Campan, Florica - Povestiri cu proportii si simetrii

* In moartea int'ornusionald vid o pedeapsi asemenea NOTE
aceleia pe care a suferit-o Prometeu pentru ci a r1,pit focul
de pe Olimp qi l-a d5ruit oamenilor. Omul, la rindul lui,
a fost pedepsit pentru ci a desprins frumozul de inefabil
qi l-a diruit calculatoruiui.
Bine, daci ai fXcut aceastl comparagie, attrnci si o
duce-m la catpl"t, fiind,cX o viali noui a inceput penffu
pini
om 9i de atunci de cind a invilat si folo'seasci focul, ca gi
acum de cind poate crea arta, folosind comptrterul. Agadar,
dupi cum Prometeu a fost izblvit de pedeapsd de citre
Heiacle, care a sfirimat stinca gi i-a descdtu$at lanprile, 1. H. Suter : Das Buch der Aut't'indung ,ler Sehnen im Kreise, von
se va gXsi un alt om, la fel de puternic ca gi Heracie, care Abu-l-Raihan Muh-el-Biruni. Biblioteca Matl-rematica, vol. 11s,
sX inliture ,,moartea informalionali !" 1910, 11, p. 11.
reci-tindDeimapcreourdn.XD, eacaecleeerai,nhdauirisci ainrechneeiemsindtisacqualiadenodarsatgrii,,
aie matemaiicianului C. H. Flar'dy, despre care C. P. Snow 2. Abu Raihan Ivluhamed ibn Ahmed al Biruni, cunoscut sub numele
presclirtar de al-Biruni (9Zl-104S) s-a niscur in oragul Kiat,
capitala Horezmului, in R. S. S. Uzbekistan. A avut ca profesor
spunea ci avea darul de a ,i,atruanosrficoermsaimopriliucejomcuanci Xrniinntleii,- pe Abu Nasr ibn lrak, care a dat prima demonstragie a teoremei
sinusului din triunghiul plan. A lucrar impreuni cu Abu Nasr
lectual5, majori sau minorS, la Academia din Kiar pini in 1017, cind Fforezmui a fost cu_
intr-o operl de artX". [58, p. 1Ol
cerit de suhanul Mahmud din Gazna. Atunci al-Biruni s-a mutat
car,elea--ctoerP,l,odM,roelafatmtilemliom, dceaeastliretcte.eiaaDdn,auigncl,aXtccamaa-duoeqdzsideclpehcii'dscluitosiIralsnuilptnastcgaomiunnasapitro8due7uitte,ruatlb,edielieansstdecideueucltnii:.t in noul Isiamului, Gazna..A flcut o clldtorie
centru cultural al
in India, acolo a studiat limba sanscritl 9i dupl aceea a scris
cCrerodninicgealoIrndreieligi,iocaasteteqiinascrarorenosmeicfeacaeleolirdieiscqriei rseeaingseisotgiraalsiuepi ra5i
Pict'orul $eeazl modeiele din forme 9i culori... Matemati-
cianul in'si n-are alt material cu care sX lucreze decit ideile.
De aceea, mo'delele lui au qansi si dureze mai mult, fiindci cunogtinlelor marenarice ale hindugilor, raclucind in cele mai
ideile se tzeazd cu tim,pul mai pulin de'cit vorbele. Modelele rrici amlnunte atil principiul pozilional cie numerajie, inventat
de ei, cit gi teoremeie de geometrie qi trigonometrie. pe lingl
matematicianului, ca Ei ale pictorului sau poetului, trebuie aceasti carte, al-Biruni a mai scris alte numeroase lucrEri clin
diferitele domenii ale fizicii, medicinii, farmaciei, astrologiei qi,
si fie frumoase.-Ideile. ca Ei culorile si volbele trebuie sX bineinleles, ai matemaricii. Astfel, in lOlO: Canonul lui Masud
se asambleze intre ele in mod armonios. Frumuselea este
orimul t€st : in lume nu seaxigsatsl lmloc^lnduI,rraezbeilnpi eunntrottmmactuel-t
urrta.,. nr ll greu d.esprs aslT.romie Si stele, dedicat sultanului Masud al Gazei,
matlca fiul 1ui Mahmud, are o deosebiri imporranli pentru istoria cri_
care sX fie cu totul insensibil la se'du,c1ia estetic5 a mate- gonometriei ;i a astronomiei.
maticii. Desigur c; este extrem de dificil sd det'inim fru- 3. FI. Poincar{ : Science et Metbode, Ed. Flammarion, paris, ,1927, p.
mosul in matematic;, dar lucrul acesta este tot a$a de ade- 57-59.

virat pentru orice fel de frumos". [58] 4. Dumitru Marei: ()riginile artei. Editura Meridiane, Bucurepti, p. 106
5. Dic;ionar d,e filosot'ie. Editura politic,X, Bucureqti, 1978, p. 295.
6. Etiinlifici 9i enciclopedici, Bucureqti,
Platon, Oper,e, vol. II. Editura
la;i. 5. III. 1983
1976, p. 71.

7. Oscar Becker : Fundamentele matematicii. Editura gtiinlific5, Bucu-

rerti, 1968, p. 153.

201

8. Jan Bialostocki: O istorie a teoriilor despre arti' Editura Meridiane, @.: V.+o: /1;]ffi: V;/iffi
Bucuregti, 7977, p. 92.
t- -/[T:'"-
'9. Tudor Vianu : Estetica, Editura pentru iiteratur'i, Bucureqti, 196ii'
tr0. $tefan odoblefa : Psihologia consonLntista. Editr-rra gtiinlificl qi cn- V,*V'

ciclopedicl, Bucuregti, 1982. 2C. Daci se impun anumite condijii constantelor Cr li Cz se obgine un
anurnit ;ir particular. De cxemplu, se poate regisi Sirul ini1ial, al
11, I\{ihai Ralea : Prelegeri tJe esteticd, llclitr:rrr griinlificx, }3ucure$ti, lui Fibonacci, impunind condiiiile cx. q:7 sr t4:1. In edevlr,
inlocuind in erpresia lui ttn (in care am fictrt o dati n:l qj
1972.
apoi n=2) se obline : tr1:1:C1'lC21i u2:l:Q, (+)-
12. Benccletto Croce : Estetica' Editura Univers, Bucure5ti, 1971'
11. Mihai D. ltalee : CotneTttarii si Sugestii. Editura Qasei $coalelor, *.,{+-J sau cr*cz: 1ri Ct-'Cz: ;|" cle unde:

Bucureqti,1928. c.:tEi'l s si cr:-fLtzIl)i/

14. Jean-Paul Collette : Histoire des rnath,ntatiques, Diff:U.sion vuibert, Inlocuind aceste valori ale Iui C1 qi C2 in expresia lernrenului ge-
Paris, 1973, p. 22. neral ao se oirgine :

15. Matila C. Gh1'ka : Le nornbre d'or' Gallirnard, Paris, 1931' ,,.:#[(+1]J" - (+',t)"1
X5. Dupi cum observl Victor Marian in Notele clin Cartee e XIII-a,
Punind n :3,n:4 ave;l:
vol. III. Elemente F-aclid, p' 156 : ,,Propoziliile 1-6 au ca obiect
secliunea cle aur a ltnui segment de dreaptS.'. primcle cinci pro- ,,,,:]_[+uJ' -(*#)':,.,1" zlr:z
pozilii sint o intregire la propozilia II: 11' E probabil ci ele
prorrin de la Eudoxus, deoarece Proclus (412-485) afirm! ci
acesta ar fi aflat citeva teoreme referitoare 1a secliunea de aur'
tr7. Matila Gh1,ka : Estetica Si teoria artei'. Edrt''tra stiintifici qi en:iclo-

peclicX, BuctLresti' 19S1.

18. Euclid : Elcntente, vol. I. Treduse 9i adnotate de Victor Mariair'

Biblioteca Gazeta Matematici, Bucuregti, 1939, p. 242.

tr 9. Num,5rul O se exprimi Ei printr-o fraclie continui formatX nLLmai
cu cifra 1 :

o:1 +,1 1 adici anr regisit ;irul Fibonacci.

lf 21. In aceasti privin15, celelalte popoare din C)rientul antic atL avttt
1
o intuilie mai clarX <lespre noiiutrca de nutndr decit grecii, clci cle
r f ..' nLr eu ficut nici o cleoscbirc intre nttmerele irrtregi sxrt Irecgionare.
Dirr contra, grecii ficeau o cieosebire precisi iirtre numere. Pen-
Redusele sttccesive ale acestei fr;rc1ii, care sint : tru ei numerele cratt nitnr:ri intregii natrrreli (firI zero), iar ra-
portul dintrc dou,5 nLtntere rntregi ttru Ltd rtn namdr fraclion,tr,
t: I' l-l--:132ti : l-l -: a ;etc.' ci o mirime care putea fi geonetricd, daci exprima raportul
dintre doul mirimi geometrice (segmente, arii etc.) sari fizicl,
1t '1 z: dacX se referea la o m5rime fizicS, AceastX conceplie de mdrime

reprezinti repor.tul tlirtrc tloi rcrmeni consecutivi din girLrl Fibo- geometricd sau lizicd \egatl. de numerele ce nu erau intregi a
nrcci. Folosincl tot ciira 1, numirul de aur se mai polte scrie fost luati qi de matematicienii din apusul Europei $i a diinuit
pini in secolui al XVIIlea. De abia de atunci inrinte apar in-
sub forma unui qir infinit de radicali suprapu;i. Anume, porninci

de 1a relalia {l): O:'! i-re se deduce, folosind-o in

mod succesiv :

202 203

cer.rlr;le de a se generaliza notriune.1 cle numir, desprinsi de ori- Il-lea e.n. de Hipsicle din Alerandria ; ea cuprinde relaliile din-
tre ariile gi volumcle poliedrelor regulare Ei inscrierea lor in sferi.
ce insr:5ire geonretric; sau Iizici. Cartea a XV-a a fost compusX de Damaschinus, care conducea,
pe la 510, $coala din Atena. Se pare oI teoremele cuprinse in ea
22 Este eviclent ci eceste medii dintre a qi c nu au aceeagi valoare nu au fost stabilite chiar de e1, ci ar fi lecliile pe care le-a pre-
clat invSlSrorul iui, Isidor din Milet, unul dintre arhitecEii care
numericl. Inre ele existX relalia , b.n ) cbo"n2ti!tub,,;,., Media geo- ar: consrruir biserica Sf. Sofia din Constantinopol.
mai fost numiti gi proporlie
metrici r fiindci numi-

torul primului rapoit se cantittui c;r rrumlr5tor in cel de-ai doi-.

Lea. fdietura de aur apare ca un caz particular 11 acestei pro- 27. Pitagoreicii priveau tetraedrul ca pe un simbol sacru, deoerece qi
portii, in care d : 1r+c. ln acest caz avem, a$a cirm s-a yiz-ut : el, ca gi tetractisul, conlinea patru elemente, aidoma substanlei

b*t b a i; b cosmice, de aceea 5i tetraedrul xp;rea intr-o formulS de jurimint
bcbcc ca, de pild5, urm5toru'l : ,,Jur pe acela care a dat sufietelor noas-
tre tetraedrul, izvonil naturii eterne'.
regdsim ecual;a (D2 - O -- 1 : O"
Pietricelele care se adlugaLr unui pXtrat ca si formeze pirratul 2E. Termenul lterspettitd a fost foiosit intii cle VitrLLviu Ei apoi cle
toli pictorii clin Evul mecliu. El este cle origine latini : perspicere
urmitor purtau numel e ,J.e gnomort, Dupi cum s-el observ5, aceste - a vedea prin, sau : a vedea llmurit. Termenul grec: opticd
pietricele sint dispuse in forma unui bi1 indoit.
gi, mai tirziu are a:gl25i inlslgt.

termenul a fost adoptat de astronorni ca nume pentrLL parui in-

fipt in pimint, care, prin rimbra lui, indica ora. 29. Perspectiva modernS apare la. sfirgitul secolului al XIV-]ee, la

21. lluclid : Elemente. vol. II, p. 46. Florenla ii ea este cliferiti cle perspective geomerrici clcrivari rlin

Despre trisectoarele :untri rurghi, fierare din ceie dcui clrepte c,,Lre Oprlca iLri Euclid.

imparte unghiul in trei plrli egale, se cunoa$te o frumoasi teo- lC. Denis Diderot : Opere clrsc, vo1. II. Editrire rle strrt 1r.jrltru lirera-
turi qi arti, Bucure;ti, 1957.
reml a 1ui Morley : ,.trisectoarele unghiurilor unui triunghi se

taie in virfurile unui triunghi echilateral (fig. 12.1). (Dic;iotur tle -11. No61 Mouloud : Picturi ti spafiu, Editura Mericliane, Bucuregri,

1978, p. 68.
32. r#erner Hofmann : Fundamentele ,vtei ntoCerne, vol. 1 gi 2, Edi_

tnra Meridiane, BucureSti, 1977, voI. 2, p. 37.
-1J. .lean Grenier : Eseuri nsilpra. picrarii contentporaire. liditura l{eri-
diane, Bucureqti, 1972, p. i3.

-i4. Victor Ieronim Stoichija : Mondrian. E,ditLrr;r L{ericlirnc, Buc,.rrepti,
1979, p. 8s.

15. lntr-o scrisoare, B. Franklin spunel clespre un pirrat megic de
tr62 numere pe care l-a construit
gata sX admiteqi cI pirratui cle el : 'Nu rni laucl, clar veii fi
otdinul 16 este ce1 mai
magic

L dintre toate pitratele magice clre au ros! consr.lire vreoclati ile
vreun magician". (F1. Cejori : A [,Iistorlt af Mtthtnatits. New
Fis,. 121 York, 1980, p. 17c).

mLztemati(; generale. Editura enciclopedici romXnS, Bucureqti, .t6. Mathematics. An Introdactiotz tr: iLs S pi.ri.t anr! L'sr. Ilil. Sfl. H.
1974, p. 295).
Freemann, San Francisco, 1978, p.73.
26. Elementele 1ui E,uclid au fost compuse iniqial din 13 Cir1i, atitea
cite au fost scrise de Euciid. Ulterior s-au rnai adiugat inci .12. W. Rorrsse Ball : R6cr6ations natblttutiqur:s, II-e partie. paris.
doui Ei anume : Cartea a XIV-a a fost scrisi prin se:olul al
FIermann,1926.

-38. V. Ahrens : Mathematischt flnterh,iltwngen we .Spieb. Leipz.ig,
1910, Ild. I Lrnd II, Bcl. I, p. .rSO.

204 205

j9. Euglne Viron: L'Estbtticlue. Ed. Alfrcd Costes, Paris, 1921. 17. Dr. V. Ahrens: Altes und Neues aus der Unterhaltutzgsrnathematih-
40. Pdcaut et C. Baude t L'art. Ed. Larousse, Paris, 1929, p' 78.
Beriin, Springer, 1918, p. 73.
a1. J. Philippe Minguet: Estetica rococoului. Editura Meridiane, Bu-
.18. Tiberiu Roman: Simetria. EditLrra tehnicS, Rucure:;ri, 1,963, p. 11..
cure$ri, 1971.
'{9. George D. Birkhoff, Aesthetic reasare. Cambridge, Massachusetts,
42. Marcel Melicson: Arbitcctara modern1. Editura 5tiinlifici gi enci-
1933.
clopedici, Bucureqti, 1975.
50. H. S. M. Coxeter : Regular poll's6rrt, London, 19.{8.
.1.1. Johan Huiz-ingl': IIonto ludens. F'ditura lJnivers, Brtcureqti, 1977. 51. Hmeramth-eamn aVtices,yIN: eSwymYnozrekt,ry1. 9756n,:vJoal.mlc,spR. 6.7N1-ewman, Tbe \Yorld. of
44. Martin Gardner : AItt' dmazdme?tte matematice. Eclitura Etiinlifici, 52. Philippe le Corbeiller : Crystals and tbe Future of Pbysics. In:

Bucureqti, 197A, p. )1. James 1]. Newmann, Tbe sraorld of ntatbemcttics, vol. II, New

45. Teorenra se demonstreazi ugor. Fie o relex inchisl cu un anumit York, 1956, p.871.
numir de noduri, adici astfel ca niciunul dintre erceie (ciririle)
ce pornesc din aceste noduri gi strdbat relear'ra s; nu aibi o ex- 5,1. Joseph Schillinger: Tha ?nathentatic(11 basis ol the arts, Philosophi-
tremitarc liberi (fig. 124). Daci x este nrtmirr-rl notluriior de or-
cal Library, New York, 1948.
I
5+. I{arcel Petrigor: Curente estetict contempor.tne. Editura Univers,
{
,l Bucurelti, 7972, p. 1.1,2.

,t 55. Victor Ernest N{aqek : Artd Si matentatiti. Ilclitura politicl, Bu-

J cueStr, 1972.

'( 56. Redrr Bagdasar : Infornatica mirabilis, Editura Dacia, Cluj-Napoca.,

1982.

57. Solomon Marcus : Poeti.ca matematicd, Eclitura A:adenriei R. S-

RomXnia, Bucureqti, 197C.

58. G. IJ. Flardy : Crezul meu ? l,latematica. l,lditura Enciclopediciri

il ronrlnS, Bucuregti, 197C.

fi

*1

Irig. 12'l li

,l

,! clinul 3, J, acela al noclurilor tle orclinul '1 etc., iltunci Jrc este I
numXrul c,irlrilor legate de acestc noclnri gi la fel 4?, 52, nurni- {r
II, rul ciririlor cle ordinul patm, cinci etc. Numind rr nun.rirul ci-
r.lrilor ce stribat intreaga relea qi iinind seama de faptul cI fie-
I

I

i care trebuie str;b;tut; in doui sensuri, astfel ca pornincl cle la
rrn loc sI se ajungi la acelali 1oc, evem relalia lrc | 4y -r 5z *
+ . . . : 2n. L)tr 2n frtnd un numdr par, lisincl ll o prrte din
membrr.rl intii toare nutnercle pare. rezLtlti c5 nuntirni noclurilor

irnpare rrebuie s,i fie par. Teoretll rr doua este o consecingi f i-

reasci a ilcestei teoreme. Insi, si relinen ci tlin teoremi nu re-

zulti 9i f,rptul c.i releilua poate fi stribXtuti printr-o trisitLiri

{'ontinu5.

46. V. ltonse lJall: R1crtations matb(rn'ttiques, vol. II. Ecl. FIcrr.nan,
Paris, 1926, p. 2A5.

246

OUPRINS

In loc c1e prefalii 5
Primii pali cltre frumosul in marernaticl 22

Acolo unde matematica s-a 46
76
infrilit cu frumosul 10:r
126
Matonatica 1i pictura
Pitratelc rnagice t44
r87
Mate matica qi arhitectura
Hai si ne iucim ! 201
Frumtrsul se misoari ?

Note

IN EDITURA ALBATROS IN uoTTuRA ALBATROS

au ap;rut au aplrut

SOLOMON X,fA]{CUS DT\N BARBII-IAN - ION BARBIJ
PAGINI INEDITE (vol. II)
PARADOXUL C. DINESC]U ' B. S,,\VI]I,ESCU

G. ENESCU INITIERE TN MATEIUATICA APLICATA

OMUL - SIST'EM BIOFIZIC CATAI,iN PETRU NICOI,ES(.U

MIHAII, ]). NICU TESTE DE ANALIZA MATEMATICA

AVENTURA A $TIINTEI,OR VIETIX