Campan, Florica - Povestiri cu proportii si simetrii

Lei 8,75

'#tuffi

"-3A%

Povestiri c! proport"..
4.99lei

lfillil il ilililtiillllil ilt]t

Coperta de GH. MARiNESCU ivl f,,/,t

reproduce portrctr.rl Isabeliei d'Este t'/
de l,eonarclo da Vinci, ,{ FLORICA T. CAMPAI\

analizat printr-un dreptunghi O 9i modulalii bazate pe raportul (9 POVtrSTIRI
(dripi tr{. Ghylinl CT] PROPORTII

SI SIMETRII

EDITURA ALBATROS
tsucuRE$T{ o tr985

Iw toc DE PREFATA

Lui Teodor, Sem-inaAr,9dfair vrut, BXdie, sX fi venit indati dupi orele de
m-am mai luat cu nigte treburi la Biblioteci,
i,n sufleLul cdruia aNjuuncsu,aaicsiiscteuntsulafleFtualculaltagteuaride- mi-a spus
frumosul auea sdla; trainic- de aceea am
nepotul meu, MatematicX,

atunci cind a intrat pe ugi.
-_ $i, de ce, mi rog, aveai atita glabi ? Ai descoperit
vreo comoarX ?
lnci ce comoar5 ! ! inchisi intre
dou-i UitX-te aici E aceste
coperli modeste.
o cunosc. Este a unui numir din ,,Bibiioteca
Mat-hemeoatpicea.t"a, revistX pe care am rlsfoit-o adesea, fiindci

are articole foarte documentate privind istoria matematicilor.
Picat cX dupX tgto nu a mai apirut.
din-BibEliodterceaptS, etomaintai rcuoluleicAgi4aatneumaotcicu. pDi idneccuitriuonz-itsainteg,umr r-aanft
uitat la data primului volum gi am glsit anul 1884.

- Da, a trXit numai 32 de ani. ma-
tale- Asta-i aga, nou-
disculia, am numai ci, dupl felul cum rlrdgdnezi
impresia ci nu te prea sinchisegti de

tatea ce fi-am adus-o ! gtii cX omul, chiar cind cade
-copTaec-,ntgoetli,mnaei psotai toel.eaNcXu si se odihneasc5 ? Dar eu ? Nu
din

trebuia sX pun mai ir-rtii de cafea qi apoi sX ne dezmeticim ?

Acum, cind totul e gata, poftim, deschide revista qi aratir-mi

minunea minunilor !

un -titluLa.ipterim.atuvseadreereine un articol ca godrisciaririecaoaltrurJl e-Eloirairne
ochi: Cartea

celc a lui Abu Raihan Muhamed ibn Ahmed al-Biruni, au-

tor FI. Suter [1].

er: -cinFdivinad, dvoarrbanud-emai l-aBmirirn"rtneis[c2s],i desigur cX l-am citit qi
clltremllrat ca
pe tine. mi fi

i.1\.u-t.oaCrerecdarecXleeguXnttricrii nu a9 fi dat peste el dac5 nu ar fi
cu lucrarea pe care o
pregitesc des-
pre inceputurile trigonometriei gi ialcularea tabelelor. Or,
citind acest articol, m-a intrigat faptul ci al-Biruni, unul
dintre cei mai de seami matematiciani din lumea arab5, a
preferat invechita no{iune de coardX in locul aceleia, atunci
la modl, de sinus, ba chiar ci a calculat qi o tabelX de Ijig. 1
coarde, cum a ficut-o cu opt secole mai inainte Ptolemer.r
in tllntagesta !

nu a- u Ptolemeu n-avea de ales, fiindcX matematicienii greci ca lungimile celor douX segmente, tlC Si CB, si variez-e ne-
care-i
inventat sinusui. ln locul lui, ei foloseau coarda, definit qi totuqi, perpendiculara dusX din mijlocul arcului pe

dublul sinusului. segmentul miri mare, irtlpune o nrdine, injtrmXtiiind linia
sinu-sulAiitacdhaia.rDfoalrosael-aBiirnuncia?lcEullelceunsoaqletetaabpeeirefelecdt edesibniunse,
stirbilite de alli matematicieni dinaintea lui. Curios, mi-am frint5, oricare ar fi fost infXligarea ei !
toare-. Ai dreptate. Teorema-i interesantl ;i chiar atrXgX-
zis eu, qi gindul acesta m-a condus la comoara mea.
chiar ci
a-gteEpti,sXacjiu-mo m-ai fXcut qi pe mine curios, aqa cara-cteBrisati,cee o teoremd t'rmnoasi, fiindci are proprietSlile
cunosc. lucrurilor frumoase : Llnitate in diversitatea ca-
cX construit o tabeli de coarde nu-
mai-fiinIadct-ios:-aailn-BdrirXugnoisatit
de cele doui teoreme despre coar- zlrrilor posibile, ordine ;i sirnetrie fali de te()l:ema coardei
da frintS, demonstrate pentrll prima oarX de Arhirnede. lgi
un1ce.
num-escDfraumcioa1siil. tu sX-i zici frumoasl, sint de acorcl si o
citesc direct din articolul lui Suter, care a tladus din limb:r m- ineT,i"tolaat;acsotam,ofaiirnrdmceian!umf)ea-irba$iaa poli admira,
arabl lucrarea lui al-Biruni, numai prima teoremX : ,,Daci acum'ai sl-i alXturi
intr-ur-t arc de cerc se inscrie o linie frintS, formatX din dou5 cunoEti
segmente neegale ;i din mijlocul arcului se duce o perpendi- de
culari pc ea, aceast; linie frintX este injtrmitdliti de per- splendorile ei : aflX ci acestei teoreme ii urmeazl 23 de
den,onstralii diferite, incepind cu aceea a ltri Aririmecle ;
perrclicnlarX". S; facem figura ! Avem arcul de cerc AB dupi ea rrrmeazi demonstralia gXsiti de Abr-r Nasr, clascliul
(fig. 1), o linie frintX oarecare, ACB, inscrisi in el gi Z/, siu, apoi a lui el-Habas gi ale alt,rr matcmrtitierri din iiiri]e
perpendiculara coboriti din mijlocul arcului AB pe coarda Islamului, apoi acelea stabilite de el insuqi. Iar explicalia
mai lungX, ,4C. Teor:ema spllne ci AI:IC1-CB,
I)a, teorema acelsta generalizeazX proprietatea stabi- ;gae:atcxireiiesspttcaroeourapo.icibbXmionrs1aeiitnoctuiaepsrcXemrirs-gietaei -i,inn_cddueci^l.mluinlnnadgsaeatpxtseeyaiaacc.ileu-sIrtlcfiX.eriurtrEeinzi-it,ascXtiict1eXnia-cuoidmdaeemtaLaiolncn:cist,iel,rrTna,'uau-
Iitl - de Euclid in Elctnentc," "pneucrnoa. r.dXa perpi,rdiculara I-11

dusl din mijlocul :rrcului AB ir..-l ,ubi,-,tinde, o
injnmXtile;te, adici Al'I:l.IB. In acest caz., T,1l este qi razX
1ii ca sX adeveresc o afirmajie a grecilor antici cu privire la
a cercuiui O. ir-rjumItXlirea liniei frinte inscrise intr-un cerc prin perpen-
l"iumai ci aceastX
evic-lenDtSa,,bRaidaiqe. considera-o chiar generalizare nu-i deloc diculara coboritX pe ea din mijlocul-arcului, cirir- pasiunJ am
surprinz;toare, fiindcX ismimi liint dpreenpttrlldaincenstoluucprruiv5iriecaitciXptrleXceeIr.e.. arn qi acum cind
punctul C are o pozilie oarecare intre A gi B, ceea ce face
Pentru dovedirea

6

acestei afirmatii mi-au cizut in minl un mare numlr de disc-utatMeunlluicrinensuc,s-Bairdfiie.puOtuitn,cdhaeiceiren-maraiexfrisutma oaamseiniar-rlcaereloar
demonstralii ale celor mai de seami oameni de gtiinlX gi etr
sdpu.nelii. Nu-mi dau seama clr ce te-am putut sup5ra ? Poate
m-am trudir si verific exactitatea lor qi sX le orinduiesc. fiindci am acLrzat cr.rlegerea dernonstraliilor lui al-Biruni de
r\stfel, s-a ingrlmidit atita material in care pot s5-mi arunc
adesea privirea mtnati de dragoste pentru gtiinlS ;i adorare gratwitate i Dar asta-i untrl dintre aparrajele frumosului. Nu
pentru ace$ti ale$i invi1a1i... qi aga, in cele din urmi, le-am mirturisea oare Fiaubert, in una dintre scr:isorile lui, pe care
devenit tovarig intrtr stirbilirea acestei tet>reme". Iati BXdie, nri-iri citit-o chiar mata, ci ar dori si scrie o carte dcspre
comoara pe care am descoperit-o : aceste 23 de demonstralii ttintic : ,,o carte fXrI legXturi exterioare, care s-ar tine ea
pe care Ie prezinti al-Biruni pentru o teoremi frurnoas[ ! insi;i prin forla internX a stiluiui siu, aga cum se menline
pinrintril, firi a fi sprijinit ?". Alti vini nu-mi ',.id, iar in
Citrtindu-le gi transcriindu-le, el nu a urmirit nici Lln scop ag mai ad5.ug:r ci am gisit, nu de nruit,
practic, nici unul teoretic, ele sint cu totul gratuite aga cr-im privinla gratwitdpii,
informaqia ci un matematician din secoinl trecut afirma cI
sint gi celelalte 9 demonstralii care le-a gXsit pentru cea de preferir si se ocupe cu pitratele nragice fiindci este sigur
a doua teoremi. l,{-a induiolat nespus aceasti mirturisire de
aclrm o mie de ani, fiindci am avut impresia cX mi-a ficut-o ci acestea nll \ror folosi niciodirti la nimic !

mie, ca sI mi incredinleze ci am dreptate si cred cX sint -NuNturembauiiecXsXb-i1eituspl uonlnesu-acXinpleitlarat,tealgea cum r-e inleli ;i
unele teoreme care te pot incinta tot atit de tare ca $i ,,Ba- ttr. magice au gisit
lada" lui Ciprian Porumbescu, ,,Cind insuqi glasul ginduri- la riz-boaiele de lestrt qi chi:rr in alte
lor tace" a lui Emir-rescu, ,,Creanga de aur" a lui Sadoveanu, aplicalii aitu-i baiu. Discugia noastrl de azi in domenii. Dar
ctr tine,
loc sI mi in-
,,Pasirea miiastri" a iui Brincu$i, ,,Beduinul" ltri Pallady 9i cilzeascS, a$ putea spune ci m-a cam rXcit. Ascultindu-te
alte opere de artX in fala cirora noi doi ne-am inchinat de r.r-ri intrebam : Oare de ce tocmai rnXrturisirea lui al-Biruni
atitea ori cu smerenie. ir.r cazul acesta, nu a fost decit un l-a inflXcXrat pe biiatul acesta atit incit sX vie cu strfletul
de cerc ;;i nimic mai mult, dar acest arc a ficut la guri ca s5-mi descopere mie cI matematica e frumoasi ?
simplu arc ceva adinc din sufletui marelui al-Birtriri, deqi el irr naivitatea mca, er-r credeam ci aceasta a fost pricina care
te-a flcut si alegi matematica drept obiect de studiu ! $i,
si vibreze
nu era un matematician de rind, ba era gi fizicien $i astro-
()are, de cite ori iSborream, noi doi, cite o dup5 amrazd in-
nom $i medic gi geograf qi iingvist clrm o dovede;te renu- treagi asllpra unui flecu;te; de care nu ne mai induram sX
mita lui carte Cron;ca Indiei, ca s; nu mai adaug cX era gi
astrtlkrg, fiindci firX asta nu se putea atunci... I-am in;irat ne despirqim, nu o f5ceam fiindci ne incinta ? Sau cind
toate titlurile numai ca sI sublinre'z cYa avea de unde si-5i
aleagi modele de admiralie ca s; nu fie constrins si cadX in imi acluceai la cunogtinlX cX la cele 9 puncte de pe cercul lui
in faga unui F,uler ai mai gisit adXugate altele 5i altele, aceste puncte nu
exta:z in acest arc simplu arc de cerc. $i totlr$i, secretul as-
cuns de cerc... Venind incoace, BXdie, m-am erau ;i eie gratuitXli ir-rchinate frumuselii ? $i apcli, cum de
gindit cX, spunindu-1i acestea, n-are si te rabde irrima si
nu-mi recili poezia lui Paul Val6ry, vrijit 9i el tot de nilte te-au scos din minte 23 de dernonstralii gi nu ai reac;ionat,
cel priqin la fel, cind a fost vorba de sutele de demonstralii,
tot aga de gratuite, ale teoremei lui Pitagora ?

curbe ! -p.e Asta-i pricina, B5clie ? Cu alte cuvinte, mata e$ti ge-

nu s-capBi innees, lapmunist i! 1i-o spun, dar dupi ce mai faci o cafea, los al-Biruni ? Atunci si gtii ci ai ;i de ce ! Fiindc5 arti-
colul lui Suter despre al-Biruni mi-a rivi;it cu adevlrat su-
fletul. Al-Biruni mi-a vorbit cu cildurS, i-am simlit pasiu-
,,O, courbes, mdandres, Je sais oir je vais. nea clr care ciuta demonstraliile, cum se bucura gi cu citi
Secrets du mentelrr, infrigurare_le controla, cu citX satisfaclie le transcria cind
Est-il art plus tendre Je t'y r-eux conduire. constata cI nu gise;te nici o gregeal5 de ralionament. Al-
Biruni s-a dezllnluit in faia mea, pe cind mata te-ai st5pi-
Que cette lenteur ? Mon dessein mauvais
N'est pas de te nuire".

B

nit ! Pinl acum eu nu am crevJt cX egti qi mata un senti- vorbit mai sus qi asta ne face sX inlelegem de ce acela care
mental, eu te admiram ci e$ti un om care-1i ,,1ii inima-n nu-l arEeS, tni upevcaalfeianciecaiobduantii,uBn5daidee- v9Xirmat iininvetrnetba,tocre"-a[3r ]f.i
frtu" Ei mi strXdtriam si-mi impun qi eu aceasti stXpinire. s_i-1;i
ispigeqti mata toate plcatele, cele multe gi grele, admi-
AlSturi de mata, am considerat cu respect gi admiralie ade- noastre viitoare si
lind ca subiectul discugiilor I Si ciutim citeva se axez-e pe
vlrurile matematice, dar n-atn zbwrd.at niciodati ! Nu-1i $. t'runtosul
adilci aminte cX am privit ca o curiozitate, ca o intrecere tema. ,\Latentatica lucruri fru-
intre matematicieni, sutele de demonstraqii ale teoremei lui
Pairtnaggo_israit;ic_Xnuteocraemuna frumuselii ei ? Noi moase din matematicS, gi asta incepind chiar de la prirnele
roemcaipgriuoc.aitXdulisi doi licXriri ale acestor dotrX noliuni in rnintea omuiui, sX le recu-
resturilol pi,rtratice noa$tem ca atare qi si le admirlm pentru frumuselea lor !
este
;sitacb5i,lidt e6adceeema,oncshtiraarliGi dauifsesriitnes,udgai, rinn-adme-
foarte interesant; 5i p-roblEemu aziicnvceXrsdia:cF5r-titmboasl,wbl a;il si fie ! Si atacXrn incaltea
cursul
anilor, i-a m.atentatica. FiindcX, dacX-i
stXruit asupra faptului cX Gauss a considerat-o t'oarte fu.r
tnoasiz qi c5, de aceea, a Ei alintat-o, cind cu numele de tbeo- r-orba ca si o luXm de la inceputul inceputului, cred cX ma-
tematica s a dezvoltat minX-n mini cu artele {rumoase, firX
retnd aureunz, cind cu acela de bijwterie a tnatentaticlJ. A;a a se putea preciza care a fost mai intii. Poate c5, impre-
c5, dragi B5die, s5puneala care intenjionai si mi-o dai mie
s-a intors ca un bumerang inspre rnata ! De aceea, rra trebui sionat de linia dreapti a fulgerului, de ir-rfXiigarea tulpinilor
de floare sau copac, de conturul orizor-rtului, ornni a incercat
si ispiqeqti ! sX le reproduci imaginea trXgindu-le cu degetul pe nisip sau
DacI mX gindesc bine, poate c5, pe undeva, ai
tate-I imi vine in minte un fi'agmerrt dintr-un articol drep- scrijelindu-le cu o piatrX asculit; pe perelii pe;terilor. Iar
dupl ce le-a desenat, i-au pl5cut qi mai mult qi le-a sc'rct-rtit
al lui
Poincard pe care nu 1i l-am citit, fiindci atunci mi s-a pXrut
frumoase. Pot si-1i arit douX desene de acum vreo 40 000
prea sentiment:rl. Citindu-1i-l acum, isp5;esc ? de ani in urm5, care au fost gisite pe un perete al uneia

tem--atic$DXtai"i,n, suddnadsreinnsupteuctnooedm:i.p,lE,eP,ta.vrSoerpbduaenedm-emiraiarcrteeicvocoiitlrulsme,,Iinnsvv5eo-ncjilXiaademumcao--? dintre peqterile preistorice descoperite ir-r veacul al XIX-lea
tivitatea alituri de demonstraliile matematice care, se pare. q <Nin Franla lal (fig. 2). Dupi cum vezi, in ambele apar ni;te
nL1 pot interesa decit ir-rteligen1a. Dar, ar insemna sX se uite
sentimentul frumuselii matematice, al armoniei numerelor qi
aelsteeiteicgapneleicgaeroemtoetlriieia. dEev.vXorarbiiai de un adevXrat
formeior, matematicieni il
sentiment emotivitatea. Or, care sint fi-
le atribuim acest caracter
cul-losc. $i tocmai aici se afl5 de
cirora noi
in1etre matematice
frumusele gi elegangi.$i.9ary. sint in stare sX trezeasc:a in noi
o anume emolie estetic; ? Sint acelea in care elementele sint Irig. 2

dispuse in armonie, a;a fel ca spiritul sX le cuprindi laolaltS, combinalii de iinii drepte. ln alte pegteri s-au descoperit chiar
'ldrd, nici o sforqare, pltrunzind totodatX Ei amXnuntele. figuri geometrice: ovale, triunghiuri qi patrulatere. Iati ce
Aceast5 armonie este ir-r acelagi timp o satisfaclie pentru ne-
voile noastre estetice gi un ajutor pentru spiritul pe care-l r.Iir si autorul c5riii in .ate im g5sit aceste desene : ,,un
in acelaEi timp, punind sub ochii vederii,. a puttlt fi atins
sustine gi conduce. $i, ea ne face si presimgim o lege nogtri anumit aspect.armonios,. agreabil
bine ordonat, mate- ;i c5utat congtient, pornind de la proceseie tehnice ce pro-
un tot duceau efecte ritmaie : ritmul miinii care lucreazi,
rnaticX... Astfei,- aceast; sensibilitate estetic; specialS este repetigia
aceea care joacd rolul acelui ciur delicar: despre care am
ornamentalS a elementelor, inciziile transversale sau longitu-
dinale, paralele sau intretXiate, ?n serii simple sau multiple,

1U 11

unelte din os sau lemn. Toate aceste elemente, o dat5 re- Pft.ilfua.t*--oo.n.rt.JlS! niuliufdaii-e.c,dec"msett acndeau.sztt?piu$til,t.'ir.u,a,E'c,cdeuoaeas,ltma.at'ialtuciaininP-i9maiitia.nicdgt'leosA,pracrueieftxviocisoautmtaet-oudinnecinsecscpuXoelptuecarru-il
marcate gi reproduse pentru plicerea procurat; autorului qi
semenilor s5i, constituie o artd decoratirtd de origine tebnicd,
art; care in mod firesc se dezvoltX din ce in ce, pinX in zilele
,1a4p, rpo.a7p3e1blnjusmX,Xctaatesidsee acest stadiu, observi
noastre". atingX de ani de experienli masii. printre care ..i -"i reprezentaliv-a tost' desigur' PIa-
milion dintre dialogurile
autorul , ;;;:"L1"; J;;.;;;; J;;p;; l'"'*os in multc
in piatri i-au fbst necesari omuitri pentru a ajunge in mo-
mentul cind el insuEi a inceput sX dea forml convenabilX sale gi a recunoscut .olul implrtan.t p-e ;ianreP-!hi.lieoharccir matema-
pietrei, adicX sI o glefuiasci pentru a obline un instrument artisticX. De pildd, lPunea-:
ii." i" exprimarea
:b;;;;;;.-D";;';;^."Ii,;oi".fsis"c;.s;;;sluurirDiii;ei'ri;;lXr,rm;inia;.i;aa"illldi;cita"Saisct-;e;;aonrluX,u'oa5-;"5tcpdr;.s;l.t;ni"ief;ioa;;.t"a;;,Sfa;i.t;"-i;rulvsai""cir:tctuc.trtre:ttuodee;^disI'i,,"n5"iaiccien,prr&pctoseu;orafeaioe,ta-ln;tniuunaatibg;tori'iiietpn"mui.ariifrul"viiH;euriarb;dt,ri.;reoirpXPii"t'iseaepbil.oniiueunm.t.,leaplul"metreuieaitz"paianefmfd-iairSririntirpesrne,.uerreoX,tuitra"Dcotm"icllissi'im,csite'rzcpiHuucatanulnsihmitlonatsenr"urip-ieipnidaiie,e"utirc't.,rdpmHer-xezllrrccoeuepiaiu-aiaecutipfrcStnfl5alsleut:iuiarpit.,lmsplcin.urserm,iedicpaoaec'oeafCebrria,^:aftsioxerrrtaaeicmc.t,tlesmandtcevs,reem,"re-ceeaiirdMd'nlinriaaemesomsieisd-iIvitnsrisnieceuia'teni,plutnadoirdlf"ouiatanreciin-gult"naeeelnl'taemet-erocapsve'.sim^mnDrin-,ltctinet;pqranSlelru'oupatuietirrfciaua.siaelf':ttpio,s^"ifuiIuBlb$er?tnsaTrl"alu'aamlloodC'mlcopllr5rgept"aneeniel1aumnritoo'ocut'piYr^snuatr'seryet.ms3ntllnr-tsnsailoorToada?tl-'cater;e-;1eltia-1a"-'j
de tiiat, zgiriat sau de strlpuns". 14, p. 761
fji-ogra.rc$riiir9pe1goanalptaeoteic,XdiinantcupanlricecieacrpeinXadredaaecueaastneIuelmineitxieie, cezulgetiamr,ieasnt-etaeulad,epirnoecrfedicipnuuett
in
in
ori simetrie, sX fi licirit in mintea omului gi primeie elemente
de aritmetic5 ;i geometrie. CIci tocmai prin acest impuls in-

terior citre desen Ei totodati citre gindire gi ralionament se
deosebegte omul de mulgimea animalelor, numai aptitudinea
lui cle a analize gi generaliza i-a deschis calea progresultri.

pres-upTunaererilomr iqiteamceoun,sidCreagraXliiNlour cfiuloles,ocfiXcepsani tnauacneeasatadea-
meneasci spre un teren plin de capcane qi sX ne indeplrteze
de calea ce te-am propus-o. Pe noi ne intereseazX in primul
treinrndatti'cruXn.toMsautLemEtapiiecae, isvirepmressuip-ul ndeemscocpXegrimtimi.nces-ii,pdrainr
ma-

fru-
nrosul, de care ai ficut mai inainte atita caz, qtii ce este ?
sin-t inDfea!laInlsutiinicl tirvecaugnsopicu,nfeiincdicXEtiruncIscoepslteeg,eagttuen, dciacrindde
definit, nri-e cam greu. Hai si-i caut definilia in DicpionarwL
de t'iLosofie, nu de alta, dar ca sX nu rimin la cheremul zi- s"a-u-*cu desfitarea dezinteresata'
citoarei : ,,Nu-i frumos ce-i frumos, ci-i frumos ce-mi place Socrate' mustind de
il"i";d f"*;;;i1 ieplica.lui
bibutif";llnoofau;o;"ci;'tnvt;;^*.ri.;oa;eru.;;1nrcdnn;n;i.utiu,alinip-tr.t.si.eeca*;si'sut-pa.titmeiie"i,..acnUf'iacvicriiti*auaii'.mfanprr-iri;ctitutda:"esu"mijimco;mr,o;?o"s,is;""sul"<;.5i-,ulln',r,ldeI-lstardc&u.ieiitemrHsatc,c"it.Xrlsledi'iuipe"tf;i;plilfnrocuagqiq.tencatr."iiclra1tesue-uu-cl..lrerlupfadi,iri,lzrrepuec.dji,da,anmeau.cul'ilnpiaeoincrptXueaatiifriutzrsneescScuiicatebanimatEeeartddSepiorr;euoetauafodcras-t$aua'riteamamit:c".etti:'ceapon""uccs[od-$rme6ueeYtlilerzle.lilcurdvl'ceaaemabir1.lvCmettac.:1ae-.e-li
mie". IatX cI am gi glsit-o i:n,,Fdroumctorisne-le categorie a esteticii,
estetice mai vechi,
consideratX fundamentalS
astizi inlocuiti insl in aceastl pozilie de estetic. Frumosul
este reprezentarea in congtiinla omului a proprietXlilor obiec-

telor apreciate ca armonioase din punct de vedere estetiq". [5-|

l,'die, difinilia asta nu-mi spune nimic alta decit cX frtrmosul
este estetic ! Cu alte cuvinte, m-am l5murit bugtean !

annui-espeuPfirzrleemaazimni ttaloiapetregotb-iiqzlevimotuaarpefrrleuemteinonfsicouaslure!i,,DadaSerzpficieinesdtseciX-dmodaiuciilicmo5nuiatiSrdumel sfat imi dai, Bi-die, ca sX mI dezmeticesc ?
qi prin unele c5r1i.
tj

t2

:t:'" ,, '.;;"';";;i:pps::djr:,1cppsrlblaP:"eia:ltj:lc:tuteee.riPr.iner*1.lurtnriroirlceupilrr^.'cince.*rroa{iqnae,*cuocrr:r5u:9uir:tA,resga;sxio-al].i:'seyndnller:Ten:tesur_rnXsfaludieeeiclpeaCtcum.scecr{u.pa.d.ailaeriaNorrcgem:egnamcir'-,pinstcess-1ue,rcruireealatscueedpn.tileti.rorea,.ainaner[aiu'.r.edasr-'srt'muctloi1br-m!tereu.icoaieriecablrcriieyente:acat,9arlsdsaseelolaplaein,csttl"ueelirreetnse,eu.clnliscmeuader,.meraaareGscii'nlrpiust,;imreumeeri,rdlianitciesrime_lrfietst-ecczraur-eXrpqaci.arrii*ceuatraou,lln;As'firntmtuCiDmetrJr,ini(sidiaterprlcd.r'rs)cciru.umariinriplal.iiec,cplsr..eulori,uil,',.lrs(i,,rdi,nrriil,om\cr...u,r,oept."o-rr/rptl.rD.riiis_c,iretnsiiirl.lor.mtpe1at,ef.1iZarlmuai"nI,i*ar.e.'d.r;.irt.r,miaicti,lelil.r'er'lafr.er,clidmsaXt;trisrein.l',.riee"aun;tei-o,J-iitDi'"ne.;,ippre-L,mm"!tmf.t":dr,r_*.e.rrtrarirai.'r;u.;g-u)fipiec..uar;o,;i"tioir'ri1ae,ml-rr.-.irlsato."-n"tS;i.ns"i;ihmerecdir.-"-di;u"s,wfn,a-;u;.i'b;l;eil,iairrestemdt;.;p,J-m.*irrm";;p,;e-i-iiienat.rn;rt)lp'ii:"'st.i,.ii.r;'laiXtt.l;'teiar-*l,"di--,"ei;riiieer,,i"a;";i.lii"ct;erb"o;ic.l"r"rList,adiicra.pnis".dtai-fJl.'p;etom"e.d5i'.1tirinqc",.f;rtrppiae-r;J;ie.ei'i.*u,;nistraaanri"irtip;t;riztnmrim;r.er_cerrr;r;;cira"jtaciiia;ia,;f;epia,aciu.-anf;""srp;s-.lf;l,ir;ti"ri,rfp;nei.,t^rtteoranr'ern;Aoi'Xiur;ru-i;.m"niipefnce;;in"."nii;"limmi;;;;ii,ll"e';taire;llurct;;,:gmiie;iaf'd;dmro;;.,iti,.;e"li*dp",;;r;e;p"r.;cs;rn;art,..o..;r;si'tupm;ai.eriptcorrX';;ir;rre";,zE;lr.;..r-eei_x:."it_:r-,iica;_;eJa;rit ceea ce in diferitele epoci ale umanitilii a fost consiclerat
drept frumos de cXtre maj.lritate;r,,ameuilor, aceasta este
.sdicttscAXu5n1a^creileuitrtr^sseirneT:atet-,-rvse.aotdo,ul*eta1rr,olot_agafrctgrncrmatIEiuLinioti.criou:m'iitrr,irodi,papau.,nro'Cuarleitsu.l.rtarrdeufcui\ar-liptail/"inoecu'\etdcscaisrsirL.tiitruXci,ieie'.nrl.roorXrii[dd\vretl'prr9le-"i;uresctairJisulp!m..lueigcp.ere,msl:i'r,Urg,,"piedr.ti.lras;.rnrziei..;r"ri'e-rerc[eceii.eicpn..?i,aXe,i,ral;1..uiir.aI.anni.ssrrl;vrrii"eprpr;,,tuelri.;iuu-e-a;;'*nefi,c;i,uc,.iuau'.sl?uape.ca'''r1q.oprluii;;imi"iolt.,r;.lprj,,;c.,i,r'"rt.;i"s..efdid.;..rrrii.z.;le.t;-,i,i;ii.1I.tc.i;t_f;c,pin-;Ai;coi.aio.lnu;.^l*di";l;drrl";g"i;.i."dd.=";i;;*o:A'er;L;i.r;dr;c.rr;i;&;',.rai;;;;;s.,ii;ri{l;.''ft:_ti";d;;o;;'rri;*_;;,i1,t;;c;,r.rcli5a;;:.;tr.lul';";a.,_..;a,,ri.
.."i .. trebuie si ne strXduim si facem... Nenumirate sint
I4 diferenjele gi cauzele frumosului... CXci ceea ce socotim fru-
mos in'.r,reie l.rcruri nu mai apare la fel in altele. Din
lucruri diferite, amindouX fr.rmoase, nu este tilor si douir

hoti-

r5;ti care este mai frumos ?" l8l I D,rr afii mata ci incurcl-

tura- Da, Bidie, mi-ai ficut-,, pe c:li-e el nu a puttrt-o afla
pictoiultii mi-a dat solulia
fiindc5 nu exista ! Trebuie sir vedem ce spull- qi tra-
"tatuteni.e^i,de esteticX, r'orba diclionarului I $tiu ci in biblioteca
matale se afli de vinzere ;i esetlenea ntarfi, r-rtl ?
-ce-B1iapldaace,.du-te ;i ceutir in raftul dir.r stitrga, sus ;i adI
D.rr pentru un gtlst, cred
ca r-"re-Cajhuinagr. toJte, r)u le-arn acltr*.
.,e sciie mai intii T'udor
A5 r'rerr si veden-t

V{-ilaite-n,uin$i9i l-.c.auratcotet rcrzlar rle:sategteit'raterlualii Tudor Vianu a; fi ir-rceput.
a valorii estetice'
se referi

i;n;i launaeclteivoitpaeterea ;tiinlifici : ,d,Uancielieumimeut-laealtmisaticinrefceulunol ainitemcarqei

ale gtiinlei,
.. .ontptd, se unifici qi se gredeazl ralionamentele care Ie
caocenasstittitiiitee"mLi9m, pii. 491 D.rr, parcX li mai clar dezvoltlr el

departe, cind se oprette astrprx afitud;,ii
,,$tiinga i,rei'rteazir de la fapt la fapt, de le obser-
estelice; obrerr.alie' de la generalizai-e la
generalizere. Pro-
valie Ia
cede.ri ei este prin excelen;5 meditativ. Intuilia,
in clre ,. ,..on.,p,,rre insir' (r succesit- 1i -ll.irre irrchcg.x!i,

t()talitate
un act care amlnte;te de aproape c,rrlternplel.i.l llrtisticX. F-e;:tr9i
indoialS, r;tiinla .....t."2-i -1i arta..cont.ryqli. Contemplalia
nu se opulte lnsa cercetirii, ci, dimpotrir-I, ctunci cind o
ajutl s'I-se degaleze de sub inioncliunile moralei sau cind ii
oferi cadrul in care sX se poatX inscrie rezultatele ei. Spi-
ritul poate deci uni cu cel ltiinlific. Ba chiar nu-
artistic se clin urrnl intreaga
rnai unirea lor bferl acestuiir lui rodni-
cie". [9, p. 62)
Am fost bine inspirat, alegind acest volum. Cred ci

salmi-l dai acasi c,r sX-l buchisesc irr r-oie.

num- ai Cum si uu, eli am de gind si-1i citesc, in continuare,
ceva din capitolui intitulat : ,,Atitudinea
esteticl in
receptarea Artei", unde, pentru noi, opera de artd" va fi echi-

15

valenti cu o probleml frumoas5 de marematic;. E,gti de n-ag- Rindurile care rni le-ai citit suni ca un imn, parcX
mai putea asculta
acord ? nimic dup5 ele !

--* Caiule, mXninci or'52 ? ur-rele obiecte anume intocmite - De altfel e qi destul de tirziu. prima !noIaasrtrmX iinnoea-pntre.r
alb-l Acesta nu-i un argument. Nu-i striine
Atur-rci ascult5 : ,,ExistX gi asemenea escapade nu ne sint
p.entru a solicita rXsfri'gerea lor in raport .r, ,,aloa..a est._
ticX. Aceste obiecte sinioperele dc ar'ti. Faptul .; t^;!i . am nici o ori de Seminar !
zo-paetorritrdlee.iasratIupcoaatuenfui i cele-_la-lteCDvuao,laudlmtueepcicueovisntcateau,fepdaeu,rpdn5aresoip?tcasIfe-1ai ai vrea si atac5m qi
resimgitX ca un bun eionomic de r,-in- spun cI parc5 m-ar
teoreric de istoricui care nu vede in
ea decit un document al civilizajiei timpului ne permite a
vqarulroler.if^iccaXreoape_lorerledainrtrre:-iunnuudnegvhiinarneuamliitti.j'Ai ceestaestitclevaielocrii{ricparrie,r tenta si vXd claci mai pot glsi ce..'a care si mi mulqumeasci
gi sX m5, incinte atita cit acele cireve frinturi strilucitoare
unrvnnnaura,elIonleercisfioeftiiencrsntahiapnrireobesriitlevaiioso9etleiasititctvuieclXniriuiecni-ln,eaeariartnsiiutlpuptuiodurnriilntnsuuaeeitrlaue5i,im,eapseaetntseiftcptuiavcidr5oriietn.lu.ie.ruliuaIrrnmi,.,teeoihsancotzmetiX"ataicrcsfilriiiue"i"lnamee'peco:rixirieclaciX.l-ae" din Estetica lui Vianu.

nii -esteEtigctei.pcaremcoenxizcalutlsivdiset gi totodatX cam refracrar atitudi-
cere, mi
icloiul tlu momenran ! EI
se pare mie, pu.rgarea pasiu,nilor, or ru vrei s5-i judeci pe
ceilalli prin prisma plicerii care 1i-a l5sat-o o anumiti let-
minXm pe rind. tur5. Daci-i aga, poate e mai bine sI renur-r1Im !

Pl{" inhibi1ie... priveqte interesul practic falX de reali- nrr-n-e c.ilua.malui adtrefopctaI te, Bidie, toai'nX nigte api rece pesre
Nu esie cu putinli de a mi apr.,pia esretic de urr obiect
t_ate.. in prealabil nu elimin to"t. i,rtei.sele practice De care care- Nq-i nevoie, cafeaua fierbinte ;i, totodat5, surpriza
am de gind si li-o fac vor aduce insolegte
dacl bucuria care
mi le poate trezi... atitudinea estetic5 reclamS'o suprarreghere,
o p,utere de a controla qi alege, funclia continul i ,rtrei cerr-
ltAe:ylg.t|.Iitpuin.r.lht-iacbruiqeipesepirmicreitprp-lr;iilcanaiutnitoedleerecagtut5itasuel5dgitneaeinaotboeitedscreteaeruliocnr;a..e. scDtueinuacgcoeuleroiandliine. frumosul.

c.qga je. simprile ne inflgigeazS, spiritul nosrru adaugX intui- - O surprizi ? Care ? abia azi a ap5rut in li-
brXr-ie ca sX nu
liile lui intelectuale... Numai ci in clipa qi in mlsuri in ."r. !lJAitmX-tpeusb*ionean9ui mveeziin-os, ecrXtacri dai-dintr-odati
cu ochii de ea.

abrefiallS.icilieogxniceieauzlsdim"d. eiinniltraei,leaactitttiutuuaddl,ii'neaeamaeaestostetreutitciicis.5.a. supercicnraitritacocuatetlerci arlerc^ersdate"rt,iXni-hsio-e sona-ntisDtdar/ a$sttiaa-mi cacrtieatrelubiu$ietesfainaOpdaor5b,ledjaa:r Psihologia con-
n-am vizur-o !
$i ce spune primul cibernetician al lumii gi al nostru despre
frumos ? Sau nu atinge aceast; problemi ?
tsetiaercetudaterS.p. aCcienelXnuuntrsiecXp,ricdeepesuipIrefmaXcldleinsitgintceleirne nror"li gi-i"_
ating-e. Ba da, desigur ci numai in treacit, dar de atins o
sine nu po"r. considerX ci : ,,frumosul este plicerea exerciliului
ntauiurluizleii glealarstmecoilatarteerbtienuii.erTesulXiemof.upOletrumelzueinl itcnearriseoinrre.lepirrar.icg'oftpc"enqrttlXoe.rrppire,ancaetcraeuaiiunpfutleirl___ El
optim (normalizat, colnpensator, echilibrat) al psihicului"
PIScerea unui exerci;iu complementar... Plicerea activitXlii psi-
hice in. sine gi.spontane, fXrX mobil extrinsec, piicerea ftrX
g.are a pasiunilor care nu este numai un efect al artei, dar cauze gi scopuri aparente". fla, p. 5221
condigie a ei... Fiinla orientatl estetic nu vrea si sti_ Prin ultima caracterizare se apropie de
gi o rVi-niadnubulien:el,- fru-
o piScere fir5 cauze qi scopuii aparente
pineasci- realiratea, nici s-o modifice sau ssi-mo p"l*ap'eloi "ei".irs.t,.,.,rrj5i.,i mos-ul,- spus !
s-o inleleagS, ci numai sX se bucure de
in expresia ei sensibilX". [9, p. 301-304] Atunci, BXdie, mi rog frumos, citegte gi-vreun d-ou5,
din Estetica lui Mihai Ralea, ci doar n-am adus-o degeaba !

L6 T7

vom- Chiar numai atita acttm, fiindci la aceastl carte ne inainte : n'tatetnatica ;i lrwtnoswl Si, totod.atX, ori de cite ori
mai intoarce. Uite, ili citesc din capitolul intitulat rrnriastiec.ivi alaivevi aolucaazreiaa, si, discutXm ;i despre .ontribulia mate_
si nu mi
f,,iFinrudm.;ogstuiul",cci-uticvoandfiiliagrecrar intrerupi. Ji-o spr-rn, ntalentati ca. frumosului, cu alre-cuvinte, t'rrrioril-5i
sii tc ablii de lil c()nrerrterii'.,Trr
concepliile estetice acto"l" este irrci o mare corlfuzie in ceea
ce Drlveste catesorla frumosul-ri... Citeodati frumosul inlo- cnmsleacoagrri.eSii,i.st_uacidaerrdriitnyv.ieciaico,Mju,fglEriuf.dxhr;meup*a-milioiacpsolRa_sl_raiuaeunlriealse,eafaqooa.maimmMrfmtrunieaeilazu,bcaiiis"enrceaevgrclaiieicnitaXpdouslrtimtS,unaclni:-uauaim,tli,.tmPeciFeiaretcuniirtimrta;euatoivc.usumeaunaaluose,nrtls'u.;liiie,nmprud"ae,ri-ring,.r,dtoi,rni_iendni
.uiJyt. e,teti,'r,l,"adich este corrtiderat drept fenomerirtl. care
formeazl baza speculaliei estetice... Primul
elemerrt ai no-
tiunii dc frumos- esre impresia de totrilitlte, de organism'
Ori de cite ori pirlile operei de,rrtX srrisfac o per.fecti soii-
cni.e:.rnitaftreumesotesut;l..i';Afipeocai,ref'ruinmtcog"sriurrl dprrorrdmuocneioos ansanr5iitl' obli '
r:rsc';umopiomudgoneurnaeniaf-,eiallait..sareqrC,.[i cipad.lVrleuearcnzelae6ianriretvop5nrecdc-,aIpainmas_ineostfruaorcrpasidmetterueidoginoeaot;rrrileaeiies"ci.roraerrBtdroalv,,ovei,lmiu,nCirpiia.tm,titlemoiaiti.b,:tlartuXd.l,nau,ocdhccr."luleep-^mptipa,uoat.errrrae_e*
plicere direct5. pcncipsdecieuererdnlniinepletterrrtrtuuit.iilfoceiccioaenClaruatrlstieo.siin-acraMNgermcur.uiaarhMX.d,agacaiiipuitscRameju.ogaelptaJlixeinavpdiariareivenrcarseaceimavriaaistianfcin,tstuuieXmtaalietroditr!XcaineldSDrda.em.seaestluiicanbgrahcgieidcLoagieinirntedisogae.lzcei,eaitgpctllfXilieheXtlu.ili.i,eir.s,r,5fai,.i'iEe,npcTxsmdprutoiecrniecttXBitscarieinea-ra-
desir-rteresati ;i se
sinrpli li imediati. iceasti plic-ere este
referl la formi... Frumuselee este legatl oarecare ex-

caelrpnqL,'irairi-ea,ce.iudsester.ialci'e"rge, ap*lr"iaoipcoalrad-1sltiirecg"ie., -Id;;Iei i'uerpcr.nh-iit2loi]b8arru|elasuofbiesteens'ac,1icea, ifmic,udtel
in alt ioc : ,,Estetica are ideviruri care sint permallente $i
acestea sint raporturile, armonia Ei propor1iile".
tot, BXdie I Il adevirat cir-mi venea si
te in- trefrnulspl,sm5xanit adlees la inceput,
mirturisindu;ii iar cind i-am simiit pe- Socrate

atent, am vazvt ca ,,o{."1'i. O-.at DigicnS.i;onaacnetelad'-eafsilcou-lstionfdieu-nteu 'u-ttatea,
definitia -_ Cred cX va trebui sI rXsfoim mai multe pagini ca sl
din
era chiar a5a de abracadabranti, vina era a mea ca nu am poli desprinde ceea ce vrei. Trebuie sX stii cX Benedetto Croce
fost destul de pregitit ca si o inleleg.
s.p'ntvu.aer2rcCirialtriret;e4aisdtscle:oc,cc,Xe,iceEitsarsaeettreeiast,tirpcceui,abnctueEa"itiqetsluiugXcolbamrrti5uecri-iuaemfvalueiaznrsiIitttuueeoltib:ittdiiei,o,e,ceddtsoeae-mtet5cit,iiec9ipna"i.romcADcaeairTcseiSe.lg.iianoditnrsriguarirntri,en[gs5caeca-,- considerl c6. t'rumoswl nu are existenfd t'izicd, iar frumosul

natural este un simplu stimulent al reproducerii estetice, adici
a.,expresiilor. Dar, ca s5-1i fie mai-clar, si pornim-de la
p5rerile lui despre cLlnoagrere. ,,Cunoagterea are dorri forme:

intuitipd. Si logici,. cun_oagrerea prin iinaginasie sau prin in-
accteeogf'n-ootdrsr5iiilaisimlieetustrr.tilrelt.eittiecvif[rrreudtmmreueoc.sies.uatinrlu;moriniaaimiaurlamcinrovgcn5efiropugaunesttenases;wriia,Lefliixte(apctroaeen)lse,s.iidudvaeenr.re'a..idtIceiaasittnefeigtdioccatraltil-ii telect-; cunoagrere a indir.,idualul)i
crurilor considerate fiecare in parte sau a"wniaersalwlii ; alu-
sau
cunoa$tere a reiaSiilor
1or. Cunoaqterea ipnrtiunitiinvt5eleesctreacruenooaggttieinrled"exapreeis, iv-S,
Cunoagterea loingdiecpae-n-
... .

particulare (ca qi uritul, tragicui"..) esteticul tir-rcle sI ia locul dentX qi_autonomi fatX de cunoa$terea prin intelect... A intui
pe care-l ocupa in doctrineli mai'vechi referitoare Ia artZ". Lrrselrnnl a exprima 5i nimic eltceva (nimic mai mulr. dar si
ba, abia e"s.nteitticual-ui,inglieleesbdineecceXfrpulmlteomsuipersetceizuan, caz parti- rrimic ma.i pulin) decit.a exprirna". Liz, p.Z5-g5l Mai
cuiar al de_
ci noi ne parte, relariv lc ,.Arti qi 91iin1I', irie:',,ManilesiXrile ceie
'uotn lin'tita ttwtnai la Jrwnos. Noi ne vom stridui ii-i discu- mai inalte, virfurile care striiucesc de la distant5 al. ..i.,onr-
liile noastre viitoare sI admirini citeva din p5rlile ctt ade- $intitmui,tiaverr;E$i iaqletiicnuj5n.oaAgrttearii;iingtetiiiencltauaslienrsdeencuimdeisstcii.rcdreuo'qai
vitrat frwmoase din matematic;, adici aqa cum aln spus mai terii

cum

18 t9

in accaerela'geistteimlitpurlae"gaetseteidnct;r.eOerliece: coincid- printr-o laturX a note- Desigur, 9i chiar am si te rog si-1i mai scoli gi niqte
lor operi de gtiin15, este tot- cu problemele care crezi ci ar intra in vederile noastre.

,odati operi de arti". Eu cred ci am s5-qi pot satisface, intrucltva, curiozitatea cu
vrnaatXi--,dea'Fp,iu,aoLnratucerttiue?crif"nrudemsmtoesint,itcesl ianvtnacoupisuttotreitallel srdXteemtnainceionrtmdreacguiimpeeul,lgicureinossbpXusendere-
privire la neinlelegerea dintre Mihai Ralea qi Benedetto Croce,
despre care ai pomenit, fiindcX am un articol al lui Ralea :
,,specific gi frumos" publicat mai demult intr-un volum inti-
eforiul de a inlelege gindirea savantului 9i .de a-i..cerceta
cBvitic*eiaurei"nmlv"onnlgdanpeiJrtlddeea.eader,entetdleona$emp'eCiotauaXrtvdlorc,te.reet.vidb.vv',lodetiientrrcma.iea,etDeiai.l'anao'ic..rne.dadtae[uieLas1igc2"inlinut,unXulleidpii,mllei.eTrfaegX9.nie8ro\dXrr1/aieeim-asDzcttnrvitraneretovrreclivtnesaiinnitamstedeouuouapldMba-rrneeas.i,ec-ppsreRarvieira;saaeaoltidersinicaelazoitrfvtcvgtroo4onglnumcmt{4-l,i eprusirtleeartpilCreinoltmureei nCptrraoirmciieii;-icIasawrteigeadsuetsiicp[Xr1eu3tc,aetp-is._Xv2oa5gr1be,azein: a,,crBtaaerenire-sdleectarteodfrCeulrroifcalae-
cultililor noastre de cunoagtere, sI faci din ea ur-r mod de

a percepe lumea exterioari". citit !

noa$-te Exact ceea ce mi-ai mata Prim trrmare, recu-

aceasta !

incheia-o pe cea de' azi,citindu-1i incX un fragment din capi- ltii -CroDcae, numai cX dupX ce ei ir-rsuqi discuti pe larg ideile

in sensul ci dezvolti el insugi ideile lui Croce,
exernplificindu-le intr-un mod fermecltor qi rezurn?ndu-le oa-
tsoimlupllr,,,rF",ricmaossu5l-lci afavcalloeagrXetuaraecxpureesxiperi,essiavri-ttae"txeparepseia pur recum in f.raza: ,,Arta are funcqia de a revela ur-r col1 ascuns,
$1 misterios, mascat de banalitatea cotidianX. Ea ne scoate din
care
o

.o-b;t"* Mihai Ilalea : a5,dIi aeelvtoicirre,ilebauunq,^id,veuantlotilrr,milpeiroi ntdreiivgfeiat,rt.iivtejeuseitn'sieevxtioacerc-'t comun, ca si ne transplanteze intr-un mediu neblnuit tncX".
Toruqi, dupX aceste observalii, Ralea qine sX aprecieze : ,,Iden-
intelectuale, economice tificind arta cu expresivitatea, mi se pare ci Benedetto Croce
birea comunX, frumos, n-a mers decit pini la jum5tatea drumului. E adevXrat... ci
care desemneazl ltbeta desflgurare a activitdlii :Lrtistul percepe gi exprimi individualrrl. Pentrrr aaceast cl
erittcu.al-e, acliunea, cercetarea gtiinlifici, produclia artistic; -spr- f.rce apel Ia emoliile sale strict personale. L,[ di lucrurilor si
bine fer.rornenelor o fizionomie unicI. F. adevirat, insX numai in
parte. Dac5 artistul ar exprima stiri exclusiv specifice lui,
reugite, qi urit, fals, riu, inutil, nepotrivit, nneejruesut,S. iitn'eIxnact.ot l,o-- n-ar putea fi injeles de nimeni. Esteticianul italian uitX cX

desemnind activitatea stinjenitS, produsul
r;t." i"t iingvistic;, aceste denumiri se transfer;' continuu de
1ubounionale.duaetz.v#gXo.,rdr;,t.iindnell'i,ff-iic"pitsepaeuInatpraeulntaot.ruDexoepreaexcseliiemunpreleuu,qu.iftttS.iwi, ri5tntoit^sa-spsietupi.rnetStarterq$-1
expreiiritatea inseamni comunicativitate sociali. Aproape
loate stirile sufleteEti, plSmldite gi prelicutc de mediu, atr
'Dinetenletrcrtiuoal acliune moralX;'de aceea, se vorbelte de un fttt'ntos l;rturi socialX. Numai lncon;tientul, care nu e exprimabil,
acSiwnii, e strict personal... Daci arta este expresivitate (o prelungire
, de un t'rwmos al de un frtnnos tnoral".

Dar... neputindu-se ignora faptul f-iIclao-Xsvtoaelf-oincadreiensaltaeedsdoteemt-iaicn.i,a,rennsteXtr^pinaagtrieet a expresiei emoqiilor artistului, materializatl printr-o tehnicl),

in limbajul comun' cit qi in cel atunci ea trebuie si suporte aceleagi legi ca Ei oricare expre-

sensul cuvintului ,,frumos" tocmai sie emotiv5".
ugor gi oportun sX definim frumuselea ca expresie rewfitd,
simplu,-fiindcl expresia imo'-r-esiDAa."mc, ie-ilnaclleotclmeeosvl,aeat!ePqaaozdSaa.treAnscutXa,--lidceaolctmcoebmvaabtei!,tuct,uiml vaovmusecosmembaeteu
sau, mai bine.zis, ca expresie P.tl $i
care nu e reugit5, nu e expresie". [1.c, p. 1'49]

Ei."-a-ndeDvElrireacpihticaXsrXva-1ori istrpfeaubcnueni auscXevacIsidttea.sdcAemlmocaisuXmndiuaelutgrcceaa$rets$eXta€-m!lruoi i.dcaceuu' n,ri, cindva !

rnine, da ? apu-c-5mECgui,imuanvaescmteaa?stidmDeepscoesmi?nv!edem, acum cred ci-i timpul sI

20

PRIMII PASI pentru cI plScerea produsi de o ltdreo.b.alefniirimlrtangtoinaastr-ion;iu are
alt scop dec?t irrcintarea, bucuria
CATRE FRUMOSUL iN MATEMATICA a
ptezefita, ca pe oricare operi de ci ".1
artd, degi recunose
nu-i
lir indemina oricui si o guste. CXci nu are nici o importangir
clacX mai tirzitr acea problemX matematicX frumoasi igi va
g5.si o aplicajie practic;, dup5, ctim nu are importangi dac5
un obiect de apretlba-ni este pus la lici-
talie ;i vindut un tablou celebru -

grei.

aore-clii,SpinrtopcuuntostXuip5dsetrXac,meeain;,idpicXarteorrew, ldcaar,uinntrgohdiduciinndsealceecstatc-
rea problemelor noastre. De cind este omul pe pirnint i-a
- Acum, s-o pornim ia drurn, B5die ! plXcr-rt sd. creeze forme geometrice qi dacl nu ir fi sirngit ci
greu-, Bine, numai cX arrem inaintea noastr: un dntrl canr clesenind o iinie dreaptX sau curbi f5cea o plScere gi celor
din jurul lui, nu qi-ar fi
fXrI ciriri bitXtorite gi fXrX indicatoare. impodobit trr-reltele de rnuncX, nici
I)e ce firX indicatoare ? Nu cumr.a exagerezi ? Uite
ce a- m notat eu din una dintre clrtrile ce le-am luat de la nu ar fi zgiriat perelii pelterilor cu ele. in orice parte a lumii
ne-arn indrepta privirile, spre China, India, Indonezia, in-
mata : ,,Faptul estetic se definegte a fi in prinrul ri.ncl o can- treaga Asie MicX, Africa, Mexic etc., vom glsi opere de art;i
struclie simbolici : orice fenomen estetic, artistic, este in pri-
mul ,rind o construclie, un aranjament tehnic al unei serii de p"rirnitive,_ingemXnate cu. desene geome.trice. De-aitfel, in sns-
iir-1gle-a pirerii noastre il avem alituri ;i pe Platon, care irr
date, care simbolizeazX o expresie : sunetul in muzici. cu- Fhiiebas arita cX : ,,ocupindu-m5 cu
Irrrea in picturS, linia in desen etc. in al cloilea rintl este o frumuseqea figurik:rr.
er: mi gindesc numai ia ceea ce este drept sau curlr, plen sau
expresie individuali. Fenomenul artistic, spre deosebire de cei in spaliu, oblinut prin compas riglS sair echer... cXci nurnai
gtiirilific sau filosofic, se caracteriz,eazd printr-o prindere a
eiementului particularr specific fiecirui fenomen, care este ex- acestea nu sint frumoase pentru ceva, ci in sine prin ori-
primat prinir-un fel de simbolizare, citeodatX printr-o re- rirre". Aga spune-mi, B5die, incorro vrei si Ei
ci, apucXm ?
o
Mi-ar plXcea sI ne indreptXm c5tre fertila vale dintle
producere a lui intr-un anumit sens interpretativ al ,auto- Tigr-u gi Eufrat, unde, incepind cu peste 5 OO0 de ani i.e.n.
rulni, adici printr-o expresie. Tn al treilea rind, fenomenul
estetic are la'bazX o plicere dezinteresati. Si irr qtiinii po;te rpsrueirmiriie.nrIdime,npsiiua, unaigitmooapi rrceeauiledneXloe,nruiinp,aaalidairirnieetrndeiei -pc;irX-ibmrXaembleiildocXnivesinl-iiazi aual'uriiisp"ipliX.itm,nX.drdraoitr-

fi o plXcere dezinteresatS, totuqi ea are o finalitate prrctice.
PlXcerea esteticX este absolut dezinteresati... in al ltatru.lea
au rimas sute de mii de tXblile de lut ars, imprimate cu scrie-
rintl, fent:menul estetic presupune o finalitate autonomi, aciici rea cuneiformX, tiblile pXstrate in multe dintre muzeele de
nu servelte nici un alt scop decit perfecliunii saie insigi"
[11, p. 259-260} Adrnilir-rd, ala cum am hotirit, cI noi r,onr pretu-tindeni, in cea mai ,mare parre a$teptind incX sI fie
cI,utc, laptul estetic irr anumite probleme matematice, sper ci descifrate. N-am sX discut desple conliriutul celor vreo 30C
de tXblile cu probleme de matematicS, fiindcl aceasra facc
acest indicator nu are nici un cusur ! ! Nu-s de acord
Mai intii fiinclci
nici-cuB,,aaieduoialema unele rezerve fa1.,1 de el parte din domeniul istoriei matematice, clomeniu care, con-
gi nici cu ai treilea rind". forrn conven{iei noastre, nu-l voi ataca decit doar atita cit
noi nu vom face deosebire intre ,,fenomenul artistic ;i cel
matematic", natural in condiliile pe care le avem in vedere, sste necesar ca sX-gi pot prezenta o fiblifi frwmoas7, foarte
frtimoas5 chiar, de;i ca aspect nu se deosebegte dekrc de cele-
cclitniadlXg, icfre.rnsopnetecnifuicl unl tasituen:tantiucmfrXur,,mfoosrmesuteli,odeexspernesgieeominedtirvici,- laite tiblile de aceeaqi naturi (fig. 3). Din descifrarea t;bli-

complet Lipsit cle orice aplicalie practic5 gi titilitarX, 9i apoi 1elor cu scriere cuneiformX s-a putut constata cX babilonenii

22 23

Fie. 4

3, 4 gi 5 (5': 3' + 4'), cllnosctlt stib rlumele de triunghittl

e i4i ptearz. in care laturile lui

sirrt- Afl; ci acest triunghi, singurul triungbiul egiptertrt
irr progresie aritmeticl, se numefte

yterlect, fiirrdci mai existi unul, despre care am de g?nd sX-1i
voibesc mai tirziu. Acum vreau si-1i amintesc ci, spre deo-
l'ig. .l
sebire de toate popoarele din Antichitate, care au cllnoscut
clrnofteau foarte bine teoreura lui Pitagora qi o aplicau ia
multe Ei variate probleme de geometrie precLllx 9i in probtre- rl{--est triunghi dreptunghic cu laturiie 3, 4 qi 5, babilonenii

mele practice de arhitecturX. :m tradus aceasti relali,e geometrici in limbaj algebric, adici,

-- D.rig.rr, faptul este bine cunoscLlt ;i foarte probabil tr]entru ei, teorema geometrici a lui Pitagora insemrra relalit
ci babilonenilor acest adevxr le-a fost transrnis din preistorie, ,rigel-:ric5 a2:62 * t, a fiind lungimea ipoter-ruzei, iar & 5i c
sub forma particr.rlar5 a luniei cw 12 noduri, foiositi Ei ele ale celcr dou5 catete, sau, mai bir-re zis, reprezenta o ccu.r'1ie
egipteni qi ie to"te popoarele din Antichit:1te care au lisat
in urma lor o civilizalie. Funia cu 12 noduri era instrumen- cie gradul al doilea, care se cerea rezolvati in numere irl-
tui nelipsit al harpeclottaplilor, cum ii numeau egiptenii pe
'intinzLforii tle lwtii , adici pe aceia care aveau atributia de rregi. Aceasta a fost irrtroducerea, acum urmeazi sl-1i prezint
a stabili un unghi clrept pe teren. Era de ajuns si se fixez-e,
cu un ;irtrg, uriul dintre noduri (fig. a) in virful in care t:ii;liqa mea. Ea se numeite ,,Plimpton 322" , ftindcX face ptrrte
clir"r Coleclia ,,Plimptor-r" a UniversitXtii din Columbia ii
trebuia sx se construiasci unghiul drept Ei apoi sx se intindi prr'.111[ numirul 322. A fost descifratYa in 1945 de cXrre Ottti
funia in direclia uneia dintre laturile unghiului drept, bltin- Neugebauer 5i dateaz5 din secolele XIX-XVI i.e.n. [14]'
'T'lbiiqa cuprir-rde 15 rinduri gi 4 coloane, prima clintre elc
du-se al doilea liruq in nodul al patrulea. Dupi aceea se ,rr-rmirincl rindurile. in celelalte coloane se afii rrumere pita-
intindea bine funia qi al cincilea nod rezolva problema, cici soreice, adici acelea care verifici in numere intregi, releiia
in felul acesta se forma triunghiul dreptunghic cu laturile
a2: b2 i' c2. Transcris5 in notalia iznecsiimstaeiml u-l fiindcl textul
24
original cr.rprindea numerele scrise sexazecimal -

tibliga se prezinti aqa :

25

Ii III IV aesacpeuoais,raraagfaoasstfeoresfatiucpeau"tiseilnsgtegi ctrooeaztloaclveluanti5eP-a'lmautao,isnpi,nuisat.iri$mdtieuaipctiXitrazpgirouor,biclpeieemsntaie,

aDc vreo $3pte secole, Diophant din Alexandria i-a stabilit o

T19 720
3 456
3367L x69 solugie generali.
h-'IesNop-aotramfi iaexnculusnucamPaiitategoorreamsai fi adus din
2 4 825 cil5tori:r s;r
46AL 4 800 qt :u ta , J ce-i poart5 numele, dal
f 6 649 L in
t
4 18 541 t2749 t3 500
qi metoda de a rezolr'a, in numere intregi, ecutia a2:$2 a62.
5 97 65 72 -_ Pentru greci, metoda avea mai mare irnportanli decit

(, 481 319 JDU pentru babiior-reni, fiindci grecii considerau cX numai intregii
7 3 54t 2291 2
iI 249 799 96A sint numere, pe cind celelalte popoare din Antichitate ,avea,-r
o noliune mai largX gi deci mai exact5 despre numere, admi-
9 769 481 600
10 iind plintre ele gi pe acelea ragionale gi chiar iralionaie.
I 16I 4961 6 480 Fitagoricienii au stabilit solulia generalS a ecualiei a2: fi2 4 f .
irr rrumere intregi, considerind cZ a, b gi c sint numere de

$i acuma te-ntreb : de ce tlbliga aceasta este tot a;a de fr:rma : :2n * l; c:2n2 + 2n, aceste expr:-
frumoasX ca gi o operi de art5, iar autorul ei trebuie sX fi + (2n + 1)' +, (2r' +
61 :)7s2 -l 2n + I; b (2n' 2n * 1.)2:
sii r.erifictnd relaqia :
* 2tt)2.
fost un artist, u1r mare gi autentic iubitor de frumos ? Acr.rm sX folosesc aceste formule, aplicindu-le 1a tabela
-_ Niu nri-e greu sX-gi rXspund, frumuselea acestei table
const; in pld,cerea tJezinteresati cu care a fost compusi ;i, [r:rbiloueani.
Din datele din rindul intii avem : l, :2n * t-1,19,
verificX, de altfel, toli indicii indicato-rului.meu.; o1)exEpsrteesi.eo deci n-59. De aici rezultX: c:2n2 *2n-- 7080, a;adar
cor-rstruclie a unei de date care simbolizeazX ait rrumlr decit 120, cum il di tabela.
serii
(a''z: 4122 ,''), 2) Este o expresie individualX, cXci dareie
cuprinse in ea au fost descoperite de autor, el singur: anru- a.-nS2; +inI:cercbl:in2fo-Ir:mula stabilit5 inde;cuonadlae lr:i Platon :
zindu-se zile gi nopli intregi ca sX dedr-rc5 aceste triplcte noi (nt-+.t)r-.
c:2n;
5i deosebite de singurul cLinoscut pinl atunci ; 52:3' -l 4'.
3) Aceste calcule, extrem de lungi gi de grele, asupra clror:r - (titr:2ic-ercl)i'nz d-l- 4n2. formuli rez,.rlti. din r: .., 2n - 1.2A,
-1:.3599,
n.-6C; aceasti a5r-
de aici b:nz adicl b--rf !
vreau si mai insist dupX ce termir-r s5-1i rXspund la intrebare, clar irici -n1u, a
,ur la bazX o plicere dezilrteresatS, firl nici o finalitat€ prac- aceast; formulX fost folositl
tici. O plicere absolut dezinteresatY, operalia fiind complet metr nu vr€a sI se lase cles-
gratuit;, executat5 doar din bucuria de a generaiiza, de ;r cop-erit trat5 dar cX babiloneanul cer ieltare fali de Pitirgorrr.

I Totodat5 trebuie sX-mi
ci"ci dupl cum ai dovedit, formula lui nu rlspunde li1 ce;1
da str5lucire, unei proprietXji care stabilegte cI existl o ar- c'lirr uiblila cuneiformX, ceea ce arati" ci foarte probabii ea :i
monie intre anumite numere, o unitate in diversitatea nun'te-
relor intregi. Cu asta am stabilit $i cel de-al patrlrlea puncr, fost stabiiiti chiar in ;coatra sa !
c:i<.:i aceastl tabell nlr are nici un alt scop decit perfecliurrea -[,giDpLt.rpMI airceaatrsat;gcellXatcoorlioe in Babilon, eu a$ propune una
iir altl frumusege clin geometrie
ei insXsi ! $i acurn sint curios sX vid dici nu gisesc calea
pe care a Llrmat-o maternaticianui r-iostru ca sI stabileasci. in.,-5lr-iiti in mister : nld.rea piramid.ii a lwi Cheops.
Atunci cir"rd a fost construiti era cel mai inalt lnonu-
aceste triplete, fiindci babilonenii, ca qi egiptenii 9i celelaite mer-rt de pe p5mint
popoare din orientul raetoda gi a r5mas una dintre cele 7 minuni
antic, nu au aqltat niciodatX ale lumii ;
folositi ca sX stabileascX in mod logic vreun rezultat. ,,FI aga"

ZO 27

de 1- 50Ndter numai cel rnai uria$ monument, un munte inait lui lateral isoscel (bc) este egali cu aria pitratului ce are ca
metri care de la 40 hm depirtare, dat laturX inXlgimea piramidei : a', adic\ a\rem :
se zXreqte
(1) bc : a'.
gi cel mai straniu ;1.it-',ofreutvnouscei gperesotelenmtinaXe9i i infricoqXtoare ca
moartea, pe care
de a supravielcri

dincolo dJdurata vieiii pe plmint ! Or, relalia (1) poate fi scrisi sub formi de proporqie , +ac::

fseD1ree-lecel$ar.tiettreoatlluemgDii,nr.e-psfiolroarrmrmeXaidzladeparctierniausfnatgaphtciuuulricb.XaiszomasXcuer-elneliapc5eqtirsaaetlni.in5oiarr.iicalui qi aceasta ne spune c5': lattrra pitratului, adicl inillimea
etimi "plaforeri. calcuiatl cu precizie qi nu a fost oblinr'rtX dirr in- piramidei, este medie proporlionali intre doui dintre latu-
din scrierea EI
()_;tim ..t tig,rranli lui Herodot. i;t. triuighiului meridian AOC. Dar acest triunghi fiind
poveste;te ci preolii egipteni, in spe15 arhiteclii, i-au des-
iXinuit lui ci secretul annoniei ce se degaji din piramida lui dreptunghic, avem :
Cheops se aflS in faptul c\ aria triwngbiwlui unei feSe |ate'
rale este egal| cw aria pitratulr'i care are drept l.atur\ tndl- (2) b2 : a'* c' ti, linind seama de (1) :
b' : bc f c2 sau, prin implrlire cu c2 ,'

gintea piramiclei. (3) (+)'- : - 1:0

pitr-atiRceulavliiarfrm-rleirnitX,4siEifiseemstiapbroilifti5lu.l Si desenim o piramidi

meridian 'rlOC (fig. 5)"

telo-r Cunosc aceasti ecuatie' ea este caracteristicd segmen-

impirlite in raportul tiieturii de aur. Notind raportul

abcu l_i.tera greceascl <D, iniiiala numelui FicJias, ala cum r

c

face Matila Ghylia in cXrlile lui (i5), putem scrie ecualia la

care ai ajuns sub forma :

I (4) O'1- O- I :=0, cle uncle : <D: 1 1 ll5' .- 1,6180...

Ar * S; mai ol:servlrn cI ecual;a (4) se mai poate scrie

I sub forma O:11..1 $i ".r'tt-t, si tragem concluzia: ln triun-
I o

-t-I ghiul meridian al piramidei 1ui Cheops, ipotenuza se afld
in tXieturi de aur cu cea mai micX dintre catete' Acesta este,
I poarti numele de tritl'nghiwl egiptean"
RXdie, triur-rghiul care
L dre.ge"l.wtti, ie mai gisegte inclusX 9i in dimensi-
Dar iXieturi aflarii in interiorul piramidei, la care
Fie. 5
untle catnerei
I)acX not5nl cu d iniillimea ei, cu b apotema unei fetre late- ts.e-oa-judnegiiehidperirnetrin-ununcuoi rdidinotrrecepecroemliiuenxictei rciouri,exatfelarito5rulia
rale a piramidei gi cu 2c latura pitratului de bazi, din des- ptit-t-
tiinuirea matematicianului egiptean rezultl cX aria triunghiu-
vrec
1Q
14 rn deasupra solului. Dimenslunile acestei csmere, de formX

29

paralelipipedicX sint t, t,V: baza fiind un pitrat dublu des-pre Iar printre cele ce gtim va trebui si aducem vorba qi
cei ce nu recunosc nici un merit tXieturii de aur !
Printre acettia se afiS gi Ber-redetto Croce, cred ci ai citit
(cu laturile 1. Et 2), iar inXllimea egali cu jumXtate din dia-
;;i despre aceasta ?
si nu o fi ficut
gonala acestui dreptunghi , /i,tt, Cine, qi cind s-a clesco- din-treScelltpcuatesaX m-ar ? N-am eL1 oare amintirile
nu gtiu ce
a$tepta dacX a; siri r.reuit
rindulej mai important dintr-o carte iuati de la rnata ? iar
perit cX, dacX douX segmente dintr-o figurX se rrflX in rapor- daci-i "sI disctrt.im tiietura de aur pe-nde1ete, atunci trebuie
tul tiieturii de aur, acea figur5 face cu totul altX impiesie sI pornim de Ia greci, fiindci ei au pus-o pe qleau, foarte pro-
decit celelalte in care aceast; impirlire nu-i considerari, nu
se va qti niciodatX, fiindcl este u11 bun transmis din pre- babil. dupi ce au importat-o de la egipteni. A preocupat mnlt

icstioprieir.amIpiodtaezleuiexCishteXoEpsi ,leli vom discuta mai tirziu. Cert lste pe pitagoreici, apoi pe Platon gi, natural, pe Euclid, cu care

altele in care raportul acesta .1 prefer sI incep, ca si o prezint mai intii din punct de vedere
riguros geometric. in Elentente se vorbette de ea pentru prima
fost respectat, impune prin mXrelia edi,apcriineairmaornima a;ii soli-
ditatea formei. Mul1i intrebat face oar5 in problema 11 din Cartea a doua, sul: aceastl formX:
s-au ,,SX se taie o dreaptX dati, in a;a fel ca dreptunghiul cuprins
aceeaqi impresie dacl ar fi mai inaltl sau mai turtiti ; sinr- de dreapta intreagl gi ur"rul dintre segmente sX fie egal cu
patizanlii tiieturii de aur suslin insi cX desivirgita ei pro-
p5tratul segmentului rXmas". Mai intii si preciz.ez ci ma-
portrionalitate se datore;te numai acestui raport, care ir ci-
pitat numirea de tiietura de, aur sau de numir de aur de ia tematicienii greci foloseau termenul ,,dreaptX" cu inle les de

Leonardo da Vinci qi de atunci a pistrat-o pina azi. ,,segment de dreapti", apoi ci problema aceasta este un

mul-t Cred, dragi Nucule, ci ar fi bine sI ne oprim mai exemplu de rezolvar€, pe cale geometricS, a unei ecualii de
gradul al doiiea. Metoda folositX, culloscut; sub numeie cle
asupra acestei teme, fiindci ea rXspunde la ambele as- ,,aplicarea ariilor", conduce Ia determinarea punctului C dr:
pecte ale anchetei noastre. Mai intii este o problemi capti-
vant; prin ea insiqi : Lu.ca Pacioli a scris o carto intreagi pe segnrentul ,48, astfel ca sX se reahzeze relalia cenrt5
despre acest subiect gi a intitulat-o Proporiia clir:inil, iar (fig. 6). Notind AI) ,,. a Si AC - r,, trebuie ca a (a-x): x2"
prieter-rul sd:u Leonard.o da Vinci a iSsat deoparte zecile cle
planuri qi tre'buri ce le avea) numai ca si facl desenele ne-
cesare acestei cir1i. Asta, in secolul al XV-lea, iar tn seco-
lr-rl XX, Matila Ghyka ir publicat mai multe cirli cu acest
subier:t, una intitulati chiar NunlruL cle aur [15]. Apoi,
tilietura de aur ,apare ca un elernent matematic care inter-
vine in exprimarea frumosului in artl. $i, mai existi un
i al treilea motiv : vom avea atitea alte probleme de discutai
incit nu cred cI vom mai avea cind si ne mai intoarcem
i

t la aceasta, daci nu ne decidem sX spunem acum tot ce avem

noi de spus !

I desp-re Ai preciz:rt bine, Bidie: vom sprlne numat ce stim noi
tiietura de aur, fiindci vor care nu
mai fi qi multe

i le qtim ! Fig. 6

)U 3l

Sau sub forma : ceva l,-daemadiniuvgijaatt. pIaer5,d,.indaef-aprXild: i,,,Caeceeastcceittantledleing philebos,
AR AC care
*: *, care insX nr.r-i mengionat;. Se pare ci in Car- aici prin
coctrioburcmimeucluuatsn.ere,l.os{eureabvxetiaoiccrurmeraasuert incanuuurmeaep-ejsruo,rtedocurucucemleerac-ial(oc)rmrefipl,otanrdgs,e;elclue&iig, eec-emd,rei-pr"toliru.bl.t,ircii"eCr.iia"o^i."mq"iu,'""li
nteroabalemdaou3aOacdeinasCt; aprrtoebaleamVi Is-earv,ecgatered-ri efportminutrloadt5ucearset-fe-l14: Inln:etniaecu:rlh^me.i*neiad-acr-leuuiTilMrnuiacn-i;i.e;.nc,zCaedteneeI|uacl3mpemiec1-aa€cinntc,eissoe1ppsicaatuu?eomns.ne-feod*sarliii,ml,diiisne,eBasccuipnedirupleiseei-sssn,aeiXtnan-sffiutrpiucmdumatasereuonqr.aetlcadsr.ulrel"iter1oi.ppir"lt1t.taI"rotariOeti.ca.u",li..u'm"XT"ii,on;iM;cio";-a,i;'hb;arasi:nra;i.
,,O dt.apti finit5, datX, sX se taie dupX un raport extrem 9i
rnediu". Aici, in Cartea a VI-a, se afli qi definilia care.nir
a fost introdusi in Cartea a II-a : ,,Se zice cX o dreapti se

taie dtrpi un raport €xtrem gi mediu-cind, dupi cum intreaga
citre segmenttrl mai mare tot aqa cel mai mare cXtre cel mai

mic". IJti tiietura de aur care pentru Euciid Ei ceilalli geo-

metri greci avea numeie de intpirSirea unui segnrcnt in medie

si extremd. rafie. mtbpls',ounoiiunrr.ie,cerl.et.gtlri-teAprrtzrtiv.clailctiuseintir-s1el,lctptuule.ohaeaii,.rdli_rcaEaecornudrevancueIgcrlsrle,uuit5,dlr.luuaapp,licturaeeiotPntiibufctcloaiireoseitsieenp,omtvintfngiucea,.5d.oxarscedpiececles,-deun1sca;eiasii1ppm'urtaa.irrroauosdCaipprteeroaoslfxtazrozeXmttirselelbiitiaaie^'aceotziu"upaeprenil5eltrzVnanaf,dr;,-;pLr"-u".,io0t"a,n;ipc"g"qtr,ilro"ti,^rniar-rSeg.o'rE"-iro.ic1i"ltcri"i;_;a_e";;

Era gi natural si fie atita gi nimic mai mult, pentr-u
c'gpptiaaiirrnEtfieioSunocaqlilinAdate'pindnriuitevrmeepairtdo-ooapucopXeroa;imtsortin;avairetilxmi,^pcirdearas)liarietrinl€ciulucorrorsicooebinarldrieeeetcapaaterveenaedanoet:enmPdteuieeludtpniertdoreeo-
egiloen,'acLXitcisaautunntceidsie-agrefoimcehtreicmd,a,tcpi uarltf;ei l,simanpulum- entceidiesepgmroepnotur'l
care este medie proporlional5 trebuie legat de ceielalte doui
segmente, fiind ei ini',rqi o parte' partea cea mai mare a unuia dcoenlsatrubraazsXcaduunblut'uanlg'h-cre. lrusiorsXceml aarv,.i.nAd .fi.ercraiirepdr"inUtu.n*g?h,"iu."ririe.
diitre ele. Daci AII:ACi-CB itunci AC-AB*BC. Euclid rcp(\:Ln.s'prai,jelitule")ete.ra.llnrrndageitldtut[aeoro1azerguc8)orrar.cie11arwllievsi.tamicelfecleri_au;llpuolt)npol.rraoi..eli."loannt.Vnsu$tSerrt.rEareyeeiuptiaMreipeligpacaamaaeaarierrprileraesCorpianaahiiaigrml-dircsaraiterrgieenn:pio:cutpasaocrilprleunrtIaueigiIsccnaVritie:-rellreeoiau-iiegras,ccesu,rliO,erei;aniei,reridauSi,age.iiccpriid,cnrie.piog.ire'ne*rup.aot.rnre".,fm-tgr.r"pal,-rrpi.eigeJ*.tratmo"."ipzirg"nmi.iriiu.;oop.i#llst;'ofn.o1-_.r.sit;ai;a.t;.;1eC*;;nf."iiio.:a_;_;""_,t
nu se entuztasmeazd" qi nici nu-qi permite vreun sentimenta-
Jism fali de aceasti reIa1ie, in adevir remarcabilX, asupla
cXreia mai revine Ei in Cartea a XqiIIaI-lali .m[1at6e1m.aAticcieenais,,taino-
face Pitagora gi elevii ltri, Platon te las pe tine si
n;t1a.; cu Pitagora am sX pasaj
{l5cira1i. !i din Timew te
descurci, vreau si citesc numai acel bt
eu
care Platcln face aluzie la aceasti t5ieturX, fXrX a o denumi
aia cum adfoici utet-rmo emnai si tiirfzoirumeEzuecisidin:gr,'r,rDi aor nu este cu
tin15 ca fPrull--
compozigie
rnoasi firi al treilea. Cici trebuie sI se afle intre ei o le-
giturX pe amindoi. Or, stioeaEtieq-iletge5r-- tago-nulNui-a? i vrea si ne reamintin.r pi r.roi de construcaia pen_
iuriie, care s5.-i f^mapmroopaies, i este ac€ea care i.gdiindtrie
cea mai .4TC4ll!ll."lr-r$--rl;rli,lTiI9uBops.^Qa,P,l,;dt$g:o"aiilIge.ndr.rni\7ncere)nu.lrIcRisnr:aIlczCafOaoalcorOsetseeneAatsiracusIuemldiidmeincoptuoiAaddrrltaiamaezmapii"gneeM"tdrriroCcr'apu,-,r"ie.1r?ppia;I;.r"";gda;Ji;.r;'Xi.et;ragi'f;ta"_;rl..oi;,
ruenaihta'zte.eaa,,zcde,?f.iremgatei ,coi'mr pmleotXd'u.$i icaecleamstaai
inenilor pe c.are-i leagi

este proportrla care o

tferuam-u,.n,rosC"r.rc[l1do7n,.s5tpru.oc5tl0iii1'd.geeocmiteetriocer,i va fi vorba despre frurnuse- de cerc C1, punctul 1, fiind interseclia acestui ,r, ,u AE-.
Platon va fi acela la care \ia
rrebui si ne intoarcem. Nimeni, dr"rpd el, nu va mai avea

32 33

Fig. 7 Fig. 8

;;;;;;;;i;' ii"*;Ci;";ori"a:.rrId;-aaCi"gI "e"s"tefrIiatiu"r*ari"rpr"'e"n*i;'t!"a:Jg-go;;ne:u-"dleu-,i'"i.a1per",rsrtcea"e5*modneuuncrtuinsldt0eld1aita'egsLotae- iJgpian"oe,tun.cH.uF:a.lu.ir,ienippdceauconmXnttaevgsmGe^-xooEsninmuceslrusacitiieer.iiccsboo-o,imnsiHievprce:letxGotea-(Es)iz,eG; alaC".s"rtfDi"fiet.atlh"tr:'"id..tCr;a;ilu"G"gnip'geC;e"hsnlteieoutaFrligial;eot,"un;;Gr;u;atliH;u;diOe;sCc"taeoSE__i
CGFI sint isoscele de unde rezultl GH:GC:F/O. lnlo_
fm.Ddle;ei;nn.pt;irelu'unl rctoarigrnl,oaoaitu.u,,.,r.p.aer,,*np..ta..rtoEItIi;o-r.;'"in;in;c;uioXtin, \e.i utxcl'oitn,rtinav:eirnIxfdrr:eu'gs-lltafe"tinnl,celo"s;mf:iterXqrri,sttu' rtAacbie:ilaii:s;ctat;r rtAcZaurzienient.udinArailgnoadcdpueariotra,pw9loairr,tOluiDarGaaprcedeuaccmaaOrgeCovnla,zwmjuliunriSinccsrdXt.lSeO-lOsaOeHtFaatmOavI:aeiGeGmcCrXa:H-,z:O-Caa=$Gc=aeO:rOOcc.XHuClwin,ildci_na

c)iinfr;s;a"cii"ddie"na:,uiccw-een;i:zre.,a'r;cto-u;ia:a.l-'mtiua"j;stluii*rst;ittirb.ioa;rpu(;mI"fFiN"!stn'etri.,a"gcrsarnA6'iitu;e;Ari..it"6*tr;'acailmritebcsi[1er*tgrCrpa;suninreort'ulpies'et-s.n,it*S;cr,oecel1u"e,E"trale\areglfiCra;i.uuo'-rd"uo"oriu.cma-rs.'s,a*"ddfontdi,rtmrtm;iu"eilnor;al'[9ll;;"tlpavta-'gtt;i;isA;ielei't";iuo",i'afcldxiig.i,"t;itgti"a,i'"m";);b;u?il".i""teren'sara;t'"'aol"asE;etosdp'icctt'"riio'ptro1ih'^iti'C,lisslo1roiliiaet''a',s'.u.riar-tLe)ltleiqse.osoeanoAlecl'imauiiosElC.ar'ortifr,oanoacesBld..reabieaoAdma,lfsirPtaCi'ldrtugied'eestAoaruuan:inv:iBattc$rzcaeoasaneeddoedScC-'urrem"omui'cPdsnn:n'DiacsEeuaaQealailaaimunrsn{'n'.r:tdt'(tisseaa-uef'ielii:iml1drgtdneD-'i!1emaogp.,*a1'C'toainttru-7c,ra=tub1$t-in)li;litl, cuind avem , ceea ce aratr cd, raportwr d,intre raza
GC
34 Asiculamt=wsr:aoi ,dc,oencsaigdoenrwtlruiui inngshciruisrileesteiseogsacel lcewanseumntednreual
cercwlwi

de aur,

CEF si GHO, din care rezultd,!C_FE:qOqH OC_:4. Agadar,

O

35

rlill,tturat"pentagonului stelat este iicrte'l'tit'ietura d.e aur cw ldtwra ce tfece prln O. Ea taie cercul in E si .F, determir.rir-rd ast-
a 5 c erc' dat existi aceste
'#It, t'i'i" on" *'- \nscri s in' a fel relatia

""'"5i: rezumat' pot scrie cYa intr-r-u.r cerc (1) AB2: AE.AF

rapoafte : latura decagg{g1 stelat AFT:rAanGsf:eAr Bse-gmBeGnt.elAe cAuEmSini AceFpepepaArtBe.a Arem AE-AC Si
frumoasi si sur-
iJ.,r." pentac!ng]1r1-9te1aL ---r^t cercului prinzitoare a demonstraliei, fiindci eu am pornit de la in-
lo*r"l.t-t'agonului convex tregwl segment AB ca ntetlie proporyionctli gi-nc,ui trebuie si
ne aparl nuntai o parte a lwi., in
raza cercului : O. daceeaasutrl .cOalirta, ted.i,n!r:c1ortnesatraucceleiea
s"a:micer;"llie;r'u'ael-'i.as6;--l;-;?tta-rA;tidu-isisra;Set;Narl:;Aacas;iiu.riX'gdi"aa,eenaisddcletediragmi,eegmog,pg"prit'ooet'iie"'enrtnpuaredmdu5,totleeiilleipnu^e"(e't'pt'rs.oj'(?nPr\Jpc-e'tmllu'oiatl"ta-rlo'rnSJrgjr-5ePltvP'pr-:[t':e:e'.flt"c(x"mx:rL"rt:il'sp;rririi'-rtoutp;rtal;IJinnl::t';'r:paal'ugs*lciesot' g''i*r,aem"r:*qt:ri,ia..ce€i':d-e:ino^ialt'tt-'r-nurcl"":urB.ia*sae:edvd"iieeei"opis:louaifaliJdu>dat:t.ueor:aglrrs'ueua(emotut,oc;l'el,pp(rmr\et;eiaft:'eta't;;tcI(it;-' care si ile arate care-i tXietura
AseFv:AedEe1c-Ed,F: :AABC-+BADB:,EFaga9ci di einaliocciuiAnEd :BinG(1=)-'1aCve, miar;
AB'z: AC ' (AC y AB). O scriu sub forrnl de prt,porqie :

tlB AC+ AR ^
AC AB

poarte putem ad5uga ai reilea, objinr-rt prin dilerenia numl-
ritorilor gi a numitorilor :

li$astfel ca A-iBi:AC 48 :4t+!,q:AL din care p5strirn prirnul 9i ultinrul :

cn' AC AB CB

5.c,e[,ri'rc:-].uifliC;ic*iuulp;n;c.ote"tsnticit'r"Lorrl"Ami'uneF"tO'uo{ddildds-e-ecptac^ele''e'rA'cisuBael Bttbai:ntlag-e-2z'ta' pe proPriete-tea AB AC
(2) AC CB
in a 1iig. 9)' .Kr.
BI):AB' se dr-tce Corrstruclia se reduce cleci la gilsirea segmentr,rlui lC:

Aleg secanta '4O :,4E, dup.l ce a fost dusi secanra din 14 carc rrece prin cen-

trul cercuiui tangerrt in B Ia 18, cercul avind ca'diarnetru
pe AB.

se o-pre.$N-tleetro,udma aeisltae accr1eeaacpleevlcraartefrr',irrnuroearsi;5iol;ti;rts-ourlpi ripzarineicanruo

ai stabilit tlietura ceruti.

d,e -indDaetisicgeurr,reeainnderempt,irmi deastceonplieariiircrsepvraerpour naclatudl eGf,rusmituoas,t
in exteriorr,rl segn:errtului AB. in ircesi ca{ segnnentul AG
apale imp5rqit in tlietura de aur de punctul /J, cu alte cu-
vinte segmenrtttl AB devine el inedie proporiiorrali, clci pu-
terir scrie, f,rlosind (2.1 5i egrlititile de mai sus, AC:lt(i si
AG_AB+BG:

37

36

(3)' AB+ AC AG AB sau AG: AR rt:zncmmtiiIl^cple,nrueei'ua:nle€u,c-.unxitlLrrclenreeu5iraTr'ui,ccduli,ndpi€.gle2iulapa.veses!nrd,ede-iyitrmpnreiceIre,e3ia,a,eor?e5cri,icli,.gibmnpteheuetvoh5irer.linprniiaa.ie,irnaorp.cuaer,.suingpe"rdaarctd.riouci.,aramh'eaAmdrropdi1ep.dadsoader3idaueeniEo,t.,uan",vlf,.ir..,leiseu.orre]l.incul"nu.upp,i.cai.anpinbelr,d,L;hue$oarInre"e^nfeirop;s.o'veo"Xafcs,iiceorornrrhe.emfed.iaprr.iniD;p'e*-rlidaa"l".ado;e.*re.;'"""ooao;ho.rnur;a""ait;.g;i;e"in.:-ifr.l;i.,iu"teliJ,'*n.U;e,,eg,^Icr";;i-.r''eir;alxrTif"';_.i5;u"iur."np"r'"p;.i;l"nrrrgr.l.d"r.iUii"riir.l.e;,*mu;p;rlds,"fpX;nr..c,;oa.-"".a.e"a;".-;r-np.c;";Ifp;ui?.d;)e-"i";;hnr.i;ie;r""iimron;ice;;rinr.;,r,;et.;c".a-l"-r.ii'ph"a'ifr;e'.cJilreo;e*;a";;ai:r;r;al*;srar'e.;d;e.r.eLt;c"rfc.e;f;i:eIefs."i;hj#."ast;;pil;et.dda,irer;;._e,cuesr::ais_ri-9;.;_-i
+AC. cR: AB: ac - ;d(:cl1IeJl);r,,el2ial4a:1.a"r.n.el)'*..rDtulA.re,rc,oi;eslipasirr3t.oig=s"lli.rrr2,il.su.+dxi.,G1uuc.b;*.5r;i"u,-".f.;.ai-;e.;Jdrc;:i":a:r'rsi:rr:.e._',att,pse",;n';r,im'.,"..re'.r.,.*ir..una",,;rrm:g;Lc;.itrlr;neeu:s.;r_td1uete+ir,..rLi;ctirot,"nciip:e,;uoror(ig";inn"a'_"d_:
-BG

- $i apoi, repetind procedeul trr (3) il aflim p" lG
qi AB AG
medie proporlionali intre segmentele AB+AG t
an:

AG+ AB A_-G+ AB aorca AG+4ry.

AB+ BG=: AG AG

;,pf";eu,tli.n,rP' ".crtt"o"o.U;tcnl;e*.sCs;"i;utdtrlie';n"sr.-ei"nii"n6rdtetfietrppirisuetio"xnt.;r.cru'ilt-ailulsinnseBeeggscmmiafnierezqnnuiittlnte'u,tlpl'eovdrreuiAotcp'reBlu'i-gilnc$t.tu"ir*Xsmatci$gilan;-mamjeamoncacetul'ma,Pldsuaetelapi 'aa{vdrtliitt/n-e-'

avem :

AG-AB:AC ; AB-AC:BC; AC-BC: "'

A.;di;ic';5",i;p;r'iin;;tsiciX"derea re"plre.ta,t.Xg-a.nste'lgm'oe"nterliomr imn atoi tminicit;diein- r^mned!re-icacpUDrreeoessoa1cgc;pr1ao1emrs...!dnEaCtXrpeodnatuecavsi5re1d6raa;.lgrcalii.;;drp"eleic';'"?'i,:tic:uirnn"d"oial rer-ceai rperigr_iri

tura de aur.
ti;*mel;t;;.loiio.fn-il"ieic;.ie-^Nrc;aisnit;"rer;e.--.aiirt"s-gtfe..lr,iie.t"i"puia*nrnrpdoist.nepimsi.eo;ili,ortirreu,lliieiriiadl-Ieoe-at"dolce?ar,enti'igatucuaiuinntic.rtet,eisaiadnedtsegtiptvrmi-aeianpe-5nrmtiotitt!aptlratirPaenienamcatsriaalemttttucilrsc-lt,ieaieac^nflafnsiieiiesc.ougguo$mrpItereaeecnsrrai---'i
nu_

mai

.-- Puternici afitmaiie. Dtrvedeste_o !
Iat-o : Consider un
lir nume.i. uura.ur. ,

manenlS a vieiii ! LI1, Il2. ,.,,.. LIn, Un+t, ,.,...
aii'n:rtr-'r-si;e1Doearx"ripre:rgirri'inhr;iirrirt,ri.rp'r.r.irr.iar"rtd.reinaatlristeatatemb,ialfitnii-nioted, scl.taii.rptinlercinevplneuulrtulmlilsr.ueleglgoedlael-
;li,pioipu';n";iueeii,'il."rr'"iiiaclcu"i;?a,lir.mn-stXPe.ia-e"cJv;IeJsIa";oiI-er'L-.ixtailaarinetiu;.lia,"ta_ra'XEsa;.r,r"ec.pt,L.za"ihleaetnftrdtiiolert,a"rulolc".r-ahopucdpetricriidute,lenpooraieaXarqcFntlriheueori,beriiprnedeoiugcdAiipnnh,riebanuiit,oalrcrrio.-leicdciorpiu:pe'idnlu.su,Peit,clreCit.nr.ietopgcihiptDbaunuetlsretras.3rdi.am-d-te"stearprfde1ne.ie,eiercnin'deael.axod!ccpsiJnch-vcujlefaee{air^qnt^iritnimtgidtnea:ttr1oeaedra-eutcycc]1dc1ral:etlree1ta-tl- In cazul siruiui Fjbonacci, avem prin clefinitie

rln+t: tto ! tt,,, adici, unlt ) Itn.

: * { :trnsi rrr*, rr,, 1Lrr.-t uo Itn ZLt,

De aici rezultX .; u?-i-l .. 9.
lIo

-ep"srr"tee^t;astreImneeagrpgarielnitaiar,t.beaaanlapadfliaccraaersledeamstieIscc,,or.uisrp\-leoerpgd".oeavrre.r:cd.l.ed; Si;-t;e ci girul tiu
*;;-"';-;"i*'r;;t:^"-

38 39

- Te gri'begti, Bidie. eu n-am terminat. Scriu deci ci :a.\0, in care t
A, i'sa : lim lt'*t : +
lim t9r-1 : n-q lln Ltn tivitaie, ;:'j:': ';":,t1,,.:I]',;ol;_.jo;,:y:;i,:lf",f.a.fude|d|tu,b,i:i :a*di:_
lirn 'tn-r - Qo qn-' "*;;;qi",
n+6 LIe "'? s;.pufr.r,,i
fl4@ Llo

:tinrltit"') :t+lim 1 rului de aur, 2ls cirui solugii ,in, q,,, _ I +F. -*"8 rrs
"*- \ uo ) n-* ttn
;,;.ipin^etr_mri,itEis;s.i;te.u;;inn;.ji:da"ed"reivo.il^,r, z
ll n -.t ;.J"o.rf,-;' ;ig.ijre?Xn;li:e"ir:r.:arll.*i:z,*,a,.:1ir-,.;j .aceste so.lugii

Cu alte cuvinte, ,l':'-, t r+ !' ;:,,.:r' :, igi

A ..

Agadar, daci in locul literei z{ aq purreO, gisim ecuatia Ltp*,: Q, : c,(!_+Ji) + c,(!:!! ,
,
pe care o satisface numXrtrl de aur : O : 1 + :o.
i';ili'cpu.onlrl.niudm-s.jr:a.ilaonCr1rrrue)trimrdor$i;r,tiitcrCria;,;.it,J.rJ,;:,,'.li,.ipnr3t;r,r.1-.di"td'iJ,e;'o-"oruni;trr,irb,,r)mc;til)onlairuritsotdfr.a;e"trrr'c^r:o1eX.n_:":j.:Oti'iT:'r.e.Determ in a rea
lnseamnX ci putem scrie ci tt* :t1"r+1 (D gi cle aici re-
n +6 Llo : ;':li:l

zuki, c"a raportul dintre doi termeni consecurivi din girul lui "rtf.
Fibonacci corespunde la o valoare aproximativX a luiO, iar
,{;*r'*.iil,**i'Iaifrap[l^entnscg1ie.tctr.a'rta,d'.u.irp,re',aei:r,l1zio"in*nnor,.-,'r'topu,,-...*r.;,lu6,ri",",.;nn.;"*..#"r.*-;irin1-l.;'ii],lfFi'llt-i,e^^f;t-.isat"Ltts.teiet;s*:"mtlrirt'n-e'.insargili1e:i.;,a*"ti;i'm.;;;..$r;;-''p-,Jiitrii"ur'J"i:(ani;s;:r,"eef0o)ul:)Ir;;rro:ln:ct?o'!tn)tc9adeJ'atp{ejria,antadi,ieidrgteae,,ar,e'fr'r,are''l'x-le:
aceasti valoare r':r fi cu atit mai apropiati de numirul de
aur cll cit indicele ,,n" e,I cclor doi termerri consecutivi dil') {i#ii,! *fii't**ffqffin,.e.a#,i.Hz.niolllrnj;'";";::i: de-a iungtrl une
sirul considerat este mai mare. [191.

-- Trebuie sir rerrrarcXm gi faptul ci" proprietatea de
dublA aditiz,itate a qirr-riui Fibonacci o riengjasdimevXSri, la giru.l pu.-
terilor succesive ale tiuntirtt!tti de artr. pornim de

la relajia caracteristicir tD : 1 1 -1. O scrierrl sub formX in-
q)

treagl: 1+ O==O'qi apoi inmullim anrbii membri cu O>0.

Rezultl egalitilile :

I -f- O =. q)r ; (i) * rlr, -= O,, ; ... (D"-2 + (rn-r - 6n... ffi+ff*dffii':,il:,*ff

Agadar, considerind progresia geometrici cu ratiaO:

1, q), O:, (D3, ... q)n ....

terrnerrii ei satisfac propri€tatea de dubli aditivita te ffi;#:l;i+;;;HHJ+*rl;,i,',ai Tceirlu:riciaf

+Or ..=. q)D 1 O'-2. '["

cons-ideCrae-oarpfriogdreasciei am incerca o generalizare, adici am {#il:. r if T,p:,,;;."i:ii.'rJi"j".?,,;k"fiu;xii.1j; l: iii"+
;;i::
geometrici irrtltz, ....ltn, un+y.. cu ralia imaginea acestei

40

47

de pc mormint, cu inscriplia : ,,Eadem mutata resurgo"'.
riminind
care inseamn5 : ,,Mi transform aceea$i".
sX adaug cX tilcul acestei inscriplii se aflS
in p-ropAriqetavtreeaa spiralei logaritmice de a rimine neschimbari

daci se mireqte sau se micaoreazi intr-un raport constant,
,.dici daci se transformi prin asemXnare. Curba transfor-
mati, degi asemenea cu prima, este gi egalS cu ea, insi ro-

titi-f_alCl duerbcaeaadceinatsitiacuaufnosatnutnmditriugnigthi i.chiar din preistorie,

fjindcX o gisim de atunci ca model dccorativ. Oamenii au
observat-o pe cochilia melcilor gi au copiat-o, reproducind-o-

De'sigur cX ei nu i-au cunoscut proprietigile gi nici nu au

rfaicleutcadreeosaeubioreaindfiilniEtraerespaisraelma;nlo;tgoaarreit,mpicriin9ifamputultlecailtreepsrpei--
zint5 o incolicire in jurul unui punct fix. Numai matema-
ticienii deosebesc aceste curbe intre ele prin proprietilile ce
le caracterizeazd.. FrumoasX gi celebrl este qi spirala desco-
periti de Arhimede, care-i poarti qi numele, dar Arhimede
gi-a dorit piatra mormintului impodobitX cu o sferi inscrisi

intr-un cilindru gi se spune cI Cicero i-a putut descoperi
locul unde a fost ingropat, clutind acest desen.
$i aceastri problemi, de o frumusele puri, te incinti
prin- perfecliunea ei intimi, prin Fig. 1o
unitatea ce se degaji din
diversitatea cazurilor posibile. Cum aq putea trece pe lingi uiill,u^imi;;ir;u.b!,l,",i1,.;l"lt.:#q;iJm*a,:ii.fa0n.t:a1st:i"cr:,
ea fd,rd, s5-i aduc prinos de admiragie ? Cici oricare ar fi di- rd"e*ooar,ecbe.c.al ;s:I spu,1
mensiunile unei sfere, una dintre proprietili este ci volumtrl
;" ;; i1:.

ei va fi intotdeauna egal cu 2ll din volumul cilindrului cir- ..O . ili'o:" i # ","'; ; fln u2 !;,

Ariadar, "

i.rti chiar modelwl
cumscris ! $i daci gi-a dorit-o inscrisi pe ea dintre toate des- fOo; A;Bf_-'O;dOBTC,_iTa:lO:c,,D?_'o:-OD1t;:i |:
coperirile flui i,focsat,recianue fost destule, insearnnX cX aceasta tre-
gtie iar- cre;-
buie si-i de ce, cea mai dragi ! Dar,
t5-mi intreruperea, qtiu ci aveai de gind sI te opregti asuprir
pcarorap*cr-iteeDtrXisaiti.ilcoJer.insEpmairauelelstitesloIsgiaanrmgitwminritaceesd.cindtoreuXtodaintetresppirraolpelreieitnililecareei 1te1r.i.l.o^rt"o' rcgi.apnricmetril-uostlrlastr,r4degd.a;.t.a,iaic.ej"a"sria lL^Pttntr-un 5ir.de

toate spirele ei sint tdiate de orice raz7 dwsd prin pwnctu.L -ffi *'ni*tirtf_#:tili;lli:k;:,r*?**Fr:*#::$jt!r.#*fimctcprtluuir.crnmreernpoc, oaa!aasrc$tedaizelae,a2dtuaoeen,c"udhe,eix,i,eu_o"ma.iii,i,nolif.l.u'e,o,u^"f-n, ".-.";;-i-i-'r.,;i,nl.i,.c"ll6r.i.n.i:.""oilr.gl"i'"t,,fui,",e:s'"rp#- r$;s:friria.#ri.t

t'ix O (fig. IO) sab wn angbi constant@< I.E,t. o proprie-

tate care amintegte de cerc, cici daci unghiul Oeste drept

(a:;) atunci spirala logaritmicl se transformX in cerc. Cea-

42 4g

cpcriedtia,aisiiderr.neeoemiesnamozern-timovmaan.lliiaeiono"eeairiplfaaIittiD?tiiaei\iredr!c.{ieerael,erSeiesc$gnubdrpi-eliaiepgidrXoinurauashnuucutnbcgeauat*rcleoaoaaat"r-d-?ep1slr,r**eiq,-re"r.i'ipari'r'tirtt,'umrirfutrcitu.ta;t*a;;'iLs';ro;ic";--u'i;;rii;dlztt;"t'i:eIaio;;'ie"5mt;-iftp,clii'iai;U;io":'a'n;tcusl;iutfatei5t'ietitUs'slb;"'ntattalianeuti''S1cuiirdfedetlm""ieetea:iea*tl"slsit"*.n''*ttbpv-tlatduot-lt1erl'onotci^.imi1ia'g.c.tl,',Tgl-nl,t?a"iidiXnrs'ert'oeiaUbrsicrs'fiierinsiRtetcaicp'"rneraicuurlsldteoicmpcviffcmotliaiipuXnaaiprIrernttpo-eroaruattigr.rbelcervact/elnnceCaero'risttusmtrrelsmppmumbteLeipula'etpa'tdc-dotlxgnall'eeiater-adLivr'r-'te'' de mai tirziu, au fost sculptate .lintnd searna de aceasti ti-
ietur5 de aur. La fel gi Vitruviu, spunea cX ,,simetria. de-
curge din proporlie ceea ce numesc grecii analogie
consonan{a dintre f -isc:: re parte din intreg. Leonardo d- r
Vinci susjinea ci tiietuL'a de aur ar trebui si fie legea care
si domine arhitectura, ca prin ea si se stabileasci proporliile
dintre diferitele p5rli ale unei clSdiri, pr€cum ;i intre volu-
mul construit qi cel limas liber, fiindcX numai respectarea
acestui raport face ca r"in ansamblu arhitectonic si placi
ochiuiui". ln cartea lui Nlatila Ghyka : Estetica si teoria ar-
teLor sint mentrionate numeroase misuritori care s-au efec-
tuat in ldeignXctuarrei crueie,,sdeimcein,siiunrriflreumEui pserolepaorgliiilaermteomnpialelcoarredino
Elada"
rispindegte Parthenonul, Propileele qi alte temple grece5ti,
ainltef-rrvuimnAeoiEsdui rtlieuiepi,ttatartrgea.pdAuertheaiatuersc.pt[uu1rn2ae, ,gpdr.8eia1am1ci.eptrraelzoinptul sunacaeltluaisapepc€t
;:".5;,"t1'.*t:r',t;;i,*.t1,,:;:),?:',,'^:;:::;Ii':!i,
ea sddinirtcldasutszexzce-ia(teitaintt {,6!:r:m.:a',:.:""1:t l-,; ,.,olieoane esre ames-
care-l inspiri arhitectura egipteanX, cici, daci maiestatea pi-
iot 1:11 H"irff#;r;ii nF;- ramidelor sau a Sfinxului ne aduce in minte gindul morgii

iffifi:tffi *- {*i $it :ii"'ffi $ Ei al eternitilii, arhitectura greacX palpiti de via1i. E de
ajuns sX, privim Templul.Athenei Nik6,^coloaneie ei elegante
iii armonioase care poart5 un fronton in forml de triunghi
tltcsseppleca1u"aeuleouriid;nc"einlmnllocseec'at;i1eaaarrinvafesgltisctniiiiSroev'rKpirai.,teafrii"e:setrirepn.a:.rat,s.ri.,axlo.,il.dtle"pt,tuilpremtt,;'tt,doe?ro*rJ."rolgain"Igt"o"nTe't'tg^."prt"nc""'"t'*;"ti"'aii"iu?tJiT'tl'lT-';i.'i't';"udXl,toti';iL"l;oi;o''t'i';ci;di'tJlit,opJi'ra;tipi;ei+.'ii"";i"i,,tt"$lit-;"tl't1t"in'ttl.nttt;et'it''|tti"q-tii"1r';i;^"te'iX""o."itrtioa"ta''iivqhjec"i*rpAes.i*llieie:oal:le"t"i:f;isbn1:*Jlitnpt'ja;'p-'irfittu.n'"'it-.ueila"i,aadp;rl'l5uiiluneeotinctaic'd:ninuaner:smictetc,uirirdi1niiSutecttiaispetr"preecetEais'rrerXr"soitiiiimnm""ltsnidtde'o)-nceisurr''r$arhrr1trXci1iogrecasiaom1laalemsmpuial"'domta1ral'trPohetacrtle'',eecttrrAuauatucm;taxrlrrglsrac'arrcceeaaee-otua-'' isoscei, totul fiind calculat aga ca si dea impresia de gralie
:;i eieganli.
Dar nici in statui, sculptorii greci nu au folosit mo-
dele- zeitlqile lor, ci le-au realizat linind seama
vii pentm
de un anumit sistem de proporlii care aveau rostLrl sI pro-
ducii impresia de armonie a totului. lncepind din RenaEterc
pi pini irr ziua de azi, toli
impirlire a segmentelor. Iti artigtii au linurt seama- de aceastd
mai amintesc numai de
Kepler,
rrstronomul, matematicianul gi, a$ putea spune, esteticianul
l'e:rciroilubliunieacluXnoVscI-ulteea, ,gfi iuinrrdtcrai taatsdcerise, spteeticliincgui
celelalte lu-

titlul Har-
utonices nundi (Arrnorria lumii), in care se exprim5 intr-o
pgItru'orprmlorviqeiceqnn.icgto5etoupmel enottrrriiugcii,nacarrleei ld.edveeasup,crreeesattireieeaorucirdeaeluedi aecsaearmeurern:imea,i,nAdecineascsinet-il
cetsnsueextuaarliestilauaatiduilltieetinnlscaaupeanunmatrsrilma'ctus-ce.'o"r.c''"tgt""":er'i""'el;rt;;;tit;"lt;;ttdi;;i'i;"iiJ'it"ai""i*'ftil"i*r";te"-It"tut*a;fulti"e*ii'ria"acgtd"adrtetf'niLncrnuepi umocsdteninon'casdiaortucdXluaelo'l"{eiL'alrudma$daiaeiaP'uVceaceicrnhaiaaccsiarltrfeaar'rut'attdmoca-a'cltauecat-a-est lsemenea !". t I
II

mat-icieCnirieddinciviencahienateEalaludi5K. Nep-laeir qi-au spus p5rerea mate-
rn.ri intii ? vrea sX-i ascultXm
pe ei

-Bada!

44

ACOLO UNDE MATEMATICA jt:r9,":i:it'r;?JiJ*";.1'ffig'mIetimrrsdiertmsBntmturi.ocapra:ac.i.innr.liano.rs:couurneaeuiigppenlt-rtLiale,-nms:rtl-acotrtlaraoti:edi'saiadi'caipaen^gcoe,rr.rigraue]lneg,u,aoriLragePip:icAodsieauil,arlnlap,n:aenupetoceaemisqflutancecrleluarraaindrintev"ocm.xatrsrice_eerotciaq"niimtmiapfrXieiisiiaouiir"utcsiut.dvccri.oissirair_Xrnilaelnsntonpen"atlercasdianimiatrtumtrmeotuilboiirrirraeuneefiriinmienniirm5in..intni'oneelsudicoioertnllndi"tiunecroe,smahE,dcrrd,ri=,uolaiit.rrr,ipeqiiitrie.O!oa.r"$irlipwuc"i"ir;u,lredpa.i"aar;uiXtr,pad';..^al-i.-Ini,is;i-;,dt"p"ei-r_crai"e,irao"{.i1-,#iern'u,tiAteu-sr.rfud;gtp^ip."ae*irrl[s,*l-rd,u1er",iri,io.;r.ir.ettbl?lsiii-;;g...ea'ar.i'a.i;rImr,i;,'r;iui.'edunsagg.u;n.n"rrr-r;i;e:irr;eoe-:r-,'i;"taur".eS?"io,r"rf;ri,ni^i";uiArf'fir"tn"i"r*l]a.;^n;i'ea;;";i;.;.'^rr'rjriq;priujr-r-i;;i),i.):c*;;iivti.";o''mri;lriiilm,AT";;'i'i'r'i';iil5ci'u,f"i;nilriia$;iirr;rri-ir"e"itr"ir.at,loir''l;o'^"liaior,,,"".;t"il,,c,u'io,i.dt"atr;tic,"l"n_l"r.drieo,lrrep,claor.e,)tpe..op.erti,oeaiac.bnrrtgel-a.fosruuvaeeioib;s."aa_inler;"de.nnesenfi.,srtt;ov1rnei.liiraaeaa;geuitilaX,ei;islc;;rdenco.imctda;aincmf.f-cee,uqs;;.dreigice,id$nerelacMreis'lalrotfii,ddri.""oaseunuai,xetec".aseSirndcieec.sniUnep.'tp,_mcoouar.fHciiree.r,a;dncel;henmeLfr'rmall;ri;anr"ienaeeiecia.iem.jmpuf^repa,aaott;lmculeiarfaeiAssarte-c;;eJnieeiuilnnpncir;ciial"nrnrdi.Iriiietueec"iardi;a._;_iilr.iaa_?t;gsr_se._dd!se.__i,e-,ee
S-A INFRATIT CU FRUMOSUL

rim-asiDdaecliaagrreficiivaonrbtiaci,sXigai lqepgunfruimreopsul ,cl di innum$attieumcaeticear

trebui.sX las deoparte. Am impresia ci.filosofii.greci' care
erau gi matematircieni, au lersut toate problemele de matema-
ptiic,lridcl,utefiorreemdaes:pr,i,ntsoe'atdeinunfrguhmiuorsil,eairnms'ocnriisee sau incintare. De

intr-un semicerc
sint drepte" pe care a stabl,lit-o qi a demon'strat-o Tales' se
sp,tr,. ci ,i-a- irqpre,sionat aga de tare, incit a adus drept
sicrificiu zeilor un bou. $i doar Tales nu era nici la prirna
lui descoperire ltiinlifi,ci Ei nici un naiv, care sI se lase prins
i.r capcana orgoliului. Era unul dintre cei garpte inlelepgi ai
Greciei, cX,litoritse prin Egipt gi stirnise mirarea Faraonullui
aritindu-i ci gtia si mi,soare inXllimea piramidei numai cu
alutorul umbrei pe care o 'lXsa ea. $i toiuEi, in aceastX teo-
remX, care nu aduce nici un folos practi,c, el a v5zut o fru-
frumusete care l-a inc{ntat qi
musel€ cdaeremanis.id,me.liat dnmeviroaiat, o.
pentru mullumeascX acelora care con-
si

sidera el c5-s stXpinii inlelepciunii. tot aqa de frumoasl,
acea'st; teoremX este Ei astizi
deqi- Dar Faptul cI e de ajuns iop:le,iaF*srr:lJal#r:tea:,ar1e_na+nuce:um,aTesatr5ueI.loiJcmrr"epiliTtl.r'p.g,riirmeensui ,T:[#
peste ea cu mu'lti uEurinl5 !
trecem c,o.rm.i.p9irs"e'..iD" i;n;imr;i;c;..;D. a*rac.irtii
sX lulm oricare punct de pe semicerc gi s5-l unim cu extremitX-
lile diametrului ca sd se t'ormeze de la sine wn wnghi d,rept
te poate incinta ca gi o melodi'e, satr o poezie, sau un tablou !
,,ff ;I:#l,"lliii.1,"r3::'l:.:;fi f ii,"l.#:'",',Y'gi,,'*1
(fig. 11). La ferl de remar,cabili este gi admiratria pitagorei-

Fig. 11 Flip.ru-.:..aeducu.lcmm-'it..diimdTEu-a,leMblecitnim-iea.iaa*etisia"nggt,triige!ntrdletde*"neea"#dsicsc-.iac"t";o,iapbndrdei"*nieru,_ie;rgie.pdri.i.ei",.XlJd;"ai.5.,rr,;;;,u"r'li";njl".a;.;c*.".i";id#ir.s;.eriiiim"i;o::oIJil#";nnJ.'*s"j.x"jr,l:r';i"l'i;,itt1;ci'u#l,11m';ij,t".a.ia?lf:o:ii"nr,mircTi:un:,l,ta#a#tt
46

mer-€le Nimic mai sim4:rlu, iati teorema 20, care spune : .Nu- Denffu noi Ciurul lui Eratostene s-a transformat intr-o carte
prime sint mai multe decit orice mulgime dati de i,oluminoasi in care se gisesc toate nutnerele prime de ia
nsucmrieerdeepmroimnset"ra. t[ia16i,np.no7t5a1l.iaLanopa.s2tr4i 6:, d1sddeelazaceaf1llecc0uaOil'd.0oeODdnOaitniOtraiOodte,aincaraci uolcElnuorualedtioleeas-ntaefuicninreendae!sftaiiTcl'tuloimtnteuiptmcii,utXacrmg,eolatrrcgeeaibnirceiulieii,eaemrlseficiintrpaocrrulo-irrciicodeese-
Victor Marian trar-r- setea de frum,os, au descoperit un vast domeniu de inves-
,,Fie 2, 3, 5, . tigalie, care ptni atunci pXrea si rru aibi, nici in olin, nici
.., p
s:(e2ria'3n.u5m..e.r.e.plo)r+p1ri.me cunoscute gi sI : N:
Atunci e ugor formXm produsul
sX aflSm num[r
un nou
prim, deoarece pe N nu-l imparte niciunul din reumerele
prime cunoscute, deci sau

1) N: (2'3.5. . .p)+1 e un num;r prim, sau in mineci, cu matematica.

2) N:(2-3.5...p)+1 nu esre prim qi atunci trebuie sI-l stab-ilitXTeingliiinadeoqatri iddeesigPuirtalgaorma uinzitcrie?eaLaEitmraainteicmaalteicgiX?tuinri
i.mpartX un numir prim 4. . ."
este-maDi am, agrieadsetfceilt se demonstreazi" cl numirul prim otrlinur decursul Evullui Mediu, muzica a fost considerati ca o gtiinli
p. To,t Victor Marian arat; mai departe
cI manualele moderne de algetrX cuprind aceast; demonstra- matematilc; Ei a ficut parte din obiectele Qwadrittiutn-ului,
fie sau altele, ca, de pild5, acelea imaginate de L. Euler, A. care erau : aritmetica, muzica, geometria qi astronomia. Aq
Legendre, T. Cebigev, I. Bertrand, J. Lagrange etc. ; astfol
fi bucuros sX ne oprim asupra acestui subiect.
Povestea spune ci Pitagora trecea zilnic pe o uli-
se dovedeqte cX aceastX teorem; este frumoasX gi, prin aceasta, cioa-r5 unde se afla atelierul unui po'tcovar Ei astfei auzea
a atras atilia rnatematicieni in iurul ei !
pot-riviMnaui inainte de a pIrXsi numerele prime, cX daci ne-am sunetdle pe care le scoteau ciocanele izbite de nicoval5. intr-o
acele sunete se succed in ritm de
le-am pXrisi nici pinX miine, gindul mi duce la zi, cind copi"notnet impresia cX intrat, de curiozitate' in curtea
Ciwral lwi Eratostene. Nu s-ar putea spune cX acest ciur
nu este o operd de arth / S;-1 urmirim, ca si ne incre- cvarte, gi octave, a
potcovarului qi a vizut patru sclavi care loveau-pe rind in
dint5m ! Mai intii a c;utat un pergament potrivit de nicovali, fiecare avind insi cite un ciocan de atrti greutate
mare ca sI incapi toate numerele de Ia 1 la 1 OOC, l-a in-
cadrat pe un tablou gi a scris numerele, unele dupi altele, decit a celorlalii. Aceasti constatare i-a dat i'deea si cerce-
teze mai indeaproape fenomenul de pro'ducere a sunetelor'
pe rind. Lu,crul acesta nu era ddlo'c ugor, cici atunci nu in'credinlat fiind ci acesta ar putea fi sxprimat prin numer€.
ixista sistemul zecimal, numereile fiind scrise cu ajutorul ENperienleie le-a inceput urmirind vibraliile oroduse de c
literelor din alfabetul grec care erau combinate dupX reguli
bine stabilite. DupX ce a terminat aceast; operalie a coardi bine intinsl Ei fixati la o extremitate. E,l a des'coperit
ci existX, in adevXr, un raport bine determinat intre iun-
urmat eliminarea numerelor care nu erau prime. C'um ? $tim gimea unei coarde bine intinse care vibreazl qi iniliimea

de Ia Platon cum procedau pitagoreicii qi desigur ci aga a
f5cut qi Eratostene. Mai intii, incep,irr,fl de la numlriri S suneftlui pe care-l pro'duce.
inainte a eliminat, pria gXurire, toate numerele care erau procedat astfel : A fixat
cu doi, dupi aceea *li scos.-din tablou, glurind c-oarMdiadi eamoXlnuunngliimt, ePictaugnoorsacuatl la o extremitate, apoi a
divizibile atenlie, toate o
cu mare numer"e.le divizibile cu trei, cu cinci, intins-o bine qi dupX ce a fixat-o la cealaltX extremitate a
mai departe. Ei
cu $apte gi aqa de pensulX, un a executat astfel, folosir"rd un f5,cut-o sX vibreze, relinirsd sunetul pe care-l scotea. Apoi a
1a jumXtate'
culita$ in loc tabiou de o rnare frumusete repetat experienla, re,ducind lungimea coar'dei oblinut-o, se
pentru cei ce-l puteau inlelege qi aprecia, clci oferea ochiului,
aqa, dintr-o privire, toate numerele prime de la 1 la 1 000 ! A^ constatit ci sunetul, sau nota pe care a

dacX- De altfel Ei azi se fo'loseEte aceeaSi metodX de a stabili acorda cu prima' dar eta cu o octavX mai sus. Continuind
un numir este prim sau nu. Cu singura deosebire cI si varieze l,rngimea iniliali a coardei, a mai gisit alte douX

48 49

insi.determinain mod wnic'
pita-
ii- Ji''t aceast; cauzi
.> l*%.H'i*h1ffi :l' :t1:;'' :';:"iAceasti valoare medie nu se 'putea

norc agreabi,le auzului, adici consonants gi anume la -o drn cind se dideau "**.Jii.'"'"ii"l
i'l"K!!1J'
lungimea inifiali cvinta qi la I din lungimea coardei, cvarta. Dintre aceste medl', ;"lo J"' o "tiolie deosebiti urmitoa-
re'lor trei : a-b 6t
Exact. Pitagora a sta,bilit astfdl ci
zica-le se pr,odu,c note mu- Media aritmeticd; definiti de proporlia : b*c a
consonante, sau armonioase, afunci cind lungimile unei
123^
coarde care vibreaz5 sint in rapoartele 234 tata de din care rezurlti b., ==tt-:-,;c

coarda intreagi. Cu ajutoru,l acerstor note, Pita,gora a con- a-b :-' (t
struit gama diatonicd, numiti qi gama lui Pitagora, qi a for- Media geometricd; definiti pe proporlia ' b-c b
mulat prima teorie matematic5 despre armonia muzicali.
arm-oniFeai pmtuwlzcicXalneastuerapuintetrainseexcpdriamasupneritnelorraEpiodretucli b-
esenld din care rezultX : Iu = satr - ,r- -I a se mai numegte $l
-lf ur"'
dintre ir'-

douX numere intre,gi, a intXrit pe pitagore.ici in credinga cI
este numlr cd f1r6, de numir nu-i
,,tot ce se t,puoparteinczuincoealvtea cum !-J :1,med,ie ProPorSionalh' di;
posibil cu gindul sau si re'cunoqti" Media armonicd; definiti de proporlta : b-c
si c
scria, Ia vreun veac dupX moartea lui Pitagora, unui dintre
discirpolii lui, intr-o lucrare din care s-au p;istrat citeva
carc rczultd l22l t
fragmente. o 2at:

bac-h De altfel, intr-o scrisoare a lui Leibniz citre Gold- b"u1- 1 --ul--cI- u ! t: \22)
reglsi'm pirerea ci muzica aritmeticl exprimat5
este
intr-o formX su'bti'li : ,,Muzica este un exerciliu de aritmeti'ci
tainicX qi cel ce i se con,sacrX nu Etie ci minuieqte numere".
zdid1iec;ai;-;-;lce;o",r;De;la;;n,e;snafpnuaiuumldnm.z"eeidr*cv,coteio'vn,aasmrpidc'dte"aeu*rnamsluettenri"Eidnunoiiseoitottscileafetuiratgn9nuvtaiea'octttnitluiautcdlpi'rk':ei1anwrlsdeeeagcc'cieeuleaxepa1cml'ioccleonuXrsdneoiglse1nipmatva:n-nerlmezajtaro#clornonaiawcrrie--
poa-rte De,scoperirea proprietXlilor. muzicale ale acestor ra-

numerice i-au flcut pe pitagorei'ci si se o'cu,pe mai
indeaproape gi de prolprietXlile rapoartelor numerice, desi,
dtrrpl curn am spus, aceste rapoarte nt erau privite de e.i- ca
?tlrllrere, cr numal ca nfirimi ce ,se exprimd prin numere. (21).
Comparind re,poartele intre ele au ajuns la noliunea de ega-
litate a dowd rapoarte, adicd la proporgie, numitX de greci
analogon, cuv,int cu inleles de ,,si aibi acelasi raport" (din
care s-a format qi termenu'l analogie, cu inleles de potrivire, 'I octavei. Me'dia armonici dintre aceste doui mi'rimi este :
concord.angd, intre doui relalii date). Printre prcporliile
i
normale : , o atenlie deosebitX a fost datX ace'lora :2 aqadar cvir-ita sunetului dat'
.l 2'l'- 1

1+_thttr.r._: -- ?. g '
I
in care, in loc de patru numere deosebite : a, b, c, cl, aplreau
numai trei: a, b, c, de unde se impunea ca numirul b situat c,

intre a gi c si aibi o oaloare medie intre numerele asic. 51

50

i ;cemops^esro1etiblegred--t-itilnva'atcraeeeplpForribeiae.iarpmnr,lbeenodeiacirclcodtg5dinliioi,oepacrniormnooarmXnopliev.soodoirotd.ife"Crre;blr^i.roe.ia,t.pnii-edp*,.riegJc,rjot.,;mg.ii,ri"artliei;;.riidJgori.i;i^a"o;iin;;rrari;i#rrlil;im;;ii)l;;;lsr;;'oia'i,inoa""dirce;iel).gmi,spe"nt"eiuu-u;d'."f,r,?o"epe;'";cur,tr;.mirr;,'eia:"cma'"ii;;.;trfeirfirridre)'rjicidn.e] plrgirea coardei iniliale trebuie ficuti in pdrpi neegale. Cdci
daci cele douX intervale corespunzitoarc cvintei gi cvartei

ar fi egale(1),'"rrt.i din proporlia muzicali (1) rezulti:

' : :: (;)' sau tL -ltZ. in acest caz, impXrlirea coarclei
:x
!r :b.
de urrtlt, : b,, - b'-'EA,,,, a?+!Lc- !__ riu se mai face printr-un raport de numere intregi ;i rezul-
bc b H tatul
a-lc oblinut t-,l.i mai ette ionsonanli, ci disonanSd, adici

2 lipsd cle armonie. Cit -pfriiirned)tcei, rrumintl ftf , despre acesta
vom discuta altidati, noi n-am atins incX
De aseiciobreliznueltiXmcpdi,rmqei.Jd-iap.adrrmriornuict-i idrrin;;t;r;e';dr;o:;u;lrin;u:m"ie:rie\ multe

a si c dintre acele proprietXli ale numerelor intregi ca{e i-au in-

prin med.ia aritnteticd f\'21 Jj). clnmt mai intii pe pitagoreici gi apoi pe atilia al1ii, veacuri

de-a rindul.
qi p-rob,Fleornaartenwfrunmeroealo,sr5,fig;iw, rbaitnee,incguelceas,recosme pplaertegcrai teuiitsl,eedsete-
cmppr:rei-onnAzpr21aXcoleetrgoaliirdes,intinictnrpetogurldezoaiupncoacoi.a!irrdntl,i.lideuuu.i -l;lr[re].'rtnrtaralienddgrcevopivarrX.4loere.pacotaI5^rraqrl,riebeaaiadjdupgee-edtvser,iprrfi,eeain,crctttorais_,nufusconinedesleretemrlanilneluordemfduairdtrX_,dor_.raur1'g__i,i leciau inci de prin veacul al Vl-iea i.e.n.
D", cXutan pietricele de formX rotundX sau p5trati,
roat-e cam de aceeali mirime ;i
se indeletniceau si formeze

cu ele di,ferite polig:oane rreeglaullaiitep,ebrfaeccthidaer^f.in9iitpeogliei dsrpee.c.iAficqea
am constatat ca exlstau
intre num;rul pietriceielor Vccaraeurezi ascXo.amcnpeera'tsotlte'apa,rnie'm-ioaaasunuupnmruaimtX1iotfriga?cuerXle
intervale fsuinndeacmiceirrptarolep,orcgoi*re,,s'-p"u'-n-z-lt-o'-a^r-e cvartei ti cvintei,
apar de la 1i figura respecti.'.i. Din

nn,r*..., numere figwrate.
Mai incape vorbl ? incepem ctt. numerele triunghiw'
,12ac QC Lare-. Primul numlr era 1,. Lui i se adXugau douX pietricele
2.1. 1 1 a9bdii,ialusgtnfae.ul.taltapi Xurseneaaup'ducinteelteraetfroelaritmuvriairifeuarlltuiuia,l,lectootnrtisuiendceghrhialiaut;tleucriaael,bc. ahdizlaadct'e,Xraa.lsit.ee
(1) a1- c _Q_+_c_r.clcYtrle a,
1.
.) adiel oq:o
l+- 1-l+:I I
*ararap$otiiaacrtcieulmneodtreeinlzeturm.e*irr"r.ud,ip-,ct.re.J.l]et.;c;z'ui;,p-r,inrrs;.e;*";i'"nin,s,ap,,nrot3epo,;risliia4n,tmafounrzumi;mcaaetl5e: trei Jietricele. Procedeui se putea continua la infinit, adici se
pu,." obtine urr sir nesfirqit de numere, triu-nghiulare, in
iare legea de formare era bine stabi'liti. Trebuia doar ca ea
(1) ,i poail.fi formr,rlatX intr-un mod simplu, sqX?rteresbiui-apsecrXmsitIi
din gasegtl orrcare numir triunghiular, firi
sa
conitruiesti pe rind toate triunghir,rrile ce se afll inaintea
tonttl sau unisonu! (l), ocrara f,,;/l), cri.-.- , ./'2) . 1ui. Iati-1e : (fig. 12).
;.,,,(:) Mai m,rrt ,..;, ,.;"lilr,","'r,"jil. .."":
- Mai intii trebuie notate operaliile succesive :

para aceste note muzicale aflate in consonanld" arat| cX im_ I ; l*2:3 ; 1 +2+3:6 ; r+?+314:10 ;

52

53

o aO ern,'uueqmfeoefariilr.otesDoebfziiana.em,.X.i-gn-ictB,iirnldeeigu.uis-catooprzuil-Xlisrii-ePai!tariPgsopiiauragn,osraa:m-asziAimtse1b-1nitvoXq1igit-siaui
SI te.aud, numirX P! .ii$aignoergatrsi-toarufl.X.acuint cseepmunt: unu'
oa aao s.ip-oui,s:tt-.,i, patru. La patr''t, sX se
t'o'

Fig. l2 oreparm.onrX.5.'z,elci.et,t-etduu-ni , ,C..u pceerifreectz5i i."s-irn.,b; o,elusltenopsdtrturu!,,",in$-r.

dac--i aArc,feiasstXi faofrrmu lcdiet.edxepriiml;;a^reiinl"lr^nie triunghi i. s-a intimplat mai departe,
s.tp.iuzonze,g-ilLInzr'^srzi ns/nu-im'm'\;'i;tc'i*\r,t"Ectrxrl;gci-'i ii*a.a povestea nu tpn.t.
sdvi3nrei,ets4niapiuurpea.so.nva"tei-st.tuartiaa"ipXm-reanpt'pat.tcrim'tuee-,aeinPtarbtii-titiaein. geSoinlepnrliaeii,anleXsopgerc-iimea.etxcre.puri,lortmutirnt-a.tdapX'iantntlaetrctcputa.iotddniv'teua-eomos(sttee+eiraneb2ai,:tc1ci,aeIarm'lts+eta2aa'i
unghiular, f-iacratmreb,,uail,ba,istr.ud" .I",!"- r"*u*
cee:l ce ar

1sgarr*nnii^erirteeee,eradas.l-.cezi.ri,ud,,n1lanrcpauretei1rgmteirmoa-nfioirercaruatlmei+tdlc,iuueai2tnenlets+roacomebruc3.eas"emam+e.rn"arai4nnr'llo-iluiar+araXm.t,;iccEe1.riX.iir.;.".eJtUs+;Tnl^oeui<r"l.m.1,-.vn"t1fsuea*i*:dr;rlil"e;"eu,rnir"rell";ta"(e';l.nr;e.rta.,f+-iru"u,s;na;t.um);.gmi".'iuh1res.i'lu";ee;r'llaii'er"u"nria:.na":oli_pa.rrodonbfuJrl.(ep;,)__-i +4:10) si, totodatS, al patrulea n,,utettttr1a'crtiess"tes-i.tri--iuangahtrtwlbluatrt'
De aceea, el
a numit aceastX serie
.;;Dr"i;;;iai;ptt;.;r"o.tu'tai"itlct.n;ieauldrten,tmea.ecuraTeazdei'lecelt-iaraa(clenucreuteiEspmsewteeinrrlrg'muiidiila.itelsresin.uimltnuAicgbichocePilauuicsiltatAaaarrgelmlo.-Uaorlnannifvidsae-c'iprusOltsutttlp:au,;bei,t)lil,l?mePp'aitrsaidegcgceaotutrml'a5a:l
in 2 jurnUU.ot care citeazd, in C.ornentarial slu, acest vers atri-
felul acesta, in locul sumeror care le_am scris L"ii t"i Aristotel : ,,Tetractis, armonie
pe puri, aceea a S!r9-

mai inainte, voi pune : I : t|,, :r;, : t;,, nelor." gTaioc.ttu.Jivaidnmitnbunllicl\goeasfiamsce.ectinrsel,it:oenl,e,eNacuzo,lnqjfurierjuripreXei,mfciunertlXulcme^-ipnaittat^riganonrsecrtancrtie-s

lor de

apXrea
..., l/:4lL rr. .iflet.rl"i nostru tetractisul in care se glseste izvorul si
2 rXdicina naturii eterne". ll7, p. 36-48f' Dar, mai sint 9i
alte giruri de numere, in- afarX de cel.e.triunghiulare, care
tdmriueinnr-Neig-lltoheimisiutltrleiiaimuaranedgfeiu?his.citruedilaa$drmioe,firalnaeptp.nturudeml"zceipnXreot,i.c-s,o";crnirtis.s;e";ec;luis"^t'iuHvber. uawcgnewoairsattr5iwqfroizrgnmubmi5, e,branezul.ea_ i-au uimit pe pitagoreici prin proprie-tiiilor lor nea5tep,tate'
enGalcSeclihngmeeyued-ukisaarrI,tio-ridSa:lre.X-,-bua.-,$",omrlCgsipieua"cuvnttioroomesm,is;aeie_cadnistsnioXr;paa..n*o1r.iiiril"c"_;t;f;o;rid-;..",J;"u;p';liu_it"nafr1"r,tu,;i;n".?il.uirirpM'",i;.,;r.l"*i,i_"irir'.;="ag'"upi.r""i'sl.fi".,n"p"u;,;u'irscpisit_ane'elor;,arr4rermsir,ra"tpuiagcultaauna,m'e,i;vsi;dnexMc"c_enrmiat.i;ttui;inDulila_riaer, De pildX, numlrele.,pXtrate' Cum le formau' pornrnd de la
o singurX pietricici ?
54 un -r-inada;p"gutiu"dt.ut -qii ournizaoantlaltlu' raiqdaedaerainEitoapiaol.i alte doui pe
alte 3 pietri-

cele. Apoi continuau, transformind pitratul intr-un. drept-
unghi, punindu-i la marginea din dreapta 2 pietricele 9i
5"sdfp-iir"iq-egittrinicAadelE'leaasdpu(faomigri ,e.pl.o1reu3rmI)saue9tcuirecarleqaeasiJpvmre5izatdori aendtteeanpluSasmretdeeeer[ex2sp3ui1mrs.impaalitrepe,rtiicenui,Eaiinlrtuetl.onctauel-'
vinie sint tot sume de progresii aritmetice, dar cu ralia 2'
Vom scrie deci Eirul de numere pitrate astfel :

55

aaa
.aa . ..1f ..
:;l:ttolol.
l'1.
t
Fig. 1t Fig. 14 Fig. 15

I, t+3-4, 1+3-F5 : 9, .... zontal qi formau un pitrar, care-l preficeau in dreptunghi
cu alte doui pietriceli a;ezate verfical la dreapm. ^ p.niiu
1+3+s +7+ ... * (2n- t): 1 * (21 - 1)rr _,,, numlrul urmitor transformau iar dreptunshiul intr-un oi-
2 rrat de laturl 3, prin alte I pierriceie pus"e vertical il pre-
ticeau intr-un nou dreptunghi si asa mii departe (fig.'t5).
gnP:peuao=tmrn-yaeeit:-at"raDJieatem"! 4luaacitlezr9e5i am'ep. asdntstrerramc3taee!r,ae'Nmljouarirninrrtiiaidir,iei,cdia'iei.,t.e,1lia',"la'"p31upPm,u,*te.e;,rtrre,e.l"aee a doua Ii se arl.tmEexptr.creesciiuierlaotrlan2u,rnaenruimcee se aflI, rot ca sume de progresii

sau rdddcina 2, 2+4:6 ; 2*4f 6:12,. . .

triunghiulare

Ior cu iz de

ldim;n,au,c:ll-a!oi irc:se:paN;udindirecepeairauddadtet,rudiIc,nta,iaocniadcecatprlie.larsh"p_trirlatoi-r"atmiii;te*ai;C.,i',;,nmi"reu;o.i.id;si""_e-l,arip.0np,,i",5rnr"s..i"r",_r""oa,,"r,sl.ac.i:.nthruptirmormddcbt.rm,,aaftaiiswniinatdfdol2aocr5r_i.l ....2+4+6+... + 2,, P:t3!!n -n (nf 1).

2

dstt(p,aa-,iirO.fncrticgaeeer-i'gidlcsSraoeeualrsnacIe)tn.lctfti"iceeituqiacislim,iuitvsi.np"qeiib-i.r..l.ai..vdupzotSii-oinda{-iie*rd.ifanI5mr_f^tui?1fgnimdgiurenru]ocsrpriaradimeslseor1,is:uu..6talr"emrr:.poi.5alrip"rip*-egnai;"m-O.i".hadr-i;.;.fol;i,lp"uiCr*ifaeaaeairg,,znce;uouau;lr;mrang,;ec"uef.el'n'lras.;e.t"cuorE;ut"rrilrsiiuntbl,asnui.aeblmsrziih"ld,eaifire"ru_res;4_;o-: 2se:IpFoo.tr2ms;curl6aie:g2ceane.pr3arl:S;o_dtun2se:u3al rda.ir4n;trceeircd;.io, nupurimoredlruuemsleeerdceraeirpoetnusdnega"hcuuiutialvareriae:
unui. dreptunghi. Aceste nunere sini amintite gi de Euclid
dli-anereEc,ele.laetqnlaee.ln.tetceun, mtdtmalererleesppnluaunnmeeea. gutep?ittarngtToerleeicpilia,ncea'EsiXnulecldreepotrue.nbglaltsiwci-

4l--2t)-n('n-f-ll)- -"'. pneoG^ebrl.homsedpe-rerrsaviviasmaiCnalbi"ee,ulouil..:inipdclrra,eic:,vtpDaunitr2ruraetX{encag"lInal-(l-urd=umi,ne7ietatcdp(odnae..diiI}cia-ttAlaia1,drt)eitep.tatpt.at.cliumZtfiiic.euddcqo,ret,enfpsa.'Xpricrrrtue.roiar-paetd)rc,uieiaNpaNicslouotorlmi.in;ao"loa;hs;m,d;pidm.rrri;ln_,;

Ipam-rae^ilttetaerocl.lger-oeo.mrDsrcmuepaacpilcecacsieririaIse-piu,vfopeoncrlnturuaremmalaeate,eelr,tnelezJelree.rda--dlo.ps;r.ua.eiairroT;,;;tcr."p_t5a,u;in-;;ss.'ge;;uprh.mp#i;"ieel;.4i;l;,e;;"ui;"l;,snl.rus.rc-a;r,c;irn;e:J;isdi"eip,v""eecp;;o'a;;nac.ris;rea,re;tr",leuei;nlial_d;uso;mocr:uXie_t'.- ) zeaz-d. Pitagoreicii au mai stabilir formulele care caracreri-
Si numerele pentagonale, hexagonale etc. Crl
56 t pnOeriando,suveeccdaoerlglultlesa-9al uiIlH-aliempasuizci.aleer.nsd.e,icnporlAeinleinxmtareenrgodidriama,agcrleasmrietaitaidcieemne5iil"itrcgerace*ac.sm_iX.

deduci orice numlr poligonal, pornind dI ia reunirea mai
multor numerer triunghitrlare. Noiind cu p num5rul iaturiior

5.7

poligonuh'i respectiv, el a aritat cd" al n-lea nuntdr potigonal c1frieu-rrsnl-ianuglsleiePrmleeraoaaztbXe.ltemrcmaauntaidcgaiaehcfniiermiualpgsgtiraiiei c;aliu,!ine,"uuiamdsreeimsprefiatllaiottXgrdofciringeriuicprpiailaiti'renfuataimcir,eeussl,tici -edsdvhuaaiem, id-piiein..i

de aceasri spel; e)Le dar de formula i

r{,:l n.[2 +(u - l) (p - z))..

* Dar aceasr; formulX generaliz-eazl pe aceea de cles_ Te gindeqti la numerele iralionale gi l" ,o"rt" Sietrriui
compunere a unui num:fr pltrat in doui Hipp.asus Metapont, care n-a putur plstra ,".r.tol ."lr-
n.r,rre.e triunghiu_ -din
lare ! tenEei lor
?

dc.aere-iaplnEeurxrmlacecertlee,,lJqeei pctl9aratnuepra[iagne'ziguaemreneeirrnealieiazagsrancl,fidep.li,tac"gaiio.Xsreiiclfuioiram-.u.efzr.r"ee-ciilu"nr mec-. d.Daer slieg-uarm, pdoevsec;utisleut lui J- ianmdebaliciuol)ss sint pline de far_
ca ri nu ne mai
noi
accurpi.armimdI eapcduusom-uo.llaPol-areitolecn.itP: ar,,,eSufenirussieIpgpittsurenaaetsmdcledlailrateutucratrl-p'pr1oi.rb.r.laeptmuitalru,aitaucgual
p^oliedru ; spuicracemsiidve5,.r,lecunbumerccr.e-loDreripiLirlndgih, iunluamreer: ele tetroecjratii

sint sume care are aria de doui ori mai mare decit al celui dat era

1, 1+3:4, 1-,1-3 I 6: 10, 1+3+6+10:20... ugor de construit cu rigla pqiitrcaotm-p(afisgu.l,1c7ic),i ]atura lui esre
tocm.ai diagonala primului dar ca si spui
1 + 3 + 6+...+tg-2l t) -r, n(n * l)(n.l2,1 cit de
u,ide .v - ei nu mare-i acea:ri. iatuli.. npuri.netrra-wpnosnibwiml, dfirirrindtcrel gmds.riirnneicai
2.3 se putea exprima nici
cw iar altfei de numer,e nu
tcrre,5a,pct.reie-i,.ozeirlne5',tXiaangptauoa.mcrdm,Le.rparpeiri^lie"fnocrcsumtutmbupirlcaaienp"uarcnouae.lurzoemu, luleitlgnueeitrp-pudiieretadumrfruoiidjrumesiui.acarceuesfiinovtesetrae,luseparpnati_l-, wnuL fracfionar, ror erau admise !
puse triunghirrri. ([i*. t6). O spusese clar de respecratul pitagoreic Philolaos din
Tarent : ,,Tot ce poate fi
Formula care coresplrnde la aceste rlurnere-cub apare din fiind numai numXrul intreg cunoscui aie numir !.., nwntdr
sau raporrul dintre doui nu-
construcqie : mere tntreg1.._$i. totu;i, iatX ci apa.e o laturi,
I cwnascutii, fiindcl se poate conitrui cu rigla cqairecopinopaatesufl,i
1.2 (1 +3) :s:2",3 {t+3+5):.27-3',,... Ei. totuqi nu aye nwmdr ! Descoperirea a fosi ficuti chiar de
...n[1 + 3 + 5 + ... * (2n- 1;] : p,. {t pitagoreici Ei degeaba" au cXutit ei si ascundi teribilul ade-
{t r.'5r, el a strlbitut ca fulgerul gi devenise aga de obligatoriu
rl si-i $ctuienocgXti,d-iiangcoitnaplea
nu tu'r,neumiepa 5iutriatPelasttoeninsceomspeunnseuara'"b,,ilCSir-cru.
,tl
cu.bEu',-lau-i r.eidpir.eaztinlati numXrul pietriceleior: cle pe o muchie a tl latura lui, nu-i demn de numele de on". Aristotel a aritat
rimasl numerelor purerea a rreia Si cje aici i,umio., ,l; ;.,b ,l adevXr se bazeaz.i. pe iporeza cA
Je aceasti forma. { ci demonstratia acestui

I p;,rul nu-i egal cu imparul.
mon-straDtiee;iirnaimfadceiscpulXtcaet,roe de nu $riu cite ori aceasr; de-
ffi ffiNil ;l
sX o repet cici e frurnoasS. Simt
\

aceeaqi plXcere ca artinci cind recit anumite versuri care
le qtiu din tinere;e. Vrei sX o reper;m ?

vr:;,- Cum sI nu vreau : si presupunem ci unde

Fig. l6 Fig. 17 a si b sint numere intregi, iar fracjia L este ireductibili.
58
Ridicind Ia pitrat. aysyyl 2[La2. Agadar, a trebuie sI fie

59

un numtr par ; are deci forma a:2c $i 62:462. Inlocuind, g,h.id-indiun-ssei HdipuopciractaezudlinreCzohlivoasraindaptlaon.sEollu'lsiei-asu^preorrrbsi,i
oblinem i S2:11-2, or, asra nu se mai poxts, fiindci am cind se dI un dreptunghi cu laturile a qi b, ca sX-l'tr".,rio.*
presup.us cd a qi b sint prime intre ele, fraclia fiind ire- in pXtrat
ductibilX. trebuie cXutarX media geametricd dintre a $i b,

tocm- aiCcua aceasti mirime ,,iraqionali", l/2 , clenumiti a5a or, notind-o cu . rc, br sav x2:ab. ln cazul du-
printre *;i;.ij" avem -:-
sX se arate cX ea nu se incadra Iil
i?nctgilnai]s/eearui un sens, adicl erau
Ei cind au cercerat ralionale,., piiagoreicii se mai blSrii cubului de latgrd a, ne afiim in fala unei relagii de
forma 2a3:az . 2a:.b3, rezolvarea ei conduce la gisiiea a
mai indeaproaie legile c;-
sonanlei muzicale. Nu gtiu care si fi foit pii*" ior intil_
nire, dar odatl recunoscu.r; existenla ei, am pur3a pr:esupune d-owE rnedii geometrice in proporyie continwA. Anunie, intro-
implcaser5 poat5
ci aproape se cu aceastd pacosje, a"J fmi l; ducind un segment intermediar, x, astfel ca si se
IsaegtmI ecnittuld.ecacuamtainrtee-pruetelaatefai zci oEnusctriiuditaccuesrt.iTgalapr$iincotm.opa.s.-u"l.
scrie cele doui medii geometfice, avem: L:L:1. De "ici
br2a
11 din Cartea a VIII-a : ,,intre doui numere'pitrate existX
numlr mediu proporlional qi pEtratul are'citre rezulti , :b"ahg2i nin2locuind !: !' sau b3:2a3.
un pltrat
un raport egal cu pitratui raportului laturii citre ljrur5.'.

1241. ma.i-cXS, odlaucliXa l,aemsreracpultraadteuvlulriadtesra.rrpjeerbdXuEbiliinsgIepnuioreaasicnonu--

por-lionEa- al drecvzXttrlatlt., afirmind existenla unui num5r mediu pro- strui ,cLr rigla gi compasul, la latura cubului de voium dublu,
com- aceste doui instrumente nu mai folosesc la nimic ! $i de aici
ci el se poate construi cu rigla qi
pasul,_ca orice medie propoilional5. S; traduceni aceasra in a inceput dezastrul !
pafoerEcmtiiuvbleSc.,eA-lefvi'iendmoducX5a-nq:uctmi'uelriceXbp- X:vdtorram.te,pairvaienracinn6meivudohieliaretduermileeemalo:brru-,,ieFcsieu-
membru rezrltX; ab:c2d,z sau, s*b forml de proporrie, pi-maps-uo.ls.Picbi-inl adsdXpesrvoe5b-rcaleot,mnscardrcupiiraenszicmei neltnaaituanrutaitapcuuarbesuaelmuiniXl.enul*e..igigeiulduecEceieacoedmsitne-
e-a1d:b e_rl Pentru rr:c:.I $ b- 2 rezLrltill:l/t . ppbtileiaelintgcr?cuaXPd- ucr?ielgnrilicnaiuntlgiissiegeciceoodxmluopplir.aiilmsDuieXl -psaVrebitntiar-rrlrae-DdoaeusenccceuatriatasejelisgegeqdtbiiaerFiccgedrrpainodrauinctioaaneuslcrudrsuaorcalii---i

aE s-punLeu,crcuhriilaer au inceput si ia o intorsituri neaEteptatl qi, {il Iceoan,d_ugci eaacelaastoa, d,e un anumit tip, a$a cX orice problemi care
de au ecualie de un grad mai mare d-ecit doi, cum
dezastruoasi, indatX .e pitagoreicii {l siu Ia alr gen de ecualii'decit

avut, fantezia sI generalizeze problema, aplicind-o la cuburi, i e in cazul dublSrii cubului,
adici la numerele solide. dl
I acela care corespunde dreprei si cercului, era imposibii sd
cu,b-ului-V? rei sX spui, arllnci cind s-a pus problema dublXrii accepte_o solulie prin metoda clasicX, a riglei gi compasului !
, cun-o$teParosbolleumliaa laucieHasiptaocl-raatep. reLoacuepaaftac9ei pe Platon, care
caulbc-dirattDr.iaAv.noAalunlimtuicm,eepsrrceoibndldeemadauo, uve5srtueotrsisimX-plgiiXXs:-enadsj.nc.i latura cubului I iluzie in Tinteu

d".ir nl ,rrrui cind spune : ,,in timp ce o singurl medie ajunge pentru a
br:2.a, ;.;i;t lega doui numere a EEi lb,apceenrrurru a lega dou5 numire solide
ln!a:oaiinddinVeTmat.iitneClaoamicnecpauslitrcEcaX,rutunereir.aa! lftdapat.undl ,clit;Ic;ai,tugni cciagrerenceii prietenului s5u Arhitas din
nu aveau trebuie douX medii".
Ttaatruelnttesoirerteiczoalvlelueifel{citpivocprraotbelegmiaa,cieinsitna da
scoate pe seama de rezul-

gisit o solulie,
folosind interseclia a trei suprafege de rotalii : un cilindru

60 bt

drept, un semitor qi un con circular drept. Scea.piair-eacpiereml i.sa trei pXrgi egale qi,. problema cuaclraturii. cercwlu.i, in care se

inventat chiar un apatat numit ntezograt', cere si se consrruiascl latura pXtratului de arie egalS cu a

sd deseneze curbele de interseclie din care si deduci latura unui cerc dat.

cubului. Desigur cX solulia lui nu i-a pllcut nici lui Platon ;i mat-icenPiriogbrleecmi aditnrisceaculzie\"i unghiului a amigid, Ei ea pe mate-
nici celorlalli geometri, fiind consideiatX ca o cd, rigla qi erau iuficiente
solulie m,eca- compaiul
ca si imparti un unghi in doui pirgi gale qi, prin urmare
nici $i nicidecum geometric; ! DupX ei au mai incercat in 4, 8 gi orice purere a lui 2. Dar triseclia unghiului in-
inci mulgi allii si rezolve prt blema. l)e pildi, Menechmus seamni altceva, fiindci formula tr;gonomerrici piin care se
a folosit interseclia dintre doui conice qi cu ajutorul lor a
stabilit dou5 metode diferite ; o datS a gisit latura cubruiui exprimX relalia dintre cosinusul unui unghi gi cosinusul trei-
mii lui la o ecualie de gradul uanlutireuiniegahi9iinnduoduel
dublu ca segmentul de interseclie dintre doui parabole, a conduce ca in cazul impiriirii
doua oar5 ca segmentui de intersecjie dintre o paraboli gi o gradul
al doilea,
pXrli egale. [251. Iar in cazul cuadraturii cercului, problema
hiperbol5. Solulii admirabile, dar privite cu aceeaEi lipsX este a$a de perfidl incit 9i azi, dupir ce Lindemann a de-
de consideratie ca gi aceea pr,.''pus5 de Arhitas gi ca multe
monstrat in mod riguros, in 1882, cX ir-r aceastl problemi este
altele care i;i bazau rezultatul pe tot felul de curkre ce nu imposibil sX se foloseascX rigla ;i compasul, se g5sesc zeci

se fpi-ltrteeaCzuorelcvdoantcsi ticruudimecudacoriergeelaaau, ;aiedci,oicgmlr.pedacisiniualcu!aulezgaaitmdpeoascibeailsittX5 jipi rdoe- de cwad,raturi;ti care suslin c; au glsit soiulia ei !

a tere-satdI.nAaucecsirtccuaiaz,t exist5 gi o explicagie mai pwfin dezin-
blemi qi o iegendi, aceea a Oracolwlwi d.in insula Dblos, multe aiteori
zvor.rriri, uneori ader.'Xrate
fanteziste, ci s-ar fi pus premii clestul de rnari pentru cine
fapt care face ca problema si poarte qi numele de ,,delicI". ar gisi solulia.
FrumoasX legendi ;i frumoase timpuri acelea cind
zeti-ii pbleem-aace.Cai hcsiaaerdreudsuarpcmei i_raetrostfcii, aga, ce ar;rtii asta dacl nu cX pro-
sfXtuiau pe atenier-ri ,,si cultive mai mult geometria" ! pe. acei.c3r.
A;a-i. Bintuind ciuma, atenienii s-au dus in insula l-ad_iTc.iprooppusropbrleemm5iunl -gai
Delo- s si-l intrebe pe Apollo ce sX faci pentru ca sX ince- si-I oblinX I
stirnit atita patimi in afari
teze molima ;ai itainrrs-url;ideA-pjeorlltofXl,ec-aarre5sapvuenas cX el doreqte sX {izicd,... I)ar cuadratura nu -ppuooanatteenufdime5steor rluap.-eilgitote4nbraurirnci,mrcicajiobtcirllaeantLisn,l
dubleze forma fiindc5 num5rul rE nu este
i se unui cub.
Nimic mai simplu, qi-ari spus bucuroEi atenienii qi indatl
au f5cut un :rltar cu muchii de dou5 ori mai mare. Numai cend,ent !

cX dupX ce altarul a foit gata ciuma nu a incerat. Atunci tran-scpnCdeenfrrcum! oLaisoXuvpiirloeb, lFemferimeistete, gi aceasta, a numerelor
bielii oameni s-au dus si-i-cearX socotealS zeului. Iar zev!
Hilberr, Gordon, F{ur-
dtutrinsl.Xp s,.ip;ra-t de indrXzneala lor ci, i-a privit cu ingS- yitV, Lindemann, toli ace$ri mari matematicieni qi muili
arltindu-le ci nu ;tiu geomerri,e, ca s5-qi al1ii, au fost niqte poetri care au compus ieoremele lor dedi-
permiti vorbl cu el destuli lnlelesj atenienii ci cate nllmerelor transcendente cu aceeaEi adinci vibralie su-
si stea de
! AEa au
aslitarreuslpleocrteedraordinelaopItuoi rri\,pnoullod,etrdeobuuiiaoursi Imcaeiamr5araej.utsoirucal fleteascS, cu.aceeaqi stare afectiva cu care allii au scris poeme.
$i pentru ei au fost valabile versurile iui' Eminescu i
mprae*$io,,-criMeuiAfnpieiircrcjiituuiodfraruiinnpladdaarrecncltp5uear-mamditneeoirt,mecr-lioeeonlnilnrmiraiednsaoisarreecdumeudndeidceeleei nvasatiliectsXemiilrneiinnaaddsrriutrn.eicl;ecri.^pIi.urdg.immeincblsoviretleXniurninindu.e'ee-.,
geometrilor.

trei--proPIbarlorebmalceeemScraiealednbuurbeil-Xadrririni pciuusttbuourrliuaafi uta ! cele
care
esre numai una dintr,e
matemaricilor greceSri,
ne-au fost transmise nouX, ca si le rezolvim, lolosind nu-
smeacil-ieriigulnagh_5iwi clwoim, ipnascual r;e celelalte dou5 sint : problema tri- nouX, zimisliti in veacul al XIX-lea, deqi ridlcina ei'este
se cere sI se impart5 un unghi in

62 63

tot in $coala lui-Pitagora,.la care ag. vrea si ne mai intoar- aceeagi cauzd, un trnghi solid nu poate fi cuprins de irlte
figuri poligonale. Aqadar, in afari, de cele cincl figuri men-
cem, ca sa atacam 5I prcrblema poliedrelor regulate' lionate nu se poate construi o alt5 figuri cuprinsi de poli-
Ei nu la Platon ? Corpurile te tLq-
mau- De ce la Pitagora Platon vorb€$te goane regulate, ceea ce trebuia demonstrat",
despre ele in Ti-
platonice pentri ci SimplI gi frumoasl demonstralie, care-mi face pli-
,,,ru,'d,escriindu'-le li arXtind ci nu-s mai multe decit cinci' si o ascult,
aianrtalet-atnrtlaioscAnum;am-tassi"tiainusfotcilaiuttdcarvtmuearnelilalreiibat.uilDal psaluuinripX-prParcilnaliontocdrneq,liesi,fticopienroida1aict-meai maectSe.sdm.plraueas.pitnitncdiu*leomar me-al cere- ,,de$i o gtiu pe dinafari". FrumoasS ;i ne-
a$teptat; apare incX ;i teorema lui Euler, sau, rnai biue zis,
Descartes-Ewler, care leagX intre ele printr-o lege impla-
fpeoleliglooran(eI),reagul lavtierfuI rFilo+rV(-VX)I*s2, al!
nul lui. Teetet a stabilit cum se construiesc qi mai ales crtm cabilS numXrul muchiilor
Dar, hai
(M) aIe acest(rr
si le IuXm la rind :
,. po"i. dovedi cX nu existi rnai mult decit cinci poliedre
Tatra"edrwl (fig. 18) are patrr.r fele in formi de triun-
reg"u-lateI.ati un pzfaeiipecatinucda:ren-uamDuiiremulcitepnopeligosopliauensd-erdeloelre-mrreueggltuuPilaae^tteegeseoesmteliemntreii-i-

Eladei, care-Ei

teazd" la cinci,
sfirgit ? Oare'nu tocmai ca si punS-in evid-e-n1i cit.de mars
era'interesul pentru aceast; inirebare, Er-rclid incheie ultima
sa Carte, a XitI-a din Eletnente [26] cu demonstralia acestei

teoreme ?
aici-. -laAo$.atOcrge,dd;iinevtto, ld.eIIaIceaeal chiar propun sX o citim, ulte-o

Elenteitelor traduse de \'" Ma-
cele cinci figuri menlionate nu
ril'',, ,.N{ai zic ci, linjcaifoariai ldtXe figurX cuprinsi de poligoane

se D()ate cort strui
echilaterale 5i echiunghe egale intre ele' Cdci cu doul triun- Fig. 1fi

ghir-rri sau oricare alte figuri plane nu se poate construl. tln
unghi solid. Dar cu trei t?iunghiuri se poate co-nstrui unghirl ghiuri echilaterale, patrlr virflrri ir-r care se intilnesc citc trei
'pp.1i."irm,,t..oi,d,eq,.*i,t.escet.uiuvpanag*fthoruirumrai alecothrcniltaatueerdrragrluehiiuqis,ioeclictdhi i:cuinncgcihcieiarulenuicgnohitsieau-elindttrrrui-utlurnni-, fele gi $ase Prin forma lui plini de armorrie el a
frlst foiosit muchii. arta si in arhitecturi.
decorativ5 Filo-
mult in
I sofii greci au ficut din el simbolul eiementekrr prirnordiale

nh;"lul echilateral fiind doui- treimi dintr-u11 unghi drept, ale vt.bstartsel din care considerau ei ci-i format- 'lrriversul :
p)s'uor\maelae\,-eocrXmfciai.roemigicatjlc-euancdgllihcp-iiitlstprotallidturuneguchnuiupg.rhriiniudsr.rieddperteeup:nt3ec'e.heiDuari.inceaancceuleraos$eri Loctri, aerul, pimintul ,si apa. l27l
1 prin faptr-rl cir virful era indreptat iu srrs ca t'r
flec-IrI,13eal, era privit qi ca sintbolwl focwlwi, adicir a trnuia
'i

c,tuzi,, un unghi solid rru se va putea-construi ctt tnat mult dirrtre elenreirtele eserrliale lle Cosmosului.
de qaie unghiiri plane. Dar unghiul cubului e.cuprins de trei
pi'irate ; do. nu poate fi cuprins de patru, cXci iar5;i ar. fi c_.lita-te 5Tioctleas;ata-bdiuiitpa5te,cvemraccuobnusli,decraarte di impresi;r cie soli-
fdaetrtrueiupnJgnhtaiugroi adnree'petceh.ilDat,e,rraluenggiheiuclhiduondgehcea:eddraurluni uepcouaptreinfsi sintbolul pLntirtu-
lui . El ca
virfuri, einstefifeocramreatddir-irntre;aeselei:iSr-rttrialntiendcua-rsee
,cmrunapruir,innigeshc'diit.dpipeiipttt.tuug, i.ctoXncgcihinuiucnirgmi hdeiru,elcpeptel,ee,npiteaaegtaroun'.'ucueluningeuhciuhsreiliapvteooraratelf'i' fiind se taie dupri opt
cite trei feie qi,
m.ai rrga cum arati formula lv,i Descartes-EuLer : 6F 1*9r'==L2M1-

Din J-2, cubul are dor.risprezece muchii (fig. 19).

64 65

cseiml mboalui imUunlitr.'deresuoluis.fesr5au;i.cufiiinntedsceln'gina, fiindci el se apropie
el se po, i"r.ri.-io5i.
rlcneemtleel5'aoltcreuur,l-pr,lou"srilci'.u"ttoiptdocelieeaderltxeiie,sltdxp". ipEtajugc.o-lqrideryicaiqloidreU,mncoainvreserrii_aJat ua;6cd6raia;tsj.td*ioitdreieo_-
5Ecaileaadrrreuelludoioruiia.istniptrerremaziermecaeucdfehe_i1,i,esc, fcietlerteaa"tdrreieni;-diinoict,i,ol;nrspianrededzure-.usclec.
nnrrrml,. corrsrtrrclia dodecaedrului' penregoane,..

un nrotiy in plus-pcnrru a explica DTnu,ip-"i1.,rl-irr*r,'.
implici rXietura d.
Fig. 19 admiralia pe c.lrc.,, ""r,
tat o pitag''reicii faqi de d,,dsc.3sclru (iir.22).^
"i,-r_

triun- ghOiucrtiaeecdhriwlalteararele,. dupX cum ararl, numele, opt fe1e, '- Poliedrele regulate te fannec5 prin aiti proprietate
in fiecare virf se intilnesc erneelecaifptseirnopttc:1itftao5t,ae.ratceDeesoaturicni5sp, oldeleige;aditrepeaprrreiignnrd_eailapgceaen-nds,eernmtneituam,rpneresoclep- rrdieeectiapartloetecleec,l,e
lfienguet(dfjeS.u2nA)v, i.rafr,epgaaresecv5i-rifugraitaqisj5jo-guiXisaprzebzeocreul ciie patru

muchii. Sus- dacl centrele felelor unuria dintre eie sint r.irfurile unui alt
gi de aceea,
probabil, pitagoreicii au vl"zut in el imaginea aerului care
ne ?nconjoar5. in fine, ca si completez cu asocierea stabi-
liti de pitagoreici, intre poliedrele regulate gi elementele
primordiale am sI consider acum icosaedrwl , poliedrul cu cele
mai multe fe1e, in numir de douXzeci. EIe sint triunghiuri
echilaterale, Ei, cum a arltat Euclid, se intilnesc cite cinci
in fiecare virf, care sint de toate douisprezece. DacX socotim
dupl formuli, zAF +n\' !-N2u:3q0tiu,4p1rignXsciemacnui mmeuccahliitialeteluai
sint in numir de tr:eizeci
lui el a inspir:rt imaginea apei, dar el simbolizeazi apa
(fig. zl).

-- Acum, ca seria t'igurilor costnice sX fie completi,
ne rXmine sX mai vorbim gi de dodecaedrw, considerat ca

r--/I-:

Fig. 2t Fis. 22 i--;- ) r
66

67

noliedru rec.ulat. Rezuld de aici ci -pr,e'lcieiodrroucl reciproc unui f{eroir din r\lexandria, intr-o formi care meriti sX o amin-
dodeeaedrului rim : ,,de5i Arhimede a descoperit cele 13 polieclre semire-
ub'e esre .,i', .tctu"dru, iar poliedrul e:re propriul ltri reci-
gulate, inscr"iptibiie in sferX, Platon il culroscr-lr, de aseme-
este icosaedrul. Singur tetraedrul i9i
proc ! (fig. 23 9i fig. 2a).
nea, rinul dintre acesrea, anllme poliedrul cu 14 feqe, din-
t1e care existi doui tipuri, unul flcut dirr 8 trir,rnghiuri gi
6 pltrate, ale aerului qi ale pimintuiui clrnoscure mai dina-
inte de cei vechi, celSlalt {brmat din 8 pltrrte ;i 6 triun-
ghitrri, care pare si {rie r-nai greu de oblirrut';.
pel-ltru$etixuprdeesiace,,8aitrili,i.rrnugthsiuir-im;ii
citeqti rrceastX insenrnareo

6 pXtrat e a\e aeru.lwi gi
ale pdmitztulwi" ce sI-rni dai dc.r',rdi cI, dup5 vreo cinci
:ccole. matematicienii greci tot ma; conrinuari si ider:rtifice
poliedrele regulate cu simbolurile stabilite de pitagoreici"
,i;'ln,elt.nerurtprltrrseeteainreucem!eeaDacreedep:nt,osi,s5ni-n1amisstaipmufinariz;;i icsnu:iibife,recmrXai-li-)arilenp,trliincciot,rntifauarzcioeecatsdate-;
.lescriere a ceea ce lroi numim az) tuboctaecirtr. ,i te rog sI
in cor.rtinuare, ca si vedem cum se el.
,r citc5ti <lb1ir-re
r-rn pitr:rt in fiecare frriX pXtr:atX
a(; n-nuiDcaucbi, se inscrie cite mijloacele laturilor lui, se oblin
anume unind clin virfurile cutrului pilirmidele
pXtrate qi dacX se taie
,r..,ind ca bazi triunghiur:ile astfel forrnate, pt liedml obqinut
r.re ca fele 6 pitrate 5i 8 tr:iunghiuri 1i se p(rrlte ilst'r'ie in
sferir (fig. 25).
S; precizlnr deci c.l ntunim Lul
lrig. l-f sen- arbimeclic acela care are ca fele poligon .:ctniregulat
poligoirne reeulate,

cie 1)rrr, mcuultte-.raatletectpirrollpartieemt5aliticaielenipi oglireedcrei laort.trefogusltac.taep,.tif\Iar1Ii

inci
si mai r,orbim de lipr.il ci acetteJ le-etr oferit prrsibilitatea
ri cornpuni tt imagine unitari ;i armonioasl a Universului,
ace$ti lacorni de frimusele lttl s-ar'i mullumit lrtimai cu exis-
t.',i. I,,r. l;i au fost iricirrteli 1i de alte poliedre cu. l'ete 'l I
i.par,orrei.ir,gi"on,inu.gmalueitre,ret1,g'i,u",lutr.trepc,eudlreiallacrltae1rtbL!-2ilm$,eicd,eiiigicaail€d-d' e-intpoccaatltiueezdsi.rierc-lretI,1s,3erftan1iarrc5gnudute-- I
,rri.r, a,r"I' ,it descope.ite cle Arhitncde $ descrise 'rai tirziu I
de PaPPtls. I
ele e firsr cilllosctlt cle Pla-
r-rrr1-.''.-,,.\c. 1v.trr'l,'ilrle,-s,tt,etldnensplredienltrien clielogr-ll ,,\'{cntl". C Fig. 25
spune i;i

nli 69

insd nw si egale, iar unghiurile poliedre riminind toate egale B
intre ele.
regu-lateE ii natural sI fie aga, dacX provin din F
prin secjionarea virfurilor ior cu plane poliedrele E

duse la o
anumitl distanlX de virf. in cazul despre care am vorbit,
secliunea a fost Ia jumitatea muchiei, in altele ea poate fi
alta, mai micl decit jumdtatea muchiei, dupi cum ccre qi
trebwie sd se d,etermine, cu condilia ca poligonul obginut
prin sec;iune sd. fie regwlat.
ci problema aceasta este destul de frur-noasi ca
s_i m- er.itCers.{I toat5 atentia. SX incepem cu tetra- AD
o tratlm cu
edrul ciruia ne propunem sX-i tiiem virfurile" Daci arn
prooeda ca tn cazui de rnai inainte ;i am tiia virfurile prin Fis,. Zt
plane duse la jr"rmXtatea muchiilor, r'echile fele ale tetra- Fig. 28

edrului s-ar transforma in nigte hexagoane nereguiate, dar aftervaleemcdu.wd{leatgrfwaancoucchttoioagto.snocaculoXrecsawIlib,fuiienl turaun9napcfoheliilagctoatnred,birnugirepllitptr.raoRtcue;ldirAa;Bt Cas;D;t-

dac5 tXietura se face prin plane duse la { a. "i,f, atunci 'i.i1gu"rpau2t7 octogorul E_1Fe:FguG!{ EFGHr I KL aiis:-tb."br:;;
rezultd:
se oblin plane de secliune paralele cu feqele teiraedrului care qi EFy2BF:'M1, dar' din iriun_
ghiurile asemenea ABC ;t FGB uu_.r^*.FG _, BF FG BF'
determinX pe de o parte 4 fege triunghiulare regulate qi pe AC I],;sa,u W2:_
de alta 4 fele hexagonale cu lamrile egale cu ! di" l''tn-

gimea muchiei (fig. 26). Numeie acestui poliedru este te- AEadar, EF:FG:BFV 2, dar BFI/2428F:M, de unde

BF:#B;i de, i EF: 1, iYy.2-,=: M(*t). odati distan jele
- t t2

stabilite-, putem consrrui cubul triunchiat, care esre format
tmriuani g-mhiaurrei
di1 6 fele octogonale qi 8 feie echilareot.. N"-
mirul virfurilor este de trei ori
aqadar.24, iar la cele 12 muchii se adaugX dIecSit :ai+l c,ulJbuidlu,i
in total, 36 de muchii (fig. 28).

_*\--*- :l pl,anAenlealdoeg se calculeaz5 qi distanlele la care trebuie dl;u;s:e
secgiune ca sX ie obginX' o.r""a*f 1*".H;,
Fis. 26 il idscaoreusdal retudrluruntrlcuthnruicanhrciaehtsictper rfeaorcreumm1a2tqpdi.i'd,nto.dg6eocipanXe.-dtdrrautl-eutcrqui infrcg.h-"ihaset..;x;a,Cqioli;.at'n"t.;e_;.
v0 dodecaedrul trunchiat.are 20 a. t?iu"jiri"ri$i it i;;;";;.
,li stIrnertucenlrieugsnhair.ntrfrl5,aacrpeuatreeec_Jhaiu.lanjutemaralXltetp,itopelr"ieind*,rrusie,hcoigilbioogn.ia.iursFt sidie"inJobi"cl;iornsbat;oel;tJt;ri;?u;n;i;_;;

il 7t

,i

1i

t,
{r

I

{r

:t

I'is. 29 Fig. 30 Fig. -31 Fig. 32

ghiuri echilateraie, iar in fiecare virf apare Lrn pentagon re- r,t8:.;irii-'.nr:eircL:trnpilire,ii1'snesidr,rrrre(aJseoeott;c!rord-i.ieiroa.iacferre,.eI'artrsrii5'ifc_tthrnrc.':7ao.ieijlreirsp':arecrijr,izie'np,Puarcdlnrt'iea-epl.rtipreceaiuill,.ees.l,urLasd'ieluiirAnvla.errifhgiei-nXi\cmolrreaegexqt5iar_aeiallneojc;uzcdrecsirl,tcriuearia.ei,[d.,.r.erri1rc:nricl.mLi.nus.iacc1trnJhe-,ur'itmmjinr6oaccb_u-,-
gulat. Agadar poliedrul are 2A de fele triunghiulare qi 12 fele
pentagonale, adicX 32 de fele gi e singurul poliedru arhi-
median format din triunghiuri qi pentagoane. El se chearni
icosod.orJecaeclru (fig. 29). Poiiedrele semiregulate despre care
am discutat pinX acum se caracterizau prin aceea c; pe
suprafegele lor se puteau deosebi doui feluri de poligoane
regulate. Celelalte 6 poliedre care aLr mai rXmas se obqin ti,ri nostru de ','edere, are o impcrranlX deosellirj.

printr-un procedeu mai complicat, pe care nu are rost sX-l ^11.Zl.c,eaElt drept.!. Te gindegti la Psatnmit sau Arenariut?t, r:rlm
rolnanll.
discutXm gi unele dintre ele au suprafaqa formatX drn ci.te
trei feLuri de poligoane regwlate. De pildX romboicosodode- Cseini-ndrtrae$bueidec:5arEceeiasvrunrroibriiaui,ic1oseipicluuenceroammrela{crnuunndburuainrcasoaimpJiqiirceeuloi,rirmdtlareigirinnriiatsliipiai.
taed,rwL (fig. 30) are 3C de p[trate, 12 pentagoane gi 20 de
triunghiuri, aqadar in total 62 de feqe. Tot din 62 de poli-
goane, anume pXtrate, hexagoane gi decag.rane este formatl lUefxnui.vbpee*rrtsaeiar1t1ir1p1rsr-eaotuisncddueerri;snvdiira5nlzXunmedaeelraoemufinr? euiienedbeunn^i?siCp icciiincininJtreagluiuXi
li suprafaja poliedrului numit icosodocLecaedrwl tnt'nchiar
(fig.31).
aces-teapfxii1n,ddepgoiligaoreanteotcuatirtleaai $i totuli, le-a numirat, El, cEelr,eAarhigmXesditemciajlroecaulins-i
fege ca gi romboicosaedrui, ven-tat. lucruri practice,
multe laturi, numi.rtrl mu- gi^-atitea_

chiilor ti al virfurilor lui ,este mai mare dectt al celuilalt ti paceaprcreianredcuionfoalos$ctteuanacd-leu$,gicmafarpunemuoluustiaecinge5e,vamoisiiatpeimtsita5ot-iaci :r:ienr.vaadegziendiauriuai, dar
cpoorlidetdrlrutn, salnuilmhearacrerJto2cQJecdaeedrvwilrftueSriit$ciu18902 de mr:chii ! pur
de Re- ,l
fege, 80 rcreeiigfeenSrluuIlmiacS5itnirrimuaiscliupfcziureeelisldo:cririne,,dI.j:eeuxrlrsnuitnialsSippoirareaemcfsaeutelnzaeln,iceog5siqf.ic.rigiqapibrieedG^eecseatmi.eoreanrari,seco.caliNenrceduiicictarmeti-ndoI
tri- l

unghiuri qi 20 pentagoane (fig. 32). ;'l

mai-gtieincuamdeavui,r,fofsrut nsrtoaabsileitereezleultdaetec.XNtruemAarhi imciedneim, feiinnidncui ii
lucrtrrea lui despre aceste poliedre s-a pierdut. Ceea ce cu-
I intre;lga Siciiie, ci chiar la acela ce existi n., n.rmai" in gXrile

v2 aa

locuite, dar gi in acelea nelocuite. Algii cred ci numXrul cerea de a le contempla, nu-i de mirare ca Euclid si fi fost
surprins gi indignat la culme cind unul dintre auditorii lui
fy.lot de. nisip nu-i infinit de mare, insi ci-i imposibil om cultivat, cXci altfel nu s-ar putea explica prezenta
sX-1i imaginezi un numXr mai mare. Daci acei ce gindesc l-ui Elauccliudr,sudruilpeXgceeomaceetrsutaluigdi-ainteArlmexinaantdprriaele-gerel-aa:in,,t$eib, alat
aga qi-ar tnchipui un volum de nisip care ar fi egal cu acela
al Pimintului, care ar umple toate golurile sale Ei adincu- pe

rile mirilor gi care s-ar ridila pinX in virful celor mai inalii ce-mi folosesc mie toate aceste demonstragii ?
v-edeDreesnigicuir,ocaIpcliecalegciee
munti, eevident ci ar fi d -1i puiin dispugi si creadX.ci".ar in demonstrase atunci Euclid nu aveau
putea exista un depXgeasci pe acela al fire-
numXr care sX practic5 ! De altfel, Euclid s-a ferit
sX introduci in Elr'tnentcle lui vreo aplicalie nrrmericX sau
lor de nisip. Cit despre mine, voi arlta prin demonstrali-i vreun exerciliu. El expunea numai problemele teoretice, ca
giometrice,- pe care tu nu vei putea sX nu Je accepli, ci
printre numirele numite de noi... existX unele care intrec o dele,ctare intel,ectual5. Aga cX, trezit din visurile lui la
realitate, Euclid nu a gXsit alt rXspuns decit acela de a-i
numXrul firelor dintr-un volum de nisip egal nu numai cu spune sclar.ului, care-l asista, si-i dea ascultitorului acela
volumului PXmintului, inc5 cigiva b5nuli, ca sX nu se fi ostenit de a-l asculta degeaba !
acela al ci cu al Universului

intreg. lui Arhimede fusese ticd.- Ce s5-i faci dacX bietul orn nu citise cursui de Este'
din Samos, stabilise scis de Tudor Vianu.
lui, -AriTstaatXrhl astronom Ei, contemporanul
mmfaiicnnittuallcaueis,StaocalaerlecLuaulg,nacioicnEisiiAdSerhoriianmrdeeldcueii,
nu numai dimensiunile PX-

dar qi distanga de la Pi-
ianvtreeagudlatUenleivneerscesaarreficfainsiXt
qi s-ar intinde pini la sfera stelelor fixe care ar avea un dia-
metru de 10t2 bri mai mare decit distanla de la P5mtnt la
SssXotaabra,eiilb.itEX, la*gaXap.co*u.rnmliat islXinadfaveecmmiinaXnceosuit.ncAaslciusllute,amct,odndxeuplpnetiugmcruairmtawriqet,tibfiiirncdea"
miriada, cel mai mare num;r imaginat de
trnitate de bazd care-l notau cu era egal cu 10 000.
greci, numXr pe M gi
eonsiderind miriada de miriade (M':100 000000:108) ca
dpeepoa.uteniptaitne i dleaa(l1dooui)lettal{o.rdAinceastanjuonus Ia (108)'? 9i asa nrai
qir forma numerele
din perioada a doua,' cele dintii fiind acelea de la 1 la M !
Apoi, considertnd pe N ca unitate de ordinul al treilea a
continuat in acelagi fel, formind numerele N2 ... pini la N to'.
Numere fantastice, cIci numai ca sX-l scrii pe N ar trebui
un qir de zerouri care sX intreacX de multe ori distanla de la l

PXmint la Soare, deqi pentru firele de nisip din intregul {r
IJnivers, numXrul g5sit a fost destul de modest, mai mic il
dectt 1063.
I
mdeemd-eugrSmiiaXdlrgainci Xd-mncaeutesmmitiaunttlimceiaentnni upamuceteeraeasuptiesaXtcmasoresefecnroXrmc, lipnclaecacai mrqeai-Arirpvhuei---
ii
ternicX imaginagie nu le-ar putea atinge, numai din pli-
i

74

MATEMATICA SI PICTURA in perspectir,-i, iar ci pe greci p-seprusnpeecVtivitaruiv-aiu interesat gi

cu mult inainte de Fuclid, tre-o in prefala
la Cartea a VII-a din Arhitectura : ,,Pentru prima o"ri ia
Atena, pe cind Eschil punea in repetilie . o tragedie, Agathar-
hus a zugrivit decorul acesrei piese gi a ldsai o scrie.-e des-
pre aceasti lucrare. indemnali de aceeaEi idee, Democrir qi
Anaxagora au scris Ei ei asupra aceluiaqi subiect, cum fixin-
du-se centrul intr-un anumit loc, liniile trebuie sX rXspundi
dupX o lpeinegfSneltirnguaatruceraaaleSaxnaiuacmt;ditiaereiccmllSiaadgipirnirlioi.v.r.irgsiiiXp;iednelataruiimncap- rp-ieqilcetirmeurereinlae-
tot -la Ultima datl ne-am despXrgit evoctndu-l pe Euclid,
Euclid mi se indreapti gindul Ei acum daci mX-ntreb razelor,

scenelor,

care-i prima carte despre perspectiv; care se cunoaqte ? tele_ acci€smtoerar,gfcigXutrraeteanpuem.iftaelapduencdrerepd-tee f-uggi .5p,laanlete,,leunceIlevisni
Desigur, rXspunsul ii clar : Optica iui Euclid ! AEa-
dragi Nucule, mata eEti pregitit si discutim pari
despre in fala ochilor nogtri". -A;a ci, dacS-l credem pe Virruviu,
dar-, gi nu avem nici un motiv ca si nu-l credem, Anaxagora tre-
perspecilD7 / Frtrmos subiect, mai ales ci povestea ei are- in
f-oosetvaununidigeaqli, induiogXtor. Stabilirea regulilor perspecrivei buia si fi scris despre perspectiv; cu douX secole mai ina-
ea inte de Euclid, insi aceast5 lucrare, ca qi atitea altele, s-a
o preocupare de cipetenie a piitorilor din
a pierdut.
ILena$tere gi, incepind chiar din secolul al XII-lea, pasiunea
aceasta a pus stipinire pe gindirea multor'inv5qa1i... S-au scris Euc-lid De aceea am spus ci ne \iom referi la Olttica ld
atitea cX4i despre legile ei gi cind, citeva secole mai tirziu, ca principiile perspectivei. [28] Mai intii
sX stabilim
el considerX cX lumina se propagl in linie dreapti, dar dup5
tainele i-au fost descoperite, satisfaclia de a o stlpini a fost pirerea lui ;i a platonicienilor, razele de ltrmini pornesc din
nimicitX printr-o surprizi uluitoare : S-a descoperit foto- ochiul observatorului, nu de la obiect, qi formeazi un con
grafia, fotografia in cuiori gi cinematografia, care puteau
executa, intr-o fracliune de secundl Ei fXrX nici cea mai care are drept bazl conturul obiectului. Imaginea obiectu-
lui apare la interseclia acestui con cu planul tabiouiui. Eu-
vag5 cunoEting5 despre aceast; gtiing5, cel mai desXvirgit qi clid a aritat cX liniile paralele au un punct de fugi, acesta
complicat tablou in perspeciiv;, tabiou care ar fi cerut
calcule ;i schile execlitate intr-un ristimp de ltrni, dac5 nu fiind punctul de interseclie al imaginilor dreptelor paralele,
din spaqiu. De la greci ne-au mai rimas ;i alte cirli despre
9i cle ani de zile r. Stc transit gloria mwnd,i.., perspectiv; dar, cum nu ne propunem si zibovim asupra
Gloria ntuntli, da, dar nu qi
diu- care a copleEit inimile tuturor frurauselea acestui stu- istoriei consider numai faptui c[ studiul perspectivei a fost
preluat de arabi ;i dezvoltat sub numele de ,,;tiinla aparen-
pictorilor din Qwattro-
n:ento, frumrrsele de care ag vrea. sI ne apropiem pe indelete,
1elor". De la ei s-a intors iar in Europa de .Apus, prin tra-
mai inainte de a ataca gi alte probleme. ducerile din limba arabi in cea latineascX, incepind cu se-

- Te-nsojesc cu drag, dar ce facem cu Euclid ? colul al Xl-lea. De atunci, aceastX problemX a fost urmXriti
deg-i cu multX atenqie, Ia inceput de maternaticieni apoi gi de
incepem cu el, fiindc5 de la el ne-a r5mas Optica, pictori. SX nu uitXm cX in veacul al XII-lea existau trei
de aici nu rczukl" ci el este gi descoperitorul metodei
de a reprezenta obiectele in perspectiv;. Cred cX n-ag gregi
deloc dac5 aq considera c5, asemenea preocupXri s-au ivit gi UniversitSli : cea din Paris, cea din Bologna, qi cea din Ox-
in mintea omului care picta peretii pegterilor ! ford, iar printre obiectele d.e studii figura qi perspectiva.
tDineatalptfeersl,pienct.iOvepi.uqsi.mtoatjusa,tuRncoi€, eard.FiclS5oi^n"
lui -dinOCnmoXssrtousripeemcaai rp;aslpiaabifllSl este acel perere al palatu- are un cap_ito_1_des-
chiar o aieviratl picturX veacul
al XIII-lea,
Vitello a prelucrat Optica lui Euclid intr-un tratat intitulat

76 77

Perspectiva, ln acelagi timp s-au mai scris $i alte lucrlri coperit5, intr-o formi cu totul rudimentarX, acum in Re-
deasfr.e persp_ectiv5, insi ele nu aduceau_ nimic nou, ci se naEtere.
mXrgineau sX repete cele scrise de Euclid asupra pwnctwlwi
de vedere Si al pwnctwlwi d,e fugd.. Dar faptul ci Ren-aEtNer-iia. iindsei,ceprtaecmtici,ralu, ctorucrmileai de aceea sintem in epoca
asemenea lucrdri aratd cA pictorii au inceput sI se scriau nu au mers cimhipaurs"d9eistdul.
manifeste ugor, de pild5, problema puncr.ului de fugi s-a

interesul pentru aceast; problemX, care avea sh schimbe cu de, tirziu, fiindcd pictorii-nu puteau accJpta ideea cX drep-
totul conceplia lor despre picturS. in timpul
{byidgiJm"einMsioendaiul tele paralele s-"r p,rt.a intilni. De-abia pe la iumit"t." ,r.l-
nimeni nu Ei-a pus problema ca intr-un tablou tablourile lui
sI fie redat spaliul cu trei dimensiuni. Existau anumite pro- cului al XIV-lea el apare in Giotto, Loren-
zetti, Jan van_Eyck, iplicat la liniile paralele dintre duqu-
cedee care dideau figurilor qi obiectelor un anumit relief, mleeglea- tsiaSdue;ceneleua,aualeictepimelaafocaniupalrucoiepa1o2sr1gti1ii.tleoor,riei-paopneer"s,p,escttiuvdeiii g'siersiotrainses
dar acestea erau prezentate intr-un mod stilizat, iar pictura,
in intregimea ei, avea un caracter simbolic. Pictorii de la
inceputul Renaqterii au inleles insX cX perspectiva le dXdea
posibilitatea si puni in evidenli spafiwl tn care se aflau mo- de g'eometrie, iar aceste studii s-au deivoltar in secolele XV
ilniaXintVe I:. Iati ce scrie Jan Bialostocki in cartea ce o avem
delele, reprezentate in aga fel ca si se poat5 stabili, dintr-o
singurX privire, legXturile gi raporturile dintre formele re- ,,Pentru primele generajii ale Renagterii perspectiva
avea o insemnXtate deosebitX. Din punctul lor de vedere
upnreezleendteatea,lteclaer.einarcpaurtteeaaluapi XLreeoanechBiaartisizttoalaAtlb^searuti,deDzelsippirtee ,perspectiva matematic; nu numai cX didea, garantia corec-
pic.twrd, tabloul trebuia si fie : ,,ca o fereastri titudinii (reprezentXrii realitSgii), dar o$erea, de asemenea
prin care si apari a parte A.tcreaansstpXacreanrttei -jiungi iepsoteatitceq,".m.. aPiroablelesm, daecaocreeecatitu-dingiii garanlia unei perfec-
din lumea vizibilS". reprezentXrii spagitrlui
"Erl,.ard5etaacltufeml^ primui rterparteaztenstisateimnarpice.r-sdpeescptriev;pmersapi emcduvlt;e.
se pot Si ai ceea ce se afli in el era, aqadar, in esengS, identicl cu
problema de bazd a esteticii Renaqterii, care se remarca prin
segment,e egale, agezate unul in urma celuilalt Ei mai ales cX
perspectiva cercului aflat intr-un plan neparalel cu planul accentuarea armoniei drept cel mai important principiu com-
pozilional._l8, p. 70.] $j^ mai era. ceva, acei pictori-geometri
iabloului era o elipsS. Deqi Alberti a compus primul tratat care au pXtrqns mai adinc problema, nu erau dispugi sX o
sistematic privind perspectiva, Filippo Brunelleschi este con-
siderat ca intemeietorul perspectivei moderne gi, in cinstea dif.uzeze in afari de cercul restrins al elevilor pe cire-i avea
lui, Florenla i-a ridicat un monument funerar [8, p.52]. El
a ard"tat cd intr-un tablou se poate crea o desivirqiti iluzie lingX ei. $tiu ci Albrecht Diirer a ficut o c5lStorie anume,
din Niirnberg in Italia, la Venelia qi Bologna ca sX invele
Cind s-a inrors
a spaqiului cu trei dimensiuni, ilacX punctul de vedere, adic5 asecsrcertiesleopgeersopmeecttrivieeis, p,epceiarsl5pepcetinvtarutapiincitco5ri".:
ochiul observatorului, este situat lJ o distanli care cores- Inclrwmkri pen-
itnrwsp-imradtSsw.drLetocrai crtweaajlwutioPrwiel rcroomdpeasllua.lwFi ra;incaersirgi lDeir,tiprrreobpaebri-l
punde cu distanla reali la care se aflX tabloui. El a intro-
dus nogiunea de iinie a orizontului gi pe aceea de tablou
fictiv transparent, care se interpune intre tablou qi obiect. spectiva,in pictwrE, care circula in manuscris sau poate dupl
Tratatwl de pictwrd al lui Leonardo da Vinci.
El Ei elevii lui, Masaccio qi Paolo Uccello foloseau aceste
noliuni in picturile lor, iar despre Uccello, Leonardo da Vinci u-n Albrecht Diirer nu a fost numai un mare pictor, dar
i;i amintegte cX exclama : ,,O ce dulce este perspectiva". Tot gi geometru pasionat. Am putea spune
cI era un mate-
matician innXscut, fiindci in cX4ile pe care le-a scris, deqi
Uccelo a desenat, pentru prima oarX qi dupi multl trudX, erau adresate tinerilor pictori, se g5sesc probleme importante
un cerc in perspectivX !
stud-iaseinpraodperiveitrig, ielelipcsua,vpreeoc1a7re Apoloniu o indr5gise qi ii legate de teoria proporliilor, a tiieturii de aur, a seijiunilor
secole inainte, a fost redes- uconngicheiu, ludieqpiodlieudprleiclearreeaguclauteulsuai,ubsaemcihreiagur laqtie,undeeletraisnetqiciia-

78 79

p4ri asupra geomerriei analitice, probleme care ali stirnit
adrniragia ltri Galileu gi Kepier. ,,Contactul cu Itaiia, evo-
lutri;'r- studiilor asupra dmpursoic-ppiorinrlnXiiluoarsc, eorleoafblueitncutdsaeereg-a-i-n-p-droilrafeuanadntedao,.lriezla-a
prcblemele artei l-au
ticierriior italieni nici
conceptrilui de frumos, la dezbaterea esenlei gi cognoscibili-
t^X1ii acestuia..,._ Italienii nu se intrebau dac5 frum&ul poate

fi definit; Alberti era convins ci se poate afirma in^mod
obiectiv ce e-\te frumos 5i cI se pot sr;biii legile estetice ale
parcoebluieirindaeaslu,bulniniicir,-rcdo...rdcuIcletoxris;tiLeoonvai'-rrdieoraareiud-etuifrr,ucneio-si udrrie-pgti
tdoirfe-:rite,,ACaqhpari:p-ein.cir$eilrteiiuefsrcutem[ticoLeae"'so. en[8as,ridpno.t 93-941. "::-r.::i1:i:l;.:::f.lA::ai;lr : l
s-a exprimat ir-r felul LirmX-
::ll: i :l:
dil-erlte, clupi cum diferite
,ii,:

''"ulF$Fj*i;*i*

:t+*iii+o-Y$

dsianr-V;iinpIc{rie:ifaesrguininpledraieesircp-reilanl)tiriiumrefprrr.uenCiioaisc"pi.edecar'r5ezaut,filc-autn-ri;iizlr.eit.onPa,.rradtoe
ci l-a arizit r:hiar rostind acele vorbe, rXmase in capitolul
VII, inrit'.;lat ,,Despl'e perspectiv;'( din Tratatul despre pic-
twrd : .,Pictorului ii este necesar; maternatica, apart;nind
artei sa]e... Studiazi lntli qtiinla, apoi vrr veni practica aces-
tei qtiinle" Perspectiva este ghidul gi i;lqa, firX ea n,-r se poate
face nimic bun in pictr.rri".
Sint sigur de asta, o ararX replica iui
in -- aproape lui carte pe care a sclis-o dupl Diirer
a.Su ce s-a
Frcf la prim;
intors din Italia: fndrundri p^entru ntdsuydtori cta-contpaswl
;i rigla; ,,I)egi inderninarea necesiti numai o mini liberX, ,i
operr execi.rt:rti, in acest caz este inconqtientX ii flc''rt5 numai ti
clupi fantezie. Privind aceastS oper5, pictorii inlelcgXtori qi ;l
aclevlratrii artiEti mebuie sX ridi de tirbirea acelor execu-
t-ln1i, fiindcl unei adevirate inlelegeri nimic nu-i apare rnai [,,
displ5cur decit falsitatea ?n picturi, chiar dacX o.."uta a fost
pictat5.cu destuli sirguinlil Faptul ci asemenea picrori gi- 'iill
sesc plicere in greleala lor vine de acolo cX ei n-au inv5lat
arta mXsurXrii, fXri de care nu poate exista qi n,.r poate fi {l
un megter adevIrat".
ltarunc-goelioaDn-Iili"er,terirepeEgi-icaaprmreinaangiferexasevrcauutratadrrt?-rou"qi,ionsinteX;la5tsrraa4mudpiu,opir5nrercitecuusiei-ratullin,,prJoe\Inres-- I
din cea de i doua cilStorie in Iralia qi se pare cX sub im-
presia durerii pe care i-a pricinuit-o rnoartei mamei iui. in t
1,iffi
on ii
,,N'{clancoliir" - 3ravuri cle r\lbrccht Dijrer
l

)
i

aceast; gravur;, care a fost de multe ori Ei in diverse feluri vaenaicduulupiXa,lnlXo_V?{I!IgIa-le.fail.osDoefduulcuidi(n17e9le5'c)"i,aatuEnacdia, relnatuzsifairsqmituull
comentaiX, Melancolia a luat chipul Geometriei, e inaripati
qi line tn mini un compas. Este ingrijoratd.. La ce se gin- gi. rivna p_entru studiul gi mai ales apiicarea perspectivei in
ppricotbule.rml X.s,clczruesde simjitor. Agadar, inainte de a'atinge aceast;
,de;te ? Nu a -ppuictuiotarsetalebielii legea care leagi flraumdroesaupltadee_imuan-
cX ar fi cazul si ascult5m sfatui hii Diderot
t€matic; ? La se afli o sfer5, gi sX ,,diruim gi noi citeva clipe studiului perspectivei.., ce

'imens dodecaedru gi deasupra capului, pe un perete' se wede zici ?
de ordinul patru, ceea ce arcte cA pe pgeeorsm-peetcr4itciiv,.i,sciinlp-tei prbsopisneiebc,ti-ilpehaadiposairuaillnecLmedp^eEomtdpu!erirDsdpineec'ptrieru.p,nircectzedenentrtaavlerded.e\rione
un pXtrat magic, iingi
problemeie de geometrie puii, pe Diirer l-a mai interesat
gi aceastX problemS, deloc ugoari, din teoria.numerelor. Ju-
cindu-m5 odati cu acest pitrat, a cXrui suml a cifrelor este perspectrva paralelS, corpurile din spaliu sint pniecrare pe
planul desenului printr-un fascicul di iaze prr"1.l. .., o .li-
34, m-am intrebat daci nu cumva Diirrer a ales acest nu- reclie dati. Este o metodX convengionall,
rni,r drept constant; a pitratului sXu, fiindci in acel an el bazatd pe presu-

imp'-lineaAsttoacms-aair4p3udteeaasnii ? sciIm-palii coincidenlX, dar.nu-i p.unerea cX.ochiul observaroruluri se afli ia infinit. peispec-
remarcat. acest pitrat tiva. paralelX este f-olosit5 penrru figurarea corpurilor "din
tot o simpli coincidenl5 fie o
spatlj, in desenele din.mlnualele qcolare, dar;i*de pictorii
faptul-
rnagic. Cied cX poate fi un subiect foarte atrigitor pentru
viitoarea noastri intilnire. Eqti de acord ? nldeiiilnleeEqvsietuirnlt-icAdaseleise,ei cn: iJ(tfaiqgpio.cn3eia3le,).-pCalhnrianlpaee,lerIsniprdericasti.paaianliu,la,ecnredrtrm.ai !cidna,iznI,udacpituiatrrialiie--
noa-strXBiinne"l,egdXatruprXinci uatcuanrcei, si ne intoa-rcem la lerspectiva
de gtnd si-1i citesc citeva
am despre pictwrd; ,,Primul
rinduri sc.ise ?e Diderot in Esewrile
oas sDre inteleserea clarobscurtrlui il formeazi sttrdiul re-
:euliloi fmapceeirrsiimpieicis,devndeuie.mpPairieteprsirepi,necnptuirvmoaiaeiac-piaprroreipnaiesp. iimprXliplrollilrle-sc.lXcodorer,rpevui-rztirlueoptre-,
sau le
tatd" a
orintr-un plan interpus- intre ochi 9i obiect, 5i legate, fie
dihei"orbpie.cta. cPeiscttpolrain' ,d^ ifrieuiipiec.ituenvaalct.lpiplaenstiund.ciuhilpuui ipt,edrsinpecoctlio-
, -r.1i fi rijnlititi. din belqug prin uqurinla 9i siguranla
"ceui i., practiiarea- artei voastre' i.nCf5lEqeutraatti
care va vetr regdti
o-.iip; qi veli ,"i.rrro"qt.' cX truPul unui profet Fig. 33

in toati'uriaga lui rp-ndeainvftriinue,nstqeini,bt9asiuibvpauisluleu-liinpsittuotofroeaastsec5,cpa$rivrieipn-liierdulexl se schimbX. In acest-caz, proieclia obiectului din spaliu se
care i se zbirlegte face printr-yn fascicul de raze concurenre, punctul O de i"-
capului un caractcr tilnire, numit Si pwnct .de vedere, re a fi ochiul
aprisnecrtmiciicnlrouiiinrelasqangii iimunlpnuaaremiiinfaXccedroiueipnlviddiXidic.greaaiiadpmq,luiaEatpiilinospmlXilceaundanlurtuulrsivl.ialXouPcrte,elmnlmcXaIu'leial1aaplit.utcuiCltriimntvue5ea,licdiiu5iqftnuilguvrralneX.t.eacviivited9evh9jlani-- Totodat5 se presupu.r. pres.ipr.rr-re
observatorului. pe care de-
.i pLrr,tl
senim, P, este rransparent, istfel- ca razeli vizuaie duse din
O la obiect si-l strXbati. Dar mai bine sX considerim un
exemplu. Fie P planul tabloului qi O punctul de vedere, iar
obiectul de proiectat un pltrat ABCD,-planul lui fiind incli-
nicii voastre". IJ0, p. 519.|. nat [a\.X de pla-nul P, iar drepteie AO ii BC paralele cu pla-
Diderot-a scris ac€ste Esewri dupi 7765 Ei, dupX cum
vid- din nota ce le insoleqte, ele au aplrut ,,la unsprezece nul orizontal (fig. 34), anumi AD este deasupra orizontului,

82 8i

fl

Fie. 34 Fig. -35

iar BC sub orizont, pur-rctele A ;i B fiind mai aproape de aOaOts_felul..^5.didn..pe.rutietlmo"aep.te.rntTegminriceipDnupauil._aPrpnrAnal,tauclaednelieaudsprltreleeaplriupsmetcpDreirseiidupc,Detaisvcpdcte(iiavvcfrislegiapld.duleeri3caeutD5raiev;)po.pa$trtDaeidprireOeeesdaptFep,fy,iptgira,ulu-u,OnrrDrm"ci..,rta."q.ncttir.iri,cip-lj,;"uir-"n"l;d,;Jic"-"ati;rui,_i;,.ll
planul P decit C ;i D.
Razele vizuale OA, OB, OC qi OD lnqeapi planul P
abccJ reprezinti
respectiv in a, b, c, d, aSa cZ trapezul
perspectil'a pXtratului ABCD din spaiiu, in planul P.
rdaluoetXurr.nmedcn.riueinncpditnpeOdl!o"lIr1[.1D!SM1tei,n.,vDdepe2dee.sD.,a.udppefaeur"rgasrepl.ee-lse.cp"rric.ve"ua,inDlucfiinistinpitn,1etrrssadepzreyaac,p'tlirduvoreip'yvlie,eiztuduaetuli-I,
-- S; smbilim mai intii caracteristicile proiecliei. Per-
pendiculara Op, dusi din O pe planul P reprezinti distanja
de la ochiul observatorului pini la tabiou, iar p poartX. nu- tl
mele de punct pri?lcipal sau punctu.l ocbiwlui .Interseclia ple-. tili
prin O cu planul tabloului este linia
nului orizontal ce trece gXseqte punctul p. Se obsen,S perspectivele acesror drepte paralele cu D se intilnesi in^pdlrar-\
ea se
orizontului I1 H' qi pe
cX perspectivele punctelor C gi D care sint mai depirtat: de
ptelalanrulAP;si inI.t linia orizontwlwi decit I nwl tabLowLwi tn trtunctul lor de t'"Sd f .DupX pozilia p" .are
mai aproape de ale punc- o are fasciculul de drepre paralele falX de planul tabloului,
IatX explicalia impresiei cI cerul qi maiea se
intilnesc la orizont, ori cerul gi cimpia, sau, altfel spus, cX ,l ptrnctul de fugi se poare g;si :

toate punctele de la infinit au perspectivele lor pe linia ori- I. i.n pwnctul ocb.iului,7r, atunci cind dreptel,e sint per_
i pendiculare. pe planul tabloului. in acest caz ireptele u.',",r_
IEzoxnc4-tluiurd_lueSis.mpi Iacacloiaunsz,siuicdllXXecmrrXelmuiadrirndmeeianappcntrauoomupDupgnliaeacrmnhuefsilstPiip-aiagprsiawtoalenbcldXitlwrimeclwaupip-tpce5llreasonpfw"uergecliit.v.saaaru.. mesc de adincime.
' ?. l" infinit, dacX fasciculul este format din drepte pa_
cuprinsX in el. Ea se intilnegte deci cu P in punctul d, care ralele orizontale gi^ paralele. cu planul tabloului,
spectivele acestu-i fascicul sint paralele cu linia ngud". p.r_
ori"o'r..rl.ri.

84 85

3. pe li.nia orizontwlwi, dacX orizontalele nu sint paralele ,
locul camerei, la o distanlX de -J drn lilimea camerei Ei la o
cu planul tabloului.
Ar fi interesant sX vedem inlllime potrivitX, a$a ca linia orizontului sX treacX orin
tang-a cum se poate misura dis- mijlocul camerei (fig. 3Z). Daci punctul de vedere, p, esre
de la achiwl obseraatorwlwi
la tablow, fiindcd desenul

depinde de pozilia observatorului, apoi cum variazX un de-

sen in perspectivX in funclie de aceastX pozilie.

-_ Sint doui probleme diferite, s5 incepem cu prima" -;iK ft\------.
Fie deci P, planul tabioului (fig. 36), HH' linia orizontuluio

-')j

Fig. 36 Fis,. 37

O punctul de vedere qi p punctul principal. Am vizut cE a$ezat,. mai jos {perspectiva broagtei,;, distanla r5minind
aceea$r, atuncr slmetrra care trezea un sentiment de armonie
punttul de fug5 al unui fascicui de drepte orizontale qi in- dispare, iar partea de sus a camerei este redatX mai amplu
clinate fa15 de P se aflX pe linia orizontului. Alegem fasci-
decit cea de jos (fig. 38).
pcvsuuhalnitucoclrtisuuinolluscdcilieenfla,afutdtgiicXndueFc4a5trfao"ebrfmrlaoeezuluai lzetdddsc"tceapudlpaOan:tpui$lFidtp,eabausldoeliucgtdlmruiuide.ninsIgnttauhnliafpdcaerFesoptb.tscueDanrze--,
\u\ \ \\D ),/1/,/",.'/' =:;
aceea, punctul .F, sau sin,etricul lui falX de p, se nume$te $i
---->*1=1-.
pwnct de d.istan;d,. Acum, folosind aceast; nogiune, sX rezo!-
vXm cealaltX problemX, adici sX vedem cum variazX desenul Fig.38

in perspectivi al unei camere, de pildX, cind se schimbi po- Din contra, daci punctul de vedere ar ti agezat prea sus
zilia observatorului. SX spunem c[ in camera respectiv5 exist; (perspectiva pis5rilor), parrea de a camerei ar fi mai
o fereastri in dreapta qi un covor cu dungile perpendiculare r.tr. jos dac5 9i punctul de
pe peretele din fati, adici ceea ce am numit drepte de adin- lIft5 mai mult decir cia de
iimi. SX admitem cI punctul ochiului p este atezat in mij- ia,

86'

8V

vedere iqi schimb5 pozili;r qi nmuA1.mpaaSi tersetaez_aa$sermzaet tlfala mijloc. se1i-i, .4s preciza ci numai a unei pdrpi din tainele frumu-
atunci nici perelii laterali care {.} dlaesppererscpaercetili1,iuepi umteami ,ard.oiurgbai uniqmiic;t.iinInla pregitirii
11t1 cici cartea lui
culorilor,
avean in cazurile anterioare (fig. 3e). sltctSiu, am gisit unele observalii,
Noel Moulovd, FicL,urd, ;i mult mai bine decit arn putea-o

care-mi pare ci precizeaz\

nfaacrpetenrioi i5.imgoedotmiie;tir.ieli:m,i,tPeelersepceecsttievie. iiencfreignitrria.ledirne.lepri-c5t,uirna I{e-
pri-
mul rir-rd ascendenla spagiului :lsupra obiectului, m'Jtiv pen-
tr'u care arta l{sna$terii, propunindu-;i si inter-rsifice senti-
mentul totalitXlii spaiiale, ie-e preferat cu cleosebire... Se
pclate remarca, de asemenea, cX individualitatea de {iziono-
nrie a untri obiect se baz.eazd pe anurnife constante ce re-
zistl deformXrilor de perspectivi. in acest sens, r'edem curn
dptrieesbftroucriaemzXsiriiioodvaeplieupzleicnrsatepraeicnctetcirvliisni.t.ai.ctiPra-i1ctfueirireraidcueomtrnimatelelmenpt-ou-l
I L-\ desenatorul
./ .--tt\ t \ \ \ atunci cind
exigenlelclr
i9
ran5, atunci cind abor<leazX principiul perspectivei irnobile
in fine, sI mai cor.r:icierii;ii qi caztil cind purrctr.rl dc vc- 1i unice, elibereazi intrucitra aceasti reciprocitate dintre
clere rimire clin nou 1r r,ri.iloc, clar di-stanla de la care sc
formX si sitt'ts .' ee se servei'."e c1e maniera in care figurilc
prii.eqte camera este eg:r.l:i cu dc iirrui. ori lilimea ei (Iig. a0). se prezir-rtX privirii pentru a modifica perspectivele apa-
Jn acest caz, ftsl']ectul este clr iixr-rl ciiferit, cd"ci observa- rente... Compromisul care 3.re loc, la nivelul figurilor, intre
obiectivitate qi prezenji ingXdure depiqirea logicii spatiilor
geometrice irr direclia logicii spaliilor
,,Poate ci in rrici o etapX a istoriei artei, fenomer-rale". [311
apro,
voinla de a
pia scopurile cunoaqterii cu acelea ale artei n'u a fost atit de
nrarcatX ca in pictura secolLllui al XVI-lea. Evident, nu ptr-rl
ir-r punctul in care cele doui tipuri de fir-ralitate trebuie si
se confunde. Cercetlrile iui Leonardo sau ale unui Diirer se
orienteazir spre particularizarea tipurilor stru(:turale, a figu-
rilor vii :r ciror formi rlormall este firX incetare deformat.i
pr:in modurile existenlelor indir iduale, san factorii de situa-
1ie : cXutind valorile ,,caracteristice", ace;ti pictori au nlers
t'is. 4O foarte departe in sensul scopurilor cunoagterii. Totuqi, exi-
genlele stilizXrii estetice au ficut si prevaleze fiiri incet:rre
drepturile acestora... Ilste vorba de condiliile deplinei preg-
rranle vizuale, care obligl pictorul sI recompunX qi si recti-
torrrl O,,o-. cuprinde cu vederea clintr-odati tot spalilll. fice formele re.rle astfel irrcit ele sI rXminX criritmice in fie-
ge-cmAectreiestiecae-saclvorairjict ttpeveaa. pdiionatpree rrolir.rniie lcestei
a ramuri iare dintre perspcctivele alese. Astfel, figur:r reprezentat;
toli pictorii clin Renag- rXmine un comproulis irrtre ,,normele" realirXlii qi ,,normele"
dtereript;iop- eclalllulizi ldiedernaalii
tirziu, care considerau perspectiva intuigiei estetice... Pictorul renascentist se cor.rsidera el in-
aga ctlrrt o sugi ca ulr geometru al spaliului vizibil, dar estetica moderni,
ir.rspre taineie frumuselii,

vedeati ei.

8tt B9

care a luat c_unogtint-i de condiliile gi semnificalia perspecti- redvo/-cNa us$p,ianafiuwicLtieaiabsrsptsereraiacct,andfXeurXsdiessfIapcrveeomrinbtuirmengjpuiolpddaeosmp, ieccXntwicuir,ancuai |npsuutrrmaecma-i
velor. picturale, qrie bine ci geometria tablourilor Reno;terii
este inc5rcati de anumite valori, cI ea idealizeazi aspectele
lumii vizibile, astfel incit si puni in lumind caracteiul lor
pdueneinreteilnigpibeilristapteectfiovrim" aallXa..r.teiinesuteltmimaiamaunlatlidzedc,itmoomduanl ie,,drde despre acele aspecte Ei despre acei pictori care au cochetat
cu geometfla.
de a vedea lucrurile. E,ste vorba de o manieri de a inlelege cod_pirieaa--rnei,ledmlDencaiug-p,bainriiisimdmtaesriu,Xdilgntaarecittnohaomdicpdi.uea;Aititarisiirc.ancuvubcocleitsl5dIumemncuaezl-uia"?lsipuasu-pnn5Xue-riluNffraeolclUaidl uneMoitotaio,utpldoopiulerodgpM:ioeoa,,nitinne-
lucrurile inserindu-le mai profund in contextul lumii ca or"i-
zont al viejii noastre, sau modul participXrii noastre la ac-
cteeleea-ucmeSapenreipv".aerg[3ete1c,ripapp. io2cr1tto,u9rli-i2d_2ian2utfraejulunms elaqoi
noui conceplie in care spaliui dobinde;te formi pe misurX ce ordoneazl qi
spatiu at.r.rii .ind
au inleles . cX dimensiunile spaliului estetif sint altele decit informeazi diferenlele locale : intervalele nu sint decit faze
dimensiunile geometrice ale ipagiului f.izic sau ale spaiiului in balansarea formelor, fiind jocul continuitXti-
angajate in
vizibii. lor 9i discontinuitililor, in drama insXqi a instalirii forme-
pccauicrmtt-ue_arailllIunincilueaAleoc4geo.seauemlsom.tuinndpif,oricifviai:iilnnie,1d,S5cce,u-l pcetoroleatiduntelrcrdosXcpifiuuetrncereeibtiucndiioeelipusaincietsofaporaluodlilseuelin,ss.srpcitaaasiuagiw_ar lor in spa!iu". [31, p. L491. Dar pe lingl aceast; subtilS ob-
serv:r1ie, o mai amplS caracterizare a cubismulrri o af15m in
cartea iui Werner Flofmann : Fwnd.amentele artei ntoderne.
Aici am g5sit ;i anecdota cu privire la
reaza sau rnstrtuie un spagiu mai puternic structurat in ra_ lui: ,,ln septembrie 1908, denumirea cllrenru-
oprograt ncizuar,siipaaclieilsetuei xsppearileiun,leei-l iloastr-e obignuite ;i cI, gralie Malisse, care
in acei an fusese
ne permite sX reaiizXm actui mernbru ai juritrlui de toamnS, a povestit cX Braque a tri-
rnis la Salonul de toamni tablourl cw ntiti crbuii. Pentru
muttruunracaeilt^e_i _.nv"ieoz[an3i,u-1pfni,guipunpr:eiat'r4utuivn9nXfzaltrcateocraealnmirzteea{ai9p-zdlidoeuapenpafiieerictceaet,itxveic.l.alu.ccsDeiitvaeeispztadelk.smrpeepeilnaa.itWlaeiilrieieeir.,l'.fa'poi,ni-r,r.---- <Aflcoilundprbmsioiuceirraiiie?.esrnceDcieXnenind:lneaa,an,cCtteued6,raezXscsataeansrnneecaerptistso-eipc_ruuinrnlepteidaelanuecbflXueaucuciluaagtstmaucssfuieslvera$einiB,,drecueinroltthrnrcaeiuurnbrtdiieiesgml,ei-"c,.,i,lcTi1ndito3eodauv2rtia)ef.i.
nu es.te mediul (real sau logic) in care se
ld.ios"ptuyn: -lu,,cSrpuar1ilieu,l ci mijlocul prin Trebuie incep.ut cu aceste elemente de bazd" sirnple, apoi se
vine.posibil;". [1. c, p. 541.- gi care pozrgii lucrurilor de- va putea realiza ce doregti". Trei ani mai tirziu,-aceasii ob-
tot deipre spaliul pictural, servalie a fost publicari gi de atunci ea constituie un argu-
Mouloud ne spune: ,Spatirrl pictural pune in raloare. in-
tr-un mod cr,i rotul parricular, factorii organizXrii vizibile, ment pentru legitura cubiEtilor cu voinla artistici a lui Ci-
grupirile, limitele, iniervalele, schemele st"ructurale. El are z.1nle... cubi;tii voiau sI punl irsistent in evidenlX anumite
leglturile sale proprii cu imaginalia formatoare gi phsticd, propriet5li ale lumii reale -.. cum ar fi cea a materialitXlii
gn fel propriu de ,r evoca structurile lumii materlial^e qi ale in prima lor fazd sisrematici, ceea
Iumii spiritului" [31, p. 1511. btriisdmirrruelnusiioannaatrleitic-, ce a cu-
ei tindeau totugi si treac5 cle la
conginur
la form5. Ei folosesc mijhacele geometrice cle exprimare nu
ecrsetea-tuunAnqssappdaaalilrui,wdaaublpst5lrwacic,itt,pergoiinpflriegilueugr-ileeusi,nptpiproiicwdtluopieriuctdlwemraeoldl -en,rurr cm;ai-raieri numai pentru explicarea lumii obiectelor, ci pentru punerea
in evidentrX ? ,,osaturii" lineare a tablourir-ri... Este lvident
sint iegate de nici un fel de ionstringere geometrici. Aceste ci lumea vizibill este geometizatd,... Acesta este gi scopul

sfiaguudriesceorpatoivtei,nalSganlcuui minctrreedee)deedcuupvi-iin"lnXnpmicitt.orluei.gi formalc repiezent;rii cubiqtilor: realitatea esre pentru ei ceva pir-
manent Ei invariabil. Ceea ce vor ei esti ,,pXr5sirea diversi-
t51ii lumii corporale, pentru linigtea netulburatl a operei de

90

91

artl"... In faza sa analiticS, cuobipsomzuiilieiaos-cilaanttiXt .faL1a5 dc fwd.d. Cind pictorii clasici r€prezentau peisaje, ce fXceau ?
cit gi falX de tablou -- lX- Pictau un. spatiu pur vizual, dbdeau .rr-rele ,,piiveligti..... dar
obiect,

murirea acestei situalii echivoce, care nlr glsea o solulie clar.i treceau smeusbate.i_timcaecureeletapcraaim-soeprlieacajpiuielalunaiglttruai.lcMtdilia,nrceeaa-prdeoe.easviosopic,eirii;'riiemvadageincleia"grleae
nici pentru conlinLrr nici pentru formX, a contribuit hotiri- Braque,
itro-rrcesapracni isolIulstJa.,bt+il,e" aGsrcilssu.nirnapcroerudni5ntcreu Picasso gi numele,
cerintrele Braque :1
geometriei musculare..ale pictorului ce inainteazd. pe pXmint, ale riiinii
tabloului qi cele ale h-rmii empirice. Aceasta insiamnl ci care apuci lu.crurile d.in fala ei 5i puni
mijloacele de crealie iudependente trebuie aduse din nou din urmi. mult sripinire pc eie, pe
scurt un. spaliu in cele
spre lumea reaiS firi ca din cauza aceasta sX-gi piard5 au- decit primul, in orice caz mii pulin abstract
liul tactil esre cel care ne mai bogat Ei mai cornplex... Spa-
trrnomia... Delinilie dari dc Griss picturii, ca wn-lel tle ar- despart[ de' obiect, spitiul vizu_rl
ltttecturi plath si t ulorati incheie .r cvt'lulie care se intinde cel care desparte obiectele intie ele. Primul riprezintX in*
departc inapoi in istoria picturii europene ;i al clrui obiect tr*adevir ceea ce caracterizeazd cel mai bine str'uct.rra ,rir-r-
este elintinayed. treptcztA a-aalorilor plastice ale tabloulwi". zlaegloi.rp.,laluni, Braque-. tabloul nu mai etaleazi formele p.
n[3a2g,t-epre.a4$0tliui-4ic8XG.,]e.ionrg1es98B2r,acqiuned, le conduc_e din adinc u..-
spre suprafati (in timp
ce l.L
-.-au implinit clasici, le conduce de la suprafali .pre^ fundul persocclivei)...
s-a orginizat 1OO de ani de la l)intre toli pictolii de azii el esre irnul dintre-..i .ar.. pi,,-,
zilie comparativX ? la Paris o cea rnai sever5 disciplini, ajunge la cea mri fr.umoar;'.*-
expo-

p[re-reaI{c-aunmos;ctuiututl,udi easrteetriacianror rfmranacieszX fie r,5a, fiindcS, dupX pre.sie a materiei, cXreia ii di cea mai buni definilie : ,,4M4a--
terra este ceea ce poare pipiitul". [1. c, p.
Jean Grenier. ,,Braqtre emoliona

este un mare pictor clasic ; el n-a inovat decit ca sX dea urt 48 l. in adevlr, rrosrimX gi originali de{inijie a mareriei i
model gi nu ca si provoace un scandal". l"iil. A$ spur-re mai degrabi, swbtild decit nostimi. Cred ci
Braq-ue,Fcoearstceriein?teresant; obser:r,alie. Dar despre cubismul lui -

pcpriainrf-siaecuniSpncaarprniteaeusmmairjiruuttlletn:egu.r,ma,NDXire-traisdpmdreierrsespliep-imatci!etiuucni"rtte.ie.sCcCcau6rbdezieaspcnm[inrtueeloarabuesnfep5uricnvn.alr5att.iiesaleXtuddnceiucsj-i-i ai s5-mi dai dreptate dupi ce am s5-1i mai citesc alte citeva
tvporebuadsideeerillevciiaiclcio,liaansautilitcenoeur,lluSl.lai,-lc-pJeaeeraiaannda,rrmG-aoirureassnttieimemrritpuSdllitget.aisi-pt,ie,rnAe. cmadecXsoetrbes,1ti,nripeird.i.c.iart-lop,pr"r.aiipiirnetferi-ccoamurdteeeresssde-i
otolaobd-niaeputceiltrl-soicnpcueas_cleetiJni;v.siitueplsmivieeerldalceuhsaitleraamdflioirlceistu;rfterier.;ai;nlrt;eau,llaiuirppir.rooePiia,rrudelbiutsluiipcli,duruenl srsareudruespxlu,riibsnptiaesecis;sttaerilj;uirn5iii-,: apara o nou- poezie a unei naturi inventate din nou. Cici,
daci mijloacele diferS, scopul este intotdeauna ac,ela;i : si
5teargi caracterul uzual qi artificial al obiecteior, penrru a
le vedea ca in prima zi a lumii, cu ochii ,'rnui copil i i,-, ."ir-
treba ce putea ,,reprezenta" un astfel de tabloq qi artistul {i tenla lor si nu in fur-rc1ia lor ; atunci fiecare lrr..., .n*,l-
ironic agtepta aceastl intrebare ca s5-i rlspundX cu dezin-
v_olttrrl cI r.rr"r reprezenta nimic, ci n-avea ce si reprezinte... rl nicX cu fiecare alt lucru afa cum au inleles-o {oarte bine po-
!l poarele primitive... Existi o viali comun5 a prolunzimilor...
Cubismul a reinr.entat totul : fXri obiecte propriu-zise gi, sX inr.'enrezi narura din nou ; e si mai bine s,o rein-
pentru cX, nu mai slnt obiecte aga cum le concepem noi, nu I ll bine

nrai este nici un spatill inchis ;i delimitat c,-r Care mae;trii ,l sufleleqti. Braque a ajuns aici ca ;i ceilalli, mai bine chiar
llenalterii rre .'rbi;nuiserX ochiul qi care ni se plruse in cele ciecit-ceilalli, dupi pXrerea mea, iniocuind convengiile vechi
fi cu cele noi. Mai ales in ceea ce prive;te spaliul. lncepind cu
din urmi cel adevirat. De acurn inainte spaliul va fi in- pictura a triit
thipwit.' nu va mai fi vorba de ir-l imita, ci c{e a-l sugera... t, Paolo pe o coiivenlie majorl p. .ur"
Pictura are sX devinl supert'icialit, ?n realitate devine pro- ,Uccelo consiclerat-o itr iele din urmi o simplS
t toat; lumea a copie a
n
92 ,ir 93

realit;lii : perspectivl. l)al nimic nu este mai artificial decit determinati. Dar un element spiritual insolegte intotdeauna
o tehnicX : la chinezi este gruparea de evenim€nre succesive
^oersrnecItaivrat"X. -rni ci te in treli,p, dar vcrsirrile ltri Fminesc,r sub forml de eluzii lineare aici
[33, p.217-2191. ' este invenlia spajiului tac-
til".
imi suni in urechi :
,,Ce-trn secol o zice, / Ceilalli o dezic"- Te rog, coutinui. r.;cn-tatkJedainnGnroeuniegrraslpieunuenceXi llraque a ajurrs la o natwrd in-
simplitdsi dobind,ite prinrr-o
iotgernrizmo-orrnSnta.u,,tDNluucui.mupPeX,ri,ocpCatiu6rsvrezaeanleldgnpeetovi,icieri..,"rce,onncuctmeueeemaeropicaaoejsriareeinlselitiier, ialcouuaguiacfbuigasgrnairdof.orisaenpta:-rtoe-uorsl.innapuiSilel-ea,-t despuiere continuX. Cred ci Piet Mondrian a atins miximunr
de simplitate, cea mai perfecti simplitate, c5ci toate tablou-

rile pe care le-a pictaf el in ultimii 26 de ani ai vielii lui
reprezintX dou5 fascicule de drepte paralele : un fascicul de
rea unei suprafele piane cr-i culori rinduite, urmind tl ordine drepte verticale care ,se intretaie cu altul de drepte orizon -

tale, formind intre ele diferite dreptunghiuri Jau pitrate
colorate ,,asemlnltoare intre ele, qi lotuEi it-rtru totul dife-
rite", dupi cum se expriml Victor Ierorrim StoichijX in al-
bumul-monografie : Mondrian. [34]
Bine, dar Mondrian a depSgit cubismul, el este unui
dint-re promotorii ndaetusreaalimst5e,aei al bessttreacdgeiopniisrmerueluci.X$ai,rintrepbr'.ir-i
tablourilor
vinla
intoarse ,,cu pictura inspre perete, penrru a fi folosite doar
ca elemente de divizare a peretelui".132,2, p. S9].
.,for-maAtsretabu, iperosXbasebirl,eacliazeoze iui cI
aluzie Ia corrvingerea
in suprafele qi in linii drepte".
Iati cit de frumos prezintX V. L StoichilX viziunea artisticii
a lui Mondrian : ,,lncruciqarea de perpendiculare care deli-
miteazi cimpul cromatic urmeazl legi- consacrate de psiho-

logia formei : unghiul drept ,este singurr-ri care poate implrli
nsipleafaurrlg-ularpe rsinintreapsetftealrean-ulateln. 7.p111s cirlitatr'r' egale. Teirsio-

culolmarbeinsatrruecatucroenatzr;afriieilcoarreveortpicealli-io,rrizlouri-rtXa.l'Io;indericahnildiburupid*e
lege clasici : cea a catbarsis-tlui. I)Itrirtcle neoplastice sint
qi rirnin in primul rind picturS. O picturd de inalti cali-
tate, in care primeazd nu feapcitfuarnai,acai rrrensoprriireai.liaNcuomspeopzoilaietei,
nu substratul simbolic, ci
si nu admirlm inci o dati marele dar al pictorului de a
aduce in planul vizualitXlii cele mai adtrrci ci,rrlirruturi ale
spiritului. Pictura lui Mondrian nu e o picturi simbolici.
c'ri tliegoric5, ori arhetipalS. Ea nu se poate descifra com-
plet cu ajutorul unui text sau al alttria, printr-o trimiters
la cutare sau cutare r5dXcinl culturalX..." l3-1, p. 161 $i
Ritmuri (P. Mortclrian). ,,M5rturiile celor .ce l-au mai
94 departe, aceasti completare : cu-

95

noscut pe Mondrian arat; cX pictorul nu lucra dupX trasee rffi'
geometrice pres.tabilite. Ir{u folosea nici un ir-lstrumenr spe-
cial, ci doar mijlocirea ,,ochiului qi a intuiliei". ,,Planul ric- 't':^;";'t;'"" ii
trlaaenzrgiu"ul.tlaaFrnat-iptau-slpccrluiXaraaelnlitaS-lizliei tlrelienbpiueoisietdemrreioapaitredeeiagnruaobdXpoocvzoeinldissiidt ereerxcarirsatnceganulao-
.rti

;t',.!;j!,i

invariabili f1ac.eprdoepcoirtliseXi de aur", in operele din ultima pe-
ligadi, nu confirme
existenla unei alese sensi-
bilitXgi ritmice la,Mondrian. Asimetria echilibratl de greu-
tatea culorilor ;i de ritmul perpendicularelor tinde sX .orrfe..
operei ,,calmul ,si seninXtatea IJniversului". Armonizarea con'
trariilor in seria patrulaterelor
cea rnai ilnria!gltle: cea a unei ,,Frumuseli ,,neoplastice" treapta
valeirt a in plasiice pure", echi-
p.181. artistic ,,,ceea ce filosofie Adevirul';.
ejte 1:+,

-_ Imp5rr;$esc $i eu aceasti admiralie a aurorului fa15

de opera iui Mondrian, numai cX aq vrea.si obsen, ci foarte
multl lume ridicX din umeri qi rimine indiferentX cind pri-
veqte ,p5trdtele ;i dreptunghiurile lui colorate sau, cel m^uit,
aimdapu-reg5juIr:aat-rie l.tru inlelig t'rimic, ce fel de picturl e
ce a rlspuns Picasso, cind s-i aflar asta ?
: ,,Toat5 lumea ;i
aseminXioare ,r.." ,3 el intr-o

inleleagi
pictura. De ce r-ru incercim si inplegem cintecul p5s5riloi'?
c:XSutiXumbimsiol,enoinaleplteeg,eonr fioare, tot inconjoari omul, f5ri
Psi. ce pictura r-rem s5-o ir-
? in timp ce
1elegem. SX se inleleagi mai alei cX irtistul munceqte di.i
necesitate ; cI li el este un element infim al lumii, ciruia
n-ar trebui sI i se dea mai multd importanlS decit atitor ,l

lucruri ale naturii care ne farmecS, dei pe care nu r-ri le ex- ti Portri:t rlc birbat cle P. Picasso.
depaite... Cum
plicIm... Un tablou imi r ine de se poatc
pitrunde in rrisele, in instinctele, in dorinqele, in
g-gini dsuIrilsce {l mi;r;i cle' geomerria analitici 9i diferenlial5, care are la bazl
mele,, c-Xrora le-a trebuit mult tjmp sX se formeze singuri, pereche de
malnifoste, mai ales Erentru ,a sesiia aici ceea ce am pus, nrimai o drepte perpendiculare : sisremrri

pad_oispa5ct-euia,liiaSnmudocpeiiuierdairrbazlniir'roeteraierprc!l!i,cienFXi diminqecdillecev5e?ian"vio1ttXi3aa3bmp,lopaus.r2Xrci2-lle12ia1lpnuruiom-pIetu4ncoansdIsriiina,mcnh,ieciedaerrnae dc c:rtlrrdonate cartezlan.

*- Gisesc foarte nimeriti propunerea asra qi o accept cu

rl br-rlurie cu atit miri mult cu cir nu mi gindisern la ea. Des-
c:1rtes y{i Fermat an iost cu adevirat doi mari vrXiitori"
fiinrlc;i au deschis cu aceasti cheie m:rgic5 a sistemutil; a.
ne-au desf5trt prin analogil pe care el a qtiut si o stabi- c.o'rioriate roate eculeriutotetlefeelucluadleiiloimr aagiginebi,riccaeregimnaeai lgj*ebr.i"cer.,
lg-otql, intre o inumirrX mulgime de drepte verricale perpen- c:r sii scoati din
diculare pe .aitele orizontale gi un anumit aspect a1^ aimo-
niei din Univers, la un alt mod de desfltare, pus la inde- mai iinncfi'enpitin, ddecucuorbiien.iJDderecaiiept[oErii sfirqind cu
f^assucrpicriunlz,du,tonaeroer.,i n-am srar,
un

96 97

du,pi ce reufeam sX construiesc o curbi, mut de admiralie in v
faja ei gi mi intrebam cum de-i posibil ? Cum se poate ca
dintr-o ecuade in x gi y sau in care, daci era numai in r
cEai-rabmd,inololicnuieit pe zero cu y, si risar5 nu alte numere, ci o

itrigitoare prin infXligarea ei: uneori inchisd
ca un cerc, dar avind anumite particularitXli ori cochelXrii
pline de eleganli, alteori, din contra, intinzindu-gi bralele
pine la infinit, obligindu-te parcX Ei pe tine s5-i urmire;ti \
drumul sinuos sau tn linie dreaptX spre necunoscut. Dar, in
ioc si pilXvrXgesc, hai la treabi. Ce ecualie imi propui pen' \:i x
tru inceput ? ),,I

-* Melcwl lui'P ascal . v'
* Grozav mai e;ti matale, Bidie ! Credeai ci mX prinei
aqa-i ? Ei bine afii cX nu ! Melcwl lwi Pascal are Ei un mod Fig. 41
de generare foarte frumos, a6a cX, mai inainte de a-i scrie
Cecounasildiaer$ui nas-iistceomnsdteruci ocourdrboanavteredaruepstuXn-ighaimulianrtelsOcySeqrtiezuan. v
cerc de diametru d care trece prin O gi are centrul C pe
axa Ox. Prin punctul O de pe cerc se duc razele vectoare -X
care taie cercui in M. Fie trna dintre ele'OM, pe aceasta
lf'ixITez,qrpoMrnTin',dadviinndX, a!,-tduonucidcsiengdmMentevaergiaazleI.,Eai coepeuasqei ,vaanlolramree
constantl :, m, adtcd MT:MT':nt. Locul punctului 7' este
meLcul Lwi PascaL, iar ecuajia acestei curbe, in coorclonatg
carteziene gi pentru a-m este I

(r'+y'-4 x)2: 16 (*'-Vy') (fig. a1)

-- Aga-i, numai dacX mai spui ci in cazul particular -'/lI \",', I
,d=:??1 rnelcril lui Pascal poarti gi numele de card,ioid|, iar
atunci I' qi O se confundl, curba avind in O un punct de ,/--\'/ *, ;

./

intoarcere, adicX nu mai are chiar forma care ai desenat-c x' //\ #- ,.
tu, ci trcea,sta pe ce.re o desenez eu (fig. 42). \/l\avw^

acla-ug Aga-i, dar dac5-i vorba pe-ntrecere, atunci am sd mai j

ci aceeagi carclioidd este gi o epicicl.oidd, adici o curbi ,d
niscriti de un punct fix al unui cerc exterior ;i rnobil care
se rostogolegte, fX,rX alunecare, pe cercul fix. De aceea Le rog
si desenez-i gi cercul mobil, cu o linie punctat;.

- Acurn sE construim curba care are ca ecualie : I:ig. 4l

(*' + y')':27 x'y'.

98