แผนการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม4 1

4) ∃x[ x < 5] , U = {6 , 7 , 8}
วิธที ํา ∃x[ x < 5] มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ เม่ือ U = {6 , 7 , 8}

เพราะวา่ ไม่ว่าจะแทน x ดว้ ย 6 , 7 หรือ 8 ใน x < 5 จะได้ประพจนท์ ี่เป็นเทจ็ เสมอ

ตวั อย่างที่ 2 จงหาคา่ ความจรงิ ของประโยคที่มีตวั บ่งปรมิ าณตอ่ ไปน้ี เมื่อ U = {-1 , 0 , 1}
1) ∀x[ x < 0 → x2 > 0]

วิธที าํ จาก U = {-1 , 0 , 1}
เมือ่ x = -1 , -1 < 0 เป็นจรงิ → (-1)2 > 0 เป็นจรงิ ∴ ขอ้ ความเป็นจรงิ
x = 0 , 0 < 0 เปน็ เทจ็ → (0)2 > 0 เปน็ เทจ็ ∴ ข้อความเป็นจรงิ
x = 1 , 1 < 0 เปน็ เท็จ → (1)2 > 0 เป็นจริง ∴ ข้อความเป็นจรงิ
ดังน้ัน ∀x[ x < 0 → x2 > 0] มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง
2) ∀x[ x < 0] → ∀x [x2 > 0]

วิธที ํา จาก U = {-1 , 0 , 1}

∀x[ x < 0] ∀x [x2 > 0]
เมอ่ื x = -1 , -1 < 0 เปน็ จรงิ เมือ่ x = -1 , (-1)2 > 0 เปน็ จริง

x = 0 , 0 < 0 เปน็ เทจ็ x = 0 , (0)2 > 0 เป็นเท็จ
x = 1 , 1 < 0 เปน็ เทจ็ x = 1 , (1)2 > 0 เป็นจรงิ

จะได้ ∀x[ x < 0] มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ และ ∀x [x2 > 0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ดงั นั้น ∀x[ x < 0] → ∀x [x2 > 0] มีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ

9. นักเรียนทําแบบฝกึ หัดในเอกสารประกอบการสอน
10. นักเรยี นร่วมกันเฉลยคําตอบบนกระดาน ครรู ่วมตรวจสอบความถกู ต้อง
11. ครูแนะนําประโยคเปิดทม่ี ีตวั บ่งปริมาณ 2 ตัว
12. สุ่มนักเรียน 3 – 4 คน ออกมาเขยี นประโยคเปดิ ท่ีมตี ัวแปรบนกระดาน
13. นักเรียนร่วมกันปรบั ประโยคบนกระดานให้อยู่ในรปู ประพจน์
14. ครูแนะนาํ การหาคา่ ความจรงิ ของประโยคท่ีมตี ัวบ่งปรมิ าณ 2 ตัว อธบิ ายซกั ถามโดยร่วมกนั
พิจารณาจากตัวอยา่ งดงั น้ี

สาํ หรบั ตัวบ่งปริมาณที่มมี ากกวา่ 1 ตวั หมายถึง ตวั บ่งปริมาณที่ใช้ขยายความประโยคเปิด
ท่ีมีตัวแปรมากกว่า 1 ตวั จึงจะทราบค่าความจรงิ ของประโยคเปดิ เชน่

1) ∀x∀y[P(x,y)] หมายความว่า “สาํ หรบั x และ y ทกุ ตวั ซึ่ง P(x,y)”
2) ∀x∃y[P(x,y)] หมายความวา่ “สาํ หรบั x ทกุ ตัวมี y บางตัว ซ่ึง P(x,y)”
3) ∃x∀y[P(x,y)] หมายความว่า “มี x บางตัวสําหรบั y ทกุ ตวั ซ่งึ P(x,y)”
4) ∃x∃y[P(x,y)] หมายความวา่ “มี x บางตัวสําหรบั y บางตวั ซึ่ง P(x,y)”

ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาค่าความจริงของ ∀x∀y[x + y ≥ 0] เมอื่ กําหนด U = {0, 1, 2}
วิธีทํา เม่ือ x = 0 และ y = 0 จะได้ 0 + 0 ≥ 0 เป็นจรงิ

เมือ่ x = 0 และ y = 1 จะได้ 0 + 1 ≥ 0 เปน็ จรงิ
เมือ่ x = 0 และ y = 2 จะได้ 0 + 2 ≥ 0 เปน็ จริง
เมื่อ x = 1 และ y = 0 จะได้ 1 + 0 ≥ 0 เปน็ จรงิ
เม่ือ x = 1 และ y = 1 จะได้ 1 + 1 ≥ 0 เปน็ จริง
เมื่อ x = 1 และ y = 2 จะได้ 1 + 2 ≥ 0 เปน็ จริง
เมือ่ x = 2 และ y = 0 จะได้ 2 + 0 ≥ 0 เป็นจรงิ
เมื่อ x = 2 และ y = 1 จะได้ 2 + 1 ≥ 0 เป็นจรงิ
เมื่อ x = 2 และ y = 2 จะได้ 2 + 2 ≥ 0 เป็นจรงิ
ดังนน้ั ∀x∀y[x + y ≥ 0] มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาคา่ ความจริงของ ∀x∀y[x - y ≥ 0] เมื่อกําหนด U = {0, 1, 2}
วิธีทํา เมอื่ x = 0 และ y = 0 จะได้ 0 - 0 ≥ 0 เปน็ จริง

เมอื่ x = 0 และ y = 1 จะได้ 0 - 1 ≥ 0 เป็นเท็จ *
เมื่อ x = 0 และ y = 2 จะได้ 0 - 2 ≥ 0 เป็นเท็จ *
เม่อื x = 1 และ y = 0 จะได้ 1 - 0 ≥ 0 เป็นจริง
เมอื่ x = 1 และ y = 1 จะได้ 1 - 1 ≥ 0 เปน็ จรงิ
เมอ่ื x = 1 และ y = 2 จะได้ 1 - 2 ≥ 0 เปน็ เท็จ *
เมอ่ื x = 2 และ y = 0 จะได้ 2 - 0 ≥ 0 เป็นจริง
เม่อื x = 2 และ y = 1 จะได้ 2 - 1 ≥ 0 เปน็ จริง
เมอื่ x = 2 และ y = 2 จะได้ 2 - 2 ≥ 0 เปน็ จรงิ
ดงั น้นั ∀x∀y[x + y ≥ 0] มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าความจรงิ ของ ∀x∃y[x + y = 2] เม่ือกําหนด U = {-1, 0, 1}
วิธีทาํ เมือ่ x = -1 ไม่มีคา่ y ที่ทําให้ -1 + y = 2 ( F )

เมื่อ x = 0 ไม่มีคา่ y ท่ที าํ ให้ 0 + y = 2 ( F )
เมอื่ x = 1 มี y = 1 ท่ีทาํ ให้ 1 + 1 = 2 ( T )

จะเห็นวา่ มเี พยี งกรณีเดียวท่ีเปน็ จริง ดงั นน้ั ∀x∃y[x + y = y] มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาคา่ ความจรงิ ของ ∃x∀y[x = y = y] เม่ือกําหนด U = {0, 1, 2}
วธิ ีทาํ เม่ือ y = 0 มี x = 0 ทท่ี ําให้ 0 + 0 = 0 ( T )

เม่อื y = 1 มี x = 0 ทีท่ ําให้ 0 + 1 = 1 ( T )
เม่อื y = 2 มี x = 0 ท่ที ําให้ 0 + 2 = 2 ( T )

จะเหน็ ว่าสามารถหาค่า x ท่ีทําให้เปน็ จริงได้ทุกกรณี ดังนน้ั ∃x∀y[x = y = y]
มีค่าความจริงเปน็ จริง

15. นักเรียนร่วมกันสรุปข้ันตอนการหาคา่ ความจริงของประโยคทีม่ ีตัวบง่ ปริมาณ 2 ตวั

ขน้ั สรุป
19. นักเรียนและครูรว่ มกนั เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 5 ในเอกสารประกอบการสอนหน้าท่ี 113 - 114

ชัว่ โมงที่ 22-24
ขัน้ นํา
1. ครูและนักเรยี นชว่ ยกนั ทบทวนบทเรยี นเรื่อง สัจนิรนั ดรโ์ ดยใชต้ ัวอย่างท่ี 1

ตัวอย่างท่ี 1 จงพจิ ารณาวา่ ประพจน์ [p ∧ (p → q)] → q เปน็ สัจนิรันดรห์ รือไม่

วธิ ที ํา [p ∧ (p → q)] → q

F

T F
TT ประพจน์ q ขดั แย้งกนั

TT

เน่ืองจากประพจน์ยอ่ ย q มีค่าความจริงขดั แยง้ กนั
ดงั นั้น [p ∧ (p → q)] → q เปน็ สจั นิรันดร์

2. ครอู ธบิ ายความหมายส่วนประกอบของการอา้ งเหตผุ ลและตัวเช่อื ม การอา้ งเหตผุ ลประกอบดว้ ย

สว่ นสาํ คญั สองสว่ นคอื เหตุหรอื ส่ิงทก่ี าํ หนดให้ประกอบไปด้วยประพจน์ย่อย P1, P2, … , Pnและผลหรือ
ขอ้ สรปุ ซงึ่ เป็นผลสรปุ จากเหตุ แทนด้วย C

3. ครูและนักเรยี นรว่ มกันสรปุ ความหมายส่วนประกอบของการอ้างเหตุผล

ขน้ั สอน
4. ครอู ธบิ ายวิธกี ารอ้างเหตผุ ล
การอา้ งเหตุผลอาจจะสมเหตุสมผลหรือไมส่ มเหตุสมผลกไ็ ดซ้ ึง่ สามารถตรวจสอบได้โดยใช้

ตัวเชื่อม ∧ เช่ือมเหตุท้ังหมดเข้าด้วยกันและใช้ตัวเช่ือม → เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกบั ผล ในการตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลใช้วิธีเดียวกบั การตรวจสอบสจั นริ ันดร์ ถา้ รูปแบบเป็นสจั นิรนั ดร์การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลแตถ่ า้
รปู แบบไมเ่ ป็นสจั นิรันดร์การอ้างเหตุผลไม่สมเหตุสมผลโดยใชต้ วั อยา่ งท่ี 2, 3

ตัวอย่างท่ี 2 จงพจิ ารณาว่าการอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนสี้ มเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1. ถ้า 3 เปน็ จํานวนคีแ่ ลว้ 3 + 6 = 9
2. 3 + 6 ≠ 9
ผล 3 เปน็ จาํ นวนคู่

วธิ ที าํ ให้ p แทน 3 เปน็ จาํ นวนค่ี
q แทน 3 + 6 = 9

เขียนขอ้ ความข้างต้นในรปู สัญลกั ษณ์คอื
เหตุ 1. p → q
2. ~q
ผล ~q

ขั้นที่ 1 ใช้ ∧ เช่ือมเหตุเขา้ ด้วยกันและใช้ → เชื่อมส่วนที่เป็นเหตกุ ับผลจะไดร้ ูปแบบของประพจน์ คือ

[(p → q) ∧ ~q] → ~ p
ขน้ั ท่ี 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจนว์ า่ เป็นสัจนิรนั ดร์หรอื ไม่

[ (p → q) ∧ ~q ] →F ~ p

T F

T T
TT F

ประพจน์ q ขดั แย้งกนั

เนอื่ งจาก ประพจน์ q มีคา่ ความจริงขดั แย้งกัน แสดงวา่ รปู แบบของประพจน์

[(p → q) ∧ ~q] → ~ p เปน็ สจั นิรนั ดร์ ดังนน้ั การอา้ งเหตุผลนี้สมเหตุสมผล
ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาวา่ การอ้างเหตุผลตอ่ ไปน้สี มเหตุสมผลหรอื ไม่

เหตุ 1. p → q
2. ~p

ผล ~q

ข้นั ท่ี 1 ใช้ ∧ เช่ือมเหตเุ ข้าด้วยกนั และใช้ → เชื่อมส่วนท่เี ป็นเหตกุ ับผลจะไดร้ ปู แบบของประพจน์ คอื

[(p → q ∧ ~p] → ~ q

ข้นั ที่ 2 ตรวจสอบรูปแบบของประพจนว์ ่าเปน็ สจั นิรนั ดร์หรือไม่

[ (p → q) ∧ ~p ] → ~ q
F

TF

TT T

FT F

ประพจน์ p และ q มีคา่ ความจริงไมข่ ดั แยง้ กัน
เนอื่ งจาก ประพจน์ p และ q มีค่าความจรงิ ไม่ขดั แยง้ กนั แสดงวา่ รูปแบบของประพจน์

[(p → q ∧ ~p] → ~ q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ดังน้นั การอา้ งเหตุผลน้ีไม่สมเหตสุ มผล

5. ครแู ละนกั เรียนชว่ ยกนั ทาํ ตวั อย่างที่ 4

ตัวอย่างที่ 4 จงพจิ ารณาว่าการอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปนส้ี มเหตสุ มผลหรือไม่
เหตุ 1. p → q
2. p → r
ผล 3. p ∧ s

r→s

ข้ันท่ี 1 ใช้ ∧ เชื่อมเหตุเข้าด้วยกนั และใช้ → เชื่อมส่วนทเี่ ป็นเหตกุ บั ผลจะได้รปู แบบของประพจน์
คือ [(p → q) ∧ (p → r) ∧ (p ∧ s)] → (r → s)

ขัน้ ที่ 2 ตรวจสอบรปู แบบของประพจนว์ ่าเปน็ สจั นริ ันดร์หรอื ไม่

[(p → q) ∧ (p → r) ∧ (p ∧ s)] →F (r → s)
TF

T T T TF

TT TT TT

ประพจน์ s มีค่าความจริงขดั แย้ง

เนอ่ื งจาก ประพจน์ s มคี า่ ความจริงขดั แย้งกันแสดงว่ารูปแบบของประพจน์

[(p → q) ∧ (p → r) ∧ (p ∧ s)] → (r → s) เปน็ สัจนริ ันดร ์
ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตสุ มผล

ข้ันสรปุ
6. นกั เรียนและครูรว่ มกันสรปุ ความรเู้ ร่ืองการอ้างเหตุผล
7. นกั เรียนทําแบบฝกึ หัดที่ 6 ในเอกสารประกอบการสอน หนา้ ที่ 118 - 122

6. การวดั และประเมินผล เครือ่ งมอื / วธิ กี ารวดั เกณฑ์
แบบประเมิน และประเมนิ ผล การประเมนิ
สง่ิ ทต่ี ้องการวัด
1. มีความคดิ รวบยอด - แบบทดสอบก่อนเรียน - ตรวจแบบทดสอบ - เกณฑ์การผา่ น
เก่ียวกบั ระบบจาํ นวนจริง หลังเรียน รอ้ ยละ 75 ขึ้นไป

2. นักเรยี นมีคณุ ลักษณะอัน - แบบประเมนิ - ประเมินคณุ ลักษณะ - เกณฑ์การผา่ น

พงึ ประสงค์ คุณลักษณะ อนั พงึ ประสงค์ คะแนนเฉล่ยี ระดับ

อนั พึงประสงค์ ดี ร้อยละ 80 ขึน้ ไป

บันทกึ หลังการจดั กจิ กรรมการเรยี นการสอน
รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม รหสั วิชา ค31201

แผนการจัดการเรยี นรทู้ …่ี ……เรือ่ ง………………………………..ระดับชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี…… เวลา……..ชัว่ โมง

1. การเข้าเรียน
จํานวนนักเรียนทงั้ ส้นิ ……………..คน เข้าเรียน…………………คน คิดเปน็ ร้อยละ……………….

2. ผลการสอน

2.1 ความเหมาะสมของระยะเวลา ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง

2.2 ความเหมาะสมของเน้ือหา ดมี าก ดี พอใช้ ปรับปรงุ

2.3 ความเหมาะสมของกิจกรรมการเรียนการสอน

ดีมาก ดี พอใช้ ปรบั ปรงุ

2.4 ความเหมาะสมของส่อื ทใ่ี ช้ ดมี าก ดี พอใช้ ปรบั ปรุง

2.5 พฤติกรรม / การมีสว่ นรว่ มของนักเรยี น

ดมี าก ดี พอใช้ ปรบั ปรุง

2.6 ผลการปฏบิ ตั กิ จิ กรรม / ใบกิจกรรม / การทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

2.6.1 ด้านความร(ู้ K)
คะแนนจากแบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนกอ่ นเรียน

จํานวนนกั เรยี นท้ังสนิ้ ………………..คน

ผา่ นเกณฑ์…………………คน คิดเปน็ ร้อยละ……………….
ไม่ผา่ นเกณฑ์……………..คน คิดเป็นรอ้ ยละ……………….

2.6.2 ดา้ นทักษะกระบวนการ (P)

จํานวนนกั เรยี น ดเี ยย่ี ม ดี พอใช้ ปรับปรุง
ท้งั หมด (คน)

จาํ นวน รอ้ ยละ จาํ นวน ร้อยละ จํานวน รอ้ ยละ จาํ นวน ร้อยละ
(คน) (คน) (คน) (คน)

นักเรียนที่ผา่ นการประเมินจาํ นวน.........................คน คดิ เปน็ ร้อยละ.................
นักเรียนทไ่ี มผ่ า่ นการประเมินจํานวน.....................คน คิดเปน็ ร้อยละ.................

2.6.3 จุดประสงค์ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พ่ึงประสงค์ (A)

จํานวน ดเี ยีย่ ม ดี พอใช้ ปรับปรงุ
นักเรยี น
ท้งั หมด (คน) จํานวน รอ้ ยละ จาํ นวน ร้อยละ จํานวน ร้อยละ จํานวน รอ้ ยละ
(คน) (คน) (คน) (คน)

นกั เรยี นทผ่ี า่ นการประเมนิ จาํ นวน.........................คน คดิ เป็นร้อยละ.................
นกั เรยี นทไี่ มผ่ า่ นการประเมนิ จํานวน.....................คน คดิ เปน็ ร้อยละ.................

3. ปัญหาและอปุ สรรค
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

4. ขอ้ เสนอแนะ / แนวทางแกไ้ ข
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชื่อ....................................................
( นายบรรณรต สกุณา)

ตําแหนง่ ครู วทิ ยฐานะครูชํานาญการพิเศษ
โรงเรยี นหนองบวั พทิ ยาคาร

7. ข้อเสนอแนะของหวั หน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้

มอี งค์ประกอบของแผนครบถ้วนสมบูรณ์ และถกู ต้องตามหลักวชิ าการ .

มกี ิจกรรมการเรียนรู้เน้นผู้เรยี นเป็นสําคญั ใช้สื่อและแหล่งเรียนรู้ที่หลากหลายเหมาะสม .

มกี ารวัดและประเมินผลสอดคล้องกับจดุ ประสงค์และกระบวนการจัดการเรยี นรู้โดยใช้ .

วิธกี ารท่ีหลากหลาย .

แผนการจัดการเรยี นรู้นาํ ไปสู่การปฏิบตั ิได้สอดคล้องกับหลักสูตรบรบิ ทสภาพของผู้เรียนและชมุ ชน

........................................................................................................................................................................

ลงชือ่ ...........................................................
(นายพงษ์พชิ ติ พรมสิทธ์ิ)

หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
วันท่ี............เดอื น................................พ.ศ...............

ข้อเสนอแนะของหัวหน้างานวดั ผลและประเมนิ ผลการศกึ ษา
มอี งค์ประกอบของแผนครบถ้วนสมบรู ณ์และถูกต้องตามหลักวิชาการ
มกี จิ กรรมการเรียนรู้เน้นผู้เรียนเป็นสาํ คัญ
มกี ารใช้ส่ือและแหล่งเรียนรู้หลากหลายเหมาะสม
มกี ารวดั และประเมนิ ผลครอบคลมุ พฤติกรรมพุทธิพิสยั จิตพสิ ยั ทักษะพสิ ัย

........................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื .............................................................
(นางสาวจนั ทริ า แวงวงษ์)

หัวหน้างานวัดผลและประเมินผลการศกึ ษา
วนั ที่............เดือน................................พ.ศ...............

ข้อเสนอแนะของผู้บรหิ ารสถานศึกษา
ใช้จดั กิจกรรมการเรียนการสอนได้
ขอให้นเิ ทศตดิ ตามผลการใช้ แผนการจัดการเรียนรู้ เพอื่ นาํ ไปพัฒนางานต่อไป

…............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื .............................................................
(นายพฤทธิ์พล ชารี)

รองผู้อํานวยการกลุ่มบริหารวชิ าการ
วันที่............เดือน................................พ.ศ...............