Modul SPM Matematik

MATEMSAPTMIK

BAB 9: TRIGONOMETRI II

sinθ = sisi bertentangan kosθ = sisi bersebelahan tanθ = sisi bertentangan
hipotenus sisi bersebelahan
hipotenus

Hipotenus Sisi
bertentangan
θ

Sisi bersebelahan

Suatu satah Cartesan dibahagikan kepada empat bahagian, disebut sukuan oleh Paksi-x dan
paksi-y. Sukuan-sukuan itu dinamakan sebagai sukuan I, sukuan II, sukuan III, dan sukuan
IV mengikut lawan arah jam.

90º
y

Sukuan II Sukuan I x
sin (+) semua (+)

180º 0º

Sukuan III 360º
tan (+)
Sukuan IV
cos (+)

270º

49

MATEMATIK

SPM

Sudut khusus 30º, 45º, 60º

50

SOALAN MATEMSAPTMIK

1. Dalam rajah, PMN ialah garis lurus. N

M X
15 cm

Q

13 cm

P 12 cm M

Cari nilai tan x

A – 193 C – 3
4

B – 192 D – 1
3

2. Dalam rajah, PXZ ialah satu garis lurus.
YP

PX Z

Diberi kos XYZ = 5 dan PZ = 20cm. Hitung panjang, dalam cm, PX.
13

A 5 C 12
B 8 D 15

51

MATEMATIK

SPM

3. Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = kos xº bagi 180º ≤ xº ≤ 360 ?


4. Dalam Rajah 21, JKLM ialah satu rombus, dan LMN ialah satu garis lurus.


Diberi JK = 13 cm dan JN = 12 cm, cari nilai bagi kos JML.

A – 12 C 5
13 15

B – 5 D 13
13 5

52

MATEMSAPTMIK

5. Sebatang tiang bendera didirikan dengan tegak di atas tanah mengufuk seperti yang
ditunjukkan dalam rajah di bawah.



P

R

TQ US V

PQ dan RS adalah dua batang kayu yang digunakan untuk menyokong tiang itu.

Panjang PQ dan RS masing-masing adalah 2.6 m dan 0.5 m. Diberi kos q = – 5 .
13

Antara yang berikut, yang manakah bukan panjang yang mungkin, dalam m, bagi PR?

A 1.8 C 2.1
B 2.0 D 2.3

6. Rajah 3, PQR ialah satu garis lurus.



Rajah 3

Diberi tan x = 7 dan kos y = 5 , cari panjang ST dalam cm.
2 1

A 5 C 12

B 7 D 25

53

MATEMATIK

SPM

7. Graf manakah yang mewakili y = cos 2xº bagi 0 ≤ x ≤ 360º?

A C

B D


8. Rajah 5 menunjukkan graf bagi y = sin 2x untuk 0° ≤ 2x ≤ 360°.


Rajah 5 C 270º
D 360º
Apakah nilai P?

A 90º
B 180º

54

MATEMSAPTMIK

9. Rajah 6 menunjukkan dua garis lurus, AC dan DF.

A D

14 cm

7 cm

C G 6 cm F

Rajah 6

Diberi CG = GF, cari BGE.

A 49º 24’ C 65º 59’
B 63º 48’ D 114º 1’

10. Rajah 7 menunjukkan sebuah segitiga ABC. BD adalah berserenjang dengan AC. Cari
panjang, dalam cm, AB.

B

12cm

A 35º D C
20 cm
Rajah 7




A 13.28 C 16.78
B 14.65 D 20.92

55

MATEMATIK

SPM

11. Dalam Rajah 8, PQR ialah garis lurus. Diberi bahawa sin xº = 3 dan tan y°= 1 .
Hitung panjang, dalam cm, PQR. 5 2

N


yº
M

15 cm

P xº R
Q

Rajah 8
A 9
B 16 C 21
D 36

12. 100 cm B

A 60º

h 45º
150º

C
D

Rajah 9

Rajah 9 menunjukkan sebuah sisiempat ABCD. Cari nilai h.

A 77.5 C 67.12
B 83.71 D 116.47

56

MATEMSAPTMIK

13. Dalam Rajah 10, PQRS ialah sebuah segiempat selari dan TQR adalah garis lurus.

R


S
Q

PT

Rajah 10

Diberi sin PQT = 8 , cari nilai bagi kos RSP
17
A 1157 8
C – 17

B 187 D – 15
17

14. D
1 cm

C

θ 1 cm
A 1 cm B

Dalam rajah di atas, cari nilai tan θ.

15. B B

θ

ED C

Dalam rajah di atas, ABCE ialah satu segiempat tepat and titik D terletak pada garis lurus EC.
Diberi bahawa DC = 5 cm dan AE = 4cm, cari nilai kos θ.

57

MATEMATIK Q

SPM

16.

12 cr

xy


PM R
Dalam rajah di atas, PMR ialah garis lurus, M ialah titik tengah bagi garis PR. Diberi

bahawa QR = 12cm dan sin y = 0.6, cari nilai tan xº.

58

MATEMSAPTMIK

BAB 10: SUDUT DONGAKAN DAN SUDUT TUNDUK

Sudut dongakan (angle of elevation) ialah sudut di antara garis mengufuk (horizontal line) yang
melalui mata pencerap dengan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan objek
yang berada di sebelah atas garis mengufuk itu.



Sudut tunduk (angle of depression) ialah sudut di antara garis mengufuk (horizontal line)
yang melalui mata pencerap dengan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan
objek yang berada di sebelah bawah garis mengufuk itu.



59

MATEMATIK

SPM

Contoh

Berdasarkan gambar rajah di atas, kenal pasti garis mengufuk, sudut dongakan, dan sudut
tunduk bagi situasi tersebut.
Penyelesaian:
- Garis mengufuk ialah PQ.
- Sudut dongakan kapal terbang R dari P ialah sudut QPR.
- Sudut tunduk kapal layar S dari P ialah sudut QPS.

60

MATEMSAPTMIK

SOALAN

1. Rajah 1 menunjukkan tiga buah pasu bunga A, B dan C di atas tanah mengufuk. Tinggi pokok
bunga B ialah 50 cm dan jarak antara pokok bunga B dan pokok bunga C ialah 30 cm.

Jika sudut dongakan pokok bunga B dari pokok bunga A ialah 69º, cari jarak pokok bunga
A ke pokok bunga C, dalam cm.






A B C
Rajah 1


A 19.19 C 49.19
B 39.12 D 52.12

2. Rajah 2 menunjukkan roda ferris berbentuk oktagon sekata dengan panjang sisi 10 m.
Adam yang berada di kabin R sedang memerhatikan abangnya Aiman yang berada di
kabin Q. Hitungkan sudut dongakan Aiman dari tempat Adam.



Rajah 2

A 67.5º C 77.5º
B 69.5º D 79.5º

61

MATEMATIK

SPM

3. Di halaman rumah Pak Abu ada 2 batang pokok kelapa dengan ketinggian yang sama
iaitu 16 m. Walau bagaimanapun, sebatang daripada pokok kelapa tersebut dipanah petir
menyebabkan pokok itu tumbang sebahagiannya. Sekiranya sudut dongakan dari puncak
yang tumbang ke pokok yang satu lagi ialah 35°. Cari tinggi pokok yang dipanah petir itu.




16 m

15 m

A 3.5 C 8.5
B 5.5 D 10.5

4. Rajah 2 menunjukkan tiga titik, X, Y dan Z pada satah mengufuk. AX dan BZ ialah dua

batang tiang tegak. Sudut tunduk Y dari B ialah 30° dan sudut dongakan A dari Y ialah

45°.

B


A 10 cm
6 cm

X Z

Rajah 2

Hitung panjang, dalam m, bagi XZ.

A 18.24 C 23.32
B 20.04 D 28.49

62

MATEMSAPTMIK

5. Rajah 3 menunjukkan dua buah tiang P dan Q di atas satah mengufuk. R dan S masing-

masing ialah titik tengah P dan Q. Titik P dan S berada pada ketinggian yang sama dari

satah mengufuk. Q





PS
R

Rajah 3



Sudut tunduk R dari S ialah

A RPS C SPQ

B RSP D QRS

6. Dalam Rajah 4, VUT ialah satu tiang tegak pada satu satah mengufuk.




Rajah 4

Sudut dongakan V dan U dari S masing-masing ialah 60° dan 40°.
Cari jarak VU dalam m.

A 5.03 C 10.39
B 5.36 D 11.36

63

MATEMATIK

SPM

7. Rajah di bawah menunjukkan dua buah bangunan PQ dan RS pada tanah mengufuk.
R

10 cm P

SQ

8 cm

Sudut dongakan R dari P ialah 25º. Hitung sudut tunduk S dari P.

A 51º 55’ C 38º 40’
B 51º 20’ D 38º 5’

8. Rajah 6 menunjukkan seorang pemerhati berdiri di atas Eiffel Tower untuk mengukur
jarak antara sebuah kereta dan sebuah bas. Diberi bahawa ketinggian Eiffel Tower ialah
324 m.



Rajah 6

Cari jarak di antara kereta dan bas itu?

A 114.26 m C 271.87 m
B 199.07 m D 386.13 m

64

MATEMSAPTMIK

9. Dalam Rajah, XY ialah sebuah menara telekomunikasi yang terletak di atas tanah tinggi.
Sudut tunduk titik J daripada puncak Y ialah 52°.

Y


X

28 cm

J 50 cm




Tinggi, dalam m, menara XY ialah

A 11.06 C 11.4

B 36 D 35.45

10. Dalam Rajah 8, R dan S ialah dua titik di atas satah mengufuk. M ialah belon udara panas
yang diikat dengan tali RM.



M

120 m

R S

Rajah 8

Jika sudut dongakan belon udara panas dari titik R ialah 43º, hitung tinggi tegak belon
udara itu, dalam m, dari satah mengufuk RS.

A 78.74 C 87.76
B 81.84 D 111.90

65

MATEMATIK

SPM

11. Rajah 9 menunjukkan dua tiang bendera tegak, TU dan VW, pada satah mengufuk. Sudut
dongakan puncak W dari puncak U ialah 40°.



Rajah 9

Hitung sudut tunduk V dari puncak U.

A 33° 27’ C 50° 11’
B 39° 48’ D 56° 18’

12. P, Q dan R adalah tiga titik pada suatu tiang tegak 40°. O ialah titik pada tanah mengufuk.
Sudut tunduk O dari R ialah aº dan sudut dongakan Q dari O ialah bº. Rajah yang manakah

mewakili situasi tersebut?

66

MATEMSAPTMIK

13. Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak yang terletak pada permukaan
mengufuk. J, K, L, M dan N adalah lima titik yang terletak pada tiang-tiang itu dengan
keadaan KL = MN.


J

KM

LN

Namakan sudut dongakan titik J dari titik M.

14. Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak, JM dan KL yang terletak pada

permukaan mengufuk.

J




K

25 m

M 10 m L

Hitung sudut dongakan puncak K dari M

15. Rajah di bawah menunjukkan satu batang tiang tegak, KMN yang terletak pada suatu
permukaan mengufuk. Sudut dongakan M dari L ialah 20º.




Hitung tinggi, dalam m, bagi tiang itu.
67

MATEMATIK

SPM

BAB 11: GARIS DAN SATAH DALAM TIGA DEMENSI

Garis persilangan antara dua satah, titik persilangan antara dua satah

Nota Tambahan
Langkah-langkah menentukan sudut antara garis dan satah / asas.
• Tentukan dan lorek satah (asas).
• Tentukan dan melukis garisan

a. Tanda mata lebih rendah (titik pada asas),
b. Tanda titik atas (titik di sisi lain).
• Dari sudut atas menarik yang normal kepada satah (asas).
• Kemudian, sambung ke titik yang lebih rendah (unjuran ortogon kepada barisan).
• Sudut adalah pada titik yang lebih rendah.
• Dengan menggunakan nisbah dgn Trigonometri, hitung sudut. (rujuk Rajah 1)

68

MATEMSAPTMIK

Contoh:

Rajah 1

Rajah 2

Langkah menentukan sudut antara dua satah
• Tentukan dan lorek satah pertama (asas).
• Tentukan pesawat kedua.
• Tentukan garis persilangan dua pesawat / titik persilangan dua satah.
• Dari pesawat kedua, tentukan barisan yang akan dipilih. (rujuk Rajah 2)
• Selepas memilih garis
a. Tanda mata lebih rendah (titik pada asas),
b. Tanda titik atas (titik di sisi lain).
• Dari sudut atas menarik yang normal kepada satah (asas)
• Kemudian, sambung ke titik yang lebih rendah (unjuran ortogon kepada barisan).
• Sudut adalah pada titik yang lebih rendah.
• Dengan menggunakan nisbah dgn Trigonometri, hitung sudut.

69

MATEMATIK

SPM

SOALAN

1. Setiap kumpulan pengakap dikehendaki membina sebuah khemah di tepi sungai berbentuk
prisma tegak seperti yang ditunjukkan dalam rajah 1. VP = VQ = RS = RT = 200 cm dan
PQ = ST = 250 cm.

R



V T
S

P Q
Rajah 1



Hitung:
a. Tinggi khemah.
b. Sudut di antara PSRV dengan satah VQRT.

2. Farhana ingin mencuba kek yang dimasak oleh ibunya. Dia meminta ibunya memotong
sepotong kek kepadanya seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.



Rajah 2
Hitungkan sudut di antara garis QS dengan satah PQR.

70

MATEMSAPTMIK

3. Cikgu Qisha mendapat setangkai bunga mawar daripada pelajarnya. Dia memasukkan
bunga tersebut dalam kedudukan condong ke dalam sebuah bekas yang berbentuk kuboid
dengan tapak segiempat tepat JKLM seperti yang ditunjukkan dalam rajah 3.




a. Namakan sudut di antara tangkai KN dan satah JMNP.
b. Hitung sudut di antara tangkai KN dan satah JMNP

4. Rajah 2 menunjukkan sebuah kuboid. M ialah titik tengah bagi DC.



Rajah 1

a. Namakan sudut di antara garis MQ dan satah BCRQ.
b. Hitungkan sudut antara garis MQ dengan satah BCRQ.

71

MATEMATIK

SPM

5. Rajah menunjukkan sebuah prisma tegak. Tapak PQRS ialah sebuah segi empat tepat
yang mengufuk. Segi tiga bersudut tegak UPQ ialah keratan rentas seragam prisma itu.

T

U

9 cm R
S

12 cm

P 5 cm Q

Kenal pasti dan hitungkan sudut di antara garis RU dengan tapak PQRS.

6. Rajah 3 menunjukkan sebuah prisma tegak dengan tapak segitiga sama kaki. Segitiga
sama kaki STU merupakan keratan rentas prisma itu.




Rajah 3

a. ST = SU dan W ialah titik tengah TU.
b. Hitung sudut antara garis PW dan tapak STU.

72

MATEMSAPTMIK

7. Rajah 4 menunjukkan sebuah prisma tegak. Segi tiga bersudut tegak ABC dan DEF adalah
keratan rentas seragam prisma itu.




Rajah 4

a. Kenal pasti sudut di antara garis FC dan BCDE.
b. Hitung sudut tersebut di antara garis FC dan BCDE.

8. Rajah 5 menunjukkan sebuah kubus dengan panjang sisi 20 cm. M dan N ialah titik
tengah AE dan BF masing-masing.




Rajah 5

a. Namakan sudut di antara satah MNW dan ABFE.
b. Hitung sudut di antara satah MNW dan ABFE.

73

MATEMATIK

SPM

BAB 12: ASAS NOMBOR

74

MATEMSAPTMIK

75

MATEMATIK

SPM

SOALAN
1. Ungkapkan 2058 sebagai nombor dalam asas lima.
2. Nyatakan nilai digit 6 bagi nombor 16238, dalam asas sepuluh.
3. Diberi 3 × 53 + 4 × 52 + 5p = 34205, cari nilai p.
4. Tukarkan 4 × 84 + 2 × 82 + 4 kepada satu nombor dalam asas lapan.
5. Apakah nilai digit 3, dalam asas sepuluh, bagi nombor 43155?
6. Ungkapkan 5 (52 + 2) sebagai nombor dalam asas lima.
7. 1101102 – 111012 =?
8. Ungkapkan 110101012 sebagai nombor dalam asas lapan.
9. Ungkapkan 100001102 sebagai nombor dalam asas lapan.
10. Diberi h8 = 101112, di mana h ialah integer, cari nilai h.
11. Ungkapkan setiap yang berikut sebagai nombor dalam asas dua.
12. 26 + 24 + 1
13. 25 + 23 + 2 + 20
14. Nyatakan nilai digit 2 bagi nombor 324175, dalam asas sepuluh.
15. 101102 + 1112 =
16. 1100102 – 1112 =

76

MATEMSAPTMIK

BAB 13: GRAF FUNGSI II

77

MATEMATIK

SPM

78

MATEMSAPTMIK

SOALAN
1. Antara yang berikut, yang manakah mewakili graf y = 2x3– 16?



2. Antara yang berikut, yang manakah mewakili graf y = 3 ?
y





79

MATEMATIK

SPM

3. Antara yang berikut, yang manakah mewakili graf y = –x2– x + 2?



4. Antara yang berikut, yang manakah mewakili graf 3y = 18 + 2x?




80

MATEMSAPTMIK

5. Pada graf di ruang jawapan, lorekkan rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan
y ≥ –x + 10, y > x dan y < 9.



6. Pada graf di ruang jawapan, lorekkan rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan
y ≥ –2x + 10, y ≤ 10 dan x < 5.



7. Antara graf yang berikut, manakah mewakili y = x2 + 7?

A C

BD

81

MATEMATIK

SPM

8. Antara graf yang berikut, manakah mewakili y = − 4 ?
x

A C

BD


9. Antara graf yang berikut, manakah mewakili y = 9 – x3?
A C

B D

10. Antara graf yang berikut, manakah mewakili y = 6x – 7?

A C

BD

82

MATEMSAPTMIK

11. Antara graf yang berikut, manakah mewakili y = (x – 5) (x + 3)?
A C

BD

12. Antara graf yang berikut, manakah mewakili xy = 5?

A y Cy

x x

By D

x y

x

13. Antara graf yang berikut, manakah mewakili y = 2 + x3

Ay B y C y D y
x
x xx

83

MATEMATIK

SPM

14. Antara graf yang berikut, manakah mewakili y = – x2 – x +2?

15. Antara graf yang berikut, manakah mewakili y = 2x3 - 11

16. Antara graf yang berikut, manakah mewakili 4y = – x – 8

84

MATEMSAPTMIK

BAB 14: PENJELMAAN III

85

MATEMATIK

SPM

SOALAN

1. a) Penjelmaan T ialah translasi –4 dan penjelmaan P ialah putaran 90º lawan arah jam
pada pusat (1, 0). 2

Nyatakan koordinat imej bagi titik (5, 1) di bawah setiap penjelmaan berikut:
i) Translasi T,
ii) Putaran P,
iii) Gabungan penjelmaan T2.

b) Rajah di bawah menunjukkan tiga sisi empat, ABCD, EFGH dan JKLM, dilukis pada
suatu satah Cartesian.



i) JKLM ialah imej bagi ABCD di bawah gabungan penjelmaan VW.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:

(a) W (b) V

ii) Diberi bahawa sisi empat ABCD mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas
18 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.

86

MATEMSAPTMIK

2. a) Rajah di bawah menunjukkan titik A dan garis lurus y + x = 5 dilukis pada suatu satah
Cartesan.




Penjelmaan T ialah satu translasi 5
–2

Penjelmaan R ialah satu pantulan pada garis lurus y + x = 5.

Nyatakan koordinat imej bagi titik A di bawah setiap penjelmaan berikut:
i) Penjelmaan T,
ii) Penjelmaan gabungan TR.

b) Rajah di bawah menunjukkan pentagon JKLMN, PQRST dan PUVWX, dilukis pada
suatu satah Cartesan.





i) PUVWX ialah imej bagi JKLMN di bawah gabungan penjelmaan CB. Huraikan
selengkapnya penjelmaan:

(a) B
(b) C

87

MATEMATIK

SPM

ii) Diberi bahawa pentagon JKLMN mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 80 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.

3. a) Penjelmaan P ialah pantulan pada garis lurus x = m. Penjelmaan T ialah translasi 4 .
Penjelmaan R ialah putaran 90º ikut arah jam pada pusat (0, 4). –2

i) Titik (6, 4) adalah imej bagi titik (–2, 4) di bawah penjelmaan P.
ii) Cari koordinat imej bagi titik (2, 8) di bawah gabungan penjelmaan berikut:
(a) T2,
(b) TR.

b) Rajah di bawah menunjukkan trapezium CDFE dan trapezium HEFG dilukis pada suatu
satah Cartesian.




(i) HEFG ialah imej bagi CDEF di bawah gabungan penjelmaan WU. Huraikan selengkapnya
penjelmaan:

a) U
b) W
(ii) Diberi bahawa CDEF mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 60 m2. Hitungkan

luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.

88

MATEMSAPTMIK

4. Rajah menunjukkan tiga segi tiga RPQ, UST dan RVQ, dilukis pada suatu satah Cartes.






(a) Penjelmaan R ialah satu putaran 90º, ikut arah jam pada pusat O. Penjelmaan T ialah

satu translasi 2
3

Nyatakan koordinat imej bagi titik P di bawah setiap penjelmaan berikut:
i) T2

ii) TR.

(b)(i) Segi tiga UST ialah imej bagi segi tiga RPQ di bawah gabungan penjelmaan VW.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) W
(b) V

(ii) Diberi bahawa segi tiga RPQ mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 15 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.

5. Penjelmaan T ialah translasi –3 . Penjelmaan R ialah putaran 90º lawan arah jam pada
–2

(2,−1). Nyatakan koordinat imej bagi titik (6, 1) di bawah penjelmaan berikut:
i) T
ii) R
iii) TR

89

MATEMATIK

SPM

6. a) Rajah 2.1 menunjukkan titik R dan garislurus y + x = 6 dilukis pada suatu satah Cartes.






Rajah 2.1

Penjelmaan P ialah satu translasi
Penjelmaan Q ialah satu pantulan pada garis y + x = 6.

Nyatakan koordinat imej bagi titik R (4,5) di bawah setiap penjelmaan berikut.
i) P
ii) PQ

b) Rajah 2.2 menunjukkan dua buah pentagon, ABCDE dan AFGDH, dilukis pada suatu
satah Cartes.



90

MATEMSAPTMIK

(i) ABCDE ialah imej bagi AFGDH di bawah gabungan penjelmaan MN. Huraikan
selengkapnya, penjelmaan

a) M
b) N

ii) Diberi bahawa ABCDE mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 90m2. Hitung
luas, dalam m2, kawasan yang di wakili oleh kawasan yang berlorek.

7. a) Penjelmaan T ialah translasi –2
3

Penjelmaan R ialah pantulan pada garis y = 3.

Penjelmaan S ialah putaran 90° ikut arah jam pada pusat (0, k).

i) Titik (3, 1) ialah imej bagi titik (–3, 1) di bawah penjelmaan S. Nyatakan nilai k.
ii) Nyatakan koordinat imej bagi titik (4, 2) di bawah setiap penjelmaan berikut.
a) T2,
b) RT.

b) Rajah 3 menunjukkan tiga pentagon, ABCDE, AFGHJ, dan AKLMN dilukis pada suatu
satah Cartesan




Rajah 3

Pentagon AFGHJ ialah imej bagi pentagon ABCDE di bawah penjelmaan V dan pentagon
AKLMN ialah imej bagi AFGHJ di bawah penjelmaan W.

(i) Huraikan selengkapnya penjelmaan V dan W.
(ii) Diberi bahawa luas kawasan berlorek ialah 150 cm2. Hitungkan luas bagi pentagon

ABCDE, dalam cm2.

91

MATEMATIK

SPM

8. a) Rajah 4.1 menunjukkan satu titik Q di atas satah Cartes.





Rajah 4.1

Penjelmaan T ialah satu translasi –3
2

Penjelmaan R ialah satu putaran 90º ikut arah jam pada titik (7, 1)

Nyatakan koordinat imej bagi titik Q di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) R
(ii) RT

b) Rajah 4.2 menunjukkan tiga pentagon ABCDE, FGCHJ dan KLMHN, dilukis pada
suatu satah Cartens.


Rajah 4.2
92

MATEMSAPTMIK

i) Pentagon ABCDE ialah imej bagi pentagon KLMHN di bawah gabungan penjelmaan
VU. Huraikan selengkapnya penjelmaan:

a) U
b) V
ii) Diberi bahawa pentagon ABCDE mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas
525 cm2.
Hitung luas, dalam cm2, kawasan yang berlorek.
9. a) Rajah 5.1 menunjukkan titik A dan garis lurus y + x = 4 dilukis pada suatu satah Cartesan.
s

Rajah 5.1

Penjelmaan P ialah pantulan pada garis y + x = 4.
Penjelmaan R ialah putaran 900 ikut arah jam pada titik (-2,4)
Nyatakan koordinat imej titk A di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) P
(ii) PR

93

MATEMATIK

SPM

b) Rajah 5.2 menunjukkan segiempat selari KLMN, PQRS dan AQBC, dilukis pada suatu

satah Cartesan.







(i) Segiempat selari KLMN ialah imej bagi segiempat selari PQRS di bawah gabungan
penjelmaan VU. Huraikan selengkapnya penjelmaan U dan V.

(a) U
(b) V

ii) Segiempat selari AQBC ialah imej bagi segiempat selari PQRS di bawah suatu
pembesaran.


(a) Nyatakan faktor skala dan pusat bagi pembesaran itu.
(b) Diberi bahawa PQRS mempunyai luas 47 cm2. Hitung luas heksagon APSRBC.

94

MATEMSAPTMIK

BAB 15: MATRIKS

95

MATEMATIK

SPM

SOALAN

1. Jadual di bawah menunjukkan kadar biasa bagi bayaran masuk seorang kanak-kanak dan
seorang dewasa untuk ke Taman Tema Air.

Kategori Kanak-kanak Dewasa
Kadar Biasa
Dengan MyKid Tanpa MyKid Dengan MyKad Tanpa MyKad

RM10 RM25 RM30 RM50

Sekumpulan 50 orang kanak-kanak dan dewasa ke Taman Tema Air dengan jumlah
bayaran RM600 untuk bayaran masuk. Semua pengunjung itu membayar dengan MyKid
atau MyKad. Dengan menggunakan kaedah matriks, hitung bilangan kanak-kanak dan
bilangan orang dewasa dalam kumpulan itu.

2. Diberi 2x –4 –2x = –2 . Cari nilai x dan y
3y 3 6

3. Diberi bahawa persamaan matriks 3 (6 m) + n (3 4) = (12 7), Cari nilai m + n.

4. Diberi bahawa matriks A = 3 6 , carikan nilai m jika matriks A tidak
mempunyai songsangan. –2 m

5. Diberi bahawa (3 x) (−1) = (18), cari nilai x.

6. 34 5=

–2 3 –2

51
7. (1 −1 2) –3 0 =
24

8. a) Diberi bahawa matriks songsang bagi H = 5 –8 ialah m –4
1 –2 1/2 n

Cari nilai bagi m dan n.

b) Dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan y yang memuaskan
persamaan linear serentak berikut:

5x – 8y = 9
x – 2y = 3

9. a) Matriks songsang bagi 2 –1 ialah 1 e1 Cari nilai d dan nilai e.
3 –4 d –3 2

b) Dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan y yang memuaskan

persamaan linear serentak berikut:



2x – y = 11

3x – 4y = 9

96

MATEMSAPTMIK

10. a) Diberi matriks P = k –2 , cari
6 3

Nilai k jika matriks songsang bagi P tidak wujud.
Matriks songsang bagi P jika k = –3

b) Tulis persamaan linear serentak yang berkut dalam bentuk persamaan matriks

–3x – 2y = 7
6x + 3y = 3

Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, cari nilai x dan y.

97

MATEMATIK

SPM

BAB 16: UBAHAN

98