{ *r\_"-ftr\ ddeincidtopuedr-poebtnridceicuelamraa.i Oblicele egale au proiee{ii ega19,
mare acea oblic[ care are proiec{ie
AD-S
mai mare.
?. Da{i definifia sinusului qi tangentei unui unghi ascu{ii.
Demonsiraii eI eie depind nu-mai de mlsura fn grade
a unghiului"
E" Cum-se exprir"nd o catetd a triunghiului dreptunghic prin
ipotenuz[ ii un unghi ascufit, printr-un tlnghi ascu{it
Ei cealalt5 catet6?
Fig. 122 Fig. mB $. Explicafi cum se gisegte din tabld vaioarea sinusului
unlhiului dat. Cum se gisesc din tabie valorile cosi'
uefdmAadcduA1isninrrucniai2eeBtcegeeemgmR2ppuOdC<Ahalht)oldfe.esaAsboidei.deuic.cttaesrnmer?rCsailamziugencufcnneoib+am:ritiuoefCnievrntietBltnmmAeesdmerdDulsiueCtvenmBuaemanm-gatpcn.aim<auuaaeeemtcicldraOTrnoiuliumeotdeIneania,crrro,4cn(ttsaemeiAuer7an+dcrtaie(anoc.rza0BkfepmmicrumiAii)tclm,gtiaata.li,rm,napcBtii.Duotcn.cczeuiea4n:ioineeutdrndnr28d2igiegmdscledid.eaihAgotat?cceomwrdeDie)cliuialitBn.ednaeetoor9a;ts.iucoadpIen<;itnttiianirorn"etas''daanurAdpt;taeJdteav{r;gauivciaincarefiac<neetiiii*umpcrr,'ima.csi"etzBieaDunt.tcaeeecrtfttce+"oi{toerleeerie-s.nruAenpaiuintBcadnctrnrDuegreiiiirDnouucanng<eitmtlcaeenr.AeecitaoriuOgaesoCep.ipatdtnttanarreraE,rarguiilttndrnemigBrere.fdtudurpaflDg,Jii,us'ltniiaaeietr<tOaa;iramlrpdiBudtnc(itca*ea;nfrieCtici"crrifarerga--;"eui--..ii. 10. nEuxspulilcuai {Ei ictuamn*gscentgcdiscugnt"gehdiuilnuitadbalt5? unghiul dacd este dat
sinusul, cosinusul sau tangenta Iui.
{tr. Demonstra{i identitlfile: sin2o.*cos2s: l;
!1
1*tgzor: -].C OS'ct t -t+tr_- tg 2o sitl2 a
X2. Demonstrali cX pentru orice unghi as'cufit c:
sin (90"*a) : cos o' cos (90o-c) : sin cl'
X$" Cu ce sint egale valorile sinusului, cosinusului 9i tan-
gentei unghiurilor de 30o, 45", 60o?
[4. Demonsirafi ce sin s gi tg o cresc la cregterea unghiului
ascufit, iar cos o descregte,
ilS. Demonstra{i,,ineg alitatea triunghiului".
[6. Demonstrati cii in iriunghi fiecare laturh e mai micl
dectt suma celorlalte doud laturi.
TNTREtsARI PEFITRTJ REPETARE EXERCITTn
l;t. !. Construifi un unghi, cosinusul cdruia este egal cu +.
oa" c) Construi{i Lln unghi, cosinusul c[ruia este egal cu:
a l) *; 2) 0,5; 3) 0,8.
4.
dt. Doui laturi ale unui triunghi dreptu.nghic sint egaie
t cu 3 m gi 4 m. Afla{i cea de-a treia laturd" (DouE so-
6. luiii.)
Dali. defini{ia cosinusului unui unghi ascuf it al triun_ A Aflafi latura unui romb dacl diagonalele lr'li sfnt egale
ghiului dreptunghic"
Llemonstra{i cd cu: l) 6 cm 9i E cm;2) 16 dm gi 30 drn; 5) 5 m qi 12 m.
mlsura in grade caosuinnguhsuiul.luui.n-gh'-i'u.'l-ui depinde numai de
5. Laturile unui dreptunghi sint egale cu 60 crn gi 91 crn-
eIl--irememmaooi nnnssrattrrraaef{iidtccecoIirteinrontrraic_eulunci apt.rittiuaengt-oi".gr"ah.i d-re-rp-tunghic ipotenuza Cu ce este egald diagonala?
tDDdeemmpoeonrnpsstetrnanadtliiicccudiladrcaaocs9driyAc<iuitttei-pvaue""n-iJrpuuuroi,.ir..,ici?"ei"iu,t,n.ogu'uh;i"easmc;ua' {r;irtm;c;a. rpe_
6. Diagonala unui pltrat este egald cu a. Cu ce este ega[5
100
Tatura pdtratului?
10t
7. Dinir-c iabl5 de ciiuerlactuuradija"mie*terul de 1',4 in-- ip'o--a"te' o' are 23. .Aftafi inXl{irnile triunghiului care are laturile de l3 crn;
rrn pltrat i4 cm gi X5 crn.
8_" tj ililt
gUiai rccaprttrecottraaccaariaduoncuuai i.pieriuipnog*hteindr-l.eczpi't-u."r'r-glsric"re.stnerrerg'1arl'XirociuurSi*rmun
?4" FcrimetruL unui triunglii iscscel este egal cu 64 cm, iar
latura lni lateralS e cu I i cm naai rnare dectt haza.
A.fia{i in5ifirnea coborii5 pe latura
S" .4{3iGiltlei^nttigo;cr,a6pt4eeineill.lreor. ucnnuuz;.jtrsiuinnt"gchgiatlt;rr;c;p;tuiiirghIic"<;;iaci proiec- 25" fJ e cq-lsH o ohlicd laterai5. a. Demon-
l) Din punctill
[0. i'6";*, la dreapta
EI. straii cI elln punctul E ia d.reapta a paate fi dus6 incd
o obircl de aceeagi lungime.
Sint dld-a)ate-ir{lsrse+eggbmr-ne,entnZet\leel1esWag,*ig6&i2.,bC.au>Cmbu.rsne construiesc segmen_ 2) Dintr-un punct dat pot fi oare duse la o dreapiS trei
fSe"inlet, se construiegte seg_ obiice de lungime egald? Argumenta{i rispunsr-ln.
Un utrniugrhlgiuhliuidroepputsunegshieic.-ler';eai o catetd de I cnr, iar sinu-
2S, sul ipotenuza qi
cu 0,8. Aftafi
nlettu,i c:l/ttb.
I2. mIcnfanlaSe.tiatdrn.eiaupritled{uiconrcsnnrtt-releiuuai'ice.ti:rgr'iaceanrliBsrlircnnaurirteeE!r0iue4zamin*"meiiaaoetr"esctlreiai'appirnea-stte"*tiali.cnrlaiui.ri'.tatt*irnciniu-ujiiiril';."aur,ci*"n'"iulgtrf.dfi*-ie- cateta a doua.
27. Aflafi raza circumferin{ei fnscrise intr-un triunghi isos-
cel cu baza a gi latura lateralS b.
2E. Afla{i raza cincumferin{ei inscrise r Si raza circumfe-
rin{ei circumscrise R pentru un triunghi isoscel cu baza
,;;i;d s. de 10 cm gi laf.ura laterali de l3 cm.
i4.
l5'
I6.
! 7.
u*.
rtar-zaatuq'i-lierc.uumnrfrr.i.rrinrtrceipctirrncguhrni sscrrnistee"gare cu a gi 6. AfraJl- 29" lmtr-un triunghi dreptunghic ipoternuza este egald cu a,
iar un unghi ascu{it crx o,. Aflaf i al doilea unghi as-
f:AciA{Ilrtsirnnnaard4TonIlzttrrsirrrerucaa-cl--b-aulioeuax{1acnli.,tzn"ircr,auarslc1tiaat:rp,ue-1nrct?eimubuiuu.uzraarpdnamfnuaez.egpglcraurfr,hoeli;lanrlr.oir6irci-t{tsieeensugoirccsi'{maisirrceictrnlcfrsaiseaerh.ccttaersulAeetiBtenrblfesda!rl:ataereaeiaz1.nrlii8'atei5esuc4ctl.icgcuerniacrraaEricmsrsalautl?llI.altilmlnunuictltebrru'steaerc:aafdgrbair-rascre-eloaceperbitnrusucao"tnneutrlAiuig-tdiihfi;tnlie0iapi;i"irIeii{'tauIi*iiiZ'mn'tn"ibiurn6regirc"dzairhail9en_e.ii,. cufit -
9i catetele.
30" lntr-un trie-rnghi dreptunghic o catetl este egalS ctt dr
iar unghiul opus ei este a. Afra{i al doilea unghi asc.ufit,
cateta opusd lui gi ipotenuza.
31. Intr-un tarisucnug{iht icd. rAcpftiau{nigchaitceteslien,tpdroaiteecfipiiloetelnowrzpaecipotr-i
unghiul
$2" tle)nuFzoSlo9siinindStlaiimbleelae,cogb6osri{it[d: pe ipotenuzd. sin 22"38',
sin 22"; sin 22o36',
sin 22"r[1"; cos 68", cos 68o18', cos 6Bo20', cos 68"23'.
2) Gisi{i unghiul x, daci sinr:0,2840; sin x:A,2844;
x:cos C!,2710.
19. nratr-un. trapez isosccl latura llaintiearamleideies_ie egali cu S3. gGhdiusir{iilodr idnet;alb) le16v"a; t2ro)r2ile4"s3i6n'u;3s\u7luAi %9i2'c;4osi i8n8u"s49u"l.ui un-
*- cu ,10 crn, iar
4l cm, inlitimea ofr aT..n.
Afla{i irazeie. 34. GIsi{i d.xri:n:00t,a,00b61l7e70.5v;alo2ajresainurn:g0h,i5u0lu1i 5a;sc3u{)it x, dac5:
2{}" A?I-Qfarta.u*iir,ibicaizalaar.t"eiir-ariliefi.maelac cuon"buoi .rtirtliupn.g'bhui rsAin*trdt.ed3_0Zcf'rcn,mE.i cos.r:0,6814;
l) sin
9[" Laturi]e unui triunghi s?nt 4 ) cos i)
unghiului coborith pe iatura Gisiti din table valoarea tangentei
c, b, c. Aflali fniiiimea tri_ -$5. ungtriului de: 10';
2j 4A"4A'; 3) 50'30"; 4, 70"15'.
c.
2,2. 2eTg5-aaltcSttrrnicl.euA:lafit)taei2rlab.liencmd_la;filr2en)euanniutcrimiu{.rniugnhgiuhiui iscinotbodreitdBp0*c--mtu"g,i Gdsi{i din table ungl.riul ascuf it x, daci: I ) tg x:
36.
:0,3227; 2) tg x:0,7846; 3) tg x:6,1fr2; a) tg x:9,254.
37" Innl{imea unui triunghi isoscel este egal5 cu 12,4 m, iar
baza-- cu 40,6 m. Afla{i unghiurile triungiriului gi la-
+ Uneoli intr-un tura laterali.
Iatura dusl orizonial triunghi arbitrar care nu este neaphrat isoscet
laturi laterale ca gi fn Isiie{J,Unutenllrlcalt0eat.a.b. aza, iar &8. Raportut catetelor unui triunghi dreptr-rnghic este egal
celclalte doui se numes" cu l9 : 28. Afla{i unghiurile lui.
102 103
ggr" Laturile unui dreptunghi sint egale cu 12,,{ gi 26. Aflaii 2) sin cr: 4 : 3) sin c:0,5; ,1) tg o: 3 5) tgu:0,7.
ui-rghiul dintre diagonale. t
40. Dia6lonaletre unrli rcmb sint egaie cu ,1,73 qi 2,94. Ailafi littJ. lntr-un triuirghi drcplrrngliic cu, ipotenuza a gi unghiul'
de 60' afia{i rcaatetcaircoucmllrfleraicne(seiiuii{nusncgrihsie.
unghiurile 1ui. li1" A{tra{i raza intr-un triurrghi
41. Latura unui romb es're de 241 rit, inil{irnea de 12S m.
I Afla{i unghiuiiie. eclrilateral cu latura a tri raza R a circumferin{ei cir-
cumscrise aceslui triunghi.
42" Raza unei circumferin{e esie egaiii cu 5 r"n. Dintr-un ll2. Tntr-r-in trininghi unghiul mai n-lare de la bazii este ega$
pIaunccitr,cdrrempfcirrtiarit{5d.eAcfelant{ri"n cu 13 m, tsainngtedr,ui.seelort'anggienutne-
lunginrile cu 45o, iar in5lfirnea ?mparte baza in pdrfi de 20 cm gi
21 orn. Afla{i latura latera16 rnai mare.
ghiul dintre eie. 53. lntr-un tt:iunghi una din laturi este egall cu tr m, iar
Umbra unui stilp
4S. ivnergtircaadlecuinidnlijlilmimeeaasdoear7elmui constituie unghiurile alSiurate ei sint egale cu 30" gi 45". Afla{i
4 m. Exprima{i deasupra
orizontului. celelalie laturi ale triunghiului.
54" Diagoirala unui drcptunghi e tle doui ori mai mare de-
44. Ea_za unui triunghi dreptunghic isoscel esie egal.i cu c. cit una din laturile lui. Afla{i unghiurile dintre diago-
Aflafi iatura lateral5.
45. Aflali latunile gi unghiurile ascufite necunoseute ale unui nale.
triunghi dreptungtric dupl urmdtoareie date:
1) dupn dbo:u45,cbat)etce::9, 55. Diagonalele unui rornb sint egale cu a 9i a/{. Aftrafi
a) a:3, ungiriurile rombului.
$6. Care unghi este mai mare: o sau p, daci:
b.:4{t;
c) a:28, b:21; d) a:1.1, b:60;
2) dccu::p1\d37,,ips&o:t,e8-5n;;uzdbi))9cei ::o82c55a,,teaatS::8:74;; 1) sln o.: *, sinp:-f;2j st"n2a3 - _-_q slnrH.l - _.
aJ
drI
c)
iwp:o2t0eon;uzbl)9ci :u4n, 3') cos n: a" cosp:-f; 4) cos c:0,75" cos $ :4,74;
3 dupd unghi ascu{it:
a s:50o20,; 7'
c c:2,
c:8, 0:7CIo36'; d) c:16, 64:76"21t; 5) tg a:2,7, t"g 0:2,5; 6) tg a: o tsF: 5?
2
4 ddu:p3i,o@ca-3te0td"297i';ubng)haiu:l5o,pucs,::40048'; T,
a
67" In triunghiul dreptunghic AEC unghiul .4 e mai mare
e) o:7, o.:60o35'; d\ a:9, o:68o. decit unghiul E. Care catetd e mai rnare: AC sau EC?
sE" In tniunghiul dreptr-rnghic .46O cateta 8C e mai mare
46" Aduce{i Ia forrna eea mai siniptrd expresiile: decit cateta .,4C. Care unghi e mai mare: A sau E?
(tr*cos
l) tr-sin2o; 2) o) (t *cos o); 3) 1*sin2o-li 59. LIn triureghi isoscel ane laturile egale cu 3 m gi 7 m.
* cos2o;
4) sincr-sin o coszo; 5) sinao*-cos4d-F2 sineq cos2 cr; Care din ele este bazk?
6) tgzo-sin2o tg?o; 7) cos2c*tgzcr, cos2o;
60" Demonstna{i ci distan{a dintre onicane doul puncte
luate pe laturile unui triunghi nu e mai mare decit cea
8) tg'?o(2 cos:s*sinzc,-t); e) I -l?:i:1s1" " ,mai mare clin latunile trui"
6I. Demonstrafi ci pumctetre A, E" C apar{in unei dnepte,
47. Calcula{i valorile sin c* gi tg o, daeX: daci:
c') cos *: 1-13'; 2) cos *: 1157,'-S'--) cos 0:0,6. l:j AB:5 m, EC:7 rn, AC: tr2 m; 2\ AE:1.A,7, BC:,
48. Afla{i cos,c Ai tg c, clacS: I7,n, AC:6,4.
1) sin *: *t 2) sin *: #, 3) sin er:0"8. S2. fnin-un panatrelognam cu laturitre de 4 cm qi 7 cm poate
fi oare o diagonaXd egal6 cu 2 cm?
63, ttarn*tr-ucmu tniunghi o laiurfi este egald cu 1,9 rn, iar al-
0,7 m" Afla{i latura a tneia, gtiind cd lungimea
49. Construili unghiul c, dacE se gtie c5: I ) A ei este egal5 cu un numdr intreg de metri.
cos t1:Ti
I
104 105
64. Dernonstra{i cd mediana triunghiului AEC dush din vir- $ 8. CCIORmONATE CARTEZEENE pE p[-AN
65.
bfuelmAonesntreaa{iimcieIXsduemcait isnedml!iisrur-mrialoriautunruiliotrriAunEg9hiiAeC'rnai /T7" INTROD{-JCERE,4 COORMGNATELOR PE PE-AN
66. DrSne"icnXlitoid.nescctridat {p-ideicarigitnoesntuarmulellaeltlliuu. nnguiinpiiaiotrrullaotreresme ainitenrTsieccdterJatzckit'
perimetrul,'insl e mai maie decil semiperimetrtll patn"u- Prin punctul O ducem pe plan dou5 drepie perpendicu-
lare x Ei g- axele de coardanate (Iig. iza). Axa r (de obi-
ocredi.oonriaztoenlotra.lSF)usnectnuul rdneegin#tearxsaeca{biescOts*etaar,rigiainreaaxacaVo-rdoanxse-
67. laterului" ltie ci segmen- irnparte fiecare axd in doui serniaxe. Convenim
tneulomr i-nr sI
tSdeiislnetta,nd4{a8etleo9rpf adCetrOulaipeucnaicrnettee'p.rsiAnecd,teBlaa,zCdpu.,nAqc.tte,tSaXe{qi A,p,nE"P,uCnc, tD^sueinsate una din el,e semiaxd pozitiad, notind-o printn-o
s5-
68. cea mai mich. triunghi poi fi oare proportionale cu nu- geat5, iar pe cealaltl a- l semiaxd. negatiud. fn coresponden{b
I-aturiie unui
rmnDn"eiecmmrdeo"lednnses1tcrt,aii2tuf,siiie3m?c"dei^poeinrriitctnre-eutcrnuola.trrdiu5naghciircf uiemcfaerr.einl{aeit.unrui Fiecdrui punct A planului ii punem
69. rnare decit' diametrul gi este egali cu diarnetrul e rnai o poerdreocnhaetade(.niluminerceo-nfocrarnoirtaantesteclue punctul#r* airscisa (x)
70. gi
e mai urmdtoarea regulS.
nurnai Frin punctul ,4 ducem o dreaptd paraleld iu axa ordo-
natelor (fig. 125i. Ea intersecteazd axa abscid6lor .r intr-un
71. alntunincit,ecritonnduclauinnes5i 9ciirecsiltme fdeiarmine{teru,d. e raz6' R e luat un oarecare Ar. Absctsd a punctuiui A vorn nu,rni numdruX r
valoarea absoluti a ciruia este egald cu distanla de {a
punct la dmisictadn{'daisrttradne{liadceenlatrua' cAefslat fpiucnecat mlaaipmunacreiel9ei punctul A h 4,. Acest nurnEr este pozii,iv dacd /n aparfine
iea rnai
semiaxei pozitive, negatirr daci, A* apar{ine serniaxei nega-
circumlerinlei. de razd R e luat un punct tive. DacI punctul ,4 aparfine axei ordonatelor y, conside-
72" cincumferinfe
in afara unei
mlaadi irsntiacn5{'daisdt.adnetdladecetrantaruce' sAtftpruan{icct eiaa mpuanicmtealereci-r9ciurcne"a
rdm cI x este egai cu zero.
Crdonata (il a punctului A se definegte ?n n-lod ana-
ferin{ei. {og. Frin punctul A ducem o dreaptd paraleld ci.t axa absci"
73. si se idntisetrasenc{atezdeec2ir0cucmmfe, riian{relreazceel'netrseilnet c5'
boi &uiu selor x {vezi fig. 125). Ea intersecteazi axa ordonateiqr y
rora se afiil la de
8 cm gi I I cm? A'rgumenta{i rlspun-sul. cq' intr-un punci oarecare Ao. Ordonald a punctului A vom numi
rPoorLaosireeasfhidsleaindi-iesrtsaenctteazedecir5cucrnmfc, riina{relrea,zceelcntrseilnet
74. de numdrul g, valoarea absolutd a cdruia este egall cu distan*
6nucnmtogisi tl2rr{cimc?i Argumentali rEspunsul. {a de la punctu{ O la Ar" Acest nurn5r este pozitiv, daci
in" problema 75 circurnferinlele sint si' "s{eornaiapxaeri{inncegasteivrnei.aDxeaicpIcpzuitnivcet"ulnAegaaptaivrJ, indeacaixeAi ,abaspcaisre{ilnoer
75" tuate una fn afara celeilalte, iar in problema 74
circurn'
i;.i;j;clr raza de 6 cm e situatd in'interiorui circumfe- ;r, considerim cd y este ep;al cu z,ero"
rlnfei cu raza de 12 cm.
76. Eij"i iRe*ug.i*cusddissetainnftaersdeincttreezececnirtcreumdf,edriancfedleRrc*uRrza(zdet?re Rr
Fig. 124 Fig. i25 Fig. 126
r06 rw
Coordoilatele uirui purrct se scriu in paranteze aldtilri 48. COGRDOI'{ATEI-E
de notaf ia literalS a punctului, de exemplu: A(x, y) (pe pri-
mul ioc -- abscisa, pe al doilea [rV{lJ [-OC[.J [-{.J[ {-,iN&".1 SEG&nENT
Axele de coordonate inipar't pI-nlaonlirurdnloiitnnealpetaa)ut.rnuupi 6crali.d-rahcascelrma*- punFciteeAa(rxb6itrUatr)eEgi Bi C(x{rx, ,gyr)) dau,a
ne"-tr, II, I{1, IV (fig. 126). mij-
neie ambclor coordonate se phstreazh 9i au vaiorile indi- locul segmentului A8. Se aflim
cate in figur5. coordonateie x gi y ale punctului
Punctele axei x (axei absciselor) au ordonatele egale
cu zefo (y:0), iar punctele axei g (axei ordonatelor)'au C. Sh considerim la inceput ca-
zul cind segmentul ,48 nu e pa-
abscisele egale cu r.era {x:0). Originea coordonatelor are Fig. 127
abscisa gi ordonata egale cu zero. raiel cu axa A, adicia xr*x2. Prin
punctele A, B, C ducem drepte paralele cu axa g (Iig. l27l.
Flanul pe care sint introduse coordonatele x gi g in mo- Ele intersecteazd axa x in pr.lnctele Ar(xr" 0), B, (xr, 0),
dul descris mai su-s se numegte plan xg, Un punct arbitran
Ct(.r, 0). Conform teoremei lui Tales punctul Cr este mijlo-
pe acest plan cu coordonatele x gi g uneori va fi irotat
cul segmentului ArBr.
simplu (r, a).
Coordonatele x, g introduse pe plan se numesc coord,o- Deoarege punctul Cr este mijlocul segmentului ArBr"
avem.ArCr:BtCtgi
nate carteziene dupk numele savantului lrancez R. Decartes dsoeucixlx-x-xt:r-l(:rls*xcr-)x.zl. De aici rezulte
gd sau x-xt-x-fz Frima egalitate
(1596-1650) care pentru prirna dati le-a foiosit in cerce-
tdrile sale. e imposibili, deoarece J(r*xz. De aceea e adeviratl egali-
F rob I em I (9). Sint date punctele,4(-3, 2) 9i B(4, t). tatea a doua, Dar din ea se ob{ine formula
Denronstra{i cE segmentul ,48 intersecteaz/a axa g, dar nu
x: x-,:r-F_x." .
intersec'Leazh axa x. Daci rr:x2, adic| segmentul ,48 este paralel ctJ axa U,
li e z o 1v a r e. A:;a g irnparLe planul xg in daud sernipla- toate cele trei puncte Ar, 8,, Cr au una 9i aceeagi abscisd.
ne. Intr-un semiplan absciselc punctetror sint pozitive, iar Deci formula rdmine adeviratl gi in acest caz.
in celilalt o-punseegaptuivnec.teDleeozatrreqcieAabssincitscslietupautencitnetroser mAipglaineE
Ordonata punctului C se afli in mod analog. Prin puncte-
au semne 'le A, B, C se duc drepte paralele cu axa x. Se ob{ine for-
diferite. Aceasta inseamnd cd segmentur AE intersecteazl mula
axa a.
v,+ v.
Axa x, de asemenea fmparte planul xg in doub semipla- t2\l '^-:----:-:
tinrnaeg.cieIsnldetrlm-aulnt.n-(ssineneiltgiippaltoaivzneit"iovCred)rod. noDanetaectleei lpeturrpnucuntncetcleetleolArors:irinti tfgrpios6zeftaiavufeld,aciafenr-
acelagi semiptran. Frin ururare, segmentul AB nu se inter- -
secteazd cu axa .v. Problemd (17). Sint date trei virfuri ale paralelogra-
ntului ABCD: A (1, 0) , B(2,3), C{9, 2). Aflaf i coordonatele
celui de-al pairulea virf O gi coordonatele punctului de irr-
fcrsec]ie a diagonalelor.
Rezolvare. Punciul de intersec{ie a diagonalelor es-
[r: mijlocul fiecdreia din ele. De aceea el este mijlocul seg-
rnentrrlui AC 9i di:ci are coordonatele
ss-1J3- 20 y:9:€:1.
I08 109
Acum ;tiincl coordonatere princturui de iniersec{ie a diago- so. ECUATIA eERCUft{FHRIF{Tnil
nalelor, aflsm ccol"rLlonatele
x, g ale virlului al patrui*u"p,
Foiosind faptul cd punctul de intersec{ie a diagonareror este
mijlocul segmentuhli ED avenr Se numegte ecua{ie s unet figuri pe plan in eoordonate
carteziene o ecuafle cu doui variabiic :r gi g care este sa-
2+x * tisfbcuid de coondonatele oricXrui punct al figurii. $i re-
2-1
z ciproc, or{cane doud numere care satisfac aceast5 ecua{ie
De aici x:2, !/:*1.
sint coordcnatele unui punct oarecare al figurii.
49. DTS'H'AINTA ENNTRE P[,JNCTE Sd campunem ecw*{ta circumferin{ei cu t,enlrul tn punctul
Fie date pe planul "ry dou6 pa:ncte: ,4r cu coordonatele Ao(a, b) si raza R (f ig" 1*9). Luim un punct ari:itrar
Kv Ar Qi A2 cu ccordonatele x2" Vz. Sd exprimdm distanla A{,x, il pe circuinferirr}X. Distan{a de !a el pfni la centrul
FCirninStreippucunoncnctseteildeleeArAirmrggilai rA4?22ndpcuericpneumtcacdoarrzedupoltnecaitpneadleraxaletc*elexstzcoruipiauxngecrlte+e.g-dre. do este egald cu 1{. Fitratul clistairfei de na punctutr A la Ao
coordonate gi notim prin A punctul lor de interseclie (fig. este egal cu (x-a)2 * (U*h)t. Frin urmare, coorclonatele
x, g ale fiec5rui punct A al circumferin{ei satisfac ecuadia
Ai1a2pr8-ld)ic.isiDntaidsnttafraniuiadnigndhtinrieutrleupiupnducnrteceptleetlueAnAgghgicAAA2lAeesAstteze eeteggoaarlldel m"c"ua'1Iiu'-g*i,,|gp_i)ii1uil,".
(x-a)'* (A-b)': R2. (*)
gora, obfinem:
Reciproc: orice pulnct .4 coordonatele c5ruia satisfac
ecua{ia {*) aparfine circurnferinfei, cieoarece distan{a de ia
el pini la punctul Ao este egald cu R. De aici rezulti cI
ecuafia (*) intr-adevhr este ecuafia circumferintei cu centrui
6z: (x,-xz)2 * {!/r_az)2, (*) "rtr6 9i raza ft.
Men{icnim cd dacd centru al circurnferintei este origi.
d fiind distan{a dintre punctele At si Az. nea coordonatelor, ecua{ia circumferin{ei are forma:
pentru distanfa dintre
. P.Ei forn-rula (*) puncte a fost x2 + y?: Rz.
rdCva,Xtie*unxdrnauzfctos,IiirdErAdnieteui:nUslnatozec.ie(e*lpDeg)rlea.aasllctfuecInpurucrnma:lxUizno2u,d_d.r,ig.acr!{k/fnnta:t.xr9l-tAoa2*gcxdezpeslua,ve5ngAcric,tton*eAdenlezaszuic,.d,li4teearxartgdtr:isdxceArzanzo,zibnucA{eoiinri*ncaeAidc"negizdd_,i P r otr I e m i (33). Care este condi{ia pentnu r:a circurn-
ferin{ele cu razele a qi b gi distan{a dintre ,cr:ntre c sI se in-
lersectez e?
Itezcivane. Fie O gi At centrele circurnferinfelor"
Consider5rn pr:nctuX 0 dreL.t criginea sistemului cartezian
de ccordonaie" iar semidreapta CAr
gi din formula (*) ob{inem d:0. tivk x. Ecua{iile cir"cumlerin{elor - drepi serniaxl pozi-
trrobl ernd {27). GIsifi pe sini:
axa x un punct de
egal depdrtat x2+ A2 :s2, {x-c)' + y':&2. (t:*)
punctele (1,2) 9i (2, g).
DacI circumieriniele se inter-
Rczolvare. Fie (x,0) punctul
D(cpxiieun-tllaal)itac,. i+pEgu(gni0sac-itlZreinnl)ed: zxdd:a:is4t(etxa.,-no2fDb)efe,ilnec+ei,md{pe0: u-nl.acgi)u2ell secicazl, coordor:a{t{l .r, y alc
punctului de intersecf ie satisf ac
Fig. 128 cSuLat este (4, 0). ambele ecua{ii (**}. $i reciproc,
ciacd sistemul de ecua{ii (**i are
il0 so!ufie, adicd existi x gi A ca:e Fig. 199
llt
sa'iisfac ambele ecua{ii aceste numere sint coordonatele pun- b+c<a
ctului de intersecfie a circumferin{elor. NumErul punctelor
de intersec{ie dacd circumferin{ele se intersecteazd este egal
cu numlrul solufiiloi: sistemului.
Si rezolvdm sistemul de ecua{ii (**). Pentru aceasta
mai intii scddem ecua{iile prarte cu parle" Ob{inern: 2cx-c2:
:sz-fi2. De aici x- a2+-c2-b2'. Substituind aceastd va.[oa- Flg.132
2c
re a lui x in prima ecua'gie, ob(inem:
I a2+c2_b2 \2 dreapti a egalitS$ii e poziiivd gi, prin urmare, sistemul ($'*)
(- f-)1Y2:a2' are solutii. $i solu{ii de acestca vor fi dou5. Circr:mferin-
De aici fele se intersecteazl respectiv in dor.rl puncie (fig. 130).
Dacd cel putin unul din factorii a-Fc-b, a+b**c, b+
*c.z ( a'+ c''-bz \2
*c-a este egal cu zero sisternui (**) are o singurl so-
).
\ z'-!2 : 1u{ie. Circumferin{ele sint tangente (fig, 131}.
Scritem partea clreaptd a egalitifii ca rtiferenfa pitratefor. Dacd unul din lactorii din partea dreapti este negativ
Cbtinem: sistemul {*o) nu are solufii gi circumferin{ele nu se inter-
secteazl (fig. 132). Doi factori nu pot fi negativi, deoarece
l^, a2-Fc2--b2 \/^. a21..2--b2 \
surra ior ar fi ncgativd. trar ea este vidit pozitivX. De
\"* * )\'-- 2,')-- exemplu, dacl c+'r--& <0 gi 67:, b-c.i0 suma lor este
I (a-l c-b) (a+'b*"e):2c{0. Aceasia insl e iiaposiirii. La
: (Zac + az + c2- b2) {2ac*a2* s, -l b,) :
-4r; fel va fi 9i fn celelaite cazuri.
Aqadar, ria.efi wnul tlin nurnerete a, bn e este rn:ri rnnre
I fto* ')'* n'll"-'o*')'l:
d"eait sum.q. te{or{.sfte dawd., eircwm,ferinfete !?c.s se irutersec-
4c2 teazd:.; dae,i wnui rfin aeeste fi$sft.ere este eg*l aw 6uinn& ee-
:- 1 (a-lh+cl (a+ c-b) (b * a-c) (b--a-V c) - !or{atte ciawd, eire umf erinf ef-e sint f.*ngesate; dacd {ierarc
4r2
dun aaeste nanneFe este mai rnia decit sunea celartatte dowd,
Agadar,
eEreum.ferirc{ete se f nte'r'seetes.eii tn doui| panete"
: - *y", 4 ^4cz @ t- 0 + c)(a + c- b)(a+ b c)(b c -a'y.
sx. flcUAT'EA $Ei[jE]TEr
De aici se vede ci dacl a-fc>b, a-tb>c ai b* cla partea
SX de:r:o;lstrfinn cH arice d,reaptd tn c*at'donste asrteziene
3{, U &tre o eawa$ie r}.e farwa
axlFtgla:fi. (*)
Fie ft o dreapri) arhitrar5 pe planul xy. Ducenr o dreaptd
b*c=d a+b -* e o,erecare percencliculard pe clreapta & 9i c'lepunenx pe ea de
Fig. l3l cu tlreipta & segrnentele
Fig. 130 la punciul de intesec{ie C egale
fi2 CA1 9i C,4z {fig. 133}.
$ Comanda JS 7 rt3
Fie cr, 6r coordonatele punctu- 52" AMPLASAREA UNEI DREPTE [N RAPCIRT
C{.J {jN SISTEM DE COORDONATE
lui ,4r gi a2, b2 coordoilatele pun-
Sd clarificdm cum e s.mplasetd o dreaptd tn raport cu
ctului lz. Dupd cum giim orice axele de coordonate, dacd ecua{ia ei ax*bA+c:$ dre o
punct A(x, il al dreptei ft este
anumitd f or md particulard. caz ecua{ia dreptei poate fi scri-
egal depirtat de punctele dr qi Az.
De aceea coordonatele lui satisfac 1. a:A, b+A. In acest
sI astfel:
ecua{ia
Fig. 133 ,1bl:-- c
(x-a,)'+ (g-bt'S' :
: (x_az)z * (a_br)r. (**).
Reciproc, daci coordonatele Jc ,i g ale unui punct oare- Agadar, toate punctele dreptei au una gi aceeaEi ordonatl
care satisfac ecuafia (*8), acest punot este egal depdrtat (,-;),c, prin urmare, dreapta este paratetd cw axa x (fig.
de punctele 41 gi 42 gi deci apar{ine drepiei ft. Prin urma-
134,o). [n particular, daci 9i c:0 dreapta coincide ctl
re, ecualia (**) este ecuafia dreptei ft. Daci in aceasti
axa x.
ecuafie dbschidem parantezele gi trecem toli termenii ecuafiei
2. b:0, a;40. Acest caz se consider5 in mod analog"
in partea ei stingX ea ia forma (x): fireapta este parate!.d. eu axa y (fig. 134, b) gi coirrcide cu
1
ea dacd gi c:0"
2 (ar*a,J #+2 (bz*b1) y+ (af + b?- q- bg} :a.
3. c:0. Dreapta fueee prin ofi.gimea eoard.offiatetor, deoa-
Afirrnalia e demonstratS. rece coordonatele ei (0, 0) saiisfac ecuafia dreptei (fig.
trroblemd {a7). Compune}i ecua}ia drepiei care trece
prin punctele A(-1, 1), E(1, 0). 134, c) "
Rezolvare. Dupi cum Etim ecuafia dreptei are for- in"ecualia general5 a dreptei ax*bU*c:0 coefi-
DacI
cientul lui y este diferii de zero aceast5 ecuafie poate fi re-
cmoaordaosnca*ieblge*c,lo:Or .saPtiusnfacctealeceAas9til B aparlin dreptei Ei deci
zolvald in raport cu g" Ob{inem:
ecua{ie. Substituind coor-
donatele punctetror ,4 gi A in ecua{ia dreptei, ob}inem: \.r:- 3o-t)X- J-"
a*b1-c:0' 4+c:0' *:Sau notind"- r, - * :r, avem:
tDt iEniabcepstreinecaula{triiepiluetaem: ae:x*pcrir,nabd=o-i*2coce.fiSciuebnsfit,itdueinedxeamcepslute, g:hx+b"
valori ale lui a gi b in ecuaiia dreptei, obtinem: Sd clarific5m sensul geometric al coef tcientulwi k tn aceastd,
-cx-2cg+ c:0,
Prin c puterti sinrplifica. Atunci ob{inem:
*x*2g* l:A.
Aceasta este ecuatia dreptei noastre"
Fig. ta+
1t4 I It
R<d
A(q,9,)
Fig. i36
Fig. 135 centrul circumferinlei drept originea coordonatelor, iar o
dreaptd perpendiculari pe dreapta dati e-stderxe2p*tUa2x:Ra 2)c,
ecualte. Luim doui puncie pe dreaptd A(xy Ar), B(xz, gzl)
(n1xz). Coordonatele lor satisfac ecua{ia dreptei: (fig. 136). Atunci ecuafia circumferinlei
iar ecua!ia dreptei x:d. Fentru ca dreapta gi circunrferinia
gr:kxr*q, llz:kxz*Q. sd se intensecteze, e necesar ca sisternul de doud ecualii
x2*u2-R.2" x:d
Sc[zind aceste egalit5{i parte cu parte, ob{inem' Uz-Ar: sI aibd solu{ie. $i reciproc, orice solu}ie a acestui sistem
*k(xz-n). De aici ne dd ccc'rdonatele x, g ale unui punct de intersec{ie a drep-
tei cu circumferinta'. Rezolvind sisternul nosiru ob{inern:
ft-!z-!r,
X z-JC r x: C, !/ : -+-{ pz -Az .
Irr cazul reprezentat in figura lB5,a, :*-;:tga. Din expresia pentru g este evideni ci sistemul are doui
solu{ii, adic[ cineuralrenlmfa gfi,,dneapta au dou6. punete de
In cazul reprezentat in igura 135, b, y12-!J-:-tga. intensee{ie, dac[ R]d {fig. 136, a). Sistemul are o singurX
f fiz-xr
Agadar, coeficientul ft in ecualia dreptei cu precizie de un sctoralucdfie&-*dd.reSafsptteamEuil cirawnofari.nfa.sirat tnngenle (fig. l86, b),
semn este egal cu tangenta unghiului ascu{it format de nu are soluiii, adicd dreclpta gi eiraww-
dreaptd cu axa Ierinfa nw se inz{;enseateazd, d.acd &<d (tig. l86, c}"
Coeficientul
k"r. in ecua{ia dreptei se numegte coeficient s4" DEFnNIITLA SIN{JS[J[.{J[, COS[ru[JS[J[_UI
T,',ANGEt{T'EI pENT.R{.J ORICE UNGF[I
unghiular al dreptei. gI
53. INTERSECTIA UNEI DREPTE DE [,4 00 t,q 1900
cu o CIRCUMFERINTA trrind acurn valorile sinusului, cosinusului gi iangentei
rrri fost definite nurnai pentru unghiuri ascufite. Acum noi
Sd examindm chestiunea despre intersecNia unei drepte l,' vom
cu o circumferinfd,. Fie R raza circumferinfei gi d distanfa defini peninu orice unghi c1e Ia 0o la ig0n" i.uim pe
;rl;rnul xgr o circurnferin{i d,e razd & cu centrrrl in originla
de la centrul circumferintei pind 'la dreaptd" Considerdm ruoldonatelor (fig. 1g?)" Depunem cle Ia semiaxa poziti-
ll6 tt7
vA fi unghiul o in s€miplanul de sus (semiplanul unde INTREBARI PENTRU REPETARE
s>0).
.n qi y coordonatele punctului
gi Fie pentru unghiul ascufit c se A. Valorile sin o, cos o, t. Explica{i cum se definesc coordonatele unui punct.
exprimd prin coordona_ (, Ce semne au coordonatele unui punct dacd el apartine
tg c
cadranului intii (a1 doilea, al treiiea, al patrulea)?
tele punctului A gi anume:
.t" Cu ce sint egale abscisele punctelor situate pe axa or-
e,os 6- -nft", sin a: *R, ' tgc : / donatelor? Cu ce sint egale ordonatele puncteior situate
. pe axa absciselor? Cu ce sint egale coordonatele ori-
ginii coordonatetor?
."-
A Deducefi formulele pentru coordonatele mijlocului unui
Definim acum valorile sin c, cos o gi tg o prin aceste for_
mule pentru orice unghi c. (pentru tgo unghiul a:g0o se
exclude.) Din aceastd defin,i{ie rezulti ci sin gbo: l, cos g0o: segmcnt.
:0, sin l80o:O cos l80o:-1, tg lg0o:0; Considerind ci 5. Dedu-cefi forrnula pentru distan{a dintre puncte.
6" Ce. este ecualia unei figuri in coordonate carteziene?
semidreptele care coincid formeazd un unghi de 09 y6r6 2ygs- 7. Dcduce{i ecua{ia circumfcnin{ci.
8. Demonstrafi cd ecuafia unei drepte in coordonate carte-
sin 0":0, cos 0o: I, tg 0":0. ziene are forma ax-fbU+c:A.
escg;i4na9DTCl(elIeBoedoa0murvp'e-eoEommn)i:psatgots(rti18ena8.nu1{0ui,.oezc-Pi.aoge)sin(T:1utrr8-inuut0gnouog-nraohgi.)ciuh:eri-ilcaueosnscOguohAlii.tBoF{9i,eiginO.OtrIouAA(BcuB()nl:,ggDsh0iiionunt,l
9. Cum e arnplasati o ad:r0eap(tclodeaiicchieinntuelcbua:0{ia, ei ax*bg*
coef icientul
* c:0 coef icientul
c:0)?
10. Ce sens geometric are coeficientul lz in ecua{ia dreptei
g*hx1-b?
Itr. Care este condif ia pentru ca o dreapi5 gi o circumferinfX
egalitatea triunghiurilor rezulti cd AB:ArE,, udicd' sI nu se intersecteze, sI se intersecteze in doui puncte,
O:gri, si fie tangente?
OE-OBr, prin urmare x:_xt. De aceea
sin (180"-a) :* __ -2 - sin c, 12. DDosreiainrc{n(eio1dnu8sen0ifigai"nhf-ioi{iid)a:escsIi5aninu0pos'el,uanlutc1ri,u8o0cs"oo(. 1sri8inc0ue"s*uaul)uni:g-9chioitaosn,gue$,not4estig(p(1elBn80t0rou-,
r3.
RR *x
cos \180"- a.)R.-Rxt -
-.' -- cosq" -s):_.tg er.
Imp5r{ind pcaortse(lcBu0poa-rtoe)e:-gcaolitsaateaobs{inine(1rnB: 0tg"-(a1}B:s$in.*oa)la: EX ERC[T[!
egalitatea
--tg c. Teorema e demonstrati. x. pDI(--uue2cae"{aiiix1laea),x,e(icnl-eotrimnd,esp-tcl3raour)oie,iridp(po2nau,atn-rt-ceu1t,eipa"luelengccetuefi o unitate de lurigime
coordonatele: (1, 2),
, pe planul xg. Aflafi
coordonatele accstor puncte.
"t, FOerdoondarteaaupntiupiaardailnelSelecuesatexay.:r2s.inCt ulucaeteedstoeuedgpaul6ncoter.'
4. donata celuilalt punct? pe axa x sini luate douh
Pe o dreaptd perpendicularl
puncte. Abscisa unuia din ele este- ,r:3. Cu ce este
cgalS abscisa celuilait punct?
l; Din punctul A(2,3) e colroritd perpendiculara pe axa )(.
Aflafi coordonatele piciorului perpendicularei.
Fig. 137 Fig. 138 (i. Frin punctul A(2,3) e dusi o dreapti paralelS cu axa x.
ll8 il9
7_. Ac+afl]rla^e}{aii.bicosoccoi.srudaloxgnae:5toe.mle.etpii.cunacttupluui necitedleo,inpteir;s;e;ic,{ii;e-r.,tu axa A. 26" adDofeulmSi ?^opnesotradfirecadptSpu. nccaterele A, B, C sditinuaptroi'btrleemcaer2e5larstee
;;;ru din ele e
8. Acrfrlae{ij,xllo:c3u.l geomelric al punctelor planului xg pentru 9(1f,r2it)i qe. ax_q n ur"r punct egal depirtat de punctele
9" Sint dalc.p*.rr_ctqle,4(-8,2) EaixBa ('4!J"gt)i.D'ucminotenrsietrcat[laizchi 9i (2, 3).
28. aCd9-ep-aroar1p(eriru1,{dinniycnt.cu,piprluc{Hnu3cm,.t6le.f}el.e.gr.i(an1{l,e.2di )ed, ep(ti3ert,ramat)in,dae{'-tae.4xde,3lee')e,dce(u0ca,olSiodr)'c,iio(tbnl_"a_gterlJ)qi
{0. segmentul ,48 iiriersecteazd 29.
{1.
!2. CA(l J"
Pc cai"c din scr:rir:rilc axci g (pozitivd sau negativl) o
A2in.jtfelaarsxfeai cd1i7ei.saizadnfase7gnere1natupl uAngc"tuirti^ p.oUt"'nu-lr;;FJ.;;i;i
:10. GSA^fi:Bai51n..6tsc9jd!iriacpptuucemnpcc-fituerecnrluicentm:cfelflee)i rAuicnn{u{2ad,a.i0_basd)mceqictsieatBnrubu('i;a-n2ila,)ici l6crdeu)e.iaoCerdco"oum.tra'-p"iIaiuatunaexeg_{zim4leil.cgnuziau_:t
(_S, +i l;-li-;;;'";
3i.
+(10lln,arltjeldoirs.tan{a de la punctut (_8, 4) la originea coor-
ls. AScbPyaalfes:lrtareea^bJc.x:itisgol:lelaA::ocfr2icct.o.aupalCrrceogauabedlocrecamemandeeuatrsl.ruatpiecinreuaeadlglturdadilpeodiunnil.cnttaiaicbi.isdeecaloicsiuraaapputla.u'p*nnuruicnultc1uutilup'ixr"r-yconuip.fteoiXnr'"dtrpou*-
'l r! eSpcrtiunnat {pdiauantcecirtcpuuul nnl.crftecrleinlAei(-c1u,c-eln)trusl'iinCp{u-4nc.tu3l)'C. Ccoamr.euutrncectei
tn. geclCleuamQmlraiaeobtinuemsrgstilrtiiccaed{adiics,eoctabcniin,dtdfcisa{.aiuacamd.pinafeiterncecetarluior.ernlcadialtit"ne-cn,idruc;omu;u-me;ir*feeelxreiininspt{eieoirlzseuietnicvctcteurziauera,n?zbge,hleci
{5. dr)"
34.
16. ASApnC(aafai.ilnr1leare,utl{o0rXirdc).l:aa,ot-Bccvtui\i."2rltl,grleqeJo)i,mgvCie]a(rt3r.li!c,cu2rpai)u.lanApcleuftlunalpcjuitaiecrdlaoocloreriplndoltdgaenrnrasaumetl"uciu"{i-ilcu"xcigatuAidpBiOeaCegn_Dofat_u:t
17.
35. cF6l).o::a94qt^e:cclmfmi,o;"c3ray:)r5e, cbc:co:3m2n,stccrmumi,t, bcu:n:Z3tricucmnmg,fhcDi:lclua:lac2mtu, r;cilame:j;
18" DlrIuaceil..em.rloio(gn-r1sat,rma-l.i2Ac)r,flapBal.i{i2rpu,ur*anltc)ct,riu:irQeAie(Bt,iCn_Dtctr)csue,cvD{iiretf_uar2ir,deilJ)ignoepnsuotenrc.pitoea,-- &:3 cm,
a:a cm,
36. Gisi{i centrul unei circumierin{e pe raaxzaaxedi aecsateseegsatilel
SlAto-Fifcntllauitle{ldil(auc2toci,0o(or)2tl,o9cniZxat()r0t.ce,iAlne2fi)tl.maat{iejiroa(c1uA,r.u1oiu)asaeeguxmntreucnimtsueritugaim-ctcuen;te-9.x;ti;r;em;m"i_ji-- cI ea trece prin punctul ll, 4) ii
19" cu 5.
2S.
37. Aflafi c-oordonatele punctelor de intersec{ie a circurnfe-
,tu. rinlei a
Afla{i x2 q g2-Bx-BA +Z:0 cu axa x. doul cir-
coordonatele punctelor de intersecfie
cumferinfe:
tului.
2212..sDDPineetnnavr-{oiiosnrnl^,usslttrr)ria.,a{afiBilecc(r0Iup,np4auu)tinr,upcCltiatert(lace-rt3u.(,1l0,A0),B),CD(D(-11c,u,-0gv)ir);fu(er0si,ltcetliu,nntp0'pu,lnt_rcatleit-. x2*92*Bx-Bg-8:0,
x2 + A2 -B)c* By-B : 0.
39" Compune{i ecua_{ia circumferinfei cu centrul in punctul
23. Ap?D(xI){e2lafm,(ot{0,roim)n0^uasd)lliiacersaitdaa{(ixn3:eclJxi,ai0xr)^.-.dpdxieisrnntlttarruen{oparuicdneicnt*et1rlee9' i:'pxtu2)ns(cq1te,dl0ee)te(9xim,i,i(n03;,)d0u)g-;i (1, 2) tangente la axa x.
24.
40. t.Cre_coehppurninefioericguinae{aii circumferinJei cu centrul (*3, 4) care
coordonatelor. r
4l- Demonstra{i.
cd circun-rferinfa x2*92*2ax*l:0 nu se
interseqteazd cu axa g.
25. Sint date trei puncte: A(4, -pZuJn;ctBe (i1u,aZte)',cCitcdA-2oi,r6a.).
la{i dintrc Af- 4"r.. Demonstra{i cd circumferin{a xz+U2+2ax:0 este tan-
distan{ele aceste
genti la axa U.
120 t2t
4444.564,3"...+ccFGCCdJuueeoidEl.smspadd:iiib1rfp{rrreiste2uaacppan;tipuesupet3annatidia)c.cxedett3deuc:ax-ualleo1-tadt2lrife;_d.isrpaepiirn*p-ripitlni6nueonurtnc:nesecAeuecrctsclcetuu;ueufiadclai-4eg{{ac{ii|ieaeuatae4o: oarBdlx1n}rird-e0exeo2,xpt+narylta*ie)4xc-f2le1oygaagri0:oill*"Ar:d(S0'p1gda:u.-,ten:ein02s.cc)p;io{ierioi2lnrp'od}uroen3neccaugrttau*ae-ll 61. GIsi{i valorile cosa Ei tgo, dac6: l) sinG:0,0,0o(o(
f iile; (90"; 2) sin c:f , 90(o< lB0.; 3) .in o:fr-, 0o <
l) r*29*3:0, 4x*5y*6:0; (a(180".
2) 3x-g-2:0, 2xtU-B:0;
3| 4x+59 *8:0, 4x-2g-6:A. 62. Se Etie ci tgc:- -;l . Ceriti sin c Ei cos o.
t2
63. Construifi un unghi o, dac5 se gtie.cE sin ":*95.
64. Construifi un unghi a, dacd se gtie ci cos 0: 3
UE
65. Demonstra{i: daci cos o:cos p, atunci o:i!.,
4?. Comp.une{i dreptei care trece prin punctele 66. Demonstra{i: daci sin c:sin $, atunci sau c-,$ $&u s:
B_e(1cu,0a_).{ia
d(-1, t), :180"_p.
48. csCC(u-!out6-mcb,copVe2ou=r)nsd;eioln3{,nit)adeeta(ceg5cul,aeda-:l{is3iaLec)oldgerte(iefe?iipc,(ctie-edg1ni )efc,iaia9artier2eq()tc9r.iee,bcp2eri)inpni r2iepnucl und(cao4ileiu,alel-dtp)(rueln;p2ctte9)eii s e. TRAI{SFORMARTLE FIGUR!r.OR
49.
Ei (2, l)? 55. EXEI${PI-E DE TRANSFORMARI ALE FIGURI[,OR
50. Cu ce^es.te egal coeficientul c in ecuafia drcptei )c+A+) Dacd liecare punct al unei figuri date se deplaseazl in
P1ecn:0tru; dapi ea tnece prin punctul (1,2)?
5t. este tan- tr-un mod oarecare, ob{inem o figurd noud. Se spune cb
ce valoare a lui c-dreapta x*g+c:0 aceastl figurd s-a ob{inut din cea dati printr-o transfar
52. gDeenmtiolnasctriarcfiumcifetrrineliadxr2ep4tegzx:1*72g:3, 2x-g: I qi Brf
mare. DAm citeva exemple.
6_3. D*+eUm=o4nssterai{nitecrsIedcrteeapztedleinxt-rt--u2n9p:gunEcti. 2.r-l- 4A:3 nu se in- X Simetria ia,nrbraitrpaorrtaclupulannupulunic(t.figF.i.el3Og)u.nPpeunprcetlufinxgairteEai
un punct
tersecteazd.
st'gmentului OX dupi punctul O depunem segmentul OX.
54. Compune{i ecua{ia dreptei gtiind ch ea este paraleld cu
axa x gi trece prin punctul (2, 3). egal cu OX. Punctul X' se numegte simetric cu punctul X in
55. Cornpune{i ecua{ia dreptei ptiind cd ea trece prin origi- ra port cu punctul O. Punctul simetric cu punctul O este
nea coordonatelor qi punctul (2, 3)
56. Gnsi{i sinu.sul, cosinusul gi' tangenta unghiurilor de insugi punctul 0. Evident cI punctul simetric cu punctul
X' este punctul X.
120', 135", 150".
57. Folosind iablele, glsi{i: i) sin 160"; 2) cos 140"; Transformarea f igurii F in figur a F, care transformi
fiecare punct X al figurii F in punctul simetric X' in raport
3) tg 130" cu punctul O se numeEte transformare de simetrie tn ra-
58. trolosind tablele, gisifi valorile sinusului, cosinusulrri gi
tangg1lei unghiurilor de: 1) 40'; 2) 14"36'; 3) 70"2A?;
59. F!)ol8o0s"1in6d'; 5ta) b14le5"l;e6, )g1is50i{"i30';u7ng) t1ri5u0r"i3le3';p8e)n1tr7u0'2c8a".re:
1) sin ar:0,2;2) cos az:-_0,7;3) tg ar:-0,4.
60, Gdsi{i valorile sinc gi tga, dacd: l) cos.: *t x' Fig. 140
Fig. 139
2) cosa:-o,S; B) cosa:#i 4) cosa :_,r{ ,
122 r23
Fig. l4l Frg. 142
port cu punc,tul C. In acest caz figurile F gi F, se numesc Fie. 145 Fig. 146
simetrice in raport cu punctul O (fig.l1 0). DacI transformarea de simetrie in raport cu dreapta g
Dacd o transformare de simetrie in raport cu punctul O
transferd f igura ,F in sine ins59i, aceasti f igurd se nu-
transferi figura F in sine insSgi ea se numeqte central-si- megte simetrtcd, tn rciiiort cu dreapta g, iar dreapta g se
metricd, iar punctul O se numegte centru de simetrie,. De
numegte axd de simetrie a figurii. De exemplu, dreptele care
exemplu, paralelogramul este o figurd central-simetricl. Cen-
trec prin punctul de intersecfie a diagonalelor unui dreptun-
trul lui de simetrie este punctul de intersec{ie a diagonalelor
(fig. 1al). ghi paralel cu laturile lui sint axe de simetrie ale dreptun-
Simetria in rapoil cu o dreaptd. Fie g o dreapti fixati ghiului (fig. la4). Dreptele pe care se afl5 diagonalele unui
(fig. 142). LuIm un punct arbitrar X gi coborim perpendi-
romb sint axele lui de simetrie (fig. 1a5).
culara XX pe dreapta g. Pe prelungirea perpendicularei
Problemd (6). Demonstra{i cd dreapta, care trece
dup5 punctul X depunea segmentul XX, egal cu segrnentul
XX. Functul X" se numegte simetric cu punctul X in raport prin centrul unei circumferinfe este axa ei de simetrie.
cu dreapt'a g, Daci punctui X se afld pe dreapta g punctul ftezolvare. Fie O centrul circumferin{ei Ei a o dreap-
simetric cu el este insugi punctul X. Evident punctul si- ti
care trece prin punctul O (fig. 146). Evident, transfor-
metric cu punctul X" este punctul X.
marea de simetrie in raport cu dreapta a transferd punctul
Transforinarea figurii F in figura F', care transferd fieca-
re punct X al figurii ,F in punctul simetric X" in raport cu .C al circumferintei in punctul C', iar punctul C, il lasi pe
dreapta g se nilmeqte transformqre de simetrie in raport cu loc. Ludm un punct arbitrar X pe circumferinfd gi construim
d,reapta g. ln acest caz figurile F gi F' se numesc simetrtce
in raport cu dreapta g (fig. 1a3). punctul X', in care trece punctul X la simetria in raport
cu dreapta a.
Triunghiurile OAX gi OAX' sint egale conform crite-
riului intii. Ele au unghiurile de la virful A drepte, ,latura
OA comund, iar laturile .4X qi AX' egale in conformitate
cu definilia simetriei. Din egalitatea triunghiurilor rczultil
egalitatea laturilor OX 9i OX', adicd punctul X' aparfine
circumferinfei. Iar aceasta inseamni ci la simetria in ra.
port cu dreapta a circumferin{a trece in sine ins5qi, adicX
Fig. 143 Fig. 144 a este axa de sirnetrie a circumferinfei.
124 Omotetia. Fie F o figur6 datl 9i O un punct fixat
125
(f ie. 147) . Frintr-un purrct arbi- au unghiurile de la virful O egale ca unghiuri opuse la
ti-ar X al figurii F ducem serni_ virf, iar OX:AX'" AY:AY' conform definiliei simetriei in
CX qi
d{eairta C){', depuriem Xle ea un raport cu punctul O. Din egaiitatea triunghiurilor rezultl
segrnent
egat cu k.OX, un- cgatritatea iaturiior XY:X'V'. Iar aceasta inseamni ci si-
de il este un numi,r irozitiv. Tran-
slormarea figurii F ia care orice metria in raport cu pu'nctul O este migcare. Teorema e de-
punct al ei l( trece in punctul X.
construit in modul indicat se nll- rnonstratS.
megte omotetie tn
raport cu cen- T e o r e rn a 9.2. Transfotmarea de simetr\e 3n rapart aa
lrul O. I\urndrul o dreaptd este o migcare.
f se nume;Je
coef icien! cte anrcletic. Figiirile$h Demonstra{ie. Considerdm dreapta datd drept axa
Fig. 147 gi ia' se numcsc omatetice.
gr a unui sistem cartezian de coordonate (fig. 149). ,Admi-
56. ft{[$CAREA tem cd un punct arbitrar X(x, g) al figurii ,F trece in punciul
X'(u', g') al figurii F'. Din definilia simetriei in raport cu
Transformarea unei figuri in artd figuri' se nuniegte o dreaptd rezultd cd punctele X gi X" au crCcnatelc egale,
miqcare dacd ea pXstreazh distanla
transferr orice rtintre puncte, adicb iar abscisele se deosebesc numai prin semn: :x.' --x.
doud puncte x gi y are unei figirri in puncte-
lQ X', Y" ale altei fignri astfcl incit Xy-X,y,. Ludm doul puncte arbitrare Xt(xr., #r) qi Xr(xr, uz)" Ele
. l'io t 5. No{iunea de migcare ?n geometrie este lesat[
de reprezentarea obignuiil despre depLsare. Daci ins5 l.,cir- vor trece in punctele Xt'(-xt, yr) qi Xz'(-xz, Az).
bind despre deplasare ne imagini,m un proces corrtinul!, in
geonretrie pentru noi vor avca importan{i numai poz;ilite Avem
ini{iaid Ei finaii
gal.el.fiTgrua.nrisi.fawnaf ea de stweetr\e in rwy;ot"t XrXr": (x2*xr)2 * (Az-gr)2,
T e o r e rn a X1'Xr'z : {-xt-V *t), * Qlz-Ar)2.
€r[, wF!, gaunat es{e o waigearc" De aici rezr:trtX cd XtXz:X'tX'2. Aceasta inseamnX cX
transforrnarea de simetrie in raport cu dreapta este o mig-
a.le p9fiu*gn*ucortiuni lsFOtr{alieigli"terat"4n8s}fe" rTXFriaeinnsXpfoui,nmrcrateFreleadXodu,ebqsiipmuye,n.tcrCiteconta*sii.dbreairiprdao.rrnret
care. Teorema e dernonstratd.
cu
Se numegie ratalie a planului in jr-lrul unui punct dat o
triui.rghiurile XOV gfni XtiitAdye,eAg.aceliisaietetraiun.irgiuliniugrhiiusriin!otr.e-gEaiiee astfel de miqcare in urma cireia orice semidreaptl ce por-
conforn: criteriului ruegte din acest punct se rotegte sub unul gi acelaqi unghi
in una Ei aceeaEi direcfie. T'ransformarea unei figuri in plam
tra rotalia lui de asefftrenea se numegte rotafie (fig. 150)"
Problerni (14)" Construiii un triunghi echilateral ca-
Fig. lsg Fic. t +g Fig. 150 .0
426 Fic. 151
t27
re are un vfrf dat, iar celelalte doul virfur"i se afl5 pe d.oud Presupunem cla At e situat intre Br I
p;iriCnt.lrA.rtnutnarcei ,AAtBBrI'+AAC1:CiltC:8.,9I,n;si,i
clreptc daie. aceasta contra,zice egalitatea I B -f
-l llC-,4C. riqadar punctul Ar ilu
Rezolvare. Fie 0,4S triungiiiui c;iutat care a.re vir- i poate li situat intre Br Ei C1. ln mod J' :.::*
ful O dat. iar virfurite A gi 6 st alli pe cioi-t5 drepie riate analog se clcmoirsircazd cE punc'rul
a gi b (fig-. l5l). Efecluiin rotafia dreptei Lr in jurul punctu' d /tvz:x,"*l,l
lui O cu 60'" in acest caz cireapta b va irece in dreapta &' $ Cr nu poate fi situat intre ,4r Si 8r. FirI. 152
care trece prin punctul A Agadar, pculnt a glsi virfrii 4 e Deoarece din trci pi:ncte /lr, Br, Ct
suf ic:ient sX construim dreapla b' Virinl A va li punctui de I
ii unul cste sitirat intre cclelalte dou5.
intersec{ie a di:eptelor a Ei h'. acest punct poate fi irulnai 8r. Teorema e cornpiet cieinon-
I
Fentru a construi dreapta, 6' e suficient sri luim doud stratL
puncte arbitrare a1c dreptei b gi si construim punctele'in $
Din teorema 9.3 r*ez?urcltsi ecndt,id.t"areyntnteis,casneegrdiureenpiteetele trca in
care trec putrctele luate ia roiafie. Dreapta b' r,a trece prin
d.repte, :;effi,idrep'{ele in $rg-
aceste puncte.
rnenle.
Virful A fiind construit, construim virfui B, Ei coincide
Si expiiclnr aceasta, luind drept exempiu uil sesment.
cu punctul r1e intersecfie a mediatoarei segmeniului O,4 Ei Irie ,48 un seglrlenL dat. La migcare punctele A gi # trec
dreptei b. Urrind princtele O, 11, IJ prin segmente, ob{inem in anumite puncte A'Ei E'(fig. i52)" SU arlizirn ci eeg-
mentul AB trece in segmentul A'B'. tr-u5m un pui-rct arbitrar
triunghiul c.5utat. [totind dreapta b in diferite direc!ii, ob{i-
X pe segme ntul z1B. Fjl lrece intr-un punct oarecare X"
nem doi,li triunghiuri dilerile carc satisfac condi{iile proble'
mei.
57. PF{OpR.rE'flATXi-E M[$CAR[s al dreptei ./r,'E' sitval intre punc{.ele An gi B' (teorema g.B}"
adicii punctul X al seg'rnentulut AB trcce in punctul X. al
'leorema 9.3. .[-a mipcare pwnatete sitwate pe o dteapa- 0.r segnrei;tuiui A'B'. Oare pentru iiecare pnntt Xo al scgmeri-
ttslui A'E'se rra giisi un pu-irct X al segmcntr,riui AP,, cate,
td tt ee 3n pudcte situate pe a rlreap'td, yitdstt?ndu-se orditeect ,t, la ritigcarea noastri trece in punciui X'? Da,
punci. Ilaci se ia un astfel cle punct X, pc i:entru fiecare
de amptasare recipr:r;cil a lar" i{' segrneniul "4i,
incit AX : A'X', anume e1 trece in punctui X'.
Aceasta insean:nh cI elacl punctele A, B, C situate pe i.fl'r' Fie lB qi AC dcui sernidrcpte care pieaci din punciui
o clreapti ti"ec in punctele A,, 8,, Cr aceste puncte cle ase- .4 9i nu se :iflii pe aceeagi dreaptl (iig;. i53). La migcare
trnenea sint situate pe o dreaptl; dacl punctul B e siiirat q
irrtre punctele A gi C punctul ,Br este situat intre punctele aces'ie scmidreitte trec in a,nLlmite semidrcpie ArL?t Qi Afi*
l
A1 9i Cr. ,fu,ffi 'ru'kd#
f \\'V
Demonstra!ie. Fie prrnctul B situat intre punctele
A qi C. DacX punctele Au .8,, C, nu apariiii unci drepte (i) Fig. 153 Fig. 151
ele sint virfuri ale tlnui triungiri. I Comarda i& 7 tz9
De acc:ea,4rCr{ArBr-1-8,C,. Conform defini}iei migulrii
I
rezulti & AC1A,E+8C. fnsd conforin proprietdfii dc m5-
surare a se:gmentelor A.C: Ats'1^ iic.
A.m ai*ns la contradlcfie. Prirna afii:mafie a teorernei e
denionstratX.
Sfl ar5t5m acum c[ punctui &r e situal intte Ar $i Cr.
[?8
Deoarcce migcarea pdstreazd distanfele, iriunghiurile ABC Admitem ch triunghiul
Si lr8iCi sint egale conform criteriului al treilea de egali- dBC printn-o migcare se su-
tate a triunghiurilor. Din egalitatea triunghiurilor rezultil
prapune cu tri';nghiul ArBrCr
egaiitatea unghiurilor BAC qi ErArCr. Frin urmare, la rnig- qi anunie virf ul ./l trece in
care se p5streazi unghiurile dintre semidrepte C' (Cs)
Admitem cd figura F se transfenl printr-o mi$care in vCirtf.uDl eAora,reRc-e in ,Er gi C 3n
la miqc:re se
figura F', iar figura .F' se transferd print'r-o rniqcare in fi-
gura F" (fig. 154). Admitem cd la prima migcare punctul X phstreaz.S d istan{eie gi u.n-
al ligurii ,F trece in punctul X' al figurii F', iar la migcarea
ghiurile pentru triungliiurile
a doua punctul X' al figurii F' trece in punctul X" al li-
gurii F". Atunci transformarea figurii F in ligura F", La noastre avem AB: ArBr, Fig. 155
tsC:tsICI, AC.:A$', LA:
care un punct arbitrar X al figurii F trece in punctul X" al : LA* LB: /-8r. LC:
figurii F", pdstreazi distan{a dintre puncte 9i deci este de :LCr, adic5 triunglriurile sint egale in sensul considerat
asernenea o migcare. Aceasti proprietate a miqcirii se expri-
nrl prin cuvinte astfel: daud migcdri efectwate suceesia dat pinl acum. av AB:.A,Br,
Fie acum cX triunghiurile 48C 9i 4181Cr
din now a rni;care. LC:LCr" 86
r\dmitem cd transformarea figurii F in figura F' transfe- BC:B$r AC*A$b /-A:LA* LB:,,LB;
dernonstrlm cd ele se suprapun printr-o migcare gi viriul A
ri puncte diferite ale figurii F in puncte diferite ale figu- trece in Ar, B*in 81, C in Cr. Supunem triunghiul ASf
rti F'. Admitem ci la aceasii transformare un punct ar- unei transformXri de simetrie in raport cu dreapta & care
bitrar X al figurii F irece intr-un punct Xn a\ figurii F'. este perpenCiculard pe segmenl:u1 AAt gi irece prin mijno-
Transformarea figurii F' in figura F la care punctul X' trece cul lui .{fig. 155). Ob!inern trir-rnghiul AtB2C2. Supunen-l
accst tniunghi simetriei ?n rapor't cu dreapta & care une$te
in punctul X se numeEle transformare inuersd celei ctrate. punclui A1 cLi rnijlocul segtiierr'rului BrEz. Cll{inem triilnghiul
l'Ai;carea plstreazd distan{a clintre puncte de aceea ea tran- AtEtCs.
sferl puncte diferite in punctc diferite. Evident, transfor- DacI puircteie Cr gi C3 sini situate de aceeaEi i:arte a
dreptei ,zlrlJr, ele coincid. lntr-adevir, decarece unghiurile
tn{;!.{'e&, inuersd. unei migcdri este drc asentenea a miycare" BtA)Ct qi BtA$t sint cgalc, semidreptele AtCt gi ArCe coin'
58. E,GA[-NT'/qTE,A F'[G[JRIfl,OR cid pi in'lrucit segmcntele z{1C1 gi ArCt sint. egale, punctele
tr)ou5 figuri se numesc egale daci printr-o miqcare ele Cr $i Cr coincid" Agadai:, Iriunghiui ABC prrintr-o miEcare
sc tlansferd una in alia. a fost irairsfeiat in tliunghiul AtEtCt.
ipentru ncia{ia egaliiS{ii figurilor se fotrosegte semnul DacI puirctek: Ci qi C3 sint sititate de dilerite p5r{i aie
obignuit de egalitate, Noia{ia F:F' inseamnX cd figura F dreptci ArEr, penti'u derri.onstraf ie 'Lrebuie sh niai apliclm o
este ega15 cu figura .F'. In nota{ia egalit5{ii triunghiurilor:
L/IBC:LAtBrCr se presupune ci virfurile care se supra- sime'lr-ie in raport cu tlreapta ,4181.
pun 1a migcare se aflS pe locurile corespirnzStoare. Daei 59"'l'lXlr,NIS[rOIR.Rf{ARE,4 DE AS EM&F,lArRE
!inern cont de aceasii condi{ie egalitalea tri,u.nghiuri{or de-
$[ fi]P\0PRIETATE["8 E[
finita prin supr&punered lor prtntr-o migcare gi egatitateu
?ransformarea f igurii F in figura F" se nun-leqte trans{cst-
dupii curn ant lnletes-a pind. ucum exptrimd. unul ;i acelagt
tnare de &seffLiirxare daca la' aceastl transformare distan{e1e
lucru. Si clemonstrlm aceasta.
riintre puncte se schimbl <le unul gi acelaqi num5r de ori
t.1it
!dl
('sie o omotetle in raport cu centrul 0 gi coeficieniul de
ontotetie ft.
Luim acum doud puncte aliritrane A(xu Ar) qi B(xz, 112)-
I.ile trec ir-r pu-nctele A"(ltx1, teg), E'(kxr, k!/r).Avem:
A82 : (xr*_xr)r'_l (ljr*!j,)r,
: (!t x2-kx1)2 :
A' l3' 2 + (kg z--L!/ t)2
xz-x,)' l- (a B'.
: k2 l( :r-*g t)21 lz2 A
De aici A'B':hAB. Iar aceasta insearnnX anume ci transfor-
$rarea consideratl este o transformare Ce asenilnare" Teore-
tna e demonstraii.
Fig. 156 Fig. 157 It4en{ionim cii nu orice transforrnare de asein}nare este
mcatpm(uiufs.eiigline.grnccumk.att.uelrl1enellfe5.astf6tirXe:s)e1.e"u,A,pnnycuuuie,nrmlaacaengstleetsiEalfleao"feiicnrgamecsuorieabaerafgriitiemiirc.aapinFered'de,nneacttXrtdduua,sendtecyoaamiacsXdtelaenn,llaeayzprdruef.:tnni,r7gaace.urntevesrX.ildifeiDoyerXFanmgt,ca,itIyrre"eec.usaoctN*eeafduiin_oe-- o omotetie. DacI silpunem o figurl dald F unei omotetii"
iar figura ob{inutl in
ca rezultat ob{inem faigceusrticoaazreFc'a-re unei migcli:i arbitrare
o F,'. Tra'nsformarea fi-
gurii F in F", evident, va fi o transformare de asemdnate,
insi ea nu este in genere o ornotetie.
La fel ca gi per-rtru migcare se demonstreazd cd la o
Teorema 9.4. Ornotetis este o trunsforrtaare de ase* transformare de asemlnare trei puncte ,4, B, C situatc pe
mdnate. o dreapti trec ir-r trei punctc Ar, Br, C1 situate de asemerrea
!etc{oe*aot:rreita"DefUiczCme)iieeoemtnnrnneetsu!ocioilxednn,deisaegnrtti,imor.plamuuftionnratcideenttuis.pelluo(t(nrrkfmiicxegt,au'.Orkle1yOas)c7.ed)lA.narentInrpuuctmtrlaooerddreeuiagcpcioeneummeanaosctctaectouotoeioelrsdratdogeronbinaoia&mttretaoe-re_--r
pe o dreaptS. $i daci punctul R e situat intre punctele A
gi C punctul 81 e situat intre punctele,4l gi Cr. De aici re-
zultl cI transfornzarca sle aserndnare trarcsferd d.reptefe trc
d.repte, sentidreptete ?.n sensid,repteo segmente[rc in seprnerc,te,
Si denronstrlm c.i trarusforrnarea de asermd.n.are gtds{rea.zd
ttngh-iut,ile dintre ser;r.idrepte" Intr-ader,.jr, admitem ci trans-
fornrarea cle ascnrlnare cu cocficientul /e transferi ungiriul
tlBC i* unglirul AtBtCt (fig. lbS). Supuncm unghiul AiJC
uirei ti-ansforrriiri de omotetie in raport cu
sdppd:eke_uomuo(nnnaaFicadcrixtettreueuec1lllepou'*4Atriebx(A'ixga(rktO'ti,ia)is,d4:aa,0.ekttkAi.)cxsgvirfuDa,ee,)cmnhec.cu:apDiac,surelpieinaauakcsnpegttdct,aaiteuraeObclusuiAAttaerafa;citaerreae,xfapcad{eagrebifofipigiasngrere:ieunmecrde.nioir,.eCraiApgEoktoi,renxrdietraroOa*epnb,acac4eroit.i\eo.ir$nlrie:r_uie virful 1ui B 9i
t:ceficientul dc omoteiic /u. Atunci punctele A Ei C trec
oA: lffiafi, oA' : V@iFq6y : |VE+T" in
De aici OA':kOA. pr"in urmare, transformarea intr-adevdr Fig. l5B F'ig. 159
132 t ??
punctele A2 qi C2. Triunghiurile A,zBCz;i ,4rBrCr sint egale {Jrmitoarea teorerni ne di cliteriile de aseminare a tri-
conform criteriului al treilea. Din egalitatea triunghiurilor unghiurilor:
rczult"h egalitatea unghiurilor A2EC2 Ei ,4181C1. Deci, un_ T e o r e n"i a 9.5. tsaud, t.riwf"agfaiwrt strut s.semenea:
egale. Ceea ce trebuia de- 1) dacd danii ungfatwri ate wnwta sint egate respectia au
ghiurile AtsC gi AlBtCt sint
dawd wrLgleiwri *te aeluikt{,t;
monstrat.
2) da& daxd. tatwri *te wnuis strtt propo;rfionate cw dow&
Transformarea de aseminare se aplicl pe larg in practi- lstari sle aetuitatt gi wrigftiwrite farmate de aaeste taturi
cd la efectuarea desenelor pentru piesele maginilor, construc-
pentru planunile de teren sint ega{e;
{iilor, transformdri de asemdnare g.a. Aceste desene repre_
ale imaginiror inchipuite 8) rlaed f"aturi{e wnui triung!fi stnt praparfianate tw la'
zinti
turi{e cetuitslt"
zisneinnmtuldnlrlaeirgnsteecansracasturIdra.:1lSD0.e0ceoaxceeemfiacpsiletua*,tidunalscdedealmoatsnueilmcddeinapurdnemuiiinncte"sunetriumreiepdtrreuu-t
de pe plan ii corespunde I m de pe teren. Demonstraf ie. Fie ABC $ A'ts"C'douI triunghiuri,
pentru care ar'e loc irna din condi{iile:
1) LA:LAv LE: /"8t,
,lotului unei gospoddrii la scara 1 : 1000. Si se determine 4+A+,B:,-LAq,-c,r' -1- 4: 7-A1z Fie
dimensiunile lotului gospociiriei (lungimea qi ld{imea). ., IB AC BC
Rezolvare. Lungimea gi ld{imea lotului gosporldriei ul.'-ArBr Arc, I,c,
SX demonstrlm ci triunghiurile sint asemenea.
pc plan sint egale cu 3,6 cm gi 2,8 crn. Deoareca planul
este efectuat 1a scara I : 1000, dirnensiunile lotului goipodd- o:9r" Supunem triunghiu.l ABtCt u"nei translormiri de
r:i2e8i s(inmt).egale respectiv cu 3,6X1'000:36 (m),2,BX1OOO: aseminare cu cceiicientu'! de a,semlnare fr, de exei-nplLi, unei
60",{SEMAN,AREA F'IGURE[-OR transformlri de omoieiie (iig. 1G0). lriunci l'r8oCst.olin,rtiirn-aeduen'
triunghi oarecare A,tEzCz
egal cu triunghiLri
Doud figuri se nurnesc asemened dacr ere se transferd viir. in prir-'rttl caz av?m:
asenilnare. pentru a
una in aita printr-o transfornrare cle /*11: /-4,1:26r,
nota ligurilbr, se folosegte un sernn special: *.
Cele asemSnarea LE: /-E':7-Br,
se citesc astfel : ,,trrigura F este asen-ienea A282:kAfit:AE"
scrise F*F'
tc*ru'oLfiAtgrruaBnratsCf^orFrm"s'.eatrprnerendsoeutpaau{sinaecrahcslnieamvreirdfnuselrriiliaetfrrciruaprneegshloeicusururiliparerra:.poAurnA.rpBpurCinn__-
zd,toare, pardoipcdrieAthtfrielecetriannsAfor,rrInd-irnii Br $i C_in
Cr. ci
Din de asemXnare
rezulti
f&gurile &.setd,er&e@, au unghiwri{e corespunzdtoarc egale, iar
segmentete corcspwnzd,tawre praparliana{e. In particular, tri-
unghiurile asernenea ABC gi AtBtCr au
LA:LAI, LB:LBI, LC:LCi
AB:gc_AC
ArBr B,C; - A,q"
Fig, 160
134 t35
Triunghiurile AtsC gi AzBzCz sini 3. Care fisurd se numeste central simetric5?
egaie conform criteriului al doilea 4. Ce nuniini ccntru de'simetrie al f igurii? Dali un exemplu
de egalitate a triunghiurilor. de figurd central siineiric5. in raport cu o dreaptfi
Care"puncte se numesc simetrice
In cazur al doilea
datS? raport cu o
LA: LAz, AzBz:AB, A2Cr: 49.
6" Care transformare se numegte simetrie in
dreaptl datS?
Triunghiurile sint egale conform ?. Care figurd se numegte simetricX in raport cu o dreaptl
criteriului intii de egalitate a triun-
Fig. 161 datl?
ghiurilor.
E. Ce numim ax5 de simetrie a figurii? Da{i un exemplu.
In cazul al treilea 9. Care transformare se numegte omoietie? Ce este centru
de omotetie, coeficient de omotetie?
AzB2:trU, BzCz= BC, AzCz:AC. DCaerme otrnasntsrafoiirmcIarseimaeftirgiauriini se numeqte migcare?
10"
Triunghiurile sint egale conform criteriului al treilea de 11. raport cu un punct este o
egalitate a triunghiurilor. Deoarece triunghiul AzBzCz este migcare. ci simetria in raport cu o dreapt5 este o
egal cu triunghiul ABC pfimul se transferd in al doilea 12. Deinonstraii
printr-o migcare. Deci, triunghiul ArBrCl se transformd ln miEcare.
triunghiul ASC prin efectuarea succesivd a unei transfor- to. Explica{i ce este roiatia.
mugj_ de asemdnare gi a unei miEcdri, iar aceasta este o t4. n.inonJtru{i cI la *ig"u." punciele situate ppdes.ioredarzed.apotr6-
ttarfSbrmare de asemdnare. Criteriile de asemlndre a1e trec in puncte
situate pe o dreaptd 9i se
triunghiurilor sint demonstrate. dinea lor de amplasare reciProcd.
15. In ce trec dreitele, semidreptele, segmenteie 1a mi9-
trroblemd (37). Coardele AB gi CD ale unei circum_
ferin{e se interiecteazd iri .punctul S. Demonstra{i ce care?
AS".ES:CS"DS. 16. Demonstra{i cii la miqcare se pistreazd unghiurile'
Rezolvare. Ducem dreapta BD (fig. 16l). punctele 17. Care figuri se numesc egale?
,4 qi C sint situate in acelagi semiplan ln raport cu dreapta 18. Ce numim translormare de asemlnare?
lg. n.*o.tstrafi cX omotetia este o transformare de asemX-
BD gi anume in semiplanul unde este situat punctul S. nare.
20. Demonstrafi cd transformarea de asemdnare plstreaz6
Deci unghiurile inscrise DCB gi DAB sint egale. La unghiurile.
se demonstreazx 2{. Caie figuri se numesc asemenea?
fel gi egalitatea unghiurilor inscrise ABC Formullli gi demonstra{i criteriile de asem5nare a tri-
22.
El .4DC. Din egalitatea unghiurilor indicate rezultd cI tri-
unghiurile liSO 9i CSB sint asemenea (teorema g.b). Din unghiurilor.
asemdnarea iriunghiurilporsr_ez/sultd proporfia EXERCITIT
as cs t. iConstruif Cp(u-3nc, tel)le, simeirice cu plnctele 7 (I, 1-)"
D{-2, 2), Et-3, F(2, -l}
De aici 4S..BS:CS"DS" B (2,3); -4),
ln raoort cu oriqinea coordonatelor.
a, Construi{i punclele simetrice cu doui virfuri ale unui
IIUT'REBARI PENTRI.J RtsPE"IARE triunghi'in-raport cu cel de-ad treilea virf al lui.
t. Explicafi care puncte se numesc simetrice in raport cu 3. Del)iedmCeoos"nnismstrtareu{iit{cir'idpeuc.necntterlterl ufiei circumferin{e este centrul
un punct dat" 4.
Care transformare simetrice cu punctele A(i,l I}'
2. punct dat? se numeqte simetrie in raport cu B(-2,3), C(0, -l) tn raport cu axa rr.
t36 137
5.E2E(s)-t4eC,odnla)s,ttrtFuriif(u-ni2g,pliui-un2lc)tAeiBtenCrs.aimCpoeortntrsicctueruacilxiuappVu,unncctutei leC'Ds(im2,et0ri)c, dreptei AinB.raCpeorrte'pcurepziunntictluigluOr.?a simetrici cu segmen-
Construi{i aceastd fi-
cu C in raport cu dreapta ,48, folosind cornpasul. Lul AB
guri.
6. Demonstraii cI dreapta care trece prin centrul unei cir-
2tr. Sint date dreapia a 9i punctul O care nu aparline acestef
drepte. Ce reprezintd
figura simetricd cu dreapta a in
raport cu punctul O? Construi{i aceasti figur6.
curnferinfe estc axa ei de simetrie. 22. Cite centre de simeirie are figura care constl din dou[
7. Consir"i-li{i pulicteie in *cla) rclatr:oercloipeutinaccteuleceAn(t1ru,2l i)n,
B(2,2), C(-1, l), O(3, drepte pa,ralele? Unde sint situate ele?
23. Cite axe de simetrie are un triunghi echilateral?
originea coordonatelor qi coeficientul de omotetie egal
24. Demonstra{i cd punctul de intersecfie a diagonalelor
cu: l) 2;21 3.
8. La o omotetie punctul X trece in punctul X' gi punctul unui paralelogram este centrul lui de sirnetrie.
25. Cite axe de simetrie are un segrnent?
lYe-X,inXp',uYnc, tYul' Y'. Atla!i centrul de omotetie dacl puncte.,
26. C?te axe de simetrie are o dreaptd?
nu se afli pe aceeagi dreapti.
9. La omotetie punctul X trece in punctul X'" Construi{i 27. Demonstrafi cd dreptele care trec prin punctul de in-
centrul de omotetie pentru k egal cu: 1) 2;2) 3;3j a" tersecfie a diagonalelor unui pitrat, paralel cu lattirile
10. Punctul X trece in punctul X' \a o simetrie in raport lul, sint axe de simetrie.
cu un punct oarecare. Construi{i punctul in care trece
28. DemonstraJi cd diagonalele rombului sint axele lui de
punctul Y 1a aceasti simetrie. simetrie.
29. I ) Sint date douS drepte ce se intersecteazi gi un punct
Xl, La o simeirie in raport cir o dreapt;i oarecare punctul X
care nu se afld pe aceste drepte. Construili un segment
trece ?n punctul X'. Constriri{i punctul in care ffece
punctul I/ ia aceastii simetrie. cu extremitS{ile pe dreptele date gi mijtrocul in punctul
12. Distania dintre orice doud puncte ale unei figuri e mat dat.
ilicd decit 10 crn, iar distanfa dintre orice douX puncte 2) Sint date trei drepte: a, b, c care se intersecteazi
doud cite dou5. Construi{i un segment perpendicular pe
ale afiltoeai rfeigsuimri eetrimceaiinmraarepodret:c1it)1c0ucmun. Aceste f iguri dreapta b, cu mijlocul pe dreapta b gi extremitdfile pe
vor punct; dreptele a tri
2) cur Demonstra{i
o drcaptS? c.
13. Construifi figura in care trece iriunghiul 4AC la rota- 30. segmentele de lungime egal5 gi unghiu-
{ia in jurril virlului C cu un unghi de 60': l) dupd cI
rile cu mdsura in grade,egald se suprapun printr-o rnig-
acele de ceasornic;2) coirtrar acelcr de ceasornic.
care. au: AB:AtBr,
3{. Paraleiogrameie ABCD 9i AtBtClDt cI paralelogra-
14, Construi{i un triunghi echiiateral care are un vtrf dat,
iar celelalte dou[ vilfuri se afld pe dc';l drep'le date. AD:ArDt Ei LA:LAt. Demonsira{i
mele sint egale, adicl se suprapun printr-o migcare.
i5" Un triunghi poale oare avea centru de silnetrie? 32. Demonsira{i ci doul romburi sint egale daci diagona-
lele lor sint egale.
16" Denronstraf i cii patrulaterul care are centru de simetrie
este un paralelograrn. 33. Demonstra{i cI doui circumferin{e de aceeagi razd sint
egale, adicb se suprapun printr-o miqcare.
17, Derrronstlafi ci dreapta care confine rneCiana dusi 1a 34. Demonstra{i c5 ligura asemenea cu o circumferin{d este
baza unui triunghi isoscel este ax5 de sirnetrie a tri-
unglriului. o circumferin{5.
18" i) Demonstra{i: daci un triunghi are axi de simetrie 35" Aflaii locul geometric al punctelor care impart in ra-
ea trece printr-un virf al 1ui. portul m : n toate coardele care au drept extremitate
Deinonstra{i: daci un triunghi are axl de simetrre comunh un punct dat al circumferinfei.
2)
el este isoscel. 36. ln figura 159 e reprezentat planul lotului unei gospo-
ddrii la scara l:1000. Si se determine dimensiunile'lo-
3) Dernonstra{i: dac5 un triunglii are doul axe de sl.
metrie el este echi'iaterai.
37. tului gospodiriei (lungimea Ei li{imea). se intersec-
19" Demonstna!i cI dneapta care r:on!ine bisectoarea unui Coardele AB gi CD ale unei circumferinfe
unghi este axa lui de simeirie.
20. Sint clate segmentul AB gi punctutr O care nu apartine teazd in punctul S. Demonstra{i ci AS.BS:CS DS.
r38 r39
38' lntr-un triuirqh.i: crat inscricli u" n prtraf, <iour virfur! 53. Douh triunghiuri dreptunghice sint oare asemenea daci
p. lririu'arii;
ale carrria sc afla unul din ele are un unghi' de 40o, iar celdlalt are un
4'0A43'2309,c"".".flcTsIuetg?etcLFL_ruurillugro:lnraeaialc:rrula.u8ul5ttiiilrnellu:tulJaree,eecgs'crrr'lriglc:ihulerru,ll!uecnr,ac'_ir.rugin.Scuitl1c,a/curuuugbu*gt1.iIsilrBra.rcieliinirrr'cratrlcru.rirCa.r.arr,.illi_aiiAuiilulclu-estin7B_rnvTrulacrig-tiuCgirLirntc0'ufrhuirnmr,Lui"nrus8iriE'-ling"gnaor;amirri;qlAsgalsr,r.;ct.ci<risie-,hucSceiis,,olii;ar,.n0rp,cctcp-_ilr"zrnu,,re:ir*tbLca'se"lnrtc;rtrOcip,ueac;unap-.ra;'nb*ao-*-ua^-ttglb,aanln^r"ue.ah'zt"gn1'oieziihAu._liaaco;ciu"r-,r-aaAbi.rClclp"oa=ui4Dclrrl1z,c,::l:_-ir8:ui,5iissAir-diuol:,:tlmi.,r6n4snt"irrc.L',i.u.rri-c,iAfBc.'i.Al'"c'r,rerl\i:LIialf.icl'aLlri"'aai"titiuinBtuinigl'i"isrtc*uri*.licitaUian,ue*_,_-i-
54. unghi egal cu: 1) 50'; 2) 60"? aP,triiaurnglahtuiurlauiBACB*C
O dreapti paralelS cu latura AB
intersecteazl latura AC in punctul
in punctul Q. Demonstra{i ci triunghiurile ABC qi PQC
sint asemenea.
55. O dreaptl paraleli cu latura AB a triunghiului ABC
-ivmirpfaurlteCl.atIunraceACraipnorrtapimoprtaurltem : n, considerind de la
latu-
aceastl dreaptl
ra tsC?
56. In triunghiul ABC e dus segmentul DE paralel cu la-
AC (extremitatea D a segmentult-ti se aflS pe latura
tura
ialE*pe latura BC)" Aflafi AD, dacd AB:
AB,
:16 cm, AC:2A cm gi DE: 15 cm.
57. ln problema 56 afla{i raportul AD : BD dach se gtie cE
AC:DE:55:28.
:44" FibAllRirJaploiieBeccfridmy:ziit{oeloobaonilu'tnvruurtiisaz2irittdtiinrrnlieaicraonnvtiinirtriii"iironYme"iAbiulhmurplniC.erriiainrgm-urra"Ahitnae"l{ia,g;uisrqiierlnn(u:r.aeiniui+ia;.r"Ji;cug;Ar-nu;1i-d*cnt.Jr,i^iuiii,tcAie.1u"i*rBro'ci'i"d-uci_r,eln",1p,igp,gt6,lurirtrniciicrcgmfcrhln.rai"cg,ccpi'tBci,uus1oC(nl6bB1(:orc2rl-)rrmiL0iiuctrei.rLqcAcpmhcfer__, 5S. Afla{i lungimea segmentului DE din problema 56, dac5:
l) AC:20 cm, AB:17 cm gi BD-11,9 crn;
4b. 2) AC:18 dm, AB:15 dm AD:10 dm.
59. Sint date scgmentele a, b, 9ci. x:
4rs" Construi{i segmentul
* ac
b'
60. Sint oare asemenea doul triunghiuri echilaterale?
47' 61. S2L3l:::)12)a\in150tAAAtu6BrBoBccdialmm"m:e::1rl,1,e, uBBBmmmanttstC,Cu,,CeAAiAmrtt::t:CC12eCr1in30u::2:e122nacc,dg5mmmtmmhr;.,imi;u,Bn,sBCgBiCnh:C1t:i1u,e:2r,zgi55laemlmmeA:;;BcAA,4uCrtrBBB0t9rt,:::i81BA0lm0rBdc,cmtmmC!,,,,r6,AAAd11mtaCCCc1S1tg::::i
48' liitrrarlprtrocttroeicuncanuitgzc{ahlceiuruiiprriuccieis,itplic-acTlstu'cJgnnnrgueiirr'.icaii .cdarrrclip'Brt0uCncgigniir.irc1n8eii1srtciei1e-rs"g"ian"iri.i.clcriiurrs"e2Isi.n),dc,tiln- ,
62.
fimile BD qi 81C1. Demolsiraii ci _B!_: -49_.
RmI:issll-Ubr'faur1ian2unricaIc^inr1Emr^2tzAlztierrgrBntpe^aa-i.pcutclume^armvCgdnjlsLin.aaougltatir.a{rnarrrirIiiLautic.icPriulrert,nueptxi.iesrd{,uaslr-,iaLar"crr"rholen'aorr{saiiia'A2bugct1rtttf,:il'iCigiric"ec5ta.r.:au'rairii,la.ntiodiluIccdc,L:icrri'nr,:.,iiica4.gpZsani:rmilierbu6rr'1'iIteputagi;cu4cu,riezm,idr;Acc,I#sa2urlg?odeBet1hi;irer1c"oinn-C-u;ia;n,ujt8tdiIi1.eiut;;rei,edgt;viil..:p-i^li'a.il.'r'.uAAdaiiAi."srnauslo."naDrl-Iursr;:s;cieiAiEie''ifialicinrrog;a-"''i,mAm,pur12r',ri"e1dci"irr.ca,-nAri'_tS;ti:tt-uBir;iu.iir.Liun.rliCiu''ia-t.;srarAiit"Iieor'lu,'i;ra'"iaD*ri#brnral",1eiir'A':in,ibif"rgAii1dn.s,;artstt'1ciisCp:,,e"crnr',.i:_i-*;-t-,s,
49" 2 m. Afla{i laturile unui triunghi asemenea cu el, peri'
metrul cdruia cste egal cu 5,5 m.
,'ifi.50" r
63. Perimetrul unui triunghi constitut. din perimetrul
sn. *
unui triunghi asemenea cu el. Diferenla a doud laturi
52'" corespunzdtoare este egald I m. Af laf i aceste la-
cu
turi. m;
piLnulmnagicnimetelaqagiiuatmirmebrpieni5ucl{onim;uieilruaui gudneecia1ur,9ezinmeesteaesrtuiennfecigplatlo5vuceumrt3ibc5ra,d8l in
64.
cu
lungimea de 1,62 m. Afla{i inil{imea cogului.
65. Construi{i un triunghi cu perimetrul dat asemenea cu
un triunghi dat.
140
S6. In triunghiul ABC este inscris un romb ADEF aslfel
t4l
67" ilsrEanlcnatcguRzimretIalrccutinB{nut5Cegnll.doiuieAuri lfct.ulreainApate.ilcaitezladt,sdt.isutacderga"ciaraoarngopmoi.mloenurabnLla,ube.lfrcta-i',raraA-pvi-rie:.rjfzn-uuAliAEuEfi:l'a""si,t;eif';rna7a;pfT.iod;:tr";tDu;i'eli Ctrasa I
;;,6E"AcIFOntltDl!:uurnen6.alirCacruie,idicellPln,AaudrDrcellaea^gpcmcBnspra-thtrag,aCas?eepipnuAijurztDnrdcdatoluinutDoalrleelusdpuriteg:eAciabgiAlamrfatBlatin5rallEnraeaptlCeleutet.D.naceucDrrlmeArradrer"itesblze.pcofsed'pilouuaprlcdaira,rmet.iltci;nedtiuacbcJaiap-ltaatrr"piezavi..mA;igiueiitlZiuiFoe,r,?lBfeiinenu"er"af:".l;,u"tldprnAaZ"lrituo-u;lBn-drAln;m^;i'^;e'".rt:ii.s'Aa"l-"riurni-ib"'iuiiraitp,terCnEcZztp"riga,:lDl,s?orhueaa*irri"mcupaO.taifiroilpriieemblJtraeiatma"prutztrAi,areea;-diBrtpm;eCitoae.eCigzB:Tilocau;fEC__al:;--i $ lo. vEcToRI pE PH-,AN
Af:clmdIur,.unie:fa.uPlJaltannt3,rt.lagini6iiu.rlth"e1eniianeaug.JpsthtutlterfireauiiimulpladAncetuiBstgzausouiCdr'seii1ucu,bricA-rdiili.uetsDanoAsegtcriBcehitdiCoAuelaala"ugBrccteruliul,iiriaBATb+c'auCEnilt,a3:D:C,zi'ciAAljmr(-Cdtl.no.irn:'u"2;i,*ip{)au"rCno"A;g-b:;t.hliiiciJ};irmul^'ril'fai.;o";b"p;r7ji;u;#l;s)i
6S. 61. TRANSLATIA 9I PROPRIETATIS-E EI
70" Considerim pe plan coordonatele carteziene x, A-Trans-
71.
formatea figurii .F, la care un punct arbitr'ar al ei (r, A)
7'
trece in punctul (x1 a, A+b), unde o 9i & sint constante, se
7&" numegte translalie (fig. 162). Transialia se defirregte prin
formulele
x':x*a, !':!*b. (*)
Aceste formule exprimd coordonatel.e xn, g' ale punctului,
in care trece punctul (x, g) la transla{ie.
Transta{ia este o migcare. tntr-adev5r, doui puncte ar'
bitrare A(xr a) 9i B(xz, wz) trec ?n punctele A'(xr*a,
Ur*b), B'(*r+a, !z* b). De aceea
A Bz _ ( xr-*xr), * el z_A r)2,
74. pDDciuriracnnugcmpotuunsinrclcMrcitelue.loD.p4cacntisrrruciotulunamasl.tetfrerainulfiilnu'.oli;e,iuAidulBJaCc"iu;rD-ntAr.sifiu"'e"tr.ir.Cii.nuuMticmr:slBi-e.Mici;"t;.et-"af^rrzMc.li^".i;tn"; A, Bo2: (xr_xr), + fur_Ar)r.
io.
De aici AB:A'B'" Agadar, aceasti transformare plstreazi
yflt'plduse doud secante 8E_C2ciza")Qr'a.eils)Ci-niDzcte,b(r',tmsBje",ocb"nte;si;al;tizi"urlsjai.ttnirra.i"n"r{utnir*eacin"Ibiuirn;A*tiB;ti',i;ixil;l distanfele gi deci este o miqcare.
punctele iBnrtr$ciACr;,i
Denumirea ,,transla{ie" e i'ustif icatd de f aptr-1l cI lc
iar B2 - AFA:; trunstafie punctete se d.eptaseazd. dwpd d'repte paratete (sau
dupd drepte ce coincid) la wnw gi aceeagi distan{d. lntr-ade-
/\1rL/l _nU2. I-lLe. vbr, admiiem ci punctele A(x;, At) $ B(xt, Uz) trec in puncle
76" tdcDarincdricngicutteriam-nMunltencgrCicipnncu2fasfn:ltMcciCnt cAi.4psuDa"n"slc-Micnmtc.etuB_oledn.up,s4s,te-r9oaoidliSrs.re;rqciia;J"-pnf'eat5adgn"tce;mra.?crcen;nitidtn,e"tecl;our,si;e;-pt;cu;;t;;ne;;ca;i;tzu;X;l
F,
pinltll.{i{r.nededpear4tel<sren vde.edaesudpinratr_putn*;a;vi;ito;ni, (x+a,g+b)
v7. mintului este de 6370 km? care zboarA {ao
dach raza
Ya-
7E. nCual.ulci udlaeiiteralezvaiziournizeoOntsutalunichcianroe, se vede din virful tur-
de 533 m. Aa.a lnatii,"*; i;i este
142 Fig. 162 Fig. 163
t43
8T Denronstraf ie. Sd incepem cu dcmonstra{ia unici^
t5{ii. Fie X un punct arbitrar al figurii, iar X'punctul, in
carc e I trcce la translalie (f ig.
0 165). DupI cum Etim, seg-
mentele XA' y AX' au mijloeul connrn O, Punctul X deter-
nrirti in nrod univoc punetul O-mijiocul segmentului A'X
Iar rrunctele .4 Ei O deterrninh in inod uirivoc punetul X',
deoarece O este rnijlocui segmentulrfi AX'. Faptul ci punctul
Fig. 164 I?ig 165
X' este determinat univoc pune in evidenfd unicitatea transla-
le A'(x1*a, Arl-b) $ B'(x2*a, ur+b) qtig. toel Mijlocul tiei.
segrnentului AB' are coordonatele Si demonstrdm existenla transla{iei, in urma edreia
punctul A trece in punctul .,{'. SA introducem coordonatelc
''- xt.LX2-fa ' !.,-_!r*yr-v2b "
carteziene pe plan. Itrie ar, 02 coordonatele punctului A, iar
2 at', dz' coordonatele punctulrti A'. Transla{ia, datE prin for"
Are aceleagi coordonate gi mijlocul segmentului A'B De aici mulele'
rezultb ch diagonaiele patrulatcru.lui AA'B'B se intersec :)Ct X 4- At, *A1, g, _ g { az, _sz,
Leazd Ei punctul de intersecfie le imparte in junritate. Deci,
acest patrulater este un paralelogrant. lnsa in paraielogram transferl punctul A in A'. Intr-adevdr, pentru x--a1 gi g:
-G2 obfinem: )c':at', A':g.r'. Teorema este demonstrati
laturile opuse AA' Er BB" sint paralele qi e6,;a1e.
complct.
Menfionlm cI in paralelogramul AA'B'B sint paralele
Problemi (3). La o translafie punctul (1, t) trece
9i celelalte cioul iaturi opuse AB 9i A'B'" De aici rezuiti cd in punctul (-1, 0). In ce punct trece originea coordona-
ta f;ranslafie si,fae dreaptd. treee intr-a dreaptii paraleld" {sau
?n sine). telor?
N o t 5. La demonstraf ia precccientS. ant presupus c6, Rezolvare. Orice translafie este determinat6 de for-
punctul B nu se afl6 pe dreapta AA'. ht cazal, cind punctul .mulele )dt:)c4-a, g':U*&. Intrucit punctul (1, l) treee in
8 se aflS pe drcapta AA', puncLrri 8" de asemenea se afli (-1, 0), (J: l-t o:-2,
punctul atrvaenms:la-l{ia- I l-e, cai'e b. i)e :rici
pe aceastl dreaptS, deoarece mijlocrrl segrnentuiui AB' coin- Agadar, data, translerd punctul
b:-1.
cide cu mijlocul segmentului BA' (iig. 164). Deci, toate (1, l) in punctul (--1, 0), este deierminata de formulele
punctele A, B, A', E' sint situaie pe aseeagi dreaptd. Cal- x' - 16-1, A' :g-1. Substituind in aceste fc,rnrulc cr)ordonl-
tele orginii {x-0, U:0), ob{inem: x':-), g' :. -- l. Aladar,
culiin distanfele originea coordonatelor trece in punetul t*-2,
-ul)n.ei traftsla-
l4.A' :W;-y g-t x;Y+ (:y;r6_11.$: V al + br, Teorema 10.2. Transformarea, inaersd
fii, este o translalie. In urma efectudrii suecesiae a doud
BB' :V@;- 0-xF;6}.+-W: Vt8+ b2. transtalii se obline de asemenea o trcnstafie.
Agadar, in acest caz punctele A gi I se deplaseazd pe Demonstra{ie. Orice translatie este datl prin for-
dreapta AB la una gi aceeaqi distanfl "yaz4ttz"-iar dreapta mulele de forma
48 trece in sine. )ct:x*a, gt:g*b.
Teorema lA.\" Ariaare dr fi, d.ow"d puncte A Ei A'
Transformarea inversd este dcterminatd de formulele deI
existd n translafie gi, numai. wrzu singur&, l"a care puft"atul A aceeagi formd:
x:16'-g, g: u'-b
ttece ir, pwmtlw|. A'"
U4 l0 Comanda l& 7 145
gi, prin urflare, este o transla{ie. Prima afirma{ie este de- Segmentul orientat se numeqte uector (fig. l6Z). Direcfia
vectorului se deterrninS, indici'du-se originea gi extremi-
monstrati. gtaeieaatr.luPi.enInLrudeasennodtairevceficato'erici,tovroumluifosleosnioltietearzedleprmi*icoi
si-
Fb acum date doui transla{ii, deterrninate prin for-
ale
rnulele alfabetului latin a, b, c, ... Se poate nota, de asemenea,
un vector gi astfel: se indicl originea gi extremitatea lu,i.
JC':X*a, gt:g-lb; Utrnneaocrei sint claozcuplecupvriimntuullutio,c,vescetosr,c,rideeaosruigpirnaeanovteacfitcoiruliltuei_.
rale a vectorului se scrie o sigeatl sau o liniu{i. ln figu-
x" -x'*c, g":y'*d.
ra 167 vectorul poate fi notat astfel:
Transformarea, care se obfine ca rezultat al efectuirii succe- a sau AB.
sive a acestor transla{iii este determinatd de formulele 63. V.ALOREA ABSOLUT,4 gr DxRECT!d
x,r:x*a+c,9,,=y+b+d.
VECTORUI.UI
Aceasti transformare esfe o transla{ie. Teorema este de-
te),Ddoaudciseelmeidsreepstuepsraepnuunmpersinc trla-ofetrlanosrileanfitea,tead(ciocoi reiexnistat-i
monstratd complet.
o transla{ie, care transferl o sernidreapti in cealalti se-
62. NOTTUNE DE VECTOR
midreaptS.
Unele mdrimi fizicc (for{a, viteza, accelera{ia etc.) se
Daed sennidreptele a gi b sint ta fel orientate, semidrep-
caracterizeaz6 nu nutnai prrin valoa$* ti Ei prin direc{ie.
tele a Ei c s?nt d.e aseneenea ta fet orientste.
De exemplu, pentru a caractcriza miqcarea unui corp lntr-un Intr-adevhr, deoarece a qi b s?nt la fel orientate, existi
moment dat nu e suficient si spunem, cd ei se miqc6 cu vi- o transla!ie, care transferd semidreapta a in b. Intrucit 6
teza de 60 km/ord, trebuie si mai indicim qi direc{ia mig-
cirii lui, adicl direc{ia vitezei. In legit,rrrX cu aceasta m6- qi c sint 1a fel orientate, existi o transla{ie, care transferi
rimile fizice indicate e bine si fie reprezentate prin seg- semidreapta b in c. Efectuind succesiv aceste doul transla-
mente orientate. Un asemenea mod de rei:rezentare a m5- {ii, se obfine o translafie, care transforml semidreapta a in
rimilor fizice se deosebeEte nLr nuntai prin iniuitivitate. semidreapta c. Prin urmare, semidreptele a qi c sint la fel
Acest mod de reprczentare are gi aite avanta je. Dim un
exemplu. Experien,tele aratl cd daci aplicirn unui ccrp A orientate.
clcul forfe c gi b (fig. 166), ac{iunca lor este c'chivaient5 Doud semidrepte se numesc opus orientste, dacd Iiecare
cu ac{iunea rinei singuie for{e c, cat*e sc rcp.rezintl prin din ele este la fel orientatr cLr semidrcapta cornplementartr
tliagonala paralclograrnului, construii pc scgmentele a gi b. a celeilalte.
Ani putea da qi alie cxemple, in cai'e opci'a{iile cu rnErimile
fizice, reprezer:tate prin segrnente orientalc, se ltcluc tra Problemd (5). AB Ei CD sint siiuate dc aceeaEi
cl::structii simple, ca qi in exempiul dat.
parte a secantei BC. Demonstra{i, cI semidreptele gA gi CD
Fig. 166 A sint la fel orientate.
j rio Fig. 167 Rezolva re. Supunem semidreapta CD translafiei,,la
care punctul C trece in punctul B (fig. 16g). in acest caz
dadecreepallaapgstiiansdCeumD-siepsledaunvpai:ni so,ruapdprraoeprautpncteduppdearredaarlepeltadaptcBauCB.CADB.e,pruaimncceitneuea_l sDien-,
147
nridreapta CD se va suprailune pe semidreapta BA, deci, Originea unui 'vectcr poate sI coincidd cu extremitatea
rlui. Un asemenea vector va fi numit aector nul. Vectorul nut
aceste semidrepte sint /a f el orientate. 1
Vectorii Xe gi CD se numcsc ta fet orientali, dacl se noteazi prin zero cu liniufi (0). Despre direc{ia vectoru-
I lui nul nu se vorbegte. Valoarea absolutl a vectorului nul
se-
midreptele .48 qi CD sint la fel orientate. Ei se numesc se considerd egald cu zero. Prin definifie to{i vectorii nuli
opus orlentali, dacYa aceste semidrepte sint opus orientate. sint egali.
Se numegte aaloare absolutd {sau nrcdul) a unui vector ile Din proprietd{ile transla{iei (teorema 10.I ) rezultl c6
la ofice'punet se
lurgirnea segmentului, ce reprezinti vectorul. Valoarea ab- paate depune un uector, egal ca vecta-
,clutl a vectorului a se noieazA prin lal. tul dat, gi numai unul singur,. pentru a demonstra aceasta,
e suficient si efectuim transla(ia vectorului dat, la care ori.
Doi vectori se numesc egali, dacd ei pot fi suprapugi ginea lui va trece in punctul dat.
printr-o transla{i,e. Aceasta inseamnX ci existl o transla{ie,
care transferd originea gi extremitatea unui vector respectiv 64. COORDONATEI.E VECTORULUT
in originea qi extremitatea celuilali vector. De aici rezulti
ch vectorii egali sint la fel orienta{i ,gi ega{i dapd aaloarea.
a salutd. Reciproc, dacd uectorii s?nt la
fel orienta$i Ei ege{i Admitem cd vectorul a are drept origine punctul Ar(xr, gr),
dapd ualoarca absolutd., ei sint egali. Intr-adev5r, iar drept extremitate punctul Ar(xr, gz). yom numi coor-
fie AB -a
qi CD vectori la fel orienta{i, egali dupi valoarea absoluti donate ale vectorului numerele ar:xz-xt, a2:!2-!1. Co-
(fig. 169). Transla{ia, care transferd punctul C in punctul
A ,suprapune semidreapta CD pe semidreapta AB, deoarece ordonatele vectorului le vom scrie alrturi de notafia lite-
rald a vectorului, in cazul dat d(a1, a.z) sau, pur Ei simplu,
ele sint la fel orientate. Dar intrucii segmentele AB 9i CD 6 d.Coordonatele vectorului nul sint egale cu zero.
slnt egale, in acest caz punctul D se suprapune pe punctul Din formula, care exprimi distanfa dintre doui puncte
B adici translafia transferd vectorul CD in vectorul AE prin coordonatele lor, rezultr cx valoarea absolutr a vecto-
D:ci, vectorii Z?-gi CD sint egali. rului cu coordonatele ar, az este egali cu
Problemi (9). ABCD este paralelogram. Demonstra{i traSvv-
egalitatea vectorilor An 6 OC. Teorema 10.3. Vectorii egati au eaord.onatele eores-
Rezolvare. Supunem vectorul TEtransla{iei, la care
punzd,toare egale. Reciproc, dacii coordcnatele eorcspanzfr-
punctul A trece in punctul D (fig. 170). La aceastd transla- loare ale aectorilor sint egale, aectarii sint egali.
{ie punctul .4 se deplaseazi pe dreapta AD, deci, punctul B tcg*adlites)eDa.extelrDouembeimfviioantoaeincrteisdfasitinerrraervaesfe-cpditpeoeercri.tuncivltFdur: -iieAaoo,m'4.rtr(braDx(ixiner,*svo,cleaag,crferitU)eoc,er$ti+iovdAdre'iglcrg,(itinxoAearr,,ua1,lg1agazxuiz), *eaeocxcrg,leirgaelgeitmnarce4ig_uai
se deplaseazd pe dreapta paraleld BC. Dreapta AB trece
coordonatei x2-x1, Uz-At.
intr-o dreaptd paralel6, deci, in dreapta DC. Prin urmare,
punctul I trece in C. AEadar, transla{ia noastrd transfera
vectorul An n vectorul DC deci, acegti vectori sint egali.
A
Fig 168 Fig.169 Fig 170 Sd demonstrdm acum afirmafia reciprocd. Admitem ci
i48 gcsoi'nrotrcdeoogonaradletoe.nleVaotcemoleredpseupmunoncnztukslttuoraiarAce i,vavleeiacvrtoexrci,i2tos+irniilto5er,Tg,aAclizo.oF$rdieoTn,avet!e,lg,ei
t49
JlunclulLli ,4':. Ccnforrrr ccndiiiei teorenlc t rz*--xr=-- K'" t*-:x't, A:'*-Ar. Acilstea sin,f cr:orciitnatcle veclorulni AC. Co;-rlorm
U:*!lt:lJos--il'i. De aici Xtz:Xt-l.{'r*-.{1, E'2:'Sz-fA't*Vr.
teoremei 10.3, vectorii dS+.BC qi 7E s?nt egali" Teorerna
Translaiia, dcterruinatl de formulele
xl =. x4- Kt1*tt1, Uo: ":j* !J, t_At, este rieincn:;trat5.
'leorema i0.4 indicd urniito'ur procedeu cre ccnsiruc{ie
Lrarrsier";i punctul Ar, in pullctul A't, iar purictul l2 irr p.unctul a sumei unor vectori arhitrari a si 6.
Din extremitatea vecto-
,4's, adicli vectcrii T.E; { A:rN, sint egaii. l'eorerla este rului c- trebuie sr depunen'l vectorui 6/; egai cu vectorul 6.
rovAualtiluliunfnieicsrideuv,meaiacastou"rrrmeuecelx,titoraearirlnodcirtoiari*u'iei'ie;a;oci t-rdoigrici(nflsierge.ecnxotu7timr.lrc,ceriqracrti)ieei.a,ctA,eurcaeegosvurticlgapcirntotoreciuraeunclgviueefuticiut&do_e'-,
eiernonstratS.
Froblemi {i3}. Sint riate l.rci punctc: ,4i1, l),
8{*i, CI), C(0, l}. Cisifi un, astfcl de punct D(x, y), i*cit
vec'rorii ,aB gi CO-sri fie egali.
Rczoivare" Coordorratele vectoruiui 7E vor fi lu['" de adunarc a vectolilor.
-2, -!. Coorclcna'iele vectoiull :. CD vor fi x-*A, g-1" In- In cazul cind vectorii au origine comunl, sufia lor se
y-^i-*i, reprezinti prin diagonala paraletrogramullu, pe
trueit ,4F:CD] avenr .Dv-: 0x::--_22,, De aici ailim construiL
lJ -.A.
coordonatcle punctutrui acegti vectori (,,regula panalelogramutrui,,, fig. lZl, S). In_
6t;.,4D{J hlARil,A VE,{l'r'CIRr {-GtR tr-adev5r, VE+E{:Ee, insk, SC:A;D: neci, Ta+Efi:
:11 L.
$e nulnestc sut:i tt aectarilcr i:ui $ cu c,.rrrrdr-rnaterle
rrl_ C2 +i br, lsz vL.ctorltl f cu cocrritneteie fit4 br, g,z*iiz, {ine oblemd (iG). Ce forfl trebuie aplicatd pentru a
pe loc (ca sI nu
a(il L.. .ifi' lunece} un corp cr_r greutalea F, si-
tuat pe un plan inclinat (fig. lZ2)?
R e z o'! v a r e' Aciiu'ea for{ei de greutate p este ecrri-
yb-leAngtid-OcBu. acfiunea a cloud forfe, reprezentate prin ver:torii
1'-l:'i!!{ ,i'3-,il r, prima e perpendicularh pe pianr:l inclinat gi nu
a. l:' provoacl deplasarea
corpului, ilr a doua este egald ca mI-
't::ii' I lt:til;ist;i it 1t.,, . , rirne cu tarla F, ce fine corpul pe loc, insl_i orieniatd in
ilrj:,'l,i.aarC 3]g 1g'1 i,,r i direcfie opus5. Daci planul inclinat formeazl
r;,1r,!'ici. V-crlcirt l.-, i ungiriul u cu
pianul orizonial, atunci GB:oc sin s. prin uFriiare,
. . ,trr',i cl tr' , ,F, care fine pe loc corg;ul, forla
culeazi situat pe
i lll"i {.lrr:;:dre ay" ti ::.:tt durl formula F:F sin o. planul inclinat. se ca!-
,5e nune,cte cliferen{ii a acctcrilor a(a1, or} $i 6(b,, br)
,,iB-i . ff:,..ii
i r, . lric ,4 (:,;,, ii,;, '11',.,1, :j:i, i''-
',.; -li: r' ':l-,-riil-:; 1 -j li-, ;l '-.i r .1,.;,
: "',i i -,ir. ,",," j:
.l':::;i..,i ll8-; , -;: *J:'.. a+b
Fig.'I7l
1"ic
r:r
p\,r A $lBui-ina.ru4mcvoeoorrrdefolienant1ue,mlae1e,vrteculcaetzoa.ruEr lcuguiiaaati.zu,ACitaurrn"cpciot.coiorOdoorAdnoantaearleteelfeoprurpnnuacn:tcutluu-i
772m7fr7; /\ sjr+ Frr: 0.
Frg 172
^t&*'**#c sdp?tetBslmeie"oune-sl).lanmettneei0e^rDacoenp,tpestp,sueeuouiupo,ilvtnetausnuaecuscraecrncaoeatoeumtttccrrtouctqiietpiuecraudlpiuieindirrlaeecietrAaBcaospuB(dee{otCgiaei(ermra)ip1,des"s7iou,a.stsd"teOnarip1iar,taestes2.uAat}lai)ice,an"t,,puulaOttseetaaaazilapt{Aaute)uiceeep.tafDo,useeetCstmale.eespo,rzometnposear"miairaid.ei.dscl,lrtrenJ.ociai*os*trnntaeprlfpaidaiseftucpuiuatf.rzuret5pr.a.:Dult.acc;tei.a,iutalOputDvcctgOliltAae1iuaiecA,ci,ddiI,tciAace*eoO2ogc,pr,cmeciiu,i,oaioeapunopocalplecrrrecr,ddu"miEtoctnoduu".onnieu.alnoataunlgcuu,rB__-ra_iiif
Fig. 173
un astfel de vector c(t1, c2), care in suml cu vectorr-ll D dd q;q:tValoarea absolutl a vectorului l,aeste i ll Af.
vectorul a: 64- c:a. De aici afldm cooidonatele vectorului 1 )'i 1 :1/lTA,il+Tla;ll: I rIV
C: d.-6; :Cr at-b t, cz: az-bz.
Teorema e demonstrati.
Problemd (19) Fie dali doi veciori cu origine co- I eB_n(taxPfr,i.rUoibl.Dleemmdons(tr2a2fi )c.Sd ivnetcdtoarteiimpu9nciteBlTe-
mun5: AB 9i AC $ie 173). Demonstra{i ce AC-AB:Ee. A(xt gt) qi
Rezolvare. Avem: An-fnC:AC Insd aceasta in- sint opus ori-
seamnd ca AC-nS:dC-
acArdttuoiouelroalrmi-inTcDrRtigioiea.cucoope4rdooreii1dz.li7riav,aneooqEercniimlqecavvB:ertteaieoaTaclgsrreetiiieso1nldncir)0t-nuorE."p6telrn.reVTaooBusCpeppApiutociouisto_rsDnoslriozeraoedudrcuncoitleonioai,pnoaVualeetritrrandeE.en{aoli"$".rnvpreaiai"riprorctrtetee,ucperlcroetocreipopplrixaulornoiroorrn_iutdcanezsl,o"ardoctnidelzt,reoaae.cd,atFmedroial.eeeeycdicatiox_lt0lioszeA.ar_ibineruix.cetsvrtecViosnctgeoir_t-ii--
ss. fNR/tULT![tEA VECTORULUI CU UF{ NUMAR
d,a,IiP. A.-d*moitnemstrcai {vieec.totrriiiesian(iac1o, tainzi)ur,ii 6(b,, br) vectorii
Se numeSte produs al aeclorului (a1, az) cu numdrul R fel orientaf i-
vectorul (?\a;La;, adicl e :!J!0. gi la
(ar, qt)?u: (Xar, l"ar) . Considerdm vectorul lbt Vectorul d este egal cu vecto-
Prin definitie td,, a)X-1\6, ar)
Din defini{ia opera{iei inmul{irii vectorului cu un numlr
rezull| cd oricare ar fi vectorul a gi numerelc 1., p
(I+ p) Z.:xa+pa.
Pentra orice doi aectari-d gi T gi orice nwmiir X
3.(o+6) :1\tt+h6.
Teorema lO.CVatoarea absalatd a uectorului XZ estu
egatd. cu ll,l l;l . Fentru o+O a*trfia oectorutui is coin-
cide cu d'irecfia pectoruluiv" ciafi 1"7u, gi esle opusii direc-
liei aectoruluiT, d,acd. t,<8.
Demonstraf ie. Construim vectorii OA qi OB, egali
respectiv cu a gi ),6 tO cste originca coordonatelor). Fie sr
152
153
r ill il, deoarece, ccnform teoremci 10.5, el st^nt !a iel orien- vrcAae,(tcg*dRt1oi ere,pgi0tzao:)lori.*talldAv:1taEfel,aia.rl1icdei +:*a1.4ps"Eta6.fg1e*,al,$lo0di8nbe:.df1inn.cue.or0mnoe*rtdpdreoo.n1ufrad.t$eeilDecpuec,aoialnrleiic,csiditpipusnn:iQzcdfai,teroelaarrar:eieflv5aErl-fne_.
ta{i gi au aceeagi valoare absolutS. Egallnd coordonatele
vectorilor d gi f, obfinem:
4)aL: u,, or: )?t b".
lbt tb
I
De aici !L:)!L" !'- t!) . b, b, 67. PRODUSUL SCATAR AL VECTORILOR
Dect -_At" ---l*&t2
d1 lal a'2 lal atn6ou(trbm:iltoe,ldrrbelt-nl')so,uernm. ufPoemlrgood,tsedreuu$p!steruao.ltdbascruc*easaelzaasbrEczida.n.ladPoretsanaeftilrenuvocpteearcaotzdgodgrisilppuoretrinns6tcdr(au2ala.rprE,rovuaidid-ruue)sunuqt.,l-i
adici coordonatele vectorilor a gi 5 sint proporfionale.
Daci vectorii coliniari a Ei 6 sint opus orienta{i"1entru
dernonstra{ie irebuie sd considerim vectorul E:-+L6 -
t, i
bt -- b2 Din defini{ia produsurui sca!ar ar vectoriror rezu!th
Atunci exact la fel vom ob{inc iarEEi ar 62 cd
pentru orice vectori d.(a1, bz), 5{bb bz), E(cr, cz) I
Admitem aculn cI vectorii a gi 5 au coordonatele propor- (e+6\ E: aEI-be .
{ionale. Vom demonstra ci vectorii sint coliniari. Avem: lntr-adevdr, partea stingi a cgalitd{ii este (ar*br)er+
! (?r+ bt)cr, iar partea dreapti atcr* af t-f btcr* brcz. Evt-
br--bt.
a1 a2 eient, ele sint cgrlc.
Notind valoarea comuni a acestor rapoarte prin 1,, obfinem: ccfu-i".gAun-agCellh"ic..iuunSuluzned*m:girnnech.qturituerenl evude;niice;g't,hcturireinci,lgvicnehatrcireetdcviarneiuictrIioeoarriiogfierinniiceeoenrciudeolnomi7tiaubv{nielgcsgiteIioCsrciionuantrs-e!ligiigehariludfe.l
br:|,at, i'r:toar. De aici rezult| ek,6:?,,d.. Insd ac€asta in-
searnnl {teorema 10.5) ci vectorii stnt coliniari.
Problemi (31). Fie vectorii qi 6(-2, m\
a(1, -l)
colinari. Afla{i cu ce este egal nt.
R ezolvare. Coordonatele vectorilor coliniari sint pro- !:t: T e il r e m a i0.7. Frorj.wsutr xatst st aec{crilor este egal
prin c*si*wstfi wnglaiutwr
porUiionnavleec. tPorrisneunrmumareegte1--u2n:i,ta-rlr,y . De aici m:2. ire p'rodt;st,f rst;{{}{i{ar afssol.ute iin-
valoarea lui
daci ei.
absoluf& dintre ei. Avem:
este egalS cu unitatea. Vectorii unitari, care au direcfiile (a+6):: (c).*5) (ri-t-,-): (e+ 5iit4- tii+6)6:aa+6a+
4 a"6 -F 6ii: {t2 +2g6 I t;2,
semiaxelor de coordonate pozitive, se numesc aectort de.
coordonate sau or{i. Noi ii vorn nota prin ds (1, 0) pe axa )c $aLl
gi prin dz (0, 1) pe axa y.
:i d+ 61, I ul, 4- I612 i-2s6.
Orice vector Zqar, a2) poate fi reptezentat sab forrna
itrlr'li-rrirnlragsalieeimcgviielaeeresavsteceshceiistmvotiecrbilraelnor,urrtdiuccarid,cd,ipeIrsqccistoirtouearsrr*nulo6urnisacdtqeaei,racadroceoaiircaocicrosepneeraoactdexnupvusraiumdl efdsipcipnaarlrleaijensr
a: apt* azEz.
r55
lntr-adevir , aa" AJ: (eO -. 1e 7rI:c, ( 1, 0) +ar{dl-ij-:
: Q.Gr* dzEz.
Problemi (35).Fie dafi vectorii c(t,0), E(1,D,I
" 154
ln mod special. Alegem sistemul t2. Ce este valoarea absolutl a unui vector?
de coordonate xA, dup[ cum e 13. Care vectori se numgsc egaii?
Demonstraii
aritat in figura 174. DaeI alegem t4. ci din orice punct poate fi depus un vector,
sistemul de coordonate in aeest
mod, coordonatele vectorului A egal cu vectorul dvaet,ctqoi rniiumegaai ulinsuilnstinlgaurf.cl
!5. orienta{i gi
Demonsira{i ci
vor fi lal 9i 0, iar cootdonatele egali dupd valoarea absolutS. Qeciproc, vectorii la fel
vectorului 6 vor fi l6l cosq gi orientaii gi egali dupd valoarea absolutS, sint egali.
16. Ce sint coordonatele vectorului?
g. 174 [6[ sin g. Produsul scalar
t?. Dernonstra{i ci vectorii egali au coordonatele respective
d5: ldl l6l cos p*0[e-[ sin a: ldll6l cos q. egale, iar vectorii cu coordonatele respectiv egale sint
Teorema este.demonstrat5. egali.
t8. Dafi defini{ia gdundrii vectorilor.
Din teorema 10.7 rezulte cd dacd vectarii s?nt perpendt- i9. Demonstra{i cd pentru orice_vectori a gi 6
calsri, produsul lar scalar este egal cu zero. Qeciproc, dccd fi{b:b{d.
prcdwsul scalar a dai vectori nenati este egal eu zero, sec- 20. Demonstra{i cI pentru orice trei vectori a, 6, e
torli s?nt perpe ndicwlari. t):a+ @+ (a+ 6) +e .
Problemi (aZ). Fie dafi vectorii o(1, CI) 9i 6(1, l). ol Demonstraii egaliiatea vectoriald nE+ nC:nC.
oo Demonstra{i cd pentru a ob}ine suma vectorilor a gi 6
Aflafi un nurnEr l, astfel, inclt vectorul a+X6 sd fie perpen-
dicular pe vectorul d. din extremitatea vectorului d trebuie sd depunenr vecto-
Rezolva re. Avem: a(e+?r6l:0, e2+-?\(d6l-0. De ill| 6', egal cu 6. Atunci vectorul, a cirui origine coin-
cide cu originea vectorului a, iar extremitatea
aici )t:- a2, I:-1. - cu extre-
I mitatea vectorului 6', va fi egal cu a*6.
a6 23. Da{i defini{ia diferenfei vectorilor.
TNTREBARI PENTRU REPETARE 24. Da{i defini{ia inmul{irii vectorului cu un numdr.
26. ceDogeianmlcSoidnecsutcrua{ldfi ilcrle5,ctl{v,iaalvdoeaircreetcoafriuaalubviseaoc,lutdotalrcudal,uLvi e}?0c,"t,do9rpuieleunsitterl,udopaeu+sst60e
t. iExplicafi ce este translafia.
2. Demonstra{i ci translafia este o migcare.
3. Demonstrafi cd la transla{ie punctele figurii se depla-
seqzl dupi drepte paralele (sau dup5 drepte ce coin- direcfiei vectorului a, dacl l,<0.
cid) la una gi aceeagi distanfi. 26. Care vectori se numesc coliniari?
4. Dt[empaornaslteralifi(csaiulaintrasirnfsel)a.{ie o dreapti trece intr-o dreap-
5. Demonstrafi existenfa gi unicitatea translafiei, care 27. Demonstrafi cI vectorii (a" a) Ai (bb br) sint coliniari
atunci gi nutnai atunci,'bcthin2 d +::t-.
transferd punctul dat A in punctul dat A'. 28. Care vector se numeqte unitar?
6. transformalea inversi unei 29. Demonstra{i cI orice vector d(a1, a2) poate fi repre-
Demonstrafi ci translafii
este o translafie. Rezultatul efectulrii succesive a doud z.entat sub forma a:aer*azez, unde er $i ez sint vectorii
translafii este o translafie.
7. Ce este vectorul? unitari ai axelor de coordonate.
30. Da{i defini{ia produsului scalar al
8. DCeamreosnesmtriadfriecptiedsaecnlusmeemsicdrleaafpetal oarieenstatetel?a fel orientati 31. vectorilor. 6, e
9. Demonstra{i ci pentru orice trei
vectori d,
cu semidreptele 6 gi c, semidreptele D gi c sint, de ase- (d+ 6\ E: se* 6E.
menea la fel orientate. 32. Cum se definegte unghiul dintre vecLori?
10. Care semidrepte se numesc opus orientate? 33. Cu ce este egal unghiul dintre vectorii la fel orienta{i?
34. Demonstrafi cd produsul scalar al vectorilor este egal
It. Ce inseamni: vectorii .48 9i ZD sint la fel orientafi?
cu produsul valorilor lor absolute prin cosinusul unghiu-
opus orientafi? lui dintre ei.
t56
157
S5, Demonstra{i cI-'dacI vectorii sint perpendict-llari, pro- un astfel de nunct D(x, g), incit vectorii lB 9i CE sI
fie egali.
dusul lor scalar este egal cu zero. Reiiproc, daci iro-
dusul vectori nenuli este: egal cu d4" Valoarea absolutd a vectorului A$, mj este egali cu I3-
scalar a doi z-ero, Afla{i na.
vectorii sint perpendicul ari.
15. valoarea ahsolutri a vector*rui s(r,.24)
Aflafi n. este egatr.f; c* 2E-
EXERCTTil 36. C.e for{d trebuie aiupligcaretlu,.tpiteenatrpu, a ,Eine pe loc (ca si nu
alunece) un corp siiuat
l. O transla{ie este dati prin formulele x':x*1, g':g-1.. nat (fig. ;; ;; dr"" li.ri_
tpNAL(!(r040euaf,',cln:aeo-excl2)9ft*itu,ir)anplav.(u,na0(np-s,lgoc1ul2atrn')e,fi:?lic!ee5tt*ru)ebpp;lcue,3(nn[3)act,drtpuuaaaulcc)nce(;ic1ats2At,s-el)ltili)g(6pt-trtuira1eeinnn,cccse-tlifau3:oifnlri)eXm(p2)utpu,rpluene*ucncl3eecntutc)eitlntrluae(tlrnp-e1(us(0cl1n,a,ec0,f2t0ieu)int).li. tZ2)?
17. 424tA?))..l.ff\l.laagdaqf({(3it!**i-,q59Jrs,,)e,u,2c4ar}6t_n).o,{)a4E8rE,u(i..2v2l6ie-_,)_(:__c6rdt,So(-il-z)')i_6lo;o,^-2r(3'.)'-id3);:,'s()!Saji))c(i!,b)';aq,'6:os(t'(1_)'i(,,,i'-r6i.,T_,;(I2r+".j).,''1''lt;+iia,i'E:'E.;It)z6"il'l(6+f'(6t-2i.:(1,r__',' 3;A- i));;;
?. 18.
3.
ln ce punct trece originea coordonatelor? 19. Se dau vectori!@gi,,4e cu originea comunii. De-
monstra[i cd AC--AB:BC
4. iEnxisptdunocatruel o(Str,a4n)s,lafiiae,rlapucanrcet:ull) (p0u, nl)ct*ufln(1, 2) trece 90. Afla{i valoarea absoluti a vectorului s*6,
(-1, 0); daci:
punctul bll(J2, (*!2,^\:.-4) , 5 t* 4, B); z) d{2, 5), 6 {4, b): ei' otilo, z},
A2{*)B-1p,9u3ni )cCt-uDiln(s2in,ptu-lnd)cretuptlrtee(c0pe, a4ir)na?lepluen. cPtuulnc(1te, l0e)A, iaqri ASllfinlta"!t(1{idi,5_av,-tae:0lto))g"a,_rr{reFtr(an:0\c.,at-*basl,sg)otj.;l;(ux2tlt),aga-v,t)e*cg2tro,TSru{jl,;ur:iE,st!4-/_,r)6.,
E, punctul fIl21. rdjal-c-6:
D sint 2?" Demonstra{I
situate de aceeaqi parte a secantei 8C. Dernonstrafi ci
semidreptele BA qi CD sint la fel orientate. f3. aoDc-rr6eiiemrvn-eo't1canti{os3i,tririiiai.a!.iia',Sc,,ei*ci.t"rE4,irZrci;t,sror:i;n{ii,_ti_t1c{p"a!,u-2sl2'\t'c;'sruiS'eirnfgt(atd'iC"i"5,S;'_, *iil I "silnit'l!,apf*e*f
6. sDienmt oo'pnsutsraofiricefn, tsaeter,,riddraecpdtepleunBcAtel9ei CD din problema 5
de pdrfi diferite ale secantei 8C. A gi D sint situate
?" Patfulaterul ABCD este un paralelogram. Considerim i4 n,7,;.r-,:sci1:{i..e.!r.-;:tritj;S.,irr.l,iCig!Ir;i.r,nrct,..ir.t(11)':ir:,i.-::]ci"cttir;d\q,c,,:?:..;i}.,4,:r.1):i,i:ii ,",f iir:i"jr,rivcrrc,tiorirrCrl "E"i(ttrii,,,#birri)r,.*a
or
semidreptele AB, BA, BC, CB, CD, DC, AD, D,;1. Numifi ir,l rli.r, ritaI trr vcctciul a;
perechile de semidrepte la fel orientate 9i opus orien- u.
tate.
l.;'5. Se d;:u ver:il;r.ii o.{3, 2} ii 6(0, -*t i. ..\fta{i vectcru!:
8. Fe o eireaptl sint date trei puncte: A, B, C. trunctul B
9. AenuBsmiCtuiDfai tveienscttrteeoru.ii4nla9ipfCaerl.aoPlerriilenontgrtreaa{mvi e9.citDooperiumi sTooFnrs,ietfrneatfai,{mie. galEitai t8eTa
i I -*:ia I ab; 2j ita-*d; :j) 4{r+6.
vectorilor AB gi DC.
!r{i. sSlA)oefilaadu(fai3iiu,vaava'e.irc|;ccattrroc;eirraieui rlf;uir-(!*i:3:5s,c;lZ)ltu')2-t-)l72ai3a6)v(ie{0rac,(t$_o_;6r_u2,ll))u_.i4SArB}t{"-at;a-,itrcirla;vc5ad:lio"Sar"e-ia ab-
10. Demonstra{i cd pentru vectorii Tg, Ee gi AC are loc ibA.
f7.
ll. inegaritatea IcAI=eple<ntriu73oIric+e lErl. o qi 6 are loc inega- '1i8" lv5laeaedilioidc1a;ai.ru,{e<ivaipeaeaccrtiher:,:ertlch:)''iiialen;i'(di{l:.e,-ai}v,vtce3St,cl.},tOro;i2'r.cu(i1ol*"l,iit:n.i*i,i"a,ctrti_.*is+,te_l;_eZtjgj"aanliTtiSi_c,_"*-ti,gE_l..-"+A- if_-
Demonstra{i
vectori .il"
12. Flitiaetedaatelap+u6n1c<te,llea.l4(+0,l6l)l., B(1,_0L C(1, 21, D(2, l). De-
rnonstrati egalitatea vectorilor AB qi CD. .iilr. Care vect*ri din p;-ol:lelna 2g sint !a fel oricntn{i gi ca-
13. Sint date trei puncte:.4(1, l), B(-1,0), C(0, l). Gnsi{i
r58 r59
re -- opus orientafi? Care din aceEti vectori au vaiori 47. Se dau vectorii a(1,0) 9a+i 20,("61,slI).fiAef!pacIripuenndaicsutlfaerl dc
absolnte Afla{i cu pc
31. Vectorii esg(a1l,e?*l) 6(*2, rn) sint coliniari. numdr l, incit vectgrul
Ei
ce cste egal rru. vectorul c.
48. Pentru ce valoare a lui l, vcctorul od-4.0 in problema 47
32. Pcntru cc valoare a tui rz d(n, l), b(4, ri) este perpendicr.rlar pc vectorul 6?
coliniari gi la fei orientafi? 'cctorli sint
49. nDieanriio, nvsetcrato{irici da*c5iacEl iac9-6i 5ssininttdvifcecrtioiiriducnzitearroi
care din vectori' u(-+,+),ii(+, necoli-
sB. {-), "to, _r),
A(*, =+) sint unitari? Intticafi care qi per-
din ei sint coli-
pendiculari.
50. Vcctorii unitari n qi 6 formeazi un unghi de 60'. De-
rnonstrafi cd vectorul 26*a este perpendicuiar pe vccto'
n i ari? rul d.
VcDeeecmltaoonrli:si tdlr6a+{l.i6cu9iacju-tdoruslinvtecpteorrpileonr dciciuldairai.goDneamleolensutrnau{ii
34" rAufllacf (i6-v,8ec).torul unitar, coriniar Ei ra fel orientat cu vecto- 51.
35. Se dau vectorii d(\, ql,6(1, I) qi c-(_1,0). Afta{i 52.
drgiajll.luTE":?..,".-s1-,Fgui6_.p,.fnctt sI'fie asrfet
idbvaiata romb sint perpendiculare. .4(1, l), B(2,3),
"gutitut"i- u..to- 53. Sint date Dpeamtrounsptruanfictcei: 4i,
D(-1, 2). patrulaterul ABCD C(0,
36. Punctele M $i /V sint respectiv mijlocurite segmentelor este uir
: t"48 ,9i CD. Demonstrafi egalitatea vectoriai-I: ffN: 54. dreptunghi. puncte: .4(0, 0), 6(-1, l), C(0, 2),
(Tc+TD1.
Sint date patru
D(1, l). Demonstrafi ci patrulaterul ABCD estc un pdi-
37.2;t1,0) 9i6(0, t) sint vectori de coordonate. Cu ce sint 55; rsla)et.gSmiennt tdual tAe Btreiinpurnacpteo:rtOul, A, B. Punctrrl X impartc
egale coordonatele vle,cgtoi,ruplui?Znirre-p$rre7zentarea considerind
3^8-. lj11, de lr
a9(!-,--c5e, 4.sj:int egali pttggl./. Exprimafi vectorul OX prin vectorii
vectorului -olA::i
89. Demonsirafi_gg p."fl;t?il*ilt,"r, o- ei 6 are toc ine- gi OB:6.
2) Demonstrafi cd medianele unui triunghi se intersec-
galitatea {di)z4szgz. teazi ?ntr-un punct, care le imparte in raportul 2: l, coli-
siderind de la virfurile respective.
40. Aflafi unlhiul dintre vectorii A(1,.21,6(t, - + ).
4!. lrsdoueerlu6adi0a-"^du.q*ivDe6-ctdsoiarnicitidesggeaiqi6et.iecAucftdal,fviaivlaoarrriolueanrea[abnsiauobliu-saioelrnu-iitii!"a"**iv-tel"-cr.tito-"- $ r!. REZOLV,AREA TRIUzuGFIIURILOR
42. Aflafi. unghiul dinire vectorii d qi d*6 din problema 68. TEOREMA COSINUSURILOR
precedent5.
Sint date virfurile ,4(1, l), B(4, l), C(4, S) ale unui Teorema ll.l (teorema cosinusurilatl. Pdtratul or:.
43. edrei taturi. a unui triunghi este egcl cu suma pd.tratelc,r
t5jyngni. Afla{i cosinusuriie urighiu'ritor'triunghiutui.
4..4. Aflafi unghiurile triunghiului cu virfurile celarlatte doud laturi minus indaita{. pradus al acestor latu; i
prin cosinusut tw.ghiutui dintre ele.
A(0, yt) , B(2,7S), c (+,ry).
Demonstra{ie. FieABC un triunghi dat {fig. 175;"
45. Demonstra{i ci vectorii d,(nt, n) $ 6(-n, rn) slnt per-
pendiculari sau cgali cu zcro. Vom demonstra cd
46. Se dau vectorii d(3,4) 9i 6'(m, ?). Pentru
BC2 : A 82 * AC2*2A8. AC. cas A.
a lui lz acegti vectori sint perpendiculari?
ce valoare Avem egalitatea vectoriali Tg+fr:AC De aici EZ-
t60 Il 7Comanda l€ tti
,&,,N,Aa' surilor la tniunghiurileA8C 9i ABD qi obfinem:
. ACz: AB2 + BC2*ZAB' BC cos P,
ABz + AD|_ZAB.AD cos
ED2 : o.
e) ^U s c A I c A n Adunind aceste egalit5{i parte cu parte gi observind c6
cos p:-gts a, BC:AD, AB:CD, ob{inem:
Fig. 175 Fig. t?6
:ACz + BDz ABz * BCz + CDz + ADz.
:X1-:AB. Ridicild scalar !a pdtrat aceasti egalitate, obfi- Ceea ce trebuia demonstrat.
nem:
De aici g(z *ffi2 +Tc'*zan.Ee . 69. TEOREftlA SINUSURILOR
lEel': !,+r;'-p 6ct'-2i;mi lrEJ cos A. T e o r e rn a I1.2 (teorerna sinusurilotl. Laturite unui tfi'
Teorema este demonstratS. anghi s?nt prcpot$ionale cu sinusurile un$hiuritor opuse'
Cbservlm c6 produsut T7-Cl cosd este egal dup6 valoa- Demonstraf ie. Fie ABC un triunghi cu laturile
a, b, c Ai unghiurile opuse o, P, ? (fig' 178). Vom de-
rea absolutf; cu proiecfia AD a traturii AC pe latura ,48
ifig. i?5, o) sau pe prelungirea ei (fig. l?b, &). Semnul pro- rnonstra cd
dusului lTCi-ccs,4 depinde de unghiul A:,u*'0, dacd unghiul slna sinB slnT
A este ascu{it, ,.-"" dacd unghiul A este obtuz. De aici ob- ;:J-: r'
{inem ccnsecinfa: p&tratwt wnei f,stws.i a lriwnglaiwful este tu::rbniuig'sDnshingiiincnhclviArlua,irCl(ftfuiDBi"Sl-,Cco.dD;1c:a7&o8ocb"bloasfr\iuiinrn.nneagDimnha(i:ilfuc{iCiglimt.'Duleln:?aae8gs,chstDbieiun).l.aFDosI'nicneuAsmtfqrittiea,ouddnaoagvbarhet,nuilucanzll,:sodiCCgnreDp2dpi.t:n::-
egirl cru swnaa patrcdefoa" ceEo#atte daa& tafwri ,,*"" dwblat
g*r,niins sl, unei* din s,arste l*teari ,sf pr*fecfia cetsi€stde la- =6 sin s. De aici
fr-rrf. Sernnul ,"-Fo, se pune atunci, ei:,:ri ungliirrl oJ:us este sinB _ slnd'"
cbliuz, iar semniil ,,.*."" ttintl ungllul es'r"e as,-:u{it" ba
rtrtr o !: I e ril S {i}. $int date Saturil,: {t, l}, c ale nriiri tri- I In rnod analog se demonstreazd egalitatea
r.rnghi" Afia{i tnI!iir;ea triungiriului, cob*ritI pe ?*tura c. I
R *:: * 1\, a r e. Avein: a2-b2+ce:2C.dA {iig. ITS}. I sin B sin T
I be
$e aicr Alf,=*:r {:i:f '. L'c.nfcrin tecreirrci iui Fiiagcra I -:-o
/-c I
l'fJ:=Lf:ds.';d;I)=="ldZ; f
3F-,,r/ &- -- I'r "4.i )t" I
Din teorc,irra ci:siiiusurilor rezu!- II
tS cd .qssr# pdtrat$.*t' diagonwle{or
wnwi paw"{efogr-*:*a esfe ego/d r# s{r-
Fig. i77 r:r.c p,'Xfl'*f*{or 8*"it;rite;' dr*f" Intr-" de"
viitr, f re dSC# ufi p;r.ratelograin
{ f ig. t ?7} . Api icErn t**yerna ecsinu-
tf;? Fig. 178
!9e
poi fi obtuze), unghiu! 18&'* A
-q0i ,esetsetemaasi cmuaiitre(fdige.ci1t8B0,'
b)
ca
unghi exierior al triunghiu- \
lui, care nu e rnegieQ cu ull-
ghiul p. De aceea sin o- 6'
tau --L{, *sin(180"_-(l) )sin p. $i din Fig. l8l
nou conchidem c[ s]&. Afir'
ma{ia reciprocl se demon-
Fig. 179 Fig. lB0 streazi prin reducere'la absurd.
Pentru aceasta trebuie si ducern ?nalfimea triunghiului P rob I em d (11). Demonstrafi ed fiecare raport
r!. sin0 sll_I_
din virful A. Teorema e demonstrata. &"b'c
ProblemS (10). Demonstraii cI bisectoarea unuirtri- din teorema sinusurilor este egal cu;[, unA" R este raza
unghi imparte latura opusd in segmente, proporfionale cu
cincumferinfei, cireumscrise triunghiului' (fig' l8l)' Conforrn
laturile aldturate.
Rezolvare. Ducem diametrul BD
Rezolvare. Fie.ABC un trlunghi dat 9i BD o bi- proprietdf ii unghiurilor, ?nscrise ln circumferinfd, unghitll
sectoare a lui (fig. 179). Vom demonstra ,a 9C:4D8"BC de ia vtrful B al triunghiului dreptunghic BCD este egal cu
A$ D se afli de aceeagi parte a dreptel
Aplicdm teorema sinusurilor la triunghiurile ABD gi a, dacl punctele cu se afi5 de p5rfi
sau !.80o-tl, dach ele
CBD: AC (fig.- l8l,o),
diferiie ale rlreptei BC (fig. 181,6). Xn primul caz EC,:
*A: D _A,B CD BC BC :BD sin o, iar in cazul al doiiea BC:BD sin(l80'-tr)' De-
sin B Sin c sin 0 stn(l80o-c) sin c oarece sin (l80'-o):sin a, in orice gaz aven o:2R sin c'
Daci impir{im prima egalitaie la a doua, ob{inem: Prin urmare',a!'Z11R1 : + - Ceea ce trebuia demonstrat'
AD AB ?0. REZOI-VAREA TR.IUNGTIIUR'II-OR
CD BC.
Rezolvarea triungliiuriior consti in aflarea laturilor 9i
Ceea ce trebuia dernonstrat. unghiurilor necunoscute ale triunghiului dup[ unghiurile 9i
laturile lui cunoscuie. vom nota laturile triunghiului prin
raitluenFocipei ucos)e,66l.ordR.oeDuciilnplratoetcou,rrediranacalel ssuin)nbuus,iuatrritiluuonrncgriehczi,>uFilat"ircMsd,adi$apcueinscgch>uipurt-,, Foip;uislaetelorla-tuprarinaog, ipi,lo1u' d
Intr-un triwnghi unghiwlui mai ntare i se opune tatura mai a, b, c, iar unghiurile unghiuti ale
rn&re, laturii nai mari { se apune unghiut mai mare.
Problema l.
lntr-adevir, daci unghiurile c ii $ sint ascu{ite (fig_ unui triunghi, de exernplu F E, t. Sd se afle unghiul al treilea
180, a), pentru e>p vom avea sin alsin p. trnsd, deoarece
Si celelalte doud laturi. rezolvare. Deoarece suma un-
sind _sinF
ab' Procedeul de
ghiurilor unui triunghi este egali cu 180", unghiul al treilea
aoetn alb. Dacd unghiu! a este obtuz (arnbele unghiuri nu
ie exprimd plin unghiurile date. Cunoscind o laturi qi ce'
164
r65
Ie trei unghluri, dupi teorema sinusuriror afram cererarte leilalte laturi. De ce depinde semnql ,,*-" sall ,,-i{?'
3. Demonstrafi cd suma pdtratelor diagonalelor unui pa-
doul laturi.
FrobIema 11. Fie date dawd. tatufi ale unui triunghi, ralelogram este egaiS cu sutna pdiratelor laturilor lui.
teorema sinilsurilcr.
de_exernplu a gi b, gi ungltiul y dintre el.e. Sd. se afle iete- A Dernonstrafi laturii mai rnari i se
D. Demonstrati cI tn orice triunghi i se
dsslglaauhi'lpltrtieuPaoidlorpidirlrltaouoiecwanrocrdfgrrnelen5huerdmicnntueuegaronihtuoacriqewsoltuimcsruiruidanatEneuei.sgcst!hua.InrnirtuueAiusrsrozcdriualuroeriminatrpion,uvtrasrateacceEvieamarisiein..tsd.aAcdf aDtrroaazufafitrcpt,rdeeoiimbnsctueisnesodieulier,nsesumumtsriraaeiuraiericvisrtoeecaimsmetuilunpornfurlinu-,-, opune unghiul n'lai rnare gi unghiului rnai mare
gilvuuehnsideigruenhorriipelupouercrni.deauDcunpenuceleginaahttrr,ciuiueucleanvamrgaeriadors!iainarernelsiasuatreferar.degcaghrtaideurl5raail{ceiisuleoinxbucg{sui0nun"u;loutIseaictusturteeeri:obi bsumu{ieiamnisandirouanuIr_eii
opune latura rnai mare.
6. Fie date o laturfr 9i doui ungtiiuri ale unui tritlnghi"
Cum se pot afla unghiul al treiiea qi celelalte doud la-
turi ale triunghiului?
Fie date dou5 latr-lri ale untli tdroiuun5guhni gEhiiuunrigghiiulal tdtlirnatrea
7. ele. Cum se pot afla celelalte
8. treia? doul latilri gi un unghi opus uneia din ele.
pot afia celelaite
Fie date douh unghiuri gi Iattlra a
Cum se
treia?
9. Fie date cele trei laturi ale unui triunghi. Cum se pot
afla unghiurile lui?
$psdtuiewr:{FieFl3aoxrr-r;eoa:osweiadcpbitclswIIleru.enduiamef$sgteaui.inleAbt'prce,nl,f-ll:.g.egeC€i.4$auw5if'n'1llne;efogudfzsrurnsEciouttiu.e*,!lr.ltldiaadtaosplrinuienunfgrs..phrt:ui,taocntarseuiE,ifrrugelluii.ida{pu'alineintdgutwecehrtoniariierrui'ir.csiimdlit,traesraiuelaonieseuxrigh-f-ehpuFmei_,r- EXERC!TII
gaqspninluli&,iii8;i:el"rrcil*si,lf;e1,erlaii'l'ii!lvo-iil'irpun:t:.uldi,,i-rir';iiUr;ntriil-'ii1i,nuI...ige:1d"i1rrre,i:-ci..rr.r",r.i::r1iic*'c.i1riiil0era.ic.:ilei,il.;i*.l.ii_eai,pirsgren*L,L"rt:iutulcc!{pr:i,ilcrii'rli,iir;,:pi,l:lrrrlriu:i:ii,itc.nlr)tlriidi.:rijrttLiuri;let.li",lrig,a;l.aiilirt'i;itl;ruaub;;irii:itriielirliec:luducre-ci
t. Sint date laturile &, b, c ale u**ui trrunghi. Afla{i inll-
s*l,i{ii. Stiminetadtarituendgihaiguolunia, trceolebocritqhi pe latura c.
.t ale unni paraieiogranl qi
d
unghiul dintre ele o. Aflaii laturiie paralelogramului"
o. Sint date laturile unui paralelogram a gi b gf unui din
unghiuri CI. A.flati diagonalele pa,ralelogramului.
Fie a, b, c laturile unui triunghi"
4" rgciprocd teol'emei trui Pitagora: Demonstra{i :teco2reimria-
daci a2 -l b2
unghiul este dreptunghic r:u unghiul drept, opus laiu-
rii c.
b. Fie a, b, c laturile unui triungl-ii. Demonstrafi cI daci
a2+b2)c2, unghiul opus laturii c este :rscufit. Dacd a2*'
Ir:'ir ir ie 'r I i1l. .$i.;u: il:.:.!e ede {sltiri *b21c2, unghiul opus laturii c este obtuz.
trei :ti:: ti:;-Eti tri- 6. Doud laturi ale unui triunghi sint egale cu *0 m gi
:: lt i.,i"iri .r.,: *,i j,i: t i.igt t. t : 2l m, iar sinusul unghir:lui dintre ele este egal cu 0,6.
tt n :: | : i ;. i {. !rr,
cnuus;li')c:rioli-lrc,:pi,:raCofllt,S,ul*il;nri:i;l.ir::iilrllcoriiiirnl."rL":ii1lq,lrliil,_rl.i,"ri.t"Stu"p,i;-:)i unpc:cl;ifie..rr;;i;.r\crtc;lc;itlicina-s1i- 7. Afiati latura a treia. sint de 13 m, X4 rn gi 15 m.
Laturile unui triunghi
Aflafi cosinusurile unghiurilor triiinghiului.
Czu'itTLttiARI FJE&;TilU XiE,pU.t rlRE
B. Sint date laturile a, b, t ale unui triunghi. Afla{i me-
dianele fir.s, r?'r.6, m", duse la aceste laturi.
g. Dernonstra{i cd locul geomeiric al punctelor, sun-ra pitra-
il. Fceuol.ecgyfna;t,.lu-:'u!cfiiarp*3.ri icsr-rurilquni-r..si1ic:ra:rni,l.Slrltualr4aitrriicclri.sii.aiiirli_tu,r.iiiiiuc*leelr;lti*;r,ir;eliorJ;yt"aireltaau^ rttcci,l,soanf,nrlaturi+sli;u;nlillili,tiiiii-loli;;ur",.l];,';r_;-,ri,ii,""ei,s;l_t-e telor rlistanfelon cirora pinX la doul puncte date eete
;t. constantS, reprezintl o circurnferinfd cu centrul in mij-
locul segmentului, ce une;te punctele date.
[0. Demonstra{i cd bisectoarea unui unghi al triunghiului
t*6
lA7
ir,rparte_ latura opusi in segrnente propor{ionale cu la- decit 60". Ce este mai mare: baza sau latura lateralS
turile aliturate. alnactreisutnugi thriiuunl gAhBi?C unghiul
9t
I !. Demonstraf i ci fiecare raport s o Bs in sln T 99 ci dacl punctul X se afld pe C este obtr-rz. Demonstra{i
In triunghtui ABC unghiul
tecrema *,"ur*,,;*;""";"';;;t'.uI',.k'- ; ;: latura AC, atunci BX<AB-
C este obtuz. Demonstra{i
cd dacd punctui X e siiuat pe latura AC" iar
pe latura EC, atunci XV<AB. puncir.ll X -
12. Dfzf6niasocutcimrnidiru.cBnFulagom:htaaufiteJe?rrritinoaA{ajereBie,Cycf,iilrucoAiubmBt.utsrz:cit;rtunisi"aiegillr.t;irii'i";uriCinn"gp:t1h*"ri0ug- luur;*ti".oi1u.rcupu a;b;"";;ci"lm'i*lgf 23. Fie O urr punct luat pe latura AB a triunghiului ABC.
Demonstra{i cI segmentr-1l C^D e rnai rnic dedit cel pu{in
l$" una din laturile: AC sau 8C.
3,4" Fie CD mediana, dusi ia latura .r18 a triunghiului ABC.
Demonstra{i ca dacd AC>BC, unghiul ACD este mai
4 rnic decit unghiul BCD.
14. Exptica{i ci.!m se poate afla
distanfa de la punctul A 26. Demonstra{i cd bisectoarea triunghiului nu e mai mitl
pin5. la-p_unctui inacc.esibit I (iie. iAZi, .u"6".inf'ai_ decit inll{imea qi nu e mai mare decit mediana, duse
r a. sEg(tfta,aixgnnp,{.iaaillcBa4a.3.Ct)l ,cEdui muanc.glshseiuinrpiltoecau0ten$oaisfcFl.uatein,rigliihmireriaf"-x",-apc-rli,d-0ir,i-i
din acelagi virf.
2S. Cuin variazh latura AB a triunghiului ABC, dacd un-
ghiul C creEte, iar laturile AC gi BC rimin constante?
l6' FsmtCpcueiilDaterngarmB.eAvDL.e4Bid.nar8eftCtuu.celriuDtmacnuea.ni4aitnrgCmloihutnaerinusriuseglttni:haeCgAi{",h8imD_i,iuac4arsi,riuadmaiCuat,uaD4cBnrBlDecbC?iuids,ne4eegcsDchttioetieualdsraletutCeaus,imra2d-abtBu;iis;sC-etd;u.ci-t"l-oa'*Ca;;rr_;leia;a"- ,7 Sint date o laturd gi doul unghiuri ale uni triunghi-
Afla{i unghiul ai treilea 9i celelalte doui laturi, dacd:
17. t) a:5, 0:30',
2) a:20, a: 75o, s,:45";
3) a:35,
lB. d{rnlinaitrlmaiutinucglr?i'lheiutlriAunBgChiLulAu:i4e0oce,aLmBa:6i 0m"a,reLgCi:Bca0re"._Ccaerae 4) b:12, F:40", F:60';
5) c:14, o:36o, o: l20o;
c,:64o, F: 25";
s:48'.
l$. gI:n7i _c,t3arriuemne.gCcheiaulrlem,d4aiBinmCuicln?agtuhiruari,le48tr:iSun,gl hmiu,luBiCe:6c,"2f m, AC: 28" Sint date doul laturi ale unui triunghi gi unghir-ll opus
-ui'.u."
laturii a treia. Aflati celelalte doud unghii:ri gi latura
a treia, dacd:
20- Unghiul de la baza unui triunghi isoscel este mai mare 1) a:12, 6: B, o:60o;
2) a:7, b:23, cr: 130';
3) 6:e,
c: 17, c:95';
4) b: t4,
5l a:32, c:10, o:145";
6) a:24, ^ o.J R- I (to.
.- ta $:15".
29. Intr-r-rn triunghi sint date doua laturi a, & gi unghiul c-
opus laturii o. AflaJi celelalte unghiuri gi latura a treia
a triunghiului, daci:
Fig. 182 1) a:12, b :5, o:120";
2) a:27, h:e
l68 3) a:34, c,.: l ,),i ;
a) a:2, b.: t2,
5i a:6, o:16.1";
b:4, <r,:60";
&: B,
CI.:,-il.,l
Fig. 183
30. Sint date toate cele trei laturi ale unui triunghi. Afiafi rnentun ArAr, trecem la linia
unghiurile lui, dac5:
l) a:2, b:J, frinti ArAaAt ... dn, lungi-
b:2, c:4: rnea cireia nu e ui mare
2l a:7, b:5, r':8;
3l a:4, b --24, c:T; decit lungimea celef ini{iale.
4) a:15, b:17, c: t8;
5l a:23, b:21, Etc. In cele din urri6 vorn
c:39; ajunge la segmentul ,414n,
6) c:55, c:38.
care unegte extE emit?1ii1e li- Fig. lB5
$ 12. POLIGOATdE niei frinte date. De aici re-
7I. LINIA FRTNTA zultl cI linia frinti ini{iald a avut o lungime nu mai mici
decit 'lungimea segmentului ArAu. Tearema e demonstratX.
Se numeEte linie frintd. AtA2As . . . An figura, care constl
din punctele 41 ,A2, . . ., An gi din s.g**nt.l., ce le unegte Prob!em6 (l). Sint daie doul circumferin{e cu ra.
zele Rr 9i Rr 9i cu distania dintre centre d)Rr+R:. Cu ce
sint egale cea mai mare qi cea mai mici distafr{I dintre
ArAz, AzAt,."., An-rAo. Punctele Ar,-Ar,..., An se numesc punctele X qi Y ale acestor circurnferin{e?
oirf uri ale liniei fr?nte, iar AtAz, AzAa, . . ., aArne_rAanut-oinsteerg-_ R e z o 1v a r e. Conform teoremei 12.1, peniru linia -{rin-
ale liniei frinte. Linia frintr, care
ntente nu i5 O&YOz avern O,Or(OrX+Xy4-,YO2 (fig" 1s5)" Deqi,
d{Rr*XY-ypr. De aici XY}d-Rr-Rz. Deoarece AC+
ocsueclia{niuii,teosienfrtneinursmteiecgsftiieems(pitnrlin,ppiuladn.rcttirunnlfBfigig)u.ursraaumIBl84a4, ,laubne-gstimeorileloipnrrieseeegefminftfeaint-[ :d*i?r*Rr, c€& mai micd distan{5 dintre punctele circum-
ferin{elor este egald cu cf*R,-Rr.
telor liniei frinte se nurnegte lungimea ei. Conform aceleiagi teoreme pentru trinia fnintl XClO2'H
avem Xl'grRrl-d-i-Rz. Deoarece E.D:d-l-Rr*&2, cea iilai
T e o r e m a 12.1. Lumgtrnea Liniei frinte nw este mai micd, mare distan!5 dintre punrctele eircumferin{etrol este egaiS er:
d.eeit tangitwee segtrcentwtai, eare unegte extternitdfif.e ei" d*'Rr-l-fte.
Demonstraf ie. Fie,4tAzAr... Ao o,linie frintl
dati. Segmenteie AAz $i A2A3 a'le acestei linii frinte ,le
inlocuirn cu un singur segrnent ArAs. Obtinem linia frinti 7C" Pfiii.[GSAruE C&Fd'r.AXE
ArAsA+ ".. An. Conform ineganitiiii trilinghiului, lungimea
ei nu este mai mare decit lunginrea iiniei fri'te inifiale. O iinie fntntii se niiureqtc iitcfttscY" tlaci exireruitafilc ei
Inlocuind in mod anaiog segmentele drdr $i A3Aa cu seg- coincicl" O li;lie frinia sin:pii gi ?nr:trisit se mu:llr:;te pofi"
gore, riacd r:cgrne:,lieie ci veciire i-ler sint situate pe acceag?
rireap'rH (fig. 1S{i}. Virfurile linici frinie se iiurmese uirfur!
ale pc{igonului, r,tr scgmeniele iiniei fiinte ^- {nturi *!e pa-
As
Fis. lE6 Fig. 187
Fig. t84 lt L
rt 7n
pclnigio-euolcinngi,gwohgnliu.itirc'luusie' ngsme!eanntuutemriiee, ,ssccead:n-iearigmuorernegastelce.vpiForflouigiriogirnoencnuue! incnvu. eIcnaint*varitriefusaarruie, 180". Astfel, suma unghiurilor poligonului P este egald cu
lB0"(ri-3)* lB0": lB0'(n-2). Teorema este demonstratS.
F'igura, ce constl dintr-un poligon gi partea finitl a pla-
nului, m5rginitd numegte ptan {Jnghi exterior al poligonului cr:nvex de la virful dat se
de acest poligon] se poligon nurnegte unghiul, n-legieE cu unghiul interior al poligonului
(fig. lsz). de la acest viri.
cIADlugageU"c'cdfaialuo:gngahudotl"ceTnAirg"aotnieiucmsugucinTDzhlUl,vnloaeu!"ar.hirAieadneuuidl-mneqlissApcxstvouucrloiuutui,amlarlirlrlduupudrAosmriiifl(sezsouareerepezuolPfiu,aiunlmriAaomilltgrenprgladBginlsuaiisd.io.cpoethnsga0patnualegltinIi"oltalagugSrnlu.turifnainecosIrhiljns9aa2psg\eiuengul4fei)gloovf-usiu!uia.manug2h-sltruitlrlru.neririidii.aiuuDagn.elulupidruonpS,morvuiucrmu.eoaarrilunacipicl8inplrpoaeelrtieaupgpefg,rralggors!lugrmil,*oEauoerettrhptBetepceil4tinOneiiiafggduoI.up,uucr_-genec.ocoipli(:aul,ido;ghgJ,nunrg$rlgn,hoiuAi1ei_auionn_ieouuoE8r.nZtpnltsdeo,rnrul0iIaapa)i:ltiui)"anngcri,ep.lrccci.ootii.2cteeu,uloueaprolrr.A.aiisdlili"eg.rairdst*r.cgraptpagfeoA.reeruwroAir!re,scnufsrm^zea'pnenangiplunt,uzeor,a.pugilnieepln.u.acltthuiuiae.ndful.cig*tOii".mnptu,genlAoo.eaAecFolsAegaU"ustnnp'*1itnlI"gthriluouruuegitivetiApiosilel.noui;is;uc*ruguslr;.ztnrf;Au.lug;;eroi.i;p';.t-n;ln1",to"nueo;p1ienags-Ar"olrla-iuhiig;cgs2utsgg;muttpACoiaAainuo"lnnnonIn*aei*l";ln_ni--.-.",,tixi Probleml (9). Cu ce este egaiS suma unghiurilor
exterioare ale unui poligon convex cu n iatut'i, luate cite
unul la fiecare virf?
Rezolvare. Suma unghiului interior al poligonuiui
cu unghiul exterior megieE cu el este egald cu 180". De aceea
surna tuturcr unghiurilor interioare gi celor exterioare este
egald cu l80o.n. Dar suma tuturor unghiurilor interioare
estq egald cu lB0o. (,n-zJ (vezi teorema 12.2J. Deci, suma
unghiurilor exterioare, luate cite unul la fiecare virf, este
egald eu I B0'n- 180" (n-2):360".
73. PGI.[GO.A,NE REGU{-ATE
Un poligon convex se numegte regulat, dacX toate iatu-
rile lui sint egale 9i toate unghiurile lui sint egale.
Poligonul se numegte inscris intr-o circumferin{5, dacl
toate virfurile lui sint situate pe aceasti circumferin{n. Po-
'ligonul se nurnegte circumscris unei circumferin{e, dacd toa.
te laturile lui sint tangente la aceastS circumferinfd.
T e o r e m a 12.3, Qrice poligon convex regalat este ?n'
ecria ?ntr-o cfuewnferiw$d gi este circurnscris anei circurrz-
Continuind in acelagi mod, la pasul (n_g) vom obflne feri.nfe.
triunghiarl ArA,_rAn. Suma unghllriior
lui este egald cu Demonstraf ie. Fie,4 9i B doud virfuri vecine ale
unui poligon (fig. 190). Ducem bisectoarele unghiurilor po-
ligonului din virfurile A 9i B- Fie O punctul lor de inter-
secfie. Triunghiul AOB este isos-
cel cu baza AB gi ur,ghiurile de
a) 61 la baz| egale cu f , unde a este
Fig. l8B
172 Fic. teg unghiul poligonului. LInirn pun- Fis. 190
ctul O cu virful C, vecin cu 8.
Triunglriurile AtsO 9i CtsO sint
egale conform prirnului criteriu de
egalitate a triunghiuri- Pentru patrulaterul regulat (pentru pdlrat) n-4,
lor. Ele au latura OB co- -T:*''180P ,. Eo
mun5, laturile AB qi BC __.R a,4
sint egale ca laturi ale a &t. r: 2
_+2:-i tg45'
poligonului, iar unghiu- 2stn45-0 y2'
rile de la virful B slnt
Fentr u he xagonul r eg ulat p:6, J39-3go,
egale cu -i. Un egalita-
R' :---2!-s-ln-a30io 2 1g 30' :oF,..
tea triunghiurilor rezulti
Fig. l9l ?4. ASEfiNANAREA POI-IGOANELOTT
cI triunghiul OBC este CONVEXE R.EGUI-ATE
d,
isoscel, avind unghiul de
la virful C egal cu ;,
adicd CD este bisectoarea unghiu.lui C.
Acum unirn punctul O cu virfut D, vecin cu C, qi de- Teorema 12.4. Paligoanele eorraexe rcgulate eu n la-
twi sint asernened. Xn particular, dacd lstut"ile tor s?nt ega-
rnonstr5rn, ci triunghiul COD este isoscel gi DO este bi-
secto:area unghiului D al poligonului. Etc. Ca rezuliat ob-
{inem cX fiecare triunghi, care are drept una din laturi la-. te, poligoanele sint egale,
tura poligonului, iar drept virf punctul O, este. Demonstraf ie. S[ dernonstrlm mai intii afiitna-
olaptuusr-i p{ioaliagodaonuea.reFgieutPrart:eAcrAonzAvesx.e..cuAnnqilaPt2u:rBi etBgazleBz(fi8g,,
isoscel. Tcate aceste triunghiuri au laterale egale. De doul
aici rezuttl c5 toate virfurile poligonului se afli pe cir- iS2)
cumferin{a cu centrul O gi cu raza, egal6 cu laturile late- Vorn demonstra ci ele sint egale, adicE cu aju*,orui unei
migciri ele pot fi suprapuse astfel ?ncit coincid" T'rrungiiiu-
rale ale triunghiurilor, iar toate laturile poligonului stnt egale dupri prir:-iul critcriu de
tangente la circurnferin{a cu centrul O Ei raza, egali cu ille AAzAa li ErB:8, sint aceste iritrngtriuri AtA": g'gr,
inilfimile triunghiurilor, duse din virful O. Teorema este egalitate a triunghiurilor: in
A2,43: g"6u qi L.A/I24r: /-BtB.:8r,. Suprinciii pr:X.igt-rnul
demonstratS.
Sti afldru raza R a circumferinfei circumscrise pi rc*e*r Fr unei mi,cg[11, prin care virfuriie /1 t, ,1 ;, 11 a trcc ies.rr:r:tirr
a circumferinlei inscrise pentru un poligon regulat cu n la- in v?rfu;'ile Er, B:, 83. Dupi ci;m piir-n o ssenlen.:l :rli;icere
turi egale cu a (f.ig. l9l). Avern:
F :90'- f:ng" *@'21806: S;
:;9'Il:aB: C8
sin 0
oz r'=:O:t/C^'-: cB a
"'" ryo"'" E*$
Pentru triunghiw!, regw{,at (echilateral) n:3, $:00",
R: 2$ion6-0:"-LVz3r-' 2tga60o: ar.. Fis" t$*
zyT 175
174
eiisti In acest caz virful A,t va trece inti--un punct C. Deoa_ noscind raza ei? Din considerfnte intuitive e clar cd lunyi-
r:eLcBc"rBrrisqBcrarc;r$piBs3trCea:Bz3l Bunag. hAiuturinlgcigpi udnisctatunlleCle.cLoiBncnidBerec:u
'tecrfpuclulerclniescBitrpaLirnot.r!l&eivBgg{ioaaarlfn.ieuu.AdllesBptPfsaetrlet,estcleai.nctmruamingoacsdtaftoeraermnacuaddvloiaingntteic,povcnoiruclfihugaioldjuenz1tmuoolrtcupraer2cuveEnirciif,nui dmlveiAcigrsi--,. rnea unei circumferin{e difera oricit de pufin de peri.rnetrul
poligonuiui convex inscris in ea cu laturil,e destul de mici.
Bazindu-ne pe aceasta, vom demonstra unele proprietifl ale
lungimii circumf erinfei.
Pentru a demonstra prima afirma{ie a teoremei, supu- Teorema 12.5. Raportut langimii unei cireumferinle
nem mai intii poligonul P1 unei transformlri de asemlnare,
cdtre d,iametrul ei nu depinile de cireurnfetlnfd, adicd este
unul gi acelagi pentru oriee doad. cbcumferlnfe.
kPd:e',BeatrlBeczmc/Ap5rlruAuziu.lnaCetuai roiremszionuttletateitig,oaebluef incceouemf!aicptiuoerlniiglieuolnpudolelicguaosnenumludlanitapun2re.i Demonstra t ie. Lu{m dou6 circumferin{e oarecffe.
'FPireesRupr ufni eRmz razele, iar /1 gi /2 lungimile circumferinfelor.
eA afirmafia teoremei nu este adevdratl qi
Conform celor demonstrate, poligonul p" se tiansferd ?n exemptu t
#**,,
+ <::-.de
poligonul P2 cu paojuligtoornuullupnzeipmrinigceifrei.ctDuaercei,a poligonul p1 de exemplu
se transferd succesivd a
in (*)
unei transformdri de asemrnare gi a unei miqcari, iar aceas- 2R, - 2Rr
ta este de asemenea o transformare de asemdnare. Teorema
estc dcmonstratS. lnscrienr in circumferinf ele noastre poligoane convexe
leaacgteaucslrotioec,rfuaifcisrgiatcufpenrolti.rudtluIenldddecliammazseeuennl msspliEouulnnnigaiilororearinnalieianlorifaerigrcesuoirnncivrotoerrexrusenapsrgueeinmgmzu;ietlraonetaeerraaecteuuasrtliree,r regulate cu un numEr mare de laturi n. Dac6 n este foarte
Ior, razele circurnferinferor inscrise gi ale ceror circumscri- a'mtccaepreeua,f.ilniunnedggeiamplieitlaeritmeceairtcr(eu*lme) fpenrruin$-plieiplov,raanlpeoiaepsrodtrlieegossaeennvesoluorlr,ddlenoassccerlibsiinef.olaDorce-
se. De aici rezultd ci raportul laturilor poligoanelor regu- de /r Ei /z vonl pune in ea p1 gi p2:
Iate cu n laturi este egal cu raportur razeror circumferinfeior uPtt-P<z*r' (**)
inscrise gi cu raportul razelor circumferin{elor circumscri_
eu Insi, dupl cum gtim, perimetrele poligoanelor regulate
rsaep. oInrtsd5,cdaeogairelacetu$rtlepelroimr,ertarepleorptuorliigleoupneerilmoretcruelonr,lartauzrei loser circum-
n laturi se raport5 ca razele circumferinf elor
circumferinlelor inscrise gi razelor circumferinlelor circum-
scrise:
scise ale poltgoanelor regulate cu n laturi sint egale.
pP,z:8RJr-,
. 73. LUNGTMEA CTRCUMFERTNTE! De aici +R,:+. Iln Dar aceasta contrazice inegalitatea {**).
O reprezentare intuitivi despre lu.ngimea circumferirifei Teorema este denronstratl.
se obfine in felul urmdtor. Sd ne imagin[m un fir in formd
Raportul lungimii circurnfcrin{ci cdtre diametru se no-
de circumferinfl. Il tiiem si-l intindem de capete. Lungi- teaz6, de obicei, prin litera grceeasc6 ;r (se crtegte .pi")'
mea segmentului obfinut este tocnrai lungimea circumferin- t
fei. Cum se poate oare afla lungimea circumferinfei, cu- 2R.
lvt>
12 Cosranda JE Z t77
r.lumarul n este ira{ional. Valoarea aproximativd a luf ghiului de no ii corespunde arcui l& , iar unghiului de n*
[i corespunde arcul
nry3,1416.
I _ r_:R_JJ"
Agadar, lungimea. circumferlnlei se calculeaed, din [or- tB0
muta l:ZnR.
Se numeEte mdsurd tn radiani a unui unghi raportul lun-
. 76. Uni'Cnr LA CENTRU gr A|RC
gimii arcului corespunzitor citre r"aza circumferin{ei. Din
DE CTRCUMFnRtNTA {formula pentru lungimea unui arc de circumferinfl rezul-
Unghiul irnparte planul in doul pir{i. Fiecare din aceste ti ci
pirfi se numeEte unghi plan. In figura 193 este hagurat _a1l-:L_n.
R 180
unul din unghiurile plane cu laturile a qi b. Unghiurile plane,
care au laturile comune, se numesc complementare. adicd mrisura in radtani a unui unghi se obline din mdsuru
DacE unghiul plan este o parte a unui semiplan, atunci tn grade, tnmullitd cu +. In particular, mlsura in na-
I 80'
mdsura in grade a acestui unghi se numeqte mdsura in
diani a unghiului de l80o este egall cu n, rnesura in ra=
grade a unghiului obignuit cu aceleagi laturi. DacI un unghi
diani a unghiului drept este egall cu {.
plan confine un semiplan, misura lui in grade este egal6 2
cu 360o-a, unde a este misura in grade a unghiului plan Drept unitate de rnlsuri in a unghiurilor este
radiani
complementar.
radianul. Unghiul de un radian, este unghiul, la care lun-
Unghi la centru intr-o circumferinfi se numegte unghiul gimea arcului este egald cu raza ft\ssura in grade a unui
plan cu virful in centrul ei. Partea circumferin{ei, situati in unghi de ,un radian este egalS cu lS:57o.
interiorul trnui unghi plan, se numegte arc de circumferinfd,
INTREBAIII PENTRU REPETARE
corespunzltor acestui unghi la centru (f ig. 194). Mdsurd
I. Ce este linia frintd, lungimea Iiniei frinte?
fn grade a unui arc de circumferin{d se numegte m55ura ln Demonstra{i cd lungimea liniei frinte nu este mai micf;
grade a unghiului la centru corespunzitor. o decit lungirnea segmentului, care unegte extrem,itlf ile
Sd aflitm lungimea arcului de circumferinld, care co- el.
respunde unghiului la centru de n". Unghiul.ui intins ii co- 3. Ce este poligonul, poligonul convex?
respunde lungimea semicircumferin{ei nR. Prin urmare, un-
4, Ue es.tc unghi al unui poligon convex de Ia virful datl
6. Ce este yn-ghi exierior al unui poligon convex?
6. ueducell lormula pentru sum:r unghiurilor unui poligon
conv€x.
7. Demonstrafi cd poligonul regulai este inscris intr-o cir-
cumferinfd qi circumsrris unei circumferinfe.
Deducefi formuleie pentru razele
8. unui poligon circumferin{elor inscri-
sI gi circumscrisd
regulat cu n laturi.
s. Aflafi razele circumferinfelor inscrisi gi circurnscrisf
pentru un triunghi, un patrulater (pitrat), un hexag,rn
regul at.
Fig. 193 Fig. 194 10. DJmonstrafi cI poligoaneie regulate cu n laturi sint
r78
179
as€m€nea" ln particular, daci l'ai.ur.il.e lor sint egale 1!. Cite laturi aJg. poligonul lr)eg1u3la5't;, dacd fiecare unghi iri-
atunci gi poligoanele-s egale. terior al lui este cg.]l cu:
Cite iaturi a{:q ppl,igonul 2) 150'?
12. terior al lgi,,eqtq egal qu: lr)eg3u6l'a; t2, 1da24c"i? fiecare
t. Demonstraf i ci raportul lungimii unei circumferinle unghi ex-
,
citre diametrul ei nu depinde de circumferinf d, adicE 13. Demonstrali,.Qa vilfurile unui poligon regulat cu 2n la-
el este: unul 9i acelaqi pentru toate circumferinfele.
ts. Dupn ce formpli se calculeazl 'lungimea circumferin- ,,, ,,tH[i, luate peste;runul, sint virfurile unui poligon regu-
t4. lDaet mcuonnstlraatfui rci.i mijlocLrrile laturiior unui poligon rqgu-
l_ei? '.,1,
lat cu n laturi sint virfurile altui poligon regulat cu n
ls. Ce este unghiul plan?
14. Ce este unghiul la centru?
't6. Ce este arc de circumferin{d, care corespunde unghiului laturi.
la centru 'dat? '
15. Demonstrafi c[ centrul circumferinfei circumsprise ,unui
dDpeoelmisgimoonnes,trtrgrieagf$ia.!,Blgat;rIc,cde.rstqlt'auupir,lptanouclmaigrierotprnea.credeprliantucre:i"nlterustl,e
16. Dupd ce formul5 se calculeazl lurigimea arcului de cir- centrul
circum-
cumferinftr? 16,. fveirr.fina{eli,lucii,rceqsrtnegacxrisi edeunsiumi eptorileigaonacreesgtuuliapt,olEigio,pnr.intr-,un
tt. Ce este misura in radiani a untri unghi?
,'8. Cu',ce sint egale mdsurile fn ra:diani ale unghiurilor
de l80o gi 90'?
17. Demonstrafi afirma{ia: coarda, care estc perpendicu-
lard pe razil Ei trece prin mijlocul ei, este egal5 cu la-
EXERCTTil tura triunghiului regulat inscris.
l. Slnt date doul cceirncturemdfe.r)iRnlre*Rcuz.raCzueleceRsrin$ti Rr Si cu 18. Dentonstra;f i ,afir,mafia: raza^ circ'umfe,rinfei' inscrise in-
distanfa dintre tr,un triunghi regul.at. este de doul ori mai miel
egale cea ' decit
raza circumferi,nfei cireumscrise.
mai mare qi cea mai micd distanti dintre punctele X Si 19. Latura unui triunghi regulat, inscris intr-o circumfe-
RDYeeazmloeolvnaacsfetirsapto{rirocbcliiercmduamacfdIerivcnuifrefc?uorinledi{uianeci5lidn(iRi rfr-iRntze. nu sint rinf5, este egald cu a, Afla{i latura pdtratului, inscris
.t in aceasti circumferinf5.
8. 20, lntr-o circutrnferintd',c1r.uru de 4 dm este inscris un tri'-
situate pe aceeagi dreapt5, lungimea liniei frlnte este
mai mare decit lungimea segmentului, care unegte extre- .unghi regula,t,,pe latura cS.ruia este construit un pdtrat.
Aflafi raza circumierin{ei, circumscrise pdtratului,
mit5file ei. cI dintre orice doui virfuri ale
4. Demonstrafi distanla 21. Capbtul unui ax cu diametrul de 4 cm este preiucrat
unei linii frinte lnchise nu depigeqte o jumltate din sub iorml de pdtrat; Detcrm,inafi cea mai mare dimen-
iungimea liniei frinte. siune, pe care o poate avea latura p[tratului.
5. Demonstrafi cd lungimea fiecirui segment al unei linii
frinte inchise nu depdgegte suma lungimilor cclorlalte 22. Capbtul unui gurub are formi triedricd negulatl. Care
feastfei,lddfiamcciapacertaeamaciilimnadrreic, lpeacqaureruobuplouaitearaeveCaiafmieecatrruel
6. segmente. sdeegmI emnt,el2e unei linii fmrin,teI I inchise si fie de de 2 cm?
m, 3
Pot oare m, 4 rn? Argumentaff 23. lDceleracmzuoimndfseutrpriand{{iefoicrcmIiiculaulamtusdrcaeri:suRen.V-ur-i Zoc-togy'oT.n, regulat se ca-!cu-
lungimea unde R
este ra'za
rbspunsul.
24. Demonstrafi ci latura u.nui dodecagon regulat se cal-
7. Dernonstrafi cd dacd extremitifile unei linii frinte sint
situate pe pdr{i diferite ale unei drepte date, ea inter-
secteazi aceasti dreaptS.
8. Cite diagonale are un poligon cu n laturi?
o Cu ce este egal6 suma unglriurilor exterioare ale unui culeaz| dupl formtsl,a arz:Va f-2'--*-='l'3, unde R este '
poligon convex cu n laturi, luate cite unul la fiecare raza
virtl circumferiir{ei circumscrioe.
10. Unghiurile unui patrulater convex sint proporlionale.cu 23. Afla{i latura unui pcntagon regulat gi latura unui deca-
gon regulat, inscrise intr-o clrcumferin{i de razd R.
numerele l, 2, 3,4. Aflati-le.
,
26. Latura unui poligon regrilat este egali cu a, iar raza
t8t
circumf crirr{ci circumscrise iiestc 11. ,,1i1a raza circunl- 44. FpcuuiinnIcdtkemdpa?etbRsautazpzaraaPfaRlifran-illnutiur,nlud,iiasetfaslatne{iiaelugdnainglltirmceueca6a3rae7r0ceusklrtneni.,ecgaarlei,
fclirriei inscrise.
27. l,,.atura. unui poligon regulat corespunde unghiului la centru de: t) 45'; 2) 30";3) 120';
Aesfltaefie"graazliiaccuiracu, miatlrrinralezia
circumferi'iei i'scrise cu r. 41 4A"45'; 5) 60"30';6) 150'36'.
circumscrisc.
cprElEeairrxxgzcipnpauurrrliaiRnrmmast zacaainar{{iicsisRicllraacrciuttusauumacrrcaacufcierraabcliancug{eaarcinlainfuu;cuEinnrminiuunluiaifirempptiudooigeilrliiigig-dlbaoleoannttaluuarrrprcteaiuog.g"luriaug\ilJla.oaatntuircpnluiosrciiciugorr-mieo-s--ores-iuo-c-;'lrlrauiisnti 45. Fcoiirnedspduandtlecouanrgdhaiual,uai fllaalicleunngtrimu edaea: rlc)ulu6i0e"i;, 2da| c9i0en;I
28.
29. 3) 120'.
46. Lungirnea unui arc este egal5 cu /. Afla{i coarda lui,
30. CeClngiarsaclclcu5rmuieclsa{ucil:riiienllu)f ncilgi0ruicmnmueem;ia2fce)iurrcin1nd5c}mIimf-ce.ui.rnrcinud{moedfeuerncina{"geoo,c.nto"rgdeoagiuc-ilfeaugt?.uiulat."tste
31. dacl arcul confine: 1) 60"; 2) 90'; 3) 12CI'.
32. 47. Afla{i misura in radiani a unghiurilor de: 1) 30'; 2J 45";
3) 60".
3S. Cu cit se va schimb'a lungirnea unei circurnferi,nie, daci $ r3. ARII[,8 F'[GURIl-.CIR
traza se va schimba cu I mm?
34. Afla{i raportul dintre perimctrul' 'unui octogon regulat
?nscris diametru gi compara{i-l cu valoarea 77. NOTXUNE DE AttrE
luEii aproxlma-
tivi a a. Sint frecvente expresiile: aria loctliniei este de atifi sar"r
36. Rezolva{i problema 34 pentru dodecagonul regulat. at?fi nretri p6trafi, aria unui lot de plmint este de atitea
36. Afla{i raza globului pdmintesc, daci se qtie cd I r,netru sau atitea hectare, aria suprafefei unei tiri este de ati{i
constituie a 4A-a milionime din lungiri'rea ecuatorulurl. kilometri pltrai. Ce este totuEi arie gi cum se poate alla
37. Cu cit s-ar lungi ecuatorul pdmintului, daci raza glo-
bului pfimintesc s-ar mdri cu I cm? ea? Vom analiza rnai tntii figurile simple. O fiigufn se nu*
In interiorul unei cil'cumferin{e
38. n eircu-rnferin{e egale, tangente de razd R sint situate meqte simpld, dacl ea poate fi descompusd intr-un nurnXr
intre ele finit de triunghiuri. Prin triunghi vom infelege irirsl orice
gi tangente ,la
cciircnuummfedrrinu{lalodrant5.esAteflae{gi aral czau:aic)es3to; r2c)ir4cu;3m)fe6r.infe, da- domeniu triunghiular, adici partea finitd a unui plan, m5r"
ginitd de un triunghi (fig. 195,o). Drept exemplu de fi.
gurb simplS reprgzinti poligonul convex plan. Diagona-
39. Rezolva{i problema precedent5, dacl circumferinfele s?nt
situate in ex'teriorul circtrmferin{ei date. lele, duse dintr-un virf al lui, il impart in triunghiuri (fig.
195,6). Ddm definifia noliunii de arie a unei figuri sirnple.
40" 0 roati de transmisie are in diametru 7,4 m qi efec-
Pentru figurile simple uria este o mdrirne pozitiad, a
tueazd B0 de rotalii pe minut. Afla{i viteza unui punct
cdrei aaloare numericd posedd urmdtoarele proprietd.{i:
situat pe circumferin{a ro{ii.
4I. Aflaii unghiurile plane complementare, gtiind cti: '1.\ Figurite egale au arii egale"
de 5 ori mai mare decit celllalt;
l) unul din ele e 2l Ducd o figurd este impdr-
2) unul din eie e cu 100" mai mare decit celdlalt;
3) diferen{a lor estc egaid cu 20'. h@litd in pdrli gi aceste pdrli sint
42. Cite grade are unghiul la centru, dacii arcul, ce-i co- f iguri simple, aria f igurii date
respunde, cste egal cu: este egald cu surud ariilor acestor
r)*; z) *'tl*,ulf; s)f' olf de circurnferin{i? pdrli.
3l Aria pdtratului, lutura cd- a) 6)
4s. Ce unghi formeaz;i razele Plnrintului, duse in doul
ruia este egald cu unitatea de md-
182 surd, este egald cu unu. Fie. 195
r83
f-ini{Diea, csiiinltadtuercileitepIdntrra, taunluai,scdecsxpprrciincid&rinc se vorbegte in de_
metri pdtrafi (mr).
mhDeaiccitdnarlkeai.ltcDumraacedtpr7ilda8ptt.ruiatArrtaauRlfpu[iAiietretaDscttRu.eEluaPieTcUtsCdNOeGdnHerI,UIaI,rk[:irJanI,saerieaxsperiemlxpi riin_
euaenrinietStaia,Attegeaidfulue5nnrlnupdnarEgertiipmraatuetun,ngscuehoirin,vdesarqiedrtipeeatrulacantitgruduhrriiaea. plpnttdretufrbiangutiuuitealrutamei. lrgds6uersamitndlst.urDerprderepa_t Fig. I96
a._leVlaotmurialonraldizraepptuenngtrhuiuinluciepsuet
<azul, cind lungimile a gi D t.
exprimi prin fra=c{ii zecimale *;,
Jinite, iar nurndrur semnelor zecimare de dupd virgurr nu de- .u
pSgcate n. aria pli,ratu;lui mic este egald iar num'drul lor este
Impirfim laturjle pitratului in l0 pnrfi egale gi prin egal cu ab.l02n, aria dreptunghiului este egald cu,ab'l02oX
hIlp:0nulitnc0pac0ici.t.reellslinetecdgfaeaizgledup.ivrNitiazruaimu1tnu9derl6usdlleaudctveueamrpaadtderprasdectteporatmemiuppilucanuireeaislieetnelseetle0g.unai.*l pllcOuautn,..itiipbriadil."t'tr'Ola-utiei:'.
Y" -.I-l',:ab
lora
ne Aflim aria unui pdtrat mic. Una din proprietdtile ariei Considerim acum'cazui, cind cel pufin una ,din laturile
aria pitratului *ur"
cu permite sii afirmim, cd "p.et"traetguaiulei 6 Si b ale dreptunghiului se exprimi printr-o fracfie zeci'
suma ariiror pStrateror rnici. Deoarece aria malS infinitl. Notdm prin a1 9i a2 valorile aproxirnative prin
lipsi gi prin adaos ale numdrului o cu precizie de pind la n
mare este egali cu unitatea, iar numlrul pdtratelor mici este semne zecimale. Valorile aproximative ale numdrului b cu
aceeaqi precizie le notim prin b1 9i b2. Dreplunghiul cu la'
egal cu 102n, aria unui pitrat mic estc egald cu T#;. in_ turile ar gi b1 are o arie mai micd decit dreptunghiul dat,
Intrucil o Il0r,:a.l}n Et-i -6'I:0-ol- :6.10" sint numere deoarece el poate fi situat in interiorul acest'uia. Dreptun-
tregi, laturile dreptunghiurui pot fi impEr{ite intr.un nurndr ghiul cu laturile az gi bz are b arie mai mare deiit.dieptun-
giiznaihutrrinuepelgueaid.lleaeAtluptauritrnaufcri,i6iloedrvgreoarrtpruetctuecinmuagdfh]ririOe.upf''t.fe.p"dpuarlaulriat.uilmeprarrpeiXcncruvlpiotuiarnntcfu-itrpeiatleee.illuadnrie".p"pdi*uli:rvn.fii--i' ghiul dat, decarece acesta poate fi situat in interiorul lui.
cu latura ' Conform celor demonstrate, aria dreptunghiului cu latu-
10n
rile ar qi 61 este egald cu aftr, iar aria dreptunghiului cu la-
turile a: gi Dz este egald cu aftz. Aladar, aria S a dreptun-
ghiului dat este cuprinsd intre crbr Ei a2b2. Deoarece albv 9i
r,zbz reprezinti valorile aproximative ale produsului ab cu
orice piecizie dinainte datd, dacd n e destu! de mare, S:ab
Agadar, aria unul dreptunghi se calculeszd dupd lotmula
S:46.
lui Numlrul lor va fi egal cu a.l0n.&.10n. Aria dreptunghiu_
este egal5 cu suma ariiror acestor pitrate mici.'Deoirece
t84 l&5
Fig. 197 Fig. 198 cfrl\
a)
79. ARIILE FICURII.OR SIIVIPLE l:ig. 199
Si afl5m aria unui paraleiogram. Fie ABCD un parale- P r o b I e rn 5 (26). Dernonstrali ci aria triunghiului ABC
poate fi calculatii cu ajutcrul forrnulei:
logram dat (fig. 197). DacI el nu este un dreptunghi,,unul
g: J ,4E.AC"sinA.
din unghiurile lui A sau B, este ascutit. Admitern cd un- 2
ghiul ,4 este ascu{it (fig. 197). Din virful A coborim per-
Rezo I v a r e. In triunghiul ABC ducem indl{irnea BD
pendiculara AE pe dreapta CD. Aria trapezului ABCE este (fig. lee). Avem: S: ;2teC.BD. Din t-r-i-u--n--goh'--iu--l- d- reptunghic
egal6 cu suma ariilor paralelogramului AECD gi a triun- tA1u9B9z,Da(fi)agvg.emi19B9ED, Db:):.AABDB.e.ossaininre(c1ae8, 0sdia"n-c(odlB)u,Ondg'-ahuci)ull:usaningehsatieu, lianascoeuris{cittee(cfoiagbz-.
ghiului ,4D8. 8D:A8.sin o. Prin urmare, aria triunghiului
Din virful 6 coborim perpendiculara BF pe dreapta CD. 5: J- AC.AB sin l.
Atunci aria trapezului ABCE este egali cu suma ariilor 2
dreptunghiuiui ABFE gi a triunghiului BCF. Triunghiurile
dreptunghice ADE $i tsClE'' sint egale, gi deci, uu ,r,\ egale. P r o b I e rn i (33). Deduce{i formula lui Heronir ,p,enl'nt8
De aici rezultd c6 aria paralelogramului ABCD este egald
eu aria dreptunghiului ABFE, adicl este egall cu AB.BF. aria unui 'triunghi:
Segnrentul BF se numegte lndl{imeu paralelogramului, co-
S:!P(P--sXi=nV6,
respunzdtoare laturilor AB qi CD.
Agadar, afia unui para{elagrarn este egald ew prcdusul unde a, b, c sint lungimile laturilor triunghiului, iai p esie
unei laturi prin indlfimea, dwsd la aieastd laturd. semipcrinrctrul lui.
Si afl6m aria unui triunghi. Fie ABC un triunghi (fig. Rezalvare. Avem:
l9B). Complet5m acest tr,iunghi pind la paralelogramul
S- +ab sin y,
ABCD (ca tn figurl). Aria paralelogramului este egald cu
suma ariilor triunghiurilor ABC 9i CDA. Intrulcit aceste tri- unde y este unghiul opus laturii c in triunghiui dat. Con-
unghiuri sint egale, aria paralelogramului este egali cu
aria dublati a triunghiului ABC. Inbllimea paralelogramu- form teorernei cosinusurilor
'lui, corespunzitoare laturii AB, este egall cu indllimea tri-
c2:a2{b2_2ab cosy.
unghului ABC, dush pe latura .l18.
,De aici rezulti cd aris unwi triwnghi este egnld ea se- in I* Heron din Alecsandria * savant din Grecla .Anticd, eare a {rdit
'miprodwswt unei lqtari a lui prin indlfimea, dwsd pe aceastd sec. e.n.
laturd. t87
186
1
;t
i
t
De, aici ' c scrise unui triunghi, gi pentru raza r a circumfer.infei
:, s-z-qio$2b-d-, i tnscrise intr.un triunghi, deducefi formulele: :
coS 1 R:*.45' f- : 25
sin21:1-cos21:(1-cos 1)(1i.or 1;: i a+b+c ,
:-(\'t- _az+2b"r-bcz)\\lt'-*-t!br2:!o\b _2ab-o?-bz+ce un unde a, 6, c sint laturile triunghiului, iar S _ aria lui.
pentru
J* uu Rezolvare. Deducem mai intii formula R.
,,2ab4az4be-sz az.-(a-b)z (a+b\z-rz
' 2ab 2ab DupI cum gtim,. fi: #;, unde a estc unghiul
2ab triunghiului (problema ll S il). opus latu-
rii a a
I (tc * a + b)(c + a- aO*)(ba +-cb:2r',.cp:j,(-a2r+crb,,,+r. acl+. c-b:
(a+b+c1:2p, Inmullind numdritorul gi numitorul pdrfii drepte eu bc
4a2b2
"Bi observin d cA *2 bc sin o:S, oblinem: R : *4.s'
Observind cd
:2p-2b, c-d+ b:2p-2a, obf inem:
Aqadar, I-B_CDeedsutceeemgafolSrmcuulasupmenatr'auririlo(rfigtr.iu2n0g1h)i.uArirloiar triunghiului
O,qB, OAC
S:+I abstnt:{W qi OCA:
S:lcr + |ar + |w.
2
SX calcul5m aria unui trapez. Fie ABCD trapezul' dat De aici
(fig. 200). Diagonala AC lmparte trapezul ln doud triun- .-:2-.5
glriuri: ABC $ CDA. Prin urmare, aria trapezului este egalf;. a+b +c
cu suma ariilor acestor triunghiuri. Aria triunghiului ABC
este e"g2all ou lrtn.CE, aria triunghiului:: ,4CD esie egalE BO. ARIILE FIGURILOR ASEMENEA
cu I In6lfimile CE Si Alc' ale acestor triunghiuri Fie Fr 9i F: doui figuri simple asemenea. Si clarificdm,
c6m se raporti ariile acestor figuri. Deoarece figurile sint
VDC.AF.
sint egale cu distan{a dintre dreptele paralele AB gi CD"
asemenea, existd o transf ormare de asemdnare, prin care
Aceastd distanfd se numegte inilfimea trapezului.
figura .Fr trece in figura F2.
Prin urmar e, aria unui trapez este egald cu produsul se- Impdrlim figura F1 in triunghiuri: Ai, A;, A;
tnisumei bazelor lui prin indl$ime. Transformarea de aseminare, care transferd f igura Fr in
figura F2, transferi aceste triunghiuri in iriunghiurile Ai,
Probleml'(36).Pentru raza R a circumferinfei, cir-
A;, A J, ...,in care e implr{iti figura rr2. Aiia figuni F1
este egald cu suma ariilor triunghiurilor A , n'i, . . ., iar
figurii Fz este egalS
aria cu suma ariilor triunghiurilor
.. .
^;,^D;a,cd coeficientul de asemlnare este egal cu fr, dimen-
siunile triunghiului A" sint de ft ori mai mari decit dirnen-
siunile respective ale triunghiului Ai. ln particular, latu-
rile gi indlf imile triunghiului A,, sint de A ori mai mari
Fig. 200
r89
r88'
decit laturile Ei indl{imile respcctive ale triunghiului Ai" cceurcnululai dtuarti:(fpigo.l2ig0o3a)n.ePleolPig1o-aneinlescPrirs$gi Pi zP3si-nt circumscris
De aici rczultd cI figuri sirn-
s(A;):a,s(a;). ple. Poligonul Pz con{ine cercul dat, iar poligonul Pr se
Adunind termen cu termen aceste egalitd{i, obtinem confine in acest cerc.
Razele, duse in virf urile pol,igonului Pl, impart acest
s(Fr):krs(Ft). poligon in n triunghiuri, egaie iiecare cu triunghiul AOD.
De aceea
Coeficientul de asemlnare A este egal cu raportul di-
mensiunilor liniare corespunzXtoare ale figurilor Fz $i Fr. S(P'):nS(AOD).
De aceea ariite figrcrilar dsemenefl se raportii ca pdtrutele : AC.OC:
dime ns iunilar lar liniare cores punzdtoare. Deoarece S(AOD) pj .ouo, AC, OA cos o, avem S(Pr).:
unde p este perimetrul poli-
:(uAC)AO coso: 2
8I. ARIA, CERCULUI gonului Pr, R- raza cercului. trn mod analog afl5rn aria
poligonului
Dacb figura este simpll, adicl poate fi impdrfith intr-un P2:
numdr finit de triunghiuri, aria ei este egaiS cu suma ariilor S(Pz) :nS(BOF)' '
S(BOF):,AB.AO: lC .trg,
acestor triunghiuri. Aria unei figuri arbitrare se definegte
in felul urmltor.
O figurd datd are aria S, dacd extstd figuri simple ce se : ::43-.s(&)
coiltin in figura datd gi existd f iguri stmple ce conlin aceastd (nAC)AO 2 cos c
figurd, artile cdrora diferd de S oricit de pulin Vom ap- cos cr
lica aceasti definifie pentru a afla aria cercului, Agadar, poligonul Pr, c&f€ se conline in cerc, are aria
Se numegte cerc figura, care consth din ioate punctele S(P,): $ .o. o,
planului, situate de la un punct dat la o distan{5 nu mai
iar poligonvl Pz, care contine cercul, are aria
mare decit o distanfi dati. Acest punct se numegte centrul
ioarcidrcisutamnf{earindfai ticu- PR .
cercului, rdza cercului. Frontiera unui S\fP" J:
cerc este acelagi centru Ei aceeaEi razfl 2coscr
(fig. 202). Fentru un n destul de mare perimetrul p diferl oricit
de pulin de lungimea I a circumferin{ei, iar cosd, difer&
Aria unui cerc este egald cu seniprodwsul dintte lungl-
tne& circunferinfei, care mdrginegte cercul gl ruza. oricit de pu{in de unitate (deoarece unghiul o este mic}.
Demonstra { ie. Construim doud poligoane regulate Rezultd cd ariile poligoanelor P1 9i Pz diferd de f oricit
Fic. 202 Fig. 203 Fig. 204 Fie. 205
r90 l9l
idc- pu{in. Conform def,in'i{ie aceasta lnseamni cI aria cer- 7. Dcduceli formula rarici cercului. ' sectorului circular
cului B- b;;t c! fo.tttul" se calculeazi ariil'c
:+S: rcRz, Ei segmcntului,circular?
EXERCITII
ceea ce trebuia demonstrat l-.- Demonstrafi cd suma ariilor pltratelor, consiruite pe
catetelc unui triunghi dreptun[hic, este egalS cu aria
Partea cercului, situatl in interiorul unui unghi la centru,
se numeqte sector circular (fig. 20a). z- . ;DeipiA,i;canl;1cthirit;iuia";vcir,atiiiutr"lcaee"l,unrsioatiat,tcorccdiSOumooanuamlaorsxitiuaiur9tnIuronpiiuiltatebi1urpt5piredei0adaattditmrpre'rcae.ol.utcpt',Aeii,ltdnmfclauaaiiznrcrfcilitl.aud,lamdpiaot:sugiicfror'ara'nirstaruuxllnallunuilcp,iutilitiornceatls.rtsccSpiucrijimst,ars''lai.cnitn-t'
,Aria unui sector cireular se co.lculeazd dupd formula s.
nR, { 4t'.
": **' t
unde R cste raza ccrcului, iar a - nrlsura in grade a un- s
ghiului lr centru rcspcctiv. 4 f. aceeagi circumferin!5? unui pdtrat, dacl fiecare laturi
Partea comunl a unui cerc Ei a unui semiplan se nu- t\ iurn ic va scliirnba aria
i a .lui se va nrari de il ori?
megte segment circular (fig. 205). O. ori laturile unui pitrat' pentru
+ b" cit" trebuie tnicaorate
Aria unui segnnent circular, diferit de ufl setnicerc, se cCmntuaiureaialterc'ruuieallnuslliuiuiindiiatsJecitcts.i pgst'eceatlueeitetntgsigcaleaEhlrotiacurpecuizsoilet7rcet4ddueccdng2amau5l4iS,dd:icacr9er'oupraii?r1rr4nia4ghrcin,s,2te'dAaccgfllaa,ltpai cIrcaiu-'
i
culculeazd clupd f ormula 7.
,iir B.
S: rgro _t-S.n,
360 {
unde u este misura in grade a unghiului la centru, care { 9. 3tLiu;aimr;ti;2ul;e?rri-lu;einuuuin,i ucilrdcplpactrauanliegrlihoaig' rlaAumiflcasittieinutengegaghlaeiulccl urresoscpujuetrcinttirvat,alctepuadrlaain-'
conf ine arcul acestui
segment circular, iar So -celaerlaialtetriin- t
unghiului cu un virf in centrul cercului Ei
extremitSf ile razelor, cu !r
ce mdrginesc sectorul circular dat. ",v aria dreptunghiului.
Semnul ,,-" trebuie luat atunci, cind a(l80o, iar semnul
-,,+ " atunci, cind o)' 180o. 10. Un pitiat 9i un romb au.perintetrele cgale',9u5!-9in
mai mare? Argurnentatl raspun-
aceste figuri are o arie
INTREBARI PENTRU REPETARE tl. sul. aria unui romb, daci inllJirnea lui cste cgali cu
Ailati
Alll0)2felamcc{mmoi',,naiisaartirrraaudtiirnaogJginhoIbinuaaulrllauiaais,mcuduana{iuictrindaricroicdnml3l-{b0im"-ceeusatel-3clcugtatit'le5scteuesgcmalipi rcou-
tr. FDoermmounlasftirapfriocpriieatSri{ailedareripeti.unghiului cu laturite o gi b I2.
lB.
2.
3. Desetrcneongsatlriactiucc&I. aria unui paralelogram este egale cu
dusul diagonalelor. diagonalele lui
produsul unei iaturi prin inSlfimea, dusl la aceastd l*. estc egald
14. sAefiaratiploarttuaracarorLn:b2u,luiia. rclaacrilasero9rnt!ebu.cltdti cu
tur6. l2 cln2.
4. Dpreomdounssutlrau{ni ecidlaatruiariupnruiintriinulnlfgimhieeas,teduesgdalSlacuacseeamstii-
latura. 15. tDeermcoonnsvterax{isianftirmpcar{piean: ddicauclaardei'aagorinaalleulei trnui patrula-
ri Demonstra{i cd aria unui trapez este egald cu produsul este egali cu
clintre semisuma bazelor gi indl{ime. t6. simcmpibprrotidtui struiludniaghgoiunlaldealotr.in trei pIr{i echivalente Prin
6. Cum se raportl ariile figurilor asemenea?
\, arebtc, care trec prin acelagi virf.
t92 t3 Comanda N! 7 t93
t'{'
,Ui
17. Rezob"a{i.problema precedentl, inlocuind triunghiul cu l) 13, 14, 15; 2\ 5,5,6;3) 17,65,80: 4) 25 29 , 6;5) 13,
un paralelogram. 6
18. Cu ce este egal5 aria unui triunghi isoscel, dac6, baza 6t
l-.tS^
BT 13
lui este egali cu t1r2iu0nmg,hiiadr rleaptuturanglahtiecriaslods-ccelucu10ip0omte?- 4T Ji^3: o) 2 12'31753, 1,83.
Afla{i aria unui
19. 35. Aflati indl{imea cea mai mici a triunghiului cu laturile:
nuza a. t) 13, 14, 15; 2) 5,5,6;3) 17,65, B0
20. Intr-un triunghi cu laturile de B cm gi 4 cm sint duse
gi cea mai mare ?ndllime a triunghiului cu laturile:
lnll{imi la aceste laturi. Xnil{imea, dusd la latura de
B cm, este egald cu 3 cm. Cu ce este egali inXlfimea, 4', +, +, G; b) rB, Jtt3, +r$; o) ,+,t31, 1,83"
dusl la latura de 4 cm)
36. Pentru raza R. a circutnferinfei, circurnscrise unui tri-
21. Demonstra{i cI laturile unui triunghi sint invers pro- r
por{ionale cu inilJimea lui, adicS: unghi, qi raza a circumferinfei, inscrise intr-un tri'
tr
a:b:c--l- , t I R:*' : -ll-'unghi, deducefi urmlioarele formule:
45 " a lb+c
hil h6 hc.
22. Afla{i aria triunghiului echilaieral cu latura a. unde d, b, c-sint laturile triunghiului, iar S t-rt aria lui'
23. Aflafi aria triunghiului regulat, inscris intr-un cerc de Aflafi raza R a circumferinlei circumscrise raza
ra
razd R. dacl 3?. circumferin{ei inscrise pentru triunghiul cu laturile de:
24. unui triunghi dreptunghic, lnll{imea
Afla{i aria l) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35,29,8; a\ a,5,7..
lui imparie ipotenuza in segmente de 32 cm gi lB cm.
25. Afla{i catetele unui triunghi dreptunghic, dacd jpote- 38. L,atura laterald a unui triunghi isoscel este egal5 cu
nuza lui este egali cu 73 cm, iar aria- cu l32Ocmz- 6 cm, indl{imea cu 4 cm" Aflafi raza circumferintei
26. Demonstra{i cd aria triunghiuh:i ABC poate fi calcula- -
circumscrise.
tI cu aj*rtorul formulei: 39. Demonstra{i cd raza circumferin}ei, inscrise intr-un tri-
unghi dreptunghic, este egalS cu semidiferen{a dintre
.s: 1 AB.A?sinA' suma catetelor gi ipotenuzd.
2 40. Catetele unui triunghi dreptunghic sint egale cu 40 cm
27. uInngthriiuunlugihCiulaAriaBCtriuAn,Cgh:aiu,luBi Cva:bf.i Pentru ce valoare a gi 42 cm. Aflali razele circumfenin{elor circumscrisl qi
cea mai mare?
Afla{i aria triunghiului isoscel, la care laturile laterale inscrisS.
28.
sint egale cu I m, iar unghiul intre ele este egal cu 70"" 4t. Aflafi aria trapezului, la care laturile paralele sint de
60 cm qi 20 cm, iar cele neparaiele -estdeee1g3acldm. cEui 37 cm-
29. Aflafi-aria paralelogramului, dacd laturile lui sfnt egale' 42. Intr-un' trapez isoscel baza mare 44--m,
latura latefald cu 17 m gi diagonala cu 39 m. Afla{i
cu 2 m gi 3 m, iar unul din unghiuri este egal cu 70".
30. Afla{i aria triunghiului, dacd o laturd a lui este c, iar' aria trapezului.
unghiurile aliturate ei sint egale cu o $i F.
paralelogram este egali 43. Aflaii aria cercului, dacb lungimea circumfeninfei es-
Dernonstrafi cI aria unui te /.
31. cu 44. Afla{i aria inelului circular (fig.
semiprodusul diagonalelor prin sinusul unghiult-li din-
206), cuprins intre doui circum-
tre ele. ferinle cu unul gi acelaqi centru
32. Demonstrali cd din toate paralelogramele cu diagona*
lele date aria cea mai mare o are rombul. 1Ei)c4ucrmazgelic
de: 2) 5,5mqi
ss" Deduce{i fcrmula lui Heron pentru aria unui triunghi:
6cm;
6,5 m; 3) a 9i b (a>b).
s:lfV@@P-b)(P-c) ' 45. De cite ori se va mdri aria unui
unde a, 6, c sint lungimile laturilor triunghiului, iar tcee:rcl,)ddaeci2doiarmi;2et)rudlelu5i
pA-flastiemaripiaertirmiuentrguhl lululit.li, se mireE-
a)'l cele trei laturi: m ori?
r):i c oni; 3) de
dacd sint date Fig, 106
194 196
,1. or,rtt raportul dintre aria unui cerc ql aria: l) pdtra-
. tului inscris; 2) triunghiului regulat inscrls; 3) hexago-
nului regulat lnscris in acest cerc.
47. Aflafi raportul dintre aria cercului lnscris intr-un tri-
unghi regulat, gi aria cercului, circumscris acestui tri-
unghi. :i,l RA,SPUNSURI i$I' INDICATII , I-A. EXERCITII '
48. Aflali raportul dintre aria cercului, circumscris unut
pitrat, gi aria cercului, inscris in acest pltrat. '
49. Aflafi aria unui sector de cerc de razd R, dacd unghiul
lla) centru, care corespunde acestui sector este egal cu: sr.
40";.2) iinZte.rs7l)e.,cCteZealzl:EmN. uur,1lat1p.u'an6r't'ip-nrue.Un; c3.t")'n'r1ate0p;.r'1lf)4',;e4I.))1, 866')lc)Im,nt;2e2r)s,eNc7ute,'p7aozdalimt'2e);''^l39.3)')'.lt^'8151;1lf3l'mut'"
90e; 3) 150'; 41 240";5) 300"; 6) 390'. 223i3-::i4g4606l..5O.rNAZN"lc")tSu;Cm;L'.t4p:,p2B:Bo(Po8baC't.L,R;tc2ne;(2))?:i.a*27t,NZtc.55s-'u).tNce:mm2Ztp;n),,o4+;2a4"Ap)42ct;eo'.CrlLn.t2e.Z(.:'A924Sa3'.(2:C-a'bU84'm,).c:nQ-6lO)g4;l:"h',3B05m,icu6'Cm,mLl,"'.BB:.L(6as3(:3Cba6b93m)u:0'c'9e1);5"I2-0,rm;2m49i10ua09'''miAe':2m;Bx'lC?'ia320s':r)tP3e1oti'')':Q'0'L3Si=30ll4me=l4a'g045';lmc'll'B;Iuce)nnmrC:n2t'L-$"-(L)l:(paQ$Ab,luc.AlBr9lcf)ncBCt="t:;:-;':
Este dati o circurnferinf 6 dceuraluzndgiRm.eAaf:lal)fi atia secto- AB:5 cm, BC:6 cm, AC:7 cm.46' Nu se poate' 47' Nu poate'
50. rului R; 2) I,
,corespunzitor,arcului s2.
St. Aflafi aria segmentului circular cu baza o/3 gi indlfi.
mea j 9iZe92izyz1ii2iot..CZOa"tl';OlzOfI.);p"nra;';.;r13)di1215nl)50'i;i)0scro59'-s1,."a0ut6;'1z1'nq{.i3o#)0ii15'es."6'9et,.'''tttzgeiLali2bm.1(s07F';ae1tr"toy'n5a,;fr3ltt;"9o)li.95)0:3s1d1i""i)1.;{1sa2i202'.p40'i.l9el5)5oi'c1,iz''2a.a)uo2Z96,ft2lie8'ti2(;a'a3-a.)1u2tf)6u,i3nr'N)c8m.l5gju6i:h'tpa.n5r'ir.fpcus0oidaor10"b'ii-,tl9l"ce;ple'1;lra3ml5os)L0)bf7eio(nlip21e,bitemo2'32cd0t0'9e0)ros'i:ei;U'3229ip170n)3t0fie'i'i'8e1f:'t1'ile;5''31lop4-0J042ru""'e'');n'l3lm)l9c-)))5ta'e41l1.l712e2"104B50'043gPA"''"';;i'
2
52. cercului, situatd in exteriorul: l) p-dtra- $3.
Aflafi aria pIr{ii triunghiulu.i regulat inscris;
tului' inscris; 2) 3) hexa' i4ms,o2esicm12e08l,..2.3z01E,8.3..ImlInSn.ddmtitci..ca2a3f6,f5.ieilme5...mA1P.p2r2le.ic9llua).nfIig3;pdi,l2iriocmmpare,ied6ltii,aae2nte'emale,mAc6.eu'p2dlilicuamannf;gei li2mai)fneirt7mar'-2aulo"n|mira't'4rpi4u0ro'n'2bIglnmeh--i'
gonului regulat inscris !n acest cerc. Raza cercului este . dicaJie, Prelungifi medianele cu lungimea lor'
egald cu R. 197
$4. este isoscel cu baza AE. 17.0,6 m 9i 0,8 m. 18- AB:BD:l,l m; ADo
:0,8 m. 23" 60 cm. 24. l0 cm 9i 18 cm. 25. 12 cm, 20 cm. 26" 12 cm.
2.. Unghiurile ABgr gi ACSt gi unghiurile BBGt g CCrBr sint 2?. l0 cm 9i 25 cm, sau 7,5 crn 9i cm. B30m. .804"09. iI 100'. 32. 60" 9i
lnterne de aceeagi parte a sscicnatrratelit,ciranreuinngtehrinueri.lcg,4"Bl,0CS,"$9i iCZCbr..Bgr,.i 120". 35. 4 m, 37. 2 m. 38. 2 m. 18,75 m, rn. 41.
un- l0 cm,
ghiurile BBrCr $i /CrBr 39. 4
ZS".. 42.4 cm,5 cm,6 cm.43.6 cm.44' 6 crn, 5 cm,5 cm' 48' 5 m,6 m.
5531f1ie505))c..'935alT)6r0ire""e5.3.,5i0l!6l'9u'.0.,no.26,g2N0lh7)."u,0ilu)o95rp.0i0Sot',a;6;0au'2.t2,e)BNc).0i14tu3oe30,0'p.2,"796o;0200a"S";'"t.e,l2f.iI8eT)4I0cSZ7.a".;0.r.te3")2N,)g20u104.i 05'4pp,'0o0a,4a".t6,0r;tu02e4';').,03u"1Z6)n.8Eg5zD."ht.;ol.;i)u43u7r'i))i01u4a.30n8u09b"g,"ih"c;6:i4iu204t0e"r)),i"I1s223s0i05"ang;..u"t..;..
5lgSa?igt..u56sr0ci*"mba9.l.e5i6214c2.,l0r43u"..6iam55E.s,.4Ii1nn5midme.icg.5aa45l.9fe.7ic30eu".c9rlCnai.tolu6inOr1si.lt'er.4u5ilfar5int.em, r16aa,7ilemimn.at.6lic2i5.6ut2r.na,22pt4reimuzcnumgl6uh,3i3i,',6i9adcorcmuma"i
treia este egalii cu diferenfa bazclor' 66' Indicaf ie. Cocstruifi mai
itnrafpiiezuunlui;triiaurngahtrie, iado: uciulasttlufilrai ale cSruia egale cu
.sint diagonahde'
bazelor lui.
cgale cu 120"-l3- 3a gi un unghi estc cgal cu-1-a-00". 24. l) 105";
2) lB0"-j1-1cag); 11 155"; 4) 90"+-I . 25. il0", 3s.. 26. 60", 30.' s7.
22
9i 90".27. 110".29. l) 20";2) 65";3) o.30. Unghiurile AABD: LA:a,.
LD:90', LB:90"-s. uughiurile ACBD: / D*90", ZB-o+p-g0"" 3.5nr sau y'i*m. 4, l) 5 cm; 2) 17 cm; 3) 6,5 rn. 5. lO9 cm.
ZC:IBO'.-A_F. 32. 60'. 33. LD:1 LA, LE: LZC, LDBE:LB+, {no. :- 7. Nu poate. a.?t . L9. l) 15 crn, 20 cm; 2) 60nr, 80 m.
*:60V1"&2; 2ALA*Z:3C0)'.. 'c'c () d
34. 140", l0'. 36. LB: 11. Ind'icaf ie. Segmcntul clutat este inllfimea unui triunghi dreptun-
90", 45o, 45'. 37. LD:90", ghic, piciorul clrcia irnpartc ipotenuza
3s. 150'. 39. 90'. i,n segmente egale cu a Si b-
s5. 12.'lrT6 m.=10,8 n. rc. !zla'+o'. t4. 32 cnr, 60 cm, 15 cm' tt'e'{!
!. i n d i c a {ie. Depune{i pe sclnidreaptl un segment egal cu raza.. 18. 24 cm. 19. 36 cm, 54 crn.:20. 25 cm sau 1l cm' 22. 1) 24 cirr; 2) 24 cm'
2. Yezi problenra l. 5. 60". 6. 120". 7. Nu poate. 9. 30P. 10. 60' 9i 120"..
ll.70 cni, l0 cnr. 12. Nu pot. 13..l) Nu pot; 2) nu pot.25. Indi- 23. 12 crn. ll,2 cm, 168 24. 13,44 crn. 25' 2) Nu pot' 26' 10 cm'
cafie. Incepcfi cu construc{ia unui triunghi cchilateral. 27. lndi*
c a I i c. [n triungliiul cirutat prelungili rnediana cu lungimea ei. 32. I n. ff.,n. 169
d i c a I i e. Incepe{i cu construcf ia tndl}iinii. 36. Vezi problema 42 S 4.. u cffi,
37. Yezi problcna 36. 45. Indicatie. Cenirul circurnferinfei ciutate. 6 crn. a -f :2-6:- ^ 28' n: r:--3P .-.*.,.. 29. 9oo - c.
se af l;i pe bisectoarca unghiului. 46. i 0 crn. 47. 5 cm. 50. Vezi proble- 27. ; V
nra 49. 52. o sau 180"-o. 53. 50". 54. Indica{ie. l) Punctul dat,.
putictul de tangenfd 9i ccntrul circumfcrinfei sint virfurile unui tri- q,cos d,4 sin d. 30. 90o-a,ig"--a, s+ir-r a 33. l) sin i6' - 0,2756'
unghi dreptunghic.2) Iieduccti rezolvarea problonci ia problenra pre-
ccdenll, construind o circurnfei'in{i au.riliard conccntrici cu una din cos 16.:0,9613; 2) stn 24og5,-0,4163, cos 24'36',:0,9092; 3) sin70'32',:
ccle date qi cu raza egal)i cu sullla sau difcrenta razelor circumferinfe- 33--300461,,..1"9211745))62,;-3x8rl;,:lr71:2c|"7")ol0;s't2ig,e;?)42'0:03.0x"Z,34r:13j20v0c'':::m00'36,,.388'i3$5"83739.);1';3r;3a34))")'1srt0:cgin,:48l57i8008"'"3453o'6504;4''"9;)5-':400t;),'.91x:9,3299:188.83,653;4'1c9")o."5.st3904857'08"'0o1.134)1579t1'.g'::6203',11'0!706"282o'S055:"6''t''
lor date.59. Indica{ic. Aplicali proprietatea ungtriurilor iuscrisc in 63"44'. 41. 29"52'9t 150"8'. 42. 12 m, 45'14'. 43- 60"16" 44' +v,e
circumfelin {a.
s6. 45. 1) a) 5; 36"52'; 53'B'; b) 41; !2'41';77'19': c) 29; 43"36': 4!"24';
d) 6l; 10"23'; 79"E7'.2) a) 12:22'37';67'23': b) 24; 16"16'; 73'44'i
3. Trei.4..l0 nr.5.3 cnr. 7. BC:AD:4,B rrr.8.40., 140... 140", c)15;28'4';61"56'; d) 13;81'12'; B'48'. 3) a) 70';0,68; l,8B; b) 39'40';
S. 115'9i 65". 10. Nu pot. il.60',60., 120", 128".12. l) 40",40o, 140",
140'; 21 50', 50", 130", 130'; 3) B0., 80", 100o, 100.. !g. l) E5o, S5., 3,08; 2,55; c) 19"24';7,55;2,(t6; d) 13'39'; 15,55; 3,7B. 4) a) 59"33t; 5'92;
29"25';8,04; 3,95; d) 22"; 9,71; 3'64'
o1295"c,1m2,5C",2€\,:635"c,r3nS. 'I. 14s., ia5.; 3) 20",20",160., 160". tn. RE- 5,10; b) 49'12'; 7,65; 5,79; c\ 4) sinsa; 5) 1; 6) sin24; 7)
n d ic a ] ie. iDemonstraf ch 40" 1) coszc; 2) l: 8 sin2a;
triunghiul ABtr slnao; 3) 2;
198 199
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
https://neculaifantanaru.com
Pogorelov - Geometria 7-9
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search