สื่อ ppt เรื่อง ระบบจำนวนจริง

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม จาํ นวนจริง

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

การแยกตัวประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎีบทเศษเหลอื

จงหาเศษเหลือจากการหาร 2x4 – 7x3 + x2 + 7x – 3 ด้วย x + 1

ให้ p(x)  2x4  7x3  x2  7x  3 x  (1)
จะได้ p(1)  2(1)4  7(1)3  (1)2  7(1)  3

 27173

0

ดังนน้ั เศษเหลือจากการหาร 2x4 – 7x3 + x2 + 7x – 3 ดว้ ย x + 1 เทา่ กับ 0
แสดงว่า x + 1 หาร 2x4 – 7x3 + x2 + 7x – 3 ลงตัว

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จํานวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎีบทเศษเหลือ

กําหนด p(x) และ c ดังตอ่ ไปนี้ จงหาเศษเหลือเม่ือหาร p(x) ด้วย x – c

p(x)  2x3  7x2  5x  4 ; c  3 p(x)  6x3 13x2  4 ; c  2
p(x)  x4  3x3  4x2  x  6 ;c 1 p(x)  2x4  5x3  x2  3x 1
; c   1
2

p(x)  2x3  7x2  5x  4 p(x)  6x3 13x2  4
c  3 c  2

p(3)  2(3)3  7(3)2  5(3)  4 p(2)  6(2)3 13(2)2  4

 54  63 15  4  48  52  4
 20 0

ดังน้ัน เศษเหลอื เทา่ กับ 20 ดงั นนั้ เศษเหลอื เท่ากับ 0

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ จาํ นวนจริง

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

การแยกตัวประกอบของพหุนาม : ทฤษฎบี ทเศษเหลือ

กําหนด p(x) และ c ดังตอ่ ไปนี้ จงหาเศษเหลอื เมอ่ื หาร p(x) ดว้ ย x – c

p(x)  2x3  7x2  5x  4 ; c  3 p(x)  6x3 13x2  4 ; c  2
p(x)  x4  3x3  4x2  x  6 ;c 1 p(x)  2x4  5x3  x2  3x 1
; c   1
2

p(x)  x4  3x3  4x2  x  6 p(x)  2x4  5x3  x2  3x 1
c 1
c   1
p(1)  14  3(1)3  4(1)2 1 6 2
1)4 1 )3 1 1
 13 41 6 p( 12)  2( 2  5( 2  ( 2 )2  3( 2 ) 1
7
 2  5  1  3  1
ดังน้นั เศษเหลือ เท่ากับ 7 16 8 4 2

0

ดังนน้ั เศษเหลือ เท่ากบั 0

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ จาํ นวนจรงิ

ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎีบทเศษเหลือ

จงหาค่า t ทท่ี าํ ให้ x  2 หาร 3x4 – 2x3 + tx – 1 เหลอื เศษ –1
3

ให้ p(x)  3x4  2x3  tx 1 เน่อื งจาก เปน็ การหาร แล้วเหลอื เศษ –1
2
x  2  x  ( 3 ) น่ันคือ p( 32)  1
3

จะได้ p( 2)  3( 2)4  2( 2)3  t( 2 ) 1 5 18t  1
3 3 3 3 27
16 16 2t
 27  27  3 1 5 18t  27

 5 18t 32  18t
27
16  32  t
9 18

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ จาํ นวนจรงิ

ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 http://www.imathclass.info
การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎบี ทเศษเหลือ

จงหาค่า t ท่ีทําให้ x + t หาร x2 – 5x – 2 เหลอื เศษ –8
ให้ p(x)  x2  5x  2

x  t  x  (t)

เนอ่ื งจาก เปน็ การหาร แลว้ เหลือเศษ –8
จะได้ p(t)  8

(t)2  5(t)  2  8
t2  5t  2  8
t2  5t  6  0

(t  2)(t  3)  0
00
t  2 ,  3

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม จาํ นวนจรงิ

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 http://www.imathclass.info
การแยกตัวประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎบี ทเศษเหลือ
จงหาค่า t ทีท่ าํ ให้ x – 5 หาร x3 – 2x2 + 8x – t ลงตวั
ให้ p(x)  x3  2x2  8x  t
เน่ืองจาก เป็นการหารลงตวั
จะได้ p(5)  0

53  2(5)2  8(5)  t  0
125  50  40  t  0
115  t  0
t  115

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม จาํ นวนจริง

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

การแยกตวั ประกอบของพหุนาม : ทฤษฎีบทตวั ประกอบ

ทฤษฎบี ทตัวประกอบ (factor theorem)

กําหนดให้ p(x) คือ พหุนาม anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + a1x + a0
โดยท่ี n เปน็ จํานวนเต็มบวก an, an – 1, an – 2, …, a1, a0 เป็นจาํ นวนจรงิ ซง่ึ an  0
พหุนาม p(x) จะมี x – c เป็นตัวประกอบ กต็ ่อเมือ่ p(c) = 0

จงแสดงวา่ x – 2 เปน็ ตัวประกอบของ x3 – 5x2 + 2x + 8

ให้ p(x)  x3  5x2  2x  8
จะได้ p(2)  23  5(2)2  2(2)  8

 8  20  4  8

0

ดงั นน้ั x – 2 เป็นตัวประกอบของ x3 – 5x2 + 2x + 8

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม จาํ นวนจริง

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

การแยกตัวประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ

จงหาวา่ x + 2 เป็นตัวประกอบของ 2x3 – 3x2 + 4x + 36 หรือไม่

ให้ p(x)  2x3  3x2  4x  36

จะได้ x  2  x  (2)
p(2)  2(2)3  3(2)2  4(2)  36

 16 12  8  36

0

ดงั นั้น x + 2 เป็นตัวประกอบของ 2x3 – 3x2 + 4x + 36

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม จาํ นวนจรงิ

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 http://www.imathclass.info

การแยกตัวประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎีบทตวั ประกอบ

จงหาวา่ x + 1 เป็นตวั ประกอบของ 2x3 – x2 + 8x – 5 หรอื ไม่

ให้ p(x)  2x3  x2  8x  5

จะได้ x 1  x  (1)
p(1)  2(1)3  (1)2  8(1)  5

 2 1 8  5

 16

ดังนั้น x + 1 ไมเ่ ปน็ ตัวประกอบของ 2x3 – x2 + 8x – 5

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ จาํ นวนจริง

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

การแยกตัวประกอบของพหุนาม : ทฤษฎบี ทตวั ประกอบ

จงหาว่า x + 3 เป็นตวั ประกอบของ x3 – 5x2 – 16x + 80 หรอื ไม่

ให้ p(x)  x3  5x2 16x  80

จะได้ x  3  x  (3)
p(3)  (3)3  5(3)2 16(3)  80

 27  45  48  80

 56

ดังนั้น x + 3 ไมเ่ ป็นตัวประกอบของ x3 – 5x2 – 16x + 80

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม จาํ นวนจรงิ

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 http://www.imathclass.info

การแยกตัวประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎีบทตัวประกอบ

จงหาว่า x + 1 เปน็ ตวั ประกอบของ x4 – 3x3 – 4 หรือไม่

ให้ p(x)  x4  3x3  4

จะได้ x 1  x  (1)
p(1)  (1)4  3(1)3  4

 134

0

ดงั นน้ั x + 1 เป็นตัวประกอบของ x4 – 3x3 – 4

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม จาํ นวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

การแยกตวั ประกอบของพหุนาม : ทฤษฎีบทตัวประกอบ

จงแยกตัวประกอบของ x3 + 2x2 – 5x – 6

ให้ p(x)  x3  2x2  5x  6 1 ,  2 ,  3,  6
ลองหา p(1)  13  2(1)2  5(1)  6  8

แสดงว่า p(1)  (1)3  2(1)2  5(1)  6  0 –1 1 2 –5 –6
จะได้ –1 –1 6
x (1)  x1 เป็นตวั ประกอบของ p(x)
ดังน้นั 1 1 –6 0
p(x)  (x1)(x2  x  6)
 (x1)(x 3)(x 2)

x3  2x2  5x  6  (x1)(x 3)(x 2)

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม จํานวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

การแยกตัวประกอบของพหุนาม : ทฤษฎีบทตวั ประกอบ

จงแยกตวั ประกอบของ x4 – x3 – 2x2 – 4x – 24

ให้ p(x)  x4  x3  2x2  4x  24 1,  2 ,  3 ,  4 ,  6 ,  8 , 12,  24
ลองหา p(1)  14 13  2(1)2  4(1)  24  30

p(1)  (1)4  (1)3  2(1)2  4(1)  24  20

p(2)  24  23  2(2)2  4(2)  24  32

p(2)  (2)4  (2)3  2(2)2  4(2)  24  0

แสดงว่า x (2)  x 2 เปน็ ตวั ประกอบของ p(x) –2 1 –1 –2 –4 –24

จะได้ p(x)  (x 2)(x3  3x2  4x 12) –2 6 –8 24

 (x 2)[x2 (x 3)  4(x 3)] 1 –3 4 –12 0
 (x 2)(x 3)(x2  4)

ดังนั้น x4  x3  2x2  4x  24  (x 2)(x 3)(x2  4)

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ จาํ นวนจรงิ

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

การแยกตวั ประกอบของพหุนาม : ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ

ทฤษฎีบทตวั ประกอบตรรกยะ (rational root theorem)

กาํ หนดให้ p(x) คือ พหนุ าม anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + a1x + a0

โดยท่ี n เปน็ จาํ นวนเตม็ บวก an, an – 1, an – 2, …, a1, a0 เป็นจํานวนจริง ซงึ่ an  0
xห.รมmk.
ถ้า เปน็ ตวั ประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจาํ นวนเต็ม ซ่งึ m  0
และ ของ m และ k เทา่ กบั 1 แล้ว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตัว

หาตวั ประกอบของ a0 k เอาไปวดั ดวง
m
p(x)  an xn  an1xn1  an2xn2  ...  a2x2  a1x  a0

หาตัวประกอบของ an

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชาํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ จาํ นวนจรงิ

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎบี ทตัวประกอบตรรกยะ

จงแยกตวั ประกอบของ 12x3 + 16x2 – 5x – 3 1 ,  3
ให้ p(x)  12x3 16x2  5x  3 1 ,  2,  3 ,  4 ,  6, 12

k  1 ,  3,  1 ,  3 ,  1 ,  1 ,  3 ,  1 ,  1
m 2 2 3 4 4 6 12

ลองหา p(1)  12(1)3 16(1)2  5(1)  3  20

p(1)  12(1)3 16(1)2  5(1)  3  6

p(3)  12(3)3 16(3)2  5(3)  3  450

p(3)  12(3)3 16(3)2  5(3)  3  168

p  1   12  1 3 16  1 2  5  1   3  0
 2   2   2   2 

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ จํานวนจริง

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม : ทฤษฎบี ทตัวประกอบตรรกยะ

จงแยกตวั ประกอบของ 12x3 + 16x2 – 5x – 3

ให้ p(x)  12x3 16x2  5x  3

แสดงวา่ x 1 เปน็ ตัวประกอบของ p(x) 1 12 16 –5 –3
2 2
1
จะได้ p(x)  (x 2 )(12x 2  22x  6) 6 11 3

 (x 1 ) 2  (6x2 11x  3) 12 22 6 0
2

 (2x 1)(6x2 11x  3)

ดังนั้น 12x3 16x2  5x  3  (2x 1)(3x 1)(2x  3)

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี http://www.imathclass.info
ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม จาํ นวนจรงิ

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว

กาํ หนดใหพ้ หุนาม anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + a1x + a0
โดยที่ n เปน็ จํานวนเตม็ บวก an, an – 1, an – 2, …, a1, a0 เปน็ จาํ นวนจรงิ ซ่งึ an  0
และมี x เป็นตัวแปร จะไดว้ า่ สมการพหุนามตวั แปรเดียว คือสมการทอ่ี ยู่ในรูป

an xn  an1xn1  an2xn2  ...  a2x2  a1x  a0  0

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ จํานวนจริง

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 จาก 3x3  2x2 12x  8  0

สมการพหุนามตัวแปรเดียว 2 3 2 –12 –8
6 16 8
จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 3x3 + 2x2 – 12x – 8 = 0
384 0
จาก 3x3  2x2 12x  8  0 3x  2  0
จะได้ x2 (3x  2)  4(3x  2)  0 จะได้ (x 2)(3x2  8x  4)  0
3x  2
(x2  4)(3x  2)  0 2 (x 2)(x 2)(3x  2)  0
(x2  22 )(3x  2)  0 x   3

(x  2)(x 2)(3x  2)  0

น่ันคอื 00 0 2
3
x  2, 2, 

ดงั นัน้ เซตคาํ ตอบของสมการนค้ี ือ 2,  2 , 2
 3 

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม จาํ นวนจรงิ

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 1 6 –11 6 –1
6 –5 1
สมการพหนุ ามตวั แปรเดียว
6 –5 1 0
จงหาเซตคําตอบของสมการ 6x3 – 11x2 + 6x = 1

จาก 6x3 11x2  6x  1

6x3 11x2  6x 1  0

(x 1)(6x2  5x 1)  0

จะได้ (x 1)(3x 1)(2x 1)  0

00 0
x  1, 1 , 1
นัน่ คอื 32

ดังนนั้ เซตคาํ ตอบของสมการนค้ี ือ 1 , 1 , 1
3 2 

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ จํานวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

สมการพหุนามตัวแปรเดยี ว

สมการกาํ ลังสอง (quadratic equation) คือ สมการทเ่ี ขียนไดใ้ นรปู ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c

เปน็ จํานวนจรงิ โดยที่ a  0

ถ้า b2 – 4ac  0 คาํ ตอบทเ่ี ปน็ จาํ นวนจรงิ ของสมการกาํ ลังสองนค้ี อื b  b2  4ac
2a
ถา้ b2 – 4ac < 0 คําตอบที่เปน็ จาํ นวนจรงิ ของสมการกําลงั สองนจ้ี ะไม่มี

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม จาํ นวนจริง

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 http://www.imathclass.info

สมการพหุนามตวั แปรเดยี ว

จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 2x2 – 3x – 1 = 0

จาก 2x2  3x 1  0

พบว่า b2  4ac  (3)2  4(2)(1)

 17  0

จะได้ x  (3)  17
22

 3  17
4

ดังนั้น เซตคําตอบของสมการน้ีคอื 3  17 , 3  17 
 4 
 4 

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ จาํ นวนจรงิ

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 1 1 –2 0 1
1 –1 –1
สมการพหุนามตัวแปรเดียว
1 –1 –1 0
จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ x3 – 2x2 + 1 = 0
http://www.imathclass.info
จาก x3  2x2 1  0
จะได้
(x 1)(x2  x 1)  0
นั่นคอื 00
หรอื x 1

x2  x 1  0

x  (1)  (1)2  4(1)(1)
2(1)

 1 5
2

ดงั นั้น เซตคําตอบของสมการนคี้ อื 1, 1 5 , 1 5 
 2 2 


นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม จํานวนจรงิ

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

สมการพหุนามตัวแปรเดียว

จงหาเซตคําตอบของสมการ 2x3 – x2 + 6x – 3 = 0

จาก 2x3  x2  6x  3  0 จาก 2x3  x2  6x  3  0
จะได้ x2(2x 1)  3(2x 1)  0
1 2 –1 6 –3
(2x 1)(x2  3)  0 2
00
10 3
2x 1  0
น่ันคือ 206 0

2x  1 จะได้ (x 1 )(2x2 6)  0
น่ันคือ 2 0 
x  1   1
2 0 2

ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของสมการนี้คือ 1 x
 
 2 

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ จาํ นวนจรงิ

ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

สมการพหุนามตวั แปรเดียว

ถ้าผลคูณของจํานวนเต็มสามจํานวนทเี่ รียงตดิ กันเทา่ กบั 336 จงหาจํานวนทีม่ ากทสี่ ดุ ในสามจาํ นวนน้ี

ใหจ้ ํานวนท้ังสามเปน็ x – 1, x , x + 1 71 0 –1 –336
จะได้ (x1)  x(x1)  336 7 49 336

(x2 1) x  336

x3  x  336 1 7 48 0

x3  x 336  0

นน่ั คือ (x 7)(x2  7x  48)  0

แสดงวา่ 00

x 7

หรอื x 7  72  4(1)(48) 143
2(1)

ดังนนั้ จาํ นวนที่มากทสี่ ุดตามเงือ่ นไขทีก่ ําหนดใหน้ ้คี อื 8

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ จาํ นวนจรงิ

ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ถา้ ผลคูณของจํานวนเต็มสามจาํ นวนท่เี รยี งติดกันเท่ากบั 336 จงหาจาํ นวนทมี่ ากทส่ี ดุ ในสามจํานวนนี้

ให้จาํ นวนท้ังสามเปน็ x – 2, x – 1, x 8 1 –3 2 –336
จะได้ (x 2)(x1) x  336 8 40 336

(x2  3x  2) x  336

x3  3x2  2x  336 1 5 42 0

x3  3x2  2x  336  0

นนั่ คือ (x 8) (x2  5x  42)  0
แสดงว่า 00
x 8

หรือ x 5  52  4(1)(42) 143
2(1)

ดังนัน้ จาํ นวนทม่ี ากทีส่ ุดตามเงื่อนไขที่กาํ หนดให้น้คี อื 8

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม จํานวนจริง

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

เศษส่วนของพหุนาม

กําหนดให้ p(x) และ q(x) เปน็ พหนุ าม โดยที่ q(x)  0

ตัวเศษ

เศษส่วนของพหนุ าม p(x)

q(x)

ตวั สว่ น ต้องไมเ่ ทา่ กับศนู ย์

เศษสว่ นพหนุ ามท่ีจะกลา่ วถงึ ในระดับนใี้ หถ้ อื ว่าเปน็ พหุนามท่มี ีตัวส่วนไมเ่ ท่ากับศูนย์
ถึงแม้วา่ จะไมไ่ ด้ระบุเง่อื นไขของพหนุ ามทเี่ ป็นตวั ส่วนไว้

x2  x 6  (x 2)(x 3)  x3 เศษสว่ นของพหนุ ามในรปู ผลสําเรจ็ ของ x2  x 6
x2  x  2 (x 2)(x1) x 1 x2  x  2

x2

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม จาํ นวนจริง

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

เศษส่วนของพหนุ าม

จงเขยี นเศษสว่ นของพหุนามในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนใ้ี หเ้ ป็นเศษส่วนของพหนุ ามในรูปผลสําเรจ็

x 1 4x 8

x2 1 3x2  6x

x 1  x 1
x2 1 (x 1)(x1)
x 1
1
 x1 เมอ่ื x  1

4x 8  4(x 2)
3x2  6x 3x(x 2)
x2

 4 เม่อื x  2
3x

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ จาํ นวนจริง

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

เศษส่วนของพหนุ าม : การคูณและการหารเศษสว่ นของพหุนาม

กําหนดให้ p(x), q(x), r(x) และ s(x) เป็นพหนุ าม โดยที่ q(x)  0 และ s(x)  0 จะไดว้ า่

1 p(x)  r(x)  p(x)r(x)
q(x) s(x) q(x)s(x)

2 p(x)  r(x)  p(x)  s(x) เมอ่ื r(x)  0
q(x) s(x) q(x) r(x)

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม จาํ นวนจริง

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 x  2
x  2
เศษสว่ นของพหนุ าม : การคูณและการหารเศษสว่ นของพหุนาม

จงหาผลลพั ธใ์ นรูปผลสําเรจ็

2x2  4x  x x2  3x 10  x  2
x 3  x2  4 x  2
x 2

2x2  4x  x x 2  2x(x 2)  x
x 3  (x  3)(x  2)

 2x2 เมื่อ x  –2
x3

x2  3x 10  x  2  (x 2)(x 5)(x 2)
x2  4 x  2 (x 2)(x 2)(x 2)
x2
x5
 x2 เมือ่ x  –2

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ จาํ นวนจริง

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 x0
x  1
เศษสว่ นของพหนุ าม : การคูณและการหารเศษสว่ นของพหนุ าม
http://www.imathclass.info
จงหาผลลพั ธใ์ นรูปผลสาํ เร็จ x x 1  x2
 x2 1
11
x2  4x  x

x2 1 4x  1  1 4)  x
 x x(x 1

 1 เมือ่ x  0
x4

x x 1  x2  x x 1 (x1)(x1)
 x2 1  x2

(x1)(x1)  x(x1) เมอื่ x  –1
x2

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม จาํ นวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

เศษส่วนของพหุนาม : การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

กําหนดให้ p(x), q(x) และ r(x) เป็นพหนุ าม โดยท่ี q(x)  0 จะไดว้ า่

1 p(x)  r(x)  p(x)  r(x)
q(x) q(x) q(x)

2 p(x)  r(x)  p(x)  r(x)
q(x) q(x) q(x)

ในกรณที ี่ตัวสว่ นไมเ่ ทา่ กัน จะตอ้ งทําตวั ส่วนให้เทา่ กนั ก่อน

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม จาํ นวนจริง

ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

เศษสว่ นของพหุนาม : การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

จงหาผลลัพธ์ในรูปผลสําเรจ็

2x  4  x  3 x 1 4  2  x
x3 x  3  x  4

2x  4  x  3  (2x  4)  (x 3) x 1 4  2  x  1 (2  x)
x3 x  3 x3  x  4 x4

 2x  4  x 3  12 x
x3 x4

 3x 1  x 1
x3 x4

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ จํานวนจริง

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

เศษสว่ นของพหนุ าม : การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม

จงหาผลลัพธใ์ นรูปผลสาํ เร็จ

1  x 1 1 x2 2
x  x 1  x2 1 (x1)(x1)

11  x 1  x x2  x(x1)  2
x  x 1 x(x1) x(x1) x 1  x2 1 (x1)(x1) (x1)(x1)

 (x1)  x  x2  2x  2
x(x1) (x1)(x1)

 2x 1 (x1)(x 2)
x(x1)  (x1)(x1)
x  1

 x2 เมอ่ื x  –1
x 1

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภูมิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ จาํ นวนจรงิ

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

สมการเศษส่วนของพหุนาม

กําหนดให้ p(x) และ q(x) เป็นพหนุ าม โดยท่ี q(x)  0

1 จะเรียกสมการทส่ี ามารถจัดให้อยู่ในรปู p(x)  0 วา่ สมการเศษส่วนของพหนุ าม
q(x)

2 จํานวนจริง c เปน็ คําตอบของสมการ p(x)  0 ก็ต่อเมอื่ p(c)  0
q(x) q(c)

ตอ้ งเปน็ ศูนย์

p(x)  0
q(x)

หา้ มเป็นศูนย์

เซตคําตอบของสมการ p(x) 0 คอื เซตของจาํ นวนจรงิ x ซึ่ง p(x) = 0 และ q(x)  0
q(x)

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ จํานวนจรงิ

ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4

สมการเศษส่วนของพหุนาม

จงหาเซตคําตอบของสมการ x(x1)  2 x 1 x3
(x1)(x 3) (x 1)(x 3)
x(x1)
x(x1)  2 (x1)(x 3)  2
(x1)(x 3) (x1)(x 3) (x1)(x 3)
x(x1)
x(x1) 2 0  (x1)(x 3) x2  x  2
(x1)(x 3) (x1)(x (x1)(x 2)
 3)  2
x 0
x2  x  2  0 0
(x1)(x 3)  1,  2
ต้องเปน็ ศนู ย์
(x1)(x 2)
(x1)(x 3)  0

x 1 ห้ามเปน็ ศนู ย์

x  2

ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการนีค้ อื {–2}

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ จาํ นวนจริง

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4

สมการเศษส่วนของพหุนาม

จงหาเซตคําตอบของสมการ 1  1  1
x x 1

1  x 1  1 1x2 1x1  0
x 1
1 12  4(1)(1)
x 1  x  x(x1)  0 x  2(1)
x(x1) x(x1) x(x1)

ตอ้ งเป็นศูนย์ (x1)  x x(x1)  0  1 17
x(x1) 2

x1 x x2 x  0 x 1 17
x(x1) 2

ห้ามเป็นศนู ย์ x2 x1  0 ดังนัน้ เซตคําตอบของสมการนี้คือ 1  17 , 1 17 
 2 
x0  2 

x  1

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ จาํ นวนจรงิ

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 http://www.imathclass.info

สมการเศษส่วนของพหุนาม

จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 1  1  1
x x 1

 x(x1) 1  x 1 1  1
x 

x0 (x1)  x  x(x1)
x  1
2x 1  x2  x

0  x2  x 1

1x2 1x 1  0

x  (1)  (1)2  4(1)(1)  1 17
2(1) 2

ดงั นนั้ เซตคาํ ตอบของสมการน้คี ือ 1 17 , 1 17 
 
 2 2 

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม จาํ นวนจริง

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

สมการเศษสว่ นของพหุนาม

จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 11  11
x 1 x  2 x3 x4

x 1  x 1 2  x 1 3  x 1 4 ตอ้ งเปน็ ศนู ย์
1   
4x 10  0
x2 x1 x4 x3
(x1)(x 2)  (x1)(x 2)  (x 3)(x 4)  (x 3)(x 4) 4x  10

x  2 x 1  x4x3 x   10   5
(x1)(x 2) (x 3)(x 4) 4 2

x2  7x 12 1  1  0 ดงั น้ัน เซตคาํ ตอบของสมการนค้ี อื
(x1)(x 2) 3)(x
(x 4) 5
 
(x 3)(x 4) (x1)(x 2) x2  3x  2  2 
(x1)(x 2)(x 3)(x (x1)(x 2)(x 3)(x
4)  4)  0 x  1 x  3

x2  7x 12  x2  3x  2  0 หา้ มเป็นศนู ย์ x  2 x  4
(x1)(x 2)(x 3)(x 4)

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชาํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ จาํ นวนจรงิ

ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4

สมการเศษสว่ นของพหุนาม

จงหาเซตคําตอบของสมการ 11  11
x 1 x  2 x3 x4

1  1  1  1  (x1)(x 2)(x 3)(x 4)
1   
x x 2 x 3 x 4

(x 2)(x 3)(x 4)  (x1)(x 3)(x 4)  (x1)(x 2)(x 4)  (x1)(x 2)(x 3)

[(x 2)  (x1)] (x 3)(x 4)  (x1)(x 2) [(x 3)  (x 4)] x  1
(x 3)(x 4)  (x1)(x 2)

x2  7x 12  x2  3x  2 x  2
x  3
4x 10  0 x  4

4x  10

x   10   5
4 2
ดังนัน้ เซตคาํ ตอบของสมการนคี้ อื  5 
 2 

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ จาํ นวนจรงิ

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4

สมการเศษสว่ นของพหุนาม

จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 42  1
x2 1  x 1 2

42  1 x2  4x  5  0 ต้องเปน็ ศนู ย์
x2 1 x 1 2 2(x1)(x 1)
x5  0
(x 4  2(x1)  1 x2  4x  5  0 x5
1)(x1) (x1)(x 1) 2 2(x1)(x 1)
หา้ มเป็นศนู ย์
4  2x  2  1  0 (x 5)(x1) 0
(x1)(x 1) 2 2(x1)(x 1)
x  1
2(2x  2)  (x1)(x1)  0 x 1 x 5 0
2(x1)(x 1) 2(x1)(x1) 2(x1)

4x  4  x2 1  0
2(x1)(x 1)

ดงั นั้น เซตคาํ ตอบของสมการนค้ี ือ {5}

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมิพิทยาคม

คณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม จาํ นวนจริง

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 x 1
x  1
สมการเศษส่วนของพหนุ าม
http://www.imathclass.info
จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ 4  x 2  1
x2 1 1 2

4  x 2  1
x2 1 1 2

4 1)  x 2 1  1  2(x1)(x1)
(x1)(x  2

4 2  2  2(x1)  (x1)(x1)

8  4x  4  x2 1
0  x2  4x  5

(x1)(x 5)  0

x  1, 5

ดงั นั้น เซตคําตอบของสมการนี้คือ {5}

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม จาํ นวนจริง

ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

สมการเศษส่วนของพหุนาม

น้ําว้าทํางานอยา่ งหนึ่งเสร็จในเวลา 2 ช่ัวโมง ถ้าลูกหว้าช่วยทํางานดว้ ย งานน้นั จะเสรจ็ ในเวลา 1 ช่วั โมง 30 นาที

ถ้าลูกหว้าทํางานชิ้นน้คี นเดยี วจะเสร็จในเวลาเทา่ ใด 1 1  3
2 2

ลูกหว้า นํ้าวา้ 3  3 1
2x 4
x 2  4(2x)
เวลาที่ทาํ งานเสรจ็ 1 1
ปรมิ าณงานทีท่ าํ ไดใ้ น 1 ชั่วโมง x 2 12  6x  8x x0
3 3 12  2x
ปริมาณงานท่ที าํ ไดใ้ น 3 ช่วั โมง 2x 4 x6
2

+

1

ดังนั้น ลูกหวา้ ทาํ งานชิ้นน้คี นเดยี วจะเสรจ็ ในเวลา 6 ช่ัวโมง

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม จํานวนจรงิ

ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4

การไมเ่ ทา่ กนั ของจํานวนจรงิ

ในระบบจาํ นวนจริง  จะมสี ับเซต + ซ่ึงสอดคลอ้ งกับสัจพจนเ์ ชิงอนั ดับ 3 ขอ้ ดงั ต่อไปนี้
สําหรับ a  + และ b  + จะไดว้ ่า a + b  + (สมบัตปิ ิดการบวก)
สาํ หรับ a  + และ b  + จะไดว้ ่า ab  + (สมบตั ปิ ิดการคูณ)
สาํ หรบั จาํ นวนจรงิ a จะไดว้ ่า

a=0

a  + เพยี งอยา่ งใดอย่างหนง่ึ (สมบัตไิ ตรวิภาค)

–a  +

นางสาวเปรมยุดา คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม จาํ นวนจริง

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

การไม่เท่ากนั ของจํานวนจริง

กาํ หนดให้ a > 0 หมายถงึ a  +
และ a < 0 หมายถงึ –a  +
จะได้ว่า

สาํ หรับ a   และ b   ถา้ a > 0 และ b > 0 แลว้ a + b > 0
สาํ หรบั a   และ b   ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้ว ab > 0
สาํ หรับ a   แล้ว

a=0

a > 0 เพยี งอยา่ งใดอย่างหนึ่ง

a<0

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี http://www.imathclass.info
ครูชํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ b–a > 0 จํานวนจริง

ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 http://www.imathclass.info
การไมเ่ ท่ากันของจํานวนจรงิ

ให้ a และ b เป็นจาํ นวนจรงิ
a > b หมายถึง a – b > 0
a < b หมายถึง a – b < 0
a  b หมายถงึ a > b หรือ a = b
a  b หมายถงึ a < b หรือ a = b

a < b มองไดเ้ ปน็ b > a จาก
ตคี วามหมายไดอ้ ีกแบบเป็น

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครชู ํานาญการ โรงเรยี นเสลภมู พิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ จาํ นวนจริง

ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 http://www.imathclass.info
การไม่เท่ากันของจํานวนจรงิ
ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจรงิ
สมบตั ิการถ่ายทอด
ถา้ a > b และ b > c แล้ว a > c
สมบัตกิ ารบวกด้วยจํานวนทีเ่ ทา่ กัน
ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
จํานวนบวกและจาํ นวนลบเปรยี บเทยี บกบั ศนู ย์
a เปน็ จาํ นวนบวก ก็ตอ่ เมอ่ื a > 0
a เปน็ จํานวนลบ ก็ต่อเมอื่ a < 0

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม จาํ นวนจริง

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 http://www.imathclass.info
การไมเ่ ท่ากนั ของจาํ นวนจริง
ให้ a, b และ c เปน็ จาํ นวนจริง
สมบตั กิ ารคูณด้วยจาํ นวนที่เท่ากันท่ไี ม่เปน็ ศนู ย์
ถ้า a > b และ c > 0 แลว้ ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แลว้ ac < bc
สมบัตกิ ารตดั ออกสาํ หรับการบวก
ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
จํานวนบวกและจํานวนลบเปรียบเทยี บกบั ศูนย์
ถา้ ac > bc และ c > 0 แลว้ a > b
ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

นางสาวเปรมยดุ า คํามะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรยี นเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม จาํ นวนจรงิ

ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4
การไม่เทา่ กนั ของจํานวนจรงิ

ให้ a, b, c และ d เป็นจํานวนจริง
ถา้ a > b และ c > d แลว้ a + c > b + d

Proof ให้ ab จาก 1 และ 2 จะได้

จะไดว้ ่า a  b  0 1 (a  b)  (c d)  0
และ c  d 2 abcd  0
acbd  0
จะได้วา่ c  d  0
(a  c)  (b  d)  0

ac  bd

นางสาวเปรมยุดา คํามะณี http://www.imathclass.info
ครชู ํานาญการ โรงเรียนเสลภูมพิ ิทยาคม

คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ a < b และ b < c จาํ นวนจรงิ
a  b และ b  c
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 a < b และ b  c http://www.imathclass.info
a  b และ b < c
การไมเ่ ท่ากันของจํานวนจริง

ให้ a, b และ c เปน็ จาํ นวนจริง
a < b < c หมายถึง
a  b  c หมายถึง
a < b  c หมายถงึ
a  b < c หมายถงึ

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู ิพิทยาคม

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม จาํ นวนจริง

ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 ab
อสมการพหนุ ามตัวแปรเดยี ว : ช่วง ab
ให้ a และ b เปน็ จาํ นวนจรงิ ซ่ึง a < b ab
ช่วงเปิด (a, b) หมายถึง {x | a < x < b} ab
a
ช่วงปดิ [a, b] หมายถึง {x | a ≤ x ≤ b}
http://www.imathclass.info
ช่วงครึง่ เปดิ (a, b] หมายถึง {x | a < x ≤ b}

ชว่ งคร่งึ เปดิ [a, b) หมายถึง {x | a ≤ x < b}

ช่วงอนนั ต์ (a, ∞) หมายถงึ {x | x > a}

นางสาวเปรมยดุ า คาํ มะณี
ครชู าํ นาญการ โรงเรียนเสลภมู พิ ิทยาคม