แผนการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม4 1

แผนการจดั การเรยี นรู้

รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม 1 รหสั วชิ า ค31201
ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 ภาคเรยี นท่ี 1 ปีการศกึ ษา 2565

นายบรรณรต สกณุ า
ตาํ แหนง่ ครู วิทยฐานะครูชาํ นาญการ

โรงเรียนหนองบัวพิทยาคาร อาํ เภอเมือง จงั หวัดหนองบัวลําภู
สังกัดสาํ นกั งานเขตพน้ื ที่การศึกษามัธยมศกึ ษาเลย หนองบัวลาํ ภู
สาํ นกั งานคณะกรรมการการคกึ ษาขน้ั พื้นฐาน กระทรวงศึกษาธกิ าร

ก

คาํ นาํ

ในกระบวนการเรียนการสอน การจดั ทําแผนการจัดการเรียนรู้ นับวา่ เปน็ สิ่งสําคญั ยงิ่ เพราะจะ
ชว่ ยใหก้ ารเรยี นการสอนบรรลุวตั ถุประสงค์ และเป็นไปตามหลกั การของหลักสตู รสถานศึกษาขัน้ พื้นฐาน
โรงเรยี นหนองบัวพิทยาคาร แผนการจัดการเรียนรู้เลม่ นี้ จัดทาํ ข้นึ เพอื่ ใชเ้ ปน็ แนวทางในการจัดกจิ กรรม
การเรยี นรู้ท่ีเนน้ ทักษะกระบวนการต่าง ๆ ในการสืบเสาะหาความรู้ ฝึกการคดิ วิเคราะหจ์ ากสถานการณ์
หรอื ปัญหาท่ีกําหนดให้ การดําเนินกจิ กรรมตามแผนการจัดการเรยี นรฉู้ บบั นี้ จึงเป็นการสร้างบรรยากาศ
ในการสอนทเี่ น้นนกั เรยี นเปน็ สาํ คัญ ทั้งยงั ไดเ้ สริมคุณธรรม จริยธรรมการเรยี นรู้ และพฤติกรรมการเรยี น
โดยสอดแทรกการเปน็ ผู้นาํ ผู้ตาม จากการปฏบิ ตั ิกจิ กรรมกล่มุ ใหน้ กั เรียนร้หู ลกั การอยูร่ ่วมกันในสังคม
มภี าวะการเป็นผูน้ าํ และ ผ้ตู ามทีด่ ี รบั ผดิ ชอบตอ่ งานท่ีได้รับมอบหมาย และรู้จักคดิ อย่างมเี หตุผล

ข้าพเจ้าได้พัฒนาแผนการจัดการเรยี นรู้ฉบบั นี้มาโดยลาํ ดับ ได้ปรบั ปรงุ แก้ไขส่วนท่บี กพร่อง
ใหส้ มบูรณ์ โดยได้รบั ความอนุเคราะหใ์ นการให้ความชว่ ยเหลือแนะนําจากผ้เู ช่ียวชาญ และผูบ้ ริหาร
ในการตรวจสอบความถูกตอ้ ง และให้คาํ แนะนํา ขอขอบคุณครูในกลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตรโ์ รงเรียน
หนองบวั พิทยาคารทุกทา่ น ที่ไดใ้ หค้ วามชว่ ยเหลือและเป็นกําลังใจในการทาํ งาน จึงขอกราบขอบพระคณุ
มา ณ โอกาสน้ี ผูจ้ ดั ทาํ หวงั เป็นอยา่ งย่ิงวา่ แผนการจัดการเรียนรเู้ ล่มนจ้ี ะเป็นประโยชน์สําหรับการนําไป
เป็นแนวทางในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้ของครูผู้สนใจ ส่งผลใหผ้ ู้เรยี นมีความรู้ความเข้าใจ
และมผี ลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนในรายวิชาคณติ ศาสตร์ท่ีสูงขึ้นต่อไป

บรรณรต สกุณา

สารบัญ

เร่ือง หน้า

คํานํา..........................................................................................................................................................ก
คาํ ชี้แจง .....................................................................................................................................................ข
สารบัญ ......................................................................................................................................................ค
การวเิ คราะหห์ ลกั สูตร................................................................................................................................1
โครงสร้างรายวิชา ......................................................................................................................................5
การออกแบบการจดั การเรยี นรู้...................................................................................................................6
กระบวนการจัดการเรยี นรู้..........................................................................................................................7

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 1................................................................................................................. 26
แผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 2................................................................................................................. 33

การวิเคราะห์หลกั สูตร

กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ รายวิชาเพมิ่ เติม
รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม 1 (1.5 หนว่ ยกิต) รหสั วิชา ค31201
เวลา 60 ช่ัวโมง/ภาคเรยี น (3 ชวั่ โมง/สัปดาห์) ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4

คําอธิบายรายวิชา

ศึกษาเน้ือหา จํานวนจริง (จํานวนจริงและสมบัติของจํานวนจริง ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริงและ
สมบัติของค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริง จํานวนจริงในรูปกรณฑ์และจํานวนจริงในรูปเลขยกกําลัง) ตัวประกอบ
ของพหุนาม (การแยกตวั ประกอบของพหุนามตัวแปรเดยี วดกี รีมากกว่าสอง ทฤษฎีบทเศษเหลือ ทฤษฎีบท ตัว
ประกอบ และทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ) สมการพหุนามและอสมการพหุนาม (การแก้สมการพหุนามตัว
แปรเดียว สมบัติของการไม่เท่ากัน ช่วงและการแก้อสมการพหุนามตัวแปรเดียว) เศษส่วนของพหุนาม (การ
ดําเนนิ การของเศษส่วนของพหุนามตัวแปรเดียว การแก้สมการและอสมการเศษส่วนของพหุนามตัวแปรเดียว)
สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนาม (การแก้สมการและอสมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนาม ตัวแปร
เดียว) ประพจน์และการอ้างเหตุผล (ประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์ การสร้างตารางค่าความจริง
รูปแบบของประพจน์ท่ีสมมูลกัน สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล) ประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณ (ประโยคที่มีตัวบ่ง
ปริมาณ และค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ สมมูลและนิเสธของประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณ) ให้
ผู้เรยี นมีความรู้ ความเข้าใจ และความคิดรวบยอดทางคณติ ศาสตร์

ฝึกทักษะกระบวนการ การแก้ปัญหา การสือ่ สารและการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ การ
เชื่อมโยง การให้เหตุผล และการคิดสร้างสรรค์ ตามเน้ือหารายวิชา โดยจัดประสบการณ์หรือสถานการณ์ใน
ชีวิตประจําวันให้ผู้เรียนได้ปฏิบัติจริง เพ่ือนําทักษะกระบวนการท่ีได้ไปใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่าง ๆ และใช้ใน
ชวี ติ ประจําวนั ได้อยา่ งสร้างสรรค์

ตระหนักในคณุ คา่ และมเี จตคติที่ดตี ่อการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ ทํางานเปน็ ระบบ มีระเบียบวินัย มี
ความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง นําความรู้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจําวันได้ตาม
หลกั ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง มีพนื้ ฐานชวี ติ ทม่ี ั่นคง มงี านทาํ มีอาชีพ มคี ุณธรรม และเป็นพลเมอื งดี

ผลการเรียนรู้
1. เข้าใจจาํ นวนจรงิ และใช้สมบัติของจํานวนจรงิ ในการแก้ปญั หา
2. แกส้ มการและอสมการพหุนามตัวแปรเดียวดกี รไี ม่เกนิ สี่ และนําไปใช้ในการแก้ปัญหา
3. แกส้ มการและอสมการเศษสว่ นของพหนุ ามตัวแปรเดยี ว และนาํ ไปใชใ้ นการแก้ปัญหา
4. แก้สมการและอสมการค่าสัมบูรณข์ องพหุนามตัวแปรเดียว และนําไปใช้ในการแกป้ ญั หา
5. บอกไดว้ ่าประโยคใดเปน็ ประพจน์ พรอ้ มทง้ั หาค่าความจรงิ ของประพจน์ได้
6. บอกรูปแบบของประพจน์ทสี่ มมูลกันได้
7. ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ทก่ี ําหนดให้ วา่ เปน็ สจั นิรันดรห์ รอื ไม่
8. ตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอา้ งเหตผุ ลที่กาํ หนดให้ได้
9. หาคา่ ความจริงของประโยคทีม่ ตี วั บง่ ปริมาณได้

รวม 9 ผลการเรียนรู้

โครงสรา้ งรายวิชา รายวชิ าเพม่ิ เติม
กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4
รายวชิ า คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 1 รหสั วิชา ค31201 จาํ นวน 1.5 หนว่ ยกติ
เวลาเรยี น 60 ช่ัวโมง/ภาคเรยี น (3 ชว่ั โมง/สัปดาห์)

ท่ี ช่ือหน่วย ผลการเรยี นรู้ สาระสําคญั เวลา คะแนน
การเรยี นรู้ (ชว่ั โมง)
1. เขา้ ใจจาํ นวนจรงิ
1 สมบตั ขิ อง และใช้สมบัติของ แสดงความสัมพนั ธ์ของจาํ นวนจริง 10 10
จาํ นวนจริงในการ
จาํ นวนจรงิ แก้ปญั หา ต่างๆ ในระบบจาํ นวนจรงิ สมบัติของ

2. แก้สมการและ การเทา่ กันของจาํ นวนจริง สมบัตขิ อง
อสมการพหุนามตัว
แปรเดยี วดกี รไี มเ่ กนิ จาํ นวนจริงเกย่ี วกบั การบวกและการคูณ
สี่ และนาํ ไปใชใ้ น
การแกป้ ญั หา ประกอบดว้ ย สมบตั ิปดิ สมบัติ

3. แกส้ มการและ การเปลีย่ นหมู่ สมบัติการมเี อกลกั ษณ์
อสมการเศษส่วน
ของพหนุ าม สมบัติการมีตัวผกผนั และสมบัติ
ตัวแปรเดยี ว และ
นาํ ไปใชใ้ นการ การแจกแจง สมบตั ขิ องค่าสมั บรู ณแ์ ละ
แก้ปญั หา
การหาคา่ สัมบรู ณ์ของจาํ นวนจรงิ และ
4. แกส้ มการและ
อสมการค่าสมั บูรณ์ สามารถนําสมบตั ิของจํานวนจรงิ ไปใช้ใน
ของพหนุ าม
ตวั แปรเดยี ว การแก้ปัญหาได้
และนาํ ไปใช้ในการ
แกป้ ญั หา การแยกตัวประกอบของพหุนามโดย 20 20

ใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลอื ทฤษฎีบท

ตวั ประกอบ ทฤษฎีบทตัวประกอบ

ตรรกยะ ซงึ่ นาํ ไปใชใ้ นการแก้สมการ

พหนุ ามตวั แปรเดยี ว การนําสมบตั ิของ

การไม่เทา่ กันไปใช้ในการเขียนชว่ งและ

การแก้อสมการพหนุ าม การดําเนนิ การ

ของเศษส่วนพหนุ ามประกอบดว้ ย

การคูณและการหารเศษสว่ นของ

พหุนาม การบวกและการลบเศษสว่ น

ของพหุนาม ซึ่งนําไปใชใ้ นการ

แก้สมการและอสมการเศษสว่ นของ

พหนุ ามตลอดจนการแก้สมการและ

อสมการของพหุนามของค่าสัมบูรณ์ได้

ท่ี ชือ่ หน่วย ผลการเรียนรู้ สาระสําคัญ เวลา คะแนน
การเรียนรู้ (ชวั่ โมง)

3 ตรรกศาสตร์ 5. บอกได้วา่ ประโยคใด ความหมายของประพจน์ การเชื่อม 24 30

เปน็ ประพจน์ พรอ้ ม ประพจนป์ ระกอบดว้ ย ตวั เช่ือม

ทัง้ หาค่าความจริง “และ” “หรือ” “ถ้า...แล้ว”

ของประพจน์ได้ “ก็ต่อเมื่อ” และ “ไม่” ซ่งึ นํามาหาค่า

6. บอกรูปแบบของ ความจรงิ ของรูปแบบของประพจนไ์ ด้

ประพจนท์ สี่ มมลู กัน การสร้างตารางคา่ ความจริงเมื่อกําหนด

ได้ ประพจน์ย่อยมาให้ รูปแบบของ

7. ตรวจสอบรปู แบบของ ประพจนท์ ส่ี มมลู กนั สัจนิรันดร์มวี ธิ ี

ประพจน์ทก่ี ําหนดให้ ตรวจสอบ 3 วิธี คอื การสรา้ งตาราง

วา่ เป็นสัจนริ นั ดร์ คา่ ความจรงิ วธิ ีการหาข้อขัดแยง้ และ

หรือไม่ การใช้รูปแบบประพจนท์ ี่สมมูลกนั

8. ตรวจสอบ การอา้ งเหตผุ ลวา่ สมเหตุสมผลหรอื ไม่

ความสมเหตุสมผล โดยใชว้ ิธีหา ข้อขัดแยง้ ประโยคเปิด

ของการอา้ งเหตผุ ล ตัวบ่งปริมาณตัวเดยี ว การหาคา่

ท่ีกําหนด ใหไ้ ด้ ความจริงของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ

9. หาค่าความจรงิ ของ ตัวเดยี ว สมมูลและนิเสธของประโยคทีม่ ี

ประโยคทีม่ ี ตวั บง่ ปรมิ าณตัวเดยี ว ซึ่งใชค้ วามรู้

ตัวบ่งปรมิ าณได้ เกีย่ วกบั ตรรกศาสตร์ในการส่อื สาร

ส่อื ความหมาย และอ้างเหตุผลได้

สอบกลางภาค 3 20

ระหวา่ งภาคเรยี น 54 80

ปลายภาคเรียน 3 20

รวม 60 100

การออกแบบการจัดการเรยี นรู้

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ รายวชิ าเพ่มิ เติม
รายวิชา คณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม 1 รหัสวิชา ค31201 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4
เวลาเรยี น 60 ชวั่ โมง/ภาคเรยี น (3 ช่วั โมง/สปั ดาห์) จํานวน 1.5 หน่วยกติ

หน่วยที่ 1 ระบบจาํ นวนจริง

จาํ นวนจรงิ คือจาํ นวนท่ีมีลักษณะเปน็ ปริมาณที่สามารถแสดงให้เหน็ ภาพดว้ ยจุดบนเส้นตรงทม่ี ีความ
ยาวไมส่ ้นิ สุด (เสน้ จาํ นวน) ได้ จํานวนจริงท้งั หมดประกอบดว้ ยจาํ นวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะ คาํ ว่า
จาํ นวนจรงิ นัน้ บัญญตั ขิ ้นึ เพื่อแยกความแตกต่างจากจํานวนจนิ ตภาพ จาํ นวนจริงสามารถเขยี นออกมาได้ใน
รูปของทศนยิ มท่ีอาจไมร่ ้จู บ

เซตของจํานวนจริงมสี ัญลกั ษณท์ น่ี ิยมใชแ้ ทนคือ R หรอื ℝ ซงึ่ เซตของจํานวนจรงิ นม้ี ีลักษณะเปน็
เซตอนนั ต์ทีน่ ับไม่ได้ จาํ นวนจริงเปน็ ศูนย์กลางการศึกษาในสาขาการวิเคราะหเ์ ชิงจรงิ (real analysis)

1) จาํ นวนนบั (Natural number) ได้แก่ 1,2,3,4….. เราใช้ N แทนเซตของจาํ นวนนับ น่ันคือ

N = {1,2,3,4,...}

1) จํานวนเต็ม (Integer) ใช้ I แทนเซตของจาํ นวนเตม็ แบ่งเป็น 3 ชนิด คือ

2.1) จาํ นวนเตม็ ลบ ได้แก่ –1,-2,-3,…ใช้ I − แทนเซตของจาํ นวนเต็มลบ นน่ั คือ

I − = {−1,−2,−3,...}

2.2) ศนู ย์ (0)
2.3) จํานวนเต็มบวก

นนั่ คอื I = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

2) จาํ นวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จาํ นวนที่สามารถเขียนในรปู a โดยท่ี a และ b

b

เป็นจาํ นวนเตม็ และ b ≠ 0ใช้ Q แทนเซตของจาํ นวนตรรกยะ น่ันคือ

Q = {x x = a เม่อื a,b∈I และ b ≠ 0} ได้แก่ จํานวนเต็ม เศษส่วน และทศนยิ มซ้ํา
b

3) จํานวนอตรรกยะ (Irrational Number) คอื จํานวนจรงิ ทีไ่ ม่ใชจ่ ํานวนตรรกยะ ใช้ Q′ แทน

เซตของจาํ นวนอตรรกยะ ไดแ้ กจ่ าํ นวนที่อย่ใู นรปู กรณฑ์ทีเ่ ม่ือหาคา่ แลว้ ไม่เปน็ จาํ นวนตรรกยะ
จํานวนทีอ่ ยู่ในรูปทศนิยมไมซ่ ํ้า เช่น 2, 3,3 5 ,0.1234573…,π , e เปน็ ตน้

4) จาํ นวนจรงิ (Real Number) ใช้ R แทนเซตของจาํ นวนจรงิ ประกอบดว้ ย จํานวนตรรกยะ

และจาํ นวนอตรรกยะ นัน่ คือ R = Q ∪ Q′

ผลการเรยี นรู้

1. เข้าใจจํานวนจริง และใชส้ มบตั ิของจาํ นวนจริงในการแก้ปญั หา
2. แกส้ มการและอสมการพหนุ ามตวั แปรเดยี วดกี รไี ม่เกนิ สี่ และนําไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา
3. แก้สมการและอสมการเศษส่วนของพหุนามตวั แปรเดยี ว และนําไปใช้ในการแกป้ ญั หา
4. แกส้ มการและอสมการค่าสมั บรู ณข์ องพหนุ ามตัวแปรเดียว และนําไปใช้ในการแกป้ ญั หา

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
1. นักเรยี นมีความคิดรวบยอดเก่ยี วกบั ระบบจาํ นวนจรงิ
2. นักเรยี นแกส้ มการและอสมการตัวแปรเดียวดกี รีไมเ่ กินสองได้
3. นักเรยี นสามารถแก้อสมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีไมเ่ กินสไ่ี ด้
4. สามารถขจดั เคร่ืองหมายค่าสัมบรู ณไ์ ดโ้ ดยอาศยั นิยามและทฤษฎี
5. แกส้ มการในรูปคา่ สมั บรู ณ์ได้

สาระสาํ คญั / ความคิดรวบยอด
1. ระบบจาํ นวนจรงิ เป็นโครงสรา้ งทางคณิตศาสตร์ ประกอบดว้ ยเซตของจํานวนจรงิ กับโอเปอเรช่ัน

บวกและคูณท่สี อดคล้องกบั สัจพจน์ 15 ขอ้
2. สมบตั ิพนื้ ฐานของระบบจาํ นวนจรงิ คือ สัจพจน์ 11 ขอ้ แรก ไดแ้ ก่ สมบัติปิดสําหรบั การบวกและการคูณ

สมบตั กิ ารสลบั ทีส่ าํ หรับการบวกและการคณู สมบัติการเปล่ียนกลุม่ สาํ หรับการบวกและการคณู สมบตั ิการมี
เอกลักษณส์ ําหรบั การบวกและการคูณ สมบตั ิการมีอินเวอร์สสําหรับการบวกและการคูณ และสมบัติการแจก
แจง

3. การแกส้ มการตัวแปรเดียวทมี่ ีดีกรสี งู กว่าสอง จําเป็นตอ้ งอาศัยความรใู้ นเรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือ ทฤษฎี
บทตัวประกอบ และ ทฤษฎีบทตัวประกอบจาํ นวนตรรกยะ เพอ่ื การแยกตัวประกอบของพหุนาม ซง่ึ ทฤษฎีบท
เหลา่ นจี้ ะใชไ้ ด้ดแี ละมีประสทิ ธภิ าพมาก ทําใหไ้ ด้คําตอบ ของสมการตวั แปรเดียวถกู ต้องและครบถ้วน

4. สมบตั ิของระบบจาํ นวนจรงิ 11 ประการแรกเปน็ พนื้ ฐานในการให้ความหมายของการลบและการหาร
จํานวนจรงิ และแนวทางบางประการในการแก้สมการพหุนาม ส่วนสมบัตปิ ระการท่ี 12, 13, และ 14 เป็น
พน้ื ฐานในการให้ความหมาย “นอ้ ยกวา่ ” “มากกวา่ ” และใช้เป็นแนวทางในการแก้อสมการ
5. สัญลักษณ์แทนสบั เซตบางสับเซตของจํานวนจรงิ ทส่ี ําคัญอีกอย่างหนึง่ คือ ช่วง ซ่งึ จะมีประโยชน์
ในการนําไปใช้เขยี นแทนเซตคาํ ตอบของอสมการอีกรปู แบบหนึ่ง

อสมการใน x เป็นประโยคทมี่ ีตวั แปร x และกล่าวถึงการไม่เท่ากัน เช่น 2x < 8, 2x ≠ 8,

3x + 1 ≥ 5
อสมการจะเปน็ จริงหรือเท็จขึน้ อยกู่ บั จํานวนจรงิ ทน่ี าํ มาแทนที่ตัวแปรในอสมการ เซตคาํ ตอบของอสมการใน

x เปน็ เซตที่มสี มาชกิ เปน็ จาํ นวนจริง โดยทีจ่ ํานวนเหล่านนั้ เมื่อนํามาแทน x แล้วทําใหอ้ สมการเป็นจรงิ การแก้
อสมการคือการหาเซตคาํ ตอบของอสมการ
การแก้อสมการทม่ี ดี ีกรีสองหรือสูงกว่าสอง ในบางครง้ั การพิจารณาเป็นกรณจี ะไมส่ ะดวกในการหาคําตอบ จึงใช้
วธิ ีการพิจารณาบนเสน้ จาํ นวนแล้วสร้างตารางจะง่ายและรวดเรว็ กวา่ ซ่ึงจะมปี ระโยชนใ์ นการนาํ ไปใชใ้ น
คณิตศาสตรช์ ้ันสูงข้ึนต่อไป

6. ค่าสัมบรู ณ์ในเชงิ เรขาคณติ เป็นระยะหา่ งระหวา่ งจดุ แทน 0 กบั จดุ แทน a เมื่อ a เปน็ จาํ นวนจรงิ บนเสน้ จาํ นวนในระบบ
จาํ นวนจริง ค่าสัมบรู ณ์ของจํานวนจรงิ a จะแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ |a|

a เมอ่ื a > 0

โดยที่ |a| = ൝ 0 เม่อื a = 0

-a เมอ่ื a < 0

หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งต้น

ตรรกศาสตร์ (อังกฤษ: logic - มีรากศัพทจ์ ากภาษากรีกคือ λόγος, logos) โดยทว่ั ไป
ประกอบดว้ ยการศึกษารปู แบบของขอ้ โต้แยง้ อยา่ งเป็นระบบ ขอ้ โตแ้ ยง้ ท่ีสมเหตุสมผลคือข้อโต้แย้งที่มี
ความสัมพันธ์ของการสนบั สนุนเชิงตรรกะทเ่ี ฉพาะเจาะจงระหว่างข้อสมมตุ ิพน้ื ฐานของข้อโต้แยง้ และข้อสรุป

ตรรกศาสตร์เปน็ การศกึ ษาเชิงปรชั ญาว่าด้วยการใหเ้ หตผุ ล โดยมักจะเปน็ ส่วนสําคัญของวิชาปรัชญา
คณิตศาสตร์ คอมพวิ เตอร์ รวมถงึ ภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เปน็ การตรวจสอบข้อโตแ้ ยง้ ท่ีสมเหตุสมผล
(valid argument) หรือการใหเ้ หตุผลแบบผดิ ๆ (fallacies) ตรรกศาสตร์ เปน็ การศกึ ษาท่ีมีมานานโดย
มนุษยชาตทิ เ่ี จริญแลว้ เช่น กรกี จีน หรืออนิ เดยี และถูกยกขน้ึ เป็นสาขาวชิ าหนงึ่ โดย อริสโตเติล

ผลการเรียนรู้
5. บอกได้วา่ ประโยคใดเปน็ ประพจน์ พร้อมท้งั หาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ได้
6. บอกรูปแบบของประพจนท์ ่ีสมมลู กันได้
7. ตรวจสอบรูปแบบของประพจนท์ ่กี ําหนดให้ วา่ เป็นสจั นริ ันดรห์ รือไม่
8. ตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอา้ งเหตุผลทกี่ ําหนดใหไ้ ด้
9. หาค่าความจริงของประโยคทีม่ ีตวั บ่งปรมิ าณได้

จุดประสงค์การเรยี นรู้
1. จําแนกข้อความที่เปน็ ประพจนห์ รือไมเ่ ปน็ ประพจน์ได้
2. หาคา่ ความจริงของประพจน์แตล่ ะประพจน์ได้
3. บอกชนดิ ของตวั เช่ือมทางตรรกศาสตร์ และเทยี บคําในภาษาไทยท่มี คี วามหมายเหมอื นกับตัวเชอื่ ม
นัน้ ๆ ได้
4. เปล่ียนประพจน์ทอี่ ยู่ในรปู ข้อความให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ได้
5. หาค่าความจริงของประพจนท์ ีม่ ตี วั เชอื่ มได้
6. จัดลาํ ดบั ขัน้ ตอนการหาคา่ ความจรงิ ของประพจนท์ ีม่ ีตวั เช่ือม
7. หาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ท่มี ีตวั เชื่อมได้
8. เขยี นค่าความจริงของประพจน์ n ประพจน์ ในกรณีต่าง ๆ 2n กรณี
9. หาคา่ ความจริงของประพจน์ย่อยได้
10. สรา้ งตารางหาค่าความจรงิ ของประพจนผ์ สมได้
11. หารปู แบบของประพจนท์ ่ีสมมูลกนั ได้
12. หารปู แบบของประพจน์ท่ีเป็นนิเสธกนั ได้
13. บอกความหมายของคําวา่ สัจนิรนั ดร์ได้ถูกต้อง
14. แสดงการตรวจสอบความเป็นสจั นิรันดรข์ องรูปแบบของประพจน์ทก่ี าํ หนดให้ไดโ้ ดยการ
สรา้ งตารางค่าความจริง
15 แสดงการตรวจสอบความเปน็ สจั นิรันดรโ์ ดยใช้หาขอ้ ขดั แย้ง
16 บอกได้วา่ รปู แบบของประพจนท์ ่ีกาํ หนดใหร้ ูปแบบใดเปน็ สัจนิรนั ดร์
17 หาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ในรูปแบบต่างๆ หานิเสธ สมมูลสัจนริ ันดร์ของประพจนไ์ ด้
18. บอกลักษณะของประโยคเปิดได้

19. เขียนประโยคสัญลักษณ์ของประพจน์ท่ีมตี ัวบง่ ปรมิ าณได้
20. สรปุ ค่าความจริงของตวั บ่งปรมิ าณ ∀x และ ∃x วา่ เป็นจรงิ หรอื เป็นเทจ็ เมื่อใด
21. หาค่าความจรงิ ของประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณ 1 ตวั ได้
22. สรุปข้นั ตอนการหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตวั ได้
23. หาคา่ ความจรงิ ของประโยคท่มี ีตัวบง่ ปริมาณ 2 ตวั ได้
24. บอกข้นั ตอนการตรวจสอบการอา้ งเหตผุ ลได้
25. เปลย่ี นเหตุและผลท่ีกําหนดให้อยู่ในรูปของสญั ลักษณ์ของการอ้างเหตุผล และทําการตรวจสอบโดยใช้

ตารางค่าความจริง
26. ตรวจสอบการอา้ งเหตุผลโดยใช้กฎของการอ้างเหตผุ ลได้

สาระสาํ คัญ / ความคิดรวบยอด
1. สิง่ แรกทต่ี ้องรู้จกั ในเร่ืองตรรกศาสตร์คอื ประพจน์ ข้อความหรอื ประโยคท่ีมีค่าความจริงเปน็ จรงิ (T)
หรอื เท็จ (F) อย่างใดอย่างหน่ึง ส่วนขอ้ ความรปู คาํ ส่งั คาํ ขอรอ้ ง คาํ อุทาน คําปฏเิ สธ ซง่ึ ไมอ่ ยู่ในรปู
ของประโยคบอกเลา่ จะเปน็ ข้อความที่ไมเ่ ปน็ ประพจน์ สําหรับข้อความบอกเล่าแต่มีตวั แปรอยู่ด้วย
ไมส่ ามารถบอกว่าเป็นจรงิ หรือเทจ็ จะไมเ่ ป็นประพจน์ เรยี กวา่ ประโยคเปิด
ประโยคทม่ี ีคา่ ความจรงิ ไม่แน่นอน หรือไม่อาจระบไุ ดว้ ่ามีค่าความจรงิ เปน็ จริงหรือเปน็ เท็จได้
ไมเ่ ปน็ ประพจน์

2. โดยปกติเมื่อกลา่ วถึงขอ้ ความหรอื ประโยคนัน้ มักจะมีกริยามากกว่าหนง่ึ ตวั แสดงว่าได้นําประโยคมา
เชือ่ มกัน มากกว่าหนึง่ ประโยค ดงั นัน้ ถา้ นาํ ประพจน์มาเช่อื มกนั กจ็ ะไดป้ ระพจน์ใหม่ ซึง่ สามารถบอก
ได้วา่ เปน็ จรงิ หรอื เป็นเทจ็ ตวั เช่อื มประพจนม์ ีอยู่ 5 ตัว และตวั เชือ่ มที่ใช้กนั มากในตรรกศาสตร์
คอื และ, หรือ, ถา้ …แล้ว, กต็ ่อเมื่อ, ไม่

3. การดําเนินการทางประพจน์
1. กรณที ี่ตัวเชอื่ มอย่ใู นวงเลบ็ ใหห้ าค่าความจริงของประพจน์ในวงเลบ็ ให้เสร็จกอ่ น
2. กรณีท่ีตวั เช่อื มไม่มีวงเล็บ การหาคา่ ความจริงของตัวเชื่อมแต่ละตัวในประพจน์ใหมโ่ ดยการใส่วงเลบ็
ใหก้ ับ “ ~ ”(นิเสธ), “ ∧ ”, “ ∨ ”, “ → ”, “ ↔ ” ตามลาํ ดับ เชน่ ~ p → r ∨ s ∧ p ↔ q
เมอื่ พจิ ารณาตามลาํ ดับ
จะไดว้ ่า {~ p → [r ∨ (s ∧ p)]} ↔ q

4. การหาค่าความจรงิ ของประพจน์ วิเคราะหค์ า่ ความจริงของประพจน์ย่อยทลี ะค่โู ดยเร่มิ จากวงเล็บเลก็
ขา้ งในก่อน

[(p → q) → r] ↔ (r → s)

FF T T F

TF

T
F

ดังน้นั ประพจน์ [(p → q) → r] ↔ (r → s) มีค่าความจริงเปน็ เท็จ

5. การสร้างตารางคา่ ความจริง
ตารางแสดงคา่ ความจรงิ เป็นตารางท่ีแสดงคา่ ความจริงทกุ กรณีทีเ่ ปน็ ได้ในการเชอ่ื มประพจน์ จาํ นวน
กรณที ีพ่ ิจารณาขึน้ อย่กู ับจํานวนประพจน์ ดังน้ี ถ้าประพจนผ์ สม ประกอบดว้ ยประพจน์เดย่ี ว n
ประพจน์ จาํ นวนกรณีท่ีพิจารณามี 2n กรณี

6. ประพจนท์ ี่สมมลู กนั คือ ประพจน์ 2 ประพจนท์ ี่มีค่าความจริงเหมอื นกนั ทุกกรณี ดงั นั้น ประพจน์
ท่ีสมมลู กัน จึงสามารถใชแ้ ทนกนั ได้
ประพจน์ p และ q ทสี่ มมูลกันเขียนแทนด้วย p ≡ q
นเิ สธ มคี วามหมายพื้นฐาน คอื ผลท่ีไดจ้ ากการเปลยี่ นคา่ ความจรงิ ของประโยค ไปเป็นตรงกนั ข้าม
การทาํ ใหเ้ ปน็ นิเสธคอื การดําเนนิ การสําคญั ที่ใช้ในตรรกศาสตร์ คณติ ศาสตร์ และไวยากรณ์
การทําให้เป็นนิเสธเชิงตรรกศาสตร์สามารถนิยามไดด้ ้วยตวั ดาํ เนินการอ่ืนๆ เช่น ~p

7. สัจจะ แปลวา่ จรงิ สว่ นนริ นั ดร์ แปลว่าตลอดกาล ประพจนท์ เี่ ป็นสัจนริ ันดร์ คอื ประพจนท์ ่ีมีค่าความจรงิ
เปน็ จริง ทุกกรณีของประพจน์ยอ่ ย

8. ประโยคเปดิ คือข้ อความท่อี ยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏเิ สธ ทม่ี ตี วั แปรและส่ือแทนค่าของตัวแปร
นนั้ จะไดค้ า่ ความจริงแนน่ อน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยค
เปิดท่มี ีตัวแปรระบใุ นวงเล็บ

9. ตวั บ่งปริมาณ เป็นตัวระบจุ ํานวนสมาชกิ ในเอกภพสมั พทั ธท์ ี่ทําใหป้ ระโยคเปิดกลายเป็นประพจน์
ตัวบง่ ปรมิ าณมี 2 ชนดิ คอื

ตัวบ่งปรมิ าณท่ีกล่าวถึง “สมาชิกทกุ ตัวในเอกภพสัมพัทธ์” ซึง่ เขยี นแทนได้ดว้ ยสัญลกั ษณ์ “∀”
อา่ นว่า”สาํ หรับสมาชิก x ทุกตัว”

ตัวบง่ ปรมิ าณท่ีกล่าวถงึ “สมาชิกบางตวั ในเอกภพสมั พทั ธ์” ซงึ่ เขยี นแทนไดด้ ว้ ยสัญลกั ษณ์ “∃”
อา่ นวา่ “สาํ หรบั สมาชกิ x บางตวั ”
10. ค่าความจรงิ ของประพจน์ทมี่ ีตวั บง่ ปรมิ าณตวั แปรเดียว ซึง่ มีคา่ ความจรงิ ดงั ต่อไปนี้

1. คา่ ความจริงของประพจน์ ∀x[P(x)]

∀x[P(x)] จะมีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ ก็ต่อเม่ือนาํ x ทุกค่าใน U แทนใน P(x) แล้ว
P(x) เปน็ จรงิ ทง้ั หมด

∀x[P(x)] จะมคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ กต็ ่อเม่ือนํา x อยา่ งน้อย 1 ค่าใน U แทนใน P(x) แลว้
P(x) เปน็ เท็จ
2. คา่ ความจรงิ ของประพจน์

∃x[P(x)] จะมีค่าความจรงิ เป็นจรงิ กต็ อ่ เมื่อนาํ x อย่างน้อย 1 ค่าใน U แทนใน P(x) แล้ว
P(x) เป็นจริง

∃x[P(x)] จะมคี ่าความจริงเป็นเทจ็ กต็ อ่ เม่ือนาํ คา่ x ทุกค่าใน U แทนใน P(x) แลว้

เป็นเทจ็ ท้ังหมด

11. การอ้างเหตุผล หมายถึง การอา้ งหลักฐานเพื่อยืนยันวา่ ขอ้ สรปุ ทีไ่ ด้มานั้นเปน็ จริง ซ่ึงการอ้างเหตผุ ลจะ
มสี ว่ นประกอบอยู่ 2 ส่วน คือ

1. สว่ นทีเ่ ป็นข้ออา้ ง หมายถึง ตัวหลกั ฐาน หรอื เหตผุ ลทใ่ี ช้เปน็ เคร่ืองมือในการตรวจสอบวา่ ขอ้ สรปุ เป็น
จริงหรือไม่ เพื่อความกะทัดรัดจงึ แทนคําวา่ “ข้ออ้าง หรอื เหตผุ ล” ด้วยคาํ วา่ “เหตุ” เหตทุ ี่เป็น
ขอ้ อ้างแต่ละข้อจะต้องเป็นจรงิ ทุกขอ้ เพราะการใช้หลักฐานทีเ่ ปน็ เท็จ เพื่อยนื ยนั ว่าข้อสรปุ เปน็ จรงิ

นัน้ เปน็ ไปไม่ได้

2. สว่ นทเี่ ปน็ ขอ้ สรุป หมายถงึ สิ่งที่เราต้องการบอกว่า เปน็ ความจริง บางครัง้ อาจใช้คาํ วา่
“ผล” แทนคาํ ว่า “ข้อสรปุ ”

ในการอ้างเหตผุ ลแตล่ ะคร้งั นัน้ “เหตุ” อาจมีเพียงข้อเดยี ว หรอื หลายข้อก็ได้ แต่ “ผล” หรือ
“ขอ้ สรปุ ” จะต้องมเี พยี งข้อเดียวเทา่ นนั้

ภาระงานทีแ่ สดงผลการเรยี นรู้
1. แบบฝกึ หดั ท้ายเนื้อหาในเอกสารประกอบการเรียน
2. แบบทดสอบย่อยก่อนเรียน-หลงั เรียน
3. แบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธิท์ างการเรียนก่อนเรียน-หลงั เรียน

สอื่ / อุปกรณ์ / แหล่งเรยี นรู้
1. หนังสือเรยี นรายวชิ าเพ่ิมเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ม. 4 – 6 ของ สสวท.
2. เอกสารประกอบการเรียน
3. Class room
4. youtube

วธิ ีการและเครื่องมือประเมินผลการเรยี นรู้

วธิ ีการประเมนิ ผลการเรียนรู้
1. การสงั เกต
2. การตรวจแบบฝกึ หดั
3. การตรวจแบบทดสอบ

เครอ่ื งมือประเมินผลการเรยี นรู้
1. แบบประเมินคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ และ การอ่านคดิ วิเคราะห์ และเขยี น
2. แบบฝึกหดั ท้ายเน้ือหาในเอกสารประกอบการเรยี น
3. แบบทดสอบย่อยก่อนเรียน-หลงั เรียน
4. แบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธทิ์ างการเรยี นกอ่ นเรยี น-หลงั เรยี น

แผนการจดั การเรียนรู้ จํานวน 30 ชว่ั โมง
จํานวน 24 ชว่ั โมง
1. ระบบจาํ นวนจรงิ
2. ตรรกศาสตร์เบ้อื งต้น

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 1 เรอ่ื ง ระบบจํานวนจริง
รหสั วิชา ค 31201 รายวิชา คณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 1
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 ภาคเรียนท่ี 1 ปีการศกึ ษา 2565
กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์
เวลา 30 ช่ัวโมง
ผู้สอน นายบรรณรต สกณุ า
วันที่………เดอื น……………….พ.ศ.2565

1. ผลการเรียนรู้
1. เข้าใจจํานวนจริง และใช้สมบตั ิของจํานวนจริงในการแก้ปญั หา
2. แก้สมการและอสมการพหุนามตวั แปรเดียวดกี รีไมเ่ กนิ ส่ี และนําไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา
3. แกส้ มการและอสมการเศษส่วนของพหนุ ามตวั แปรเดียว และนําไปใช้ในการแก้ปัญหา
4. แกส้ มการและอสมการค่าสัมบรู ณข์ องพหนุ ามตัวแปรเดียว และนําไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

2. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
1. นกั เรียนมคี วามคิดรวบยอดเกยี่ วกบั ระบบจํานวนจรงิ
2. นกั เรยี นแกส้ มการและอสมการตวั แปรเดยี วดกี รีไมเ่ กินสองได้
3. นักเรียนสามารถแก้อสมการพหนุ ามตวั แปรเดียวดีกรีไม่เกนิ สีไ่ ด้
4. สามารถขจดั เครื่องหมายค่าสัมบรู ณ์ได้โดยอาศัยนิยามและทฤษฎี
5. แก้สมการในรูปค่าสัมบูรณ์ได้

3. สาระสําคัญ / ความคดิ รวบยอด
1. ระบบจาํ นวนจรงิ เป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ประกอบด้วยเซตของจํานวนจริงกบั โอเปอเรช่ัน

บวกและคูณทีส่ อดคล้องกับสัจพจน์ 15 ข้อ
2. สมบตั ิพื้นฐานของระบบจาํ นวนจริง คอื สัจพจน์ 11 ขอ้ แรก ได้แก่ สมบัติปดิ สาํ หรับการบวกและ

การคณู สมบัติการสลบั ท่สี าํ หรับการบวกและการคูณ สมบัตกิ ารเปล่ยี นกลุ่มสําหรับการบวกและการคณู สมบตั ิ
การมีเอกลกั ษณส์ าํ หรบั การบวกและการคณู สมบตั ิการมีอินเวอรส์ สําหรบั การบวกและการคณู และสมบัตกิ าร
แจกแจง

3. การแก้สมการตวั แปรเดียวทม่ี ีดีกรีสงู กว่าสอง จําเป็นต้องอาศัยความรูใ้ นเร่ืองทฤษฎบี ทเศษเหลือ
ทฤษฎีบทตวั ประกอบ และ ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ เพ่ือการแยกตวั ประกอบของพหุนาม ซึง่
ทฤษฎบี ทเหล่านจี้ ะใช้ไดด้ ีและมีประสทิ ธภิ าพมาก ทาํ ให้ได้คําตอบ ของสมการตวั แปรเดียวถกู ต้องและ
ครบถว้ น

4. สมบัตขิ องระบบจํานวนจริง 11 ประการแรกเป็นพนื้ ฐานในการให้ความหมายของการลบและการ
หารจํานวนจรงิ และแนวทางบางประการในการแกส้ มการพหนุ าม ส่วนสมบัตปิ ระการท่ี 12, 13, และ 14 เป็น
พนื้ ฐานในการให้ความหมาย “นอ้ ยกว่า” “มากกว่า” และใช้เป็นแนวทางในการแก้อสมการ

5. สัญลกั ษณ์แทนสับเซตบางสบั เซตของจํานวนจรงิ ที่สาํ คัญอีกอยา่ งหนง่ึ คือ ช่วง ซึ่งจะมปี ระโยชน์
ในการนาํ ไปใช้เขียนแทนเซตคาํ ตอบของอสมการอีกรูปแบบหนงึ่

อสมการใน x เปน็ ประโยคทีม่ ีตวั แปร x และกลา่ วถงึ การไม่เทา่ กัน เช่น 2x < 8, 2x ≠ 8,

3x + 1 ≥ 5

อสมการจะเปน็ จรงิ หรือเท็จขึ้นอยู่กับจํานวนจรงิ ที่นาํ มาแทนท่ตี วั แปรในอสมการ เซตคาํ ตอบของ
อสมการใน x เป็นเซตทีม่ สี มาชกิ เปน็ จาํ นวนจรงิ โดยท่ีจาํ นวนเหลา่ นั้นเมื่อนาํ มาแทน x แล้วทาํ ให้อสมการเป็น
จริง การแก้อสมการคือการหาเซตคําตอบของอสมการ
การแก้อสมการท่ีมดี ีกรสี องหรอื สงู กวา่ สอง ในบางครั้งการพิจารณาเป็นกรณีจะไมส่ ะดวกในการหาคาํ ตอบ จึง
ใช้วิธกี ารพิจารณาบนเส้นจาํ นวนแลว้ สรา้ งตารางจะง่ายและรวดเร็วกว่า ซึ่งจะมปี ระโยชน์ในการนาํ ไปใชใ้ น
คณิตศาสตรช์ น้ั สูงขนึ้ ต่อไป

6. คา่ สมั บูรณ์ในเชิงเรขาคณติ เปน็ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ แทน 0 กับจดุ แทน a เม่ือ a เป็นจํานวนจรงิ บนเส้นจาํ นวนใน
ระบบจํานวนจริง คา่ สัมบรู ณ์ของจาํ นวนจรงิ a จะแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ |a|

a เม่ือ a > 0

โดยท่ี |a| = ൝ 0 เม่ือ a = 0

-a เมื่อ a < 0

4. สาระการเรียนรู้

4.1 ความรู้

4.1.1 ระบบจํานวนจรงิ

4.1.2 การแกส้ มการและอสมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกนิ

4.1.3 การแก้สมการและอสมการค่าสมั บรู ณ์ของพหนุ ามตัวแปรเดียว

4.1.4 การแก้สมการและอสมการเศษส่วนของพหนุ ามตวั แปรเดียว

4.2 ทักษะ / กระบวนการ

4.2.1 ความสามารถในการส่อื สาร

4.2.2 ความสามารถในการคดิ

(1) ทักษะการคดิ วเิ คราะห์

(2) ทกั ษะการคิดสรา้ งสรรค์

(3) ทักษะการคดิ อย่างมีวจิ ารณญาณ

(4) ทกั ษะการคดิ เป็นระบบ

4.2.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

4.3 คุณลักษณะอนั พงึ ประสงคต์ ามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน พ.ศ.2551

3.3.1 รกั ชาติ ศาสน์ กษตั ริย์ 3.3.5 ซอ่ื สตั ย์ สุจรติ

3.3.2 มวี นิ ยั 3.3.6 ใฝ่เรยี นรู้

3.3.3 อยอู่ ย่างพอเพยี ง 3.3.7 มงุ่ ม่ันในการทาํ งาน

3.3.4 รกั ความเปน็ ไทย 3.3.8 มจี ติ สาธารณะ

4.4 สมรรถนะสาํ คัญของผูเ้ รียน

4.4.1 ความสามารถในการส่อื สาร

4.4.2 ความสามารถในการคิด

4.4.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

5. การจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้

ใชร้ ปู แบบการจดั กจิ กรรมการเรียนรูแ้ บบเน้นผูเ้ รียนเป็นสําคญั บนพ้ืนฐานการเรียนแบบร่วมมอื

ชวั่ โมงที่ 1-3
ขน้ั นํา

1. ครูทบทวนความรู้เดมิ ของนกั เรยี นเรื่อง จาํ นวนชนิดต่างๆ โดยใชก้ ารถามตอบ
2. ครูเกร่นิ นําถงึ จาํ นวนนับ ว่าเปน็ จาํ นวนทีส่ ามารถนับได้ เชน่ 1, 2, 3,… ใช้ N แทนเซตของจาํ นวน
นบั ดงั นัน้ N = { 1, 2, 3,... } ต่อมามีการนาํ จํานวนนบั มาบวก ลบ คณู และหารกนั สาํ หรับการบวกและการ
คณู จะไม่มปี ญั หา สาํ หรับจํานวนนบั แตม่ ปี ญั หาสาํ หรับการลบและการคูณตรงที่จํานวนนับบางค่เู มื่อนํามาลบ
หรือหารกนั แลว้ อาจไม่ได้จํานวนนบั และเม่อื ต้องการหาค่า x จากสมการ x + 5 = 2 ทําให้ไมส่ ามารถหาค่า x
ได้ จงึ ได้คดิ จํานวนเตม็ ขน้ึ มา

ข้นั สอน

3. จํานวนเตม็ เปน็ จํานวนท่ีเกดิ จากจํานวนนับบวกหรือลบกัน แบง่ เป็น

- จาํ นวนเต็มบวก คอื จํานวนนับทม่ี ีคา่ มากกวา่ ศูนย์ ได้แก่ 1, 2, 3,...

- จํานวนเต็มลบ ไดแ้ ก่ -1, -2, -3, ...

- จํานวนเต็มศนู ย์ คอื 0

ใช้ I แทนเซตของจาํ นวนเต็ม ดังนั้น I = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } ดงั นนั้ N ∈ I
a
4. จํานวนตรรกยะ คอื จํานวนท่สี ามารถเขยี นได้ในรูป b เมอ่ื a และ b เปน็ จาํ นวนเต็ม

และ b ≠ 0

เช่น 4 , 3 , 0.25 , 0.3∙ เปน็ ต้น
1 4

จาํ นวนตรรกยะประกอบไปด้วย

- จํานวนเตม็ ได้แก่ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, จํานวนเต็มทุกจํานวนเป็นจาํ นวน

ตรรกยะเพราะสามารถเขียนในรูป a ได้ เม่อื a คือจํานวนเต็มตวั นั้น และ b คือ 1 เชน่ 4 = 4
b 1

- เศษสว่ นท่ไี มใ่ ช่จาํ นวนเต็ม เช่น 1 , 3 , 3 , -2 เปน็ ต้น
225 3

- จาํ นวนทเ่ี ปน็ ทศนยิ มรู้จบ เช่น 0.7, 0.84, 1.3, 1.24, -0.3, -1.92 เพราะจํานวนเหล่าน้ี

สามารถเขยี นให้อยใู่ นรูปเศษส่วนได้ นน่ั คอื

0.7 = 7
10

0.84 = 84
100

1.3 = 1 + 3
10

1.24 1 = 1 + 24
100

-0.3 = - 3
10

-1.92 = - ( 1 + 92 )
100

- จํานวนท่เี ป็นทศนยิ มซํา้ แบบไม่รู้จบ เชน่ 0.6, 0.25, 0.52, 0.352, 5.213, 2.3745

จาํ นวนเหล่านีส้ ามารถเขยี นให้อยูใ่ นรปู เศษส่วนได้ ซึ่งมหี ลกั เกณฑ์ดงั นี้

จงเปลี่ยน 0.6, 0.25, 0.52, 0.352, 5.213, 2.3745 ใหเ้ ปน็ เศษส่วน

วิธที ํา 0.6∙ = 0.6666…

ให้ 0.6666… = x …………………………..(1)

6.6666… = 10x …………………………..(2)

(2) – (1) จะได้

6 = 9x

x =6
9

ดงั นนั้ 0.6∙ = 6
9

วธิ ที าํ 0.2∙5∙ = 0.252525… …………………………..(1)
ให้ 0. 252525… = x …………………………..(2)
25.252525… = 100x
(2) – (1) จะได้ …………………………..(1)
25 = 99x …………………………..(2)

x = 25
99

ดังน้นั 0.2∙5∙ = 25
99

วธิ ีทาํ 0.5∙2∙ =x
ให้ 0. 5252… = 100x
52.5252…
(2) – (1) จะได้ = 99x
52

x = 52
99

ดงั นน้ั 0.5∙2∙ = 52
99

วิธีทาํ 0.35∙2∙ =x …………………………..(1)
ให้ 0. 35252… = 10x …………………………..(2)
3.525252… = 1000x …………………………..(3)
352.5252…

(3) – (2) จะได้ 349 = 990x
ดงั นน้ั x = 349

990

0.35∙2∙ = 349
990

วิธีทาํ 5.21∙3∙ =x …………………………..(1)
ให้ 5. 21313… = 10x …………………………..(2)
52.131313… = 1000x …………………………..(3)
5213.1313…

(3) – (2) จะได้ 5161 = 990x
ดังน้ัน x = 5161

990

5.21∙3∙ = 5161
990

วิธีทํา 2.374∙5∙ …………………………..(1)
ให้ 2. 374545… = x …………………………..(2)
237.4545… = 100x …………………………..(3)
23745.4545… = 10000x

(3) – (2) จะได้ 23508 = 9900x
ดังนั้น
x = 23508
9900

2.374∙5∙ = 23508
9900

สูตรลดั

เศษ ทศนยิ มทั้งหมด-ทศนยิ มตวั ท่รี จู้ บ
ส่วน = ሺ9 ซึง่ มีจํานวนเท่ากับทศนิยมไมร่ ้จู บሻ×10n

เมอื่ n คือ จาํ นวนของตวั เลขหลงั จุดทศนยิ ม

น่ันคอื 0.6∙ = 6
9
0.2∙5∙ = 25
99

0.5∙2∙ = 52
99

0.35∙2∙ = 352-3 = 349
990 990

5.21∙3∙ = 5213-52 = 5161
990 990

2.374∙5∙ = 23745-237 = 23508
9900 9900

ใช้ Q แทน เซตของจํานวนตรรกยะ
a
Q = {x | x = b ,a,b∈I,b≠0}

สมบตั ิสําคญั ของจํานวนตรรกยะสมบัติหนง่ึ คือ จํานวนตรรกยะสามารถเขียนเปน็ เศษสว่ นอย่างตาํ่ ได้

เสมอ เช่น 215 เขียนเปน็ เศษส่วนอย่างตํา่ ไดเ้ ป็น 43
990 198

5. นอกจากนย้ี งั มีจาํ นวนท่ไี ม่ใชจ่ ํานวนตรรกยะ ซง่ึ เรยี กวา่ จํานวนอตรรกยะ
จํานวนอตรรกยะ เปน็ จาํ นวนจรงิ ที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ เช่น

√2 = 1.4142135... มคี ่าประมาณ 1.414

√3 = 1.7320508... มีค่าประมาณ 1.732

√5 = 2.2360679... มีค่าประมาณ 2.236
ߨ = 3.14159265...
2.73773777377773... มคี า่ ประมาณ 3.1416
มคี า่ ประมาณ 2.738 เป็นต้น

โดยใช้ Q’ แทนเซตของจาํ นวนอตรรกยะ
เม่อื นํา Q ∪ Q’ = R





































6x2 - 7x - 3

2x + 1 ) 12x3 - 8x2 - 13x - 3

12x3 + 6x2
- 14x2 - 13x - 3
- 14x2 - 7x

- 6x - 3

- 6x - 3
ดังนน้ั 2x + 1 เป็นตวั ประกอบของ 12x3 - 8x2 - 13x - 3
นาํ 2x + 1 ไปหาร 12x3 - 8x2 - 13x - 3 โดยผลหารเปน็ 6x2 - 7x – 3
ดังน้ัน 12x3 - 8x2 - 13x - 3 = 2x – 1 (6x2 - 7x – 3)
ตวั ประกอบของ 12x3 - 8x2 - 13x - 3 = (2x + 1)(3x + 1)(2x - 3)
จาก 12x3 - 8x2 - 13x - 3
=0

(2x + 1)(3x + 1)(2x - 3) = 0
2x + 1 = 0 หรือ 3x + 1 = 0 หรือ 2x – 3 = 0

x = - 1 หรือ x = - 1 หรือ x = 3
23 2

ดงั นน้ั เซตคําตอบของสมการคือ { − ଵ, - 1 , - ଷ }
3 ଶ
ଶ

9. ครูให้นักเรยี นทําแบบฝึกหัดในเอกสารประกอบการสอน หน้าท่ี 19 - 22
10. ครแู ละนักเรียนร่วมกนั เฉลยคาํ ตอบ อภปิ ราย ซกั ถามในขอ้ ที่นักเรียนสว่ นใหญ่ทําไม่ถกู ต้อง
11. ทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ นอกจากจะเปน็ เครื่องมือในการหาคําตอบทเี่ ป็นจาํ นวน
ตรรกยะทั้งหมดของสมการพหนุ ามทมี่ ีสัมประสทิ ธ์เปน็ จาํ นวนเตม็ แลว้ ยงั สามารถใช้พสิ ูจน์การเปน็ จาํ นวน
อตรรกยะของจาํ นวนบางจํานวนได้ ดังตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอยา่ งท่ี 8

1. จงพิสูจน์วา่ √3 เป็นจาํ นวนอตรรกยะ

วิธีทาํ √3 เป็นคาํ ตอบของสมการ x = √3
ดงั นั้น √3 เป็นคาํ ตอบของสมการ x2 = 3
หรอื x2 - 3 = 0 …………………………………..(1)

จากทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ คาํ ตอบของสมการ (1) ท่เี ป็นจํานวนตรรกยะ จะอยู่ในเซต

{ -3 , -1 , 1 , 3 } แต่ √3 ∉ { -3 , -1 , 1 , 3 } ดงั น้ัน √3 ไม่เปน็ จํานวนตรรกยะ แต่ √3 ∈ R ดังนน้ั
√3 เปน็ จาํ นวนอตรรกยะ

2. จงพิสูจนว์ ่า -1 + √3 เปน็ จํานวนอตรรกยะ

วธิ ที าํ -1 + √3 เป็นคาํ ตอบของสมการ x = -1 + √3

x +1 = √3
(x + 1)2 =3

x2 + 2x + 1 = 3
x2 + 2x - 2 = 0
ดังนน้ั -1 + √3 เปน็ คาํ ตอบของสมการ x2 + 2x - 2 = 0

จากทฤษฎบี ทตวั ประกอบตรรกยะ คาํ ตอบของสมการ x2 + 2x - 2 = 0 ทีเ่ ปน็ จาํ นวนตรรกยะ
จะอยใู่ นเซต { -2 , -1 , 1 , 2 } แต่ -1 + √3 ∉ { -2 , -1 , 1 , 2 } ดังนั้น -1 + √3 ไม่เปน็ จํานวนตรรก
ยะ แต่ -1 + √3 ∈ R ดงั น้ัน -1 + √3 เปน็ จํานวนอตรรกยะ

3. จงพิสจู นว์ า่ √3+1 เป็นจาํ นวนอตรรกยะ
2

วิธที าํ √3+1 เป็นคําตอบของสมการ x = √3+1
22

2x = √3 + 1

2x - 1 = √3 (ยกกําลงั สองทั้งสองข้างของสมการ)
(2x – 1)2 = 3
4x2 - 4x + 1 = 3
4x2 - 4x - 2 = 0

ดังน้นั √3+1 เปน็ คําตอบของสมการ 4x2 - 4x - 2 = 0 จากทฤษฎีบทตวั ประกอบตรรกยะ คาํ ตอบ
2

ของสมการ 4x2 - 4x - 2 = 0 ท่ีเปน็ จาํ นวนตรรกยะ จะอยู่ในเซต { -1 , - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1}
2 442

แต่ √3+1 ∉ { -1 , - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1} ดงั นัน้ √3+1 ไม่เป็นจํานวนตรรกยะ แต่
2 2 4 4 2 2

√3+1 ∈R ดงั นน้ั √3+1 เปน็ จํานวนอตรรกยะ
2 2

ขน้ั สรุป
12. นกั เรียนและครรู ว่ มกนั สรุปการแก้สมการโดยใชท้ ฤษฎีบทตวั ประกอบ และทฤษฎบี ท
ตวั ประกอบตรรกยะ
13. นักเรียนทําแบบฝึกหัดในเอกสารประกอบการเรียน

ชั่วโมงที่ 13-15
ข้ันนํา

1. ครอู ธิบายเรื่องสมบตั ขิ องการไม่เทา่ กัน
ในระบบจาํ นวนจริง ใช้สัญลักษณ์ > แทน มากกว่า
ใชส้ ญั ลกั ษณ์ < แทน น้อยกว่า
ใช้สัญลักษณ์ ≥ แทน มากกวา่ หรอื เท่ากับ
ใช้สัญลักษณ์ ≤ แทน นอ้ ยกว่าหรอื เท่ากับ
ใช้สัญลกั ษณ์ ≠ แทน ไมเ่ ท่ากับ

ถา้ a และ b เปน็ จาํ นวนจรงิ สัญลกั ษณ์ a < b หมายความวา่ a น้อยกวา่ b และ
สัญลักษณ ์ a > b หมายความว่า a มากกว่า b

การเปรียบเทยี บจาํ นวนจรงิ 2 จาํ นวน

สมบตั ไิ ตรวิภาค ( Trichotomy property )
ถา้ a และ b เป็นจํานวนจริง แลว้ a = b, a > b และ a < b จะเป็นจรงิ

เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง

บทนยิ าม
เมอ่ื a และ b เปน็ จํานวนจริงใดๆ
a > b กต็ ่อเมอื่ a - b > 0
a < b ก็ต่อเม่อื a - b < 0

เชน่ -2 > -5 ก็ต่อเมื่อ -2 – (-5) = 3 > 0
-4 < -1 ก็ตอ่ เมื่อ -4 - (-1) = (-3) < 0

ขัน้ สอน
2. ครูอธิบายสมบตั ขิ องการไม่เท่ากันของจํานวนจรงิ

สมบตั ิของการไม่เท่ากนั
ให้ a, b, c เปน็ จาํ นวนจริงใดๆ

1. สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

เชน่ ถ้า 5x + 3 > y และ y > x - 1 แลว้ 5x + 3 > x - 1
ถ้า 2y + 3 > x และ x > 7 - 4y แลว้ 2y + 3 > 7 - 4y

2. สมบตั ิการบวกด้วยจํานวนท่ีเท่ากัน
ถ้า a > b แลว้ a + c > b + c

เชน่ ถา้ x + 5 > 2 แล้ว x + 5 + (-5) > 2 + (-5)
ถ้า x - 4 > 7 แลว้ x – 4 + 4 > 7 + 4

3. จํานวนบวกและจาํ นวนลบเปรียบเทียบกับ 0
a เป็นจาํ นวนบวก ก็ตอ่ เม่ือ a > 0
a เป็นจํานวนลบ ก็ต่อเมือ่ a < 0

เชน่ 7 เปน็ จาํ นวนบวก ก็ต่อเม่อื 7 > 0
-4 เป็นจาํ นวนลบ กต็ อ่ เม่ือ -4 < 0

4. สมบัติของการคณู ด้วยจาํ นวนที่เทา่ กันที่ไมเ่ ป็นศนู ย์
กรณี 1 ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
กรณี 2 ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

เช่น ถา้ 3 > 1 และ 5 > 0 แลว้ 3(5) = 15 > 1(5) = 5
ถ้า (-2) > (-5) และ 3 > 0 แล้ว (-2)(3) = -6 > (-5)(3) = -15
ถา้ 5 > 2 และ -1 < 0 แล้ว 5(-1) = -5 < 2(-1) = -2
ถ้า (-3) > (-6) และ -1 < 0 แลว้ (-3)(-1) = 3 < (-6)(-1) = 6

5. สมบัตกิ ารตดั ออกสาํ หรบั การบวก
ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b

เช่น ถ้า 6 + 3 = 9 > 4 + 3 = 7 แลว้ 6 > 4
ถ้า (-7) + 3 = -4 > (-9) + 3 = -6 แล้ว (-7) > (-9)

6. สมบัติการตัดออกสาํ หรับการคณู
กรณี 1 ถ้า ac > bc และ c > 0 แลว้ a > b
กรณี 2 ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

เชน่ ถา้ 3(6) = 18 > 2(6) = 12 และ 6 > 0 แล้ว 3 > 2
ถ้า (-3)(3) = -9 > (-5)(3) = -15 และ 3 > 0 แล้ว -3 > -5
ถ้า 2(-6) = -12 > 3(-6) = -18 และ -6 < 0 แลว้ 2 < 3
ถา้ (-5)(-3) = 15 > (-3)(-3) = 9 และ -3 < 0 แล้ว -5 > -3

3. ครูและนกั เรียนช่วยกันทาํ ตัวอยา่ งท่ี 1

ตัวอย่างที่ 1
ถา้ a, b, c และ d เปน็ จาํ นวนจริงใดๆ จงพจิ ารณาแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ถี ูกหรอื ผิด เพราะเหตุใด

1. ถ้า a > b และ c > d แล้ว a - c > b - d [ a = 5, b = (-1), c = 4, d = (-6)
ผิด เพราะ 5 > (-1) และ 4 > (-6)
แต่ 5 - 4 < (-1) – (-6)

2. ถ้า a > b และ c > d แลว้ a - d > b - c

ถูก เพราะ a > b ……………………………….(1)

c > d ……………………………….(2)

เอา -1 คณู ท้งั สองข้างของสมการ

-c < -d

นนั่ คอื -d > -c ……………………………….(3)

(1) + (3) จะได้ a + (-d) > b + (-c)

3. ถา้ a > b แล้ว a2 > b2 [ a = (-1) , b = 3 ]
ผดิ เพราะ -1 > -3 แต่ (-1)2 = 1 < (-3)2 = 9

4. ถ้า ac > bc และ c ≠ 0 แล้ว a > b [ a = 5, b =(-2), c = 7 ]
ผิด เพราะ 5(-2) = -10 > 7(-2) = -14 แต่ 5 < 7

5. ถ้า a ≠ 0 และ b ≠ 0 ถา้ a > b แลว้ 1 < 1 [ a = 5, b = (-2) ]
a b
1 1
ผิด เพราะ 5 > -2 แต่ 5 > -2

4. ให้นักเรียนทาํ แบบฝึกหัดท่ี 4 ในเอกสารประกอบการสอน หน้า 23 – 24
5. ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั เฉลยคําตอบ อภิปราย ซกั ถาม ในขอ้ ท่ีนักเรียนสว่ นใหญท่ ําผิด
6. ครูอธิบายเกีย่ วกับเรื่องชว่ ง

บทนิยาม เมือ่ เอกภพสมั พทั ธ์เป็นเซตของจํานวนจรงิ และ a < b

ช่วงเปดิ (a, b) หมายถงึ {x | a < x < b}

ชว่ งปิด [a, b] หมายถงึ {x | a ≤ x ≤ b}

ช่วงครงึ่ เปิด (a, b] หมายถึง {x | a < x ≤ b}

ช่วงคร่งึ เปิด [a, b) หมายถงึ {x | a ≤ x < b}

ช่วง (a, ∞) หมายถึง {x | x > a}

ชว่ ง [a, ∞) หมายถงึ {x | x ≥ a}

ช่วง (-∞, a) หมายถงึ {x | x < a}

ช่วง (-∞, a] หมายถึง {x | x ≤ a}

ช่วงปิด (-∞,∞) หมายถึง เซตของจํานวนจรงิ R

ตวั อยา่ งที่ 2 จงเขียนกราฟแทนชว่ งตอ่ ไปน้ี
1. (2, 6)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
2. [ 2, 6 ]

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
3. (-3, 1 ]

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

4. [ -1, 4)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

5. (2, ∞)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

6. [ -1, ∞)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

7. (-∞, 0)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

8. (-∞, 2 ]

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
9. (-∞, ∞)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

6. ใหน้ กั เรยี นฝึกปฏิบตั กิ ารเขียนช่วงใหอ้ ยู่ในรปู แบบของเซต และวาดกราฟประกอบ ในแบบฝกึ หดั
ท่ี 5 จากเอกสารประกอบการสอน หนา้ ท่ี 35 - 38

ตัวอยา่ งท่ี 3 กําหนดให้ A = (3, 6] และ B = [-3, 5) จงหา A
1. A ∪ B

B

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

นั่นคอื A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
ดังน้นั A ∪ B [-3, 6]

2. A ∩ B BA

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
นน่ั คอื A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
ดังน้ัน A ∩ B (3, 5)

3. B - A BA

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

น่นั คอื B - A = {x | x ∈ B ∧ x ∉ A }
ดงั นนั้ B - A = [-3, 3]

4. A′
A

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

นน่ั คือ A′ = {x | x ∈ U ∧ x ∉ A }
ดงั นนั้ A′ = [(-∞, 3)∪(6, ∞)]

7. ใหน้ กั เรียนทาํ แบบฝึกหดั ท่ี 5 ในเอกสารประกอบการสอน หน้า 39 – 40
8. ครูและนกั เรียนรว่ มกนั เฉลยคําตอบ อภิปราย ซักถาม ในข้อที่นักเรียนสว่ นใหญท่ ําผิด
ขัน้ สรปุ
9. นักเรียนและครรู ่วมกันสรปุ เรอ่ื งสมบตั ิของการไม่เทา่ กันและช่วง

ช่วั โมงท่ี 16-18
ข้ันนํา
1. ครูอธิบายเรอ่ื งสมบัตขิ องการไมเ่ ท่ากัน
ในระบบจาํ นวนจริง ใชส้ ญั ลักษณ์ > แทน มากกว่า
ใชส้ ญั ลกั ษณ์ < แทน นอ้ ยกว่า
ใชส้ ญั ลกั ษณ์ ≥ แทน มากกว่าหรือเทา่ กบั
ใช้สญั ลักษณ์ ≤ แทน นอ้ ยกว่าหรอื เทา่ กบั
ใชส้ ญั ลกั ษณ์ ≠ แทน ไม่เท่ากับ
ถา้ a และ b เป็นจาํ นวนจรงิ สญั ลกั ษณ์ a < b หมายความว่า a นอ้ ยกว่า b และ
สญั ลกั ษณ ์ a > b หมายความวา่ a มากกว่า b

การเปรียบเทยี บจาํ นวนจรงิ 2 จํานวน

สมบัตไิ ตรวิภาค ( Trichotomy property )
ถา้ a และ b เปน็ จาํ นวนจรงิ แล้ว a = b, a > b และ a < b จะเป็นจริง

เพียงอย่างใดอยา่ งหน่งึ

บทนิยาม
เมื่อ a และ b เปน็ จาํ นวนจรงิ ใดๆ
a > b ก็ต่อเมือ่ a - b > 0
a < b ก็ตอ่ เมอ่ื a - b < 0

เช่น -2 > -5 กต็ ่อเมื่อ -2 – (-5) = 3 > 0
-4 < -1 กต็ ่อเมื่อ -4 - (-1) = (-3) < 0

ขน้ั สอน
2. ครูอธิบายสมบัติของการไม่เทา่ กันของจาํ นวนจริง

สมบตั ิของการไม่เท่ากัน
ให้ a, b, c เป็นจาํ นวนจรงิ ใดๆ

1. สมบตั ิการถ่ายทอด
ถา้ a > b และ b > c แล้ว a > c

เช่น ถ้า 5x + 3 > y และ y > x - 1 แล้ว 5x + 3 > x - 1
ถา้ 2y + 3 > x และ x > 7 - 4y แลว้ 2y + 3 > 7 - 4y

2. สมบตั กิ ารบวกด้วยจาํ นวนที่เทา่ กัน
ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c

เช่น ถา้ x + 5 > 2 แลว้ x + 5 + (-5) > 2 + (-5)
ถา้ x - 4 > 7 แล้ว x – 4 + 4 > 7 + 4

3. จํานวนบวกและจาํ นวนลบเปรียบเทียบกบั 0
a เปน็ จาํ นวนบวก กต็ ่อเม่ือ a > 0
a เปน็ จาํ นวนลบ ก็ตอ่ เมอื่ a < 0

เชน่ 7 เปน็ จาํ นวนบวก กต็ อ่ เมือ่ 7 > 0
-4 เปน็ จํานวนลบ กต็ ่อเม่ือ -4 < 0

4. สมบตั ขิ องการคูณด้วยจํานวนที่เทา่ กนั ท่ีไมเ่ ปน็ ศนู ย์
กรณี 1 ถา้ a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
กรณี 2 ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

เชน่ ถา้ 3 > 1 และ 5 > 0 แล้ว 3(5) = 15 > 1(5) = 5
ถา้ (-2) > (-5) และ 3 > 0 แลว้ (-2)(3) = -6 > (-5)(3) = -15

ถา้ 5 > 2 และ -1 < 0 แลว้ 5(-1) = -5 < 2(-1) = -2
ถา้ (-3) > (-6) และ -1 < 0 แลว้ (-3)(-1) = 3 < (-6)(-1) = 6

5. สมบัตกิ ารตัดออกสําหรับการบวก
ถ้า a + c > b + c แลว้ a > b

เช่น ถ้า 6 + 3 = 9 > 4 + 3 = 7 แลว้ 6 > 4
ถา้ (-7) + 3 = -4 > (-9) + 3 = -6 แล้ว (-7) > (-9)

6. สมบตั ิการตดั ออกสาํ หรบั การคูณ
กรณี 1 ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
กรณี 2 ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

เชน่ ถ้า 3(6) = 18 > 2(6) = 12 และ 6 > 0 แล้ว 3 > 2
ถ้า (-3)(3) = -9 > (-5)(3) = -15 และ 3 > 0 แลว้ -3 > -5
ถา้ 2(-6) = -12 > 3(-6) = -18 และ -6 < 0 แล้ว 2 < 3
ถา้ (-5)(-3) = 15 > (-3)(-3) = 9 และ -3 < 0 แลว้ -5 > -3

3. ครูและนกั เรียนชว่ ยกนั ทําตวั อย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 1
ถ้า a, b, c และ d เป็นจาํ นวนจรงิ ใดๆ จงพจิ ารณาแตล่ ะข้อต่อไปน้ีถูกหรือผดิ เพราะเหตใุ ด

1. ถ้า a > b และ c > d แลว้ a - c > b - d [ a = 5, b = (-1), c = 4, d = (-6)
ผิด เพราะ 5 > (-1) และ 4 > (-6)
แต่ 5 - 4 < (-1) – (-6)

2. ถา้ a > b และ c > d แล้ว a - d > b - c

ถกู เพราะ a > b ……………………………….(1)

c > d ……………………………….(2)

เอา -1 คูณทัง้ สองข้างของสมการ

-c < -d

นั่นคอื -d > -c ……………………………….(3)

(1) + (3) จะได้ a + (-d) > b + (-c)

3. ถา้ a > b แล้ว a2 > b2 [ a = (-1) , b = 3 ]
ผิด เพราะ -1 > -3 แต่ (-1)2 = 1 < (-3)2 = 9

4. ถ้า ac > bc และ c ≠ 0 แล้ว a > b [ a = 5, b =(-2), c = 7 ]
ผิด เพราะ 5(-2) = -10 > 7(-2) = -14 แต่ 5 < 7

5. ถา้ a ≠ 0 และ b ≠ 0 ถ้า a > b แล้ว 1 < 1 [ a = 5, b = (-2) ]
a b
1 1
ผดิ เพราะ 5 > -2 แต่ 5 > -2

4. ใหน้ ักเรียนทําแบบฝึกหดั ท่ี 4 ในเอกสารประกอบการสอน หนา้ 23 – 24
5. ครูและนกั เรียนรว่ มกนั เฉลยคาํ ตอบ อภปิ ราย ซกั ถาม ในข้อทน่ี ักเรยี นส่วนใหญท่ าํ ผดิ

6. ครูอธบิ ายเกีย่ วกบั เรื่องช่วง

บทนิยาม เม่อื เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจาํ นวนจรงิ และ a < b

ช่วงเปดิ (a, b) หมายถงึ {x | a < x < b}

ชว่ งปิด [a, b] หมายถึง {x | a ≤ x ≤ b}

ช่วงครง่ึ เปิด (a, b] หมายถึง {x | a < x ≤ b}

ชว่ งครึง่ เปิด [a, b) หมายถึง {x | a ≤ x < b}

ชว่ ง (a, ∞) หมายถึง {x | x > a}

ช่วง [a, ∞) หมายถึง {x | x ≥ a}

ชว่ ง (-∞, a) หมายถงึ {x | x < a}

ชว่ ง (-∞, a] หมายถึง {x | x ≤ a}

ช่วงปิด (-∞,∞) หมายถึง เซตของจํานวนจริง R

ตัวอย่างท่ี 2 จงเขยี นกราฟแทนช่วงตอ่ ไปนี้
1. (2, 6)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
2. [ 2, 6 ]

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

3. (-3, 1 ]
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

4. [ -1, 4)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

5. (2, ∞)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

6. [ -1, ∞)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

7. (-∞, 0)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

8. (-∞, 2 ]

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
9. (-∞, ∞)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

6. ใหน้ กั เรียนฝึกปฏิบัติการเขียนช่วงใหอ้ ยู่ในรปู แบบของเซต และวาดกราฟประกอบ ในแบบฝึกหดั
ท่ี 5 จากเอกสารประกอบการสอน หนา้ ท่ี 35 - 38

ตัวอยา่ งท่ี 3 กําหนดให้ A = (3, 6] และ B = [-3, 5) จงหา A
1. A ∪ B

B

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

นน่ั คือ A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B }

ดังน้นั A ∪ B [-3, 6]

2. A ∩ B BA

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

น่ันคือ A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
ดังนัน้ A ∩ B (3, 5)

3. B - A BA

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

น่ันคือ B - A = {x | x ∈ B ∧ x ∉ A }
ดังน้ัน B - A = [-3, 3]

4. A′
A

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

น่นั คอื A′ = {x | x ∈ U ∧ x ∉ A }
ดงั นัน้ A′ = [(-∞, 3)∪(6, ∞)]

7. ให้นกั เรียนทําแบบฝึกหดั ท่ี 5 ในเอกสารประกอบการสอน หน้า 39 – 40
8. ครูและนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคําตอบ อภปิ ราย ซักถาม ในข้อทน่ี ักเรียนส่วนใหญท่ ําผดิ
ขน้ั สรปุ
9. นักเรยี นและครูร่วมกนั สรปุ เรอ่ื งสมบัติของการไมเ่ ทา่ กันและช่วง