Pogorelov - Geometria 7-9

AM Fcgmre{ov

ffiffiffiru€ffi.RKA

CIasa 7

PLANflMETR[A

Traducere din limba ru:,i s !. pROpRrETATrr.E FUNDAAIFNTAI-E

de J. Soicn 9i /. Ciiilaroc;li N[-E CELCIR MAI SEMPI,E FIGU$R.I CEONNETRICE

Receneent acnJrrr:r:ieranr:l A.$. a R.lj"i.i:1. e" $l3J;.s&* Geometria este gtiin{a despre proprietd{ile figurilor geo-

A. B. fioropenor. feotrerpr*x. Vqedlroc uoco6ue A,,rn 6-E ntrrtrice. ,,Geometrie" este un' cuvint gf ecesc, care in tra-

NraccoB cpegucfi urxnJrbr. Aojyrqeuo Mni:ncrepcrroM npocne$lerlag rluccre insearnnd,,rndsurarea pdm?ntului". Aceastd denu-
CCCP. Llsaair*e ?. c{ocxsa' infio.u"tuen"en, tSbg.
tnire e legati de aplicarea geometriei la nadsuriri pe teren.
_P 4306020502--078 scrls" iL"B'F' al R'S'S'&9'-6g Exemple de figuri geometrice sint: trir.lnghiul, pdtnatul,

mfittno** circumferinta (fig. I).
Figurile geornetrice sint extrem de variate. O parte a
ISBN 5,372-0073$.?
oriclrei figuri geometrice este de asernenea o figurd geo-
@ I,iqr{are.roerno <fipoeneu{esue>, lg82
@ Ftrtgara:lcrno e['f, pocseff{,e$iie\ rnctrici. Reuniunea citorva figuri geometrice este din nou
t3tu'
o liguri gepmetric5. Partea stingd a figurii 2 const5 din-
@ rraducere ri' ff..-Si?f#"lt tr-un triunghi gi trei pltrate, iar cea din dreapta const6
I. D. Chitoroagd, 1990
rlintr-o circumferin{d gi din pdr}i de circumferinf5. Ne pu-
lcrn irnagina cd orice figurd geornetricE este compusX din

1rr r rrcte.

Geornetria se aplic5 pe larg in praciicX. $i rnuncitorul"
.,ri irrgiireru!, qi arhitectorul, gi pictorul e necesar si gtie

I'r'ornctrie. trntr"un cu'ltnt, geometria treiruie s-o cernoascE
Ioii.

G'i,ornetria care se studiazi in gcoal5 se numegte geo-

rrrr'ililr euclidiand, dupi nurnele savantului din Gnecia An-
li,':r liucliel {sec, trii i.e.n.}, care,a creat un manual rernatr-
,,rlril rle rnaiei:raticd cu denumiirea ,,Eiementele". ln decursul

r'!,u timp indelungat geometria se invd{a dupi aceastfi

r rtir".

,txru--")* ffiffi
Fig. I Fis I

Noi vom incepe studiul geornet- nruDltr:d$.€i'{l.:'f"tlnuenp'iepuptoictt oare avea ffi;:i '\.i y
riei cu planimeiria. Plantnrctrfc es- de interse*$ie? \* r""-\.:e."*
I'Jrr pct. []ac5 etre ar ave.a doui
te un compartiment al geometriei irir.ri:'ie de intersee {ie prin ae,:ste
?n care se studiazd f igurile pe r-runcte ar treee doud drepte dife- r'/ -{.-d*- *\ A
^?t
plan.
Li'ie. Acea*ta ?r:s$ *ste iffl)*sibii, de, n"\
1. il'UruCTU[- $I DNqEAPTA
4latrece prin dolcir L-.unete trece c si:'r- Fig" 4
Figurile geornetrice fundamentale pe plan stnt p*nctul
qi dreapta. Functele qi dreptele se traseazd pe desen cu un gmrfi clr*apt5. Ag*c.Xar, volxi avea rir- fAfiP'8 Me".@tu!i#" E.f.1,4P
cneion bine ascu{it. Fentrul construirea dreptelor se folo-
segte rigla. De obicei punctele se noteazd cu tritere latine tnS tearca prcpi'ictate: e

rnari: .d, B, C, D, . . . . Dreptele se noteazd cr-l litere [atime l.l. f)n;:.I clrc:f.e c:"if e, .ie eitt ii,!t

mici: a, b, c, d, . .. e r::i; [.ta,y df' te: ::;crl,g,# srs,r s tnf e r s e t! i: a r:,fi,
In flgura 3 sint date punctul ,4 gi dreapta rl.
"L! ;Jgtii. l;;",dr'-g:a sfru3'rtr p;t*cf.
?. FROpRIET'ATEE"E FUftIDA&lEF\!TA[-E
Fig. 5
BH, APTXRTENEruTA A pUruqTEtOR $t DREPTEE GR
il.3" p Tii:; ];l : :j"f,r Ii L g? U Fj ffiAii,!,nftjTAU"E m E A&{pE"ASFr$tF
Frivifi figura 4. Vede{i dreptele a, b y puraciele A, B, C"
trunctele .4 9i C sint sitttute {se afld} pe dreapta c. Se F;S,{":fl $}Rr.*'i:,'q A B}Ll il4"ilfr:f"S* P.E $FifrApTA

poate spune, de aserneilea, cd punctele ,4 qi C apar{in drep' $B Pfr' B:'fl.Aru

tei u sau cE dreapta a trece prin punctele A gi C. trrivi{i iigure 6. lvedegi dieapta c Ei trei punete r\, fio C
pe er:easf,l dreapt5, Fui-lctul situat tralre puractele A +i e"
Punctui B este situat pe dreapta &. El nu este situat pe "S e sllune, cie a$efiteurea,
dreapta c. Functul e esie situat gi pe dreapta c, gi pe dreap- ttr se,r,:;"d p::ncteie ,;t qi e. p'.:at.e
ta fi. Drepiele a gi b se tntersecteszd, ?n puncttl! C. $)uncttil ;le
:;i-i 1r'i:rcl:le d ;i 'f st;.,t sitt:sie tte difer{te pd.rt'i a\e p*netm-
C este pwnctwl de interseclie a dreptelor c ;i [r. 0a*i .f3. i:'uirc';ele "4 qi ,r? stnt sttw*te de ucee:r1i p*.rle a punetet-
in figrera 5 vedefi cum se co:rstruiegte cu a3'utorul riglei $ui {":, ele nu sirrt s*parate de Fr*nctul {]. Functele E pi C
sfnt siir::rie de *ceeagi E*yte a punctulr,ri ,4.
o dreaptd care trece prin doul punc{;e date .r1 qi 8.
EP*"A41-r9'/"'' I
Urmdioareie dou6 proprietifi se numesc prspr!et6f i
f undarnentale de apartenen{d a puncielor gi rlrepte- A' -*" rg

lor pe plan: " 'i€'' t4

ilb Oricsre ar fi dreapta existd. pwrctte ee apa$in ssestei htg. o Fig. S

drepte gi gtunete ce nw-! apa$in, Se nu:negte segment o parte
\2. Prin ortce doud p-runcte se poute dwce o dreaBt& 6i nas' a dreptei, care const5 din toaie
punctaie acestei ctrnepte, situate
mai wna sinl,urd, ?ntre dou5 puncte Cate ale ei.
Dreapta se poatc nota Drin doud p.uncte, sittlate pe ea. Aceste pu*cie se nuffi-iesc extre-
neitd.ff, a!e segmentului. Segmen-
De exempiu, dneapta c din figura 4 poate fi notati prin AC
iar dreapta Ir poate fi notatd prin BC.

4

,,ta,.,-Ltt' -. lr t.4'e.,./,,,.&l

tu! se noteez6, indicindu-se exiremit${ile lui. cfncl se spu' ta. Deci punctq! B se afld 'in celilalt semiplan. AEadar,
ne sa$ se scrie ,,segnaentttl AB" se subfn{elege segftaefi!'
cm extremit{iile 'ln punctele A 9i E' punctele I gi 0 sint situate in diferite semiplane. Aceasta
tul nl este o parte a
trn figura 7 verle{i segrnenttll Ae. inseamnd c6 segmentul 8C intensecteazh droapta noastr5.,
dreptei i[e. AceastE parle a drep1ei cste eviden{ia'i5 priaitr-o
Einie groasii. Funr-:tul fi ai dreptei e situat intre punctele A 4. SEMIDREAPTA
'4 fl" F);lractul Y nu e
qi B. be aceea ei apariine segrnentului el nt'e ap;rr{i*e Fie o o dreaptd gi C un punct al ei {fig.9,ea}. Frin puna-
5€- tul ,,4 ducem o dreaptf; & qliferitd de dreapia c. Dreapta b
situat flrtre punciele d 9i ff. ile aceca irnparte planul in doud semipiane. Partea dreptei @ ee s&r.
std din toate puncteie ei, care apar{in unui serniptan, $e nu-
Enentului ri3. S. ilreapta a i*ip*rte illanui in elc::;j ser
megte semidreaptd. Funciul A se numeqte orige'aea semi-
Frivi{i figt:'ra dreptei. Dreapta b fmparte dreapta a in doui semidrepte.
rniptrane astf;l iilc?,t fiecare punct an planului e* r!!tr apnri[ne
dreptei a e situat pe un'.tl din ele" Acerastd frnpf;riirc ar* ur' Ele se nurnesc complementare. lmplrlirea dreptei o in dou6
frnatoa r ea prop r iet ate . xl sci.d e Nf r e rruit ti|' ite fi t t's"ti ssd'r,$*t; $#s'€- semidrepte nu depinde de alegerea dreptei b, adicI orice
cgre siraf "sdf$asfe Entt=een ee.rnjptan, sf$r.fl9iiif*:Ed {&N 6e altti dreapti &r care trece prfry punctul A imparte dreapta a
J.fifi?6"Fcs- ln aceleaqi doud semidrepte. De aceea vorn spclne cE punctul
teaed ew dreapte. Elsci# extrelifzitii*t{e oegnaerafnllxcd
.stitf sf- A imparte dreapta dat5.

taate ?n difertte semiptarce, seg'*aenfrud se Enterseetc*z# ew Dier proprlei5{ile ln:pErfirii p!anului in dou6 seifiipiaste

dreapta. trn figura I punctele A Ei E s?nt situate tn unul nez;ult$ proprietX{ile impdnfirii dreptei in semidrepte, gi anu-

din semiplanele in care dreapta a ?mparte p!an'an' De aeeea rne: pwnctele care apnr$in unei semidrepte se afla de aceeagd
intersecteaz{ cu elreapta e' parte a punctu{wi ce i,mparte d.reapta, iar punciete cfire epflr-
sCeggmi Dentsuiln't4s8itunaute se Fui'"leteXe
diferite semiplane. tr)e aeeea segrnen-
in

tul CD intersecteaz6 dreaPta o. oli,n sen*,dreptelor complementare se afld de d{.ferite pdr{i *te

Froprietdf ile f undamefitate de amplas*re a scestwi punet. trn figura 9, punctele X gi F aparrein umei
sernldrepte. Hle sini situate de aceeaqi parte & punctului S.
punc{elor. pe dreaptd qi pe plan stnt urrn$Boareie:
[]ounetele X qi e apar{iru senridreptelor compieruentare. Hle
l|y Btn trei gawnate ale anet drepfe wrzwt gi nutesai s*e$E

e aitust &ntre eetelatte d.omd. r.,tr;it eituete de diferite pSn{i ale punctului C.
Elz. Ofice d.rcaptd imparte pfaww{ in daw& searefpd*me"
.f",* fntreba!'ee, ce este o sernldreaptd, pe poate rdspumde
Prohlerni (9)". Sint date o dreaptd gi trei put'lcte ;imlpit"l: semlcireapta es{;e a parte a dreptei cnre eoarst6 din
A,. B, C care nu sint situate pe aceast"& dreapi6. 5e gtie cf;
ti, segrnentul AB interseeteazd dreapta, iar segmentul .4C n-o l;,;tte punctei* ei situate cle aceeagi parte a unui glu tct dat

I interseeteaz6. trntersecteazS oare dreapta segmentul 8C?

Argumentaf i nHspunsul.

Rezolvare. Dreapta imparte planul in douX semipla-
ne. Functul A apar{ine unuia din ele. Segrnentul AC nu in-
tersecteazd clreapta. Deci, punctirl C e situat in aeelagi se-

miplan ca qi punctul .4. Segmentul .48 intersecteazd dreap-

. r In paranteze e pus numirul problemei dirl lisia exerci{iilor de !a TA;';6d,I Jf)

sfirgitul paragrafului.
6

al ei. $em!dreptele diferite ale unei drepte cerc a!.{ o Gri" H$[r. Fiecnre scg,neernf..&ire o annwtfi| lwngtme ya*.t rwsre

girie cornund sint complementare. t{rc?,t t:erc. E w*gimea segmentwtw$ esfe egat_& eu swtaa {.sew
g\mitor pl$,r$ifor tn es,, e e imp#;rfit ef de oriee peanet s$ edse"
Vom nota semidrcpteie cu !itere latine niici. 0 semi- Frin urrnare, dacE pe segnrentu! ,45 lu:Irn criee punct C

dreeptd se poate ncta gi prin doul puncte: cr.iginca gi inch Xungirnea segrn:ntului "48 este egai5 cu suma lungintilcr
un pi:nct c*t"ecare ce apar{ine semidreptei. Pe pniniu! ioc segmenteior AC gi EC. n-ungimea segrnentului ,4S se nu-
rnegPter, odbe iaesermneine(1a"6di.isTtaren{i:ZpudninctiereAp,uBnc,teClesA?ntqsi iLtr:ate pe
se pune ?niotd*auna originea. De exeinplu, semirireapta evi- a:3ce,e2aqcirdor.eFauptnEcrtuSie4gt$ieoatvtea
AB:4,3 cm, ,4C:?,F erfi, r,SC:
den{iatH in fig*ra g, h printr-o iillic groasd pc:te fi no- siiuat fntre punctele g
oane fi
tatii prin ,4"&. Ei C? Punctr.rl C poate oare fi sliuat intre puncteie A qi E?
Care din cele trei puncte A, B, C e situat intre cele$alte
FroblenlH (n3)" Fe segmentul ,4F e luat punetul C.
doud?
Irrintre sernidreptele .48, AC, CA gi C& nrimi{i penechi d*
tr?ezolvare. Daci punciui A e situat fntr"e puraetcle
semidrepte eare ccincid, de s:miclrepte conrplementare. Ar- E gi C conforrn proprietdfii mfis&rdril segrnentelor trebuie
sh avern: AE+AC*SC. fns$
igurnentaf rd sp uns",-al. nu 4,3-t-7,6tt3,2. Deci, purnctml A
este situat fntre punciele I gi C.
Rezolvare" Sernidreptele date au clrept onigime sau Daci punciul C e situat fntr.e punctele ,4 gi S tnebuie
punctr.rl A, sau puirctul C. Considerdm rne,i intii semidnep- sH avern: AC+BC:AS.' InsE V,5+.3,2+,{"8. Deci C nil e
tele cu originea .,4 {semiCreptele AB gi AC)" prqnct#l e e situat intre punctele A gi 8.
sitarat intre punctele / g! 8, d,eoarece comfcrin conCi{iei Din trei pur:cte A, B, C situate pe o dreapt6 unul e si-
pnbblemei el aparfine segmentului ,4fi. Deci punctul d nu tuat fntre celetralte dcu5. Deci, acest punct este E.
este situat intre punctele I $i C adicd puncteXe E qi C .-Se
sint situate de aceeagi parte a punctului .4. *e aceea sesri-
utrfwt
drepiele 4B 9i AC coincic[. numeEte wnghi figura care const5 dintr-u.rt irermct
ungkiului gi dou5 sernidrepte difenite care pcflrxese
Consiclerirn acuirn sernidreptele cu originea C (serni- -din acest punct numite laturi a.[e unghiulut.
dreptele CA 9i CSi. Functul C separ.d pur.ictele A qi 6. Se
aceea punctele ,4 gi fr ni: pot apar{ine uiiei semidrepte,

deci sernidreptetre C,4 gi CB s?ni cc,n'lplei:;entare.

A $I A6i FIROpRnET',AT!tH F{-iiruDA&,qnruTAH.E DF. ffiAS[.JRARE Dacx iat'"irile unui unglii sint sernitlrepte cornplerne$tare
SEGr$qHNTF,s.CIR UtS&F[il8_r$tXq.SR ale unei drepte, unghiul se numeqte trttires.

Pentru rnhsurarea segrnentelor se folosesc clifesite in- ha fig';ra I I veCe{i un ungX.ri cu virfr.ltr G gi laturile c, &.
tlnghiutr se noteazi prin virful lui, sau prin traturile !oui, sate
strurnente de mEsur5. cel rnai slrirplu instrumeret de acest puncte: vinftil gi ciou6
fel este rigla cu diviziuni. In figura prin trei puncte pe naturire *nghiuEu{.
segffientu! ,AC-cu trO segmentu! Ag este
egal cu l0 cm, cm, iar segnleratu! Cuvintul ,,unghi" uneori se introcuieqte cu semnalB Z. Un-
6 ghiul din_
-BC cu 4 crn. n-ungimea segmentulLli .4F este egali cr.r figura I I se poate nota in trei feluri: L0" t-{ab},
LAOB. tn cazul al treilea
surna lungimilor segrnentelor .4C gi 8C.
trropriet6{iie f urn- litera care indic5 virfui se
damentale de m6su-
scrie !a rnijloc.

rare a segmentelcr sint Vom silrr"fie ci semi-

urtnitoarele: dreapta trece intre !atuni- C Fig. llE
le unghiulr^ri dat dacl ea
FIg. t2

pleaci din virf utr ltli c. pI{opR[tsTATILE FUND"q&TENTALE D'A DEpUNfi,RE
A g[ ASEGMET{T'EE CIR
gi intersecteaz5 un seg- UNGFTTURffi.ER

memt oarecare cu extre- In figura !4 e arltat cum se poate deptine cu ajutorul
niglei pe semidreapta & cu *riginea A un s*gment de lnln-
mit5fitre pe laturile un-
girne clatd (3 cm)
ghiului. In figura 12

sernidreapta C trece fn- Frivi{i figura 15" Semi,lreapta a, tiinrl nrelungitf, din-
colo de originea r?, imparte ptranu! in ctoua serniplane. trn
tre' iaturiie ungtrriteilfr figurd e arfitat curn se poate depune c{.t ajutcru! raporto-
nului de Ia sr:midreapta c fn semiplanul de s$s rln unghi
Fie. 13 (c&), deoarece ea plea- miisurd rlstd tn gr*de
de {S{}"}.
c5 din vfrful tlnghittltli FrcprietS{iie f
undernentatre de depunere a
(ab) 9i intersecteazi

segmrentul Afr cu extre-

mitStile pe laturile lui. s€;gtnentelor gi lrnghlurilor sint urm5toarele:

fn cazul unui unghi ,intins eonsid"erdm cd o r i c e s e- fiVr" ffe u,,ke ses*dreags/d de €a ari.g\nem ei se gdo*.te de-
midreaptl care pleac6 din virfu! lui gi diferh de la-
p$,fte fi;{t t;*gwaemt efe darrege'mee dat& gi nuwcsi wrawd singwr.
turile lui trece ?ntre taturile 'rrnghiului.
El/e" &e ts oriee semid.reaptd in semipt*nw{. dat se poate
Unghiurile se rnfisoard in grade ctr ajutorul raportortt-
lui. In figura 13 unghiul (ab) este egal cu 120", sernidreap- *depune em canglei de aenwtnit& we#sard dnt& tn grade mal
ta c frece fntre laturile unghiului (c&J. Unghiul (oc) este s$ia# deeit /S{}' pl reurnsd arclr"f singwr.
egal cu 90o, iar unghiul {Sc} este-, egaf cu' 30'" Unghful
FrobtreneI {35}" Pe semidreapta AE este depus seg-
(oS) este egal eu suma unghiurilor {ac} Ai {bc). rnentul .4C rnal rnic decit segmentutr ,,48. Care din trei
puncte A, B, C este situat ?ntre celelalte douh? Argumen-
FroprietS{ile f undamentaie de mdstlnare a
tafi rSspunsul.
unghiuniion sint urmXtoanele:
Rezolvare. Tntru-
$EflEa. Ffece,re rymg&f &{e wnwwett& rn&sllwif,- 3n ,gtade wao,t
cit punctele B gi C sint
sden;"e dec?f aer-o. f/mgfeJruf i$ff$s este egsi' ess JS#u" dd#'ssre
frm gr*de e ar*wi $&ghf esfu. ep;m,I& eed $nfli"s# madselrfgor tn gteede situate pe o semidreap-

o{r e ngFgr?re r';!or tn earc e€ ette iwzpd,t$i{ &* atire semafdreepfd td cu. originea ril ele

se ta'*ae fnfi"e feufearJ{"e tl*l,l. nu . sint lrnplrfite de
punctul A, adici pun-
Fririuflfilare'daessemirireapt*cir';ce?i-rtrelat'"lrlte
u*gtii,"llui {,:.&.}, ullt..llilul (ci;; e:'re egal c'*"s'ijr}la ui-aghiurilor ctul A nu este situat

{cc} :;[ {&ct. Stnr'icnrenrtta s poate c*i"e trece fntre intre punctele B gi C.
F::uhlemd {2#}' L{ar:}:3$*, l-""{ch}*S0o'
{*h.t" claia Functul B poate oare
$ainr"ile u*gh':iiur fi situat intre A qi C?

'A-{etit} ''= $1,1"} Daci el ar fi situat in-
Fi e z cl I rt it r ',:. lil;;;i. r,rrticii'e:"i?t'* tl iiecil fn{le lat*rile tre punctele 4 gi C, am

avea

oinghlulrrli (cl,), conlrrrm prc;prieiilil rj* t;if;sili"r;l"r: n uLtgi-ritt- Ats+ BC:AC.
rilr"i tnebuie ';ii
a'uene: ,t--(nc) i-,tic$) ='f't*h)' i'ns$ ili)"* Dar aceasta e impo-
"-{-g**,*nO,,. tr}eci, r*rniii,i"el.tpti! c n!-! prrate tnece [ntre laitl- sibi!, deoarece din con-

nite unglaiului {s&1,

di$ie seganeniul AC este rnai naic dectt segmrcrrtull r{8. Seei, ,,"4r8t, EC.:BtCr, AC: c ffi#st* ^E
--lt_1Cy Fe desert seg-
punctul S nu este situat intre puilc'cole A gi C. Din trei
rnentele egale se notea- A.**,--,+&*o.&qa."6,. $ ;ts't*' ''^
puncte A, B, C unul e situat imtre celclalLe riou5" De aceea
z:a de oi;icei cit una, q,_S{"g' $
3ruirctul C e situat ?ntre puiictele .4 gi iJ. rjoud saLi trer limiu{e,

?. n,X.ggT$:f{TA Uf{{JE "fi'Xt${Jf,lGfr.HE iar unghiuriie esgaauleir-ei /
ECAE- C{.J TSISHJhJGB{5{"J[, I]AT unul, dou5
cu r'lg. r6

AFCC.

Se nun:eqqte trir.tnghi figtl:n cai'e const:l d.in irel ptlncte pnaorunrigtFaohenibuir{iltg5r,un4roufr'iioCdt:tima:er.esetaealiioeentggaaac{liraacitrureAfitiAsriteurEiniC.signc:hAgriihuAui!utBv/r4iirrr,oCriuBr,trCsisrs{ee,.fcctArriotiieuscegnigtgaethe:rei6,s',irein*rniri.i---

ce nu apar{in unei drepie gi trel segnienie c,e finrsc aceste

pr.rnete dou.l cfte di:ui. Flt,:::ctele se ltumesc aitftri alle tri-
unghiuitii, iar. segrnente{e -_ {s,turi a!e lui. fn figura l6 ve-
defi uir triunghi cu l'irfurile A, fr, e qi laturile Aff, SC, .4C.
?Xrciucunlgchuiu.riinsteu!nuoite,a,tzr5iu, lrir;ahdii"cilrsdeu-s.efcl'c",sinefgutrei?es'i:nmi.nuU!nAeo.ri tH:u*gl8aalnilttac,te.e.va.a,:ALiaAArSe:CgLa:BiiAtatAteJLai,ECA:t.L4inEAsCera,:nAe.f.nr.dr.Ac6rfr^t_fnAse,:aLrnAn,dl LB:
tc;
tr]e cu to-

exempiu, triurrghful dln figure. 16 se ncts:a25. ;tr.'otr\:.&AAC. e"lfeus"gte{$uureenogegabtnlietIcaeuc{ir;i9nr0i}6as"t.up(Crauau3}n,c"4es8Tusrefimn!s.ttneeg-eghagiutaerlilileac,tAuuErIaet]p$!nei ,pqiaei rturu*srgaingtiht*iuteiglfta.C*-
ia vtrful .4
Se nutnegte ungfzi al tri'":rrghiuiui "'1'.Sil de fel se defi-
armghir.l.{ fcrmat La
rle serniiireptele ,1'l# gi l-{C.

nesc unghiuiine triungtrintui e{e la rr?nfririle f3 gi C.

Douli segmente re inffi!::iese *g*de c{a*il e}e au aceeagi Re z c, tr v a r e. Deoarecc trfunghiurile p.AeE:Cf'Cgi trg& sfnt
1_C:1R, AE:Fe. Deci,
leltigimre. Douh un.gh;"t.r'r ie r:!-trlri€sc eg;*le da*5 eie au aceeagi egale, eie au m,-d&:
:9Co.
mdsurH un-lgl:iuiarl lql r..iir,i':. Triir:.g'liciii": ,'4tril 9i ,4rE:Cr

se neifi?Esc eg*fe '}x,;i r:ie :ill: Fie date triunghiul ,:iEC 9i senridreapta o (fig. IS]" !]e_
L"tL^Lf;* /-B:Lilu /*e *LCv
plas5m triunghiutr .,4Se astfei incii virful ,4 sE eoinc;A$
l,oudserriiemgnaiiondpsretetaaiau*ps;itenamicaaiedrAcra'eiisrpptftSrueeiS!luiconflz,gi{*ivir'eeirpanfueoeu!si5.IenpN-r.siro:i.ptir;liaArnnn.i,um,vlfierrdufr"ueaCartistlfe.cn{f,#trrpiuauenpng}osMhretiuiwr"c_iri\u-u
,l'!-i.- :latB:, SC'=,1; C1" "! C-','11ti'.
ArElcr este egal cw triu;:&hixt Afic" Existen{a trin*gil-iului
Fe scurt aeeasta se expriinl pniil cllviraieit: drdi;r:gfuiwdle

ss red{s"c.€,se ega$e der& *.sa iatcaril* earespwnzd.tazare gi wn'

In figura l7 vede{i daru* triunghiuri egaXe: ASC gi ArBtCu egal cu trir-lnghiutr r{EC nqi arnplasat iru moJtr! in-
SlBrCr" EXe ai-r: LA:/--At, /-B:L8",, l-C:/*e,,, AB: dicat fa{f; de sem.idreapta c, o referirn Ia pnoprieti-
dat6
n0 f ile f undarnentale ale celor rnai si*rptr! figuri. Vorn

f\./r/\'f\\\^/\ forinuia aceast5 proprietate astfe{:

l_/q/\_J EVe. $riesre ar fi tritenghie$, exdsfd ure trE*ng!.a.i egc;{ eee

el tn poaigls d.s,t& fogd. &e semtdreaptw dat&.

l.a

Fig. 16 Fig. 17
l2
l3

8. PRSPRIE,TATtr,A mlrrwatnrustiir.cput"!PtilrE-aaur:dnenei.:n4f'uof8iFla_loui?dr{enrnfitfincewgstae"r"tvirsr\ie?eerafetr;iltr..geinr.erwsigzwtD.rigiieresAtnrtard*iupiiwcrlutn}nae,gri:"itrtireigzenarhiurjiitamiuc*nal*6tpuedtariedcirnAreteleengaetepep-bad.tl,azeaidr{$nae,criurtec;nlits;*uitdnneua&w;*t.rdrd&rerei,oetgccEuertrsir;iufa;twr2sirui6er*ni_,-.
ftttenetsdmeeeute{rrras!ttsoaseeieza{sectriu,*sreaccseeae.ttin*eetcitsrenutaa.tetnf:ezea'nsana:celizsta'gas;ic{iiitemncfuufccetcgeaartl-uaee.naiunuacg?mfrtezuinu1;l.ellsri,,e-rur;seibcr.lanealrS}upl"uni.stpdrrafdesiinrpadrgeeceiimnraaaaia,mn$empcfatnttauete*actrerr*e*ps{l,tsef*sreutip,eegciJxlgit*"c*as*c:"taetupur*ruriri!tnes,isr*linaflep*iclturg,d;Eua..rri4,n6ned.6,eDraecrC.geuapn.auc*titai*uUup{guaitnn"eagpnuetat,*;uicucnirg*dr.iie;.se_suFtArre*lee*sn"entleoniiuCnnnc*cCr-----
FUNDA&TH,hJTAE,A

A DREPTflE-SR PACRA[-E[.E

Doui drep'le pe pla.n se ilurcesc
gsaralele daci e{e n:,q se isitersecteazd.

[n figura l9 e arltat, curn se
poate duce prin punctul dat ts 0

dneapti &, paralell cu dreapta datd

o, folosind rigla qi ectrerutr.

Fentru a nota paraletisrnul dreP.

telor se foloseqte sernnml ll. Notatia
cll& se citeEte: ,,Dreapta o este pa-

Ftg. 20 ralel5 cu dreapta dl"". vgdaifnrsAnetef'linnrrtgunarralenec{eieasilscelecs'ccxaaeixortemtoor.fselgm.guCaireiu?anvszsiinbneitaptumnrlen,f,o$farixmgo1uuotmarrief$tinrr,eo*urppasrrfooieepvdriniceeaemtdroeC{nir*snc'trluraefatucrzneuE---

F r o p r i et a te a ff u m d a tn e n- zcgte indoieli.
talfi a drepteior paralele constd fst

unmdtoarele:

V" Fnfrufo'-vrt'.* pwnct a&te se$ &psr'

$lne dreptel date ire p{an se percfe t}uce eeil rcewlt a dreaptd -dcuamnLreagnitdapelerrnoaapnlreisetcrtahe{f!iioailretremcolaer!ejarsuidmeeloprnrreovnfosigmtruafrtoei,t,roaasddi icipcarxoaptexroiieoretrdmnfleirlt*er,e"ffduoenu--.

paratet& ew drewpta dat&.

FrobIeenE {45}. Foate oare o dreaptd a:are irtter-

sectear$ una dim dou6 clrapte peraieie sh n-c inttrsectese

pe cea.laltd? Arigurnenta{i rHspr"tnsril.

F?ezoivare. $rie a qi S d*r:$ eircpte para3.ele, iar c o

eillareeapi t$d,neeaapretainctenns-ra*:ireain:ei;H,el'ccieneetr;p: tdnl'er:ilit,:-'t11r :lurn,eptl"rtiir":4puif.imgc.i,*tt$l ).'"4 snonstrate. $e inierzice fotroei'ea antor proprietd{i atre figu.

ar t:"e*e rtr*uX aia'eprte c&re l::;l i;:t+:rretir,,l:':3 rjrea;;ia &; rtreiip- rilor, chiar dac5 ete ne par evidente.

ta a gi dreapta c" TnsS in confoisnli.,:.tt r,:.:, pl',.rprietlltea drep- vfniigunl-u.tLercai'alosdoreecirninansortcenerrsizestnirecaee{vigafsieddtoemopforeereortsdnriieecnsr-lolearnfnacdevreaearaclmio!cnevaaoemsieeeesentsexti,ipeprfriomporrpoEorspiieinir;trr.ditned{ei1'csniuer*"--

telor paratrele ar:easta e f nlprcril,lil" ii,:1.i, rii:e,apia e:, inter"
sectil:l,i dre*6ria *, tnelitii* sJ inter;:*,i:ti'.:,. r;i clreeXrt* #,

gi. ;i:i.lt#lVcil,,'f l]Cr,,qfi,F'$"n {,1 i',{ ;, "-, lif l,r-,i1 il!

"r'l.lste1r:* af i; l'nafie? {l:1sFr",: flr'iiii;" i,.-',1 ':f.r':a ,,rl:lei aii:tl.cniie fi-

gulri gecinetiii:rij i;l :.,f;"ri;iiaiie r.,l'il-l. i't,lI rl.,oi:;llrt"r;,1" AAeet i'*-

t se$ie: r lmen rr iJ,lr r'li i i.: ;;k:.r;:; +;r.s i;'*i, :,r: r: .,...;i; ,-A- n-,:^rrr{ i;illl

CI pr'?Fr ieta le a ttn,;:i r-i1;",ui:r r.:;r.:::lr;ii:::tr ;: i, rri i:) ili:;:itlistrea:ei,i" se

l Ittt^lna egte { e's r e in d,. nn.l*, i.r ti i ci'l,vl p i t i "
?eslre mra tr"?.;lto;cd w d'r'e*;tt;i rtli;- rrrit Sreae pnfn ruie$

Fig. 2l

ls

"-dh.id,id'.a

94?0". F!oo1rrineuxlaerfinpalxuiodne-leteleordeerndapqaIrtdeenrennofndsiarafpiauneci.telor qi drep. ele nu sint situate pe aceeagi dreaptd? Argumenta{i

rdspunsui.
8. eDsutcees{ii'oiuadtrepaepta5c9eiaisiotltadfri'euanpptiu. nItcjot toaa{ii-e<claorue5ApucnacretenEu
telor. a
Fornlula{i
4tr. gliiuriior. axiornele de niSsurare segmentelor gi un- qi C astfe! incit segmentutr lB sd intersecteze tlreapta,

- irorniuiati de a iar segmentui SC si n-o intersecteze.

43" airi"ril^'" axio:ilele depunere seginentelcr 9i un- 9. Sini date o dleaptil 9i trei puncte A, fr, C care nu sint
sriuaie pe accasti CreapiS. Se gtle
43. F*rlnula{r axicina 'Je *xislcn{ii, a unui ir-iunghi egal c!.! tersecieazi dreapia, iar scgmentui ci segitrtniul "48 in-
cel dai. n-o iritersecteaz6..
AC
lilr'$rfi. ce constX axrurna ci:-eptelor parirleie?
intcrcccteazi oat'e dreapta segr',aentnX SC? Argrrrnental;i

45" Ce propriet5{i ale fig:.u'iicr geometricc se pot 'folosi la r;1sc rin sui.
rJemcnstr a{ia ier:r"emei?
4S. Crin se fr'loselir cir,senul la deincnsiralia teoremrei? 80. Sini oaie o dreapth gi patru puncte A, E, C gi D cane
"{?. Fr.'imuiare;r tcffiei teol:emre consti siin doue p5r{i. Care
stnt eie? inCdnruleel)arsspiientialcttetersssaeieizgucXranteeideatrrzctpuSaeipcAtalar.Dcc, ae,ipaadts.raat;iscedl2:gr)lem)aseepsnegttlugm.lmI*n8nettnele]treleslnee-Ac4otCe8iae,zrgtgieirCosSaercCge'i
43. r dcfini qeva? Da{i definigiile egatritd}ii teazd; 3) scgn:entele AB qi CD inieisetteazd dreapta,
t*],: f:.::arnr,I iar segmentul EC n-o iirterse&eazi; 4) segn:entele ,4#
"d'l"erierCsaeDpctiaena;uz0*in;)t5es)resgseemcgteemnaetezntitreedler,e4AaCp8,t,at,sEiCCar,gCsieDg8mnDeuniitniurttelerr8sseCeccietoeaazinz6-i
segr:lcr-riei ol", ur; gh i unil,:r Ei'iriunghiurilor.

EXERClTil."

!. ;XDoiulluruneccaceept{{utiii.cdl_cCqdui lhu'cdnndeprpetiuinpi.niteecIr'tJsaoSet9cafcitiieabur"eancnapdurureenespcettseioitinuoatraree,rtcsupaeircetetedpaAurzendsac'.ipbtutt{ddao.-tta-ppteei dreapta? ;trgurnenta{i rlspunsul.
trf. Sint date cinci pt.tt-tci"e gi o dreapti care nu trcce prin
2" nici t-inul ciin eiceste puncte. 5e gtie c[ trei pilrrcte sint

dreapta #. care nu agrarline dreptei. b, wn punct D care ampiasai.e ill acelagi serniplan iti rai.:*rt au frcfj:l5'.5 dreap-
lIu{ctsae{iafpi5e nici una din dreptele a tiii"ie,chieardeC,p:ui.i-iii.Lp:iuenceis.ete- tn celil:rli seinipi,:n. Fitt:are gre"
;i. pe gi &. Duce{i prin u;iitI pr!rii.l'-ti* 5,i-ftii:iit"'.1ii.: seg-
fcaie de hirtie doud puncte.
o
eie cle nrini o dreapt5. Verifica{i cu a.jr:torul riglei- co- rnente intefs'?c'ieaz5. dicaptu? Arg-rr-'rrta{i rii.sltil;isui"
iFIrticoel-a"l,{f:,ig:1-d.ln,A;tnirCt.'I-.r;irC-AlEnfcin{-eur siA:i:';ifsriui;.:eler9ir.epDuth,iirii,c:d{e-lriiii.ssCeen.riir,li-t.1rrri-'itei'iin.i:rpte"tr'acsit,l;r4naIid.croeirp-i''
rectitudinea constl'uc!iei. &.epeta{i exerciiiui. 6ry
4fl, Nctafi pe o foaie qle hfrtie doud puncte. Nota{i acurn din ! r)"

ochi un al treilea punct astfel incit el sd fie situat pe o-i.l l.';:l r-: i1';,1i.1,' - ]:r)'li:ili,-':tllrLl "iL"-:...i:'^.11 ,1. fi.'i..tfl-
dreapta care trece prin prirnele doui puncte. Verifica{i
cr-l ajutorul rigiei corectitudinea construcf iei. Repetaii
exerci{iu1. S"il. c l;ii:.li:i i::.::iid:;r.:eleaiprtttaslt{ili'J{:lilr.ririitrlpat:lnr1:ie)ieC{l'l,L1:i
cDaurcee{ri{oqci l6re.ap}ltoi ica.{iNuontafpiupnectclrCeaapstXtfedloiunicpitupnuctnecotualreA- €.4"
irt;;iriui ri i:.tr;,',;,iriea
i."r" ll"f llit ;tiI;,,. l-i,$ ci';,: 'E) Cl''{'-3"1 dr., ir-.l ,|j: t,S eiin;

:,"].,i.t t1-,ro

sd fie situat inire puncteie .8 gi C. i$.';iijci);,l:u.C;llii;Uii:e:[,p.(i-1];rii,-:3t]i.d'rlrtii"i.i,ljl;l:li'iil-fi'$cc=,Il"iitS:i;,;riijlti::iiri.rip';i;ltinec:lit*l"li:.'ei':ip;:'li-linccil.;ii,l",l/i*lrL'iii:ii:l:,:i.lij''i
Dcaurcee,t4i ogcitrfrie.apNtdot*a.{iI{uontap{iupnectdoreaarepctEatrdeoCul
6. puncte oaf,e-

iui AB. al segmentu- cti'eclitur,il;,:r,i ,i-:l:'f1,,:i,':,1 ':': ir':i 1,:rin milli:l:i;'i i:r-r aiLil'rrr,ii ii'i11-

7. Ctie puncte de intersecfie pot avea doui segmente dac6 il ti, "i,i.l.lie. iIiipeiptnelirtioI i r.:r:r'i:iii.;i. si'or.t;i: !,:: i;):{;i:iii

;i, ii, * s-i':l t"iti:r.11::i. -le

Ale.geP*r.ilMeKuidsleeteliopcrvxoetgrrliccmic{ilciinqdl,i,inCnuaiaceegrsieitrentlleadcneuu'{pai,rloisbnilnemtspleueacdtiaeel ddininm,,aGneuoarlenleetr5iai* cr.r- gfiiiip,ccaaL.er\fii-i-,:.-',.;-il,;,i;!: 'at:,':).,1.:.,:.i..l.ri::"l.',:=r:?,t5ra*i,iir1:i..;il:tlL$""i;J;i,l,i''i:;ti.:.'rlitr',i.'.l:";i:;ii-ii;lXj
FCil,,r onre fi .ii? Cal'.-: iu,
de r:i1"ii::i'or-,ire ptti-ri|irr'e'r';ecLti:'..;.-ilui-lt.1': i''ic'1"
geometrie" de N. .A.- f-,rill ,i-e A, S, {-' esie sli''"iat 'jluI?
Rfbkin- 'l

18 is

I?. lunctele A, AoE2a),Cr,eCA:_7ssjleilid9g:mli,ns^?eiltnurtm\uarlgtue,ui^AnpretBe1an:C9ctae,2eCiiar.aqianciidn;d:uralc')naj'rtprAbitii.i:n"E:iig-u;n;c;;,t;u,,l." 4qg"gp'lh'oflr}iri."rtr;q.Xs1n!eiOlc{;s(rfarjrrl;ric',)r2.ajrilr.:eefe3el^;a.rcud{p$inetr.ugtrcCnL,:grr':ruiLlrnirn;iI'aupiioi:l.i,irrlnei.i'{lare*rr{}e.cii.,cC:r.l,eg!i:crh9eit;1;i;l:u,l{;rib-{:iil;atct!i.}bftiii,.u}"lnd,1:;z{i,rbg,".c'c.iiiuili)i:;itn;tlf;a});'t{abuit;cl'.nnc.;\__:i:
{^apariine
lE" B2C^C^::74 qrn;

dm,

PBt:a5ufnpi cocrtdaemslte,epAuAonB,asruB:el7., iCmcrsnpi;nlr2ili)sipAtuuCanice:tTeplecrl1aA,cBeEeCia'g:C2i ,,r6irderaanpl?[t:lr.lrtgFluurlnneecnt:u_l_, tll. Apt2hitr\itlillJc:.c4e:di5t'j.is:tjl"o:rc7ro;nriccriB.ehrn";lli-*;-?R/r5etndcrI..pi-ipAicNre:i3aacln:ti{a.ici f{cctriSO:up;rcerrranciegl.iaiia!aiLc'l{enepe'g'ie:eralnlircildctriirli.'ar:c:irezlt)aer,re,*c1cs*rSntifese:,i43lr,u.ciihctlcirlecnii-ti
d9" Pduancc|:teAlgEA:1, ,BE,Cm,p'Aol^Co:a1r",e3lirns,itFuaCte:Spc,,a.,c1eaeaiggiucmlie*ai"pttii
r;ispunsul.

20. etcDisuitsept5auenncgtceiatnelieiiegcdinAe7.,6lac,Bcmrpngu,.rniFrcCort?ut ldho,ir.:s4girtiael:air-lrriplraeusnnidticuainta{etiiireerelpsBpepuqarunicncCeiecsasleusinilJ.ta' ers"gi"lapi trl_Ce ,:t A. Consirr-rigi din ochi unghiuri de S0"" 4bo, 60o, g0o" Ty'eri-
dPmdeoaectcniolttealsLriieurnriifagsiiapmsuientniarusanusiegle. gipnrcrniecanriei*seleuagiliinmderaneitaetpnictadrretArc,C4i'8pu9cniscterte: fm:,l4a.,Ai Bmr,[iucCd-, rapcri-oruX exaciitat*a aenstrl4iel. Ruputuf;
2i. ficaii cu

!a?!wL! arr Lrf"l*.irlrn!i. I

dt}" fpexrisit:i.t5ir:oa8r,e?i:Jic3?st e,{rn,Vid:r4ea8p?ta .4# un astfe! rle punet X tii-
Arp;urnenla,qi rlsnunsril"
p,:ycie- X diferite cie d ei?stI pu
iFnicieit olr*upt, AB astiel
.'iX:.413? Areumentati rdsounst:!.
ictnsitetrseseegcrmenlieednlra:taiutpel t.a,d4oz8u.iSiCi?aerAedregdpuiunmstersenrigl*aipniiuenrrl,csttupeluln-i.s,{Cugi.i,:nCi
22. mlIFF-ApilalB:))ueu3u^X{caCni.snn,is>c2^e;ccseli2luegtAiulgmuu3)nlmnmrBllmg.^gs?eCeX:CeicAmnn.gAAintttA"meeriupBrg:afulBolelusalsanAmzos,tatitA-l^lueBcCucuellrrEgfi-*Ai,qrrie4sainnC:acC_igeirnt?rullciniLeuitcrtDraiuai-jpil'3deiquis,rpi--roeippn.tciaunbuuegsErrlani?ne{ieiostirCimcgne;rLuirt,eacrniaipi;d?.aelosiaenCecrdltugeled.tml,nmocClg.eeg-rlaanEeA:rid,aeZclCe;iim:-i,csnllTdeueiEti,ig"icse,mScs1r*aiCcilJEgletrnc,,h,tititdrA-ld.rneasoaCAesciciuat'ohfd:e-t,-t:. ,35. mic rie-
e situat
23.
94. .1{r" Fe ssn"iidre*pta AS c notat lju*A'tr":t,:ni.,t5Cfi"r,A,{flCa:li0!,t8qnsi.ir_;
25.
f2fi)rar"\Bsc:g2mecrnmt"u,!4liCi ..=rJ4C,4, daci:

cn-1.
Ccnstruili.din ochi_un-_triungh! cu traturiie egale
it7. unghri" echrla"terai). Veri{ica{i elaciltatea constru?1iei, {tri-
hr_
surinr{ laturile"
,l {:) Fe latura A!3 a triunghiuXli ,4AC e ii-ra,c r.ln punct I).
Cu. cg este egald !atula AE a trir;nghi,;lui, dacl AD:
cnt, iar
D4m)iennlturtu-nulgnFimCpilu;enScs)et pg<urininieccnetutieilltoCrrec,irs1stCeeigrm-riicibjrlrcCecputsele --5 SD:6 cn:?

sreigmoEratltuclLari2A:B8;. :nr. Pe laiuna .48 a triunghiului ,4trC e luat un punct fi" C"
c:e3,Jcs",'reiaergI-aEl CuDng-Thtiutr!"?C ai triunghiulu!, dacb: LACil:
26. ariitraie. neter-

27. -Vl2lS_aar)yeep{io^rrnitoinr41foiuri.cdt{[ncaiarger{dcuhiq-ini)lpu.:rtt5doR?-sc7e!ophSp"uei;AitnuarL)esfn,(ucigceriheiCllxiaeuien)crrv:ictiGlor:ie{eaiu2Ifsto}l.rta.;rremtLJu,a(}rma'tileeLcis(c}uaul:e5rcnian)Sgc:c9le"ili,4suuioeZlnu,gs.iiiend{Lmicuidi(;:criari1Srre.erp;t'Ac-t)eu,:f-- 40. C":rstiu-i{i un triung'hi earecare. Ccnstruifi din ccirl un
triungtri egatr ci-l cei dai. Verificaii coreclfiiudinea con_

stru-cliei, mS.surinrtr unghiatile gi laturile corespunzdtoa_

rt. Rcpetaf i exerciiir:i.
.'IX':t!ri,_"DiicrQirigiRih:i.uErAit9rreg:u6,nA:BccrCnnt,a9Ai1i CfrQi::pTeuncssmiun.!t.Ae:giiai;lei.aStuerigietietricudng,4hi,u9_:
- Z''tIlt''rrn.iiRuugnn:t8r"giguih,irili'uii.ui rrAiailleelf-lda.A,o4iiEiSletCC"arng,gssi hiiPniu.CFtriQRcler&_strrinsniioiltnnsectgughetaerglu-ea'il.ul_eSFi.:eA4U0Bgn6Ctgi,e.liZicudgril:lea9tu6trr"ai-,
,.12.
28. 2s(-OaeL)lbmL),i(da.rdgcaa)qc:lla:1!09|0-'p, LoLa((gtcecb)o)a::93re00't"?rrecLe{cinbtr)e:8r0at.u,rizre(aubnigt:rNiuglu"-i
29. Scmidi'eapta ccmattrrrceecc:eeLii(nnattrrbe6)llaastatuuurrilLiele@'uucnrijgg?hhiDiuuleuluicii(?(aabb).) 4:|.
30. Care
gngli. e rnai egal z'li} este egalS cu 10 m, far unghiul C esid egal cu g0o.
Semidreapta

20 2t

Cu ce s?;lt egale Ee*erra PQ $i 0n$l'rrllfr &? Argumenta{i I,
rXspunsul.
,T4ri8u:n5ghciumri,ie{.1,f4t.-8*fe, ,cPnlQ, Tft-Xqi:VXcFmf .sAtaftlnel6i ycaelele"X5aeitegltaietucrii fD#
.*.{

"

ale fiecHrtri triun;1lii. ,4[tJ !

4S. ilo:tt* o,rr,3 o il;e;l.ctS rsie intci:rier:teezil una din iot-ld 62 l-i cir *" +:-- &. -.:'..+@=-*

ri;:i:ir';i: parillrle sX n-r"r intersecl.cze pe cealali;i? Angut- Itrio 9ll !E:it-i
ladL:L{r.e:lisei:l tU*crirlU{d".r-epte n4
r:n;:n i
1.rJ
Sint
i! 11" c*re se rnlc;-sr.,cfeaz5. Se froate Atuiici umghir:riie ticil Ei li,rl;:

oar.:: ilili:r o a trc",ia clri.:ai:i.;1 ira.ralr:lii c;"r liecai'e din cetre sint rnegiege. Eie au latura CL; 0
r:ir:ir:1 rii'ep i e rialc's)
eomnnd. Laturile C,4 ;i fll-? sini !

se,midrepte comp,leinen{.n;e ele f,

i:e,:rts ij:ri,.j r: d.r.-:apiii c;.i,'e nll irece prin i'lii;r, un virf al drepte i "48, deoarr:ce 0riginca C
'r:;ri,i lrii:l:l:; :i s. !lii:ise ie:i,r f lec;lro Iaturii a iiri? IJe ce?
Siirt {i,;li*: u,ri.:.i.r pu:lcte 1\, ti" {J qi q}i;.p$u,r:ct't*l1eg separd punctele,4 qi S ale acesior $
4$. A. E" A sirit r;rir.raii: pt c ireaptd ci.i puncteie
*
{}, tl, fJ de
&li "**"*"*^**
4fr. ,tta$res,iir:fci;r:iir,::ic){c.i.a!.s1i1..re::;rltg'irr,a.irili;illni-pt:lslrnstdcier'r-:rrert;e::pia*sie*ip:illeiienis't,:r;itl:rud-,rrr:iecn,.a,;:pippntiedln. .icIl.cFt]e;ii:eireitgean!i;olrieesdpicrniaei*r{aleiprrtc(edt5,"ptttoeo[aed- semidrepte.
r*rgfri drary;*
Te orerr:a 2. I.,Srunnc esngfuiu-
se a.io*eamteeener:irr sc intcisq:cicarS ?ntr-un puffiet. Sernonsirafi ritar rnegiege este-egi*{d cee .dES..
pai"iLl cirepie riai.e irec prir"lie'-un pe-lnct.
ci Eemonstr,af ie. Fie (o1&)

4 i') S'ir:i dair: prinr:lci: A, ts, C gl i) r:are ri"r.i se o"fi5 pe a*eeagi $i fl€s6l unghiurile rnegieqe date ,f*{
iirteapt:-=, !-]res,plildij !;rlei"sectea;-zd segrnentu[ C/], iar
{fig. 22}. Sernidreapta & trece ?n- €ser3-|eaer,:r*q:m
c{r'ea1rl:l Cs isli.r,:t'secieazi segmentul .riE" L}emcnstrafi tre Iaturi{e d1 qi cr1 iltrr: unui un-
cd segnienteli: ,{;3 gr C/) se intersecteazd. gh! ?rrtins. I]* aceea sunra unEiiiu- i.',-',,r'ii,'1.tr;'^+'5

#{. l$aerdpieuniatturiru"'n,rg$hCi.4*tsCp.r-u3lcreirini a^ t-ur!r"a1. dC e luat p*nctul S1, i'ili-..r {c1&J pi {rleS.} esie egali ru
Dermonsira{i cE seg- rringiriul fnlins, *rli,:6 i$CI". Teore-
ri;r*niele ,4d1 gi ff$r se in'iers*cteasi.
5P" Segnlenicle ,4r? gi Ci) care nii se af15 pe o dreaptd se rr,i.a,3 d*trncnstratii.

inieism.,icaz* in puilct'ui ff" l)emonstra!i ci segmentul i.r-,, ;Ci,i,,:ti t,! rc:,l1li Cil {}i$-

AC nu i:r.iersecteaz{ tlreai:ta fil}. ,:j f,, ,ijl,'..r.f,;'j ;.rr.r.,{.1': ;,t,"",1 SJ71f e ,1,l;,f..:-; -\cil
i iti ::lt:':',i.1'i: r
x $. g i: ia r j ruf$i"e;:r# EJf At i?^

$ 2. [_rhifi${EE-tgq{ i: : o b I r: r,il ii i;,;1. Ailtii ii Et:
, tl jlti ti,it t,\{j:{. ii.:rlit. rj:rr! :Ii"l.li {ii il
.,: i: d,., tli-r:,tir cli ii::lti .ir;e;t i: it.'i:-
ss. H-JFf GF:gE[-litE ft'ififr [H$H i exi:,,x

S e f i r: i t i e" Dcr-lX unghiuru se nilmesc megieqe d,ac& t:i | ,ij.

eie au o traturI eolnun5, iar celelalte iaturi sint sernidrepte ':. i. . . i, ; t., . :-l;:? ,:. ., ...r. ft":.ri,:.:.. (t ha
.: ",
.:; i.: rl .--''!''r,,; .ri..r,i;.
Y
ccrupiernentare"
,i. .4il,i;;:i ,i,,|.,ijl-,: i,,; i:: a 1,l.t ;_l iL:i ;;:,,ri i,irf.i:"1 ljii
trn frgura 22 unghiurile {rsr6,} gi (cr&J sr'mt rnegiege. Ele
au trntura 4, cornunS, ia:: latririle e1 gi e,2 s'fnt semidrepte .,'!;-:;',i:r',

e*mpleme*.taie" ri, i:;r;iiij:,,ili.: i:+agti* iiiegi.rije liir{" eg;ri*
fie C un punct pe rlreapta "/;;3 siiuat intr"e
fi, punctele A gi
rar tr) un punet care iru e situat pe dreapta
.4S (fig. 23)"

22 +1

.-dCL-.4-, r, ,,,&*e{

Unghiul egal cu g0o se numegte unghi drept. Din tecre- Ig. NREr}TE PE$tF,EzuDHCU{-AIRE
rna 2.1 rezulti ch unghiul megie; cu un unglti d.rapt este
dAdcE_ruitl.eneupFcnul{toic,eneris.gmaaohtreuriniua$corzaaiplrcbetepeissasdLdtetlciarncuduaivlcuez?enpdrrgsrtef,ephrcapcuiuurtentereleiea.cmlt.aFraelDiriceeeieduousandneuirggcenihhnipuiitrtuuleeerrdrzliiseiunevslsicaiSanteceifecaiidnsdzeisteeiarrei(usua$fre;ce,g"icdemgt,e.gehua2;innuez6erudg);a..i
un wngh[ drept.
sub un un3hi tlrlpt.
ungtr:iul mai mic decii 90o sc r:uriegie wrcglti oscuitt- d-acDi eefleinsei{iinet.erseDctcoauzXI

{"Jnghiui mai m*re dec?t 90' ;i mai mic decit lSCo se nu-

rnegie ung!'ti ab{uz. Decarece suina ungiiiurilor rnegiege este

egaiS c'el 180', unghiul niegieq cu un unglii ascu{it este ob-
tuz, rar unghiul megieg cu ul-t tinghi obtuz este ascu{tt" nn
figura 94 sint reprczentatr trei ieluri de unghiuri.

Nf. EJFSSFIIUR{ C:IUSE [-A VgRF drepte se nurnesc perptrudict:{are

sub unghi ilrept (iig. bii.
cNlrcetFaapeiitraape&a*"dI.&icuisaeritcaitteegated: r,e,Dpqteelaopr tiaesnoesteteazpleprpoei"ncuir!-*,ru,,l.a,ur.ljJp.e
Def ini!ie. flouX unghiuri se nilmesc apuse ta atrf
dacd laiurile unui unghi sint semidrepte coneplernentare atre

traturilor ceh-liialt. sccdieaoacrrtleD5uieia"eup'rAineeircnp$deeearin{gesdipniticieetuenu.laxtnrStedraeeie.ndnrritilnitrmaeteeaegpxtattedrepspneeeitgrr6ppm{eeicnnpnddtuiiuccnuluuclkaitiurrsiil,ei lpptnereumoccieeedaprietn*Oatepfit;rtX__X

nn figura 25 ringiriurile ieftt) qi {azbz) sint opuse Ia

virf. tr-aturile *2 Ei 6rl ale unghir-rlr:i atr doilea sint semidrep*
te complementare a1e laturilor c1 gi &r ale pnimului unghi-

T e o r e mra' 2.2. Angfuluri\e apuse {u uirf s?nt egafe.
Dernonstra{ie. Fie
qe la virf date (fig. 25). {aft1) Ei (azbz} unghiurile opu-
Unghiirl {nJ:2) este megieg cu
dnghiui (*ftr) gi cu unghiul tazbz). De aici, ccnforrn teore-
rnei 2.1, conchidem ci fiecare eiin unghi.,rrile {ag1) qi {a2b2}
eompleieazX unghiui {cyrbr) pind la 18G', acXic5 unghierrile
tat'bt) gi (crb2j sii-rt egale. "feoren-la e denaonsiratE"
Problernd {8). Suina a dcil5 unghiuri care se ob{in
la intersec{ia a dou5 drepie este egatri cu 5C". A{la{i a.ceste

unghiuri. Fls. 26

Rezoivare. DouI unghiuri care se cll{in !a inter- I Fig. 27
sec{ia a dou* drepte sini sau nlegle5e, sau opuse la virf.
Unghiunie deie nu pot fi niegiege, Fig. 28

rieoarece siima lor este ega15 cu 50o,

iar suma unghii-rrilor iriegiege este

egalX cu 180". Deci, ele sint opuse
la virf . Deoarcce unghiuriie opuse
la vtrf sint egale 9i conlorm condi-
{iei surna loi este egal5 cu 50", fieca-

Fig. 25 re unghi este egal cu 25".

Fig. 29

24 25

ii T e o r e rn a 2.3. Frin fiecare pwnct al unei drcpte se poct- gtnauet,rdiuiantudgnh_giihndidesreirrmnolirsp.rliacrdnounilnfodrgmarat daseceedpsatotedai.teaxOio.mpuend"enruamsaeimuidnreaspir-.-
te duae a dreaptd. perpendi.cwlard. pe eea datii Ei nwmui wna
i
sin'gDwerdr.nonstra{ie. Fie o dreapta datd qi A un punct
dat al ei. Frin c1 notdrn una din sernidreptele dreptei o cu
oliginea L (fig. 29). De la semidreapta a1 depunern un 14. IJNGE{fl{JRI DtsP[-JSE, FruT'R.UN SElsT[F{.Aru
,.i
lr unglri (otbr) egai cu 90o. A,tunci dreapta care confine Fe- (lB).
midreapta &1 va fi perpendiculard pe c"
I {.r,'r,ut,lt(:dbc.jl-ei'ionadte oare LJnghiul (ab) e mai mic decit un-
Fresupunem cI existl o a1t5 dreapti care de asemenea c intre laturire un-
ghiului (ab)? trece sernidreapta

trece prin punctul ,4 qi este penpendiculard pe dreapta a. Rezolvare. Dacd semidreapta c trece ?ntre latr:i"itre
ItJothm prin c1 semidreapta acestei drepte situaii in acelaqi
unghiulpi {ub) coriforni proprieix,fii rndsurdrii ringrritruil"n
semiptran cu sernidreapta lr1.
{.Jnghiurile tatbt) g {a1c1) egale cu 90" fiecare sirit de- trehuie sd avem:

puse de !a semidreapta c1 in acelagi serniplan. lnsd de la L{ac} -r L(ch): L(ab}.
sernidrbapta a1 in serniplanul dat se poate depune nurnai rgstct"lryiqlhnrf^&eesiyT.uaXriiifplftelfa&eta(ao$rcoe{rreecc!,ase*)ensrsetnudaeaemmpepowtiad.ai4nrirtnee.mdspfatiraortsatersn.edccibeddwdil*,eidnntceg&di?r\et,lteaoiuutarlrnnruaiegoi{cusmeiereriiutiurnclnlr"otaird{nuecrwfn&eoEngri,gp,u}shg.ta.dfitAtuwi,wcqi,Auifoiatiei*endiic(Aae*almier&J,Wgai)e,s.it*itei_maiilnrn*tiict*--i,
I tpdsg_urt&eresililarDuoednpl.oetc(t.atlSc.raenfdrabenlr1)asoppeumnesmrnseaisni,mrdperrumr.ciednrzna1aiircccpesltlitraeCeaeBpnae.t.:IpcagiFlciltiaratieeuprlaa*an*tipg/5,u.thr{au0";luul,rrcb'tirrtc*iurC}m(tlrncro9l".turjatri:ripnterbut'm(a-_frs(eiluecgl;nem;c.tu;a3};iunnp0ndura)png.naough5h,nig"su6icureilt_urmdift"tiier.eriemj{.rc*euodc,p_n*e)--..-
un unghi egal cu 90'. De aceea nu poate exista atrth dreap-
td care trecc prin g-runctul ,4 gi este perpendicular5 pe dreap. Alsa"eBl*rtDneairdedrtaeoriapuupidnatgalahcbaituurrein'ri-{clealoiiAsneeBfic!nCutee'ia:d,sz4eeECcmiu,idnsrrnaaeiuaedprignstCu.""i&*ufi"r*atuarqcrie"csuttnecaaazdz,inalancuteumrreae-.
ta a. Tecrerna e dem*nstnat5.

13. DE&XCIF{$TRATEn $}R.11FJ RA,DIjOARE p-A ABSLIRD

Mcicda cie clE:nicnstra{ie aplicatb in teoreina 11.3 se nu-
nreg|e demonstr*lle prirc reducere ls sf:surd. hceastX rne-
todl de clemcnsfralle consiS fn aeeea cS rnai fntii facem o
presllllunere op*sii aceleia pe care o afirin.{ teorerna. Apoi
prin ra{icnaff.,:riie fil traza a;licu'ielor pi tecreinetror deja de-
rncnstrate aju;lge m la o ccncluzie care e ?n contradicf ie
sau cu car-lrill;ia. t;crenei, sau {lu c aricmil, seii cti er teore-
I rnl derncnsiiatir ani-cri*r" De airi conchideln cX pres#pune-
i,i
t"ca ncastrl a fo:i ialsa q!, de ii, af ilura iia teoremei este
I
justS-
I'rcl;r explicr. a,i:rl.st:.^. ii,,i,''J ii.rr1;t exemsiu derronstr:a{ia aces{.e laturi, deoarcce sen.iidrcanta t

tecletr:,i:i f..1. 'T"tct,;:r:a afir"mii c;i priir fiecrre prunct aX rXrep- complementari se aftd in alt oo-
miplan. Dacd semiidreapta & inter_
tei se Xrcair: cl ulce lr.lirnai. o sin;i*t"ri dreapii perpendic*lar6 dels(aaeratetccuai)ret.piraltceazciue6lnaigitnnuhttreirauresliAeI'{caCatei,.ucae}rz.aiileDitaraeu,ccncudgerha.iuinuB*tlCris_e.,i
pe ea. Fresupt-ui'ili,i cri pl,i. fi ;luss Cou;i drc,pte dr a*estea,
am a;'uns 1a ccncn L;:la ca de la sei::iclreairta d:"rti in se-
mipianutr rJai poi fi clepusc eli;uI unghiuii qle aceeagi m5-
surir in grade (9S"). /tceasta tnsfi contrazice axionea depu-

26 Fig. 30

27

,r !&*rS.a:]arr3i

f Cazul al tloilea e impr:sibi!, deo:arece mlsura u*ghiul*i
I in grade nu depigegte 180.. Agaciar, unghfui Cl{D esle egal
cu I30".
*,-f t I
Def inil-ie. Se nitnrc;te bisedoare a ui-lui unghi se_
tfIfl pofnegie riiri virfui iui, irece iniie iaiiiriie
midreapia care
itiplf.{l
ir-ri gi imparie unghi*i in jumliate.
d9HL--*l^'.r*"-",- *...,,-,.*..- fii figura
din virf 32 vedeli unghiul t'abr\. Sc;,eidreapta c por-
negte unghiului" trece intir"e Iat*rile lui qi im_
parte unghiul ul jumltate: L{ac):L{hc}. Semidreapta c

?n

i:ig. 32 este bisectoarea unghiului {cli). dintre bis*ctcareie a
(2CI). Afia{i ,"inghiui
F r o b I e in I

ileoai,,-'re ung;riil1 1r;b) e rx!;l.i rixir dou5 unghiuri megiege.
srHci1nixngpbiRhirsdiieureenelpzrtu(*oocsraclervpteJiralnienersealxoice.erueitanr(gifggeiaigrrls("iaiercBrmbui!J)iepd)q.li{aliaeNn{rcoae}cirrdliebiimia}laaufpccnsrcegie,snh)rt.noiu,irAtrirciu*eenrnasngtpge"hetgi[auiieuurcgin"ie,g{icg*iiieUuicrcili,,.
t" ,4 r.lecii ung,i;iut (cci, c*ilforfn irropl"le*

.,, ,fl'r{ tiiiii t.ttigii iuiilul ineg;e:;e #righiul

t{::.,. {iratthhi} e rni;i:u:i inei-e Cer'i'; u{lghiuni
it{,.ulac,"t..ct:].:.)ri):i..e-.Lr'itii"rjere'rc,-iar:cCiircnCril,r:i3,rr3t seirn.:ii;ci"r,ejrar;i'ji;:2i1 }Lt irrl0:rti
\\\**--,,/r/ -_/,--' liealti:uri;i+'iie uqtitrrgqrhiriiu;lllluli'i

#r-l**'rp*l i € {*rcl. ii,eci, ea irece ?r:tre laturiie Atunci: L(oc): + o Z. {ar,} : !g,3"-L(o1c1} : 1gn"_
::;rqbii-r1ui ri*c)" ?'corcnia t cieincn-
{1, * : -*.-|-z{o,uJ: rao"-- -1- {rsc" /{ab} } trEo.- -} {,u*.

irig. lJ . l;' , -:i.

Di"n ace:isiI tccreniS rez'rrirrl cE -.s):90..;- *,
tiaca ungiiiut'iie {ai;) gi (:tc) slrtt depuse titir-v.tt semipiaiz;
Ee i{i settidrespltt a unghiLii {t;t) est.v eg{r! cu Cif ereitt,n L{tct} : /. {at t} -* "!_{ac} :90"* qq *- C.rno

uftghiuritcr {*.t} 9i {*.b,t. TNTREB:{R{ PANT'RU FiEJisE'[ARE

F roir l e m 5 {1'6}. i}e la semidreapl.a ,4S !n semipiane E$*^rxgp"lruc.a"{lgi hdieuricseeinnuifnigesucrame2g-i5ersuer?ighiurile

difer"iie s?ni ricpuse !-c::.ghiui;lc LlBAC:6fr" 9i l-r?40:7So. sint rneg;iege.

Afia{i unghiui CAO" 2.1.. DCA 9i OCg

Rezolvare. Deoarecc piinctele C gi 0 sint situate
in semiplane difeiite iri l'apori ctl iii'eapia ",4.8, segrnenttll
.3. DemoT.ltrali: sun-la a dou5 r-lnghiuri rnegiege este egald
CD intersecieaeS aceasti dreaptE {fig. 31). i}eci, ser,ridreap-
cu 180'.
ta AB sacr selnidreaucta ccmplenieirtarh .4.8 trece intre la- 4. Derncnstra{i:- dac5. doul unghiurn' sint egale unghiurile
turitre ur-rghiut''"li C"'XC. *e aceea r-lnghiul CAO esie egal sau megiege cu ele sint de asemenea esale.
5.
cu suma unglliuriior ;?,4C gi fiAD, sau citr surna unghiurilor 0. il,a-)reernounnsgtrhai{.i:seunngu{mriue!-;rtenedgrieeqptci(rausinu{uitn, gohbi tudzr6)?pt cste
rnegiege cu ele EAC gi fiAD. fn prirnul caz etr este egal cu
asemenca un unghi drept. de

S6'-i70":13C" 7. Care unghiuri se numesc opuse ia virf?

iar in al d*ilea caz cu 8. Demonstlafi: unghiuri[e. ofuse la virf sii.li egaXe. unshi
9. Demonstra{i: dacd la intersec{ia a
( 180"-60') + ( l80"*-70'i : 230'. douX drept? un
este drept celelaite irei unghiuri sint de asemenea drep"te.

2& 29

{i f,i

itl,,

10. Clgsaeregtedrpepetneirsueanurrtndetascppeerprpinednidciuclualiarirtea?teaCedrsceprtnenlosr?e fo-
D!ueneisotensotrpaefir:ppernindieourliacrei ppeunocct lracla-putln?ci drepte se poate
1! 2l..

duce o dreaptl perpendicular5 pe drea.pta Uata gi nnmai
una singurS.
tS. Explica!i !n ce constd dcmonstraiia prin reducene la
absurd.
I4. Denlonstrafi 'tecrema desp;:e unghiurile situate intr-un l.\i;
semipian" Fig. 3,1 F:rg. i15

t5. Ce se numegte tiisectoare a unghiiltrui? 14. u!DnCLD0d{ngf;(reaiiiiggS9anl,pehealcai:vil):.uSr.sf:3rier7seit*rire0jfirr8yei-r-ll!nr'.",-c'd"ii;./!d,{rr*r,(rreeBeAncpr.rllig"triabl)_,(qlpl.ee;llr,)CjetL^iueri:,ia.:*?l0{b'f\:r*;f-li.oii1hlAiiqri/il;;i,;}'ili-r-t:"i.igfc.hnnti;i"1i1Cr:s,r-l"rSdU.*:?ii(.i'feefc;rce-'tAC*/figi:io,j{-i.ieeilr;ii.:te,:';7sr,lifri);c,r,0,c;'ir"-'n"ir6t_-"i;.rpi;'/-.,i;_"ii.,a,.",g.if:,{m;,;rl1',,[:l311.L*i'tiii.tirS"r;ll"::,i.;;i'il",nije*r1i;oi-i,d:,',*tn;;i;ier,'rjr{.,i?g*j"i;iuui:ru1*-}l*o,t;:

EX.ERCCTtT r s.
l{i.
[" $3t)ll6tu0n";g4h)_i9u0,"r.ile megiege cu unghiurile de: t) 80.; 2] 45';
2. Fot oare doui unghiuri megicge si fie: l)
il ascufite;
2)-.obtuze; 3) dnepte? Argunrentafi rdspunsul.'
::1,

li 3. Aflafi unghiurile rnegiege, daci dnul din ele e de doui
I' ori rnai mare decit ce151alt.
CAil.
L
il' 4. mcAufala4i 0fmio;uan3rge)l.urdinre:urciltietd_micneegterildeelgaeeit;ddZeac)tfrie:diilf)eorruei nnmufaal idlmoinriceeldeseteecicteudge8ald0ll-"
: :ll1B$7...,9ACuIuTD_)nnr8fue^,i"gra;Lusgh!3lnBahgii)ugiqusgAhlLunresCiiigBtmledehdife"riaieuBjC:trtgJleI";e:laal.)1gC,dlq-64a+atuut0r0c9np'gl.;.g;.i.4,4bqlhQt):ittssir_1u)Aei?S1)nicDSiASdoI""d?ai0:fn){ii"BAei-}t;e"gra);2ier1'!fgzl)ui;"9eybt;.S"1i-i.szsteu'ef;oa*rmtrChrcgjipn)*hti:riai.ey:=rni=r:z"tegAJICiiis;r,ou'iiufZrtcta,'dtdlu*ri4p,irnii}uhl.:s,rX@da:
ldlL.

5. Afla{i unghiurile megiege, dacd misuriXe lor in grade
4j Zp:fJ.
6_. gg rgpgltzi ca: I) 2:3; 2) 3:7; 3) 1l:t5;
Unul dirr cngliiui'iie care se obfin tra intersec{ia a doui
drepte, este egel cu 3C". Cu ce sint egale celelalte un-
giriuri?
?. 2tl" sl$liefrl,mat tsoiin{u.sui-trrrgteairfiupi tercdori;d;btlrrcscaehpcitstcic.acrtoealer'eulengr:hngiihlriiLrrc:ir1corprunr.gJ;'irea;':.virf
Cu ce esie eg;rl un unghi, ciacd surna cclcr doub un- 21"

ghiuri megie;e cu el este egalX cu i00o?
E. Suina a do'.15 lrng;hiuri cere ss ob{in ia ii:terseciia a dot-li
9" c$thlL*euppiluted_:eenstdueeiregg4iiairi*-arrriicleuli:c5;:'0rir"e"rr,slAieiil'ieoa{hdi{*xicilc?e1tsaaieilntu{il.nle.rgslht*ficui{ailai{. iae.dcoesut6e 2223."rA2tAluDcru).tcfCencrlsamtiu{,p{riuacoiieuicnluurntsui:anntgneraulgahgxu.irihthtrrtiueii:iil*nnersl(dntgef:diiruhgiig5sciminn..c{igitccct3rrhnicgtbeeec'i)ab.um:trzi"pusicCEd:ciu*Dcrtt:*utraorantc$a)tiuturnsucSrtr,eeeigoler"xi.sngLjtcrei.zuec*ipni:rtiertprge'g.la"t40hirfuzn;i8iiilnr,i:l,igi;"uitX-!gujri-)i'ep"ta:ii*sf"d.iie-"io'iCurig'u",ri"-v''ir"r,-,urci,':Bri,i:i.fiaa"tiurrla"ii-,l-l
unghiuri.
Linul din se cbirn la intrrsc.-r{ia a do*X
trS" cli:epte e urr6;hiiil'ile care dc;rli aitlri. Ail*{i acesie un-

r{I t rii"t- cd tj0" ,rnai inir

t {" Ailaqi ir*i;i,ir.:r'ilt: care se i-'i-;i];n 1a ir;icr:ec{ia a doui
! 3. *[ciLrlr,ixi:;pln'itoerisar-i1i:;;iiil.ri,iiii,:,5:,;ri1:ilg:;,r,:;',11:iia;:i,'atrr:ri:,lirl-'d1t,iliin,iicrei.:t1iiecir:ei;risiisitien:;iieit-g',c.e-lJIfifgiiq:clrt'iiUic-l,i*i;,lcCfiai"".erpete,{see
si; rt perp rnciicLii ;rre"
!S.
tUr*ncgehist-eilrn{*id.trtel aeptma aci i:iric ot,ci| ur-rghi"rl (cic). Itroate oare
iruti'e laturile unghriului {ab}?

30 3I

$ S. CEtITEr+.{Eg'F !EE S.0,4I[.["fATE It';rzri in punctul O care este mijlocul fieciruia din ele. Cu
cc cRsclczcoglavlasreegm. eTntruiul nBgDh,iudrailcehAsOegCmeqnituBl OADC:s1i0ntme?gale
IA'f'Rfl {-r r\i Fg I ii li.l l,'i}tr

i5" ei{[-faii:lt.jL gr,iT[{ b]n;i hlcl,,i,!'ll A"[ L] ('(rrform criteriului intii de egalitate a triunghiurilor (fig. 87]-
A T'Rg {,.lirifi E{f, {J [i I !'(-]il lrlc au unghiurile
AOC Ei BOD egale ca unghiuri opuse ia
'f'e o r e nr a 3.i ;ict"il:rrirl Ce t;;"iii;:ll a triunghii.iriior virf, iar AA:AB este mij-
dupl dcuii i:;turi gi u:;glli;:i dintit ,:il) rli';;;l C;tud ta"tttiti gi OC:OD, deoarece punctul O
locul segmentelor ,,tB gi CD. Din egalitatea triunghiurilor
AOC gi BOD rezultd egaf itatea Iaturilor lor'AC qi bO. nar
gi tr-xgiii;;! a,ii.n:rre #e a.{.e uri:r.i tri;sn.gii.J sr',;i t:gr',i.e rt::p*etiw dcoarece conform condifiei problemei AC:10 m, avern ED:

eu d*e;,i f.*iuri rri :;,ng/Ll"rll dir;tre t!,e *1e uifui l,'Jlrgtt.& astfe{ =: I0 m.

rJe tr it:"n i;t i:lv'i nfsrf sg',al'er, tii ti':tlnghiul'iie ,4EC ;i IS. CRITEIT{{JI- A[- DOI[.,8A DE ECAI.E"ilA'H'E
Aclri;lilem A TRiUNCH[UR[[.CiR
iJ e;u. o Ii s i.e- a ! i ':. ,4[]='="4rCr (fig. 3{}}" $A
ltl,t.=/^fit Tcorema 3.2 (cri'reriul de egalitate a triunghiurilor
,4rBlCt au L;4,:/^,/''r,
ricnrsrsir:inl ci tr';lngl-iiurile sint cE,aie, a,Jicii sd deinon-
dupi o laturl Ei unghiuiile aldturate ei). Dacd, a t*twtd gt
sirirn ci'i eie :ri

:*!3"-= Lte, il il-:./.Cr, EC,.-EiCr. unghiwrile atdturafe ei ale wnui triunghi sint egale.respec.
tia ea c t*turd. ,si wn,ghiurile e.ldturate el a{e attui triunghl
Criliori:.i axiciliE:i cli: er-is'li-rr{i a t-lai-ii irii:ngill egal ctl astfet de triurcghiari s?nt egale.
csi dri e:;lr.ii un t.r;l:ngh1 Ai82i:2 egii cu i,"il'ri:ilt.i ,,{,5C DemonsLraf ie. Fie AtrJC gi.41g1C1 doui triunghiuri
v?l-ful.'3: ai cIrui;:. rie i:ii5 pt seiiiidreapta ri1.131. iar v?rful in care AB-ArBr, /*A:LAt s{inLiBe:gLaBle1, ac{tliicgd.
C, lrnl-.1"i:;:i;;i cu r,'iri':1 Cr sc aiiS ini:r-iin se:liiplarr. iir ra- monstidm ci triunghiurile SS}. Sa de-
i;oi't rtl rireapia rirf-ii. L)eoa::tti,: ,41lio'1==.'. 192 in '-'i;iut';a strdm ci
si demon_
rxi0:, .',i ,-1e ir"pt-::r.i'e a sei{irierltelt:'i." puncitli fi2 ccincide cu
i,:i:riil-ii Bi. fJccarece /-#r.4rCt-/^8zA$x ilupd axiorna Ce AC:AtCu BC:BrCr gi LC:LCt.

elepu:iere a angiiiurihr, semidi'eepta,lirCz cci:ir:ide cu se- Ccniorm a.riomei de existenfi a unui triunghi egal cu
;girlreapta drCr. $i inirric?t ;1,Cr:Ar{".'r lil"ii.ii C: coincide cel dat existd un triunghi A1B2C2, egal cu triunghiul ABC,
cu virfuX C;. Ag:dar, iriungtlir:i AJi$t coil;lide cti tri' virful Bz al ciruia e situat pe sernidre apla 4,181, iar virful
urrgh!*i AtB;Cz, deci e;te egai cu triur:ghr*i ASf. T'eorern;r
Cz .,si virful Cr sint situate in acelagi semipian in raport
e cXeinc,l:ireti.
cu dreapta AtBr. Deoarece ArBz:AtBr, virful 8z coincide
Froi;leni i iii. S:gni:r,i-i: A:'; Ct] :l in'ierscc,!
cu virful Bb Intrucit LBtAtCz: LBrAfir 9i LA$€2:

-... LArBtCr, conform axiomei de depunere a unghiurilor, se-

ttridreapta ArCr coin-

<'itlr: cu sernidreapia
A,()t, iar semidre4-
l;r IltCt coincide cu'
8,r$r) ',r'rrrirlrezrpta B1C2- A, s, (82)
I tr. :rrr.i rezultl cd Fig. 38
Fig. 36 Fig. 37 vrr lrrl (.'" r'oincide cu
vrr lul (.r
32
l| (,rrrrrr,rt.r N!7 33

Agqoar triunghiul A,tBtct coincicle cn triungiriul AtBzCz, Ir ittrrlilrirtrilor. Intr-adevbr, AB:BA, /-B: /.A, LA:LB.
deci, este egan cu ti'iunghiu! ABC. Tr:srcntit c dr.r:1'1*11s{r315. l,irr ct{;rlitatea iriunghiurilor rezultl ci AC:8C. Teorema

$7" T$tIUfqifi FitUL ISOSCAL r. rlt,rrronstrat5.

Triunghiul cs:l'e are doul latulri eg.rie s,.: nurneqte tsoste!. 'l'i: o r e nl a 3.4 se numeste rectpracd, teoi-ernei 3.3. Con-
<lri;ria teoreniei 3.3 este conciilia teoreinei ,3.4, iar condilia
Aceste laturi egale se ftfimesc lctu,ri laterale, iar a treia llorr:llici 3.3 esie conciuzia tecren-le! 3.4. Nu orice teoreml

latnr6 se nun-legte; tsszd a triungliiului. ;ir.() rrcoten]a sa reciproca, a dici daci teorenia datd este
ir:r;iir, ieorema recii;roci poate fi falsI. Si explicFm aceasta"
trn figura 39 este reprezcntnt un triunghi isoscet ;riEC.
El are laturile latel'aie AC Ei .EC ier haza AI]. Iuind etrrept exernplu teorema despre ungiriuri opuse la rrirf.

T e o r ew a 3"iJ {retr-wn triwng'fzi isossed umgtoiurile t!.e fa llrc;rsid teorenri poate fi formuiati asifel: dacl doui ut-

Ftszd, sSnt egats" lliriuri sirit opuse 1a viri, ele sint egale. T'ccrenla reciproc5
Demr:nstraiie. Fie AEC un triunghi isoscel cu ba-
za AB (fig.3$)" 55 demonstrim cir el are LA:LE. Tri- rrr li urmit,:area: tlaca iioui unghiuri sint egale, eie sfnt
ungliiul C.4B est* egal cu triunghiul C.Sr4 conform criie-
riului inifi de egalitate a ()ptlse 1a virf. ,Acensta, binein{eies, nu este arlevilrat. Dq;ud
CB-CA, LC:LC. triungi:iurilcr" fntr-adevXr, CA:
:C8, unghiuri egaie ;ru si;'ll neaplrat opuse ia vir.f.
Din egaiitatea triunghiurilor re*
rultl eh LA:Lfr. Teorema e de,nloiistratE. Froblen-rH {i4). Formuia{i gi r,len-lonstra{i tecrema re-

Triunghiul caye are toate laturiie egale se nun:eqte ecfui* r-:iproci afirma!iei prc'blemei 13.

'{aterst. Rezolvare. fn problerna 13 condilia constX in fapiul
cI 'iriunghiul este echilateral, adici toate traturile lui s8nt
prr:blemh {i3). Den.ronstrafi cb inrr-Llrr iriunghi echi- t:gale, iar concluzia constl irt faptul cX toate unghiurile

lateral toate unghiurile sint egale. triunghiului sint egaie. De aceea teorerna reciproc5. trel;uie

Qezolvare. Fie z{EC un triunghri dat cu laturiie ega- forrnulatl astfel. Daci intr-un triunghi toate unghiurile sint
le: AB:EC:C,4 (fig. a0). Deoarece AB:EC acest tri-
cgaic, sint egale gi toaie laturile 1ui. SI dernonstrEm aceast5
ungi:i este isoscel cu baza AC. Confsrm
tr:oremi. trie ABC un triunghi cu unghiuriie egalel. LA*
tecrenrei 3.3 LC:LA. Deoareee BC: ,: LB: LC. Deaarece LA: LB, conform teorernei 3.4 avem
==CA, triunghiul .d6C esie isoseeX tu lrsa- AC:CB. Deoarece LB:LC, coniorm teoremei 3.4 avem
za 48. In conformitate cu teorema 3.3 AC:AE. Agadar, AB:AC:CB adic| toate laturile triun-
l-A-2fi. Agadat, LC-LA:LB, adtc|
l,hiului sint egale.
ioate 'rlnghiurile triunghiului sint egale"
rB. MEDXANA, ETSECTOAREA g[ INATTI]!{EA
Fig. 3$ T eo r em a 3.4. Maed tnt*wn tfiwngfat
TREUNGFT!ULUI
C dax& wngitiwri sir;,t egate, acest triamghi
Se numegte indllime a triunghiului coboritd din virful
e*'fe c'sosceJ"
rl;rl perpendiculara dusi din acest virf pe dreapta care con-
D'ernonstragre. F"ie.48C un tri* lirrt. latura opusi a triunghiului. In figura 4l vedeli doui
unghi in care LA:LB (vezi fig. 139).
E $5 dernonstrim cd el este isoscel cu trirrrrillriuri in care sint duse inilfimile din virfurile B gi .B1.
Fr0 [l]
baza Ats. Triunghiul ABC este egal cu lrr lifura 41, a piciorul inillimii e situat pe latura triun-

triunghiul AEC conferm criteriului al doiiea de egalitate a l,lrirrlrri, ?n figura 41, b - pe prelungirea laturii triunghiu.

Irri

rt{l

JC

AB rirrir;rrllIl,i'lirrnieoi"shoslecerlnddus(d27d)"inDTe'mirfounlsotrpaufiscb*abziesiecetsotaeremaeurnliauni ltrEi-i
a)
Fig.4i Ilczolvare. Fie ASC un triunghi isoscel cubaza AB
I :;i lrisectcaiea CS (vezi fig. 44).
r;i*t egaie cci'lfonn criteriului al Triunghiurile ACD $ ECfr

cloilea" {Aceste iriunghiuri
;ru laturile,4C gi,BC egale ca laturi lateraie
Fig. 42 iscscel 48C, ernghiurife de la virful C sint ale triungl"riu-
I.i egale, fiindci
(."I) este bisectcarba unghiului AC8, iar unghlurile de la
virfurile -4 gi A s?n'l cgale ca unghiuri de Ia baza triun-
ghiulu! isoscel ,.tEC.). Din egalitatea triunghiurilcr rezultf;

r'11;ilitatea latlcrilor AD qi BD. Deci, Cf) este rnediana triiln-
ghinlui ,.{8C. Conform teo!.emei 3.5 ea este ;i tniifirne"

^^, D ls'. CRITHRE[.-rE .49. T'REIt-HA mA HGAF-gTlqT'E
Fig. 43
Fig. 44 A TRFUNGS:[[.IR[f,.SR

Se numegte bisectoare a triungl-riului dusl din virful dat Tecrema 3"6 {criieriul de egalitate e iri*nghiurilor
.segmentul bisectoarei unghi,ului triunghiului care unegte rlup5 trei laturi) . Mae& lrei tatari ate w*.u! triunghi s?nt
ecest virf cu punciul de pe latura opusi (fig. a2). cge{.e *'tspettiv ca {yei dstwr{ ate sttwi triwngh| s.r;es,te triun-
p;kiwi s'irct egale.
Se numeqte n,ediand. a triunghiului dusd din virful dat Denionstraf ic. F.ie ABC gi A1BIC1 doud triunghiuri
segmentul care unegte acest virf cu rnijiocul laturii opuse c:re au itrB:Afii, AC:lLtCu BC:BtCr
rironstrlin ci aceste tliungh.iuri ifig. ab). SI de-
a triunghiului {fig. a3). sint egaie.
crlrrirtlu,luievxp?isirtfSaxCuioznmetarsiuidtuneagetllxiclsu"t4evtnEiir'dCfuzal eCug1nauilnicttruo-uiutnr*iugsnhegir,nheiipugllaanAl ctisnuCcraea.ll
Teorema 3.5. fntr-un triunghi risosce/ raediana dasfr. irolt cu clreapta 4rBr (fig. 45).
Fr"er;riprinern cI virful Cz fiu apar{ine nici sernidreptei
la bazd. este biseetaare gi ?ndt{inee. '.f,'1rriCurn, gnhiciiesrreirlenidAretpCtelCi izlrCgri. Fie D mi;tocul segrnentului Cfiz.
IJt{:tCz sint isoscele cu ba- C
Demonstra{ie. Fie,4BC un triunghi isoscel cu ba- 4 fr *
z.r r,ri-iunzi CrCz. Confcrm A
za AB (iig. aa). Fie CD mediana dusi la bazl. Triunghiuri. trftr,ri'r,,rtrrrrr,,...,n!i;Ci.,.*r.,!'sii',.iJdpBr.ee5rnpDplce,r.sl-nerirnicAitcd1uiDinaiagdnrieel-iaedIf*f-iE\.\**\bd m\"
d/
7e CAD Ei C,BD sint egale conform criteriuiui iniii de ega- "h&\\
litate a iriunghiuriior. (Ele au laturile AC gi BC egale, lll
sfirinndi cedgtarlieuncgohnifuolrrAnBtCeoerestmeeisi o3s.c3e.l.LUantugrhilieuriAleDCAg"iDB9Di CsBinDt Hl \
4rd*:..4+{--BB,
egale, deoarece C este mijlocui segmentului AB.).
ti! ,ii,,,,ir1;-l CrCz. Ilar aCe-
rilaDr:inLAeCgDalii:at1e-a8ctrfiru,nLgAhDiuCrii:crLBreDzCul.tiDeegoaarlietaceteuanugnhgiuhriiule- .r .l.r I I r: posi$il, cieoa-
Fig. 45
ACD gi BClf sint egale, CD e bisectoare. Intrucit unghiurile
ADC gi ts$C sint unghiuri megicEe qi egaie, ele sint drep-
tt:, de aceea CO este ?n5trfimc a triungliir:lui. Teoi-ema e cie-

monstratJ-

',3c q1

recc print-un punct al INTREBARI PEI\'TRiJ RAPETARE

drepl.ei sc poatc duc"s nu- !. lFroiurnmguhlaiu{iril_o9r.i demonstra}i criteriul intii cie egalitate a-

rnai o singurir cXreaptd

pcl'lrcndiculard pc ca (iec- ;,i" Fcre'mula{i gi der:ronsti:a}i criteriui al doilea de egalitate

renra 2.3). Am ajutis ia o a triunghiurilcr.
;j. Ce nuniim triunglli isoscel? Care latuii ale trlunghiutrui
contradic{ie. Decl, virfutr isoscel se nurnesc latuni lateraleP Care laiurh se nu-

C" aiiar{ine sau semidrep- meqie baz{.?
As tei AtCr sau sernidreptei
BtCt. In il. f-Jernonstraii cS fntr-uir triilnghi isoscei unghiurile de
{:ig. 46 ctul Cz
prinrutr caz xitrn- la bazd s?nt _
.Agr-gg"
coincide cu Cr, egale"
Cc numim triunghi cchilateral?
deoarece Dar aceasta inseanrnl cJ triu;;ghi.ri! 1." triunglii do_u5 unghiuri
Demonstrati ci dacd ?ntr-un
tl.

,4SC este egal cu triungiriul Ar8rCr. La fel ajungem la*c,rn_ ?. sint egale, acest trrunghi este isoscel.
este teorema Da{i r,rn exernplu,
cittzia. despre egaxitaiea triunghiurircr in cazul at clciiea. ErCrxailp!relicgpaeefrinru.tcrue oritccee tre.oJri'eemfftafi reciproc6.
Teorema e,lemonsiratfi . neciploca ei?
eslte jj!u.tss{.ta[
{}. Ce se numegte tn5l{ime a triunglilului?
IP r o b X e ri'l (PE). T*LrieCrnr:g9h0iuori.le;D1cBmCcn9isAtrrafSli \Cctl aer; Lil*
-,4rrrn$4r, AC:F,$]t, / e Ce se numegte bisectoare a triungtriutrui?
A,48C: ci[.u- Ce se nremegte mediand a triungfiiutriri?

-L\lJi.lliL1. 'i,1 Demonstrafi intr-un triunghi isoscel mediana d'.rsX
Rezotryare" Fe prelungirea laturii AC depui-lr:ffi seg- \a baz6 este bisectoare qi indlfirne.
fl?. Demonstrafi criteriul al'treilea de egalitate a triunghiuri-
srninetnteugl aCle$,ccelgreafol rcmu.c4rCite{rfiiugl.uia6in}.tiTi.riFui*igehaiuuriuiengAhSiuCri9di rieifpi{teJ
1or.

Ia virful C qi, deci, egaie, iatura SC e comunfi, iar iaturile llxERCITr!
construcfie. Din egariiatea triun-.
cd gi cD s?rlt egale prin "{. Segmentele ,48 gi Cl} se intersecieazf, fn punctul O
ghiurilor rezulid egalitatea laturitror AB gi DS.
Fe prelungirea latr.arii .drCr depnnem segmentui Cr.&r care este, miilacr-rl fieclruia din ele. Cu ce este egal
segrnentul 8S dacd segrnentul .4C: l0 m?
egatr cu "ArCr. Ca Ei pentru triunghiurile .{rgC gi fi#C de- f"
monstr6m cf; triung?iitirile .4rBrCr Si OrSrCl stilt egale" ftin 3-, FPSrHilt!DapFeorBjeeeehtl.rri,i:nin,i4q.naublqra1ct.1arl-viigrice.etcz)lnqfuelusarcpliiCcritjalpulaee.a9Aoi4Aturitu,BchlrBtBsA*adrrr-PcCia:"rlu9Buae_prqlsn'p"reAat9ieasgtare.ogieCildh$uCnFgB8rittcntueirrrt,BAcisnii4gr.auutna.]ie:1-hlpnC4elnen;eDitgutgat-2elues6AiiAh)guuelmidiuniuaDBrnAugBiotllglaBue.iunA"sed:hliBosBlgeeEqDistau'!:pairi/csieate1dAsiCenucm:f.rr.iiss,iCt4eoatc.enreD4AnetggA-BsesldgaAra-tomu.lrrcairp,atscsl.aosEpe{5ilttinnuiueC*o-trctatantrh.eatcidudttftlt*loarpauiru-iiie-tuuetnIrre:eoaanniciipdso)xcltqCtuhuut'd'irupn.tit"u4i,iilc'"p.ii-raOntg*beDie_sca,-r--,..i,t
egaiitatea trfunghiuriior rezultd laturiiorl
SrBt. egaliiatea ,4r#; si 4."

"usld4anfj8tjtgrt:AD-$hiLrpii,utqA4l'irci:i8AX.i/A*n^loo)d.gr:84At:.c?11rEL.rDit8ies1l1ri,qoniui1dile,.e4aogd1aiaeBroltererSaee.r,eieEreucA{ea9rrC,naEee:uofAa:rnz:AtciChA$eiBdrg:e,adDmtirariitgnractrEe.e&aegt1-ora&uinulnfi1ontgar:ghi:tr{hexi,utigauri,cri,coitr.rnierinr-" l-r.

ic:nedilferixaGndleevrnc,iArootAnnusCftoterraqartnei c.Acrria.tSenrrdCiuirfrius*tiingitnietZgiiaAXc*eo..ntE_chlAeidraefumn.c4corgn-tfndoiurrm8ngfith*.it4uurCio[e** rnentele. D.S +.i,4P8C,pqr,is.4inr8trCer*.gale. Dernonstralf egailtat;a
triungiriuritor

fi. Fie A pi E doul puncte astfel ipnecnittrinutraeme5lesunrua Dutem

trece dup5 o dreaptl (fig. aZ). ire te-

,s8 39

/(4@2:=4\ Aclaifttlualra{aitulIaarttaeurrlaailleSte.lruaildd; a2c)l:bla)zabaezacue cu 3 m mai micd de-
mai mare decit
3m

13. D,emonstra{i ci , i'tr-un triungrri echiraturar toate un-
gnturtte sint
14. Formulatl egale.
problemei
,$l demonstrali teorema reciprocd afirmafiei

I3.
15. lDgsl?mTPpraasli:eurtnteofoeiem9nButsnrrcllcnaaovssatelsgetn.t.iltr!urhi,ls1asnclriutd{a.uiritCnilarar.esitcti{'cl.iiie.aItvd,$u94c-?iltaedet.ArCrriti,fiuuCnureu-rnn9rrn.nCiirdjgliurtgieocaplBi:hccErigrtediuCurrumiriirriuruiigierltoieaeenlnrcell*isugetcAtetiAtairlltaBaii6rtrputis{CidCu*uinrie,rnni1niriSrEtog{ag'oigiearhshr,gfieAiutiuianreBungild:ruuenCiAeuenUniu.,CeetiaA.V*.ra*,hstiiBuprnieisi.iusniCumiiiiorungln-eisr,ttrspqccrioi_ieiieghe-C*r!ag.i,i'.b*,rua..uo*ci!""eocbl".iu..hhor.a_tiief--"t
Fig. 47 Fig. 48
16.
AStreerpmnd,+rdantijs^u[pcnaCegnref,ea.ied,sduepipirlvt.lerddeldurcnepagletciencaisgltdciegiinncpclunopnluoucntnCect.cpuJulpan,u{lcon,tcngCiliurinidn*CirprCluici'si*i;lcr;'rt.cunutlp'e_ulge_
Ot.

lB.

7_. fmsrmAcPpglrQaeauiuuetacd.nu.ntn,fsdpdsitlacai,u.uiupr.stituCrsnn.rr-taOpt.lisac!a,ivm)neeatnnieungdi,lAalnaAurdmdeinunnrLrcceetl?Si'rsdia.cnasig:uu{uatep$piuqprtrigt.aaEaeElaiuuum_ttnCinlsEipLe.lc?eiAen:.DttEiDCiutrvJfBtx-!eleeq.aap8;Ad,Arnir:4ioe.{eibo..tc,fnn9ulAniiaitdpg;shfrDt'funidua.tiicirnn-ninre.cisarclj.dciteiBsdS&ta.iguerc)Etinse-rlelcgsief.p.9ramAagigtcAiieenmecdlipEine-ieeinpeinies*nuguseiiutlbrpOuermepiiHrlc!fcep,toEduipelbjuaJfoepaq}niteu*o^TigeersnlyedEsirlaitrpicecmDeecjiaua.anrFee-rnpnldgg"g,,cluru9aiatean-eeliil' 19. cD9stDCsddDDlr5)eeuuiue-Dree^cgssmnsormErttemeecnonrolctieaooaeneduedtdtnnrosnlsinu9cinistsatntarlgrcetetarrnd,rlaehaofAavedca{d,ratilieiu,eeirut,li.ll4rscalcue4cdtiA,cEsurau8gr_ue.int;_aCd.rslsimiiegaElenniE,vinet..tjtahiddnlrrt{Ctevir-iieee_ulnuiuusiauDarlsrtiu*Ifvn.e-iiauesieigtsriotirsfdirbshiisaultniueoueuiacrutifse:inszligrAccelleigiioeisl"r'phaesmld:Su,t4eliiceiinuuien!,uuA9snotrg1oi.i,vl^aeboipsD-iAigascrer"Czifaecinu,*adrAlmient:rl"uBp;aoert''a.p)gi2nC'rFc.a-sls)ebT-t'iu;iiiie'sim.safi^iltne,ute.u'm.Ai"-,rnci''i".i1uoi'pj'i-z6aulaBnoar'-rfnr"c1grAi'iegc'lLuChuilit_rerei_;t,i
8_. Segrnenteie ,48 gi CD se intersecteazk in puncti_ri G. De- 20.
21.

22.

mspo_n;tsietr-ac{ii egai!ta'Lea triunghiurilcr ;lCO'qi DBG dacd 23. sI2d.1iilraraAnt{rahii-ut_DBn^gMeshgi.iaqCPl!MitediDstm.oe. srecdteriliauAnniBgeCtsrtieucuriiulobaart:zualn}A'pCiuEnebcstte-Oqd.iu*nsi5medomDne_-;

BA:C0. unghiul A(C este egai cu u;:gir:ui JIBO gi

S. Segmentele,4C qi 8D se intersecteazd in punciui O. Se-
monstra{i egalitatea triunghiur:itror BAO'9i t}CO, dacX
se gtie cX ungiiiul 8AO esig egal cu unfuhiul DCC Ei 24. dDr.aenmaontsti)lafiesctnetr?iunnilgiihmiuel; ,24B)CinedsltiicmiseoascBelDdaecslt:el)bisnerce--

t0. AC:CC. toare,
PiA-sefgl.rasiqiiniil.el';etrrs:ugteilrn{eseguaalm_lacaiuuXr!iui nrlagnti,ernriaaiiolrer.baiazaiucrsiltccr'ei guanlduicutriSu,n4g-rhn.i
t i" FiFaeerrriiimranteeuttrrrauu!ltruuannteuuriiatltrlriuieunsngtJgliiieiilgsaioslos5sccceuel leZessrtente.eaegTgatala'ilcicunuaIz5?a,,.SS 25. ?XdDB*DSpinJi.ee;Drni.irenTm.atvtrocroAeiireu-rndrgfnfentslauaa$ltgtltrllgjteatihuio9gJllfdpuuyyudiirnunleoc_cb5sgagiudr9iio-bomllmtmrTsdbzetec.rie:easieJdiiel.eauiieancAisligtetdBoehaara.C_etlcmrci5eutlerrcriioppiduuureiins.anrbd.ogniimaiuishl*zicei.eauettrlt*ldiuueaflicc-tz,br{ue{ih68"u6iDinidbDanuga-i,-s-s_fhzs_-eElainusctclnucu"uero.iei,-Tm4d4Af0iri0ua"u,BrnnmstClda*".
rn, 2s-
39. m. 27,

s I'tercdrn pe teren o direc{ie prin jaloane.

4A

tll

2S" ?/-'rCiun:ZgChi1uri:lgeriAi"S. CDeqmio,n4srftfrraClir aw AE==ArBt AC:ArCt

ci A.,48C:A.4r8iCr.
29. 1-]*r:nonsti'aii cfi intr-r:n triungXli isoscetr inblti;nea. cobo-
rita pe bazS esie i'nectriani gi his*cioare"
$0. "['riu;rg{riuriie ,4.&C i.l li"8Cr sirlt i:ii;sceLe cu Lra"zir coriltu-
nit AB" Dernanstrali egalitatea triungiiit-trilor A{JCr qi

fJ L t-.r. t"r2n1i,nSg,hiCu,ri,ieS apnriiri rrnei ,irepie.
ABEt gi A,;Ii3 slni'.
S?" I?unctele tr-}e*lcnstrafi

cd dacX eg;ale, iriun-
ghiurile Cllfl qi Cilii2 sint de &s,t:r:lcirB2 e;:,lle"
-$2. Iiou5 segineil'r.e ,46 qi CS se 'rntersect,:airri inir-un punct Xj'ig. 49

# care este mrlnocul fiecdi'ui segpeilt" [renrc;istra{i ega' ep&*lgucluienenceaecssda!ter;uaucrlripenaCli.le.eiinr.l srtTdpreeeaocrtcls,e;reiebdasrinloze,5auptt5efroneadCotteraer-mreuedpocnueniecsp3etprluracainnte5rctta.rrt_lmeuolnrea:rlpetcucouanrcddetrree"Caoapr.p*ttDlanep*"uc.ir**ppbl*e"f*.Arin,-
liiiitea tliuiighiuriloi /iCO qi [ifrC.
3$" ilemonsire{i egalita'tea triunghiu:"ilor drrpii rroul laturi
qi niectriana dr:si la i;.na din eie.
$4. rdSireaegcamlpetsnae'rg"demiBeenAeiiesSltee',s,b4i iCCseO,cCtoslae3r,einaftreiurlsielggcrlh-eAira"':l0tiirti.sCDi*etl$ren,goailasietrrass{rei::imncii.--l
dreapta Cl] este biseetoarea unghiui""ri dCff' ,Csgcsirgugi''i,.ri"rr.,aneinlhi.rid:i'rri*uic'r.'ggi"rlieu!urc.Inu)ha'{hcih'ircce"rii&eritr;.;iiiunsec,riuiiu:pardi-eriti{aeiidnreeJ'*1sf*iirJ;,et*'';)1e:trjicr1rrr;ot,s3ee^uia::ruseej.{rrf:s..,/rrtri:iilCteuC;it:ec;rerlisi*6trnretir.t{eeaf4e$pcapiai,sariislcg'ipCi;ee'uze:e$^e'slff$lS1rareutn}1eue,'i?efCe,*griuCfcno,mntd$de:F*il.nirgrtnt.afotceermtirt.htd-enludp*auesucs.iet:;;sieuxrent^rufcltral$le"lrc:ianenleides{ztrtupffnnclreitai,iuentg,tuCcuemt,{e;lrlp,6mScr.ea**,ttt"ie;dsipen4fia{"rgrrrccud3i.sni."*aeniieeue,e*,**ifnu-tpuaaC*s1fe";'ipr6tucter*ni;rlr*r0d**r.lgs**ireieo,r&*jne4uDrl{tlpraulifrnrrcu#litpa{pigru#Jgni*:racairo..eoi.rkg-firtrreiift+{Ddpultzed,paeaSarirruricueiecnien}nf{aurfC.t.e6ieat{cnre.nptpqetdfetisperwri.ftiirieXnnoeaiuale{goalepetctCuoaeerp.,ardcuwb4pbii'r,eAntr4tran.^tCceeet-atg'e.aeSeta"Ul,,ee,UltpiuAdrreoU{r*dt.nr*gCqaE5t)c_'eee-*-.ii-
35" Dernonstra{i cE it-r prolilerna 34 tlreptele -4,$ 9i Cl} sint
SS. 1- p'reiurpnegnhdiiucurillaereI.AC gi tsltfi' siiit egale, punctr:Le C gi ,D
siirt situate de diferite pirr!i ale qdriefp}tAeiC,4s8i.nDi eergnaolne-;
stra{i c5: I
} triung}riurile CiiS
2) dreap'ra CD trnparte segarentul ti.8 in.|urnitaie.
37. $egrureniele de lrrirgime cgand ,4-E gi CD sr: intersecteaz6
intr-un punct C astfel, incii ,,{.O:#,t1. Den"rcnstra{i ega-
aer Dlrtramteoanstrtiruan{igheiguariiiltoarieAaFtCriu9ni gilChi6u.rilor clupI dcud laturi
gi o mediand care pornesc din acelagi orfrf.
Or't !)ernonstrafi egaliiatea triunghiurilor dupd o traturii, me-
diana dus5 tra aceastd laturd gi unghiuriie pe car'e le

40. formeazd cu ea rnediana. dirpi o medianf
.i-]emonstrafi
egalitatea triunghiurilor
qi unghiuriie, in caie ea imparte unghi*l triunghiuiui.

s 4. Sq-.lfteA {JNG*{IURXLOR UNUI TRHUNCFII ;' ,i!:J)!.Et& eg,*le, fefr SrrffZC W.ngfelt:tti*

20. CRITFIR.IILE DE PARALELISM AI. DREPTELOR. i:;; i.r'uerne *ie *teee,*fi pcr,.fe e se_

Teorenra 4.1. Baud tlrepte padele cw a tteia sint .'i,:,ttt.,:;: erf* fi*edrei perea&i es*,e
i:,'1,[,ii. eit it#it.,. i?e*ipl.*c, af,rled sr:r_
parc{e{ei;
, .,: r::, 1;,,,tiii,riit"tr i:zf eyx* d,jc nulrs{S$f
D ernon str a f ie. Fie drePtele o 9i b paralele cu dreap- ,uereriai
.. r' /i tit seytttttt:i r:ge rs"?;lel
ta c. Fresupun€rm cd dreptele a gi b nu sint paralele. Atunci
' :..; ,r ;!,'t,.iti. r:w !;!iii} surm,m r:**gfitrurf- Fig. 50
42,
43

Iot interne de aceeagi parte a secantei ate celeifatte perechl al Teoremele 4J gi 4.2exprimd criteriile dz paraletism
este de &seffienea, egaid aw 18A", fur anghiari{e alterne in-
terne sle fieedrei perecki sint ega.!e. Sd expiiclm prima dreptelor.
ml.tcpcdlaAeeaoeulrCir-oenpnnesPRaDf.lereoar.tIermnreunneimconuletgizedrtibCa-etorsa(aeeirlfeteldnlsiaceevgeeepumaa.cvstpapfudCSirldonedre2tAa,Cten)t.Bpout(ee.Ar3er.nguDped)agA.iiuru.anndlhetencacruSiae,eucecn4ppidtranoeu.citi2rsleaetiell.tidld,dpledB4arartaedCeelAetteaprleeegctpisem,sated4liie9qprmigpuepiitiAaailarop.CgpttBrleiD,caDatiaCnneiiEpemgbAldilausiioeiBnnsiOc.npn.uiuusu.ntgilrlrntduunaiidenrnptoipremiugani.uadrrcfp.anu'e,AoieirlnclaeuueC;gtl5iu;e.pi,h.;i,lsDSiarr$iueiCnrn-e.--li
af irma{ie.
cudtilnatuiatzieCiseosfiunemingmppdupoaar6oarmi.rtneteadnndtaatadfeli:ererpnaoraiddntirartere-ppaatrpenoltboiplrepwmpa'nraecaritlaetBailed.gil,leci),uaftxa$cijeouaamn,pgdeaeairrltVnidneLg(pidrono.rape"mropinetae_-ii
Privi{i figura 50. DacX unghiuritre alterne interne / qi I
sfnt ega!e unghiurile aiterne interne J gi 4 ca unghiuri taaeclteepTeraanergeaiotpeirnetetereimersniaeant4ss.?ei3nnct(taernreestcgeeiapiclrteeoas,ctteaeiaedtregeosaarteedmmctareueiwi4xign.,2#gdo).l.riieDuaarpielatddrduiannwtgedrerndiuerreiprde_e
megiege cu unghiuriXe / 9i 2 sint de asemenea egale. Un- eataccsIusaers..tnctpefPAltte8aaepgl*0rtiaaea*?ofrldnooead(carllnfe5?merit,glsdacdss.tturuuerc5emramb-3ard.af)apbe.Ft.uauAdrIninnnrticuegegs.np_hh.rupiciieuutpiFrrirmreiriiiinnilleanooarrrveprdp,iui$rriundnetniiutrrtpeece.&tttetarreuunnacpirlereet-ar,.{4d;dpdseceaeeotdrcrreceaaaauocmcclnoeeieenetl"aeecien*aai4ud"qqoo.meii2rppiagcddaiuuirrrr_eotriSetde*a*^aarpciepaunt*atgfat,ppeasutea*a-rra__,rii
ghiurile I gr 4 sint unghiuri interne de aceeagi parte a se-
caniei. *eoarece ungiriul 4 ccrnpleteazd unghiul 2 ptnf,

!a 180", iar unghiu! 2,esfe egal cu unghiril .1, surna unghiuri-

lor / gi 4 es{;e egald cu !80".

T e o r e m a 4.2. B*lc& vnghiwrile alterne interne sfu.et ega-

3e saa saffie ursglaiuri(.ar interne de aceeagi parte e seeawtei

este egald eu tr&$o dreptele sint paraleie (fig. 50).

Demonstraf ie. Admiiem ci drepteie a Et b for-

meazd cu secanta AB unghiuri alterne interne egate. Presu-

punem cI dreptele ru gi 6 nu sint paralele: prin urmare, ele

se intersecteazi intr-un punct oarecare C (fig. Sl). Pe pre-
lungirea segmentului CB depunem segrnentul 8D egal ctr-

.segmentul ,4C.

Triunghiuriie CAts qi DBA sint egaie confonn criteriului

intii de egalitate a triunghiurilor. Ele au !atura comunfi

^48, laturiie AC gi ED slnt egale prin construc{ie, iar un-
ghiuriie CAB gi DBA stnt egale ca unghiuri alterne interne.
Din egalitatea triunghiurilor rezultd egalitatea unghiuriior

CBA Ei DAB.

Surna unghiurilor megiege CBrl Ei OBrl este egatr5 cu

lBO". trar suma unghiurilor DAB $ CAB, egaie cu aceste

unghiuri, adici unghiul CAD este mai mic decit 180'. Arn

ajuns la contradic{ie. Teorema este demonstratd.

Fie. 5l Fig. 53 :9r

': Fig. s4

fr45

cantei formate dc clreptele parale- I)e aceea suma unghiurilor tri-

le a qi & cu secaitta c cste egal5 urnghiuiui ,4r3C de tra r;irfr:rile ts

ci.r 1.80", dtti, llrglrit.trilc eltei'ne :;r C este egal6 cu unghiul ABD.
iriterne :;?nt egate. T'corema e cie-
Ferriru drepteie /1C, Ei3 qi se-
;: rrrsiratl i:t i;,ii:giiitc.
n;anta SC unghir"rriie .4CS gi C8l)
Din teorcritc!e 4.!l qi 4.3 rezttl-
:;isrt alterne inierne. Iruirucit coil-
tir til dcui rtrrcpte -pt.t'S:endie*!,arc
forl''t c*l'tr demonstrate ele sint
g:e *. ,tr$eL sin.t ;:r,s,i;'af.ele. #*.c& o
Irip;. 55 ti't;:tt-pt'i este pe:i'pentj.i}rcE*rd pe egale, dreptele ,4C gi Ef-) s?nt pa- i'ig.5tr

xvst {}!.n d,*ud. drapte pnr*te\e ea raleie. llecfl, s'r.jffia unpXhiuriicr

Cteste [ti:,:{}er*dfr:-;,,rfu::rii gi ;;e ce,a'{*tfei! iiig. 5i+}" se ir;riersec' irnterne rte aceeagi parie a secantq:i C,48 qi ,4SI) cslc tgaiii
F r o tr I e iii d. {5}. Scgrneltetre ,/18 Ei *u 180""

teazd in p'u;--rctul G. Dc;n.cnsirafi cX: 1) rentru dreptele I'C, ;{8"f4ist*f:eglaslfui mcua tutururr celor trei unghiuri ale trlunghiutrui
ES gi seca;-rta ,L# unp;triurile tsrtC Ei .,ti'l}& s?rlt allerfte in- sutna unghiurilor rJ,4E gi ;alB0; este egaiii
cc.r iEOo. 'Feorenia e eiefftonstraiii.
terne; 2) penir"u drepteie AC, ED 9i secant* ,41,a ungiliurile
ABD qi DAC sinl lnterrie de a,cceagi pa.nte a sec;rntei. Din 'ceorema 4"4 re'eultfi ci tra oriae triwl*gfui *e{ pu.';tw
d*w& w*.g{tiwri s\ftt ascu$ite"
Rezolvare (fig.55). 1) ilur-rc'iele C 9i D se afi* de
diferile plrfi ale dreptei 4fi, dccarete segineritutr efr inter' Denionstra{ie. Presupunem cd un iriunghi are nu,.

secterzh ctrreepta Ats (in punctlrl C). De aceea peritru drep- urarl un unghi ascu{it sau, in genere, nu ilt"e unghiuri asci*.
xite. Atu.nei acest triunlliri are douii unghi*ri. fiecare <je ce1
tele ,4C EO 9i s:car-rta llfr i.rnghir:rile SAC 9i ABD sint al- iru{in 9S'" Suma arcestor doui unghiuni este de cel pu}ln

tet'ne inl.crnc. .lSC'. Ilar aceasta e iinposibil, deoarece suma celar tre?

anu2m)i),truinnctseetrmeip#languiXCinsecaafr1e5sre1r:a"fidtupuut*ncatudl n0e.ptieliertaDcee9ai un6hiuri este egalfi cil iE0".
pentru dreptele AC, BD qi secanta AIr tlnghiurile ASE 9i
F r o b I e rn 6 (12)" {lu ce sint cg;il,e ungliiurile unsi
Lriungiii eciriiaierai?

S.4C s?nt interne de aceeagi parte a secantei. ld, e z c l v;i r e" fn trrmnghir.r! echilaieral, riup5 cum gtirn
(pr*hlerna i3 $ l{}, tca{e l-urghiuriie sini cgaie" De*:ri.ece
21. SUfiAA UFgGF{[UR{H.OR [.IN{.J8. T'RTUSJG&{E :,urua li:r este egald cu 180', liecare unghi este egal cu ii0'.

Teorema 4.4. Surraa ungfu.iwrilor unai triunghi este {.trrghi exltyitLr al trir.lnghiuitsi de la virful alat se nu-
,iiegte ungliir.il, niegieq u.t ur-;ghiul triunghiul:li de Ia acest
egetd. eu 18Ao. 'ri;'f (fig. 57). trr:ntru a rii": c*irfuncia '*lnghiun triui:giririi-ili
rlL: ia virful rlat c* ungilir"rl e:stei-ior rle la acerst virf *nghiui
Demonstralie. Fie ABC triunghiul dat (fig. 56).
lr,u*ghiuiui s'e nuineqte turegi;i interi*t'.
Not6m mijlocul O al segmentului BC. Pe prelungirea seg-
mentului AO depunem segmentul OD, egal cu segmentul *ffpd a
O/" Triunghiurile BOD gi COA sint egale, deoarece un-
ghiurile de la virful O sint egale cu unghiuri opuse la vlrf, ,ad:n:-fF***A_,! _--
t
iar OB:OC 9i OA:OD prin qonstrucfie. Din egalitatea
triunghiurilor rezultd ci unghiul DBO este egal cu unghiul Fig. 58

ACO. 4?

48

Teorema 4.5. Unghiul exterior l. Dscd ipotenuza gi un unghi ascw{it
al triunghiului este ega{ cu sutna.:.
ale unui triunghi dreptunghic sint egale
eelor daad wnghiwri interioare care
rcspectiv cw iXcotenuza gi urc wng!$ asaw{it

na sint megiege cu e{. ale altai triunghi aceste triunghiut'i sint
D emon s tr a { i e. Fie AI|C tri-
ega!.e" (Criteriul rie egalitate rlupl ipote-
unghiul dat (f ig. 58). Coniorm teo-
nuz;l gi un unghi ascu{it.)

remei r*.4 LA+LB+.LC:180". De 2. l}':tcd. a caie!,d. gi wnghiu{ apus ei ale
aici rezulti cd LA+ LB:180'-
unwi triungft! drep{wng\eic sint ega{.e rcs- Fie. 60
F!g. 59 -iiLtSC{i .esPteairntedasudrareainptgdraadaecaesutenigehgiiar-- pectiu ew o catetd. gi wngiziu{. opws ei ale

lui extericr al triunghiul'"li de la virfr:l C. Teorerna e demon- altwi triangfui aceste triuraghiwri sint egale" (Criteriul de

stratl. egaiitate dupd o cateiS 9i unghiul opus ei.)
Din teorema 4.5 rezulti cd unglfiut extefiar a! triun-
3. Elacd ipotenuza gi c catet&, ate wnwi triunglei dreptwra-
ghie sint egate resysectiv cu tpatenuzu gt e eatet& w\e a{tui
gldutn| este mai mare decit arice angki tnterior eflre nu e triunglti aceste triangfyiewi sint egate. (Criteriul de egali-

megieg cu el. tate dupd ipotenuzd gi o caietil)
Der-nonstraf ie. trie AEC 9i ArBrCr triuilghiuri
Prcblemd (28). In triunghiul ABC e dusi iii5l{irnea dreptunghice cu unghiurile drepte C gi C1 {fig. 6l) pentru
CD. Care din trei puncte A, B, D e situat intre celelalte
doud claci unghiurile A qi B ale triunghiului sint ascu- care csle satisiScutd una din condifiile:

lite? I} Ats:A\BI LA:LAi
2J BC:BIC+ LA:LA]
Rezolvare. Functul B nu poate fi situat intre A gi D. 3) ,48:ArBr tsC:8rCr.
Dacd el ar fi situat intre A 9i D (fig. 59) unghiul ascufit
ABC, ca.unghi exterior al triunghiului CED, ar fi mai mare SE dernonsirirn ci triunghiurile sint egale.
decit unghiul drept CDB. Exact ia fel se demonstreazh ch
gi punctul A nu poate fi situat intre I gi D. Deci punctul D Pentru demonstralia prirnelor doui criterii e suf icient
sd observlm cd daci L,4:LAr avem LB:LBr.Iar atunci
e situat intre A Ei B. triunghir-rrile sint egale in arnbele cazuri conform criteriului

22. TRIUNGFIIUL. DREPTUNCFIIC al doilea de egalitate a triunghiurilor.

Un triunghi care are un unghi drept se numegte dreptun- Demonstratia criteriului de egalitate a triunghiurilor
ghic. Deoarece suma unghiurilor triunghiului este egalS cu dreptunghice dupd ipotenuzi gi o catetd a fost dati in re-
180o, triunghiul Creptunghic are numai un unghi drept. Ce-
Ielalte doui unghiuri ale triunghiului dreptunghic sint ascu- zolvarea problernei 28 S 3.
fite. Unghiurile ascutite se completeazl unul pe altul pini.
la 90". Latura triunghiuli dreptunghic opusd unghiului drept /lAU,
se numeqte ipotenuzd, celelalte doui laturi se numesc catete
(fig. 60). /H

AfarI de cele trei criterii de egalitate cunoscute pentru r/tt!
triunghiurile dreptunghice existi gi alte criterii. IatI aceste __ __{
At Ct
criterii:
Fig. 6t Fig. 62

48 Goorauda lG 7 4g

ProbIemi (35). Denronstra{i ci intr-un triunghi cu Fig. 63 aAa',

un unglii de 30" cateta opusl acestui unghi este egatri cu i /it/iGix.'idpb@
o jumdtate de ipotenuzi. fr l,r'ttt

Rezolvare. trrie ABC un iriirnghi dreptunghic cu mE:=*6*.r_.*,.-e** I
unghiuX drept C qi unghiul ascufii 6 egal cu 30o (fig. S2). a
Fe prelunp;irea laturii dC depuner.{x. un segrnent CD, egal
cu llf,. Triungliii*iie AEO gi SfiC stnt egale conform cri- \' i.t

teriului tirtii. Ele au unghiuri drep'Le la virlul C, latwa BC Cicularele dA gi AtBt Ve dreapta &. Triur-:ihjui.iie d:.cpiun_
sfdadugfa€sAeehntccoiegctudaaPaefhrnreiietttu"pegrc.4triiee.uii8E,lnSeFs4Ifg1leiilpnie8hngat,aii4dnruuas1Burlaia1eleizousppie1gcrco1aaut*Btreilfee.tifnest;izeiucirun,nibzanlientatdge,euuicgrnsesncaadggeneiuahecaiLauildrtcilnintextratiuitainiieai,eiadrtcainsllaetieuepc.lar1:raorn.dttquXeufeenini;ri;r-!grir-arig_anzoic;::r0.ii;irrelrcre:'1;qr.qArn,a3aiDiL*l,l.:,iuizisni:qrpufre,o.icar,.eur"*air.g,r*nrntng,uaegtiaelitt,iitu_riae*,,i
comunir, iar A0:C& prin conslruclie. Din egaiitatea tri-
unghiurilor rezultd cra LD= L,4==60o, LCtsD : LCBA:30",
cieci rAfi0:60o.'De aici rezuit# cS trii-rnghiul AElf, este

echilateral. De aceea A.C22:j,-,r+O* -]-,48, ceea ee trebnia de-

rnonstrat.

sS. EKg$TEh{T'A SE {-iN[CI$TfiT'H,A. PHEtg]fr,ru{]fiCUU.p.RAt

flE S Dft.8i\llTA

T e o r e m a 4.6" fri:,z. oe"iee y:une{ a{nre Fttt ap*,rfi.ne a{repte|. adicd egalitatea rlistanfelor ele la punciele rn ,si Ar ale drep_
tei a \a dreapta dr.
d,*i{e se ys*ti.te eo{s*rfr o perpen,litads,r& pe a**asts" elre*pt#,

gi wwnwi wna singwr&. cdErepdDtreueppldtaelcoeunpd'arrervaaelpedtldeenpsl,aindrtaisleteacinhl {isetiilinestiadenegieai.alei.litsDo.;ae,ttreet{crpi..rcd:naincsiteerelesp'duuonntetedi
ie. Fie a r.lreapta iirie
Dernoii*qtraf S3). !'iiii p*-rnctul A gi r4 un ;,nunct
(fig.
care nu-i ripar'9ine clucciir ilrcapta

f: p;ialetii cri dreapta * (probieira 3 $ a). Acui;r prin p"rrr:ctul drepte paralefe se numeqte elistanfa
A ducr:nl d:eapt:r c pei"penc.licul;rH pe drcarpta &. Ea 'r'a fi atr unei drepte Ia cealalt5 dreaptd. de la uri
punc{. oarecale

per:pendir:uirl'ii pe clreal;la c {teorcrna a.3} gi o va ilitersecta If{TREB,4RI PENTII.U REP'H"I'ARE

frrtr-rqn irtnct cil:r erare (pro-hlenla ,f5 $I j. Segmreiitul ,48

este perpendicuiara cobcrii5 ciin ;1 pe dreapta o.

Presupuner-a cfr din pur-lctr-ll I se pot. cohori pe dreapta t. Demonstra{i ci doui drepte paralele cu a treia sint pa_

e! dou,{ Irer,r}indic{llare: ",{E ;ri ./iC. Atunci t;irrngliirrl .4SC ralele.
*:r 41,/ea cil:rr?i Iliighiuri clre;:te, ceea ce e iiilposi'bil" T'eorerna pEaxrptelicaaliseccaaren.teuin. Cghairueriusneghniuurrfilessec
2. inferne de aceeagi
nufitesc alterne iri-
e .dernc;lstra td. terne?

H,unilime;l i:erpcndre irlarei carhoiiie rlin ;:unctutr clat pe 3. Demonstra{i cX daci unghiurile alterne interne ale unei
a elreepti se nurne;te disianNd de ln un pwn,ct la a ctre*p;td.
perechi sint edgeaaleseurnnegnheiaureilgeaalelt,eirariresiunmtear,nuen"gtheiu,riifleori
tr:'::'rblernl t.i.?)" Drrnoiistrrti ch distanfele de la orica- perechi sint
re dcuf; puni:te ale unci etriepi* la o dreaptl panaiel5 s?mt interne de aceeaqi p*arte a sicantei ale fieclref p.r""tti
eteesgrtaneleSe. gdc-ueali1-aBc-c0ug"^,e1sa8qui0rn'p"aaRruetencigpahroiuscer,icidoaarnctienl itseaurrnnueandeueinfgicieherieuearciEiLrii:rpeisi:ntre--
egqle.

Rezoivare. Fie o gi & dr,r.";:tr: paralele {fig" Ca}. Lufim

pe dreapta a ciouh puncte ^4 9i .,11 9i coborim din ele perpen-

J]

AU

te a secantei ale altei perechi este de agemenea esali 2. Se dd triunghiul ABC. *PepIuatnucrtaulACBr.esNteummaiiricautngpulrniucrtiulel
iar unghiurile interne alo f iecirei=pe-
rceuc.hlBi 0sii,nt. alterne 81, iar pe latura AC
egale. interne de aceeagi parte a secairtei qi unghiurile alterne
interne formaie de drepiele AB, AC qi secanta 61C1.
4. Fteolormr udluapfilEuindgehmiuornilsetrfaofrimcaritteerdiuel de paralelism al dren-
aceste drepte cu S. Sint date dreapta AB gi punctul C care nu se afll pe
cant5. o s'e- aceastd dreapti. Demonstra{i ci prin punctul C se poa-

o. De.monstra{i c5_ printr-un punct care nu aparline dreptei te duce o clreaptd paralel5 cu dreapta Ats.
date se poate duce o dreapti paralell cu cea datd. Cite 4. Demonstrali cE bisectoarele unghiurilor aiterne interne
forrnate de dreptele paralele qi o secantd sint paraleleo
drepte paraiele cu cea datl sg pot duce printr-un punct
ce nu e situat pe aceastd dreaptd? adicd se afli pe Crepie paralele.
5. mSeognmseirnat{eileciA: E1}gpi eCnDtrusedirnetpetresleectAeaCz,dtsinD punc'tui O.
6. Demonstra{i cd dacd doui drepie paralele sint inter- gi secanta De-
sectate de a treia dreaptd, unghiuriie-alterne interne sint ,4,&
egale, suma unghiurilor interne de aceeaqi parte a udnregphtie'.l:erilAe CB,AtCsD9qi Ai stseCcasntin6tAaOlteir-nlnegihniuterrilneeA; D2)Ep, cfrnAtrCu
iar

secantei es'ce eEalS cu 180'. sint interne de aceeagi parte a secantei.
cd doui drepte a treia
7. sleinmt opnasratrleai{ei. perpendicr.llare pe Triunghiuritre AEC 9i 6AD sint egaie. Pu.nctele C 9i D
Daci o dreaptd este perpendiculirl pe una pdrli AE. Demonstra{i
6. s?ni situate de d-iferite ale dneptei

din doud drepte paralele ea este perpendiculari $i pe a cI dreptele ,4C qi ED sint paralele.
doua.
7. Unghiui ABC Dersetepteelgea,l4c8'''tq8i0Co,Diaprout nfgi ioriaurleEpCaDraleesletel
8. Dernonstra{i cd suma unghiurilor unui triunghi este ega- egal cu
ld cu lB0'. 120".
Argirmentaf i rdspun sul.
G D_emonsiraii ci orice triunghi are cei puiin doui un- 8. Diierenia a clou5 unghiuri interne de aceeagi parte a

ghiuri ascufite. secantei formate de tioui .drepte paralele gi o secant5

10. CDeemnuomnsimtrau{ingctIri exterior al triunghiuiui? este este egalS cu 30o. Afla{i aceste ,unghiuri.
9. Suma a dauX unghir-rri alierne interne formaie de rlotll
It. un unghi exterior al triunghiului sint
ega! cu suma a doul unghiuri interioare care nu drepte paraletre gl o secantd esie ega16 cu 150". Cu ce
megiege cu el.
12. Demonstra{i cd un unghi exterior al triunghiului esie sint egaie aceste ungl-lruri?
tS. [Jrlui din unghiuriie care se c'n,tin la intersecfia a elouh
mai mare decii orice unghi inierior care nu este megieq dre;:i're paralele cu o secanti esie egal ci.l 72'. Aflafi ce-
cu el. leialie qapte unghiuri.
13. Ce nuniim triunghi dreptunghic?
14. Cu ce esie egalS suma unghiurilor ascufite ale unui tri- It. Unul clin unghiurile care se ob{in la in'terseciia a doud
unghi dreptunghic? drepte paraleie cu o secani5 este egal cu 30n. Foate
tr5. Care laturd a triunghiului dreptunghic se numegte ipo-
laiuri se numesc caiete? oare unul din ceielalte gapte unghiuri sI lie egal cu 70"?
tenuzd? Care demonstra{i criteriile de Arguruentafi rispunsul.
t6. egalitate a tri- 12. Cu ce sint egale ungi-riuriie unui triunghi echilaieral?
Forrnula{i gi
unghiuriior dreptr-m ghice.
t3. Sub ce unghi se inatceeresaegcitepaazrlte-haisescetocaarnetleei a douX un-
1',l Demonstra{i cI din orice punct, care nu apar{ine drep- ghiar-i interne de
tei date, se poate cobori pe aceastd dreaptd o Ferpen- formate de

diculard gi nurnai una singurl. drepte paralele?

l\ Ce numim distanfd de la un punct la o dreapt5? 14. .Afla{i unghiul necunoscut al unui triunghi dacd el are
lg. Explica{i ce este distan{a dintre doui drepte paralele. doua unghiuri egale cu: 1) 50" Ei 30"; 2) 40" gi 75';

3) 65" ;i 8S"; 25'qi tr20o.
15. Aflall ringhiuriie rrui triunghf daci ele sint propor{io-
EXERe iTrI nair. cu nurnereie: ti i, 2, 3; 2) 2,3,4;3) 3, 4, 5;
4) .'i 5, 6; 5) 5, 5" 7
!. Dernonstra{i cd daci o Creapii oarecare intersecteazi 16. Pc:ri;: oare un triunghi avea: l) doud unghiuri obtuze;

ty5.1ad.redainprt.Sd.oud drepte paralele-ea intersecteazi gi cealal- 53

52

?dr)eputel ?^unghi obtuz qi un unghi drepl; B) dou6 ungtriuri 9"3. Este <iat t::iulrglniul C8r|. F* prelungirea laturii AC sint
eltiiuse seg;nr:ntele pot
17. Vq unghi de la baza triunghiului isosce{ poate oare fi LS==.1iJJ gi Cfi:L"fr. C,:rn se
*iia urghixrir': iriunghir-llui fi#f;, cunoscind *nghiuritre
obtuz? $4" ,{i ;;:i'i:unurnlhgiuhliuiin"t'ttlrirCo?r';"ri lri:rr6iritll*i este egal eu 3*o, rar
1S. Afla{i. ringiriul clintre laturiie laicr;rle intr-un tniunghi
l)tsoscel la

eql\ o€us,:o.
ciacii un urighi de Lraz5 este egal cu: 41o; l-r;r. uugllli r:,,.'r-i:l irx'-,^ r-:* 4i1". .,liliaii i:r':lel:ilte llrlghiui'i in-

t9l\ '!74i.lc i*tr-:r ioaye a .t,r it;:i gli r ir-:!tri"
rtfiafi ungliil-lX cle la tra:;a uriui triu.ngh.i ss. I.ir.tnrrt,,r*.rfi. cS inii"-ui-l i.l"irin1:l.ii dre],.i1,11nltic ctl iln x-ttl.-
3$. isoscei d.acd
laturile laterale esie egatr Ei)"; ;gili t'i:r Ii[1" cateia cpui:,1. r;cc:i.t.li urliiri estc egalI cil o
t2f)A1h1lX'n)1"; dintre r:u: l )
3) 30".
e0. ungli al unui triunghi iiluf rti:l|lt!;ai|.,re:r de ipotenl::i. ii"
"iaUT{i. isoscel es.ie egal cu 10CIo. Af- {! rl glii i.;ri1e i-:nri ii ;'; l*n;;h r,eiu'Ls''tiulii*g:eldiicia.insoasc"e4tii".
celelalie unghiuni. elg"
d

9[. Il-rlg_nUnehaaqifutitrrulcCiiuuen.4nlnlg)eSpg,liaCir,iAhlh.teaiiefuu_llsalltuueifsiinsnoeougusgsichnacetiglerulih*lurAniiri,urf:lrlgref{tirhrl)te)itiier{uiiicsr0siucu"bcsn;al2tcgu*ze}ah{aiirz'iilear5lh{ss'C_Atr;e3erGiteerp..gA'rdgcoa.ufbiilslCeucffrfnuidjbaga.?iis?rcCei;u"c{.tismAatlnfe--- iil l.iiungilnt:l er.llii;rt;"1;i r'i:;i,' E: Af-
1': i gr,,ri;p ii: i. :,, .r.i ..t{lr.:; ,/;.1r.'"
3P. atai.. iliiii,irriile t"iitl;r;;ililrir*i ,il r.:,f t.ii::L: din viritrrile A sri C
se {r:t*rsecte,l;;ri ;,rr i;i:tiiiu.i r14. A:l:i;i LAiel'C datd l^A*
25. 53$. Ii'i=.-,\jr3bj,r.'lu/_tn-4?g, i=i.i:ui.11i4- ,,4.J{l ni.eriillla if,il esie egai6 cu juLnii-
t.r'rea latr"rrii Af:. Ai'ia!i nngirir.rl S ai triunpgliiulmi'
1a virfitl fr de 3S" este rius:i bisecloar.ea 4.8. Demunst;:a{i str-lreapta lnterse',cteaz;;i ,BseggimC-a;sreti-ral frli3i Clafnacmeeiajiqoicduisl t.anuni-"
ci trtriuiunngghhiuiruilleAC,SSCA's$ini ,tAcfi,nifsfes?hnisteisco'Lsccar:clee.le 4S"
tn rlin vifrfr:rile iln:lc:ofistra{i cE i:unciele
24. 4 Ei .9. Functui lor rie {ntr:rsectie este ll" Aflafi ungiriui {S5er:,grlremnneeanntdutlriel af$ipCia

AOIJ daci: 41" ei" dreapta a fn pu-ii'cii:l O'

intersecie;izI
l,ri.&aarlrle rle la punctt,ie i3 g; {,' tra drerpia tr sint egg-le.
1| LA:50", Lffi:i00'; 5l) /-tl-:w, l-B:F; 3) zlC* i..Jemc;-',etrrr!i ch ginncl"iil r-] estc mi;lss1;1 seg;ne;:{"ului 6C.
: l3{3''; q) L{::y"
25. 9q urlghi exterio;:' al uin-li triungtri iscsce! esie egel cu 4*" il,emoiistraii ch ciis'i:r;:ir:ie 11* Ia c,,ricare douE puncie ale
unei tlrepte 1a o drealilii ;uaraleld s?rlt egalc.
7-S". Altraii unghiurile triunghinlui.
ffr. AfXati ung'iriurile' uirr.a triu'nr:hi. gtiind r:6
*nghfr*rile e.x-
terioarc ele ta doui virfuri aXe ili r:ini s s. flsNs'g'$.).[J{r', Htr frnffi,'1q'$i'g'REcn
6i lll{1"" egrile cu i?{}"

97" ilou& unqhiuri e.:itericare aie r:iil.ri iriunq'iri nl'.nt egale
cu i0{-,' ;i i50". Afiati al treiiea unlghi e:;rl:r.iiu.. P4" {;$ [t.fl {,i jd rb,Rr hiT'A
9S. d;n
fn triungiriutr :4,'iC e dusii lni;iirr"a C$. Cai'e ueir: Def inif ie. Sc iirinle;'ie cirtuwfsrin'ld figr:ra care con-
tlDrneignihpviuuirii;ficlueiel Au,,n4g,gSihi/.u:ISiuaiieedrtsetl"ptiiri..irnaagtllr?itlnritiiurruenigcseiirnlieutl.gluraittser.,4ucE{lictLea'lde,
P$" daci,r st6 din toate punctele planului, egai depXr"tete de punctttl
dus6 dat. Acest punct se numegte tentrul ctrcumferin{ei.
in$lf!rnea ;b-D'. lll.{afi nngiru-rl C$l} dacfi: 1] .e1,4*30o;
21 LA:lif,"; l,l l-d*e*" Distanla de la punctele circumferin-
36. Din r,ts'iul ungitl,rlui obiu;z I al triunghruluf A,trC e du-
sd iniil{iiirea S,S. i\fla{i unp;l'aiur!1e triu;':ghlurilcr .4fiD tei la centrul ei se numegte raza cir-
qi CfliJ drcir z-l *(^Y, .4 i9:p.
Str. Demcn:liraii r:i: biser:i,:alr:a *nghiuiui e:rterlor cumferin{ei. Orice segment care une$-
fulunuitriullgl:iisosceleslei.gf21gl[cufuaza de la vtr_
te un punct al circurnferin{ei cu cen-
S?. Scv?uei'2n:L4lta0l'i."i'.rn:C.g{ull"l*c;;reS,iecisr$taeeixeelge{a.riitloeununlr,gnrhiirliieuiiatrCifui*raal:glal;tl'rieLiuivlnirigrifh"f4ru:$sltuCei?ed"geaIias trul se numegte de asetnenea razd

(fig. 65).

64 Segmentul care unegte dou6 puncte Fis. 65

ale circumferiniri se numeqie cazrdd.

55

Coarda care trece prin centru se numegte diametru. In fi_
-AD diametru.
gura 66 BC este coard5, unrii triunghl
nurnegte circumscrisri
d.acOi ecairtcreucme fperriinnftioastee
virfurile lui.
pI'cdesctdpereiseeiiirwcwantcnleo*nndDdutntlr:rceaaimgiuY.csterhrulunoOrfrmielo\lcsuaLDrnipdclrriu"osneceee,iatu{tllnr;e.^elempianaInsiaratdftcucziteecntuerdruuirrrsaasisrcnmneceitful{ruAeiIcemflpiitef'icoeticesrerreceu.i.iugcnucanisrnFierlietioisgltittrepereeuiuAheeralacicArlrtayrceiguLgtrsripecrsi.eCpiecutnoerdu(mdoiftmoncg,riig*sidcfiuEmeu*sr.ineinrrisi6ainargjndeiarzpoth{elfey{ictieiuudoum.iugnrrlrcaTieeuddarearpeauriisieur.tslitciuntnreEea9uiig-su.ixamtphraOentDeaic-iugzpiepitrcreeoaheieau.rtcAipnucpMieertroeetrrinee"rsuric_e_-art-le:,
Fig" 69 Fig. 70

rplteuiengrrliSNeploteiuorntrttradri5uiiuccn.nuugglDahhariricuieuelpaluuapeiis.ttaeea lcsuiadntrree-elsoaetrtrioresarcieeeinssippeterursinnneeucmr{cniaidtijlAorcnceemundlteirasduteotligatcoirniieacelrunoemtru. flIIueani-. daci ea este tangenii ia tcate laturile lui.
Centrul circumferinlei tnscrise intr_wn trittnghi este pwn_
tgggctpaaeeieernnnncnnggOtDultdddeedmri.nn-eclcafftaPuAdefir;pl.udrccaitIretunaIreeansimfamectppcfiafepeitirgsparruecpiuernnruuatrrifrcpmanzSeitneeacf6aneespd8ddrleuiepuindccnrsfnriuiacdrndeutcls.atuameurilrpp-nmrlue,tnu4anpegfa.nenteeccepresetiunutarsienanlltecszcdp.iecat4uusratcsOneselilcrdsnAccpttuuieirrsnmmciDenputefrrmnueeg-puurtanufeimennpnitrftcpeaiatntqdaruliteeaneulecinftteirtpgaaasednnhnatree--_i_I
OdszOgncteaeiuuuhtr?wanezcsil.mutlDdgu.iiEsdrmnedigieeetl5tneufiigmOinefnaocaird'tEvtidelaonricrtiepl'{asnaeepfpeeeutgtusetieeculcana$tiitnenlrrci,ie.ce4glasuteuu.hEcncalfmalirEag_lcieibistehxOieeeiresaiaaurA.ecdeiuzirnctnOoieFrtiisueorop.iDaediatirotDr,urictufebAeoEeiuanntinrsoB.tiag.uerLAieChpczecltgOaeutuioa,taidEr.rab,lei4iiiDrilutseemsOao,neit;onaecgl-rcnuEtlEaihoeosiea.itrtgurtgnrr(reDeiilaifuiauainldfagn"zn,ieardg.,tgrtphAia6hi,cauuicu9idu0urnnep)rigca.fi.ualutuchsoTien.eiiirtaplruc".enioruilttei"tiurnlnedifu_r,__*e-l
pdstoma-aeenurtngndtaVeueinofsmneamgitnreeeittstsneaictpnantuplttngaencgeinerroeniglomnitceetrdeunai dtnl.edeiladnoocetrua{aixdfnccitcgeoegcesmr.einirtoncIutp0rrutneeume)dinie.afcle(octrCfrSroiidgnirrcacfc.eocesuTmlnimgcnte,uartileaenreselre)eiia.ntau{ui}Cfouaeiiigrtlnreeuc.suna.dlimCc"npeeIf,iuesbnatsrn)iciun.pcteulut*eeana.ctet.cgoe"ti-

Fig. 66 Fig. 67 25. CE rrdsEA#[NA pRoBr.EMA DE CONSRTUCTTE

,56 carudeocanaemtePeaIpfins.riaogtf5Disbupgue-irreuc!oi.nioc'b,ie:Rnlaeclgseemiteztsroroueerimnlnclvecafaeiorierdidrnedieseagsepeisicduepoiencnrnorousdsburdtrialrreeuejalmmucazctfeoeoioeiinsnlrvtsutceeratoleritavnbniinloassidsartrtrtbaeirurauacnerm,nsiudpeceeeenuasnsctmttpteteieitrvelssdoiinn.iricndoetidccnxreoaseitgrtcrd.iuutpiearicrsduloemiiga--ni

,"57

eeden! de construclie a figurii gi este demcnstrat cI in urma 97" CeINSTRUflTEA Uiq[JI tjf,Jf-]lrtt f,{}i!-;L
CU [JniG["BIUn []il{'F
executlnii construc{iiior indicate se ob{ine, intr-aiievEr, fi-
gura cu p'roprietfi{ile cerute. F r o tr I e m a S"2. #e tn sexzirJre*g:'t* d*tti, in w*xiyilit;u.tf

diu ajuicrul riglei ca instrurnent de consii-uc!ii geomeiri- d.st s# se dep'rtntl ar- ?Eng4ri e,ryiif cr{ wngl,i,i!. daf"

ce sc g:oaie ducr: o dreai;ii arbitrarE; o dreapti ari:itrar6 R e z o I r,'a tr e. Ilr:c*iir o circumferi;':i:1" arhi'L,"are {.rL', ce;r-
trui i;r '.'ilful A :i r-rnghir:lrri rlat {fig" 7:i;,;r}" Fie ;il ?i C
ce trcce pninlr-un pxnct c{at; o dreapti care trece prin douX pluuin. ctrt]eulcee:dncoinctiarrcsn.rn:cle{iie'ina{Icirrr,-:rurns,izfearAinf,reiqci ic:ei;r'rtiiru"iri iliei.l
l-:,-:,,t;hlu,-
pu:rcte date. Alte op.eraiii nu pot fi executate cii ajutorutr
rigtrei. De eilemplti, cu rigla nu se pot dep*ne segmente r'iri';;iul

chiar dac,{ ea are diviziuni" 8pu-nctcurtirgdineeiantesresmccidiir,e: pateai c'eJsai.teei iitg" 72, S).. lJolii;:: grr"i-. S1
Con'lpasul ca instiumeni care se folosepte 1a executarea cil'curnfi.lrinfe ci: [ibr*;iir,:i1p-
ta dat5. Descriem o cincurnferini;i cll crntrl? ,ij1 gi i'i::r 5C.
constr-i.tciiil*n geom*irice ne permiie sh descriern E.iln centrul
Functul Cr. de intr.rsec{;ie ;.1 c;rcurnfc;:inielr:: cc:'.r;1;l';,:ite ?n
dat o ci;:culnferiniir de razi dat5. .{n particu.iar, cu cornpa-
sul prrt-ern cleXlu.ne un .iegrnent dai pe dreapta d"aid cie la semiplanul inilcat se afli pe latura unghiul*i cilu"c:,i. I,:n-
tru denr.onstrali* e suf iciellt s,5 obser'.'fim e d tri'"tnf irilr."ile
un pirncl clat.
Vatn considera cele mai simple ilrobieme de consiruc{ie". AAC Ei #S1Cl sint egale ca triringhiuri cr-q laturi rer,r'ec{ii,'
egale. Ungtiiurile A Ei O sint unghiuri cor-espunzii.caiie ale
gS. CffruSTR{"Ifl'FFA T,IN[-}E TRIUNIGF$E
aceston triunghiuri.
C{J {.AT[JRXE.E. il,qTE
Fi,g. 72
Froblema 5.1" Sd se tonstrwinsed un triwwgful *w la-
turiiFeode.szteo&lv, ah,ree.{fCigu.7a1j,dato}.rutr rigiei ducem. o dreaptd ar- 28. CG&lST'ittJCTXA Bil$E,CTSAX}.fiI {-iiri6..lf UruGffifi
bitrarl gi notdm pe ea un pirnct arbitrar 6 (fig. ?!, b). Cu
F r o b I e rn a 5.3" Sd s* esnst{dtf*sc# &t'sestomtea aenffif.
o deschizdiurX .de ccirnpas egai5 cu a Cbscriem o circumfe-
wregfet det"
rinlE cu centml I si raza o" Fie C punctul ei de infersecfie
Rezr>lvare. Desciem o cir-
cta c.ireapta. ^A.curn cu o deschizdturd de compas egali cu c
descriern o circun:ierin{i din centrul B, iar cu o deschizi- curnferin{6 rJe raz6. arbitrar* cu
turi de con-lpas egal5 cu & descriem o circurnferin!_5 dii-i cen-
trui C- trie ;1 punctul de intersec{ie a.acestor circurnfeninfe.
Ducem segn-ientele z{E qi ,4C. Triunghiul ,4,8C are traturile

egale cu a, b, c.

centrul in vfrful z-1 al unghiuiui
dat (fig. 73). Irie n qi C puncte-
*-*-g----l le ei de intersec!ie cu Iaturi!e A

'1

b ungi.riului. Din punetele ts Ei C

"' l{- - ***q ctrescriern cincurnferinfe de aceeagi

e) raeE" Fie 0 pr-lnctul lor de inter-

Fig. 7l sec{ie diferit de A. Ducem serni- Fig. 73

59

ditcnaraetrjeeauapmDtaStArtiAaButnDeSg..ihAEDicua,e4raiCilmsotasrpiaAnrretBtezuDunultgnd9hgiidhui,rin4ui Clec^ogDQare.l4.isinCl.-

punzi toare.

29" gMpARTnREA dJIV[.rX SEGrnd{ENT
gFJ JU/I{ATATE

F rob iema 5.4. .Sd se iwpartd urc

Fio 7t seg*+ent ?n famdtate.
Aprcddn_ieBaremctnrutiatn{iucfnztilurgfui-ei.u4rd.in?rnr81e48lp.ea.)u..pFntDEiacetilne4Co8apsgru.ienincStcCatessrRegeiltperuenOuaAzer.tinceoAttguelcivinlleeBasCtdsrCecpeeimrue.isnininpcctttterrteriaeriersenmsseeetcAeccdfiirtmeBicefueaiamjrlzsloieftel*ecgecuarrlniriclnneeefasenseprtttgruatoea_?-r
Fig. 75 !'lg. /o

a,isgfntocih:nrteiimituIsinretrtidoecirge-errazailtui.deere4li.egturcdviAanuodlgigletrua9a,hgidtitaieaura8liriurlt,acianiOortsgeterihiiaensruiesuitnnutaregiciirlodheegmregihueiaCjilrseuroAieplgrcoCiualiuro1nnl.lirtzgacstlrl.ioet-o4eangCaCtfmaurBoOererCimtinreg9IitiuituisAan'liFudtn0geieCthAcgeiOa6Jugicr..aicegllorTeeOirtare.ciuoraeDinnulle_e-el din egaliiatea unghiurilor de la virful O al triungh!urilor
ltCO $ BCO. Aceste triungiriuri sint egale conform crite-
30. CSf{STRUCT'rA UhiE{ &REPTE PERPETIJDIC{.Jt,ARE
riului al treilea de egaiitate a triunghiurilor.
Probtrerna b.S. Fri.ntr-un Vswwct dnt 0 ed se dwcd o
dreaRIp)tedp,zuponeclrvtpuael nrOedie.aupSlaairrnfdiinpepoedsdriebrepilaetepidtaoau;d5actdazau.ri: Consedir6m cazul al doilea (iig. 76).
1
2) nunctui O r:u aparfine dreptei o.
Din punctul C ducem o circumferin{d care intersecteazt
'Epp{euuannOCDccitntouiengtntelresirplisCdou,ee4r.ncrcd5FtgetemeuiarlipnAzpOetlreindmrdddsrueueuiccccaluefepcilmeamat.arzictDoaai{rrtfcceeigiuiaanrr.pcntudTafdeSmroer}c.iufpn5eht{ureeitpnlaoudfrtlnieOdetrretCeeac:rzegad,4izprAir4gianBBir.gbprtuie.rtnrzieacDtrtrleiLinC.-fr dreapta o. Fie A gi A punctele ei de intersec{ie cu dreapta

60 s. Din punctele A Ei I ducem circ*mferinfe de aceeeqi razi.
Fie Or punctul lor de intersecfie situat in serniplanui di-
ferit de semiplanutr tn care se aiil punctul 0. Dreapta cIu-
tati trece prin punctele O gi O,. Si demonsirirn aceasta.

Notim prin C punciul de intersec{ie a dreptelor .48 gi OO1.
Triunghiurile AOB gi rX.OrB sint egale conform criteriului
al treilea. De aceea unghiul O,uiC este egal cu unghiul OAC.
Insd atunci triunghiurile OAC $i OIAC sint egaie conform
criteriului intii. Deci, unghiurile lor .4CO gi .4COr sint ega-
le. $i deoarece ele sint rnegiege, ele sini drepie. Agadar, OC
este perpendiculara coboritl din punctutr O pe dreapia a.

3T. LOCUI, CEGMETRIC AI, PUNCTELOR

Una din metodele de rezolvare a problemelor de construc-
fie este metoda locurilor geometrice. Se numegte iac geomet-

tic al punctelor figura care consti din toate punctele ptranu-
{ui ce posedd o anumitX proprietate. De exe::rpiu, circumfe-

rinfa poate fi definiid ca locul geornetric al punctelor egal

depHrtate de la un punct dat.

6l

{Jn importani loc geometric a acestor f iguri. Dse 6 aceste
locul'i ge'rmetl'ice. sirut sii*ple
al princteior ne cli urmltoarea
{sd zicem, constau rlin eiregrie
teorem;i; qi circumferinfe) nr-,i le pr.lt.:,":lr

Teorema b.6. nocr;f gea_ cc.rnstrui gi gdsi punctul X, ca-

ttzetric at pts.natetar ega| depdr. re ne intr:i'eseaz5. Ddm un exein-

ttranetilefaodceurJ{.r.te*tspedtgf*rwr.n6"eenpwtwwre{eeucittereeedcseutnepesgreiiwlse-- phj.

aceste pwncte gi e peryiendieu* trr-oblemd (38i. Sint da-
te trei pu.iacte: d, B, C" Ccra-
fAtSAttlqd?gplco*aXeenufie{h)riir}mnrrs,npgrfi==nS,fueeiuc*hii.-erer{nafi.iieei.;seiicnCrg..c:ic:e'r:actzl1ts;uri8)uoee:rai5ri.lucmae,linel.lelepiufmdsOfituisip:{aJidcri,1ctnoFfeOn4etduedils;gigeldprrainpcgaiieeZrfe"rencteri*iei"eatstrm5"tSdr?B.ircrdipTlDiei?rnr.aaurdOtsnieetaT}rirnrtrelc.eaaeiaieis.rgcleranpalr.Tsleicielphstf.itpitearduaprpuetuitTegen'ialatraianeebehcae"tnnrgocCIui.0gnulIpaar"rtoaiaFerlXlaeieujS}rIlma;laetlu,nvosaids.pcliar,6iicdrrtlla4o.Iteie.'seSuetLugfielGia.cInaugdplipngt.plpc-ldadeaseepcretibernEdlaelOrum'Inieatmepiregduanli,ticoznoua.rmtoec.eitxcIntnrnuuuuoalpisuaescccsttettetrilntneleteur*ruedesr6tiaac.istpiuaempieuetsgdhu.dntg,tpo4i,r?.:Annc,aarisccaScAnocctl,dcAE,eei{tgrcpceeide,npg:igpiclrceeC,lr*uiirieis.nges._,p)"'cit'drriia,Slfpen"*5ee4,nt.r*lcrfold{-Orriedtttelaeigdeacnirzi;rreCaairolicrfeu.uertepratnru:clfundpitgtrrge,__Ada-_el4e--;i struifi grunctutr .[ egal dr:p,irtat

32. JSTET0DA I.$CUR$IOR GEoffrETRnCE de punetetre l. 9i E q,i siiuat. Xa

F{crpprieeounurza,nnenoEdcicplatsiivtreiiierogienlfobnufldrlofeeracciscrolntaoaumeerrrlpeeleoogniForsoesdf,aaioidregtlrtreieriysnus'rifcefrnraaFcodt5crccnriceou,spdatrrearaidirurmedoolcccirfauopcaie5nugrlcesenoeectocnrFssoumttdtzeneecie.lldfoiuiteuperirriinmcuieicte.nsdrapectLtrefuotboeouanorucrlocseuifca"tsairgltid.sutigsureeAiferaaIddioatgncnltoeXaeiraiaetrt.ersrziermoed;accrocpavu{uaacriaaeeEr-;t- cful C.

AO R ez o I v ii ;.' ee.geFtudnecp'c$urtiact ludeit,lla^p{r:sn:cr,,i;lir:ilic;:cj e doiiii i.ri}it.
eX este gi l;-; jj} r:i
di{ii: l}

este s:ituat la distan';n d:eiir de 1a glunct'*l t.j. l_*c;i g-.,r,"jnietr:;{:
al punctc{ri' catre satrsfas prirna cl;.itriitle esir: .o drr::lpi.ii cale
trece prin mijtrccul segrnentulu.i rt& gi e:,,ic l,erJ,er:.i,t,.:!:ilS
pe etr (fig. ?8). I-cer,rl georrlciric puncicl,,,r o"u* sr;tii:iies.:
a!,
a qlou;i r:ondi{ie *r-rte o cirr.:rrrifcririiir eie : az;r
trr.ll ?n punrtul []" Iiri:ctti cilni.at.X r::;ir: r;is;,i, ,r1;iii ii.: L:,ir,r.,

acestcr loeuri gecmetrli:e" ln:ir;ici::iir.,,ie

tiSg. t l $j fi f t I [J i:i i iriii C { [ $j rf] l i,,t Cjl Fi{l L} iiiFt:ltt t iii't.".1,
tJnp;hiui vicfrit elruia se afl;i pe c *:lri.:r_r;irei-r"in{.i, iar ta-

turile i,cltersectenzi aceasts circun:feijil{ri se nrlrrgti: insr;"d,.r
$n circurlferil:*!fi" Unghiui .r{#C di-* figuri,: l/1t ,;;itt i:r::r:ril,

in cirer:rnferin{fi, d*oarece u,fri'ill # e ni'ir-i'ii 1.r* ,:i,;r:hn:$,::i,if,io

iar tratul'ile tre*: p*in irunctcie ei ,4 gi C.

sT e o r e m lii5"?'. {lmg;trlri{ ?rss#r'd;r ttttr-*, d.i1i.,.,,:dl.rrfd$'Jr? f.t*"

IJ *'*,-"''.,"
{ / \i."ali:'.
\. '-1,-oo''-
l//\/"\i\f' 1'\
,-!*q \
ii\tirti'in,.nr-'\--i.,,o"n.-.*",
{ I \i !
i

\tX/ *----r\t,.tt/^ * \r*- ,r'
*,"fe

,Fig. 79 l::9. so

63

De ace'ea unghiul ABC egal cu semisuma unghiurilor 3 gi 4
c.ste egnl cu

{180"-.25)+{180"- z6) :180"- '':5+ ":6 : 180'* I AN.

2 2-

Teorerna e demonstrati.

hi o i e. Primul gi al doilea caz in demonstraf ia teorernei
b1 5.7 diierl de cel de-ai treilea prin f aptul cd in primele
doud cazuri r,irful unghiuiui inscris (B) qi centrul circ,um-
Fis. 8l

tilrite edrwia trec prin dawd {}wreete date ale circumefrin{et ferin{ei {O) sac?afnlzat -sciitndudeatuednildegerhiitaueclepieniasrg{ciir.pisCareotsentfeoaremdgraealpccteeusi tj'uu4imCc,friittiaae-r-
iirr al treiiea
este egaf. cw fetmdtateit. wng{ztu{wt dinfue razede duse ?n aoeste
rdu se pcate
puncte s&n a ca*rcplete*ed p?nd {a tr80'.
ten Mutenng{{rioiunluimi didneireasreamzeenEeiacicndI o completeazd pind la 18ff.
Demonstrafie. Sd considerlm un caz particular jurnltatea unghiului dintre
cind una din latLrrile r-lngtrriului ?nscris trece prin centrul
circumferirr{ei (fig. B0). Triunghiul AOts este isoscel, deoa- raze nu e mai mare decit 90o, deci, completarea lui pini la
rcce laiurile lui OA OB sint egale ca raze. De aceea un-
ghiurile ,4 gi B ale tr"i*ui nghiului dat sint egale, dar decarece lEO' nu e mai micd decit 90". Dc aici rezultd cd dacd un-

suma lor este egali cu unghiul exterior al triunghiului de gt'uul lnscris este asculit el esle egal cu iumdtatea unghiulul

dintre raze, dar dacci este obtuz el o completeaza ptnd la

la virlul O, unghiul B este egal cu jumdtatea unghiului AAC. IEA".

Ceea ce trebuia dernonstrat. Consecin{i. Toate Lutghiurile tnscrise tn circurm-

Cazul general se reduce la cazul particular cercetat dacd ler{r't{u laturtle cdrora trec prin doua puncte date aJe cir-
cwmferinfei, iar airfurile sint situate de aceea;i parte a drep-
ducem diameirul auxiliar BD (fig. Sl). tet tare unegte acesta ptLncte, sint egale. In particulat, un-
ghiu,rile, Ialurile cdrora trec prin extremitalile dtametrului
Sf exarninim cazul, reprezentat in figura Bl, a. U.n-
ghiul inscris ABC este egal cir surna unghiurilor I qi 2, iar ncir;wpmrofebriinelemi, dsln(l4d8rt),.pPleLr(nticgte.leB2l),. B, C sint situate pe o
uirghiul dintre razele OA gi OC este egal cu suma unghiuri-
lcircumierintS. Cu cc este egal unghiul ABC daci coarda
lor J Ei 5. Confornt celor dernonstrate unghiul .I este egat IAC este egala cu raza circumleriniei? (DouI cazuri).
cu jumEtatea unghiului & iar unghiul 2 este egal cu jum6*
tatea unghiului 4. De aceea unghiul inscris ABC este egal I nezolvare. DacI punctul B;i centrul O sint situate
cu junrdtatea unghiului dintre razeie OA qi AC. ,
Cazul reprezentat in figura B1, b se analizeazi, in ace-
IaEi mod. Deosebirea const6 doar in faptul cd unghiul ABC

este egal cu diferen{a unghiurilor 2 gi I, iar unghiul AOC
este egal cu diferen{a unghiunilor 4 gi J. trn ambele cazuri

ungItnriuci a.AzBulCreepsrteezeegnataltciqn,jf'iugmuirtaate8a1, unghiului AOC. este

o unghiul ABC
egal cu suma unghiuritror I { 2, insd unghiul AOC este
egal cu suma unghiurilor 5 Ei 6 gi nu a unghiurilor J gi 4".
Fig. 82

64 $ Cortrantla,'ir 7 65

de aceeagi parie a dreptei ,,4C {iig. g3. c) confcrm prcpriei,.d_ 12. Explicaii citm se imparte un unghi dat in. jumliate'
cunr se imparte iln segnrent in jurnhtate'
!ii unglrirriri irs.'r-is L,', Bt) --. *aoo(.-. Deoarecc. confsrrn ld, Exirlica{r culn se duce printr-ur punet
14. dat o dreaptE
Eritlcai;
Cpeer-pncuirnCiiiiccullar:rcd 1l'io1rcc,.rt-dmrri e+galeinirct:m::lledpisritii5cn.i:ati:il
condiliei, caarda ,4C este L cu raza, ettgitani g-chuiu6i0",4.ODCe li. Ce ; ept'e:zinti ri?
puncielor
egaiX I ir"

este echilaierai gi, deci, unghiut AOC este egal dep&r-

da,iefeeeriateLpAlBriiCa:3le0d"r.eDpieaic,i4pcu{nrcigte. les3,tsr,)gci oOnfosrrinntpsroitupraietetdpjiei 17" ia.te Ce la douL pu.ncte date? geonietrice folositl la re'
18"
unghiulri; 1p"..tt In cc constd nii:ioda locurilcr Da{i r-ln e;<eniplu"
.;Co1a1re,:lruenag.sl,riosbeiennuienlioergieilefr-ciosnirsistruinct{rie-o?
circuinferil{E?
\ 1,. Fcrnruia:,tl gi dtmi'rrst,:-:ii ttlrem;: de:ipre ungir!itrile 1n'
LAB(:- 18lf 1 t,tolr:1qn,' scrise intr-o circlnr h;ri;-l ii.

I TNTREEARI PENTRU REX'E'I'AI,IE lC!l*Cl,,i,**;sC;cipnebiili:rie.ts:.s,',i.tal'euir)deiruil:fg,,i;e'a1ruiilhii'ti'rit"1fgililiifilgnn'ilihiu;iih:rrl1nll,iiiiliiE,ollu8ern;Ct9iEciipiu-cri'sa-e;cctinllir"ceiir,s'a:icirpi:?irrttnaril:u)trrAl'--lcccCiiIncr;cticrlcscuiniu)iftdmetcrarccfiteaanerprfidetn?aati'l
:l
t. Ce numim circumferinji, ceniru al circumferiltlei. mc;ah?
Ce numim coardd a circumferin{ei? Care coardd
o se riu_
meqte dian-ietru?
do. fi" 'C4oil esie diameiiu i.l circr.tttlferiirtei? circuni{erir"lfi dacb
Care . circumferin{d se numegte circumscrisi nnui tri-
ungh i" e:,ie egai '.rnghiui ?nscris iiitr-c
i? etr est: r;sculii ichiuz)?
:3?" iirl.ieririri:nuiicmln. lsetlrraiantftilr:ii,cl5.i'ai'irr-:,tv".iircrr{;u,urriililSbeici;supirnir1tine-<.idnituosacutrheisdepeuinnatc.crt"ee-gi'rd-5catitrpccauarrt{nee'
4. Derlonstrali cE centrnr circumferin{ei circumscrise unrui

triunghi e_sie siiuat la intersec{ia inediatoareroi- ruilit-

Ior triunghiului. i: c1rept,.i .,, ii;ir1:.te ac{:tste puncte sint egale'
DCcaearrreneocndisr.rc.teuraamfpi fteicrsiienctineusnmetrenugultme.l;ei;ag;;ntie;g;"e;in;n,s't1cir"iisia,r
5. o circr-rmferinfi? ITFRCITII
s. i"ni"trr-.ui'niut;r"iut;n;u;,fhfii?;
v.

('. trrungnl, cste situat la intersct.{ia bisecl oarrlr,r lui. 1!" i]':.%or.-.il"l'r cI orice st'midrea;:til care pornette din c,e*.e-
Ce inseamn5: tagente irlii-un punct trcl ',:nei crrcurnf triri ie inier:ec1.eazE circumf erin{a fn'
circumferin{ele sini
dat?
{i-tin ::iti t1;- n:r1'gi.
;i9" !ln1T1o9il,coil1'/cumefrinfe se nrimesc rairgeni_e e_,;,rerlor care Dem';rsiiafi cI rlrerp'r:i ce;e trece prin c':nti-l:j rtnei cir'
Explicaii
10. turi. cilm se construiegte un lriunghi eh_rpi. trei cumlcrinlc irrte rsrcte:izi cirlumlerin{a i;l ioui puncte..
la- rEi. ile.nicl:stla!i ci diairretrill circumferintei care trece prin

It. Explicafi cu,rn se d'inepsuenmeipulanrLurrnl'g-diiai i.e-gal cir teJ .lar mijloct:i coariiei e pei'pendicular pe aoeasti ci;ard5.
semidreapta datl d.e ,{ Foinrulail si delic;n:traii lecrerna rt.ciprc':i afirrnatiei
}a,

ri, din i;robienra ,3. al circtitnferiniei tiate e elrs t:n diametru
Dii-itr-un purtc'L
gd .-, cc::,rcli cgaii c'"r raza. Afla{i rrngliiul din:re ele.
s. bintr-un punit al circumferln{ei daie sint iiuse douS
coarde eg;rie cu raza. itllati unghiirl dintre eie.
in
O circumferin!5 poate oare fi tagent5 ia o iireaptd

s. CEDdroeeuumnucicntpengushcntcircuaitnertii?llniccAedrrrgncfaueunmagczeeiirnnccttuaoam{ailrfardeharsoinp-AtucaBin,rcs' ituetnnlg.ral-aeld-faricnthufddrane?u.iaaancrgireecnuafrl$ate.'
g.

Fig. &3 ferii,lei, qi +,ange*r.a dusd ln punciul .4?

otl 4.,

10, Frin extrcnritdf ile une,i coar- I9. Construi{i un triunglri, fiind date doui traturi gi raza
dc egale cu raza sint duse circum ferinf ei circtrmscrise.
cle rezi datl care 'trece prin
dreptt tangente ia circutn- 20. Construiti o circurnferin{i

ferin!:1. Afla{i unghiurile sub douii puncte date.
care se intersecteaza aceste
drepte.
11. Doui circumfcrin{e cu raze- 21. Construiti triunghiul ABC rlac| sint date:
l) doua laturi ;i unghiui
lteanrglecn30tc.cmAiglai 4!i0 cm sint elintre ele:
distanta a\ AB:5 cm, A,C-6 ctr\
LA:4A'
b) lB:3 cnt, 8C:5 cnr, I B:70o"
Fig. cl{ ilintrt centrrlr lor in cazu_ ?) o laturtr qi unghiurile alaturate ei:

rile ciud circu rnf erinlele sint ai AB:6 cnt, LA-30', LB:50';
111432...cedtoltpsesSle)aseda)0csoratcfrn{emteeazDidiPi,tfiio-;cdoirlpsi:loin.geuu:isidcorni;drdlpt6rittdrps.l*'u0lce'pocccecen{uiieuccerrntsinrcacirjunnsdAuulcnut?epoietmg2nrc,esru.r,brirr-c.sBcfifien2eeeelircla.clr.rcui)crrii1rtCrnn{.'leg*o[fdzae.dpb.5aeo'ri'ieiipr."ucn5'1mrruBa;cri0dutr{rar-r.crlc:c"eiiihusnD.n.i.aalrenmicrcT,np,zuirurinurr1pifuiiir.r:te"grlorr-rcrotri,-rrrrr*intnOiridInt-s,Etrlli..ciOctiniblrclsrri"rcir,ai-,iecj.iat=p,ii'iiclrrini'iitsic2nlr'tcd",e'o.nalgra-ici,i'c-iccti'tOd-r,D.racdnor;.irLn"t,b;r.nI'nr;iutrlir;,e"ruri;r'{erls'inr;irnrtii!"erJ:iittculcri-,cilnl;.e:lE"cai"r:;un,.roi'"'O.or-ii1tl_o".iroirCnOre-tit.r b) AB-4 cm, LA:45o, LB:6A'.
9' Construi{i un ir'iungiti, fiinel clate doui laturi 9i tll'l'
ghiul opus ceici niai nrari clintre ele:
i) c:6 b:4 o:70";
2\ a:4 cm, b:6 cnr, B:1gg'. fiind iatura iateral&
cni, cm,

23. Construi!i un triunghi'isoscel, date

gi un unghi de la bazi.

24. impdr{i{i un unghi in patru pilrii egele.
Construi{i ungliiuri de 60' gi 30".
25. Construiii un triurighi, fiirrd date qloub laturi ;i o nne-
26.

diand dusa la una din etre.

27. Construi{i un triunghi, fiind drte doud laiuri ;i o ire-
diani ciusa la cra de-a ireia laturl.
tIt5..tla,reFL:rr.ear:tl?eailJ)lys-dAefe":.*.r.-?orlt".r;'ejr,i,sbt:Fcrjir?:cii;[:i,d,i:.,1ii"rip"r.l.ri:r:itrg,i:cli.iln,,Jsu',)r(:riuici;rl'aer:ifuj*ri.ulpE-cf]n:Dnnt{"no:ie.ut}grrrf.:t-e-un!1-nertlo8rsrnrr:alncnlur:ei+ii'rinqe:tnsltocnlu),e-iierpgJ:nrrid.r,n.itaarpt^osiil.ttcne{A:c,?t*rttcfdjurs.ir.i^.!apTt,,lainarccnt:sa!u1ceut,iardticre._nacnlc,riusndecef{iuputi:i.cuint,uetnfpotAsdfcrregneuuheaauoaBaicontni[ec.iiccteri."lullitii*cuco.sttr.laaa,ci*onir2.d^uCdn^ri.1[)'itancm-.efe"i',teascufprgr,seinneenerurr;inag"ncrtas.;l;ip.ree.a;ngii.nit;snniiffltds";e,tclitcriri;ceg-qi,.l;io.ipcnatriipldenui.uaru".h"ea"J'niutjtpncIon';;c."Cptt*?e;ieialuoiicinin.,ii.3i"cn.tdr:'tr*cooiBr:rirjJ.uumtr"i"'imi;mlfC;rbn"'tn7"ui_;__"_irno"'":.ei 28. Este dat un triuughi. Coirstrui{i mediane}e gi indl{imi-

]e 1ui.
29. Construi{i un triunghi, fiind date o traturi, rnediana.dus&
Ia aceastl latura gi raza circumferin{ei circusmscrise.
30. Construi{i un triunghi dreptunghic, fiind rlate ipntenuza
qi o catetS.

Construiii un triunghi, fiind date doui laturi 5i inElti-
mea coboriti pe latura a treia.

32. Construi{i un'triunglri, fiind date o traturd, mediana 9i
inllfimea clusi la aceasti 1aturb.
.q)C(r. Construi!i un triunghi, iiind date doub iaiuri Ei inilfi-

nrea coboritl pe una din cle.

dqa/l. Construifi un triunghi isoscel, fiind date latura trateral6
gi inil{imea coboritE pe baza.
35. Ccnsirui(i un triunghi isoscel, fiind date lsaza ;i raza
eircurrr Iei'in 1ci c ircuntscrisc.
17. cCl):o5ansc:nt2.ru; ic3iim)un,nb:4t:r3icumnc.iglrlh.l;:i.b,c:u+cmlact,ru,n:r;6i'-l"ei)"*ao.,:3b, c date dacd:
36. Dernonstra{i cd locul geometric al punctelor situate la
cm,6==4 cm; distan{a /t de 1a dreapta datE constd din clouh cinepte
paralele cu cea dati la distanta lr de la ea.
18. Este dat triunglilul ABC. Conslruili un
triunghi ABD 37. Pe dreapta datl gdsili un punct situat 1a distan{a datd
egai cu cel dat.
de la altd dreaptb datE.
6E
38. Sint date trei puncte: A, B, C. Construi{i un punct X

69

egal dep5rtat de punctele r1 9i B gi situat la distanfa
dat[ dc la punctui C.
39. Pe o rlreapta dati grisi{i iln pdnci egal dt:plriat de doud
puncte date.
40. Sint date patru punctr:: A, R, C, D. G:1sifi r-rn punct X
egal i{eprirtai de punctele A 1i B
u9inll.{riungiri, Ei euai,jepS,rtat de A8
4!. pur-rct-ele C {ilnil dlii"r: iutritl-j, i1n ungiii Fig. 85 Fig. 86
o Fig. 87
Ccnstruiii
;riailui"ai ei pi suma rtli:rialte douii laturi.
42. Ccnstruiii un triunghi, f iind claie a 1atur5, un unghi
a[5tur;r'i ei 9i dilerenfa cclorlalte doui laturi. perimetrul triunghiului SArBr nu depinrie de tagen*a I
,{3. Construi{i un triunghi rireptunghic, fiind date o catetS qi esie egal cu SA+SB.
tsi sLlina rrintre ipolenuzi gi cealaitl catel:r. 2) Sint dpartienuanceusntgphui nEci tunpepnutnruci.cCauema
44. Consiruifi un triunghi, fiind ciate o iar.ur:i, rrnghirl opus dreapii trebuie dusd o
ei gi indlfimea dusl riin viriui acestrii unghi.
sd taie de Ia
56" ui)ngIhieiuml odnasi turanfitrciuinmgheidciautoperrreimieeatruCl oduatd? laiuri ale tri-
46. Construiji o circurnferintl iangentl la laturil: unui
,16. uI-nagtuhrra9iLlinar-uriniraiuilningtlrai teusrtci-eignalp5unccu'iu1i0dact.n, iar unghiui ungiriului se intersecteaza (nu sint paralele).
2) Dcmonstraii cir meciiatcarele r:elor trei laiuni ale unu!
-opus ei cu i50'. Af lati r?.zLr circumicrlril,r,:i circurn- triunghi se intersecleazii intr-un punct.

qfr; c n 3) Iiemonstra{i cI oricErui triunghi i se poatc circ*m-

47. Puncteie A, B, C -sint situate pc o cii'cuinierin{L Cu {i -* scric o rircumferinfl gi nurnai una singurd.
este egall coarda AC d:icl Lrnghiul ,4.8C esie egai
67, l) Prin virfuriie triunghtului ABC sint duse drepte pa-
30o, iar diametrul circumferrniei rsie egai cu 1i) rm? raicic cu iaturiie opuse (fig. 86). Punctele lor de in.
48, Functele A, B, C sint situaie pc o circumferinii. Cti ierseciie sint v?riui:i ale unui triungiri nou. Demcnstra{$
este egai unghiul rlBC dacl coarci:r ,4C esie egali cd i'ir-furile triungiriuiui dat sini mijlocuri a1e laturilor
40. rDaezianocnircsutinariiiecrini l.ceei?ntt{''D,ilouc.iirtccnamzufcrii.i)rilei circ,.rinsclise rjriii triunghiului nou.

2) iiemons'ri'a{i cir dreptcle care con{in inii!irnile urrr"i$
triunghi r,ireptulrgiric esir: rniiiocul ipoienuzci. tir)iuDngemiiiosnesitnrateiirscealtedaczudd
S, ?ntr-un punct. unirl iniunglii sc
50. Deritorislrafi ci median:r rinui trir-lnghi dreptnngiric dus} l:i.qcctoare ale
1a ipotenuzS, i1 impaiie i;r doua l-riunghit:::i is:scelc.
intersecteazir.
,31, Construiti un triunghi drept'ln5{hic, fiinr da.ie iprtenur:'ii 2) Drmonstra.ii cI cele irci bisecicare aie unui triungh$
se intciseclerzij intr-uir punct.
gi inSliirlea cobcrit:I din vii"fr;1 'uirghiulur drepi pe ipo-
3) Dernoustraii cd in crice triunghi se pr--etr lnserie e
tenrzir
Pe rcecitr:csutemefegrainl{uaiiEsihnitulciAaielj(i-l.attti''i:i,ltrtutrrc"rigch:ir,iri i,,4B.S,CCc,siile"
s2. Cu circumferini5 qi numai una singurd.
Demoirstra{i ci locul g,:ometric al viriurilor unghiuriior
hJ. eCg,3a:,irrc,lrei lec?A{DDo;ui irEr:Cazat:rlie.) uiiei ciicunrferiiric se intcrsec- SS" cu lniisura iit gfal.ie c:ria lziturile cirora trei: prin doud

teazi. Ungliiul riBC este egal cu 50". lar unghiul ACS punctir date, iar virfurile se afld de aceeaqi flarte a
dreptei
care unegte aceste puncte este o parte dt cireum-
cu 80'. Aflaii unghini C./iD. ferin{i cu exiremitSlile in aceste puncte (fig. 81)"
r|err1.rti 1al3:i:t;i 1r rir-
54. l) lrrinir-rin priirr:t dat duceti r

curnirrin{ a da ta.

2J Cum se construlegte o targentir lar Coui tircunlfe-

rinte?

55. l) Prin punctul S sint duse tangentele.SA qi SB 1a o
circuniferinfi (fig. 85). Tangenta I intersecteazd seg-
rnentetre SA gi SB in punctcle 41 gi 81. Dllnronstrati ci

70

Clasa 8

s 6. PATRULATERE 4S----_---zE' ,'

,-/4o'

34, DEFINITIA PATRULATERULUI tt C
Fid or
Se numegte patrulater figura care constd din patru puncte Fig. 92

unite succesiv prin patru segmente. Totodatd oricare trei conrund se numcsc laturi opuse. Laiuri opuse ale patrulate-
din aceste puncte nu trebuie sd se afle pe o
dreaptf;, iar rului din iigura 91 sini lB $i CD, BC 9i ,4D.
segmentele ce le unesc! nu trebuie sI se intersecteze. exeUrnnplpua, tprualiartuelratseerunlodteianz5f,iginudriacingdlu-sseevnirofulerailzedluasi.tfeDl.e:

Punctele date se numesc atrfuri ale patrulaterului, iar seg- ABCD. La notarea patruiaterului r,irfurile vecine se scritl,
f_mieecnPaierreleofcbiienleldemucnoiens(csl,t)i-.tuFiltairgtuudrriiiniealpe8ap8ta-r9utru0plaurtenepcrurteeluziu.inniiltetresui cfcigesuirrof
alXturi. Fatrulaterul ABCD din f igura 9 i poate f i notat
prin patru segmente. Care din aceste figuri este un palru- astfel: BCDA sau CDAB. Insd nu poate fi notat: ABDC (B'

later? qi D nu sint virfuri vecine).

Rezolvare. Numai figura 90 este patrulater, deoarece Problemd (2). Dacd patrulaterul ABCD are laturi-
tn figura 88 punctele A, B, C sint situate pe aceeagi dreapttr, le ,48 gi CD paralele, atunci virfurile ,4 gi D se afl5 de.

lar tn figura 89 segmentele .BC ;i AD se intersecteazh. aceeagi parte a dreptei BC. Dernonstraji.
Virfurile unui patrulater se numesc uecine dacd ele sint
Rezolvare. Presupunem ci virfurile A gi D sint
extremitd{i a1e unei laturi a 1ui. Virfurile care nu sint vecine.
situate de diferite pdr{i ale dreptei BC (fig.92). Aiunci seg.
se numesc opuse. Segmentele care unesc virfuriie opuse atre, mentul AD iniersecleaz>a dreapta BC intr-un punct oarec.a-
patrulaterului se numesc diagonale. Diagonale ale patrrula* re O. Frin punctul O ducem dreapta x paraleli cu dreptele.
terului din figura 9l sint segmentele AC Si BD.
,4,B gi CD. Punctele A qi D sint situate de diferite pir{i
Laturile patrulaterului care pornesc din acelaqi v?r! se ale dreptei x, deoarece segmentul AD interse cteazd dreap-
numesc laturi uecine. Laturile care n-au nici o extremitate ta x (in punctul O). Deci, punctele B gi C sini situate de.
diferite pdr{i a1e acestei drepte. De aceea punctul O apitr*

jine segmentului BC. Adicd segmentele BC gi AD se inter.

secteazd. Iar aceasta e imposibil, deoarece ele sint laturi

ale patrulaterului. Am ajuns la contradicfie. Afirrnalia e ctre-

monstnatd.

Fig. 88 Fig. 89 Fig. $0 35. PARALELOGRAMUL
t3
F'ar*lelogramul esle un patrulater laturile opuse ale q:d-

ruia sint paralele, adici sint situate pe drepte paralele

(fig. 93, a).

7&,1

T e o r e n a 6.1. *ecd dingana!4e unui patrulatet se in'
terseeteazd ;!. se ?mstnrt in pu,nctul de intersetlie in lwmd'
late acest patrulnter este un paralelogrt.rn'
Denronsiratie. Fie ABCD un patnulater dat Ei O
punctul de intersec{ie a diagonalelor lui (fig. 93, t}. Triun'
sint egale. Unghiurine de la virfr"tl O
ghiurile AOD 9i COB i'ig. 9i Fig. i)ii
stnt egale ca unghiuri opuse 1r virf, iarr {}D:O8:i C.4-
:OC din conCi{ia teoremei. Deci, unghiuri{e OBC ;i SS-r'
sint egale. Ietr ele sini ungiriLtri aileiite itilerne 1a Creptele F r o ir I e tn a i$). Prin pttnciill de intersec{ie a diago-
ri*leigr uttui plralelr-,gram e dLtsi o drl'lilia. [],:n'.olistrrrii
AO qi BC si set:anta DB. Ccniorin teartrnr,ri 4.2 dr':;it.:tre ra se:jineniul r:i cuprins intre iatirrile perai'.:1e se impal'ic
AD qi BC sint paraleir:. Pa.raleiismul dreD+.r:1or .16 5i CIi
se demcusireazh cit ajutorul eg:Llitdiii triu:ngliitlriior lGtl in ;lrest punci in jumirtate.

si COD. Teorcrna cstc rr,erir-nsirai5. f,{ e z o 1v a r e. trie AIICD un paralelogram ria.t si E-.fl o

T e I i- e nt a ,.2 (rei:il;icca ieol'tl'l-i,:i ii i ) l-liag'rrrll'.:": Cr*apti care iniersecleazh laturile paraieie AB Ei CD (f:g.
unui Daraielograu se intersectcazl si se intpari ili pur:,:t'-11
de interseciie in junlliatt. 95). Trilrngliiurile OAE qi OCF sirt egale in confci-ntitate
itu:.;i(:ED!.)1. rn{ut o' t.,i1r-n;'i i.p'1err1e'1a'1r'n;,ij'lio,'rt' tLi criteriul a1 doilea. Eie au lrtrrile O,4 oi OC egiitre, de-
D e tn o; s 1 t':r t , .'. F'.' .1].s,-€re O est,; rnijlctul diagonalci ,4 il (tecrema 6.2) " Un-
{fig. 9a). Dt.:cent rliag,rrrrlir ghilrrrie ce la virfnl O sint eqale ca linghiiiri opu:re la virf.
cu1 O, iar pe prelLlngrrea sr:g.rneniului ,'ri0 di:luiretn seg-
i:orliorrnitalr,r cu leoicll",;l 6" 1 r:r ung;hiuriie €AO gi FCO siint egale ci. unghinri :,rllcrtie
mentul OCr, egal cu '4{}. Tn ia rireptelc lraralele AB, CD si secanta .1C. ilin :-grlii"alra
patrulaterul AECrfi cste peraielt,gr:iln. Prin urinare' trrilnghiur;i,-'r ;.rrtt,, egalitatea laturiioi' OI ;i {iF. Cee;L ce
1jil lf ,: hil t e i,::rilr,,-n Str at.
dreapta BCt este p:rale15 :'.i,4D. lnsri priu ptti-lctLtl fr
poate fi ,11s;l o siitqitri drrapii p:rraleii cu.i:]. Deci, di:e:i;- f, e o r e rt a 5.?'. Luturile opuse file unui pwalelograrm
'ta BCr coiniide cu tir:ai:r-ii 8C. La ie1 sr dttitrnstreazi :ii
:;int egdr.
dreapia DCr coincids: i:il 'jieapta DC. i.rei:i, plirlci-u.1 Cr coin-
cide cu C. Palztir:lcg:ar;'11 ABCD coittcii,.' cu ;1SCrS. De lD e rn r-: s i r a'; i r'. Fie ABi:D Lrn pariiielograt.n dai
iip'. '-r,3). L-;r:r'ein r!iagoralrle par"alelcgr:imu1tti. Fie 0 pttn-

aceea diagcnallic 1ui se ini.:t"secteazd ii se in;pi.rt'f in p;-rnctui ,,'r;ri lcr .1e ini-rrsecfie. iigaliinl.ca latuirloi- cfuse ts.21 si CD
de intersr:rfie iir jurlSt;rte. Teorema e dr:tllritsirat:
:re:l:r-iltI i.1rn eq':iiiaica iiiungltitu-iior AO ij ::i COD. Flle ari

r:ngiriiir;it r,1e l:r virfui O egale ca ttnqititiri cpuse 1a virf .

iai Cl:C{l si AB:OD conlofm leoremei 0.3.
Ex-r':t tr ii:l riin egaiitater trilnghii:iilar AOD gi C08
rt;uIlgtiel1.i:ig,r;trriiaialr:--'langahltieuiriplcerrcotprlurisirl]eAlaBlLCirisoipCllsiclA-
x. )ra 6 -_- _A AI) gi 8C.
rez'"t1ti din
'-o'o /n\ L
egalitate: l.iiungh.iurilor ,4BC ;i CDA {dutn irei iat'uri)^
\f Ccnfortn cr:llr iemonstrate t1R:CD qi 8C.: []4, iar 1:itura

L/. {l.,'tr este i'ct;iuir:i
"
[-a fei egalitatea unghiurilor opuse BCD 9i D;]S rezulil

din egalitatra triunghir-rrilor .8CD gi DAE. Teorema e ile-

Fig. 93 t' ig. 9,4 .anonstrati.
'.i*
75

Froblemd (15) Demonstra{i
cI daci un patrulater are dou5 !a-
turi paralele gi egale el este un Fa-
0
r a ielogr am.

/b Rezolvare. Fie ABCD unpa-

trulater dat cale are laturiie,4fi;,i n

Fig. 97 CD paralerle gi egale (fig. 97). Prln

virlul B ducenr dreapta b paratret& Fig. 100 Fiq. tr01
cu. tratura AD. Aceastd dreaptE intersecteazd dreapla OC
intr-un punct oarecare C1. Patrulaterul ABCp este un pa- R e z o 1 r'a r e. Unghiulile urrui paralelogram alitunate

raXelogram. Conlorm teoremei 6.3 CP:AB. Din condi{ie unei iaturi sint unghiuri interne cic aceea;i parte a secatate.i,
AB:CD. Deci, DC:DCr. De aici rezultd cI punctcle C gi
dc aceea suma lor este egali cu 180". I)eoarece conforrn con-

Cr coincid. Aqadar, patrulaterul ABCD coincide cu parale- difiei problemei aceste unghiuri sint egale, liecare din ele
e drept, iar paralelograrnul care arc toate urrg;iriur-ili: drepie
logramul ABCP si, deci, este un paralelogram.
un dreptunghi.

36. DREPTUNGHIUL. ROMBUL. PATRATUL Rombttl este un paralelograrn carc are tozrte lntLlrite

Dreptungltial este un paralelogram care are toate u'n- egdle {fig. 9e).

ghiurile drepte (fig. 98, a). Teorema 6.5. Diagonnlele unui romb se inte{se$eazd

Teorema 6.4. Diagonalele dreptunghiului sint egabe. swb un unghi drepi. Diagonalele uriui ramb sint bisedaare
Demonstra{ie. trie ABCD un dreptunghi dat (vezl
fig. 98, b). al.e ungh.iurllor lui.

Alirmafia teoremei rezultk din egalitatea triunghiurilo,r. 0pr-oDprpfeeumtndc{oitiunplsadtrreaaleifnlotiegerr.saemFcuifeileuAiaBACOdDi:aOguoCnn.aroDlemelocbri,dlirna_rti.t{rCifuiogna.grihcgrigum)l,
dreptunghice BAD qi CDA. Unghiurile BAD Ei CDI sint
lderecpatel,actautreitaopAuDse- comuni, iar catetele AB ;i CD sint ega- isoecel ,4BC segmentul BO esie nredianh. Conforrn prlprie-
a1e paralelogramului.
Din egalitatea tri* tdfli triunghiului isoscel mecliane drrsl la baza lui este bi-
urighiurilor tezultl cI ipotenuzele lor sint egale, iar ipote-
sectoare qi inllfime. Aceasta inseamni. cE rliagrnal.a BD
este bisecioarea ungiriului B si c perpendiculrri pe iiitrp.o-
nuzetre sint diagonaiele dreptunghiului. Teorema e denion-
nala AC. Teorema e dcmonstrrtii.

stratS. P r o b I em 5 (28). Dernonsirafi cI daca Lrn ;rrr:r1rXr;g,r.rm

tr r o b 1e rn 5 (21). Demonstrafi cd daci un paraleiog.rafft are diagonalele perpendiculare el este un ronrb.
Rezolvare. Fie ABCD un paralelograrn clt dingo-
are toate unghiurile egale el este un dreptunghi.

nalele perpendiculare si O punctul rle initrsccfic a diago_
nalelor (fig. 100). Triunghiurile ,4OB si ,.{CD sint egale
conform criteriului intii de eg^litate a tr!unghiurilor. un-
ghiurile de la virf ul O sint drepie ctrnform condi{iei, la_
trrra Ao este comuni, iar oB:oD conform pioprietriii pe-
ra{e{ogramului (teorema 8.2). Drn egalitatea triunghiuri{or
rezulte egalitai.ea laturilcr:
trio QR
A&:AD.

77

!nsii in viii.i:tea teoremci 6.3 At: BC, .18: iD. Ase-l l'l c, a. 1n c'cniiilia ieoremei iui Taics in locu1 laturiior
tiar, lirate 1:rturile paraielogr:iittrilui sinl t'gi' 1e ;i. der i. eI, ni;Ul r:ngl,i se iiiii ]ua etrice doila iiepie rci cr;i-lclLizia tecre-
tsie rrn ronrii. rnei va fi aceeagi: drcpicle paraleie cat'e intel secteazd douS
I drepte ciate li care taie segmente egaie oe una din aceste
ilrepte laie segrnente egale si pe cea'iaiiI dreapt6. Uneori
1)t.itratuL esLe un ciiepi-ilirgiii care tr rc tl:ite i;iiL:r iie eg;a.ir leorema 1ui 'Faies se v.: apiica ;i in aceasti formi.

(fig. i0l). Fritratul estc de aseflenea iin rit'irb, rlt *ceea *3 Prob1ema 6.;'. Sd:e imparti segmentul dat A.S in ru,

..':osedI propiiei.i];iie drep'lunghiului gi roml-rulr,ri.

37. TE{i$lEnq,& Ltr-i} T,4l.LSl r'Hrti egale.

l'e o r e in a 6.6 (teorema 1ui Tales)i'. .Sscd rJ.l'*u"rlede ptr- R e z o 1\'a r e:. llil purii:iui I drcr:rtt seti-ti{ii"tilpta o c&re
ra{.ete t*re intersec'teazd latarile anu.i ungki. f;ri,:: ;:ri: urus elip rp:,u,lr.:rr-rsiecetmeaiesf,iAS(j,1pie:,,-i;clIelliccdagup-clticcan:.i'.i4idlllieifa;giAlt.,a.,l.04b.i,.l)A-.i),|'rrr:elp',tse.il.e:n..ipiieAiii:'.aalitt.rt4lae..s*Pucrlie&n-,
f.#,tu{its lu.i segmente egele s'titnci aceste drepte $sfe seg'* r:aie "irec ltrii-i piriiitiele A;, 42, . . . ,i',,-., inielsicieazir seg-
nze:r"fe *g;s.!e gi pe *i!d lat*rd s f#i (lig. 10i). rileili ui l1l iil rilnr:'ie1e iii, 82., ... B"-:, cc inpart segmen-

D,'lrr cnsira!ic. Fie l', .1,, L'i'1;1i'.rl- rlr ,uter' tui LAiBrtieirrtrnuestctigernrenitie"ii;engga]l;eiiritLuei<-*:r{eeiniri;Llfn:.'0r)e.ile segmenttil care
seclie r ditrpieloi'paralele cu tlna Cir i:it';i'ile ur:'*,i ungiii
*qi l: srtuat intre,41 9i ..4r (fig. 1S2). Fie 8,, S,,, 83 purtatetre' urrs5!,*: mijcol urilr: a il,rirl l ailt;'i i; i,: 1r: tir iiir i i.;i i- r.

i'o;'c:p,;nz51g''pr ric ii:lt':sc,iir a acesl,r' 'i:;'r't,i "r leriait., T'c * r e nr a 6"3. L!r,s,:r; a:irdie * urtu! triu*gk!. unes{e rnii-
i.stuvite a Ei*u.d ltsiuri i:'ie. esl* i;r'rn!elti t:u t*iar* a ttein
iatu"rl a r-nrghiul ui. Si c'lentonstr"im cI darl,1i;:!ti':AzA't.
pi eg'r.dd c* jlrrmrifu,irr; cr.
a'rr:n"ci BrBz:8"fr..
Fr'in punctu\ Bz riucem dreapta €F paraleil cu drealptr-, Demonsiratie. irie,?9 liriil ;iri:die a triunghiuiui
,48C (iig. 1{i4;. Duceni iiin punrrll I r; rirei'pti paraleia cu
AtAt. Ccirlorm proprieiiilil paraleiegramuiui Ay4r:ggr.,
AIA3:BzE. $i deoarece Ay4":4"43. a\ieff) FBr-S:F. ,2X8. Conforril i.clriemei 6.fl ea iuiersectr:izi segmentui AC

'lrir:nshi:trile B:,EiF Si .ts:ilgF sln+" ega!e re'rifcrrx cflte'- in mijlocul lui, adich ci:rlilil. linia rredie !,{. Prima afir-

riului a1 dcilea. BtF:EtE ln confornitate crr c*ls {.ie$}s:t- nralie e demoi:stratir.
sirate. LJnghiurilc de la viiiul Bz sint tgalc ca ir:lghiet'rl
opuse la vhf, i:ir unehlurilo E:F8r gi .9.,&'fi3 *i;ii i:eaJe ta Ducem acum linia nieciie fJF. Fii este paraiell cu latura

ungliiuri aiierne internc ia drepieie p:rraieie ,'1 r'1r ,r.i "4:,8, +L AC. Patrulateiu\ AEIIF este uil i:*ralelrgram. Cc'nfiirm
prcprietdfii paral'elogramului ED:AF gi deoarece confcriir
secanta E,F. Ilin egaiitatea triunghirrriicr r:czul'La *g{,tlitate*r
leinrilor: IitE,:,4r8.q. Troitnrl e ric:ronsirati. ic.riienrci liri Tr:ie*s ,,4F:.I'fr. avern

t! L,48.

Teorema e <trenrernstrati. 2

irig. 102 Fig. 103
Grecia Anticd carr:
* Tales din Milet - savani din a trdi{, tts pH
see. VI l.e.n.
Fie. IAA Fig. 165

78 79

Problemi (47). DernonstraIi ci mijlocurile trat*l.rilcr Fig-. 1{7

unui patrulater sint virfurile unui paralelograrn. ,litatea laturilor PB:PE; BC:ED. Deci, linia medie pe a
trapezului este linia medie a triunghiului ABE Conform
Rezolvare. Irie ABCD un patrulater dat;i E,F. G, Il
cnijlocurile laturilor lui (fig. 105), f.1? linia medie a triun- proprietdfii liniei medii a triunghiului PQll/E Ei segmentui

ghiului ABC'. De aite;r l-|i11,4{:. Gi{ este iinja medic a tri- PO"2:2-l- AE:J- (AD + BC)
unghiulul ADC. De aceea GHjl,4C. -\5adar, EIilGf{, adici
laturile opuse EF gi Gf{ ale pzilrulateru!ui EFGff stnt pa-

ralele. Exact la iel se demonsticazd paralelismui ceie.ilalte
perechi de latr:ri opuse. Deci, patrulaterul EFGII esie un

paralelogram.

38. TRAPEZUL

Fatrulaterul care are numai doui laturi opr-rse paralele

se numeqt c /rapez (f ig 106, .a ) ,{.cestc laturi paratr*ie se

'flurnesc bazeLe irapezului. Celelalte dou;i laturi se numesc
laturi \aterale. Trapezul, care are laturile laterale egale, se
Teorema e demonstratS.
numeEte isoscel. Segmcntul care unegic mijlocuritle latu-
rilor laterale se nunreSte Iinie medie a trapezului. Teorema 6.10 (teorema generalizatb. a lui Tales)
Teorema 6.9. Linia medie a trapezului este pawleld
Dreptele paratele ee i.ntersecteazd latwrile wnui wnghi taie
ea bDszeemle oFinesstteraeg{aield. cu semisuna lor. pe latur'ite unghiwf.ui segmente praparfian*te"

Fie ABCD un trapez dai (fig. DemonstraJie. trie laturile r.rnghiului A intersec-
106, b). Prin virful I qi mijlocul F a1 laturii CD ducem o
tate de drepte paralele in punctele ts, C gi 8,, C, (fig. 107)
'dreapti. Ea intersecteazi dreapLa AD intr-un punct oare- Teorema afirmi ci
care E. Triunghiurile PBC gi PfD sint egale conform cri-
AC, AC (*)
teriului al doilea de egalitate a iriunghiurilor. Etre au CP: AB, AB
P sint
:DP prin construcfie, unghiurile de la virful egale S; demonstrirn justef ea acestei egalitdf i. lmplrf im seg_
mentul AC in n
ca unghiuri optise la virf. iar unghiurile PCB gi FDfl sint pdrti egale gi prin punctele de diviziune

egale ca ungiriuri alterne inierne la dreptele paralele 8C gi ducem drepte paralele cu dreapta BC. confor.m teoremei lui

AD gi secanta CD. Din egalitatca triunghiurilor rezultd ega- Taies aceste drepte irnpar-t segmentul AB in drizvipzilurnfiee"g(afilge
riin punctelc de
il; Dacl punctul Ct este unul

LAl,a), atunci ACr: -L*, undc m este numlrul de seg-

mente ob{inute in ur*X iniplr{irii cc se con,gin in segmen-
tul ACr. Respectiy AB,: lB m. prin urrnare

Gr) A :Ac, 4C-.

Fig. 106 fi'"-Actr,itcm cd punctui j?. punct de diviziurre (fig.
a0
$ Comanda .i/b Z
BI

107, &). Sd dernonstrdm ci qi in acest caz egalitatea ('!) este i:rr unilhiurile de la vtrfrrrile E qi D sint egale, fiindc* eie
adevdratS" Fresupunem cI ea nu este adevarat5, de exemplu corrrlrleteazl ungiriul BED p?ni la lB0o. De aceea /-ADC:

$- $=ABI A19ts. ntun.i ACt> AB aa,. Depunenr pc serrridreap- /*ECD.,4.firrna{ia e demonstratl.

ta AC segmentul ACz: #.Ou,, ACz<,ACt. pentru n su- gNTREtsAR! PENT'I{{.J REPETARE
ficient de mard'pe segmentul CrCz vor fi puncte de divi-
l. Care figurd se nurnegte patrulater? se
ziune. Ncitdm unul din ele prin Y, iar punctul corespbnzd- 2. cCaarere* vfrfuri ale unui patrulater numesc veciree
tor de tra latura AE_* prin X. Conform celor demonstrate 9i
opuse?
avem 3. Ce numim diagonale ale unui patrulater?
4. Care laturi ale unui patrulater se nurnesc vecine? Care

'laturi se numesc opuse?
5. Cum se noteazi un patrulater?
AY _ 4C. 6. Ce nurnim paralelogram?
AX 7. Demonstrali ce da-5 diagonalele tlnui patrulater se in-
AB
tersecteazd gi se impart in punctul de intersecfie in ju-
In partea stingi a acestei egaiitdfi inlocuirn rrrarimea Ay
printr-b rndrime mai rnici AC* iar mirimea Aff prinir_o mitate patrulaterul este un paralelognam.
8. Demonstra{i ci diagonalele unui.paralelogratn se inter-
rndrime rnai rnare A8;. Atunci partea sttngd se va r-nicqora secteazl gi'se impait in punctul de intcrsecfie jurn5-
in
/9 AC
gi obfinem A* bt < . nc aici AC-' ,4- dn A^I11 ai.uns tate.
AB ,43
"4fJ1' 9. Demonstra{i cI paralelogramul are laturile opuse egale"
unghiurile 0puse egale.
la cIonntmraoddic{aien,ailnogi.ruac3'iut nAgeCm2:la-A4c8f_on"tar.na,d.ic{ie qi fn cazul cind
t0. Ce numim dreptunghi?

ll. Demonstrafi ca diagonalele dreptunghiului sint egale.
Ce numim romb?
AC, - AC Teorema e demonstratl. 12. unui romb se intersecteazb'
AB, AE 13. Demonstrafi cI diagonalele
sub un unghi drept; diagonaleie rombului sint bisectoa-
re ale unghiurilor 1ui.
F r o b I e rn a (53). Demonstra{i cI intr-uin trapez isos- t4. Ce numim pdtrat? Enurnerafi proprietdfile pltratului.
15. Demonstrafi teorema lui Tales.
cel urighiurile de la baz| sint egale.

Rezolvare" Fie,ABCD un trapez isoscel cu bazele 16" Demonstrail ce linia medie a triunghiului este egalS cu
dB 9i CD, Afi<CD (fig" 10S). Sd demr:nstrlrn cI unghiu- jumitatea .laturii corespunzitoare.-
rile trapezullui de la baza CD sint ega[e. Prin virfirtr I du- 17. DCaerme opirastrirualatitecri se nurnegte trapez?
18. este egal5 cu
cei'n o dreaptl paralelE cu iatura AD. Ea intersectqazl se- linia medie a- trapezului

rnidreapta CD ?ntr-un punct E. Deoarece DE:AE1CD" 19. semisuma bazelor. generalizatd a lui T'ales.
Demonstrafi teorema

punctul E se afl5 pe baza fJC.'Pa- EXERCITnI

trulaterr"rl AtsED esie Ltn paralelo- Eidlaiin9tr0aucreepspiltnreeczftieignutudrni tierteesJi esfuipgcauctreruis,laivftiecprc?rainre fiind
patru
gram. Conforr','l proprietdfii paralelo- l. Irigurile 88',dBing
coistituitd
gramulr-ri BE:AD. Conforrn condi-
scgmente. Care
{iei Ail: BC (trapezul e isoscel), 2. l)ricd oatrulaterul ABCD arJlaturile AB 9i CD panalele
deci, triunghiul BCE este isoscel cu
€ baza EC. Unghiurile triungiriului gi :rlrrirci virfurile A si D se aild de acecaqi parte a drep-
il. (tcliilt1' lCJr.aDraelernioognrsatmraefi.pot fi construite cu vfrfurile in trei
Fig. loE ale trapezului de la virful C coincid,

e2 83

.-9. pdl5Lpouucagnnrstrirucaer.tnmreDatcluotdirlnllauaurtEtirtlee.ou(dcrsbnaarriicirlrnelpnpuauutntc,n.uicyuptannepiuugiaaaiirrl{tntli.rrnpiicluoeunrcnSguetauhizIiidauariiersraropbrct.rseierc?leseetlluIraeiirtstircltloerurrnle)cfgilpfaiaAi*lidasfiliadnct_uti l1|" DCudCineooagmngnhossoitnt;nrrauus2litjf{){r;iia;dfuu2iunn)cpnIdppaudadrpraiaaalclgleeioololunolgnaagrlratepauranmr9r:iai:Elluel}i)nloddguodrunuaugdpmphidlidiaaddorgeoionuunttiroalelalaeltaet.eutleuru.irniqgghl iiuuno.
2(1.
1lt.

5. iclPr4Pnoiu.nrag"pjirutnrreIrami9untmrplsduacutlt.a9inernttnrcert-d.utr..iuiAeulinlfAstgldaalBh.eto!iuCiuirlniIudui)ltneeri eegrAssapjer_BapntceDrctfalua.ileeenDsdleatcpieamasdg-rceooiagignnliacmuioltlortpnccagauai{rrilaBteeemclocoani,rnrc.ss'uucatnigiipneu;edsi"ritip-m;a,ptieruraitnprleuc";__{it rile egale el cste un dreptunghi.
22" Demonstrafi cd daci un paralelograrn are diagonalele
t-i" egale el este un dreptungh'i.
23" tBeisleacttuoraaredareupntuuinagdhiiuniuuinignhijuurmileltadtree.ptAunflgahtiiupiueiriimmeptarur-l
dreptunghir.riui dacd latura lli mai micd este- egald cu

l0 cm. a diagcnale-
24" Intr-un_ dreptunghi punctul de intersecfie
7. I.n paralelogramul AtsCD prin punctul de intersec{ie a cm ma-i mult
g, diagonalelor e dusl o dreaptl pe laturile BC lor e depirtat de latura mai micl cu 4
iare taie m. Afla{i latu- decit de latura mai rnare. Ferirnetru-l dreptunghiuiui
$i- A?_segmenteie BE:2 m qi AF:2,8 esle egal cu 56 cm. Afla{i laturile dreptunghiului.

rile BC 9i ,4D. 25. Dintr-un pu.nct al unei circumferinfe sinf duse doufi
YAflluafl.idcineletlrznil.tgehuiunriglehiuurni.ui paralelogram este egal cu 40o,_
coarde perpendiculare cale sint dephrtate de centru cu
6 cm. Afla{i lungirnile lor.
9. Calcu.la{i unghiurile unui paralelogram, gtiind ci unu[ 26. Intr-un triunghi dreptunghic liecare caietd a c[ruia este
din ele e mai mare decit ceillalt culO".
10. rPOctaunolredai4.li0otaaeoggl,erooaiaamlnurraeuiclltleuunail.lnglauhulntiunu-rgiihpcdiaueraab2Olle5dp?l'oaIgrtaraglemSlo".fgoArramflmae{uaizluudincsguhi iudfioreiulebepglaaa_-l egalS cu 6 cm e lnscris un dreptunghi care are un unghi
11. comun cu triunghiul. Aflafi perimetrul dreptungliiului.
27. Intr-un triunghi dreptunghic isoscel e tnscris un drept-
12. IAAadnoffldluaaohpfliiaudlritoiaondalaeitenteleoleeguuelrnenasggmteehhsuiietuuelgiri.ilaeAleelg-dBuaCpclnadDi r:lcaiptulp)eu:alnoglrc)ag0tlur'e;a7llzm0og"glu;relia2Ousm)iOtde.I;d'1am3a0cc)"iib;j1dl3o6sif0)ueiu.rm.1el4na0l{abaa.r- unghi astfel incit doui virfuri aie lui se afl5 pe ipote-
13,
14. 28. glDnaatueuzm5ra:iot,2rnei,sadtirraraerc{pieiptlcueoinltaegdlntheauiuzcdalluouiturSicnu_inap-gcaphlreaisulecelualgoiteigciterseat.emcCieaugeralcelededscsiaeuignr4ota5npeaJcglrmeatlXl?ee
perpendictilarc" cl este un romb.

29. Dernonstra{i cI daci diagonatra unui paralelogram este
bisectoarc a unghiurilor lui el este un romb.
turii BC, iar .F-_ mijlocul laturii ,4D. Demonstrafi ci f;O" Unghiurile, forrnate de diagonalele unui romb cu. una
patrul'aterul BcEi DdFacelsuten paralelogram. din latrrrile lui, se raporth ca 4 : 5. Aflaf i unghiurile rom-
t5. Demonstra{i patrulater are doul laturi para- bului.

lele qi egale atunci el este paralelogram. at Deilonstra{i ch pati'ul aterul, care are toate laturile ega*
16. I.n paralelogramul ABCD e dusi
care intersecteazd, latura BC bisectoarea Eu.ng-Chiuulucei' le, este rolnb.
A, rt f, lntr-un romb unar din diagonale esie egald cu latura.
in punctul cm, AD:
s:1in5t egale segmentele BE gi EC, AE:g Afla{i unghiurile ron:bului.
dacd
cm.
17. DouI laturi aie unui paraleiograrn se raportl ca 3:4,, fl3" Construiii un rcrnb: 1) dr:pI un ungi-ri qi diagonaic c*,f.e
iar perimetrul lui este egal cu 2,8 m. Afla{i laturile. piea.cd din virful acestui uiaghi;
2j dt's1th o diagcnais qi
virlul opus.
18. In,paralelograrnul ABCD ipmerppaerntedicinulajuram' citoabteo.riAtlfldai{ni
jr.'!. Cons'irui{i un romb: i} dupH latun'i gi diagonalS;2} chl-
virful B_ pq latura AD o 1;ii cele doui ciiagonale.
diagonala BD gi laturile paralelogramului daci se gtie
cd perimetrul paralelogramului este egal cu 3,8 m, iar 3{i. I nir-un triunghi dreptungliic isoscel, f iecare catetl a
perimetrul triunghiului ABD este egal cu 3 m. c;iruia este de 2 m, e inscris un pltrat care are cu el
run unghi cornun. Aflati perimetrul pdtratului.

B4 85

iiri" mesDljjlsesiiurnamie.lgeutceoi*ddgnspeaatairptttatrduaaist-'tucrie.nuncupsddie.d.iagptprgmaaobtertnuknAalt;aleBt,t"leeC-;r;;Duiiu;;i."gAi'Fui?{iel^;s.t,,rb.f^ri4'e,t'{.cbc,-a,ua,:re"i4rSitr,giim,in,''u:.Cli?[na-Cfat";u,,riiulrii:irl,i"Oiaeru.OlttI;uu_,i.i virf uri ale unui roinb. $i reciproc, mijlocurile laturilor
37. unui romb sint virfuri ale unui dreptunghi.
51. lrnp5r{i{i un segment dat inl.r-un numir-indicat de pSrfi
cgale: 1) 3; 2) 5;3) 6.
52. O laturh iaterald a unui trapez e imparlitd in trei p5r{i
'38. Este dit etatnturrraltr;altt-cluplaiit.uitrla lcagtaulerdEsi epgrminepnitlengplgaleradleeledicviuziubnaezeslein"tAdfulsae{ilalucnegaimlalitleS
d['leful1rind,!caigiaognoanlaalautltuimi uetsutei
egald cu acestor segrnente dacX bazele trapezului sint egatre cu

pdtrat.-
t44.A43i23E09a"..""trLLFAtIri{pa1ncrItafiIaar1iniarlcinull0fsauleneaetenclrttrnutatlngcurti9ait.rc-riuclrareg{ccr-aTaunti-iitrluensprthrututeneerdecu.ltutdniilneieaunte.rrtrreddttutlariiiucarpuul"Aptiatariconiooluuliirceiuittttftuirteruen"purlnraroIaeicdgdrlrttacanusrnuldtt;ibiotiiriiiiuttu.cnpoi,niurel.{ounc!1ntur.pgiuetaeriu,usgnnd,n-hdil#o"tuttnfhiccueiiirgri*-icruntn'TTgu"eruire**tuhiicuis;uiiothttl;lpfm;;;Fgfnl.citcegriui;;u-uur?aru;rih't;sp1it.C;fler;i;se;euiz.'iii.irA';'ir"t;r-:lit!"i;ac-nuluJot;i;;-i';Li.-p;;ui-;;n".nt.d[r;ii-ti-s"u[;?c;;;n.i"tu*l5.D''.'i?i.ntclii;gbj;[i-*'-."cosnlgor;u"^ra,rr""'n"ilghn;ci;":r"dc"lrinl"i.'.ap."i"rr"riirtu.rt...fui"uctrucloct8ucotc*uacniiierx..acu,mrcrcagfrj'3umaruhli;ldit(nca!rtde.iim"dr2fiuadstleifrtani"x.mciir;sppanc0lssdriett,gfe{iimuiates'"ecnoiipncernmii;rdnipucgni.lfam#omae,.nhrtiu#tidn,is1eJiiun.idjdpr2lrct"t.roiadicoeiaiuciuiitcoc.ct[gzrimdpu"fuudaoxtrpddfiag--e"._,nte_r-
2mqi5m.
t13. Demonstra{i cI trapezul isoscel are unghiurile de la
bazi egale.
54. Cu ce sint egale unghiurile unui trapez isoscel dach se
gtie cI diferenfa unghiurilor opuse este egal6 cu 40'?
55. Baza mare a unui trapez isoscel este egald cu 2,7 rn,

latura laterald cu I rm, ungtriul dintre ele e de 60". Af-
lali baza mic5.
56. Intr-un t'laltez isoscel inll{imea dusi din virful obtuz
imparte baza mare in segmente de 6 cm 9i 30 cm. Afla{i
bazcle trapezu!ui.
57. Baza micd a unui trapez isoscel este egalS cu latirra
laterald, iar diagonala e perpendicularI pe latura la-
teralS. Afla{i unghiurile trapezului.
58. Dc aceeagi parte a unei drepte sint date doul puncte A
gi B la distanfcle de l0 m gi 20 m de la ea. Aflati
distanfa de la mijlocul segmentului ,48 la dreapta dati.
59. De diferite pdr{i ale unei drepte sint date doui puncte
AdisEtai nB{aladdeisltaanfmeleijlodceull0scemgm9ein4tuclumi de la ea. Afla{i
Lrnta medie a,
este egali cu J Ats la dreapta
*+/*.
ucnmu.i .tariiutanigiiahtir;is;,o1s;c;;riir,;;plra1r.;a"lfefiid ;t;u.;;b"a_za, dat5.
nu.{frfnfiert:riuJlijilu.iltelis-tepeTg.al cu fe .*."'-
mijlocu- {i0. Demonstra{i ci segmentul care unegte rnijlocurile diago*
tl.ir-g'l,r cracd
nalelor unui trapez este paralel cu bazele qi egal cu se-

sint date tnridiferenf a b azelor. se raportb ca 2:3, iar linia rnedie,

61. Bazele unili trapez
46" Delnonstrali czi cstc cgalS cu 5 m. Aflafi bazele.
tate de dreania vciarfrueritlreccuenpuiritirii'u*niigroh*i "siiinf"t e;;g"a;;l"dire_odr, 62. Exlrcrnitzi{ilc unui diarnetru sint depirtate de tangenta
turi alc Iui. la o circumferin{i cu 1,6 gi 0,6 m. Afla{i lungimea
47' Demonstra{i ch mijr-ocurire diarnetrului.
virfurile unui par.alclogram. raturiror unui patrurater sfnt
**. 63. Linia rnedie a unui trapez este egal[. cll 7 cm, iar una
c*Ltua,iofi0-alacrnaly5sl]eigXg.2'niimea..1cal td*itaiggoirn*auletulei din probterna nreceden- rlin baze este mai mare decit cealaltl cu 4 cm. Afla{i
49" patruiaterului
";;t*;;;i; bazclc trapezului.
bu' prDieliearigmlaoentutarrluiclroleinauptnaruutrriuapttaaeitreruunrlua,lituevir'tdrsuiiuin"it'i-te.'g.a;rleuicuu
o qi ]6".iiAi"fl.a-{-i 64. InIl{irnea dusl din virful unghiului obtuz al unui tra-
(;5. rJ(rlrorcilzncsisatrougsiic{ieblui(rnan>ptrbaar)pt.eeAzbf,ladazufaipmlbinabiaraezmeineiedpigehira{laitrtcauaprreielzeualltuuti.ilulnatgei*'
"i,ii
rJenronstra{i cr rnijrocurile raturiror unui dreptunghi sint (ili. r(;lroltn:. strui{i un trapez dupi bazele si diagonalele lui.
86

87

67. !) ln triunghiiri ,4SC sint
pdrcgcnaullhlucrstiedrieuui,lcs.rlctanA/PetiM(ncQdftriicBag.urns.lDeec1clcsler0mttBec9,ao4)rzd"n1pds1utentsrfg'ancltitrsliniGiJntu^ccn8inda1-*
u2dunno)gupDhiacirrntmsclcoCclnoiasgrnntrrcltacnfarris.leceIcutncouariizclatrrqi_ei t1

Fig. I l0

E, se impart in punctul de id- Fe semidreapta AB depunem se'gmentui AB1 egal cu seg;

Fig 109 tersecIie tn raportul 2: I nrentul A'B', iar pe semidreapta AABBG-1 segmentul ACr egal
considerind de la .rirf. A'C'. Triunghiurile sint egale
cu segmentul qi A'B'C'
:;te trei mediane are unui ,.iJ.3fi":1.h1!J$,:",X?
dupl criteriul intii. Ele qu unghiurile de la virfurile A Ei A'
acela5i punct. egale cu o, iar A'B':ABt, A'C':AC1 dupd construcfie. De

68. ulDleDaaneetguemniir.roopinnnasssttrtcrurarariisatiit.eiccnrId,trcs-siourucmmucarie.noluserncfrgiluiisehni.guiilri-ndireii"l,o^:iterocrrol^ttpecluausetemugraaii*llledoiir"cutoun."puliui8i"s0ple"a.uta.r.ul_e- aceea unghiul d.CrBr este drept gi, deci, dreptele BC gi BrCr
69.
fiind petpendiculare pe dreapta AC sint paralele. Conform

teoremei generalizate a lui Tales avem

$ 7. TEOREJ$qA LUr PTTAGCRA Act _ Ac.
AB, AB
Intrucit ACr:,4'C', ABr:n'B' duph construcfie rezultd ci
A,C, AC
39" COS{N[JS[J[. {.JN{.J[ {.JNcE{fl A, B,- AB"

Teorema e demonstratS.

lcgnsdu-uihurniel,iuiuptSdaslu€ceuudnopilingsicnuduihlndemniuciepgnesihngurdaiddtrueeiepioleuocdunioriaimuts,cuctimr.nre,leisusuancetssniuaiignaucieluhnoletniituelueemgniraifirgat;zirshlciiasuuiuuatirnnualsguitrntaifiheentugiacula:lsgiluccec9ro.uiraistld9riatoeecia.edaillCpaeuogountiasneuiiugnpninhulutagisrrusieuhulau.linriuiageonshga---ii . 40. TEOREM.A !-UI PIT.AGCIR.A

T e o r e rn a Z.l. Cosinwswl wnghiwtui depinde nuwaai de Teor ema 7.2 (terema lui Pitagora*).Intr-wn triwnghi

mdsara tn grade a wngfciwtui" dreptwnghie pdtratwl ipotewuzei este egal cw Ewtt& lsdtrate-
ed.greapDltudenumgchioc(efnigsc.utrI1au0nl)iue"lT.g.'ricFbarice:eie,l4asBgiiCurlneggnihiAoin"dBset,rCllma, dvcoiriufdurtirl"iun;-g;hi;i,uri lov cgtetetor"

Demonstra{ie. Fie ABC un triunghi dreptunghic
dat cu unghiul drept C Ducem inllfimea CD din virful un-
ghiului drept C (fig. lli).

In conformitate cu defini{ia cosi-

nusului unghiului

cos-A:A4CD:AAqE

A,C' AC (*) D
A,B,
-:..-' A.E r Paittargioitrain- savant din Grecia AnticE Fig 111

88 care sec. VI i.e.n.

89

lrc aici aflim

n

z Ev/ n,-(\ s2-/\'

Fie BA perpentliculara, cobor?ri din AA
punciul B Fig. 113
ai dreptei pe dreapta c, 9i C orice punct
c, diferit de ,4. Segmentul SC

se numegte oblica dusl din'punr:{.ul E la
rlreapta a (fig. 113). Functui C se nurnegte gsiciorul ahticei
Fig. I l2 Segnrentul AC se nurrcAte proiec{ie a obli.cei.

De aici AB.AD:4C2. Din teorema lui Fitagora rezultl cd dacl la o dreapti
In rnod analog din aceiagi punct sint duse perpendicurara gi citeva obrice,
olstrica e neui ryea.re d,eait gaerpendica{.ara; abf.icete egate au
COSB-_BBCD:BACB proieclii
egale; din d,oud obtiee rnai rnsre e &,cea obl,icd
De aici AB.BD:8C'. Adunind parte cu parte egalit5{ile c{zre a,re proiee{ie ffiai fttare.
obtinute 9i observind ce AD+DB:AB avem: AtaflaRcfaierionezbdoclIfloivennarm{eirnaieet.r(lia2uN1tnoug)tr.dhamLiu.calput.ruiiAnrcilteoxubnuporncoriuiitepilcrtpfroieiaiuelnlacagftiiuuahrriailiascoimt.uptiealld, brbea,ppce--

AC' + BCr:AB(AD + DB): AB2.

Teorsma e demonstrat5. aceastd. dreapti este sau c-r (fig. tr,'l. ,aj sau c+x {fig.
Fitagora in prirnu! caz
Din teorema lui Fitagora rezultd cI intr-wn triwnghi i14,b). Conform teoremei iui
dreptwnghic ofice catetd. e msi micd. dec?t ipatenwza. De
aici, la rindul sdu, rezultl ci cos a<X pentru orice wrtglti :C D2 s2 _y2 " :C D2 b2 _ ( c_x)t

asawlit a. De aici ob{inein ecua{ia:

Probleml (16). Afla{i raza circumferinfei circum- s2-12:b2-{c_x)8.

scrise unui iriunghi isoscel cu baza a gi latura Naleralh b. O rezolvlm:

Rezolvare. Afl5m indl{imea CD (tig. i12) coboriti sz -yz : bt -C2 + A2 : b2_cz * 2Cx.

pe irazd. Conform'+teoremei lui Pitagora *: *t\C(xa_zx-b2z, * c, ).

{L-rL1 _t:rrV--A=C_z^_--ADr: "Vf *-_ lr\, "

l;)

Notdm raza circumferin{ei circumscrise prin R. Daci centrul

O al circumferin{ei se ail5 pe tnil{inic a CD (f ig. l12, a),
OD:CD-l?.. Daci centrul circumferinlei se af15 pe pre-
lungirea init{iinii (fig. ll2,b), OD:R-CD Conform teore'

mei lui Fitagora AO2:0D2+AD2 sau

R':(v'*- gf - *)'" (+)'' Fig. I l4

90

9l

Aflim indl{irnea CD; I)coarece cos u depinde numai de mdrin-nea unghiului, atunci
;;i sin a depinde numai de mlrimea unghiului. lAai departe
CD:{M tga: A3C9:4ABt 4A-B

In cazul al doilea se ob{ine acelagi rdspuns. Elecfuafi cal- !in".

culele de sine stEtator. cos cr

l)c aici se vede cd gi tg o depinde numai de m5rimea un-
ghiului.
4I. RE[,AT[[[-E DTNTRE [.ATURN $I {.JNGf.-[IURI
INT[T.[JN TR[{JF{GFfi [ DREPT[JINGFNIC Din defini{ia sin c, cos o gi tg c obf!nem urmltoarele

reguli:

gduhneigfuFinhliueiiuftielAsai,BsccCcdoustrufeaitnidpeteorsittueleannuegvzghidraif.uldlcreAup,rtuiepngagilhrtcicuulcouca(utfeingtge.hiiilauElld)"dturCreaptnttefoCurmn9-i,, Cateta apwsd unghiutui a este egatd ea pradusul ipote-
nuzei prin sin u.

Cateta a{d.twratd unghiului a este egald cu prod.usul ipa-
tenwzei prin cos u.

Se numegte sinus*at unghiului a (se noteazya sin c) ra- Cateta opusd wnghiwlui u este egald cu produsul catetel
portul a doua prin tg u.
catetei opuse BC citre ipotenuza AB:
Aceste reguli ne permit, cunoscind una din Iaturile unui
sin a: i9.
AB triunghi dreptunghic ai un unghi ascu{it, sr afldm celelalte
doul laturi; cunoscind doul laturi, sd aflim unghiurile as-
Se numegte tangentci a unghiului o" (se noteazd tgc),
raportul catetei cuf ite.
opuse BC citre cateta ar.dturatd AC:
Problemd (31). Intr-un triunghi dreptunghic sint da_
qa: !9.
te ipotenuza c ai unghiul ascu{it o. Afla}i cateteG, proiecfiite
Sinusul gi tangenta anghiutwi ta fet ea gi easinusul rfe_ lor pe ipotenuzd gi inillimea cobcritd pe ipotenuzi.

pind. rtwmal de nndrimea ungffiwlui" Rezol vare (fig. 116).,AC:ABcoso,:ccoso;

Intr-adevir conform teoi.emei lui pitagora BC: AB sin a: c sin a; BD: BC sin ,o: c sin2o;
IDrA\J:n/ AB2_AC2" AD:ACcos o:c cos2,o; CD:AC sin u:c sin o cos o.

sin c: A" B:-V / , * (#)':"tr/frsos,c; : :Din aceste expresii se oblin urmitoarele rela{ii:
AC VXB:Tfl BC V AB:BD, CD: VTD"ED"
E
folositor sd memorizdm aceste rela!ii. Ele se exprimi
prin cuvinte astfel.

Cateta unai tfiunghi dreptunglric este media proporfio-
naNd dintre ipotenwzd gi proieclia acestei catete pe ipote-
nuzd.

Indl{ir'nea triungfuiului dreptunghic cobaritd din v?rfut

wngfuiutui drept este media proporlionald. dintre proiec{iile

catetetor pe ipotenuzd.

Fig. I l5 Denumirea ,,rnedie propor{ional5" este justif icatfi prin

92 faptul cd numlrut x:lab este termenul mediu al propor{iei

Fig, I l6 Q!X:X:b.

42" CUM SE UTILIZEAZA T'ABLE{-E SENUS[JR[[.OR' uriqcdm pe aceasti Iinie in stinga. In coloana unde jos
cste 1B' gisim cos 68"18'. EI este egal cu 0,g697.
cosHN{JS[JR[{-OR $[ T'ANGtsNTEE-OR
cdocs F6cBeo'2nre0tcnrfu:iaa0,3gd6le9s7i-2c0o',.0s06C08boo2r:e00,c,8iliu6a9im2t.recbous i{ej8"strcgX, zguitd{i.rrOerbn{inceormat
Fentru sin o, cos,u Ei tg a sint compuse table speciale. c:or0e,Pc3fe6i8na1tr+ud0ea,0g10l'0s. 3iE:ca0o,s9t66re884ob.2u3i,eIuaddmuncaotsd.68O.2b4{i,ngeirn{inceoms 6cgo"n2t3d,:e
Aceste table ne permit dupd unghiul dat o sd afl5rn sin o,
coss gi tgo. sau dtlpl valorile sino, cosu, tg'a s[ afn1rn: nlrrIi-ruecarinundgchuiulcuoirescin{iuilseultrseeburniedresgItea,-iraerrncionsiv'uesduelresecrdrai!ca-

unghiul respectiv. Vom explica curn se folosesc aceste table poreazl (vezi teorerna 2.4). De aceea nu c greu sd ne price_
lutnd drept exemplu rezolvarea problemei 32. ncm, se adunl corec{ia sau se s-cade.
valorile tangentei dupd
Froblemd (32). 1) Folosind tablele, g[si{i sin22", lel ca gi valorile sinusului tabla targenteron se gdsesc la
dupl tabla sinusur"iicr.
sin 22o36', sin 22"38', sin22o41'; cos68o, cos68ol8', cos68o20', 2) S; gisim acurn unghiul x pentru care sinx:0,2g40.
chutim in atafblilainsinriunsduurlilournnduemindruslti0n,g2ag4e0.stveed1e6m" gciziinacceos_t
cos 68"23'. nundr se

2') Glsifi unghiul t, d,ac6, sin,r:0,2840; sin x:4,2844; loana unde sus este 30'. Deci, x:16.80,.
SX gdsim r, pentru cdre sin x:0,2844. Ciutdm in tabla
cos x:0,2710. sinusurilor numlrul A,2844 sau cel rnai apropiat
rnai apropiat num5r este 0,2840. Acesta este rie eX" CeI
Rezolvare (vezi tablele lui V. M. Bradis, pag. 53). Dacd adunSm coreclia de l, ob{inem CI,2g43. tr6o80r.
corec{ia de 2' oblinem 0,2846. De aceea cu si*
1) SA g6sim sin22o. In prima coloani a tablei chutdm 22"-
Apoi migcindu-ne pe orizontali alXturi in coloana a doua ve- trebuie sI consider5m cd x:16.31/. Dac} acun5m
precizie de 1,
dem numlrul 0,3746. Acesta este sin 22"'
Sd glsim x pentru care cos x:A,2V10. C5utfim in tabl5
Sd gdsim sin 22o36'. Din nou cf,ut5m 22o in prirna co' numhrul 0,2710 sau cel ,mai apropiat de
loani. Apoi migcindu-ne pe orizontalS pornind de I'a 22' este V4"lB,. Num5rul el" Acest nurnlr
ciutdm coloana care are sus notat 36'. [n aceasti coloanl este 0,2706. El cos nostru este rnai
se aflI sin 22o36'. El este egal cu 0,3843.
rnare. Deci unghiul e mai inic. Coreclia de ln este 0,0003'
Se gdsim sin 22o38'. Ciutdm numirul care este mul-
tiplul lui 6 gi este cel mai apropiat de 38. Acesta e numi' iar de 2'este 0,00CI6. I-uIm corec{ia de l,. Ob{inem cu pre-

rul 36. GIsim sin22o36'gi addugdm la el corec\ia de 2'" cizie de tr'unghiul x:A,74"17r.,
Corecfiile de l', 2', 3' sint date in ultirnelq trei eoloane ale u'ghiul dlipi valoarea tangentei se
tablei. In rindul unde este 22o glsim corec{ia de 2'" Ea tablei tangentelor la fen curn se cautl caut6 cu ajuiorutr

este egald cu 5. Acum gdsim sin 22o38':0,3843*0,0005: unghiul Auii va-
loarea sinusuiui cu ajutorutr tablei sinusurilor
:0,3848.

Sd gdsim sin2?o4lt. Ciut5m sin22o42' 1i scidern co-

recf ia de 1'. Gisim sin 22"41t:0,3856.

Valorile cosinusului pot f i oblinute cu ajutorul tablei

sinusurilor folosind egalitatea cos o,:sin(90'"-a) (ea va fi

demonstratd in teorem a 7.3). tnsl cosinusul poate fi gdsit

Ei direct. Sd gisim cos 68o. Cdutdm in coloana a patra din

dreapta tablei 68". Allturi de el in stinga este numdrul

0,3746" Acesta este cos68". ObservSm cX cos68":cos(90"-
-22S"X'):sgdinsir2n2oc.oIsaOrBsoinlB2'.2Co ?dieutadsmemrienndeualeustnedeegeasl tceu608,3".74N6e.

94

9S

43. nDErdT[TATH[-E TRIGONOME,TRECE :1, avem

FLIiNDAI}&ENT,4H.E sin s,: i/t-I cosz a : 1V/t--1--;V- /\tr"l )"::!^1n"q '

Vom denionstra urmdtoarele identitS{i: tga': sin d 12
:
sin2.,*cos2cx,: l, l+tgea: ** , 1++r, :*,o' __-o
cosd
5

Ludm un triungh'r drcptunghic arbitlar ABC cu unghiuf 44" VAIORII,E SThIUSUE.EJ[, CCISEN{-ISULE.IT

de la virful .1, egal cu c (fig. ttr7)" Conform teorernei luff $[ TANGE,N"TE[ {-JNOR {-iNGFHE[JR[

Pitagora Teor erna 7.3. Pentrw ofiee uwglti asewfit u
sin (90'-cu) : cos fir cos (90'-o.) : sin G'
EC2 + AC2: AB2.

Impdrfim ambele pdr{i ale egaliti{ii la A82. Otr{inem: Demonstra{ie. Fie AEC un triunghi dreptunghic
asculit o cle la virful ,4 (fig. 118). Atunci unghiul aseu{i!
\I'ABBC)lz-,\;l,BA/C\z-'_",
de {a virfui B este egal cu 90o--o" Conform defini{iei

.ll.lS8aC----:Slil 0, AC : COS 0. /\lafiar, $.lfl d, -- _tD-)u,ar rncr n--- ,4L

-rrfi sin(90'*o) : #, Ats

sin2o*cos2cl:1. cos -. - -rr;l\^u:.

Aceastd egalitate este o identitate. Ea este aderrlrati pe* i'9U"--c) /tts

tru orice unghi ascufit o. Din egalitd{iie a doua qi a treia ob}inem:

Pentru a obline identitatea a Coua, impirftm ambele sin {90'-o} : cos c{.

pdr{i ale identitifii ob}inute 1a cos2ry. Obfinem: Din prirna gi cea de-a paira egalitate oi:{inem

csoinsS2a41:-lcos-2asau 1+1" 924c:o-s-2!a-. cos (90"*-u) : sin o.

Daci impdrf im la sin2o ambele p5r{i ale identitdf ii Teorema e demonstraiS.
sin2o*coszo.: I ob{inem a treia identitate:
SI grisirn sinusul, casinusul qi tangenta unghiului cle 45o-
rt' - 1 - 1 " Pentru aceasta construim un triungtri dreptunghic cu un
1* unghi ascu.{it de 45o (fig. 119)' Al doilea unghi ascutit e$te
titt'. de asemenea de 45o, de aceea triunghiul este isoscel, Fie ea"

trmportan{a acestor identitXfi consti iir faptui cX eie ne

permit, cunoscind una din valoriie sin c'

cos 0 sau tg o, sI glsim Pe ceieiaite

dou5"

Froblemi (a7). Calcula{i valorile

Fie. 117 sin u gi tg o, dacii *o, o: f. ' Fig. 118

R e z o I v a r e. Deoarece $in2*'*eos2m: Comanda l'{! 7

s7

96

tetele triunghiului egale cu o. Conform semiplan {fig. 121). Prin punctul

teorernei lui Fitagora ipotenuza este B ducem o dreaptd perpendicu-
a/[ Gasimr
,lard pe AB. Ea intersecteazX la-
--z-'s!n45oa:.trq/ 2 -- l- 'a/6
turile unghiuritror noastre in ptln-
{f ctele C Ei D. Deoarece ffi($,
punctul C e situat intre I gi #.
Fig. 120 cos450- u1f, {T -t-" A
De aceea EC<ED. Deci in confor-
: i-tg 45"a =-- 1" Fie. tzt
mitate cu proprietatea oblicelor du-

se din acelagi punct la o dreaptS,

AC<AD. Deoarece

Sd gdsim sinusul, casinusul qi tengenta unghiuiui de 30o- avem cos o)cos Bc,"oa'-sd-oic-ljA9la.Ccr'egc*t-oe"rse"oa--u-ln.BAgD"h' iului cosinusul

Luirn un triunghi echilateral ABC (fig. 120). Ducem in eI descregte.
rnediana 40. Ea este bisectoare Ei ?nil{irne. De aceea tri-
unghiul .ztrBD este dreptunghic cu unghiui ascufit de la Deoarece r;n *:y1-cofc, iar cos o descnegte la cregte-
virful A de 30"" Fie a latura triunghiului echilateral. Atunci
rea unghiului, atunci sin iE cregte.

Bl]:{-. Conform teoremei lui Fitagora Deoarece tgc,: #tt sinc cregte, iar coso descreEte
2
An:{Taz-sffi : V{;:W : "{' . la creEterea lui o, tg o cregte la cregterea lui o. Teorema e

demonstrati.

^Deci, 46. E NEGAI.NT'ATE,A TRI[.JNGTI[ [-J["UI

Sin3go: -24 , o*- 2! ', cos3go: "V2g ,*:,{?_n Dacd punctele A gi I sint diferite, distanfa dintre ele se
2 numeqte lungimea segmentului AB. Dacd punctele A 9i I

tf30': rly. coincid distanfa dintre ele se acceptd egal5 cu zero.
Se numegte inegalitate a triunghiulaf proprietatea distan'
In conforrnitatd cu teoreina 7.3.
felor dintre trei puncte care se exprim[ prin urmdtoarea
sin 60o:cos 3CI': 4; cos 60o:sin a0": *;
tg 6o': *#: : {S . teoremd.

45. V,&RflATfiA Sfru'cr, CG$ o, "flG a LA CXRE$TEREA T e o r e m a 7.,5. 0fiaarc ar [i. trci puncte distanla dintrc
o&rec&re doud din aeeste pwnete &u e mai marc decit swma
{JNGSHEU{-UI d.istan{elor de la ete p?nd Ia cet de-al treil.ea punet,

Teor ema 7.4. !.w aregterea wngfutalui ascw$it sfno gi Demonstraf ie. Fie A, B, C trei puncte date. Daci

fg'<l cresc, {ar eos a deseregte" doui puncte din trei sau toate cele trei puircte coincid,

Dernonstra{ie. Fie e qi B unghiuri ascu{ite gi c(p. afirmafia teoremei este evidenth. Dacd toate punctele stnt

Depunern unghiurile c Ai p de Ia semidreapta AB tn acelagi diferite qi aparfin unei drepte, unul din ele e situat intre

9S celelalte doud, de exemplu B. In acest caz AB*BC:AC"
De aici este evident ci fiecare din trei distanfe nu e rnai

rnare decit suma celorlalte douE.