ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 98 r e b 2 r 2 e O A B C ตอนที่ 1. การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวรวม (TSA) ของพีระมิดปลายตัดตรง(surface area of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน 1.1 การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่แนบใน รูปวงกลม รัศมี r ภาพที่ 75 แนวคิดการแบ่งมุม และรูปสามเหลี่ยมย่อย จาก 360 n และ 360 360 180 2 2 2 n n n ------------------- (1) และจากรูปสามเหลี่ยม AOBเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี OC เป็นเส้นแบ่งครึ่งฐาน AB ที่จุดC จะได้ว่า ACOและ BCOเป็นมุมฉาก จากรูปสามเหลี่ยม ACO ท าให้ได้ว่า CO AO = cos 2 b r = cos 2 b = r cos 2 --------------- (2) และ AC AO = sin 2 2 e r = sin 2 2 e = r sin 2 --------------- (3)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 99 e = 2 r sin 2 --------------- (4) และ r = 2sin 2 e --------------- (5) พื้นที่สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABO = 1 2 be = 1 2 2 2 e b = 1 cos 2 sin 2 2 2 r r = 2 cos sin 2 2 r = 2 sin cos 2 2 r พื้นที่สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABO = 2 180 180 r sin cos n n --------------- (6) = 2 2 180 180 sin cos 2 r n n = 1 180 180 2 2sin cos 2 r n n จาก 180 180 180 2sin cos sin 2 n n n จะได้ = 1 180 2 sin 2 2 r n หรือ พื้นที่สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABO = 1 360 2 sin 2 r n --------------- (7) จากรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าโดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีขนาดรัศมี r ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยม หน้าจั่ว จ านวน n รูป
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 100 จากสมการที่ (6) จะได้ Area = 2 180 180 nr sin cos n n --------------- (8) หรือจากสมการที่ (7) จะได้ Area = 1 360 2 sin 2 nr n --------------- (9) จากสมการที่ (8) และ (9) ท าให้ได้ว่า 1.1.1 ท าให้ได้สูตรการหาพื้นที่ B1 2 1 1 180 180 B nr sin cos n n หรือ 2 1 1 1 360 sin 2 B nr n --------------- (10) 1.1.2 ท าให้ได้สูตรการหาพื้นที่ B2 2 2 2 180 180 B nr sin cos n n หรือ 2 2 2 1 360 sin 2 B nr n --------------- (11) 1.2 การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวข้าง (CSA ) ของพีระมิดปลายตัดตรง(curve surface area of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมี ขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน C2 2r 1r s h 2 e 1e C2 2r 1r sh h 1 2 r r 2 e 1e ภาพที่ 76 แนวคิดการหาค่าs
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 101 จากภาพที่ 76 2 s 2 2 1 2 h r r ( ) s 2 2 1 2 h r r ( ) ------------------------ (12) C2 2r 1r s h h 1 2 r r 2 e 1e h l s l 2 e 1e 2 1 2 e 2 e e 1 2 2 e e l sภาพที่ 77 แนวคิดการหาค่า l จากภาพที่ 77 2 2 1 2 2 e e l 2 s 2 l 2 2 1 2 2 e e s l 2 2 1 2 2 e e s ------------------------ (13) และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู 1 2 1 2 l e e และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู n รูป 1 2 1 2 nl e e ------------------------ (14) ซึ่งจะได้ว่า CSA 1 2 1 2 nl e e ------------------------ (15)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 102 2 2 1 2 1 2 1 2 2 e e n s e e 2 2 1 2 1 2 1 2 2 e e n e e s 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 2 e e n e e h r r 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 2 e e n e e h r r 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 sin 2 sin 1 2 2 2 sin 2 sin ( ) 2 2 2 2 r r n r r h r r 2 2 2 1 2 1 2 1 2 sin sin ( ) sin sin 2 2 2 2 n r r h r r r r 2 2 2 1 2 1 2 1 2 sin ( ) sin 2 2 n r r h r r r r 2 2 2 1 2 1 2 1 2 180 180 n r r h r r r r sin ( ) sin n n 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 180 180 n r r h r r r r sin ( ) sin n n 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 180 180 n r r h r r r r sin ( ) sin n n 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 180 180 n r r h r r r r sin ( ) (1) sin n n 2 2 2 1 2 1 2 180 180 n r r h r r sin ( ) 1 sin n n CSA 2 2 2 1 2 1 2 180 180 n r r h r r sin ( ) cos n n ------------------------ (16)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 103 จากสมการที่ (16) ท าให้ได้ว่า 2 2 2 1 2 1 2 180 180 CSA n r r h r r sin ( ) cos n n และ TSA 2 2 2 1 2 1 2 1 2 180 180 B B n r r h r r sin ( ) cos n n จากสมการที่ (9) และ (16) จะได้ว่า TSA 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 180 180 180 180 n r r r r h r r sin cos cos ( ) cos n n n n 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 180 180 180 TSA n r r r r h r r sin cos ( ) cos n n n ------------ (17) ตอนที่ 2. การศึกษาสูตรการค านวณหาปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรง(volume of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มี ระนาบขนานกัน จาก V 1 2 1 2 3 h B B B B 2 2 2 2 1 2 1 2 180 180 180 180 180 180 180 180 sin cos sin cos sin cos sin cos 3 h nr nr nr nr n n n n n n n n 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 180 180 180 180 sin cos sin cos 3 h nr nr n r r n n n n 2 2 1 2 1 2 180 180 180 180 sin cos sin cos 3 h nr nr nr r n n n n 2 2 1 2 1 2 180 180 180 180 sin cos sin cos 3 h n r r nr r n n n n V 2 2 1 2 1 2 180 180 sin cos 3 nh r r r r n n ------------ (18) หรือ V 2 2 1 2 1 2 1 2 180 180 2 sin cos 3 nh r r r r r r n n 2 2 1 1 2 2 1 2 180 180 2 sin cos 3 nh r r r r r r n n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 104 V 2 1 2 1 2 180 180 sin cos 3 nh r r r r n n ------------ (19) หรือ V 2 2 1 2 1 2 2 180 180 sin cos 3 2 nh r r r r n n 2 2 1 2 1 2 180 180 2sin cos 6 nh r r r r n n 2 2 1 2 1 2 180 sin 2 6 nh r r r r n V 2 2 1 2 1 2 360 sin 6 nh r r r r n ------------ (20) หรือ V 2 2 1 2 1 2 1 2 360 2 sin 6 nh r r r r r r n 2 2 1 1 2 2 1 2 360 2 sin 6 nh r r r r r r n V 2 1 2 1 2 360 sin 6 nh r r r r n ------------ (21) จากสมการที่ (18), (19), (20) และ (21) ท าให้ได้ว่า 2 2 1 2 1 2 180 180 sin cos 3 nh V r r r r n n หรือ 2 1 2 1 2 180 180 sin cos 3 nh V r r r r n n หรือ 2 2 1 2 1 2 360 sin 6 nh V r r r r n หรือ 2 1 2 1 2 360 sin 6 nh V r r r r n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 105 C2 2r 3 1r 6 C1 2r 3 h 4 1 2 r r 3 s 5 ตัวอย่าง จงค านวณหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรงหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีความสูง 4 หน่วย และมีฐานและปลายตัดแนบในวงกลมสองวงที่มีระนาบขนานกัน โดยมีรัศมียาว 6 หน่วย และ 3 หน่วย ตามล าดับ วิธีท า (จากโจทย์สามารถแบ่งรูปสามย่อยที่เท่ากันทุกประการ ได้จ านวน 6 รูป และแต่ละรูปเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า เพราะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมยอดขนาด 60 องศา มุมที่ฐานทั้งสองจึงเท่ากับ 60 องศา ด้วย จึงได้ r e ) ภาพที่ 78 ภาพจ าลองจากโจทย์ โดยอาศัยสูตรจากการด าเนินการศึกษา จะได้ 1. การค านวณหาพื้นที่ผิวข้าง จาก 2 2 2 1 2 1 2 180 180 CSA n r r h r r sin ( ) cos n n แทนค่า 180 180 2 2 2 6 6 3 sin 4 (6 3) cos 6 6 CSA 2 2 2 6 9 sin 30 4 3 cos 30 2 1 3 54 16 9 2 2 3 27 16 9 4 27 27 16 4 91 27 4 128.781 ตารางหน่วย n 1 r 2 r h 6 6 3 4 360 60 6
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 106 2. การค านวณหาพื้นที่ผิวรวม จาก 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 180 180 180 TSA n r r r r h r r sin cos ( ) cos n n n แทนค่า 180 180 180 2 2 2 2 2 6sin 6 3 cos 6 3 4 (6 3) cos 6 6 6 TSA 2 2 2 6sin 30 36 9 cos30 9 4 3 cos 30 2 1 3 3 6 45 9 16 9 2 2 2 45 3 3 3 9 16 9 2 4 3 38.971 42.927 3 81.898 245.694 ตารางหน่วย 3. การค านวณหาปริมาตร จากสูตรที่ 1 ซึ่งได้ว่า 2 2 1 2 1 2 180 180 sin cos 3 nh V r r r r n n แทนค่า 6(4) 180 180 2 2 6 3 6 3 sin cos 3 6 6 V 8 36 9 18 sin 30 cos30 8 36 9 18 sin 30 cos30 1 3 8 63 2 2 2 63 3 218.24 ลูกบาศก์หน่วย
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 107 จากสูตรที่ 2 ซึ่งได้ว่า 2 1 2 1 2 180 180 sin cos 3 nh V r r r r n n แทนค่า 6 4 2 180 180 6 3 6 3 sin cos 3 6 6 V 2 8 9 18 sin 30 cos30 1 3 8 81 18 2 2 3 8 63 4 2 63 3 218.24 ลูกบาศก์หน่วย จากสูตรที่ 3 ซึ่งได้ว่า 2 2 1 2 1 2 360 sin 6 nh V r r r r n แทนค่า 2 2 1 2 1 2 360 sin 6 nh V r r r r n 2 2 6 4 360 6 3 6 3 sin 6 6 4 36 9 18 sin 60 3 4 63 2 2 63 3 218.24 ลูกบาศก์หน่วย จากสูตรที่ 4 ซึ่งได้ว่า 2 1 2 1 2 360 sin 6 nh V r r r r n แทนค่า 6 4 2 360 6 3 6 3 sin 6 6 V 2 4 9 18 sin 60 3 4 71 18 2
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 108 s l 2 e 3 1e 6 2 1 2 e 2 e e 1 2 6 3 3 2 2 2 e e l s 5 2 63 3 218.238 ลูกบาศก์หน่วย เปรียบกับการค านวณด้วยวิธีปกติ ดังนี้ 1. การค านวณหาพื้นที่ผิวข้าง จากโจทย์เป็นทรงพีระมิดปลายตัดตรงหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ซึ่งประกอบไปรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่เท่ากันทุก ประการจ านวน 6 รูป ดังภาพ ภาพที่ 79 ภาพจ าลองรูปสี่เหลี่ยมคางหมู 1 รูป ประกอบผิวข้างจากโจทย์ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูจ านวน 6 รูป 1 91 9 6 2 4 91 27 4 128.781 ตารางหน่วย พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมู 1 2 1 2 e e l 2 1 3 2 6 3 5 2 2 1 9 9 25 2 4 1 91 9 2 4 1 91 9 2 4 ตารางหน่วย
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 109 2. การค านวณหาพื้นที่ผิวรวม จาก TSA B B CSA 1 2 จะได้ว่า 3 3 2 2 6 6 6 3 4 4 TSA CSA 3 2 2 6 6 3 4 CSA 3 3 36 9 2 CSA 3 3 45 2 CSA 135 3 2 CSA 116.913 128.781 245.694 ตารางหน่วย 3. การค านวณหาปริมาตร จากสมการที่ (1) 1 2 1 2 3 h V B B B B แทนค่า 4 3 3 3 3 2 2 2 2 6 6 6 3 6 6 6 3 3 4 4 4 4 V 4 216 3 54 3 216 3 54 3 3 4 4 4 4 4 216 54 3 216 54 3 3 4 4 4 216 54 216 54 3 3 4 3 270 11664 3 3 270 11664 3
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 110 3 270 108 3 3 378 3 3 126 218.238 ลูกบาศก์หน่วย จากการค านวณโดยใช้สูตรที่ได้จากการศึกษาและสูตรทั่วไปพบว่าค่าตรงกัน ข้อเสนอแนะจากการด าเนินการศึกษาในครั้งนี้และครั้งต่อไป 1. ควรศึกษาการหาพื้นที่ในสมการรูปแบบอื่นๆ เช่น พื้นที่ของ B ในรูป 2 cot 90 2 B nb 2. ควรศึกษาการหาพื้นที่ในสมการวงกลม 2 วงที่มีระนาบขนานกัน บนสมการรูปทั่วไปที่มี 2 2 1 1 C x y Dx Ey F 0และ 2 2 2 2 C x y Dx Ey F 0 ซึ่งมี 2 2 1 1 4 2 D E F r และ 2 2 2 2 4 2 D E F r 3. ควรใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์/วิศวกรรมศาสตร์/สถิติ ช่วยตรวจสอบความถูกต้องแม่นย า 4. จากสูตรที่ได้ควรเขียนเป็นโปรแกรมส าเร็จรูปเพื่อใช้ค านวณพื้นที่ผิวและปริมาตรของ frustum
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 111 การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยม ด้านเท่ามุมเท่า ที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 4 วง
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 112 โครงงานประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เรื่อง การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 4 วง คณะผู้ศึกษา ครูที่ปรึกษา นายอาหนึ่ง ชูไวย ปีการศึกษา 2566 บทคัดย่อ การศึกษาในครั้งนี้ มีจุดมุ่งหมายเพื่อศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดปลายตัด ตรง(surface area of pyramid frustum) ฐาน n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูป วงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 4 วง ที่มีระนาบขนานกัน ผลการศึกษาพบว่า 1. สูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลาย ตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 4 วง คือ B1 = 1 2 180 nr r sin n และ B2 = 3 4 180 nr r sin n 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 180 180 CSA n h r r r r r r r r r r ( ) 2 cos 2 cos n n 1. นางสาวกัญญาณัฐ สายศักดิ์ 2. นางสาวกัลยารัตน์ มณีวงศ์ 3. นางสาวณัฐชา โนติ๊บ
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 113 และ 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 180 180 180 TSA n r r r r n h r r r r r r r r r r sin ( ) 2 cos 2 cos n n n 2. สูตรการค านวณหาปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบ ในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 4 วง คือ 1 2 3 4 1 2 3 4 180 sin 3 nh V r r r r r r r r n ค าส าคัญ: พีระมิดปลายตัดตรง(pyramid frustum) วัตถุประสงค์ 1. เพื่อศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวของพีระมิดปลายตัดตรง(surface area of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน 2. เพื่อศึกษาสูตรการค านวณหาปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรง(volume of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน การด าเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เรื่อง การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด ปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 4 วง ใน ครั้งนี้ คณะผู้ศึกษาได้ผลการศึกษาแบ่งเป็น 2 ตอน ตามล าดับดังนี้ ตอนที่ 1 การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวรวม (TSA) ของพีระมิดปลายตัดตรง(surface area of pyramid frustum) ฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 4 วง ที่มีระนาบขนานกันจ านวน 2 คู่ ในรูปแบบกรวยปลายตัดตรง(frustum of cone) ซึ่งมีส่วนปลายและฐานต่าง เกิดจาก คู่วงกลม 2 วง ที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันแต่รัศมีขนาดต่างกันซ้อนกันอยู่ 1.1 การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่สามเหลี่ยมแฉกย่อยของรูป n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุม เท่าที่แนบในรูปวงกลมรัศมี 1 2 r r, และ 3 4 r r, ท าให้ได้สูตรการหาพื้นที่ B1 และ B2 1.2 การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวข้าง ( CSA ) ของพีระมิดปลายตัดตรง(curve surface area of pyramid frustum) ฐาน n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลม
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 114 รัศมีขนาดต่างกัน 4 วง ที่มีระนาบขนานกันจ านวน 2 คู่ ในรูปแบบกรวยปลายตัดตรง(frustum of cone) ซึ่งมี ส่วนปลายและฐานต่างเกิดจาก คู่วงกลม 2 วง ที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันแต่รัศมีขนาดต่างกันซ้อนกันอยู่ ตอนที่ 2 การศึกษาสูตรการค านวณหาปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรง(curve surface area of pyramid frustum) ฐาน n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 4 วง ที่มีระนาบขนานกันจ านวน 2 คู่ ในรูปแบบกรวยปลายตัดตรง(frustum of cone) ซึ่งมีส่วนปลายและฐานต่าง เกิดจาก คู่วงกลม 2 วง ที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันแต่รัศมีขนาดต่างกันซ้อนกันอยู่ ซึ่งแต่ละตอนมีรายละเอียดดังต่อไปนี้ ตอนที่ 1 การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวรวม (TSA) ของพีระมิดปลายตัดตรง(surface area of pyramid frustum) ฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาด ต่างกัน 4 วง ที่มีระนาบขนานกันจ านวน 2 คู่ ในรูปแบบกรวยปลายตัดตรง(frustum of cone) ซึ่งมีส่วน ปลายและฐานต่างเกิดจาก คู่วงกลม 2 วง ที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันแต่รัศมีขนาดต่างกันซ้อนกันอยู่ 2 2r 1 b 1e C1 C2 1 f 1r 2 4r 3 b 3 e C3 C4 2 f 3r ภาพที่ 80 แนวคิดการแบ่งมุม และรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วย่อย เพื่อสร้างรูป n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าของส่วนฐานและส่วนปลายตัดตรง ของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า (จากภาพที่ 7 ยกตัวอย่างแสดงด้วยรูปแปดแฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า) 1.1 การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่สามเหลี่ยมแฉกย่อยของรูป n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่ แนบในรูปวงกลมรัศมี 1 2 r r, และ 3 4 r r,
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 115 2 O X Z Y r r ภาพที่ 81 แนวคิดการหาพื้นที่ส่วนฐานและส่วนปลายตัดตรง ของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า (จากภาพที่ 8 ยกตัวอย่างแสดงด้วยรูปแปดแฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า) จากการศึกษาของกัญญาณัฐ สายศักดิ์ และคณะ, 2565 เรื่อง “การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด ปลายตัดตรงฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดตรงแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน”และภาพที่ 8 คณะผู้ศึกษาได้ด าเนินการ ดังนี้ 1. สร้างวงกลม 2 วงที่มีรัศมีขนาดต่างกัน โดยให้มีจุดศูนย์กลางร่วมกันที่จุด O 2. สร้าง XO และYO ท าให้เกิด XOY และ 360 , 3 n n 3. ที่จุด Z สร้าง ZO แบ่งครึ่ง 2 XOY และ 180 , 3 2 n n 4. ที่จุด X และ Z สร้าง XZ และที่จุดY และ Z สร้าง XZ ตามล าดับ การพิสูจน์ จะพิสูจน์ว่า XOZ YOZ ข้อความ เหตุผล 1.) XO YO 1.) ต่างมีขนาดเท่ากับความของรัศมีของวงกลมวงนอกสุด 2.) XOZ YOZ 2.) ZO แบ่งครึ่งXOY และ 180 , 3 2 n n 3.) ZO ZO 3.) ด้านร่วม 4.) XOZ YOZ 4.) จากข้อ 1.) – 3.) และเท่ากันทุกประการแบบ ด้าน-มุม-ด้าน
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 116 ซึ่งท าให้ได้ว่า 1.1.1 จ านวนรูปสามเหลี่ยมย่อยที่ประกอบกันเป็นรูป n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีจ านวน ทั้งหมด 2n รูป 2 R r f ภาพที่ 82 แนวคิดการหาค่า f ของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า (จากภาพที่ 9 ยกตัวอย่างแสดงด้วยรูปแปดแฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า) 1.1.2 จากภาพที่ 9 โดยกฎของโคไซน์ จะได้ว่า 2 f = 2 2 2 cos 2 R r Rr f = 2 2 2 cos 2 R r Rr f = 2 2 180 R r Rr 2 cos n 1 f = 2 2 1 2 1 2 180 r r r r 2 cos n --------------- (1) 2 f = 2 2 3 4 3 4 180 r r r r 2 cos n --------------- (2) 1.1.3 โดยกฎของไซน์ จะได้ว่าพื้นที่รูปสามเหลี่ยมย่อยที่ประกอบกันเป็นรูป n แฉกเหลี่ยมด้าน เท่ามุมเท่า A = 1 sin 2 2 Rr
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 117 A = 1 180 sin 2 Rr n --------------- (3) B2 B1 ภาพที่ 83 แสดงพื้นที่ผิวหน้าตัดตรงทั้งสองด้านของพีระมิดปลายตัดตรง ฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จาก 1.1.1 และ 1.1.3 จะได้ว่าพื้นที่รูป n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า(ฐานและปลายตัดตรง) B = 1 2 sin 2 2 n Rr = sin 2 nRr = 180 nRrsin n --------------- (4) ซึ่งท าให้ได้ว่า B1 = 1 2 180 nr r sin n --------------- (5) และ B2 = 3 4 180 nr r sin n --------------- (6)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 118 1.1.3 จากภาพที่ 9 โดยกฎของไซน์ จะได้ว่า sin 2 f = sin r sin = sin 2 r f = 1 sin 2 sin r f = 1 180 sin sin r n f = 1 180 sin sin r f n จาก 4 3 2 1 r r r r และ 2 4 1 3 r r r r และ (5), (6) ท าให้ได้ว่า 1 2 f f / / นั่นคือ 1 1 2 4 1 2 180 180 sin sin sin sin r r f n f n 1.2 การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวข้าง (CSA ) ของพีระมิดปลายตัดตรง(curve surface area of pyramid frustum) ฐาน n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาด ต่างกัน 4 วง ที่มีระนาบขนานกันจ านวน 2 คู่ ในรูปแบบกรวยปลายตัดตรง(frustum of cone) ซึ่งมีส่วน ปลายและฐานต่างเกิดจาก คู่วงกลม 2 วง ที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันแต่รัศมีขนาดต่างกันซ้อนกันอยู่
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 119 s 2 f 1 f h ภาพที่ 84 แนวคิดการหาพื้ที่ผิวข้างของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า(1) C3 C1 C2 C4 h h 4r 4r 2 4 r r s 4r 4r h h s 2 4 r r s 2 f 1 f ภาพที่ 85 แนวคิดการหาพื้ที่ผิวข้างของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉก n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า(2) จากภาพที่ 84 และภาพที่ 85 จะได้ว่า 2 s 2 2 2 4 h r r ( ) s 2 2 2 4 h r r ( ) ------------------------ (7)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 120 และ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู 1 2 1 2 s f f จากสมการที่ (11), (12) และ (16) พื้นที่ ผิวข้าง รูปสี่เหลี่ยม คางหมู 1 รูป 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 1 180 180 ( ) 2 cos 2 cos 2 h r r r r r r r r r r n n จากพีระมิดปลายตัดตรงฐาน n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาด ต่างกัน 4 วง ที่มีระนาบขนานกันจ านวน 2 คู่ ในรูปแบบกรวยปลายตัดตรง(frustum of cone) ซึ่งมีส่วนปลาย และฐานต่างเกิดจาก คู่วงกลม 2 วง ที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันแต่รัศมีขนาดต่างกันซ้อนกันอยู่ มีผิวข้างรูปี่เหลี่ยม คางหมูจ านวน 2 n รูป ท าให้ได้ว่า CSA 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 1 180 180 2 ( ) 2 cos 2 cos 2 n h r r r r r r r r r r n n 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 180 180 n h r r r r r r r r r r ( ) 2 cos 2 cos n n ------------------------ (8) ดังนั้น 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 180 180 CSA n h r r r r r r r r r r ( ) 2 cos 2 cos n n หรือ CSA ns f f 1 2 และจากTSA B B CSA 1 2 TSA 1 2 3 4 180 180 nr r nr r sin sin n n 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 180 180 n h r r r r r r r r r r ( ) 2 cos 2 cos n n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 121 1 2 3 4 180 n r r r r sin n 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 180 180 n h r r r r r r r r r r ( ) 2 cos 2 cos n n 1 2 3 4 180 n r r r r sin n 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 180 180 n h r r r r r r r r r r ( ) 2 cos 2 cos n n ดังนั้น 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 180 180 180 TSA n r r r r n h r r r r r r r r r r sin ( ) 2 cos 2 cos n n n ------------------------ (9) ตอนที่ 2 การศึกษาสูตรการค านวณหาปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรง(curve surface area of pyramid frustum) ฐาน n แฉกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาด ต่างกัน 4 วง ที่มีระนาบขนานกันจ านวน 2 คู่ ในรูปแบบกรวยปลายตัดตรง(frustum of cone) ซึ่งมีส่วน ปลายและฐานต่างเกิดจาก คู่วงกลม 2 วง ที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันแต่รัศมีขนาดต่างกันซ้อนกันอยู่ จากสมการที่ (1) V 1 2 1 2 3 h B B B B 1 2 3 4 1 2 3 4 180 180 180 180 sin sin sin sin 3 h nr r nr r nr r nr r n n n n 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 180 180 ( )sin sin 3 h n r r r r r r r r n n n 1 2 3 4 1 2 3 4 180 180 ( ) sin sin 3 h r r r r n r r r r n n n 1 2 3 4 1 2 3 4 180 sin 3 h r r r r r r r r n n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 122 V 1 2 3 4 1 2 3 4 180 sin 3 nh r r r r r r r r n ------------ (10) ตัวอย่าง จงค านวณหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรงฐานแฉกหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและ ปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกันสี่วง ที่มีระนาบขนานกันจ านวนสองคู่ โดยมีความสูง 2 หน่วย และมี ฐานรัศมียาว 10 หน่วย และ 8 หน่วย และปลายตัดแนบในวงกลมรัศมียาว 5 หน่วย และ 4 หน่วย ตามล าดับ วิธีท า ภาพที่ 86 ภาพจ าลองจากโจทย์ โดยอาศัยสูตรจากการด าเนินการศึกษา จะได้ 1. การค านวณหาพื้นที่ผิวข้าง จาก 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 2 3 4 3 4 180 180 CSA n h r r r r r r r r r r ( ) 2 cos 2 cos n n แทนค่า 2 2 2 2 2 2 180 180 6 2 (8 4) 10 8 2 10 8 cos 5 4 2 5 4 cos 6 6 CSA 2 2 2 2 2 2 6 2 4 10 8 2 10 8 cos30 5 4 2 5 4 cos30 3 3 6 4 16 100 64 160 25 16 40 2 2 6 20 164 80 3 41 20 3 n 1 r 2 r 3 r 4 r h 180 2 n 6 10 8 5 4 2 180 30 6
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 123 12 5 164 80 3 41 20 3 202.99ตารางหน่วย 2. การค านวณหาพื้นที่ผิวรวม จาก TSA CSA B B 1 2 แทนค่า 1 2 3 4 180 TSA n r r r r 202.99 sin n 180 202.99 6sin 10 8 5 4 6 202.99 6sin 30 80 20 1 202.99 6 100 2 202.99 3 100 202.99 300 502.99 ตารางหน่วย 3. การค านวณหาปริมาตร จากสูตร 1 2 3 4 1 2 3 4 180 sin 3 nh V r r r r r r r r n แทนค่า 6 2 180 10 8 5 4 10 8 5 4 sin 3 6 V 4 80 20 1600 sin 30 1 4 100 40 2 2 140 280ลูกบาศก์หน่วย
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 124 ข้อเสนอแนะจากการด าเนินการศึกษาในครั้งนี้และครั้งต่อไป 1. ควรศึกษาการหาพื้นที่ในสมการรูปแบบอื่นๆ 2. ควรศึกษาการหาพื้นที่ในสมการวงกลม 4 วงที่มีระนาบขนานกัน บนสมการรูปทั่วไปที่มี 2 2 1 1 C x y Dx Ey F 0และ 2 2 2 2 C x y Dx Ey F 0 2 2 3 3 C x y Dx Ey F 0 และ 2 2 4 4 C x y Dx Ey F 0 ซึ่งมี 2 2 1 1 4 2 D E F r และ 2 2 2 2 4 2 D E F r 2 2 3 3 4 2 D E F r และ 2 2 4 4 4 2 D E F r 3. ควรใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์/วิศวกรรมศาสตร์/สถิติ ช่วยตรวจสอบความถูกต้องแม่นย า 4. จากสูตรที่ได้ควรเขียนเป็นโปรแกรมส าเร็จรูปเพื่อใช้ค านวณพื้นที่ผิวและปริมาตรของ frustum
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภท การสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย ระดับมัธยมศึกษา