1. เขียนชื่อหนาตัดที่เกิดจากการใชระนาบตัดรูปเรขาคณิตสามมิติในลักษณะตางกันในแตละขอ ตอไปนี้ 1) 2) ................................................................................ …………………………………………………….. 3) 4) ......................................................................... …………………………………………………….. 5) 6) ......................................................................... …………………………………………………….. ตัวชี้วัด ค 2.2 ม.1/2 หน่วยการเรียนรู้ที่ 4 4.1 หนาตัดของรูปเรขาคณิตสามมิติ คะแนนที่ได คะแนนเต็ม Exercise 4.1 10 มิติสัมพันธของรูปเรขาคณิต 96 ฉบับ เฉลย รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปวงรี รูปวงกลม
7) 8) ......................................................................... …………………………………………………….. 9) 10) …………………………………………………….. …………………………………………………….. 2. เขียนชื่อหนาตัดที่เกิดจากการใชระนาบตัดรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให 1) ตัดตามแนวขนานกับพื้นราบ ............................................................................... ตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ ............................................................................. 2) ตัดตามแนวขนานกับพื้นราบ ............................................................................... ตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ ............................................................................. 3) ตัดตามแนวขนานกับพื้นราบ ............................................................................... ตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ ............................................................................. 7) 8) 97 ฉบับ เฉลย รูปสี่เหลี่ยมคางหมู รูปสี่เหลี่ยมผืนผา รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู รูปวงกลม รูปวงรี รูปวงกลม รูปสามเหลี่ยม รูปวงกลม รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
4) ตัดตามแนวขนานกับพื้นราบ ............................................................................... ตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ ............................................................................. 5) ตัดตามแนวขนานกับพื้นราบ ............................................................................... ตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ ............................................................................. 6) ตัดตามแนวขนานกับพื้นราบ ............................................................................... ตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ ............................................................................. 7) ตัดตามแนวขนานกับพื้นราบ ............................................................................... ตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ ............................................................................. 8) ตัดตามแนวขนานกับพื้นราบ ............................................................................... ตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ ............................................................................. 9) ตัดตามแนวขนานกับพื้นราบ ............................................................................... ตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ ............................................................................. 10) ตัดตามแนวขนานกับพื้นราบ ............................................................................... ตัดตามแนวตั้งฉากกับพื้นราบ ............................................................................. 98 ฉบับ เฉลย รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปวงกลม รูปวงกลม รูปวงกลม รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยม รูปหกเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปวงรี รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
คณิตศาสตรในชีวิตจริง Math in Real Life ด.ญ. ไหม ทําเทียนหอมรูปทรงกรวย แต ด.ญ. ไหม ตองการใหหนาตัดของเทียนหอมมีรูปแบบ แตกตางกัน เธอจึงตัดเทียนหอมรูปทรงกรวยตามจุดตาง ๆ ในแตละรูปตามที่กําหนด อยากทราบวา ในการตัดแตละครั้ง ด.ญ. ไหม จะไดพื้นที่หนาตัดเปนรูปอะไรบาง โดยใหนักเรียนวาดรูปหนาตัดที่ เกิดขึ้นจากการตัดเทียนหอมรูปทรงกรวยลงในชองวาง พรอมทั้งบอกชื่อของรูปที่เกิดขึ้น 1. 2. 3. .................................................. .................................................. .................................................. 99 ฉบับ เฉลย วงกลม วงรี สามเหลี่ยม
1. จับคูรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปนี้กับภาพดานหนาที่กําหนดให 1) ........................................... 2) ………………………………. 3) ………………………………. 4) ........................................... 5) ………………………………. 6) ………………………………. การมองวัตถุหรือรูปเรขาคณิตสามมิติตาง ๆ อาจมองเห็นภาพเรขาคณิตสองมิติจากรูปเรขาคณิต สามมิติรูปเดียวกันตางกัน ขึ้นอยูกับวามองวัตถุนั้น ๆ ดานใด ซึ่งในที่นี้จะพิจารณาจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบน โดยการมองตองมองในทิศทางหรือแนวตั้งฉากกับดานนั้น ๆ 4.2 การอธิบายภาพสองมิติที่ ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ Exercise 4.2 คะแนนที่ได คะแนนเต็ม 30 A D B E F C ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ 100 ฉบับ เฉลย C A B F D E
2. จับคูรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปนี้กับภาพดานขางที่กําหนดให 1) .............................................................. 2) …………………………………………….. 3) .............................................................. 4) …………………………………………….. 5) .............................................................. 6) …………………………………………….. ดานขาง ดานขาง ดานขาง ดานขาง ดานขาง ดานขาง ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ G H M N L J K I 101 ฉบับ เฉลย M L I G N H
3. จับคูรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปนี้กับภาพดานบนที่กําหนดให 1) .............................................................. 2) …………………………………………….. 3) .............................................................. 4) …………………………………………….. 5) .............................................................. 6) …………………………………………….. O P Q R V U T S ดานบน ดานบน ดานบน ➜ ➜ ➜ ดานบน ➜ ดานบน ➜ ดานบน ➜ 102 ฉบับ เฉลย Q S P U O V
4. เขียนภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปนี้ รูปเรขาคณิตสามมิติ ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 1) 2) 3) 4) 5) 6) ➜ ➜ ➜ ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ➜ ดานหนา ➜ ➜ 103 ฉบับ เฉลย
ดานหนา รูปเรขาคณิตสามมิติ ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 7) 8) 9) 10) 11) 12) ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา 104 ฉบับ เฉลย
ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน ภาพสามมิติ 1) 2) 3) 4) 5) 6) 5. จากภาพที่กําหนด ใหกา ✗ ทับภาพสามมิติที่ถูกตอง ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ➜ ➜ ดานหนา ดานหนา 105 ฉบับ เฉลย
4.3 รูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก 1. จับคูรูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกในแตละขอตอไปนี้ กับภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบน 1) A ........................................... 2) B ............................................ 3) C ........................................... 4) D ........................................... 5) E ........................................... 6) F ........................................... Exercise 4.3 คะแนนที่ได คะแนนเต็ม 30 ภาพดานหนา ภาพดานหนา ภาพดานหนา ภาพดานหนา ภาพดานหนา ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานขาง ภาพดานขาง ภาพดานขาง ภาพดานขาง ภาพดานขาง ภาพดานบน ภาพดานบน ภาพดานบน ภาพดานบน ภาพดานบน ภาพดานบน 106 ฉบับ เฉลย F D A E B C
2. เขียนจํานวนลูกบาศกที่เรียงซอนกันในตารางของภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนด รูปเรขาคณิตสามมิติ ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 1) 2) 3) 4) 5) 6) ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา 107 ฉบับ เฉลย 1 2 2 1 1 3 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 3 4 2 2 2 2 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 1 1 2 1 3 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 1 3 2 3 2 1 1 1
รูปเรขาคณิตสามมิติ ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 7) 8) 9) 10) 11) 12) ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ดานหนา ➜ ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา 108 ฉบับ เฉลย 1 1 3 1 2 4 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 3 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 2 3 4 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 1 3 4 1 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 3 3 4 4 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 3 3 1 2 4 4 2 2 2 4 2 2 4 3 2 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 1 1 1 2 2 2 4 4 3 1 3 3 3 2 4 3 3
➜ ➜ ➜ ➜ 3. จับคูภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให ดานขวา พรอมทั้งเขียนจํานวนลูกบาศกที่เรียงซอนกันในดานที่มองกํากับไวในตาราง 1) A ............................................ 2) B ............................................ 3) C ............................................ 4) D ............................................ ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ภาพดานหนา ภาพดานหนา ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานขาง ภาพดานขาง ภาพดานบน ภาพดานบน ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน ภาพดานบน 109 ฉบับ เฉลย 1 1 1 3 2 2 3 1 1 1 1 2 1 1 4 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 1 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 5 2 1 3 2 2 2 4 2 1 1 2 2 3 4 2 1 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 4 1 4 3 2 1 3 1 4 3 2 3 3 2 1 1 2 1 1 C A D B
➜ ➜ 5) E ............................................ 6) F ............................................ 4. จากรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนด ใหเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติแสดงภาพที่ไดจากการมอง ดานหนา ดานขาง และดานบน พรอมเขียนจํานวนลูกบาศกที่เรียงซอนกันในดานที่มองกํากับ ไวในตาราง รูปเรขาคณิตสามมิติ ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 1) 2) ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ➜ ➜ ภาพดานหนา ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานขาง ภาพดานบน ภาพดานบน 110 ฉบับ เฉลย 1 3 1 3 3 1 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 4 4 2 3 2 4 2 1 1 3 2 1 1 3 1 3 3 4 4 4 1 2 2 2 3 3 3 3 2 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 F E 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 3
รูปเรขาคณิตสามมิติ ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 3) 4) 5) 6) 7) ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ 111 ฉบับ เฉลย 1 1 2 2 2 1 2 1 4 2 2 2 2 3 3 1 2 1 3 1 1 4 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 4 3 3 2 1 3 2 1 2 2 2 3 4 3 2 3 4 3 1 2 1 2 4 4 2 2 4 4 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 3 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4 3 2 3 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 3 3 2
รูปเรขาคณิตสามมิติ ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 8) 9) 10) 11) 12) ดานหนา ดานหนา ➜ ➜ ดานหนา ดานหนา ดานหนา ➜ ➜ ➜ 112 ฉบับ เฉลย 2 4 3 2 4 3 2 2 2 3 3 1 4 4 4 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 3 3 2 1 2 4 4 2 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 3 2 3 4 1 2 2 1 2 3 1 2 4 4 2 2 1 4 3 2 1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 3 3 2 1 4 4 2 2 2 3 2 2 1 3 2 2 1 2
5. พิจารณาภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ แลวเขียนรูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกที่กําหนดให 1) รูปเรขาคณิตสามมิติ 2) 3) 4) ภาพดานบน 2 2 2 1 1 1 ภาพดานหนา 1 2 2 3 1 ภาพดานขาง 2 1 2 3 1 ภาพดานหนา 2 1 1 2 2 2 2 ภาพดานขาง 1 3 4 4 ภาพดานบน 3 2 3 1 1 1 1 ภาพดานหนา 2 2 1 2 3 2 ภาพดานขาง 1 1 1 2 2 3 2 ภาพดานบน 3 2 1 2 1 ภาพดานหนา 1 2 1 3 1 1 ภาพดานขาง 1 1 2 1 1 3 ภาพดานบน 2 2 2 1 2 1 1 1 113 ฉบับ เฉลย
5) รูปเรขาคณิตสามมิติ 6) 7) 8) ภาพดานบน 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 ภาพดานหนา 1 1 1 3 3 3 1 ภาพดานขาง 1 2 2 3 4 1 ภาพดานบน 1 4 3 2 2 2 ภาพดานหนา 1 2 1 3 1 1 4 1 ภาพดานขาง 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 ภาพดานบน 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ภาพดานหนา 2 1 1 3 3 3 ภาพดานขาง 1 3 3 3 3 ภาพดานบน 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ภาพดานหนา 1 1 2 3 3 2 2 3 3 2 ภาพดานขาง 2 4 4 2 4 4 2 114 ฉบับ เฉลย
9) รูปเรขาคณิตสามมิติ 10) 11) 12) ภาพดานบน 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 ภาพดานหนา 3 1 3 3 4 ภาพดานขาง 2 1 1 3 3 3 1 ภาพดานบน 3 1 1 3 2 1 2 2 ภาพดานขาง 1 1 2 2 1 2 3 3 ภาพดานหนา 2 3 2 3 3 2 ภาพดานหนา 2 3 2 3 3 3 ภาพดานบน 3 3 2 1 2 2 1 1 1 ภาพดานขาง 1 1 2 2 1 2 3 3 1 ภาพดานบน 3 2 2 3 2 2 2 2 1 ภาพดานหนา 2 3 3 2 3 3 3 ภาพดานขาง 1 1 2 3 3 3 3 3 115 ฉบับ เฉลย
แนวขอสอบ กําหนดรูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก ดังนี้ 1. เขียนรูปเรขาคณิตสองมิติแสดงภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบน 2. เมื่อกําหนดแถวดังรูป จงหาวา 1) แถวที่ 2 มีลูกบาศกกี่ชั้น ............................................................................................................................................................... แตละชั้นของแถวที่ 2 มีลูกบาศกกี่ลูก ............................................................................................................................. 2) แถวที่ 3 มีลูกบาศกกี่ชั้น ............................................................................................................................................................... รวมทุกชั้นของแถวที่ 3 มีลูกบาศกกี่ลูก ......................................................................................................................... 3) แถวที่ 4 และแถวที่ 5 อาจมีลูกบาศกที่มองไมเห็นกี่ลูก ............................................................................... ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน ➜ แถวที่ 6 แถวที่ 4 แถวที่ 5 แถวที่ 3 แถวที่ 2 แถวที่ 1 ดานหนา 116 ฉบับ เฉลย 2 ชั้น ชั้นที่ 1 มี 5 ลูก และชั้นที่ 2 มี 4 ลูก 3 ชั้น 5 + 4 + 3 = 12 ลูก 6 ลูก
แมคาคนหนึ่งรับซื้อสมโอจากชาวสวนมาขายที่ตลาดไทยทัศน แมคาจะนํา สมโอมาจัดเรียงใหเปนรูปทรงคลายพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพื่อใหดูโดดเดน สวยงาม ดังรูป เนื้อหาทางคณิตศาสตร : ปริภูมิและรูปทรง รูปแบบขอสอบ : การเขียนตอบ บริบท : สวนตัว กระบวนการ : การคิดเชิงคณิตศาสตร พีระมิดสมโอ คะแนนที่ได คะแนนเต็ม PISA-like 10 Problem ? คําถามที่ 1 ถาแมคาจัดเรียงสมโอไวกองละ 140 ผล ที่มีรูปทรงคลายพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส แมคาจะตองใชสมโอเพื่อทําสวนฐานพีระมิดทั้งหมดกี่ผล ตอบ ....................................................................................................................................................................................................... คําถามที่ 2 ถาแมคาจัดเรียงสวนฐานของพีระมิดใหเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยใชสมโอดานละ 5 ผล แลวใน 1 กอง จะมีสมโอทั้งหมดกี่ผล ตอบ ....................................................................................................................................................................................................... คําถามที่ 1 คําถามที่ 2 117 ฉบับ เฉลย 49 ผล 55 ผล
คะแนนที่ได คะแนนเต็ม 10 แบบทดสอบหนวยการเรียนรูที่ Unit Test 4 1. ปริซึมฐานสามเหลี่ยมประกอบดวยรูปอะไรบาง 1. รูปสามเหลี่ยม 1 รูป รูปสี่เหลี่ยม 2 รูป 2. รูปสามเหลี่ยม 2 รูป รูปสี่เหลี่ยม 3 รูป 3. รูปสามเหลี่ยม 3 รูป รูปสี่เหลี่ยม 1 รูป 4. รูปสามเหลี่ยม 4 รูป รูปสี่เหลี่ยม 1 รูป 2. พื้นที่ผิวดานขางของรูปพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา เปนรูปสามเหลี่ยมชนิดใด 1. รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 2. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3. รูปสามเหลี่ยมดานเทา 4. รูปสามเหลี่ยมดานไมเทา 3. หนาตัดที่เกิดจากการใชระนาบตัดสิ่งตาง ๆ ตามแนวใดแนวหนึ่ง ขอใดตางจากพวก 1. 2. 3. 4. 4. จากรูปเมื่อใชระนาบตัดแบงแลว จะไดผิวระนาบหนาตัดเปนรูป อะไร 1. สามเหลี่ยม 2. สี่เหลี่ยม 3. หาเหลี่ยม 4. หกเหลี่ยม 2. รูปสามเหลี่ยม 2 รูป รูปสี่เหลี่ยม 3 รูป 1. รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 2. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3. 4. 1. สามเหลี่ยม 2. สี่เหลี่ยม ตอนที่ 1 เลือกคําตอบที่ถูกที่สุดเพียงขอเดียว 118 ฉบับ เฉลย
5. ภาพดานหนา และภาพดานขางของรูปเรขาคณิตสามมิติในขอใดที่มีลักษณะเดียวกัน 1) 2) 3) 1. ขอ 1) และ ขอ 2) 2. ขอ 1) และ ขอ 3) 3. ขอ 2) และ ขอ 3) 4. ขอ 1), 2) และ ขอ 3) 6. รูปเรขาคณิตสามมิติในขอใดที่มีภาพดานขาง และภาพดานบนที่มีลักษณะเดียวกัน 1. 2. 3. 4. 1. ขอ 1) และ ขอ 2) 1. 2. ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานขาง ดานขาง ดานขาง ดานขาง ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ 119 ฉบับ เฉลย
7. ภาพดานหนาที่กําหนดใหตอไปนี้มาจากรูปเรขาคณิตสามมิติในขอใด 1. 2. 3. 4. 8. ขอใดเปนภาพดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให 1. 2. 3. 4. 3. 4. 3. 4. ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานบน ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ 120 ฉบับ เฉลย
9. ขอใดเปนภาพดานขางของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให 1. 2. 3. 4. 10. ภาพดานหนา ดานขาง และดานบนที่กําหนดใหตอไปนี้มาจากรูปเรขาคณิตสามมิติในขอใด 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. ➜ ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ➜ ➜ ➜ ➜ ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 121 ฉบับ เฉลย
11. ภาพดานหนา ดานขาง และดานบนที่กําหนดใหตอไปนี้มาจากรูปเรขาคณิตสามมิติในขอใด 1. 2. 3. 4. 12. จํานวนลูกบาศกที่อยูในตารางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กําหนดใหที่ไดจาก การมองภาพดานหนาของรูปเรขาคณิตสามมิติในขอใดถูกตอง 1. 2. 3. 4. 1. 2. ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ➜ ➜ ➜ ➜ ➜ ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 122 ฉบับ เฉลย
ใชรูปตอไปนี้ ตอบคําถามขอ 13. - 15. 13. ภาพที่ไดจากการมองดานหนาตรงกับขอใด 1. 2. 3. 4. 14. ภาพที่ไดจากการมองดานขางตรงกับขอใด 1. 2. 3. 4. 3. 4. ดานหนา ➜ 123 ฉบับ เฉลย
15. ภาพที่ไดจากการมองดานบนตรงกับขอใด 1. 2. 3. 4. 16. ภาพดานหนา ดานขาง และดานบนที่กําหนดใหตอไปนี้ตรงกับรูปเรขาคณิตสามมิติในขอใด 1. 2. 3. 4. 1. 2. ดานหนา ➜ ดานหนา➜ ดานหนา ➜ ดานหนา ➜ ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 124 ฉบับ เฉลย
17. ภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติไดมาจากการจัดลูกบาศก ตามขอใด 1. 2. 3. 4. 18. ภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติไดมาจากการจัดลูกบาศก ตามขอใด 1. 2. 3. 4. 1. 2. 1. 2. ➜ ➜ ➜ ➜ ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ดานหนา ➜ ➜ ➜ ➜ ภาพดานบน 2 3 4 3 2 2 2 ภาพดานขาง 1 3 1 2 4 1 2 4 4 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 ภาพดานหนา ภาพดานบน 1 2 1 2 1 2 3 1 1 1 5 2 1 2 1 2 1 5 2 2 1 1 ภาพดานขาง ➜ ภาพดานหนา 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 3 2 125 ฉบับ เฉลย
19. ขอใดมีจํานวนลูกบาศกเทากัน 1) 2) 3) 1. ขอ 1) และ ขอ 2) 2. ขอ 2) และ ขอ 3) 3. ขอ 1) และ ขอ 3) 4. ขอ 1), 2) และ ขอ 3) 20. มีตัวตออยูจํานวนหนึ่ง นํามาตอเปนรูปได ดังภาพ ถานําตัวตอทั้งหมด มาตอเปนรูปใหมจะไดรูปตรงกับขอใด 1. 2. 3. 4. 1. ขอ 1) และ ขอ 2) 2. ขอ 2) และ ขอ 3) 126 ฉบับ เฉลย
1. จากรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให จงเขียนภาพที่ไดจากการมอง ดานหนา ดานขาง และดานบน ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ 2. กําหนดภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ ดังนี้ จัดลูกบาศกใหไดรูปเรขาคณิตสามมิติตามภาพที่กําหนด (ตัวอยาง) ตอนที่ 2 แสดงวิธีทํา คะแนนที่ได คะแนนเต็ม 10 ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน ดานหนา ➜ 127 ฉบับ เฉลย ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน 1 1 2 1 3 3 2 3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 4 3
3. กําหนดรูปเรขาคณิตสามมิติประกอบขึ้นจากลูกบาศก ดังนี้ เมื่อกําหนดแถว ดังรูป 1) เขียนภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... 2) ถารูปเรขาคณิตสามมิตินี้เปนขั้นบันได โดยตองการสรางบันได และปูกระเบื้องทุกดาน (ยกเวนดานลางที่ติดกับพื้น) จะตองใชกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดกี่แผน ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................... ดานหนา ➜ แถวที่ 4 แถวที่ 5 แถวที่ 3 แถวที่ 2 แถวที่ 1 128 ฉบับ เฉลย แถวที่ 1 จํานวน 10 แผน แถวที่ 2 จํานวน 11 แผน แถวที่ 3 จํานวน 12 แผน แถวที่ 4 จํานวน 10 แผน แถวที่ 5 จํานวน 19 แผน รวมตองใชกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด 62 แผน ภาพดานหนา ภาพดานขาง ภาพดานบน
1. เขียนจํานวนถัดไปอีกสามจํานวนของแบบรูปที่กําหนดใหตอไปนี้ 1) 8, 16, 24, 32, ................................................ , …………………………………. , ............................................... 2) 14, 28, 42, 56, ................................................ , …………………………………. , ............................................... 3) 23, 46, 69, 92, ................................................ , …………………………………. , ............................................... 4) 4, 3, 2, 1, ................................................ , …………………………………. , ............................................... 5) -3, -1, 1, 3, ................................................ , …………………………………. , ............................................... 6) 11, 13, 16, 20, ................................................ , …………………………………. , ............................................... 7) 4, 16, 64, 256, ................................................ , …………………………………. , ............................................... 8) 5, 25, 125, 625, ................................................ , …………………………………. , ............................................... 9) 1 12, 1 24, 1 36, 1 48, ................................................ , …………………………………. , ............................................... 10) 2 4 , 3 9 , 4 16, 5 25, ................................................ , …………………………………. , ............................................... 2. เขียนรูปถัดไปอีกสามรูปของแตละแบบรูปตอไปนี้ 1) ........................................................................................................................................................................................................................................ ตัวชี้วัด ค 1.3 ม.1/1 หน่วยการเรียนรู้ที่ 5 แบบรูปเปนการแสดงความสัมพันธของสิ่งตาง ๆ มักเปนความสัมพันธระหวางลําดับที่กับจํานวนใน แบบรูป ซึ่งสามารถนํามาเขียนความสัมพันธในรูปของตัวแปร แลวแทนคาตัวแปรเพื่อหาจํานวนในแบบรูป ในลําดับที่ตองการ 5.1 แบบรูปและความสัมพันธ คะแนนที่ได คะแนนเต็ม Exercise 5.1 20 สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 129 ฉบับ เฉลย 40 48 56 70 84 98 115 138 161 0 -1 -2 5 7 9 25 31 38 1,024 4,096 16,384 3,125 15,625 78,125 1 60 1 72 1 84 6 36 7 49 8 64
2) ........................................................................................................................................................................................................................................ 3) ........................................................................................................................................................................................................................................ 4) ........................................................................................................................................................................................................................................ 130 ฉบับ เฉลย
3. พิจารณาความสัมพันธระหวางลําดับที่กับจํานวนตามแบบรูปที่กําหนดให และหาจํานวนที่อยู ในลําดับที่ n ขอ ลําดับที่ 1 2 3 4 … 10 … n 1) 5 …………………. 6 …………………. 7 …………………. 8 ………………….. … … 14 …………………. … … ………………….. 2) 3 …………………. 5 …………………. 7 …………………. 9 ………………….. … … …………………. …………………. … … ………………….. 3) 6 …………………. 8 …………………. 10 …………………. 12 ………………….. … … …………………. …………………. … … ………………….. 4) 5 …………………. 8 …………………. 11 …………………. 14 ………………….. … … …………………. …………………. … … ………………….. 5) 7 …………………. 10 …………………. 13 …………………. 16 ………………….. … … …………………. …………………. … … ………………….. 6) 8 …………………. 11 …………………. 14 …………………. 17 ………………….. … … …………………. …………………. … … ………………….. 7) 1 …………………. 3 …………………. 5 …………………. 7 ………………….. … … …………………. …………………. … … ………………….. 8) 0 …………………. 3 …………………. 6 …………………. 9 ………………….. … … …………………. …………………. … … ………………….. 9) 2 …………………. 6 …………………. 10 …………………. 14 ………………… … … …………………. …………………. … … ………………….. 10) 4 …………………. 9 …………………. 14 …………………. 19 ………………… … … …………………. …………………. … … ………………….. 11) 1 …………………. 3 …………………. 7 …………………. 15 ………………….. … … …………………. …………………. … … ………………….. 12) -1 …………………. 6 …………………. 25 …………………. 62 ………………….. … … …………………. …………………. … … …………………. n + 4 131 ฉบับ เฉลย 1 + 4 2 + 4 3 + 4 4 + 4 10 + 4 2(1) + 1 2(2) + 1 2(3) + 1 2(4) + 1 2(10 ) + 1 2n + 1 2(1) + 4 2(2) + 4 2(3) + 4 2(4) + 4 2(10 ) + 4 2n + 4 3(1) + 2 3(2) + 2 3(3) + 2 3(4) + 2 3(10) + 2 3n + 2 3(1) + 4 3(2) + 4 3(3) + 4 3(4) + 4 3(10) + 4 3n + 4 3(1) + 5 3(2) + 5 3(3) + 5 3(4) + 5 3(10) + 5 3n + 5 2(1) - 1 2(2) - 1 2(3) - 1 2(4) - 1 2(10) - 1 2n - 1 3(1) - 3 3(2) - 3 3(3) - 3 3(4) - 3 3(10) - 3 3n - 3 4(1) - 2 4(2) - 2 4(3) - 2 4(4) - 2 4(10) - 2 4n - 2 5(1) - 1 5(2) - 1 5(3) - 1 5(4) - 1 5(10) - 1 5n - 1 21 -1 22 -1 23 -1 24 -1 210 -1 2n - 1 13 - 2 23 - 2 33 - 2 43 - 2 103 - 2 n3 - 2 21 24 32 34 35 19 27 38 49 1,023 998
4. พิจารณาตารางแสดงความสัมพันธระหวางลําดับที่และจํานวนที่กําหนดให แลวตอบคําถาม 1) ลําดับที่ 1 2 3 4 5 … n จํานวน 11 15 19 23 27 … (1) หาจํานวนในลําดับที่ 24 .......................................................................................................................................................... (2) จํานวน 331 อยูในลําดับที่เทาไร ................................................................................................................................... (3) ลําดับที่ n เปนจํานวนใด ........................................................................................................................................................ 2) จํานวนมาก 26 27 28 29 30 … n จํานวนนอย 1 2 3 4 5 … (1) จากความสัมพันธที่กําหนดให ถาผลบวกของจํานวนมากและจํานวนนอยเทากับ 79 จํานวนมาก คือ ……………………………………………. จํานวนนอย คือ ................................................................... เขียนเปนสมการเพื่อหาคําตอบ........................................................................................................................................ (2) ถาจํานวนมาก คือ 36 จํานวนนอยคือจํานวนใด ............................................................................................ (3) ถาจํานวนนอย คือ 29 จํานวนมากคือจํานวนใด ............................................................................................ (4) ถาจํานวนมาก คือ n จํานวนนอยคือจํานวนใด .............................................................................................. 3) จํานวนคี่บวก จํานวนแรก 1 3 5 7 9 … n จํานวนคี่บวก จํานวนที่สอง 3 5 7 9 11 … (1) จากความสัมพันธที่กําหนดให ถาผลบวกของจํานวนคี่บวกสองจํานวน มีคาเทากับ 136 จํานวนคี่บวกจํานวนแรก คือ ............................................................................................................................... จํานวนคี่บวกจํานวนที่สอง คือ.......................................................................................................................................... เขียนเปนสมการเพื่อหาคําตอบ........................................................................................................................................ (2) ถาจํานวนคี่บวกจํานวนแรก คือ 31 จํานวนคี่บวกจํานวนที่สอง คือ ......................................... (3) ถาจํานวนคี่บวกจํานวนที่สอง คือ 47 จํานวนคี่บวกจํานวนแรก คือ .......................................... (4) ถาจํานวนคี่บวกจํานวนแรก คือ n จํานวนคี่บวกจํานวนที่สอง คือ ............................................ 132 ฉบับ เฉลย 33 45 n + 2 n n + 2 n + (n + 2) = 136 n n - 25 n + (n - 25) = 79 11 54 n - 25 103 81 4n + 7
5. พิจารณาแบบรูปและความสัมพันธที่กําหนดให แลวตอบคําถามตอไปนี้ 1) หาจํานวนในลําดับที่ 13 ของแบบรูปตอไปนี้ 1, 5, 9, 13, … ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 2) หาจํานวนในลําดับที่ 25 ของแบบรูปตอไปนี้ 8, 1, -6, -13, … ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 3) หาจํานวนในลําดับที่ 32 ของแบบรูปตอไปนี้ 5, 7, 9, 11, … ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 4) หาจํานวนในลําดับที่ 37 ของแบบรูปตอไปนี้ 7, 14, 21, 28, … ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 5) หาจํานวนในลําดับที่ 54 ของแบบรูปตอไปนี้ 15, 30, 45, 60, … ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 6) หาจํานวนในลําดับที่ 15 ของแบบรูปตอไปนี้ 1, 2, 4, 8, … ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 7) หาจํานวนในลําดับที่ 11 ของแบบรูปตอไปนี้ 2, 6, 18, 54, … ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 8) หาจํานวนในลําดับที่ 13 ของแบบรูปตอไปนี้ -11, -22, -44, -88, … ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 9) หาจํานวนในลําดับที่ 8 ของแบบรูปตอไปนี้ 1 81, 1 27, 1 9, 1 3, … ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 133 ฉบับ เฉลย จํานวนที่ n คือ 1 + 4(n - 1) = 4n - 3 จํานวนที่ 13 คือ 4(13) - 3 = 49 จํานวนที่ n คือ 8 - 7(n - 1) = 15 - 7n จํานวนที่ 25 คือ 15 - 7(25) = -160 จํานวนที่ n คือ 5 + 2(n - 1) = 2n + 3 จํานวนที่ 32 คือ 2(32) + 3 = 67 จํานวนที่ n คือ 7 + 7(n - 1) = 7n จํานวนที่ 37 คือ 7(37) = 259 จํานวนที่ n คือ 15 + 15(n - 1) = 15n จํานวนที่ 54 คือ 15(54) = 810 จํานวนที่ n คือ 2n - 1 จํานวนที่ 15 คือ 215 - 1 = 214 = 16,384 จํานวนที่ n คือ 2(3n - 1) จํานวนที่ 11 คือ 2(311 - 1) = 2 × 3 10 = 118,098 จํานวนที่ n คือ (-11)(2n - 1) จํานวนที่ 13 คือ (-11)(213 - 1) = (-11) × 212 = -45,056 จํานวนที่ n คือ 1 81 × (3n - 1) หรือ 3n - 5 จํานวนที่ 8 คือ 1 81 × (38 - 1) = 1 81 × 3 7 = 27
6. พิพิธภัณฑศิลปะนานาชาติเก็บคาเขาชมสําหรับผูเขาชมเปนหมูคณะ คนละ 90 บาท และ คาวิทยากรผูบรรยาย คณะละ 50 บาท พิจารณาตารางแสดงความสัมพันธที่กําหนดให แลวตอบคําถามตอไปนี้ ผูเขาชม (คน) คาเขาชม (บาท) คาวิทยากร (บาท) คาใชจาย (บาท) 1 90 × 1 50 (90 × 1) + 50 = 140 2 90 × 2 50 (90 × 2) + 50 = 230 3 90 × 3 50 (90 × 3) + 50 = 320 4 90 × 4 50 (90 × 4) + 50 = 410 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ n 90 × n 50 (90 × n) + 50 1) ถามีผูเขาชมเปนหมูคณะจํานวน 17 คน พิพิธภัณฑจะไดเงินทั้งหมดกี่บาท ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 2) ถามีผูเขาชมเปนหมูคณะจํานวน 24 คน พิพิธภัณฑจะไดเงินทั้งหมดกี่บาท ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 3) ถาคาใชจายของผูเขาชมคณะหนึ่งเปนเงิน 1,130 บาท คณะนี้มีผูเขาชมกี่คน ....................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 4) ถาคาใชจายของผูเขาชมคณะหนึ่งเปนเงิน 2,660 บาท คณะนี้มีผูเขาชมกี่คน ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 134 ฉบับ เฉลย (90 × n) + 50 = 1,130 (90 × n) + 50 - 50 = 1,130 - 50 90 × n 90 = 1,080 90 จะได n = 12 ดังนั้น คณะนี้มีผูเขาชม 12 คน ตอบ แทนคา n = 17 ใน (90 × n) + 50 จะได = (90 × 17) + 50 = 1,580 ดังนั้น พิพิธภัณฑจะไดเงินทั้งหมด 1,580 บาท ตอบ แทนคา n = 24 ใน (90 × n) + 50 จะได = (90 × 24) + 50 = 2,210 ดังนั้น พิพิธภัณฑจะไดเงินทั้งหมด 2,210 บาท ตอบ (90 × n) + 50 = 2,660 (90 × n) + 50 - 50 = 2,660 - 50 90 × n 90 = 2,610 90 จะได n = 29 ดังนั้น คณะนี้มีผูเขาชม 29 คน ตอบ
7. โรงงานแหงหนึ่งรับจางผลิตรองเทา โดยคิดคาผลิตคูละ 299 บาท และคาออกแบบ แบบละ 1,000 บาท พิจารณาตารางแสดงความสัมพันธที่กําหนดให แลวตอบคําถามตอไปนี้ รองเทา (คู) 1 2 3 4 … n คาจางผลิต (บาท) 1,299 1,598 1,897 2,196 … 1) จงเขียนความสัมพันธระหวางจํานวนรองเทากับคาจางผลิต ถาให n แทนจํานวนรองเทา ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 2) ถาจางโรงงานผลิตรองเทาแบบเดียวกัน 180 คู โรงงานจะคิดคาจางกี่บาท ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 3) ถาลูกคาจางโรงงานผลิตรองเทาแบบเดียวกัน 21 โหล จะเสียคาจางกี่บาท ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 4) ถาโรงงานไดคาจางผลิตรองเทาแบบหนึ่งเปนเงิน 98,175 บาท อยากทราบวาลูกคา จางใหผลิตรองเทากี่คู ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................ 135 ฉบับ เฉลย แทนคา n = 180 ใน (299 × n) + 1,000 จะได = (299 × 180) + 1,000 = 54,820 ดังนั้น โรงงานจะคิดคาจาง 54,820 บาท ตอบ ดังนั้น ความสัมพันธระหวางจํานวนรองเทากับคาจางผลิต เทากับ (299 × n) + 1,000 เมื่อ n แทนจํานวนรองเทา ตอบ แทนคา n = 21 × 12 = 252 ใน (299 × n) + 1,000 จะได = (299 × 252) + 1,000 = 76,348 ดังนั้น ลูกคาจะเสียคาจาง 76,348 บาท ตอบ (299 × n) + 1,000 = 98,175 (299 × n) + 1,000 - 1,000 = 98,175 - 1,000 299 × n 299 = 97,175 299 จะได n = 325 ดังนั้น ลูกคาจางใหผลิตรองเทา 325 คู ตอบ รองเทา (คู) 1 2 3 4 … n คาจางผลิต (บาท) 1,299 เทากับ (299 × 1) + 1,000 1,598 เทากับ (299 × 2) + 1,000 1,897 เทากับ (299 × 3) + 1,000 2,196 เทากับ (299 × 4) + 1,000 … (299 × n) + 1,000
8. พิจารณาความสัมพันธระหวางลําดับที่ของรูปแลวตอบคําถาม 1) รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 พิจารณาความสัมพันธระหวางลําดับที่ของรูปกับจํานวนกระเบื้องที่กําหนดใหในตาราง แลวตอบคําถามตอไปนี้ รูปที่ 1 2 3 4 … 14 … n จํานวนกระเบื้อง (แผน) 5 8 11 14 (1) จํานวนกระเบื้องรูปที่ 5 เทากับ ........................................................................................................................ แผน (2) จํานวนกระเบื้องรูปที่ 14 เทากับ .................................................................................................................... แผน (3) จํานวนกระเบื้องในแตละชองมีการเปลี่ยนแปลงอยางไร ............................................................................................................................................................................................................................ (4) ลําดับที่ของรูปกับจํานวนกระเบื้องสัมพันธกันอยางไร ............................................................................................................................................................................................................................ (5) ถาให n แทนลําดับที่ของรูป จํานวนกระเบื้องของรูปที่ n คือ ......................................................... (6) ถาตองการทราบวารูปที่เทาไรใชกระเบื้องทั้งหมด 290 แผน จะเขียนเปนสมการได คือ ……………………………………………………… และคําตอบ คือ รูปที่ ........................................................................ 2) รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 รูปที่ 1 2 3 4 … 29 … n จํานวนดอกไม (จุด) 3 4 5 6 136 ฉบับ เฉลย 17 44 เพิ่มขึ้นทีละ 3 แผน จํานวนกระเบื้องจะเปน 3 เทาของลําดับที่รวมกับ 2 3n + 2 3n + 2 = 290 96
(1) จํานวนดอกไมในรูปที่ 29 เทากับ ........................................................................................................................ จุด (2) จํานวนดอกไมในรูปที่ 44 เทากับ ...................................................................................................................... จุด (3) จํานวนดอกไมในแตละรูปมีการเปลี่ยนแปลงอยางไร ............................................................................................................................................................................................................................ (4) ลําดับที่ของรูปกับจํานวนดอกไมสัมพันธกันอยางไร ............................................................................................................................................................................................................................ (5) ถาให n แทนลําดับที่ของรูป จํานวนดอกไมของรูปที่ n คือ ............................................................. (6) ถาตองการทราบวารูปที่เทาไรใชดอกไมทั้งหมด 100 จุด จะเขียนเปนสมการได คือ ………………………………………………………… และคําตอบ คือ รูปที่ .................................................................... 3) รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 รูปที่ 1 2 3 4 … 15 … n จํานวนจุด (จุด) 4 9 16 25 (1) จํานวนจุดในรูปที่ 15 เทากับ ...................................................................................................................................จุด (2) จํานวนจุดในรูปที่ 27 เทากับ ..................................................................................................................................จุด (3) จํานวนจุดในแตละรูปมีการเปลี่ยนแปลงอยางไร ............................................................................................................................................................................................................................ (4) ลําดับที่ของรูปกับจํานวนจุดสัมพันธกันอยางไร ............................................................................................................................................................................................................................ (5) ถาให n แทนลําดับที่ของรูป จํานวนจุดของรูปที่ n คือ .......................................................................... (6) ถาตองการทราบวารูปที่เทาไรใชจุดทั้งหมด 144 จุด จะเขียนเปนสมการได คือ …………………………………………………… และคําตอบ คือ รูปที่ ........................................................................... 137 ฉบับ เฉลย 31 46 เพิ่มขึ้นทีละ 1 จุด จํานวนดอกไมมีคาเทากับผลบวกของลําดับที่รวมกับ 2 n + 2 n + 2 = 100 98 256 784 เพิ่มขึ้นทีละ 5, 7, 9, …, จุด ตามลําดับ จํานวนจุดจะเปนกําลังสองของผลบวกของลําดับที่รวมกับ 1 (n + 1)2 (n + 1)2 = 144 11
1. พิจารณาวาตัวแปรที่ปรากฏในสมการแตละขอตอไปนี้คืออะไร แลวเติมคําตอบลงในชองวาง 1) 6 + x = 14 ตัวแปร คือ .................... 2) a - 12 = 30 ตัวแปร คือ ……………… 3) 7x = 56 ตัวแปร คือ .................... 4) 81 m = 27 ตัวแปร คือ ……………… 5) 2(a - 6) = -8 ตัวแปร คือ .................... 6) 5x + 11 = -4 ตัวแปร คือ ……………… 7) 4z + 1 3 + 8 = 9 ตัวแปร คือ .................... 8) y - 7 3 = 6 9 ตัวแปร คือ ……………… 9) 0.4m = 10 ตัวแปร คือ .................... 10) 9 - 2x = 7 ตัวแปร คือ ……………… 2. พิจารณาวา สมการที่กําหนดใหในตารางเปนสมการที่อยูในรูป ax + b = 0 เมื่อ a, b เปน จํานวนใด ๆ และเมื่อ a 㱠 0 หรือไม สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เปนสมการที่อยูในรูป ax + b = 0 เมื่อ a, b เปนจํานวนใด ๆ และ a 㱠 0 คําตอบของสมการ คือ จํานวนที่แทนคาของตัวแปรที่ปรากฏอยูในสมการ แลวทําใหสมการเปนจริง ซึ่งมีทั้งหมด 3 แบบ ไดแก สมการที่มีจํานวนบางจํานวนเปนคําตอบ สมการที่มีจํานวนทุกจํานวนเปนคําตอบ และสมการที่ไมมีจํานวนใดเปนคําตอบ 5.2 คําตอบของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว คะแนนที่ได คะแนนเต็ม Exercise 5.2 10 ลําดับที่ สมการ อยูในรูป ax + b = 0 คาของ a และ b เปนสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียว 1) x + 8 = 0 …………………………….. ………………………………. …………………………………. 2) 3x 2 - 3 = 0 …………………………….. ………………………………. …………………………………. 3) x 2 - 5x + 6 = 0 …………………………….. ………………………………. …………………………………. 4) 2x - 4 = 6 …………………………….. ………………………………. …………………………………. 5) x - 7 3 = 8 3 …………………………….. ………………………………. …………………………………. 6) -9x - 5 = -4 …………………………….. ………………………………. …………………………………. 7) 10 - 7x = 9 …………………………….. ………………………………. …………………………………. 8) x 3 = -27 …………………………….. ………………………………. …………………………………. 9) -4x + 1.6 = 1.6 …………………………….. ………………………………. …………………………………. 10) 1.5x = -7.5 …………………………….. ………………………………. …………………………………. 138 ฉบับ เฉลย x a x m a x z y m x ✓ a = 1, b = 8 ✓ ✗ - ✗ ✗ - ✗ ✓ a = 2, b = -10 ✓ ✓ a = 1, b = -5 ✓ ✓ a = -9, b = -1 ✓ ✓ a = -7, b = 1 ✓ ✗ - ✗ ✓ a = -4, b = 0 ✓ ✓ a = 1.5, b = 7.5 ✓
3. พิจารณาวาจํานวนที่อยูในวงเล็บ [ ] ทายสมการ เปนคําตอบของสมการหรือไม 1) x + 9 = 17 [8] ............................ 2) -14 + x = -20 [-6] ………………….. 3) 18 - x = 22 [4] ............................ 4) 9x + 13 = -5 [-2] ………………….. 5) -16 - 3x = 5 [-7] ............................ 6) -2x = 36 [18] ………………….. 7) 6x 12 = 0 [0] ............................ 8) x + 6 8 = 4 [25] ………………….. 9) 2x - 9 11 = 7 [-43] ............................ 10) x + 23 19 = -15 19 [2] ………………….. 4. หาคําตอบของสมการตอไปนี้ โดยวิธีลองแทนคาตัวแปร 1) x + 6 = 10 ……………………….. 2) -13 + x = -72 .................................. 3) x - 51 = 30 ……………………….. 4) -48 x = 3 .................................. 5) 40 + 7x = 5 ……………………….. 6) 11x - 37 = 51 .................................. 7) 25 - 9x = 88 ……………………….. 8) x 3 + 19 = 4 .................................. 9) 4x 11 = -12 ……………………….. 10) 7 + 3x 8 = 11 .................................. 5. หาคําตอบของสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวตอไปนี้ โดยวิธีลองแทนคาตัวแปร พรอมทั้งบอกวา ลักษณะคําตอบของสมการเปนแบบใด ก. สมการที่มีจํานวนบางจํานวนเปนคําตอบ ข. สมการที่มีจํานวนทุกจํานวนเปนคําตอบ ค. สมการที่ไมมีจํานวนใดเปนคําตอบ 1) x + 25 = -13 คําตอบของสมการ คือ …………………………………………… เปนแบบ ................................................................. 2) 1 - 3x = 16 คําตอบของสมการ คือ …………………………………………… เปนแบบ ................................................................. 3) x 4 + x 4 = x 2 คําตอบของสมการ คือ …………………………………………… เปนแบบ ................................................................. 139 ฉบับ เฉลย เปน เปน ไมเปน เปน เปน ไมเปน เปน ไมเปน ไมเปน ไมเปน 4 -59 81 -16 -5 8 -7 -45 -33 27 x = -38 ก. x = -5 ก. x = จํานวนใด ๆ ข.
4) 2x + 7 = 2(x + 3) คําตอบของสมการ คือ …………………………………………… เปนแบบ ................................................................. 5) 13x + 9 7 = 5 คําตอบของสมการ คือ …………………………………………… เปนแบบ ................................................................. 6) -11x + 5 = 5 - 11x คําตอบของสมการ คือ …………………………………………… เปนแบบ ................................................................. 7) 6x - 8x 2 = -x คําตอบของสมการ คือ …………………………………………… เปนแบบ ................................................................. 8) x + 4x = 8x - 3x - 1 คําตอบของสมการ คือ …………………………………………… เปนแบบ ................................................................. 9) x - 34 = -22 คําตอบของสมการ คือ …………………………………………… เปนแบบ ................................................................. 10) x 3 - x 3 = 0 คําตอบของสมการ คือ …………………………………………… เปนแบบ ................................................................. แนวขอสอบ เลือกจับคูคําตอบกับสมการโดยใชวิธีลองแทนคาตัวแปร แลวทําใหสมการเปนจริง ..................... 1) 0.5 + x = 3.75 A. [-49] ..................... 2) 3x - 1 = 62 B. [50] ..................... 3) x + 1 3 = -16 C. [21] ..................... 4) x - 3 2 3 = 1 1 3 D. [-3.25] ..................... 5) -3.5 + x = -35.5 E. [-32] F. [3.25] G. [5] 140 ฉบับ เฉลย ไมมีคําตอบ ค. x = 2 ก. x = จํานวนใด ๆ ข. x = จํานวนใด ๆ ข. ไมมีคําตอบ ค. x = 12 ก. x = จํานวนใด ๆ ข. F. C. A. G. E.
1. พิจารณาวาประโยคในแตละขอตอไปนี้เทากัน โดยใชสมบัติสมมาตร สมบัติถายทอด สมบัติการบวก หรือสมบัติการคูณ แลวเติมคําตอบลงในชองวาง 1) ถา x = 10 และ 10 = z แลว x = z .......................................................... 2) ถา x - 2 = 11 แลว x = 13 .......................................................... 3) ถา 1 5 a = 10b แลว a = 50b .......................................................... 4) ถา m 3 = n - 5 3 แลว n - 5 3 = m 3 .......................................................... 5) ถา 8m = n + 6 แลว m = n + 6 8 .......................................................... 6) ถา x + 6 = -14 แลว x = -20 .......................................................... 7) ถา n - 5 = m แลว n - 5 3 = m 3 .......................................................... 8) ถา a + b = 14 และ m = 14 แลว a + b = m .......................................................... 9) ถา 3x - 2 = -7 แลว 3x = -5 .......................................................... 10) ถา -9x = -27y แลว -27y = -9x .......................................................... 1. สมบัติสมมาตร ถา a = b แลว b = a เมื่อ a และ b แทนจํานวนใด ๆ 2. สมบัติถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนใด ๆ 3. สมบัติการบวก ถา a = b แลว a + c = b + c เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนใด ๆ 4. สมบัติการคูณ ถา a = b แลว a × c = b × c เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนใด ๆ การคูณดวย 1 c เมื่อ c แทนจํานวนใด ๆ ที่ c 㱠 0 ถา a = b แลว a × 1 c = b × 1 c จะไดวา a c = b c เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนใด ๆ ที่ c 㱠 0 5.3 สมบัติของการเทากัน คะแนนที่ได คะแนนเต็ม Exercise 5.3 10 141 ฉบับ เฉลย สมบัติถายทอด สมบัติการบวก สมบัติการคูณ สมบัติสมมาตร สมบัติการคูณ สมบัติการบวก สมบัติการคูณ สมบัติถายทอด สมบัติการบวก สมบัติสมมาตร
2. เติมจํานวนหรือตัวแปรลงในชองวางใหถูกตอง 1) ถา x = 4 แลว x + 3 = .......................................................................................................... 2) ถา x = 5 9 แลว x + 2 9 = .......................................................................................................... 3) ถา x = - 4 7 แลว ……………………………………………………………………… = (- 4 7) + 3 7 4) ถา 11 - 3x = 5 แลว 11 - 3x - 11 = ..................................................................................... 5) ถา 20 - 7 = x แลว ……………………………………………………………………………… = x + 9 6) ถา x = 1 6 แลว ………………………………………………………………………….. = 1 6 - 7 12 7) ถา x = - 3 14 แลว x - 3 7 = .......................................................................................................... 8) ถา -6x + 19 = -31 แลว ………………………………………………………………….. = (-31) - 19 9) ถา x = 3 แลว ……………………………………………………………………………… = 3 × 8 10) ถา x 2 = -6 แลว x = ....................................................................................................................... 11) ถา x 4 = 1 3 11 แลว x = ....................................................................................................................... 12) ถา x 5 = - 4 15 แลว ……………………………………………………………………. = (- 4 15) × 5 13) ถา 3x = 51 แลว x = ....................................................................................................................... 14) ถา 4 5 x = 12 แลว x = ....................................................................................................................... 15) ถา x - 7 3 = 4 แลว ……………………………………………………………………………… = 4 × 3 แนวขอสอบ พิจารณาวาการแกสมการในแตละขอตอไปนี้ใชสมบัติการบวกหรือสมบัติการคูณ แลวเติมคําตอบ ลงในชองวาง 1. ถา 8 = 2x + 4 แลว 4 = 2x ใชสมบัติ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 2. ถา -15 = 3x แลว -5 = x ใชสมบัติ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 3. ถา 21 = x 2 แลว 42 = x ใชสมบัติ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 4. ถา 56 = 3x - 7 แลว 63 = 3x ใชสมบัติ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 5. ถา x + 2 9 = -11 แลว x + 2 = -99 ใชสมบัติ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 142 ฉบับ เฉลย 4 + 3 5 9 + 2 9 x + 3 7 5 - 11 20 - 7 + 9 x - 7 12 (- 3 14) - 3 7 -6x + 19 - 19 x × 8 (-6) × 2 1 3 11 × 4 x 51 3 12 × 5 4 x - 7 การบวก การคูณ การคูณ การบวก การคูณ
แนวขอสอบ แสดงวิธีหาคําตอบ 1. ถา x + 5 2 = 33 8 แลว 4 3x + 2 3 มีคาเทากับเทาไร วิธีทํา .............................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ 2. คาของ x ในสมการ 2 3(3x - 3 4x) - 4 = x + 6 มีคาเทากับเทาไร วิธีทํา .............................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................ 143 ฉบับ เฉลย x + 5 2 = 3 3 8 x = 27 8 - 5 2 x = 27 8 - ( 5 × 4 2 × 4) x = 27 - 20 8 = 7 8 แทนคา x = 7 8 ใน 4 3x + 2 3 จะไดเทากับ 4 3 ( 7 8) + 2 3 = 7 6 + 2 3 = 7 6 + ( 2 × 2 3 × 2) = 7 + 4 6 = 1 5 6 ดังนั้น 4 3x + 2 3 = 1 5 6 ตอบ 2 3 (3x - 3 4x) - 4 = x + 6 2 3[(3x × 4 1 × 4 ) - 3 4x] - 4 + 4 = x + 6 + 4 2 3 ( 12x - 3x 4 ) = x + 10 2 3 ( 9x 4 ) = x + 10 3x 2 = x + 10 ( 3x 2 ) × 2 = (x + 10) × 2 3x = 2x + 20 3x - 2x = (2x + 20) - 2x x = 20 ดังนั้น x ในสมการ 2 3 (3x - 3 4x) - 4 = x + 6 มีคาเทากับ 20 ตอบ
แกสมการตอไปนี้ พรอมทั้งแสดงวิธีตรวจสอบคําตอบ 1) x - 15 = -9 2) x + 29 = 34 วิธีทํา …………………………………………………………… วิธีทํา ......................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ตรวจคําตอบ ตรวจคําตอบ ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... 3) 59 = 30 + x 4) -10 = x + 27 วิธีทํา …………………………………………………………… วิธีทํา ......................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ตรวจคําตอบ ตรวจคําตอบ ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... การแกสมการ คือ การหาคําตอบของสมการหรือการหาคาของตัวแปรในสมการที่ทําใหสมการเปนจริง ทําไดโดยใชสมบัติการเทากันหาคาของตัวแปร 5.4 การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว คะแนนที่ได คะแนนเต็ม Exercise 5.4 A 5 144 ฉบับ เฉลย x - 15 = -9 x - 15 + 15 = (-9) + 15 x = 6 x + 29 = 34 x + 29 - 29 = 34 - 29 x = 5 แทน x ดวย 6 ใน x - 15 = 6 - 15 = -9 ดังนั้น คําตอบของสมการ x - 15 = -9 คือ 6 แทน x ดวย 5 ใน x + 29 = 5 + 29 = 34 ดังนั้น คําตอบของสมการ x + 29 = 34 คือ 5 59 = 30 + x 59 - 30 = 30 + x - 30 29 = x -10 = x + 27 -10 - 27 = x + 27 - 27 -37 = x แทน x ดวย 29 ใน 30 + x = 30 + 29 = 59 ดังนั้น คําตอบของสมการ 59 = 30 + x คือ 29 แทน x ดวย -37 ใน x + 27 = -37 + 27 = -10 ดังนั้น คําตอบของสมการ -10 = x + 27 คือ -37
5) x - 5 7 = 9 7 6) x - 13 24 = 3 8 วิธีทํา …………………………………………………………… วิธีทํา ......................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ตรวจคําตอบ ตรวจคําตอบ ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... 7) x - 25 36 = - 7 12 8) 8 15 + x = 1 5 วิธีทํา …………………………………………………………… วิธีทํา ......................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ตรวจคําตอบ ตรวจคําตอบ ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... 9) - 2 3 = (-x) - 17 30 10) -1 19 24 = (-x) + 3 5 6 วิธีทํา …………………………………………………………… วิธีทํา ......................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ตรวจคําตอบ ตรวจคําตอบ ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... ………………………………………………………………………… .......................................................................................................... 145 ฉบับ เฉลย x - 5 7 = 9 7 x - 5 7 + 5 7 = 9 7 + 5 7 x = 14 7 = 2 x - 13 24 = 3 8 x - 13 24 + 13 24 = 3 8 + 13 24 x = 22 24 = 11 12 แทน x ดวย 2 ใน x - 5 7 = 2 - 5 7 = 14 - 5 7 = 9 7 ดังนั้น คําตอบของสมการ x - 5 7 = 9 7 คือ 2 แทน x ดวย 11 12 ใน x - 13 24 = 11 12 - 13 24 = 22 - 13 24 = 3 8 ดังนั้น คําตอบของสมการ x - 13 24 = 3 8 คือ 11 12 x - 25 36 = - 7 12 x - 25 36 + 25 36 = (- 7 12) + 25 36 x = 4 36 = 1 9 - 2 3 = (-x) - 17 30 (- 2 3) + 17 30 = (-x) - 17 30 + 17 30 - 3 30 = -x หรือ x = 1 10 8 15 + x = 1 5 8 15 + x - 8 15 = 1 5 - 8 15 x = - 5 15 = - 1 3 -1 19 24 = (-x) + 3 5 6 (- 43 24) - 23 6 = (-x) + 23 6 - 23 6 - 135 24 = -x หรือ x = 5 5 8 แทน x ดวย 1 9 ใน x - 25 36 = 1 9 - 25 36 = 4 - 25 36 = - 7 12 ดังนั้น คําตอบของสมการ x - 25 36 = - 7 12 คือ 1 9 แทน x ดวย 1 10 ใน (-x) - 17 30 = (- 1 10) - 17 30 = (-3) - 17 30 = - 2 3 ดังนั้น คําตอบของสมการ - 2 3 = (-x) - 17 30 คือ 1 10 แทน x ดวย - 1 3 ใน 8 15 + x = 8 15 + (- 1 3) = 8 - 5 15 = 1 5 ดังนั้น คําตอบของสมการ 8 15 + x = 1 5 คือ - 1 3 แทน x ดวย 5 5 8 ใน (-x) + 3 5 6 = (- 45 8 ) + 3 5 6 = (-135) + 92 24 = -1 19 24 ดังนั้น คําตอบของสมการ -1 19 24 = (-x) + 3 5 6 คือ 5 5 8