สื่อ ppt เรื่อง ระบบจำนวนจริง

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม จํานวนจริง

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม จํานวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4  = {1, 2, 3, 4, 5, …}

จํานวนจริง  = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

จํานวนนบั + = {1, 2, 3, 4, 5, …} = 
จํานวนเตม็ – = {–1, –2, –3, –4, –5, …}

จํานวนเตม็ บวก 0
จํานวนเตม็ ลบ
ศูนย์  = {x | x = a เม่อื a, b Î  และ b ¹ 0}
b
จํานวนตรรกยะ ¢ = {x | x Î  และ x Ï }

จาํ นวนอตรรกยะ  = {x | x Î  หรือ x Î ¢}
จาํ นวนจรงิ

สญั ลกั ษณ์แทนเซตของจํานวนชนดิ ต่าง ๆ อาจมีความแตกต่างจากหลกั การขา้ งตน้ ขน้ึ อยู่กบั การกําหนดขอ้ ตกลงเบอ้ื งตน้

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม จํานวนจรงิ

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

จาํ นวนจรงิ

จํานวนตรรกยะ คือ จาํ นวนทส่ี ามารถเขยี นในรูปของเศษส่วน a เม่ือ a และ b เปน็ จํานวนเต็ม และ b  0
b

จํานวนเตม็ 1 จํานวนตรรกยะ จํานวนเต็ม 7 จํานวนตรรกยะ จาํ นวนเต็ม 2 จํานวนตรรกยะ
2 3 5
จาํ นวนเต็ม จํานวนเต็ม จาํ นวนเตม็
ไมเ่ ท่ากบั 0 ไมเ่ ท่ากับ 0 ไม่เทา่ กับ 0

จํานวนเตม็ อย่าเพ่ิงสรุป ไม่ใช่จํานวนเต็ม อยา่ เพ่งิ สรปุ

1 1.2

ไม่ใชจ่ าํ นวนเตม็ 0.2 ไมใ่ ชจ่ ํานวนเต็ม 3.5

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 1  1  10  10 จาํ นวนจรงิ
0.2 0.2 10 2
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 จาํ นวนตรรกยะ
จํานวนจริง 1.2  1.2  10  12 จํานวนตรรกยะ
จํานวนตรรกยะ 3.5 3.5 10 35 จํานวนตรรกยะ
จาํ นวนตรรกยะ
จาํ นวนตรรกยะ 2.34  2.34  100  234
0.5 0.5 100 50
จาํ นวนตรรกยะ
5.1  5.1  1000  5100
จาํ นวนตรรกยะ 0.425 0.425 1000 425

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม จํานวนจริง

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

จํานวนจริง

5  5 3  3 0  0
1 1 1

12  12 9  9 ศนู ย์เป็นจํานวนตรรกยะ
1 1

34  34 123  123
1 1

จาํ นวนเตม็ บวกเปน็ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนเต็มลบเปน็ จาํ นวนตรรกยะ

จํานวนเต็มทุกจํานวนเปน็ จํานวนตรรกยะ

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จาํ นวนจรงิ

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

จาํ นวนจริง

6  3 2  0.4000... 7  0.4666... 
2 5 15
 0.46

12  4 5  0.625000... 50  1.515151... 
3 8 33
 1.51

30  5 15  3.75000... 11  0.297297297...  
6 4
37 0.297

1050  20 1283  15.375000...  83  0.30181818...  
275
0.3018

เศษสว่ นทเี่ ป็นจํานวนเต็ม เศษส่วนทเ่ี ป็นทศนยิ มซํ้าศูนย์ เศษสว่ นทีไ่ มเ่ ปน็ ทศนยิ มซํ้าศนู ย์

เศษสว่ นท่ีไม่ใช่จาํ นวนเต็ม

ทศนิยมซา้ํ ทกุ จาํ นวนเปน็ จาํ นวนตรรกยะ

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ จํานวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 จํานวนตรรกยะ
จํานวนจริง จํานวนตรรกยะทไ่ี มใ่ ชจ่ าํ นวนเต็ม

จาํ นวนเต็ม

จาํ นวนเตม็ ลบ ศนู ย์ จํานวนเตม็ บวก เศษสว่ น ทศนิยมซ้ํา

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ จํานวนจริง

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

จาํ นวนจริง

จํานวนอตรรกยะ คือ จํานวนจรงิ ทไี่ มส่ ามารถเขียนในรูปของเศษส่วน a เมอ่ื a และ b เปน็ จํานวนเตม็
และ b  0 b

จาํ นวนจรงิ ท่ไี มใ่ ช่จาํ นวนเตม็ และไมใ่ ชท่ ศนยิ มซํา้ เปน็ จํานวนอตรรกยะ

จงหาว่าจํานวนในแตล่ ะข้อต่อไปนเี้ ปน็ จาํ นวนตรรกยะหรอื อตรรกยะ

1 1.46666... จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ

2 2.1324356589... จาํ นวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ

3 5.121121112... จํานวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ

4  5.12  100   512 จํานวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ
3.4 100 340

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ จาํ นวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

จํานวนจรงิ

จํานวนอตรรกยะท่คี วรทราบ
1 ทศนยิ มทไ่ี มใ่ ชท่ ศนิยมซา้ํ

1.1234567891011121314... , 3.43232232223... ,  4.3993399333999...

2 คา่ คงตวั ทางคณิตศาสตรท์ ส่ี ําคัญ ๆ ประมาณคา่ เป็น 22

  3.14159265358... 7
e  2.7182818284...

3 จาํ นวนทอี่ ย่ใู นรูปเครื่องหมายกรณฑท์ ี่ไม่สามารถหาค่าเป็นจํานวนตรรกยะ

2  1.4142135623... 4 2

3  1.7320508075... 9 3 จํานวนตรรกยะ
5  2.2360679774... 25  5

3 6  1.8171205928... 38  2

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ จํานวนจรงิ

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 จํานวนจรงิ
จํานวนจรงิ
จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ
จาํ นวนเตม็
จํานวนตรรกยะท่ีไมใ่ ช่จาํ นวนเตม็

จาํ นวนเตม็ ลบ ศนู ย์ จาํ นวนเต็มบวก เศษสว่ น ทศนิยมซํ้า

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ จํานวนจริง

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 
จาํ นวนจริง
5 4  1
นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม e 3i
2
1i

 0.2  195
3 5 –2  0 1.23

2 1 –1
3 –3 3 … 2

…
…
…
…

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ จํานวนจริง

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4
ระบบจํานวนจรงิ

สัจพจนก์ ารเทา่ กันของระบบจํานวนจริง
กฎการสะทอ้ น (reflexive law)
สาํ หรับจาํ นวนจริง a จะได้ a = a
กฎการสมมาตร (symmetric law)
สาํ หรบั จาํ นวนจรงิ a และ b ถ้า a = b แล้ว b = a
กฎการถา่ ยทอด (transitive law)
สําหรบั จาํ นวนจริง a, b และ c ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c
กฎการบวกดว้ ยจาํ นวนท่ีเทา่ กนั (addition law)
สาํ หรบั จาํ นวนจรงิ a และ b ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c
กฎการคูณดว้ ยจํานวนทเี่ ท่ากนั (multiplication law)
สําหรับจํานวนจริง a, b และ c ถ้า a = b แลว้ ac = bc

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ จาํ นวนจริง

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

ระบบจาํ นวนจรงิ

ให้ a, b และ c เปน็ จาํ นวนจริง จะไดว้ า่

สมบตั ิ การบวก การคณู

สมบตั ิปดิ a+bÎ ab Î 

สมบตั ิการสลบั ที่ a+b = b+a ab = ba

สมบตั กิ ารเปลย่ี นหมู่ (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)

สมบตั กิ ารมเี อกลกั ษณ์ a + 0 = a = 0 + a a1 = a = 1a
เรยี ก 0 ว่า เอกลกั ษณ์การบวก
เรยี ก 1 วา่ เอกลกั ษณ์การคณู

สมบตั ิการมีตวั ผกผัน a + (–a) = 0 = (–a) + 0 a  a–1 = 1 = a–1  a เม่อื a ¹ 0
เรียก a–1 ว่า ตัวผกผนั การคูณของ a
เรยี ก –a วา่ ตวั ผกผันการบวกของ a

สมบตั กิ ารแจกแจง a(b + c) = ab + ac และ (a + b)c = ac + bc

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม จํานวนจริง

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

ระบบจาํ นวนจริง

จงบอกสมบตั ขิ องจํานวนจริงในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี

1 (3  4)  (3  4) 1 สมบตั ิการสลบั ท่ีสําหรบั การคณู
2 2

6  0   6 สมบัตกิ ารมีเอกลักษณ์สําหรบั การบวก

1 x  x สมบัติการมีเอกลกั ษณ์สาํ หรบั การคณู

7(3)  R สมบัติปดิ สาํ หรบั การคูณ

[2  (c  d)]  3(c  d)  2  [(c  d)  3(c  d)] สมบัตกิ ารเปล่ยี นหมู่สําหรบั การบวก

(x  y)(a  b)  (x  y)a  (x  y)b สมบัตกิ ารแจกแจง

5  1   1 สมบตั กิ ารมีอนิ เวอรส์ สําหรบั การคูณ
 5  สมบัติการเปลีย่ นหมสู่ าํ หรบั การคณู

2(4 3)  (2  4) 3

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม จํานวนจริง

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4
ระบบจาํ นวนจรงิ

จงหาผลบวก 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5

= 10 + 10 + 10 + 10 + 5
= 45

จงหาผลคูณ 7515 1
3
1 15 1 
7515 3  75  3 

 (75 15)   75 1 
 3 

 1,125  25

 1,150

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ จํานวนจริง

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

ระบบจํานวนจรงิ

กฏการตัดออกสาํ หรบั การบวก
ให้ a, b และ c เป็นจาํ นวนจรงิ

ถ้า a + c = b + c แลว้ a = b
ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

พสิ ูจน์ ac  bc
a  c  (c)  b  c  (c)
กฏการบวกดว้ ยจํานวนทเี่ ทา่ กนั
a0  b0
ab สมบัตกิ ารมีอินเวอร์สสาํ หรบั การบวก
สมบัตกิ ารมีเอกลักษณ์สาํ หรับการบวก

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ จํานวนจริง

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

ระบบจาํ นวนจรงิ

กฏการตัดออกสาํ หรบั การคณู
ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจรงิ

ถา้ ac = bc และ c ¹ 0 แลว้ a = b
ถ้า ab = ac และ a ¹ 0 แลว้ b = c

พสิ ูจน์ ac  bc
ac c1  bc c1
 กฏการคณู ดว้ ยจาํ นวนท่เี ท่ากัน
a 1  b 1
a b สมบัติการมอี นิ เวอรส์ สําหรบั การคูณ
สมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณ์สําหรบั การคูณ

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ จํานวนจริง

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4
ระบบจํานวนจริง

ให้ a เป็นจํานวนจรงิ จะได้ a  0 = 0

พิสจู น์ 0  0  0 สมบตั ิการมีเอกลักษณก์ ารบวก
กฏการคูณด้วยจํานวนที่เทา่ กัน
a  (0  0)  a  0 สมบตั กิ ารแจกแจง
a0a0  a0
กฏการบวกดว้ ยจํานวนทเี่ ทา่ กัน
ให้ –(a0) เป็นอนิ เวอร์สการบวกของ a0 สมบัตกิ ารเปลี่ยนหมู่และการมีอินเวอรส์ สําหรบั การบวก
สมบตั ิการมีอนิ เวอร์สสาํ หรับการบวก
(a  0  a  0)  [(a  0)]  a  0  [(a  0)] สมบตั กิ ารมีเอกลกั ษณก์ ารบวก

a  0  [a  0  ((a 0))]  0
a00  0
a0  0

สามารถเรยี กสมบตั ินไ้ี ด้ว่า สมบตั ิการคูณดว้ ยศูนย์

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม จาํ นวนจริง

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4
ระบบจาํ นวนจรงิ

ให้ a เปน็ จํานวนจรงิ จะได้ (–1)a = –a

พิสจู น์ (1) 1  0 สมบตั กิ ารมอี ินเวอรส์ สําหรบั การบวก
[(1) 1]a  0  a กฏการคณู ด้วยจาํ นวนท่ีเท่ากนั
(1)a 1a  a  0 สมบัตกิ ารแจกแจงและสมบัติการสลบั ท่ีสาํ หรับการคูณ
(1)a  a  0
[(1)a  a]  (a)  0  (a) สมบตั ิการมเี อกลกั ษณส์ าํ หรับการคณู และสมบัติการคูณดว้ ยศนู ย์
(1)a  [a  (a)]  a กฏการบวกด้วยจาํ นวนท่ีเทา่ กนั
(1)a  0  a
สมบตั กิ ารเปล่ยี นหมสู่ ําหรับการบวกและสมบัตกิ ารมีเอกลักษณก์ ารบวก
(1)a  a สมบตั กิ ารมอี นิ เวอรส์ สําหรับการบวก
สมบัติการมีเอกลักษณก์ ารบวก

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม จํานวนจรงิ

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 4

ระบบจํานวนจรงิ

ให้ a และ b เปน็ จํานวนจริง จะไดว้ ่า ab = 0 กต็ อ่ เม่อื a = 0 หรอื b = 0

พสิ ูจน์ a  0 ab 0
aba 1  0  a1
baa 1  a1  0 กฏการคูณด้วยจํานวนทีเ่ ท่ากัน
สมบัตกิ ารสลบั ที่สําหรบั การคูณ
b 1  0 สมบตั กิ ารมอี นิ เวอร์สสาํ หรบั การคณู และสมบตั ิการคณู ดว้ ยศนู ย์
b 0 สมบัตกิ ารมีเอกลกั ษณส์ าํ หรับการคูณ

b0 ab  0 กฏการคณู ดว้ ยจาํ นวนท่ีเท่ากัน
สมบัตกิ ารมีอนิ เวอรส์ สาํ หรบั การคณู สมบัติการสลบั สาํ หรับการคณู
abb1  0  b1 สมบัตกิ ารมเี อกลกั ษณส์ ําหรับการคูณและสมบตั กิ ารคูณด้วยศนู ย์

a 1  b1  0 แทนค่า
สมบัติการคูณด้วยศนู ย์
a = 0 และ b = 0 a 0
ab  0

00  0

00

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ จาํ นวนจริง

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

ระบบจํานวนจริง

ให้ a และ b เป็นจํานวนจรงิ จะไดว้ า่

a(–b) = –ab
(–a)b = –ab

(–a)(–b) = ab

พสิ ูจน์ (b)  b  0 สมบัติการมอี นิ เวอรส์ สําหรับการบวก
a[(b)  b]  a  0 กฏการคณู ดว้ ยจาํ นวนทเ่ี ทา่ กัน
a(b)  ab  0 สมบัติการแจกแจงและสมบัติการคณู ดว้ ยศนู ย์
[a(b)  ab](ab)  0  (ab) กฏการบวกดว้ ยจาํ นวนทเ่ี ทา่ กัน
a(b)  [ab ( ab)]  ab สมบตั ิการเปลย่ี นหมู่และการมเี อกลกั ษณ์สาํ หรบั การบวก
สมบตั ิการมีอนิ เวอร์สสาํ หรับการบวก
a(b)  0  ab
a(b)  ab สมบัตกิ ารมเี อกลักษณส์ ําหรับการบวก

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ จํานวนจริง

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4
ระบบจํานวนจรงิ
ให้ a และ b เป็นจํานวนจริง
a ลบด้วย b เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ a – b
โดยที่ a – b = a + (–b)

a – b คือ ผลบวกของ a กับตวั ผกผนั การบวกของ b

จงเขียนรูปการลบต่อไปน้ใี ห้อยู่ในรปู การบวก

4  2  4  (2)
4  (2)  4  2
7  3  7  (3)
8  (5)  8  5

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ จาํ นวนจรงิ

ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

ระบบจาํ นวนจริง

ให้ a และ b เปน็ จํานวนจริง โดยที่ b ¹ 0

a หารดว้ ย b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a
b
a
โดยท่ี b  a  b1

a คอื ผลคณู ของ a กบั ตัวผกผันการคณู ของ b
b

เนือ่ งจาก 1  1 b1 เน่อื งจาก a  a  b1
จะไดว้ า่ b จะไดว้ ่า b

1  b1 a  a  1
b b b

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติม จาํ นวนจรงิ

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4
ระบบจํานวนจรงิ

ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริง จะไดว้ ่า

a(b – c) = ab – ac
(a – b)c = ac – bc

พสิ ูจน์ b  c  b  (c) ขอ้ กาํ หนดรปู การลบ
a(b  c)  a[b  (c)] กฏการคูณดว้ ยจํานวนทีเ่ ทา่ กัน
สมบัตกิ ารแจกแจง
 ab  a(c)
 ab  (ac) จากสมบัติ a(–b) = –ab
a(b  c)  ab  ac ข้อกําหนดรปู การลบ

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ จาํ นวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4
ระบบจาํ นวนจริง

ให้ a เปน็ จํานวนจรงิ ถา้ a ¹ 0 แล้ว a–1 ¹ 0

พิสูจน์ เนอ่ื งจาก a 0
แสดงว่า
ถา้ ให้ aa1  1 สมบัติการมีอนิ เวอร์สสําหรบั การคูณ
a1  0 เกิดขอ้ ขดั แยง้

จะได้ aa1  a 0  0 สมบตั กิ ารคูณดว้ ยศนู ย์

นนั่ คือ ถ้า a  0 จะได้ a–1  0

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม จาํ นวนจรงิ

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

ระบบจํานวนจริง

ให้ a, b, c และ d เปน็ จาํ นวนจริง จะไดว้ า่ a

a  b 
 b  c ad
c a เมื่อ b, c  0  bc เมือ่ b, c, d  0
 bc
 d 
a  ac เมอ่ื b, c  0
b bc

a  c  ad  bc เม่อื b, d  0
b d bd

 a  c   ac เมอ่ื b, d  0
 b  d  bd เม่อื b, c  0
 b 1
 c   c
b

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ จาํ นวนจริง

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหนุ ามตวั แปรเดยี ว

กาํ หนดให้ n เป็นจํานวนเตม็ บวก และ an  0 พหนุ ามดีกรี n
สมั ประสทิ ธข์ิ องพหนุ ามซึ่งเปน็ จาํ นวนจริง
a n xn  a n1xn1  a n2xn2  ...  a1x  a0
a n , an1, an2 , ..., a1, a0

สมั ประสทิ ธิ์นํา ดีกรขี องพหนุ าม p(x) : deg(p(x))

p(x)  a n xn  a n1xn1  a n2xn2  ...  a1x  a0

สญั ลกั ษณ์แทนพหนุ ามทมี่ ี x เป็นตัวแปร

x3  4x2  3x  2 พหุนามดีกรี 3
x5  5x2  3x 1 พหุนามดกี รี 5
7x0 พหุนามดกี รี 0
0 เปน็ พหนุ ามไมน่ ิยามดีกรี

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม จาํ นวนจริง

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหนุ ามตัวแปรเดยี ว

พหุนามตวั แปรเดียวสองพหนุ ามจะเทา่ กนั ก็ต่อเม่ือ
พหุนามทง้ั สองนั้นมดี ีกรีเท่ากัน
พจนท์ ี่มีเลขชี้กําลงั ของตวั แปรเทา่ กนั มสี มั ประสิทธเิ์ ท่ากัน

ให้ p(x) = x3 + ax2 + bx + c และ q(x) = x3 – x – 5 ถา้ p(x) = q(x) จงหา a, b และ c
จาก p(x)  q(x)

x3  ax2  bx  c  x3  x  5

จะได้ x3  ax2  bx  c  x3  0x2  (1)x  (5)

น่ันคอื a  0

b  1

c  5

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ จํานวนจรงิ

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหุนามตวั แปรเดยี ว

ให้ p(x) = 3x4 + 2x2 – ax + 3 และ q(x) = bx4 + cx3 +2x2 – 5x + 3 ถา้ p(x) = q(x) จงหา a, b และ c

จาก p(x)  q(x)
จะได้ 3x4  2x2  ax  3  bx4  cx3  2x2  5x  3

3x4  0x3  2x2  ax  3  bx4  cx3  2x2  5x  3

นนั่ คือ a5
b 3
c 0

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ จาํ นวนจริง

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4
พหนุ ามตัวแปรเดียว

ให้ p(x) = x2 – x + 2 และ q(x) = x – 1 จงหา p(x) + q(x), p(x) – q(x) และ p(x)q(x)

p(x) + q(x) = (x2 – x + 2) + (x – 1)
= x2 – x + 2 + x – 1
= x2 + 1

p(x) – q(x) = (x2 – x + 2) – (x – 1)
= x2 – x + 2 – x + 1
= x2 – 2x + 3

p(x)q(x) = (x2 – x + 2)(x – 1)
= x3 – x2 – x2 + x + 2x – 2
= x3 – 2x2 + 3x – 2

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม จํานวนจรงิ

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหุนามตัวแปรเดยี ว

ให้ p(x) = x3 + x2 – 2x + 3 และ q(x) = 3x – 2 จงหา p(x) + q(x), p(x) – q(x) และ p(x)q(x)

p(x) + q(x) = (x3 + x2 – 2x + 3) + (3x – 2)
= x3 + x2 – 2x + 3 + 3x – 2
= x3 + x2 + x + 1

p(x) – q(x) = (x3 + x2 – 2x + 3) – (3x – 2)
= x3 + x2 – 2x + 3 – 3x + 2
= x3 + x2 – 5x + 5

p(x)q(x) = (x3 + x2 – 2x + 3)(3x – 2)
= 3x4 – 2x3 + 3x3 – 2x2 – 6x2 + 4x + 9x – 6
= 3x4 + x3 – 8x2 + 13x – 6

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม จาํ นวนจรงิ

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหนุ ามตัวแปรเดียว

ให้ p(x) = x2 – 1 และ q(x) = x2 – 2x + 3 จงหา p(x) + q(x), p(x) – q(x) และ p(x)q(x)

p(x) + q(x) = (x2 – 1) + (x2 – 2x + 3)
= x2 – 1 + x2 – 2x + 3
= 2x2 – 2x + 2

p(x) – q(x) = (x2 – 1) – (x2 – 2x + 3)
= x2 – 1 – x2 + 2x – 3
= 2x – 4

p(x)q(x) = (x2 – 1)(x2 – 2x + 3)
= x4 – 2x3 + 3x2 – x2 + 2x – 3
= x4 – 2x3 + 2x2 + 2x – 3

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม จาํ นวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหุนามตัวแปรเดียว : การหารพหุนาม

ถ้า a(x) และ b(x) เปน็ พหุนาม โดยท่ี b(x) ¹ 0 แลว้ จะมีพหุนาม q(x) และ r(x) เพยี งชดุ เดียวเทา่ นนั้ ซ่งึ

a(x) = b(x)q(x) + r(x)

เมอื่ r(x) = 0
หรือ deg(r(x)) < deg(b(x))

ตัวหาร เศษเหลอื
ตัวต้ัง a(x) = b(x)q(x) + r(x)

ผลหาร

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม จาํ นวนจรงิ

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

พหุนามตวั แปรเดยี ว : การหารพหุนาม

ให้ a(x) = x4 – 3x3 + x2 + 2x – 5 และ b(x) = x2 จงหาผลหารและเศษเหลอื จากการหาร a(x) ดว้ ย b(x)

รปู เปา้ หมาย a(x) = b(x)q(x) + r(x)
x4 – 3x3 + x2 + 2x – 5 = x2 q(x) + r(x)

(x4 – 3x3 + x2) + (2x – 5) = x2 q(x) + r(x)
x2(x2 – 3x + 1) + (2x – 5) = x2 q(x) + r(x)

ดังนั้น ผลหารคอื x2 – 3x + 1 และเศษเหลือคอื 2x – 5

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ จํานวนจริง

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหนุ ามตัวแปรเดยี ว : การหารพหนุ าม

ให้ a(x) = x3 – 5x2 + 2x – 10 และ b(x) = x – 5 จงหาผลหารและเศษเหลือจากการหาร a(x) ด้วย b(x)

รูปเป้าหมาย a(x) = b(x)q(x) + r(x)
x3 – 5x2 + 2x – 10 = (x – 5)q(x) + r(x)

(x3 – 5x2) + (2x – 10) = (x – 5)q(x) + r(x)

x2(x – 5) + 2(x – 5) = (x – 5)q(x) + r(x)

(x2 + 2)(x – 5) = (x – 5)q(x) + r(x)

(x – 5)(x2 + 2) + 0 = (x – 5)q(x) + r(x)

ดังนัน้ ผลหารคอื x2 + 2 และเศษเหลือคอื 0

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี http://www.imathclass.info
ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ จํานวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหนุ ามตัวแปรเดียว : การหารพหนุ าม (วิธีการหารยาว)

จงหาผลลัพธ์ของการหาร x2 + 2x – 3 ดว้ ย x + 3

x1 (x  3)(x1)  x2  x  3x  3
x  3 x2  2x  3  x2  2x  3

x2  3x 

x  3 
x  3

0

จะได้วา่ x2 2x  3  (x  3)(x1)
ดงั นัน้ x2 + 2x – 3 หารด้วย x + 3 เทา่ กบั x – 1 เศษ 0

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม จํานวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหนุ ามตัวแปรเดยี ว : การหารพหนุ าม (วิธกี ารหารยาว)

จงหาผลลัพธข์ องการหาร 3x2 + 2x – 14 ด้วย x – 2

3x  8 (x  2)(3x  8)  3x2  8x  6x  16
x  2 3x2  2x  14  3x2  2x 16

3x2  6x  (x  2)(3x  8)  2  3x2  2x 16  2
8x  14  3x2  2x 14

8x  16

2

จะได้ว่า 3x2 2x 14  (x  2)(3x  8)  2

ดงั น้นั 3x2 + 2x – 14 หารดว้ ย x – 2 เท่ากบั 3x + 8 เศษ 2

ตัวตง้ั = (ตวั หาร ผลหาร) + เศษ

http://www.imathclass.info

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ จาํ นวนจริง

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 http://www.imathclass.info

พหนุ ามตวั แปรเดียว : การหารพหนุ าม (วิธีการหารยาว)

จงหาผลลัพธ์ของการหาร x3 – 6x2 + 11x – 6 ดว้ ย x – 2

x2 x2  4x  3
x3  6x2  11x  6


x3  2x2

4x2  11x


4x2  8x

3x  6 
3x  6

0

จะไดว้ ่า x3  6x2 11x  6  (x  2)(x2  4x  3)
ดังนั้น x3 – 6x2 + 11x – 6 ด้วย x – 2 เทา่ กบั x2 – 4x + 3 เศษ 0

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จาํ นวนจรงิ

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 http://www.imathclass.info

พหนุ ามตวั แปรเดยี ว : การหารพหนุ าม (วิธกี ารหารยาว)

จงหาผลลพั ธข์ องการหาร y3 – 2y2 + 175 ด้วย y + 5

y5 y2  7y  35
y3  2y2  0y  175
y3  5y2 

7y2  0y


7y2  35y

35y  175 
35y  175

0

จะไดว้ ่า y3  2y2 0y 175  (y  5)(y2  7y  35)
ดังน้นั y3 – 2y2 + 175 หารดว้ ย y + 5 เท่ากับ y2 – 7y + 35 เศษ 0

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม จาํ นวนจรงิ

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 http://www.imathclass.info

พหุนามตัวแปรเดยี ว : การหารพหนุ าม (วิธกี ารหารยาว)

จงหาผลลพั ธข์ องการหาร 8x2 – 14x – 15 ดว้ ย 2x – 5

2x  5 4x  3
8x2  14x  15
8x2  20x 

6x  15


6x  15

0

จะได้ว่า 8x214x 15  (2x  5)(4x  3)

ดังนน้ั 8x2 – 14x – 15 หารดว้ ย 2x – 5 เท่ากบั 4x + 3 เศษ 0

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม จาํ นวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 http://www.imathclass.info

พหุนามตัวแปรเดียว : การหารพหนุ าม (วิธกี ารหารยาว)

จงหาผลลพั ธ์ของการหาร 6x3 + 5x2 – 7x – 4 ดว้ ย 3x2 + x – 4

3x2  x  4 2x  1
6x3  5x2  7x  4
6x3  2x2  8x 

3x2  x 4
3x2  x 

4
0

จะไดว้ ่า 6x3  5x2 7x  4  (3x2  x  4)(2x 1)

ดังน้ัน 6x3 + 5x2 – 7x – 4 หารดว้ ย 3x2 + x – 4 เทา่ กบั 2x + 1

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จํานวนจริง

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

พหนุ ามตัวแปรเดยี ว : การหารพหนุ าม (วิธกี ารหารยาว)

จงหาผลลพั ธ์ของการหาร 2x4 – x3 + 2x2 + x – 4 ด้วย x2 – 2x – 1

x2  2x 1 2x2  3x  10

2x4  x3  2x2  x  4

2x4  4x3  2x2

3x3  4x2 x 
3x3  6x2  3x

10x2  4x  4 
10x2 20x  10

24x  6

จะได้วา่ 2x4  x3  2x2  x  4  (x2  2x 1)(2x2  3x 10)  (24x  6)
ดงั น้ัน 2x4 – x3 + 2x2 + x – 4 ดว้ ย x2 – 2x – 1 เทา่ กบั 2x2 + 3x + 10 เศษ 24x + 6

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ จํานวนจริง

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหนุ ามตัวแปรเดียว : การหารพหนุ าม (วธิ กี ารหารยาว)

จงหาผลลพั ธข์ องการหาร x5 + 8x3 – x2 + 8x – 8 ดว้ ย x3 + x – 1

x3  0x2  x 1 x2  7
x5  0x4  8x3  x2  8x  8
x5  0x4  x3  x2 

7x3 0x2  8x  8


7x3 0x2  7x  7
x 1

จะได้วา่ x5  8x3 x2  8x  8  (x3  x 1)(x2  7)
ดงั น้นั x5 + 8x3 – x2 + 8x – 8 ดว้ ย x3 + x – 1 เทา่ กบั x2 + 7 เศษ x – 1

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี http://www.imathclass.info
ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ จาํ นวนจริง

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 http://www.imathclass.info

พหนุ ามตวั แปรเดียว : การหารพหุนาม (วธิ กี ารหารสังเคราะห)์

จงหาผลลพั ธข์ องการหาร x2 + 2x – 3 ดว้ ย x + 3

–3 1 2 –3

–3 3 เศษ
1 –1 0

1x –1 x–1

จะไดว้ า่ x2 2x  3  (x  3)(x1)

ดังน้ัน x2 + 2x – 3 หารดว้ ย x + 3 เท่ากบั x – 1 เศษ 0

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ จาํ นวนจรงิ

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 http://www.imathclass.info

พหนุ ามตวั แปรเดยี ว : การหารพหุนาม (วิธีการหารสังเคราะห)์

จงหาผลลัพธ์ของการหาร 3x2 + 2x – 14 ด้วย x – 2

2 3 2 –14

6 16

382 เศษ

3x 8 3x + 8

จะไดว้ ่า 3x2 2x 14  (x  2)(3x  8)  2

ดงั นน้ั 3x2 + 2x – 14 หารดว้ ย x – 2 เทา่ กบั 3x + 8 เศษ 2

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม จาํ นวนจริง

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 http://www.imathclass.info

พหนุ ามตัวแปรเดียว : การหารพหนุ าม (วธิ กี ารหารสงั เคราะห์)

จงหาผลลัพธข์ องการหาร x3 – 6x2 + 11x – 6 ด้วย x – 2

2 1 –6 11 –6

2 –8 6

1 –4 3 0 เศษ

1x2 –4x 3 x2 – 4x + 3

จะไดว้ ่า x3  6x2 11x  6  (x  2)(x2  4x  3)

ดังน้นั x3 – 6x2 + 11x – 6 ด้วย x – 2 เทา่ กบั x2 – 4x + 3 เศษ 0

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ จาํ นวนจริง

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

พหนุ ามตวั แปรเดยี ว : การหารพหุนาม (วธิ ีการหารสงั เคราะห์)

จงหาผลลพั ธ์ของการหาร y3 – 2y2 + 175 ด้วย y + 5

–5 1 –2 0 175

–5 35 –175

1 –7 35 0 เศษ

1y2 –7y 35 y2 – 7y + 35

จะได้วา่ y3  2y2 0y 175  (y  5)(y2  7y  35)

ดงั นั้น y3 – 2y2 + 175 หารดว้ ย y + 5 เทา่ กับ y2 – 7y + 35 เศษ 0

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม จํานวนจรงิ

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 http://www.imathclass.info

พหนุ ามตัวแปรเดียว : การหารพหนุ าม (วธิ ีการหารสังเคราะห)์

จงหาผลลัพธข์ องการหาร 8x2 – 14x – 15 ด้วย 2x – 5 x  5
2
5
2 8 –14 –15

20 15

860 เศษ

8x 6 8x + 6

จะไดว้ ่า 8x214x 15  (x  5 )(8x  6)
2

 (x  52)  2(4x  3)

 (2x  5)(4x  3)

ดังนน้ั 8x2 – 14x – 15 หารดว้ ย 2x – 5 เทา่ กับ 4x + 3 เศษ 0

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ จาํ นวนจรงิ

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

การแยกตัวประกอบของพหุนาม : ทฤษฎีบทเศษเหลอื

ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem)

กําหนดให้ p(x) คือ พหุนาม anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + a1x + a0
โดยท่ี n เป็นจาํ นวนเตม็ บวก an, an – 1, an – 2, …, a1, a0 เป็นจํานวนจรงิ ซ่ึง an  0
ถ้าหาร p(x) ดว้ ยพหุนาม x – c เมอ่ื c เป็นจํานวนจรงิ แล้ว เศษเหลือจะเทา่ กบั p(c)

จงหาเศษเหลือจากการหาร x4 – 3x + 5 ดว้ ย x – 2 http://www.imathclass.info
ให้ p(x)  x4  3x  5
จะได้ p(2)  24  3(2)  5

 16  6  5

 15

ดงั น้ัน เศษเหลือจากการหาร x4 – 3x + 5 ดว้ ย x – 2 เท่ากบั 15

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม จาํ นวนจริง

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 http://www.imathclass.info

การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎีบทเศษเหลอื

จงหาเศษเหลอื จากการหาร 9x3 + 4x – 1 ด้วย x  1
2
ให้ p(x)  9x3  4x 1

จะได้ p  1   9  1 3  4  1   1
 2   2   2 

 9  2 1
8

 9  8
8 8

 17
8
ดังน้ัน เศษเหลือจากการหาร ด้วย 1 เท่ากบั 17
9x3 + 4x – 1 x 2 8

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม