The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

คณิตศาตร์ พค 21001 ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search

คณิตศาตร์ พค 21001 ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

คณิตศาตร์ พค 21001 ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

94

2. จงหาพืน้ ท่ีสวนท่แี รเงา ตวั เลขทเี่ ขยี นกํากับไวถือวาเปนความยาวของดา นและมีหนว ยความยาวเปนเมตร

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

95

2.6 พน้ื ท่รี ูปหลายเหลย่ี ม
การหาพนื้ ทร่ี ปู หลายเหลย่ี ม ใชวธิ แี บงรปู หลายเหลยี่ ม เปนรูปสเ่ี หล่ยี มยอยๆ แลว หาพน้ื ทขี่ องรูป

แตละรูปนําผลลพั ธม ารวมกนั แตบ างครั้งอาจใชวธิ ตี อ เตมิ รูปเพือ่ ใหเ กิดรปู เหลยี่ มใหมแ ลวนํามาหกั ลบกนั
ดังตัวอยา ง

ตัวอยาง จงหาพ้ืนที่รูปเหล่ยี มท่แี รเงา

วธิ ที าํ ลากตอ EF และ HG ทาํ ใหเ กดิ เปน รูปสเี่ หลี่ยมมมุ ฉากยอ ย 3 รปู คือ DEJC, FGKJ,
ABKH

จากรปู EJ = 6 เซนติเมตร
FJ = 4 เซนติเมตร

พน้ื ท่ีรูปหลายเหลีย่ ม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ + พ.ท. ABKH
= ( 26) + (14) + (310)
= 12 + 4 + 30 ตารางเซนตเิ มตร

ดังนัน้ พืน้ ทร่ี ปู หลายเหลยี่ ม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร

2.7 พืน้ ทรี่ ูปวงกลม
การหาพืน้ ทขี่ องรูปวงกลมโดยวธิ แี บง ออกเปน สว นเล็กๆ แลว นําแตละสว นมาสลบั กนั ดังรปู

96

จะเหน็ ไดวา ถาย่งิ แบง สวนยอยใหม จี ํานวนมากขน้ึ รูปสเ่ี หลี่ยมทไ่ี ดจะมีรูปใกลเคยี งกบั รปู สี่เหลีย่ มผนื ผา
โดยมีสวนสูงใกลเคียงกบั รัศมขี องวงกลม

ความยาวของฐาน ใกลเ คยี งกับครงึ่ หน่ึงของเสน รอบวง หรอื 1 2r  r

2

จากสูตร พนื้ ท่ี ผนื ผา = ฐาน สูง
= r r
= r 2

สูตร พืน้ ที่วงกลม =r2

เมือ่   22 หรอื 3.14 โดยประมาณ

7

r แทนความยาวรศั มี

ตัวอยาง จงหาพน้ื ที่วงกลมท่มี รี ัศมียาว 7 เซนตเิ มตร
วิธีทํา

พ้นื ท่ีวงกลม = r 2
พ้นื ที่วงกลม =
= 22  7  7 ตารางเซนตเิ มตร

7

154 ตารางเซนตเิ มตร

97

แบบฝกหดั ที่ 5
1. จงหาพ้ืนท่สี ว นทแ่ี รเงา ตวั เลขที่เขยี นกาํ กับดานมหี นว ยเปน เซนติเมตร และจุด O แทน
จดุ ศูนยก ลางของวงกลม

1

98

สรุปสูตรการหาพ้ืนที่

99

100

เรื่องที่ 4 การแกโ จทยป ญ หาเกยี่ วกับพน้ื ทใี่ นสถานการณต างๆ

ตวั อยาง ทด่ี นิ รูปส่ีเหลย่ี มผืนผา กวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตอ งการทําถนนในที่ดนิ กวาง 1 วา โดยรอบถนนจะ
มีพ้ืนที่กตี่ ารางวา

วิธที ํา

พน้ื ทท่ี งั้ หมด = 12  20
= 240 ตารางวา
พนื้ ท่รี ูปใน
= 10  18
พื้นที่ถนน = 180 ตารางวา
 พน้ื ทีถ่ นน = 240 – 180
= 60 ตารางวา

ตวั อยา ง หองๆ หนึ่ง 6.5 เมตร กวา ง 4 เมตร ตอ งการปกู ระเบอ้ื งรปู สี่เหลี่ยมจัตรุ ัส ซึง่ มคี วามกวางดา นละ 25
เซนตเิ มตร จะตองใชกระเบื้องกีแ่ ผน

วธิ ีทาํ หองหนึ่งมคี วามยาว 6.5 เซนติเมตร = 650 เซนติเมตร
ความกวา ง 4 เมตร = 400 เซนติเมตร
พนื้ ท่ีหอ ง = 400  650 = 260,000 เซนติเมตร
พื้นทกี่ ระเบ้ือง = 25  25 = 625 ตารางเซนติเมตร

ตองใชก ระเบือ้ ง = 260,000  416 แผน

ดงั นัน้ ตองใชกระเบอื้ ง 416 แผน 625

101

แบบฝกหดั ที่ 6
1. แผนผงั บา นหลงั หน่งึ มีลกั ษณะและขนาดดงั รปู ถาบริเวณทีแ่ รเงาตอ งการเทปูนซเี มนต โดยเสียคา ใชจ า ยตาราง
เมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจ า ยท้งั หมดกบี่ าท กําหนดความยาวมีหนว ยเปนเมตร

2. ตองการตดั เส้ือตัวหน่ึงมลี กั ษณะดังรูป จะตองใชผ า กต่ี ารางเมตร (ไมคดิ ตะเข็บ) ความยาวทกี่ ําหนดมี
หนวยเปน เซนตเิ มตร

102

เร่อื งที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนกั

ในชวี ติ ประจาํ วันบางคร้งั เราอาจตอ งการทราบรายละเอียดเกีย่ วกับเวลา ระยะทาง ขนาด หรอื
น้ําหนัก ของสง่ิ ตา งๆ แตไมส ะดวกทจี่ ะวดั ส่ิงตางๆ เหลา น้นั เน่อื งจากมขี อ จํากดั บางประการ ตวั อยา งเชน
ตอ งการวดั ความยาว และความกวางของสนามฟตุ บอลของโรงเรียน แตไ มมีอุปกรณท ่ีเหมาะสม ทาํ ใหต อ งมี
กีป่ ระมาณอยางครา วๆ ซึ่งในบางครั้งอาจจะถูกตอง หรอื อาจผิดไปจากความเปนจรงิ บาง เราเรยี กวธิ กี าร
ประมาณในลกั ษณะน้ีวา การคาดคะเน

การคาดคะเนปรมิ าณตา งๆ เชน ชว งเวลา ระยะทาง ขนาด และนํ้าหนกั ของส่งิ ตา งๆ ผูคาดคะเนมกั
ใชสายตารวมกับประสบการณข องผคู าดคะเนเอง ซ่ึงในการคาดคะเนแตละครงั้ อาจถกู ตองพอดี หรืออาจมี
ขอผดิ พลาดเกิดข้ึนบา งกไ็ ด เราเรียกขอ ผิดพลาดนี้วา ความคลาดเคลอื่ นและความคลาดเคลอ่ื นคํานวณไดจ าก
ผลตางของปริมาณท่ีคาดคะเนไวก บั ปริมาณท่ีวดั ไดจ ริง เชน

คะเนวา หนังสอื เรียนกวาง 15 เซนตเิ มตร ยาว 20 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนติเมตร แตเม่ือวดั จริง
พบวาหนงั สือเรียนกวาง 14.6 เซนติเมตร ยาว 20.9 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนตเิ มตร ดงั นน้ั คะเนความกวาง
และความยาวของหนังสอื เรียนคลาดเคลือ่ นไป 0.4 และ 0.9 ตามลาํ ดบั (15.0 เซนติเมตร – 14.6 เซนติเมตร =
0.4 เซนตเิ มตร และ 20.9 เซนติเมตร – 20 เซนตเิ มตร = 0.9 เซนตเิ มตร สว นความหนาคาดคะเนไดถ กู ตอ งไม
คลาดเคลอ่ื นเลย )

หมายเหตุ บางครัง้ อาจพบการใชส ญั ลกั ษณ  ตามความคลาดเคล่ือน เชน เครือ่ งบรรจนุ ้าํ ไดข วด
ละ 1,000 ลกู บาศกเ ซนติเมตร  5 ลูกบาศกเ ซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลวนา้ํ ด่ืมท่บี รรจขุ วดโดย
เครื่องน้จี ะมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร แตอ าจจะมีบางขวดทม่ี ปี รมิ าตรมากกวา หรือนอ ยกวา 1,000
ลกู บาศกเซนติเมตร ซึง่ ปริมาตรที่คลาดเคลอ่ื นน้ีไมเ กนิ 5 ลกู บาศกเซนตเิ มตร น่นั คือ นํา้ ด่ืมที่บรรจขุ วดจะมี
ปรมิ าตรตง้ั แต 995 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร ถงึ 1,005 ลกู บาศกเ ซนติเมตร

103

แบบฝก หดั ท่ี 7
1. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปน้ี

1) ฟาใกลส วา ง อากาศเย็นสบาย ไกต วั ผูตีปก และสง เสยี งขนั มนี ้าํ คา งจบั ตามยอดหญา นา จะเปน
เวลาประมาณ...................นาฬกิ า

2) เม่อื อยูก ลางแจง ดวงอาทติ ยอ ยูต รงศรี ษะพอดี เงาของตัวเองอยบู นพื้นทย่ี ืนอยพู อดี นา จะเปน เวลา
ประมาณ...................นาฬกิ า
3) ในจังหวัดทางภาคเหนอื เปนเวลาเชา ตรู ฟา สวา งแลว แตย ังไมเ ห็นพระอาทิตย ทอ งฟาขมกุ ขมวั อากาศ
หนาวเย็นจดั นาจะเปน ฤด.ู ...................และควรจะเปน ชว งเดือน.....................

2. จงวงกลมลอ มรอบขอท่ีเหมาะสมทส่ี ุด สําหรบั ใชห นวยในการคาดคะเน ระยะทาง นาํ้ หนัก หรอื

ขนาดของสิง่ ตอ ไปนี้

1) ความยาวของคตั เตอร

ก. 1.5 มลิ ลเิ มตร ข. 15 เซนตเิ มตร ค. 15 เมตร

2) น้ําหนกั ของมะพรา ว 1 ผล

ก. 1 กรมั ข. 1 กโิ ลกรมั ค. 1 ตัน

3) ปริมาณของนม 1 กลอ ง

ก. 4 512 เซนติเมตร3 ข. 4 512 ฟุต3 ค. 4 512 เมตร3

4) รถกระบะ

4.1 มีน้ําหนกั ก. 10 กิโลกรมั ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตนั

4.2 ความกวา ง ก. 160 เซนตเิ มตร ข. 16 ฟตุ ค. 16 เมตร

4.3 ความยาว ก. 5 ฟตุ ข. 5 เมตร ค. 5 วา

4.4 ความสงู ก. 160 มิลลิเมตร ข. 1,600 มิลลเิ มตร ค. 16,000 มิลลิเมตร

5) เกาอี้นง่ั

5.1 กวา ง ยาว สงู

ก. 40 5080 มลิ ลเิ มตร3

ข. 40 5080 เซนตเิ มตร3

ค. 4 58 เมตร3

5.2 น้าํ หนัก

ก. 10 กโิ ลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตัน

104

3. ทางหลวงสายพหลโยธนิ กรงุ เทพฯ-แมสาย ยาว 952 กโิ ลเมตร รถประจาํ ทางปรบั อากาศวง่ิ บนทางหลวง
สายนตี้ ลอดเสน ทางดวยอตั ราเรว็ 80-100 กโิ ลเมตรตอช่วั โมง

(1) รถประจําทางปรับอากาศใชเวลาวง่ิ ตลอดเสน ทางนานเทาไร
(2) ถา รถออกจากกรงุ เทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬกิ า จะถงึ แมสายในชวงใด
(3) ถาตองการใหถงึ แมสายประมาณเทยี่ งวนั ที่ 16 กนั ยายน จะตอ งออกจากกรุงเทพฯ เวลาเทา ไร

4. ลฟิ ตข องโรงแรมแหงหน่งึ บรรทกุ ผูโ ดยสายไดเที่ยวละไมเกิน 10 คน (600 กิโลกรมั ) บางครัง้ มี
ผโู ดยสารเขา ลิฟตเ พียง 8 คน ลฟิ ตจะมเี สียงเตอื น บางครง้ั มผี ูโ ดยสาร 12 คน ลิฟตไมมเี สียงเตอื นยังใชงาน
ไดเ ปนเพราะเหตใุ ด จงอธิบาย

5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรงุ เทพฯ-บา นคลองพราน จงั หวดั นราธวิ าส) 1,352 กโิ ลเมตร ทางหลวงสาย
มิตรภาพ (กรุงเทพฯ-จังหวดั หนองคาย) 508 กโิ ลเมตร ทางหลวงสายสขุ มุ วทิ (กรงุ เทพฯ-จงั หวดั ตราด) 400
กโิ ลเมตร

(1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผา นกรุงเทพฯ แลวมุง สูจ งั หวดั
หนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดวยอัตราเรว็ ในชว ง 90-100 กโิ ลเมตรตอชวั่ โมง จะใชเวลาประมาณกี่
ช่ัวโมง

(2) ถาเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬิกา วนั นี้ จะถงึ จงั หวดั
นราธวิ าสเม่อื ใด โดยใชอ ตั ราความเรว็ 100 กโิ ลเมตรตอช่ัวโมง

(3) ถาตองการเดนิ ทางจากกรงุ เทพฯ ไปจงั หวดั ตราดทางหลวงสายสขุ มุ วิท และถึงจงั หวดั ตราด
ประมาณเทย่ี งวัน จะตองออกจากกรงุ เทพฯ เวลาใด เม่ือใชอ ตั ราความเรว็ 80 กิโลเมตรตอ ชั่วโมง

(4) ใหน ักเรียนเปรียบเทยี บความยาวของทางหลวงท้ังสามสาย

105

บทที่ 6
ปรมิ าตรและพนื้ ทผี่ วิ

สาระสําคญั

การหาพ้นื ทผ่ี ิวและปรมิ าตรของ ปริซึม พรี ะมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปน จะตองรู
กระบวนการคดิ และการใชสูตร เพอ่ื สะดวกในการคาํ นวณอนั จะเปน ประโยชนตอ การนําไปใชในชวี ติ จรงิ

ผลการเรียนรทู ีค่ าดหวัง

1. อธิบายลกั ษณะและสมบตั ขิ องปรซิ ึม พีระมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หาปริมาตรและ
พนื้ ทผ่ี ิวของปริซึมได

2. สามารถหาปริมาตรและพ้ืนท่ผี วิ ของทรงกระบอกได
3. สามารถหาปรมิ าตรของพรี ะมิด กรวยและทรงกลมได
4. เปรยี บเทยี บหนว ย ความจุ หรือหนว ยปรมิ าตรในระบบเดยี วกนั หรอื ตา งระบบ และเลือกใช

หนว ยการวดั เกย่ี วกบั ความจหุ รือปรมิ าตรไดอยางเหมาะสม
5. ใชค วามรูเกีย่ วกบั ปรมิ าตรและพืน้ ทผี่ ิวแกปญหาในสถานการณตา ง ๆ ได
6. ใชก ารคาดคะเนเกยี่ วกับปรมิ าตรและพ้ืนทผ่ี วิ ในสถานการณตา ง ๆ ไดอยางเหมาะสม

ขอบขา ยเน้ือหา

เรอ่ื งที่ 1 ลักษณะสมบตั ิและการหาพื้นที่ผวิ และปริมาตรของปริซึม
เรื่องท่ี 2 การหาปริมาตรและพ้นื ทผ่ี วิ ของทรงกระบอก
เร่อื งท่ี 3 การหาปรมิ าตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม
เร่ืองท่ี 4 การเปรียบเทียบหนว ยปริมาตร
เรอ่ื งท่ี 5 การแกโจทยปญ หาเก่ียวกบั ปรมิ าตรและพื้นท่ผี วิ
เรอ่ื งที่ 6 การคาดคะเนปรมิ าตรและพื้นที่ผวิ

106

เรื่องที่ 1 ลกั ษณะสมบัติและการหาพื้นทผ่ี วิ และปริมาตรของปริซึม
พนื้ ทผ่ี วิ และปริมาตรของปรซิ มึ

รูปเรขาคณติ สามมิติที่มหี นา ตดั (ฐาน)ท้งั สองเปนรปู หลายเหล่ยี มที่เทา กนั ทกุ ประการและ
อยูใ นระนาบทข่ี นานกนั มหี นา ขา งเปน รปู สีเ่ หลีย่ มดา นขนาน เรยี กวา ปรซิ มึ

สวนตางๆ ของปรซิ ึมมีชอ่ื เรียกดังน้ี

เราเรียกชือ่ ปรซิ มึ ชนิดตาง ๆ ตามลกั ษณะของฐานของปรซิ มึ ดงั ตวั อยาง

ปริซมึ ส่เี หลยี่ มผนื ผา ปรซิ ึมสามเหลย่ี ม ปรซิ มึ สี่เหลี่ยมคางหมู

ปรซิ ึมหาเหลย่ี ม ปรซิ มึ หกเหลย่ี ม

สตู ร การหาพ้นื ทผี่ ิวของปรซิ มึ = พ้นื ท่ผี วิ ขาง + พน้ื ทผี่ วิ หนา ตัด
ปริมาตรปรซิ มึ = พนื้ ทีฐ่ าน x สงู

107

ตวั อยา ง 1 จงหาพื้นทผ่ี ิวของปริซมึ ตอ ไปน้ี กําหนดความยาวทห่ี นว ยเปนเซนติเมตร

วิธีทํา
พ้นื ท่ผี วิ ดานขา ง 4 ดา น = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5)

= 70 ตารางเซนติเมตร

พื้นท่ีหนา ตัด = 2 ( 3 x 4)

= 24 ตารางเซนตเิ มตร

พืน้ ที่ผวิ ของปริซึม = 70 + 24

= 94 ตารางเซนตเิ มตร

ตวั อยาง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอ ไปน้ี (ความยาวที่กาํ หนดใหมีหนว ยเปน เมตร)
วิธีทาํ

ปรมิ าตรปริซมึ = พนื้ ที่ฐาน x สงู
= (4 x 5) x 8
= 160 ลกู บาศกเ มตร

แบบฝก หดั ท่ี 1
จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซมึ ตอไปนี้

108

เรอ่ื งที่ 2 การหาปรมิ าตรและพ้ืนทีผ่ วิ ของทรงกระบอก

ทรงกระบอก คอื ทรงสามมิติท่ีมีฐานเปนรปู วงกลมท่ีเทา กนั ทุกประการ และอยใู นระนาบทข่ี นาน
กัน ซ่งึ เมือ่ ตัดทรงสามมติ ินด้ี ว ยระนาบที่ขนานกับฐานแลวจะไดรอยตดั เปนวงกลมที่เทากนั ทกุ ประการกบั
ฐานเสมอ

พน้ื ท่ีผวิ ของทรงกระบอก
เมอ่ื คลี่ผวิ ขา งของทรงกระบอกใด ๆ พบวา จะเปนรูปสีเ่ หลี่ยมผืนผาที่มีความยาวเทา กบั เสน รอบ

ฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสงู ของทรงกระบอก

สตู ร พน้ื ทผ่ี ิวของทรงกระบอก = พื้นทผี่ ิวขา ง + พนื้ ทฐ่ี านทั้งสอง
= 2rh  2r 2

เมอื่ r แทน รัศมขี องฐานของทรงกระบอก
h แทน ความสงู ของทรงกระบอก

109

ปรมิ าตรทรงกระบอก = พ้นื ที่ฐาน x สงู
จาก ปรมิ าตรของปรซิ ึม = r 2 h

ปรมิ าตรทรงกระบอก

สตู ร ปรมิ าตรทรงกระบอก = r 2 h

ตวั อยา งที่ 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนติเมตร และสงู 10 เซนตเิ มตร
ก) ตอ งการปด กระดาษรอบขา งและปด ฝาทั้งสองจะตอ งใชก ระดาษก่ตี ารางเซนตเิ มตร
ข) กระปอ งใบน้มี คี วามจกุ ลี่ กู บาศกเ ซนตเิ มตร

วธิ ที าํ ก) พน้ื ท่ฐี านทั้งหมด = 2r 2
=
2  22  7  7
7

= 308 ตารางเซนติเมตร

พนื้ ทีผ่ วิ ขา ง = ความยาวรอบฐาน x สูง

= 2r  h

= 2  22  7 10

7

= 440 ตารางเซนติเมตร

พ้นื ทีผ่ วิ กระปอ ง = 308 + 440

= 748 ตารางเซนตเิ มตร

ข) ปริมาตร = พ้นื ท่ฐี าน x สงู

= r 2 h

= 22  7  7 10

7

= 1,540 ลูกบาศกเซนตเิ มตร
ดงั นนั้ ก. ตอ งใชก ระดาษ 748 ตารางเซนตเิ มตร

ข. กระปอ งมคี วามจุ 1,540 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

110

แบบฝกหดั ท่ี 2
1. จงหาปริมาตร และพืน้ ทผ่ี ิวทงั้ หมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสน ผานศนู ยก ลาง 14
เซนติเมตร
.................................................................................................... .....................................................................
....................................................................................................... ..................................................................
......................................................................................... ................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
......................................................................................................... ................................................................
...........................................................................................

2. จงหาปรมิ าตรของทรงกระบอกใบหนึง่ ทม่ี ีรศั มขี องฐาน 3.5 นว้ิ และสงู 5 น้วิ
.................................................................................................... .....................................................................
.............................................................................................................. ...........................................................
................................................................................................ .........................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
................................................................................................................ .........................................................
............................................................................................

3. จงหาปริมาตรและพืน้ ท่ีผวิ ทง้ั หมดของถังเก็บนาํ้ รูปทรงกระบอกใบหนง่ึ ท่ีมีรัศมที ี่ฐาน 3 เมตร
สูง 4 เมตร 90 เซนติเมตร

.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................................................................. ............
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................................................................... ..........
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
................................................................................................................................................................. ........
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................

111

เรื่องที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมดิ กรวยและทรงกลม

3.1 พน้ื ทีผ่ ิวและปริมาตรของพีระมดิ
พรี ะมิด คือ ทรงสามมิตทิ ี่มีฐานเปนรปู เหลย่ี มใดๆ มยี อดแหลม ซง่ึ ไมอ ยูในระนาบเดยี วกับฐาน
และหนา ทกุ หนาเปน รูปสามเหลยี่ ม ทมี่ ีจุดยอดรว มกนั ท่ียอดแหลม

ลกั ษณะของพรี ะมิดตรง
1. หนา ของพีระมดิ ตรงเปนรูปสามเหล่ยี มหนาจั่ว
2. สนั ของพรี ะมิดตรงจะยาวเทา กันทกุ เสน
3. ความสูงเอียงของพีระมดิ ตรง ดา นเทา มมุ เทา จะยาวเทากนั ทกุ เสน
4. ปริมาตรของพรี ะมดิ เปน หนง่ึ ในสามของปรมิ าตร ปริซึมทม่ี ีฐานเทา กับพรี ะมิด และมีสวนสูง
เทา กับพีระมิด

สตู ร พื้นท่ผี ิวขา งของพีระมิด = 1  ความยาวรอบฐาน x สงู เอียง
2

พ้นื ทีผ่ วิ ท้งั หมดของพีระมิด = พ้ืนทผ่ี ิวขา ง + พน้ื ทีฐ่ าน

ปริมาตรของพีระมดิ = 1  พื้นที่ฐาน x สูง

3

112

ตวั อยางท่ี 3 พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หล่ยี มผนื ผา กวา ง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสงู ของพีระมดิ เปน

12 เซนติเมตร จงหาความสงู เอียงของพีระมิดทั้งสองดาน

1. ความสูงเอียงดานกวา ง a 2  122  92

=144 + 81

a 2  225

a 15เซนตเิ มตร

2. ความสูงเอยี งดา นยาว

c 2  52  122

= 25 + 144

= 169

c = 13 เซนตเิ มตร

ตวั อยา งท่ี 4 พีระมิดแหง หนึ่งมฐี านเปน รปู สีเ่ หลี่ยมจตั ุรสั ยาวดานละ 6 เมตร สงู เอยี ง 5 เมตร และสูงตรง 4
เมตร จงหาพนื้ ท่ีผิวและปรมิ าตรของพีระมดิ
วธิ ที าํ

พืน้ ที่ผวิ ขา งของพีระมิด = 1  ความยาวรอบฐาน x สูงเอยี ง

พ้ืนท่ีฐาน 2
ดังน้ันพน้ื ทผ่ี วิ ของพีระมดิ
ปริมาตรของพีระมดิ = 1  (6x4) x 5

2

= 60 ตารางเมตร
= 6x6
= 36 ตารางเมตร
= 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร

= 1  พ้นื ทีฐ่ าน x สงู

3

= 1  36 x 4

3

= 48 ลกู บาศกเมตร

113

แบบฝกหดั ที่ 3
1. จงหาปริมาตรและพน้ื ที่ผวิ ทง้ั หมดของพรี ะมดิ ทีส่ ูง 6 เซนติเมตร ฐานเปนรปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ ัส ยาวดา นละ 16
เซนตเิ มตร
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
........................................................................................................................ .................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.......................................................................................................................... ...............................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................................ .............................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................

2. จงหาพน้ื ทผ่ี วิ เอียงของพรี ะมดิ ฐานรูปหกเหลยี่ มดา นเทา มุมเทา ยาวดา นละ 4 เซนตเิ มตร สงู เอียง 7.5
เซนติเมตร
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
..................................................................................... ....................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
..................................................................................................... ....................................................................
...................................................................................... ...................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................

114

3.2 พนื้ ท่ผี วิ และปริมาตรของทรงกรวย
กรวย คอื ทรงสามมิตทิ ี่มฐี านเปน รปู วงกลม มยี อดแหลมท่ไี มอยูบนระนาบเดียวกบั ฐาน และเสน ท่ี

ตอระหวา งจุดยอดกบั จดุ ใด ๆ บนเสน รอบวงของฐาน เรยี กเสน ตรงนว้ี า “สงู เอียง”

สูงตรง
สงู เอยี ง

พ้นื ที่ผิวของกรวย
การหาพนื้ ทีผ่ ิวเอียงของกรวย ทําไดโดยตัดกรวยตามแนวสงู เอียงแลวคล่ีแผอ อกจะเกดิ เปน รปู
สามเหล่ยี มฐานโคง

h

สตู ร พืน้ ท่ีผิวของกรวย =  rl   r 2

เมือ่ r เปน รัศมขี องฐานกรวย

l เปนความยาวของสงู เอียง

ปริมาตรของกรวย
ความสัมพนั ธข องปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมอื นกับความสมั พนั ธข องปริซมึ กบั
พรี ะมดิ ท่มี ีสวนสงู และพน้ื ทีฐ่ านเทากัน นน่ั คือ

115

ปริมาตรของกรวย เปน 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก ทมี่ พี ื้นท่ีฐานและสวนสงู เทากับกรวย

3

สูตร ปรมิ าตรของกรวย = 1  r 2 h

3

เมอ่ื r แทน รัศมขี องฐานกรวย

h แทน ความสงู ของกรวย

ตัวอยางท่ี 6 จงหาพ้ืนทีผ่ วิ และปริมาตรของกรวย ซึง่ สูง 24 เซนติเมตร และเสนผา นศนู ยก ลาง 14

เซนติเมตร รศั มี = 14  7 เซนตเิ มตร
วธิ ีทํา
2

หาความสูงเอียง (l) จาก ABO

l 2  242  72 = 625

= 576 + 49

l = 25 เซนติเมตร

พ้นื ทผ่ี ิวขาง =  rl
พนื้ ท่ีฐาน =
22  7  25
= 7
=
= 550 ตารางเซนตเิ มตร

= r 2

22  7  7
7

154 ตารางเซนตเิ มตร

พ้นื ท่ีผวิ ท้งั หมด = พนื้ ทผ่ี ิวขา ง + พน้ื ที่ฐาน

= 550 + 154

= 704 ตารางเซนตเิ มตร

ปรมิ าตรของกรวย = 1  r 2 h

3

= 1  22  7  7  24

37

= 1,232 ลกู บาศกเซนตเิ มตร

พืน้ ที่ผิวทง้ั หมด 704 ตารางเซนติเมตร

ปริมาตรของกรวย 1,232 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

116

แบบฝกหดั ที่ 4
1. จงหาปริมาตร และพื้นทผี่ ิวทั้งหมดของกรวยกลมทสี่ งู 24 เซนตเิ มตร มเี สน ผา นศูนยก ลาง 14 เซนตเิ มตร
.................................................................................................... .....................................................................
...................................................................................... ...................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
...................................................................................................... ...................................................................
........................................................................................ .................................................................................
............................................................................................
2. จงหาปรมิ าตรและพืน้ ที่ผวิ ท้ังหมดของกรวยกลมทส่ี งู เอยี ง 5 เซนตเิ มตร มเี สน ผานศนู ยก ลาง 8 เซนตเิ มตร
(ตอบในรปู )
.................................................................................................... .....................................................................
.......................................................................................................................................................... ...............
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................................................................ .............
............................................................................................ ............................................................................
3. จงหาปรมิ าตรจรวดทรงกระบอกมปี ลายเปนกรวย มเี สนผา นศนู ยก ลาง 14 เซนติเมตร ความยาว
ทรงกระบอก 30 เซนตเิ มตร ความสงู ยอดกรวย 12 เซนติเมตร

............................................................................................. ............................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................. ............................................................
............................................................................................... ..........................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................... ..........................................................
................................................................................................. ........................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
......................................................................................................................................................... ................

117

3.3 พน้ื ท่ผี วิ และปรมิ าตรของทรงกลม
ทรงกลม คือ ทรงสามมิตทิ ีม่ ผี ิวโคง เรยี บ และจุดทกุ จดุ อยบู นผวิ โคง อยูหา งจากจดุ คงทจ่ี ุดหนง่ึ เปน

ระยะเทา กนั
จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยก ลางของทรงกลม
ระยะทเ่ี ทา กัน เรยี กวา รศั มขี องทรงกลม

พ้นื ทีผ่ ิวของทรงกลม

พ้นื ท่ผี ิวของทรงกลม เปน สีเ่ ทา ของพ้นื ทีว่ งกลม ซง่ึ มีรศั มีเทากับรศั มีของทรงกลม

จาก พ้นื ทขี่ องรปู วงกลม = r 2

ดงั นัน้ พ้ืนที่ผวิ ของทรงกลม = 4 r2

สตู ร พ้ืนทผ่ี ิวของทรงกลม = 4 r2

ปริมาตรของทรงกลม
ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสมั พันธระหวางปริมาตรของคร่งึ วงกลมกบั

ปริมาตรของกรวย

ขอกาํ หนด 1) ครงึ่ ของทรงกลมที่มรี ัศมี r หนวย
2) กรวยท่ีมรี ัศมีเทากบั คร่งึ ทรงกลม r หนว ย และสว นสงู ของกรวย (h) เปน 2 เทา ของรศั มี

ฐานของกรวย คือ 2r หนวย

118

สตู ร ปรมิ าตรของทรงกลม = 4 r 3

3

เมอ่ื แทน r รศั มขี องทรงกลม

ตวั อยางที่ 7จงหาปรมิ าตรและพ้นื ทผ่ี วิ ของลูกโลกพลาสตกิ ซึ่งมรี ศั มยี าว 7 เซนติเมตร

วิธีทาํ พ้ืนท่ผี วิ ทรงกลม = 4 r2

= 4  22  7  7

7

= 616 ตารางเซนตเิ มตร

ปริมาตรทรงกลม = 4 r 3

3

= 4  22  7  7  7

37

= 4,312

3

= 1,437.3 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

พน้ื ท่ผี วิ ของทรงกลม = 616 ตารางเซนติเมตร
ปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

119

แบบฝกหดั ท่ี 5
1. จงหาปรมิ าตรและพน้ื ท่ีผวิ ของทรงกลมซึ่งมเี สน ผา นศนู ยก ลาง 14 เซนติเมตร
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................... .....................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
...................................................................................... ...................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
...................................................................................................... ...................................................................
2. ทรงกลมมปี ริมาตร 38,808 ลูกบาศกเซนตเิ มตร จงหารศั มีและพน้ื ท่ีผิว
........................................................................................................................ .................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.......................................................................................................................... ...............................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
3. ทรงกลมมีพื้นท่ผี ิว 616 ตารางน้วิ จงหาปรมิ าตรของทรงกลม
.................................................................................................... .....................................................................
......................................................................................................................................................... ................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
........................................................................................................................................................... ..............
.................................................................................................... .....................................................................
4. โลหะกลมลกู หนง่ึ รศั มีภายนอก 21 เซนติเมตร รัศมภี ายใน 7 เซนติเมตร จงหาปรมิ าตรเนอ้ื โลหะ
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
........................................................................................................................................................... ..............
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................................................................. ............

120

เร่ืองที่ 4 การเปรียบเทยี บหนว ยปริมาตร

การตวง คอื การนําสงิ่ ทตี่ องการหาปริมาตรใสใ นภาชนะทีใ่ ชสําหรับตวง หนว ยการตวงทน่ี ยิ ม
และใชก นั มาก คอื ลิตร

1 ลติ ร = 1,000 มิลลิลิตร
1,000ลิตร = 1 กโิ ลลติ ร

เมอ่ื เทยี บกับหนวยปริมาตร
หนว ยการตวงในมาตราไทย เปนหนว ยการตวงทีน่ ิยมใชก นั มาก คอื

1 ถงั = 20 ลติ ร(ทะนานหลวง)
1 เกวียน = 100 ถัง
1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเ มตร
1 เกวียน = 2,000 ลิตร

1 ลิตร = 1,000 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร
10 มลิ ลลิ ิตร = 1 ลูกบาศกเซนติเมตร
1 ลกู บาศกเ มตร = 1,000 ลติ ร
1 ลกู บาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนตเิ มตร

1 แกลลอน = 4.546 ลติ ร
1 ลูกบาศกน วิ้ = 16.103235 ลกู บาศกเ ซนติเมตร
1 ลกู บาศกนว้ิ = 0.0164 ลติ ร
1 ลกู บาศกฟ ุต = 1.728 ลกู บาศกนว้ิ
1 ลกู บาศกฟุต = 28.32 ลติ ร
1 บารเรล = 158.98 ลติ ร

121

ตวั อยา งที่ 1อางนํา้ ทรงสีเ่ หลยี่ มมุมฉากใบหนง่ึ กวา ง 30 เซนติเมตร ยาว 50 เซนติเมตรและสูง 40 เซนติเมตร
1. อา งใบนจี้ นุ ้ํากล่ี ิตร
2. ถา มีน้ําบรรจเุ ต็มอางและนา้ํ 1 ลกู บาศกเซนตเิ มตร หนกั 1 กรมั จงหานาํ้ หนักของนา้ํ ในอา ง
ใบน้ี

วธิ ีทํา1. ปริมาตรของอา งนา้ํ = ความกวา งความยาวความสงู
แทนคา
ปริมาตรของอางนาํ้ = 30  50  40

= 60,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร

เมือ่ เทยี บกับหนว ยปรมิ าตร

1,000 ลกู บาศกเ ซนติเมตร = 1 ลติ ร

60,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร  60,000 = 60 ลิตร

1,000

2.นํ้า 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนกั 1 กรัม

นา้ํ 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 60,000 กรมั  60,000 = 60 กโิ ลกรมั

1,000

ตอบ 60 กโิ ลกรมั

ตวั อยางที่ 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสน ผานศูนยก ลางภายใน 3 เมตรสูง 5 เมตรคิดเปน ปริมาตรของนาํ้
กล่ี ิตร

วธิ ที ํา ปรมิ าตร = r2 h

= 22 1.5 1.5  5
7

= 35.36 ลูกบาศกเ มตร

= 35.36 X 1,000,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร

= 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

เนอ่ื งจาก 1,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร = 1 ลติ ร

ดังน้ัน 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 35,360,000 = 35,360 ลิตร

1,000

122

แบบฝก หดั ท่ี 6
1. สระแหงหน่ึงเปน รปู สี่เหล่ยี มผืนผา กนสระกวาง 5 วา ลกึ 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถา ใชเคร่อื งสบู นา้ํ ออกจาก
สระไดนาทลี ะ 9,000 ลิตร จะตองใชเวลาสูบน้ําเทาไร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. อา งเลีย้ งปลาทรงสี่เหลี่ยมมมุ ฉากกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.2 เมตร จนุ าํ้ 540 ลิตร ตองการปกู ระเบอ้ื ง
ภายในอา งดวยแผน กระเบือ้ งรูปสเี่ หลย่ี มจตั ุรสั ยาวดา นละ 10 เซนตเิ มตร ตองใชก ระเบอ้ื งอยางนอ ยทีส่ ดุ
เทาไร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. น้าํ ยาบว นปากขวดหนงึ่ ปรมิ าตรสทุ ธิ 700 มลิ ลลิ ิตร ใชอมปว นปากคร้ังละ 10 มลิ ลลิ ิตร วนั ละ 2 ครง้ั จะ
ใชไ ดก ีว่ ัน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
4. ถงั น้ําทรงลกู บาศกยาวดา นละ 2 เมตร จุนํ้าไดก่ลี ิตร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

5. ถงั ทรงสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากวดั ภายในกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.50 เซนตเิ มตร สงู 1.20 เมตร บรรจุน้ําเต็มถงั
ถาตอ งการตวงนาํ้ จากถงั ใสแกลอนซ่งึ มีความจุ 4.5 ลติ ร จะไดน้าํ ทง้ั หมดกีแ่ กลอน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

123

เรือ่ งที่ 5 การแกโ จทยปญ หาเกยี่ วกับปรมิ าตรและพื้นท่ผี วิ

ตัวอยาง ลังกระดาษบรรจกุ ลองซดี ี วดั ความยาวภายในไดก วา ง 12 เซนติเมตร บรรจุ ยาว 14 เซนตเิ มตร และสงู

15 เซนติเมตร และบรรจุกลอ งซดี เี ตม็ ลงั พอดี ลังกระดาษน้ีมปี รมิ าตรเทาไร และถาหยิบกลอ งซีดีออกมา 1

กลอ ง ซง่ึ มปี รมิ าตร 270 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร กลองซีดจี ะหนาเทาไร

วธิ ีทาํ ลงั กระดาษมปี รมิ าตร = พื้นท่ีฐาน x สูง

= (12 x 14) x 15

= 2, 520 ลกู บาศกเซนติเมตร
กลองซีดี 1 กลอ ง มปี ริมาตร = พนื้ ทฐ่ี าน x หนา

270 = (12 x 15) x หนา

หนา = 270
กลอ งใสซ ดี มี ีความหนา =
12 15

1.5 เซนตเิ มตร

ลังกระดาษมปี รมิ าตร 2,520 ลูกบาศกเ ซนติเมตร

ตัวอยาง น้าํ ขนั ครง่ึ วงกลมรศั มี 3 น้วิ ตกั น้าํ ใสถ งั ทรงกระบอกท่ีมรี ัศมี 10 นิ้ว และสงู 27 นิว้ กคี่ รั้งน้ําจงึ จะ

เตม็ ถงั

วธิ ีทาํ ปรมิ าตรนํ้า 1 ขนั = 1 ของปริมาตรของทรงกลม

2

= 1  4 r 3

23

= 1  4 333

23

= 18 ลกู บาศกน ิว้

ปรมิ าตรถงั ทรงกระบอก = r 2h

= 102  27
= 2,700  ลกู บาศกน ้ิว

จะตอ งตักนํา้ = 2,700 ครั้ง

18

= 150 คร้ัง

ตอบ 150 ครง้ั

124

แบบฝก หดั ที่ 7
1. ถังเก็บนาํ้ มันของปมแหงหนง่ึ เปนรปู ทรงกลม มีเสนผานศนู ยกลาง 7 เมตร ตอ งการทาสคี รง่ึ
ทรงกลมบน โดยเสียคา ทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสยี คา ทาสกี บ่ี าท
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
......................................................................................................................... ................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
........................................................................................................................... ..............................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
2. หินออนทรงลกู บาศกมขี นาดดา นละ 2.1 เมตร ถา ตอ งการกลงึ ใหเปนรปู ทรงกลมใหมขี นาดเสน ผา น
ศูนยก ลางเทากบั ความยาวของดานลกู บาศก จงหาวาจะตอ งกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
................................................................................................................................. ........................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
................................................................................................................................... ......................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
3. นําแทง ตะกวั่ ทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากกวาง 8 นิว้ ยาว 11 นิ้ว หนา 5 นว้ิ ไปหลอมเปน ลูกปน ทรงกลมขนาด
รัศมี 1 นิว้ จะหลอมไดก ่ีลูก
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
..........................................................................................................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
..........................................................................................................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................... .....................................................................................

125

เร่อื งท่ี 6 การคาดคะเนเก่ียวกบั ปรมิ าตรและพืน้ ทผี่ ิว

การคาดคะเนพนื้ ที่ เปน การประมาณพื้นที่อยา งคราวๆ จากการมองโดยอาศยั ประสบการณและ
ความรูเกย่ี วกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทยี บและตดั สินใจ เพือ่ ใหใ กลเ คยี งกบั พน้ื ที่จริงมาก
ท่สี ุด หนว ยพื้นท่ที นี่ ิยมใช คือ ตารางเซนตเิ มตร(ซม.2 ) ตารางเมตร(ม.2) และตารางวา(วา2)
การคาดคะเนพน้ื ที่ของรปู หลายเหลย่ี ม
ตวั อยา ง จงคะเนหาพืน้ ท่ีรูปหลายเหล่ียมตอไปนี้

126

วธิ ีคดิ ในบางครงั้ การหาพน้ื ที่รูปหลายเหล่ยี มตา งๆ ทไ่ี มไ ดร ะบหุ นวยความยาว เราอาจจะใชว ธิ กี ารสราง
หนวยตาราง 1 หนว ย คลุมพนื้ ท่ีดงั กลา ว

โดยกําหนด แทนพื้นที่ 1 หนวย

หรอื แทนพืน้ ที่ 1 ตารางเซนตเิ มตร
หรอื แทนพ้นื ท่ี 1 ตารางเมตร
หรอื แทนพน้ื ที่ 1 ตารางวา

จากรูปภาพนบั รปู ได 22 รปู ซง่ึ แทนพน้ื ที่ 22 ตารางหนว ย

ดังน้ันพน้ื ทร่ี ปู หลายเหลย่ี ม = 22 ตารางหนว ย

127

บทท่ี 7
คูอนั ดับและกราฟ

สาระสาํ คัญ

คูอ นั ดบั เปนการจบั คูร ะหวางสมาชกิ สองตวั จากกลมุ เพอ่ื นาํ ไปจัดทํากราฟบนระนาบพกิ ดั หา
ปรมิ าณ ความเก่ยี วขอ งของปรมิ าณสองชดุ

ผลการเรยี นรูที่คาดหวัง

1. อา นและอธบิ ายความหมายคูอันดับได
2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ัดฉากทก่ี ําหนดใหได
3. เขยี นกราฟแสดงความเกย่ี วขอ งของปริมาณสองชุดทกี่ ําหนดใหไ ด

ขอบขายเนอ้ื หา

เรื่องท่ี 1 คูอันดบั
เร่ืองท่ี 2 กราฟของคูอ ันดบั
เร่ืองท่ี 3 การนําคูอนั ดับและกราฟไปใช

128

เรื่องท่ี 1 คอู ันดบั

คูอนั ดับ (Ordered pairs) เปน การจบั คูร ะหวา งสมาชกิ สองตัวจากกลมุ 2 กลุมทีม่ ีความสัมพนั ธ
ภายใตเ งือ่ นไขที่กาํ หนด เขียนแทนดว ยสญั ลกั ษณ (a , b) อานวา คอู ันดับเอบี

เรยี ก a วา สมาชกิ ตวั หนา หรอื สมาชกิ ตวั ทหี่ นง่ึ
และเรยี ก b วา สมาชิกตวั หลงั หรอื สมาชิกตัวท่สี องดังแผนภาพ

เขียนเปนคอู ันดบั ไดด งั น้ี (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48)

หมายเหตุ คอู นั ดับ (1,a)  (a,1)
ถากาํ หนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคอู ันดบั 2 คใู ดๆ จะไดว า ( a , b ) = ( x , y ) กต็ อเมือ่ a = x

และ b = y
เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12)
ดงั นั้น x = 5 และ y = 12

2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0)
วธิ ีทาํ x – 3 = 0 และ y – 2 = 0

ดงั น้นั x = 3 และ y = 2

129

แบบฝกหดั ที่ 1
1. จงเขียนคอู ันดับจากแผนภาพท่ีกาํ หนดใหต อไปน้ี

1)

.................................................................................................... ................................................................
2)

................................................................................... .................................................................................
3)

.................................................................................................... ................................................................
2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขที่กําหนดใหใ นแตละขอ ตอ ไปนี้

1). (x,y) = (4,3)
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….

130

2). (x,y)= (y,2)
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….

3). (x,0)= (6,y)
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….

4). (x+1,y) = (5,4)
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….

131

เร่อื งท2่ี กราฟของคอู ันดับ

กราฟของคอู ันดบั เปนแผนภาพที่แสดงความสัมพันธระหวางสมาชิกของกลมุ หนึ่งกลับสมาชิกของ
อีกกลมุ หนงึ่ โดยใชเสน จํานวนในแนวนอนหรือแนวตั้ง ใหต ัดกนั เปน มมุ ฉาก ที่ตําแหนงของจุดท่ีแทนศูนย
(0) ซ่ึงเราเรียกวา จดุ กําเนดิ ดังภาพ

เสนจาํ นวนในแนวนอน หรือแกน X และเสนจํานวนในแนวตงั้ หรือแกน Y อยบู นระนาบเดยี วกัน
และแบง ระนาบออกเปน 4 สว นเรยี กวา จตุภาค (Quadrant)
การอานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ดั ฉากทกี่ าํ หนดให

132

ตาํ แหนง ของจดุ A คอื (1, 2)
ตาํ แหนงของจุด B คือ (-2, 3)
ตาํ แหนงของจุด C คอื (-3, 2)
ตําแหนง ของจดุ D คือ (2, -4)
เรยี กจดุ ที่แทนตาํ แหนงคูอ ันดบั วากราฟของคอู นั ดบั และเรยี กตําแหนงของคูอนั ดบั วา พกิ ดั
ตัวอยาง กําหนด A = (-4, 6), B = (3, -5), C = (2, 2), D = (-1, -2) จุด A, B, C, D อยใู นจดุ ภาคใด

วธิ ีทํา จุด A = (-4,6) อยูในจตภุ าคที่ 2
จุด B = (3,-5) อยูในจตภุ าคท่ี 4
จดุ C = (2,2) อยูในจตภุ าคที่ 1
จุด D = (-1,-2) อยใู นจตภุ าคที่ 3

133

แบบฝกหดั ท่ี 2
1.จงหาพิกัดของจดุ A, B, C, D ในแตละขอ

1.1

.................................................................................................... .....................................................................
...................................................................................... ...................................................................................

1.2

.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................

134

2. จงเขียนกราฟของคูอ นั ดบั ในแตละขอ
1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0)

2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

135

เร่อื งที่ 3 การนาํ คูอนั ดับและกราฟไปใช

เราสามารถนําคอู นั ดับและกราฟไปใชใ นชวี ติ ประจําวนั ได ซึง่ จะกลา วในตัวอยา งตอไปนี้
ตวั อยางที่ 1 กราฟท่ีแสดงปรมิ าณนํา้ มัน (ลิตร) และราคานา้ํ มนั (บาท)ของวนั ท่ี 5 เดอื นมนี าคม ป 2552 ซง่ึ มีราคา
ลติ รละ 19 บาท
วิธที าํ

ราคานาํ้ มนั (บาท)

ปริมาณน้ํามัน (ลิตร)

ตัวอยางท่ี 2 จากกราฟในตวั อยา งที่ 1จงตอบคําถามตอไปนี้
(1) นา้ํ มัน 9 ลิตร ราคาเทาใด
(2) เงิน 209 บาทซอ้ื นํา้ มนั ไดก่ลี ิตร
วธิ ที ํา

136

(1) จากตาํ แหนง แสดงปริมาณนาํ้ มนั 9 ลิตรลากเสน ตรงใหขนานกับแกนต้งั ไป
ตดั กราฟและจากจดุ ที่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนนอนไปตดั แกนท่ีแสดงราคานาํ้ มนั เปน เงนิ 171 บาท
ดังนัน้ นาํ้ มนั 9 ลติ ร เปน ราคา 171 บาท
(2)จากตําแหนง แสดงราคาน้าํ มัน 209 ลติ รลากเสนตรงใหข นานกบั แกนนอนไปตดั กราฟและจากจดุ ที่ตดั
กราฟลากเสน ตรงขนานแกนตงั้ ไปตัดท่ีแกนแสดงจํานวนนาํ้ มันเปน ปรมิ าณ 11 ลิตร
ดงั นั้น เงิน 209 ลิตร จะซอ้ื น้ํามนั ได 11 ลติ ร

แบบฝกหดั ท่ี 3
กราฟขางลา งแสดงการเดินทางของอนวุ ฒั นแ ละอนุพนั ธ

137

จงใชก ราฟทีก่ าํ หนดใหต อบคําถามตอ ไปน้ี

1.อนุวฒั นอ อกเดนิ ทางกอ นอนุพนั ธกชี่ ว่ั โมง 4.อนุวัฒนอ อกเดนิ ทางนานเทาไรจงึ จะหยดุ พัก

................................................................. .................................................................

2.อนุพนั ธใ ชเ วลาเดนิ ทางก่ีชวั่ โมงจึงทนั อนวุ ัฒน 5.ตาํ แหนง ทอ่ี นุวฒั นหยดุ พักหา งจากตําแหนงท่ี

อนพุ นั ธออกเดนิ ทางกก่ี ิโลเมตร

................................................................. .................................................................

3. อนพุ นั ธเดนิ ทางทันอนุวฒั นเ มอ่ื ทั้งสอง

เดินทางไดก ่กี ิโลเมตร

.................................................................

138

บทที่ 8
ความสัมพันธระหวา งรปู เรขาคณติ สองมติ ิและสามมิติ

สาระสาํ คัญ

รูปเรขาคณิตสองมิติ และสามมิติ มคี วามสมั พนั ธก นั เปนอยางมาก เหมาะที่จะนาํ ไปใชใ นการ
ประดิษฐเ ปนรปู ลกู บาศกและใชประโยชนใ นชีวิตประจําวนั

ผลการเรียนรทู คี่ าดหวงั

1. อธิบายลกั ษณะของรปู เรขาคณติ สามมติ ิจากภาพสองมิตทิ ก่ี ําหนดใหไ ด
2. ระบุภาพสองมติ ิทไ่ี ดจ ากการมองดานหนา ดานขา ง ดานบน ของรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ี่

กาํ หนดใหได
3. วาดหรอื ประดษิ ฐรปู เรขาคณติ ทป่ี ระกอบข้นึ จากลูกบาศกเ ม่อื กาํ หนดภาพสองมิตทิ ี่ไดจากการ

มองทางดานหนา ดา นขาง หรอื ดา นบนได

ขอบขา ยเนอื้ หา

เรื่องท่ี 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมติ ทิ เ่ี กดิ จากการคลรี่ ปู เรขาคณติ สามมิติ
เรอ่ื งท่ี 2 ภาพสองมติ ทิ ่ไี ดจ ากการมองดา นหนา ดานขาง หรอื ดา นบนของรูปเรขาคณติ สามมิติ
เรอื่ งที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณติ ที่ประกอบขนึ้ จากลกู บาศก

139

เรื่องที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมติ ิท่ีเกดิ จาการคลีร่ ูปเรขาคณติ สามมติ ิ

รปู เรขาคณิตมีสวนเก่ียวขอ งสัมพันธกับชีวติ ประจําวันมนุษยต้ังแตอดีตจนถึงปจจุบัน ส่ิงแวดลอม
ตางๆที่อยูรอบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากน้ีเราใชเรขาคณิตเพื่อทําความเขาใจหรือ
อธิบายสงิ่ ตางๆรอบตวั เชน ในการสาํ รวจพนื้ ที่ สรางผังเมือง เปนตน
ภาพของรปู เรขาคณติ

รปู เรขาคณติ เปนรูปท่ปี ระกอบดว ย จุด ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยางนอ ยหนึง่ อยาง
ตัวอยางภาพเรขาคณิตสองมติ ิ

ตวั อยา งรปู เรขาคณิตสามมิติ

จะเหน็ วา รปู เรขาคณติ สามมติ ิ หรือทรงสามมิติ มสี วนประกอบของรปู เรขาคณติ หนง่ึ มติ ิและสอง
มติ ิ

140

รูปคล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมติ ิ
รูปคล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมิติ หรือทรงสามมติ ใิ ดๆ เปน รปู เรขาคณติ สองมิติท่สี ามารถนาํ มา

ประกอบกนั แลวไดทรงสามมติ ิ
พจิ ารณาทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสงู 1 หนวย เทา กนั ซง่ึ เราเรียกทรง

สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากนี้วา “ลูกบาศก”

141

แบบฝกหดั ที่ 1
1. จงบอกชนดิ ของรูปเรขาคณิตสามมติ ิท่มี รี ปู คล่ีดังตอ ไปน้ี

1. ……..………………………...…. 2. ….……………………………….

3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

142

2. จงเขยี นรปู คลีข่ องรปู เรขาคณติ สามมติ ใิ นแตละขอตอ ไปนี้

143

เรอื่ งท่ี 2 ภาพสองมติ ิทไี่ ดจ ากการมองดา นหนา ดา นขาง หรอื ดานบนของ
รูปเรขาคณิตสามมิติ

โดยทว่ั ไปการเขียนรปู เรขาคณติ สองมิติ ในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมติ ิ นยิ มเขยี น 3
ภาพ ซ่งึ ประกอบดว ย ภาพที่ไดจ ากการมองทางดานหนา ดานขา ง และดา นบน ดังตวั อยา ง

ตัวอยาง จงแรเงาพรอ มทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิตสิ วนทเ่ี ปน ดา นบน ดานหนา และดานขา งของทรงสาม
มิตทิ ก่ี ําหนดใหตอ ไปนี้


Click to View FlipBook Version
Previous Book
ทฤษฎีใหม่
Next Book
UNIT 5- Could you please respect your neighbor