View metadata, citation and similar papers at core.ac.uk brought to you by CORE
provided by Digital Library of UIN Sunan Ampel
FUNGSI KOMPLEKS
B uku Perkuliahan Program S-1 Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Ampel Surabaya
Penulis:
Ahmad Lubab, M.Si.
Supported by:
G overnment of Indonesia (GoI) and I slamic Development Bank (IDB)
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
KATA PENGANTAR
REKTOR IAIN SUNAN AMPEL
Merujuk pada PP 55 tahun 2007 dan Kepmendiknas No 16 tahun
200 7, Kepmendiknas No. 232/U/2000 tentang Penyusunan Kurikulum
Pen didikan Tinggi dan Penilaian Hasil Belajar Mahasiswa; Kepmendiknas
No . 045/U/2002 tentang Kurikulum Inti Pendidikan Tinggi; dan KMA No.
353 Tahun 2004 tentang Pedoman Penyusunan Kurikulum Pendidikan
Tin ggi, IAIN Sunan Ampel akan menerbitkan buku perkuliahan sebagai
upa ya pengembangan kurikulum dan peningkatan profesionalitas dosen.
Untuk mewujudkan penerbitan buku perkuliahan yang berkualitas,
IAI N Sunan Ampel bekerjasama dengan Government of Indonesia (GoI) dan
Isla mic Development Bank (IDB) telah menyelenggarakan Workshop on
Wr iting Textbooks for Specialization Courses dan Workshop on Writing
Tex tbooks for vocational Courses bagi dosen IAIN Sunan Ampel, sehingga
ma sing-masing dosen dapat mewujudkan karya ilmiah yang dibutuhkan oleh
par a mahasiswa-mahasiswinya.
Buku perkuliahan yang berjudul Fungsi Kompleks ini merupakan
sal ah satu di antara buku-buku yang disusun oleh para dosen pengampu mata
kul iah program S-1 program studi Matematika Fakultas Matematika IAIN
Sun an Ampel sebagai panduan pelaksanaan perkuliahan selama satu
sem ester. Dengan terbitnya buku ini diharapkan perkuliahan dapat berjalan
sec ara aktif, efektif, kontekstual dan menyenangkan, sehingga dapat
me ningkatkan kualitas lulusan IAIN Sunan Ampel.
Kepada Government of Indonesia (GoI) dan Islamic Development Bank
(ID B) yang telah memberi support atas terbitnya buku ini, tim fasilitator dan
pen ulis yang telah berupaya keras dalam mewujudkan penerbitan buku ini,
kam i sampaikan terima kasih. Semoga bu ku perkuliahan ini bermanfaat bagi
perkembangan pembudayaan akademik di IAIN Sunan Ampel Surabaya.
Rektor
IAIN Sunan Ampel Surabaya
Prof. Dr. H. Abd. A’la, M.Ag.
ii
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur kita panjatkan kepada Allah Swt. Berkat karunia-Nya,
buku perkuliahan Fungsi Kompleks ini bisa hadir sebagai salah satu
buku referensi disamping buku referensi lain.
Buku perkuliahan ini disusun sebagai salah satu sarana
pem belajaran pada mata kuliah Fungsi Kompleks. Secara rinci buku ini
mem uat beberapa paket penting meliputi; 1) Pengantar Bilangan
Kom pleks; 2) Geometri Bilangan kompleks; 3) Fungsi Analitik; 4) Limit dan
kont inuitas Fungsi Kompleks; 5) Turunan Fungsi Kompleks; 6) Persamaan
Cauc hy Riemann; 7) Fungsi-Fungsi Elementer; 8) Transformasi Linear dan
Tran sformasi Pangkat; 9) Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear;
10) Transformasi Eksponensial dan Logaritmik; 11) Transformasi w=sin z dan
w=co s z; 12) Transformasi konformal; 13) Integral Berharga Kompleks dari
bilan gan real; 14) Integral Fungsi Kompleks
Akhirnya, penulis ucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada
sem ua pihak yang telah turut membantu dan berpartisipasi demi
tersu sunnya buku perkuliahan Fungsi Kompleks ini. Kritik dan saran
kami tunggu guna penyempurnaan buku ini.
Terima Kasih.
Penulis
v
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
PEDOMAN TRANSLITERASI
Transliterasi Tulisan Arab-Indonesia Penulisan Buku
Perk uliahan “Pendidikan Karakter Menjadi Muslim dan Muslimah
Indo nesia” adalah sebagai berikut.
Indonesia Arab Indonesia
` ط t}
No Arab b ظ z}
1. ا
2. ب
3. ت t ع ‘
th غ gh
4. ث j ف f
h} ق q
ج kh ك k
d ل l
5. dh م m
r ت n
6. ح z و w
s ه h
7. خ sh ء `
s} ي y
8. د d}
9. ذ
ر
10
11 ز
12 س
13 ش
14 ص
ض
15
Untuk menunjukkan bunyi panjang (madd) dengan cara menuliskan
coretan di atas a>, i>, dan u>(ا ,ي و ). Bunyi hidup dobel (diftong)
tanda dan
Arab ditransliterasikan dengan menggabung dua huruf “ay” dan “au” seperti
layyinah, lawwamah. Untuk kata yang berakhiran ta’ marbutah dan berfungsi
sebagai sifat (modifier) atau mud}af>ilayh ditranliterasikan dengan “ah”, sedang
yang berfungsi sebagai mud}af>ditransliterasikan dengan “at”.
vi
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
DAFTAR ISI
(ii)
(v)
PEN DAHULU (vi)
Halaman Judul (vii)
Kata Pengantar Rektor (viii – xii)
Kata Pengantar
Pedoman Transliterasi
Daftar Isi
Satuan Acara Perkuliahan
: Pengantar Bilangan Kompleks (1 – 12)
ISI PAKET : Geometri Bilangan Kompleks (13 – 24)
Paket 1
Paket 2 : Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks (25 – 36)
Paket 3 : Turunan Fungsi Kompleks (37 – 46)
Paket 4 : Persamaan Cauchy Riemann (47 – 54)
Paket 5 : Fungsi Analitik & Fungsi Harmonik (55 – 64)
Paket 6
Paket 7 : Fungsi-Fungsi Elementer (65 – 76)
Paket 8
: Transformasi Linier dan Transformasi Pangkat (77-87)
Paket 9
: Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear (89-100)
Paket 10
: Transformasi Eksponensial dan Logaritmik (101-110)
Paket 11
Paket 12 : Transformasi w=sin z dan w=cos z (111-118)
Paket 13
Paket 14 : Transformasi Konformal (119-126)
: Deret Fungsi Kompleks (127-142)
: Integral Fungsi Kompleks (143-159)
161
165
PENUTUP 167
Sistem Evaluasi dan Penilaian
Daftar Pustaka
CV Penulis
vii
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
SATUAN ACARA PERKULIAHAN
1. I dentitas
: Fungsi Kompleks
: Pendidikan Matematika
Nama Mata kuliah : 3 sks
Jurusan/Program Studi : 3 x 50 menit/ Pertemuan
Bobot : MK
Waktu
Kelompok Matakuliah
2. D eskripsi
Mata kuliah ini membelajarkan mahasiswa-mahasiswi untuk Memiliki
pengusaan konsep 1) Bilangan Kompleks; 2) Geometri Bilangan
kompleks; 3) Limit dan kontinuitas Fungsi Kompleks; 4) Turunan
Fungsi Kompleks; 5) Persamaan Cauchy Riemann; 6) Fungsi Analitik
& Fungsi Harmonik; 7) Fungsi-Fungsi Elementer; 8) Transformasi
Linear dan Transformasi Pangkat; 9) Transformasi Kebalikan dan
Transformasi Bilinear; 10) Transformasi Eksponensial dan Logaritmik;
11) Transformasi w=sin z dan w=cos z; 12) Transformasi konformal;
13) Integral Berharga Kompleks dari bilangan real; 14) Integral Fungsi
Kompleks
3. U rgensi
Mata kuliah ini merupakan cabang matematika murni yang sangat
b erguna untuk mempelajari konsep-konsep lain seperti dalam arus listrik,
g elombang, image, bahkan untuk studi tentang sidik jari. Hal ini
d imungkinkan karena ternyata tidak semua permasalahan mampu
d iselesaiakan dalam sistem bilangan real. Mata kuliah ini diberikan sebagai
b ekal bagi mahasiswa yang ingin melanjutkan ke jenjang yang lebih tinggi
4. Kompetensi Dasar, Indikator, dan Materi
No KD Indikator Materi
1 Menjelaskan
1. Menuliskan notasi Bilangan kompleks:
bilangan
kompleks, bilangan kompleks 1. Definisi bilangan
2. Mengoperasikan kompleks
viii
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
operasi dan bilangan kompleks 2. Operasi bilangan
sifat-sifat 3. Menyebutkan sifat-sifat kompleks
aljabarnya
bilangan kompleks 3. Sifat-sifat aljabar,
4. Konjugat dan
Modulus
1. Menyatakan dalam 1. Geometri Bilangan
bentuk kartesius dan kompleks
2 Menjelaskan kutub
Geometri 2. Koordinat kutub
2. Menjelaskan sifat 3. Rumus Euler
Bilangan
Kompleks
bilangan dalam berbagai 4. Akar Kompleks
bentuk
3. menerangkan pengertian
fungsi dengan variabel
kompleks
4. menghitung limit fungsi
kompleks
3 1. Limit Fungsi
Kompleks
2. kontinuitas Fungsi
4 Menjelaskan Kompleks;
1. menentukan turunan dari Turunan dalam fungsi
konsep dasar suatu fungsi kompleks kompleks
penurunan 2. Menguraikan persamaan
fungsi Cauchy Riemann
kompleks 3. Menurunkan persamaan
Cauchy Riemann
4. Menyelidiki keanalitikan
suatu fungsi
5. menentukan fungsi
harmonik
5 1. Persamaan Cauchy
Riemann
6 1. Fungsi Analitik &
Fungsi Harmonik
7 Menjelaskan 1. Menuliskan kembali 1. Fungsi-fungsi
kembali fungsi macam fungsi elementer elementer; Fungsi
elementer 2. Mengoperasikan fungsi- linier, fungsi pangkat,
beserta sifat fungsi elementer fungsi kebalikan,
operasi 3. Menggunakan fungsi bilinear, fungsi
ix
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Kompleks exponensial, fungsi
logaritmik
8 2. Transformasi Linier
dan Transformasi
Pangkat
9 3. Transformasi
Kebalikan dan
Transformasi Bilinear
10 4. Transformasi
Eksponensial dan
Logaritmik
11 5. Transformasi w=sin z
dan w=cos z
12 6. Transformasi
Konformal
1. mengerti definisi barisan 1. Barisan
dan deret pangkat beserta 2. Deret
sifat kekonvergenannya. 3. Konvergen
13 Menyajikan
Fungsi 2. Menyajikan fungsi analitik 4. Deret Taylor
Analitik dalam deret Taylor, deret 5. Deret Maclaurin
dalam Deret MacLaurin atau deret 6. Deret Laurent
Laurent.
Menghitung integral fungsi 1. Integral fungsi
14 Menjelaskan kompleks kompleks
konsep
integral fungsi 2. Integral Cauchy
kompleks 3. Modulus Maksimum
4. Integral fungsi
kompleks
x
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
Paket 1
PENGANTAR BILANGAN KOMPLEKS
Pen dahuluan
Perkuliahan pada paket pertama ini difokuskan pada konsep bilangan
kompleks, eksistensi bilangan kompleks, operasi aritmatik bilangan kompleks,
sifat-sifat bilangan kompleks, serta konjugat dan modulus dari suatu bilangan
kompleks. Fokus materi pada paket ini merupakan dasar yang mendasari
materi pada paket-paket selanjutnya karena berisi konsep dan operasi dasar
vektor. Oleh karena itu pemahaman terhadap materi ini penting untuk
ditekankan sekalipun sudah pernah diterima di tingkat SMA.
Pada awal Paket 1 ini, mahasiswa akan diperkenalkan tentang pengertian
bilangan kompleks dan eksistensi bilangan kompleks. Selanjutnya mahasiswa
akan menentukan hasil penjumlahan dan selisih dua bilangan kompleks atau
lebih serta perkalian dan pembagian dua bilangan kompleks atau lebih.
mengkonstruksi vektor hasil penjumlahan. Selain itu mahasiswa juga belajar
sifat -sifat aljabar bilangan kompleks serta konjugat dan modulus bilangan
kom pleks.
Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif TPS (Think Pair
Shar ed) agar setiap mahasiswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat
secar a aktif dalam perkuliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat
bebe rapa permasalahan yang dikerjakan secara individu, kemudian
didis kusikan secara berpasangan, kemudian dipresentasikan di depan kelas.
Peny iapan media pembelajaran dalam perkuliahan ini sangat penting.
Perk uliahan ini memerlukan media pembelajaran berupa LCD dan laptop
seba gai salah satu media pembelajaran yan g dapat mengefektifkan perkuliahan,
serta kertas plano, spidol dan solasi sebagai alat menuangkan hasil diskusi
kelompok. Langkah tersebut diupayakan untuk menggali ide-ide dan potensi
kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam menjalin komunikasi sosial yang lebih
efektif. Dari sini, peta pengetahuan dan keterampilan sosial mereka akan
diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi dan simulasi perkuliahan.
Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga diharapkan untuk
1
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator yang telah
ditargetkan.
Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan
Kom petensi Dasar
Memahami bilangan kompleks, operasi dan sifat-sifat aljabarnya
Indi kator
Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1. Menuliskan notasi bilangan kompleks
2. Melakukan operasi aljabar bilangan kompleks
3. Menyebutkan sifat-sifat aljabar bilangan kompleks
4. Membuktikan sifat-sifat aljabar bilangan kompleks
5. Menentukan konjugat bilangan kompleks
6. Menghitung modulus bilangan kompleks
Wak tu
3x50 menit
Mat eri Pokok
Pengantar bilangan kompleks meliputi:
1. Definisi bilangan kompleks
2. Operasi bilangan kompleks
3. Sifat-sifat aljabar
4. Konjugat dan Modulus
Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)
1. Kontrak kuliah dan menjelaskan satuan acara perkuliahan untuk satu
semester
2. Menjelaskan kompetensi dasar
3. Menjelaskan indikator
4. Apersepsi materi bilangan kompleks yang telah diperoleh di SMA
dengan cara tanya jawab
2
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
5. Brainstorming dengan mengerjakan soal bahwa bilangan real belum
mampu mengatasi permasalahan nyata, serta memotivasi pentingnya
mempelajari fungsi kompleks.
Keg iatan Inti (100 menit)
1 . Dosen menjelaskan beberapa konsep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 1.
2 . Dosen membagi meminta mahasiswa untuk membuktikan sifat-sifat
aljabar bilangan kompleks secara individu.
3 . Mahasiswa secara berpasangan mendiskusikan masalah yang telah
dibuktikan secara individu sebelumnya.
4 . Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
5 . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
kelompok untuk mempresentasikan 1 nomor soal pada LK 1.
6 . Selesai presentasi, pasangan lain memberikan klarifikasi
7 . Penguatan hasil diskusi dari dosen
8 . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi
Keg iatan Penutup (10 menit)
1 . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2 . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3 . Refleksi hasil perkuliahan oleh mah asiswa
Kegiatan Tindak Lanjut (5 menit)
1. Memberi tugas latihan
2. Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.
3
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
Lem bar Kegiatan Mahasiswa
Membuktikan sifat-sifat aljabar bilangan kompleks.
Tuju an
Mahasiswa dapat membuktikan sifat-sifat aljabar bilangan kompleks.
Baha n dan alat
Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol
Lang kah-langkah kegiatan
1 . Masing individu mendapatkan tugas untuk membuktikan sifat-sifat
operasi aljabar bilangan kompleks, meliputi:
a. Sifat Komutatif Penjumlahan
b. Sifat Komutatif Perkalian
c. Sifat Assosiatif Penjumlahan
d. Sifat Asosiatif Perkalian
e. Sifat Distributif
2 . Secara berpasangan mendiskusikan permasalahan yang diberikan.
3 . Pasangan yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil diskusinya
didepan kelas.
BILANGAN KOMPLEKS
Ura ian Materi
Eksi stensi Bilangan Kompleks
Dalam berbagai masalah terapan, sistem bilangan real ternyata tidak
menc ukupi untuk mengkaji permasalahannya1. Perhatikan persamaan kuadrat
berik ut :
2 + 1 = 0
Solusi dari persamaan di atas adalah = √−1. Jelas bahwa = √−1 bukanlah
bilangan real, karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya sama dengan −1.
Secara umum untuk persamaan kuadrat berbentuk 2 + + = 0 dengan
1 Jurusan Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus 1 (Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA
ITS, 2009), 429
4
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
≠ 0, tidak akan memiliki solusi ketika nilai dari = 2 − 4 < 1. Sebagai
cont oh carilah solusi dari persamaan kuadrat 2 − 4 + 8 = 0 dengan
meng gunakan rumus . Jelas persamaan tersebut tidak memiliki solusi
dalam sistem bilangan real.
Agar setiap persamaan kuadrat memiliki solusi, maka sistem bilangan
yang digunakan harus diperluas. Perhatikan kembali solusi dari persamaan
persa maan kuadrat diatas. Solusi-solusi tersebut mengandung akar bilangan
nega tif, jelas akar dari suatu bilangan negatif bukanlah bilangan real. Setiap
bilan gan yang bukan bilangan real berarti termasuk dalam komplemen bilangan
real (ℜ ).
Untuk mempermudah penulisan, matematikawan abad 18 G>.W. Leibniz
mem perkenalkan bilangan = √−1 2 . Jadi √−4 = √4√−1 = ±2 . Dengan
cara yang sama √−49 = √49√−1 = ±7 . Bilangan seperti ini disebut
bilan gan imajiner. Jadi bilangan imajiner ialah bilangan yang dapat ditulis
seba gai dengan ≠ 0 dan ∈ ℜ. Kuadrat dari bilangan imajiner 2 = −1.
Selain bilangan real, ternyata ada jenis bilangan lain yaitu bilangan
imajiner. Gabungan dari bilangan real dan bilangan imajiner membentuk satu
baru yang disebut bilangan kompleks yang dinotasikan dengan .
bilangan
Secara umum sistem bilangan yang ada dapat dilihat pada gambar berikut.
2 Freitag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis (Heidelberg: Springer, 2005), 1
5
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
Gambar 1.1 Sistem Bilangan
Bilangan kompleks dapat dituliskan sebagai
= { + ; , ∈ ℜ}
deng an adalah bagian real dinotasikan dengan ( ) dan merupakan bagian
dinotasikan dengan ( ) . Jika ( ) = 0 dan ( ) ≠ 0, maka
imajiner
imajiner murni (pure imaginary). Jika ( ) = 0 dan ( ) = 1, maka
dinamakan
= dan dinamakan satuan imajiner (imaginary unit). Bila ( ) = 0, maka
bilangan real ( ), sehingga dalam pengertian ini bilangan real
menjadi
dapa t dipandang sebagai bilangan komplek s dengan bentuk = + 0 3.
Sistem bilangan kompleks dapat diperkenalkan secara formal dengan
menggunakan konsep ”pasangan terurut” (ordered pair) bilangan nyata, ( , )4.
Himpunan semua pasangan itu dengan operasi-operasi tertentu yang sesuai
padanya dapat didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks. Dalam
beberapa buku model seperti ini digunakan.
3 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987), 3
4 Ibid
6
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
Oper asi Aritmatika
Seperti pada sistem bilangan real, dalam sistem bilangan kompleks
didef inisikan operasi aritmatika. Jumlah dan selisih dua bilangan kompleks
didef inisikan dengan menjumlahkan atau mengurangkan bagian real dan bagian
imaj iner yang bersesuaian, misalkan ada dua buah bilangan kompleks dan ,
deng an = + dan = + , maka penjumlahan dan pengurangan
bilan gan kompleks didefinisikan sebagai
± = ( ± ) + ( ± ) .
Penj umlahan dua bilangan kompleks serupa dengan penjumlahan dan
peng urangan dua buah vektor. Secara grafik dapat digambarkan
Gambar 1.2 Perkalian dua buah bilangan kompleks
Cont oh 1.1:
Jika = 5 − 5 , = −3 + 4 dan = 1 + 4 dapatkan + , − , +
+
+ = (5 − 5 ) + (−3 + 4 )
= (5 − 3) + (−5 + 4)
= 2 −
− = (5 − 5 ) − (−3 + 4 )
= (5 − (−3)) − (−5 − 4)
= 8 − 9
7
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
+ + = (5 − 5 ) + (−3 + 4 ) + (1 + 4 )
= (5 − 3 + 1) + (−5 + 4 + 4)
= 3 + 3
Untuk perkalian dua buah bilangan kompleks dapat diturunkan seperti
berik ut:
. = ( + ). ( + )
= + + + 2
= + + + (−1)
= ( − ) + ( + )
Sedangkan untuk pembagian dua buah bilangan kompleks
= ( + )
( + )
= ( + ) ( − )
( + ) ( − )
( + ) − ( − )
= 2 + 2
( ) (− + )
= 2 + 2 + 2 + 2
+
Contoh 1.2
Jika = 5 − 5 , = −3 + 4 dapatkan . , /
. = (5 − 5 ). (−3 + 4 )
= 5. (−3) + 5.4 + (−5 ). (−3) + (−5 ). (4 )
= −15 + 20 + 15 − 20(−1)
= (−15 − (−20)) + (20 + 15)
= 5 + 35
(5 − 5 )
=
= (−3 + 4 )
(5 − 5 ) (−3 − 4 )
(−3 + 4 ) (−3 − 4 )
(5(−3) + (−5). 4) − (5.4 − (−3). (−5))
= (−3)2 + 42
−35
= 25 + 5
25
= − 7 + 1
5 5
8
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
Jika merupakan suatu bilangan kompleks, maka ada satu dan hanya satu
bilan gan kompleks yang akan dilambangkan dengan – , sedemikan sehingga
+ (− ) = 0;
− dinamakan negatif (lawan penjumlahan) dan jelas bahwa jika =
+ , maka – = − − .
Untuk suatu bilangan kompleks bukan nol = + terdapat satu dan
hany a satu bilangan kompleks −1 atau 1/ sedemikian sehingga
−1 = 1;
−1 dinamakan kebalikan (lawan perkalian) dan perhitungan langsung
meng hasilkan −1 = 2 2 − 2 2
+ +
Sifat Aljabar
Operasi-operasi aritmatik yang telah didefinisikan diatas memenuhi
huku m-hukum berikut:
1. Komutatif
1 + 2 = 2 + 1; 1. 2 = 2. 1
2. Assosiatif
1 + ( 2 + 3) = ( 1 + 2) + 3; 1. ( 2. 3) = ( 1. 2). 3
3. Distributif
1( 2 + 3) = 1 2 + 1 3
4. Elemen netral terhadap penjumlahan (0 = 0 + 0 )
+ 0 = 0 + =
5. Elemen netral terhadap perkalian (1 + 1 + 0 )
. 1 = 1. =
Konj ugat
Untuk sebarang bilangan kompleks = + , konjugat kompleks
(konjugat) dari dinotasikan dengan ̅ dan didefiniskan sebagai
̅ = −
Sebagai contoh: konjugat dari = 2 + 6 adalah ̅ = 2 − 6 , konjugat dari =
−3 − 9 adalah ̅ = −3 + 9 , konjugat dari = 8 adalah ̅ = 8, dan konjugat
dari = 2 adalah ̅ = −2 .
9
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
Dalam pendefinisian pembagian bilangan kompleks, terlihat bahwa
konj ugat kompleks telah digunakan, yaitu sebagai pengali penyebutnya.
Dem ikian pula pada penyelesaian polinomial
0 + 1 + ⋯ +
= 0
deng an koefisien real. Dapat dibuktikan bahwa dalam sistem bilangan
kom pleks, persamaan demikian selalu mempunyai penyelesaian, dan jika
adala h salah satu penyelesaiannya, maka ̅ juga merupakan penyelesaian.
Seba gai contoh carilah solusi dari persamaan 2 − 4 + 8 = 0.
Konj ugat kompleks mempunyai sifat:
1. Distributivitas Kesekawanan
� � 1��+��� � 2� = � 1 + � 2; � � 1��−��� � 2� = � 1 − � 2
� 1 � 1
� � 1��.� � 2� = � 1. � 2; 2 = � 2
2. ̅ =
3. ̅ = [ ( )]2 + [ ( )]2
Mod ulus
Apabila suatu bilangan kompleks dipandang sebagai suatu vektor, maka
panja ng vektor tersebut dinamakan modulus dari dan dinotasikan dengan | |.
Jadi jika = + , maka
| | = � 2 + 2
Cont oh, jika = 4 − 3 , maka
| | = �42 + 32 = √25 = 5
Perh atikan jika = + 0 ( bilangan real), maka
| | = � 2 + 02 � 2 =
=
Artinya modulus dari bilangan real sama dengan nilai mutlak bilangan
tersebut.
Beberapa sifat modulus akan dibahas pada paket selanjutnya.
10
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
Ran gkuman
Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan
dalam beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. S istem bilangan real ternyata belum mampu menjawab semua permasalahan
y ang ada
2. B ilangan kompleks dapat dituliskan sebagai
= { + ; , ∈ ℜ}
d engan adalah bagian real dinotasikan dengan ( ) dan merupakan
b agian imajiner dinotasikan dengan ( ).
3. Ju mlah dan selisih dua bilangan kompleks didefinisikan dengan
m enjumlahkan atau mengurangkan bagian real dan bagian imajiner
y ang bersesuaian
4. B ilangan kompleks memenuhi sifat-sifat aljabar seperti komutatif, asosiatif,
d an distributif terhadap penjumlahan dan perkalian.
5. A pabila suatu bilangan kompleks dipandang sebagai suatu vektor, maka
p anjang vektor tersebut dinamakan modulus dari dan dinotasikan dengan
| |.
Lati han
Jawa blah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1 . Kerjakan operasi-operasi berikut dan nyatakan dalam +
a. (−8 − 3 ) − (−1 − 4 )
b. (5 − 2 ) + (7 + 3 )
c. (5 − 2 )(2 + 3 )
d. – (5 + 2 )
e. 6 /(6 − 5 )
f. ( + )/( − )
g. , 2, 3, … , 10
2. Tunjukkan bahwa jika = −1 − maka 2 + 2 + 2 = 0
3. Buktikan bahwa untuk setiap , berlaku:
a. ( ) = 1 ( + ̅)
2
1
b. ( ) = 2 ( − ̅)
11
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Bilangan Kompleks
Tentukan ( ), ( ), | | dan ̅
4 . a. = 2−5 + 3−4
3+4 25
b. = 12−5
(1+ )(1+2 )(1+3 )
5 . Buktikan untuk sebarang bilangan dan ,
berlaku: � + ̅ = 2 ( � )
Daftar Pustaka
Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis. Heidelberg: Springer,
2 005.
Jurus an Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus 1 . Surabaya: Jurusan
M atematika FMIPA, 2005.
Palio uras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
E rlangga, 1987.
12
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
Paket 2
GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS
Pen dahuluan
Perkuliahan pada paket kedua ini difokuskan pada konsep geometri bilangan
kompleks, bidang kompleks, bentuk kutub bilangan kompleks, dan akar
bilangan kompleks. Materi pada paket ini merupakan lanjutan dari paket
pertama dan merupakan prasyarat materi pada paket-paket selanjutnya yaitu
limit dan kontinuitas fungsi kompleks. Oleh karena itu pemahaman terhadap
materi ini penting untuk ditekankan sekalipun materi dalam paket ini
tergolong mudah.
Pada awal Paket 2 ini, mahasiswa akan diperkenalkan tentang geometri
bilangan kompleks, bidang kompleks, yaitu bagaimana menggambarkan
bilangan kompleks sebagai sebuah titik dan sebuah vektor pada bidang datar.
Selanjutnya mahasiswa akan diajarkan bagaimana menuliskan bentuk lain dari
bilangan kompleks salah satunya dalam bentuk kutub. Materi terakhir pada
pake t ini adalah menentukan akar dari bilangan kompleks.
Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap
maha siswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelo mpok. Langkah tersebut diupayakan
untuk menggali ide-ide dan potensi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menjalin komunikasi sosial yang lebih efektif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keterampilan sosial mereka akan diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.
13
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan
Kom petensi Dasar
Memahami bilangan kompleks, operasi dan sifat-sifat aljabarnya
Indi kator
Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1. Menentukan konjugat bilangan kompleks
2. Menghitung modulus bilangan kompleks
3. Menyatakan dalam bentuk kartesius dan kutub
4. Menjelaskan sifat bilangan dalam berbagai bentuk
Wak tu
3x50 menit
Mat eri Pokok
Pengantar bilangan kompleks meliputi:
1. Konjugat dan Modulus
2. Makna geometri: sebagai vektor, sebagai titik,
3. Koordinat kutub, Rumus Euler
4. Penarikan akar kompleks
Langkah-langkah Perkuliahan
Kegiatan Awal (35 menit)
1. Menjelaskan kompetensi dasar
2. Menjelaskan indikator
3. Apersepsi materi koordinat kartesius yang telah diperoleh di SMA
dengan cara tanya jawab
4. Brainstorming dengan mengerjakan soal sederhana, serta memotivasi
pentingnya mempelajari fungsi kompleks.
Kegiatan Inti (100 menit)
14
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
1. Dosen menjelaskan beberapa konsep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 2.
2 . Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
untuk mendiskusikan bagaimana menurunkan formula mencari akar
bilangan kompleks sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.
3 . Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4 . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
5 . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi
6 . Penguatan hasil diskusi dari dosen
7 . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi
Keg iatan Penutup (10 menit)
1 . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2 . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3 . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa
Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)
1 . Memberi tugas latihan
2 . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.
Lembar Kegiatan Mahasiswa
Menurunkan rumus umum mencari akar bilangan kompleks.
Tujuan
Mahasiswa dapat menemukan sendiri formula untuk menentukan akar
bilangan kompleks dengan memanfaatkan bentuk kutub bilangan kompleks dan
operasinya.
15
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
Bahan dan alat
Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol
Lang kah-langkah kegiatan
1 . Masing-masing kelompok mendiskusikan formula untuk mencari
akar bilangan kompleks dengan memanfaatkan bentuk kutub bilangan
kompleks dan operasinya.
2 . Membuat satu contoh mencari akar bilangan kompleks beserta
penyelesaiannya
3 . Presentasi hasil diskusinya didepan kelas.
Ura ian Materi
GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS
Geom etri Bilangan Kompleks
Definisi awal bilangan kompleks telah menciptakan secara alami suatu
pada nan (korespondensi) satu-satu antara himpunan bilangan kompleks dan
himp unan titik-titik pada bidang . Jadi bilangan kompleks = +
dipad ankan dengan titik ( , ) di bidang datar dan sebaliknya 1. Identifikasi
bilan gan kompleks dengan titik pada bidang datar sedemikian kuatnya
sehin gga dalam praktiknya, antara bilangan + dan titik ( , ) sering tidak
dibed akan. Karena Identifikasi ini, bidang yang telah dikenal selanjutnya
diseb ut bidang kompleks atau bidang . Dengan sumbu dan sumbu masing-
masi ng dinamakan sumbu nyata dan sumbu khayal.
Dari keterangan diatas, bilangan kompleks dapat disajikan dalam
pasa ngan berurut (x, y), sehingga secara geometri dapat disajikan sebagai titik
(x, ) pada bidang kompleks (bidang xy) , dengan sumbu x (sumbu riil) dan
y
sumbu y (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks z = x + iy = (x, y)
juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik
pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik (x, y) . Bilangan
kompleks dapat disajikan dalam suatu diagram yang sering disebut sebagai
diagram Argand.
1 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987), 9
16
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
Gambar 2.1 Diagram Argand
Apabila suatu bilangan kompleks disajikan dalam diagram Argand,
bilan gan kompleks tersebut dapat dipandang sebagai suatu vektor, maka
panja ng vektor tersebut dinamakan modulus dari dan dinotasikan dengan | |.
Jadi jika = + , maka
| | = � 2 + 2
jika = 4 − 3 , maka
Contoh,
| | = �42 + 32 = √25 = 5
Perh atikan jika = + 0 ( bilangan real), maka
| | = � 2 + 02 = � 2 =
Artin ya modulus dari bilangan real sama dengan nilai mutlak bilangan
terse but.
Sifat-sifat modulus adalah sebagai berikut:
a . z1z2 = z1 z2
b . Re (z) ≤ Re (z) ≤ z
c. Im(z) ≤ Im(z) ≤ z
d. z1 = z1
z2 z2
e. z = z
17
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
f . z z = z 2
g . Pertidaksamaan Segitiga : z1 + z2 ≤ z1 + z2
h . z1 + z2 ≥ z1 − z2
z1 − z2 ≥ z1 − z2
i.
j . z1 + z2 + L + zn ≤ z1 + z2 + L + zn .
Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
Selain modulus, diagram Argand juga memperlihatkan sebuah sudut yang
oleh vektor dengan sumbu nyata positif. Sudut ini kemudian
dibentuk
dengan Argumen dan dinotasikan dengan arg . Dengan kata lain,
dikenal
arg( + ), adalah suatu sudut sedemikian sehingga
sin = /| | dan cos = /| |
Argumen nol tidak dapat didefinisikan secara berarti. Secara aljabar, hal
ini je las, karena diperoleh bentuk 0/0. Sedangkan secara geometris, vektor nol
yang menjadi padanan bilangan kompleks = 0, tidak mempunyai panjang,
sehin gga tidak dapat membentuk suatu sudut dengan sumbu nyata positif.
Dari penjelasan diatas, jelas bahwa argumen bilangan kompleks bukanlah
suatu besaran tunggal. Kenyataanya, setiap ≠ 0 mempunyai tak hingga
bany aknya argumen yang khusus, yang berbeda satu dengan yang lain dengan
kelip atan 2 . Dalam suatu kasus kondisi seperti ini mungkin tidak
dihar apakan, sehingga untuk mengatasi masalah ini diperkenalkan suatu
kons ep yang disebut “argumen pokok” arg . Untuk sebarang bilangan ≠ 0,
argu men pokok arg didefinisikan sebagai nilai tunggal arg yang memenuhi
− < arg ≤
arg = arg + 2 , = 0, ±1, ±2, …
Konsep modulus dan argumen ini selanjutnya digunakan untuk
menjelaskan hubungan matematika semua titik pada bidang datar yang terletak
didalam lingkaran yang pusatnya 0 dan jari-jarinya yaitu | − 0| < .
Selanjutnya suatu titik ( , ) pada bidang datar dapat juga dinyatakan dalam
bentuk koordinat kutub dan
18
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
Misalkan x = r cosθ dan y = r sinθ maka z = x + iy dapat dinyatakan
dalam bentuk kutub
z = r cosθ + i r sinθ = r(cosθ + i sinθ )
= r cisθ
deng an
x2 + y2 .
r = modulus (nilai mutlak) z = z =
θ = argumen dari z = arg z
= arc tg y , x ≠ 0 .
x
Gambar 2.2 Ilustrasi Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
Cont oh 2.1
z = (1 + i) (1 + i 3)
. Tentukan bentuk kutub dari z dan z .
Diketahui
−1+ i
Peny elesaian :
Men ggunakan sifat argumen diperoleh :
ππ
( 2 cis ) (2 cis )
z= 2 4 3 cis π π 3π cis − π .
cis 3π 4 3 4 6
= 2 + − = 2
4
z = 2 cis π
6
Operasi Aljabar Bentuk Kutub Bilangan kompleks
19
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
Misalkan z1 = r1 (cosθ1 + i sinθ1 ) dan z2 = r2 (cosθ 2 + i sinθ 2 )
deng an r1 = z1 , r2 = z2 , arg z1 = θ1 , arg z2 = θ 2 .
a. Perkalian
( )
z1z2 = r1r2 cis θ1 + θ 2
= z1z2 cis (θ1 + θ 2 )
arg z1z2 = arg z1 + arg z2 .
b. Pembagian (z2 ≠ 0)
z1 = r1 cis(θ1 −θ2 ) = z1 cis(θ1 −θ 2 ).
z2 r2 z2
arg z1
z2
= arg z1 − arg z2 .
c. Invers sebarang bilangan kompleks z = r eiθ yaitu
z −1 = 1 = 1 cis(−θ ) .
zr
arg 1 = − arg z .
z
Selain dalam bentuk umum z = x + iy dan bentuk kutub
z = (cosθ + i sinθ ) , bilangan kompleks z juga dapat dinyatakan dalam
r
bent uk eksponen.
Bent uk eksponen bilangan kompleks z = x + iy yaitu
z = r eiθ
dengan eiθ = cosθ + i sinθ dinamakan rumus Euler. Misalkan z = r eiθ ,
maka menggunakan aturan pangkat seperti pada bilangan riil diperoleh
zn = (r eiθ )n = rn ei nθ
20
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
Jika r = 1 , maka bentuk pangkat di atas menjadi z n = ( eiθ )n = ei nθ ,
(eiθ )n =ei nθ , n = 0, ± 1, ± 2, K . Selanjutnya dapat ditulis dalam
atau
+ i sinθ )n = cos nθ + i sin nθ yang disebut Rumus Moivre .
bent uk (cosθ
Akar Kompleks
Misalkan z = r cisθ , akar pangkat n dari bilangan kompleks z ditulis
1
zn n z . Jika diberikan bilangan kompleks z ≠ 0 dan n bilangan bulat
atau
1
posit if, maka diperoleh n buah akar untuk z n yaitu
zk =nr cos θ + 2kπ + i sin θ + 2kπ , k = 0, 1, 2, K , (n −1) .
n n
Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n
berat uran pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari n r .
Cont oh 2.2 :
Tent ukan semua akar dari 3 − 8i , kemudian gambarkan akar-akar tersebut
dalam bidang kompleks.
Peny elesaian :
z = −8i , maka r = z = 8 θ = arctg −8 = −π ,
Misalkan dan 02
38 − π + 2kπ − π + 2kπ
2 3 2 3
zk = 3 − 8i = cos + i sin , k = 0, 1, 2.
Sehingga diperoleh
21
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
38 −π −π + 2cos π π )
2 2 6 6
z0 = cos 3 +i sin 3 = (− ) + i sin(− = 3 −i.
z1 2 cos π ) + i π ) = 2i .
( sin(
= 2
2
cos ( 7π sin( 7π )
6 6
z2 = 2 ) + i = − 3 −i .
Gambar 2.3 Akar 3 − 8i dalam bidang Kompleks
Ran gkuman
Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan
dalam beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. B ilangan kompleks dapat disajikan dalam suatu diagram yang disebut
se bagai diagram Argand
2. M isalkan x = r cosθ dan y = r sinθ maka z = x + iy dapat dinyatakan
bentuk kutub z = r cosθ + i = r(cosθ + i sinθ )= r cisθ .
dalam r sinθ
dengan
r = modulus (nilai mutlak) z = z = x2 + y 2 .
θ = argumen dari z = arg z = arc tg y , x ≠ 0 .
x
22
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
3. B entuk eksponen bilangan kompleks z = x + iy yaitu z = r eiθ dengan
θ = cosθ + i sinθ dinamakan rumus Euler. Jika r =1, maka bentuk
e i
p angkat di atas selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk
+ i sinθ )n = cos nθ + i sin nθ yang disebut Rumus Moivre .
( cosθ
4. Ji ka diberikan bilangan kompleks z ≠ 0 dan n bilangan bulat positif, maka
1
d iperoleh n buah akar untuk z n yaitu
θ + 2kπ θ + 2kπ
n n
z k =nr cos + i sin , k = 0, 1, 2, K , (n −1) .
Lati han
Jawa blah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1 . Gambarkan bilangan-bilangan
a. 3 + 4
b. 1 −
c. −1 +
d. −2 + √3
2 . Tuliskan dalam bentuk kutub setiap bilangan berikut
a. (−4 )
b. −2 + 2
c. −√27 − 3
d. (−8 − 3 ) − (−1 − 4 )
e. (5 − 2 ) + (7 + 3 )
f. (5 − 2 )(2 + 3 )
g. – (5 + 2 ) gunakan untuk
3. Tentukan semua akar dari persamaan 3 + 8 = 0.
4. Selesaikan persamaan 2 + = 0 , selanjutnya
menyelesaikan 4 + 2 2 − 1 = 0.
23
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Geometri Bilangan Kompleks
Daftar Pustaka
Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis. Heidelberg: Springer,
2 005.
Jurus an Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus 1 . Surabaya: Jurusan
M atematika FMIPA, 2005.
Palio uras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
E rlangga, 1987.
24
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
Paket 3
L IMIT DAN KONTINUITAS FUNGSI KOMPLEKS
Pen dahuluan
Perkuliahan pada paket ketiga ini difokuskan pada konsep fungsi dengan
variabel kompleks, limit dan kontinuitas fungsi kompleks. Materi pada paket
ini merupakan lanjutan dari paket kedua dan merupakan bekal untuk materi
pada paket-paket selanjutnya yaitu turunan fungsi kompleks. Oleh karena itu
pemahaman terhadap materi ini penting untuk ditekankan sekalipun materi
dalam paket ini tergolong mudah.
Pada awal Paket 3 ini, mahasiswa akan diperkenalkan tentang fungsi dengan
variabel kompleks, dalam paket ini juga diperlukan pengetahuan mengenai
topologi seperti himpunan, lingkungan. Lingkungan terhapus interior,
komplemen, titik batas, batas, himpunan terbuka, himpunan tertutup, region,
region terbuka, region tertutup. Selanjutnya mahasiswa akan diajarkan
bagaimana konsep limit dari fungsi kompleks. Materi terakhir pada paket ini
adala h tentang kontinuitas fungsi kompleks.
Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap
maha siswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelo mpok. Langkah tersebut diupayakan
untuk menggali ide-ide dan potensi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menjalin komunikasi sosial yang lebih efektif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keterampilan sosial mereka akan diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.
25
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan
Kom petensi Dasar
Men jelaskan macam-macam fungsi kompleks
Indi kator
Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1. menerangkan pengertian fungsi dengan variabel kompleks
2. menghitung limit fungsi kompleks
3. Menentukan kekontinuan fungsi kompleks
Wak tu
3x50 menit
Mat eri Pokok
Pengantar bilangan kompleks meliputi:
1. Fungsi variabel kompleks
2. Pemetaan
3. Limit fungsi kompleks
4. Kontinitas fungsi kompleks
Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)
1 . Menjelaskan kompetensi dasar
2 . Menjelaskan indikator
3 . Apersepsi materi fungsi kompleks dengan membandingkan dengan
fungsi real.
4. Brainstorming dengan mengerjakan soal sederhana, serta memotivasi
pentingnya mempelajari fungsi kompleks.
Kegiatan Inti (100 menit)
26
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
1. Dosen menjelaskan beberapa konsep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 3.
2 . Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
untuk mendiskusikan bagaimana menurunkan formula mencari akar
bilangan kompleks sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.
3 . Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4 . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
5 . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi
6 . Penguatan hasil diskusi dari dosen
7 . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi
Keg iatan Penutup (10 menit)
1 . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2 . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3 . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa
Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)
1 . Memberi tugas latihan
2 . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.
Lembar Kegiatan Mahasiswa
Menurunkan konsep limit dan kontinuitas fungsi kompleks.
Tujuan
Mahasiswa dapat mengkonstruks sendiri konsep mengenai limit dan
kontinuitas fungsi kompleks serta sifat-sifat yang melekat pada konsep limit dan
kontinuitas fungsi kompleks.
27
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
Bahan dan alat
Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol
Lang kah-langkah kegiatan
1 . Masing kelompok mendapatkan tugas untuk menurunkan konsep limit
dan kontinuitas fungsi kompleks.
a. lim( f (z) + g(z)) = A + B .
z→z0
b. lim f (z)g(z) = AB .
z→z0
c. lim f (z) = A
.
z→z0 g(z) B
2 . Jika f dan g kontinu pada daerah D maka
a) + kontinu
b) − kontinu
c) . kontinu
d) / kontinu kecuali di z0 ∈ D sehingga ( 0) = 0.
3 . Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.
4 . kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil
diskusinya didepan kelas.
Ura ian Materi
LIMIT DAN KONTINUITAS FUNGSI KOMPLEKS
Fung si Dengan Variabel Kompleks
himpunan bilangan Fungsi kompleks pada
Misalkan kompleks.
adalah aturan yang mengawankan setiap z ∈ S dengan bilangan kompleks
w. Dan dinotasikan dengan = ( ). Dalam hal ini, S disebut domain dari
dan dinamakan peubah/variabel kompleks.
Peubah Kompleks ialah suatu titik umum dari himpunan tertentu pada
bidang datar. Fungsi Peubah kompleks secara formal didefinisikan sebagai
pasangan terurut dua bilangan kompleks ( , ) yang memenuhi syarat-syarat
28
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
terte ntu1. Hal ini berarti ada proses pemadanan yang mengawankan setiap nilai
peub ah ke nilai yang tunggal.
Misalkan = + adalah nilai fungsi di = + , sehingga
+ = ( + )
Masi ng-masing bilangan riil dan bergantung pada variabel riil dan ,
sehin gga ( ) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari variabel riil
dan , yaitu
( ) = ( , ) + ( , ).
Jika polar dan pada dan digunakan, maka
koordinat
+ = ( )
dima na = + dan = . Sehingga ( ) dapat ditulis menjadi
( ) = ( , ) + ( , ).
Cont oh 3.1
Misa lkan = ( ) = 2 + 3 .
Tent ukan dan serta hitung nilai dari pada = 1 + 3 . Nyatakan juga
da n dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
= + , sehingga
Misal
f (z ) = f (x + iy) = (x + iy)2 + 3(x + iy) = x2 + 3x − y 2 + i(2xy + 3y)
Jadi u = x 2 + 3x − y 2 dan v = 2xy + 3y .
Untu k = 1 + 3 maka f (z) = f (1 + 3i) = (1 + 3i)2 + 3(1 + 3i) = −5 + 15i .
Jadi (1,3) = −5 dan (1,3) = 15.
Jika koordinat polar digunakan dimana = , maka
f ( = f (reiθ ) = (reiθ )2 + 3(reiθ ) = r 2e2iθ + 3reiθ
z)
= r 2 cos 2θ + ir 2 sin 2θ + 3r cosθ + 3ir sinθ
= r 2 cos 2θ + 3r cosθ + i(r 2 sin 2θ + 3r sinθ )
Jadi u = r 2 cos 2θ + 3r cosθ dan v = r 2 sin 2θ + 3r sinθ .
1 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987), 32
29
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
Geometri Fungsi Kompleks
Misalkan sebuah fungsi kompleks = ( ). Menurut definisi, setiap nilai
peub ah bebas = + (dalam domain ) akan menghasilkan nilai tunggal
= + sebagai peubah tak bebas. Masing-masing peubah mempunyai dua
dime nsi, sehingga gabungan dari keduanya akan menghasilkan besaran empat
dime nsi yang sulit untuk digambarkan.
Oleh karena itu grafik fungsi kompleks diwakili oleh dua bidang kompleks
yang sering disebut dengan bidang dan bidang . Artinya jika diketahui =
( ) untuk setiap = + dalam domainnya bidang , dihitung padanannya
= + dan ditempatkan di bidang . Proses yang sama diulang untuk
setia p nilai dalam himpunan dalam domain akan menghasilkan
“bay angan dibawah ” pada bidang .
Gambar 3.1 Grafik Fungsi Kompleks
Gambar diatas adalah gambar fungsi = ̅. Untuk setiap nilai peubah
beba s = + diperoleh = − . Misalkan 1 = 2 + 3 akan
meng hasilkan 1 = 2 − 3 . Kemudian 2 = 1 − 2 akan menghasilkan 2 =
1 + 2 . Dan seterusnya.
Limit Fungsi Kompleks
Secara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit
pada bilangan riil dalam kalkulus. Kalau pada bilangan riil bila mendekati 0
hanya mendekati sepanjang garis riil sedangkan pada bilangan kompleks bila
mendekati 0 akan mendekati dari semua arah dalam bidang kompleks.
Definisi Limit Fungsi Kompleks
30
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
lim f (z) = w0 dibaca “limit ( ) untuk menuju 0 sama dengan 0 “,
z→z0
dan didefinisikan sebagai berikut:
lim f (z) = w0 ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ 0 < z − z0 < δ
z→z0
f (z) − w0 <ε.
berlaku
Secara geometri definisi di atas mengatakan bahwa untuk setiap
lingk ungan-ε dari 0 , yaitu | − 0| < ε ada suatu lingkungan-δ dari 0 ,
yaitu 0 < | − 0| < δ sedemikian sehingga setiap titik pada
imag e berada pada lingkungan-ε.
Dalam hal ini
• Jika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal
• z mendekati 0 dari berbagai arah atau lintasan
• Jika untuk lintasan yang berbeda, nilai ( ) untuk menuju 0 berbeda
maka lim f (z) tidak ada
z→z0
• ( ) tidak disyaratkan terdefinisi di = 0
Cont oh 3.2
f (z) = iz , z < 1 . Buktikan lim f (z) = i .
Misalkan
2 z→1 2
Bukt i:
Amb il > 0 sebarang. Pilih δ = 2ε ∋ z −1 < δ berlaku
f (z) − i = iz − i = i(z −1) = i z −1 1z −1
=
2 22 2 22
= z −1 < δ = 2ε = ε
2 22
Jadi untuk setiap z dan ε positif berlaku f (z) − i < ε bila 0 < z −1 < 2ε ,
2
Sehingga menurut definisi limit terbukti lim f (z) = i .
z→1 2
31
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
Cont oh 3.3
Misa lkan f (z) = z lim f (z) tidak ada.
. Buktikan
z z→0
Bukt i:
Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang berbeda.
• Pendekatan sepanjang sb-x positif, dalam hal ini y = 0.
lim f (z) = lim x + iy = lim x + i.0 = lim1 = 1.
z→0 ( x, y)→(0,0) x − iy ( x,0) x − i.0 x→0
• Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x = 0.
lim f (z) = lim x + iy = lim 0 + i.y = lim−1 = −1.\
z→0 ( x, y)→(0,0) x − iy (0, y) 0 − i.y y→0
• Pendekatan sepanjang garis y = x.
lim f (z) = lim x + iy = lim x + i.x = lim x(1 + i) = 1 + i .
z→0 (x,x)→(0,0) x − iy x→0 x − i.x x→0 x(1 − i) 1 − i
Kare na pendekatan sepanjang arah yang berbeda menghasilkan nilai yang tidak
lim f (z) = z tidak ada.
z
sama maka dapat disimpulkan bahwa z→0
Teorema
( ) = ( , ) + ( , ), 0 = 0 + 0 , 0 = 0 + 0 ,
Andaikan
maka
lim f (z) = ω0 ⇔ lim u(x, y) = u0 dan lim v(x, y) = v0
(x, y)→(x0, y0 )
z→z0 (x, y)→(x0, y0 )
Bukt i:
( ⇐ ) Misalkan lim u(x, y) = u0 dan lim v(x, y) = v0 ,
( x, y)→( x0, y0 ) ( x, y)→( x0, y0 )
artinya
∀ε > 0∃δ1,δ 2 ∋ u − u0 < ε ,0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ1
2
v − v0 < ε ,0 < (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ 2
2
Pilih δ = min(δ1,δ 2 ) .
32
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
Karena
(u + iv) − (u0 + iv0 ) = (u − u0 ) + i(v − v0 ) ≤ u − u0 + v − v0
dan
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = (x − x0 ) + i( y − y0 ) = (x + iy) − (x0 + iy0 )
(u + iv) − (u0 + iv0 ) <ε +ε =ε bila
22
maka
0 < (x + iy) − (x0 + iy0 ) < δ .
Jadi lim f (z) = ω0 .
z→z0
(⇒) M isalkan lim f (z) = ω0 , artinya
z→z0
∀ε > 0∃δ ∋ (u + iv) − (u0 + iv0 ) < ε bila 0 < (x + iy) − (x0 + iy0 ) < δ
Perhatikan bahwa
u − u0 ≤ (u − u0 ) + i(v − v0 ) = (u + iv) − (u0 + iv0 )
v − v0 ≤ (u − u0 ) + i(v − v0 ) = (u + iv) − (u0 + iv0 )
dan
(x + iy) − (x0 + iy0 ) = (x − x0 ) + i( y − y0 ) = (x − x0 )2 + ( y − y0 )2
Sehingga u − u0 < ε dan v − v0 < ε bila
0 < (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ .
Jadi lim u(x, y) = u0 dan lim v(x, y) = v0 .
( x, y)→( x0, y0 ) ( x, y)→( x0, y0 )
Teorema
Andaikan lim f (z) = A , lim g(z) = B maka
z→z0 z→z0
• lim( f (z) + g(z)) = A + B .
z→z0
• lim f (z)g(z) = AB .
z→z0
33
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
• lim f (z) = A
.
z→z0 g(z) B
Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak hingga.Bidang
kom pleks yang memuat titik tersebut disebut bidang kompleks yang diperluas.
Teor ema
Jika z0 dan w0 titik-titik pada bidang z dan w, maka
lim f (z) = ∞ ↔ lim 1 =0
1 ) z→z0 z→z0 f (z)
2 ) lim f (z) = w0 ↔ lim f 1 = w0
z
z→∞ z→0
lim f (z) = ∞ ↔ lim 1 = 0
z→0 f (1/ z)
3 ) z→∞
Keko ntinuan
Fungsi ( ) dikatakan kontinu di = 0 jika
• lim f (z) ada
z→z0
• ( 0) ada
• lim f (z) = f (z0)
z→z0
Deng an kata lain ( ) dikatakan kontinu di = 0 jika
lim f (z) = f (z0 ) ⇔ ∀ε >0 ∃δ > 0 ∋ z − z0 < δ
z → z0
berla ku f (z) − f (z0 ) < ε .
Fungi kompleks ( ) dikatakan kontinu pada region jika ( ) kontinu
pada tiap titik dalam . Misalkan ( ) = ( , ) + ( , ) kontinu di
0 = 0 + 0 ,
⇔ ( , ) dan ( , ) kontinu di ( 0, 0)
⇔ lim u(x, y) = u(x0 , y0 ) dan lim v(x, y) = v(x0 , y0 ) .
( x, y)→( x0, y0 ) ( x, y)→( x0, y0 )
34
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
Sifat-sifat Fungsi Kontinu
5 . Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks
6 . Jika f dan g kontinu pada daerah D maka
e) + kontinu
f) − kontinu
g) . kontinu
h) / kontinu kecuali di z0 ∈ D sehingga ( 0) = 0.
Ran gkuman
Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan
dalam beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. P eubah Kompleks ialah suatu titik umum dari himpunan tertentu pada
b idang datar.
2. F ungsi Peubah kompleks secara formal didefinisikan sebagai pasangan
te rurut dua bilangan kompleks ( , ) yang memenuhi syarat-syarat tertentu
3. G rafik fungsi kompleks diwakili oleh dua bidang kompleks yang sering
d isebut dengan bidang dan bidang
4. L imit Fungsi Kompleks didefinisikan dengan lim f (z) = w0 dibaca
z→z0
“ limit ( ) untuk menuju 0 sama dengan 0 “, dan didefinisikan
se bagai lim f (z) = w0 ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ 0 < z − z0 < δ berlaku
z→z0
f (z) − w0 < ε .
5. F ungsi ( ) dikatakan kontinu di = 0 jika lim f (z) ada, ( 0) ada,
z→z0
l im f (z) = f (z0)
z→z0
Latihan dalam ( , ) + ( , )
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1. Uraikan setiap fungsi yang diberikan
kemudian dalam ( , ) + ( , )
a. ( ) = 2 + 3 3
b. ( ) = ̅ + ( / )
35
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks
2 . Gambarkan dengan kawannya yang diberikan dibawah fungsi yang
bersangkutan. = 0, 2 , 1, , −2 , 1 +
a. = − 2
b. = cos + sin = 0, 2 , −2 , 1 − , −2 +
( /2)
3 . Misalkan dan konstanta kompleks. Gunakan definisi limit untuk
membuktikan
a) lim (az + b) = az0 + b
z→z0
b) lim(z 2 + b) = z02 + b
z→z0
Buktikan bahwa, untuk sebarang 0 dan sebarang bilangan bulat tak
negatif , lim = ( 0) , untuk → 0
4.
Sebagai akibatnya, buktikan bahwa fungsi ( ) = kontinu dimana-
mana
5 . Buktikan bahwa fungsi
( ) = ln| | +
Tidak kontinu sepanjang sumbu nyata tak positif.
Daftar Pustaka
Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis. Heidelberg: Springer,
2 005.
Jurus an Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus 1 . Surabaya: Jurusan
M atematika FMIPA, 2005.
Palio uras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
E rlangga, 1987.
36
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Turunan Fungsi Kompleks
Paket 4
TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS
Pen dahuluan
Perkuliahan pada paket keempat ini difokuskan pada konsep turunan fungsi
kompleks. Materi pada paket ini merupakan lanjutan dari paket ketiga dan
merupakan bekal untuk materi pada paket-paket selanjutnya yaitu Persamaan
Cauchy Riemann. Oleh karena itu pemahaman terhadap materi ini penting
untuk ditekankan sekalipun materi dalam paket ini tergolong mudah.
Pada awal Paket 4 ini, dilakukan brainstormning kepada mahasiswa tentang
turunan pada fungsi real sebelum masuk pada materi turunan fungsi kompleks.
Selanjutnya mahasiswa akan dibimbing bagaimana definisi fungsi kompleks
diturunkan, terakhir mahasiswa dikonstruk untuk membuktikan teknik-teknik
turunan dengan melakukan generalisasi menggunakan definisi turunan.
Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap
mahasiswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelompok. Langkah tersebut diupayakan
untu k menggali ide-ide dan potensi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menj alin komunikasi sosial yang lebih efektif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keter ampilan sosial mereka akan diketahu i untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.
Rencana Pelaksanaan Perkuliahan
Kompetensi Dasar
Menjelaskan konsep dasar cara penurunan fungsi kompleks
37
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Turunan Fungsi Kompleks
Indi kator
Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1. Menyelesaikan turunan fungsi kompleks
2. Menyebutkan syarat fungsi yang differensiabel
Wak tu
3x50 menit
Mat eri Pokok
Pengantar bilangan kompleks meliputi:
1. Turunan fungsi kompleks
2. Teknik turunan
3. Aturan Rantai
Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)
1 . Menjelaskan kompetensi dasar
2 . Menjelaskan indikator
3 . Apersepsi materi fungsi kompleks dengan membandingkan dengan
fungsi real.
4. Brainstorming dengan mengerjakan soal sederhana, serta memotivasi
pentingnya mempelajari fungsi kompleks.
Kegiatan Inti (100 menit)
1. Dosen menjelaskan beberapa konsep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 4.
2. Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
untuk mendiskusikan bagaimana konsep turunan pada fungsi kompleks
sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.
3. Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
38
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Turunan Fungsi Kompleks
memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4 . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
5 . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi
6 . Penguatan hasil diskusi dari dosen
7 . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi
Keg iatan Penutup (10 menit)
1 . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2 . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3 . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa
Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)
1 . Memberi tugas latihan
2 . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.
Lem bar Kegiatan Mahasiswa
Membuktikan teknik turunan pada fungsi kompleks.
Tuju an
Mahasiswa dapat membandingkan teknik turunan pada fungsi real dengan
turun an pada fungsi kompleks. Selain itu mahasiswea dapat membuktikan
tekni k-teknik turunan pada fungsi kompleks.
Baha n dan alat
Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol
Langkah-langkah kegiatan
1. Masing kelompok mendapatkan tugas untuk menurunkan teknik
turunan pada fungsi kompleks.
a. d [ f (z) + g(z)] = f ′(z) + g′(z)
dz
39
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Turunan Fungsi Kompleks
b. d [ f (z) − g(z)] = f ′(z) − g′(z)
dz
c. d [ f (z)g(z)] = f ′(z)g(z) + f (z)g′(z)
dz
d. d f (z) = f ′(z)g(z) − f (z)g′(z)
dz g (z)
[g ( z )]2
2. Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.
3. Kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil
diskusinya didepan kelas.
Ura ian Materi
TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS
Gambar 4.1
Turunan
Turunan Fungsi Kompleks
Dari gambar diatas, misalkan fungsi kompleks = ( ), titik 0 berada
dalam domain bagi . Andaikan
= 0 + ∆ ∆ = ∆ + ∆
40
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Turunan Fungsi Kompleks
,
Adal ah suatu titik di dalam kemudian dibentuk hasil beda
( ) − ( 0)
− 0
Jika limit hasil bagi ini ada untuk → 0 , maka dikatakan = ( ) dapat
didef erensialkan di 0 , limitnya dinamakan turunan di 0 dan dinotasikan
deng an ′( ) atau ′( )1.
Dari penjelasan diatas, = ( ) dikatakan terdeferensialkan di 0
asalk an limit dari ( )− ( 0) ada. Hal ini bisa dituliskan dengan
− 0
( ) − ( 0)
′( ) = l →im 0 − 0
bahwa ′( ) adalah bilangan kompleks. Jika titik khusus 0
Perhatikan
tidak perlu di sebutkan, turunan seringkali dinotasikan dengan
Ada dua bentuk yang sering digunakan dalam mendefinisikan turunan dari =
( ) yaitu ′( ) = ∆l i m→0 ( + ∆ ) − ( 0)
∆
′( ) = l →im 0 − 0
− 0
Dan
Turunan dapat diperoleh dengan cara langsung menerapkan definisi. Cara
sepe rti ini sama dengan yang dugunakan pada kalkulus. Ada cara-cara yang
lebih cepat dalam menghitung turunan suatu fungsi. Cara-cara tersebut
ditur unkan dari definisi turunan dan sering disebut sebagai teknik turunan.
Cont oh 4.1
Dengan menggunakan definisi, dapatkan turunan dari ( ) = 2 + 3
Penyelesaian :
Substitusikan fungsi yang akan diturunkan ke dalam definisi turunan
′( ) = ∆l i m→0 ( + ∆ ) − ( 0)
∆
1 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987), 45
41
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Turunan Fungsi Kompleks
= ∆l i m→0 ( + ∆ )2 + 3( + ∆ ) − ( 2 + 3 )
= ∆l i m→0 ∆
2 + 2 ∆ + ∆ 2 + 3 + 3∆ − 2 − 3
∆
2 ∆ + ∆ 2 + 3∆ 2
= ∆l i m→0 ∆
= ∆l i m→0 2 + ∆ + 3
= 2 + 3
Jadi diperoleh turunan dari ( ) = 2 + 3 adalah ′( ) = 2 + 3
Teknik Turunan
Jika setiap menghitung turunan digunakan definisi, maka waktu yang
diper lukan waktu yang cukup lama untuk menyelesaikan beberapa turunan.
Oleh karena itu dikembangkan apa yang disebut teknik turunan yang
dikem bangkan dari definisi turunan. Dengan menggunakan teknik turunan ini
wakt u yang digunakan dalam menghitung turunan suatu fungsi kompleks lebih
asing kat. Tidak semua teknik diberikan bukti generalisasinya dari definisi
turunan, beberapa teknik bisa digeneralisasikan sendiri dari definisi turunan
seba gai latihan. Teknik-teknik tersebut meliputi:
d (c) = 0
1.
dz
Bukt i:
( + ∆ ) − ( 0)
− ∆
′( ) = ∆l i m→0
∆
= ∆l i m→0
= ∆l i m→0 0
∆
=0
2. d (z) = 1
dz
Bukti: ( + ∆ ) − ( 0)
′( ) = ∆l i m→0 ∆
42
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Fungsi Kompleks 2
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search