Modul SPM Matematik

MATEMSAPTMIK

SOALAN

1. Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan kuasa tiga x dan y = 192 apabila x = 4.
Hitungkan nilai x apabila y = –24.

2. Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan kuasa dua x dan y = 9 apabila x = 2.
Hitungkan nilai x apabila y = 16.

3. Diberi bahawa y berubah secara songsang w dan x dan y = 45 apabila w = 2 dan x = 1 .
1 6

Hitungkan nilai x apabila y = 15 dan w = 3

4. Diberi bahawa p α 1 1 dan p = 3 apabila q = 2 dan r = 16, cari nilai bagi p apabila
q = 3 dan r = 4. q√r

1
5. Diberi bahawa p α q √ r 1 dan Q = 4M + 1. Pα1Q dan Q = 4M + 1.
Jika P = 5 apabila M = 2, ungkapkan P dalam sebutan Q.

6. Diberi bahawa R berubah secara langsung dengan punca kuasa dua S dan secara songsang
dengan kuasa dua T. Cari hubungan antara R, S dan T.

7. Diberi bahawa P berubah secara langsung dengan kuasa dua Q dan secara songsang
dengan punca kuasa dua R. Diberi k ialah pemalar, cari hubungan antara P, Q dan R.

8. Diberi bahawa P berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga Q. Hubungan antara
P dan Q ialah.

9. Diberi bahawa y berubah secara songsang dengan kuasa tiga x dan y = 16 apabila x = 1
Ungkapkan y dalam sebutan x. 2

10. W berubah secara langsung dengan X dan secara songsang dengan punca kuasa dua Y.
Diberi k ialah pemalar, Cari hubungan antara W, X dan Y.

99

MATEMATIK

SPM

BAB 17: KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF

100

MATEMSAPTMIK

SOALAN

1. Rajah 1 menunjukkan graf laju masa bagi pergerakan sebuah bas selama T minit. Pada
graf yang sama, sebuah kereta bergerak dengan laju seragam 80 km/j selama 30 minit.

Seterusnya kereta itu mengambil masa selama 40 minit untuk berhenti.
a. (i) Nyatakan nilai m dan nilai n
(ii) Lukis graf laju-masa bagi menunjukkan pergerakan kereta pada graf di Rajah 1
Perbezaan jarak perjalanan antara bas dan kereta ialah 25 km. Hitung nilai T.
Jawapan:
(a) (i) m = …………… n = …………………
(ii)
Laju km/j

100

m = ......

30 n = .... Masa (minit)
Rajah 1 T

2. Rajah 2 menunjukkan graf jarak-masa bagi perjalanan sebuah bas dan sebuah teksi.

Rajah 2
101

MATEMATIK

SPM

Graf TPS mewakili perjalanan bas itu dari bandar B ke bandar A.
Graf OPQRS mewakili perjalanan teksi itu dari bandar A ke bandar B dan kembali semula

ke bandar A. Bas itu bertolak dari bandar B dan teksi itu bertolak dari bandar A pada
waktu yang sama dan melalui jalan yang sama.
a. Nyatakan tempoh masa, dalam jam, teksi itu berhenti.
b. Jika perjalanan itu bermula pada jam 11.30 pagi, cari waktu bas bertemu dengan

dengan teksi untuk kali pertama.
c. Diberi bahawa bas itu bergerak dengan kelajuan 60 km/j, kira jarak, dalam km, antara

bandar A dan bandar B.
d. Hitung purata laju, dalam km/j, teksi itu bagi keseluruhan perjalanan.
3.

Rajah di atas menunjukkan graf jarak-masa bagi pergerakan satu zarah dalam tempoh 5
saat. Cari:

(a) Jarak yang dilalui oleh zarah itu dari masa 2 saat ke 5 saat.
(b) Laju zarah itu dalam 2 saat yang pertama.
4.

Rajah di atas menunjukkan graf jarak-masa bagi pergerakan satu kereta dalam tempoh 12
saat.

102

MATEMSAPTMIK

Cari:
(a) Nilai v, jika laju purata kereta bagi 6 saat yang pertama ialah 2 ms-1.
(b) Laju purata kereta bagi 8 saat yang pertama.
5. Rajah di bawah menunjukkan graf jarak-masa bagi perjalanan sebuah keretapi dari satu

bandar ke bandar yang lain dalam tempoh 90 minit.



(a) Nyatakan tempoh masa, dalam minit, ketika keretapi itu berhenti.
(b) Hitung laju, dalam km j-1, keretapi itu dalam 40 minit yang pertama.
(c) Cari jarak, dalam km, yang dilalui oleh keretapi itu bagi 25 minit yang terakhir.
6.


Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan satu zarah dalam tempoh 15
saat. Cari:

(a) Laju objek pada masa t = 9s.
(b) Jarak yang dilalui oleh objek itu bagi 12 saat yang pertama.

103

MATEMATIK

SPM

7.

Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan suatu objek dalam tempoh 15
saat.

(a) Nyatakan tempoh masa apabila objek itu bergerak dengan laju seragam.
(b) Hitungkan kadar perubahan laju dari t = 6s ke t = 12s.
(c) Nyatakan masa apabila objek itu berhenti.
8. Rajah menunjukkan graf jarak-masa bagi perjalanan kereta S dan kereta T. Graf OLMNPQ

mewakili perjalanan kereta S dari Bandar A ke bandar B. Graf GH mewakili Perjalanan
kereta T dari bandar B ke bandar A. Kereta S bertolak dari bandar A dan kereta T bertolak
dari bandar B pada masa yang sama dan melalui jalan yang sama.




(a) Cari nilai t jika kereta T bergerak dengan laju seragam.
(b) Jika perjalanan itu mula pada jam 0900, berapa jauhkah dari bandar B dan bilakah

kedua-dua kereta itu bertemu?
(c) Hitungkan laju purata, dalam km j–1, kereta S bagi seluruh perjalanan itu.

104

MATEMSAPTMIK

9. Rajah 2 menunjukkan graf laju-masa bagi suatu zarah dalam tempoh t saat.




Rajah 2

(a) Cari jarak, dalam m, yang dilalui dengan laju seragam
(b) Cari kadar perubahan laju, dalam m s–2, dalam 5 saat yang pertama
(c) Cari nilai t jika purata laju bagi tempoh t saat ialah 30 m s–1

10. Tambang teksi RMT, di suatu Bandar diberi oleh T = 3 untuk 0≤J≤2 dan T = J + 3 untuk
J > 2, dengan J ialah jarak yang dilalui, dalam km.

(a) Lukis satu graf untuk mewakili hubungan di antara J dan T untuk 0≤J≤5.
(b) Cari kecerunan graf untuk 2≤J≤5 dan nyatakan makna kecerunannya.

Jawapan:

(a)




(b)

105

MATEMATIK

SPM

11. Rajah 4 menunjukkan graf jarak masa bagi perjalanan sebuah lori dari Bandar P ke Bandar
R melalui Bandar Q dan kemudian kembali ke Bandar P

Distance/ Jarak (km)


40

15

25 40 75 Time/ Masa (min)
150

Rajah 4


(a) Nyatakan tempoh masa, dalam minit, lori itu berhenti di Bandar R.
(b) Hitung laju, bagi perjalanan lori dari Bandar P ke Bandar Q.
(c) Hitung purata laju, dalam kmj-1, lori itu bagi keseluruhan perjalanan.

Jarak Laju


5 16 Masa(s) 10 16 Masa(s)


Rajah menunjukkan graf jarak-masa dan laju-masa bagi kereta P dan kereta Q
masingmasing dalam masa 16 s. Hitung:
(a) Laju bagi kereta P dalam tempoh 16 s.
(b) Beza jarak yang dilalui oleh kereta P dan jarak dilalui oleh kereta Q, dalam km, dalam
tempoh masa 16 s

106

MATEMSAPTMIK

BAB I8: KEBARANGKALIAN II

107

MATEMATIK

SPM

108

MATEMSAPTMIK

SOALAN

1. Sekeping syiling yang adil dilambung. Kemudian sekeping kad dipilih secara rawak dari
sebuah kotak yang mengandungi lima keping kad nombor 1, 2, 3, 4, dan 5.

1 2 3 4 5

Kepala (H,1) (H,3) (H,5)

Ekor (T,2) (T,4)

Rajah 2

a) Lengkapkan ruang sampel dalam Rajah 2.
b) Dengan menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi peristiwa itu, cari

kebarangkalian bahawa:
i) Kepala dan satu nombor yang lebih daripada 3 dipilih
ii) Ekor atau satu nombor yang kurang daripada 4 dipilih

2. Kelab Badan Beruniform Uniform
Bahasa
(B) Pengakap (P)
Sains dan Matematik
Alam Sekitar (S) PBSM (M)
Kebudayaan
(A) Puteri Islam (E)

(K) Kadet Bomba (T)

Jadual di atas menunjukkan kelab dan badan uniform yang terdapat di SMK Seri
Pengkalan. Setiap murid dikehendaki memilih satu kelab dan satu badan uniform untuk
aktiviti kokurikulum.

a) Dengan menggunakan huruf disediakan dalam kurungan yang mewakili kelab dan
badan beruniform, senaraikan semua gabungan kelab dan badan beruniform yang
mungkin dipilih oleh murid.

b. Cari kebarangkalian bahawa seorang murid itu memilih Kelab Kebudayaan dan Badan
Uniform Pengakap.

c) Cari kebarangkalian bahawa seorang murid memilih PBSM atau Kadet

3. Rajah di bawah menunjukkan dua kad huruf dalam kotak A dan tiga kad nombor di dalam
kotak B.



MQ 2 36

AB

Satu kad dipilih secara rawak daripada kotak A dan kemudian satu kad pula dipilih secara
rawak daripada kotak B.

109

MATEMATIK

SPM

Dengan menyenaraikan sampel bagi semua kesudahan peristiwa yang mungkin, cari
kebarangkalian


a) Satu kad berlabel M dan kad nombor genap dipilih,
b) Satu kad berlabel Q atau kad nombor gandaan 2 dipilih.

4. Jadual di bawah menunjukkan nama peserta daripada dua sekolah menengah yang
menghadiri satu program latihan pengucapan awam.

Lelaki Perempuan

Rosita

Sek olah A Kar im Sally

Linda

Sekolah B Ahmad Nancy
Billy

Dua peserta dikehendaki memberi ucapan di akhir program itu.

a) Seorang peserta dipilih secara rawak daripada Sekolah Adan kemudian seorang
peserta lagi dipilih secara rawak juga daripada Sekolah A.

i. Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.
ii. Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa seorang lelaki dan seorang perempuan

dipilih.

b) Seorang peserta dipilih secara rawak daripada kumpulan lelaki dan kemudian seorang
peserta lagi dipilih secara rawak daripada daripada kumpulan perempuan.

i. Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.
ii. Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa kedua-dua peserta yang dipilih adalah

daripada Sekolah B.

5. Satu dadu yang adil dilambung. Kemudian sekeping kad dipilih secara rawak dari sebuah
kotak yang mengandungi sekeping kad kuning, sekeping kad merah dan sekeping kad
ungu.

a) Dengan menggunakan huruf Y untuk mewakili kad kuning, huruf R untuk menwakili
kad merah dan huruf P untuk mewakili kad ungu, lengkapkan ruang sampel pada
ruang jawapan.




b) Dengan menyenarai semua kesudahan yang mungkin bagi peristiwa itu, cari
kebarangkalian bahawa

i. Satu nombor yang kurang daripada enam dan satu kad merah dipilih,
ii. Satu nombor lebih daripada tiga atau satu kad ungu dipilih.

110

MATEMSAPTMIK

6. Sekeping duit syiling dan sebiji dadu dilambung serentak. Dengan menyenaraikan sampel
bagi semua kesudahan peristiwa yang mungkin, cari kebarangkalian

(a) Muka kepala dan nombor ganjil diperoleh,
(b) Muka kepala atau nombor lebih besar daripada 4 diperoleh.
7. Rajah bawah menunjukkan 4 keping kad berlabel dengan huruf.


C OO L

Dua keping kad dipilih secara rawak daripada kotak itu, satu demi satu, tanpa dikembalikan.
a) Senaraikan ruang sampel.
b) Carikan kebarangkalian bahawa
(i) sekurung-kurungnya satu kad yang dipilih berlabel
(ii) kedua-dua kad yang dipilih berlabel dengan huruf yang sama.

111

MATEMATIK

SPM

BAB 19: BEARING

112

MATEMSAPTMIK

SOALAN

1. Rajah menunjukkan kedudukan X dan Y. Cari bearing X dari Y.

Utara

125º Utara
X

A 055º Y
B 125º
C 235º
D 305º

2. Rajah menunjukkan kedudukan X dan Y. Cari bearing X dari Y.

Utara

125º Utara
X

A 055º Y
B 125º
C 235º
D 305º

113

MATEMATIK

SPM

3. Rajah menunjukkan tiga titik S,T dan U diatas satah mengufuk.
S

TU
Diberi bahawa S berada di utara T. Bearing U dari S ialah 142º dan SU = TU.
Cari bearing titik T dari titik U.
A 038º
B 104º
C 218º
D 256º

114

MATEMSAPTMIK

BAB 20: BUMI SEBAGAI SFERA

115

MATEMATIK

SPM

116

MATEMSAPTMIK

SOALAN

1. Dalam Rajah 1, P, Q dan R ialah tiga titik pada permukaan bumi dan terletak pada meridian
yang sama.



Rajah 2

Diberi PQ = 4QR, cari latitude bagi Q.

A 24º S C 55º S
B 46º S D 96º S

2. Rajah 3 menunjukkan kedudukan lima lokasi A, B, C, D, dan X, pada permukaan bumi.



Rajah 3

Antara lokasi A, B, C, dan D, manakah berada di barat lokasi X dengan beza longitud
80°?

117

MATEMATIK

SPM

3. Dalam rajah di bawah, U ialah Kutub Utara dan S ialah Kutub Selatan. Kedudukan titik P
ialah (40º S, 70º B) dan POQ ialah diameter bumi.



Cari Longitud bagi Q.

4. Dalam rajah di bawah, U ialah Kutub Utara dan S ialah Kutub Selatan dan NOS ialah paksi
bumi.




Cari kedudukan titik Q.

118

MATEMSAPTMIK

5. Rajah 1 di bawah menunjukkan empat titik A, B, C, dan D permukaan bumi. C terletak
pada longitud 65°B. AB ialah diameter selarian latitud 38°U. D terletak 6 530 batu nautika
ke selatan C.





Rajah 1

a) Cari kedudukan bagi A.
b) Hitungkan jarak terpendek, dalam batu nautika, dari B ke A diukur sepanjang
c) Cari latitude bagi D

d) Sebuah kapal terbang berlepas dari C pada pukul 10.30 a.m. hari Selasa dan terbang
arah ke barat ke A mengikut selarian latitud sepunya dengan purata laju 540 knot. Cari
masa dan hari kapal terbang itu sampai ke A.

6. Rajah 2 menunjukkan lima titik A(55˚N, 80˚E), B, C, D dan E, pada permukaan bumi. EA
ialah diameter bumi. X ialah pusat bagi selarian latitud yang melalui A dan B dan ∟AXB
= 110˚.




Rajah 2
a) Cari kedudukan bagi titik E.
b) Hitung jarak terpendek, dalam batu nautika, dari E ke C diukur sepanjang permukaan

bumi.

119

MATEMATIK

SPM

c) Hitung jarak terpendek, dalam batu nautika, dari A ke B diukur sepanjang selarian
latitud sepunya.

d) Sebuah kapal terbang berlepas dari C dan terbang ke arah utara ke A sepanjang
permukaan bumi dan kemudiannya terbang arah bsrat ke B di sepanjang selarian latitud
dengan purata laju 750 knot. Hitung jumlah masa, dalam jam, yang diambil bagi seluruh
penerbangan.

7. Titik P(50ºU, 60ºT), Q dan R terletak di atas permukaan bumi. Q terletak arah ke barat ke
P dengan keadaan PQ adalah diameter selarian latitud. PR adalah diameter bumi.

a) Nyatakan longitud titik Q.
b) Nyatakan kedudukan titik R.
c) Hitung jarak terdekat PQ.
d) Sebuah kapal terbang terbang dari P dengan laju purata 500 knots, menghala

ke Q melalui kutub utara. Selepas berhenti selama 2 jam di Q, kapal terbang itu
menyambung perjalanannya ke R. hitung jumlah masa, dalam jam, yang diambil
untuk keseluruhan perjalanan dari P ke R.

8. A(60°U, 65°B), B(y°S,65°B), C dan D adalah empat titik pada permukaan bumi. AC
ialah diameter bagi selarian latitud 60°U.

a) Pada rajah 5 di ruang jawapan, tandakan kedudukan titik A, B dan C.
b) Nyatakan longitud bagi titik C.
c) Jika titik B terletak 6300 batu nautika ke selatan A, cari nilai y.
d) Titik D terletak sepanjang selarian latitud yºS dengan longitud 32ºB. Sebuah kapal

terbang berlepas dari titik A dan terbang kearah selatan ketitik B dan kemudiannya
meneruskan perjalanannya mengikut selarian latitud y°S ke D. Perjalanan itu
mengambil masa 15.5 jam.

Hitungkan,
i. Jarak, dalam batu nautika, dari B ke D.
ii. Purata laju, dalam knot, kapal terbang itu.

Jawapan:

(a)

Rajah 5

120

MATEMSAPTMIK

9. P (62º S, 15º T), Q (62º S, 75º T), R dan V ialah empat titik di atas permukaan bumi. PR
ialah diameter selarian latitud 62º S.

a) Nyatakan kedudukan bagi R,

b) Hitung jarak terpendek, dalam batu nautika, dari P ke R diukur sepanjang permukaan

bumi.

c) Hitung jarak, dalam batu nautika, dari P arah timur ke Q diukur sepanjang selarian

latitud sepunya.

d) Sebuah kapal terbang berlepas dari Q arah ke utara ke V. Purata laju penerbangan itu

ialah 630 knot dan masa yang diambil untuk penerbangan itu ialah 7 1 jam.
2

Hitung
i. jarak, dalam batu nautika, dari Q ke V diukur sepanjang meridian,
ii. Latitud bagi V.

121

MATEMATIK

SPM

BAB 21: PELAN DAN DONGAKAN

122

MATEMSAPTMIK

SOALAN

1. a) Rajah 1.1 menunjukkan sebuah pepejal prisma tegak dengan tapak segi empat tepat
ABCD terletak di atas satah mengufuk. Permukaan ABLKGF ialah keratan rentas
seragamnya. Segi empat tepat EFGH ialah satah condong dan segi empat tepat JKLM
ialah satah mengufuk. Sisi AF, GK dan BL adalah tegak serta GK = 2 cm.




Rajah 1.1

Lukis dengan skala penuh, dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari
dengan AB sebagaimana dilihat dari X.

[3 markah]
Jawapan:

b) Sebuah pepejal lain berbentuk prisma tegak dicantumkan dalam Rajah 1.1 pada satah
tegak CVJQ. Pepejal gabungan adalah seperti ditunjukkan dalam Rajah 1.2. Trapezium
PQCW ialah keratan rentas seragam prisma. Segiempat tepat WCRU ialah satah condong
dan segi empat sama TPWU terletak pada satah mengufuk. Tapak ABRSQD terletak pada
satah mengufuk, KL = JM = 3 cm dan GK = 2 cm.













Rajah 1.2



123

MATEMATIK

SPM

Lukis dengan skala penuh:-

b) Pelan gabungan pepejal itu [4 markah]

c) Dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BCR

sebagaimana dilihat dari Y. [5 markah]

2. a) Rajah 2.1 menunjukkan sebuah pepejal berbentuk prisma tegak dengan tapak segiempat
tepat ABCD terletak pada satah mengufuk. Permukaan ABFEJ ialah keratan rentas seragam
prisma itu. Tepi JA dan FB adalah tegak. Segiempat tepat EFGH ialah satah mengufuk dan
segiempat tepat EHKJ ialah satah condong.




Rajah 2.1

Lukis dengan skala penuh, pelan pepejal itu. [3 markah]

b) Sebuah pepejal lain berbentuk prisma tegak dengan trapezium STVU sebagai keratan
rentas seragamnya dicantumkan kepada prisma dalam Rajah 2.1 pada satah mencancang
CPUV. Gabungan pepejal adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.2. Tapak
ABPQRCD terletak pada satah mengufuk. Tepi PU dan QS adalah tegak. Segiempat tepat
UPQS ialah satah tegak dan segiempat tepat USTV adalah satah mengufuk.




Rajah 2.2

124

MATEMSAPTMIK

Lukis dengan skala penuh,
a) Dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan AB
sebagaimana dilihat dari X,
b) Dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan QR
sebagaimana dilihat dari Y.

3. a) Diagram menunjukkan sebuah prisma dengan tapak segi empat tepat pada satah
mengufuk ABED.



Lukis dengan skala penuh, pelan pepejal itu.
b) Rajah 1 menunjukkan sebuah gabungan pepejal dengan tapak segi empat tepat pada

satah mengufuk ABEMLD. DG, EH, MJ dan LK merupakan tepi yang menegak. Satah
ABC merupakan keratan rentas menegak bagi prisma dengan tapak ABED.



Lukis dengan skala penuh,
a) Dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan AB sebagaimana
dilihat dari X.

125

MATEMATIK

SPM

b) Dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BM sebagaimanan
dilihat dari Y.

4. a) Rajah 2 menunjukkan sebuah pepejal yang terdiri daripada separuh silinder dan kuboid
pada satah mengufuk. Jejari bagi separuh silinder itu adalah 1 cm. Ketinggian bagi separuh
silinder itu 3cm. NF ialah 5cm.




Lukis dengan skala penuh, pelan gabungan pepejal itu.
b) Rajah 2 menunjukkan sebuah pepejal yang terdiri daripada separuh silinder dan dua

kuboid pada satah mengufuk. Jejari bagi separuh silinder itu adalah 1 cm. Ketinggian bagi
separuh silinder itu adalah sama dengan ketinggian kuboid pada tapak BCDE.



Lukis dengan skala penuh,
a) Dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan ABC sebagaimana
dilihat dari X.
b) Dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan CD sebagaimana
dilihat dari Y.
126

MATEMSAPTMIK

5. a) Rajah 3 menunjukkan sebuah prisma tegak dengan tapak segi empat tepat BCJH yang
terletak di atas meja mengufuk. ABCDEF adalah keratan rentas seragam prisma itu. Segi
empat tepat AFMG adalah satah condong. Segi empat tepat EDKL adalah satah mengufuk.
AB, FE dan DC adalah sisi tegak.




Rajah 3(a)

Lukiskan dengan saiz penuh pelan bagi pepejal itu.

b) Sebuah semi silinder berdiameter 4 cm dicantumkan kepada prisma dalam rajah 3(a)
pada satah tegak GHQPLM. Gabungan pepejal itu seperti yang ditunjukkan dalam rajah
3(b).



Rajah 3 (b)

Lukiskan dengan saiz penuh,

a) Dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BC
sebagaimana dilihat dari X

b) Dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan CJ
sebagaimana dilihat dari Y.

127