แผนการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม4 1

ชว่ั โมงที่ 19-21
ข้นั นํา
1. ครทู บทวนเรอ่ื งการแก้อสมการในช้นั ม.ตน้ และเรอื่ งชว่ งในคาบทแ่ี ล้ว

การแก้อสมการ คอื การหาเซตคาํ ตอบของอสมการ การแก้อสมการนิยมใชส้ มบตั ิสองข้อ
1. การบวกท้งั สองขา้ งของอสมการด้วยจาํ นวนจริง
2. การคูณท้ังสองข้างของอสมการด้วยจํานวนจรงิ

ตวั อย่างการแก้อสมการตวั แปรเดยี วดกี รหี นึ่ง

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาคาํ ตอบของอสมการ 2x < 4

วิธที าํ 2x < 4

2x < 4
2 2

x <2

คําตอบของอสมการ คอื จาํ นวนจรงิ ทุกจํานวนทมี่ ีค่าน้อยกว่า 2

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคาํ ตอบของอสมการ 2 < 2x - 4 < 6

วธิ ีทํา 2 < 2x – 4 < 6

2 + 4 < 2x – 4 + 4 < 6 + 4

6 < 2x < 10

6 < 2x < 10
2 2 2

3< x <5

คาํ ตอบของอสมการ 2 < 2x - 4 < 6 คอื (3 , 5)
แล้วอธบิ ายวา่ ถ้านําจาํ นวนบวกมา คณู หรือหาร จะไม่มผี ลตอ่ เครื่องหมายของอสมการ แตถ่ า้ นาํ

จํานวนลบมาคูณหรอื หารจะมีผลตอ่ เคร่ืองหมายต้องเปลย่ี นเครื่องหมาย < เปน็ > , > เปน็ <

ข้ันสอน
2. สง่ิ ทค่ี วรระวังในการแก้อสมการ

1. ถา้ นาํ ตัวเลขจํานวนลบ มาคูณหรือหาร จะมีผลตอ่ เคร่ืองหมายของอสมการโดยจะต้อง
เปลยี่ นเครอ่ื งหมายของอสมการ ดังน้ี

จาก > ให้เปล่ียนเปน็ <
< ใหเ้ ปลยี่ นเปน็ >
≥ ให้เปล่ยี นเปน็ ≤
≤ ใหเ้ ปลี่ยนเป็น ≥

2. ถ้านําตวั เลขจาํ นวนบวก มาคูณหรือหาร จะไม่มผี ลต่อเครื่องหมายของอสมการ
3. การย้ายข้างเปลีย่ นบวกไปเปน็ ลบ หรือลบไปเป็นบวก หรือเพ่มิ เขา้ และลบออกทง้ั สองขา้ ง ไม่มี
ผลตอ่ การเปลย่ี นเครื่องหมายของอสมการ
4. ถ้ามีตวั แปร เช่น x - 2 ไมส่ ามารถนาํ มาคูณหรอื หารในอสมการได้เนื่องจากไม่ทราบแนช่ ดั วา่ เป็น
จาํ นวนบวกหรือลบ แต่สามารถนาํ (x – 2)2 ซงึ่ เป็นจาํ นวนบวกหรอื ศนู ย์ มาคูณหรือหารอสมการได้ โดยไมม่ ี
ผลต่อเคร่ืองหมายของอสมการ

3. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกนั ทําตัวอย่างการแก้อสมการกําลังหนง่ึ

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาคําตอบของอสมการ 7 < 5 - 2x < 17
วิธีทํา
วิธีที่ 1

เอา 5 ลบตลอด 7 – 5 < 5 - 2x - 5 < 17 – 5

2 < - 2x < 12

เอา -2 หารตลอด 2> -2x > 12

-2 -2 -2

-1 > x > -6

คําตอบของอสมการ -6 < x < -1

วธิ ที ี่ 2

7 < 5 - 2x และ 5 -2x < 17

7 - 5 < 5 - 2x - 5 และ 5 -2x - 5 < 17 - 5

7 - 5 < -2x และ -2x < 17 - 5

2 < -2x และ -2x < 12

-2 > 2x และ 2x > -12

-1 > x และ x > -6

x < -1 และ x > -6

คาํ ตอบของอสมการ คือ -6 < x < -1

คําตอบของอสมการ คือ (-6, -1)

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาคําตอบของอสมการ 9x + 1 < 21 - x < 1 - 3x

วธิ ีทํา ตอ้ งแยกพิจารณาเป็นสองกรณีคอื

9x + 1 < 21 - x และ 21 - x < 1 - 3x

9x + x < 21-1 และ -x + 3x < 1- 21

10x < 20 และ 2x < -20

x<2 และ x < -10

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

ดังนัน้ x ∈ (-∞, 2) ∩ (-∞, -10)
คาํ ตอบของอสมการ คอื (-∞, -10)

ตวั อย่างที่ 5 จงหาคําตอบของอสมการ -3x - 2 ≤ 10 ≤ 3x + 1

วิธที ํา ต้องแยกพิจารณาเปน็ สองกรณีคอื

-3x - 2 ≤ 10 และ 10 ≤ 3x + 1

-3x – 2 + 2 ≤ 10 + 2 และ 10- 1 ≤ 3x + 1 - 1

-3x ≤ 12 และ 9 ≤ 3x

x ≥ -4 และ 3 ≤ x

x ≥ -4 และ x ≥ 3

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

ดังน้นั x ∈ [4, ∞) ∩ [3, ∞)
คาํ ตอบของอสมการ คือ [3, ∞)

4. ใหน้ ักเรยี นฝึกปฏบิ ัติการเขียนคําตอบของอสมการเป็นเซตแบบบอกเง่ือนไข และเสน้ จํานวน ใน
เอกสารประกอบการสอน หนา้ 40 – 43

5. ครแู ละนักเรียนรว่ มกันเฉลยคําตอบ อภิปราย ซกั ถาม ในข้อท่ีนักเรียนส่วนใหญ่ทําผิด
6. การแก้อสมการกาํ ลังมากกวา่ หนงึ่

การแกอ้ สมการกําลงั มากกว่าหน่ึง ตอ้ งอาศยั การแยกตวั ประกอบและใช้หลกั จํานวนบวกคณู
จาํ นวนบวกเปน็ จํานวนบวก จํานวนลบคณู จาํ นวนลบเป็นจํานวนบวก จาํ นวนบวกคณู จํานวนลบเปน็ จํานวนลบ
และจาํ นวนลบคูณจํานวนบวกเปน็ จาํ นวนลบ

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงหาคาํ ตอบของอสมการ x2 - x - 6 ≤ 0
วิธีทาํ x2 - x - 6 ≤ 0

(x – 3)(x + 2) ≤ 0
แยกพิจารณาเป็น 2 กรณี
กรณที ี่ 1 x – 3 ≤ 0 และ x + 2 ≥ 0

x ≤ 3 และ x ≥ -2

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

ดงั นัน้ x ∈ {(-2, ∞)∩(-∞, 3)}

นน่ั คอื คําตอบของอสมการ คือ [-2, 3]

กรณีที่ 2 x - 3 ≥ 0 และ x+2 ≤ 0
x ≤ -2
x ≥ 3 และ เปน็ ไปไม่ได้

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

ดงั นั้น ไม่มจี าํ นวนจริงใดๆทีท่ ําใหอ้ สมการนเ้ี ปน็ จริง
คําตอบของอสมการ คอื [-2, 3]

ตัวอย่างที่ 7 จงหาคาํ ตอบของอสมการ x2 + 2x - 15 > 0
วธิ ีทํา x2 + 2x - 15 > 0

(x + 5) (x – 3) > 0

แยกคดิ เปน็ 2 กรณี

กรณที ี่ 1 x + 5 > 0 และ x – 3 > 0

x > -5 และ x>3

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

ดังนนั้ x ∈ (-5, ∞) ∩ (3, ∞) x–3 < 0
น่นั คอื คําตอบของอสมการ คอื (3, ∞) x<3
กรณีที่ 2 x + 5 < 0 และ

x < -5 และ

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

ดงั น้นั x ∈ (-∞,-5) ∩ (-∞, 3)
นนั่ คือคําตอบของอสมการ คอื (-∞, -5)

จากกรณีที่ 1 และกรณที ่ี 2 จะไดว้ ่าคําตอบของอสมการ คือ (-∞, -5) ∪ (3, ∞)
คําตอบของอสมการ คือ (-∞, -5) ∪ (3, ∞)

จากตัวอย่างท่ี 7 การพจิ ารณาหาคาํ ตอบของอสมการ x2 + 2x - 15 = 0 จะรวดเร็วขน้ึ ถ้า
รวบขนั้ ตอนในการทํา กลา่ วคอื แทนที่จะพิจารณาแยกเปน็ กรณี อาจเรม่ิ โดยเขยี นรปู แสดงค่าของ
x + 5 และ x - 3 วา่ เป็นจํานวนบวกเมือ่ ไร เป็นจาํ นวนลบเมือ่ ไร แลว้ ดูว่าในชว่ งใดท่ผี ลคณู ของ
สองจาํ นวนดังกลา่ วมีค่าตามต้องการ ดังนี้

x–3<0 x–3>0 x–3=0 x–3>0

x+5<0 x+5=0 x+5<0 x+5>0

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

จากรปู จะเห็นวา่ เสน้ จาํ นวนถูกแบง่ ออกเปน็ 3 ช่วงคือ (-∞, -5) ∪ (-5, 3) และ (3,∞)

จดุ แบง่ คือ จุดที่ทําให้ x + 5 = 0 และ x - 3 = 0 เรยี ก -5 และ 3 วา่ จดุ วิกฤต

ในช่วง (-∞, -5) ; (x + 5)(x - 3) > 0 (จํานวนลบคณู จํานวนลบ)

ในชว่ ง (-5, 3) ; (x + 5)(x - 3) < 0 (จํานวนลบคณู จาํ นวนบวก)

ในชว่ ง (3,∞) ; (x + 5)(x - 3) > 0 (จํานวนบวกคณู จาํ นวนบวก)

เซตคาํ ตอบจงึ เป็น (-∞, -5) ∪ (3,∞)

ตวั อย่างท่ี 8 จงหาคําตอบของอสมการ x2 + 2x - 15 < 0
วธิ ที าํ x2 + 2x - 15 < 0

(x + 5)(x - 3) < 0

+- +

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

คําตอบของอสมการคือ (-5, 3)

ตวั อย่างท่ี 9 จงหาคาํ ตอบของอสมการ 2x2 + 5x - 12 ≤ 0
วิธีทาํ 2x2 + 5x - 12 ≤ 0

(2x - 3)(x + 4) ≤ 0

+ - +

-4 3
2

คาํ ตอบของอสมการคือ [-4, ଷ]

ଶ

ตัวอยา่ งท่ี 10 จงหาคําตอบของอสมการ 3x2 + 10x - 8 > 0
วธิ ีทํา 3x2 + 10x - 8 > 0

(3x - 2)(x + 4) > 0

+- +

-4 2
คําตอบของอสมการ คือ (-∞, -4) ∪ (23, ∞) 3

ตวั อยา่ งท่ี 11 จงหาคําตอบของอสมการ (x + 5)(x - 3)(x + 1) < 0

วธิ ีทํา (x + 5)(x - 3)(x + 1) < 0 - +

-+

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

คาํ ตอบของอสมการ คอื (-∞, -5) ∪ (-1, 3)

ตัวอยา่ งท่ี 12 จงหาคําตอบของอสมการ x3 - 2x2 - x + 2 ≤ 0 - +
วิธีทํา x3 - 2x2 - x + 2 ≤ 0
12 3
(x3 - 2x2 ) + (-x + 2) ≤ 0
(x3 - 2x2 ) - (x - 2) ≤ 0
x2(x - 2) - (x - 2) ≤ 0
(x - 2)( x2 - 1) ≤ 0
(x - 2)(x - 1)(x + 1) ≤ 0

-+

-4 -3 -2 -1 0

คาํ ตอบของอสมการ คอื (-∞, -1] ∪ [1, 2]

7. ใหน้ กั เรียนทําแบบฝึกหดั ในเอกสารประกอบการสอน หนา้ 44 – 47
8. ครูและนกั เรียนร่วมกันเฉลยคาํ ตอบ อภปิ ราย ซักถาม ในขอ้ ท่ีนักเรียนส่วนใหญท่ าํ ผิด

ขั้นสรุป
9. นักเรยี นและครรู ว่ มกันสรปุ เร่ืองการแก้อสมการโดยถ้านาํ จํานวนบวกมา คณู หรือหาร จะไมม่ ีผลต่อ
เครื่องหมายของอสมการ แตถ่ ้านําจํานวนลบมาคูณหรือหารจะมผี ลต่อเครื่องหมายต้องเปล่ยี น
เครอื่ งหมาย < เปน็ > , > เป็น <

ชว่ั โมงท่ี 22-24

ขั้นนํา

1. ครูทบทวนเร่ืองการแกอ้ สมการทเ่ี รียนในคาบทแี่ ล้ว แล้วอธบิ ายวา่ ถ้านําจาํ นวนบวกมา คณู หรือ
หาร จะไม่มีผลต่อเคร่ืองหมายของอสมการ แต่ถ้านําจํานวนลบมาคณู หรือหารจะมผี ลตอ่ เคร่ืองหมายต้อง
เปลยี่ นเครือ่ งหมาย < เปน็ > , > เป็น <

2. ครูและนกั เรียนรว่ มกันทบทวนโดยการทาํ ตัวอยา่ ง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคําตอบของอสมการ 6x - 15 < 8x + 7

วธิ ที าํ 6x - 15 < 8x + 7

6x - 8x < 7 +15

-2x < 22

-2x > 22

-2 -2

x> -11

ตอบ คําตอบของอสมการ 6x - 15 < 8x + 7 คอื (-11, ∞)

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาคาํ ตอบของอสมการ x2 - 5x + 4 ≥ 0 +
วิธีทํา x2 - 5x + 4 ≥ 0
4
(x - 4)(x -1) ≥ 0

+-

1

คําตอบของอสมการ x2 - 5x + 4 ≥ 0 คอื (-∞, 1] ∪ [4, ∞)

ขัน้ สอน
3. ครอู ธิบายการแก้อสมการเศษสว่ นพหุนาม

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาคาํ ตอบของอสมการ 2x+6 > x–2
2
2x+6
วิธที ํา จาก 2 > x–2

เอา 2 คณู ทั้งสองข้างของอสมการ

2x + 6 > 2x - 4

2x - 2x > - 4 - 6

0 > -10 เปน็ จรงิ เสมอ

คาํ ตอบของอสมการ คือ R

ตวั อย่างที่ 4 จงหาคาํ ตอบของอสมการ 2x - 3- x > 5x + 3 - 1
4 3 12

วธิ ีทาํ จาก 2x - 3 - x > 5x + 3- 1
3 12
4

เอา 12 คูณทัง้ สองขา้ งของอสมการ +
3(2x - 3) - 4x > 5x + 3 - 12

6x - 9 - 4x > 5x - 9
2x - 9 > 5x - 9
2x - 5x > -9 + 9
-3x > 0
ିଷ୶ < ଴

ଷଷ

x<0
คําตอบของอสมการ คือ x < 0

-

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

ตอบ คาํ ตอบของอสมการ คือ (-∞, 0)

4. การแก้อสมการท่มี ีตัวแปรท้ังเศษและส่วน จะต้องทาํ ให้เหลอื เฉพาะตวั แปรของเศษ โดย
การนาํ ยกกาํ ลงั คู่คณู ตลอดและเซตคําตอบทไ่ี ด้จะต้องไมร่ วมกบั ตวั แปรที่เป็นตัวสว่ น

ตัวอยา่ งที่ 5 จงหาคําตอบของอสมการ x + 3 ≥ 0
x-4

วธิ ีทํา x + 3 ≥ 0
x-4

นาํ (x - 4)2 คณู ท้ังสองข้างของอสมการ

x + 3 (x - 4)2 ≥0

x-4

(x + 3)(x - 4) ≥0 โดยที่ x ≠ 4

+- +

-3 4
ตอบ คาํ ตอบของอสมการ คือ (-∞, -3] ∪ (4, ∞)

ตวั อย่างที่ 6 จงหาคาํ ตอบของอสมการ x 1 > -1
+3
1
วธิ ีทํา x+3 > -1

1 +1 >0

x+3

1 + x+ 3 >0

x+3 x+3

1+(x+ 3) >0
x+3

x+ 4 >0
x+3

นํา (x + 3)2 คูณท้งั สองขา้ งของอสมการ

x+ 4 (x + 3)2 >0
x+ 3

(x + 4)(x + 3) > 0 โดยท่ี x ≠ -3

+ - +

-4 -3

ตอบ คําตอบของอสมการ คือ (-∞, -4) ∪ (-3, ∞)

ตัวอย่างที่ 7 จงหาคําตอบของอสมการ 2 –3 ≤ 4 +1
x
x
4
วิธที ํา 2 –3 ≤ x +1

2 x
x 4
-3- x -1 ≤0

2 – 3x – 4 - ୶ ≤0

x x x୶

2 - 3x - 4 - x ≤0
x

-4x - 2 ≤0
x

-2(2x + 1ሻ ≤0
x

(2x + 1) ≥0
x

นํา x2 คณู ทงั้ สองข้างของอสมการ

(2x + 1) ( x2) ≥ 0
x

(2x + 1) x ≥ 0 โดยท่ี x ≠ 0

+- +

10

−2

ตอบ คาํ ตอบของอสมการ คือ (-∞, − ଵ ] ∪ (0, ∞)

ଶ

ตัวอย่างท่ี 8 จงหาคาํ ตอบของอสมการ x2 - 37 ≥ -4
x+4

วธิ ที าํ x2 - 37 ≥ -4
x+4

x2 - 37 +4 ≥0
x+4

x2 - 37 + 4(x + 4) ≥0
x+4 x+4

x2 - 37 + 4x + 16 ≥0
x+4

x2 + 4x - 21 ≥0
x+4

นาํ (x + 4)2 คูณทั้งสองขา้ งของอสมการ

x2 + 4x -21 (x + 4)2 ≥0
x+4
(x2 + 4x - 21)(x + 4) ≥ 0
โดยที่ x ≠ -4
(x - 3)(x + 7)(x + 4) ≥ 0 โดยท่ี x ≠ -4

-+ - +

-7 -4 3
ตอบ คาํ ตอบของอสมการ คือ [-7, -4) ∪ [3, ∞)

ตัวอยา่ งที่ 9 จงหาคําตอบของอสมการ x2 >x
x+1
x2
วิธีทาํ x+1 >x

x2 -x >x

x+1

x2 - x(x+1) >0

x+1 x+1

x2- x(x+1) >0
x+1

x2- x2- x >0
x+1

-x >0
x+1 <0

x
x+1

นาํ (x + 1)2 คณู ทั้งสองข้างของอสมการ
x 1(x + 1)2 <
x + 0

x (x+1) < 0 โดยที่ x ≠ -1

+- +

-1 0
≤0
ตอบ คาํ ตอบของอสมการ คือ (-1, 0)
โดยท่ี x ≠ 5
ตวั อยา่ งท่ี 10 จงหาคําตอบของอสมการ x2 + 2x - 3
x-5

วิธที ํา x2 + 2x - 3 ≤0

x-5

(x+3)(x - 1) ≤ 0
x-5

นาํ (x - 5)2 คูณท้งั สองขา้ งของอสมการ

(x+3)(x - 1) (x - 5)2 ≤ 0
x-5

(x + 3)(x - 1)(x - 5) ≤ 0

-+ - +

-3 1 5

ตอบ คําตอบของอสมการ คือ (-∞, -3) ∪ [1, 5)

5. ครอู ธิบายเกี่ยวกับการแก้อสมการในรปู ตดิ กรณฑ์

ตวั อย่างท่ี 11 จงหาคําตอบของอสมการ √x − 3 ≥ 4

วธิ ีทาํ √x − 3 ≥ 4
ยกกําลงั สองท้งั สองข้างของอสมการ

x – 3 ≥ 16 และ x – 3 ≥ 0

x ≥ 16 + 3 และ x ≥ 3

x ≥ 19

3 19
ดังน้นั คาํ ตอบของอสมการ คอื [19, ∞)

ตวั อยา่ งที่ 12 จงหาคาํ ตอบของอสมการ √x + 2 - √‫ ≤ ݔ‬3

วิธีทํา √x + 2 - √‫ ≤ ݔ‬3

√x + 2 ≤ 3 + √‫ݔ‬

ยกกําลังสองทัง้ สองข้างของอสมการ

x + 2 ≤ 9 + 6√‫ ݔ‬+ x และ x + 2 ≥ 0 และ x ≥ 0
และ x + 2 ≥ 0 และ x ≥ 0
x + 2 ≤ 9 + 6√‫ ݔ‬+ x และ x ≥ -2 และ x ≥ 0

-7 ≤ 6√‫ݔ‬ และ x ≥ 0

ି଻ ≤ √‫ݔ‬ และ x ≥ 0
଺
และ x ≥ 0

0

ดงั นน้ั คําตอบของอสมการ คอื [0, ∞)

6. ใหน้ ักเรยี นทําแบบฝึกหัดในเอกสารประกอบการสอน หนา้ 48 – 55
7. ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันเฉลยคาํ ตอบ อภปิ ราย ซกั ถาม ในข้อท่นี ักเรียนสว่ นใหญท่ ําผิด

ข้ันสรุป
8. นักเรียนและครรู ว่ มกันสรุปเร่ืองการแก้อสมการเศษส่วนพหุนาม แล้วอธบิ ายวา่ ถา้ นาํ จาํ นวนบวกมา
คณู หรือหาร จะไม่มผี ลต่อเครื่องหมายของอสมการ แต่ถา้ นําจาํ นวนลบมาคณู หรือหารจะมผี ลตอ่ เคร่ืองหมาย
ต้องเปลย่ี นเคร่ืองหมาย < เปน็ > , > เป็น <

ชั่วโมงที่ 25-27
ขั้นนาํ
1. ครูทบทวนความรู้เดิมเรอ่ื ง คา่ สมั บรู ณ์ใหน้ กั เรยี น

ค่าสมั บูรณ์ (Absolute Value)

บทนยิ าม
กําหนดให้ a เปน็ จํานวนจรงิ ใดๆ

a , a>0
|a| = ൝ 0 , a = 0

-a , a < 0

จากบทนยิ ามจะกลา่ วได้วา่ ถ้ามจี าํ นวนจริง a ใดๆ เปน็ จุดบนเส้นจํานวน ให้เรยี กระยะห่าง
ระหว่าง 0 กบั จาํ นวนจริง a ใดๆ น้ันวา่ คา่ สมั บูรณ์ของจาํ นวนจรงิ a เขียนแทนด้วย | a |

| -4 | = 4 |2| = 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2

จะเห็นไดว้ ่าระยะหา่ งน้นั จะเปน็ ไปได้แค่ศูนย์ กับบวกเท่าน้ันเป็นลบไมไ่ ด้
จากบทนยิ ามของค่าสมั บรู ณจ์ ะไดว้ า่

ทฤษฎบี ทท่ี 1 เมื่อ x และ y เปน็ จํานวนจริงใดๆ

1. | x | ≥ 0 นน่ั คือเปน็ บวกกับศนู ย์เท่านน้ั เปน็ ลบไม่ได้

2. | x | = | -x |

3. | xy | = | x | | y |

4. ቚ ௫ቚ = |௫|
| ௬|
௬

5. | x - y | = | y - x |

6. | x | = √x2
7. | x |2 = | x2 | = x2

8. | x + y | ≤ | x | + | y |

8.1 ถา้ หาก x กบั y มีเครอ่ื งหมายเหมือนกนั หรือบางตัวเป็นศูนย์ (xy ≥ 0)
จะได ้ | x + y | = | x | + | y |

8.2 ถ้าหาก x กับ y มีเครื่องหมายต่างกนั (xy < 0) แลว้ จะได ้ | x + y | < | x | + | y |

9. | x - y | ≤ | x | + | y |
9.1 ถา้ หาก x กับ y มีเครอื่ งหมายต่างกนั หรอื บางตัวเป็นศนู ย์ (xy ≤ 0)

แลว้ จะได้ | x - y | = | x | + | y |
9.2 ถา้ หาก x กับ y มีเครื่องหมายเหมือนกนั (xy > 0) แล้วจะได ้ | x - y | < | x | + | y |

2. ครอู ธิบายทฤษฎีบทเพิ่มเติมเกี่ยวกับค่าสัมบรู ณ์
ทฤษฎบี ทที่ 2 เม่ือ a เปน็ จํานวนจริงบวก

1. | x | < a ความหมายตรงกับ -a < x < a
2. | x | ≤ a ความหมายตรงกับ -a ≤ x ≤ a

ทฤษฎีบทท่ี 2 เม่ือ a เปน็ จํานวนจรงิ บวก x < -a หรอื x > a
- x ≤ -a หรือ x ≥ a
1. | x | > a ความหมายตรงกับ
2. | x | ≥ a ความหมายตรงกับ

ขัน้ สอน
3. ครูและนักเรียนชว่ ยกันทําตวั อย่างท่ี 1

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ
1. | -5 | = 5

2. | 3(-9) | = | 3 | | -9 |

= 3 × 9 = 27
ตัวอย่างท่ี 2 จงหาค่าของ

1. | -5 | = 5

2. | 3(-9)| = | 3 | | -9 |

= 3×9
= 27

3. ฬ27ฬ = |27|
-3 ห-3ห
= 27
3
=9

4. √72 = | 7 |
5. | 4 |2 = 42

= 16

4. ใหน้ กั เรียนทําแบบฝึกหัดท่ี 6 หนา้ 58 – 59 ในเอกสารประกอบการสอน
5. ครอู ธบิ ายและยกตัวอย่างการแก้สมการในรูปค่าสมั บูรณ์

ทฤษฎีบท
เมือ่ a เป็นจํานวนจริงบวก
ถ้า | x | = a แล้ว x = a หรอื x = - a

การแก้สมการคา่ สัมบรู ณ์ ตอ้ งกําจดั ค่าสมั บูรณ์ออกไปก่อน ซงึ่ สามารถทําได้โดยใชน้ ยิ ามคา่ สัมบรู ณ์
หรือทฤษฎีบทเกีย่ วกบั คา่ สัมบูรณ์ ซง่ึ มีรูปแบบดังนี้

รูปแบบท่ี 1 กาํ หนด P(x) เป็นพหุนามมีตวั แปร x
ถา้ | P(x) | = a กต็ ่อเม่ือ P(x) = a หรอื P(x) = - a

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ | x | = 2

วธิ ีทํา จาก | x | = 2
จะได ้ x = 2 หรอื x = -2

เซตคาํ ตอบของสมการ คือ {-2, 2}

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาเซตคําตอบของสมการ | x + 4 | = 7

วิธที ํา จาก | x + 4 | = 7
จะได ้ x + 4 = 7 หรือ x + 4 = -7
x = 3 หรอื x = -11

เซตคําตอบของสมการ คอื {-11, 3}

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ | x - 4 | = -5

วธิ ีทํา เนือ่ งจาก | x - 4 | ≥ 0 เสมอ

ไม่มจี าํ นวนจรงิ x ใด ๆ ท่ีทาํ ให้ | x - 4 | = -5
ดงั นน้ั เซตคําตอบคือ Ø

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาเซตคําตอบของสมการ x2 - 4x + 3 = 1
วธิ ที ํา จาก x2 - 4x + 3 = 1
จะได้ x2 - 4x + 3 = 1 หรือ x2 - 4x + 3 = -1
x2 - 4x + 2 = 0 x2 - 4x + 4 = 0
(x2 - 4x + 4) – 2 = 0 หรือ
(x - 2)2 = 0
(x - 2)2 - ൫√2൯ଶ = 0 หรอื x–2 = 0
x–2 = 0
หรือ

(x – 2 + √2)(x – 2 - √2) = 0 หรือ

x = x – 2 + √2 , x – 2 - √2
เซตคาํ ตอบของสมการ คอื { 2 - √2 , 2 + √2 , 2}

รูปแบบท่ี 2 กาํ หนด P(x) และ Q(x) เป็นพหนุ ามมีตวั แปร x
ถ้า | P(x) | = | Q(x) | ก็ต่อเมื่อ P(x) = Q(x) หรอื P(x) = - Q(x)

ตัวอยา่ งท่ี 7 จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ | x - 8 | = | 4 + 3x |

วิธีทํา

วธิ ที ่ี 1 | x - 8 | = | 4 + 3x |

จะได้ x – 8 = 4 + 3x หรือ x - 8 = -(4 + 3x)
x – 8 = -4 – 3x
x – 3x = 4 + 8 หรอื x – 8 = -4 – 3x

x – 3x = 4 + 8 หรอื 4x = 4
x =1
- 2x = 12 หรือ

x = -6 หรอื

เซตคาํ ตอบของสมการ คือ {-6, 1}

วิธีท่ี 2 จาก | x - 8 | = | 4 + 3x |

ยกกําลงั สองท้ังสองขา้ งของสมการ | 4 + 3x |2
| x - 8 |2 = (4 + 3x)2
(x - 8)2 9x2 + 24x + 16
x2 – 16x + 64 = 0
0
8x2 + 40x – 48 =

x2 + 5x – 6 =

=

(x - 1)(x + 6) =0

จะได้ เซตคําตอบของสมการ คือ {-6, 1}

รปู แบบที่ 3 กาํ หนด P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามมีตวั แปร x
ถา้ | P(x) | = | Q(x) | ก็ต่อเมื่อ P(x) = Q(x) หรอื P(x) = - Q(x)

และ Q(x) ≥ 0

ตัวอย่างท่ี 8 จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ | 2x - 5 | = -x + 3

วิธที ํา

วธิ ีทํา 1 จาก | 2x - 5 | = -x + 3

จะได้ 2x - 5 = -x + 3 และ –x + 3 ≥ 0 2x - 5 = -(-x + 3) และ –x + 3 ≥ 0

2x + x = 3 + 5 และ –x + 3 ≥ 0 2x - 5 = x – 3 และ –x + 3 ≥ 0

3x = 8 และ x ≤ 3 x = 2 และ x ≤ 3

x = 8 และ x≤3 x = 2 และ x ≤ 3
3

จะได้ เซตคําตอบของสมการ คอื {2, 83}

วธิ ีทาํ 2 จาก | 2x - 5 | = -x + 3

ยกกาํ ลังสองทงั้ สองข้างของสมการ
| 2x - 5 |2 = (-x + 3)2
(2x - 5)2 = (-x + 3)2
4x2 – 20x + 25 = x2 -6x + 9
3x2 – 14x + 16
=0

(3x - 8)(x - 2) = 0

จะได้ เซตคาํ ตอบของสมการ คือ {2, 38}

ตวั อย่างที่ 9 จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ | 5x - 3 | = 4x + 1
วิธีทาํ

วิธีทํา 1 จาก | 5x - 3 | = 4x + 1

จะได้ 5x - 3 = 4x + 1 และ 4x + 1 ≥ 0 5x - 3 = -(4x + 1) และ 4x + 1 ≥ 0

5x - 4x = 1 + 3 และ 4x ≥ -1 5x - 3 = -4x – 1 และ 4x ≥ -1

x = 4 และ x ≥ -1 9x = 2 และ x ≥ -1
4 x =2 4

9 และ x ≤ -1
4
จะได้ เซตคาํ ตอบของสมการ คอื {29, 4}

วิธที าํ 2 จาก | 5x - 3 | = 4x + 1

ยกกําลงั สองท้ังสองขา้ งของสมการ
| 5x - 3 |2 = (4x + 1)2
(5x - 3)2 = (4x + 1)2
25x2 – 30x + 9 = 16x2 + 8x + 1
9x2 – 38x + 8
=0

(9x - 2)(x - 4) = 0

จะได้ เซตคําตอบของสมการ คือ {29, 4}

รปู แบบท่ี 4 กาํ หนด P(x) เป็นพหนุ ามมตี ัวแปร x
ถา้ | P(x) | = P(x) ก็ตอ่ เมือ่ P(x) ≥ 0

ตัวอยา่ งท่ี 10 จงหาเซตคําตอบของสมการ | 2x - 5 | = 2x - 5

วิธีทาํ จาก | 2x - 5 | = 2x – 5

จะได้ 2x – 5 ≥ 0

2x ≥ 5

x ≥ 5
2
เซตคาํ ตอบของสมการ คอื {x | x ≥ 52}

รูปแบบที่ 5 กาํ หนด P(x) เปน็ พหนุ ามมตี ัวแปร x
ถา้ | P(x) | = - P(x) กต็ อ่ เมื่อ P(x) ≤ 0

ตัวอยา่ งที่ 11 จงหาเซตคําตอบของสมการ | 4x - 3 | = 3 - 4x

วิธีทํา จาก | 4x - 3 | = 3 - 4x

| 4x - 3 | = - (4x - 3)

จะได้ 4x – 3 ≤ 0

4x ≤ 3

x ≤ 3
4
เซตคําตอบของสมการ คอื {x | x ≤ 43}

6. ให้นกั เรยี นทาํ แบบฝึกหัดท่ี 4 ในเอกสารประกอบการสอน หนา้ 59 – 63
7. ครูและนักเรียนร่วมกนั เฉลยคําตอบ อภิปราย ซกั ถาม ในขอ้ ท่นี ักเรียนสว่ นใหญ่ทาํ ผดิ

ข้ันสรุป
8. นกั เรียนและครูรว่ มกนั สรุปเรอื่ งคา่ สัมบรู ณแ์ ละการแก้สมการในรปู คา่ สัมบูรณค์ ือสมการที่มีพจน์
บางพจน์หรอื ทัง้ หมดอยูใ่ นรปู คา่ สัมบูรณ์ เราจาํ เปน็ ต้องขจัดเครื่องหมายคา่ สัมบูรณใ์ หห้ มายไปเสยี ก่อนเพื่อนให้
เหลอื สมการในแบบธรรมดาหลังจากนน้ั จึงใช้วิธีแก้สมการแบบธรรมดา

ช่ัวโมงท่ี 28-30

ข้ันนาํ

1. ครูทบทวนความรู้เรื่องการแกอ้ สมการให้กบั นกั เรียนนัน่ คือ ถ้านาํ จาํ นวนบวกมา คูณหรอื หาร จะไม่
มผี ลต่อเคร่ืองหมายของอสมการ แตถ่ ้านาํ จํานวนลบมาคูณหรอื หารจะมผี ลต่อเคร่ืองหมายตอ้ งเปลี่ยน
เครอื่ งหมาย ≤ เป็น ≥ , ≥ เป็น ≤

2. ครอู ธิบายความรเู้ ร่อื งการแกอ้ สมการในรปู คา่ สัมบูรณ์

ทฤษฎบี ทที่ใชใ้ นการแก้อสมการทีอ่ ยู่ในรูปคา่ สมบูรณ์ คอื

1. ถา้ a > 0

1.1 | x | < a ก็ตอ่ เมือ่ -a < x < a

1.2 | x | ≤ a กต็ อ่ เมื่อ -a ≤ x ≤ a

1.3 | x | > a ก็ตอ่ เมอ่ื x > a หรือ x < - a

1.4 | x | ≥ a กต็ ่อเมื่อ x ≥ a หรอื x ≤ - a
2. | x | ≥ | y | ก็ต่อเมอื่ x2 ≥ y2

ขัน้ สอน
3. ครูและนักเรียนชว่ ยกนั ทาํ ตวั อย่างท่ี 1

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคําตอบของอสมการ | 2x – 1 | < 5

วิธที ํา จาก | 2x – 1 | < 5

จะได้ - 5 < 2x – 1 < 5
< 5+1
- 5 + 1 < 2x – 1 + 1 < 6

- 4 < 2x < 6
<
-4 < 2x 2
2
2 3
-2 <
x

ดงั นนั้ x ∈ (-∞, 3) ∩ (-2, ∞)
คาํ ตอบของอสมการ คือ (-2, 3)

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาคาํ ตอบของอสมการ | 3x + 1 | ≥ 2

วธิ ที ํา จาก | 3x + 1 |

3x + 1 ≥ 2 หรอื 3x + 1 ≤ -2

3x + 1 - 1 ≥ 2 - 1 หรอื 3x + 1 - 1 ≤ -2 – 1

3x ≥ 1 หรือ 3x ≤ -3

3x ≥ 1 หรือ 3x ≤ -3
3 3 3 3

X ≥ ଵ หรอื x ≤ -1
ଷ
1,
ดังนั้น x ∈ (-∞, -1] ∪ [ ∞)
3
1,
คําตอบของอสมการ คือ (-∞, -1] ∪ [ ∞)
3

ตัวอย่างที่ 3 จงหาคาํ ตอบของอสมการ | 2x +3| ≤ 2
5
2x
วิธีทาํ จาก | 5 + 3 | ≤ 2

จะได้ -2 - 3 ≤ 2x + 3 - 3 ≤ 2–3
≤ -1
5 ≤ - 1(5)
2x ≤ -5
-5 ≤ 5

- 5(5) ≤ 2x (5)
5

- 25 ≤ 2x

- 25 ≤ 2x ≤ -5
2 2 2

- 25 ≤ x ≤ -5
2 2

ดงั นน้ั x ∈ (-∞, - 225] ∪ [ - 5 , ∞)
2

คําตอบของอสมการ คือ (-∞, - 225] ∪ [ - 5 , ∞)
2

ตวั อย่างที่ 4 จงหาคาํ ตอบของอสมการ | 2x - 3 | ≥ 3x – 1

วิธที าํ จาก | 2x - 3 | ≥ 3x – 1

จะได้ 2x – 3 ≥ 3x – 1 หรอื 2x – 3 ≤ -(3x – 1)

2x – 3x ≥ -1 + 3 หรอื 2x + 3x ≤ 1 + 3

- x ≥ 2 หรือ 5x ≤ 4

-x ≥ 2 หรอื x ≤ 4
5
4
ดังนน้ั x ∈ (-∞, -2] ∪ (-∞, 5 ]

คาํ ตอบของอสมการ คือ [-∞, 4 )
5

ตัวอย่างที่ 5 จงหาคําตอบของอสมการ | 3x + 4 | < 4 + x

วิธที ํา จาก | 3x + 4 | < 4 + x

จะได้ -(4 + x) < 3x + 4 < 4+x

-4 – x < 3x + 4 < 4+x

แยกพิจารณาเป็น 2 กรณี คือ

-4 – x < 3x + 4 และ 3x + 4 < 4+x

– x – 3x < 4 + 4 และ 3x - x < 4–4

- 4x < 8 และ 2x <0

- 4x < 8 และ 2x <0
4 4
<0
- x < 2 และ x <0

x > -2 และ x

ดงั นนั้ x ∈ (-∞, 0) ∩ (-2, ∞]
คาํ ตอบของอสมการ คือ (-2, 0)

ตวั อย่างที่ 6 จงหาคําตอบของอสมการ ቚ48x + 18ቚ > 1
2
ቚ48x + 18ቚ 1
วิธีทาํ วธิ ที ี่ 1 จาก > 2

ቚ4x + 1ቚ > 1
8 2
|4x+1| 1
|8| > 2

|4x+1| > 1 (8)
2

|4x+1| > 4

นนั่ คือ 4x + 1 > 4 หรือ 4x + 1 < - 4

4x > 4 - 1 หรอื 4x < - 4 - 1

4x > 3 หรือ 4x < - 5

x > 3 หรอื x < -5
4 4

ดังนั้น x ∈ (-∞, - 45) ∪ (34, ∞]

วธิ ที ี่ 2 จาก ቚ48x + 18ቚ > 1
2

4x + 1 > 1 หรือ 4x + 1 < - 1
8 8 2 8 8 2

4x+1 > 1 หรือ 4x+1 < -1
2 8
8 2
หรือ 4x + 1
4x + 1 >4 หรอื 4x < -4
4x หรอื 4x
4x >3 < -5
หรือ x
x >3 < -5

> 3 < -5
4 4

ดงั น้ัน x ∈ (-∞, - 45) ∪ (43, ∞)
คาํ ตอบของอสมการ คือ (-∞, - 45) ∪ (34, ∞)

ตัวอยา่ งที่ 7 จงหาคาํ ตอบของอสมการ | 3x - 1 | < | 2x - 5 |

วิธที าํ จาก | 3x - 1 | < | 2x - 5 |
จะได้ | 3x - 1 |2 < | 2x - 5 |2
(3x - 1)2 < (2x - 5)2
9x2 - 6x + 1 < 4x2 – 20x + 25
5x2 + 14x - 24
<0

(x + 4)(5x – 6) < 0

จากการแก้อสมการจะได้ -4 < x < 6
5
ดังนนั้ x ∈ (- 4, 56)
คําตอบของอสมการ คือ (- 4, 56)

ตวั อย่างท่ี 8 จงหาคําตอบของอสมการ | x - 3 | ≥ | 2x - 1 |

วิธีทาํ จาก | x - 3 | ≥ | 2x - 1 |
จะได้ | x - 3 |2 ≥ | 2x - 1 |2
(x - 3)2 ≥ (2x - 1)2
x2 – 6x + 9 ≥ 4x2 – 4x + 1
-3x2 – 2x + 8
3x2 + 2x - 8 ≥0

≤0

(3x - 4)(x + 2) ≤ 0

จากการแกอ้ สมการจะได้ -2 < x < 4
3
ดังนัน้ x ∈ (- 2, 43)
คําตอบของอสมการ คือ (- 2, 43)

ตวั อย่างท่ี 9 จงหาคําตอบของอสมการ ቚ2x - 3ቚ ≥ 1
ቚ3x -1ቚ

วธิ ีทํา จาก ቚ2x - 3ቚ ≥1
ቚ3x -1ቚ

จะได้ | 2x - 3 | ≥ | 3x - 1 |
| 2x - 3 |2 ≥ | 3x - 1 |2
(2x - 3)2 ≥ (3x - 1)2
4x2 – 12x + 9 ≥ 9x2 – 6x + 1
-5x2 – 6x + 8
5x2 + 6x - 8 ≥0

≤0

(5x - 4)(x + 2) ≤ 0

จากการแก้อสมการจะได้ -2 < x < 4 และ x≠ 1
5 3
1 1 4
-2 < x < 3 หรอื 3 < x < 5

ดังนนั้ x ∈ ( -2, 31) ∪ (13, 4 )
5
13) (13, 4
คําตอบของอสมการ คือ ( -2, ∪ 5 )

4. ใหน้ ักเรยี นทาํ แบบฝึกหัดในเอกสารประกอบการสอน หนา้ 63 – 69
5. ครแู ละนักเรียนร่วมกันเฉลยคาํ ตอบ อภิปราย ซกั ถาม ในข้อท่ีนักเรยี นสว่ นใหญท่ าํ ผดิ

ขน้ั สรุป
6 . นักเรียนและครรู ่วมกันสรุปเร่อื งการแก้อสมการในรูปค่าสมั บรู ณค์ ืออสมการที่มีพจน์บางพจนห์ รือ
ทั้งหมดอยูใ่ นรปู คา่ สัมบูรณ์ เราจาํ เป็นต้องขจดั เคร่ืองหมายค่าสัมบูรณ์ใหห้ มดไปเสียก่อนเพ่อื ให้เหลอื อสมการ
ในแบบธรรมดาหลงั จากนั้นจงึ ใชว้ ิธีแกอ้ สมการแบบธรรมดา
7. นักเรียนทําแบบทดสอบหลังเรยี น

6. การวัดและประเมนิ ผล เครือ่ งมอื / วิธีการวดั เกณฑ์
แบบประเมนิ และประเมินผล การประเมนิ
สง่ิ ท่ตี ้องการวดั
1. มีความคิดรวบยอด - แบบทดสอบก่อนเรยี น - ตรวจแบบทดสอบ - เกณฑ์การผา่ น
เกย่ี วกับระบบจาํ นวนจรงิ หลงั เรยี น ร้อยละ 75 ขน้ึ ไป

2. นักเรียนมีคณุ ลักษณะอัน - แบบประเมนิ - ประเมินคุณลักษณะ - เกณฑ์การผา่ น

พงึ ประสงค์ คณุ ลกั ษณะ อันพงึ ประสงค์ คะแนนเฉลีย่ ระดับ

อนั พงึ ประสงค์ ดี ร้อยละ 80 ขน้ึ ไป

บันทกึ หลังการจดั กจิ กรรมการเรยี นการสอน
รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม รหสั วิชา ค31201

แผนการจัดการเรยี นรทู้ …่ี ……เรื่อง………………………………..ระดับชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี…… เวลา……..ชัว่ โมง

1. การเข้าเรียน
จํานวนนักเรียนทงั้ ส้นิ ……………..คน เข้าเรียน…………………คน คิดเปน็ ร้อยละ……………….

2. ผลการสอน

2.1 ความเหมาะสมของระยะเวลา ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง

2.2 ความเหมาะสมของเน้ือหา ดมี าก ดี พอใช้ ปรับปรงุ

2.3 ความเหมาะสมของกิจกรรมการเรียนการสอน

ดีมาก ดี พอใช้ ปรบั ปรงุ

2.4 ความเหมาะสมของส่อื ทใ่ี ช้ ดมี าก ดี พอใช้ ปรบั ปรุง

2.5 พฤติกรรม / การมีสว่ นรว่ มของนักเรยี น

ดมี าก ดี พอใช้ ปรบั ปรุง

2.6 ผลการปฏบิ ตั กิ จิ กรรม / ใบกิจกรรม / การทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

2.6.1 ด้านความรู้(K)
คะแนนจากแบบทดสอบวัดผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนกอ่ นเรียน

จํานวนนกั เรียนท้ังสนิ้ ………………..คน

ผา่ นเกณฑ์…………………คน คิดเปน็ ร้อยละ……………….
ไม่ผา่ นเกณฑ์……………..คน คิดเป็นรอ้ ยละ……………….

2.6.2 ดา้ นทักษะกระบวนการ (P)

จํานวนนกั เรยี น ดเี ยย่ี ม ดี พอใช้ ปรับปรุง
ท้งั หมด (คน)

จาํ นวน รอ้ ยละ จาํ นวน ร้อยละ จํานวน รอ้ ยละ จาํ นวน ร้อยละ
(คน) (คน) (คน) (คน)

นักเรียนทผี่ า่ นการประเมินจาํ นวน.........................คน คดิ เปน็ ร้อยละ.................
นักเรียนท่ไี มผ่ า่ นการประเมินจํานวน.....................คน คิดเปน็ ร้อยละ.................

2.6.3 จดุ ประสงคด์ ้านคุณลกั ษณะอนั พึ่งประสงค์ (A)

จํานวน ดีเยยี่ ม ดี พอใช้ ปรบั ปรงุ
นักเรยี น
ท้งั หมด (คน) จาํ นวน รอ้ ยละ จํานวน ร้อยละ จาํ นวน ร้อยละ จาํ นวน รอ้ ยละ
(คน) (คน) (คน) (คน)

นกั เรียนท่ผี ่านการประเมนิ จาํ นวน.........................คน คิดเปน็ รอ้ ยละ.................
นกั เรยี นทไี่ มผ่ ่านการประเมินจาํ นวน.....................คน คิดเปน็ ร้อยละ.................

3. ปัญหาและอุปสรรค
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

4. ข้อเสนอแนะ / แนวทางแก้ไข
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

ลงชื่อ....................................................
( นายบรรณรต สกุณา)

ตําแหน่งครู วทิ ยฐานะครูชาํ นาญการพิเศษ
โรงเรยี นหนองบัวพิทยาคาร

7. ข้อเสนอแนะของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรยี นรู้

มอี งค์ประกอบของแผนครบถ้วนสมบรู ณ์ และถกู ต้องตามหลักวชิ าการ .

มกี ิจกรรมการเรียนรู้เน้นผู้เรยี นเป็นสําคญั ใช้สื่อและแหล่งเรียนรู้ที่หลากหลายเหมาะสม .

มกี ารวัดและประเมินผลสอดคล้องกับจุดประสงค์และกระบวนการจัดการเรยี นรู้โดยใช้ .

วิธกี ารท่หี ลากหลาย .

แผนการจัดการเรยี นรู้นาํ ไปสู่การปฏิบัติได้สอดคล้องกับหลักสูตรบรบิ ทสภาพของผู้เรียนและชมุ ชน

........................................................................................................................................................................

ลงชือ่ ...........................................................
(นายพงษ์พชิ ติ พรมสิทธ์ิ)

หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
วันท่ี............เดอื น................................พ.ศ...............

ข้อเสนอแนะของหัวหน้างานวดั ผลและประเมนิ ผลการศกึ ษา
มอี งค์ประกอบของแผนครบถ้วนสมบรู ณ์และถูกต้องตามหลักวิชาการ
มกี จิ กรรมการเรียนรู้เน้นผู้เรียนเป็นสําคัญ
มกี ารใช้ส่ือและแหล่งเรียนรู้หลากหลายเหมาะสม
มกี ารวดั และประเมนิ ผลครอบคลมุ พฤติกรรมพุทธิพิสยั จิตพสิ ยั ทักษะพสิ ัย

........................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื .............................................................
(นางสาวจนั ทริ า แวงวงษ์)

หัวหน้างานวัดผลและประเมินผลการศกึ ษา
วนั ที่............เดือน................................พ.ศ...............

ข้อเสนอแนะของผู้บรหิ ารสถานศึกษา
ใช้จดั กิจกรรมการเรียนการสอนได้
ขอให้นเิ ทศตดิ ตามผลการใช้ แผนการจดั การเรียนรู้ เพอื่ นาํ ไปพัฒนางานต่อไป

…............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื .............................................................
(นายพฤทธิ์พล ชารี)

รองผู้อํานวยการกลุ่มบรหิ ารวชิ าการ
วันที่............เดือน................................พ.ศ...............

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 2 เรอ่ื ง ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้น
รหัสวชิ า ค 31201 รายวิชา คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม 1
ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศึกษา 2565
กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
เวลา 24 ชว่ั โมง
ผ้สู อน นายบรรณรต สกณุ า
วนั ที่………เดือน……………….พ.ศ.2565

1. ผลการเรยี นรู้
5. บอกไดว้ า่ ประโยคใดเป็นประพจน์ พร้อมทัง้ หาคา่ ความจริงของประพจน์ได้
6. บอกรปู แบบของประพจน์ทสี่ มมลู กนั ได้
7. ตรวจสอบรปู แบบของประพจน์ท่กี ําหนดให้ วา่ เป็นสัจนริ นั ดรห์ รอื ไม่
8. ตรวจสอบความสมเหตสุ มผลของการอ้างเหตผุ ลที่กําหนดให้ได้
9. หาคา่ ความจรงิ ของประโยคทีม่ ีตัวบ่งปรมิ าณได้2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
1. จําแนกขอ้ ความทีเ่ ป็นประพจน์หรือไม่เป็นประพจน์ได้
2. หาคา่ ความจรงิ ของประพจนแ์ ตล่ ะประพจน์ได้
3. บอกชนิดของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ และเทียบคาํ ในภาษาไทยท่ีมคี วามหมายเหมือนกับตัวเชอื่ ม

นั้นๆ ได้
4. เปลีย่ นประพจน์ที่อยใู่ นรูปขอ้ ความใหอ้ ยู่ในรูปสญั ลกั ษณ์ได้
5. หาคา่ ความจริงของประพจน์ทมี่ ีตัวเช่อื มได้
6. จดั ลําดับขั้นตอนการหาค่าความจริงของประพจน์ท่ีมีตัวเชอื่ ม
7. หาค่าความจรงิ ของประพจนท์ ี่มีตวั เชือ่ มได้
8. เขยี นคา่ ความจรงิ ของประพจน์ n ประพจน์ ในกรณีต่าง ๆ 2n กรณี
9. หาค่าความจรงิ ของประพจนย์ ่อยได้
10. สร้างตารางหาคา่ ความจริงของประพจน์ผสมได้
11. หารปู แบบของประพจนท์ ี่สมมลู กันได้
12. หารูปแบบของประพจนท์ ี่เป็นนเิ สธกนั ได้
13. บอกความหมายของคาํ ว่าสัจนิรันดร์ได้ถกู ตอ้ ง
14. แสดงการตรวจสอบความเปน็ สจั นิรันดร์ของรปู แบบของประพจน์ทก่ี าํ หนดให้ได้โดยการ

สร้างตารางคา่ ความจริง
15 แสดงการตรวจสอบความเป็นสจั นิรนั ดร์โดยใชห้ าขอ้ ขดั แยง้
16 บอกได้ว่ารูปแบบของประพจน์ท่ีกําหนดใหร้ ูปแบบใดเป็นสจั นิรนั ดร์
17 หาคา่ ความจริงของประพจน์ในรูปแบบต่างๆ หานเิ สธ สมมูลสจั นริ นั ดร์ของประพจน์ได้
18. บอกลักษณะของประโยคเปดิ ได้
19. เขยี นประโยคสัญลกั ษณ์ของประพจนท์ ่ีมีตัวบง่ ปริมาณได้

20. สรปุ ค่าความจรงิ ของตัวบ่งปรมิ าณ ∀x และ ∃x วา่ เปน็ จรงิ หรือเป็นเท็จเมื่อใด
21. หาค่าความจริงของประโยคทีม่ ีตัวบง่ ปริมาณ 1 ตัว ได้

22. สรปุ ขั้นตอนการหาคา่ ความจริงของประโยคท่มี ีตวั บง่ ปริมาณ 2 ตวั ได้
23. หาค่าความจริงของประโยคทีม่ ตี ัวบ่งปริมาณ 2 ตัว ได้
24. บอกขัน้ ตอนการตรวจสอบการอา้ งเหตผุ ลได้
25. เปลย่ี นเหตแุ ละผลท่ีกาํ หนดให้อยู่ในรูปของสญั ลักษณ์ของการอ้างเหตผุ ล และทําการตรวจสอบ
โดยใช้ตารางคา่ ความจริง
26. ตรวจสอบการอ้างเหตผุ ลโดยใช้กฎของการอ้างเหตุผลได้

3. สาระสาํ คญั / ความคดิ รวบยอด
1. ต้องร้จู ักในเร่ืองตรรกศาสตร์คือ ประพจน์ ข้อความหรือประโยคทมี่ ีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง (T) หรือ

เทจ็ (F) อยา่ งใดอย่างหนง่ึ ส่วนขอ้ ความรปู คาํ สงั่ คําขอร้อง คําอทุ าน คาํ ปฏิเสธ ซึ่งไม่อยู่ในรูปของประโยค
บอกเล่า จะเป็นข้อความท่ไี มเ่ ปน็ ประพจน์ สําหรับข้อความบอกเลา่ แต่มตี วั แปรอยู่ดว้ ย ไมส่ ามารถบอกว่าเป็น
จริงหรือเท็จจะไม่เปน็ ประพจน์ เรียกวา่ ประโยคเปดิ

ประโยคที่มคี า่ ความจรงิ ไม่แน่นอน หรอื ไมอ่ าจระบุไดว้ ่ามคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ หรือเปน็ เทจ็ ได้
ไมเ่ ป็นประพจน์

โดยปกตเิ มือ่ กลา่ วถงึ ข้อความหรอื ประโยคนน้ั มักจะมีกริยามากกวา่ หนง่ึ ตวั แสดงว่าไดน้ ําประโยคมา
เช่อื มกัน มากกวา่ หน่งึ ประโยค ดงั นัน้ ถ้านาํ ประพจน์มาเชือ่ มกนั ก็จะได้ประพจนใ์ หม่ ซึง่ สามารถบอกได้ว่าเปน็
จริงหรอื เปน็ เทจ็ ตัวเช่อื มประพจนม์ ีอยู่ 5 ตัว และตัวเชอื่ มทีใ่ ชก้ ันมากในตรรกศาสตรค์ ือ และ, หรือ, ถ้า…แลว้
, ก็ต่อเม่ือ, ไม่

3. การดาํ เนินการทางประพจน์
1. กรณที ี่ตวั เชอื่ มอยู่ในวงเล็บ ใหห้ าคา่ ความจริงของประพจนใ์ นวงเล็บให้เสร็จก่อน
2. กรณที ตี่ วั เช่ือมไม่มีวงเล็บ การหาคา่ ความจรงิ ของตวั เช่อื มแตล่ ะตวั ในประพจน์ใหม่โดยการใส่

วงเล็บใหก้ ับ “ ~ ”(นิเสธ), “ ∧ ”, “ ∨ ”, “ → ”, “ ↔ ” ตามลําดบั เชน่ ~ p → r ∨ s ∧ p ↔ q
เมือ่ พจิ ารณาตามลําดับ จะไดว้ า่ {~ p → [r ∨ (s ∧ p)]} ↔ q

4. การหาค่าความจรงิ ของประพจน์ วิเคราะหค์ ่าความจริงของประพจน์ย่อยทีละคูโ่ ดยเริ่มจากวงเลบ็
เล็กข้างในกอ่ น

[(p → q) → r] ↔ (r → s)

FF T T F
TF

T
F

ดงั นัน้ ประพจน์ [(p → q) → r] ↔ (r → s) มคี ่าความจริงเป็นเท็จ

5. การสรา้ งตารางค่าความจริง

ตารางแสดงคา่ ความจริง เป็นตารางที่แสดงคา่ ความจริงทกุ กรณีท่ีเปน็ ได้ในการเชื่อมประพจน์
จาํ นวนกรณีท่ีพิจารณาขนึ้ อยู่กบั จํานวนประพจน์ ดังน้ี ถ้าประพจน์ผสม ประกอบดว้ ยประพจนเ์ ดี่ยว n
ประพจน์ จํานวนกรณีที่พจิ ารณามี 2n กรณี

6. ประพจน์ท่ีสมมลู กนั คือ ประพจน์ 2 ประพจนท์ ี่มคี า่ ความจริงเหมือนกันทุกกรณี ดงั น้ัน ประพจน์
ทีส่ มมลู กัน จงึ สามารถใชแ้ ทนกันได้ ประพจน์ p และ q ทีส่ มมูลกนั เขียนแทนด้วย p ≡ q

นเิ สธ มีความหมายพืน้ ฐาน คอื ผลทไ่ี ด้จากการเปลย่ี นค่าความจริงของประโยค ไปเป็นตรงกันข้าม
การทาํ ให้เป็นนเิ สธคือการดําเนินการสาํ คญั ท่ีใช้ในตรรกศาสตร์ คณิตศาสตร์ และไวยากรณ์ การทําใหเ้ ปน็
นเิ สธเชิงตรรกศาสตรส์ ามารถนิยามไดด้ ้วยตัวดําเนนิ การอืน่ ๆ เช่น ~p

7. สัจจะ แปลวา่ จรงิ ส่วนนริ นั ดร์ แปลว่าตลอดกาล ประพจนท์ ีเ่ ป็นสัจนริ ันดร์ คือ ประพจน์ทีม่ ีค่า
ความจริงเปน็ จรงิ ทกุ กรณีของประพจน์ย่อย

8. ประโยคเปดิ คอื ข้ อความท่อี ย่ใู นรูปประโยคบอกเลา่ หรือปฏิเสธ ที่มตี ัวแปรและส่ือแทนคา่ ของ
ตัวแปรน้นั จะได้คา่ ความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นยิ มใชส้ ัญลกั ษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทน
ประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเลบ็

9. ตัวบง่ ปริมาณ เป็นตวั ระบุจํานวนสมาชกิ ในเอกภพสัมพัทธท์ ีท่ ําให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์
ตวั บ่งปรมิ าณมี 2 ชนิด คือ

ตวั บง่ ปรมิ าณที่กลา่ วถงึ “สมาชิกทุกตวั ในเอกภพสัมพัทธ์” ซึ่งเขียนแทนได้ดว้ ยสัญลักษณ์ “∀”
อ่านว่า”สาํ หรับสมาชิก x ทุกตัว”

ตัวบ่งปรมิ าณที่กลา่ วถงึ “สมาชกิ บางตัวในเอกภพสมั พัทธ์” ซง่ึ เขยี นแทนได้ดว้ ยสญั ลักษณ์ “∃”
อา่ นวา่ “สาํ หรบั สมาชิก x บางตวั ”

10. ค่าความจริงของประพจน์ทมี่ ตี ัวบง่ ปริมาณตัวแปรเดียว ซึง่ มคี ่าความจรงิ ดงั ต่อไปนี้

1. คา่ ความจรงิ ของประพจน์ ∀x[P(x)]

∀x[P(x)] จะมีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ กต็ อ่ เมื่อนํา x ทกุ ค่าใน U แทนใน P(x) แลว้

P(x) เป็นจริงทัง้ หมด

∀x[P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ กต็ ่อเมือ่ นํา x อย่างนอ้ ย 1 ค่าใน U แทนใน P(x) แลว้

P(x) เปน็ เท็จ
2. คา่ ความจรงิ ของประพจน์

∃x[P(x)] จะมคี ่าความจริงเป็นจริง กต็ ่อเม่ือนํา x อยา่ งน้อย 1 ค่าใน U แทนใน P(x) แลว้

P(x) เป็นจริง

∃x[P(x)] จะมีค่าความจริงเป็นเทจ็ ก็ตอ่ เมือ่ นาํ คา่ x ทกุ ค่าใน U แทนใน P(x) แลว้

เปน็ เท็จท้ังหมด
11. การอา้ งเหตผุ ล หมายถึง การอา้ งหลักฐานเพื่อยนื ยนั ว่า ข้อสรุปทไ่ี ด้มาน้นั เปน็ จรงิ ซ่ึงการอา้ ง

เหตุผลจะมีส่วนประกอบอยู่ 2 สว่ น คอื

1. ส่วนทีเ่ ปน็ ข้ออา้ ง หมายถงึ ตวั หลักฐาน หรอื เหตผุ ลท่ีใช้เป็นเครื่องมือในการตรวจสอบว่าขอ้ สรปุ
เป็นจริงหรือไม่ เพ่ือความกะทดั รดั จึงแทนคาํ วา่ “ข้ออ้าง หรอื เหตผุ ล” ด้วยคาํ วา่ “เหตุ” เหตุทีเ่ ป็น
ขอ้ อา้ งแตล่ ะข้อจะต้องเป็นจริงทุกข้อ เพราะการใช้หลักฐานที่เป็นเทจ็ เพ่ือยนื ยนั ว่าข้อสรปุ เปน็ จรงิ น้ัน เปน็ ไป

ไม่ได้

2. สว่ นที่เป็นข้อสรปุ หมายถงึ สง่ิ ทเ่ี ราต้องการบอกว่า เป็นความจริง บางคร้งั อาจใชค้ ําวา่
“ผล” แทนคําว่า “ขอ้ สรุป”

ในการอ้างเหตผุ ลแตล่ ะคร้งั นน้ั “เหตุ” อาจมีเพียงข้อเดยี ว หรือหลายขอ้ ก็ได้ แต่ “ผล” หรอื

“ข้อสรปุ ” จะต้องมีเพียงข้อเดียวเท่าน้ัน

4. สาระการเรยี นรู้
4.1 ความรู้
4.1.1 ประพจน์ และตวั เช่อื มประพจน์

4.1.2 การดําเนนิ การทางประพจน์

4.1.3 การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์

4.1.4 ประพจน์ทีสมมลู กนั

4.1.5 สจั นริ ันดร์
4.1.6ประโยคเปดิ
4.1.7 ตวั บ่งปรมิ าณ
4.1.8 ค่าความจริงของประพจนท์ ี่มตี วั บ่งปรมิ าณ
4.1.9 การอ้างเหตผุ ล

4.2 ทกั ษะ / กระบวนการ

4.2.1 ความสามารถในการส่ือสาร

4.2.2 ความสามารถในการคิด
(1) ทกั ษะการคดิ วิเคราะห์

(2) ทกั ษะการคิดสรา้ งสรรค์

(3) ทักษะการคดิ อยา่ งมวี จิ ารณญาณ
(4) ทกั ษะการคดิ เป็นระบบ

4.2.3 ความสามารถในการแกป้ ัญหา

4.3 คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงคต์ ามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาข้นั พ้นื ฐาน พ.ศ.2551

3.3.1 รักชาติ ศาสน์ กษตั ริย์ 3.3.5 ซ่ือสัตย์ สจุ ริต

3.3.2 มีวินัย 3.3.6 ใฝเ่ รยี นรู้

3.3.3 อยู่อย่างพอเพยี ง 3.3.7 มงุ่ มนั่ ในการทาํ งาน
3.3.4 รกั ความเป็นไทย 3.3.8 มจี ิตสาธารณะ

4.4 สมรรถนะสาํ คญั ของผเู้ รียน

4.4.1 ความสามารถในการสอื่ สาร

4.4.2 ความสามารถในการคดิ
4.4.3 ความสามารถในการแกป้ ัญหา

5. การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
ช่ัวโมงที่ 1-2

ขั้นนํา
1. ให้นกั เรยี นทาํ แบบทดสอบก่อนเรียน หน่วยท่ี 1 เรือ่ ง ประพจน์
2. ครูนาํ เขา้ ส่บู ทเรียน โดยกล่าวถงึ เร่ืองตรรกศาสตรเ์ บ้ืองต้นวา่ เป็นพื้นฐานสําคญั ที่จะชว่ ยใน
การศกึ ษาวชิ าคณติ ศาสตรใ์ ห้ได้ผลดียงิ่ ข้นึ
3. ครูอธบิ ายความหมายของประพจน์

ประพจน์ คอื ข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ทเ่ี ปน็ จรงิ หรอื เทจ็ อยา่ งใดอยา่ งหนึง่

ตวั อย่างประโยคท่ีเปน็ ประพจน์
- √3 เป็นจาํ นวนตรรกยะ
-2+3=4
- จงั หวัดสงขลาเปน็ จงั หวดั หนึ่งของประเทศไทย
- ประเทศไทยมปี ระชากรมากกวา่ ประเทศจนี
ในตรรกศาสตร์การเป็นจริง หรือเท็จของแตล่ ะประพจน์เรยี กวา่ “ค่าความจรงิ ของประพจน์”
คา่ ความจรงิ ของประพจนท์ เี่ ป็นจรงิ แทนดว้ ย T คา่ ความจริงของประพจนท์ เี่ ป็นเท็จแทนด้วย F เชน่
2 = 5 + 3 เป็นประพจนท์ ่ีมีค่าความจรงิ เป็นเทจ็

ตัวอยา่ ง ประโยคท่ีไม่เปน็ ประพจน์
- เดอื นตุลาคมนี้นา้ํ จะทว่ มกรุงเทพหรือไม่
- อยา่ ลอกคาํ ตอบของผู้อนื่
- ใครไมม่ าโรงเรียนวันนี้
- จงเลือกคาํ ตอบทีถ่ ูกต้องเพียงขอ้ เดยี ว
- อยา่ ส่งเสยี งดัง

4. ครใู ห้นักเรยี นยกตวั อย่างประโยคทีเ่ ปน็ ประพจนแ์ ละไม่เปน็ ประพจน์กลมุ่ ละ 1 ประโยค
5. ใหน้ ักเรียนฝึกปฏบิ ัตโิ ดยการทําแบบฝึกหดั ท่ี 1 ในเอกสารประกอบการสอน หนา้ ที่ 77 – 78
6. ครูและนักเรยี นร่วมกันเฉลยคําตอบ อภปิ ราย ซักถาม ในข้อทน่ี ักเรียนมีความสงสัย

ขน้ั สอน
7. ครูอธบิ ายถงึ การเช่อื มประพจน์ ประพจน์ใดก็ตามสามารถกระทํากนั ได้ดว้ ยตวั เช่ือม “ ∧ และ ”,“
∨ หรือ ” , “ → ถา้ ....แลว้ ” , “ ↔ ก็ต่อเมื่อ ”

8. การเชอ่ื มประพจน์ด้วย และ “ ∧ ” ให้ p , q เป็นประพจน์ เขยี นแทนประพจน์ p และ q
ดว้ ย p ∧ q ประพจน ์ p ∧ q มีคา่ ความจริงที่เปน็ ไปได้ ดังนี้

pq ์p∧q

TT T
TF F
FT F
FF F

ประพจน์ p ∧ q เป็นจริงเพยี งกรณเี ดียวคือ p เปน็ จรงิ , q เป็นจรงิ เท่านัน้ ทเ่ี หลือเป็นเท็จหมด
9. ครูและนักเรยี นรว่ มกนั ยกตวั อยา่ งการหาคา่ ความจริงด้วยตัวเชอื่ ม “และ”

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาค่าความจริงของประพจน์ตอ่ ไปนี้
ก. 3 + 8 = 11 และ 3 + 2 < 10
ข. 1 + 3 ≠ 8 และ 7 - 2 > 12
ค. 1 > 3 - 2 และ 4 - 3 < 0

วธิ ที ํา ก. 3 + 8 = 11 และ 3 + 2 < 10

3 + 8 = 11 3 + 2 < 10 3 + 8 = 11 และ 3 + 2 < 10
T T T

ดังนน้ั ประพจน์ 3 + 8 = 11 และ 3 + 2 < 10 มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ

วธิ ที าํ ข. 1 + 3 ≠ 8 และ 7 - 2 > 12

1+3≠8 7 - 2 > 12 1 + 3 ≠ 8 และ 7 - 2 > 12
T F F

ดงั นน้ั ประพจน์ 1 + 3 ≠ 8 และ 7 - 2 > 12 มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ

วธิ ที ํา ค. 1 > 3 - 2 และ 4 - 3 < 0

1>3-2 4-3<0 1 > 3 - 2 และ 4 - 3 < 0
F F F

ดงั นั้น ประพจน์ 1 > 3 - 2 และ 4 - 3 < 0 มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ

10. การเช่ือมประพจน์ด้วย หรือ “ ∨ ” ให้ p , q เป็นประพจน์ เขียนแทนประพจน์ถา้ p หรอื q
ดว้ ย p ∨ q ประพจน ์ p ∨ q มคี า่ ความจรงิ ที่เป็นไปได้ ดงั นี้

pq ์p∨q

TT T

TF T

FT T

FF F

ประพจน์ p ∨ q เป็นเทจ็ เพียงกรณเี ดียวคือ p เป็นเท็จ , q เป็นเทจ็ เทา่ นน้ั ท่เี หลือเป็นจรงิ หมด

11. ครูและนักเรียนรว่ มกนั ยกตวั อย่างการหาคา่ ความจรงิ ด้วยตัวเช่อื ม หรือ

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้
ก. 2 + 3 > 3 หรือ สงขลาอย่ใู นประเทศไทย
ข. 3 + 4 ≠ 2 หรอื 3 + 8 < 7

วิธที าํ ก. 2 + 3 > 3 หรือ สงขลาอยใู่ นประเทศไทย

2+3>3 สงขลาอยู่ในประเทศ 2 + 3 > 3 หรือ สงขลาอยู่ในประเทศไทย
F ไทย
TT

ดงั นนั้ ประพจน์ 2 + 3 > 3 หรอื สงขลาอยู่ในประเทศไทย มคี า่ ความจริงเป็นจริง

วธิ ีทาํ 3 + 4 ≠ 2 หรือ 3 + 8 < 7

3+4≠2 3+8<7 3 + 4 ≠ 2 หรอื 3 + 8 < 7
T F T

ดังน้ัน ประพจน์ 2 + 3 > 3 หรือ สงขลาอย่ใู นประเทศไทย มีค่าความจริงเปน็ จริง

ขั้นสรปุ
12. นกั เรยี นและครูร่วมกนั สรุปความรูเ้ รอื่ งประพจน์ ตัวเช่อื ม “และ” , “หรือ”

และหาคา่ ความจรงิ ได้
13. นักเรยี นทาํ แบบฝึกหดั ที่ 2 ในเอกสารประกอบการสอน หนา้ 77 - 78

ช่วั โมงท่ี 3-4
ขัน้ นํา
1. ครูทบทวนความร้เู ดิม เรอ่ื งการเช่ือมประพจน์ด้วย “ และ ” , “ หรอื ” โดยใชต้ วั อยา่ งที่ 1

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาค่าความจริงของประพจนต์ อ่ ไปนี้
ก. 2 เปน็ จาํ นวนค่แู ละ 2 เปน็ จาํ นวนค่ี
ข. 3 เป็นจาํ นวนคห่ี รือ 3 เป็นจาํ นวนเตม็

วิธีทํา
ก. 2 เปน็ จํานวนคู่ (T)
2 เป็นจํานวนคี่ (F)
ดงั น้นั 2 เป็นจาํ นวนคแู่ ละ 2 เป็นจํานวนคี่ มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็
ข. 3 เปน็ จํานวนค่ี (T)
3 เปน็ จํานวนเต็ม (T)
ดังนนั้ 3 เปน็ จาํ นวนคห่ี รอื 3 เป็นจํานวนเต็ม มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ

2. ครูเปิดโอกาสให้นักเรียนซักถามข้อสงสัยเรื่องการเชอื่ มประพจนด์ ว้ ย “ และ ” , “ หรือ ”

ขัน้ สอน
3. ครอู ธบิ ายการเชื่อมประพจน์ด้วย ถ้า ...แล้ว “ → ” ให้ p , q เป็นประพจน์ เขียนแทนประพจน์
ถา้ p แล้ว q ด้วย p →q ประพจน ์ p → q มคี ่าความจริงทเ่ี ป็นไปได้ ดงั น้ี

pq ์p→q
T
TT F
TF T
FT T
FF

ประพจน์ p → q เปน็ เทจ็ เพียงกรณเี ดยี วคือ p เปน็ จรงิ , q เป็นเท็จเทา่ นน้ั
ที่เหลือเปน็ จริงหมด
4. ครูและนักเรียนร่วมกนั ยกตวั อยา่ งการหาคา่ ความจริงด้วยตวั เชอ่ื ม ถา้ ...แลว้

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาค่าความจริงของประพจน์ตอ่ ไปนี้

ก. ถา้ 2 + 4 > 2 แลว้ 2 - 3 < 4

ข. ถ้า 1 + 3 < 10 แลว้ 4 + 1 < 3
ค. ถ้า 3 เป็นจํานวนจรงิ แล้ว ଵ เปน็ จํานวนตรรกยะ

ଷ

วิธีทาํ ก. ถา้ 2 + 4 > 2 แลว้ 2 - 3 < 4

2+4>2 2-3<4 ถา้ 2 + 4 > 2 แลว้ 2 - 3 < 4
T T T

ดงั น้นั ประพจน์ ถา้ 2 + 4 > 2 แล้ว 2 - 3 < 4 มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ
วธิ ที ํา ข. ถ้า 1 + 3 < 10 แลว้ 4 + 1 < 3

1 + 3 < 10 4+1<3 ถา้ 1 + 3 < 10 แล้ว 4 + 1 < 3
T F F

ดงั นนั้ ประพจน์ ถ้า 1 + 3 < 10 แล้ว 4 + 1 < 3 มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็

วธิ ที าํ ค. ถ้า 3 เปน็ จํานวนจริง แล้ว ଵ เป็นจาํ นวนตรรกยะ

ଷ

3 เป็นจํานวนจรงิ ૚ เปน็ จํานวนตรรกยะ ถา้ 3 เปน็ จาํ นวนจรงิ แลว้ ૚ เปน็ จํานวนตรรกยะ
૜૜
TT
T

ดังนัน้ ประพจน์ ถา้ ถา้ 3 เป็นจํานวนจรงิ แล้ว ଵ เปน็ จํานวนตรรกยะ มีค่าความจริงเปน็ จรงิ

ଷ

5. การเชอื่ มประพจน์ด้วย ก็ตอ่ เมอ่ื “ ↔ ” ให้ p , q เป็นประพจน์ เขยี นแทนประพจน์
p ก็ตอ่ เม่อื q ด้วย p ↔ q ประพจน ์ p ↔ q มคี ่าความจรงิ ท่ีเปน็ ไปได้ ดังนี้

pq ์p↔q
T
TT F
TF F
FT T
FF

ประพจน์ p ↔ q เปน็ จริง 2 กรณีคือ p , q มีคา่ ความจริงเหมอื นกันเท่าน้ัน ที่เหลอื เป็นเทจ็ หมด
6. ครูและนกั เรียนรว่ มกนั ยกตัวอยา่ งการหาค่าความจริงด้วยตัวเช่ือมก็ตอ่ เม่ือ

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ตอ่ ไปน้ี

ก. 4 + 5 = 9 กต็ อ่ เม่ือ 1+ 3 > 2

ข. 6 + 1 > 5 ก็ต่อเม่ือ 4 - 3 < 0
ค. 4 เป็นจาํ นวนคี่ กต็ ่อเมอื่ 4 หารดว้ ย 3 ลงตวั
วิธีทํา ก. 4 + 5 = 9 ก็ต่อเม่ือ 1+ 3 > 2

4+5=9 1+ 3 > 2 4 + 5 = 9 กต็ อ่ เม่ือ 1+ 3 > 2
T T T

ดังนนั้ ประพจน์ 4 + 5 = 9 ก็ตอ่ เมื่อ 1+ 3 > 2 มีคา่ ความจริงเป็นจริง

วิธที ํา ข. 6 + 1 > 5 กต็ ่อเมื่อ 4 - 3 < 0

6+1>5 4-3<0 6 + 1 > 5 ก็ตอ่ เมอื่ 4 - 3 < 0
T F F

ดงั นั้น ประพจน์ 4 + 5 = 9 ก็ตอ่ เม่ือ 1+ 3 > 2 มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็

วิธที ํา ค. 4 เป็นจาํ นวนค่ี กต็ ่อเมื่อ 4 หารด้วย 3 ลงตัว

4 เปน็ จาํ นวนคี่ 4 หารดว้ ย 3 ลงตัว 4 เปน็ จาํ นวนคี่ กต็ ่อเม่ือ 4 หารดว้ ย 3 ลงตวั

FF T

ดังนน้ั ประพจน์ 4 เป็นจํานวนค่ี ก็ตอ่ เมื่อ 4 หารดว้ ย 3 ลงตวั มคี า่ ความจริงเปน็ จรงิ

7. นอกจากตัวเชอื่ มประพจน์ทง้ั 4 ชนิดแลว้ ยงั มสี ญั ลักษณ์ท่ใี ชเ้ ปลยี่ นคา่ ความจริงของประพจน์ให้มี
คา่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั คา่ ความจรงิ เดมิ เรียกสญั ลกั ษณ์ทมี่ ีสมบตั ิดงั กล่าววา่ นเิ สธของประพจน์ เขียนแทน
ด้วย ~ นเิ สธของ p เขยี นแทนด้วย ~ p ประพจน ์ ~ p มีค่าความจรงิ ท่ีเปน็ ไปได้ ดงั น้ี

p ~p

TF
FT

8. ตัวอยา่ งที่ 4 จงหานิเสธของประพจนต์ ่อไปนี้
ก. 3 + 8 = 9

ข. 6 > 2 + 3
ค. เสน้ ตรงสองเสน้ ตงั้ ฉากกนั

วธิ ีทาํ

ก. นเิ สธของ 3 + 8 = 9 คือ 3 + 8 ≠ 9

ข. นิเสธของ 6 > 2 + 3 คอื 6 ≤ 2 + 3
ค. นิเสธของ เสน้ ตรงสองเสน้ ตัง้ ฉากกนั คือ เส้นตรงสองเส้นไมต่ ั้งฉากกัน

9. สรปุ ตารางค่าความจริงของตวั เชอ่ื มแบบต่างๆ

p q p∧q ์p∨q p→q p↔q ~p

TT T T T T F
F
TF F T F F T
T
FT F T T F

FF F F T T

ขัน้ สรปุ
10. นกั เรียนและครูร่วมกันสรุปความรู้เรือ่ งตัวเช่ือมประพจน์ และหาค่าความจรงิ ได้
11. นักเรียนทาํ แบบฝึกหดั ที่ 2 ในเอกสารประกอบการสอน หน้า 80 - 83

ชว่ั โมงที่ 5-6

ขน้ั นาํ

1. ครอู ธิบายและนักเรยี นชว่ ยกนั ทาํ ตวั อยา่ งท่ี 1, การหาค่าความจรงิ ของประพจน์ การหาคา่ ความจริง
ของประพจน์ทมี่ ตี วั เชือ่ มแบบตา่ งๆ มไี วเ้ พือ่ ชว่ ยในการหาว่าประพจน์ใดมีค่าความจรงิ เป็นจริงหรือเปน็ เทจ็ ดงั
ตัวอยา่ งต่อไปนี้

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้
“ถ้าโลกหมุนรอบตัวเองแลว้ พระอาทติ ยข์ ึ้นทางทิศตะวนั ตก”

วธิ ที ํา ให้ p แทน โลกหมุนรอบตัวเอง (เปน็ จรงิ )

ให้ q แทน พระอาทิตย์ขนึ้ ทางทิศตะวนั ตก (เปน็ เท็จ)

ประโยคทก่ี ําหนดให้อยู่ในรูป p → q

ดงั น้นั p → q

TF

F

ตอบ ประโยค “ถา้ โลกหมนุ รอบตัวเองแลว้ พระอาทติ ยข์ นึ้ ทางทิศตะวนั ตก” มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็

2. ครูและนักเรียนสรุปขน้ั ตอนการหาค่าความจริงของประพจน์

ขนั้ สอน
3. ครยู กตวั อยา่ งที่ 2 และส่มุ นักเรียนให้ออกไปทาํ ตอ่ ๆกันบนกระดาน ครูตรวจสอบความถกู ต้องอีก
ครั้งหน่งึ

ตัวอย่างท่ี 2 กาํ หนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจนท์ ่ีมีคา่ ความจริงเป็นจริง จริงและเท็จ ตามลาํ ดับ
วธิ ที าํ แลว้ จงหาค่าความจรงิ ของ ( ~p → q ) ∨ r
(~p → q ) ∨ r

F TF

T
T

ตอบ ประพจน์ ( ~p → q ) ∨ r มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ

4. ครูยกตวั อยา่ งท่ี 3 ใหน้ ักเรียนทกุ คนทาํ ลงสมุดด้วยตนเอง ครสู ่มุ นกั เรียนให้ออกไปเฉลย
บนกระดาน โดยช่วยกนั ทาํ ตอ่ ๆ กนั เพอื่ นนักเรยี นช่วยกันตรวจสอบความถูกต้อง ครูตรวจสอบความถกู ตอ้ งอีก
ครง้ั หน่ึง

ตัวอย่างท่ี 3 กําหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ท่ีมีคา่ ความจริงเป็นเท็จ เทจ็ จริงและจรงิ
วิธที าํ ตามลําดับแล้ว จงหาค่าความจริงของ (~ p ∨ ~ s) ∨ (q ∧ r) ↔ p
(~ p ∨ ~ s) ∨ (q ∧ r) ↔ p

F T FT F
TF

T

F

ตอบ ประพจน์ (~ p ∨ ~ s) ∨ (q ∧ r) ↔ p มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ

6. ครยู กโจทย์บนกระดาน 1 ขอ้ เพ่อื ตรวจสอบความเขา้ ใจ ใหน้ ักเรยี นทุกคนทํา แลว้ ครใู ช้การ
ถามตอบตรวจสอบความถูกต้อง

ตวั อย่างท่ี 4 ถ้า (p ∧ ~ q) → (q ∨ r) มีคา่ ความจริงเป็นเท็จแลว้ จงหาค่าความจริงของ
วธิ ที ํา p, q และ r ตามลาํ ดับ
(p ∧ ~ q) → (q ∨ r)

F
TF

T T FF

ตอบ p มีค่าความจรงิ เป็น จริง, q มคี ่าความจรงิ เป็น เทจ็ และ r มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็

7. นกั เรียนจับคชู่ ว่ ยกันทาํ กจิ กรรม คูล่ ะ 1 ข้อ ซง่ึ มีโจทยด์ ังนี้
กาํ หนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ที่มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง จริง และเทจ็ ตามลําดับ จงหาค่า
ความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปนี้
1. (~ p → q ) ∧ (r ∨ p)
2. (p ∨ ~ q) ∧ (r ↔ ~ q)
3. (~ p → r) ∨ (r → q)
4. (~r → ~ q) ∧ ~ r
5. [(p ↔ q) ∧ ~ p] → r
6. [p → (r ∧ q)] ↔ r
7. ~(p ↔ q) → ~ r
8. ~(~ p →~ q) ∨ r
9. [(p → q) ∧(q → r)] → r
10. [(p ∨ r) ∧ (r ∨ q)] ∨ [(q → r) ∧ ~ p]

ขนั้ สรุป
8. นกั เรียนและครรู ่วมกันสรุปความรูร้ วบยอดเร่ืองการหาคา่ ความจริงของประพจน์

สรปุ
การหาค่าความจริงของประพจนท์ ีม่ ีตัวเชื่อมแบบต่างๆ มไี ว้เพือ่ ช่วยในการหาว่าประพจน์ใดมคี ่าความ

จริงเป็นจรงิ หรือเป็นเท็จถ้าประพจนเ์ หล่านั้นอยู่ในวงเลบ็ ให้ทาํ ในวงเล็บก่อน ถ้าประพจน์เหล่านน้ั ไม่มีวงเล็บให้

หาคา่ ความจรงิ เรียงลําดบั จาก ∧ , ∨ , →, ↔
9. นักเรยี นทําแบบฝกึ หัดที่ 2 ในเอกสารประกอบการสอน หนา้ ท่ี 86 - 90

ชวั่ โมงท่ี 7-8

ขั้นนาํ

1. ครูกาํ หนดประพจนผ์ สมท่ีมี 2, 3, 4 ประพจน์ ใหน้ ักเรียนรว่ มกันหากรณีทอ่ี าจเกิดข้ึนได้
ทั้งหมด โดยสมุ่ เรียกนักเรียนออกมาเขียนบนกระดาน

2. นักเรียนร่วมกันจัดลําดบั ก่อนหลังในการสรา้ งกรณีทอ่ี าจเกดิ ขน้ึ ไดท้ ง้ั หมด โดยเน้นการทํางานอย่าง
เปน็ ระบบ สรปุ เปน็ ตาราง

3. นักเรยี นรว่ มกันสรุปจากกรณที ่อี าจเกดิ ข้ึนได้ กลา่ วคือ ถ้ามี n ประพจน์ย่อย สรา้ งได้ 2 กรณี

ขัน้ สอน
4. ครกู ําหนดประพจน์ (p ∨ q) → ∼p ให้นกั เรียนหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ โดยสมุ่
นกั เรียนออกมาทําบนกระดาน แจงได้ 4 กรณี
5. ครกู าํ หนดประพจน์ (p ∧ q) → (r ∨ q) ให้นกั เรียนออกมาทําบนกระดาน นักเรียนจะพบ
ปัญหาในการแจงกรณเี พ่ือหาค่าความจริง เพราะมีถงึ 8 กรณี
6. ครแู นะนาํ การสร้างตารางคา่ ความจรงิ จากตวั อยา่ งในข้อ 4 และ ข้อ 5
7. นักเรยี นศกึ ษาใบความรู้ท่คี รแู จกให้ แล้วรว่ มกนั อภปิ รายซกั ถาม นักเรยี นทําแบบฝึกหัดจากเอกสาร
แบบฝึกทคี่ รูแจกให้
8. นักเรียนร่วมกันเฉลยคาํ ตอบในแบบฝกึ หัด
9. นกั เรยี นแบง่ กลมุ่ ๆ ละ 3 – 4 กลุ่ม ร่วมกันตงั้ โจทย์ เพื่อจะสร้างตารางคา่ ความจริงโดยใหม้ ี
ประพจนย์ ่อยไม่เกนิ 4 ประพจน์ กีต่ วั เชื่อมก็ได้ กลมุ่ ละ 2 ข้อ
10. นักเรียนแต่ละกลมุ่ ร่วมกันสร้างตารางคา่ ความจรงิ จากโจทย์ทีน่ กั เรยี นกลุม่ อืน่ กําหนด โดย
สับเปลยี่ นโจทย์กันทํา
11. นกั เรยี นแลกเปล่ียนกนั ตรวจคําตอบโดยใหก้ ลุ่มผู้ออกโจทย์เปน็ ผตู้ รวจ หากข้อใดผดิ ให้แจง้ กลุ่มท่ี
ทําโจทย์ เพอื่ แก้ไขความถูกต้อง
12. นักเรียนทาํ แบบฝึกเพิ่มเติมจากเอกสารประกอบการเรียน

ขนั้ สรุป
13. ครยู กตวั อยา่ งและอธิบายเพ่ิมเติม
14. นกั เรียนรว่ มกบั ครูผู้สอนชว่ ยกันวเิ คราะห์ และสรุป ความรู้ เร่ือง การสรา้ งตาราง
คา่ ความจรงิ อภิปรายขอ้ ความรู้ทไ่ี ด้จากการปฏิบัติกจิ กรรมของนกั เรียนจากชุดการสอนคณติ ศาสตร์
แบบสืบสวนสอบสวนฯ ชดุ ท่ี 4 เรือ่ ง การสร้างตารางคา่ ความจริงของประพจน์

การสร้างตารางเพือ่ คา่ ความจรงิ ของประพจน์ จะกาํ หนดคา่ ความจริงของประพจนย์ ่อยทุกกรณี
ทีเ่ ป็นไปไดท้ ง้ั หมด ดังนี้

ถา้ มีประพจนเ์ ดยี ว คือ p มกี รณเี กยี่ วกับคา่ ความจรงิ ท่ีจะพิจารณา 2 กรณี
ถ้ามสี องประพจน์ คือ p และ q มกี รณีเกี่ยวกบั คา่ ความจริงทีจ่ ะพจิ ารณา 4 กรณี
ถา้ มสี องประพจน์ คือ p , q และ r มีกรณีเกยี่ วกับค่าความจริงท่ีจะพิจารณา 8 กรณี
และถ้ามี n ประพจน์ จะมีกรณีเก่ยี วกับคา่ ความจริงที่จะพจิ ารณาท้ังหมด 2n กรณี

15. ให้นกั เรียนใช้เวลา 10 นาที ทําแบบทดสอบหลังเรยี น เรอื่ ง การสร้างตาราง
ค่าความจริง ตรวจคาํ ตอบจากเฉลย พร้อมทงั้ บันทกึ ผลในแบบบันทึกคะแนนรายบุคคล และ
แบบบันทึกคะแนนกลุ่ม

ชัว่ โมงท่ี 9-11
ขัน้ นํา
1. ครทู บทวนตารางค่าความจรงิ ของตัวเช่ือมโดยใช้การถามตอบ

p q p∧q p∨q p→q p↔q ~p

TT T T T T F
F F
TF F T F F T
T T
FT F T T

FF F F T

ขน้ั สอน
2. ครูอธิบายการสร้างตารางค่าความจริงและความหมายของประพจน์ท่ีสมมลู กัน

ประพจนท์ ส่ี มมูลกนั หมายถึง ประพจนส์ องประพจนท์ ี่มีค่าความจรงิ เหมือนกนั กรณตี ่อกรณี
สญั ลกั ษณ์แทนคําวา่ “ สมมูล ” เขียนแทนดว้ ย “ ≡ ”

3. ครยู กตวั อยา่ งการสร้างตารางคา่ ความจริงและประพจน์ทสี่ มมลู กันโดยนกั เรียนและครูช่วยกนั หา
คาํ ตอบเติมลงในตารางคา่ ความจรงิ บนกระดาน

ตวั อย่าง 1 จงสรา้ งตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของ p ∧ ~ q กับ ~ (p → q)
วิธที าํ

สรา้ งตารางค่าความจรงิ และใสค่ า่ ต่างๆลงในตาราง

p q ~q p ∧ ~q p → q ~ (p → q)

TTF F T F

TFT T F T

FTF F T F

FFT F T F

จากตารางค่าความจริงนี้จะเห็นว่า คา่ ความจริงของ p ∧ ~ q กับ ~ (p → q) ตรงกันกรณตี อ่ กรณี
นน่ั คือ p ∧ ~ q ≡ ~ (p → q)

ตัวอย่าง 2 จงสรา้ งตารางแสดงค่าความจริงของ ~ (p ↔ q) กบั p ↔ ~ q
วิธีทํา สร้างตารางค่าความจริงและใส่ค่าต่าง ๆ ลงในตาราง

p q ~q p ↔ q ~(p ↔ q) p ↔ ~q

TTF T F F

TFT F T T

FTF F T T

FFT T F F

จากตารางค่าความจริงนี้จะเห็นว่า คา่ ความจริงของ ~ (p ↔ q) กับ p ↔ ~ q ตรงกันกรณีตอ่
กรณี นัน่ คอื ~ (p ↔ q) ≡ p ↔ ~ q

ตวั อย่าง 3 จงสรา้ งตารางแสดงค่าความจริงของ r →(~p ∨ ~ q) กบั (~ p ∨ ~ q) → r
วิธที ํา สร้างตารางค่าความจรงิ และใสค่ ่าต่างๆลงในตาราง

p q r ~p ~q ~p ∨ ~q r→(~p ∨ ~q) (~p ∨ ~q) → r

TTT F F F F T

TTF F F F T T

TFT F T T T T

TFF F T T T F

FTT T F T T T

FTF T F T T F

FFT T T T T T

FFF T T T T F

จากตารางค่าความจริงน้ีจะเห็นว่า คา่ ความจรงิ ของ r →(~p ∨ ~ q) กับ (~ p ∨ ~ q) → r ไม่
ตรงกันกรณตี อ่ กรณี นัน่ คือ ~ (p ↔ q) ไม่สมมลู กับ p ↔ ~ q

4. กระบวนการกลุ่ม แบง่ นกั เรยี นกลมุ่ ละ 5 - 6 คนเพ่อื ทําใบงาน ซ่ึงมีโจทย์ดงั น้ี
1. (p ∧ q) → r กบั (p → r ∨ (q → r)
2. (p ∧ q) → r กบั (p → r) ∧ (q → r)
3. (p → r) ∧ (q → r) กบั ~ (p ∨ q) → r
4. (p → r) ∧ (q → r) กบั ~(p ∨ q) ∨ r
5. ~ [(p ∧ q) → (~ q ∨ r) ] กบั (p ∧ q) ∨ (q ∧ ~r)
6. ~ [(p ∧ q) → (~ q ∨ r)] กบั p ∧ ~(q → r)
7. ~ p → [q → (r ∨ p)] กับ (p ∨ ~q) ∨ r
8. ~ p → [q → (r ∨ p) กับ (~ p ∨ q) ∨ r
9. p → ~ (q → p) กับ ~ p ∨ (~p ∧ q)
10. p → ~ (q → p) กบั ~ p ∨ (p ∨ q)

โดยให้แตล่ ะกลุ่มสร้างตารางหาคา่ ความจรงิ เพ่ือตรวจสอบวา่ ประพจน์ของกลุ่มตวั เองสมมลู กัน
หรอื ไม่ นักเรยี นแลกเปลยี่ นความคิดเหน็ กันระหว่างกลุ่มและซักถามข้อสงสัยโดยครูคอยใหค้ ําแนะนาํ

ข้ันสรปุ
5. นกั เรยี นและครรู ว่ มกันสรุปความร้เู ร่ืองการสร้างตารางคา่ ความจริงและประพจน์ท่สี มมลู กัน
6. นกั เรียนทาํ แบบฝกึ หัดท่ี 3 ในเอกสารประกอบการสอน หน้าท่ี 97 - 102

ช่ัวโมงท่ี 12-13
ขั้นนาํ
1. ครูอธบิ ายการหาคา่ ความจริงของสัจนริ นั ดรจ์ ากการสร้างตารางคา่ ความจริงและอธบิ ายตวั อย่าง 1

ตวั อย่างที่ 1 จงแสดงว่า p → (p ∨ q) เปน็ สัจนิรันดร ์
วิธที ํา พิจารณาจากตารางค่าความจริง

p q ์p∨q p → (p ∨ q)

TT T T
T
TF T T
T
FT T

FF F

จากตารางจะเห็นวา่ ประพจน ์ p → (p ∨ q) มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ ทกุ กรณี
ดงั นั้น p → (p ∨ q) เป็นสจั นริ นั ดร์

2. ครูอธบิ ายการหาค่าความจรงิ ของสัจนริ ันดร์จากการสร้างตารางค่าความจรงิ และอธิบายตวั อย่าง 2

ตวั อย่างที่ 2 จงแสดงวา่ (p → q) → (q → p) เปน็ สจั นิรันดร ์

วิธีทาํ พจิ ารณาจากตารางคา่ ความจริง

p q ์ p → q q → p (p → q) → (q → p)

TT T T T

TF F T T

FT T F F

FF T T T

จากตารางจะเหน็ วา่ ประพจน ์ (p → q) → (q → p) มีค่าความจริงไม่เปน็ จริงทุกกรณี
ดังนัน้ (p → q) → (q → p) ไม่เปน็ สัจนิรันดร์

ขนั้ สอน
3. ตรวจสอบความเปน็ สจั นริ ันดร์ของประพจน์ เมอื่ รปู แบบของประพจนเ์ ชื่อมด้วย“ถา้ ... แลว้ ” โดย
วิธีการหาข้อขดั แย้งซงึ่ วธิ ีนจ้ี ะสมมุติใหร้ ูปแบบของประพจน์ที่กําหนดใหเ้ ปน็ เท็จ ซง่ึ สามารถเกิดขน้ึ ไดเ้ พยี งกรณี
เดยี วคือ เม่อื เหตเุ ป็นจริงแลว้ ผลเปน็ เท็จ แลว้ หาค่าความจรงิ หากมขี ้อขัดแยง้ ประพจน์นั้นเป็นสจั นิรันดร์ ถา้ ไม่
ขดั แย้งประพจน์น้นั ไม่เป็นสจั นริ นั ดร์

4. ครแู ละนกั เรียนรว่ มกนั ทาํ ตัวอย่างท่ี 3, 4, 5, 6 บนกระดาน

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแสดงว่า p → (p ∨ q) เปน็ สัจนิรันดร์
วธิ ที ํา วิเคราะห์หาข้อขดั แย้ง

สมมตใิ ห้ p → (p ∨ q) เป็นเทจ็ แล้วพจิ ารณาดูคา่ ความจริงของประพจน์ p วา่ เหมือนกัน
หรอื ไม่

p → (p ∨ q)

F

TF

ขดั แยง้ F F

จะเหน็ วา่ p มีคา่ ความจริงตา่ งกนั ดงั นั้น p → (p ∨ q) เป็นสัจนิรนั ดร ์

ตัวอยา่ งที่ 4 ประพจน์ (p → q) → (r ∨ q) เป็นสัจนิรันดรห์ รอื ไม่
วิธที าํ วเิ คราะห์หาข้อขดั แย้ง

สมมตใิ ห้ (p → q) → (r ∨ q) เปน็ เทจ็

(p → q) → (r ∨ q)

F
TF
F FFF

จะเหน็ ว่า q มคี า่ ความจริงเหมอื นกนั ดงั นนั้ (p → q) → (r ∨ q) ไม่เปน็ สจั นิรันดร์

ตัวอย่างที่ 5 จงแสดงว่า (p → q) → (~ q →~ p) เปน็ สัจนิรนั ดร ์
วธิ ีทํา วเิ คราะหห์ าข้อขัดแยง้

สมมติให้ (p → q) → (~ q →~ p) เป็นเท็จ

(p → q) → (~ q → ~ p)
F

TF

T T TF

ขดั แยง้ F T

จะเหน็ ว่า q มคี ่าความจรงิ ตา่ งกนั ดงั น้นั (p → q) → (~ q →~ p) เปน็ สัจนริ นั ดร์

ตวั อย่างท่ี 6 จงแสดงวา่ [(r ∧ (p → q) ∧ (q → r)] → p เปน็ สจั นริ ันดร ์
วิธที ํา วิเคราะหห์ าขอ้ ขดั แย้ง

สมมติให้ [(r ∧ (p → q) ∧ (q → r)] → p เป็นเท็จ

[(r ∧ (p → q) ∧ (q → r)] → p

F

TF

TT T
F TT T

จะเหน็ ว่าไม่มีค่าความจรงิ ของประพจน์ใดขัดแย้งกนั [(r ∧ (p → q) ∧ (q → r)] → p
ไม่เป็นสัจนริ นั ดร์

กระบวนการกลุ่ม แบ่งนกั เรยี นกลุ่มละ 5 - 6 คน ศกึ ษาหาค่าความจริงของสัจนริ ันดร์
และการสร้างตารางคา่ ความจริงซง่ึ มโี จทย์ ดงั นี้

1. (p → q) ↔ ( ~p ∨ q)
2. (p → q) ↔ ( ~q → ~ p)
3. [(p → q) ∧ p] → q
4. [(p → q) ∧ ~ p] → ~ q
5. [(~p ∨ p) ∧ q] → [(~s ∧ s) ∨ q)
6. [p ∧ (p → q)] → q
7. [p → (q ∨ r)] → [(p → q) ∨ (p → r)
8. [(p ∨ q) ∧ (p ∨ q ∨ r)] → (p ∨ q)
9. [p ∧ (q → r)] → [(p → q) → r]
10. [(p ∧ q) ∧ (p → q) ∧ (q → r)] → r

ขนั้ สรปุ
5. นกั เรยี นและครรู ่วมกันสรปุ ความรเู้ ร่อื งสจั นริ นั ดร์โดยวิธขี ้อขดั แย้ง
6. นกั เรยี นทาํ แบบฝึกหัดท่ี 4 ในเอกสารประกอบการสอนหนา้ 106 - 109

ชว่ั โมงที่ 14-15
ขั้นนาํ
1. ครูอธิบายเร่ืองประโยคเปดิ

ประโยคเปดิ คอื ประโยคบอกเลา่ หรือประโยคปฏเิ สธทมี่ ตี ัวแปรและเม่ือแทนคา่ ของตวั แปรด้วยสมาชกิ
ในเอกภพสมั พัทธแ์ ล้วได้ประพจน์

2. ครยู กตวั อย่างประโยคเปดิ เชน่ เขาเป็นนกั กวี เป็นประโยคเปดิ เพราะเม่ือแทนเขาด้วย สนุ ทรภู่ ก็
จะไดป้ ระโยคที่เป็นประพจนท์ ีเ่ ปน็ จริง คือ สุนทรภเู่ ปน็ นักกวี
ตวั อยา่ งต่อไป คือ 5x + 2 = 7 เปน็ ประโยคเปิดแต่ยังบอกไมไ่ ด้ว่าประโยคนี้เป็นจริงหรือเปน็ เทจ็ จึง
ยังไมเ่ ป็นประพจน์ เม่อื แทนตัวแปร x ดว้ ยจาํ นวนจรงิ ใดๆแลว้ จงึ ได้ประพจน์ ดงั นี้
เมอ่ื กําหนดใหเ้ อกภพสัมพัทธ์ คอื เซตของจาํ นวนจริง

แทน x ดว้ ย 0 ได้ 0 + 2 = 7 เป็นเทจ็
แทน x ด้วย 1 ได้ 5 + 2 = 7 เปน็ จริง
แทน x ด้วย 2 ได้ 10 + 2 = 7 เปน็ เท็จ
พิจารณา 5x + 2 จะเห็นวา่ ไมเ่ ปน็ ประโยคเปดิ เพราะเมื่อแทน x ดว้ ยจาํ นวนจริงใดๆ
แลว้ ไม่ไดป้ ระพจน์

ขน้ั สอน
3. ครยู กตัวอย่างที่ 2 คือ ประโยคเปดิ x ≥ 3 โดยกําหนดให้เอกภพสัมพัทธ์เปน็ จาํ นวนจรงิ
ซ่ึงยังบอกไม่ได้ว่าประโยคนีเ้ ป็นจริงหรอื เปน็ เทจ็ จงึ ยังไมเ่ ป็นประพจน์ แตเ่ มอื่ แทน x ด้วยจํานวนจรงิ
ใดๆแล้วจะเป็นประพจน์ ดังนี้

แทน x ด้วย 0 ได้ 0 ≥ 3 เปน็ เท็จ
แทน x ดว้ ย 1 ได้ 1 ≥ 3 เปน็ เท็จ
แทน x ด้วย 2 ได้ 2 ≥ 3 เป็นเท็จ
แทน x ดว้ ย 3 ได้ 3 ≥ 3 เป็นจรงิ
แทน x ดว้ ย 4 ได้ 4 ≥ 3 เป็นจริง

4. ครูและนักเรียนช่วยกันทําตัวอยา่ งท่ี 3
กําหนดให้เอกภพสมั พทั ธ์คือ เซตของจาํ นวนจริง
พิจารณา 3x2 + x + 1 = 5 จะเห็นว่าเป็นประโยคเปดิ เพราะมตี ัวแปร x และเม่ือ แทน

x ด้วยจํานวนจรงิ ใดๆ แล้วได้ประพจน์ เช่น

แทน x ดว้ ย -2 ได้ 3(2)2 + (-2) + 1 = 5 เปน็ เท็จ
แทน x ดว้ ย -1 ได้ 3(1)2 + (-1) + 1 = 5 เป็นเท็จ
แทน x ดว้ ย 0 ได้ 3(0)2 + (0) + 1 = 5 เป็นเท็จ
แทน x ดว้ ย 1 ได้ 3(1)2 + (1) +1 = 5 เป็นจริง
แทน x ดว้ ย 2 ได้ 3(2)2 + (2) + 1 = 5 เปน็ เทจ็

พจิ ารณา x + 1 = 5 จะเหน็ วา่ ยังคงเปน็ ประโยคเปิด เพราะมีตัวแปร x เม่ือแทน x
ดว้ ยจํานวนจริงใดแลว้ ได้ประพจน์ เชน่

แทน x ด้วย -2 ได้ (-2) + 1 = 5 เปน็ เทจ็
แทน x ดว้ ย -1 ได้ (-1) + 1 = 5 เปน็ เท็จ
แทน x ด้วย 0 ได้ 0 + 1 = 5 เป็นเท็จ
แทน x ดว้ ย 1 ได้ 1 + 1 = 5 เป็นเท็จ
แทน x ดว้ ย 2 ได้ 2 + 1 = 5 เป็นเทจ็

พจิ ารณา 1 = 5 จะเห็นว่าไม่เป็นประโยคเปิด แต่เป็นประพจน์ เพราะสามารถบอกได้
ว่ามีค่าความจริงเป็นเท็จ

พจิ ารณา x = 1 จะเห็นวา่ ไมเ่ ปน็ ประโยคเปิด เพราะเม่ือแทน x ดว้ ยจํานวนจริงใดๆ
แล้วไมไ่ ด้ประพจน์

สญั ลักษณแ์ ทนประโยคเปิดใดๆ ที่ x เป็นตวั แปร เขยี นแทนดว้ ย P(x) หรือ Px

การเชอื่ มประโยคเปิดด้วยตัวเช่อื ม ∧, ∨, →, ↔ ตลอดจนการเติม ~ ทาํ ได้
เชน่ เดียวกบั การเชือ่ มประพจน์

ข้ันสรุป
5. นักเรยี นทาํ แบบฝึกหดั ท่ี 5 ในเอกสารประกอบการสอน หนา้ ท่ี 110 – 112

ชั่วโมงท่ี 16-18

ขั้นนาํ

1. ครูทบทวนความรู้เดิมของนักเรียนเรือ่ ง ประโยคเปิด

ประโยคเปดิ คือ ประโยคบอกเลา่ หรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปรและเมื่อแทนค่าของตัวแปรดว้ ย

สมาชกิ ในเอกภพสัมพทั ธแ์ ล้วไดป้ ระพจน์

เชน่ “ เขาเรียนอย่ชู ้ัน ม. 4 ” เป็นประโยคเปดิ

“ 2x = 1 = 0 ” เป็นประโยคเปิด

“ จงเขยี นคําตอบใหช้ ัดเจน ” ไมเ่ ป็นประโยคเปดิ และไม่เป็นประพจน์

“ √2 เป็นจาํ นวนตรรกยะ ” ไมเ่ ปน็ ประโยคเปิดแต่เปน็ ประพจน์
2. ครูทบทวนสญั ลักษณท์ างคณติ ศาสตร์

ใช้สญั ลกั ษณ์ U แทน เอกภพสมั พัทธ์
ใช้สญั ลกั ษณ์ R แทน เซตของจาํ นวนจริง
ใช้สัญลกั ษณ์ Q แทน เซตของจาํ นวนตรรกยะ

ใช้สญั ลกั ษณ์ I แทน เซตของจาํ นวนเต็ม
ใช้สญั ลักษณ์ N แทน เซตของจํานวนนับ
3. ครอู ธบิ ายลักษณะของตวั บ่งปรมิ าณ โดยเรยี กขอ้ ความ “สําหรบั ... ทุกตัว” และ “สําหรบั ... บาง
ตัว” ว่า “ตัวบง่ ปริมาณ” แทนด้วยสญั ลักษณ์ ∀ และ ∃ การเขยี นสัญลักษณ์แทนประโยคเปดิ ทมี่ ี
ตวั บ่งปริมาณเราจะต้องเขียนเอกภพสัมพทั ธ์กาํ กบั ไวเ้ สมอเพ่ือจะได้ทราบขอบเขตของตัวแปร โดยที่

ใชส้ ัญลกั ษณ์ ∀x แทน สําหรบั x ทกุ ตวั
ใชส้ ัญลักษณ์ ∃x แทน สาํ หรบั x บางตัว

ขั้นสอน
4. ครูยกตวั อยา่ งลักษณะของประโยคทีม่ ีตวั บ่งปริมาณ
ตวั อยา่ งท่ี 1 จงเขยี นขอ้ ความต่อไปน้ใี ห้อยู่ในรปู สญั ลักษณ์ เมื่อเอกภพสมั พัทธ์เป็นเซตของจาํ นวนจรงิ
1. สําหรับ x ทุกตัว x2 + x = x3
2. สําหรบั x ทุกตัว x2 - 4 = (x – 2)(x + 2)
3. สําหรับ x บางตัว x2 + x = 0
4. จาํ นวนตรรกยะทกุ จํานวนเป็นจํานวนจรงิ
5. จาํ นวนนบั บางจํานวนยกกําลงั สองแล้วเทา่ กับ 2
วิธที าํ
1. ∀x[x2 + x = x3 ], U = R
2. ∀x[x2 - 4 = (x – 2)(x + 2) ], U = R
3. ∃x[x2 + x = 0], U = R
4. ∀x[x ∈Q ∧ x ∈R ], U = R
5. ∃x[x∈ N ∧ x2 = 2 ], U = R

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขียนข้อความต่อไปนใ้ี หอ้ ยู่ในรปู สัญลกั ษณ์ เมื่อเอกภพสมั พัทธ์เปน็ เซตของจาํ นวนจรงิ
1. สําหรบั x ทกุ ตัว มี y บางตัว ที่ xy = 1
2. สาํ หรบั x บางตัว มี y ทกุ ตวั ที่ x2 + x = 0
3. สาํ หรบั x และ y ทกุ ตัว (x + y) + z = x + (y + z)

วธิ ีทํา
1. ∀x∃y[xy = 1]
2. ∃x∀y [x2 + x = 0]
3. ∀x∀y [(x + y) + z = x + (y + z)]

ตวั อยา่ งที่ 3 จงเขียนข้อความแทนประโยคสัญลกั ษณต์ อ่ ไปนี้
1. ∀x[x < 0 → -x > 0]
2. ∃x[x > 0 ∧ x2 = x]
3. ∃x∀y[x + y2 > 3]

วิธที ํา
1. สําหรับ x แตล่ ะตัวท่เี ป็นจาํ นวนจรงิ ถ้า x < 0 แล้ว -x > 0
2. มี x บางตวั ทีเ่ ป็นจาํ นวนจรงิ ซึ่ง x > 0 และ x2 = x
3. มี x บางตัวที่เปน็ จํานวนจริง จะมี y ทุกๆ ตวั ท่เี ปน็ จาํ นวนจรงิ และได้ว่า x + y2 > 3

5. ครเู ปดิ โอกาสใหน้ ักเรียนซักถามขอ้ สงสัย

ข้นั สรปุ
6. นักเรยี นและครรู ่วมกนั สรุปการเรียกข้อความ “สําหรบั ... ทกุ ตัว” และ “สาํ หรับ ... บางตวั ” ว่า
“ตัวบ่งปรมิ าณ” แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ∀ และ ∃ การเขยี นสญั ลกั ษณแ์ ทนประโยคเปิดที่มตี วั บ่งปรมิ าณเรา
จะต้องเขียนเอกภพสัมพัทธ์กํากับไวเ้ สมอเพื่อจะได้ทราบขอบเขตของตวั แปร
7. นักเรยี นทาํ แบบฝกึ หัดท่ี 5 ในเอกสารประกอบการสอน หนา้ ที่ 112 – 113

ช่ัวโมงท่ี 19-21
ขัน้ นํา
1. ครูแจ้งจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
2. สุ่มเรยี กนักเรียน 4 – 5 คน ออกมาเขียนประโยคท่ีมีตวั บ่งปรมิ าณบนกระดานดาํ
3. ทบทวนบทเรยี นเดมิ โดยการยกตวั อย่างประโยคที่มีตวั บง่ ปริมาณ 2 ประโยค นกั เรยี นรว่ มกันหา

สว่ นประกอบซึ่งมี ตัวบง่ ปริมาณ, ประโยคเปดิ , เอกภพสัมพัทธ์
4. นักเรยี นรว่ มกนั บอกความหมายของตัวบ่งปริมาณ ∀x และ ∃x
5. จากประโยคที่มตี วั บง่ ปริมาณบนกระดานดาํ ใหน้ ักเรียนรว่ มกันหาค่าความจริงของประโยค โดย

การอภิปรายซักถาม เพราะเหตใุ ดสรุปได้ว่าจรงิ เพราะเหตใุ ดสรุปไดว้ า่ เทจ็
6. นกั เรยี นและครรู ่วมกนั สรุปวิธีการหาคา่ ความจรงิ ของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ ∀x และ ∃x เขยี น

ลงบนประดาน

ข้นั สอน
7. ครเู ขียนข้อความต่อไปนบ้ี นกระดาน พรอ้ มทง้ั ให้นักเรยี นจดบันทกึ

การพจิ ารณาค่าความจรงิ ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ โดยท่วั ไปจะพจิ ารณาแต่ละส่วน
ของประโยคทม่ี ีตวั บง่ ปรมิ าณ ดงั น้ี

สว่ นท่ี 1 ตัวบง่ ปริมาณ
ส่วนที่ 2 ประโยคเปดิ
ส่วนท่ี 3 เอกภพสมั พัทธ์

ถา้ กําหนดให้ x เปน็ ตวั แปรในประโยคเปิด P(x) ประโยคทพี่ ิจารณาคา่ ความจรงิ ได้
จะอยใู่ นรูป ∀x[P(x)] หรอื ∃x[P(x)] เมือ่ U เปน็ เอกภพสัมพัทธ์

1. ∀x[P(x)] มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง กต็ ่อเม่ือ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชกิ
แตล่ ะตวั ในเอกภพสัมพทั ธแ์ ลว้ ได้ประพจน์ที่มคี ่าความจริงเป็นจริงทง้ั หมด

2. ∀x[P(x)] มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ ก็ต่อเม่ือ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิก
อย่างนอ้ ย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์แล้ว ได้ประพจน์ทีม่ ีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็

3. ∃x[P(x)] มคี ่าความจริงเป็นจรงิ กต็ ่อเมื่อ แทนตวั แปร x ใน P(x) ด้วยสมาชกิ
อยา่ งน้อย 1 ตัว ในเอกภพสัมพทั ธ์แลว้ ได้ประพจนท์ ี่มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ

4. ∃x[P(x)] มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ ก็ต่อเมื่อ แทนตวั แปร x ใน P(x) ดว้ ยสมาชกิ
แต่ละตวั ในเอกภพสมั พัทธแ์ ล้ว ไดป้ ระพจน์ทมี่ คี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ ท้งั หมด

8. ครูยกตัวอย่างการหาค่าความจริงของประโยคทม่ี ตี ัวบง่ ปรมิ าณดงั น้ี

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคา่ ความจริงของประโยคที่มีตวั บง่ ปรมิ าณตอ่ ไปน้ี
1) ∀x[ x < 5] , U = {0 , 1 , 2 , 3}

วธิ ที ํา จะได้ ∀x[ x < 5] มีค่าความจริงเปน็ จริง เมื่อ U = {0 , 1 , 2 , 3}
เพราะว่า เมื่อให้ P(x) แทน x < 5
จะได้ P(0) แทน 0 < 5 ซ่งึ เปน็ จรงิ
P(1) แทน 1 < 5 ซงึ่ เปน็ จริง
P(2) แทน 2 < 5 ซ่งึ เป็นจริง
P(3) แทน 3 < 5 ซึง่ เปน็ จริง
จะเห็นวา่ เมอื่ แทน x ดว้ ยสมาชกิ แตล่ ะตัวใน U ในประโยค x < 5 แล้วได้ประพจน์

ท่เี ปน็ จรงิ ทง้ั หมด

2) ∀x[ x < 5] , U = I
วิธที ํา จะได้ ∀x[ x < 5] มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ เม่อื U = I

เพราะวา่ เมื่อให้ P(x) แทน x < 5 และ 7 ∈ I จะได้ P(7) แทน 7 < 5
ซึง่ เป็นเท็จ น่ันคือ มสี มาชกิ ใน I อยา่ งน้อย 1 ตวั คอื 7 เมอ่ื นําไปแทน x ใน P(x)
แล้วไดป้ ระพจน์ท่ีเป็นเท็จ

3) ∃x[ x < 5] , U = I
วธิ ที ํา ∃x[ x < 5] มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ เม่ือ U = I

เพราะว่า เม่ือให้ P(x) แทน x < 5 จะเหน็ วา่ มีสมาชิกใน I บางตัว เช่น 1
ซงึ่ 1 < 5 เป็นจรงิ