Turunan Fungsi Kompleks
( + ∆ ) −
= ∆l i m→0
∆ ∆
= ∆l i m→0 ∆
=1
d [c( f (z)] = cf ′(z)
3.
dz
d (z n ) = nz n−1, z ≠ 0, n ∈ Ζ
dz
4 .
Buk ti:
′( ) = l →im 0 ( ) − ( 0)
− 0
− 0
− 0
= l →im 0
( − 0)( −1 + −1 0 + ⋯ + 0 −2 + 0 −1)
− 0
= l →im 0
( −1 + −1 0 + ⋯ + 0 −2 + 0 −1)
= l →im 0
= 0 −1
Teor ema
Anda ikan bahwa dan dapat diturunkan pada setiap titik dalam himpunan
bahwa dapat diturunkan pada ( ) untuk setiap dalam , maka
dan
5 . d [ f (z) + g(z)] = f ′(z) + g′(z)
dz
6. d [ f (z) − g(z)] = f ′(z) − g′(z)
dz
7. d [ f (z)g(z)] = f ′(z)g(z) + f (z)g′(z)
dz
43
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Turunan Fungsi Kompleks
8 . d f (z) = f ′(z)g(z) − f (z)g′(z)
dz g(z)
[g ( z )]2
Contoh 4.2
Tent ukan turunan dari fungsi berikut:
1 . ( ) = (2 2 + )5
f (z) = (z − i) pada i
2.
z+i
Peny elesaian :
1 . Dengan menggunakan aturan turunan (4) dan aturan rantai diperoleh
f ′(z) = 5(2z 2 + i)4 .4z = 20z(2z 2 + i)4 .
2 . Dengan menggunakan aturan turunan (7) diperoleh
f ′(z) = f ′(z)g(z) − f (z)g′(z) = 1( z + i) − (z − i)1 = 2i
(z + i)2
[g ( z )]2 (z + i)2
Sehingga untuk z = i diperoleh
f ′(i) = 2i = 2i = − 1 i .
(i + i)2 4i 2 2
Atur an Rantai
Misa lkan mempunyai turunan di 0 , dan mempunyai turunan di ( 0) .
Mak a fungsi ( ) = [ ( )] mempunyai turunan di 0 , dan turunannya
adala h
F′(z0 ) = g′[ f (z 0 )]. f ′(z0 ).
Dengan kata lain, jika = ( ) dan = ( ) = ( ) , maka menurut
aturan rantai
dW = dW dw .
dz dw dz
Contoh 4.3
44
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Turunan Fungsi Kompleks
(2 2 + )5 dengan menggunakan aturan
Tent ukan turunan dari fungsi ( ) =
ranta i!
Peny elesaian:
Misa lkan = 2 2 + dan = 5. Maka menurut aturan rantai
= (5 4)(4 ) = 20 (2 2 + )4
=
Ran gkuman
Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan
dalam beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. T urunan fungsi di 0, ditulis dengan f ′(z0 ) didefnisikan sebagai berikut:
′(z0 ) = lim f (z0 + ∆z) − f (z0 )
∆z
f ∆z →0
jika limitnya ada.
2. N otasi untuk turunan di adalah f ′(z) = d f (z) .
dz
3. Ji ka mempunyai turunan di 0, dan mempunyai turunan di ( 0). Maka
fu ngsi ( ) = [ ( )] mempunyai turunan di 0, dan turunannya adalah
F ′(z0 ) = g′[ f (z0 )]. f ′(z0 ).
Latihan
Jawa blah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1. Dengan menggunakan definisi turunan, carilah turunan dari:
a. ( ) = −1
b. ( ) = 6 + 2 3 − 3
c. ( ) = 3 2 − −1
2. Gunakan teknik turunan untuk menghitung turunan fungsi kompleks
berikut:
a. ( ) = (2 + 8)8(1 − 2 + 2)10
45
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Turunan Fungsi Kompleks
b. ( ) = (2 + 8)8/(1 − 2 + 2)10
Tentukan ′( 0)
3 .
a. ( ) = 3 2 − −1 0 =
b. ( ) = 3 + 2 − 3 0 = −1 +
4 . Buktikan bahwa jika ′( 0) ada, maka kontinu di 0
5 . Jika suatu fungsi ( ) = ( , ) + ( , ) mempunyai turunan, maka
′ diberikan oleh ′( ) = + atau ′( ) = −
Perlihatkan kebenaran relasi ini dengan mendapatkan ′ untuk
a. ( ) = 2
b. ( ) = 3
c. ( ) = −1
Daftar Pustaka
Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis. Heidelberg: Springer,
2 005.
Jurus an Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus 1 . Surabaya: Jurusan
M atematika FMIPA, 2005.
John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
Paliouras.
E rlangga, 1987.
Saff, E.B and A.D Snider. Fundamentals of complex Analysis with Apllication
to Engineering and Science, New Jersey: Pearson Education Inc, 2003
Weg ener, Ingo. Complexity Theory Exploring the Limits of Efficient
Algorithms. Berlin: Springer, 2005
46
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Persamaan Cauchy Riemann
Paket 5
PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN
Pen dahuluan
Perkuliahan pada paket kelima ini difokuskan pada syarat perlu dan syarat
cukup yang merupakan prasyarat suatu fungsi kompleks terdeferensiabel.
Materi pada paket ini merupakan lanjutan dari paket keempat dan merupakan
bekal untuk materi pada paket-paket selanjutnya yaitu materi fungsi analitik.
Oleh karena itu pemahaman terhadap materi ini penting untuk ditekankan
sebagai prasyarat untuk mempelajari paket-paket selanjutnya.
Pada awal Paket 5 ini, dilakukan brainstormning kepada mahasiswa tentang
turunan fungsi kompleks. Selanjutnya mahasiswa akan dibimbing bahwa ada
suatu kondisi tertentu, syarat perlu dan syarat cukup, yang apabila dipenuhi
dapat mejamin adanya turunan pada fungsi kompleks yang dimaksud bahkan
titik-titik dimana turunan itu berada atau titik-titik yang menyebabkan fungsi
kompleks tersebut tidak dapat diturunkan.
Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap
maha siswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelompok. Langkah tersebut diupayakan
untu k menggali ide-ide dan potensi k reatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menjalin komunikasi sosial yang lebih efektif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keterampilan sosial mereka akan diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.
47
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Persamaan Cauchy Riemann
Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan
Kom petensi Dasar
Men jelaskan konsep persamaan Cauchy-Riemann
Indi kator
Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1. Menggunakan persamaan Cauchy Riemann untuk menyelesaikan
turunan pada fungsi kompleks
2. Mendapatkan turunan fungsi kompleks dengan persamaan cauchy-
Riemann
Wak tu
3x50 menit
Mat eri Pokok
Materi pada paket ini meliputi:
1. Persamaan Cauchy Riemann
Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)
1 . Menjelaskan kompetensi dasar
2 . Menjelaskan indikator
3 . Apersepsi materi turunan fungsi kompleks menggunakan definisi.
4 . Brainstorming dengan mengerjakan soal sederhana, serta memotivasi
mahasiswa bahwa dapat dikonstruksi suatu syarat perlu dan syarat
cukup yang menjamin adanya turunan pada suatu fungsi kompleks.
Kegiatan Inti (100 menit)
1. Dosen menjelaskan beberapa konsep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 5.
2. Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
untuk mendiskusikan bagaimana konsep turunan pada fungsi kompleks
sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.
48
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Persamaan Cauchy Riemann
3. Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4 . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
5 . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi
6 . Penguatan hasil diskusi dari dosen
7 . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi
Keg iatan Penutup (10 menit)
1 . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2 . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3 . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa
Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)
1 . Memberi tugas latihan
2 . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.
Lem bar Kegiatan Mahasiswa
Membuktikan syarat perlu dan syarat cukup agar suatu fungsi memiliki
turun an.
Tuju an
Mahasiswa dapat membuktikan teo rema-teorema yang menjadi syarat
perlu dan syarat cukup suatu fungsi memiliki turunan.
Bahan dan alat
Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol
49
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Persamaan Cauchy Riemann
Langkah-langkah kegiatan
1. Masing kelompok mendapatkan tugas untuk membuktikan teorema-
teorema yang menjadi syarat perlu dan syarat cukup agar suatu fungsi
memiliki turunan.
a. Teorema
Diketahui ( ) = ( , ) + ( , ), andaikan bahwa
i. ( , ), ( , ) dan semua turunan parsialnya , ,
kontinu di semua titik dalam suatu
lingkungan bagi titik 0 = ( , ).
ii. Pada titik 0, = dan = −
Maka ′( 0) ada, dan
′ = + = −
b. Teorema
Andaikan bahwa fungsi ( ) = ( , ) + ( , ) mempunyai
turunan pada suatu titik 0 = ( , )
Maka pada titik itu
′ = + = −
Jadi = = −
2 . Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.
3 . Kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil
diskusinya didepan kelas.
50
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Persamaan Cauchy Riemann
Ura ian Materi
PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN
Persa maan Cauchy Riemann
Dalam paket ini akan dikembangkan syarat perlu dan syarat cukup agar
suatu fungsi yang diberikan mempunyai turunan. Untuk mengembangkan
syara t ini bisa didekati melalui dua teorema. Teorema yang pertama
mele ngkapi syarat cukup yang jika dipenuhi akan menjamin adanya turunan
fungsi tersebut. Teorema ini juga menunjukkan titik-titik dimana turunan itu
terdefnisikan dan titik-titik dimana turunan itu tidak terdefinisikan. Teorema
yang kedua memberikan rumus untuk turunan, jika turunan itu ada. Teorema-
teore ma tersebut adalah sebagai berikut
Teor ema 5.1
Dike tahui ( ) = ( , ) + ( , ), andaikan bahwa
1 . ( , ), ( , ) dan semua turunan parsialnya , ,
kontinu di semua titik dalam suatu lingkungan bagi titik 0 = ( , ).
2. Pada titik 0, = dan = −
ada, dan
′( 0)
Mak a
′ = + = −
Teor ema 5.2
Anda ikan bahwa fungsi ( ) = ( , ) + ( , ) mempunyai turunan pada
suatu titik 0 = ( , )
Maka pada titik itu
′ = + = −
Jadi
= = −
51
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Persamaan Cauchy Riemann
diferensial parsial = = − kemudian dikenal
Persamaan
deng an persamaan Cauchy-Riemann. Persamaan Cauchy–Riemann merupakan
persa maan yang sangat penting pada analisis kompleks. Persamaan ini menjadi
pent ing karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu
fung si kompleks = ( ) = ( , ) + ( , ).
Cont oh 5.1
Gunakan persaman Cauchy-Riemann untuk membuktikan bahwa turunan
( ) = 2 ada untuk semua dan bahwa ′( ) = 2 .
Peny elesaian
Deng an menuliskan dalam bentuk + diperoleh
( ) = 2 − 2 + 2
Jadi
( , ) = 2 − 2 ( , ) = 2
= 2 = 2
= −2
= 2
Enam fungsi diatas jelas kontinu pada setiap titik = ( , ) pada bidang datar,
kemu dian = = 2 = 2 = −
Untu k semua ( , ). Ini berarti teorema 5.1 terpenuhi, artinya ′( ) ada untuk
semu a . Hal ini berimplikasi pada terpenuhinya teorema 5.2 untuk semua .
Jadi dapat disimpulkan bahwa
′( ) = + = 2 + 2 = 2( + ) =
Contoh 5.2
Tentukan titik-titik yang membuat ( ) = 2 − 2 mempunyai turunan.
Jika ′( )nya ada tentukan nilainya
Penyelesaian
Untuk ( ) = 2 − 2 maka
52
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Persamaan Cauchy Riemann
( , ) = 2 ( , ) = − 2
= 0
= 2 = −2
= 0
Enam fungsi diatas jelas kontinu pada setiap titik = ( , ) pada bidang datar,
kemu dian
= = 2 = −2 = − = 0
Cauchy-Riemann akan terpenuhi jika 2 = −2 , dan hal
Persamaan
terpenuhi jika = − . Jadi menurut Teorema 5.1 ′ ada hanya
akan
pada titik-titik pada garis = − . Selanjutnya dengan teorema 5.2
dipe roleh bahwa
′ = + = 2 ′ = − = −2
Cont oh 5.3
Perl ihatkan bahwa fungsi ( ) = cos − sin tidak mempunyai
dima napun juga.
Peny elesaian
Untu k ( ) = cos − sin maka
( , ) = cos
( , ) = − sin
= 0
= 0
= − sin = − cos
Enam fungsi diatas jelas kontinu pada setiap titik = ( , ) pada bidang datar,
kemu dian persamaan \Cauchy-Riemann akan dipenuhi jika
cos = 0 sin = 0
Tere penuhi secara simultan. Jelas hal ini tidak mungkin terjadi, oleh karena itu
dapa t disimpulkan bahwa ′ tidak ada pada titik manapun.
53
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Persamaan Cauchy Riemann
Ran gkuman
Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan
dalam beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. P ersamaan diferensial parsial = = − kemudian dikenal
d engan persamaan Cauchy-Riemann
2. S uatu fungsi kompleks ( ) = ( , ) + ( , ) memiliki turunan jika
m emenuhi persamaan Cauchy-Riemann dan turunannya adalah
′ = + = −
Lati han
Jawa blah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1 . Tentukan titik-titik yang membuat fungsi berikut mempunyai turunan
dan apabila turunan itu ada, carilah turunan itu
a. ( ) = + 2
b. ( ) = 3
c. ( ) = sin cosh + cos sinh
d. ( ) = ̅
e. ( ) = 2 2 + 3 3
2 . Andaikan bahwa ( ) = ( , ) + ( , ) dapat dideferensialkan
pada suatu titik bukan nol. Maka buktikan bahwa pada titik itu bentuk
kutub persamaan Cauchy-Riemannnya ialah
. = . = −
Daftar Pustaka
Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Comp lex Analysis. Heidelberg: Springer,
2005.
Jurusan Matematika ITS, Seri Buku Ajar Kalkulus 1 . Surabaya: Jurusan
Matematika FMIPA, 2005.
Paliouras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
Erlangga, 1987.
54
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik
Paket 6
FUNGSI ANALITIK & FUNGSI HARMONIK
Pen dahuluan
Perkuliahan pada paket keenam ini difokuskan pada fungsi analitik, fungsi
menyeluruh, daerah analitisitas, titik singular dan harmonik sekawan. Materi
fungsi analitik bisa dikatakan sebagai konsep terpenting dalam teori peubah
kompleks. Fungsi-fungsi yang memiliki sifat analitik mewarisi suatu struktur
dalam yang sangat kokoh dan ini dimanifestasikan ke luar oleh sifat-sifat yang
dimiliki oleh fungsi-fungsi yang analitik. Oleh karena itu pemahaman terhadap
materi ini penting untuk ditekankan sebagai prasyarat untuk mempelajari
paket-paket selanjutnya.
Pada awal Paket 6 ini, mahasiswa diberikan bekal definisi tentang
keanalitikan suatu fungsi kompleks, syarat-syarat yang harus dipenuhi oleh
siuatu fungsi sehingga dikatakan analitik. Selanjutnya mahasiswa diberikan
bekal tentang daerah analitisitas dan titik singular. Materi terakhir pada paket
ini m embahas tentang syarat suatu fungsi dikatakan fungsi harmonik dan
fung si harmonik sekawan.
Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap
maha siswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang dapat mengefektifkan perkuliahan, s erta kertas plano, spidol dan solasi
sebagai alat menuangkan hasil diskusi kelompok. Langkah tersebut diupayakan
untuk menggali ide-ide dan potensi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menjalin komunikasi sosial yang lebih efektif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keterampilan sosial mereka akan diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.
55
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik
Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan
Kom petensi Dasar
Men jelaskan konsep dasar penurunan fungsi kompleks
Indi kator
Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1. Menyelidiki keanalitikan suatu fungsi
2. menentukan fungsi harmonik
Wak tu
3x50 menit
Mat eri Pokok
Materi pada paket ini meliputi:
1. Fungsi Analitik
2. Titik Singular
3. Fungsi Harmonik
4. Fungsi Harmonik Sekawan
Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)
1 . Menjelaskan kompetensi dasar
2 . Menjelaskan indikator
3 . Apersepsi materi fungsi analitik.
4. Memotivasi mahasiswa bahwa materi yang akan dipelajari sangat
bermanfaat untuk pengembangan fungsi-fungsi analitik baik teori
mapupun penerapannya.
Kegiatan Inti (100 menit)
1. Dosen menjelaskan beberapa konsep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 6.
56
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik
2. Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
untuk mendiskusikan bagaimana konsep keanalitikan fungsi kompleks
sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.
3 . Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4 . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
5 . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi
6 . Penguatan hasil diskusi dari dosen
7 . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi
Keg iatan Penutup (10 menit)
1 . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2 . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3 . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa
Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)
1 . Memberi tugas latihan
2 . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.
Lem bar Kegiatan Mahasiswa
Membuktikan syarat perlu dan syarat cukup agar suatu fungsi memiliki
turun an.
Tujuan
Mahasiswa dapat membuktikan teorema-teorema keanalitikan suatu fungsi
dan sifat-sifat dari fungsi analitik.
Bahan dan alat
Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol
57
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik
Langkah-langkah kegiatan
1. Masing kelompok mendapatkan tugas untuk membuktikan teorema-
teorema tentang keanalitikan suatu fungsi dan sifat-sifatnya.
a. Teorema
Andaikan
1. ( ) dan ( ) analitik pada himpunan .
2. analitik pada setiap ( ) untuk semua dalam
Maka jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, dan gabungan
(komposisi) dan juga merupakan fungsi analitik pada
setiap titik di asalkan terdefinisikan.
b. Teorema
Misalkan ( ) = ( , ) + ( , ), Andaikan bahwa
1. Fungsi-fungsi , dan turunan parsialnya
, , kontinu disemua titik didalam suatu
lingkungan tertentu dari titik 0.
2. Persamaan Cauchy-Riemann = = −
berlaku pada setiap titik di .
Maka ( ) analitik pada 0
2 . Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.
3 . Kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil
diskusinya didepan kelas.
58
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik
Ura ian Materi
FUNGSI ANALITIK DAN FUNGSI HARMONIK
Fung si Analitik
Suatu fungsi ( ) dikatakan analitik (disebut juga dengan holomorfik
atau regular atau monogenik) pada titik 0 , asalkan turunannya ada disemua
titik pada suatu lingkungan 01 . Dari definisi tersebut terlihat bahwa ada
hubungan antara diferensiabilitas dan analitisitas suatu fungsi pada suatu titik.
Teta pi tetap ada perbedaan konsep diantara keduanya, analitisitas di 0
berim plikasi diferensibilitas di 0 tetapi tidak sebaliknya.
Diferensibilitas tidak berimplikasi pada pada analitisitas karena secara
umu m ′ boleh ada pada sebarang tipe himpunan bahkan pada titik terasing
atau suatu penggal garis. Sedangkan analitisitas berhubungan sangat erat
deng an himpunan terbuka, hal ini sesuai dengan definisi analitisitas di 0 yang
meng hendaki bahwa ′ harus ada pada lingkungan tertentu dari titik tersebut.
Contoh 6.1
apakah fungsi ( ) = 2 − 2 analitik?
Teliti
Peny elesaian
Pada paket sebelumnya telah diketahui bahwa fungsi diatas memiliki turunan
hany a pada titik-titik di sepanjang garis = − . Setiap lingkungan bagi setiap
titik pada garis itu memuat titik-titik yang berada diluar garis = − yang
meng akibatkan ′ tidak ada. Hal ini men gakibatkan tidak analitik dimana-
mana, karena analitisitas pada suatu titik menuntut adanya ′ di seluruh
lingkungan pada titik tersebut.
1 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987), 54
59
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik
Fung si Menyeluruh
Jika suatu fungsi analitik pada setiap titik dalam suatu himpunan , maka
fung si tersebut dikatakan analitik pada . Suatu fungsi yang analitik pada
selur uh bidang kompleks dinamakan fungsi menyeluruh. Fungsi polinomial
( ) = 0 + 1 + 2 2 + ⋯ + merupakan fungsi menyeluruh karena
′( ) ada pada semua . Suatu fungsi yang terbentuk dari hasil bagi dua fungsi
meny eluruh dinamakan fungsi meromorfik.
Jika suatu fungsi analitik pada suatu titik, maka menurut definisi
fungsi tersebut analitik pada suatu himpunan terbuka yang memuat titik
tersebut. Dari kenyataan ini muncul suatu istilah untuk memberi nama bagi
kese luruhan titik pada bidang datar yang membuat analitik. Istilah tersebut
adala h region of analyticity (daerah analitisitas)
Cont oh 6.2
Telit i apakah fungsi ( ) = 3 − + 1
2 + 1
anali t ik?
Peny elesaian
Fungsi diatas adalah hasil bagi dua fungsi menyeluruh, karena pembilang dan
penyebutnya merupakan polinomial. Sesuai dengan teorema pada paket
sebe lumnya ′( ) ada untuk semua nilai , kecuali pada = ± yang tidak
terde finisikan. Maka analitik pada semua kecuali di dan – .
Titik Singular
Suatu titik 0 dinamakan singularitas atau titik singular bagi fungsi jika
dan hanya jika gagal menjadi analitik pada 0 dan setiap lingkungan 0
memuat paling sedikit satu titik yang membuat analitik. Pada contoh 6.2,
analitik kecuali pada = ± . Jadi pada fungsi tersebut titik dan –
merupakan singularitas. Sedangkan fungsi pada contoh 6.1 tidak memiliki
60
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik
singu laritas meskipun fungsi tersebut gagal menjadi analitik pada setiap titik
dalam bidang datar.
Teor ema
Anda ikan
1 . ( ) dan ( ) analitik pada himpunan .
2 . analitik pada setiap ( ) untuk semua dalam
Mak a jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, dan gabungan (komposisi) dan
merupakan fungsi analitik pada setiap titik di asalkan terdefinisikan.
juga
(Bukti untuk latihan)
Teor ema
Misa lkan ( ) = ( , ) + ( , ), Andaikan bahwa
3 . Fungsi-fungsi , dan turunan parsialnya , , kontinu
disemua titik didalam suatu lingkungan tertentu dari titik 0. pada
4 . Persamaan Cauchy-Riemann = = − berlaku
setiap titik di .
Mak a ( ) analitik pada 0
(Buk ti untuk latihan)
Teor ema
Anda ikan fungsi ( ) = ( , ) + ( , ) analitik pada 0. Maka berlaku
= = −
Pada setiap titik di suatu lingkungan titik 0
Fungsi Harmonik
Fungsi yang analitik memiliki sifat yang istimewa yaitu jika analitik
pada titik 0, maka ′ juga analitik. Dari sifat ini selanjutnya dikembangkan
suatu teori yang menjadi penghubung antara teori dan terapan fungsi
kompleks.
61
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik
Misalkan ( ) = + analitik pada 0; maka ′ juga analitik pada 0.
Sela njutnya karena ′′ adalah turunan dari ′ maka ′′ juga analitik pada 0
dan demikian pula semua turunan . Karena fungsi yang diferensiabilitas juga
kont inu, maka ′, ′′, ′′′, … semua kontinu pada 0.
Dari teorema pada paket sebelumnya diketahui bahwa turunan fungsi
kom pleks dapat dinyatakan dalam turunan parsial fungsi-fungsi komponennya.
Selan jutnya, karena ′, ′′, ′′′, … kontinu pada 0, akibatnya turunan parsial
dari fungsi dan untuk semua tingkat juga kontinu. Kenyataan ini berakibat
bahwa turunan parrsial silang tingkat dua adalah sama
= =
Keny ataan lain menunjukkan bahwa analitik pada 0, akibatnya
= = −
deng an melakukan diferensiasi pada fungsi tersebut diperoleh
= , = − , = , = −
Dengan melakukan substitusi diperoleh
+ = 0 + = 0
Persa maan ini dikenal dengan persamaan Laplace. Sebarang fungsi ( , )
yang memenuhi persamaan Laplace didalam suatu lingkungan titik 0 = ( , )
dikat akan harmonik pada 0 , asal fungsi tersebut memiliki turunan parsial
tingk at dua yang kontinu pada titik tersebut. Jadi, komponen-komponen nyata
dan khayal fungsi analitik = + merupakan fungsi harmonik. Pasangan
fung si harmonik ini dinamakan fungsi harmonik sekawan.
diberikan suatu fungsi harmonik , maka dapat diperoleh harmonik
Bila
dan kemudian membentuk fungsi analitik ( ) = + . Proses
sekawannya
mem peroleh harmonik sekawan ini bisa dil ihat melalui contoh berikut:
Contoh 6.3
Carilah harmonik sekawan dari fungsi ( , ) =
Penyelesaian
62
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik
Perta ma dicek apakah harmonik, dan karena = = 0 jelas bahwa
harm onik. Selanjutnya akan dicari harmonik sekawannya yaitu ( , )
sehin gga ( ) = + analitik.
Jika analitik, maka persamaan Cauchy-Riemann terpenuhi. Karenanya =
, ha ruslah = . Dengan integrasi diperoleh
( , ) = 1 2 + ℎ( )
2
Dari hasil integrasi ini diperoleh = ℎ′( ). Karena analitik maka haruslah
= − . Sedangkan ( , ) = , sehingga = . Artinya ℎ′( ) = − .
Deng an integrasi diperoleh
ℎ( ) = − 1 2 +
2
Jadi ( , ) = 1 2 − 1 2 +
diperoleh 2 2
Oleh karena itu
= +
= 1 2 +
2
Ran gkuman
Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan
dalam beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. S uatu fungsi ( ) dikatakan analitik pa da titik 0 , asalkan turunannya ada
disemua titik pada suatu lingkungan 0.
2. Suatu fungsi yang analitik pada seluruh bidang kompleks dinamakan fungsi
menyeluruh
3. Suatu titik 0 dinamakan singularitas atau titik singular bagi fungsi jika
dan hanya jika gagal menjadi analitik pada 0 dan setiap lingkungan 0
memuat paling sedikit satu titik yang membuat analitik.
63
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik
4. P ersamaan beikut ini dikenal dengan persamaan Laplace.
+ = 0 + = 0
5. S ebarang fungsi ( , ) yang memenuhi persamaan Laplace didalam suatu
li ngkungan titik 0 = ( , ) dikatakan harmonik pada 0 , asal fungsi
te rsebut memiliki turunan parsial tingkat dua yang kontinu pada titik
te rsebut
Lati han
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1. Tentukan dan buktikan daerah analitisitas fungsi berikut:
a. 2
b. 3
c. 2 − 1
d. 2+
( 2+1)
e. 2− 2(cos 2 + sin 2 )
f. ( ̅)
2 . Diketahui ( ) = ( ), carilah titik-titik, jika ada, yang membuat ′
ada. Apakah analitik dimana-mana?
3 . Buktikan bahwa bentuk kutub persamaan Laplace adalah
2 + + = 0
4 . Bentuklah suatu fungsi analitik = + dengan mendapatkan fungsi
harmonik sekawan bagi ( , ) = − .
Daftar Pustaka
Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Comp lex Analysis. Heidelberg: Springer,
2005.
Paliouras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
Erlangga, 1987.
Saff, E.B and A.D Snider. Fundamentals of complex Analysis with Apllication
to Engineering and Science, New Jersey: Pearson Education Inc, 2003
Wegener, Ingo. Complexity Theory Exploring the Limits of Efficient
Algorithms. Berlin: Springer, 2005
64
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
Paket 7
FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER
Pen dahuluan
Perkuliahan pada paket ketujuh ini difokuskan pada definisi pemetaan dan
transformasi, serta memperkenalkan fungsi kompleks elementer tertentu
beserta sifat aljabar dan analitiknya. Materi fungsi-fungsi kompleks pada paket
ini hanya dasarnya saja, sifat-sifat pemetaan fungsi-fungsi ini akan dipelajari
pada paket-paket selanjutnya.. Oleh karena itu pemahaman terhadap materi ini
penting untuk ditekankan sebagai prasyarat untuk mempelajari paket-paket
selanjutnya.
Pada awal Paket 7 ini, mahasiswa diberikan bekal definisi tentang istilah
pemetaan dan transformasi. Selanjutnya mahasiswa diajak untuk menggali
definisi dan sifat-sifat yang melekat pada fungsi-fungsi elementer fungsi
kompleks.
Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap
maha siswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelompok. Langkah tersebut diupayakan
untu k menggali ide-ide dan potensi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menj alin komunikasi sosial yang lebih efe ktif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keterampilan sosial mereka akan diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.
65
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan
Kom petensi Dasar
Men jelaskan kembali fungsi elementer beserta sifat operasinya.
Indi kator
Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1. Menuliskan kembali macam fungsi elementer
2. Mengoperasikan fungsi-fungsi elementer
Wak tu
3x50 menit
Mat eri Pokok
Materi pada paket ini meliputi:
1. Pemetaan dan Transformasi
2. Fungsi Linier
3. Fungsi Pangkat,
4. Fungsi kebalikan,
5. Fungsi Bilinear,
6. Fungsi Exponensial,
7. Fungsi Logaritmik
Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)
1 . Menjelaskan kompetensi dasar
2 . Menjelaskan indikator
3 . Apersepsi pemetaan dan transformasi
4 . Memotivasi mahasiswa bahwa m ateri yang akan dipelajari sangat
bermanfaat untuk mempelajari materi berikutnya
Kegiatan Inti (100 menit)
1. Dosen menjelaskan beberapa konsep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 7.
66
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
2. Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
untuk mendiskusikan bagaimana konsep pemetaan dan transformasi
pada fungsi kompleks sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.
3 . Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4 . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
5 . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi
6 . Penguatan hasil diskusi dari dosen
7 . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi
Keg iatan Penutup (10 menit)
1 . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2 . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3 . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa
Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)
1 . Memberi tugas latihan
2 . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.
Lem bar Kegiatan Mahasiswa
Membuktikan syarat perlu dan syarat cukup agar suatu fungsi memiliki
turun an.
Tujuan
Mahasiswa dapat membuktikan teorema-teorema keanalitikan suatu fungsi
dan sifat-sifat dari fungsi analitik.
Bahan dan alat
Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol
67
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
Langkah-langkah kegiatan
1. Masing kelompok mendapatkan tugas untuk mencari tahu tentang suatu
fungsi dan sifat-sifat yang berkaitan dengan fungsi tersebut.
a. Fungsi Linier
b. Fungsi Pangkat,
c. Fungsi kebalikan,
d. Fungsi Bilinear,
e. Fungsi Exponensial,
f. Fungsi Logaritmik
2 . Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.
3 . Kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil
diskusinya didepan kelas.
68
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
Ura ian Materi
FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER
Pem etaan
Pada paket terdahulu telah dibahas geometri fungsi kompleks yang
dapa t dianalogikan dengan pengiriman titik-titik pada bidang ke titik-titik
pada bidang . Lebih umum, suatu fungsi dapat dipikirkan sebagai proses yang
mem etakan sebagian bidang secara keseluruhan ke bidang . Hal ini
mengakibatkan munculnya istilah pemetaan dan transformasi sebagai nama
lain fungsi. Misalkan fungsi = 2 + memetakan = 1 − ke = − .
dari
atau kalimat fungsi = 2 + mentransformasikan bujur sangkar
menj adi bujursangkar ′ ′ ′ ′.
Jika suatu fungsi memetakan 0 ke 0 , maka dikatakan bahwa 0
adala h bayangan 0 dibawah dan 0 adalah pembayang 0 . Meskipun
defin isi suatu fungsi lebih banyak berbicara tentang bayangan titik , titik
boleh mempunyai lebih dari satu pembayang dibawah suatu fungsi. Misalkan
diba wah fungsi = 4 + 2, titik = 3 mempunyai empat pembayang yakni
= −1, , − .
1,
Pemetaan yang memiliki sifat tidak ada titik yang mempunyai lebih
dari satu pembayang dinamakan pemetaan satu-satu. Jika tidak memiliki sifat
ini d isebut banyak ke satu. Dari penjelasan diatas dapat dijelaskan bahwa
satu- satu jika 1 ≠ 2 maka ( 1) ≠ ( 2).
Inve rsi
Sebelum mempelajari fungsi-fungsi elementer, terlebih dahulu
diperkenalkan secara singkat konsep inversi suatu fungsi. Menurut definisi,
( ) dinamakan inversi fungsi ( ) jika � ( )� = � ( )� = . Invers suatu
fungsi tidak harus sebuah fungsi, tetapi jika satu-satu maka inversinya biasa
ditulis −1 juga merupakan suatu fungsi. Misalkan ( ) = 3 − 5 .
69
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
fungsi satu-satu. Dapat dilihat bahwa −1( ) = ( + 5 )/3 dengan
meru pakan
mem eriksa bahwa � −1( )� = −1� ( )� =
Fung si Linear
Adalah sebuah fungsi yang berbentuk
( ) = +
deng an dan merupakan konstanta kompleks. Turunan dari fungsi ini adalah
′( ) = yang terdefinisi pada setiap . Jadi fungsi linear meruupakan fungsi
meny eluruh. Jika = 0 fungsi ini menjadi fungsi konstan, jika = 1dan = 0
fung si ini menjadi fungsi identitas.
Fungsi linear merupakan fungsi satu-satu. Invers fungsi ini berbentuk
= 1 −
yang juga merupakan fungsi linear. Dan dapat dipikirkan sebagai pemetaan
dari bidang kembali ke bidang .
Fung si Pangkat
Adalah sebuah fungsi yang berbentuk
( ) =
ini merupakan fungsi menyeluruh karena ′ ada dan terdefinisi untuk
Fungsi
. Jika > 1, fungsi ini merupakan fungsi banyak ke satu. Akibatnya
semua
inver sinya bukan merupakan fungsi.
Fung si Kebalikan
Adalah fungsi yang berbentuk
( ) 1
=
Fungsi ini merupakan fungsi satu-satu, kecuali = 0 dan = 0 . Turunan
fungsi ini diberikan oleh ′ = −1/ 2 yang terdefinisi untuk semua kecuali
= 0. Jadi fungsi ini analitik pada semua kecuali pada pusat koordinat.
Dibawah fungsi ( ) = 1/ , jika dibiarkan → 0 , maka ( ) yang
bersesuaian akan menjadi bilangan yang modulusnya besar tak berbatas; jadi
70
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
untu k → 0 , | | menuju tak berhingga. Dengan titik tak berhingga dapat
dikat akan bahwa dibawah fungsi kebalikan, bayangan = 0 adalah ( ) = ∞
dan p embayang dari ( ) = 0 adalah = ∞.
Fung si Bilinear
Jika bilangan bulat tak negatif dan 0, 1, … , adalah konstanta
kom pleks maka fungsi ( ) = 0 + 1 + ⋯ + dinamakan suku banyak.
Jika ( ) dan ( ) adalah dua suku banyak, maka fungsi
( ) = (( ))\
Yang didefinisikan untuk semua asalkan ( ) ≠ 0 , dinamakan fungsi
rasio nal. Fungsi rasional merupakan fungsi analitik kecuali titik-titik yang
mem buat penyebutnya bernilai nol.
Salah satu fungsi rasional yang menarik adalah fungsi rasional yang
berbentuk
( ) = + ( − ≠ 0)
+
Dan dinamakan fungsi bilinear. Karena fungsi ini fungsi rasional maka, fungsi
bilin ear analitik kecuali di = − / . Jika = 0, maka fungsi biliner berubah
menj adi fungsi linear. Fungsi bilinear termasuk fungsi satu-satu. Titik =
− / dipetakan ke titik = ∞ dan titik = ∞ dipetakan ke = / .
Invers dari fungsi bilinear diperoleh melalui manipulasi aljabar
sede rhana. Invers tersebut diberikan oleh
= − +
−
Terli hat bahwa invers fungsi bilinear juga merupakan fungsi bilnear.
Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial peubah kompleks = + didefinisikan
dengan
= (cos + sin )
Jika adalah khayal murni ( = 0), diperoleh
= cos + sin
71
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
fungsi
Yang merupakan rumus euler. Fungsi eksponensial merupakan
meny eluruh, dan ( ) =
Sifat -sifat
1. ≠ 0
2. 0 = 1
3. + =
4. − = /
5. ̅ = � � �
6. = +2
7. Jika = + , maka | | = dan arg( ) =
Fungsi Logaritmik
sebarang bilangan kompleks , ada log . Simbol ini membentuk
Untuk
perlu asan bagi logaritma real ln . “jika adalah bilangan nyata positif,
maka log = ln ”. Sifat-sifat yang dimiliki oleh ln juga dimiliki oleh log ,
khus usnya
log( ) = log + log
dan
log( ) = log
Untu k setiap bilangan kompleks , dan .
= adalah bilangan kompleks yang diberikan, maka
Misalkan
log = log( )
= log + log
= log + log
= log + ln
= ln +
= ln + arg
Berdasarkan sifat-sifat logaritma yang dimiliki oleh oleh log , diperoleh
log = ln| | + arg
72
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
Berdasarkan uraian diatas didefinisikan logaritma
log = ln| | + arg ≠ 0
Cont oh 7.1
Tent ukan logaritma bilangan-bilangan = , 2, − , − 1
Peny elesaian
log = ln| | + arg = ln(1) + � 2 + 2 � = � 2 + 2 �
log 2 = ln|2| + arg 2 = ln(2) + (2 ) = ln 2 + 2
log(− ) = ln( ) + �32 + 2 � = 1 + �32 + 2 �
log(−1) = ( + 2 )
Sifat -sifat log
1 . log( ) = log + log
log( / ) = log − log
2.
log =
3.
log =
4 .
5 . log( ) = . log
Fungsi trigonometrik dan Hiperbolik
Jika merupakan bilangan nyata, maka dengan menggunakan rumus Euler
diper oleh
sin = 1 � − − � sin = 1 � + − �
2 2
Rum usan ini mewakili bentuk kompleks fungsi nyata sinus dan cosinus.
Defi nisi fungsi sinus dan cosinus untuk pe ubah kompleks dikembangkan dari
rumusan diatas. Fungsi sinus dan cosinus didefinisikan oleh
sin = 1 � − − � sin = 1 � + − �
2 2
Untuk semua bilangan kompleks . Empat fungsi lain didefinisikan dengan
tan = sin cot = cos sec = 1 csc = 1
cos sin cos sin
73
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
Dari definisi fungsi sin dan cos merupakan fungsi menyeluruh.
Seda ngkan fungsi yang lain tidak analitik tepat pada titik-titik yang membuat
peny ebutnya samadengan nol.
Sifat -sifat sin dan cos
1 . sin = 0 jika dan hanya jika = , bilangan bulat
2 . cos = 0 jika dan hanya jika = + , bilangan bulat
2
3 . sin(− ) = − sin
4 . cos(− ) = cos
5 . sin2 + cos2 = 1
6 . sin( + ) = sin cos + sin cos
7 . sin( − ) = sin cos − sin cos
8 . |sin |2 = sin2 + sinh2 , dimana = +
9 . |cos |2 = cos2 + sinh2 , dimana = +
[sin ] = cos
1 0.
1 1. [cos ] = − sin
Sinus hiperbolikus didefinisikan dengan
sinh = 1 ( − − )
2
Seda ngkan cosinus hiperbolikus didefinisikan dengan
cosh = 1 ( + − )
2
Jelas bahwa kedua fungsi berikut m erupakan fungsi menyeluruh dan
turunannya diberikan oleh
[sin ℎ] = cosh [cosh ] = sinh
74
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
Ran gkuman
Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan
dalam beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. F ungsi Linear adalah sebuah fungsi yang berbentuk ( ) = +
2. F ungsi Pangkat adalah sebuah fungsi yang berbentuk ( ) =
3. F ungsi Kebalikan adalah fungsi yang berbentuk ( ) = 1
4. F ungsi Bilinear berbentuk
( ) = + ( − ≠ 0)
+
5. F ungsi eksponensial peubah kompleks = + didefinisikan dengan
= (cos + sin )
6. L ogaritma didefinisikan
log = ln| | + arg ≠ 0
7. F ungsi sinus dan cosinus didefinisikan oleh
sin = 1 � − − � sin = 1 � + − �
2 2
Lati han
Jawa blah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini!
1 . Tuliskan fungsi berikut dalam bentuk +
a. /2
b. 1−
c. ln 2+ /3
d. 2−2
2 . Carilah semua yang memenuhi
a. = −3
b. = 1 −
3. Carilah logaritma setiap bilangan berikut
a. 1 +
b. 3 + 4
c. 2 −
4. Buktikan untuk sebarang konstanta kompleks ,
75
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Fungsi-fungsi Elementer
[ ] =
Tunjukkan bahwa, untuk sebarang bilangan nyata
5.
a. sin = 1 � − − �
2
1
b. cos = 2 � + − �
6 . Buktikan bahwa sifat yang telah dikenal |sin | ≤ 1 pada fungsi sinus
nyata tidak dimiliki oleh sin , demikian pula untuk cos
Daftar Pustaka
Freitag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis. Heidelberg: Springer,
2 005.
Palio uras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
Erlangga, 1987.
Saff, E.B and A.D Snider. Fundamentals of complex Analysis with Apllication
to Engineering and Science, New Jersey: Pearson Education Inc, 2003
Weg ener, Ingo. Complexity Theory Exploring the Limits of Efficient
A lgorithms. Berlin: Springer, 2005
76
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
Paket 8
T RANSFORMASI LINEAR DAN TRANSFORMASI
PANGKAT
Pen dahuluan
Pe rkuliahan pada paket kedelapan ini difokuskan transformasi linear dan
trans formasi pangkat. Transformasi linear sebagai gabungan putaran, regangan,
an p ergeseran. Sifat-sifat transformasi linear dan transformasi pangkat Oleh
karen a itu pemahaman terhadap materi ini penting untuk ditekankan sebagai
prasy arat untuk mempelajari paket-paket selanjutnya.
Pa da awal Paket 8 ini, mahasiswa diajak untuk melakukan eksplorasi
terha dap transformasi linear. Selanjutnya mahasiswa diajak untuk menggali
sifat -sifat yang melekat. Setelah mendapatkan materi tentang transformasi
linea r mahasiswa diperkenalkan dengan transformasi pangkat dan sifat-
sifat nya.
Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap
maha siswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelompok. Langkah tersebut diupayakan
untu k menggali ide-ide dan potensi kreatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menj alin komunikasi sosial yang lebih efe ktif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keterampilan sosial mereka akan diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.
77
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan
Kom petensi Dasar
Men jelaskan kembali fungsi elementer beserta sifat operasinya.
Indi kator
Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1. Menuliskan kembali macam fungsi elementer
2. Mengoperasikan fungsi-fungsi elementer
3. Menggunakan Transformasi Kompleks
Wak tu
3x50 menit
Mat eri Pokok
Materi pada paket ini meliputi:
1. Transformasi Linier
2. Transformasi Pangkat
Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)
1 . Menjelaskan kompetensi dasar
2 . Menjelaskan indikator
3 . Apersepsi transformasi linear dan transformasi pangkat
4 . Memotivasi mahasiswa bahwa materi yang akan dipelajari sangat
bermanfaat untuk mempelajari materi berikutnya
Keg iatan Inti (100 menit)
1 . Dosen menjelaskan beberapa kon sep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 8.
2. Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
untuk mendiskusikan bagaimana konsep pemetaan dan transformasi
pada fungsi kompleks sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.
78
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
3. Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4 . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
5 . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi
6 . Penguatan hasil diskusi dari dosen
7 . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi
Keg iatan Penutup (10 menit)
1 . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2 . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3 . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa
Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)
1 . Memberi tugas latihan
2 . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.
dengan transformasi linear dan
Lem bar Kegiatan Mahasiswa
Mentransformasikan suatu bidang
trans formasi pangkat.
Tuju an
Mahasiswa dapat membuktikan bah wa transformasi linear merupakan
gabungan putaran regangan dan pergeseran serta mengetahui sifat-sifat
transformasi pangkat.
Bahan dan alat
Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol
79
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
Langkah-langkah kegiatan
1. Masing kelompok mendapatkan tugas untuk mencari contoh
transformasi dan bagaimana proses transformasi yang terjadi.
Transformasi tersebut adalah
a. Transformasi Linier
b. Transformasi Pangkat,
2 . Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.
3 . Kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil
diskusinya didepan kelas.
80
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
Ura ian Materi
T RANSFORMASI LINEAR DAN TRANSFORMASI
PANGKAT
Tran sformasi Linear
Fungsi linier adalah sebuah fungsi yang berbentuk ( ) = +
deng an dan merupakan konstanta kompleks. Sifat-sifat pemetaan ini paling
mud ah dilihat dengan memeriksa secara terpisah pemetaan-pemetaan
= = +
Kem udian digabungkan menjadi
= + = +
Pem etaan pertama = disebut regangan putaran. Istilah ini muncul dari
hubu ngan-hubungan
| | = | || | arg = arg + arg
Dua relasi ini dapat dijabarkan sebagai berikut, bahwa dibawah
= , bayangan titik adalah titik yang modulusnya | |
pemetaan
“dire gangkan” dengan faktor | | dan argumennya adalah arg diputar dengan
sudu t . Proses regangan putaran ini digambarkan dalam gambar 8.1 berikut 1:
Gambar 8.1
Regangan Putaran
1 John D. Paliouras, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur (Jakarta: Erlangga, 1987), 83
81
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
Catat bahwa pemetaan ini menjaga kesamaannya karena memutar
setia p titik dengan sudut yang sama ( ) dan melipatgandakan modulus setiap
titik dengan faktor yang sama | |.
Selanjutnya, transformasi
= +
dinam akan pergeseran. Sifat fungsi ini “menggeser” atau “memindahkan”
setia p titik dengan vektor konstan . Pemetaan ini jelas memelihara
kesa maan dan kesebangunannya. Gambar 8.2 berikut menggambarkan kejadian
2.
penggeseran
Gambar 8.2
Pergeseran
Dari dua pemetaan diatas, dapat dilihat bahwa transformasi linear
( ) = + terjadi akibat gabungan terhadap regangan putaran = yang
dengan penggeseran = + . Gambar 8.3 berikut menunjukkan
diikuti
gabungan pemetaan-pemetaan tersebut 3.
Contoh pemetaan linear di titik = 1 + 2 , penggal garis ≔ arg =
,1 < | | < 2 , busur ≔ | | = 2, 3 ≤ arg ≤ 3 dan garis tegak
4 4 2
: ( ) = 1 dibawah fungsi = 2 + 1 + dapat dilihat pada gambar 8.4.
2
2 Ibid
3 Ibid, hal 84
82
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
Gambar 8.3
Transformasi Linear
Gambar 8.4
Contoh Transformasi linear dibawah = 2 + 1 +
83
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
Tran sformasi Pangkat
Adalah sebuah fungsi yang berbentuk ( ) = . Fungsi ini merupakan
fung si menyeluruh karena ′ ada dan terdefinisi untuk semua . Jika > 1,
fung si ini merupakan fungsi banyak ke satu. Akibatnya inversinya bukan
meru pakan fungsi.
Sifat-sifat pemetaan tertentu pada transformasi pangkat lebih mudah
dipel ajari dalam bentuk kutubnya. Dengan menyatakan fungsi pangkat dalam
bent uk kutub diperoleh
= (cos + sin )
Dari bentuk kutub ini dapat dilihat bahwa jika
| | = arg =
Mak a | | = arg =
Dari bentuk kutub diatas dapat disimpulkan bahwa transformasi
pang kat memetakan suatu titik dengan modulus dan argumen ke suatu
titik dengan modulus dan argumen . Sebagai contoh, dibawah fungsi =
3, = 2 � 3 � dipetakan ke = 8 .
Pada umumnya, dibawah transformasi pangkat suatu sinar yang
dipan carkan dari pusat sumbu koordinat dengan sudut inklinasi dipetakan
menj adi suatu sinar yang bersudut inklinasi . Sehingga suatu sektor
lingk aran dengan jari-jari bersudut pusat ditransformasikan ke sektor
lingk aran dengan jari-jari bersudut pusat . Proses transformasi ini bida
dilih at pada gambar 8.54.
4 Ibid, hal 88
84
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
Gambar 8.5
Pemetaan =
Sebagai contoh, dibawah = 2, kuadran pertama bidang dipetakan
ke s etengah lingkaran atas bidang . Setengah lingkaran atas bidang
dipet akan ke seluruh bidang . Jika diambil seluruh bidang maka bidang
akan ditutupi dua kali.
Secara general, dibawah transformasi pangkat = , bidang
dipet akan ke bidang , kali. Artinya setiap titik pada bidang , kecuali =
0 me rupakan bayangan titik yang berbeda dari bidang .
Con toh 8.1
Fung si = 2 jika diuraikan menghasilkan
( , ) = 2 − 2 dan ( , ) = 2 .
Sela njutnya, perhatikan hiperbola tegak lurus
2 − 2 = , ≠ 0
Jelas = dan bila dan mengambil seluruh nilai yang mungkin
mak a nilai bergerak dari −∞ hingga +∞. Hal ini menunjukkan bahwa
diba wah = 2, hiperbola diatas dipet akan menjadi garis tegak = .
Selanjutnya perhatikan hiperbola
2 = , ≠ 0
Jelas bahwa dibawah fungsi tersebut, bayangannya adalah garis mendatar
= .
85
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
Ran gkuman
Dari berbagai paparan di atas, maka pada bagian ini dapat dikerucutkan
dalam beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. S ifat-sifat pemetaan liniear paling mudah dilihat dengan memeriksa secara
te rpisah pemetaan-pemetaan
= = +
Kemudian digabungkan
= + = +
2. S ifat-sifat pemetaan pada transformasi pangkat lebih mudah dipelajari
d alam bentuk kutubnya.
3. T ransformasi pangkat memetakan suatu titik dengan modulus dan
ke suatu titik dengan modulus dan argumen .
argumen
Lati han
Jawa1 b. lahCapreirltaahnybaaayna-npgearntankyuaravna-dkiubrvaaw a h=in 3 i !, | | = 2, ( ) = −1, dan ( ) =
2 dibawah fungsi berikut; gambar kurva dan bayangannya
a. = + 1
b. = (−1 + )
c. = (1 − ) + (1 − )
d. = 2 ( + 1 + )
2 . Carilah bayangan tiap-tiap kurva berikut atau daerah pada bidang
dibawah pemetaan = 2
a. 2 − 2 = 3
b. = 1 −
c. | | > 2
d. 1 < ( ) < 2
3. Suatu titik 0 dinamakan titik tetap pada fungsi = ( ) , asalkan
( 0) = 0 . Sehingga untuk titik tetap pada suatu fungsi dapat
diperoleh dengan menyelesaikan persamaan = ( ) . Gunakan
kenyataan ini untuk mendapatkan titik-titik tetap, jika ada, fungsi
berikut
86
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
a. =
b. = − 2
c. = 5 +
2
d. = + , ≠ 0
4 . Buktikan bahwa satu-satunya transformasi linear dengan lebih dari satu
titik tetap adalah pemetaan identitas =
5 . Dibawah pemetaan = 5, = 1 dipetakan ke = 1. Carilah empat
titik lagi yang berbeda yang juga dipetakan ke = 1 dibawah fungsi
tersebut.
6 . Dengan menggunakan kenyataan bahwa uraian fungsi kuadrat = 2
menghasilkan = 2 − 2 dan = 2 , tunjukkan bahwa, untuk
fungsi ini, 2 = 4 2( 2 − ) = 4 2( + 2)
Kemudian tunjukkan bahwa dibawah = 2 , garis-garis mendatar
( = ≠ 0) dan tegak lurus ( = ≠ 0) dipetakan menjadi parabola.
Daftar Pustaka
Freit ag, Eberhard dan Busam, Rolf. Complex Analysis. Heidelberg: Springer,
2 005.
Palio uras. John D, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta:
E rlangga, 1987.
Saff, E.B and A.D Snider. Fundamentals of complex Analysis with Apllication
to Engineering and Science, New Jersey: Pearson Education Inc, 2003
Ingo. Complexity Theory Exploring the Limits of Efficient
Wegener,
A lgorithms. Berlin: Springer, 2005
87
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Linear dan Transformasi Pangkat
88
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear
Paket 9
TRANSFORMASI KEBALIKAN
DAN
TRANSFORMASI BILINEAR
Pen dahuluan
Pe rkuliahan pada paket kesembilan ini difokuskan transformasi kebalikan
dan transformasi bilinear. Transformasi kebalikan sebagai gabungan inversi
dalam lingkaran satuan dan kesekawanan. Sedangkan transformasi bilnear
meru pakan pecahan silang. Oleh karena itu pemahaman terhadap materi ini
pent ing untuk ditekankan sebagai prasyarat untuk mempelajari paket-paket
selan jutnya.
Pa da awal Paket 9 ini, mahasiswa diajak untuk melakukan eksplorasi
terha dap transformasi kebalikan. Selanjutnya mahasiswa diajak untuk
meng gali sifat-sifat yang melekat padanya. Setelah mendapatkan materi
tenta ng transformasi kebalikan mahasiswa diperkenalkan dengan transformasi
bilin ear dan sifat-sifatnya.
Proses perkuliahan didesain dengan model kooperatif agar setiap
maha siswa dalam kelompok termotivasi untuk terlibat secara aktif dalam
perk uliahan. Lembar kegiatan yang digunakan terdapat beberapa permasalahan
yang dikerjakan secara individu, kemudian didiskusikan secara berpasangan,
kemu dian dipresentasikan di depan kelas. Penyiapan media pembelajaran
dalam perkuliahan ini sangat penting. Perkuliahan ini memerlukan media
pemb elajaran berupa LCD dan laptop sebagai salah satu media pembelajaran
yang dapat mengefektifkan perkuliahan, serta kertas plano, spidol dan solasi
seba gai alat menuangkan hasil diskusi kelompok. Langkah tersebut diupayakan
untu k menggali ide-ide dan potensi k reatif mahasiswa-mahasiswi dalam
menjalin komunikasi sosial yang lebih efektif. Dari sini, peta pengetahuan dan
keterampilan sosial mereka akan diketahui untuk kemudian dilakukan diskusi
dan simulasi perkuliahan. Penggunaaan multi media dalam perkuliahan juga
diharapkan untuk mengoptimalisasi pencapaian kompetensi dasar dan indikator
yang telah ditargetkan.
89
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear
Ren cana Pelaksanaan Perkuliahan
Kom petensi Dasar
Men jelaskan kembali fungsi elementer beserta sifat operasinya.
Indi kator
Pada akhir perkuliahan mahasiswa-mahasiswi diharapkan mampu:
1. Menuliskan kembali macam fungsi elementer
2. Mengoperasikan fungsi-fungsi elementer
3. Menggunakan Transformasi Kompleks
Wak tu
3x50 menit
Mat eri Pokok
Materi pada paket ini meliputi:
1. Transformasi kebalikan
2. Transformasi bilinear
Lan gkah-langkah Perkuliahan
Keg iatan Awal (35 menit)
1 . Menjelaskan kompetensi dasar
2 . Menjelaskan indikator
3 . Apersepsi transformasi kebalikan dan bilinear
4 . Memotivasi mahasiswa bahwa materi yang akan dipelajari sangat
bermanfaat untuk mempelajari materi berikutnya
Keg iatan Inti (100 menit)
1 . Dosen menjelaskan beberapa kon sep penting yang diperlukan dalam
menyelesaikan LK. Mahasiswa menyimak penjelasan dosen dengan
bantuan uraian materi pada paket 9.
2. Dosen membagi meminta mahasiswa berkumpul dengan kelompoknya
untuk mendiskusikan bagaimana konsep pemetaan dan transformasi
pada fungsi kompleks sesuai dengan langkah-langkah yang ada di LK.
90
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear
3. Dosen membimbing mahasiswa selama proses diskusi. Mahasiswa
berdiskusi dengan anggotanya dan bertanya pada dosen jika ada materi
yang tidak dipahami. Masing-masing pasangan harus benar-benar
memahami keseluruhan hasil diskusi karena perwakilan pasangan akan
presentasi di depan kelas dipihak secara acak.
4 . Dosen memanggil anggota dengan no.urut tertentu pada salah satu
kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
5 . Selesai presentasi, kelompok lain memberikan klarifikasi
6 . Penguatan hasil diskusi dari dosen
7 . Dosen memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk menanyakan
sesuatu yang belum paham atau menyampaikan konfirmasi
Keg iatan Penutup (10 menit)
1 . Menyimpulkan hasil perkuliahan
2 . Memberi dorongan psikologis/saran/nasehat
3 . Refleksi hasil perkuliahan oleh mahasiswa
Keg iatan Tindak Lanjut (5 menit)
1 . Memberi tugas latihan
2 . Mempersiapkan perkuliahan selanjutnya.
dengan transformasi linear dan
Lem bar Kegiatan Mahasiswa
Mentransformasikan suatu bidang
trans formasi pangkat.
Tuju an
Mahasiswa dapat membuktikan bah wa dibawah transformasi kebalikan
titik dipetakan ke = 1/ , dan syarat − ≠ 0 pada transformasi
bilinear
Bahan dan alat
Lembar kegiatan, kertas HVS, Kertas Plano, Spidol
91
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
Transformasi Kebalikan dan Transformasi Bilinear
Langkah-langkah kegiatan
1. Masing kelompok mendapatkan tugas untuk membuktikan bahwa
dibawah transformasi kebalikan titik dipetakan ke = 1/
2 . Buktikan, mengapa pada transformasi bilinear
= +
+
− ≠ 0
3 . Secara berkelompok mendiskusikan permasalahan yang diberikan.
4 . Kelompok yang mendapatkan giliran mempresentasikan hasil
diskusinya didepan kelas.
92
digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id digilib.uinsby.ac.id
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Fungsi Kompleks 2
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search