สื่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์-ม.2-ความรู้เบ

มมอองงออกีกี มมุมุม

คา่ รากทีส่ องของ 10 ได้แก่ 10 และ − 10

จะได้วา่ =10 2 10 และ − =10 2 10

ค่ารากท่ีสองของ 15 ได้แก่ 15 และ − 15

จะได้วา่ =2 15 และ − =2 15

15 15

ชว่ ยหาคาตอบกันหนอ่ ย
1. − 8 เปน็ รากทส่ี องของ ......8........
2. 21 เป็นรากที่สองของ .......2..1.....
3. 125 เป็นรากที่สองของ .....1..2..5.....
4. − 25 เป็นรากทีส่ องของ ......2..5......
5. 6 2 มคี ่าเท่ากับ .......6........

ช่วยหาคาตอบกนั หน่อย

6. − 15 2 มคี ่าเทา่ กบั .....1..5.......
7. 64 2 มคี า่ เท่ากับ .....6..4.......
8. − 50 2 มีค่าเทา่ กบั .....5..0.......
9. ค่ารากทีส่ องของ 20 ไดแ้ ก่ ......2...0... และ..−......2..0
10. คา่ รากทสี่ องของ 17 ได้แก่ .....1...7... และ..−......1..7

จานวนอตรรกยะ

คือ

จานวนท่ไี มส่ ามารถเขยี นในรปู เศษสว่ น
เมอื่ a และ b เปน็ จานวนเต็ม
และ b  0
หรอื เขยี นเป็นทศนยิ มไม่ซา้

รายวิชา คณิตศาสตร์
เร่ือง จานวนจริง

รหัสวิชา ค22101 ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 2
ผู้สอน ครนู งค์นุช สุกใส

เรื่อง จานวนอตรรกยะ

จานวนอตรรกยะ

จานวนท่ไี ม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน
เมื่อ a และ b เปน็ จานวนเตม็
และ b  0
หรอื เขียนเป็นทศนยิ มไม่ซา

เรามาพิจารณาใบงานท่ี 3

เรื่อง จานวนอตรรกยะ

กันก่อนนะคะ

มารู้จกั จานวนอตรรกยะกนั

จากทฤษฎีบทพที าโกรัส จะไดว้ ่า
x2 = 12 + 12
x2 = 1 + 1
x2 = 2

xx = 2

เร่ิมจากการลองแทนค่า x ดว้ ยจานวนเต็มบวก

x1 2

x2 1 4

จากตารางจะไดว้ า่ x มคี า่ อยู่ระหว่าง

1 กบั 2

แทนคา่ x เป็นทศนิยมหนง่ึ ตาแหนง่

x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
x2 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25

จากตารางจะได้ว่า x มีค่าอยู่ระหวา่ ง
1.4 กับ 1.5

แทนคา่ x เปน็ ทศนยิ มสองตาแหนง่

x 1.41 1.42 1.43
x2 1.9881 2.0164 2.0449

จากตารางจะได้วา่ x มคี ่าอยู่ระหว่าง
1.41 กบั 1.42

แทนค่า x เปน็ ทศนยิ มสามตาแหน่ง

x 1.411 1.412 1.413 1.414 1.415
x2 1.990921 1.993744 1.996569 1.999396 2.002225

จากตารางจะไดว้ า่ x มคี า่ อยู่ระหวา่ ง
1.414 กับ 1.415

แทนค่า x เปน็ ทศนยิ มตาแหนง่ ถัด ๆไป

x 1.4141 1.4142 1.4143
x2 1.99967881 1.99996164 2.00024449

จะไดว้ ่า x มคี า่ อยูร่ ะหวา่ ง
1.4142 กบั 1.4143

ถา้ หาค่า x ต่อไปอกี เรอื่ ย ๆ จะพบวา่
1.41421356237309…
ซงึ่ ยังมีค่าตอ่ ไปเรอื่ ย ๆ

และไม่เปน็ ทศนยิ มซา้
จึงไมส่ ามารถเขียนอยู่ในรปู เศษส่วน

เมอ่ื ไมส่ ามารถแทน x ไดด้ ว้ ยเศษสว่ นหรือทศนยิ มซ้า

จึงจา้ เป็นต้องแทน x ดว้ ยจ้านวนชนดิ ใหม่โดยใช้

เคร่ืองหมายกรณฑ์ ( ) ดงั นนั้ จงึ เขยี นสัญลักษณ์

2 แทนจานวนบวกที่ยกกาลังสองแลว้ ได้ 2

เราจึงใชส้ ญั ลกั ษณ์ 2 (อา่ นวา่ รากที่สองทเี่ ปน็ บวกของ 2)
แทนจา้ นวนดงั กล่าว

จึงไดว้ า่ x2 = 2

2 = 2 2 = 22
x2 = 2 2
x= 2

จ้านวนลบเม่อื ยกก้าลังสอง
จะได้ผลลพั ธเ์ ปน็ จา้ นวนบวก

เช่น (−3)  (−3) = 9 หรือ

(−4)  (−4) = 16

ดงั นน้ั − 2
(อ่านว่า “รากทส่ี องทีเ่ ป็นลบของ 2”)
ซงึ่ ยกก้าลงั สองแลว้ มคี ่าเทา่ กบั 2 ด้วย

ถา้ x2 = 2 เมอื่ x เป็นจานวนใด ๆ
จะได้ x = และ x = −

ถา้ a2 = 5 เมอ่ื a เป็นจานวนใด ๆ
จะได้ a = และ a = −

ถ้า b2 = 12 เมือ่ b เปน็ จานวนใด ๆ
จะได้ b = และ b = −

ถ้า c2 = 34 เมื่อ c เป็นจานวนใด ๆ
จะได้ c = และ c = −

มมอองงออีกกี มมมุ มุ

ค่ารากทีส่ องของ 6 ไดแ้ ก่ 6 และ − 6
จะได้ว่า 6 2 = 6 และ − 6 2 = 6

คา่ รากท่ีสองของ 8 ไดแ้ ก่ 8 และ − 8
จะไดว้ า่ 8 2 = 8 และ − 8 2 = 8

มมอองงออีกีกมมุมมุ

คา่ รากทีส่ องของ 10 ได้แก่ 10 และ − 10

จะได้วา่ =10 2 10 และ − =10 2 10

ค่ารากท่ีสองของ 15 ไดแ้ ก่ 15 และ − 15

จะได้วา่ =2 15 และ − =2 15

15 15

ชว่ ยหาคาตอบกันหน่อย
1. − 8 เป็นรากท่สี องของ ......8........
2. 21 เป็นรากที่สองของ .......2..1.....
3. 125 เปน็ รากท่สี องของ ....1...2..5.....
4. − 25 เป็นรากทส่ี องของ ......2..5......
5. 6 2 มีคา่ เท่ากับ .......6........

ชว่ ยหาคาตอบกันหน่อย

6. − 15 2 มคี ่าเทา่ กับ .....1..5.......
7. 64 2 มคี ่าเท่ากบั .....6..4.......
8. − 50 2 มีค่าเทา่ กับ .....5..0.......
9. ค่ารากท่สี องของ 20 ได้แก่ ...... . .. . .. และ.−....... . .
10. ค่ารากทสี่ องของ 17 ได้แก่ ..... . .. . .. และ..−...... . .

จานวนอตรรกยะ

จานวนทไี่ มส่ ามารถเขยี นในรูปเศษส่วน
เมอื่ a และ b เปน็ จานวนเต็ม
และ b  0
หรือเขียนเปน็ ทศนยิ มไมซ่ า

จานวนจรงิ

เรามาทาใบงานที่ 4

เรื่อง จานวนจรงิ

กนั นะคะ

คาชีแจง ให้ขีดเครอ่ื งหมาย✓ ลงในชอ่ งชนิดของจา้ นวน
เพื่อระบุว่าจา้ นวนท่กี า้ หนดเปน็ จา้ นวนชนดิ ใด

ชนดิ ของจานวน

จานวน จานวน จานวน จานวน จานวนจรงิ
เต็ม ตรรกยะ อตรรกยะ
3
2 ✓ ✓✓

ชนดิ ของจานวน

จานวน จานวน จานวน จานวน จานวนจรงิ
เต็ม ตรรกยะ อตรรกยะ

3.25 ✓ ✓

-85 ✓ ✓ ✓

6 ✓✓

ชนดิ ของจานวน

จานวน จานวน จานวน จานวน จานวนจริง
เตม็ ตรรกยะ อตรรกยะ
−9
✓ ✓✓
0
✓ ✓✓
8 ✓
2 ✓✓

จานวน จานวน ชนิดของจานวน จานวนจรงิ
เตม็ จานวน จานวน
ตรรกยะ อตรรกยะ ✓
− 10 ✓
✓ ✓
2.46575 ✓
81.000 ✓
✓

จานวน จานวน ชนดิ ของจานวน จานวนจรงิ
เต็ม จานวน จานวน
9.299… ตรรกยะ อตรรกยะ ✓
✓ ✓
1 ✓ ✓
− 15
✓

✓

จานวน จานวน ชนดิ ของจานวน จานวนจรงิ
เต็ม จานวน จานวน
2 ตรรกยะ อตรรกยะ ✓
✓
− 15 ✓ ✓

1.724ሶ ✓

ตอนท่ี 2 เขียนแผนผงั ความคิดแสดง

คาชีแจง พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
1. จานวนจรงิ ประกอบด้วย

จานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ
2. จานวนตรรกยะ ประกอบดว้ ย

จานวนเต็ม และจานวนตรรกยะท่ีไมใ่ ช่จานวนเต็ม

ตอนท่ี 2 เขียนแผนผงั ความคิดแสดง

คาชีแจง พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
3. จานวนเต็ม ประกอบด้วย
จา้ นวนเต็มบวก ศูนย์ และจ้านวนเต็มลบ

จานวนจริง

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

เชน่ , 0.121121112…

จานวนเตม็ จานวนตรรกยะทไ่ี มใ่ ช่จานวนเต็ม

จานวนเตม็ ลบ ศนู ย์ เจชา่นนว37น,เ0ต.็ม6บ,ว3ก. 1ሶ 8ሶ , 1.234

ได้แก่ -1, -2, -3, … ได้แก่ 0 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, …

รายวชิ า คณิตศาสตร์

เรือ่ ง การหาคา่ รากท่สี องโดย
ใชต้ ารางและการแยกตวั ประกอบ

รหัสวิชา ค22101 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2
ผสู้ อน ครนู งค์นชุ สกุ ใส

การหาคา่ รากท่สี อง
โดยใชต้ ารางและการแยกตัวประกอบ

บทนิยาม

ให้ a แทนจานวนจรงิ บวกใด ๆ
หรือศูนยร์ ากที่สองของ a คอื
จานวนจรงิ ท่ี
ยกกาลังสองแล้วได้ a

บทนิยาม

ถา้ a เป็นจานวนจริงบวก รากทส่ี องของ a มีสองราก

รากทสี่ องที่เปน็ บวก แทนด้วยสัญลกั ษณ์ a
รากทส่ี องท่ีเปน็ ลบ แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ − a

จากบทนยิ าม

จะได้ 2 = a

และ − 2 = a

รากทสี่ องทเ่ี ปน็ บวกของ a

เรียกอีกอยา่ งว่า กรณฑท์ ส่ี องของ a

ตวั อย่าง รากทสี่ องของ 16 มสี องราก
เขยี นแทนด้วย และ −
= 4 และ − = −

ดงั น้ัน รากทส่ี องของ 16 คอื 4 และ -4

ตัวอยา่ ง รากทส่ี องของ 0.04 มีสองราก

เขียนแทนด้วย . และ − .

. = 0.2 และ − . = − .
ดังนนั้ รากทสี่ องของ 0.04 คอื 0.2 และ -0.2

ตัวอยา่ ง รากท่ีสองของ 13 มสี องราก

เขยี นแทนด้วย 13 และ − 13

ไม่มจี านวนเตม็ ใดทีย่ กกาลังสองแล้วเทา่ กับ 13

ดังนัน้ 13 และ − 13 แทนรากทส่ี องของ 13
13 และ − 13 เปน็ จานวนอตรรกยะ

วิธีการหารากท่สี อง

ทาไดห้ ลายวธิ ีอาจใชก้ ารแยกตัวประกอบ
การตั้งหาร การประมาณ การเปิดตาราง
และการใช้เครอ่ื งคานวณ

วธิ กี ารหารากที่สอง
โดยวิธกี ารเปดิ ตาราง

ตารางแสดงกาลงั สองและรากที่สอง
ท่ีเป็นบวกของจานวนเต็ม



1 1 1.000

2 4 1.414

3 9 1.732

4 16 2.000

ตารางแสดงกาลงั สองและรากทีส่ อง
ที่เปน็ บวกของจานวนเตม็



5 25 2.236

6 36 2.449

7 49 2.646

8 64 2.828

ตารางแสดงกาลังสองและรากท่ีสอง
ที่เป็นบวกของจานวนเตม็



9 81 3.000

10 100 3.162

11 121 3.317

12 144 3.464