Modul SPM Matematik

MATEMATIK 1
5
SPM 8
16
KANDUNGAN 22
29
39
BAB 1 Bentuk piawai • Tingkatan 4 43
BAB 2 Ungkapan dan persamaan kuadratik • Tingkatan 4 49
BAB 3 Set • Tingkatan 4 59
BAB 4 Penaakulan matematik • Tingkatan 4 68
BAB 5 Garis lurus • Tingkatan 4 74
BAB 6 Statistik III • Tingkatan 4 77
BAB 7 Kebarangkalian I • Tingkatan 4 85
BAB 8 Bulatan III • Tingkatan 4 95
BAB 9 Trigonometri II • Tingkatan 4 98
BAB 10 Sudut dongakan dan sudut tunduk • Tingkatan 4 100
BAB 11 Garis dan satah dalam tiga demensi • Tingkatan 4 107
BAB 12 Asas nombor • Tingkatan 5 112
BAB 13 Graf fungsi II • Tingkatan 5 115
BAB 14 Penjelmaan III • Tingkatan 5 122
BAB 15 Matriks • Tingkatan 5
BAB 16 Ubahan • Tingkatan 5
BAB 17 Kecerunan dan luas di bawah graf • Tingkatan 5
BAB 18 Kebarangkalian II • Tingkatan 5
BAB 19 Bearing • Tingkatan 5
BAB 20 Bumi sebagai sfera • Tingkatan 5
BAB 21 Pelan dan dongakan • Tingkatan 5


ii

MATEMSAPTMIK

BAB 1: BENTUK PIAWAI

Nombor yang diungkap dalam bentuk piawai adalah ditulis sebagai A × 10n, di mana 1 ≤ A <
10 dan n ialah integer positif atau negatif.
Mengungkapkan nombor positif dalam bentuk piawai
Nombor positif yang lebih besar daripada, atau sama dengan 10, boleh ditulis dalam bentuk
piawai A × 10n, di mana 1 ≤ A < 10 dan n adalah integer positif, iaitu n = 1, 2, 3, ...
Contoh 1:
90 = 9 × 10
9 803 000 = 9.803 × 106
* Nilai n adalah sama dengan bilangan tempat titik perpuluhan yang digerakkan ke kiri.
Nombor positif yang kurang daripada 1, boleh ditulis dalam bentuk piawai A × 10n, di mana
1 ≤ A < 10 dan n ialah integer negatif, iaitu n = ..., -3, -2, -1.
Contoh 2:
0.563 = 5.63 × 10-1
0.00709 = 7.09 × 10-3
** Nilai n adalah sama dengan bilangan tempat titik perpuluhan yang digerakkan ke kanan.

1

MATEMATIK

SPM

SOALAN

1. Cari nilai 7.3 × 103 + 3.2 × 104, dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.
2. Cari nilai 3.3 × 105 + 6400 dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.
3. Bundarkan setiap nombor yang berikut betul kepada bilangan angka bererti yang

ditunjukkan dalam kurungan, [ ].
a. 80616 [3]
b. 60932 [3]
c. 0.4783 [2]
d. 3.047 [3]
e. 0.00567 [2]
f. 0.05086 [3]

4. Ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu nombor tunggal.
a. 8.565 × 10-5
b. 1.304 × 105
c. 6.754 × 10-6
d. 1.0352 × 104

5. Ungkapkan setiap nombor yang berikut dalam bentuk piawai.
a. 376510
b. 47865400
c. 0.000507
d. 0.00006408

6. 1.3 × 1015 + 3.2 × 1014, kirakan.
7. 0.0000036 – 2.1 × 10-7 , kirakan
8. Hitung nilai bagi 70.2 – 3.22 × 8.4 dan bundarkan jawapannya betul kepada tiga angka

bererti.
9. Hitung nilai bagi 7 × (2 × 10-2)3 – 4.3 × 10-5 dan nyatakan jawapannya dalam bentuk

piawai.
10. 200.7 × 1011 ditulis sebagai 2.007 × 10b dalam bentuk piawai. Nyatakan nilai b.
11. Ungkapkan 0.000064 − 3.5 × 10−6 dalam bentuk piawai.
12. Cari hasil darab bagi 0.1985 dan 0.5.
Bundarkan jawapan betul kepada dua angka bererti.
13. Bundarkan nombor-nombor berikut kepada dua angka bererti
a. 8835
b. 0.0014592

14. Bundarkan nombor-nombor berikut kepada tiga angka bererti
a. 92473
b. 0.14729

15. Tukarkan setiap berikut kepada nombor tunggal
a. 5.02 × 105
b. 8.93 × 107

16. Tukarkan setiap berikut kepada nombor tunggal
a. 4.57 × 10-2
b. 3.52 × 10-5

2

MATEMSAPTMIK

17. Tukarkan setiap berikut kepada bentuk piawai
a. 748
b. 3590 000
c. 0.774
d. 0.0004837

18. Hitungkan setiap nilai berikut dan bundarkan jawapan dalam empat angka bererti
a. 7583 + 846 444
b. 63.56 + 5.198 + 0.0015
c. 24 460 - 9379
d. 2468.72 – 1.208 – 0.0729

19. Hitungkan setiap nilai berikut dan bundarkan jawapan dalam empat angka bererti
a. 982 × 92
b. 0.0009 × 0.083
c. 986 530 ÷ 25
d. 0.39 ÷ 0.0225

20. Hitungkan setiap nombor berikut dan bundarkan jawapan dalam tiga angka bererti
a. 2.42 + 0.476 × 0.084
b. (2.42 + 0.476) × 0.084
c. 1984 + 160 ÷ 32
d. (1984 + 160) ÷ 32

21. Selesaikan berikut dan berikan jawapan dalam bentuk piawai
a. 735 + 9363
b. 85 985 + 840 660
c. 1846 – 459
d. 84 870 – 840 8692

22. Selesaikan berikut dan berikan jawapan dalam bentuk piawai
a. 856 × 86
b. 0.00457 × 0.05
c. 763 ÷ 4
d. 84 975 ÷ 25

23. Selesaikan yang berikut dan berikan jawapan dalam bentuk piawai
a. (8 × 105) × (9 × 104)
b. (0.15 × 107) × (4.3 × 103)
c. (7 × 107) × (6 × 10-5)
d. (4.5 × 10-3) × (0.4 × 105)

24. Selesaikan yang berikut dan berikan jawapan dalam bentuk piawai
a. (6.45 × 102) + (7 × 103)
b. (8.127 × 10-6) + (4.15 × 10-5)
c. (7.347 × 104) – (1.53 × 103)
d. (4.929 × 10-6) – ( 6.23 × 10-7)

3

MATEMATIK

SPM

25. Cari nilai yang berikut dan berikan jawapan dalam bentuk piawai
a. 4.6 × 8 × 109
b. 75 230
7 × 10-2
c. 45 000
4 × 107
d. 36 × 106 × 25 × 104
26. Cari nilai yang berikut dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai
a. 8.0 × 105 + 5.3 × 106
b. 8.4 × 10-11 – 4.9 × 10-12
c. 5 × 106 – 3 × 105
d. 7.2 × 103 + 6.6 × 104
27. Cari nilai yang berikut dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai
a. (3.6 × 106) ÷ (4 × 103)
b. (6.56 × 10-7) ÷ (3 × 10-4)
c. (9 × 10-5) ÷ (1.5 × 102)
d. (1.8 × 108) ÷ (6 × 105)
28. Hitungkan nilai yang berikut dan bundarkan kepada dua angka bererti
a. (4 – 0.36) ÷ 0.5
b. 6.72 ÷ 80 – 0.0175
c. 0.03 × 0.2 – 0.0046
d. 0.072 ÷ 0.4 × 0.06
29. (a) Hitungkan nilai bagi 19.23 – (1.74 ÷ 0.2) dan bundarkan jawapan kepada tiga angka

bererti.
(b) Cari nilai bagi 8.0 × 107 – 5.7 × 106 dan ungkapkan jawapan dalam bentuk piawai.
30. Diberi bahawa M = 5 × 10-2 dan N = 4 × 103 . Hitungkan setiap yang berikut dengan

memberi jawapan dalam bentuk piawai
a. MN
b. N
M

4

MATEMSAPTMIK

BAB 2: PERSAMAAN KUADRATIK

1. Ungkapan kuadratik ialah ungkapan yang berbentuk ax2 + bx + c, dengan a, b dan c
sebagai pemalar, a ≠ 0 dan x sebagai pemboleh ubah.

2. Ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah:
(a) Kuasa tertinggi bagi x ialah 2.
(b) Hanya mengandungi satu pemboleh ubah.
(c) Misalnya, 5x2 – 6x + 3 ialah satu ungkapan kuadratik.

3. Suatu ungkapan kuadratik dihasilkan dengan pendaraban dua ungkapan linear.
Misalnya, (2x + 3)(x – 3) = 2x2 – 3x – 9

4. Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk ax2 + bx + c, b = 0 atau c = 0
a) Pemfaktoran ungkapan kuadratik ialah proses mencari dua ungkapan linear yang hasil
darabnya sama dengan ungkapan kuadratik itu.
b) Ungkapan-ungkapan kuadratik ax2 + c dan ax2 + bx yang mengandungi dua sebutan
boleh difaktorkan dengan mencari faktor sepunya bagi kedua-dua sebutan itu.

5. Persamaan Kuadratik adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:
(a) Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’
(b) Ia melibatkan hanya satu anu.
(c) Kuasa tertinggi anu terlibat ialah 2.

Contoh: 2x2 + 5x + 2 = 0


Kuasa Tertinggi Tatatanda kesamaan
bagi x ialah 2

Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi anu yang memuaskan persamaan kuadratik
itu. Punca persamaan juga dikenali sebagai penyelesaian bagi persamaan tertentu.

5

MATEMATIK

SPM

SOALAN

1. Selesaikan persamaan kuadratik, (y + 3)(y – 4) = 30
2. Selesaikan persamaan kuadratik, 5x2 = 3(x – 2) + 8
3. Selesaikan persamaan kuadratik berikut:
4x (x + 4) = 9 + 16x

4. Selesaikan persamaan kuadratik berikut:
(x + 2)2 = 2x + 7

5. Bentukkan suatu ungkapan kuadratik dengan mendarab setiap yang berikut.
(a) (6p – 2) (2p – 1)
(b) (m + 5) (4 – 7m)
(c) (x + 2) (2x – 3)

6. Faktorkan setiap yang berikut:
(a) 2x2 + 6
(b) 7p2 – 3p
(c) 6x2 – 9x

7. Tulis setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am.
(a) x2– 5x = 12
(b) –2 + 5x2 – 6x = 0
(c) 7p2 – 3p = 4p2 + 4p – 3
(d) (x – 2) (x + 6) = 0
(e) 3 – 13x = 4 (x2 + 2)

8. Selesaikan persamaan kuadratik, 4x2 – 12 = –13x

9. Selesaikan persamaan kuadratik, 5x2 = 3(x + 2) – 4

10. Selesaikan persamaan kuadratik, 3x (x – 3) = −x + 3
4

11. Selesaikan persamaan kuadratik x2 – 7x + 10 = 0 dengan kaedah pemfaktoran.

12. Selesaikan persamaan kuadratik 8x2 – 2x – 3 = 0 dengan kaedah pemfaktoran.

13. Selesaikan persamaan kuadratik 2x2 + x – 6 = 0 dengan kaedah pemfaktoran.

14. Selesaikan persamaan kuadratik 3x2 – 9x – 84 = 0 dengan kaedah pemfaktoran.

15. Selesaikan persamaan kuadratik –3x2 – 19x = 20 dengan kaedah pemfaktoran.

16. Cari punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 – 6x = 7x – 30 dengan kaedah pemfaktoran.

17. Cari punca-punca bagi persamaan kuadratik 9a2 – 9a –1 = –3 dengan kaedah pemfaktoran.

18. Selesaikan persamaan kuadratik 20b2 – 3b – 3 = 4b + 3 dengan kaedah pemfaktoran.

6

MATEMSAPTMIK

19. Selesaikan persamaan kuadratik 5b2 + 3b = 4b – 5b2 + 21 dengan kaedah pemfaktoran.

20. Cari punca-punca bagi persamaan kuadratik 4c2 – 9 = 0 dengan kaedah pemfaktoran.

21. Selesaikan persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan kaedah rumus kuadratik
14x2 – 17x – 5 = 0.

22. Carikan punca-punca bagi persamaan kuadratik s2 + 1 = −10 s dengan menggunakan

kaedah rumus kuadratik. 3



23. Carikan punca-punca bagi persamaan kuadratik 10x(2x −1) − 8 = x(2x + 35) dengan

menggunakan kaedah rumus kuadratik.

24. Carikan punca-punca bagi persamaan kuadratik (x −1)(4x − 9) + 7 = 10x dengan
menggunakan kaedah rumus kuadratik.

25. Carikan punca-punca bagi persamaan kuadratik (x +1)(x − 5) = 2 dengan menggunakan
kaedah rumus kuadratik.

26. Carikan punca-punca bagi persamaan kuadratik z + 7 = z2 dengan menggunakan kaedah

rumus kuadratik. 2

27. Carikan punca-punca bagi persamaan kuadratik x2 + 3x −1 = 2(x2 − x −1) dengan

menggunakan kaedah rumus kuadratik. 3

28. Carikan punca-punca bagi persamaan kuadratik 11v − 2 = 2v(v + 3) dengan menggunakan
kaedah rumus kuadratik.

29. Carikan punca-punca bagi persamaan kuadratik (q +1)(q − 5) = 4 dengan menggunakan
kaedah rumus kuadratik.

30. Carikan punca-punca bagi persamaan kuadratik n(9n + 50) = 35 − 3n(1 + 3n) dengan
menggunakan kaedah rumus kuadratik.

7

MATEMATIK

SPM

BAB: 3 SET

Set Semesta ( ξ ) = Nilai didalam carta venn, tiada nilai lain diluar carta
Elemen (§) = Apa di dalam set
Subset (=) = Set dalam set
Set kosong ({ },^) = Nilai dalam set kososng ataupun tiada
Tindanan (€) = Bertindih
Kesatuan (~) = Kesemua nilai/ Gabungan dua set
Set Pelengkap (‘) = Nilai dua set

Venn diagram:

A Bξ
A

A'

A €B A'

AB Contoh: B
A ~B ξA

7 6 10

2

n(A) = 7 + 6 = 13

n(B) = 6 + 10 =16
n(A € B) = 6
n(A ~ B) = 7 + 6 + 10 = 23

n(A ∩ B’) = 7

n(A’ ∩ B) = 10
n(A ~ B)’ =7 + 10 + 2 = 19
n(A ~ B)’ = 2

8

MATEMSAPTMIK

SOALAN

1. Sekumpulan pelajar di dalam sebuah kelas berminat untuk bermain futsal, bola jaring atau
badminton. Pelajar yang bermain futsal tidak bermain permainan lain, tetapi yang bermain
badminton ada juga yang bermain bola jaring.

Jika F mewakili futsal, J mewakili bola jaring dan B mewakili badminton, yang manakah
antara berikut yang mewakili pernyataan di atas.

i. F € J = ^
ii. J € B ≠ ^
iii. J € B = J
iv. J € B = B

A I C I, II dan III
B I dan II D I, II, III, IV

2. Rajah 1 ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan
set semesta P ~ Q ~ R.



P Q


R



Rajah 1

Antara hubungan berikut, yang manakah mewakili set kosong.

A (P ~ Q) € R C (P € Q) € R
B P ~ (Q ~ R ) D R € (P ~ Q )

3. Dalam sekumpulan 40 buah keluarga, setiap keluarga mempunyai salah satu daripada tiga
jenis kenderaan, kereta, motosikal atau basikal. 30% keluarga mempunyai basikal, 50%
keluarga mempunyai kereta dan 40% keluarga mempunyai motosikal. Dari kumpulan itu,
10% mempunyai basikal dan kereta, 20% mempunyai kereta dan motosikal manakala 15%
mempunyai basikal dan motosikal. 5% mempunyai ketiga-tiga jenis kenderaan itu. Berapa
ramai keluarga yang mempunyai hanya satu jenis kenderaan sahaja?



A 14 C 17
B 16 D 18

9

MATEMATIK

SPM

4. Senaraikan semua subset bagi set P = {r, s}.

5. Rajah 2 di bawah menunjukkan gambar rajah Venn dengan set semesta, ξ = Q ~ P.
Senaraikan semua subset bagi set P.

P •5
Q

Rajah 2

•2 •3

6. Diberi bahawa set semesta, ξ = {x: 30 ≤ x < 42, x ialah integer} dan set P = {x: x ialah
nombor dengan keadaan hasil tambah dua digitnya ialah nombor genap}.

Carikan set P’.

7. Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 3 < x ≤ 16, x ialah integer},
Set A = {4, 11, 13, 16},
Set B = {x: x ialah nombor ganjil} dan
Set C = {x: x ialah gandaan bagi 3}.
Unsur bagi set (A C) ‘∩ B ialah:

8. Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set X, set Y dan set Z dengan keadaan
set semesta, ξ = X Y Z

Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan:
a) X’∩Y
b) (X Y’)∩Z

Y Z
X

9. Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan
set semesta, ξ=P Q R ξ =P Q R

Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan
a) Q∩R,
b) (P’∩R) Q.

P


Q
R

10

MATEMSAPTMIK

10. Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan
set semesta, ξ=P ~ Q ~ Rξ=P ~ Q ~ R

Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan
a) P∩R’,
b) P’ (Q ∩ R). P’ (Q ∩ R).

P

RQ

11. Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P dan set Q. Pada rajah di ruang
jawapan, lorekkan

a) P ∩ Q b) P ~ Q





PQ PQ

12. Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q dan set R.
Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan

a) P ∩ Q’ b) (P ~ Q)’



PQ P Q R

13. Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q dan R. Pada rajah di ruang

jawapan, lorekkan



a) P’∩Q b) (P∩Q) R

PQ

PQ

R
11

MATEMATIK

SPM

14. Rajah menunjukkan gambar rajah Venn dengan set semesta ξ = {murid tingkatan 4
Cemerlang}, set P = {murid yang mempunyai basikal} dan set Q = {murid yang mempunyai
motosikal }

ξ P Q

ξ


Diberi bahawa n(P) = 28, n(Q) = 21 dan n( ξ )=40 dan murid yang mempunyai basikal

sahaja ialah 16. Cari bilangan murid yang tidak mempunyai basikal atau motosikal.

A 2 C 12
B 3 D 18

15. Rajah di sebelah menunjukkan gambar rajah Venn dengan set P, set Q dan set R. Kawasan
yang berlorek mewaikili

Q

P

A (P Q)∩R R
B (P Q)∩R
C Q (P∩R)
D Q (P∩R)

16. Rajah 3 ialah suatu gambar rajah Venn dalam set semesta ξ = P ~ Q ~ R

ξ P R

Q

Rajah 3

12

MATEMSAPTMIK

Antara yang berikut yang manakah mewakili awasan berlorek?

A Q (P∩R’) C Q ∩ (P R’)
B Q (P’∩R) D Q ∩ (P R’)

17. Rajah 4 ialah suatu gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan unsur dalam set J, set
K, dan set L.

J K

6 x–4 2

x–2

84

7

L
Rajah 4

Diberi set semesta = J ~ K ~ L dan n(L € L) = n(J ~ K)’, cari n(J € K).

A 2 C6
B 4 D8

18. Diberi ξ = {x: 30 ≤ x ≤ 45 , x ialah satu integer}, P = {x : x ialah satu nombor dengan
keadaan hasil darab digit-digitnya ialah nombor genap}, dan Q = {x : x ialah satu nombor
gandaan 6}, cari n{P ∩Q’).

A 6 C8
B 7 D9

19. Rajah 10 ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan set semesta ξ, = {Murid-murid
Tingkatan 3}, set R = {Murid-murid yang lulus ujian lisan}, dan set L = {Murid-murid
yang lulus ujian mendengar}.

ξ R L

Rajah 6

13

MATEMATIK

SPM

Diberi n( ξ ) = 50, n(R) = 29, n(L) = 19, dan n(R ~ L) = 11, cari bilangan murid yang lulus
ujian lisan atau ujian mendengar atau kedua-dua ujian itu.

A 37 C 47
B 38 D 48

20. Rajah 7 ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan unsur dalam set A, set B dan
set C. Diberi bahawa set semesta ξ = A ~ B ~ C dan n(ξ) = 28. Cari nilai bagi n( C’).

B C


A 9
65



Rajah 7

A 8 C 18
B 14 D 24

21. Jadual 8 menunjukkan data yang diperoleh daripada sekumpulan 50 orang pelajar. Rajah
8 ialah gambar rajah Venn yang mewakili sebahagian maklumat dalam jadual 8.

Permainan Bilangan pelajar
Catur 25
14
Badminton 20
7
Hoki 5
4
Catur sahaja 8

Hoki sahaja Hokey /Hoki

Catur dan Badminton sahaja

Catur dan Hoki sahaja.




Chest/Catur

78 5

4

Badminton Rajah 8





14

MATEMSAPTMIK

Cari bilangan pelajar yang bermain Badminton sahaja.

A 1 C4

B 3 D6

22. Diberi set P = {segiempat selari}, set R = {segiempat tepat} dan set S = {segiempat sama}.
Gambarajah Venn yang mana menunjukkan hubungan antara set P, set R dan set S.

AC

P S

S

R

B S RP

P D
R P R

S

15

MATEMATIK

SPM

BAB 4: PENAAKULAN MATEMATIK

(a) Penyataan

Penyataan Bukan Penyataan
Suatu ayat yang BENAR atau SALAH Selain ayat yang benar / salah

Contoh : Contoh :
• 3 adalah nombor prima = Penyataan BENAR • 3m -2 = 6, m itu sebenarnya apa?
• 32 + 22 = (3 +2)2 = Penyataan SALAH • 3k + 7, 3 +7, R n (P v Q)
• x + x = 2x = Penyataan BENAR

(b) Penunjuk / Pekuantiti – “semua”, “sesetengah”

Contoh:
Dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’, lengkapkan setiap yang berikut
supaya membentuk satu pernyataan benar.

(a) _______ poligon mempunyai bilangan bucu dan sisi yang sama.

(b) _______ nombor gandaan bagi 9 adalah nombor genap.

(c) _______ nombor bulat boleh dibahagi tepat dengan 7.

(d) _______ faktor untuk 4 adalah faktor untuk 20.

Jawapan:
(a) Semua poligon mempunyai bilangan bucu dan sisi yang sama.
(b) Sebilangan nombor gandaan bagi 9 adalah nombor genap.
(c) Sebilangan nombor bulat boleh dibahagi tepat dengan 7.
(d) Semua faktor untuk 4 adalah faktor untuk 20.

(c) Operasi dalam penyataan – ‘dan’, ‘atau’

p q p dan q p atau q
Benar Benar Benar Benar
Benar Salah Salah Benar
Salah Benar Salah Benar
Salah Salah Salah Salah

16

MATEMSAPTMIK

(d) Implikasi Peristia : p Contoh
Bentuk 1 Hasilnya : q Peristiwa : n < -3
: Implikasi: Jika p, maka q Hasilnya : n2 < 9
Bentuk 2 : Implikasi : Jika n < -3,
Bentuk 3 maka n2 < 9 [salah]
(e) Hujah
Bentuk 1 p jika dan hanya j ka q Contoh
Bentuk 2 : Implikasi I : Jika p, maka q “3m > 15 jika dan hanya jika m > 5”
Bentuk 3
lmplikasi : Jika p, maka q : Implikasi I : Jika 3m > 15,
: Berbalik : Jika q, maka maka m > 5

Contoh
“Jika x > 9, maka x > 5”
: Berbalik : Jika x > 5.

Maka x > 9 [salah]

Premis 1: Semua A adalah B. Contoh
Premis 2: C adalah A. Premis 1 : Semua hexagon ada

Kesimpulan: C adalah B. 6 bucu
Premis 2 : PQRSTU ialah hexagon

Premis 1: Jika p, maka q. Contoh
Premis 2: p adalah benar. Premis 1: Jika suatu nombor ialah faktor
Kesimpulan: q adalah benar. bagi 18, maka nombor itu ialah faktor bagi 54.

Premis 2: 3 ialah faktor bagi 18.

Premis 1: Jika p, maka q. Contoh
Premis 2: Bukan q adalah Premis 1: Jika P ialah subset bagi Q,

benar. maka P ∩ Q = P.
Kesimpulan: Bukan p adalah

Premis 2: P ∩ Q ≠ P

Deduksi dan Aruhan

1. Deduksi adalah suatu proses membuat kesimpulan khusus berdasarkan pernyataan yang
umum.

Aruhan adalah suatu proses membuat kesimpulan umum berdasarkan kes-kes khusus.

Tip Matematik

1. Pernyataan umum → Kesimpulan khusus → Deduksi

2. Kes-kes khusus → Kesimpulan umum → Aruhan

17

MATEMATIK

SPM

SOALAN

1. a. Nyatakan sama ada setiap penyataan berikut adalah benar atau palsu.

(i) 24 = 16 dan 12 ÷ 3√27 = 3.
(ii) 17 ialah nombor perdana atau nombor genap

b. Lengkapkan pernyataan, di ruang jawapan, untuk membentuk satu pernyataan yang
benar dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’.

c. Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut:

Suatu nombor ialah nombor perdana jika dan hanya jika nombor itu hanya boleh dibahagi
dengan 1 dan nombor itu sendiri.

2. a. Nyatakan sama ada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu.

(i) 2 × 3 = 6 atau 2 + 3 = 6
(ii) 2 ialah nombor perdana dan 5 ialah nombor genap.

b. Tulis akas untuk implikasi berikut.
Seterusnya, nyatakan sama ada akas tersebut adalah benar atau palsu.

Jika x adalah gandaan bagi 12,
Maka x adalah gandaan bagi 3.

3. a. Lengkapkan setiap pernyataan dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’
atau‘sebilangan’ supaya menjadi suatu pernyataan benar.

i. _______ nombor perdana adalah nombor ganjil.
ii. _______ pentagon mempunyai lima sisi.

b. Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut:

A € B = B jika dan hanya jika A ~ B = A

c. Lengkapkan premis dalam hujah berikut:

Premis 1: Jika suatu nombor ialah faktor bagi 24, maka nombor itu ialah faktor bagi 48.
Premis 2: 12 ialah faktor bagi 24.

Kesimpulan: _____________________

4. a. Gabungkan dua pernyataan yang berikut supaya menjadi satu pernyataan yang benar.

Pernyataan 1: (– 3)2 = 9
Pernyataan 2: –3 (3) = 19

18

MATEMSAPTMIK

b. Lengkapkan premis dalam hujah berikut:

Premis 1: _____________________
Premis 2: x ialah gandaan bagi 25.
Kesimpulan: x boleh dibahagi dengan 5.

c. Buat satu kesimpulan umum secara aruhan bagi urutan nombor 7, 14, 27 … yang
mengikut pola berikut.

7 = 3(2)1 + 1
14 = 3(2)2 + 2
27 = 3(2)3 + 3
........ = ………..

5. a. Nyataka sama ada ayat berikut ialah suatu pernyataan atau bukan pernyataan.

x+7=9

b. Lengkapkan pernyataan majmuk di bawah dengan menulis perkataan ‘atau’ atau ‘dan’
untuk membentuk satu pernyataan benar.

23 = 6……5 × 0 = 0

c. Tulis Premis 2 untuk melengkapkan hujah berikut:

Premis 1: Semua segi tiga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang.
Premis 2: _____________________
Kesimpulan: ABC mempunyai dua sisi yang sama panjang.

d. Buat satu kesimpulan umum secara aruhan bagi urutan nombor 1, 7, 17, 31, … yang
mengikut pola berikut:

1 = (2 × 1) – 1
7 = (2 × 4) – 1
17 = (2 × 9) – 1
31 = (2 × 16) – 1

6. a. Nyatakan sama ada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu.

3 × 2 = 6 and / dan 32 = 6
8 – 1 ≠ 6 or / atau 9 + 2 > 12

b. Tuliskan Premis 2 untuk melengkapkan hujah berikut.
Premis 1: Jika x lebih kecil dari sifar, maka x ialah satu nombor negatif.
Premis 2: ………………………………………………………
Kesimpulan: –7 ialah satu nombor negatif.

19

MATEMATIK

SPM

c. Tuliskan dua implikasi berdasarkan daripada ayat berikut:
k + 7 > 10 jika dan hanya jika k > 4
Jawapan
a. (i) …………………………………………………………………………………
(ii)…………………………………………………………………………………
Premis 2:
…………………………………........………………………………………………
Implikasi 1:
…………………………………………………....…………………………………
Implikasi 2:
………………………………………………...……………………………………
7. a. Lengkapkan pernyataan yang berikut menggunakan pengkuantiti “semua” atau
“sebilangan” untuk menjadikannya pernyataan benar 9.
_____________ gandaan 3 adalah gandaan 9.
b. “JK dan PT adalah selari jika dan hanya jika kecerunan JK dan PT sama.”
c. Bina satu kesimpulan umum secara aruhan bagi jujukan nombor 1, 2, 5, … yang

mematuhi pola berikut:
1 = 21 –1
2 = 22 –2
5 = 23 –3
Jawapan
……………………………………… …..…………………………………..
b. Implikasi 1 ……………………………………………............………….
Implikasi 2:…………………………………………..................………...
c. ……………………………………………………………………………

20

MATEMSAPTMIK

8. a. (i) Nyatakan sama ada ayat berikut merupakan suatu pernyataan atau bukan pernyataan.
“9 ialah nombor genap”
Nyatakan sama ada ayat berikut benar atau palsu.
– 6 × 4 = –24 dan – 5 × (– 4) = –20
b. Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan majmuk berikut:
mn =10 jika dan hanya jika m = 2 dan n
c. Diberi bahawa luas bagi suatu bulatan ialah πj2 di mana j ialah jejarinya. Buat satu

kesimpulan secara deduksi untuk luas bulatan dengan jejari 7 cm.
Jawapan:
a. (i) ………………………………… …..………………………………...
(ii) ………………………………… …..………………………………...
b. Implikasi 1 ……………………………………………............………….
Implikasi 2:…………………………………………..................………...
c. ……………………………………………………………………………

21

MATEMATIK

SPM

BAB 5: GARIS LURUS

Kecerunan garis lurus ialah nisbah jarak mencancang kepada jarak mengufuk di antara dua titik
pada garis itu.

Kecerunan garis lurus, m = ___j_a_ra_k__m_e_n_c_an_c_a_n_g____
jarak mengufuk

Contoh:

Cari kecerunan bagi garis lurus di atas.

Penyelesaian:

Kecerunan, m = 4 unit
6 unit

= 2
3

Mengira Kecerunan Garis Lurus

Kecerunan, m, satu garis lurus yang melalui titik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) ialah,
y2 − y1

mPQ = x2 − x1

22

MATEMSAPTMIK

Pintasan –x ialah koordinat –x bagi titik persilangan suatu garis lurus dengan paksi –x .
Pintasan –y ialah koordinat –y bagi titik persilangan suatu garis lurus dengan paksi –y.



Dalam rajah di atas, pintasan-x bagi garis lurus PQ ialah 6 dan pintasan-y bagi PQ ialah 5.
5. Kecerunan Garis Selari

Dua garis adalah selari jika kecerunannya adalah sama. Jika PQ // RS,
maka mPQ = mRS

23

MATEMATIK

SPM

Jika dua garis lurus mempunyai kecerunan yang sama, maka pasangan garis lurus tersebut
adalah selari.

Jika mAB = mCD y
maka AB // CD

A

C
B

D
x

0

1. SOALAN


Pelajar dari kelas 4 Bestari telah melaksanakan satu eksperimen berkaitan hubungan
antara panjang spring dengan jisim. Jadual 1 menunjukkan hasil eksperimen itu.

Jadual 1

Jisim, m (kg) 1 2 4 6 10
Panjang spring, 8.6 10.2 14.4 16.6 23.0

l (cm)

Cari persamaan garis lurus yang menunjukkan hubungan antara l dengan m.

Berapakah panjang spring, jika tiada pemberat digantung padanya?

24

MATEMSAPTMIK

2. Rajah 2 menunjukkan sisi empat tepat ABCD dengan perimeter 90 cm.
AB

5x cm

C 15y cm D
Jadual 2

a. Tuliskan persamaan yang mewakili perimeter sisi empat tepat ABCD itu dalam
sebutan x dan y.

b. Cari persamaan garis lurus yang selari dengan graf dalam (b) dan melalui titik (6, 5).

c. Adakah pintasan-x dan pintasan-y garis lurus itu mewakili panjang sisi yang mungkin
bagi sisi empat sama ABCD? Huraikan jawapan anda.

3. Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS yang dilukis pada satah Cartesan.

y S (5, 3)



R (–1, 1)

0 x

Cari kecerunan RS.

4. Dalam rajah di bawah, PQ adalah suatu garis lurus dengan kecerunan – ½.

y

P

x
0

–3
Q

Cari pintasan-x bagi garis lurus PQ.
25

MATEMATIK

SPM

5. Kecerunan bagi garis lurus 3x – 4y = 24 ialah:

6. Tentukan pintasan-y bagi garis lurus 3x + 2y = 5

7. Rajah 1 menunjukkan garis lurus ST dan PQ dilukis pada suatu satah Cartesan. ST dan
PQ ialah garisan yang selari. Diberi persamaan garis lurus ST ialah 2y = 8x + 3.

y
T

S Q x
(6,4)
O
P Rajah 1

Cari,

a. Persamaan garis lurus PQ,
b. Pintasan-x bagi garis lurus PQ.

8. Rajah 2 menunjukkan ABCD ialah sebuah trapezium dilukis pada suatu satah Cartesan.
Persamaan garis lurus BC ialah y + 2x = 15. M ialah titik tengah BC.

y

B y + 2x = 15


C (6 , n)

MC

A D

Cari Rajah 2

a. nilai n,

b. koordinat M,

c. Persamaan garis lurus MD.



26

MATEMSAPTMIK

9. Rajah 3 menunjukkan OPQR ialah sebuah trapezium pada suatu satah Cartesan.
y



Q (–4, k)



R (–5, 5)

P (3, 3)

0x

Rajah 3

Cari

a. Nilai k,
b. Persamaan garis lurus PQ,
c. Pintasan-x bagi garis lurus PQ.

10. Rajah 4 menunjukkan segi tiga sama kaki ABC dan garis lurus AD pada suatu satah

Cartesan. Diberi pintasan-x dan kecerunan garis lurus AD ialah 5 dan – 6
5

y
D



C Ax

B(2, p)
Rajah 4

Cari
a. nilai p,
b. Persamaan bagi garis lurus AB.

27

MATEMATIK

SPM

11. Rajah 5 menunjukkan ABC ialah segitiga dengan keadaan BC selari dengan paksi-x pada

suatu satah Cartesan. Diberi bahawa luas segitiga ABC ialah 12 1 unit2.
x 2

B

C (9,8)

A (-1,3)

y

Rajah 5

Cari
a. Koordinat bucu B.
b. persamaan garis lurus BC
c. persamaan garis lurus AC

28

MATEMSAPTMIK

BAB 6: STATISTIK III

Selang Kelas Data yang terdiri daripada ukuran sesuatu kuantiti boleh dikumpulkan
dalam beberapa kelas dan julat setiap kelas itu dinamakan selang kelas.

Had dan Sempadan Kelas Bagi selang kelas, misalnya 30 – 39, nilai yang terkecil (30) dinamakan
had bawah, manakala nilai yang terbesar (39) dikenali sebagai had atas.

Sempadan Bawah Sempadan bawah bagi suatu kelas ialah nilai tengah di antara had bawah
selang kelas itu dengan had atas bagi kelas yang sebelumnya.
Contoh:
20 – 29 = 19.5
30 – 39 = 29.5
40 – 49 = 39.5

Sempadan atas Sempadan atas bagi suatu kelas ialah nilai tengah di antara had atas selang
kelas itu dengan had bawah bagi kelas yang berikutnya.
Contoh:
20 – 29 = 29.5
30 – 39 = 39.5
40 – 49 = 49.5

Saiz Selang Kelas Saiz selang kelas adalah perbezaan antara sempadan atas dan sempadan
bawah kelas.
Contoh:
Saiz selang kelas 30 – 39
= Sempadan atas – Sempadan bawah
= 39.5 – 29.5
= 10

Kelas Mod Kelas mod bagi data terkumpul ialah selang kelas yang mempunyai
kekerapan tertinggi.

Kelas Titik Tengah Nilai titik tengah kelas = Had bawah + Had atas
2

Min data terkumpul, ẍ Jumlah (kekerapan × titk tengah)
Jumlah kekerapan

Σfx
Σf

Histogram Histogram terdiri daripada segi empat tepat mencancang yang lebarnya
Poligon Kekerapan sama dan tingginya berkadaran dengan kekerapan.

• Poligon kekerapan ialah graf yang menyambungkan titik tengah selang
kelas pada hujung setiap segi empat tepat dalam sebuah histogram.

• Poligon kekerapan boleh dilukis daripada
(a) Histogram,
(b) Jadual kekerapan.

29

MATEMATIK

SPM

Kekerapan Longgokan Kekerapan longgokan bagi suatu data atau selang kelas dalam jadual
kekerapan diperoleh dengan menentukan hasil tambah kekerapannya
Ogif dengan jumlah kekerapan semua data atau selang
kelas sebelumnya.
Menentukan julat bagi
satu set data Ogif ialah graf kekerapan longgokan yang diperoleh dengan memplotkan
kekerapan longgokan bertentangan dengan sempadan atas setiap kelas.
Kuartil pertama (Q1)
Median 1. Bagi suatu data tak terkumpul,
Kuartil ketiga (Q3) Julat = Nilai tertinggi – Nilai terendah.
Julat antara kuartil
2. Bagi suatu data terkumpul,
Julat = Nilai titik tengah bagi kelas terakhir – Nilai titik tengah bagi
kelas pertama.

Suatu nombor dengan keadaan ¼ daripada jumlah data mempunyai nilai
yang kurang daripadanya.

Median ialah kuartil kedua (nilai yang berada di tengah-tengah data).

Suatu nombor dengan keadaan ¾ daripada jumlah data mempunyai nilai
yang kurang daripadanya.

Julat antara kuartil adalah beza antara kuartil ketiga dan kuartil pertama.

30

MATEMSAPTMIK

SOALAN

1. Data dalam rajah 1 menunjukkan umur, dalam tahun, bagi 25 orang pelancong yang
melawat satu tempat pelancongan.



Rajah 1

(a) Berdasarkan data dalam rajah 1, lengkapkan jadual 1 pada ruang jawapan.

Jadual 1

Kekerapan Titik tengah
Umur (Tahun) 3

1-5 2

6-10



(b) Berdasarkan Jadual 1,
i. Nyatakan kelas mod.
ii. Hitung min anggaran umur bagi seorang pelancong.

(c) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.
Dengan menggunakan skala 2cm kepada 5 tahun pada paksi mengufuk dan 2 cm

kepada 1 pelancong pada paksi mencancang, lukiskan satu histogram bagi data itu.

2. Rajah di bawah menunjukkan markah yang diperoleh sekumpulan 24 orang murid dalam
suatu kuiz matematik.



31

MATEMATIK

SPM

(a) Berdasarkan data di rajah di atas, lengkapkan Jadual di ruang jawapan.

Selang Kelas Kekerapan Titik tengah
22-26 4 24
27-31



47-51

(b) Nyatakan kelas mod.
(c) Hitung min anggaran bagi markah yang diperoleh seorang murid.

(d) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.
Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 markah pada paksi mengufuk dan 2 cm

kepada 1 murid pada paksi mencancang, lukiskan satu histogram bagi data itu.
(e) Berdasarkan histogram yang dilukis di (d), nyatakan bilangan murid yang mendapat

kurang daripada 32 markah dalam kuiz itu.

3. Data dalam rajah 2 menunjukkan jisim, dalam kg, bagi 50 orang murid.

60 50 52 44 49 67 61 43 62 53

47 54 58 60 56 41 69 45 51 63

56 58 59 47 48 45 65 47 58 51

64 62 60 56 56 61 64 57 62 64

64 46 48 61 60 63 53 43 63 62



Rajah 2

(a) Berdasarkan data dalam rajah 2, lengkapkan jadual 2 di ruang jawapan.

Jadual 2 Kekerapan

Jisim (kg) Titik tengah
40-44 42
44-49





(b) Berdasarkan Jadual 2,
i. Nyatakan saiz selang kelas yang digunakan dalam jadual 2.
ii. Hitung min anggaran jisim bagi murid itu.

Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.

(c) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 kg pada paksi mengufuk dan 1 cm kepada
1 murid pada paksi mencancang, lukiskan satu poligon kekerapan bagi data tersebut.

32

MATEMSAPTMIK

4. Rajah di bawah menunjukkan markah yang diperoleh sekumpulan 30 orang murid dalam
suatu ujian Sains.

(a) Berdasarkan data pada Rajah di atas, lengkapkan Jadual di ruang jawapan.

Markah Kekerapan Titik tengah
0-9 0 4.5
10-19

70-79 0 74.5

(b) Berdasarkan Jadual lengkap di bahagian (a), hitung min anggaran markah bagi

seorang murid.

Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.

(a) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 markah pada paksi mengufuk dan 2 cm
kepada 1 murid pada paksi mencancang, lukiskan satu poligon kekerapan bagi data
tersebut.

(b) Markah lulus ujian itu ialah 44. Menggunakan poligon kekerapan di bahagian (c),
nyatakan bilangan murid yang lulus di dalam ujian itu.

5. Jadual 3 menunjukkan taburan kekerapan masa yang dicatatkan oleh 50 orang perenang
dalam suatu latihan di dalam kolam renang.

Jadual 3

Masa (saat) Kekerapan

35–39 5

40–44 8

45–49 9

50–54 15

55–59 11

60–64 2



(a) Nyatakan kelas mod.
(b) Hitung min anggaran masa yang dicatatkan oleh seorang perenang.

(c) Berdasarkan Jadual 3, lengkapkan Jadual 4 pada ruang jawapan dengan menulis nilai-
nilai sempadan atas dan kekerapan longgokan.

33

MATEMATIK

SPM

Jadual 4

Sempadan atas Kekerapan longgokan
34.5 0

64.5 50

Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris
fleksibel.

(d) Dengan menggunakan skala 2cm kepada 5 saat pada paksi mengufuk dan 2cm kepada
5 orang perenang pada paksi mencancang, lukiskan satu ogif bagi data tersebut.

6. Jadual 5 menunjukkan markah yang diperolehi oleh sekumpulan 20 orang murid dalam
suatu ujian bulanan.

Jadual 5

Markah Kekerapan
(Marks) (Bilangan murid)

10-14 0
1
15-19 8
4
20-24 7

25-29

30-34

Nyatakan kelas Mod

A 10-14 C 20-24

B 15-19 D 30-34

7. Jadual 6 menunjukkan skor untuk sekumpulan pelajar dalam kuiz Sains.

Jadual 6

Score (skor) 54321
10 9 8 7 6
Number of students (Bilangan pelajar)

Skor mod ialah :

A 5 C3
B 4 D2

34

MATEMSAPTMIK

8. Carta bar di sebelah menunjukkan bilangan pelajar dalam empat kelas A, B, C dan D.
Jumlah pelajar adalah 240 orang.












Hitungkan bilangan pelajar di kelas C

A 90 C 50

B 60 D 40

9. Carta pai di bawah menunjukkan bilangan ahli Kelab Permainan di SMK Kamunting.







Jika ahli kelab Hoki ialah 40 orang, Kelab Ragbi 50 orang dan Kelab Badminton pula
seramai 30 orang, berapa ramaikah ahli Kelab Bola Sepak?

A 120 C 80
B 100 D 60

35

MATEMATIK

SPM

10. Aisyah telah membuat satu cabutan bertuah dalam bentuk uncang wang dalam satu acara
hari keluarga. Berikut adalah hadiah yang telah dimenangi oleh para pemenang.



Hitungkan min wang hadiah kemenangan yang diterima oleh para pemenang.

A RM10 C RM50

B RM30 D RM150

11. Jadual di bawah menunjukkan skor yang diperoleh sekumpulan murid dalam suatu kuiz.




Sekiranya skor median adalah 2, nilai yang mungkin bagi x ialah

A 10 C7

B 8 D5

12. Piktograf di bawah menunjukkan jualan beberapa buah television oleh sebuah kedai
barangan elektrik pada tiga hari berturut-turut. Jika pada hari Rabu kedai tersebut telah
menjual 50% daripada keseluruhan television yang dijual, berapa unit televisionkah yang
terjual pada hari Jumaat?



A 20 C2
B 50 D5

36

MATEMSAPTMIK

13. Piktograf di bawah menunjukkan bilangan empat jenis buah-buahan yang dijual oleh
seorang peniaga dalam satu minggu. Nisbah jumlah mangga dengan jumlah nanas yang
dijual adalah 3: 1





Jika setiap gambar mewakili 10 biji buah, hitungkan jumlah buah-buahan yang terjual

pada minggu berkenaan.

A 20 C 150

B 130 D 200

14. Carta bar di atas menunjukkan jumlah pelawat ke sebuah Taman Tema pada hari Sabtu
dan Ahad. Tiket masuk ialah RM30 bagi dewasa dan RM20 bagi kanak-kanak. Hitung
jumlah kutipan tiket selama dua hari.

A RM1400 C RM2550
B RM2100 D RM2800

37

MATEMATIK

SPM



15. Gambar di atas menunjukkan bilangan belon yang dijual dalam tiga hari berturut-turut.
Jumlah belon yang dijual pada hari Selasa tidak ditunjukkan. Jumlah belon yang dijual
selama tiga hari adalah 150.

Dapatkan perbezaan jumlah balon yang dijual pada hari Isnin dan Selasa.

A 20 C 120
B 70 D 142

38

MATEMSAPTMIK

BAB 7: KEBARANGKALIAN

Uji kaji 1. Uji kaji ialah suatu proses dalam membuat pemerhatian untuk
Peristiwa mendapat keputusan yang dikehendaki.

Kebarangkalian suatu 2. Kesudahan uji kaji ialah keputusan yang mungkin diperoleh daripada
Peristiwa satu uji kaji.

1. Peristiwa ialah set kesudahan yang memenuhi syarat tertentu.
2. Peristiwa adalah suatu subset bagi ruang sampel.

Kebarangkalian bagi suatu peristiwa A, P(A) berlaku diberi oleh

• P(A) = Bi langan kali berlaku peristiwa A
Bilangan cubaan
P (A) = nn (( AS))
Dengan keadaan 0 ≤ P(A) ≤1

• Jika P(A) = 0, maka peristiwa A pasti tidak berlaku.
• Jika P(A) = 1, maka peristiwa A pasti berlaku.

SOALAN

1. Sebuah kotak mengandungi 120 bola kecil berwarna hijau dan biru. Sebiji bola kecil

diambil secara rawak daripada kotak itu. Kebarangkalian memilih sebiji bola hijau ialah

2 . Berapakah bilangan bola hijau yang perlu dikeluarkan daripada kotak itu supaya
3

kebarangkalian bola hijau dipilih menjadi 1 ?

2

A 80 C 20
B 40 D 60

2. Jadual 1 menunjukkan nama peserta daripada kelas Sains dan kelas Akaun yang
menghadiri satu kursus motivasi.

LJealdaukail 1 Perempuan
Alia, Izzati
Kelas Sains Malik Anis, Syafiqah

Kelas Akaun Faiz, Haziq, Zainal

Seorang peserta dikehendaki membersihkan tempat kursus pada akhir kursus itu. Cari
kebarangkalian seorang peserta dipilih secara rawak dari kelas sains adalah pelajar
perempuan.

BA 3228 C 1
2

D 1
3

39

MATEMATIK

SPM

3. Sebuah kotak mengandungi 5 biji guli merah jambu dan 21 guli kuning. Sharon
memasukkan lagi 4 biji guli merah jambu dan 1 biji guli kuning ke dalam kotak itu. Sebiji
guli dipilih secara rawak daripada kotak itu.

Apakah kebarangkalian sebiji guli merah jambu akan dipilih?

4. Dalam satu kumpulan 80 orang pengawas, 25 orang daripadanya adalah pengawas
perempuan. Kemudian seramai 10 orang pengawas lelaki meninggalkan kumpulan itu. Jika
seorang pengawas dipilih secara rawak daripada kumpulan itu, nyatakan kebarangkalian
bahawa pengawas yang dipilih itu adalah lelaki.

5. 60 orang mengambil bahagian dalam pertandingan nyanyian. Jika seorang dipilih secara

rawak daripada semua peserta, kebarangkalian memilih seorang peserta lelaki ialah 8 .
15

Jika terdapat 12 orang lelaki dan 3 orang perempuan tidak layak ke pusingan kedua, cari
kebarangkalian bahawa seorang lelaki dipilih daripada peserta-peserta dalam pusingan
kedua.

6. John mempunyai koleksi setem dari Thailand, Indonesia dan Singapura. Dia memilih

sekeping setem secara rawak. Kebarangkalian memilih sekeping setem Thailand ialah

1 dan kebarangkalian memilih sekeping setem Indonesia ialah 8 John mempunyai 20
5 15

keping setem Singapura. Hitungkan jumlah koleksi setem bagi John.

7. Sebuah kotak mengandungi 36 pemadam hijau dan beberapa ketul pemadam merah.

Jika seketul pemadam dipilih secara rawak daripada kotak itu, kebarangkalian seketul

pemadam berwarna merah dipilih ialah 5 . Cari bilangan pemadam merah.
8

8. Sebuah kotak mengandungi guli biru dan guli hijau. Sebiji guli dipilih secara rawak
6
daripada kotak itu. Kebarangkalian memilih sebiji guli biru ialah 11 . Jika terdapat 30

biji guli hijau dalam kotak, berapa biji guli biru dalam kotak itu.

9. Jadual di bawah menunjukkan taburan sekumpulan 90 orang murid yang mengambil

bahagian dalam satu program latihan sepakan penalti.

T ingkatan 4 Tingkatan 5

Pe rempu an 33 15
Le laki 18 24

10. Seorang murid dipilih secara rawak daripada kumpulan itu untuk memulakan sepakan.

Apakah kebarangkalian seorang murid lelaki daripada Tingkatan Lima akan dipilih?

Ahmad mempunyai satu koleksi syiling dari England, Perancis, dan Jepun. Dia memilih

sekeping syiling secara rawak daripada koleksinya. Kebarangkalian memilih sekeping

syiling dari England ialah 1 dan kebarangkalian memilih syiling dari Perancis ialah
3
4
7 . Dia mempunyai 6 keping syiling dari Jepun. Cari jumlah bilangan syiling dalam

koleksinya.

40

MATEMSAPTMIK

A 21 C 45
B 36 D 63

11. Rajah 1 menunjukkan satu set nombor.




Diagram 1/Rajah 1

Satu nombor dipilih secara rawak daripada set itu.

Cari kebarangkalian memilih satu nombor perdana 2 digit.
3
A 1 C 5
3

2 4
5 5
B D

12. Sebuah kelas mempunyai 15 orang pelajar lelaki. Kebarangkalian memilih seorang

pelajar lelaki secara rawak daripada kelas itu ialah 1 . 9 pelajar lelaki dan 6 pelajar
3

perempuan menyertai kelas itu. Jika seorang pelajar dipilih secara rawak sekarang,
hitungkan kebarangkalian pelajar yang dipilih itu ialah perempuan.

A 2 C 4
5 5

B 3 D 8
5 15

13. Jadual yang diberikan menunjukkan bilangan pekerja di sebuah kilang.

Lelaki Malaysian Pekerja asing
Perempuan 12 27
n 18

Seorang pekerja dipilih secara rawak daripada kilang itu. Kebarangkalian seorang

pekerja perempuan terpilih ialah 7 . Cari nilai n.
20

A 3 C8
B 5 D 10

14. Sebuah bekas mengandungi 57 biji guli yang terdiri daripada guli merah dan guli kuning.

Sebiji guli dipilih secara rawak daripada bekas itu. Kebarangkalian bahawa sebiji merah

dipilih ialah 1 . Berapa biji guli kuning perlu ditambah ke dalam bekas itu supaya
3
5
kebarangkalian bahawa guli kuning dipilih ialah 6 ?

A 23 C 57

B 33 D 67

41

MATEMATIK

SPM

15. Sebuah bakul mengandungi 12 biji bola merah dan beberapa biji bola biru. Sebiji bola
dipilih secara rawak daripada bakul itu. Kebarangkalian mendapat bola merah ialah 0.6.
Cari bilangan bola biru dalam bakul itu.

A 8 C 20
B 10 D 30

16. Satu nombor dipilih secara rawak daripada suatu set integer positif dari 1 hingga 50.
Hitung kebarangkalian bahawa nombor itu bukan suatu nombor kuasa dua sempurna.

A 4530 C 9
B 2252 10

D 23
25

17. Syarikat Danish telah mencatatkan rekod jualan 80 kereta tempatan dalam bulan Januari.

45 unit daripada kereta tempatan itu adalah Myvi dan selebihnya adalah Axia dan Viva.

Jika sebuah kereta tempatan dalam rekod jualan itu dipilih secara rawak, kebarangkalian

kereta itu adalah Viva ialah 3 . Cari kebarangkalian Axia dijual dalam bulan Januari.
16

A 1 C 9
4 10

B 7 D 3
16 4

18. Jisim bagi pelajar dalam satu kelas ditunjukkan dalam Jadual 1.

Mass (kg) Frequency

Jisim (kg) Kekerapan

41–50 16

51–60 x

61–70 9

71–80 4

81–90 2

Jadual 1

Seorang pelajar dipilih secara rawak daripada kelas. Jika kebarangkalian seorang pelajar

yang dipilih itu mempunyai jisim lebih daripada 70 kg ialah 3 , cari nilai x.
25

A 9 C 13
B 11 D 19

19. Diberi kebarangkalian pasukan A memenangi pertandingan pertama dan kedua masing-

masing ialah 1 dan 3 . Cari kebarangkalian pasukan A kalah dalam kedua-dua
pertandingan 4
itu4.

A 3 C 1
16 3

1 D 2
3
B4

42

MATEMSAPTMIK

BAB 8: BULATAN III

Mengenal pasti tangen kepada suatu bulatan
Tangen kepada suatu bulatan (tangent to a circle) ialah garis lurus yang menyentuh bulatan
itu pada satu titik sahaja.

Contoh:
Dalam rajah di bawah, kenal pasti garis lurus yang merupakan tangen kepada bulatan.

A

B
D

C

E H

F
G

Penyelesaian:
Garis lurus GH menyentuh bulatan itu pada satu titik sahaja. Maka, garis lurus yang merupakan
tangen kepada bulatan ialah GH.

Nota: Garis lurus AB tidak menyentuh bulatan. Garis lurus CD memotong bulatan pada dua
titik. Garis lurus EF memotong bulatan pada dua titik apabila dipanjangkan.

Membuat inferens bahawa tangen kepada bulatan adalah berserenjang dengan jejari
yang melalui titik sentuhan

Jejari yang melalui titik sentuhan tangen adalah berserenjang dengan tangen itu.

jejari

tangen
43

MATEMATIK

SPM

Contoh:
Dalam rajah di bawah, RT ialah tangen kepada bulatan yang berpusat O di titik P.

T

OP

R
a) Dengan menggunakan protraktor, ukur ­ ­OPR dan OPT.
b) Apakah yang boleh dikatakan tentang hubungan antara jejari OP dengan tangen RT?

Penyelesaian:
a) OPR = 90° dan OPT = 90°.
b) Jejari OP adalah berserenjang (perpendicular) dengan tangen RT.

44

MATEMSAPTMIK

SOALAN

1. Dalam Rajah 1, PQR ialah tangen kepada bulatan berpusat O di Q dan PSUO ialah garis

lurus.



Rajah 1

Cari nilai x C 47
D 70
A 35
B 45

2. Dalam Rajah 2, PAQ dan PBS ialah tangen kepada pusat bulatan. AC = BC.

Q

A C
128º
O

xº

P S
B

Rajah 2

Nilai x ialah

A 64 C 52
B 58 D 32

45

MATEMATIK

SPM

3. Dalam Rajah, EFG ialah tangen kepada bulatan berjejari 3 cm berpusat di O.


KH

O

80º

F G
E

Rajah 2

Cari panjang OE, jika OEF = 20º

A 14.62 C 9.77
B 13.62 D 8.77

4.

Dalam rajah di atas, FAD ialah tangen kepada bulatan berpusat O. AEB dan OECD ialah
garis lurus. Nilai bagi y ialah

5.

Dalam rajah di atas, PQR ialah tangen kepada bulatan QSTU di Q dan TUPV ialah garis
lurus. Nilai bagi y ialah

46

MATEMSAPTMIK

6. Rajah menunjukkan MNP sebuah sektor bulatan berpusatkan O dan sebuah semibulatan
dengan OP sebagai diameter.




Diberi OP = 7 cm. Dengan menggunakan = 22 , hitung
7

a. Perimeter seluruh rajah

b. Luas kawasan berlorek

7. Rajah menunjukkan sektor OAB, sektor OEF dan semibulatan ABC berpusat O.



Diberi bahawa AF = 3AO, OB = 7 cm dan BOC = 60°.

Dengan menggunakan π = 22 , hitung
7

a. Perimeter seluruh rajah

b. Luas kawasan berlorek

47

MATEMATIK

SPM

8. Rajah menunjukkan sukuan bulatan OPQ dan sektor ORS, dengan pusat sepunya O. OQR
ialah garis lurus.





Diberi bahawa OS = 12 cm dan OQ = QS.

Dengan menggunakan π = 22 , hitung
7

a. Perimeter, dalam cm, kawasan yang berlorek.

b. Luas, dalam cm2, kawasan yang berlorek.

48