วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-12 รูปที่6.6แสดงการประมาณค่าอินทิกรัลโดยกฎเศษสามส่วนแปดของซิมป์สัน 0 1 2 3 3 3 8 3 f x f x f x f x h I (6.10) เรียกสมการน้ีวา่กฎเศษสามส่วนแปดของซิมป์สัน เมื่อ 3 b a h ดงัน้นัจะได้ 0 1 2 3 3 3 8 f x f x f x f x b a I (6.11) ค่าความผดิพลาดโดยประมาณของกฎเศษสามส่วนแปดของซิมป์สัน มีค่าเท่ากบั 4 5 6480 1 E f b a (6.12) เมื่อ มีค่าอยรู่ะหวา่ง a ถึง b จากสมการที่ 6.11 จะเห็นไดช้ดัค่าความผดิพลาดจะมีค่าเท่ากบั 0 เสมอ ถา้ฟังกช์นัมีกา ลงั นอ้ยกวา่ 3 นนั่หมายถึงกฎเศษหน่ึงส่วนสามของซิมป์สันจะใหผ้ลเฉลยแม่นตรงเมื่อกา ลงัของ ฟังกช์นัมีค่านอ้ยกวา่หรือเท่ากบั 3
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-13 ตัวอย่างที่ 6.6จงใชก้ฎเศษสามส่วนแปดของซิมป์สันเพื่อหาค่าอินทิกรัล I x x x x dx 2 0 4 3 2 2 5 3 1 พร้อมท้งัเปรียบเทียบค่าที่ไดก้บัผลเฉลยแม่นตรง วิธีท า เมื่อใชก้ฎเศษสามส่วนแปดของซิมป์สัน ค่าอินทิกรัลจะมีค่าเท่ากบั 0 1 2 3 3 3 8 3 f x f x f x f x h I โดยที่ 0.6667 3 2 0 3 b a h และหาค่าต่าง ๆ ไดด้งัตาราง i xi yi 0 0.0000 1.0000 1 0.6667 1.5679 2 1.3333 4.0123 3 2.0000 19.0000 แทนค่าต่าง ๆ ในสมการจะได้ 1 3 1.5679 3 4.0123 19 9.18519 8 3 0.6667 I เทียบกบัผลเฉลยแม่นตรง โดยการอินทิกรัลเพื่อหาค่าผลเฉลยแม่นตรง I x x x x dx 2 0 4 3 2 2 5 3 1 2 0 5 4 3 2 2 3 3 5 4 2 5 x x x x x 9.0667 ค่าความผดิพลาด 100% 1.3072% 9.0667 9.18519 9.0677
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-14 6.6 การหาค่าอนุพนัธ์ ในส่วนน้ีจะกล่าวถึงการหาค่าอนุพนัธ์โดยประมาณในแบบต่าง ๆ แต่อนัดบัแรกตอ้ง กล่าวถึงนิยามของการหาค่าอนุพนัธ์เสียก่อน จากรูปที่6.7 เป็นรูปที่แสดงการหาค่าอนุพนัธ์ โดยประมาณ ซ่ึงหาจากค่าเปลี่ยนแปลงของตวัแปรตาม y เทียบกบัการเปลี่ยนแปลงของค่าตวัแปร ต้น x ตามสมการ x f x x f x x y 1 1 รูปที่6.7แสดงการหาค่าอนุพนัธ์โดยประมาณ แต่เมื่อช่วงการเปลี่ยนแปลงของ x มีค่านอ้ยมากจนเขา้ใกล้0 เราจะไดส้มการอนุพนัธ์ดงัน้ี x f x x f x l im dx dy x 1 1 0 อธิบายได้ด้วยรูปที่ 6.8
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-15 รูปที่6.8แสดงการหาค่าอนุพนัธ์ที่แทจ้ริง จากนิยามของอนุพนัธ์น้ีเอง เราพอจะเห็นไดว้า่การหาค่าอนุพนัธ์โดยประมาณก็จะเป็นดงั รูปที่ 6.7 แต่อนุพนัธ์โดยประมาณน้นัสามารถหาไดห้ลายแบบ แต่ละแบบมีค่าผดิพลาดต่าง ๆ กนั ซ่ึงเป็นการดีกวา่ถา้จะอธิบายดว้ยอนุกรมเทย์เลอร์โดยเขียนอนุกรมเทย์เลอร์ในรูป i i i f xi h f x f x hf x 2! 2 1 (6.13) จดัรูปสมการใหม่จะได้ i i i i f x h h f x f x f x 2! 1 Oh h f x f x f x i i i 1 (6.14) โดย Oh แสดงถึงความผิดพลาดอันดับ h สมการ 6.14 เรียกวา่สมการผลต่างจากการแบ่งยอ่ย ไปขา้งหนา้อนัดบัที่หน่ึง ในทา นองเดียวกนัถา้ใชอ้นุกรมเทยเ์ลอร์ประมาณค่าฟังกช์นัที่ตา แหน่ง i-1 จะได้ i i i f xi h f x f x hf x 2! 2 1 (6.15) i i i i f x h h f x f x f x 2! 1 Oh h f x f x f x i i i 1 (6.16)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-16 สมการที่ 6.16 ที่ไดน้้ีเรียกวา่สมการผลต่างจากการแบ่งยอ่ยยอ้นหลงัอนัดบัที่หน่ึง รูปแสดงการ ประมาณค่าด้วยสมการที่ 6.14 และ 6.16 น้ีได้แสดงไว้ในรูปที่ 6.9 รูปที่6.9แสดงการหาค่าอนุพนัธ์แบบไปข้างหน้าและย้อนหลัง ถ้าเราน าสมการที่ 6.15ลบด้วยสมการที่6.15จะได้ i i i f xi h f x f x hf x 3! 2 2 3 1 1 i i i i f x h h f x f x f x 3! 2 2 2 1 1 1 1 2 2 O h h f x f x f x i i i (6.17) สมการที่ 6.17 น้ีเรียกวา่สมการผลต่างจากการแบ่งยอ่ยแบบตรงกลาง(Central Divided-Difference) ที่ใหค้ ่าความผดิพลาด 2 O h ซ่ึงนอ้ยกวา่ความผดิพลาดการการแบ่งยอ่ยแบบไปขา้งหนา้และ ย้อนหลังที่มีความผิดพลาด Oh การหาค่าอนุพนัธ์จากสมการผลต่างจากการแบ่งยอ่ยแบบตรง กลางอาจเขียนแสดงเป็ นกราฟได้ดังรูปที่ 6.10
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-17 รูปที่6.10แสดงการหาค่าอนุพนัธ์แบบตรงกลาง ในการหาค่าอนุพนัธ์ที่มีอนัดบัสูงข้ึนไป เช่นค่าอนุพนัธ์อนัดบั 2 เราจะใช้อนุกรมเทย์เลอร์ คา นวณหาค่าฟังกช์นัที่ตา แหน่ง ดงัน้ี i i i f xi h f x f x h f x 2! 2 2 2 2 (6.18) น าสมการที่ 6.13 คูณ 2 แลว้นา ไปลบกบัสมการที่6.18จะได้ f xi2 2 f xi1 f xi h 2 f xi Oh h f x f x f x f x i i i i 2 2 1 2 (6.19) ในการหาค่าอนุพนัธ์ในอนัดบัที่สูงข้ึนไป เราก็ใชว้ธิีการเช่นเดียวกนักบัการหาค่าอนุพนัธ์อนัดบั 1 และอันดับ 2 ซึ่งผลที่ได้สามารถสรุปได้ดังตารางที่ 6.1
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-18 ตารางที่ 6.1แสดงค่าอนุพนัธ์ ค่าอนุพนัธ์จากการแบ่งยอ่ยแบบไปขา้งหนา้ดว้ยความผิดพลาด Oh f xi f xi1 f xi / h 2 2 1 f x f x 2 f x f x / h i i i i 3 3 2 1 f x f x 3f x 3f x f x ./ h i i i i i 4 4 3 2 1 4 f xi f xi 4 f xi 6 f xi 4 f xi f xi ./ h ค่าอนุพนัธ์จากการแบ่งยอ่ยแบบยอ้นหลงัดว้ยความผิดพลาด Oh f xi f xi f xi1 / h 2 1 2 f x f x 2 f x f x / h i i i i 3 1 2 3 f xi f xi 3f xi 3f xi f xi ./ h 4 1 2 3 4 4 f xi f xi 4 f xi 6 f xi 4 f xi f xi ./ h ค่าอนุพนัธ์จากการแบ่งยอ่ยแบบตรงกลางดว้ยความผิดพลาด 2 O h f xi f xi1 f xi1 / 2h 2 1 1 f xi f xi 2 f xi f xi / h 3 f xi f xi2 2 f xi1 2 f xi1 f xi2 / 2h 4 2 1 1 2 4 f xi f xi 4 f xi 6 f xi 4 f xi f xi / h ตัวอย่างที่ 6.7จงหาค่าอนุพนัธ์อนัดบั1 ( f 1.0 ) ของฟังกช์นั 2 5 3 1 3 2 f x x x x เมื่อ h 0.1 ดว้ยวธิีการแบ่งยอ่ยแบบไปขา้งหนา้,วธิีการแบ่งยอ่ยแบบย้อนหลัง และ วิธีการ แบ่งยอ่ยแบบตรงกลาง พร้อมท้งัทา การเปรียบเทียบค่าที่ไดก้บัผลเฉลยแม่นตรง ( f 1.0 1 ) เพื่อหาค่าเปอร์เซ็นต์ความผิดพลาด วิธีท า ทา การหาค่าต่าง ๆ ไดด้งัตาราง j xj f(xj ) i-1 0.9 1.108 i 1 1 i+1 1.1 0.912 ทา การหาค่าอนุพนัธ์เชิงตวัเลขโดยวธิีการต่าง ๆ ดงัน้ี
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-19 วธิีการ คา่อนุพนัธ์อนัดบั 1 เปอร์เซ็นตค์วามผดิพลาด วธิีการแบง่ยอ่ยแบบไปขา้งหน้า -0.88 12% วธิีการแบง่ยอ่ยแบบยอ้นหลงั -1.08 8% วธิีการแบง่ยอ่ยแบบตรงกลาง -0.98 2% 1. วธิีการแบ่งยอ่ยแบบไปขา้งหนา้ f xi f xi1 f xi / h f xi 0.912 1/ 0.1 f xi 0.88 หาค่าเปอร์เซ็นตค์วามผดิพลาด 100% 12% 1 1 0.88 2. วธิีการแบ่งยอ่ยแบบยอ้นหลงั f xi f xi f xi1 / h f xi 11.108/ 0.1 f xi 1.08 หาค่าเปอร์เซ็นตค์วามผดิพลาด 100% 8% 1 1 1.08 3. วธิีการแบ่งยอ่ยแบบตรงกลาง f xi f xi1 f xi1 / 2h 0.912 1.108/2 0.1 i f x f xi 0.98 หาค่าเปอร์เซ็นตค์วามผดิพลาด 100% 2% 1 1 0.98 ดังนั้น ค่าอนุพนัธ์เชิงตวัเลขดว้ยวธิีการต่าง ๆ ดงัโจทยไ์ดค้่าดงัน้ี Ans
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-20 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 6 1. จงหาค่าอินทิกรัลดว้ยวธิีกฎของสี่เหลี่ยมคางหมูและกฎของซิมป์ สัน 1.1 ∫ 1.2 ∫ ( ) 1.3 ∫ 1.4 ∫ 1.5 ∫ 1.6 ∫ ⁄ 2. จงหาค่าอินทิกรัลดว้ยวธิีกฎของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบหลายช่วงและกฎของซิมป์สันแบบ หลายช่วง 2.1 ∫ กา หนดให้ 2.2 ∫ ( ) กา หนดให้ 2.3 ∫ กา หนดให้ 2.4 ∫ กา หนดให้ 2.5 ∫ กา หนดให้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 6 การหาค่าอินทกิรัลและอนุพนัธ ์ เชิงตัวเลข) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 6-21 2.6 ∫ ⁄ กา หนดให้ 3. จงค่าอนุพนัธ์อนัดบัหน่ึงของฟังกช์นั โดยที่ x = 4, h = 0.5 ดว้ยวิธีการแบ่งยอ่ยไปขา้งหนา้ O(h) แบบย้อนหลัง O(h) และแบบ ตรงกลาง O(h2 ) พร้องท้งัแสดงข้นัตอนโดยละเอียดเปรียบเทียบผลลพัธ์ที่ไดก้บัผลลพัธ์ แบบแม่นตรงพร้อมหาค่าความผดิพลาดร้อยละที่เกิดข้ึน 4. จากฟังกช์นั ในตวัอยา่งที่3จงใช้h = 0.25 และ h = 0.1 พร้อมท้งัเปรียบเทียบผลของแต่ละ วธิีกบัผลลพัธ์แบบแม่นตรงพร้อมค่าความผดิพลาดเป็นร้อยละที่เกิดข้ึน
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-1 บทที่ 7 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ์สามญั ในบทนี้จะได้ท าการศึกษาการหาค่าอนุพันธ์ด้วยระเบียบวิธีเชิงตัวเลขของสมการเชิง อนุพันธ์สามัญ 7.1 ระเบียบวิธีของออยเลอร์ ระเบียบวิธีของออยเลอร์เป็นระเบียบวิธีที่ง่ายที่สุด วิธีนี้จะใช้การประมาณค่าดังนี้ h y y x x y y dx dy i i i i i i 1 1 1 (7.1) พิจาณารูปที่ 7.1 ประกอบ รูปที่7.1 แสดงการประมาณค่าโดยระเบียบวิธีของออยเลอร์ i i i i f x y h y y , 1 i i i i y y h f x , y 1 (7.2)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-2 i xi yiออยเลอร์ yi แมน่ตรง ความผดิพลาด 1 0.00 1.0000 1.0000 0.00% 2 1.00 2.0000 2.3198 13.78% 3 2.00 3.0806 2.4826 24.09% 4 3.00 1.7986 1.1516 56.19% i xi yiออยเลอร์ yi แมน่ตรง ความผดิพลาด 1 0.00 1.0000 1.0000 0.00% 2 0.50 1.5000 1.6151 7.13% 3 1.00 2.1582 2.3198 6.97% 4 1.50 2.7412 2.7115 1.10% 5 2.00 2.8382 2.4826 14.32% 6 2.50 2.2476 1.8193 23.54% 7 3.00 1.3473 1.1516 17.00% ซึ่งจากบทที่ 6 จะเห็นได้ว่าการประมาณค่าดังเช่นสมการที่ 7.1 นั้นจะมีค่าผิดพลาด Oh ท าให้ระเบียบวิธีของออยเลอร์ถูกเรียกว่าระเบียบวิธีอันดับหนึ่ง(First Order Method) ตวัอย่างที่7.1 จงใช้ระเบียบวิธีของออยเลอร์ในการแก้สมการอนุพันธ์สามัญ y x dx dy cos ท าการหาค่า y ในช่วง x 0,3 เงื่อนไขเริ่มต้น y0 1 ท าการค านวณโดยใช้h = 1.00, 0.5 และ 0.25 ตามล าดับ พร้อมเปรียบเทียบผลที่ได้ (ผลเฉลยแม่นตรงคือ x y e sin ) วิธีทา ประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีของออยเลอร์ตามสมการที่ 7.1 ดังนี้ i i i i y y hf x , y 1 i i i i y y hy cos x 1 ท าการแทนค านวณเมื่อ h = 1 จะได้ h = 0.5 จะได้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-3 i xi yiออยเลอร์ yi แมน่ตรง ความผดิพลาด 1 0.00 1.0000 1.0000 0.00% 2 0.25 1.2500 1.2807 2.40% 3 0.50 1.5528 1.6151 3.86% 4 0.75 1.8935 1.9771 4.23% 5 1.00 2.2398 2.3198 3.45% 6 1.25 2.5424 2.5831 1.58% 7 1.50 2.7428 2.7115 1.15% 8 1.75 2.7913 2.6751 4.34% 9 2.00 2.6669 2.4826 7.42% 10 2.25 2.3894 2.1773 9.74% 11 2.50 2.0142 1.8193 10.71% 12 2.75 1.6108 1.4647 9.97% 13 3.00 1.2386 1.1516 7.56% h = 0.25 จะได้ และน าค่าผลเฉลยที่ได้มาพล็อตกราฟ จะได้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-4 จากกราฟเห็นได้ว่า ด้วยระเบียบวิธีของออยเลอร์ความผิดพลาดค่อนข้างสูง แต่ก็ สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้โดยการลดขนาดของความกว้าง h จะมีผลท าให้ค่าผิดพลาดก็จะ ลดลงไปด้วย Ans 7.2 ระเบียบวิธีของฮวน วิธีของฮวนนั้นจะดัดแปลงมาจากวิธีของออยเลอร์ กล่าวคือ แทนที่จะใช้ค่าความชันที่จุด เราจะใช้ค่าความชันเฉลี่ยแทน ดังนี้ (a) (b) รูปที่7.2 แสดงการประมาณค่าโดยระเบียบวิธีของฮวน
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-5 โดยการหาค่าความชันที่จุดใหม่ดังรูปที่ 7.2 (a) i i i i y y hf x , y 0 1 น าค่านี้ไปหาค่าความชันที่จุดใหม่จาก 0 1 1 1 , i i i y f x y แล้วหาค่าความชันเฉลี่ยจากความชันจุดแรกและจุดใหม่จากสมการ 2 , , 0 1 1 1 i i i i i i f x y f x y y y h (7.3) พิจารณาสมการที่ 7.3 เห็นได้ว่าความผิดพลาดมีค่าเท่ากับ 2 O h ท าให้ระเบียบวิธีของ ฮวนถูกเรียกว่าระเบียบวิธีอันดับสอง(Second Order Method) ตวัอย่างที่7.2 จงใช้ระเบียบวิธีของฮวนในการแก้สมการอนุพันธ์สามัญ y x dx dy cos ท าการหาค่า y ในช่วง x 0,3 เงื่อนไขเริ่มต้น y0 1 ท าการค านวณโดยใช้h = 1.00 พร้อมเปรียบเทียบผลที่ได้กับระเบียบวิธีของออยเลอร์ (ผลเฉลยแม่นตรงคือ x y e sin ) วิธีทา ประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีของฮวนได้สมการดังนี้ i i i i y y hf x , y 0 1 i i i i y y hy cos x 0 1 และ 2 , , 0 1 1 1 i i i i i i f x y f x y y y h ท าการค านวณได้ค่าดังตาราง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-6 i xi yiออยเลอร์ yi ฮวน yiแม่น ตรง 1 0.00 1.0000 1.0000 1.0000 2 1.00 2.0000 2.0000 2.0403 2.3198 3 2.00 3.0806 3.1427 1.9376 2.4826 4 3.00 1.7986 1.1313 0.9745 1.1516 ตารางสรุปค่าความผิดพลาด i xi ค่าความผิดพลาด วิธีของออยเลอร์ วิธีของฮวน 1 0.00 2 1.00 13.78% 12.05% 3 2.00 24.09% 21.95% 4 3.00 56.19% 15.38% และพล็อตกราฟได้ดังนี้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-7 จากตารางและกราฟจะเห็นได้ว่า ผลเฉลยที่ได้มาด้วยระเบียบวิธีของฮวนนั้น จะให้ค่า ผิดพลาดที่น้อยกว่าวิธีของออยเลอร์ Ans 7.3 ระเบียบวิธีออยเลอรท์ ี่ปรบัปรงุแล้ว ระเบียบวิธีของออยเลอร์ที่ปรับปรุงแล้ว(Modified Euler’s Method) เป็นระเบียบวิธีที่ท า การปรับปรุงระเบียบวิธีออยเลอร์ให้มีความแม่นย ามากขึ้น โดยการใช้ค่าความชันที่กึ่งกลางช่วง แทนความชันที่จุดปลายในการประมาณค่า (a) (b) รูปที่7.3 แสดงการประมาณค่าโดยระเบียบวิธีออยเลอร์ที่ปรับปรุงแล้ว ระเบียบวิธีออยเลอร์แบบปรับปรุงแล้วจะเริ่มจากต้นการค านวณด้วยการหาค่า 2 1 i y ดังแสดงในรูปที่ 7.3 (a) i i i i y y h / 2 f x , y 2 1 (7.4)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-8 จากค่า 2 1 i x และ 2 1 i y ท าให้สามารถหาค่าค่าความชันที่จุดกึ่งกลางช่วง 2 1 2 1 , i i f x y ได้ดังรูปที่ 7.3 (b) 2 1 2 1 1 , i i i i y y hf x y (7.5) ส าหรับค่าความผิดพลาดของระเบียบวิธีออยเลอร์แบบปรับปรุงแล้วจะมีค่าเท่ากับ 2 O h เช่นเดียวกันกับระเบียบวิธีของฮวน กล่าวคือเป็นระเบียบวิธีอันดับสอง(Second Order Method) ตวัอย่างที่7.3 จงใช้ระเบียบวิธีออยเลอร์ที่ปรับปรุงแล้วแก้สมการ y x dx dy cos ท าการหาค่า y ในช่วง x 0,3 เงื่อนไขเริ่มต้น y0 1 ท าการค านวณโดยใช้h = 1.00 พร้อมเปรียบเทียบค่าผิดพลาดกับระเบียบวิธีของออยเลอร์และระเบียบวิธีของฮวน (ผล เฉลยแม่นตรงคือ x y e sin ) วิธีทา ประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีออยเลอร์ที่ปรับปรุงแล้วท าการค านวณได้ดังตาราง i การค านวณออยเลอร์ปรับปรุง xi+1/2 yi+1/2 yi 1 1.0000 2 0.5000 1.5000 2.3164 3 1.5000 2.9421 2.5245 4 2.5000 1.9992 0.9228
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-9 i xi ค่าความผิดพลาด วิธีของออยเลอร์ วิธีของฮวน วิธีออยเลอร์ปรับปรุง 1 0.00 2 1.00 13.78% 12.05% 0.15% 3 2.00 24.09% 21.95% 1.69% 4 3.00 56.19% 15.38% 19.86% Ans 7.4 ระเบียบวิธีของรงุเง-คุตตา ระเบียบวิธีของรุงเง-คุตตา(Rung-Kutta Method) เป็นระเบียบวิธีที่มีการใช้งานเป็น อย่างมากเพราะให้ค่าความเที่ยงตรงสูง ระเบียบวิธีของรุงเง-คุตตาจะใช้วิธีการหาค่าความชันที่มี ความเที่ยงตรงสูง ท าให้ผลลัพธ์ที่ได้มีความเที่ยงตรงสูง เริ่มจากการก าหนดให้ yi1 yi xi , yi ,hh (7.6)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-10 เมื่อพิจารณาเทียบกับสูตรของวิธีอื่น ๆ ก่อนหน้า เห็นได้ว่า x y h i i , , ความหมาย คือค่าความชันที่ใช้นั่นเอง แต่วิธีของรุงเง-คุตตาจะเรียกฟังก์ชันนี้ว่าเป็นฟังก์ชันส่วนเพิ่ม (Increment Function) ฟังก์ชันส่วนเพิ่มของระเบียบวิธีรุงเง-คุตตาสามารถเขียนให้อยู่ในรูป n n a k a k a k ... a k 1 1 2 2 3 3 โดยที่ i a เป็นค่าคงที่ i i k f x , y 1 k f x p h y q k h 2 i 1 i 11 1 , k f x p h y q k h q k h 3 i 2 i 21 1 22 2 , k fx p h y q k h q k h q k h 3 i n 1 i (n 1)1 1 (n 1)2 2 (n 1)(n 1) (n 1) , ... โดยตัวห้อย n คืออันดับที่ของวิธีรุงเง-คุตตา เช่นถ้า n = 1 จะเรียกกรณีนี้ว่าระเบียบวิธี รุงเง-คุตตาอันดับหนึ่ง 7.4.1 ระเบียบวิธีรงุเง-คุตตาอันดับสอง หาก n = 2 สมการเมื่อพิจารณาจากสมการที่ 7.6 จะได้ yi1 yi a1 k1 a2 k2 h โดย i i k f x , y 1 k f x p h y q k h 2 i 1 i 11 1 , เห็นได้ว่ามีค่าคงที่ในสมการทั้งสิ้น 4 ตัวคือ a1, a2, p1 และ q11 ซึ่งการหาค่าตัวแปร เหล่านี้จะใช้วิธีการเทียบสมัประสทิธกับอนุกรมเทย์เลอร์ ิ์ ร่วมกับการใช้กฎลูกโซ่(Chain-Rule) การหาค่าจะเริ่มจากการจัดอนุกรมเทย์เลอร์เสียใหม่แลว้ทา การเทยีบสมัประสทิธิ์จะพบว่า 1 a1 a2 2 1 a2 p1 2 1 a2 q11
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-11 เห็นได้ว่ามีสมการเชิงเส้นทั้งสิ้น 3 สมการ แต่ตัวแปรมีถึง 4 ตัว ดังนั้นสามารถ ก าหนดค่าตัวใดตัวหนึ่งขึ้นมาก่อนดังนี้ ถ้าสมมุติก าหนดให้ 2 1 a2 จะได้สูตรของระเบียบวิธีรุงเง-คุตตาอันอับสองคือ y y k k h i i 1 1 2 2 1 (7.7) เมื่อ i i k f x , y 1 = ความชันที่จุดต้นของช่วงกว้าง h k f x h y f x y h i i i i , , 2 = ความชันที่จุดปลายของช่วงกว้าง นั่นคือในกรณีนี้จะได้สูตรของระเบียบวิธีของฮวนนั่นเอง ถ้าสมมุติก าหนดให้ 1 a2 จะได้สูตรของระเบียบวิธีรุงเง-คุตตาอันอับสองคือ yi1 yi 0 k2 h (7.8) เมื่อ k f x h y f x y h i i i i , 2 1 , 2 1 2 = ความชันที่จุดกึ่งกลางของช่วงกว้าง h นั่นคือในกรณีนี้จะได้สูตรของระเบียบวิธีของออยเลอร์ที่ปรับปรุงแล้วนั่นเอง ผลลัพธ์ที่ได้ดังสมการที่ 7.7 และ 7.8 ล้วนแสดงให้เห็นได้ว่าระเบียบวิธีของรังเง-คุตตา อันดับสองมีค่าความผิดพลาดเป็น 2 O h กล่าวคือเป็นระเบียบวิธีอันดับสอง(Second Order Method) เช่นเดียวกันกับระเบียบวิธีของฮวนและระเบียบวิธีออยเลอร์ปรับปรุงแล้ว 7.4.2 ระเบียบวิธีรงุเง-คุตตาอันดับสาม ด้วยวิธีการเดียวกันกับอธิบายไว้ในหัวข้อ 7.4.1 สุดท้ายแล้วจะได้สูตรของระเบียบวิธี ของรุงเง-คุตตาอันดับสาม คือ y y k k k h i i 1 1 2 3 4 6 1 (7.9)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-12 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 โดย i i k f x , y 1 2 1 2 1 , 2 1 k f x h y hk i i 3 1 2 2 k f x h, y hk hk i i การค านวณที่ได้จากสมการที่ 7.9 จะมีค่าความผิดพลาดในรูป 3 O h ตวัอย่างที่7.4 จงใช้ระเบียบวิธีรุงเง-คุตตาอันดับสาม แก้สมการ y x dx dy cos ท าการหาค่า y ในช่วง x 0,3 เงื่อนไขเริ่มต้น y0 1 ท าการค านวณโดยใช้ h = 0.25 พร้อมเปรียบเทียบค่าผิดพลาดกับผลเฉลยแม่นตรง และเปรียบเทียบค่าที่ได้กับระเบียบ วิธีของฮวน (รุงเง-คุตตาอันดับสอง) ถ้าผลเฉลยแม่นตรงคือ x y e sin วิธีทา ประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีรุงเง-คุตตาอันดับสาม ดังสมการ y y k k k h i i 1 1 2 3 4 6 1 โดย i i i i k f x , y y cos x 1 2 1 2 1 , 2 1 k f x h y hk i i 3 1 2 2 k f x h, y hk hk i i เมื่อก าหนด h = 0.25 และจากโจทย์ x0 = 0 จะได้ ท าการค านวณรอบที่ 1 เมื่อโจทย์ก าหนดให้ y0 1 แสดงว่า y0=1 แทนค่าใน สมการหาค่า k จะได้ 0,1 1 cos0 1 k1 f 0.251 0.125,1.125 2 1 0.25,1 2 1 0 2 k f f
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-13 1.125cos0.125 1.11622 k3 f 0 0.25,1 0.251 20.251.11622 1.267445 แทนค่าทุกอย่างเพื่อค านวณหา 1 y จากสมการ 1 4 1.11622 1.267445 0.25 6 1 4 1 6 1 1 0 1 2 3 y y k k k h 1.280514 จะได้ 0.25 x1 และ 1.280514 y1 ท าการค านวณเพื่อหาค่า 2 y ซึ่งผลการ ค านวณจะท าการสรุปไว้ดังตาราง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-14 k1 k2 k3 0 0.00 1.000000 1.000000 1.116222 1.267445 1.280514 1 0.25 1.280514 1.240706 1.335839 1.437706 1.614754 2 0.50 1.614754 1.417080 1.453156 1.453911 1.976572 3 0.75 1.976572 1.446235 1.382855 1.246175 2.319231 4 1.00 2.319231 1.253086 1.067536 0.800833 2.582734 5 1.25 2.582734 0.814394 0.522270 0.186765 2.711494 6 1.50 2.711494 0.191803 -0.148200 -0.461558 2.675554 7 1.75 2.675554 -0.476907 -0.783562 -1.000001 2.483422 8 2.00 2.483422 -1.033468 -1.238957 -1.333180 2.178319 9 2.25 2.178319 -1.368363 -1.445796 -1.440065 1.820335 1 0 2.50 1.820335 -1.458350 -1.424289 -1.361293 1.465469 1 1 2.75 1.465469 -1.354536 -1.250364 -1.167123 1.152006 1 2 3.00 1.152006 -1.140477 -1.009307 -0.926997 0.897643 k yi+1 yi xi i และค่าที่ได้จะท าการสรุปเทียบกับวิธีต่าง ๆ ซึ่งมีค่าความผิดพลาดเป็นสมการอันดับ หนึ่ง Oh คือวิธีของออยเลอร์(รังเง-คุตตาอันดับ 1) และวิธีของฮวนมีค่าความผิดพลาด 2 O h (รังเง-คุตตาอันดับ 2)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-15 ผลเฉลยแมน่ ตรง ออยเลอร์ ผลเฉลยทไี่ดจ้าก ระเบียบวธิขีองฮวน ผลเฉลยทไี่ดจ้ากระเบียบ วธิขีองรุงเง-คตุตาอนัดบั 3 0 0.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1 0.25 1.2807 1.2500 1.2764 1.2805 2 0.50 1.6151 1.5528 1.6049 1.6148 3 0.75 1.9771 1.8935 1.9600 1.9766 4 1.00 2.3198 2.2398 2.2958 2.3192 5 1.25 2.5831 2.5424 2.5536 2.5827 6 1.50 2.7115 2.7428 2.6786 2.7115 7 1.75 2.6751 2.7913 2.6415 2.6756 8 2.00 2.4826 2.6669 2.4514 2.4834 9 2.25 2.1773 2.3894 2.1514 2.1783 1 0 2.50 1.8193 2.0142 1.8009 1.8203 1 1 2.75 1.4647 1.6108 1.4541 1.4655 1 2 3.00 1.1516 1.2386 1.1478 1.1520 i xi yi
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-16 7.4.3 ระเบียบวิธีรงุเง-คุตตาอันดับสี่ ด้วยวิธีการเดียวกันกับอธิบายไว้ในหัวข้อ 7.4.1 สุดท้ายแล้วจะได้สูตรของระเบียบวิธี ของรุงเง-คุตตาอันดับสี่คือ y y k k k k h i i 1 1 2 3 4 2 2 6 1 m (7.10) โดย i i k f x , y 1 2 1 2 1 , 2 1 k f x h y hk i i 3 2 2 1 , 2 1 k f x h y hk i i 4 3 k f x h, y hk i i
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 7การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ สามัญ) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 7-17 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 7 1. จงใช้ระเบียบวิธีของออยเลอร์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในช่วง ซึ่งมีเงิ่อนไขเริ่มต้น โดยใช้ขนาดช่วงความกว้าง h=0.25. 0.1 และ 0.01 ตามล าดับ พร๊อตเปรียบเทียบกับผลเฉลยแม่นตรง คือ 2. จงใช้ระเบียบวิธีของออยเลอร์ ระเบียบวิธีของฮวน และระเบียบวีธีของออยเลอร์ที่ ปรับปรุงแล้วเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ( ) ในช่วง โดยมีเงือนไขเริ่มต้น ในขนาดความกว้าง h = 0.2 และพร๊อตเปรียบเทียบกับผลเฉลยแม่นตรง 3. จงใช้ระเบียบวิธีของออยเลอร์ ระเบียบวิธีของฮวน และระเบียบวีธีของออยเลอร์ที่ ปรับปรุงแล้วเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ( ) ในช่วง โดยมีเงือนไขเริ่มต้น ในขนาดความกว้าง h = 0.2 และพร๊อตเปรียบเทียบกับผลเฉลยแม่นตรง
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-1 บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ์ย่อย ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ส่วนใหญ่จะมีความสลับซับซ้อน ล้วนแต่อยู่ในรูป ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย บทนี้จะกล่าวหนึ่งหลักการเบื้องต้นของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย 8.1 ประเภทของสมการเชิงอนุพนัธย์ ่อย สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย คือสมการเชิงอนุพันธ์ที่ประกอบด้วยจ านวนตัวแปรต้นตั้งแต่ 2 ตัวขึ้น ไป เช่น (8.1) เมื่อ และ คือตัวแปรต้น และ คือ ตัวแปรตาม และสมการ (8.1) เรียกว่าเป็นสมการ เชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง ปัญหาในทางวิศวกรรมศาสตร์ โดยส่วนใหญ่จะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย โดยเฉพาะตัวแปรตามที่ระบุถึงต าแหน่ง เช่น และ และ ตัวแปร ที่ระบุถึงเวลา สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สามารถแยกออกได้เป็นรูปแบบของเชิงเส้น (linear) และไม่เป็นเชิง เส้น (non-linear) สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเป็นเชิงเส้น จะมีลักษณะดังนี้ 1) ตัวแปรตามและตัวอนุพันธ์อันดับต่าง ๆ มีค่าอันดับเป็นจ านวนเต็ม 2) สัมประสิทธไิ์มประกอบด้วยตัวแปรตาม ่และอนุพันธ์ของตัวแปรตาม หากไม่มีลักษณะดังกล่าวจะถือว่าเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ไม่เป็นเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น เป็นสมการเชิงเส้น เป็นสมการเชิงเส้น ( ) ไม่เป็นสมการเชิงเส้น เพราะพจน์ที่สองยกก าลัง 0.5
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-2 ( ) ( ) ( ) ไม่เป็นสมการเชิงเส้นเพราะทุกพจน์ในสมการต่างอยู่ในรูปแบบไม่เชิงเส้น การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่อยู่ในรูปที่ไม่เชิงเส้นจะยุ่งยากกว่าการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่อยู่ ในรูปเชิงเส้น การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย จะท าได้โดย (1) การใช้ระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง (advanced mathematic) เพื่อหาผลเฉลยแม่นตรง (exact solution) (2) การใช้ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (numerical method) เพื่อผลเฉลยโดยประมาณ (approximate solution) 8.2 การแบ่งชนิดของสมการอนุพนัธ์ (8.2) พิจารณาสมการ (8.2) จะสามารถแบ่งชนิดของสมการเชิงอนุพันธ์ได้ดังนี้ a) สมการเอลลิปติก (elliptic equation) เมื่อ ตัวอย่างเช่น สมการการน าความร้อนในแผ่นโลหะและอุณหภูมิเปลี่ยนแปลงตาม ต าแหน่ง x และ y (8.3) b) สมการพาราโบลิก (parabolic equation) เมื่อ ตัวอย่างเช่น สมการการถ่ายเทความร้อนในแท่งโลหะยาวทีเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา (8.4) c) สมการไฮเปอร์โบลิก (hyperbolic equation) เมื่อ
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-3 (8.5) ตัวอย่างเช่น สมการของการสั่นของเส้นลวดซึ่งขึงตึงที่ปลายทั้งสองข้าง 8.3 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ์เอลลิปติก 8.3.1 ตวัอย่างปัญหาทีเ่ป็ นสมการเชิงเอลลิปติก ตัวอย่างปัญหาที่เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ชนิดเอลลิปติก ได้แก่ ปัญหาการค านวณลักษณะการ กระจายตัวของอุณหภูมิเนื่องจากการถ่ายเทความร้อนบนแผ่นโลหะภายใต้สถานะคงตัวใน สองมิติ ดังรูป รูปที่ 8.1 การถ่ายเทความร้อนในแผ่นโลหะโดยการน าความร้อน พิจารณาด้วยหลักการถ่ายเทความร้อนแบบคงตัว (8.6) ตามกฎของฟูริเยร์ (Fourier’s law) จะได้ (8.7) (8.8)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-4 และประยุกต์อนุกรมเทย์เลอร์ จะได้ * + (8.9) * + * + (8.10) * + แทนค่า (8.7) ถึง (8.10) ในสมการ (8.6) โดยพิจารณาถึงอนุพันธ์อันดับสอง จะได้ * + * + * + * + (8.11) หารสมการ (8.11) ด้วย และ , จะได้ ( ) ( ) (8.12) สมมตุใิหค้ ่าสมัประสทิธกิ์ารน าความรอ้น คงที่ ไม่ขึ้นกันอุณหภูมิ และ ไม่ขึ้นกับต าแหน่ง และ จะได้ (8.13)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-5 จะเห็นว่าเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ชนิดเอลลิปติก เรียกว่า สมการของลาปลาซ (Laplace’s equation) 8.3.2 วิธีการแก้ปัญหาเชิงอนุพันธ์ที่มีรูปแบบเป็นเอลลิปติก ในที่นี่จะใช้จะระเบียบวิธีผลต่างสืบเนื่อง โดยพิจารณาการแบ่งรูปแผ่นโลหะออกเป็นช่อง ๆ ดังรูป 8.2 โดยมีความกว้างเท่ากับ และ ในทิศ และ ตามล าดับ รูปที่ 8.2 การแบ่งแผ่นโลหะออกเป็นตารางสี่เหลี่ยม (8.14) (8.15) แทนค่า (8.14) และ (8.15) ลงในสมการ (8.13) และให้ จะได้ (8.16) ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแผนภาพสมการ (Stencil form) ดังนี้
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-6 รูปที่ 8.3แผนภาพสมการ ตวัอย่าง 8.1 การหาผลเฉลยโดยประมาณ โดยพิจารณาแผ่นโลหะขนาด 4x2 ดังรูป 8.4 หาก เราแบ่งแผ่นโลหะนี้ออกเป็น 4x2 ช่องดังรูป จะท าให้เกิดจุดต่อภายใน ที่เราต้องการหาค่าของ อุณหภูมิทั้งหมด 3 จุดต่อ คือ จุดต่อที่ 2,2 3,2 และ 4,2 จากแผนภาพสมการ ที่จุดต่อ 2,2 จะได้ 1 1 1 -4 1 = 0 1,1 1,2 1,3 2,2 2,1 3,1 4,1 5,1 3,2 4,2 5,2 2,3 3,3 4,3 5,3
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-7 ที่จุดต่อ 3,2 จะได้ ที่จุดต่อ 4,2 จะได้ จะทั้งสามจุด เขียนเป็นระบบสมการได้ดังนี้ และเขียนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์ได้นี้ [ ] { } { } และจะได้ค าตอบ 8.4 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ์พาราโบลิก 8.4.1 ตวัอย่างปัญหาทีเ่ป็ นสมการพาราโบลิก ตัวอย่างปัญหาที่เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ชนิดพาราโบลิก ได้แก่ ปัญหาการค านวณลักษณะการ การถ่ายเทความร้อนในแท่งโลหะในแนวหนึ่งมิติ โดยอุณหภูมิที่ต าแหน่งต่าง ๆ เปลี่ยนแปลง ตามเวลา ดังรูป
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-8 รูปที่ 8.4 การถ่ายเทความร้อนโดยการน าในแท่งโลหะที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา จากรูป 8.4 จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้ (8.17) โดย (8.18) และ จากอนุกรมเทเลอร์ ( ) ( ) (8.19) แทนค่า (8.17) และ (8.18) ลงใน (8.19) และ ให้ จะได้ ( ) (8.20)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-9 สมมติให้ เป็นค่าคงที่ไม่แปรผันตามอุณหภูมิ และต าแหน่ง ใด ๆ จะได้ (8.21) ซึ่งเป็นรูปแบบของสมการเชิงอนุพันธ์แบบพาราโบลิก 8.4.2 วิธีการแก้ปัญหาเชิงอนุพนัธท์ ี่มีรปูแบบเป็ นพาราโบลิก การแก้ปัญหาเชิงอนุพันธ์ชนิดพาราโบลิก สามารถแก้ได้หลายแนวทางซึ่งแต่ละแนวทางมีข้อดี ข้อเสียต่างกัน ในที่นี้จะอธิบาย 3 วิธี 1) ระเบียบวิธีแบบชัดแจ้ง ระเบียบวิธีแบบชัดแจ้ง (Explicit method) เป็นระเบียบวิธีที่ง่ายแก่การเข้าใจและง่ายต่อการ เขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ เริ่มต้นจากเราสามารถประยุกต์สมการผลต่างสืบเนื่องเข้ากับ สมการเชิงอนุพันธ์ (8.21) จากรูป 8.3 เราสามารถแบ่งแท่งโลหะออกเป็นส่วนโดยแต่ละส่วนมี ความยาวเท่ากับ และจุดเชื่อมต่อต่าง ๆ ใช้สัญลักษณ์ i-1, i และ i+1 ดังรูป 8.5 รูปที่ 8.5 การแบ่งแท่งโลหะออกเป็นส่วนเพื่อใช้กับวิธีผลต่างสืบเนื่อง จากรูป 8.5 ประยุกต์วิธีผลต่างสืบเนื่องเข้าสมการ (8.21) และการประมาณผลต่างแบบไปข้างหน้าและ ผลต่างแบบตรงกลาง จะได้ x x i -1 i i +1
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-10 (8.22) จัดพจน์ใหม่จะได้ (8.23) โดย (8.24) รูปที่ 8.6 แผนภาพการค านวณโดยระเบียบวิธีแบบชัดแจ้ง จากรูป 8.6วิธีชัดแจ้งนี้ มีข้อดีที่ค านวณได้ง่ายเนื่องจากจะเป็นการหาค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเพียงตัว เดียวจากตัวแปรที่ทราบค่าแล้วสามตัว แต่มีเงื่อนไขว่า นั่นคือ (8.25) Time step n+1 known n unknown i-1 i i+1
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-11 2) ระเบียบวิธีแบบปริยาย อีกระเบียบวิธีหนึ่งที่จะอธิบายในที่นี้ คือ ระเบียบวิธีแบบปริยาย (Implicit Method) โดย ระเบียบวิธีแบบปริยายนี้จะใช้เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาการลู่ออกของผลลัพธ์จากระเบียบวิธีชัดแจ้ง เนื่องจากการใช้ค่า สูงกว่าค่าวิกฤตตามสมการ (8.25) ระเบียบวิธีแบบปริยายจะแตกต่างจาก จากระเบียบวิธีแบบชัดแจ้ง ที่การประมาณค่าอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับระยะ x โดยระเบียบวิธี แบบชัดแจ้งจะใช้การประมาณค่าอนุพันธ์ที่ต าแหน่งของเวลาล าดับที่ n ดังสมการ (8.22) ขณะที่ ระเบียบวิธีแบบปริยายจะใช้การประมาณค่าอนุพันธ์ที่ต าแหน่งของเวลาล าดับที่ n+1 ดังสมการ (8.26) (8.26) จะท าให้สมการ (8.23) เปลี่ยนเป็นสมการ (8.27) (8.27) ซึ่งสามารถสรุปล าดับการค านวณได้ดังรูป 8.7 รูปที่ 8.7 แผนภาพการค านวณโดยระเบียบวิธีแบบปริยาย จะพบว่าการใช้ระเบียบวิธีแบบปริยายนี้จะเป็นการแก้ระบบสมการ ซึ่งจะใช้เวลามากกว่าการ แก้สมการเดี่ยวที่เกิดขึ้นในระเบียบวิธีแบบชัดแจ้ง แต่สามารถแก้ปัญหาระเบียบวิธีแบบชัดแจ้งที่ต้อง ใช้ค่าช่วงเวลาต ่า ซึ่งท าให้เกิดปัญหาที่ต้องใช้เวลารวมทั้งหมดในการค านวณที่มากขึ้น ในขณะที่ Time step n+1 known n unknown i-1 i i+1
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-12 ระเบียบวิธีแบบปริยายจะมีความซับซ้อนในการสร้างโปรแกรมคอมพิวเตอร์และความเที่ยงตรงของ ผลลัพธ์ที่ต้องใช้ประสบการณ์ของผู้ใช้มากขึ้น 3) ระเบียบวิธีของแครงก์-นิโคลสัน ระเบียบวิธีของแครงก์-นิโคลสัน เป็นระเบียบวิธีแบบปริยายอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งจะให้ค่าความ ผิดพลาดล าดับที่สองทั้งเวลาและระยะทาง จากสมการ (8.26) การประมาณค่าอนุพันธ์อันดับ หนึ่งแปรผันกับเวลา จะใช้ค่ากึ่งกลางระหว่างช่วงเวลาของการค านวณครั้งที่ n และ n+1 มา ใช้แทน ดังสมการ [ ] (8.28) จะท าให้สมการ (8.27) จะเปลี่ยนเป็นสมการ (8.29) (8.29) ซึ่งจะพบว่าค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่าในล าดับเวลาที่ n+1 สามตัวจะได้จากตัวแปรที่ทราบค่าแล้วสามตัว ในล าดับที่ n ดังแสดงในรูป 8.8 รูปที่ 8.8 แผนภาพการค านวณโดยระเบียบวิธีของแครงก์-นิโคลสัน Time step n+1 known n unknown i-1 i i+1
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-13 8.5 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ์ไฮเปอรโ์บลิก 8.5.1 ตวัอย่างปัญหาทีเ่ป็ นสมการไฮเปอรโ์บลิก ปัญหาที่มีลักษณะของสมการที่อยู่ในรูปสมการเชิงอนุพันธ์แบบไฮเพอร์โบลิกนั้น โดยทั่วไปจะเกิด ขึ้นกับปัญหาที่ผลลัพธ์มีลักษณะการแพร่กระจาย จากต าแหน่งหนึ่งไปยังต าแหน่งหนึ่ง เช่น การสั่น ของเส้นลวดซึ่งยึดตึงที่ปลายทั้งสองข้าง พิจาณารูป 8.8 ที่แสดงถึงการสั่นของเส้นลวดและพิจารณา ส่วนย่อยช่วงสั้นเพื่อใช้ในการสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ รูปที่ 8.9 การสั่นของเส้นลวดที่ถูกตึงไว้ทั้งสองด้าน เมื่อ ให้ คือ ระยะทางในทิศตั้งฉากกับแกน x ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามเวลา t และ ระยะ x เนื่องจากแรงตึงในเส้นลวดที่เปลี่ยนแปลงไปกับการสั่นจะมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับแรงตึงเริ่มแรก ดังนั้น เราจึงสมมติให้แรงตึง T คงที่ตลอดความยาวของเส้นลวด และเนื่องจากการพิจารณาส่วนย่อย เล็ก ๆ ท าให้สมมติได้ว่า และ มีค่าน้อย และแรงตึงในเส้นลวดมีค่าสูงกว่าน ้าหนักของเส้นลวดมาก เราจึงไม่น าแรงเนื่องจากน ้าหนักของเส้นลวดมาค านวณ จากกฎข้อที่สองของนิวตันจะได้ (8.30)
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-14 ( ) (8.31) ดังนั้น หากเราให้ จะได้ (8.32) (8.33) โดย นั่นคือ สมการเชิงอนุพันธ์แบบไฮเพอร์โบลิกใน 1 มิติ 8.5.2 วิธีการแก้ปัญหาเชิงอนุพนัธท์ ี่มีรปูแบบเป็ นไฮเพอรโ์บลิก จากรูป 8.9 เราสามารถแบ่งเส้นลวดออกเป็นส่วนย่อย ดังรูป 8.10 รูปที่ 8.10 การแบ่งเส้นลวดที่ถูกขึงตึงทั้งสองด้านออกเป็นส่วน x x i -1 i i +1
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-15 จากรูปที่ 8.10 และสมการ 8.33 ประยุกต์การประมาณค่าของผลต่างแบบตรงกลาง เข้ากับ อนุพันธ์อันดับสองที่แปรผันกับเวลาและระยะได้ดังนี้ (8.34) (8.35) แทนค่าสมการ (8.34) และ (8.35) ลงใน (8.33) จะได้ (8.36) โดย (8.37) ค่า C เรียกว่า ค่าของคูรันต์ (Courant number) ซึ่งค่า C นี้จะมีผลต่อความเที่ยงตรงของผลลัพธ์ หากใช้ ค่า C=1 จะก่อให้เกิดผลลัพธ์ที่เที่ยงตรง จากสมการ (8.36) สามารถเขียนเป็นแผนภาพแสดงการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบไฮเพอร์โบ ลิก ได้ดังรูป 8.11
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-16 รูปที่ 8.11 แผนภาพการค านวณสมการเชิงอนุพันธ์แบบไฮเพอร์โบลิก Time step n+1 known n unkno wn i-1 i i+1 known n-1
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-17 แบบฝึ กหัดท้ายบทที่ 8 1. จงจา แนกชนิดของสมการเชิงอนุพนัธต์ ่อไปนี้ว่าเป็ นสมการแบบ เอลลิปติก พาราโบลิก หรือ ไฮเพอรโ์บลิก และอธิบายระเบียบวิธีในการแก้พอสงัเขป 1.1) สมการของการไลแบบไม่หนืดแต่อัดตัวได้ (inviscid compressible flow) ใน มิติบน ระนาบ xy โดย M แทนตัวเลขมัค (Mach number) ซึ่งมีค่าน้อยกว่าหนึ่งส าหรับ ความเร็วน้อยกว่าเสียง และ แทนความเร็ว 1.2) สมการของการไหลแบบนาเวียร์-สโตกส์ (Navier-stokes) ซึ่งขึ้นอยู่กับเวลา t ใน 1 มิติโดย u แทนความเร็วในแนวแกน x และ แทนความหนืด 1.3) สมการของการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิที่ขึ้นกับเวลา t และระยะทา x ของการไหลใน ท่อ ซึ่งลักษณะการไหล โดย T แทนอุณหภูมิ และ a, b, c แทนค่าคงตัวซึ่งมีค่าเป็น บวกเสมอ 1.4) สมการของการไหลภายใต้สถานะอยู่ตัวผ่านพื้นที่หน้าตัดของท่อซึ่งอยู่ในแนว x-y โดย แทนความเร็ว c แทนอัตราการเปลี่ยนแปลงของความดันในทิศทางของการ ไหล และ แทนความหนืด
วิธีการค านวณเชิงตัวเลข (บทที่ 8 การแก้สมการเชิงอนุพนัธ ์ย่อย) ผชู้่วยศาสตราจารย์อดุลย์จรรยาเลิศอดุลย์ ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี 8-18 1.5) สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในรูปแบบที่ประกอบด้วยตัวแปรต้น x, y และตัวแปรตาม 2. จงใช้ระเบียบวิธีผลต่างสืบเนื่องเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยมีเงื่อนไขขอบเขต แบ่งปัญหาออกเป็นสามช่องทั้งในแนวแกน X และ Y เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับผลลัพธ์แม่นตรง ซึ่ง คือ u(x,y)=xy 3. จงใช้ระเบียบวิธีผลต่างสืบเนื่องเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยมีเงื่อนไขขอบเขต แบ่งปัญหาออกเป็นสองช่องทั้งในแนวแกน X และสี่ช่องในแนวแกน Y เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับ ผลลัพธ์แม่นตรง ซึ่งคือ u(x,y)= (x-y)2
ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี ปิด