ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 48 จากการด าเนินการศึกษาโครงงานจบหลักสูตรระดับมัธยมศึกษาตอนต้น เรื่อง คณิตศาสตร์กับปริศนากล การลงยันต์ล้านนา 16 ค า คณะผู้ศึกษาได้แบ่งผลการศึกษาออกเป็น 4 ตอน ได้แก่ ตอนที่ 1 การศึกษารูปแบบกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า ตอนที่ 2 การศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของต าแหน่งที่ของค าในคาถาจากกลการลง เรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า ตอนที่ 3 ตัวอย่างการลงยันต์ตามกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า ตอนที่ 4 การจ าลองการลงยันต์ล้านนาตามกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า ซึ่งแต่ละตอนมีรายละเอียดการศึกษาดังนี้ ตอนที่ 1 การศึกษารูปแบบกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า แบบที่ 1 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 ภาพที่ 13 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 แบบที่ 2 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า 1 7 11 5 4 14 2 16 8 10 6 12 13 3 15 9 ภาพที่ 14 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 2
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 49 แบบที่ 3 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า 1 15 7 13 4 10 2 12 16 6 14 8 9 3 11 5 ภาพที่ 15 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 3 แบบที่ 4 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า 1 11 15 9 4 6 2 8 12 14 10 16 5 3 7 13 ภาพที่ 16 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 4 แบบที่ 5 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ภาพที่ 17 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 5
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 50 ตอนที่ 2 การศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของต าแหน่งที่ของค าในคาถาจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนา แบบ 16 ค าแบบที่ 1 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) จากตอนที่ 1 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) ซึ่งได้ดังภาพที่ 2 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 ภาพที่ 18 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 แนวกลการลงเรือนยันต์ของค าที่ 1 แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 ภาพที่ 19 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 ของต าแหน่งคาถาค าที่ 1 แนวกลการลงเรือนยันต์ของค าที่ 2 แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 ภาพที่ 20 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 ของต าแหน่งคาถาค าที่ 2
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 51 แนวกลการลงเรือนยันต์ของค าที่ 3 แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 ภาพที่ 21 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1ของต าแหน่งคาถาค าที่ 3 แนวกลการลงเรือนยันต์ของค าที่ 4 แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 ภาพที่ 22 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 ของต าแหน่งคาถาค าที่ 4 ผลบวกของต าแหน่งที่ของค าในคาถาตามแนวนอนและแนวตั้งของแนวกลการลงเรือนยันต์ แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) 10 10 10 10 1 2 3 4 10 2 3 4 1 10 3 4 1 2 10 4 1 2 3 10 ภาพที่ 23 ผลบวกของต าแหน่งที่ของค าในคาถาตามแนวนอนและ แนวตั้งของแนวกลการลงเรือนยันต์ แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 52 แบบที่ 2 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า จากตอนที่ 1 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 2 ซึ่งได้ดังภาพที่ 3 1 7 11 5 4 14 2 16 8 10 6 12 13 3 15 9 ภาพที่ 24 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 2 จะพบว่าผลบวกของค่าต าแหน่งที่ของค าในคาถาของกลการลงยันต์ในเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า แบบที่ 2ตาม แนวทแยงมุมได้ผลการศึกษาดังภาพที่ 25 และภาพที่ 26 30 1 7 11 5 4 14 2 16 8 10 6 12 13 3 15 9 ภาพที่ 25 ผลบวกของค่าต าแหน่งที่ของค าในคาถาของกลการลงยันต์ในเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า แบบที่ 2 ตามแนวทแยงมุม
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 53 30 1 7 11 5 4 14 2 16 8 10 6 12 13 3 15 9 ภาพที่ 26 ผลบวกของค่าต าแหน่งที่ของค าในคาถาของกลการลงยันต์ในเรือนยันต์ล้านนา แบบ 16 ค า แบบที่ 2 ตามแนวทแยงมุม แบบที่ 3 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า จากตอนที่ 1 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 3 ซึ่งได้ดังภาพที่ 4 1 15 7 13 4 10 2 12 16 6 14 8 9 3 11 5 ภาพที่ 27 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 3
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 54 จะพบว่าผลบวกของค่าต าแหน่งที่ของค าในคาถาของกลการลงยันต์ในเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า แบบที่ 3 ตาม แนวทแยงมุมได้ผลการศึกษาดังภาพที่ 28 และภาพที่ 29 30 1 15 7 13 4 10 2 12 16 6 14 8 9 3 11 5 ภาพที่ 28 ผลบวกของค่าต าแหน่งที่ของค าในคาถาของกลการลงยันต์ในเรือนยันต์ล้านนา แบบ 16 ค า แบบที่ 3 ตามแนวทแยงมุม 30 1 15 7 13 4 10 2 12 16 6 14 8 9 3 11 5 ภาพที่ 29 ผลบวกของค่าต าแหน่งที่ของค าในคาถาของกลการลงยันต์ในเรือนยันต์ล้านนา แบบ 16 ค า แบบที่ 3 ตามแนวทแยงมุม
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 55 แบบที่ 4 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า จากตอนที่ 1 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 4 ซึ่งได้ดังภาพที่ 5 1 11 15 9 4 6 2 8 12 14 10 16 5 3 7 13 ภาพที่ 30 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 4 จะพบว่าผลบวกของค่าต าแหน่งที่ของค าในคาถาของกลการลงยันต์ในเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า แบบที่ 4ตาม แนวทแยงมุมได้ผลการศึกษาดังภาพที่ 31 และภาพที่ 32 30 1 11 15 9 4 6 2 8 12 14 10 16 5 3 7 13 ภาพที่ 31 ผลบวกของค่าต าแหน่งที่ของค าในคาถาของกลการลงยันต์ในเรือนยันต์ล้านนา แบบ 16 ค า แบบที่ 4 ตามแนวทแยงมุม
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 56 30 1 11 15 9 4 6 2 8 12 14 10 16 5 3 7 13 ภาพที่ 32 ผลบวกของค่าต าแหน่งที่ของค าในคาถาของกลการลงยันต์ในเรือนยันต์ล้านนา แบบ 16 ค า แบบที่ 4 ตามแนวทแยงมุม แบบที่ 5 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า จากตอนที่ 1 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 5 ซึ่งได้ดังภาพที่ 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ภาพที่ 33 แนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 5 จะพบว่าผลบวกของค่าต าแหน่งที่ของค าในคาถาของกลการลงยันต์ในเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า แบบที่ 5ตาม แนวทแยงมุมได้ผลการศึกษาดังภาพที่ 34 และภาพที่ 35 1 2 3 4 ผลบวกตามแนว R1=10 5 6 7 8 ผลบวกตามแนว R2=26 9 10 11 12 ผลบวกตามแนว R3=42 13 14 15 16 ผลบวกตามแนว R4=58 ภาพที่ 34 ผลบวกของค่าต าแหน่งที่ตามแถว(Row: Rn) ของแนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า แบบที่ 5
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 57 ตอนที่ 3 ตัวอย่างการลงยันต์ตามกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 16 ค า แบบที่ 1 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) ตัวอย่างการลงยันต์ตามกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 น ชา ลิ ติ ชา ลิ ติ น ลิ ติ น ชา ติ น ชา ลิ ภาพที่ 35 ตัวอย่างการลงยันต์ตามแนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 (คาถา “นะ ชา ลิ ติ”) นะ ชา ลิ ติ ชา ลิ ติ นะ ลิ ติ นะ ชา ติ นะ ชา ลิ ภาพที่ 36 ตัวอย่างการลงยันต์ตามแนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 (แปล : คาถา “นะ ชา ลิ ติ”) แบบที่ 2 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า ตัวอย่างการลงยันต์ตามกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 2 น ติ น ชา ติ น ชา ลิ น ติ ลิ ชา ติ ลิ ชา ลิ ภาพที่ 37 ตัวอย่างการลงยันต์ตามแนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 (คาถา “นะ ชา ลิ ติ”)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 58 นะ ติ นะ ชา ติ นะ ชา ลิ นะ ติ ลิ ชา ติ ลิ ชา ลิ ภาพที่ 38 ตัวอย่างการลงยันต์ตามแนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 (แปล : คาถา “นะ ชา ลิ ติ”) แบบที่ 3 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า ตัวอย่างการลงยันต์ตามกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 3 น ชา ติ ติ ติ ติ ชา ชา ลิ ลิ น น ลิ ลิ น ชา ภาพที่ 39 ตัวอย่างการลงยันต์ตามแนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 (คาถา “นะ ชา ลิ ติ”) นะ ชา ชา ติ ติ ติ ชา ติ ลิ ลิ นะ นะ ลิ ลิ นะ ชา ภาพที่ 40 ตัวอย่างการลงยันต์ตามแนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 (แปล : คาถา “นะ ชา ลิ ติ”)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 59 แบบที่ 4 กลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า ตัวอย่างการลงยันต์ตามกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 4 น น น ลิ ติ ลิ ชา ชา ชา น ติ ติ ชา ลิ ลิ ติ ภาพที่ 41 ตัวอย่างการลงยันต์ตามแนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 (คาถา “นะ ชา ลิ ติ”) นะ นะ นะ ลิ ติ ลิ ชา ชา ชา นะ ติ ติ ชา ลิ ลิ ติ ภาพที่ 42 ตัวอย่างการลงยันต์ตามแนวกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า (สลับที่จากคาถา 4 ค า) แบบที่ 1 (แปล : คาถา “นะ ชา ลิ ติ”) ตัวอย่างยันต์ล้านนาที่มีการลงอักขระหรือตัวเลขตามกลการลงเรือนยันต์แบบ 16 ค า ภาพที่ 43 ยันต์ประกอบยันต์ม้าเสพนาง(1) ภาพที่ 44 ยันต์ประกอบยันต์ม้าเสพนาง(2)
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 60 ภาพที่ 45 ยันต์ประกอบยันต์ม้าเสพนาง(3) ภาพที่ 46 ยันต์หลังเหรียญพระเครื่องล้านนา(1) ภาพที่ 47 ยันต์สยบของขึ้น ภาพที่ 48 ยันต์ลงหนังกลอง ภาพที่ 49 ยันต์มหานิยมบทปิโย ภาพที่ 50 ยันต์พญาไก่เผือก “เวทาสากุ” ภาพที่ 51 ยันต์ชนะข้าศึกศัตรู
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 61 ภาพที่ 52 ยันต์รุ่งเรืองข้าวของ ภาพที่ 53 ยันต์ข่าม คงกระพัน ภาพที่ 54 ยันต์ข่าม คงกระพัน ภาพที่ 55 ยันต์ข่าม คงกระพัน ภาพที่ 56 ยันต์ข่าม คงกระพัน ภาพที่ 57 ยันต์ข่าม คงกระพัน
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 62 ภาพที่ 58 ยันต์ข่าม คงกระพัน ภาพที่ 59 ยันต์ข่าม คงกระพัน ข้อเสนอแนะส าหรับการน าไปใช้ 1. ควรศึกษาการลงยันต์แบบอื่นบ้าง
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 63 ปริซึมและพีระมิดฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่แนบในวงกลม 2 2 x y Ax By C 0
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 64 โครงงานประเภทการสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง ปริซึมและพีระมิดฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่แนบในวงกลม 2 2 x y Ax By C 0 คณะผู้ศึกษา ครูที่ปรึกษา นายอาหนึ่ง ชูไวย ปีการศึกษา 2560 - 2562 บทคัดย่อ การศึกษาในครั้งนี้ มีจุดมุ่งหมายเพื่อศึกษาสูตรการหาพื้นที่และความยาวรอบรูปของรูป n เหลี่ยมด้าน เท่ามุมเท่า เพื่อหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของปริซึมและพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ดังกล่าว โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ผลการศึกษา พบว่า พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีค่าเท่ากับ 1 360 2 2 4 sin 8 n A B C n ความยาวรอบรูปของ รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ามีค่าเท่ากับ 2 2 180 n A B C4 sin n หน่วย ปริมาตรของปริซึมมีค่าเท่ากับ 1 360 2 2 4 sin 8 nH A B C n พื้นที่ผิวข้างของปริซึมมีค่าเป็น 2 2 180 nH A B C4 sin n ปริมาตร ของพีระมิดมีค่าเป็น 1 360 2 2 4 sin 24 nH A B C n พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมมีค่าเป็น 1 360 180 2 2 2 2 4 sin 4 sin 4 n A B C nH A B C n n พื้นที่ ผิวข้างของพีระมิดมีค่าเป็น 1 180 1 180 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 cos 2 4 n A B C A B C H n n พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิด มีค่าเท่ากับ 1 360 2 2 4 sin 8 n A B C n 1 180 1 180 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 cos 2 4 n A B C A B C H n n 1. นายธนบูลย์ พันธ์วิไล 2. นายชิตวัน บุญประเสริฐ 3. นายฐาปกรณ์ กาทองทุ่ง
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 65 วัตถุประสงค์ 1. เพื่อศึกษาสูตรการหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 2. เพื่อหาความยาวรอบรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบ ทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 3. เพื่อหาปริมาตรของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มี สมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 4. เพื่อหาพื้นที่ผิวของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มี สมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 5. เพื่อหาปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มี สมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 6. เพื่อหาพื้นที่ผิวของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มี สมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 นิยามศัพท์เฉพาะและสัญลักษณ์ที่ใช้ในการศึกษา วงกลม หมายถึง วงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ปริซึม หมายถึง ปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบใน วงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 พีระมิด หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบใน วงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ปริมาตรของปริซึม หมายถึง ปริมาตรของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ปริมาตรของพีระมิด หมายถึง ปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 พื้นที่ผิวของปริซึม หมายถึง พื้นที่ผิวของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 พื้นที่ผิวของพีระมิด หมายถึง พื้นที่ผิวของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 66 n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 การด าเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง ปริซึมและพีระมิดฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุม เท่าที่แนบในวงกลม 2 2 x y Ax By C 0 ในครั้งนี้ คณะผู้ศึกษาได้ผลการศึกษาแบ่งเป็น 6 ตอน ตามล าดับดังนี้ ตอนที่ 1. การศึกษาสูตรการหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ตอนที่ 2. การศึกษาหาความยาวรอบรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ตอนที่ 3. การศึกษาหาปริมาตรของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลม ที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ตอนที่ 4. การศึกษาหาพื้นที่ผิวของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่ มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ตอนที่ 5. การศึกษาหาปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบใน วงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ตอนที่ 6. การศึกษาหาพื้นที่ผิวของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลม ที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ซึ่งแต่ละตอนมีรายละเอียดดังต่อไปนี้ ตอนที่ 1. การศึกษาสูตรการหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ภาพที่ 60 แนวคิดการแบ่งมุม และรูปสามเหลี่ยมย่อย
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 67 ภาพที่ 61 แนวคิดเชิงเรขาคณิตของรูปสามเหลี่ยมย่อย จาก 360 n และ 360 360 180 2 2 2 n n n และ 360 180 360 180 180 360 180 2 90 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n ซึ่งจะได้แต่ละมุมของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 มีค่าเท่ากับ 90 2 180 2 2 2 n n n n และจาก h r = cos 2 h = r cos 2 = 1 180 2 2 4 cos 2 A B C n และ 2 l r = sin 2 2 l = r sin 2 l = 2 r sin 2 l = 1 180 2 2 2 4 sin 2 A B C n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 68 l = 2 2 180 A B C4 sin n พื้นที่สามเหลี่ยมหน้าจั่วย่อย Area ย่อย = 1 2 hl = 1 2 2 2 l h = 1 cos 2 sin 2 2 2 r r = 2 cos sin 2 2 r = 2 sin cos 2 2 r = 2 2 sin cos 2 2 2 r = 1 180 180 2 2sin cos 2 r n n จาก 180 180 180 sin 2 2sin cos n n n จะได้ = 1 180 2 sin 2 2 r n = 1 360 2 sin 2 r n = 2 1 1 360 2 2 4 sin 2 2 A B C n = 1 1 360 2 2 4 sin 2 4 A B C n = 1 360 2 2 4 sin 8 A B C n จ า กรูป n เห ลี่ ย ม ด้ านเท่ า มุ มเท่ าโ ด ยที่ n 3 ที่ แนบใน วง ก ลมที่ มี ส มก า ร รูป แบบทั่ วไป เป็ น 2 2 x y Ax By C 0 ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จ านวน n รูป
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 69 ดังนั้น Area = 1 360 2 2 4 sin 8 n A B C n ตอนที่ 2. การศึกษาหาความยาวรอบรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ความยาวรอบรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ความยาวรอบรูป = nl = 2 2 180 n A B C4 sin n ตอนที่ 3. การศึกษาหาปริมาตรของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบใน วงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ภาพที่ 62 ปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไป เป็น 2 2 x y Ax By C 0 เมื่อ H แทน ความสูงที่ก าหนดให้ใดๆ Vprism = B H base = 1 360 2 2 4 sin 8 n A B C H n Vprism = 1 360 2 2 4 sin 8 nH A B C n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 70 ตอนที่ 4. การศึกษาหาพื้นที่ผิวของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบใน วงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 4.1 การศึกษาหาพื้นที่ผิวข้างของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบ ในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 พื้นที่ผิวข้างของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มี สมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 เมื่อ H แทน ความสูงที่ก าหนดให้ใดๆ 4.2 การศึกษาหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบใน วงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบใน วงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 เมื่อ H แทน ความสูงที่ก าหนดให้ใดๆ ตอนที่ 5. Aprism L = nlH = 2 2 180 n A B C H 4 sin n = 2 2 180 nH A B C4 sin n Aprism All = พื้นที่หน้าตัด 2 ด้าน + พื้นที่ผิวข้าง = 1 360 180 2 2 2 2 2 4 sin 4 sin 8 n A B C nH A B C n n = 1 360 180 2 2 2 2 4 sin 4 sin 4 n A B C nH A B C n n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 71 การศึกษาหาปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มี สมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ภาพที่ 63 พีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไป เป็น 2 2 x y Ax By C 0 ตอนที่ 6. การศึกษาหาพื้นที่ผิวของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบใน วงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ภาพที่ 64 ส่วนหนึ่งของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 Vpyramid = 1 3 B H base = 1 1 360 2 2 4 sin 3 8 n A B C H n Vpyramid = 1 360 2 2 4 sin 24 nH A B C n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 72 จาก 2 L = 2 2 h H = 2 180 2 r H cos n = 2 2 2 180 r cos H n = 2 1 180 2 2 2 2 4 cos 2 A B C H n = 1 180 2 2 2 2 4 cos 4 A B C H n L = 1 180 2 2 2 2 4 cos 4 A B C H n พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 1 360 2 2 4 sin 8 n A B C n 1 180 1 180 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 cos 2 4 n A B C A B C H n n พื้นที่สามเหลี่ยมย่อยผิวข้าง = 1 2 lL = 1 180 1 180 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 cos 2 4 A B C A B C H n n พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 1 180 1 180 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 cos 2 4 n A B C A B C H n n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 73 ผลการศึกษา 1. สูตรการหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไป เป็น 2 2 x y Ax By C 0 คือ Area = 1 360 2 2 4 sin 8 n A B C n ตารางหน่วย 2. ความยาวรอบรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 คือ ความยาวรอบรูป = 2 2 180 n A B C4 sin n หน่วย 3. ปริมาตรของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 คือ 4. พื้นที่ผิวของปริซึมที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 4.1 พื้นที่ผิวข้างของปริซึม คือ 4.2 พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม คือ Vprism = 1 360 2 2 4 sin 8 nH A B C n Aprism L = 2 2 180 nH A B C4 sin n Aprism All = 1 360 180 2 2 2 2 4 sin 4 sin 4 n A B C nH A B C n n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 74 5. ปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 คือ 6. พื้นที่ผิวของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบ ทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 6.1 พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด คือ 6.2 พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิด คือ 1 360 1 180 1 180 2 2 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 sin 4 cos 8 2 4 n A B C n A B C A B C H n n n ข้อเสนอแนะจากการด าเนินการศึกษาในครั้งนี้และครั้งต่อไป 1. ควรศึกษาการหาพื้นที่ในสมการรูปแบบอื่นๆ 2. ควรใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์/วิศวกรรมศาสตร์/สถิติ ช่วยตรวจสอบความถูกต้องแม่นย า ของสูตร Vpyramid = 1 360 2 2 4 sin 24 nH A B C n พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 1 180 1 180 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 cos 2 4 n A B C A B C H n n
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 75 จัตุรัสมหัสจรรย์จากเรือนยันต์ล้านนา
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 76 โครงงานประเภทการสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง จัตุรัสมหัสจรรย์จากเรือนยันต์ล้านนา คณะผู้ศึกษา ครูที่ปรึกษา นายอาหนึ่ง ชูไวย ปีการศึกษา 2560 บทคัดย่อ การศึกษาในครั้งนี้ มีจุดมุ่งหมายเพื่อศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของการวางต าแหน่งของตัวเลขเรียงกัน ตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจ านวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด n n ช่อง โดยอาศัยหลักการสังเกตจาก กลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 5 ช่อง และศึกษาสมบัติเชิงพีชณิตและแบบแบบรูป เชิงเรขาคณิตของต าแหน่งของแต่ละจ านวน ผลการศึกษาพบว่า สามารถวางต าแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจ านวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด n n ช่อง ได้เสมอ ซึ่งพบว่า n m 4 3 และ 2 3 4 n m ผลบวกและผลคูณของตัวเลขบางแนวจะมีค่าเป็นค่าคงที่เท่ากันเสมอ และสามารถสลับต าแหน่งของ ตัวเลขในแต่ละต าแหน่งได้ จุดประสงค์ของการศึกษา 1. เพื่อศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของการวางต าแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็น จ านวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด n n ช่อง โดยอาศัยหลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 5 ช่อง 2. เพื่อศึกษาสมบัติเชิงพีชณิตและแบบแบบรูปเชิงเรขาคณิตของต าแหน่งของแต่ละจ านวนจากการวาง ต าแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจ านวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด n n ช่อง โดย อาศัยหลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 5 ช่อง 1. นายนนท์ปวิธ ถิ่นมุกดา 2. นายเอกรินทร์ อิ่นค า 3. นายทิวากร ศรีโม
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 77 นิยามศัพท์เฉพาะและสัญลักษณ์ที่ใช้ในการศึกษา ยันต์ หมายถึง ตารางหรือลายเส้นเป็นตัวเลข อักขระหรือรูปภาพที่เขียน สักหรือแกะสลักลงบน แผ่นผ้า ผิวหนังไม้โลหะ ขนาดตารางจัตุรัสขนาด n n ที่ n ในที่นี้จะเริ่มศึกษายันต์รอดทั้ง 7 ขนาด 5x5 จ านวน 25 ช่อง และศึกษาการลง แบบจตุรภัทร จากมุมทั้ง 4 ของเรือนยันต์ด้วยการลงแบบเวียนขวา หรือเวียนซ้าย เรือนยันต์ หมายถึง ตารางส าหรับลงยันต์ ตาราง หมายถึง ตารางขนาด n n ช่อง ที่ใช้ศึกษาศึกษารูปแบบความสัมพันธ์ของการวาง ต าแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m n, เป็นจ านวนเต็มคี่บวก 1. กลการลงยันต์รอดทั้ง 7 รูปแบบกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 x 5 จากการศึกษายันต์โทนล้านนา แบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 x 5 ดังภาพที่ 2 (ยันต์รอดทั้ง 7) ส ส ว ส ส ส ส ว ส ส 1 4 3 6 1 ส ท ห ท ส ส ท ห ท ส 6 5 2 5 4 ว ห น ห ว ว ห น ห ว 3 2 7 2 3 ส ท ห ท ส ส ท ห ท ส 4 5 2 5 6 ส ส ว ส ส ส ส ว ส ส 1 6 3 4 1 ภาพที่ 65 ยันต์รอดทั้งเจ็ด สามารถถอดกลการลงยันต์แบบม้าข้ามค่ายวนขวาตามล าดับตัวเลขต าแหน่งที่ของการลงยันต์ได้ดังนี้ 1 6 1 6 2 5 7 3 7 2 5 4 4 3
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 78 4 3 5 4 3 7 2 7 2 6 5 1 1 6 ภาพที่ 66 กลการลงยันต์รอดทั้ง 7 ในตารางขนาด 5 x 5 ฉบับแยกมุมทั้งสี่ จากภาพที่ 66 พบว่า กลการลงยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 นี้ ต้องลงซ้ าทีละมุม มุมละ 7 ต าแหน่ง จนครบทั้งสี่มุม และแต่ละต าแหน่งไม่ซ้ ากันยกเว้นต าแหน่งที่ 7 ซึ่งอยู่ต าแหน่งตรงกลางของตารางพอดี จะซ้ ากันเสมอ รูปแบบความสัมพันธ์ของต าแหน่งที่ของค าในคาถาจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตาราง ขนาด 5 x 5 จากกลการลงยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 x 5 ดังภาพที่ 4 ซึ่งสามารถเขียนรวมได้ ดังนี้ 1 4 3 6 1 6 5 2 5 4 3 2 7 2 3 4 5 2 5 6 1 6 3 4 1 ภาพที่ 67 กลการลงยันต์รอดทั้งเจ็ดแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 x 5 ฉบับสมบูรณ์ จากภาพที่ 67 พบว่า ต าแหน่งที่ขอการลงยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 x 5 มีความสัมพันธ์กันดัง ภาพที่ 5 ต่อไปนี้ 1 4 3 6 1 1 4 3 6 1 1 4 3 6 1 6 5 2 5 4 6 5 2 5 4 6 5 2 5 4 3 2 7 2 3 3 2 7 2 3 3 2 7 2 3 4 5 2 5 6 4 5 2 5 6 4 5 2 5 6 1 6 3 4 1 1 6 3 4 1 1 6 3 4 1
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 79 1 4 3 6 1 1 4 3 6 1 1 4 3 6 1 6 5 2 5 4 6 5 2 5 4 6 5 2 5 4 3 2 7 2 3 3 2 7 2 3 3 2 7 2 3 4 5 2 5 6 4 5 2 5 6 4 5 2 5 6 1 6 3 4 1 1 6 3 4 1 1 6 3 4 1 1 4 3 6 1 6 5 2 5 4 3 2 7 2 3 4 5 2 5 6 1 6 3 4 1 ภาพที่ 68 ความสัมพันธ์ของต าแหน่งที่ของกลการลงยันต์รอดทั้งเจ็ดแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 x 5 จากภาพที่ 67 และ 68 ถ้าให้ k เป็นจ านวนเต็มใดๆ พบว่า 1. ผลบวกของตัวเลขตามแนวทึบสีจะมีค่าเป็นค่าคงที่เท่ากันเสมอ 1 4 3 6 1 1+k 4+k 3+k 6+k 1+k 6 5 2 5 4 6+k 5 2 5 4+k 3 2 7 2 3 3+k 2 7 2 3+k 4 5 2 5 6 4+k 5 2 5 6+k 1 6 3 4 1 1+k 6+k 3+k 4+k 1+k
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 80 1 4 3 6 1 1 4 3 6 1 6 5 2 5 4 6 5+k 2+k 5+k 4 3 2 7 2 3 3 2+k 7 2+k 3 4 5 2 5 6 4 5+k 2+k 5+k 6 1 6 3 4 1 1 6 3 4 1 1 4 3 6 1 1 4+k 3 6+k 1 6 5 2 5 4 6+k 5+k 2+k 5+k 4+k 3 2 7 2 3 3 2+k 7 2+k 3 4 5 2 5 6 4+k 5+k 2+k 5+k 6+k 1 6 3 4 1 1 6+k 3 4+k 1 1 4 3 6 1 1 4 3+k 6 1 6 5 2 5 4 6 5 2+k 5 4 3 2 7 2 3 3+k 2+k 7+k 2+k 3+k 4 5 2 5 6 4 5 2+k 5 6 1 6 3 4 1 1 6 3+k 4 1
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 81 1 4 3 6 1 1 4 3 6 1 6 5 2 5 4 6 5 2+k 5 4 3 2 7 2 3 3 2+k 7+k 2+k 3 4 5 2 5 6 4 5 2+k 5 6 1 6 3 4 1 1 6 3 4 1 1 4 3 6 1 1+k 4 3 6 1+k 6 5 2 5 4 6 5+k 2 5+k 4 3 2 7 2 3 3 2 7+k 2 3 4 5 2 5 6 4 5+k 2 5+k 6 1 6 3 4 1 1+k 6 3 4 1+k 1 4 3 6 1 1 4 3 6 1 6 5 2 5 4 6 5+k 2 5+k 4 3 2 7 2 3 3 2 7+k 2 3 4 5 2 5 6 4 5+k 2 5+k 6 1 6 3 4 1 1 6 3 4 1 ภาพที่ 69 ความสัมพันธ์ของผลบวกของต าแหน่งที่ของกลการลงยันต์รอดทั้งเจ็ดแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 82 2. ผลคูณของตัวเลขตามแนวเส้นประจะมีค่าเป็นค่าคงที่เท่ากันเสมอ 1 4 3 6 1 1k 4k 3k 6k 1k 6 5 2 5 4 6k 5 2 5 4k 3 2 7 2 3 3k 2 7 2 3k 4 5 2 5 6 4k 5 2 5 6k 1 6 3 4 1 1k 6k 3k 4k 1k 1 4 3 6 1 1 4 3 6 1 6 5 2 5 4 6 5k 2k 5k 4 3 2 7 2 3 3 2k 7 2k 3 4 5 2 5 6 4 5k 2k 5k 6 1 6 3 4 1 1 6 3 4 1 1 4 3 6 1 1 4k 3 6k 1 6 5 2 5 4 6k 5k 2k 5k 4k 3 2 7 2 3 3 2k 7 2k 3 4 5 2 5 6 4k 5k 2k 5k 6k 1 6 3 4 1 1 6k 3 4k 1
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 83 1 4 3 6 1 1 4 3k 6 1 6 5 2 5 4 6 5 2k 5 4 3 2 7 2 3 3k 2k 7k 2k 3k 4 5 2 5 6 4 5 2k 5 6 1 6 3 4 1 1 6 3k 4 1 1 4 3 6 1 1 4 3 6 1 6 5 2 5 4 6 5 2k 5 4 3 2 7 2 3 3 2k 7k 2k 3 4 5 2 5 6 4 5 2k 5 6 1 6 3 4 1 1 6 3 4 1 1 4 3 6 1 1k 4 3 6 1k 6 5 2 5 4 6 5k 2 5k 4 3 2 7 2 3 3 2 7k 2 3 4 5 2 5 6 4 5k 2 5k 6 1 6 3 4 1 1k 6 3 4 1k
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 84 1 4 3 6 1 1 4 3 6 1 6 5 2 5 4 6 5k 2 5k 4 3 2 7 2 3 3 2 7k 2 3 4 5 2 5 6 4 5k 2 5k 6 1 6 3 4 1 1 6 3 4 1 ภาพที่ 70 ความสัมพันธ์ของผลคูณของต าแหน่งที่ของกลการลงยันต์รอดทั้งเจ็ดแบบ 7 พยางค์ในตาราง ขนาด 5 x 5 3. สามารถสลับต าแหน่งตัวเลข 1-7 ตามกลการลงยันต์ได้ และมีสมบัติตามข้อ 1. และ 2. 2 5 4 7 2 3 6 5 1 3 4 7 6 2 4 7 6 3 6 5 1 7 4 7 6 2 1 5 1 7 4 3 1 3 4 5 4 2 4 5 6 5 3 5 6 5 6 3 6 7 6 7 4 7 1 7 1 5 1 2 2 7 4 5 2 3 1 5 6 3 4 2 6 7 4 5 1 7 3 5 6 2 1 4 6 7 3 2 5 7 3 2 6 2 1 4 3 7 3 2 5 4 1 4 3 7 6 4 6 7 1 7 5 7 1 2 1 6 1 2 1 2 6 2 3 2 3 7 3 4 3 4 1 4 5 5 3 7 1 5 6 4 1 2 6 7 5 2 3 7 ภาพที่ 71 ความสัมพันธ์ของการสลับต าแหน่งที่ของกลการลงยันต์รอดทั้งเจ็ด แบบ 7 พยางค์ในตาราง ขนาด 5 x 5
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 85 จากผลการด าเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง จัตุรัสมหัศจรรย์กับเรือน ยันต์ล้านนา ในครั้งนี้ คณะผู้ศึกษาได้ผลการศึกษาแบ่งเป็น 2 ตอน ตามล าดับดังนี้ ตอนที่ 1 รูปแบบความสัมพันธ์ของการวางต าแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็น จ านวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด n n ช่อง โดยอาศัยหลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 5 ช่อง ตอนที่ 2 สมบัติเชิงพีชณิตและแบบแบบรูปเชิงเรขาคณิตของต าแหน่งของแต่ละจ านวนจากการวาง ต าแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจ านวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด n n ช่อง โดย อาศัยหลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 5 ช่อง ซึ่งแต่ละตอนมีรายละเอียดดังต่อไปนี้ ตอนที่ 1 รูปแบบความสัมพันธ์ของการวางต าแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจ านวน เต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด n n ช่อง โดยอาศัยหลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 5 ช่อง จากการศึกษายันต์โทนล้านนา แบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 x 5 ดังภาพที่ 3 (ยันต์รอดทั้งเจ็ด) สามารถถอดกลการลงยันต์แบบม้าข้ามค่ายวนขวาตามล าดับตัวเลขต าแหน่งที่ของการลงยันต์ได้ดังนี้ 7-2(3) 4 3 6 7-2(3) 6 7-2(1) 2 7-2(1) 4 3 2 7 2 3 4 7-2(1) 2 7-2(1) 6 7-2(3) 6 3 4 7-2(3) ภาพที่ 72 ต าแหน่งการลงยันต์รอดทั้ง 7
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 86 จากภาพที่ 72 พบว่า กลการลงยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ ในตารางขนาด 5 x 5 นี้ ต้องลงซ้ าทีละมุม มุมละ 7 ต าแหน่ง จนครบทั้งสี่มุม และแต่ละต าแหน่งไม่ซ้ ากันยกเว้นต าแหน่งที่ 7 ซึ่งอยู่ต าแหน่งตรงกลางของตารางพอดี จะซ้ ากันเสมอ จึงท าให้ได้จข้อสังเกตว่าในการสร้างตารางขนาด n n ช่อง นั้น n ต้องเป็นจ านวนเต็มคี่บวก และ ถ้าเราต้องการสร้างตารางขนาด n n ช่อง ดังกล่าว เพื่อใส่ตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m ต้องเป็น จ านวนเต็มคี่บวกเช่นกัน ดังนี้ 2 ( 1) 2 k m k 2 ( 1) 2 k m k m 2(1 2) m 2(1 2) m 2(1) m 2(1) m m 2(1) m 2(1) m 2(1 2) m 2(1 2) 2 ( 1) 2 k m k 2 ( 1) 2 k m k ภาพที่ 73 ต าแหน่งการใส่ตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m ต้องเป็นจ านวนเต็มคี่บวก
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 87 จากภาพที่ 73 พบว่า 1. ตารางขนาด n n ช่อง ซึ่ง n ต้องเป็นจ านวนเต็มคี่บวก เพื่อใส่ตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m ต้องเป็นจ านวนเต็มคี่บวก ต้องมีความสัมพันธ์กับค่า m ดังสมการ 2 n m 4 3 ซึ่งท าให้ได้ว่า 1.1 2 n m 4 3 หรือ n m n 4 3, 1,3,5,... 1.2 2 3 4 n m 1.3 วิธีการใส่ค่าตัวเลขในแนวทแยงมุมจากในออกนอกทั้ง 4 แนว มีสูตร คือ m , m 2(1), m 2(1 2), m 2(1 2 3), ... , m k 2(1 2 3 ... ) หรือ 2 ( 1) 2 k m k เมื่อ k คือ ล าดับที่ของชั้นนอกสุด และได้สมการหาค่า 1 2 n k หรือ n k 2 1 ซึ่งท าให้ได้ว่า 4 3 1 2 m k หรือ 2 2 1 3 4 k m ตารางที่ 7 ตารางความพันธ์ของค่า n m, และ k เมื่อ n 1,3,5,... ค่า n ค่า m ค่า k 2 3 4 n m 2 2 1 3 4 k m 1 2 n k 4 3 1 2 m k 1 2 (1) 3 1 4 m 2 2(0) 1 3 4 1 4 4 m (1) 1 0 2 k 4(1) 3 1 0 0 2 2 k 3 2 (3) 3 3 4 m 2 2(1) 1 3 12 3 4 4 m (3) 1 1 2 k 4(3) 3 1 2 1 2 2 k 5 2 (5) 3 7 4 m 2 2(2) 1 3 28 7 4 4 m (5) 1 2 2 k 4(7) 3 1 4 2 2 2 k 7 2 (7) 3 13 4 m 2 2(3) 1 3 52 13 4 4 m (7) 1 3 2 k 4(13) 3 1 6 3 2 2 k 9 2 (9) 3 21 4 m 2 2(4) 1 3 84 21 4 4 m (9) 1 4 2 k 4(21) 3 1 8 4 2 2 k 11 2 (11) 3 31 4 m 2 2(5) 1 3 124 31 4 4 m (11) 1 5 2 k 4(31) 3 1 10 5 2 2 k
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 88 ตอนที่ 2 สมบัติเชิงพีชณิตและแบบแบบรูปเชิงเรขาคณิตของต าแหน่งของแต่ละจ านวนจากการวางต าแหน่ง ของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจ านวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด n n ช่อง โดยอาศัย หลักการสังเกตจากกลการลงเรือนยันต์ล้านนาแบบ 7 พยางค์ในตารางขนาด 5 5 ช่อง จากตอนที่ 1 พบว่า 2.1 ผลบวกแต่ละ ชั้น k มีค่าเท่ากันเสมอ 2.2 ผลบวกในแนวทแยงแต่ละ ชั้น k มีค่าเท่ากันเสมอ 2.3 ผลบวกในแนวนอนแต่ละ ชั้น k มีค่าเท่ากันเสมอ 2.4 ผลบวกในแนวตั้งแต่ละ ชั้น k มีค่าเท่ากันเสมอ 2.5 ผลคูณแต่ละ ชั้น k มีค่าเท่ากันเสมอ 2.6 ผลคูณในแนวทแยงแต่ละ ชั้น k มีค่าเท่ากันเสมอ 2.7 ผลคูณในแนวนอนแต่ละ ชั้น k มีค่าเท่ากันเสมอ 2.8 ผลคูณในแนวตั้งแต่ละ ชั้น k มีค่าเท่ากันเสมอ 2.9 แนวการวางของแต่ละตัวเลขยกเว้นต าแหน่งกลางของตารางจัตุรัส มีแนวเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ข้อเสนอแนะจากการด าเนินการศึกษาในครั้งนี้และครั้งต่อไป 1. ควรศึกษาสมบัติอื่นๆ จากตารางกลการลงยันต์ 2. ควรใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์/วิศวกรรมศาสตร์/สถิติ ช่วยหารูปแบบความสัมพันธ์ของการวาง ต าแหน่งของตัวเลขเรียงกันตั้งแต่ 1 ถึง m โดยที่ m เป็นจ านวนเต็มคี่บวก ลงในตารางขนาด n n ช่อง เพื่อให้เห็นรูปแบบการศึกษาที่ชัดเจนมากขึ้น
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 89 การหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่แนบในวงกลม
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 90 โครงงานประเภทการสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง การหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่แนบในวงกลม 2 2 x y Ax By C 0 คณะผู้ศึกษา ครูที่ปรึกษา นายอาหนึ่ง ชูไวย ปีการศึกษา 2561 บทคัดย่อ การศึกษาในครั้งนี้ มีจุดมุ่งหมายเพื่อศึกษาสูตรการหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่แนบในวงกลมที่ มี ส ม ก า ร รู ป แ บ บ ทั่ วไ ป เ ป็ น 2 2 x y Ax By C 0 ผ ล ก า ร ศึ กษ า พ บ ว่ า พื้ น ที่ มี ค่ า เ ท่ า กั บ 1 360 2 2 4 sin 8 n A B C n และขนาดของมุมแต่ละมุมของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ามีขนาด 1 n 2 180 n วัตถุประสงค์ 1. เพื่อศึกษาสูตรการหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 2. เพื่อสร้างโปรแกรมค านวณพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการ รูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 3. เพื่อหาค่าความพึงพอใจของกลุ่มตัวอย่างที่มีต่อโปรแกรมค านวณพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0การใช้สูตรการหาพื้นที่ 1. เด็กหญิงฐิดาภา ปกครองบ้าน 2. เด็กหญิงเมธาพร ประสพ 3. นางสาววนัสนันท์ ผัดกันตุ้ย
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 91 R R l รูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 จากผลการด าเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง การหาพื้นที่รูป n เหลี่ยม ด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในวงกลมที่มีสมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ในครั้ง นี้ คณะผู้ศึกษาได้ผลการศึกษาแบ่งเป็น 2 ตอน ตามล าดับดังนี้ ตอนที่ 1 การศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในรูปวงกลม ใดๆ ตอนที่ 2 การศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในรูปวงกลม ใดๆ ที่มี สมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ซึ่งแต่ละตอนมีรายละเอียดดังต่อไปนี้ ตอนที่ 1 การศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในรูปวงกลมใดๆ จากที่เราทราบว่าผลรวมของมุมภายในของรูปวงกลมเท่ากับ 360 ซึ่งถ้าหากเราต้องการสร้างรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในรูปวงกลมรัศมี R ใดๆ เราสามารถสร้างได้ดังรูป ภาพที่ 74 แนวคิดการสร้างรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในรูปวงกลมรัศมี R ใดๆ จากภาพที่ 74 และกฎของไซน์ท าให้ได้ว่ารูปสามเหลี่ยม AOBเท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยม BOC ซึ่งท าให้ได้ว่า พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AOB
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 92 1 2 OM AB 1 sin 2 R A BC 1 sin 2 R A l 1 sin 2 Rl A จากสามเหลี่ยม AOB เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมใดๆ เป็น 180 ท าให้ได้ว่า พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AOB 1 sin 2 Rl A 360 180 1 sin 2 2 n Rl 1 180 360 sin 2 2 n Rl n 1 180 2 sin 2 2 n Rl n 1 90 2 sin 2 n Rl n ตารางหน่วย ซึ่งจะได้ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 1 90 2 sin 2 n AOB Rl n ตารางหน่วย -----------> พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในรูปวงกลมรัศมี R ใดๆ ที่ประกอบด้วย รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เท่ากันทุกประการ n รูป 1 90 2 sin 2 n nRl n ตารางหน่วย -----------> จากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว BOC ซึ่งเท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AOB ดังภาพที่ 74 เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 1 รูป ใน n รูปที่เท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปอื่นๆ ที่เกิดจากการแบ่ง ออกเป็น n รูป ที่แนบในรูปวงกลมรัศมี R ใดๆ ท าให้เราทราบว่า 360 n และกฎของไซน์ท าให้ได้ว่า
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 93 sin B R sin l l B sin Rsin l sin sin R B l 360 sin 90 2 sin R n n n ดังนั้นความยาวของฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งยาว l หน่วย ที่แนบในรูปวงกลมที่มีรัศมียาว R หน่วย สามารถค านวณได้ดังนี้ l 360 sin 90 2 sin R n n n หน่วย -----------> จากสมการที่ และ จะได้ว่า พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในรูปวงกลมรัศมี R ใดๆ ที่ประกอบด้วย รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เท่ากันทุกประการ n รูป 2 360 sin 1 90 2 sin 2 90 2 sin n n nR n n n 2 360 sin 1 90 2 sin 2 90 2 sin n n nR n n n 1 360 2 sin 2 nR n ตารางหน่วย ----------->
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 94 ตอนที่ 2 การศึกษาสูตรการหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในรูปวงกลมใดๆ ที่ มี สมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 จากวงกลมใดๆ ที่มี สมการรูปแบบทั่วไปเป็น 2 2 x y Ax By C 0 ที่มีรัศมี 2 2 4 2 A B C R และจากสมการที่ จะได้พื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3 ที่แนบในรูปวงกลมรัศมี R ใดๆ ที่ประกอบด้วย รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เท่ากันทุกประการ n รูป 2 2 2 1 4 360 sin 2 2 A B C n n 2 2 2 2 4 1 360 sin 2 2 A B C n n 2 2 1 360 4 sin 2 4 A B C n n 1 360 2 2 4 sin 8 n A B C n ตารางหน่วย ---------> ข้อเสนอแนะจากการด าเนินการศึกษาในครั้งนี้และครั้งต่อไป 1. ควรศึกษาการหาพื้นที่ในสมการรูปแบบอื่นๆ 2. ควรใช้โปรแกรมทางคณิตศาสตร์/วิศวกรรมศาสตร์/สถิติ ช่วยตรวจสอบความถูกต้องแม่นย า ของสูตร
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 95 การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรง ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัด แนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 96 โครงงานประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เรื่อง การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรง ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัด แนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง คณะผู้ศึกษา ครูที่ปรึกษา นายอาหนึ่ง ชูไวย ปีการศึกษา 2562 - 2565 บทคัดย่อ การศึกษาในครั้งนี้ มีจุดมุ่งหมายเพื่อศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิดปลาย ตัดตรง(surface area of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูป วงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน ผลการศึกษาพบว่า 1. สูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวของพีระมิดปลายตัดตรง(surface area of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน คือ 2 2 2 1 2 1 2 180 180 CSA n r r h r r sin ( ) cos n n และ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 180 180 180 TSA n r r r r h r r sin cos ( ) cos n n n 2. สูตรการค านวณหาปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรง(volume of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยม ด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3ที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน คือ 2 2 1 2 1 2 180 180 sin cos 3 nh V r r r r n n 1. นางสาวกัญญาณัฐ สายศักดิ์ 2. นางสาวกัลยารัตน์ มณีวงศ์ 3. นางสาวณัฐชา โนติ๊บ
ตัวอย่างแนวคิดโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทการสร้างทฤษฎีและค าอธิบาย เล่ม 1 อาหนึ่ง ชูไวย หน้า 97 หรือ 2 1 2 1 2 180 180 sin cos 3 nh V r r r r n n หรือ 2 2 1 2 1 2 360 sin 6 nh V r r r r n หรือ 2 1 2 1 2 360 sin 6 nh V r r r r n ค าส าคัญ: พีระมิดปลายตัดตรง(pyramid frustum) วัตถุประสงค์ 1. เพื่อศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวของพีระมิดปลายตัดตรง(surface area of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน 2. เพื่อศึกษาสูตรการค านวณหาปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรง(volume of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน การด าเนินการศึกษาโครงงานประเภทสร้างทฤษฎีหรือค าอธิบาย เรื่อง การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด ปลายตัดตรง(frustum of pyramid) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมี ขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน ในครั้งนี้ คณะผู้ศึกษาได้ผลการศึกษาแบ่งเป็น 2 ตอน ตามล าดับดังนี้ ตอนที่ 1. การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวรวม (TSA) ของพีระมิดปลายตัดตรง(surface area of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน 1.1 การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า โดยที่ n 3ที่แนบใน รูปวงกลมรัศมี r 1.1.1 ท าให้ได้สูตรการหาพื้นที่ B1 1.1.2 ท าให้ได้สูตรการหาพื้นที่ B2 1.2 การศึกษาสูตรการค านวณหาพื้นที่ผิวข้าง (CSA ) ของพีระมิดปลายตัดตรง(curve surface area of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาด ต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบขนานกัน ตอนที่ 2. การศึกษาสูตรการค านวณหาปริมาตรของพีระมิดปลายตัดตรง(volume of pyramid frustum) ฐาน n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีฐานและปลายตัดแนบในรูปวงกลมรัศมีขนาดต่างกัน 2 วง ที่มีระนาบ ขนานกัน ซึ่งแต่ละตอนมีรายละเอียดดังต่อไปนี้