เล่ม 1 ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภท การสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย ระดับมัธยมศึกษา อาหน ึ ง ่ ชไวย ู กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนปล้องวิทยาคม ส าน ั กงานเขตพ ื ้ นทก ี ่ ารศก ึ ษามธ ั ยมศก ึ ษาเช ี ยงราย
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย ก ค ำน ำ การเรียนคณิตศาสตร์และสร้าง “โครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย” ให้ ประสบความส าเร็จได้ดีนั้น ผู้ศึกษาจะต้องมีความรู้ความเข้าใจในพื้นฐานคณิตศาสตร์ มีทักษะการคิดและ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ อันได้แก่ ความรู้ ความสามารถในการแก้ปัญหาด้วยวิธีการที่หลากหลาย ตลอดจน มีความเข้าใจและรู้จักการใช้เหตุผล มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ สามารถท างานอย่างเป็นระบบ มีระเบียบวินัย มีความรอบคอบ และน าความรู้นั้นไปประยุกต์เชื่อมโยงกับศาสตร์อื่นๆได้เป็นอย่างดีสิ่งที่ส ำคัญก็คือมีเจตคติที่ดี ต่อวิชำคณิตศำสตร์มีคุณธรรม อ่อนน้อมถ่อมตน ไม่เห็นแก้ตัว ข้าพเจ้าขอมอบคุณความดีในการจัดท าหนังสือเล่มนี้แด่ครูอาจารย์ทุกท่านที่ประสิทธิ์ประสาทวิชาความรู้ คณะผู้บริหารโรงเรียนปล้องวิทยาคมที่ส่งเสริมการพัฒนาผลงานด้านวิชาการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี(สสวท.) ที่มอบทุนการศึกษาโครงการ สควค. ให้ผู้เรียบเรียงตลอดระยะเวลา 5 ปีจนจบการศึกษา เพื่อนร่วมงาน นักเรียนผู้ร่วมศึกษาทุกคน และน้อมเป็นเครื่องสักการะบูชาพระคุณแด่บิดามารดา และคุณยายต่อม ค้าแป้ง ผู้ล่วงลับที่เป็นก าลังใจให้ข้าพเจ้าตลอดมา และหวังว่าหนังสือเล่มนี้จะเป็นแรงบันดาลใจให้ผู้สนใจคิดสร้าง โครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย อนึ่ง หากมีข้อผิดพลาดหรือข้อเสนอแนะประการใดส าหรับหนังสือเล่มนี้ข้าพเจ้ายินดีน้อมรับฟังและ จะแก้ไขในโอกาสต่อไป ขอขอบพระคุณมา ณ โอกาสนี้ อาหนึ่ง ชูไวย
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย ข สำรบัญ เรื่อง หน้ำ 1. แผนภาพการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ด้วยวิธีตารางสูตรการคูณ (The n th Perfect Square Expansions Diagram by Using Multiplicative Formula Table Method) 1 2. จับมือสัมพันธ์ สังสรรค์ก่อนจาก ลากเส้นต่อจุด 11 3. มหัศจรรย์จ านวนสามเหลี่ยม (Amazing in Triangular Numbers) 33 4. คณิตศาสตร์กับปริศนากลการลงยันต์ล้านนา 16 ค า 46 5. ปริซึมและพีระมิดฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่แนบในวงกลม 2 2 x y Ax By C 0 63 6. จัตุรัสมหัสจรรย์จากเรือนยันต์ล้านนา 75 7. การหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่แนบในวงกลม 89 8. การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรงฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัด แนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง 95 9. การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ที่มีฐานและ ปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 4 วง 111
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 1 แผนภาพการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ด้วยวิธีตารางสูตรการคูณ (The n th Perfect Square Expansions Diagram by Using Multiplicative Formula Table Method)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 2 โครงงานประเภทการสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง แผนภาพการกระจายก าลังสองสมบูรณ์n พจน์ด้วยวิธีตารางสูตรการคูณ (The n th Perfect Square Expansions Diagram by Using Multiplicative Formula Table Method) คณะผู้ศึกษา ครูที่ปรึกษา นายอาหนึ่ง ชูไวย ปีการศึกษา 2553 - 2555 บทคัดย่อ การศึกษาในครั้งนี้ มีจุดมุ่งหมายเพื่อศึกษาวิธีการหาสูตรทั่วไป (general term) จากการกระจายก าลังสอง สมบูรณ์ n พจน์ศึกษารูปการกระจายก าลังสองสมบูรณ์n พจน์ด้วยตารางสูตรการคูณแทนวิธีการใช้ทฤษฎีบทอเนก นาม ศึกษารูปแบบการน าเสนอผลการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ด้วยตารางสูตรการคูณโดยใช้แผนภาพการ กระจาย และศึกษาสมบัติอื่นๆ ที่ได้การกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ซึ่งส าหรับทุกจ านวนจริง 1 2 , , , n x x x พบว่า 1. สูตรทั่วไปจากการกระจาย 2 2 1 2 1 1 2 n n n i i j i i j x x x x x x 2. รูปแบบการกระจายก าลังสองสมบูรณ์n พจน์ด้วยตารางสูตรการคูณ ได้ผลลัพธ์ดังนี้ 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1. นายพิทยา อุตรธรรมชัย 2. นายภาณุวัฒน์ ไฝขัน 3. นายสุกฤต เปมกิตติ
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 3 3. รูปแบบการกระจายก าลังสองสมบูรณ์n พจน์ของ 2 1 2 n x x x สามารถเขียนแทนด้วย ผลบวกของทุกพจน์ ด้วยแผนภาพการกระจายได้ดังนี้ 2 1 1 2 1 3 1 4 1 2 2 2 3 2 4 2 2 3 3 4 3 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 4. รูปแบบการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ของ 2 1 2 n x x x สามารถเขียนจัดรูปพจน์ แสดงในรูปเมทริกซ์สมมาตรได้ดังนี้ 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 1 3 2 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 2 3 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5. จากข้อ 4. รูปแบบการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ของ 2 1 2 n x x x สามารถเขียน แสดงในรูปเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน หรือ เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง ได้ดังนี้ 2 1 2 1 2 2 2 1 3 2 3 3 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 3 1 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 2 2 2 2 n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x หรือ 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 4 6. จ านวนพจน์ของ 2 i j xx โดยที่ i < j และ i j n , , , , 1 2 เท่ากับ 2 n พจน์, n 2 และสัมพันธ์กับสามเหลี่ยมปาสคาล ดังนี้ 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 2 1 2 2 2 1 2 1 0 3 1 3 2 3 3 3 1 3 3 1 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 1 4 6 4 1 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 1 5 10 10 5 1 7. จ านวนพจน์ทั้งหมดจากการกระจาย 2 1 2 n x x x เท่ากับ 1 2 n พจน์ ค าส าคัญ: แผนภาพการกระจาย, ก าลังสองสมบูรณ์, สามเหลี่ยมปาสคาล, ทฤษฎีบททวินาม, ทฤษฎีบทอเนกนาม จุดประสงค์ของการศึกษา การด าเนินการศึกษาในครั้งนี้มีจุดประสงค์เพื่อ 1. ศึกษาวิธีการหาสูตรทั่วไป (general term) จากการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ 2. ศึกษารูปการกระจายก าลังสองสมบูรณ์n พจน์ด้วยตารางสูตรการคูณแทนวิธีการใช้ทฤษฎีบทอเนก นาม 3. ศึกษารูปแบบการน าเสนอผลการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ด้วยตารางสูตรการคูณโดยใช้ แผนภาพการกระจาย 4. ศึกษาสมบัติอื่นๆ ที่ได้การกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 5 จากผลการด าเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง แผนภาพการกระจายก าลัง สองสมบูรณ์ n พจน์ ด้วยตารางสูตรการคูณ (The n th Perfect Square Expansions Diagram by Using Multiplicative Formula Table Method) ในครั้งนี้คณะผู้ศึกษาได้ผลการศึกษาตามล าดับข้อค้นพบ ดังนี้ ตอนที่ 1 วิธีการหาสูตรทั่วไป (general term) จากการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ โดยปกติการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ ส าหรับทุกจ านวนจริง 1 2 x x, สามารด าเนินการได้ดังนี้ 2 2 2 2 2 ( ) x x x x x x x x x x 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 และ 2 2 2 2 2 ( ) x x x x x x x x x x 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 ในท านองเดียวกัน 2 1 2 3 ( ) x x x 2 1 2 3 ( ) x x x 2 2 ( ) ( ) x x x x x x 1 2 1 2 3 3 2 2 2 2 ( ) ( ) x x x x x x x x 1 2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 ( ) x x x x x x x x x 1 2 1 2 3 1 3 2 3 2 2 2 222 x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 222 ซึ่งส าหรับทุกจ านวนจริง 1 2 3 , , , , n x x x x จะได้ว่า 2 1 2 3 1 ( ) n n x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 3 2 4 2 5 2 1 2 3 4 3 5 3 6 3 1 3 3 2 3 1 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 3 2 4 2 5 2 1 2 3 4 3 5 3 6 3 1 3 3 2 3 1 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 6 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 3 2 4 2 5 2 1 2 3 4 3 5 3 6 3 1 3 3 2 3 1 3 2 1 2 1 2 ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ดังนั้น 2 1 2 3 1 ( ) n n x x x x x 2 1 1 2 n n i i j i i j x x x นั่นคือ สูตรทั่วไปของ 2 1 2 3 1 ( ) n n x x x x x 2 1 1 2 n n i i j i i j x x x ตอนที่ 2 การศึกษารูปการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ ด้วยตารางสูตรการคูณแทนวิธีการใช้ทฤษฎีบท อเนกนาม เราทราบว่า ส าหรับทุกจ านวนจริง 1 2 3 , , , , n x x x x โดยทฤษฎีบทอเนกนาม จะได้ว่า 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 , , , 0 , , , k k k n n n n k k n n n n k n n n n x x x x x x n n n ซึ่งวิธีการดังกล่าวมีขั้นตอนที่สลับซับซ้อน ต้องอาศัยความละเอียดรอบคอบค่อนข้างสูง เกิดข้อผิดพลาดได้ง่าย และจากสูตรทั่วไปของ 2 1 2 3 1 ( ) n n x x x x x 2 1 1 2 n n i i j i i j x x x เราสามารถกระจายแยกกลุ่ม ของพจน์ต่างๆ ได้ดังนี้ กลุ่มที่ 1 กลุ่มพจน์ 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 n i n n i x x x x x x กลุ่มที่ 2 กลุ่มพจน์ 1 2 n i j i j x x ซึ่ง 1 2 n i j i j x x 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 1 1 1 ( ) n n x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 1 2 ( ) n n x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 3 4 3 5 3 6 3 1 3 ( ) n n x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 3 2 1 2 1 ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x 1 2 1 3 1 4 1 1 1 ( ) n n x x x x x x x x x x 1 2 1 3 1 4 1 1 1 ( ) n n x x x x x x x x x x 2 3 2 4 2 5 2 1 2 ( ) n n x x x x x x x x x x
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 7 2 3 2 4 2 5 2 1 2 ( ) n n x x x x x x x x x x 3 4 3 5 3 6 3 1 3 ( ) n n x x x x x x x x x x 3 4 3 5 3 6 3 1 3 ( ) n n x x x x x x x x x x 3 2 3 1 3 3 2 3 1 3 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x คณะผู้ศึกษาจึงได้ออกแบบตารางสูตรการคูณเพื่อช่วยแก้ปัญหาการกระจายพจน์ ดังนี้ 1 2 3 4 3 2 1 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 4 3 3 3 2 3 1 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 1 4 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 1 3 2 3 3 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 2 3 4 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n 4 1 x x x x x x ซึ่งเขียนใหม่ได้ 1 2 3 4 3 2 1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 2 3 1 3 2 3 3 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 1 4 3 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 2 3 3 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 2 3 4 3 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 8 ซึ่งจากตารางสูตรการคูณ พบว่า ผลบวกของทุกพจน์ 2 2 2 2 2 1 2 3 1 ( ) n n x x x x x 1 2 1 3 1 4 1 1 1 ( ) n n x x x x x x x x x x 1 2 1 3 1 4 1 1 1 ( ) n n x x x x x x x x x x 2 3 2 4 2 5 2 1 2 ( ) n n x x x x x x x x x x 2 3 2 4 2 5 2 1 2 ( ) n n x x x x x x x x x x 3 4 3 5 3 6 3 1 3 ( ) n n x x x x x x x x x x 3 4 3 5 3 6 3 1 3 ( ) n n x x x x x x x x x x 3 2 3 1 3 3 2 3 1 3 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 3 1 ( ) n n x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 1 1 1 ( ) n n x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 1 2 ( ) n n x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 3 4 3 5 3 6 3 1 3 ( ) n n x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 3 2 1 2 1 ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x 2 1 1 2 n n i i j i i j x x x 2 1 2 3 1 ( ) n n x x x x x ซึ่งสรุปได้ว่า ผลบวกของทุกพจน์จากตารางสูตรการคูณ มีค่าเท่ากับ 2 1 1 2 n n i i j i i j x x x 2 1 2 3 1 ( ) n n x x x x x
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 9 ตอนที่ 3 วิธีการสร้างรูปแบบการน าเสนอผลการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ ด้วยตารางสูตรการคูณ โดยใช้แผนภาพการกระจาย จากตอนที่ 2 คณะผู้ศึกษาได้คิดแผนภาพการกระจายอย่างง่ายแทนผลบวกทุกพจน์ของ 2 1 2 3 1 ( ) n n x x x x x จากการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ โดยการใช้ตารางสูตรการคูณ ดังนี้ 2 1 2 3 1 ( ) n n x x x x x 2 1 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 1 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 2 3 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 4 4 3 4 2 4 1 4 2 3 3 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 1 1 2 2 n n n n n n x x x x x x ตอนที่ 4 สมบัติอื่นๆ ที่ได้การกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ 4.1 จากตอนที่ 3 จ านวนพจน์ที่แตกต่างกันทั้งหมดจากการกระจาย 2 1 2 n x x x เท่ากับ 1 2 n พจน์ 4.2 จากตอนที่ 3 จ านวนพจน์ที่แตกต่างกันทั้งหมดของ 2 i x มีจ านวน n พจน์ โดยที่ i n 1 2, , , 4.3 จากตอนที่ 3 จ านวนพจน์ของ 2 i j xx โดยที่ i j และ i j n , , , , 1 2 เท่ากับ 2 n พจน์, n 2 และสัมพันธ์กับจ านวนในสามเหลี่ยมปาสคาล 4.4 จากตอนที่ 3 จ านวนพจน์ที่ไม่คล้ายกัน จากการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ โดยการใช้ตาราง สู ต ร ก า ร คู ณ 2 1 2 n x x x ส า ม า ร ถ เ ขี ย น จั ด รู ป พ จ น์ แ ส ดงใ น รู ป เ ม ท ริ ก ซ์ ส ม ม า ต รไ ด้ 4.5 จากตอนที่ 3 รูปแบบการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ ของ 2 1 2 n x x x สามารถ เขียนแสดงในรูปเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน หรือ เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างได้ 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 1 3 2 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 2 3 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x หรือ
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 10 2 1 2 1 2 2 2 1 3 2 3 3 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 3 1 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 2 2 2 2 n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x หรือ 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 3 1 3 2 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ข้อเสนอแนะจากการด าเนินการศึกษาโครงงาน ข้อเสนอแนะเชิงทฤษฎี การศึกษาในครั้งนี้ คณะผู้ศึกษาได้ก าหนดข้อคาดเดาเชิงทฤษฎี (Theoretic Conjecture) เพื่อเป็นกรอบ ส าหรับการศึกษาครั้งต่อไป ไว้ดังนี้ ข้อคาดเดา 1 ผลรวมของสัมประสิทธิ์จากการกระจายก าลังสองสัมบูรณ์ของจ านวนจริง xi จ านวน n พจน์ ในรูป 2 1 1 2 2 2 n k x k x k x เท่ากับ 2 1 2 2 k k k , โดยที่ i k เป็นค่าคงที่ และ i n 1 2, , , ข้อคาดเดา 2 (อาหนึ่ง ชูไวย, 2555) ผลการกระจายก าลังสองสมบูรณ์ n พจน์ 1 2 2 2 3 1 1 2 1 2 1 1 1 n n ij n n n n n n x x x x x x x x x a x x x x x x ข้อเสนอแนะจากการด าเนินการศึกษาในครั้งนี้และครั้งต่อไป 1. ควรใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์/วิศวกรรมศาสตร์/สถิติช่วยสร้างแบบจ าลองประกอบ การทดลองเพื่อให้เห็นรูปแบบการทดลองที่ชัดเจนมากขึ้น 2. ควรศึกษาศึกษาก าลัง n สมบูรณ์ที่นอกเหนือจากก าลังสอง
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 11 จับมือสัมพันธ์ สังสรรค์ก่อนจาก ลากเส้นต่อจุด
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 12 โครงงานประเภททฤษฎี หรือค าอธิบาย ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น เรื่อง งานเลี้ยงสัมพันธ์ สังสรรค์ก่อนจาก ลากเส้นต่อจุด คณะผู้ศึกษา ครูที่ปรึกษา นายอาหนึ่ง ชูไวย ปีการศึกษา 2551 - 2553 บทคัดย่อ จากการด าเนินการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีหรือค าอธิบายระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น เรื่อง “จับมือสัมพันธ์สรรค์ก่อนจะลากเส้นต่อจุด” ซึ่งเกิดจากสังเกตพฤติกรรมการจับมือ ซึ่งเป็นวัฒนธรรมการทักทาย แบบสากลนิยมของโลก คณะผู้ศึกษาเกิดความสนใจ จ านวนครั้งของการจับมือในการจัดงานลี้ยงครั้งหนึ่งๆ โดยมี สถานการณ์ว่า ถ้าในงานเลี้ยงหนึ่งมีคนมาร่วมงานจ านวน n คน และคนทุกคนจับมือทักทายกันคนละ 1 ครั้ง โดย ไม่ซ้ ากันคนเดิม จนครบทุกคน โดยมีจุดประสงค์ของการศึกษา คือ 1. เพื่อหาจ านวนครั้งของการจับมือทักทายกัน ของแขกผู้มาร่วมงานในงานเลี้ยง จ านวน n คน โดยที่ทุกคนต้องทักทายกันคนละ 1 ครั้ง และทักทายกัน แบบครบ ทุกคน โดยการศึกษาครั้งนี้ได้จ าลองให้มีแขกผู้มาร่วมงานจ านวน 30 คนจ านวนครั้งของการจับมือจะเท่ากับ และ 2. เพื่อน าความรู้จากการศึกษาไปประยุกต์ ใช้กับปัญหาอื่นๆ ผลการศึกษาพบว่า 1. จ านวนครั้งของการจับมือกันของผู้มาร่วมงานเลี้ยงจ านวน n คน โดยที่ทุกคนต้องจับมือทักทายกัน ทั้งหมดแบบไม่ซ้ าคนเดิม ให้ครบทุกคน แทนด้วย Kn ซึ่ง Kn = ครั้ง 2. จากการศึกษาดังกล่าวสามารถหาจ านวนเส้นเชื่อมของรูป n เหลี่ยมใดๆ โดยที่ n ≥ 3 ดั้งนี้ จ านวนเส้นเชื่อมทั้งหมดเท่ากับ เส้น 1. เด็กชายปกป้อง เขื่อนแก้ว 2. เด็กชายปัณณวัฒน์ พันธ์วงค์ 3. เด็กหญิงจัทมณี ภูรักษา
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 13 3. จากข้อ 2. สามารถหาจ านวนเส้นทแยงมุมของรูป n เหลี่ยม ได้ดังนี้ จ านวนเส้นทแยงมุมทั้งหมด = - n เส้น หรือ จ านวนเส้นทแยงมุมทั้งหมด = เส้น 4. Kn สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของความสัมพันธ์เวียนบังเกิดได้ คือ Kn = K(n – 1) + (n - 1), n ≥ 2 และ K1 = 0 5. ให้n เป็นจ านวนเต็มบวก จะได้ว่า Kn = T(n-1) ค าส าคัญ: เส้น, จุด, รูปเรขาคณิต n เหลี่ยม, เส้นทแยงมุม, จ านวนสามเหลี่ยม จุดประสงค์ของการศึกษา 1. เพื่อหาจ านวนครั้งของการจับมือทักทายกันของแขกผู้มาร่วมงานในงานเลี้ยง จ านวน n คน โดยที่ทุกคนต้องทักทายกันคนละ 1 ครั้ง และทักทายกัน แบบครบทุกคน โดยการศึกษาครั้งนี้ได้จ าลองให้มีแขก ผู้มาร่วมงานจ านวน 30 คน 2. เพื่อน าความรู้จากการศึกษาไปประยุกต์ ใช้กับปัญหาอื่นๆ จากการด าเนินการศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ประเภททฤษฎีหรือค าอธิบายระดับมัธยมศึกษาตอนต้น เรื่อง “จับมือสัมพันธ์ สังสรรค์ก่อนจาก ลากเส้นต่อจุด” ในครั้งนี้ คณะผู้ศึกษาผลการศึกษาโดยแบ่งเป็น 3 ตอน ดังนี้ ตอนที่ 1 ผลการศึกษาหาจ านวนเส้นเชื่อมของจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกัน ตอนที่ 2 วิธีการค านวณหาสูตรการหาจ านวนเส้นเชื่อมของจุด n จุดโดยที่ทุกๆ จุดต้องเชื่อมต่อกัน ตอนที่ 3 การประยุกต์จากผลการศึกษา ซึ่งแต่ละตอนมีรายละเอียดดังต่อไปนี้
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 14 ตอนที่ 1 ผลการศึกษาหาจ านวนเส้นเชื่อมของจุด n จุดโดยที่ทุกๆ จุดต้องเชื่อมต่อกัน ผลการศึกษาของตอนที่ 1 แสดงดังตารางที่ 3 ดังนี้ ตารางที่ 1 แสดงผลการลากเส้นต่อจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกันจาก 1 จุด ถึง 30 จุด ชุดที่ จ านวนจุด(จุด) รูปแบบการลากเส้น จ านวนเส้นเชื่อม(เส้น) 1 1 0 2 2 1 3 3 3 4 4 6
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 15 ตารางที่ 1 แสดงผลการลากเส้นต่อจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกันจาก 1 จุด ถึง 30 จุด (ต่อ) ชุดที่ จ านวนจุด(จุด) รูปแบบการลากเส้น จ านวนเส้นเชื่อม(เส้น) 5 5 10 6 6 15 7 7 21 8 8 28
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 16 ตารางที่ 1 แสดงผลการลากเส้นต่อจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกันจาก 1 จุด ถึง 30 จุด (ต่อ) ชุดที่ จ านวนจุด รูปแบบการลากเส้น จ านวนเส้นเชื่อม(เส้น) 9 9 36 10 10 45 11 11 55
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 17 ตารางที่ 1 แสดงผลการลากเส้นต่อจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกันจาก 1 จุด ถึง 30 จุด (ต่อ) ชุดที่ จ านวนจุด รูปแบบการลากเส้น จ านวนเส้นเชื่อม(เส้น) 12 12 66 13 13 78 14 14 91
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 18 ตารางที่ 1 แสดงผลการลากเส้นต่อจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกันจาก 1 จุด ถึง 30 จุด (ต่อ) ชุดที่ จ านวนจุด รูปแบบการลากเส้น จ านวนเส้นเชื่อม(เส้น) 15 15 105 16 16 120 17 17 136
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 19 ตารางที่ 1 แสดงผลการลากเส้นต่อจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกันจาก 1 จุด ถึง 30 จุด (ต่อ) ชุดที่ จ านวนจุด รูปแบบการลากเส้น จ านวนเส้นเชื่อม(เส้น) 18 18 153 19 19 171 20 20 190
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 20 ตารางที่ 1 แสดงผลการลากเส้นต่อจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกันจาก 1 จุด ถึง 30 จุด (ต่อ) ชุดที่ จ านวนจุด รูปแบบการลากเส้น จ านวนเส้นเชื่อม(เส้น) 21 21 210 22 22 231 23 23 253
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 21 ตารางที่ 1 แสดงผลการลากเส้นต่อจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกันจาก 1 จุด ถึง 30 จุด (ต่อ) ชุดที่ จ านวนจุด รูปแบบการลากเส้น จ านวนเส้นเชื่อม(เส้น) 24 24 276 25 25 300 26 26 325
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 22 ตารางที่ 1 แสดงผลการลากเส้นต่อจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกันจาก 1 จุด ถึง 30 จุด (ต่อ) ชุดที่ จ านวนจุด รูปแบบการลากเส้น จ านวนเส้นเชื่อม(เส้น) 27 27 351 28 28 378 29 29 406
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 23 ตารางที่ 1 แสดงผลการลากเส้นต่อจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกันจาก 1 จุด ถึง 30 จุด (ต่อ) ชุดที่ จ านวนจุด รูปแบบการลากเส้น จ านวนเส้นเชื่อม(เส้น) 30 30 435 ตอนที่ 2 วิธีการค านวณหาสูตรการหาจ านวนเส้นเชื่อมของจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกัน ผลการศึกษาของตอนที่ 2 ซึ่งได้จากตารางที่ 3 ตอนที่ 1 แสดงดังตารางที่ 2 ดังนี้ ตารางที่ 2 แสดงวิธีการหาสูตรการหาจ านวนเส้นเชื่อมของจุด n จุดโดยที่ทุกๆจุดต้องเชื่อมต่อกัน ชุดที่ จ านวนจุด (จุด) จ านวนเส้นเชื่อม (เส้น) ความสัมพันธ์ทางพีชคณิตเชิงการบวก 1 1 0 0 = 0 2 2 1 1 = 0 + 1 3 3 3 3 = 0 + 1 + 2 4 4 6 6 = 0 + 1 + 2 + 3 5 5 10 10 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 6 6 15 15 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 7 7 21 21 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 8 8 28 28 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 9 9 36 36 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 10 10 45 45 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 11 11 55 55 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 24 ชุดที่ จ านวนจุด (จุด) จ านวนเส้นเชื่อม (เส้น) ความสัมพันธ์ทางพีชคณิตเชิงการบวก 12 12 66 66 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 13 13 78 78 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 14 14 91 91 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 15 15 105 105 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 16 16 120 120 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 17 17 136 136 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 18 18 153 153 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 19 19 171 171 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 20 20 190 190 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 21 21 210 210 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 22 22 231 231 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 23 23 253 253 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 24 24 276 276 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 +
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 25 ชุดที่ จ านวนจุด (จุด) จ านวนเส้นเชื่อม (เส้น) ความสัมพันธ์ทางพีชคณิตเชิงการบวก 21 + 22 + 23 25 25 300 300 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 26 26 325 325 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 27 27 351 351 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 28 28 378 376 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 29 29 406 406 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 30 30 435 435 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 จากตารางที่ 2 แสดงว่า ถ้ามีจุดจ านวน n จุดจะสามารถหาจ านวนเส้นเชื่อมได้ = 0 + 1 + 2 + … + (n - 2) + (n - 1) = 1 + 2 + … + (n - 2) + (n - 1) เส้น ดังแสดงในตารางที่ 3 ต่อไปนี้
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 26 ตารางที่ 3 แสดงวิธีการค านวณหาเส้นเชื่อมจากตารางที่ 4 จ านวน 30 ชุด จ านวนจุด n n - 1 วิธีการค านวณเส้นเชื่อม Kn โดยที่Kn = 0 + 1 + 2 + ... + (n -1) 1 1 – 1 = 0 K1 = 0 + 0 = 0 2 2 – 1 = 1 K2 = 0 + 1 = 1 3 3 – 1 = 2 K3 = 0 + 1 + 2 = 3 4 4 – 1 = 3 K4 = 0 + 1 + 2 + 3 = 6 5 5 – 1 = 4 K5 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 6 6 – 1 = 5 K6 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 7 7 – 1 = 6 K7 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 8 8 – 1 = 7 K8 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 9 9 – 1 = 8 K9 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 10 10 – 1 = 9 K10 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 11 11 – 1 = 10 K11 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 12 12 – 1 = 11 K12 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66 13 13 – 1 = 12 K13 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78 14 14 – 1 = 13 K14 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 91 15 15 – 1 = 14 K15 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105 16 16 – 1 = 15 K16 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120 17 17 – 1 = 16 K17 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136 18 18 – 1 = 17 K18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 +15 + 16 + 17 = 153 19 19 – 1 = 18 K19 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 = 171 20 20 – 1 = 19 K20 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 27 จ านวนจุด n n - 1 วิธีการค านวณเส้นเชื่อม Kn โดยที่Kn = 0 + 1 + 2 + ... + (n -1) 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 190 21 21 – 1 = 20 K21 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 210 22 22 – 1 = 21 K22 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 = 231 23 23 – 1 = 22 K23 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 = 253 24 24 – 1 = 23 K24 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 = 276 25 25 – 1 = 24 K25 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 300 26 26 – 1 = 25 K26 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 325 27 27 – 1 = 26 K27 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 351 28 28 – 1 = 27 K28 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 = 378 29 29 – 1 = 28 K29 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 406 30 30 – 1 = 29 K30 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 = 435
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 28 จากตารางที่ 3 แสดงว่าถ้ามีจุดจ านวน n จุดจะสามารถหา จ านวนเส้นเชื่อมได้ดังนี้ Kn = 1 + 2 + 3 + … + (n - 1) โดยที่Kn แทนจ านวนเส้นเชื่อม จะได้ว่า Kn = 1 + 2 + 3 + … (n - 3) + (n - 2) + (n - 1) (n -1) ตัว Kn = (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + … + 3 + 2 + 1 (n -1) ตัว 2Kn = n + n + n + … + n + n + n (n -1) ตัว 2Kn = n(n-1) Kn = ดังนั้น จ านวนเส้นเชื่อมของจุด n จุด Kn โดยจุดทุกๆ จุดต้องเชื่อมต่อกัน มีสูตร คือ Kn = จุด นั่นคือ ถ้าในงานเลี้ยงครั้งหนึ่งๆ ถ้ามีคนมาร่วมงานจ านวน n คน โดยที่ทุกคนต้องจับมือกันแบบไม่ซ้ าคน เดิม จะสามารถนับจ านวนครั้งของการจับมือได้เท่ากับ ครั้ง ตอนที่ 3 ประยุกต์ผลการศึกษา จากผลการด าเนินศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ เชิงทฤษฎีหรือค าอธิบายระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น เรื่อง “จับมือสัมพันธ์ สังสรรค์ก่อนจาก ลากเส้นต่อจุด” ในครั้งนี้ เราทราบว่า Kn = และสามารถน าไปประยุกต์ใช้ได้ ดังนี้ 1. การหาจ านวนเส้นเชื่อมทั้งหมดของรูป n เหลี่ยม โดยที่ n เป็นจ านวนเต็มบวกที่มีค่าตั้งแต่ 3 ขึ้นไป โดยปกติรูป n เหลี่ยม โดยที่ n เป็นจ านวนเต็มบวกที่มีค่าตั้งแต่ 3 ขึ้นไปนั้น มีลักษณะคล้ายกับปัญหา โครงงาน ดังนั้นเราสามรถหาจ านวนเส้นเชื่อมทั้งหมด จากมุมถึงมุมครบทุกๆมุมของรูป n เหลี่ยม โดยที่ n เป็น จ านวนเต็มบวกที่มีค่าตั้งแต่ 3 ขึ้นไป เท่ากับ เส้นเช่นเดียวกัน
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 29 2. การจ านวนเส้นทแยงมุมของรูป n เหลี่ยมตามข้อหนึ่งเนื่องจากรูปเรขาคณิต n เหลี่ยม (n 3) มี n ด้านเสมอ ซึ่งท าให้ได้ว่า จ านวนเส้นทแยงมุมทั้งหมดของรูป n เหลี่ยม = Kn – n = – n = - = = = ดังนั้น จ านวนเส้นทแยงมุมทั้งหมดของรูป n เหลี่ยม = 3. การประยุกต์เรื่องความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (recursive relation) จากการศึกษาเรื่องฟิโบนักซี (Fibonacci Numbers) ในระดับ ม.1 รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ภาคเรียนที่ 2 เรื่อง การประยุกต์ 2 ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์เวียนบังเกิด ที่ก าหนดโดย Fn = Fn-1+ Fn-2 , = 1, = 1 คณะผู้ศึกษาได้ข้อสังเกตจากจ านวนฟิโบนักซี เทียบเคียงกับ จ านวนเส้นเรื่อง Kn ดังตารางที่ 6 ตารางที่ 4 แสดงการเกิดความสัมพันธ์แบบเวียนบังเกิดของ Kn จ านวน 30 ตัว จ านวนจุด n เส้นเชื่อม Kn โดยที่Kn = 0 + 1 + 2 + ... + (n -1) ความสัมพันธ์แบบเวียนบังเกิดของ Kn 1 K1 = 0 K1 = 0 2 K2 = 0 + 1 = 1 K2 = K1 + (2 - 1) 3 K3 = 1 + 2 = 3 K3 = K2 + (3 - 1) 4 K4 = 3 + 3 = 6 K4 = K3 + (4 - 1) 5 K5 = 6 + 4 = 10 K5 = K4 + (5 - 1) 6 K6 = 10 + 5 = 15 K6 = K5 + (6 - 1) 7 K7 = 15 + 6 = 21 K7 = K6 + (7 - 1)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 30 จ านวนจุด n เส้นเชื่อม Kn โดยที่Kn = 0 + 1 + 2 + ... + (n -1) ความสัมพันธ์แบบเวียนบังเกิดของ Kn 8 K8 = 21 + 7 = 28 K8 = K7 + (8 - 1) 9 K9 = 28 + 8 = 36 K9 = K8 + (9 - 1) 10 K10 = 36 + 9 = 45 K10 = K9 + (10 - 1) 11 K11 = 45 + 10 = 55 K11 = K10 + (11 - 1) 12 K12 = 55 + 11 = 66 K12 = K11 + (12 - 1) 13 K13 = 66 + 12 = 78 K13 = K12 + (13 - 1) 14 K14 = 78+ 13 = 91 K14 = K13+ (14 - 1) 15 K15 = 91 + 14 = 105 K15 = K14 + (15 - 1) 16 K16 = 105 + 15 = 120 K16 = K15 + (16 - 1) 17 K17 = 120 + 16 = 136 K17 = K16 + (17 - 1) 18 K18 = 136 + 17 = 153 K18 = K17 + (18 – 1) 19 K19 = 153 + 18 = 171 K19 = K18 + (19 – 1) 20 K20 = 171 + 19 = 190 K20 = K19 + (20 – 1) 21 K21 = 190 + 20 = 210 K21 = K20 + (21 – 1) 22 K22 = 210 + 21 = 231 K22 = K21 + (22 – 1) 23 K23 = 231 + 22 = 253 K23 = K22 + (23 – 1) 24 K24 = 253 + 23 = 276 K24 = K23 + (24 – 1) 25 K25 = 276 + 24 = 300 K25 = K24 + (25 – 1) 26 K26 = 300 + 25 = 325 K26 = K25 + (26 – 1) 27 K27 = 325 + 26 = 351 K27 = K26 + (27 – 1) 28 K28 = 351 + 27 = 378 K28 = K27 + (28 – 1) 29 K29 = 378 + 28 = 406 K29 = K28 + (29 – 1) 30 K30 = 406 + 29 = 435 K30 = K29 + (30 – 1) โดยหลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) โดยที่ K1 = 0 และ n เป็นจ านวนเต็มบวก จะได้ความสัมพันธ์แบบเวียนบังเกิดของ Kn = K(n-1)+ (n - 1)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 31 4. ความสัมพันธ์ของ Kn กับจ านวนเชิงสามเหลี่ยม Tn จาก Kn = และนิยามของ Tn= = สามารถเขียนเทียบได้ดังนี้ ตารางที่ 7 แสดงความสัมพันธ์ของ Kn กับ Tn Kn Tn แบบรูป จ านวน K2 = T1 = = 1 K3 = T2 = = 3 K4 = T3 = = 6 K5 = T4 = = 10 K6 = T5 = = 15 จากตารางที่ 7 แสดงความสัมพันธ์ของ Kn กับ Tn ดังนี้ Kn = T(n - 1)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 32 จากรูปแบบของจ านวนสามเหลี่ยม สามารถเขียนประยุกต์ ตารางที่ 5 รูปแบบการจัดเรียงของ Kn รูปแบบการจัดเรียงของ Kn ผลรวมของ แต่ละแถว K2 1 1 K2 + K3 1 + 3 4 K2 + K3 + K4 1 + 3 + 6 10 K2 + K3 + K4 + K5 1 + 3 + 6 + 10 20 K2 + K3 + K4 + K5 + K6 1 + 3 + 6 + 10 + 15 35 K2 + K3 + K4 + K5 + K6 + K7 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 56 K2 + K3 + K4 + K5 + K6 + K7 + K8 1 + 3 + 6 + 10 + 15 +21 + 28 84 K2 + K3 + K4 + K5 + K6 + K7 + K8 + K9 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 120 K2 + K3 + K4 + K5 + K6 + K7 + K8 + K9 + K10 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 165 K2 + K3 + K4 + K5 + K6 + K7 + K8 + K9 + K10 + K11 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55 220 ข้อเสนอแนะจากการศึกษาโครงงานครั้งนี้ 1. เวลาในการด าเนินการศึกษาน้อยเกินไป 2. ควรใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์เช่น GSP หรือ Graph Manipulation Package 2000 ข้อเสนอแนะในการท าโครงงานครั้งต่อไป 1. ควรศึกษาปัญหาอื่นๆ ที่มีลักษณะใกล้เคียงกับปัญหา เช่น การเพิ่มมุมของรูปเรขาคณิต การหาพื้นที่รูปวงกลม เป็นต้น 2. ควรศึกษาการประยุกต์ของ Kn เพื่อน าไปสร้างจ านวนสามเหลี่ยม รูปแบบอื่นๆ และ จ านวนเชิงรูปภาพ(Figurate Numbers) อื่นๆ
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 33 มหัศจรรย์จ านวนสามเหลี่ยม ( Amazing in Triangular Numbers)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 34 โครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย เรื่อง มหัศจรรย์จ านวนสามเหลี่ยม (Amazing in Triangular Numbers) คณะผู้ศึกษา ครูที่ปรึกษา นายอาหนึ่ง ชูไวย ปีการศึกษา 2554 - 2556 บทคัดย่อ จ านวนเชิงรูปภาพ (Figurate numbers) เป็นการเขียนแสดงในรูปของจุดที่เรียงตัวในลักษณะ รูปหลายเหลี่ยม เพื่อแสดงความสัมพันธ์ทางพีชคณิตระหว่างเลขคณิตกับเรขาคณิตในรูปแบบที่แตกต่างกันทั้งเชิง ความหมายและรูปแบบ ส าหรับโครงงานนี้มุ่งศึกษารูปแบบโครงสร้างของจ านวนสามเหลี่ยมและการหาพจน์ทั่วไปของจ านวน สามเหลี่ยม ความสัมพันธ์ทางพีชคณิตของจ านวนสามเหลี่ยมกับจ านวนก าลังสอง หรือ จ านวนสี่เหลี่ยม ความสัมพันธ์ทางพีชคณิตของจ านวนสามเหลี่ยม และ ความสัมพันธ์ระหว่างจ านวนสามเหลี่ยมและสามเหลี่ยม ปาสคาล ซึ่งพบความสัมพันธ์ ดังนี้ 1. จ านวนสามเหลี่ยมแต่ละจ านวนสามารถเขียนในรูปอนุกรมเลขคณิตของจ านวนนับได้ 2. ส าหรับทุกจ านวนนับ n จ านวนก าลังสองใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูป 2Tn – n ได้ 3. ส าหรับทุกจ านวนนับ n จ านวนก าลังสองใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูป Tn + Tn - 1 ได้ 4. ส าหรับทุกจ านวนสามเหลี่ยมใดๆ Tn + Tn-1 = 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) 5. ส าหรับทุกจ านวนนับ n จ านวนสามเหลี่ยมสามารถเขียนแสดงในรูปของจ านวนสี่เหลี่ยม ดังสมการ Tn = 0.5(Sn + n) 6. ส าหรับทุกจ านวนสามเหลี่ยม Tn ใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนบังเกิด Tn = Tn-1 + n 7. ส าหรับทุกจ านวนเต็มบวกคี่ที่มากกว่า 1 จ านวนสี่เหลี่ยมสามารถเขียนให้อยู่ในรูป Sn = 8T(n-1)/2 + 1 1. นายวัชรพงษ์ คิดดี 2. นางสาวอัจฉริยา กาวี 3. นางสาววัชชิราภรณ์ ปุ่นทอง
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 35 8. มีจ านวนสามเหลี่ยมแทรกอยู่ในแถวของจ านวนสามเหลี่ยมปาสคาล 9. มีล าดับที่เกิดจากอนุกรมของจ านวนสามเหลี่ยมจ านวนอนันต์ชุด 10. ล าดับแต่ละชุดที่เกิดจากอนุกรมของจ านวนสามเหลี่ยม จะปรากฏบนสามเหลี่ยมปาสคาลซึ่งเรียงตัว ในแนวทแยงจากบนลงล่าง ค าส าคัญ: จ านวนสามเหลี่ยม, จ านวนสี่เหลี่ยม, จ านวนก าลังสอง, ล าดับเลขคณิต, อนุกรมเลขคณิต, สามเหลี่ยม ปาสคาล จุดประสงค์ของการศึกษา 1. ศึกษารูปแบบโครงสร้างของจ านวนสามเหลี่ยมและการหาพจน์ทั่วไปของจ านวนสามเหลี่ยม 2. ศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ทางพีชคณิตของจ านวนสามเหลี่ยมกับจ านวนก าลังสอง หรือ จ านวนสี่เหลี่ยม 3. ศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ทางพีชคณิตของจ านวนสามเหลี่ยม 4. ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างจ านวนสามเหลี่ยมและสามเหลี่ยมปาสคาล จากผลการด าเนินการศึกษาโครงงานประเภททฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง มหัศจรรย์จ านวนสามเหลี่ยม (Amazing in Triangular Numbers) ในครั้งนี้คณะผู้ศึกษาได้ผลการศึกษาตามล าดับข้อค้นพบ ดังนี้ ข้อค้นพบที่ 1 จ านวนสามเหลี่ยมแต่ละจ านวนสามารถเขียนในรูปอนุกรมเลขคณิตของจ านวนนับได้ พิจารณา ตารางที่ 6 แสดงจ านวนสามเหลี่ยม T1 – T7 Tn แบบจ าลอง ค่า Tn ในรูปแบบความสัมพันธ์ทางพีชคณิตเชิงการบวก T1 1 T2 3 = 1 + 2 T3 6 = 1 + 2 + 3 T4 10 = 1 + 2 + 3 + 4
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 36 Tn แบบจ าลอง ค่า Tn ในรูปแบบความสัมพันธ์ทางพีชคณิตเชิงการบวก T5 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 T6 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 T7 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 จากตารางที่ 6 โดยหลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์ จะได้ว่า ภาพที่ 1 แสดงการเกิดจ านวนสามเหลี่ยมโดยอนุกรมของจ านวนนับ การพิสูจน์ จาก Tn = 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n --------------> (1) n ตัว Tn = n + (n - 1) + (n - 2) + … + 3 + 2 + 1 --------------> (2) n ตัว 2Tn = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) ---------> (1) + (2) n ตัว
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 37 = n (n +1) Tn = ดังนั้น Tn = โดยที่ n 1 = 1, n 2 = 2, ... , n k = k ข้อค้นพบที่ 2 ส าหรับทุกจ านวนนับ n จ านวนก าลังสองใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูป 2Tn – n ได้ ภาพที่ 2 แสดงการเกิดจ านวนก าลังสองใดๆ ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป 2Tn – n ได้ การพิสูจน์ จากข้อค้นพบที่ 1 เราทราบว่า = Tn n 2 + n = 2Tn n 2 = 2Tn - n ดังนั้น n 2 = 2Tn – n ข้อค้นพบที่ 3 ส าหรับทุกจ านวนนับ n จ านวนก าลังสองใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูป Tn + Tn - 1 ได้ พิจารณา ภาพที่ 3 แสดงการเกิดจ านวนก าลังสองใดๆ ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป Tn + Tn - 1 ได้ การพิสูจน์ จากข้อค้นพบที่ 2 เราทราบว่า n 2 = 2Tn - n =
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 38 = = = = = = = = Tn + Tn - 1 ดังนั้น n 2 = Tn + Tn - 1 ข้อค้นพบที่ 4 ส าหรับทุกจ านวนสามเหลี่ยมใดๆ Tn + Tn-1 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) พิจารณา ภาพที่ 4 แสดงการเกิดจ านวนสามเหลี่ยมใดๆ ในรูป Tn + Tn-1 = 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) การพิสูจน์ เราทราบว่า 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = = = = = = Tn + Tn-1 (จากข้อค้นพบที่ 3)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 39 ดังนั้น Tn + Tn-1 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) ข้อค้นพบที่ 5 ส าหรับทุกจ านวนนับ n จ านวนสามเหลี่ยมสามารถเขียนแสดงในรูปของจ านวนสี่เหลี่ยม ดัง สมการ Tn = 0.5(Sn + n) การพิสูจน์ จากข้อค้นพบที่ 3 เราทราบว่า 2Tn - n = n 2 และ Sn = n 2 ท าให้ได้ว่า 2Tn - n = Sn 2Tn = Sn + n Tn = Tn = 0.5(Sn + n) ดังนั้น Tn = 0.5(Sn + n) ข้อค้นพบที่ 6 ส าหรับทุกจ านวนสามเหลี่ยม Tn ใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนบังเกิด Tn = Tn-1 + n พิจารณา ภาพที่ 5 แสดงจ านวนสามเหลี่ยมใดๆ ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนบังเกิด Tn = Tn-1 + n การพิสูจน์ เราทราบว่า Tn-1 + n = = =
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 40 = = = = = = Tn ดังนั้น Tn = Tn-1 + n ข้อค้นพบที่ 7 ส าหรับทุกจ านวนเต็มบวกคี่ที่มากกว่า 1 จ านวนสี่เหลี่ยมสามารถเขียนให้อยู่ในรูป Sn = 8T(n-1)/2 + 1 พิจารณา ภาพที่ 6 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจ านวนสามเหลี่ยมและจ านวนสี่เหลี่ยมในรูป Sn = 8T(n-1)/2 + 1 การพิสูจน์ เราทราบว่า = = = = = = = =
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 41 = = ดังนั้น Sn = 8T(n-1)/2 + 1 ข้อคาดเดาที่ 1 มีจ านวนสามเหลี่ยมแทรกอยู่ในแถวของจ านวนบนสามเหลี่ยมปาสคาล ภาพที่ 7 แสดงการมีจ านวนสามเหลี่ยมแทรกอยู่ในแถวของจ านวนบนสามเหลี่ยมปาสคาล ข้อคาดเดาที่ 2 มีล าดับที่เกิดจากอนุกรมของจ านวนสามเหลี่ยมจ านวนอนันต์ชุด รูปแบบการจัดเรียงอนุกรม Tn STn T1 1 1 T1 + T2 1 + 3 4 T1 + T2 + T3 1 + 3 + 6 10 T1 + T2 + T3 + T4 1 + 3 + 6 + 10 20 T1 + T2 + T3 + T4 + T5 1 + 3 + 6 + 10 + 15 35 T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 56 T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 1 + 3 + 6 + 10 + 15 +21 + 28 84
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 42 T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 120 T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8 + T9 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 165 T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + T7 + T8 + T9 + T10 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55 220 จากรูปล าดับของ STn = 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... 1 1 1 + 4 5 1 + 4 + 10 15 1 + 4 + 10 + 20 35 1 + 4 + 10 + 20 + 35 70 1 + 4 + 10 + 20 + 35 + 56 126 1 + 4 + 10 + 20 + 35 +56 + 84 210 1 + 4 + 10 + 20 + 35 + 56 + 84 + 120 330 1 + 4 + 10 + 20 + 35 + 56 + 84 + 120 + 165 495 1 + 4 + 10 + 20 + 35 + 56 + 84 + 120 + 165 + 220 715 จากรูปล าดับชุดใหม่ของ STn = 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, ...
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 43 ข้อคาดเดาที่ 3 ล าดับแต่ละชุดที่เกิดจากอนุกรมของจ านวนสามเหลี่ยม จะปรากฏบนสามเหลี่ยมปาสคาล ซึ่งเรียงตัวในแนวทแยงจากบนลงล่าง ภาพที่ 8 แสดงล าดับแต่ละชุดที่เกิดจากอนุกรมของจ านวนสามเหลี่ยม จะปรากฏบนสามเหลี่ยมปาสคาล ซึ่งเรียงตัวในแนวทแยงจากบนลงล่าง ข้อคาดเดาที่ 4 จ านวนที่เกิดจากการรวมกันของจ านวนสามเหลี่ยมชุดใดๆ ที่เรียงกันเป็นรูปกลีบดอกไม้หกแฉก แต่ละชุดจะมีความสัมพันธ์ของผลคูณดังรูป ภาพที่ 9 แสดงความสัมพันธ์ของผลคูณของจ านวนที่เกิดจากการรวมกันของจ านวนสามเหลี่ยมชุดใดๆ
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 44 ประเภทและรูปแบบของการประยุกต์ใช้องค์ความรู้ที่ได้จากการด าเนินการศึกษาโครงงาน 1. เกมปริศนาจิ๊กซอต่อภาพ ภาพที่ 10 แสดงการสร้างเกมปริศนาจิ๊กซอต่อภาพ 2. การสร้างรูปภาพส าหรับช่วยอธิบายรูปแบบล าดับและอนุกรมบางประเภทโดยการใช้ภาพ ภาพที่ 11 แสดงการสร้างสร้างรูปภาพส าหรับช่วยอธิบายรูปแบบล าดับและอนุกรมบางประเภทโดยการใช้ภาพ 3. การออกแบบลวดลายทางศิลปะ เพื่อสร้างสรรค์ชิ้นงานต่างๆ เช่น ลวดลายการทอผ้า การถักลายลูกปัด ลายกระเบื้องปูพื้น ภาพที่ 12 แสดงการออกแบบลวดลายทางศิลปะ เพื่อสร้างสรรค์ชิ้นงานต่างๆ
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 45 ข้อเสนอแนะจากการด าเนินการศึกษาโครงงาน ข้อเสนอแนะจากการด าเนินการศึกษาในครั้งนี้และครั้งต่อไป 1. ควรใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์/วิศวกรรมศาสตร์/สถิติ ช่วยสร้างแบบจ าลองประกอบการทดลอง เพื่อให้เห็นรูปแบบการทดลองที่ชัดเจนมากขึ้น 2. ควรศึกษาสมบัติอื่นๆ ของจ านวนสามเหลี่ยม 3. ควรเปลี่ยนรูปแบบการพิสูจน์ข้อค้นพบต่างๆ ในรูปแบบที่หลากหลายวิธี เช่น การพิสูจน์แบบอุปนัย ทางคณิตศาสตร์ 4. ควรศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างจ านวนสามเหลี่ยมกับจ านวนเชิงรูปภาพ (figurate numbers) ชนิด อื่นๆ ที่นอกเหนือจากจ านวนเชิงสี่เหลี่ยม (จ านวนก าลังสอง) 5. ควรศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างจ านวนสามเหลี่ยมกับหลักความน่าจะเป็น 6. ควรศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างจ านวนสามเหลี่ยมกับสัมประสิทธิ์เชิงพีชคณิตของฟังก์ชันพหุนาม ในรูปฟังก์ชันก่อก าเนิด (generating function)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 46 คณิตศาสตร์กับปริศนากลการลงยันต์ล้านนา 16 ค า
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 47 โครงงานประเภทการสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง คณิตศาสตร์กับปริศนากลการลงยันต์ล้านนา 16 ค า คณะผู้ศึกษา ครูที่ปรึกษา นายอาหนึ่ง ชูไวย ปีการศึกษา 2557 - 2559 บทคัดย่อ การศึกษาครั้งนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษารวบรวมองค์ความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์กับปริศนากลการลงยันต์ ล้านนา 16 ค า ผลการศึกษาพบว่า ชาวบ้านเห็นความส าคัญของคณิตศาสตร์กับปริศนากลการลงยันต์ล้านนา 16 ค า มีความส าคัญต่อชาวล้านนาซึ่งก่อให้เกิดความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับคณิตศาสตร์กับปริศนากลการลงยันต์ ล้านนา 16 ค า นักเรียนมีความสนใจในเรื่องคณิตศาสตร์กับปริศนากลการลงยันต์ล้านนา 16 ค า รวมไปถึงสนใจ เรียนรู้ขั้นตอนในการลงยันต์คณิตศาสตร์กับปริศนากลการลงยันต์ล้านนา 16 ค า นี้ให้ประโยชน์กับตนเองและควร อย่างยิ่งที่จะรักษาสืบสานและอนุรักษ์กลการลงยันต์ล้านนา 16 ค า เข้าใจถึงกลวิธีการลงยันต์ เพื่อที่คณิตศาสตร์ กับปริศนากลการลงยันต์ล้านนา 16 ค านี้จะสามารถด ารงคงอยู่และสร้างความเข้มแข็งให้กับชุมชนล้านนาต่อไป จุดประสงค์ของการศึกษา 1. เพื่อศึกษารูปแบบกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า 2. เพื่อศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของต าแหน่งที่ของค าในคาถาจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า 3. เพื่อศึกษาตัวอย่างการลงยันต์ตามกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า 1. เด็กหญิงวรนุช ธนู 2. เด็กหญิงณีรนุช ติ๊ปกรณ์ 3. เด็กหญิงรุทตินันท์ บุญเป็ง 4. เด็กหญิงณัฐธิชา มิสกุล 5. เด็กหญิงศุภารัตน์ โพธิ์ชัย