่นในกรณีสองตัวแปรต้น 1 2 y y x , x , กรณีสามตัวแปร 1 2 3 y y x , x , x หรือแม้แต่กรณี n ตัว แปร n y y x , x , x , , x 1 2 3 5.4.1 แบบเชิงเส้น ให้สมการถดถอยเชิงเส้นแบบหลายเชิงอยู่ในรูปสมการเชิงเส้น n ตัวแปร n n y a a x a x a x 0 1 2 2 ดังนั้นจะได้ว่าความผิดพลาดรวมยกก าลังสอง มีค่าเท่ากับ n i i E d x 1 2 n i i i E y g x 1 2 n i i n n E y a a x a x a x 1 2 0 1 2 2 ท าการหาค่าต่ าสุด โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับตัวไม่รู้ค่า n a ,a ,a ,a 0 1 2 ดังนี้ 0 0 0 0 2 1 0 n a E a E a E a E
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-16 น าสมการที่ได้มาเขียนอยู่ในรูปเมตริกซ์ จะได้เมตริกซ์ในรูป n i ki i n i i i n i i i n i i k n i ki ki n i i ki n i i ki n i ki n i i ki n i i i n i i i n i i n i i ki n i i i n i i i n i i n i ki n i i n i i x y x y x y y a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 5.4.2 แบบพหุนาม เมื่อจ านวนตัวแปรต้นมีจ านวน k ตัว คือ x j k j , 1,2,3,, ซึ่งสามารถสร้าง ฟังก์ชันคือ 2 0 1 2 2 2 3 3 1 2 1 2 0 1 1 2 1 g x , x b b x b x b x c c x c x โดยที่ คือตัวไม่ทราบค่า ถ้าเราจัดพจน์ใหม่จะได้ 2 3 2 7 1 2 4 2 5 1 2 6 1 3 3 1 2 1 2 0 1 1 2 1 g x , x a a x a x a x a x a x x a x x a x x 2 2 3 11 1 2 2 2 10 1 2 9 1 2 2 8 2 a x a x x a x x a x x ดังนั้นจะได้ว่าความผิดพลาดรวมยกก าลังสอง มีค่าเท่ากับ n i i E d x 1 2 2 1 2 2 3 1 1 1 3 3 1 2 0 1 1 2 1 n i i E y a a x a x a x a x x ท าการหาค่าต่ าสุด โดยการหาอนุพันธ์เทียบกับตัวไม่รู้ค่า 0 1 2 11 a ,a ,a ,a ดังนี้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-17 0 0 0 0 11 2 1 0 a E a E a E a E น าสมการที่ได้มาเขียนอยู่ในรูปเมตริกซ์ จะได้เมตริกซ์ในรูป n i i i i n i i i n i i i n i i n i i i n i i i n i i i n i i i n i i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i x x y x y x y y a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x 1 2 2 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 4 2 6 1 1 2 2 5 1 1 2 2 4 1 1 2 2 3 1 1 2 2 5 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 2 2 4 1 1 3 1 1 2 1 1 1 1 2 2 3 1 1 2 1 1 1
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 5 การถดถอยแบบกา ลงัสองน้อยสุด) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 5-18 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 5 1. จากข้อมูลในตารางจงแสดงการหาสมการเส้นตรงโดยใช้การถดถอยแบบเชิงเส้น และ พล๊อต เปรียบเทียบกับการกระจายตัวของข้อมูลที่ก าหนดให้ x 0 1 2 3 4 5 6 7 y 1 6 10 25 35 49 56 60 2. จากข้อมูลในตารางจงแสดงการหาสมการในรูปแบบสมการเอกซ์โพเนนเชียลและสมการ ก าลัง พร้อมทั้ง พล๊อตเปรียบเทียบกับการกระจายตัวของข้อมูลที่ก าหนดให้ x 0 1 2 3 4 5 6 7 y 1.2 1.9 2.2 2.7 3.3 4.1 4.8 5.4 3. จากข้อมูลในตารางจงแสดงการหาสมการถดถอยแบบพหุนามอันดับที่ 1 พหุนามอันดับที่ 2 และ พนุนามอันดับที่ 3 พล๊อตเปรียบเทียบกับการกระจายตัวของข้อมูลที่ก าหนดให้ x 0 1 2 3 4 5 6 7 y 1.2 1.9 2.2 2.7 3.3 4.1 4.8 5.4
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-1 บทที่ 6 การหาค่าอินทิกรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข ในบทน้ีจะไดท้า การศึกษาการหาค่าอินทิกรัลและค่าอนุพนัธ์เชิงตวัเลข โดยที่เน้ือหาจะเริ่ม ที่การหาค่าอินทิกรัลเชิงตวัเลขเป็นอนัดบัแรก การอินทิกรัลถา้พิจารณาไปแลว้ก็คือการพ้ืนที่ใต้ กราฟดังรูปที่ 6.1 ซ่ึงวธิีเชิงตวัเลขในบทน้ีจะใชว้ธิีการหาพ้ืนที่ใตก้ราฟเป็นหลกั รูปที่6.1แสดงความสัมพนัธ์ระหวา่งพ้ืนที่ใตก้ราฟกบัค่าอินทิกรัล 6.1 กฎสี่เหลี่ยมคางหมู หลกัการวธิีน้ีคือการประมาณค่าพ้ืนที่ใตก้ราฟจากสี่เหลี่ยมคางหมูดงัรูปที่6.2 รูปที่6.2แสดงการประมาณค่าอินทิกรัลโดยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-2 จากรูปพ้ืนที่สี่เหลี่ยมคางหมูมีค่าเท่ากบั 2 0 1 1 0 f x f x A x x เมื่อใชพ้ ้ืนที่สี่เหลี่ยมคางหมูในการประมาณค่าอินทิกรัลจะไดว้า่ 2 0 1 1 0 f x f x I A x x 0 1 2 f x f x h I 0 1 2 f x f x b a I (6.1) ค่าความผดิพลาดโดยประมาณของกฎสี่เหลี่ยมคางหมูมีค่าเท่ากบั 3 12 1 E f b a a (6.2) เมื่อ มีค่าอยรู่ะหวา่ง a ถึง b จากสมการที่ 6.2 จะเห็นไดช้ดัวา่ถา้ฟังกช์นัที่กา หนดอยใู่นรูปสมการเส้นตรงกฎสี่เหลี่ยม คางหมูน้นัจะใหค้ ่าแม่นตรง ตัวอย่างที่ 6.1จงใชก้ฎสี่เหลี่ยมคางหมูเพื่อหาค่าอินทิกรัล I x x x dx 2 0 3 2 2 5 3 1 พร้อมท้งัเปรียบเทียบค่าที่ไดก้บัผลเฉลยแม่นตรง วิธีท า เมื่อใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-3 ค่าอินทิกรัลจะมีค่าเท่ากบั 0 1 2 f x f x b a I โดยที่ x0 a 0 , 2 x1 b หาค่าต่าง ๆ ไดด้งัตาราง แทนค่าต่าง ๆ ในสมการจะได้ 1 3 4 2 2 0 I เทียบกบัผลเฉลยแม่นตรง โดยการอินทิกรัลเพื่อหาค่าผลเฉลยแม่นตรง 2 0 4 3 2 2 0 3 2 2 3 3 5 4 2 2 5 3 1 x x x x I x x x dx 2.6667 3 8 ค่าความผดิพลาด 100% 50% 2.6667 2.6667 4 6.2 กฎสี่เหลี่ยมคงหมูแบบหลายช่วง จากตวัอยา่งที่6.1 จะเห็นไดว้า่ กฎสี่เหลี่ยมคางหมูจะเกิดค่าความผดิพลาดมาก นนั่เป็น เพราะปัญหาเป็ นฟังกช์นัเป็นความสัมพนัธ์อนัดบั3 แนวทางหน่ึงที่จะลดความผดิพลาดที่เกิดข้ึนได้ โดยการแบ่งช่วงที่พิจารณาออกเป็นหลาย ๆ ช่วง เพื่อใหก้ารประมาณใกลเ้คียงมากยงิ่ข้ึน ดังรูปที่ 6.3 จากรูปจะเห็นไดว้า่ค่าพ้ืนที่ใหก้ราฟรวมแลว้จะใกลเ้คียงกบัพ้ืนที่ใตก้ราฟของความสัมพนัธ์จริง มากยงิ่ข้ึน i xi yi 0 0.00 1.00 1 2.00 3.00
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-4 รูปที่6.3แสดงการประมาณค่าอินทิกรัลโดยกฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบหลายช่วง จากรูปพ้ืนที่สี่เหลี่ยมคางหมูเล็ก ๆ จา นวน n รูป รวมแลว้มีพ้ืนที่เท่ากบั n n f x f x h f x f x h f x f x h f x f x h A 0 1 1 2 2 3 1 2 2 2 2 1 1 0 2 2 n i n i f x f x f x h A เมื่อใชพ้ ้ืนที่สี่เหลี่ยมคางหมูแบบหลายช่วงในการประมาณค่าอินทิกรัลจะไดว้า่ 1 1 0 2 2 n i n i f x f x f x h I 1 1 0 2 2 n i n i f x f x f x n b a I (6.3) ค่าความผดิพลาดโดยประมาณของกฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบ n ช่วง มีค่าเท่ากบั 3 2 12 1 f b a n Ea (6.4) เมื่อ มีค่าอยรู่ะหวา่ง a ถึง b จากสมการที่ 6.4 จะเห็นได้ชัดค่าความผดิพลาดลดลงตามค่า 2 n นนั่หมายถึงยงิ่แบ่งเป็น หลายช่วง n เท่าใด ค่าความผิดพลาดยงิ่ลดลงเร็วมากยงิ่ข้ึนเป็นสัดสัวนกา ลงั2
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-5 i xi yi 0 0.00 1 1 0.50 1.5 2 1.00 1 3 1.50 1 4 2.00 3 ตัวอย่างที่ 6.2จงใชก้ฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบหลายช่วงเพื่อหาค่าอินทิกรัล I x x x dx 2 0 3 2 2 5 3 1 กา หนดใหช้่วงที่ใชเ้ท่ากบั 4 พร้อมท้งัเปรียบเทียบค่าที่ไดก้บัผลเฉลยแม่นตรง วิธีท า เมื่อใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบหลายช่วงค่าอินทิกรัลจะมีค่าเท่ากบั 1 1 0 2 2 n i n i f x f x f x n b a I โดยที่ x0 a 0 , 2 x4 b และ n 4 หาค่าต่าง ๆ ไดด้งัตาราง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-6 แทนค่าต่าง ๆ ในสมการจะได้ 1 3 21.5 1 1 2.75 2 4 2 0 I เทียบกบัผลเฉลยแม่นตรง โดยการอินทิกรัลเพื่อหาค่าผลเฉลยแม่นตรง 2 0 4 3 2 2 0 3 2 2 3 3 5 4 2 2 5 3 1 x x x x I x x x dx 2.6667 3 8 ค่าความผดิพลาด 100% 3.12% 2.6667 2.6667 2.75 6.3 กฎของซิมป์สัน กฎของซิมป์สันจะใชเ้ส้นโคง้ในการประมาณค่า โดยใชฟ้ ังกช์นัพหุนามอนัดบัสองของ ลากรองจ์ จะได้ b a f x dx x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x I 2 2 0 2 1 0 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 2 1 2 รูปที่6.4แสดงการประมาณค่าอินทิกรัลโดยกฎซิมป์สัน
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-7 เมื่อใชก้บั ปัญหาดงัรูป 6.4จะได้ x1 x0 x2 x1 h ประยกุตเ์ขา้กบัสมการขา้งตน้จะไดผ้ล การอินทิกรัลเท่ากบั 0 1 2 4 3 f x f x f x h I (6.5) บางคร้ังจะเรียกสมการที่ไดน้้ีวา่กฎเศษหน่ึงส่วนสามของซิมป์สัน โดยที่ 2 b a h ดงัน้นัจะได้ 0 1 2 4 6 f x f x f x b a I (6.6) ค่าความผดิพลาดโดยประมาณของกฎเศษหน่ึงส่วนสามของซิมป์สัน มีค่าเท่ากบั 4 5 2880 1 E f b a a (6.7) เมื่อ มีค่าอยรู่ะหวา่ง a ถึง b จากสมการที่ 6.7 จะเห็นไดช้ดัค่าความผดิพลาดจะมีค่าเท่ากบั 0 เสมอ ถา้ฟังกช์นัมีกา ลงั นอ้ยกวา่ 3 นนั่หมายถึงกฎเศษหน่ึงส่วนสามของซิมป์สันจะใหผ้ลเฉลยแม่นตรงเมื่อกา ลงัของ ฟังกช์นัมีค่านอ้ยกวา่หรือเท่ากบั 3 ดงัจะเห็นไดจ้ากตวัอยา่งที่ 6.3 ตัวอย่างที่ 6.3จงใชก้ฎซิมป์สันเพื่อหาค่าอินทิกรัล I x x x dx 2 0 3 2 2 5 3 1 พร้อมท้งัเปรียบเทียบค่าที่ไดก้บัผลเฉลยแม่นตรง วิธีท า เมื่อใชก้ฎซิมป์สัน ค่าอินทิกรัลจะมีค่าเท่ากบั 0 1 2 4 6 f x f x f x b a I โดยที่ a 0 , b 2 และหาค่าต่าง ๆ ได้ดังตาราง i xi yi 0 0.00 1 1 1.00 1 2 2.00 3
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-8 แทนค่าต่าง ๆ ในสมการจะได้ 1 4 1 3 2.6667 6 2 0 I เทียบกบัผลเฉลยแม่นตรง โดยการอินทิกรัลเพื่อหาค่าผลเฉลยแม่นตรง 2 0 4 3 2 2 0 3 2 2 3 3 5 4 2 2 5 3 1 x x x x I x x x dx 2.6667 3 8 ค่าความผดิพลาด 100% 0% 2.6667 2.6667 2.6667 ตัวอย่างที่ 6.4จงใชก้ฎซิมป์สันเพื่อหาค่าอินทิกรัล I x x x x dx 2 0 4 3 2 2 5 3 1 พร้อมท้งัเปรียบเทียบค่าที่ไดก้บัผลเฉลยแม่นตรง วิธีท า เมื่อใชก้ฎซิมป์สัน ค่าอินทิกรัลจะมีค่าเท่ากบั 0 1 2 4 3 f x f x f x h I โดยที่ 1 2 2 0 2 b a h และหาค่าต่าง ๆ ไดด้งัตาราง แทนค่าต่าง ๆ ในสมการจะได้ 1 4 2 19 9.3333 3 1 I เทียบกบัผลเฉลยแม่นตรง โดยการอินทิกรัลเพื่อหาค่าผลเฉลยแม่นตรง I x x x x dx 2 0 4 3 2 2 5 3 1 i xi yi 0 0.00 1 1 1.00 2 2 2.00 19
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-9 2 0 5 4 3 2 2 3 3 5 4 2 5 x x x x x 9.0667 ค่าความผดิพลาด 100% 2.94% 9.0667 9.0667 9.3333 6.4 กฎของซิมป์สันแบบหลายช่วง เช่นเดียวกนักบักฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบหลายช่วงเห็นไดว้า่จะลดความผดิพลาดที่เกิดข้ึนได้ โดยการแบ่งช่วงออกเป็นหลาย ๆ ช่วง ดงัน้นัจะแบ่งช่วงการพิจารณาโดยกฎของซิมป์สันเป็นหลาย ๆ ช่วง ดังรูปที่6.5 รูปที่6.5แสดงการประมาณค่าอินทิกรัลโดยกฎซิมป์สันแบบหลายช่วง เมื่อใชก้บั ปัญหาดงัรูป 6.5 จะไดว้า่อินทิกรัลมีค่าเท่ากบั n n n f x f x f x h f x f x f x h f x f x f x h I 0 1 2 2 3 4 2 4 1 3 4 3 4 3 1 1,3,5 2 2,4,6 0 4 2 3 n i n i n i i f x f x f x f x h I (6.8)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-10 เมื่อ n b a h และถา้พิจารณารูปที่6.5 ประกอบ จะเห็นไดว้า่ค่า n ที่เลือกใชส้า หรับวธิีน้ีตอ้งเป็นจา นวนคู่เท่าน้นั ค่าความผดิพลาดโดยประมาณของกฎของซิมป์สันแบบหลายช่วง มีค่าเท่ากบั 4 5 4 180 1 f b a n Ea (6.9) เมื่อ มีค่าอยรู่ะหวา่ง a ถึง b จากสมการที่ 6.9 จะเห็นไดช้ดัค่าความผดิพลาดของกฎของซิมป์สันแบบหลายช่วง ลดลง ตามค่า 4 n นนั่หมายถึงยงิ่แบ่งเป็นหลายช่วง n เท่าใด ค่าความผดิพลาดยงิ่ลดลงเร็วมากยงิ่ข้ึนเป็น สัดสัวนกา ลงั4 ตัวอย่างที่ 6.5จงใชก้ฎซิมป์สันแบบหลายช่วงเพื่อหาค่าอินทิกรัล I x x x x dx 2 0 4 3 2 2 5 3 1 โดยกา หนดใหใ้ช้4 ช่วงเปรียบเทียบกบั 5 ช่วง พร้อมท้งัเปรียบเทียบค่าที่ไดก้บัผลเฉลยแม่นตรง วิธีท า n 8 เมื่อใชก้ฎซิมป์สันแบบหลายช่วงค่าอินทิกรัลจะมีค่าเท่ากบั 1 1,3,5 2 2,4,6 0 4 2 3 n i n i n i i f x f x f x f x h I โดยที่ 0.25 8 2 0 n b a h แทนค่าต่าง ๆ ในสมการจะได้ 1 19 4 17.391 2 9.625 9.0677 3 0.25 I โดยหาค่าต่าง ๆ ไดด้งัตาราง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-11 เทียบกบัผลเฉลยแม่นตรง โดยการอินทิกรัลเพื่อหาค่าผลเฉลยแม่นตรง I x x x x dx 2 0 4 3 2 2 5 3 1 2 0 5 4 3 2 2 3 3 5 4 2 5 x x x x x 9.0667 ค่าความผดิพลาด 100% 0.0115% 9.0667 9.0667 9.0677 6.5 สูตรอนิทิเกรตของนิวตัน-โคตส์ จากวธิีการอินทิเกรตโดยกฎสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎของซิมป์สัน เห็นไดว้า่ยงใช้สมการ ิ่ อนัดบัสูงข้ึนความแม่นยา จะสูงข้ึนตามไปดว้ย ดงัน้นัสูตรอินทิเกรตของนิวตนั -โคตส์จึงใช้พหุนาม อนัดบัสามในการประมาณค่าฟังกช์นั และด าเนินการร่วมกบั ใชค้่าต่าง ๆ ดงัรูปที่6.6 จะได้ผลของ การอินทิเกรตดังสมการ i xi yi 0 0.00 1.00000 1 0.25 1.47266 2 0.50 1.56250 3 0.75 1.59766 4 1.00 2.00000 5 1.25 3.28516 6 1.50 6.06250 7 1.75 11.03516 8 2.00 19.00000