Fungsi Kompleks 2

 

Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear

  

 

Ura ian Materi

 

  TRANSFORMASI KEBALIKAN

  DAN

 

TRANSFORMASI BILINEAR DAN

 

 

 

Tran sformasi Kebalikan

  Fungsi kebalikan adalah fungsi yang berbentuk

  ( ) = 1
 

Fung  si ini merupakan fungsi satu-satu, kecuali = 0 dan = 0 . Turunan

fung si ini diberikan oleh ′ = −1/ 2 yang terdefinisi untuk semua kecuali

=  0. Jadi fungsi ini analitik pada semua kecuali pada pusat koordinat.

  Secara naluriah nampak jelas bahwa dibawah fungsi kebalikan, titik-

titik  yang hampir mendekati = 0 dipetakan ke titik-titik di daerah jauh pada

bidan  g . Sedangkan titik-titik di tempat jauh dari = 0 dipetakan ke titik-
 
“dekat” pada = 0.
titik yang
  Secara geometri hal ini bisa didekati dengan menuliskan dan

 

dalam  bentuk kutub. Jika =

 

maka 

  = 1 cos(− )
 

Yang  dapat di jelaskan dengan, “dibawah fungsi kebalikan suatu titik dengan

mod ulus dan argumen dipetakan menj adi suatu titik dengan modulus 1/

dan argumen – ”. Geometri transformasi ini dapat dilihat pada gambar 9.11.

1 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987), 91

93

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Gambar 9.1
  Konstruksi = 1/

 

Cont  oh 9.1
  Perhatikan garis tegak = 1, dibawah pemetaan = 1/

 

Peny  elesaian

Peng  uraian fungsi = 1/

  1 = 2 2 − 2 2
  + +

Dipe roleh = 2 2 = − 2 2
+ +
 

 

Gari s tegak yang diberikan = 1 , sehingga setiap titik yang diberikan
 
= 1 + , dan didapatkan
berbentuk
 
  = 1 1 = − 1
+ 2 + 2
  

Dengan mengkuadratkan keduanya dan menjumlahkan keduanya didapatkan

2 + 2 =

Dengan melengkapi kuadrat diatas dihasilkan lingkaran

� − 21� = 1
2

Lingkaran ini merupakan bayangan garis yang diberikan ( ) = 1.

94

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear

  

 

  Dengan mengembangkan contoh 9.1 diperoleh bahwa setengah bidang
( )  > 1 dipetakan ke bagian dalam lingkaran diatas, dan juga bahwa

seten  gah bagian atas pada setengah bidang dipetakan ke bagian bawah

seten  gah lingkaran, dan sebaliknya.

 

Cont  oh 9.2

  Lingkaran | − 1| = 1, dibawah pemetaan = 1/

 

 Penyelesaian

   fungsi = 1/
 
Penguraian 

1 = 2 2 − 2 2
+ +

Dipe roleh = 2 2 = − 2 2
+ +
 

 
Deng  an menyederhanakan | − 1| = 1 diperoleh
  2 + 2 = 2

Subs titusi ke dan diperoleh

  = 1 = −
  2 2

Kare na = ( , ) berubah ubah sepanjang lingkaran yang diberikan,

meng  ambil semua nilai nyata, sementara tetap konstan pada 1/2. Sehingga

disim  pulkan bahwa bayangan yang diberikan adalah = 1/2 . Dengan

meng  embangkan contoh ini bagian dalam lingkaran yang diberikan dipetakan

pada  setengah bidang disebelah kanan bayangan garis = 1/2 tetapi dengan

 

kebalikan setengah bidang bagian atas dan bagian bawahnya.

  

Akhirnya, dibawah transformasi kebalikan garis-garis dan lingkaran-

lingkaran dipetakan ke garis-garis atau lingkaran-lingkaran. Hal ini didasarkan

pada kenyataan bahwa

1 = 2 2 − 2 2
+ +

95

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear

  

  lingkaran ( 2 + 2) + + + = 0 jika ( ≠ 0) dan

Dan  persamaan

mew akili suatu garis ( = 0).

 

Tran sformasi Bilinear

 Jika , , , dan konstanta kompleks, maka

  = + , − ≠ 0
  +

Dina  makan transformasi bilinear. Transformasi bilinear memiliki

seju mlah sifat pemetaan yang menarik. Sifat yang pertama adalah

“Dib  awah transformasi bilinear garis-garis dan lingkaran-lingkaran

dipe takan menjadi garis-garis atau lingkaran-lingkaran”
 

Sifat pertama ini didasarkan pada 2 kenyataan. Pertama kenyataan

 
bahwa pemetaan bilinear merupakan gabungan dari tiga fungsi
 

dian taranya = 1 , = −
  = + , +

 

Arti nya pemetaan bilinear merupakan gabungan dari pemetaan linear

diiku  ti dengan pemetaan kebalikan dan terakhir pemetaan linear. Kedua,

pem etaan linear merupakan transformasi serupa dan transformasi

keba  likan memetakan garis-garis dan lingkaran-lingkaran ke garis-garis

atau  lingkaran-lingkaran.

 Suatu garis atau lingkaran , pada bidang ditransformasikan
 
fungsi bilnear. Oleh fungsi = + garis akan diputar,
dibawah
 
kemudian digeser menjadi garis atau lingkaran ′.
diperbesar,
 
oleh fungsi = 1 akan dibalikkan menjadi garis atau
Sela njutnya

  ′′. Terakhir oleh fungsi   = + − akan diputar,

lingkaran ketiga

diperbesar, dan digeser menjadi garis atau lingkaran ′′′.

Contoh 9.2

Tunjukkan bahwa pemetaan bilnear = −1 memetakan setengah bidang
+1

( ) > 0 menjadi cakram satuan | | < 1

96

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear

  

 

Peny  elesaian

Pem etaan ini dibagi dalam tiga tahapan,

  = + 1, = 1 , = −2 + 1
 

1  . Dibawah pemetaan = + 1, setiap titik pada setengah bidang yang

  diberikan diputar sebesar 0 radian, diperbesar dengan faktor 1 dan

  terakhir digeser dengan vektor 1 sehingga menghasilkan setengah

  bidang ( ) > 1 1

2  . Setengah bidang ( ) > 1 kemudian dipetakan dibawah =

  kedalam lingkaran � − 12� = 1 , tetapi dengan setengah bagian atas dan
  2

  bawah saling dipertukarkan.
3  . Terakhir dibawah = −2 + 1, bagian dalam lingkaran akan diputar

  sebesar – radial menjadi bagian dalam lingkaran � + 21� = 1 ,
2
  pertukaran ini akan menukar letak setengah bagian atas dan bawah

  cakram tersebut. Putaran ini kemudian diikuti dengan regangan dengan

  faktor 2 menjadi bagian dalam lingkaran | + 1| = 1 , dan akhirnya

  digeser dengan vektor 1 menghasilkan cakram | | < 1
Pros es transformasi ini dapat dilihat pada gambar 9.22.

 

 Sifat kedua transformasi bilinear dinyatakan sebagai beikut: bila

dike tahui sebarang tiga titik berbeda 1, 2, 3 pada bidang dan

seba rang tiga titik berbeda 1, 2, 3 pada bidang , maka terdapat
trans  formasi bilinear yang tunggal yang memetakan ke , = 1,2,3.
 
Transformasi bilinear yang tunggal ini diperoleh dengan
 
  ( − 1)( 2 − 3) = ( − 1)( 2 − 3)
  ( − 3)( 2 − 1)  ( − 3)( 2 − 1)

2 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987), 97

97

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Gambar 9.2

  Transformsi bilinear = −1
  +1

Cont  oh 9.2

 Carilah transformasi bilinear yang memetakan 1 = 0, 2 = , 3 = −1 ke

1 =  12, 2 = 11 + , 3 = 11 secara berurutan

 

Peny  elesaian

 Den gan substitusi 1, 2, 3 dan 1, 2, 3 ke
( − 1)( 2 − 3)  ( − 1)( 2 − 3)
( − 3)( 2 − 1) = ( − 3)( 2 − 1)

diperoleh

( − 12) (1 + )
( − 11)(−1 + ) = ( + 1)

Menghasilkan persamaan bilinear

98

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear

  

  = 10 − 12
  − 1
 

 

 

 

Ran gkuman

 Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan

dalam  beberapa kesimpulan sebagai berikut.

1. D  ibawah fungsi kebalikan suatu titik dengan modulus dan argumen
d ipetakan menjadi suatu titik dengan modulus 1/ dan argumen –

 

2. Pemetaan bilinear merupakan gabungan dari pemetaan linear diikuti dengan

 

pemetaan kebalikan dan terakhir pemetaan linear

 

 

 

Lati han

Jawa blah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!

1  . Carilah bayangan masing-masing titik berikut dibawah transformasi

  kebalikan
  a. 1 +
  b. 5 − 12
  c. −3 + 4
  d. 1/(1 − )
2  . Lingkaran satuan | | = 1 dan sumbu koordinat membagi bidang

  menjadi delapan daerah. Dapatkan bayangan masing-masing daerah ini

  dibawah = 1/
3  . Tunjukkan bahwa sebarang garis = , ≠ 0 dipetakan menjadi

  lingkaran  

� − 21 � = 1
2| |

dibawah transformasi kebalikan

4. Carilah bayangan setiap titik = 0, 1, −1, , − , ∞ dibawah pemetaan
− + 2
= +

99

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear

  

 

5. Carilah titik-titik tetap pada transformasi 
 
a. = − +
−
−2
  b. = −1
 
Carilah bayangan setengah bidang ( ) ≥ 0 dibawah pemetaan
6.
  −
  = 1

 

 

 

 

 

Daftar Pustaka

 

Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis. Heidelberg: Springer,
2 005.

Palio  uras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
E rlangga, 1987.

Saff,  E.B and A.D Snider. Fundamentals of complex Analysis with Apllication
to  Engineering and Science, New Jersey: Pearson Education Inc, 2003

Weg ener, Ingo. Complexity Theory Exploring the Limits of Efficient
A  lgorithms. Berlin: Springer, 2005

 

 

 

 

 

 

 

  

100

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Eksponensial dan Logaritmik

  
 

  Paket 10
  TRANSFORMASI EKSPONENSIAL DAN
  LOGARITMIK

 
 
 

Pen dahuluan

Pe  rkuliahan pada paket kesepuluh ini difokuskan transformasi eksponensial
dan l ogaritmik. Pendefinisian fungsi logaritma pada variabel kompleks didasari
oleh  bagaimana menyelesaikan persamaan = , dengan dan bilangan
kom pleks. Oleh karena itu pemahaman terhadap materi ini penting untuk
ditek  ankan sebagai prasyarat untuk mempelajari paket-paket selanjutnya.

Pa  da awal Paket 10 ini, mahasiswa diajak untuk menyelesaikan dua buah
kasu s tentang transformasi eksponensial. Selanjutnya dari kasus tersebut
maha  siswa diajak untuk membuat ikhtisar dari temuan-temuan yang diperoleh.
Sete lah mendapatkan materi tentang transformasi eksponensial mahasiswa
diper  kenalkan dengan transformasi logaritmik yang merupakan invers dari
trans  formasi eksponensial.

  Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap
maha  siswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang  dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu  dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam  perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb  elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang  dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelompok. Langkah tersebut diupayakan
untu k menggali ide-ide dan potensi k reatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menjalin komunikasi sosial yang lebih efektif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keterampilan sosial mereka akan diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.

101

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Eksponensial dan Logaritmik

  

 

Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan

Kom  petensi Dasar
Men jelaskan kembali fungsi elementer beserta sifat operasinya.

 

Indi kator

 Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1.  Menuliskan kembali macam fungsi elementer
2.  Mengoperasikan fungsi-fungsi elementer
3.  Menggunakan Transformasi Kompleks

 

Wak  tu

 3x50 menit

 

Mat eri Pokok

 Materi pada paket ini meliputi:
1.  Transformasi kebalikan
2.  Transformasi bilinear

 

Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)

1  . Menjelaskan kompetensi dasar
2  . Menjelaskan indikator
3  . Apersepsi transformasi kebalikan dan bilinear
4  . Memotivasi mahasiswa bahwa materi yang akan dipelajari sangat
  bermanfaat untuk mempelajari materi berikutnya

 

Keg iatan Inti (100 menit)

1  . Dosen menjelaskan beberapa kon sep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 10.

2. Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
untuk mendiskusikan bagaimana konsep pemetaan dan transformasi
pada fungsi kompleks sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.

102

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Eksponensial dan Logaritmik

  

 

3. Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa

 

  berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
  yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
  memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
  presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4  . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
  kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.

5  . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi

6  . Penguatan hasil diskusi dari dosen

7  . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan

  sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi

 

Keg iatan Penutup (10 menit)

1  . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2  . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3  . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa

 

Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)

1  . Memberi tugas latihan

2  . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.

 

Lem  bar Kegiatan Mahasiswa

 Memeriksa dua kasus khusus pada transformasi eksponensial

 

Tuju  an
 Mahasiswa dapat membuat generalisasi transformasi eksponensial dari dua

kasu s khusus yang diberikan.

   

Bahan dan alat

Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol

103

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Eksponensial dan Logaritmik

  
 

Langkah-langkah kegiatan

 

1. Masing kelompok mendapatkan tugas untuk

 

  a. Tentukan bayangan garis mendatar = dibawah
  = ,
  b. Tentukan bayangan = , − < < dibawah
  = ,

 

2  . Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.
3  . Kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil
  diskusinya didepan kelas.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

104

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Eksponensial dan Logaritmik

  

 

Ura ian Materi

 

  TRANSFORMASI EKSPONENSIAL DAN

  LOGARITMIK

 

 

Tran sformasi Eksponensial =

 

Fungsi eksponensial

 

 

Bisa  dipelajari melalui dua kasus khusus. Dari dua kasus ini kemudian

digen  eralisasi.

 

Cont  oh 10.1

  Tentukan bayangan garis mendatar = dibawah
  = ,

 

Peny  elesaian
Jika   = , maka | | = dan arg = . Setiap titik pada garis yang

 

diber  ikan berbentuk
  = + , − ∞ < < ∞

Kare na berubah-ubah dari −∞ hingga +∞ , nilai berubah-ubah dari 0

hing ga +∞ sementara tetap pada = . Dengan kata lain, jika nilai

beru bah-ubah dari −∞ hingga +∞ , | | berubah-ubah dari 0 hingga +∞

seda ngkan arg tetap arg = .
Hal   ini berarti , jika berubah-ubah sepanjang garis yang diberikan,
mene  ntukan suatu sinar yang dipancarka  n dari pusat koordinat (tapi tidak

termasuk koordinatnya) dengan sudut inklinasi radial. (lihat gambar 10.11)

1 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987),
100

105

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Eksponensial dan Logaritmik

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Gambar 10.1
  Bayangan = dibawah =

 

Con toh 10.2

 Tentukan bayangan = , − < < dibawah

  = ,

 

Pen yelesaian

Setia  p titik pada penggal garis tersebut berbentuk
  = + , − < <

Jika  berubah-ubah dari – ke , cos + sin menentukan suatu

lingk  aran lengkap. Sedangkan | | tetap tinggal pada . Dengan kata

lain,  jika berubah-ubah sepanjang penggal garis yang diberikan,
men entukan suatu lingkaran berpusat pada = 0 dan berjari-jari .
 
diperbolehkan untuk domain yang lebih luas dalam garis tegak
Jika
 
sama, akan mengulangi jejaknya pada lingkaran yang sama. Jika
yang 
diam  bil seluruh titik pada garis tegak  = , maka lingkaran | | =

akan terulang tak berhingga kali.

Dari dua contoh diatas, bisa diikhtisarkan bahwa: “dibawah =
garis mendatar dipetakan ke sinar-sinar yang dipantulkan dari = 0 dan
garis tegak dipetakan ke lingkaran-lingkaran yang berpusat di = 0”.

106

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Eksponensial dan Logaritmik

  
 

 Jika diambil semua garis mendatar dalam – < ≤ , bayangannya
meru  pakan semua sinar dengan sudut-sudut inklinasi yang berbeda-beda
dari  – ≤ arg ≤ . Secara keseluruhan semua sinar-sinar itu
men ghabiskan semua titik pada bidang kecuali = 0. Lihat gambar
10.2 2.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Gambar 10.2
  Garis ke sinar dibawah =

 

 Jika diambil semua penggal garis tegak yang termuat antara – <
<  , bayangannya merupakan lingkaran lingkaran yang berpusat di
=  0 . Lingkaran itu akan menutup kecuali = 0 . Lihat gambar
10.3 3.

 
 
 
 
 
 
  

Gambar 10.3
Garis ke Lingkaran dibawah =

2 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987),
101

3 ibid

107

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Eksponensial dan Logaritmik

  

 

Tran sformasi Logaritmik

  Fungsi log( ) =

 

Berla  ku untuk semua . Sifat ini menyatakan kenyataan bahwa fungsi log

meru  pakan invers fungsi . Jika ditentukan untuk setiap dan diterapkan

fung si pada , diperoleh kembali . Secara singkat dapat disimpulkan

bahw  a “log meniadakan apa yang dikerjakan oleh untuk sebarang ”.
 Dari fungsi diatas dapat diperoleh
  = ln| | +

 

Artinya

 

  = ln| | = arg
Jika   berubah-ubah pada semua nilai kecuali nol, | | berubah-ubah antara 0

dan +  ∞; jadi ln| | berubah-ubah dari −∞ ke +∞, oleh karena itu −∞ < <

∞.Se  lain itu karena argumen pokok mempunyai syarat yaitu berada pada – <

arg   ≤ didapatkan – < ≤ . Dengan menggabungkan dan diperoleh
 
pokok pada bidang . Untuk lebih jelasnya lihat gambar 10.44.
lajur
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Gambar 10.4
Lajur pokok dibawah = log

4 Ibid, halaman 103

108

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Eksponensial dan Logaritmik

  

 

Ran gkuman

 Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan

dalam  beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. D  ibawah = garis mendatar dipetakan ke sinar-sinar yang dipantulkan

d ari = 0 dan garis tegak dipetakan ke lingkaran-lingkaran yang berpusat
d i = 0
2. T ransformasi logaritma log meniadakan apa yang dikerjakan oleh untuk
se  barang

 

 

 

Lati han

Jawa  blah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1  . Tentukan bayangan setiap kurva berikut dibawah =

  a. Sinar = 1, > 0

  b. Sinar = 1, > −1

  c. Penggal garis = 0, − 3 < < 3
2 2
  d. Garis = 3

  e. Garis = −8

2  . Carilah bayangan kurva berikut dibawah = log

  a. Lingkaran | | = , > 0

  b. Sinar yang dipancarkan dari pusat koordinat kecuali pusatnya

  yang mempunyai sudut inklinasi = − /4
3  . Carilah bayangan dibawah fungsi eksponensial segi banyak yang

  dibentuk dengan menghubungkan titik-titik 0, 2, 2 + , −2 + , −2 −
  2 , −2 , dan 0

 

  

Daftar Pustaka

Freitag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis. Heidelberg: Springer,
2005.

Paliouras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
Erlangga, 1987.

109

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Eksponensial dan Logaritmik

  
 

Saff,  E.B and A.D Snider. Fundamentals of complex Analysis with Apllication
to Engineering and Science, New Jersey: Pearson Education Inc, 2003

 

Weg ener, Ingo. Complexity Theory Exploring the Limits of Efficient
Algorithms. Berlin: Springer, 2005

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

110

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi w = sin z dan w = cos z

  
 

  Paket 11
  TRANSFORMASI = dan =

 
 
 

Pen dahuluan

Pe  rkuliahan pada paket kesebelas ini difokuskan transformasi = sin dan
=  cos . Materi transformasi ini sangat penting untuk diketahui. Oleh
karen  a itu pemahaman terhadap materi ini penting untuk ditekankan sebagai
prasy  arat untuk mempelajari paket-paket selanjutnya.

Pa  da awal Paket 11 ini, mahasiswa diajak untuk mempelajari transformasi
=  sin . Transformasi ini didekati dengan menguraikan sin kedalam
bent uk dan . Selanjutnya dengan cara yang sama dieksplorasi transformasi
=  cos .

  Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap
maha  siswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang  dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu  dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam  perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb  elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang  dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelompok. Langkah tersebut diupayakan
untu k menggali ide-ide dan potensi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menj alin komunikasi sosial yang lebih efektif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keter ampilan sosial mereka akan diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi
dan  simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
dihar  apkan untuk mengoptimalisasi pencap  aian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.

111

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi w = sin z dan w = cos z

  

 

Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan

Kom  petensi Dasar
Men jelaskan kembali fungsi elementer beserta sifat operasinya.

 

Indi kator

 Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1.  Menuliskan kembali macam fungsi elementer
2.  Mengoperasikan fungsi-fungsi elementer
3.  Menggunakan Transformasi Kompleks

 

Wak  tu

 3x50 menit

 

Mat eri Pokok

 Materi pada paket ini meliputi:
1.  Transformasi = sin
2.  Transformasi = cos

 

Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)

1  . Menjelaskan kompetensi dasar
2  . Menjelaskan indikator
3  . Apersepsi transformasi = sin dan = cos
4  . Memotivasi mahasiswa bahwa materi yang akan dipelajari sangat
  bermanfaat untuk mempelajari materi berikutnya

 

Keg iatan Inti (100 menit)
  
1. Dosen menjelaskan beberapa konsep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 11.
2. Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
untuk mendiskusikan bagaimana konsep pemetaan dan transformasi
pada fungsi kompleks sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.

112

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi w = sin z dan w = cos z

  

 

3. Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa

 

  berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
  yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
  memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
  presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4  . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
  kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.

5  . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi

6  . Penguatan hasil diskusi dari dosen

7  . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan

  sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi

 

Keg iatan Penutup (10 menit)

1  . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2  . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3  . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa

 

Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)

1  . Memberi tugas latihan

2  . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.

 

Lem  bar Kegiatan Mahasiswa

 Memetakan penggal garis dibawah pemetaan = sin

 

Tuju  an
 Mahasiswa dapat memetakan penggal garis yang diberikan dibawah

peme  taan = sin

   

Bahan dan alat

Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol

113

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi w = sin z dan w = cos z

  

 

Langkah-langkah kegiatan

 

1. Masing kelompok mendapatkan tugas untuk

 

  a. Buktikan bahwa dibawah = sin , sepanjang penggal garis

  mendatar
  2 2
= ≠ 0, 2 − ≤ ≤ 2 +

  Dipetakan ke setengah bagian atas atau setengah bagian bawah

  ellips
  2 2
  cosh 2 + sinh 2 = 1
  Tergantung > 0 dan < 0

  b. Dibawah = sin , sebarang garis tegak

  = , ≠ 2 , =
 

  Dipetakan ke setengah sebelah kanan atau setengah sebelah kiri

  hiperbola

  2 2
  sin 2 + cos 2 = 1

  Tergantung pada apakah 2 < < 2 + atau 2 − <

  < 2

 

2. Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.

 

3. Kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil

 

  diskusinya didepan kelas.

 

 

 

 

  

114

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi w = sin z dan w = cos z

  

 

Ura ian Materi

 

  TRANSFORMASI = dan =

 

 

Tran sformasi =
 Pada fungsi
  = sin = cos

sin   dapat diuraikan menjadi
  sin = sin cosh + sinh cos

 

Sehi ngga diperoleh persamaan
  = sin cosh = sinh cos

Persa  maan diatas dijadikan pedoman untuk mengenal sifat-sifat pemetaan
fung si sinus. Dimulai dengan beberapa contoh

 

 Perhatikan interval berikut
2
  − 2 ≤ ≤ , = 0

Jika   = 0, maka cosh = 1 dan sinh = 0, sehingga untuk sebarang titik
 

pada interval yang diberikan diperoleh
  = sin = 0
 
  berubah-ubah antara – /2 dan /2 maka nilai sin berubah-ubah
Karena

anta ra −1 dan 1 . Akibatnya, dibawah = sin , interval yang diberikan

dipet  akan ke = 0,
  −1 ≤ ≤ 1,

Pada  bidang . Lihat gambar 11.11.

 Menggunakan penalaran yang sama , dapat ditunjukkan bahwa sumbu
nyata bidang dipetakan ke interval yang sama dengan contoh diatas yaitu

interval

−1 ≤ ≤ 1, = 0,

Pada bidang . Pemetaan sumbu nyata bidang menutup interval tak

berhingga kali

1 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987),
105

115

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi w = sin z dan w = cos z

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Gambar 11.1
  Transformasi = sin

 

 Pada contoh selanjutnya akan ditunjukkan bahwa sumbu khayal = 0
dipet  akan ke sumbu khayal = 0, dibawah pemetaan sinus. Bila = 0, maka

  = 0 = sinh
Kare na berubah-ubah dari −∞ ke ∞ pada sumbu khayal, maka = sinh
beru bah-ubah dari −∞ ke ∞. Sedangkan tetap berada pada 0. Artinya sumbu
=  0 dipetakan ke sumbu = 0 . Pada pemetaan ini separo bagian atas

dipet  akan ke separo bagian atas dan separo bagian bawah dipetakan ke separo

bagia  n bawah.

 

 

Tran sformasi =

 Pada transformasi = cos , cos dapat diuraikan menjadi
  cos = cos cosh − sin sinh
 
Dengan menggunakan identitas
    2 �

cos = sin � +

Dapat diketahui sifat-sifat pemetaan cos . Yaitu melalui gabungan

pemetaan
2
= + = sin

116

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi w = sin z dan w = cos z

  

  = 0

Contoh 11.1

 

Tent ukan bayangan interval
  : − ≤ ≤ 0,

Diba wah pemetaan = sin � + 2 �

 

Peny  elesaian

Inter val

  : − ≤ ≤ 0, = 0

diba wah pergeseran = +
2
 

 

Dipe takan ke ′: − ≤ ( ) ≤ , ( ) = 0
2 2
 
 

Selan  jutnya dibawah
  = sin

′ di petakan ke
  ′′: −1 ≤ ≤ 1, = 0.

Akhi  rnya disimpulkan bahwa dibawah = cos , interval − ≤ ≤ 0, = 0.

dipet  akan ke −1 ≤ ≤ 1, = 0.

 

 

 

Ran gkuman

 Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan

dalam  beberapa kesimpulan sebagai berikut.

1. si  n dapat diuraikan menjadi
  sin = sin cos h + sinh cos

Sehingga diperoleh persamaan

= sin cosh = sinh cos

2. Karena cos = sin � + 2 � sifat sifat pemetaan = cos dapat diperoleh

melalui gabungan pemetaan

= + = sin
2

117

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi w = sin z dan w = cos z

  

 

Lati han

Jawa  blah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1  . Tunjukkan bahwa setiap interval berikut dipetakan dibawah = sin

  ke interval

  : −1 ≤ ≤ 1, = 0
3
  a. − 2 ≤ ≤ − 2 , = 0

  b. − ≤ ≤ 0, = 0

  c. 0 ≤ ≤ , = 0

  d. ≤ ≤ 3 , = 0
  2 2
2  . Tentukan bayangan, dibawah = sin , persegi panjang pada gambar

  berikut, dengan menentukan secara tepat bayangan ke enam titik
  , , , , ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Daftar Pustaka

 

Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis. Heidelberg: Springer,
2005.

  

Paliouras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:

Erlangga, 1987.

Saff, E.B and A.D Snider. Fundamentals of complex Analysis with Apllication
to Engineering and Science, New Jersey: Pearson Education Inc, 2003

Wegener, Ingo. Complexity Theory Exploring the Limits of Efficient
Algorithms. Berlin: Springer, 2005

118

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Konformal

  
 

  Paket 12
  TRANSFORMASI KONFORMAL

 
 

Pen dahuluan
 
Perkuliahan pada paket keduabelas ini difokuskan transformasi konformal.
 

Konsep umum keserupaan melingkupi topik-topik yang beraneka ragam, yang

 

langsung atau tidak langsung berhubungan dengan mata rantai yang paling

 

penting antara teori dan terapan. Oleh karena itu pemahaman terhadap materi

 

ini penting untuk ditekankan sebagai prasyarat untuk mempelajari paket-paket

 

selanjutnya.

 

Pada awal Paket 12 ini, mahasiswa diajak membuktikan teorema.

 

Selanjutnya membuktikan akibat teorema yang telah dibuktikan sebelumnya.

 

Setelah mengetahui akibat teorema mahasiswa membuat kesimpulan tentang

 

transformasi konformal.

 

Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap

 

mahasiswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam

 

perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang  dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu  dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam  perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb  elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang  dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelompok. Langkah tersebut diupayakan
untu k menggali ide-ide dan potensi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menj  alin komunikasi sosial yang lebih efektif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keter  ampilan sosial mereka akan diketahu i untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.

119

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Konformal

  

 

Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan

Kom  petensi Dasar
Men jelaskan kembali fungsi elementer beserta sifat operasinya.

 

Indi kator

 Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1.  Menuliskan kembali macam fungsi elementer
2.  Mengoperasikan fungsi-fungsi elementer
3.  Menggunakan Transformasi Kompleks

 

Wak  tu

 3x50 menit

 

Mat eri Pokok

 Materi pada paket ini meliputi:
1.  Transformasi konformal

 

Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)

1  . Menjelaskan kompetensi dasar
2  . Menjelaskan indikator
3  . Apersepsi transformasi konformal
4  . Memotivasi mahasiswa bahwa materi yang akan dipelajari sangat
  bermanfaat untuk mempelajari materi berikutnya

 

Keg iatan Inti (100 menit)

1  . Dosen menjelaskan beberapa konsep penting yang diperlukan dalam
  menyelesaikan LK. Mahasiswa m  enyimak penjelasan dosen dengan

bantuan uraian materi pada paket 12.
2. Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya

untuk mendiskusikan bagaimana konsep pemetaan dan transformasi
pada fungsi kompleks sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.
3. Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi

120

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Konformal

  

 

yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar

 

  memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
  presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4  . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
  kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
5  . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi
6  . Penguatan hasil diskusi dari dosen
7  . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
  sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi

 

Keg iatan Penutup (10 menit)

1  . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2  . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3  . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa

 

Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)

1  . Memberi tugas latihan
2  . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.

 

Lem  bar Kegiatan Mahasiswa

 Membuktikan teorema pemetaan serupa dan akibat teorema

 

Tuju  an
 Mahasiswa dapat memahami konsep pemetaan konformal dari teorema dan

akiba  t teorema yang diberikan

 

Baha  n dan alat
 Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas  Plano, Spidol

Langkah-langkah kegiatan
1. Masing kelompok mendapatkan tugas untuk membuktikan teorema dan
akibat teorema
a. Teorema
Andaikan bahwa ( ) analitik pada 0 dan bahwa ′( 0) ≠ 0.
Misalkan adalah suatu kurva mulus melewati 0 dan

121

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Konformal

  

   misalkan ′ menunjukkan bayangan dibawah . Maka, jika

  sudut inklinasi pada 0 adalah , maka sudut inklinasi ′
  pada ( 0) adalah + arg ′( 0)

  b. Akibat Teorema
  Andaikan bahwa ( ) analitik pada 0 dan bahwa ′( 0) ≠ 0.

  Misalkan dan adalah dua kurva mulus yang berpotongan

  pada 0 dan membentuk sudut diukur dari ke

  Maka, bayangannya, ′ dan ’, dibawah membentuk sudut

  yang diukur dari ′ ke ′ sebesar . Secara singkat, dibawah ,

  sudut perpotongan antara dan adalah tetap tak berubah

  dalam besar dan arah.

 

2. Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.

 

3  . Kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil

  diskusinya didepan kelas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

122

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Konformal

  

 

Ura ian Materi

 

  TRANSFORMASI KONFORMAL

 

 

Tran sformasi konformal

 Konsep pemetaan konformal dapat dipikirkan sebagai interpretasi

geom  etrik pada analitisitas. Aspek geometrik utama pada keserupaan ialah

 

kesamaan sudut dalam besar dan arahnya.
 
fungsi = ( ) analitik pada titik 0 dan andaikan bahwa
Misalkan analitik pada suatu lingkungan 0
′(   ) ≠ 0 , maka menurut definisi

misa lkan . Pengembangan berikut berlaku didalam .

 Andaikan suatu kurva mulus (yaitu kurva yang dapat dinyatakan secara
param  etrik oleh dua fungsi yang dapat dideferensialkan = ∅( ), = ( )

pada  interval ≤ ≤ ) melewati 0 dan bahwa suatu titik berubah-ubah

mend  ekati 0 sepanjang . Dibawah , mempunyai bayangan ′ pada bidang

, d  an karena mendekati 0 sepanjang , = ( ) mendekati 0 = ( 0)
sepa njang ′. Maka karena ′( 0) ada, diketahui bahwa
  − 0
  ′( 0) = l →im 0 − 0

Yang  dapat diungkapkan dengan

  → 0, − 0 → ′( 0)
− 0
 
arg − 0 → arg ′( 0)
artin ya − 0

 

 

Impl ikasinya  

[arg( − 0) − arg( − 0)] → arg ′( 0)

Hubungan terakhir ini berlaku bagi kelipatan 2

123

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Konformal

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Gambar 12.1
  Pemetaan ∅ = + arg ′ ( 0)

  gambar 12.1 diatas 1 . Jika → 0 , garis sekan menuju , yang

Dari

 
meru  pakan garis singgung pada 0, yang kehadirannya dijamin oleh definisi
kurv a mulus. Dengan melambangkan sudut inklinasi dengan , terlihat

bahw  a → 0 , arg( − 0) →

 
Seda ngkan pada bidang
→ 0, → 0
 

Mak a garis sekan ′ menuju ′, yang merupakan garis singgung ′ pada 0.

Deng  an melambangkan sudut inklinasi ′ dengan ∅ terlihat bahwa

  → 0 , arg(w − w0) → ∅

Sehi ngga dengan menggabungkan persamaan-persamaan diatas diperoleh

  → 0, (∅ − ) → arg ′( 0)

Deng  an menggunakan limitnya diperoleh
  ∅ = + arg ′( 0)

 

Teor ema  

Andaikan bahwa ( ) analitik pada 0 dan bahwa ′( 0) ≠ 0 . Misalkan

adalah suatu kurva mulus melewati 0 dan misalkan ′ menunjukkan bayangan

dibawah . Maka, jika sudut inklinasi pada 0 adalah , maka sudut
inklinasi ′ pada ( 0) adalah + arg ′( 0)

1 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987),
117

124

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Konformal

  

 

Dengan istilah yang berbeda, teorema diatas mengatakan bahwa setiap
 
mulus yang melewati 0 diputar dengan sudut samadengan arg ′( 0).
kurv a

Akib  at dari teorema ini adalah sudut antara dua kurva mulus sebarang yang
berp otongan pada 0 akan tetap dalam besar dan arahnya oleh suatu pemetaan
ya ng analitik pada 0 dan yang turunannya tidak nol pada titik itu. Hal inilah

yang  dimaksud dengan kesamaan sudut yang ditunjukkan di awal, dan suatu

fung si yang memiliki sifat ini dinamakan transformasi serupa atau pemetaan

serup  a.

 

Akib  at Teorema
Anda  ikan bahwa ( ) analitik pada 0 dan bahwa ′( 0) ≠ 0. Misalkan dan
ad alah dua kurva mulus yang berpotongan pada 0 dan membentuk sudut
diuk ur dari ke
Mak a, bayangannya, ′ dan ’, dibawah membentuk sudut yang diukur dari
′ ke  ′ sebesar . Secara singkat, dibawah , sudut perpotongan antara dan
ad alah tetap tak berubah dalam besar dan arah.

 

Akib  at teorema ini terlihat jelas pada gambar 12.2 berikut:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Gambar 12.2

Pemetaan Serupa

Aspek geometrik pemetaan serupa bisa dilihat dari fungsi
− 0
→ 0, − 0 → ′( 0)

Artinya

→ 0, | − 0| → ′( 0)| − 0|

125

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Transformasi Konformal

  
 

Hdkieamslea   binnaaindkbioenrngasartntain,|t d a a′(lta e m0rs)e|blidumitnitaamd| a a lka−han b 0irl|aasmnigoearnuppenamykabatenasakpreoalnsipitaipftaa|dn a ′k( o 0 0n).s|t.aJnaKd|oi n −ssteat ni 0at|pa,
panja  ng dalam lingkungan 0 yang kecil diperbesar dengan faktor positif yang
sama  . Akhirnya dikatakan sebagai pemetaan yang memelihara skala pada 0
dalam  pengertian infinitsimal.

 
 

Ran gkuman

 Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan
dalam  beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. si  n dapat diuraikan menjadi
2. A  spek geometrik utama pada keserupaan ialah kesamaan sudut dalam besar

d an arahnya.

 
 
 

Lati han

Jawa  blah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1  . Gunakan fungsi = 2 titik 0 yang sesuai dan pilih dua kurva
  sebarang untuk menggambarkan bahwa jika syarat ′( 0) ≠ 0 tidak
  terpenuhi, maka keserupaan tidak terjadi
2  . Buktikan bahwa pemetaan linear = + , ≠ 0 memutar setiap
  kurva pada bidang datar dengan sudut sama dengan arg

 
 

  Daftar Pustaka

Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Comp  lex Analysis. Heidelberg: Springer,
2005.

Paliouras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
Erlangga, 1987.

Saff, E.B and A.D Snider. Fundamentals of complex Analysis with Apllication
to Engineering and Science, New Jersey: Pearson Education Inc, 2003

126

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  
 

  Paket 13
  DERET FUNGSI KOMPLEKS

 
 

Pen dahuluan
 
Perkuliahan pada paket ketigabelas ini difokuskan pada deret fungsi
 

kompleks. Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga

 

dikenal istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya.

 

Hal penting dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam

 

deret pangkat (deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent). Oleh karena

 

itu pemahaman terhadap materi ini penting untuk ditekankan sebagai prasyarat

 

untuk mempelajari paket-paket selanjutnya.

 

Pada awal Paket 13 ini, mahasiswa diajak mengenal kembali barisan dan

 

deret. Selanjutnya dibahas tentang deret pangkat, jari-jari kekonvergenan..

 

Setelah itu mahasiswa diajak untuk menyajikan fungsi-fungsi analitik dalam

 

deret pangkat.

 

Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap

 

maha  siswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang  dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu  dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam  perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb  elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang  dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelompok. Langkah tersebut diupayakan
untu k menggali ide-ide dan potensi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menj  alin komunikasi sosial yang lebih efe ktif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keterampilan sosial mereka akan diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.

127

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan

Kom  petensi Dasar

Men yajikan Fungsi Analitik dalam Deret

 

Indi kator

 Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1.  Mengerti definisi barisan dan deret pangkat beserta sifat

 kekonvergenannya.
2.  Menyajikan fungsi analitik dalam deret Taylor, deret MacLaurin atau

 deret Laurent.

 

Wak  tu

 3x50 menit

 

Mat eri Pokok

 Materi pada paket ini meliputi:
1.  Barisan
2.  Deret
3.  Konvergen
4.  Deret Taylor
5.  Deret Maclaurin
6.  Deret Laurent

 

 

Lan gkah-langkah Perkuliahan  
 

Kegiatan Awal (35 menit)
 
1. Menjelaskan kompetensi dasar
 
2. Menjelaskan indikator

3. Apersepsi transformasi konformal

4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yang akan dipelajari sangat

bermanfaat untuk mempelajari materi berikutnya

128

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  
 

Keg iatan Inti (100 menit)

1  . Dosen menjelaskan beberapa konsep penting yang diperlukan dalam
  menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
  bantuan uraian materi pada paket 13.
2  . Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
  untuk mendiskusikan bagaimana konsep pemetaan dan transformasi
  pada fungsi kompleks sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.
3  . Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
  berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
  yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
  memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
  presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4  . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
  kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
5  . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi
6  . Penguatan hasil diskusi dari dosen
7  . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
  sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi

 

Keg iatan Penutup (10 menit)

1  . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2  . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3  . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa

 

Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)

1  . Memberi tugas latihan
2  . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.

  

Lembar Kegiatan Mahasiswa

Membuktikan teorema pemetaan serupa dan akibat teorema

Tujuan
Mahasiswa dapat memahami konsep pemetaan konformal dari teorema dan

akibat teorema yang diberikan

129

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

Bahan dan alat

 

Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol

 

 

Lang  kah-langkah kegiatan

1  . Masing kelompok mendapatkan tugas untuk menentukan deret
  MacLaurin dan deret Laurent dari

  a. f (z) = 1
  1− z2

  b. f (z) = 4
  1− z4

  c. f (z) = z + 1
  z −1

 

2  . Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.

3  . Kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil

 

diskusinya didepan kelas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

130

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

Ura ian Materi

 

  DERET FUNGSI KOMPLEKS

 

 

Baris  an dan Deret Bilangan Kompleks

 Barisan bilangan kompleks merupakan fungsi yang memetakan setiap
bilan  gan bulat positif n dengan suatu bilangan kompleks. Notasi barisan

 

bilangan kompleks :

 

  zn atau { zn } = { z1, z2 , z3 ,K , zn }, n ≥1.

 Barisan zn konvergen jika ada z∈C sehingga lim z n =z . Jika

  n→∞

∀ε  > 0 , ∃n0 ∈ N sehingga zn − z < ε untuk n ≥ n0 .

 

Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks

 

berlaku beberapa teorema berikut.

 

 

Teor ema 13.1

Jika   zn = xn + i yn dengan xn ∈ ℜ dan yn ∈ ℜ , maka zn konvergen ke

 

z = a + i b jika dan hanya jika xn konvergen ke a dan yn konvergen

ke b  .

 

Teor em 13.2

 

Jika   zn dan wn berturut-turut konvergen ke z dan w , dan c konstanta

kom pleks, maka  

1. zn + wn konvergen ke z + w .

2. c zn konvergen ke c z .

3. zn wn konvergen ke z w .

131

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

  1 konvergen ke 1 asalkan zn ≠ 0 dan z ≠0 untuk setiap n.
zn z
4.

 

 

 

∑  ∞ zn dengan suku-suku deret yaitu
Diberikan deret bilangan kompleks
n =1
 

 

z1, z  2 , z3 ,K . Misalkan,

  S1 = z1 merupakan jumlah suku pertama
merupakan jumlah dua suku pertama
  S2 = z1 + z2
 

  S3 = z1 + z2 + z3 merupakan jumlah tiga suku pertama

 M

 

  Sn = z1 + z2 + K + zn merupakan jumlah n suku pertama

Bilan  gan S menyatakan jumlah deret di atas apabila lim Sn = S . Jadi

  n→∞

 ∞
∑deret 
zn konvergen ke S jika dan hanya jika lim Sn = S , dan ditulis
 
n =1 n→∞

∑∞  

z  n = S .

n =1

 

 

Teor ema 13.3

 ∞

∑Dibe rikan deret bilangan kompleks zn dengan zn = xn + i yn , xn dan

n =1

  

yn bilangan riil, maka berlaku sifat-sifat berikut :

∞ ∞∞

∑ ∑ ∑1. zn konvergen ⇔ xn dan yn konvergen.

n =1 n =1 n =1

∞

∑2. zn konvergen ⇒ lim zn =0.

n =1 n→∞

132

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

∞
∑ 
zn konvergen ⇒ terdapat bilangan riil M sehingga
3.
n =1
 

 
  zn ≤ M ,∀n∈ N .

 ∞ ∞

∑ ∑4  . zn konvergen ⇒ zn konvergen .

  n =1 n =1

 

 ∞

∑ Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret zn dapat diuji

  n =1

deng an beberapa uji kekonvergenan berikut.

 ∞

∑1.  zn konvergen ⇒ lim z n = 0.

 n =1 n→∞

 ∞
∑ lni→m∞ zn ≠ 0

 
⇒ zn divergen.

n =1

∑ ∑  ∞ ∞
2. zn konvergen ⇒ zn konvergen mutlak.

  n=1 n =1

 

∑ ∑ ∑∞
  z n ∞ divergen ∞ konvergen bersyarat.
 
=1 konvergen dan zn ⇒ zn
n
n=1 n =1

  ∞∞

∑ ∑3.   zn konvergen mutlak ⇒ zn konvergen.
 n =1 n =1

4. U  ji Banding

  

∞∞

∑ ∑zn ≤ bn dan bn konvergen ⇒ zn konvergen.
n=1 n =1

∞∞

∑ ∑an ≤ zn dan an divergen ⇒ zn divergen.
n=1 n=1

5. Ratio Test

133

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

  ∑ ∞

 zn konvergen mutlak
L < 1,

   n=1
 ∞
lim  zn+1 = L ∑⇒
z  n←∞ L > 1, zn divergen

n  n=1
 L = 1, uji gagal
 

  

6. R  oot Test

  ∞

∑   zn konvergen mutlak
 L < 1,

lim ∑   n=1
 ∞
  
n zn =L ⇒ L > 1, zn divergen

  n←∞  n=1

   L = 1, uji gagal
  

7. D  eret Geometri

 ∞

∑B  entuk umum : q n = 1 + q + q 2 + L

  n=1

  Jika q < 1 maka deret konvergen.

 

Jika q ≥ 1 maka deret divergen.

 

8. D  eret

∑  ∞ 1 =1+ 1 + 1 +L
2p 3p
B  entuk umum :
np

n=1

 
Jika p < 1 maka deret konvergen.
 

J ika p ≤ 1 maka deret divergen.

  

Deret Pangkat

Deret pangkat dalam z − z0 berbentuk :

∞

∑ an (z − z0 )n = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + L

n=0

134

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

deng an z bilangan kompleks, z0 bilangan kompleks sebarang yang disebut

pusa t deret, a0 , a1, a2 ,L konstanta kompleks yang disebut koefisien deret.

 

 Apabila z0 = 0 diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat dalam

z ya  itu

 ∞

∑  an z n = a0 + a1z + a2 z 2 + L
n=0
 

∞

∑Untu  k setiap deret pangkat an (z − z0 )n terdapat bilangan tunggal ρ
  n=0

deng an 0 ≤ ρ ≤ ∞ yang dinamakan jari-jari kekonvergenan deret. Sedangkan

z −  z0 =ρ disebut lingkaran kekonvergenan deret.
 

 

Teor ema 13.4

∑  ∞ an (z − z0 )n . Jika lim an = ρ , dengan
Misa  l diberikan deret pangkat n→∞ an+1
n=0
 

0 ≤  ρ ≤ ∞ maka ρ adalah jari-jari kekonvergenan.

 

Teor ema 13.5

 ∞ 1 = ρ , dengan
∑Misa  l diberikan deret pangkat 1
an (z − z0 )n . Jika lim
  an n
n=0 n→∞

0 ≤  ρ ≤ ∞ maka ρ adalah jari-jari kekonvergenan.

 

 

Sifat jari-jari kekonvergenan deret pangkat.

  

1. Jika ρ = 0 maka deret konvergen hanya di z = z0 (pusat deret).

2. Jika 0 < ρ < ∞ maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk

setiap z dengan z − z0 < ρ dan deret divergen untuk setiap z dengan

z − z0 > ρ .

135

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

3. J  ika ρ = ∞ maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap

 z dengan z − z0 < ∞ .

 

 

Deret Taylor dan Maclaurin

 

 Suatu fungsi f (z) tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret pangkat

deng an pusat deret yang sama. Apabila f (z) dapat dinyatakan dalam deret

pang kat dengan pusat z0 , maka deret tersebut tunggal. Setiap fungsi analitik
 

dapa t disajikan dalam deret pangkat. Apabila f (z) analitik di dalam lingkaran

C m  aka f (z) dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret MacLaurin

berg antung pada pusat deretnya. f (z) analitik di dalam C

 C

 

  r0

  • z0

 

 

Gambar 13.1

 

  Lingkaran C dengan pusat deret z0

 

 Jika f (z) analitik di dalam lingkaran C yang berpusat di z0 dan berjari-

 

jari  r0 ( lihat Gambar 5.1 ), maka untuk setiap titik z di dalam C berlaku

∞ (n) (z0 )
n!
f (z0) +

n =1
∑  f (z) = f (z − z0 )n . (13.1)

 
 

Persa  maaan diatas disebut deret Taylor dar  i f (z) di sekitar titik z0

Jika pada persamaan (13.1), z0 = 0 maka untuk setiap titik z di dalam C

berlaku

∑∞ f (n) (0) z n . (13.2)

f (z) = f (0) +
n=1 n!

Persamaan ini disebut deret MacLaurin dari f (z) .

136

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

Dere t Laurent

 Apabila f (z) tidak analitik di z0 , tetapi f (z) analitik untuk setiap z di

dalam  annulus R2 < z − z0 < R1 , maka f (z) dapat diekspansi dalam deret
 

Laur ent.

 Jika f (z) analitik di dalam annulus R1 < z − z0 < R2 , dan C sebarang

 

linta san tertutup sederhana di dalam annulus R1 < z − z0 < R2 yang

meng  elilingi z0 , maka untuk setiap z di dalam R1 < z − z0 < R2 , f (z)

 

dapa t dinyatakan sebagai

∑ ∑  ∞ ∞ bn
n=0 n=1 (z − z0 )n
 
f (z) = an ( z − z0 )n + (13.3)

den  gan

  1 f (z)
2π C ( z − z0 ) n+1
∫  an = i dz , n = 0, 1, 2, K

 

∫  bn = 1 i f (z) , n =1, 2,3, K
2π C ( z − z0 ) −n+1 dz
 

 

  (13.4)

Persamaan (5.2) sering ditulis dengan

 
∞

∑  f (z) = cn ( z − z0 )n

  n=−∞

∫  cn = 1 i f (z) , n = 0, ± 1, ± 2, K
2π C ( z − z0 )n+1 dz
dengan

 

  Ruas kanan persamaan (13.3) dan (13.4) disebut deret Laurent f (z)

  

dalam annulus R1 < z − z0 < R2 .

Apabila f (z) analitik untuk z − z0 < R2 , maka

1 f (z) f n (z0 ) 1 f (z)
2π C ( z − z0 ) n+1 n! 2π i C ( z − z0 ) −n+1
∫ ∫an
= i dz = dan bn = dz = 0 ,

137

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

∞ f n (z0 )
n!
f (z) =

n=0
sehin  gga persamaan (13.3) menjadi deret Taylor (z − z0 )n

∑ 

Jadi  deret Taylor merupakan kejadian khusus dari deret Laurent.

 

Cont  oh 13.1

 

Tentukan deret MacLaurin dan deret Laurent dari
 

  f (z) = 1

  (z −1) (z − 2)

Peny  elesaian :

f   = (z 1 − 2) = − (z 1 + (z 1 2)
−1) (z − 1) −
( z )

 

Titik  singular f (z) yaitu z = 1 dan z = 2 .

Dibu  at annulus 1 < z < 2 , sehingga dapat diperoleh deret MacLaurin untuk

 

z <  1 dan deret Laurent untuk 1 < z < 2 dan z > 2 .

 

  a. Deret MacLaurin untuk z < 1 . f (z) analitik untuk z < 1 ,

 

  sehingga

 

  f (z) = − 1 + 1 = 1 − 1  1 
   
  (z −1) (z − 2) 1 − z 2 1 − z 2 

∑ ∑  = ∞ zn ∞ zn , z <1
n=0 2 n+1
  −

n=0

  

b. Deret Laurent untuk 1 < z < 2 . f (z) analitik untuk
1< z < 2.

f (z) = − 1 + 1 .
(z −1) (z − 2)

138

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

   1 −1  1  −1 ∞  1  n  , 1 <1
  z −1 z   z   z
  ∑− = =  n =0
  1 − 1   z   , z <1
  z 2
 
  ∑∞ 1 , 1< z
 
  =−
  z n+1
 
  n=0
 
1 −1  1  1 ∞  z  n 
J  adi, −2∑z= 2   = − 2  
1 − z 2   n =0
   2  
 
  ∑∞ zn , z <2
  2 n+1
  =−
 
  n=0
 
  f (z) = 1 = − 1 + 1
  (z −1) (z − 2) (z −1) (z − 2)
 
  ∑ ∑∞ 1 ∞ zn , 1< z < 2.
  z n+1 2 n+1
  =− −
 
  n=0 n=0

c. Deret Laurent untuk z > 2 . f (z) analitik untuk z > 2 .

f (z) = − 1 + 1 .
(z −1) (z − 2)

1 1  1  −1 ∞  1  n  , 1 <1
z −1   z   z
∑− = − =  n =0
z 1 − 1   z  
z

∑∞ 1   , z >1
z n+1
=−

n=0

∑1 −1  1  −1 ∞  2  n  , 2 <1
z   z   z
z−2 = =  n =0
1 − 2 z   z  

∑∞ 2n , z >2
z n+1
=−

n=0

139

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

Jadi,

 

  f (z) = 1 = − 1 + 1
  (z −1) (z − 2) (z −1) (z − 2)

∑ ∑  ∞ 1 ∞ 2n , z > 2.
z n+1 z n+1
  =− −

n=0 n=0

 

 

Ran gkuman

 Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan

dalam  beberapa kesimpulan sebagai berikut.

1. S etiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor,

d eret MacLaurin atau deret Laurent) bergantung pada pusat deretnya.

2. A  pabila f (z) tidak analitik di z0 , tetapi f (z) analitik untuk setiap z di

 

d alam annulus R2 < z − z0 < R1 , maka f (z) dapat diekspansi dalam

d eret Laurent.

 

 

 

Latihan
 

Jawa  blah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1  . Tentukan jari-jari kekonvergenan deret

  ∞  3n 2 +n  ∑ z∞ 2n+1
n=2 n2 −1
∑  a. (z + i)n b.

  n=0 (2n + 1)!

2  . Tentukan deret Taylor dari fungsi berikut dengan pusat deret z0 .

 

  a. f (z) = 1 , z0 = 1 + i 
z+2

b. f (z) = 1 , z0 = 2 + 3i
z

c. f (z) = 1 , z0 = 1+ i
4 − 3z

140

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  

 

3  . Ekspansikan fungsi berikut dalam deret Laurent dengan pusat deret di

  z0 .

  a. f (z) = 1 , z0 = i
  z2 +1

  f (z) = 1
z 2 (1 + z)2
  b. , z0 = 0
 

  c. f (z) = z +1+ i , z0 = −i
  (z + i)2

 

 

  Daftar Pustaka

 

Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis. Heidelberg: Springer,
2 005.

Palio  uras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
E rlangga, 1987.

Saff,  E.B and A.D Snider. Fundamentals of complex Analysis with Apllication
to  Engineering and Science, New Jersey: Pearson Education Inc, 2003

Weg ener, Ingo. Complexity Theory Exploring the Limits of Efficient
A  lgorithms. Berlin: Springer, 2005

 

 

 

 

 

 

  

141

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id   

 

Deret Fungsi Kompleks

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

142

    digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id  digilib.uinsby.ac.id