gtiu-deVc;ed, cX te persecutX pe mata grupul acesta (x'?"1 1'') 9i"
ca sX hi obligf sX folosesc coordonatele polare'
iati gi curba care, in adevXr ci a nre-
Bine, fie voia matale, e un trifoi ci"t patru foi ! (fig.
{ i;'
ritat si o construiesc,
I,;. l1 F'ig. 44 Irig.15
Fig" ,+6
curb-a, f)a, 9i daci ecualix ar fi fost de forrna (t'+?')t=:')',
la-fel de gir-rga;5, ar fi avut numai doul per;rle
$' is"-. aa). alte cuvinte, i-ai smuis dcluX petale trifi'ia;rilui
Cu
mpreoup,usn-uom, aaidpicr5ininacleoacsdtien(iixc'l+my'o)tcliafici apruesa(xec'+uayl^'ie)^'9i cieirr:iril-oaci
dcraroelitfpoo2-eri7arei ;xcCsu1hXlyu;i2poisuntrlimi.,tu'rmaux,aiaihia-prvatXrintoiagdrs-Xnu-Xxsa!-u2ii lU-idt2rraiyv!t'uei..nuoeicepugaativliXcazicXei-,a-tcqiapfrireossprnui untlassiepl-e-ilpacoleieftlsea-
_- Iati gi curba (fig. a5), seanrin) cu o lemnisc;rti,.im-
podobiti cu'doui .rniuii caie parca ar fi de hiperbol., tlacX
rsdi'ar-em"g,cruiat"rettri.o.ucoaasaarae,sciemcsleaeprtieoonnttaXdirn.uedMlainl1iis-iaaXedilnouefgciasnariiinmtte,gicnuditrilenXi atdrpszeriiemteoap,jmtaoianlttiiaa;xcmpeubiarevbrelceiritzipcav,a5errli1etd{i,,i
o panslici infiniti innodatX 9i cu capetele rXsfirate-n vint.
Mi se pare cX ecuagia ei este : x5{y5:xy2.
100
* Nu o cunosc, dar si incercim sI o construim gi vom PATRATELE MAGICE
v.edea (fig. aQ._In adevlr, ai drentate,. qi, fiindcX-i tirziu,
ne opnm, am sa-tl mal prezlnt spre repre-
11 este Yremea sa singuri curbX, care din 'cauza formei ei,
ei
zentare numai o
desml de neobignuitS, se nume$te trident. Ecuajia este :
y3-2xy+1-0. Aqtept sX mi-o ar51i I
! N-a fost
dar-creIdaccXi-tt-eo ea chiar aga de uqor de construit,
mullume$te. Este un frumos exemplu de curbX
car€ are patru ramuri ce se indepXrteazX la infinit, dou5
avind drept ghid, adicX asimptotX, axa abscisei, intr-un sens
ii fu celSlalt, iar celelalte doui, cele doui ramuri ale unei -vorDbiamtadterespcruet;pcltinradtenlee-ammagvdic.zeu.tD, maciS-a-1i ispmues nclXii ai vrea
si
parabole (fig. a7). O curbi care te imbie sX o admiri tot nerea slnt gata s;-li indeplinesc dorinja. propu-
alta-? M; qtii rnata cX-s in stare sX spun azi una qi miine
cI un de ordinul z este un
tabl-ou Atunci aflX p5trat magic
formX care se gXsesc nz nr-
numeric in de pltrat, in
mere, consecutive sau nu, astfel ca suma numerelor de pe o
linie si fie egalX cu ace€a de pe o coloanl qi cu aceea di pe
cele dou5 diagonale. AceastX iu.md constantd. se numegte nr-
mirwl magic al pdtratului gi valoarea ei se poate stabili ugor
in cazul in care se consideri cX pitratul migic de ordinul n
a fost construit cu primele n2 numere. In icest caz, sume
acestor ru2 numere este :
,")nt : '(-1-+--n')o' qi impXrgind-o la numXrul n ai rindu-
9
Fig. 47 rilor (ori a coloanelor) pltratului, constamta salr nam&rwl
atit de mult ca gi pe un tablou al lui Mondrian, gi si me- magic alunui pltrat cle ordinul re este : (1 t "')1.
ditezi asupra ei, linind s€ama cX la infinit cele doui extre- 2
ale axei xrc' se intilnesc .gi tot aga cele dou5 ramuri
mitili Dtir-er In adevXr, pitratul rnagic care se afla g- praavtarut de
in tabloul sd"u Melancolia, qi
ale parabolei ! era de ordinul
deci constanta lui trebuia sX fie 34. Dar de unde- le vir-re
numirea de pdtrate magice I
Crie-ntuNl uinmdierepaXretastte. foarte veche gi se pare cI provine din
lnaintea erei In-
noastr-e, astrologii din
dia, din China gi apoi, incepind cu secolul al VII-lea, astro-
iogii de culturX arabX le-au consrruit ca talismane, qi le-au
naetrtieblouritdaenucmarietedpipuintedreiamu.agAicset,fepi,utpe5rtriacteolrees-pduenzoirtdoainruei ^ptlrae-i
103
erau dedicate planetei Saturn, cele de ordinul patru lui Ju- trlt($pption-arr'ruo]avaeat,ezattgrptcnpea,etr!oueeaci2leentneor,o)rg.xcurdudr.cXlimrusd,deasA,tziXe.d.di.icporageoaoeuoeresradlccnrmmsduniozeintepieru.XnnatqetoiElmioradddddiI.^,de5_ig,upv.dd,si\arbae'earceigelrraoautcte-auiprpr-isdnn.5ipee,ameetia"rearricmresr,rta,,ei.fntia.alocl.tjnaedprIoJd,xuami..ecn;rs.rldi.mauict-r;om.ripiiiojitpdcese.i"iLT'e"er,.dirnca.nnp'ein",rn.fui'ru.o"'n^uremofimd.esr..r;toe.riaJregi",nyrr;riUiieilncit;".anpil'aotot;eipJr.irnOr"eagd*ircp*,lr,'urevr;u,?rt..aau"At"";ss;;lr,;lo.-"e;-a."Ji;;a;\,t.";;c*+'-rUd;;le.*)ui;;;-vr;.;c;_i-a;,,dei",,r
piter, cele de ordinul
cir-rci iui Marte, de ordinul $ase Soa- rdI:frTqnlirlneet"caeiecanracnr,etej,h,aci,iscra1(.e.a.eim,"edzNgcunciimrrniaueidcftroaoFaeidupndlsrrrrirm,art.inensoIsnadmaeizp,k.s,citaitienicoadint'nXcelon,tuleeeomn-lo[-.llo3fioeaupanibrtd-gl5limpCria-]LeXrve,€eeolurcV..ceb.,tX_oaaml-aeIrccdViiu_meruecelIiamaeeIioisadn_a"cr,areuio1atu"rrlri.eopbi,peIbmrcr."r.oui,ati;cauta..-te5;.iiifr-;o,z.m,ptrrsiiuloeu.a,l.tzf-t.lgi-ebpeir-n"ira"..;cviueu-p"ia,"irs;t,iopr,6;.rtll",dii;fi".nlrt";"rrn;J;f'ia.r;iiii-f-'"""t;.;geJrir'.,irll;".e"a'i;ra't.ilr"trcTlrem;*;u;,'i,';r__;a_inil-
relui, de ordinul qapte lui Venus, de ordinu,l opt lui N'Ierc',rr :$le,l n1cge-1ar-^a,alNrl?ptu,:a,C=rnr"Xau:rmlc1eialqoditru.i.nmpdIap.egac.ircoitteered,-diencm.i,oiima-r"dcpiuiansmrpp,auacrrfo.,omsmptelsettot.adbaili.tii.q;i,;i;n;;p;a;rre
Ei, in fine, pitratele de ordinul nou5 l-unii. Gravate pe plici
rnetalice, erall plrrtate ca arnulete de acei cirora le erall des- slr.:irIptp:llo,.uoe]i]re:n:rdmro^imrtgn:a.!-e-:ai:t*u"pec:aP.mez,nf.br-erAuEaAe:ipi_aIm-rrptugteine".ruuri:nlaeurvdngennriren'cleoupic'rz-ndaiclldXiioitter?isererp?.rsep.Ia'XcdpucblrAitneitnaemiertuemaerrc,eaepctr,,amusoecore.ignl1cel.urue'i6''dlmdc,,;l,"l.c.i.fi,u,la.a..iiM"e.ti,mirlg.r"r;,mctto"a.:i.eomJ;enoi,r..;i;creaoi.;,oinusnil.-IJ;i"pul.-lt;;.;urim;l,rAil;on;.n:;o;a;."nzrr",ii"'r"S,nf..r-J-c...,tp;.n"*'";"o'o.ueal2rrin.;,,."..,e,ccga.rc"ilea;ii,g.""oit";n,rrEiit".ilne;m.lll"i;5,..d.o":ai'e;[ui*,lp;lllii.;iIo;"iui;ri.s;,i;;r'.li''ific.li)li;ui"-i"l.gf;'lli_'";n;.a.z;*;t';cJir;r'J:a.lle';;e^i"';t.;srri-i_dl;c[;_--eto*:-
tl n ate. c:a?icnri{'d"na+ecc1l.nn)o)se3ccuutaeat.luiipndrciininn-2cu)ar2mrJa(rnrere-, b*ptirrtioeb"^lsed'm' s-ae.'rdte. tne.r.ml.ti.;.r;;i;";;;lt_
In aclevir, atunci Soarele gi Luna palrc di::
euita- ca cea mai mare fXceau 105
planetelor, iar Lnnii gi mai apr,rpiat,r
cle Pimint, cor-rsicieratS, probabil, ca cea mai influenti, tre
bui:r si i se dedice qi cel mai mare pitrat rnagic I Nu in-
leleg insi, de ce pitratele magice incepeau de la crciinul trer
si nu de la doi ?
Foarte simplu, fiindci cli patru nurlere consecutiv.
nu s-e poate forma un pltrat magic. Iati un motiv serios ca
pitratul a patru nrlmere si fie simbolul materiei imperfectl:
formati din cele patru elemente : aerul, tpimimptnutlulll",enfoacqtuelrii9,i
Europa, urrde ele au ajuns in
apa ! ln
odati cu traducerea scrierilor arabe, erau iri mare cinste gi,
natural, la modi incepind din secolele al XIV-lea gi al
XV-lea inainte. A$a se explici 1i prezenla unui pXtrar ma-
gic in tabloul lui Diirer. Dar foarte interesant este faptul ci
matematicianul francez- De la Flire, care a trlit pe la sfir-
pitul secolului al XVII-lea pi inceputul ceiui urmitor, a des-
coperit la Biblioteca na1iona15 din Paris un mafluscris ditr
veacul al XIV-lea, clespre pitratele magice, scris in limb.r
greaci, de cdtre un clrnoscut matematician bizantin care
triia pe aturlci, anLln'le Manuel N{oscopolos. Autorul a de-
dicat lucrarea sir unui alt savant contemporan, Niccriire Ar-
mve[, din Smirna, cunoscutr qi sr"rb numele de Rabdas. De ]a
Hire a tradus acest manuscris in limba francezi si l-a prt-
biicar in L705, impreuni cu un studiu persr'rnal
tui subiect. l{ai tirzir,r, acest rnanuscrii a fost asupra ace!
eximinat l;i
de Paul Tannery, binecunoscutul cercetitor al istoriei mate-
oratice qi el a stabilit, mai intii, cI in mani.rrcrisr-rl lui
foIoscopolos nu-i nici u urmi prin care si arate ci el a fosr
ecris su,b influenla scrierilor saermabneit'i;ciaalieponi,tacgiicMd oss.wcop-coleiotsalirsru-
ee referi la nici un fel de
wan a. pitratelor magice. El nu foiosegte nici numirea de
pAtrat magic, ci pe aceea de pdtrat aritnietic (tetragonon
arithmon). Cercetind metoda de formare a a.eri,rr phtrare
numerice, Moscopolos este primul care a stabilit ci nri exist,i
104
* Numai pentru n)3, ci.ci pentru n:3 nvmdrul ecu- ddeina-2cd.eolDaCuqarliecopddrldtscrieani,taeinnduu*/an;c5sJiss;at;u."s;,;e s;,cbad,ielTlertnenutnelepXctorraet_spmuangziXc.toar:
aliilor
este egal cu .al necunoscutelor. fiindcZ 32:9 iar 2-4: .J.--aoui p"r."r. trebuie sI fic
-
Nu v5d cum se poate asta,
-ti8m?p-larSe,e poa e, dacl cele rf:9 numer€ nu-s luate la in- cpaacitrere-laaltqipuisNloedsurcde,icnoou.rrddz,i"einnruoe'mlu:rla:io..ir;mdeyisct;e.lii.nlm;c.l:.ifn,eit#r"ein.-td, .iconlrcdliiinnd,iialcecoimqnipucleolstoiniandntedlie-er
si mai inde-
ci in mod consecutiv. Aqa ele trebuie d1c'p:er6e:asr^1mgal2:3nor:aun!'cia,utUaclieacstneiriinnttaeucltpsuaroletslrtioeDri,ae;"sernntrctearh,c_-Tirmaagrlnl"ro.:lebgelyiia.::;dB,,,,'.,iaa,c3.t,niirc.nc,dhhs-i.ie;iei,it;ppi"iri.lcd,.;s;';r,i;etmm;#r,ejM"iiuia'ifli.rziu6-l,"X.,zii3n.ni.rprti;aric;_'ei;tocro:on;.epaasf;le.r-rri_d.e.epe;t.a;u"r;atrbe;r";l.aif,ciE,"acidsita*_r"cefo.X,n"ii.iens.u-e
plineascX o condigie, anume sX fie in progresie aritmeticl ; ;Lrsjzim:a,-o.,l,plxJvlca:1if:tair.t"itiptir-s"y5teai"d7u2trc.;.eon#sonu.Jrosumdite?rgienucr:5u;eJtmil.v"a,^I,dc,i9ali;n-or9^p5oncuri5.;,anliotMci"pr2ca-aju5tlr9i;m' p".1itin,;s""t;e;i,1l,r."uc'.i!;oiir-!'nip,,'..sa;;"trdrrrp_ur.ai-"rleep,i.s..necIas*.cl""iinaerc"rcIt;c.ema,-ajpcr.;oa5eri"crmtd;rtleaisaen"tetreroipualdlrxre1ceda-__.
avem deci 9 ecualii cu 9 necunoscute. .(:il:I'd1rjlro+,t1rlt5oTobu:inJo..51mlu.io:g.ctI'ie"niaehrgd"e.t(irplf*a1'lae,ea"g+rltg"druo'22dociaeinl"oc5rlireean5a)I1l5aalsceea-pcegap:cstci-d#aluCruupe;i.1rnJin5tvd,,.",1etc;.ir:na.atiord1ur;g'tt.pr{"r+ioldril,"ou"I1nca,..ir2;aeJ'L.^r+ljf.e.l.ll;;-'lia;{-;#ie+.llpri.'.t;'t;};i+r.;r;":n.'rr,+.j;ir;i;iii;e,",1""""r,'5iia,',..l+l,:q-rru,;p;er+p:..s2...r:lot.r,i+e_mtl.b.:ii.,\ruZeoseUr,cug+i.a.edsaI1Tideslni5gee+iciIiipai1uidno+es;be1cict?cgniorce,ni,:e;uIil_e,a:.r.i
mpraegf--eicridmADetauoacnriXdtceiinanuilneulsgmteereeamrime?n,nuai mtcueInrcenileuiudecxeriuslrtaXiled1seeclaistcwh9inmdbsSain,,ggduiar drpeidtfraiaec-ti
lare dati se calculeazi constanta pXtratului corespunz;tor.
Ins5, dacX avem in vedere pitratele magice de ordinul patnr
au fost toate construite in secolul
existX cel pugin 880. Ele Fr6nicle de Bassy din Paris, un
Bernard
al XVII-lea de
mare pasionat de probleme de aritmetici, prieten cu Pierre
Fermai, care tr5ia in Toulouse qi cu care era in corespondenlS.
Cit priveEte pXtratele de ordinul cinci, numXrul lor dep5-
qegte 50 000, ale celor de ordinul qase sint peste 4 000 000,
peste 400 000 000 este numirul pXtratelor magice de ordi-
nul Eapte a stabiiit de altfel o formulS
determinl q.a.m.d. Fermat funciie de ordinul pltratului. care
numXrul lor in
i-ncelrtar tascXesdtecleaczte, zee inieles de ce pitratele magice n.r
au de cei indrlgostiii de jocul cu nume-
pe
rele, fiindci la condiliile obligatorii ca si se forrneze un pX-
trat magic, de un ordir-r mai mare decit trei, se mai pot im-
ainnui5mdit,eitypeXritteraatelted-ecoancdeiSl oiirpdainr.ticDwalar,red,e-gpi rgotipuriaiti.tenaumlua-i
pune ilt
unor '|l
cruri despre pitratele magice, nu mI po_t lEuda c; a$ pute:r
construi efectiv nici micar singurul p5trXlel de ordinul trei t 'l
N-ai vrea mata si mX inigiezi in aceasti tainX ? {l
-- Cu drag, dar mai intii sX-1i spun qi citeva propri:- .{l
t51i generale ale acestor p;trate, de care poate va trebui sI
te foloseqti : daci se itssnoiianirint*en-datgeea:RprI,tin,laoeionsrgerae,iuasacieisnmaezcalniannrclceudeo.cmienXDcadaiga,rrntilrrluadl,icmn.dicunieeeemr.re*uBstl:taae"i.ucr_?dlhii.eoneotrtipo"rdeilapi-eui;,dlriMirap"cglreezroliferncrila;aaa-llrcteeerle..se',"respu;rl;emtaJrafeu#l5rtrem;e;le;Xocla,-r
mX_,r1eg.teUsnaupsXetrmaictgmoraegaicz.X. ,igdiacpXisstereinamziulplergotperiesatautesae
imparte,
fiecare dintre numerele conlinute in pXtrat cu acelagi nu-
m5r. Aceast5 proprietate, de altfel evidenti, aratX de .ce se
prefer5 primeli z2 numere qi nu altele, atunci cind sint con-
secutrve.
106 147
--- Aceastl metod; permite sX se formeze un singur
pltrirt magic de orice ordin impar, dar nu ne di posibiii-
(atea de a fonna oricite p:atrate rragice am vrea, pentru
acela5i numXr n impar, or, dupi cum am vizut, numXrul
lor este foarte mare. Nu mai existi Ei vreo alti metod5,
care**s'i aibi aceastX calitate
Ba da, existi incX ? metodS, bazati. pe proprietatea
o
qie sumare a douX pitrate magice, imaginati de Phiiippe
1 1,1
de ir l{ire, pitratele auxiliare oblinindu-se f5ri multi bitaie
de cap. Iat5, un exemplu : si presupunem ci pitlatul ar avea
ordinr"rl 7, asadar in ei trebuie si apari tabit'ul pXtrat al
*l<:eialonre.'1S9 Id-el numere de la 1 la 49, apzate pe 7 linii si 7 co-
scriem deocamdati pXstrhrd ordinea norrnall a
nurnerelor :
L-___ 1,234567
I 9 10 11
rHIi:. d re Fig. 't9 15 1,6 1.7 18 1,2 1.3 14
22 23 24 25 L9 2C 21
'r, 26 27 2,8
29...
!r;n1;Lan;;"ri4a;,"ir;,ag;ri2;,;.llc0,,-.d--.;.e,rtione.p-asd.ipi;r.,itrt.etlai.e.uv,l"ati;itci'".5l"5urt.Jiei9ic"^I8ibi'as,',"''tuuittra-,]il5r;ftet:*t;,t''X2a"iiA'a1.lr.c,q",ridin"a'7"s9tdira1weasrd("ree,e8"2'acia-5qnsii$ittu.ipa1tpp'ei4Xardrsaiietm"tiettn"lctuutot'talrif"La5pJlluaiei'ntsiurlltnaeuL1ti'3Pcc'5dllee"t2'rTlaJladdt;weuTcl-fupaIel-ilil 'irr locul acestui amplu tablou, De la Hire a scris un
altui, mai simpiu, formit nurnai din prima linie, cireia i-a
gardei.u;ieglatri.timnceit.ioc_d"l,incwie cuqrinde seria numerelor. in pro-
a2:{a9-7): care 0 qi terminind cu
raSia 7, incepind cu
1,234 567
a7t42r 28 35 42
I3 76 22 4C fiir"rrJci el a observat ci -prriinndirunrpierseechoebreiaingtioaadteunnauremaerneule-
din aceste doul
nte ltlor
ele lir I la 49, scrise in tabloul cle sus.
20 B 1t 2 -- Idee ingenioasi, clar inci nu vid cLrm va putea-o
toi()*\1 i
7 15 13 19 Punind fagl-n falI posibilitilile de adunare, ale pe-
27 rechil,::r de numere din ceie doui rinduri. Mai intii ca sX se
oblinl toate numerele de la 1. la 49, gi apoi ca acestea si fie
lg -c) 7 2L 12 C 78 1 6 *-a$ezate in pitratul magic !
4 ) I 11 17 1A la-1) Simplu de spus, dat ltractic cum se rea\izeaz\ aceasta?
J Drept s5-1i spun, oricit rni-ag bate capul nu intreziresc nici
Fig. 5l o cale !
Fig. 5c
109
108
cum- : De aceea nu eqti De la Hire ! Ei a gisit-o 9i iati sX inceapi cu prirnwl nwmdr care se at'ld dupii cel din
Se formeazi un prim pdtrat magic de ordinul 7 trrt- mijlac in rind.ul d,e mai sws (fig. 52). Astfel, nici un num5r
mai cu numerele din prima linie, dacl se bagl cle setln.ui nu se repeta nici pe linie, nici pe coloanl gi nici pe diago-
ca nici o finie sau coloani sX nu cuprindX doui nurnere
la fel. Or, aceasta este posibii in nenurrlrate moduri, daci naiX 9i deci suma lor rlnline aceeaqi, egail cu Lll 7=28.
in prima linie se aEazX cele 7 numere fir5 nici o ordine, 2
"s.t{rrici;t.ralncairnetimcopnlsatrael.nAabcieaeainciiinfieiicleareurmdiXntolianrieileincteeruvrimneearzeX-
Aceeagi regul5 se aplicX qi penrru al cloilea pitrat magic,
3 5 1 2 6 1, 7
numai ci se ia drept prim numXr din rindurile urmltoare
chi,zr nantd,rwl tJin mijloc al triniei de sus. Consra"nra lui este :
,n-1r..1''',-r .7 - l;i (fi3. , f ). 'f inir:rJ seama de pro,or"ietatea cle
6 {, 7 3 1z *di,.rr* a pitratelor magice, se va obline pXtratul rnagic de
3 I 2 6 1, 7 .) o:rrr\i\{'-iIn-;tL)r-zlrJuta,J.\77-,, avtnd drepr consranr5 suina 28+147:=L7S:
^iu care, c.la.r fiind condiiiile irnpusc pitrat,eior
73 q 7 z 6
aur:.l'i:iare, nici ur numlr nu poa"te aoir;,a de douil .ri i'
1 2 6 1, 7 5 \rreilna din linii, coloane sau ciiagonale ftig.
Este cu adevXral- o rnerocli foarre
3 57 26 *- S,.r,;" cici lii-
2 6 t 7 3 E.) 1 frumoasS,
siuclu*se posibilitatea de a ageza or-icum nllmereje din pri-
mui rind, rezultd cX prim.ul p5rrat poa-re a-r'ea 5 040 de foi"**
Fig. 52
difc':ite -- a-:{.it fiind n.uinirun permutijrilor de Z elemenre.
Adunindti-i in roare mrdurile posibile cu fiecar:e clin cele
5 0,i0 de nF.trate de atr doilea fei, se ajunge astfei la milioa-
7 21 a 35 lr2 28 1A 1b I 16 /.1 I*"J 35
neie de pX.trare de ordinul a1 7-|,ea" !
t4 35 4Z 2B 7 27 U 20 39 /o JI 1) 2
I)ar, dup5 ace sr pXrrat destul -le irnpozant, sJ ne in-
I33 .13 6 18 /') /tr roarcem ca si aplicXm merocla lui De la l-{ire gi pitratu.lui rie
2B 7 21 n 35 ta ordirr'.rl trei. irr acesr caz, tabloul cellrr douX Siruri de nu-
0 IL 35 28 7 zat4 st lal 1 38 117 29 mere, est€ :
27 L 2s
1.2 28 v 2t 0 il. 35 L3 30 i3 17 [0 o36
?1 n 35 11 2B 28 3 79 36 /r 1, -t /" 11 Pitratele auxiliare (fig. 55 9i 56) odzr.ti scrise, Ie adun
ca sX glsesc pitratul final 1fig. 5Z). Fie deci :
35 lrz 28 7 21 0 74 J/ lr8 2? 2t. q 75 Ei vezi ? Te-am
zult-at ai lXsat de capul tXu Ei iatS ]a ce re-
Fie. 5,i Fig. 5.t q ajuns ! Nici unutr dintre pXtratele pe care le-ai
scris nu erau magice qi totuEi ai continuat !
r10 I tLl
ri
4{r - Exact. ln cazul acesta ele sint:
l316lol 1234
04812
i;-f;E
lnsX, numereie din cele doul pXrrare auxiliare se reparti-
zeazd d.upd alt criteriu: In primul pXtrar, numerele din prima
linie se agazX a;a sfei lsceaa,filen cXstrleie sirnetrice fagl dJ
Fie. 55 Fie.56 Fig.5: ticaia din mijloc, numerele echiidistante din ver-
pro-
gresia aritmetic5, in cazul nostru 1-4 qi Z-3. Alegerea lo.
rimine ia voia ta. ln cei de-al doilea p5trat, aceeali reguli
v-reidspAeumcntdaetv5i.nazsjuutnrtu,gcd?li.auCrnyimle.*-,aisnmetopdcouinasateEi e!i xepulicinaaianctees,t eram cttrius se aplici Ja numerele din coloarra intii. Apoi, in prirnul pi-
si egec ? I)c.rr trarr in linia a doua se scriu numerele din prima linie in br-
arn c:a fiind de dinea inversl gi celelalte dcul ,iinii sint formate din liniile
permutirile,
men-te, Le-ai respectat, numiri toate do,ar trei ele- de deasupra, scrise aga ca sI fie simetrice fali de linia ori-
conligu- zontali medianl. T-a al doilea pltrat
atunci cind ai ficut in prima servate fali de coloane. aceleagi reguli,
ragie pe care 1i-ai ales-o, numirul 3 a rXmas pe diagonali,
iar in cea de-a doua, numXrul 5 ! Trebuia si ale,gi o alrii or- ob-
dine, de pildX, 2, 3, 1 pentru primul pitrat $i 0, 6, 3 in
cel de-al doilea. m4d"o,a3u-cX,2on;lo1Buaminnpee_i e,r(e1fa1icgJsuui.n6mpt2ri1)sm.X6,ianpfir-liriv.ne3esi.setcAm(ipftiiaglt-vr.m6ao1itiu)cslo9pnliuuf1noie2rmD,s4aiXi,r8eiar,r0rles-:grpr^peirdrcniimslrit*rreuniblielu.p.ll,riurai-,i
- Atunci sX-mi incerc norocul din nou !
m'm*ffi )l" 3 1 t2 0 0 12 to 3 t t3
q t0 11 B
I 2 3 /, t- a a L 96
1 2 3 t, IB 4 /,
F'ig. 58 Fig. 59 Fig. 6c L3 0 l1 12 0 4 IJ l/. 1
Irig. 61
* D", am regXsit pitratul cunoscut, in care liniile sint Yig. 62 F'ig. 6.1
curi,os si vid ctrm se
schimbate-in coloine. Ac.tnl. sint tare special doresc si pot --- Sint foarte rnulgumit ci am gisit pitratul lui l)rirer.
consffuiesc pitratele de ordin par. ln arn impresia c; m-anl intors cu exact 469 de ani in urmi
reface pXtratul magi,c din tabloul lui DLirer.
de -t'eiuDl ed,lta+bHln.ipraer" daIdoicrleg-duelXopideinnturul pXtr:atele de ordin par, qi-! v;d pe acest mare indrXgo_stit de picturl $.1Eir. adfesmocaotteer$ntae-,
curn italcraa, pc,uomi, csatas_dcLsrepamnaai
4, 8,. . 4n. Dupi ln rnlna fl socote$te
vezi, aici intrX qi pitratul pe care 1i-l doreEti. Regula nu odihneascl, ia un culit 5i igi ascute
difeiX de cea de la-pdtratele-impare decit prin citeva modi- penele de giscX ce stau pe masa 1ui. Oare ce reguli va fi
inuebuinlat el ca s-o sooatX la capXt ? Ci a,ceasta a iui De
trcan. tot de ia format din ia Hire avea sX mai aqtepte vreo 136 de ani pinl si se
dou-l AdicX se pornelte tablo,ul cele
qiruri ?
nascl aurcrul ei.
1t2 Lt3
zic,- Ii fi tu m'ulpmit cu cele ce ai realizat, nu te contra- * Tehni,ca nu-i prea complicatX. Trebuie si se folo-
eu nu-s mulpmit, fiindci daqi pitratul seasci cpe-lreop6ri-e6ta:t3ea6nnuummeererelorcaecrehidvisotarnitnet.rianinace.osmt spcoo,lpilis"e
d,ar l-ai g5sit
into,cmai, ai trecut pe lingX el firX sX-l priveEti in ad,inc ! scriu
De pild5, te-ai uitai ia cele doul numere alXturate, de pe pXtratului_ pe doui rinduri aga, ca sX se punX tn eo,i,denii,
cAlipiXs. cnruismdaoi,aer1Le 51i9-airafpi osip1u,s4:, dar dacl le adic5 unele sub a.ltele, perecbi de nwmere' ecbitlistante, .uo.
ultima linie ? Nu. au drept sumX n'r.rmirul 37 :
priveai, o singur5 1 514, anul
cin'd Diirer a executat gravura ! t2 -t 4 5 6 7 I 9 i0 it 12 13 14 l5 16 !7 13
\6 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 ?-4 23 22 21 2; 1()
ma-ta Adevirat, Bi,die, nwmai gwra-i de mine, mi'ai spus
odati cind eram mic, gi v5d cX ai avut dreptate ! Dintre aceste numere se aleg, la intimplare, g perechi
p-dtrEati,, acuma exagerezi gi m, mai bine uitX-te din nou pcoantsrue,.cu$tiivefi,incducciavreresiecfaorarnceealaz5sui nfie,pXpXtrrarlatmulag*li'ucidDer-oirredrin, usii
poate vezi mlcar
la acurn gi altceva intere,sant.
num-eretlronrte, roesbalingtinedsute-liens.u*-;i faptul ci a pus asemenea con'drr;ii punem in corespondeniS primele 16 numere care sint in acel
ri fie distr:ibuite. Dar daci mX pitrat-cu..ceie 15 numere compuse din cele B
uit mai bine, observ cX suma numerelor din colprile opuse de .noi_pitratului ce avem sX-l formim, ca p-aepreocihi destinate
aceeasi : 15 * t - 13 -y 4 :17 gi apoi, aceeasi sX le pre-
este lihii'care sd swmd' se ob- schimbXm.
jine daci di.r c.,-rtr,rl p5tratului duc's lege cisutrele
opuse din liniile gi coloanele unu gi patru, g,i anume ; 3fl{: - IAtunci sX alegem primele pere'chi. Ce fac cu aceste
:2*t5:5 +12:9 48:17 .
numer'e ?
acnonu-dmitirtieNa u-pd-X,iatirneatctimehipldilb5"rtioor.ardrCeion, nucdli iprlieaaptrraeuczelinrnsutrimaocitpsirtpoer,pocprhireiiactar.r:taenrPsac.?eusnsaaoruri psdi.tbr-at ntuutrlm-eleusreiclrDeii,idiureenrelalecu1dunlpuaXm1ea6rlet,eleal*ep,cootinritenrs-loupcnuuniseziEXntgilou.prre.g'diari,c"e9ipieradiemdduienl-
atun'ci ctnd se construiesc pEtratelc magice cw bord,r.rii sau cu
rind (fig. 64).
margine. EIe s?nt astfel consirr-rire incit, lXsind marginea deo-
parti, sau marginile dacl sint mai multe, pXtratul care ri'
mine si fie tot rnagic. Fierre Fermat era Lln mare an-lator de
pXtrate magi'ce. tr-a moartea 1ui s-au gXsit X4 caiete gr multe
llte foi deta;ate, umplute cr-l pXtrate n-ragice qi, dup5 cum
$tii prea bine, el era foarte zgircit cu hirtia, ala cX tli in-
adunatX atolo ! tntr-o scrisoare
chipui citl bogitie se afla
a lui c5tre l\Aersenne se gXseqte trn pltrat ma.gic care are
ordinul 1,2, al5ttri de care obsarvalia : ,,P5tratul acesta nu-i
complet, fiindci nu am timp s5-1 iermin ptnX ce pleaci
curierul. E,l mai cuprinde tncX cinci benzr exlerioare com- Fir.6+
puse in aqa fel incit pitratul de ordinrl 22 care se formeazX
*- A-,-en.r deci:
si fie tot magic." L23+567 8293A313233343536
L234567 8 9iCIl 12 1,3 14 15 16
tul -forminatadaerevXcrt,tead1X.u2g+int0dun-iumcienrcei benzi exterioar:e, pXtra-
Inlocuind, se ob,line p5tratul in care su,ma magici este 24 gi
pe laturX, adicl este de nu 34 ca la pitratul original, fiindcX nn*..11. noi, intro-
ordinul 22. Dar prin ce procedeu se poate alcXtui un atare
-poirtdrianut,l sX zicem unul de ordinul 6^ pornind d' la cel 115
patru, de pildi chiar de la pitratui lui f)iirer ? de
1,14
'qluisterecdeifmerdiedlea cele vechi cu 2C (36--16=-15-15 stc). Ca linia 1 : 23*22+2llLA:76
acest p[trat la cel de ordinul 6, a c)irui con-
str.nta magr('a eSte i( t ., -:iu) .ri - I 11, inseemni c;r pe f iecare linia 6 : t4""Yl5+16+27:72
2 coloana 1 : tr1+12+28124:75
coloana 6: 26*254 9+t3:Zl
diagonali. sI se adauge doul numere ,r ci-
rliinrries, ucionliosani ifiEei 111--74:37. Or:, clupi cunl aru olrservat' -- lVurnXrul pltrateior rnagice astfel construite este $i el
{o;trre mare, cici avenr libera alegere atit a perechilor ce
suma a douYa nwnere ecbiclistante este tocmai 37, ceea ce arat; intri in band5, cit qi a acelorir carc sint ciestinate sir itor:meze
:i perechile de care avem nevoie sint gata formatr". 5i* aleg, parriltul interior. Dar daci ar [i si mai adaug o bandI,
,rriiurn dou5 perechi, care se aEazi in collurile nouh.ri prrtr:al {uir s-ar prc'ceda, la l'el i
18-
c"r si se com'pleteze diagonalele. eFciehi,lddiseta,pnitled5t,rep'ebrueiechsilei -* Desigr"rr. Ill ar fi de ordinul 8, aqadar ar cuprinde
19 9i 17-20. Tot cun.i- E I ...64 numere. Din B perechi consecutive se construie$te
cu numere
nletim liniiie 1 9i 6, precum- 5i coloaneie f- ii 6- Acurn insii
r.,:eb,.rie si linem seama de faptul cX arn intrtldus numerele pririrrii pltrar de. ordinul 4. apoi cu alte 10 perechi conse-
'rJe la col;uri ;i magice coresptrn- cutive se colstruiegte prima margine d-o$ui acumcaerlgei.n1e4.
si calcu lim constantelc perechi
x.itoare liniilor tri col<-,anelor respcclive. At'em, pentrtr care au mai ramas se formeazl a Trebuie
linia 1 ' IrI-15:76 <lo;rl sI observi c5, in acest caz, suma a doui numere perechi
este L +64...65 Ei sX caicuiezi constanteie magice ale celor
linia 6 : 111-J9:72
coloar.ra 1 : III-36==75 trei pltrate consecutive.
Pentru pitratele magice de ordin impar, cred cl me-
coloana 6 : Il1-38==73 tocia- nu poate fi de folos, fiindcl numerele echidi,stante nu
Drrpl cum se observX, 76*72-754-7-},, urmeazi cI qi
acrm trebuie ale,se perechi de numere e'chidistante pentru se nrai pot grupa in perechi.
completarea liniilor;i a coloat-telor. Aceasta se poate face nu ? De pilcl5,
ordi-r-.ulD5e ce dacX-i vorba dc r"rn pltr:at de
astfel : (fig. 65) margir.rc, cele 25 de numere se pot imper'echea
cr.r
'in l'elul u;:mitol
)"tn La_ 21 1n 18 | 214 5 6 7 8 9 r0 11 12 13
2\ 24 23 22 21 2A 1.9 18 17 16 15 14
44 36 3 2 33 26 ln pltratul interior, care-i de ordinr-rl I se folosesc nurne-
reie de la 9 la 17, a1a ci pentru margirre rXmin celelalte
It2 5 30 J-4I )q I perechi !
LaUo 29 6 7 I .are-treIiabtoi rduunriasmeamgeicne€a. pltrat magic de or'dinul trei care
El a devenit astfel intii un pitrat
macic de ordinul 5, apoi de ordinul 7 qi la urmX urr pitrat
{ ,map,ic mirginit de oldinui 9 (fig,.66).136l
{a ri
.44 /, 35 l)ar, in cazul pltratelor magice de ordin impar, o ;rdmi-
1 I ._1
19 1/ t5 t6 .1/ jn ralie deosebiti a fost stirnitl dJ un pXtrat magic de ordintrl
9 compus din 9 p5trate magice de ordinul 3 alfuite unele de
altele, cu alte cuvint€, un pdtrat ma;gic in co?npartimen.te
q.ru un pdtrat hipernugic.
iiig. 65
tx6 117
2 11 72 t3 77 78 79 B1 16 gi:es-ie aOrittsrneervtic_i cciagriactioans3tagni taecleeaCst1a . .. Ce formeazX o p1g-
6 18 27 26 61 62 65 28 4/UC
n 59 30 35 51 53 36 23 75 ugureazX mult operajiile
ce le. avem. de_ fIcut, deoarece se poate Jorma un pAhat. tna-
I 5B 32 3B 45 /r0 50 24 79 gic de ord.inwl 3 c* aceste constante. Constanta acesrui pX-
trat este chiar constanta pitratului de ordinul 9, adicX
I73 57 KJ /a &1 39 33 25
' i-!1 .g : 369. Prin urmare, sub formX resrrinsi, pltratul
2
72 22 /.8 /.2 37 lr4 2/ 6A 10 ciutat este chiar pXtratul magic aI co,nstante'lor. Nu ne r5-
mine decit sX dezvoltXm aceste p5trate ;i, in acest scop,
68 1g tc /,7 31 J1 63 rin,dul scris dedesubtul tabloului (T) poate servi ca mijloc
de translalie dintre numerele pXtratului originar de ordinul
67 5L 55 56 21 2A t7 64 t5 3 gi acelea din care se vor compune fiecare dintre cele 9 p5-
trate rnagice coresBunzXtoare constantelol' 1or. De a,ltfel qi
66 71 70 69 5 4 J pltratul magic al constantelor reprezintX o traducere a pX-
tratului nostru de ordinul 3, unde in lcc de 2 pun C2, tn lo,c
de 7 scriu C7 etc. (tig. 67). Iati deci rezultitu,l (fig. 68) :
BO
Ftg. 66
-- Nostimi idee, m-ar tenta grozav s; o vid materia-
lizati !
Nimic mai simplu : cele 9 9:BI numere se despart
par-cl de la sine in grtrpe de cite 9 numere consecutive ;$e-
zate in progresie aritmetic6, avind aceeaqi ralie:9, din care
se poarc forma cite un pXtrat magic de ordinul trei, fiecare
avind, bineinleles, alti constant5 magicX. Aceste SL de nu-
mere care trebuie distribuite in cele 9 ytl"trate, le putem
scrie astfel :
i1
P5tratui .1 1", r0, t9, 28, 37, 46, 55, 64,73 c1:t1.t !1
Pitrarul 2 2, r1,, 20, 29, 39, 47, 56, 65,74
PXtratul 3 3, 12,2r, 30, 39, 4E, 57, 66, 75 c2:1,14 Fis,. 67 Fig. 68
4, !3, 22, 3r. 40, 49, 58, 67,76
Pdtrarul 4 5, 'J.4, 23, 32, 4tr, 50, 59, 68, 77 c3: r17 M; intreL,, oare s-ar putea form a vn pAtrat biper-
6, 15,24, 33, 42, 5r, 6Q, 69,79 c4:t2D de ordinul 8 ? El ar trebui lucrat din 8'8:64 nu-
Pltrarul J 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61,70,79 Cs:t23
8, 17,26, 35, 44, 53, 62" 7r, g0
PXtratul 5 9, tB, 27, 36, 45, 54, 63,72, gr cs-126
Ct:129
Pd:.ratul 7 r23 456789 c8:r32
Cs:t35
PXtr,atul B
P5tratul 9
mag-ic
118 Lt9
mere, a$a'dar descompus in patru pitrate magice aiXturate. t.riira'ainricneGtezo. l*dL*boa'1cish-i,Bgccalrsrreriasr,ro"drunqqiiila"c, u;c;u;m;;pe-.l'ieeilrtRnear".lrirciiiia"Iu.ir'iud,l rrgnl*a;t;;e';r;;n'',a;It"icCiiar;r;,riiu:l.,r
fiecare de ordinul patru. Or, fiind-vorba de pitrate de or-
din par, se vor folosi cele 32 de perechi echidistanre rspxy-. .'o\i;:rpr'.-:esccltpc:rif):cc$;,r,:,tc:,..irr5'a!!errri'',i'-,e^d:i::"t.'r,l'et'f1ri:r,r,l,lol,]r't,r,rl.'r:rc.,i:iealziisr.r:ag,.nit'r,'i.r.u2:(jrrelcl".sitr'rr1i.,irr<Jrlliirpr"r"u-anmrrrl,rcl'ii?ieri'tcle.iiaJ.de,.5irirl,err'dil1c:ucrierimipoaelc,eSiiacm:e.iaelcalu18zi:,u*claofe.t-i,iee'lci1cexupiioscsi,Srlsn:s(assir^sepa,bsr(adcslneuiusoo,fDuucuilr)ltt,eitigeii|=i:-crt,lttlcanaiis4aXn.'XmureiulLrraao-6alrca,uginbu,it.Eotrrrptprc4crieDe,aanoitmddiaitca.iar,rirel.zsan,ruis-sedoiejr,d*irlntaassrnieilaaesfemDrei\'neil1ceei,,,nuroli.ic.tecc.Jeia,o.rruicerei.m(c.;lui.ii.'-.r.irrr)ii.3alblalt.,Mr.2zclcp.e;t"p.n*,avcidase,u.,Llu"1ia,r,61a"ilir;r(.lr'heeu,rI,q.irdnle,r-.in,.i.ctq,,rid0tt'Lti.irniriercr.,,itzbr"olt-naerc.rra.o,sJ,ie,rbii-*cl.rl.fdprfi-ianrcnr.ctcir:ii.eu.i",,m,..rrae.r7,,.ic,rtaaq..eiic..nl.,t.i;rdJti..iril1.tverr..zarn.n,nt.ttl.Ciauirie.!cacl.pnl'.a;t,trne,ec,i',i,*n,r*l'ersu,in.rc.qil.n]siau,,eips,eaa;;_\m,,a,'irtuitt-,;'',;rg..ciii,tr,"c.e,i.pi"i,l;t,,.a;j,c)eir,l;iip.tia,;.r*r;..irn,*c6;lae)t1inrbc''eoe.a;of-i;ui";reeen1iriiul'*pi;.ri,;"e;i,ri"r".rnl"l-.;;direu-iirre.i'e;"pr.a'Lac'r"t-mt;p,.;cuf;r^*ili.'.olie;,ilesn;ai.;.""iir,.ia."trri"'nu.it,r*"eur,ri,tp).pc,,ad;rr,*c"lp...r.c,io,ffs;t.;r.crru,e,,;dp;ut,ol;,rrt'lcari,j;ifrie,Jgr.,t,;nrs,,rnel-,enl(e.,";o;;,;sncil'or""r1'pcioodtr;acapral1,lp.:..r;i.:,i;orsp"iii"n"i,t;r+,irn'r"."itel,iarr.,i"cr,;',r"aeIeir,,:,r*pr,sirp.'re,-rru,rqYu"bea.ce".fnll'i)r.l,;"ez1i.r;;tl.riri;rlr.r,',..ii"a;.rc,,;.,.aanfri"',r.;'ilra,,.rarr;''"o;:nti",:c,r=ir.str,.rg:c;c;'";r;i,,r,n;.'.luc-;6c.rs;tprr;iri,f:ci,i;l,,-itlb,,,tcnr,rc:\.,{a..rr,,rt:u,,cJ".ls,.de,r,;'.rfeti1is,.li-:riop;,r"r;,a;?oi]de':rLt)"itr:"t;,;ai.sJirarto.irJ.c"nir;X,.:i;craJ;'f,r'.,irilurat.rli.",ie:_:,_,ri;inlirir;.ir't,i::.:ll,t-rc*1e-.;.el;,..:
tizate in 4 serii de cfte B perechi fiecare. Cred ci intr-c, zi
om s5-l incerc qi am sX vin cu el la mata. Acum mi zlhii'r
un alt pitrat, tot de oldinul 8, despre care nu prea grir
mare lucru qi tare al; vrea si-1 cr-rnosc mai indeaproape. ]r"
vorba de Xtitratril construit de Ewler in legituri cu pozitrii-
le calului d.e pe tabla d,e ;ah.
-m- aDi ienaf.ainptet' problema aceasta a fost rezolvati de dorr.l
ori de a fi xtacat; de Euler, numai ci ace:rst';,
r1u s-a aflat decit mult dup5 ce Euier a dat solutia sa. lfu-
\/estea e carn a;a : La invitalia lui Frederic cel A4are, regel,:
Prr:s'rei, l',uler a plrXsit Rusia ca si fie pre5edintele Acad.--
miei de $tiinle din Berlin. in aceasti ,:alitate, desi nu-i fi-
(c}:iartncic5ii o piicere, era obligat si asiste la serblrile de 1*
care aveau loc.
sI ia parte la disculiile gtiinlifice
Curn jocul de Eah era neiip'sit de la aceste reuniuni, iar drrr-
mul pe car€-l urma c,rlul fascinase de mult; vreme pe $a-
hasiqetmi,ecnueartemnaiit,epmraotifcitiaiundddeegoecnaizui,ei-caIuapuroinprims isjlIocstuabl.ill?eats"ciiil
ei, in mod teoretic, drumul pe care trebuie si-l parcurgii"
un cfairl IpeatatrbelcaeddeeEdaoh,ua5sotferil ca el si strlhati toate cimpi-r-
rile prin acelasi ioc. Curtenii c5u*
tau si stabileasci solutiile in mod ernpiric, de pildi, acope-
rind tabla cu 63 de fise qi ridicfnd rreptar numai acele fise.
care se aflau pe pltratrrl ce-l ocupa atun,ci calul. DacX fi-
sele erau numerotate, atLlnci ele eran egezate in aga fel c.r
sX indice poziliile consecutiive ii astfel s)i se deosebeasci c>
soiutrie noui de o alta, mai veche. In 1.759, Euler a publicar
ln Memoriile Academiei dir-r Berlin, rXspunsul aflat la in-
trebarea propusS, intr-un articol intitulat : ,,Solu1ia unei
problerne ingenioase, care nu pare a se su,pune nici unei
analiz.e". AEa cum 1i-am spus, problema tratatX de Eulci
fusese cercetatX li rezoh'ati cu mult inair.rte de era noastrI,.
de pildI, in India. Apoi, prirr secolul al XVI-lea se afli ex-
pusl inr-un manuscris din Europa gi, cn vreo iumXtate de li coloane , i^snIuacn1l'XraEyni nucnar.le.it"rae.-tleopar1. ucclleeffpaiei fc"i eicclelu."ricaoiurcXcue.csitlriaTpg"oirrnria;arlt,e. fiinci
veac in:rinte de Euler a fost publicatX ?ntr-o bro5uri de ca- 'rira.. [37]
senti_
,to"xtc are
valerui Montmort din Parii, dar Er-rler nu a cunoscur
aceste lucriri. in inroducerr:a articolulLri sXu, e1 po\reste$re l{].rr{*c^e1anm'tta..ruciat t_ai'pnrtsi3t fel cii dupl ultima slriturii a ;"1^"i;;j'r;r;i
cunl a ajun,s 1a aceast; problem5 gi aratl cX a discutat-..r, cisulrr 64; urmeaza din noLr sf ritura
t20 1J1
* Adi,cX vrei s; zrci cd acest pXtrat semimagic esre
conlpus_ din alte ,p-atru p;rrate, probabil tot semimagice ?
L7 10 23 6/, L9 2 59 6
5 50 3 mag-ic.X.Deag,alqXiccui fie,care dintre ile are aceeagi consiantX
22 63 1.8 J 60 52 7 58 130. [38] Numai cI e'l
57 L este gi inchis sau cu circiit Inchis. (fig. Z0) nu mai
51
11 L6 61 2/, 1 o..s-urp4riqzig..*E, ra_mai tdaereginndec_aslIlrpclranenmuceaxplistr;acdeesctetti. discugii cu
62 21 12 lr5
I un singur
pXtrat magic de ordinul trei. Ca sI nu te las cu iirima ln-
doitX, am. sX-gi arXt un pitrat qag.i,c d^9 ordinul.Jrei, despre
19 36 )q /.0 13 lr/, 53 3A care nu-1i spun nimic, deocamdati (fig. 7I). Prive;;te-l gi
26 39 20 33 56 29 1L 1.3
35 18 37 2B L1 16 1t 5L
3B 27 J4 17 32 55 L2 1q
Fis. 69
de ia i'ncePut, la. cinsauttauruin(ufiIg.A7li0tu) rciardee ace'sta' lata qi alt spune tu ce crezi despre el ? Dupi cum te-ai putur con-
pitrat de aceeaqt
l-am Putea nl-lml
bi per-.emtmaglc ' vinge, con,stanta lui magici este 111.
-- Mi-ai f5cut, cu adevirat, o surprizS, tsidie ! AcesL
pitrat este format numai din nw??l.ere plime, asa ci ltrl
30 /.7 52 5 2B L3 5t, mai respect; nici regula pe care o consideram acu.l
r'5d cI am obligatorie, aceea ca numerele sI
L8 51 2 1v /, l" 53 5 27 Egrefoqaitrt-e {ie
corrr,ccutive. simplu. Unde l-ai aflat qi cind ?
31 L6 t,y L )q B 55 L2 p.5-2j ln cart€a pe care o prezintl Morris Kline. L36,
El de ordinul trei
spune cX este pXtratul magic for-
mat din numere prime, care are cea mai micd constantd
50 3 J'r-I lr5 56 7 magicd. posibild. $i, ca o curiozitate, adaugX cI un pvatrat
magic format tot cu numere prime, d,ar de ordinui al pa-
JJ b1 1C 20 9 2L 39 58 truiea poate avea numirul I02 drept constanta magicl I
16 19 34 67 L.lJ 57 1n Z4aJ
Nu- Explicabil, dacl numerele ce-l cornpun sint mai rnici.
n?6 12 JJ 38 gr5-
s-a incer,cat un pXtrat magic care sl cuprindi o
madi finitX de numere prime, ins5 luate toate unele dupi
63 t4
18 35 6L 13 6A 37 22 l1 altele ?
- Ba da, dar nu pot fi luate chiar toate, gindeEte-te
F\e. 70 de rc- ?
mir- De ce ?... ln adeylr, nwmZrul 2 este 6i el un nu- -* N-aS fi crezut asra ! Admabargi"aEicic!,u"CtiIr4ift4uI .rtd;ne..",nitcu"mir;e,;.rUi.'e;,.pX;r;i.m,e;"
pritrt, dar cste par pe cind to.r.tc
celelalte s\nt intpare" ssse-I3-.l^firp'5.uddteup6ri.sreeucaa!lizsaXu-lnexp-eictruatet,
.1"a"'. el nu poate piiXct.uapirimt'tasgiinc, -sfgiinmd.caX{.a numerelor. prirtre
care ar form" t,n
ar impiedi'ca" su- ptct.zitaer\a--itei**rcm,eit$lrdcJpteieitmiceiacmt-glea,aiccsisee-iesa?(tfeaisg.ncNf.inrlIiums2a)eo.criduec[3naip6orle.sia]cF:c'penlrarienngnriauni.tnanliui5i"i2l;e
ire le de pe linii si mai fie egale, celelalte numere irtrrd ctrtea care.
roate impare. n2u,mceerle-lme apiri.mmeicc p'i- Mersenne. desprc
,r*,--,t*AgEia. dcaar.,recsu-aexpcuetpllltiaconlil'-srtmrLilrtucluui r:n- frumos in Atit-
sccutive este de ordinul 12. rlos, ia.r al:ii ntagir:as.,, numesc planetu-
Cr=/,51*
It 823 E?? 609 877 797 t9 373 31 23 /
-1
89 83 217 79 6/.1 6g 619 70s 617 53 43
g7 22i 103 rc7 193 557 719 727 647 139 757
22s 653 /"99 197 109 113 563 1,79 173 761 587 157
367 379 383 1/* I 467 "13 / 263 269 167 601 55v
n3s4g 359 35J 6/"7 389 331 317 sn 409 307 1,49
337 5t.7 397 L2X 17 LCI'! 277 /-91 l":j3
191 T72 487 461 251 /t) /"63 /,97 /,39 /.57 I8t3
5A9 199 73 y"I 347 i91 .181 569 577 J/l 163 0?
t)o/ f01 6/.3 235 691 /ut N27 13t 179 617 27? f.:i 1
659 67s 677 683 7"t af7 l'7 7/.3 733 !1
827 ? 7 5 13 769 773 /.19 l/.9 r/Jytrc
l1 7B
Ilis,.77
114
MATEI,{ATICA $I ARHITE,CTURA dup-i Nu zic cX arhitectura nu a inceput ca o meserie, dar
aceea ea a devenit si acwm este o artd, pentru ci arhi-
tectului nu-i este indiferenti impresia pe care o produce
mdmcreeaoaisnjutii'marluienlmuncoiiespa-.seCuppsrerrXaidnrcecueailltiozi6lretz;ciiielicncXuijnuFar{ldeuqercisbredeuaertn{aSruucpemneeunojcmsseuearlisseiuulsesttgeililtne,ued-atialucrXnlSecfisrauicrliei-tt
qi-a pierdut intrebuingarea ? Nu-s de pirerea lui, dar i1i ofer
gi acest argument in favoarea temei ce 1i-arn propus-o.
su.b-iectuMl,;crinisdfeeiiu,
*,t;;;so-isnh.;tsia:o;iauti:ci>r;l.eg;eucriio;itJis:vc:i.r;fhi'al#olarli'anie;l,tl;'hfu;i;it:t:,asiin-;#er;s;sirsl.o;"a;;itrefvt:.iieue.-itiitu"c'';d;sDE."aiiJib;ldip"dc.u;;cia"putt.'idl,su.rie,uine*,:i5ier;";iasr;ee"gi"oi;ei'idefr.Ad;;ngc'ne'eo;;r.cbc;!;v;;iaitua.te.;ati.;ctr1r',an;-"iot"r;.;-d;t,anr.mrDieure,e0.,ic;i$;t;m;s.'tnigh"u,a..;iil';*"reib}aariia.iiche";"eli;.V-nlsttfi"i..ti;e;lt';.i'sifuri;ue'i;at;;;iie',.i6u;mnii;ni;aa1r.;a'lz;rip';,"iier,r;ic"o"r"iirlale'c;'d"a'r".e.l"i"pri.)a';"t:,t''"tiseteptl;en:l;;dt""fu;,sn"ai't*ta'if^i;i;"e;;iJ'ap.,aJi;t'b;#^rT;'"t;;,mJ"''re*s""i''Aintr'tite""itt:ixti;"itpi;t;lrt'n;'';"luub;";nit'r''""f;"r*''t':i;[ht;ii-f"ep'mpilutit'i"iii';tinrIiaf""nit"tit-"t'"ni6""t];l*lr"m't"ntita'teid"io*itg;iri'c""iiift;el{cic{X'-.;;e;h,"rtitiat,ia"Lt",'o;;*tiia,"slsiufppietct-J"1r"'iilt'tn;ce"XXilnlJ"'e^ir"ria-miou'ii'"n"eapue;-ii.ii'a'iiis1'e;iisc"t";.lailis;"iu:ruui.iut,iett{ts-dip;"tdtreiep19t'qud'l,-menspdi+ilscfi"ta'liiteltinTXatii;udiuaiemp."'pac.i:e"cs'a"n"'vb"s1igto-.e"mau"aeip't$oteuJii^e"taosiic-"nvpt:ulllintetAl-lcp-nttst"it",irla'elf'ae'-t'.ildi"aXus'm'dc"fi"rcnirl'a*m"l'f'"fihdilumiitneidnrtie"asPsdn'u1rSjooLmisqlio5tttntlsnimids2reinmeeotesebii1lvruuinadtixu,mtivmXinioiia'spsmnerrlnetppptedl"ceauee.ec'errasznoautrauti'air'iesl'tle'elrXr?t"ipeteii:idiaru.linilliaiect'tcleieaibfe'rdeaum'nni*oai''aadziioinod3uueer"rsdadieti2reutavirXefnpf-notie'''aiIdpiu-idanllaliit(ie'nd7i.se1u'r:a)o$caplcuesrcedoerx:n-igs3asiar*sraouirivna2sueegtcml7''os'ecrpI'anareoe:e3navced'h'1'tuoec'ne1wasda;a:rnab'aairi-liner1mr[a9t.o^-iti1tiitsnrillaia^aat-rtreitlt1ruot-ia--a'' ' BXdie, aducindu-mi argumente ca si accept
qtiu de mai inainte ci in orice proprlreie
de-a matale, surprize nea$teprate imi vor fi oferite din bel-
qsteupnguen!_dApcrmdi,nvaiiadnmldaeiresasttrteuEcoititbsoictioaudrltaai trtiremmcea-arseuivsiitnparfteieo,rreacptaarpuesiruaplraneirdtceerilnev. oCegloinpsX--
strucgia lor este impregnatX de geometrie,- dar cum s-a sta-
bilit aceastl suduri nu vom gti niciodati, fiindci nici papi-
rusul R-hind., nici celelalte citeva fragmente de scrieri maie-
ntatice ce ne-au rlmas de atunci nu pomenesc nimic despre
aceasta, cum nu o fac nici miile de tiblile de lut ale babilo-
nenilor. Aq prefera de aceea si incepem cu arhitectura grea-
ci. Proportriile clSdirilor dovedesc nu numai serioase cunogtinle
matematice, dar gi adinci sentimente estetice. Templele gre-
ceqti au redus imensitatea iirumanl a celor egiptene sau babi-
lonene la proporlia omeneascX qi prin aceaste le-au ficut si
radieze din ele frumuseqea vielii, bucuria de a trXi.
tXl-i l)a, consider cX r.rna dintre cele mai formidabile cali-
a-le artigtilor.greci a fost intuitia lor esteticX. l.Iumai
aga au putut reugi si traducl anwmite sentinente omenelti
in anumite rapoarte nwnzerice dintre sesntente sau. cbiar su-
praf.ege. Am. s5 mi explic : Prin infXligarea lor,^templele gre-
cici mI rezllm numai la acestea tmpart
li ocerdgitni e- ; corintic. Fieca"re d-intsree in trei
doric, ioni.c Ei ace-ote ordine
t
ir au la bazi proporgiile diferite in care s-au execrltat coloanele,
frontonul etc. SI ne tiitXm, de pi1d5, la templ'-rl lui Poseidon
{r
(frg. 73), zeul mXrilor, care se pare ci a fost constrtrit prin
1t', secolul al Vl-lea i.e.n. Tn masivitatea lui se simte ceva din
totu;i sentimentul pe care-i trezegte
*r influenga egipteanX Ei fort5 plini de miregie, de severitate,
o
I este cu totul altul ;
dar gi de via1X, care alungl departe gindul morqii. ln5llimea
t coloanelor este de aproape gase ori diametnrl ior ; ele fac
I
t
Fie. 71
rin,rrnr'rrrecrsrtielaunboarz-ci,o-piaacri cl'escr-lii clir-l pimint, nu atl nici un or- Fis- 74
{orma r:nui colac..pe care
capitelui are se sprr;rni zzscmevuterearugulztc_aenetump-brlu.;.imcndahte.are-titozededmecseeepprlgaoirerrrraltuiedlii-doe,:iaadDcsmaeeel5ecpfiutrrur,lueaonlrpzhrlieoosituer.dirci-,i.trlua."rscdageaii,ng.p,imttr..i.n(.pif.uiipgcs.a.er^spr/dlei5itleee)...laiun.rDl"tarnocenrrrafe.n?grarila_.jt
3\te aleT-atx o lespede patrati 5i pc aceesta spnnpteuilmaanterbtieceail,,idtdsgieponI.mrn.aiiitnnitrdtl-rlaeuc;_riacae.qlil.ci1cbou.uelrcmeircl,titedtadti-erammeacoslandiraueiftcfiiscsiei-nXtsaurdrellituilimirsednaozautudt-ldiiitfaeiddct,eeriirplloi.tarjtric."t,.pitinin.,rg"t,i..ri".iiaia",rd-d.ii"i.n.tui.tall"-'-_uFli.".",l
'',,,,lisul rernolului in rr"nri. F.l inci<lreazii un frt;ritt'ur in a-co- Fmcptimeailanup.ptiore1enbsnisu3io'ieraespscntdaafenaerazflona.cdsirttcemmoterroauci.-lnlrzSeiPeledui_gidriqae.eirg.\ordneD?senevso;berntilgirueleiitl',g.it,slraentece,r4lt.rmoeiitrrseiapcu*mlieur(.pifcrltilogltuiifnr.ilucicl2lieuh.u6drii)fnu,iipcnia.c,tt;.rrIn,staz;seee;itdtiii;qiJen;rrie;l-lriiirn&iieideA."uxtpoe.-eis;;'nn.ie;ral:l-
for- r,29
rrr.i,l: triuirghi isosccl. Serrtimentul este alttrI ciac.i ne uitinr il
ie ternplul *ict,rriei cle pe Acropola Atenei, aparlinind.orcli-
,nuli,i ionic. (fig. 7il Coloanetre ei :rint mai zveltc, mai ele- !
,;rrntc gi clo" o anr,rniti impresie de Vitliciune. l)e ce i iriinilcri
s-a schimbat t'aportul ciintre iniiiimea ;i <iiarnetrul, lor, ei ,
iiind cam 9 h 1, aclici inirltimea trnci coloane este de 8 sau
9 ori dec?t grositnea ei. 1n plus, coloarlele ilu mai risar direct i1
'rtJirsrepnim+ iirnret.lecci islintar.ir,icpce, utt piedesul ; acestir este ftlrmat din
ti
strprapuse, capitelul apare impodobit i,
rl
,".,r doti5 r,cllutc tn formii de spiralS, amintincl cle cochilie ruel-
,,;ului, iar p€ r-Lce jt€tt se sprijin.l acoperilril. $i daci orclinul
i.rnic, mai'bogat qi nrai impodobit dccit cel doric' te irnple-
si..,rieazI p,'iri ,rb,-tnd.t-t1X 5i elega'1i, ordinui corintic tlepX-
,ieqte la strperlativ aceste insuliii prin coloarreie sale 9i rnai
[28
*T+{iHffi
Fig. 76
Ictinus a ficut aceste modificXri insesizabile ca sX evite im-
presia de monotonie gi, tot din aceasti cauzd", geniul lui Fi-
dias a adiugat decoralii sculpturale la
fronton. Desigur ci astfel, la impresia f,rize, metope $i pe
de masivitaie gi so-
brietate, s-a alSturat una de eleganl5 gi armonie, mXrind
Fis,. 75 defeecc-tuitlrCeesrerteodtmicca. in[3ui,9na, enplue.mm2ee0n0at1rncouul,
iiai;';%l;;X."I.Xfti-iltei.;"a"m;a;;iuij;lo"a1cr,.idtdaeevtseccnriiinudtooaatsseut-fpelillniciloiinlneire.eoxcreioznotcrniattavo5let' sint ugo.r jumitate de sfer5. Nu-i a$a ? a fost introdus in arhitecturX
respectl, bolta in form5 de
a$a pefetrl
Arhitectul
131
130
ces.-SeDpa",renc-aiueianvaeantpaitr-uot ei, dar au folosit-o cu mult suc-
mai intii in Orient' de acolo au
luat-o etruscii gi apoil de la etrusci, a fost insuqitX de ro-
mani. vliAAniinilfono,rstadrruehnpitteemc, ti-ujoiorraiczorfonomtaarlaeteni9e' if,iv,caearcrteeicaadlli!eza.arDtiainptlouitrulitrdiaeamrscooulnliudoii,--
9iinacaeclealala;i care au ajun^s egiptenii cu
toni-a
i..i" timp, au e'itat lireutatea
tate tot ala de absolut ca
bloc'rile i,t. .r.,,trn.t., dar, p. |2O-1 Eu cred cX
in*u,,fnr;utm; "ai .n,tr,r.r.1iilor egiptene". l3g, dim atetllie. acestul
pentru soiiditate trebuie s5-i
arc in plin'cintrn, adici arfind' t'ornta de senticetc,.ci qi pentru
.a orin lolorirea ltri r,'mar'ii;i-au.reat urr stlI pr(]prlu $l
o,r,orienqxr'iinpra-rrilri.ir.c;l.utrrxe4csiin-gciirtriimdtepgsucl,,s,rdipaeripgneilfndoei,rrl-a1aaiiqloAirirmlcopilrred.cseinia<tt1'diuernetmvf e,Xncreeualieucacriaee
incircali de sttcces. A..tt. ;rrcuri de- triumf, care e.x-
ll,onra r)r{giiul
Dl:;mi fortei tliumfitoare i au o t'ornt'i' gertntetricd
'orer-i i. oiin; .i. .rrmonie li eieganti, ?n care se ciistinte, pe
ds . prrle strpre[.iia laterali a unei jumdtiri. de eilindru cir-
cular'drept qi, pe de alta, cvooriiunmticeeiesapuarcauledlipilieprertdeicsec, uil-pptuor.t-.
dobite cn'coloane, rie obicei
lr)iz.b.otra.,ie,t,lo'i r5i.tpicitnoarioaazsi.e,acimespteodmoobnetrsmcepntiee.le.lleegcaetelodremaamr'inmtiureltae
dintre capitalele lirilor din Europa. (fig- 77)
cttsrt.oiioo.girral,tuii-ed-a,rceolethlisiiai',.r{TldieDaitelCtctiincnLiotroolroupanpinrmesuittnndrnrneeitaacmr.lltmtlelDudnsdoieismneni'uufbv4pmnrie+aluiidetinaaa^nectnutrtee'e,-altl^erdaaecqerdcboataeiuvlsodreiteaatiedccnsse,eieerirsiien,mtfapiceggdpoeeiaortcnttur'aamtEgaltncriieneutpiattbl.reaepliutctneeei'setntridi:nutn.sirtftuX"emetcrssoieyittoseledte*--'
34 de blocuri de marmuri alb5 pe care sint sculptate cele Fig. 7;
peste 3 ooo de personafe legate de episr)adele victorioase ale
i*";.","t"i. f;ri si mai m"e,rlionez hullimea cailor, elefan- mfcsouinarmtct acadpotinirtiinenc.ltuoinelroiniglaeetne, eoigarnrdroaogitrneiicsecct,euillmpvdiaoepsl-uiravitselem.p. Aaalnttlricudeil.eotaanilej,u"acrloiagdloli"na,tnrece.oi;lleleoa;a,._n;.";e"u;1;i;o,,r;n";,i;-c;,eri_;,
drapelelor. t'arelor de rlzbt'i $.a'm'd' tec de stiluri nu ar fi foit iosibil in arhiteltura greaci, dupX
ril.i., ".$mi etol,rtr,la arhircctura romanilor trebtrie amintit Colos- Surn.nici suprapunere" uo.ri etaj greu qi masiv p!rr. ..t. ii"i
seunz-rl, unul din amfiteatrele cele mai mari din lume' Arena usihdrnneenisltcmeepors.qrlineuori.inll-dnoateadirrm.el,,lrXerr.mnomyItIclu-"amtlliJenetaaimiqmspi(a-lrfaraiiiengsddl.ui.oeipdZirlnir8evge)uei.c;riidlstiteiut-iagnftoreuasacmrteaa.oEraesDi ,ra,at.im;r"ratriJao.lg.tmra5".ma"cfnroa.i5rsieitn-"co",oavCnpa-si;j"iiird;ar"tiefiar"iai"ri;,_,i
2OO m gi.axa mici de t67 m,
este o .lipti ..t axa mare de 133
i". ,.id"l.'de iu'.' impreiur, are forml cilindri''i, ct'rnpus din
patru etaie. t,,ate f,irmate din arcade. E'teiul prim esre ftrr-
132
t,
42A AlO BtB B2
Fis. 79
i' fig. Zr ac8)loee1rcnrecntpralerrcoalescdt.dei.eidspneecrieanf,ozr4_carinmqdrIreieaezB-rre5Iaec.izoeIagdrd,is.eveAaaisl'Bc1aAerriinconCed"bliIol;aEirlnr:cei.e;g";agd;l;e:e-.--i,"dc"iee-IrtCcc;eEdr1ce-rrA,"uu,Cidi;,.,.'rsA;i:iiT;iiB;;r-CAi.
lea -artAa irocmireapntaitea, din a doua jumitate a secolului al XII- eccmxauatrrenae-imt.sitei-tDXmienlislatseerieenmastuaseilccigeiaumrcclcieetueanslattaucr1Xluu.i ai.-lcrdeaiettflcblo".arcnmz;it;air.e.er*zl;eet;r1eslc".ietn-"1rtel"'maJ.r"adrU.ie"inlas?Jo";par;i;r'crbceiua.,d1-c:a"a:-r;erdo;-s_.
fost inlocuiti cu cea gotici, arr; care a
uimit prin catedralele ce se inillau tot mai sus cXtre cer.
pe.io-ratIiva, inceput, denumirea de arti gotici avea un inleles avturv.$ninac;rt,uueC-all l.l,o.sorrrmnstdie.mepspatsliruveciaml.i.-tgiceisepmcrrciaetunlid^cnTieXp.a.lgfgrreui*a1mi.!.aol'ci-sne-'es*eta-sorreleagaraccteeeszravd"eelsptee;n_. i!dnetsp-crqXi__i
cici aceasti art;, care are ca element nou
s-a n;scut in Franla Ei nu are cu gi ori-
ginal ogiva, mineci. Interesant pentru noi este gotii nici in
clin, nici in faptul ci gi
ogiva se reduce tot ia o problemX de geometrie : de la un
semicerc s-a trecut Ia intersecgia a dowd, arce de cerc ! nio.ne.g.Xcr-evl-sleaaltroe,Arccsfaiaot sendtlueecgmhamrinaculgarolturcenuazpeaodvsloeionlrioiitdtrintg"aerothestatiii.iv..pi.l,rli.it'nn,j ctc'i.;nlr"ct;rrii.,.rcluiaeiitil"es-,demoraamAlsea,ol;en,lu1s.ti_i"ia-l"eu
ogiv-e, Da, iat5 Ei o metodi de a construi citeva feluri de
(fig. 79).
care sX aibi baza pe segmentul de dreapti AB
Se imparte, de pild5, segmentul AB in patru pXrji egale
astfel c5,4 A1:BB1- # De o parte gi de alta apunctelor ?^c-uc-e.rlr Curios:ni-a d.pin5llugrtoinptaotdoeccaiudneantfaallptinul cX acest stil a
afar5 a. ft"ii".
A Ei B se fixeazi punctele A2 gi 82, simetrice tatrd, de A Si, toate jirile
respectiv, B, Apoi din A2 ca centru gi cu o razZ. egald cu
A2B se descrie arcul de cetc BC2, iar din 82 ca centru, cu tcltIeau_acglt:eet1aatdl,ultr1aarg,a"l.etr1Ada.gnpeuoognrarlc.rtcutaaeer-u,$sgr-azailaiueddr,-eiegtc,oddtbrpsri.oiuiltrir5nnmiagpi ,urhdoCliteupr.ieloearrlemgar:tinahiignilgtaiaia_iut,eaeOrrrna5htluamli.tzneaidAcasatcsi,eim.nSS"cit*pii.imananus"iih,aa_ni,t,tjeetpoceorg.dlr,ei__",
aceea$i razd, arcvl ACy Se obgine astfel prima ogivX, figura
t34 135
prin perfecliunea tehnici sdi eXcIaI re$iasu-aduatafdiromvaadtSc,aaiundieivgiitd-udain- gcdspI,pnuneu-ereuaisse4rm-"rtblcra".eao.piirr.I-z(rreau',anir.acl'rceetoia.aB_prloen'ae.!slgtrnieepicru"ece,uilgdtasnsrne.tpXveetie.nrd.slocrniueD.arC.iqelvlaaiernlzrog-aah.icsef,amirei"ntipdeiee_iisencinru;;,t-dtc.iuss'uclsirien.ivai;,'emi;uinae,;i);n"rsa..u'tbi"t"eflui.tcz-op';ir.Llioir*snar",,ar.u;;uiru;ddaeg.,i;s.bn,,-ziuei,lprTiLizelridr.";tcJieDi,r*aa';tot"ri;bride;i"'i,*'ez,);pi-1n'ar;-.;sr.,tr,.f'e,,I"sa;E;d"c;lmsr.ii;i,t";a;en::.:..i
inonimatul secolelor Xi
litili artistice apartinind lirilor respective.
Dar in Italia ce s-a intimplat ?
-
Itali-a, Cum ce ? ltenagterea ! Din secolul al XIV-lea, in
atenlia artigtilor gi a oamenilor de qtiinli s-a indrep-
tat, plini de nostalgie, cltre vechile orage romane cu pala-
tele ii monumentele-in ruin5, le-au deEteptat din somnul lor
lung'qi adinc ,si au ciutat si'refacl tradiiia gi si recon-stitule
tehnicile de construclie uitate. La ?nceputul secolului al XV- dgppar.rrfeioeivzrbx1mv-irct_o.eeliiuCtmaDlsJaXrii.eve:pbb,5ihan,aai1itrtrsuoiloipu{'ncicmprcugesiei,lie,tac?ieseu,neso-psirrttn_ue.dtru.ig.urmupljul.c.eXni,cr.trir;r,tlef;ua:"e;i.rl.;n;iiu;.;l;oe;t;;ri;n;ns;e*r;;;ra;r;;e.;u;,;1i."ism;,eo,-t.a;rr;iiil;.eipn.'sl*;e.c;,an;hX"m.i.m'r.V;":i;n.b"Iu,uaI,irnt5.1taiI;paXa"ac:treV;.5iaqsIieitcXI,e
lea, vechea noastri cunostin!;, arhiteitul Ei arti.stul Brunel-
leschi, a ridicat prima construclie in noul stil al Rena;terii,
catedrala din FlLxen1a, numiti gi Campanila (clopotnili), cu
domul cel mai inalt ;i mai iarg de atunci, avind cupola semi-
2.^CX el afectase mai pmiu.il"t.;a;r.hit'e--c'tura, cel nrult
sferici. Acestei;r i-au urmat alte edificii cu bolgi in plincintru man-1i.le(_sarirei raalevstrcrugipl t6u"riiusni un r.al de
in c,rre rerlagte arta greco-r,lman5 impodobit5 cu bogate or- stil patolo:ic. de
struozitare 5i,cle prost gust.
namentalii. in acelagi stil notr s-a construit la Roma, in. se-
colul urmitor, baziiica Sf. Petrtr de cXtre Bramante 9i Michel-
citeva
ang-e-lo. De fapt, abia in prima j.udrenitate a secolului al XVII- mon_
lea ar.r fost tirmi,rate luiririle construire ale bisericii Sf. 4. C5, a luat-.r"gteie dintr_un fel de cle.compunei:e a sti_
Petru de citre renumitul sculptor 5i arhitect Gian Lorenzo Iu]ui clasic al Renarrerii.
Bernini, ultimul ntare at'tist il Renalterii. Atunci,
renovat qi piala din fala bisericii, consideratl a tot el a d-emAsct55:zi, dinrpotrivi, tindem din ce in ce mai murt sr cre-
dintre cele mai geniale solulii urbanistice pe care le fi "una
ni.5r1e.eBpa.orcoicruol resat$eaod-C. OinNdSTeAfiN.Ti;A;'"is;;to-r;i;c-i,}ic"e
cunoaqte
xandrinismul de contrareforma...
istoria arhitect.riii" [28, p. 1"{ll Numele iui este strins legat se reoer; la
de modernizarea Romei.
.",,,".'ill1
si s-e Da, Bernini a ftlst un mare geometru 9i a gtiut cum csr. atasrene4toe.npiuBub. anaerersoorcecau,ecel"i,r.srdr[u4efoi1pana, i^dnpr,r.emd4degoec_d.itSam_uOgnai l.iaecpfaliatre..giodorridgi"i.in,d.e.ae-;.;iiin;ii,$;s;tr;il;;u;;tl,r;i';:c-lrais:it..
qtiinli. ,,Frumuselea tuturor lucru-
foloseascX de aceast;
ril,rr din ltrme c,,ns1i in proporlii". spunea e[. De-pildi, ova-
Irrl oietei Sf. Petltr e\te cotlstruit din doui cercurl secante de
r.eeali' razi, .,stfel ca axa principali si aibi lungimea de
fiei raz,e. $i a1 r'rea si-1i mai ponestet. despre Scala Regia #h,pmcpcq:{r?xua9u^9seu-rpllnteo"uioiIannpn.ar"nt,,csindci,dccuhoooecmrmniqnbuuctciirsmi5lirgno'ctrci.crune.a-uca$asalrncerrer.rdetreguhaaiu,vi,inpctSsiidennrn*a.iIcrs,emtueqedal.na.iaaiali.oni5gmpaubriaas-annt1"iltdixncaeir.eteeuo'.cri.x,mii"lsta;iterlu'picesUrndlorc"in;,.i;..a";*u.ciid.nJiinNoot;cve^;jlvuei"uUv;.te.;rr.aJ,"dbs;'"l."n;ee5;ot;"slaro;bf;rnri.zsed"".pdulei;trrm.ror.-,-vsli"r;;-aae.o',ilci;i"iipb"i;r;air..ll;i-er;lnedb.e"tfiet"lif;se"e"l,;iir";;reb,i.;p;X';sail;i-^Irlairlii.;oJnI;";^iic;"r"-],^ieuiiir;AIJ'.[;:
de la Vatican, construiti dispus de o
tot di el. ,,Bernini a
coloani de secliune descrescind5, folosindu-se de cont'ergenta
pereqilor. Rezultatul : scara pare mult mai lungi decit este
fn realitate; ctrrcl .., urci, incerci un efect de surprizi, dato-
riti imbLrciturii a douX structuri spaliale" [41, p. 1341
aplic-areMa adei cmorualltiildoer cdiet atit, stilul lui plin de far-rtezie in
a plicut atit de mult
oriqine romani
iricit s-a rXspindit in toati Europa sub numele de .sri1 baroc,
136
l ,1"3V
I
tl
il
;::;'ciomipini.rftinol;oi"5f.ta"finiicrcofist1;elteruir;r.ct4tim-taiJ,aXe"0rl,usot*.1jra,e.t;cru."tu,aioiA*lvillecr"neiseidtno."tinr$""aisdoiin.m'tnnftci;diiri,arioon,^e"q,ecUdl;'".i;"otstF#c,ae;"iiputdr'is9lio"".ararilt'"mibi:e-,t;tis't''ie''?"'oie-'ti'Jt'""'t^';ici1'"ur^a'io,mii-c;fa""J,6'p;J;ii':'j"iliiflr1t'l:;o*loo'';i'igli;lci;te"op:i-iilt-;reiosr":"mieaiiA-nXlt"fricmaui,icii"!ltni,naeal*'trasiJsi-osc"iiii,idqil'e1cce;"ecti''oi1"'p^ca^',i1t"coTr:apiiXoaomv"tr,;didot"fifei"s"Plubocut,"ta"ciriruim1t%oimrielsco?ibevnulnoaca,itagr.crortineaooit,;erip1iescuairstiirti"oimnee[;ad"ap:?c"'pep"coecLf,lrroez#[iei,-zvrn4orrlds'aaldle1u1'ta:l'et-lrt::'sa monie de atmosferS, ale cirei ragiuni ar putea fi cu greu
deex.pc-riipmeaEteten"ai.ed1ea41v.ai,rrapht.itecLXc5j7itilonr
.zpaifoloitutsi.a;tl"te;iriin;i,taiei.ld-a.c"la*fatae,Irp,,ro,itmanadctotooiepdteaaadiruseebhtt'aoae"rur:uo*:nalc;'airue;ttov'li"du-o*ttu"cAlteX""l'r;'-m;d";LoeAti'rucV'aiL^c-tt-a"'o1t*ra"t9e-r'1ett1a:a'ta""?iXm:db-ti"Jotri"g*cti*tiai",ti.tliliFe;.tr.-aiu|n*l11.?t1i,nnr'cdtare;l, secolul al XVIII-lea preocuparea 1
era cum si amesrece reguiaritatea
stilurilor antice cu fanteziile rocaille-uiui dar, o dalX cu sfir-
gitul acestui
secol s-a sfirgit gi cu aceste preocupiri galante sau
pi5cgte. In
secolul al XIX-lea, in arhilecturi apare un ma-
terial nou, fierwL, foarte util, dar nu tot atit de frumos ca
piatra gi cirXmida. Aceasta a fXcut pe arhitecqi sX caute mo-
dalitatea de a-l ascunde sub fagade de piatri qi cXr5midi.
in acelagi timp, asist:am la o avalanqi de stiluri imitative :
stilul neo-grec, stilul neo-renascentist q.a.m.d.
,,ma-relelmbaizparlaaclesfeocaoriuteluimaul lXt IeXx-plerae"sia. lui
lt7, Matila Ghylia :
p. 32al
si e-numCehreiarsaaugasqi ideeroas.ebUenausci intoeainteiliasttiliu-arirlefiinfocsatreimspeorsiidbii-l
cau diferitele ciidiri din oragul lui sau din altul in care s-ar
fi aflat. Abia mai tirziu, in ultima decadi a secolului al
XIX-lea, cind fierul s-a impus cw t'wncpie decoratiad,, a apirut
gi un curent nou denumit ,,Arta noui" (Art Nouveau) care
*#-*lli; n*t1lin'li.'i*';"?$,'i ":::il1[,#1 realiza formele decorative din fier sau din combinalii de
fier gi sticli, {olosea asimetria in distribulia maselor de con-
;T#;;:'t' ::'ilffi;,it:"'.i::i: #;il" i"titiun;u;ms;-seici,t;ai^nttn;teeidtia;u.is;.b'^ntsaEit."rniuar-oqcdiitn',et'd',"t;*p#tit"i""*"d;;"e*t-"";f'J;laJc;fliri'regis't.ic"ne"ctaepirteit'c"cu's''erc'eiv'xaIisnsimtici'cadrpoeistceciloepe' llecinme'ecana'tuer--' strucqie, a ferestrelor qi uqilor qi avea ca principiu si nu lini
seami de natura specifici a rnaterialelor sau de problemele
legate dc lunclirrnalitate.
rnm"atesirltoe. rr1ei"n.rntirm.oi cpda'crilel,et"siteli"r]i;'il"e"*rei,-griuntl*a'.ttei^*inapdlee,solc.rn:uer"ar't'Dmunuclttiupalilc' aCreua te- infip-iqaAreEavarerhaitseXctcuitreisi cinceapceXsret rientaevrveaalMdaetitliamCplh:vk,,alndejusprurel
alte
Iui 1900 nu mai avem o simplX decadenli, ci chiar disparilia
i:*::i;tii:','fiT':iii'ff-i fii:";ti;::'*lb'ic;t"vaou;.ervatrilfr;ntuaeo,cltrree;ealiu,lnlea.0;snab.at"s.eam.un.d'r0,bed.u.ltX.t"m,.ir""iotl"p"oJ'm-';'lqiie"oii']:nii'ti"T:t,ie'i"fo""hto.ip^'t"ei;,i";rt,iciti"eulitip^"otu,tlv5::tiuet"::ti'""l"ir9iRte?','"gur"jo":*td,i'ai:ei'tl:1liene-x]'up"mll:isca:faiiirT'lqmi'"e-,-,q,luolitie5l:'jt;^:p:;gs!r*a!r':nlu;
arhitecturii sub aspectul ei de crealie vie ; iar remediul in-
igl:"elol"tmC-:e.oi;mibr;io;c;.rl;i:n'R;yd.e"'.fitu"ntza':i;::fi:i;rg#f"u;iat,ria.ittHasttieaiil'ib,"o1irarln'at"a"Tam'leJeni."n.t^:av-i-le^'ia?rli:s^irn.u."srl.lJt,iar' iuoair.-.e,s',ai-muizr1ianu;nro*lluri-;aisritr''-
cercat cu ,,arta nou5", cu pretentiile ei de ornamentalie or-
ganici sau florali gi cu totala ignorare a dinamicii vielii, pare
chiar mai rea decit rXul ; simboluriie ei suni tot atit de
gXunos ca gi spajiile alegorice ale qcolii oficiale... Omul a
fost, intr-adev5r, zdrobit esteticeqte de prima fazd, a maSi-
nismului Ei impunerea apXsitoare a acestuia in toate mani-
festirile producliei, transporturilor, vielii in comun. Am avut
impresia unui iremediabil divorg intre frumusege gi viala mo-
derni..." Adaug la acestea gi pirerea celebrului arhitect fran-
cez Le Corbussier, citatX tot aici : ,,Arhitectura de astXzi nu
mai gtie de ceea ce a tnsemnat inceputul... Arhitectura nu
are nimic de-a face cu stilurile. Arhiteclii acestor vremuri,
139
138
pierduli in r'inelimeLe sterile ale planurilor lor, a frunziguriior npoliec1.aie3lzel2.a-5rosl-ae3m2adb6ano1terl.r,lriel.e.5.rcegi iascicmoentluotrilaaisf|omi r".utJul .rv-uiilbedrrac-anlirrneda"lr.a.,rl.enlacoarrirloegr,n,p,e;o..ed,1mu"r,firriid).e,-
sculptate, a pilaqtrilor sau coamelor de casX din plurnb, n-au
rmd(tnsr$lpahCeda4eeXangsben[Iu_eGarg1rIueeernne1dp,s1tr-vtgeo.aYigln$mn:ea:oa,hetcln-lXc,etr-iari1ircmlneat'de5olrvrccettgzebitls?"raan^csr-aiotl.iui.rrm:riae:torzn.iiihsaenu-(eagiri:niuu.er;epnmrmc.n)rati,lllssel,ecjlrrandeenneurr;,ulr,"mn.uraLsrt,:roeta,r1_ltiurrdlulPe,eaireel"Cycipeleubnil?delb0)eoroilol'cCestra!guagnrder"lrnLtr.la.8e.aidersor,cqan'oa'i,zaiCaur-mrie,pecaeIcmdrrsXrap,idrlb;cc-seetbsoaa.aoacr'epcaLetaororlcdcamereurslaaursCieiuubeeratdallrirumaperpqurelaaron:irlmu,c,ppormnnatrretipaluiqei,n.an.t_besriliis.errtmiduaIuarnellsu,dvadaierbi:raeusnicaemsrimas.rhd,e,dl,ulieolr9hceiaanm-r,adbpn,secpcueci1scaciwrecdiitcrCr.rtulirdrur.trahsi!rdtoono"raero.pwmela,_ti"mov9"lplerlitinrirnnttn.repu.ursutoau,Iiidr1iale'isea,ne*szroo,r'tntom,lua.ippp[laiadl"oirIect.l;eaaiiir!c.rtadaror,ea.'tenat";p"i2daniitu"Iedsiste.tauldnr.;curgT'a9ielcoiurGrc,tdo'od"raicpipnrief'ra"i;a.cr.e.;,flro1cili,aaad""2lmX,erituirrporui.i..iiei1er.cXh.tsrurt-ia.nf.,ioir.1rXdr.me.adoilb.1r,ciiudiem,,prpp5aosr".;-t""prei.;,,rie7'd;rlear;lrr.i,e,lilrmloiit.rJ'ueeft'ienuilr9rr,...irnf'Igtecaos;"lrrroinm;r;r,jn,l1"re.;l(6iomr!.iuii;'p;i",'imsiuuni;qriiin)igm,..rllu;ji;si.liandg;.l.wt;,f:eir.rie.r;ieu.,ii'ri,Sprm.;i'.,ra;]ft;uqifcinej.cc.o,atpea;il-i,;pt';it-cita'oi'.tt;,zl.teo,l,,r;;.vmgg.rfu;l;-at?;t,itilrl;mi,;.c"ili.*;riniieAi;tLdIulic"ienun..,nr.;rder"oiir.rrsUi;iicumdi,'iitn.itJ..c.sat,esi.in''tdnrrsa.,,mrssf"n,.Ar."'ier5trpitarr.,l.i;iiun.c"aterer"rr_d;a2t;,iU,.f,ensd;i).iacui,rsIr.irl.g,rp;.r,t,1{.r(te,o'ia;.a't*nAiA";rjmi.#i^iiai'n")reru"f;iartCcpsit',.i6-uedDi^x"ieeidnc;i,*,l'trililhaan,iir;rtt'e;;eei;u.t"il,ima-t..,{t.,Orti,r_5ii;i;ir"iiei.dt:i.".lt,t,nipenect;e;"reiR,tX""iamsnri"si._n,*t;lp",r,r"h-,;alirr"Lie,crtf.ii,i;"rr";r;aeunlei,."o,i'.lmir",m"e;*"acr.-,:i,"tr,;"i'rd;u!.rlr;et"*rf""ii;ei.m,"ulr;;...".si.,,i'i;:.i.lu;eit".;,dr,r".rc"if".r,i.).;eiididert"Jit.iq.ra.eie;l-.5;e...tl;iiSr".re;".l.teuR^;";",.uJr,t""irMr;.6.irtr;;ir;r6,fe;;;ih_L',fcea,,;fn.;n'i'(;;t3)r;iry"a-_i;l.,.i..i,;c,_enl"a..;._c0,ii.__'t:e,,i,
ajuns la concepEia volumelor primare. Nimeni nu i-a invS-
1at vreodati afa ceva tn $coala de Arte frumoase... Arhitcclii u1
se tem astizi de geometria suprafe9e1or... Arhitectura, fiind
?,rn Joc savant, corect ;i m5rel al volumelor asamblate sub
lumini, arhitectul are obligalia de a face si trliasci supra-
fegele care irrvelesc aceste volurne, fXrir ca acestea, devenind
ylotarra: z.iitsatroer,iasitrmisintiiri.rac.etivmolpuumruilol r5ipsrei-zg,ieanbtes"o. a1r"bI7i ,sppre.
folosul
325 $i
3361 Dupi
a fost
rcen-ii, cite 5tiu, Ltrta itot4.A nu a rczistat nici doui de-
curentul cu cea mai scurti viagi din arhitecttrri
gi era de agteptat sI fie a5a. Probleme pe care avea sl o
rezolve arhitectura modernI
nLl era de competenla ei. Trebuia
'si se acopere spalii vaste, condilii
in care sI locuiascl, in
bune, mullinti numeroase, folosindu-se ca materiale fiertrl qi
betonul armat. Dupi cum obserr.S Marcei Melicson, arhitec-
tura se indreaptX caitre un fruntos rasional .' ,,Orice organism
€ste cu atit mai frtimr'ts cu cit este mai bine trdaptat scopu-
riior sale. intr-o operi t:n ader-irat frurnoasi, nimic nu este
ISsat la voia ir-rtimplirii, totui este justificat, util, totul se
indreapti spre rezultatul urmXrit. Frumuselea sllprem;, ca-
podoper;r artisticl, strilucita manifestare a geniului, este, in
acelaqi timp, triumful raliunii". 142, p. 7Il
ace-astIiatrtei cecriet cle sugestiv explici
dc la arta nouli la aceast; transfrlrmare,
drta ntodernil, Nlatila
Ghyka : Cind a apirut epoca electricitigii qi a betonului
.armat ,,s-a produs un fenomen paradoxal : tocmai din sec-
'torul constructorilor de uzine, de docuri, de poduri, al sluji-
torilor alrsteri ai industrialismului distrugitor de vise, par sX
sclipeasci acum z-orii ir-rr-ierii pentru arhitectura moart;. ln
Iupta lor cu problemele concrete, in care se cerea si se con-
stiingX spaliul, masele gi presiunile, ...inginerii au vizut iz'
vorind din miinile lor volumele pure 9i deschise, profilurile
armonioase uitate de multX vreme... Ochiul a incercat, pri-
vir-rdu-le, o plScere de mult timp absentX in contemplarea
aonstrucliilor moderne, incit a fost nevoie de o reeducare de
'mai mulgi ani pentru a recunoagte cI era, intr-adevir, vorba
,de o plScere estetic; qi cI seninitatea care se degaja din cu-
care silozuri... era aceeagi ca gi aceea care emana... din bazi-
n40
Egaaurilttiionsnrctuuurellsd:rueeb,sr,gMepiaeaocLdcliiuavclr,oeerehupaaloccnaeiuteensdutreei-izdtausolulettabanltitrduceliun;Eviefooilncloocasafliieermer. iaaOdlmopsaXup.slu'runnpiejiilcgoceerhnreilsauair.-
gure((. ,,Desigur c6" arta este cu totul altceva decit orqani-
izinnarsemi sidnaauacXfuonrsmueuiilnsecriummlpaptroeldmr csaerii-cgfeii.i-reaarlmtiizsaetai, zemdx'pooldpicueirl.aL,reuslaCeuosrcrbeaucsuasniedpiai-ak,na
otne acord4t pentnl un planrst".
rsiXc5s-.eMcEaauiatiednetsviie5craarerft5ucclXufrdtu-eomloPasituaPlguitoiargalx,opr-aaripminociaoPtalcaseutobsn*afoqriromttoiilnincmuemraceari-ti
ar.ti$ti plastici din Grecia, apoi Vitruviu, Leonardo da Vinci,
Diirer. Aficergatpiao,rt9-ui lincce5l mulli al1ii, au socotir ci tiietura de
mai indicat. Tot aceiaEi raport, dar
aur ar
LecrxeepdrCimcoirabvtuaspsrtireienr.bauPlitresoXbnlmeummaiaesreitni,msseldngeulsv-eoiqrtrbeeizsoqiliviaantldt.mi sdoiadtatXrsl.oubro.u,r-lrarrl,ue.,ii
azi ne ajunge.
HAI SA NE JUCAM ! ceacrheiliibnrcue,rcoismcilsailiee,x-parlitmer"nma'r$idi e, itceoctnerierasfrru,mvuasreiaiiitie: ,inIec.sraclraere;,i
badnedurteaanc5ulia,gvreaoi:,ider,i,ecJiznoit6rlvil5vuraldnrejteesr.ultteJeloo"uc. una$lociIrt,eiuaainngneaufms:iniaituede,eolzcimleaaacir'guteiavn.istCat,aeraebj,pritineiitrfeeea,actzitu.Xaa.utit5Foi-ar"dure-l
peda1sis(iecnr.tldelluuimetanaoslcttbpusefeemalinglilinruanditm,tureoeqeerabni\itiurd,adudafioia-enpvsgiitainnnrodoecouogjbsoruci:a;colniclpOiuriaueica?tlicri9i'ee"nip. rdtLoaseari,ne{tjbee,dui'pecdnu.ibssru4ciie;nu5i,dl-;ili.i;l4re.6f,a,iniie..loid,;adaZsi""tn0r",es"l.o"dbiSl;ietii
Sem-inaDrurluaigXi ,IBatiedmiea,ticuitaeceastme cimirtpirucmu uRreactredageii.lam.Batiebnlitoatteiccea,
ca s5-1i propun si ne petrecem dupi atniaza a.ceasta, jucin- hanlg.ul,8i3i da, n.r-ai convins ci arn g"Mrea;riht. i$*"i,inc,a si-1i f1ti-n
du-rre I si ne jucim aduc drepr mirturie ,;i pe .";;
le ai atres, a$
opr-i De acorcl, hai ! l)ar mai inainte de a ne cea urmito:rrea deosebire dintre muncl g'f iajcoIacqli : ,,Mun.X
la jocurile care intreb: Ce am este obiigat sX
vrea si te inseamni ceea ce un om joacX in-
ficut noi de atitea siptlmini, cle cind ne tot intilnim cu
regularitate, oare nu ne-am jucat ? Nu agtept rlspunsul t.ru" seamni ceea ce un orn nu-i obiigar si faci,,. lVlilam aclus
propunerea ta irni arati ci trebuie si-l caut in alti parie, aminte de mcuivnintetelient.ia. cteresrceeaapled_isiicnudliiltee
de aitfel l-arn 5i gisit in cartea pe care o citesc aclm I'lonro ascultam citincl rii
cind_ prin n()asrre, pr,,,i..rnr.
gpvXiaosriiccciiuitsnuemba9uii nminuacllotterudpnaugrnrh,ci,tceii-nudteiandlde_geaXvmitruicnriadionni tigr'setXe cijaorelcduairrift'.pi".l..i."nr"e,r.1dea.
lud,ens a lui Johan Huizinga.
Autortrl ei susline cI cel mai nimerit
epit-et Cunosc cartea. dat omului este honxo lwdens, adicit cpaao.llmimeudizraerclermi,arperegicmutluaardreiciiigs. aiIusaeramrchirinietedgucaltaurrfeoii ssrat;iucfurcllumtlieupstXuetrrleaaete,1mle. i,"n"u"drgr,;i...us,i
care ar trebui
omwL t'are sa jaac'd,, dat fiind, spune el, ci ,,orice actiune
omeneascX se reduce Ia joac5". [4], p. 301. Numai ci eu
nu sint de pirerea lui. atunci ne-am jucat de-a binelea, gi, drept #-1i spun ci"mi
dpzfcliareucorettptu-e.crrarMiiaunt-B-eadzaiiospcidneeiat,tueti'bgricrsuia:uiiznnoOereti,n,riliadcieEbmeugieircrrjieodsaci.c-.da.1sreiiiJen-sogrtceeceiucuaititnla,egrsriiupencururteir-emp-csolrtiueecdldsavarficipe.ar:X,eirldaizlecttEoecapibmirmeoic;pnlai1iuuiica-ripooiadirnrecrris.rsiiacudtaites-utr
activitate cu tendinl5 proprie... Ordinea pe cere o impune clluitlagipitneleapzaadcreceeiems,iiqnn;reco,allclrteXualsnjcu5n,umc, -enauminmcpXauimruaivt eeinmlicbinetueraqvoeiinaeczd5i.e'dInceir"mli.l.ee"nitida5e-
jocul este abscrlutX... in aceasti relalie intimi cu noliunea Recreapii ;i am sl le duc inapoi.
agfAai!ii,nucvumdrumecinnaiuctsnrrauieanrtcaetsiclXfetrienufr-emiercieoelacaearliglteeafia.el.ltSlJCi,voXnecgxruuiltirrdliseeleeemca5p5acio,reearegimaeil-e,uia-rzunaianaifemot"uraseertur.a,etil,na.,rIt.fin.is-i'nt-"iJ"dt".n.c"i-X-"-
de ordine rezidi firi incloialX motivul pentru care, ...jocul oric-it
pare situat, intr-o m;suri atit de mare, inlXuntrul domeniu-
fleogloilsei
matice
lui esteticuiui. Jocul, spuneam, are o inclinare sX fie frumos. una apreciate, mai ales c5- problemele propuse nu-s intot_
dseearuvniaFlpuriezaingua$o, acrue.pDrined-aelt,f,edl,ouinisusgeimcnuivfiicnatwliil op.riogbi,rleam.. i',.oonb__
Factorul estetic este poate identic cu silinla de a crea o
formi ordonati, care intrepXtrunde jocul in toate aspectele
lui. Termenii cu care putem desemna elementele jocului se cccaruerrteveac,:r.pnceeevnvararuipl,eaacrsuaerneacipcicinruaeivv-aa,ilcd-aaersepi_i-lidlnXpf,raiunj5ndiss,acsuu5t_il_l p_pr,uensiaei c.ie.n.uJoafcaiorl_a.
afl5, in rnare parte, in sfera esteticului. Sint teimenii cu
144 It t45
*
I
rile de inteligengi, surprinderea cuiva cu ajurorul unor intre- aritmetic-e, ci empirice. insi, foarte interesanti imi pare le-
b5ri incuietoare, ocupau un loc important in conversajia
greceasc5... De pildd : Ce este la fel pretutindeni gi niclieri ? g5tura dintre numerele prime aie lui Fermat Ei construirea
poligoanelor re.gulate cu raigulastgaib.ciloitmcpXaspuol.l.i.gDouapn5e-lecuremgublaintee
Rispuns : timpul". 143, p.2361. jocurile matematice gi nici gtii, matematicienii greci
nu s--arEfidpreuptuttcsXi grecii iubeau cu 3, 4, 5, 6 qi orice multiplu de doi ale acestor numere de
fie altfel cind au dovedit un cult pentrll laturi se pot consrrui cu rigla gi compasul, dar, oricite stri-
jocurile fizice. Multe dintre jocurile cu numere sau figuri
le-au luat de la egipteni gi probabil cI qi egiptenii le-au moq- pdausinuiel uqni-apuo_lidgaot,nnriemgeunlai tncuuaupnuntuurmc5ornsimtrupiacruderiglalatugrii,cocma -:
tenit de undeva, asta ca sX se adevereasci zicala cd jocurile 7-,9, 1.1 ori 13, timp de 22 de veacuri, pini la Gauss. El a
sint vechi de cind lumea. ln siptiminile trecute a fost vorba
de Bachet de Mlziriac. E,l a publicat la Paris prima carte demonstrat cX aceste poligoane n.r re pot construi cu rigla
vrguii_rl,cloapmtouplairgislooualr,neienglesailcfcuauc3uensxicne5upilm;aetiupi orpilirgrimeoparnaeelzlelinurtiei Fgnueulrammteeartec.ulFnnerumamdaeit--.
in care a adunat Problemele pldcwte fi amwzante care se fac Urmitor-ul este L7 qi Gauss a arl"tit cum se poare construi
cu numere, iar cartea aceasta a avut un succes aEa de rlsu-
nltor incit el insugi a trebuit sX o prelucreze gi si o retipX-
arevaustcgi idiencvinecaicuolriailnXcVuIrIsIu-llevaie,qdiialruig.tiNu ucXEatiusceirteviteddeiliim-aou-
del la toate lucrXrile ce s-au tipXrit ulterior. acest poligon cu rigla gi compasul. Spre sfirgitul secolului al
Aceasti carte l-a incintat pe XIX-lea s-au construit Ei celelalte doui. Ultimul, cel cu
,avea- indeosebi Fermat, care
pasiunea numerelor. 65 537 laturi a cerut LO ani de calcule ;i manuscri:ui ca'e
cuprinde aceasti uriagX munci se gXsegte in Biblioteca Uni-
sveerfs-iitXsIliimmi dijiitninacGchecipilttupiniigtcieminta"d.qe[5cm0au,lclpulul.amItdoitr].,Eci icnhdiaar
pnroies-tcenoeA,plonavuemcsaetrereelfnooera-partmreimgferiu,nmdaoitnauEsmXi neloreeiglooardtapiteXdr.feeDcnetuem,paieldrneXul,emeepurreimclouer- fericit trebuie si
terrrinat lucrul.
$i mai cred cX el a considerat. c7" a ficut un llrcru de ispravl,
ale lui Fermat. fiindci altfel nu ar fi diruit manuscrisul Bibliotecii din
Ferm-- atVDi-raae,ui sX spui de numerele de forma : t4: 2't 1- L ? l9uiil.t.lFinegrmena.t Aqa c5, vorbindu-1i despre numerele prime ale
si dac5 vrei mai multe amXnunte, aflX ci lui am tingt
sX-1i dovedesc ci m-am preg5iit sX cer-
plicut foarte mult aceste numere, fiindc5 ele se cet;-m acest capitol. Pot si-1i mai spun ci Piiaqora a numit
formau pornind numai de la numerele 1 qi 2. DupX ce a
perlecte acele numere care reprezintS" suma divizoriior lor,
calculat cinci de pild5
numere : nz:257 gi n-a 6:t+2+3.
n0:3, tr1 :5, na:S5 537, mers Tleeomreemngaio3ne6azadraStdi,EoucmlidetoindlCdaerteaa
n2:t7, mai IX--a Aceste numere a
le
departe, ci a declarat cX formula stabiliti de el este un izvor a Elementelor.
de numere prime. Un timp destul de tndelungat matemati- forma. Numai ci formtrla modern5 o gXsim expusi
in cartea profesorului Ion Creangd;-lntroclu.iere mai clar
cienii l-au crezut, dar peste vreo trei sferturi de veac, atunci
cind Leonard Euler a avut curiozitatea sX calculeze n5 qi l-a in teoria
nwtiterelor; ,,Condiiia necesari Ei zuficienti ctr rln numXr na-
gXsit, anume 4294967 297 a constarat cI el se divide cu
64t I tural, pat, n, sI fie perfect esre ca n si fie de forma :
in legittrrl cu acest numlr mi-am adus gi eu aminte de n:)t ()t+r-1):2'. p,
unde t este Lln num5r natural, iar p
ceva. Se spune cX Zerah Calburn, unul dintre calculatorii este un numXr prim".
minune, a fost pus sX calculeze acest numXr qi si spunX ud.neten-rummAinXgerapvdraaiml!o, .rciAl,eazqliu;a.icgetds"tpseeimnnutnmrwuenrcteearrseeeleenuippmererefsseiccatnew(2tntrz+ee'br-euLliee)psrieinsttesee
daci-i prim. in .ite,ra clipe a dat rispunsul corecr. lntiebat ale lti Xleisenne, penrru cX el le-a calculat in cartea pJ ."..
cum procedeazi, a rXspuns foarte sincer cI nu qtie cum, g5- a publicat-o la Paris, in t644, cu titlul : Cogitata Pbysico-
segte doar rXspunsul: prin nigte procedee care nu-s deloc
146 147
tllatben'latica. Notind Mt:2t- 1, Mersenne a atdtat. ci pen- tea lui Mersenne, adici a fost calculat, iariqi la o distanli
tu t1257 existi numai 1.2 valori ale lui i care tac Xl .prim, de un secol de cele anterioare qi are 19 cifre. Iatl-l: n31:
.anume: t-=),3,51 7, L3, 17, L9, 31,,61, 89, L07, 127, :2 30f 843 008 139 952128. FXrX si cunoasci acest rezul-
cmfoeusl tl-m,caaanTilucemmulaieanrtte:rceMnuruu:2amp1juicertaoptr3sru5i7lm--1u1i nds$upeiui tnecipacfloXcMrun,elmaurstaoedtrnendemelien,ucdit6treo0sani0gifc2uo,rsictnnisufrt1aeu9b.i7itlAiiI-t. '{at, Euler l-a recalculat in I75a. Cit priveqte ultimele patru
Dar si ne intoarcem ia numerele perfecte. in Antichitate au rnumere din seria previzutX de Mersenne qi ele au fost calcu-
' fost ci-rnoscute ntrmai patru numere perfecte, anume pentrLt : late, anume :, al nowdlea in secolul al XIX-lea, iar celeLalte
trei in secolul nostrll, in I9L7. Dar aceste numere nu le mai
scriem, cici ele intri in categoria numerelor gigante sau cum
le mai numesc unii autori swpranatwrale.
M- arltnin una dintre cirlile pe care azi, scrisi
Mz:3, rl2:6; nI":7, I1,r:281 Mr:31, nu:496 Fi ,de le-am aclus gi tradusX
Gardner, Al.te amuzalnente matentati<'e
^Mz: 728, n,: 8 128. iainnurmomeAcndeqmte,atseemaaftliic.iaonunlotaXminer.ilceagn5tEurd5wcaurdruKmaesrneeler (-g1i8g17lt8e,-
Aceste numere sint aritate in Aritntetica Iui Nicomah 1955) a propus numele de googol pentru numXrul 10too, adici
din Gherasa, scrisX, cum [i-am rnai spus, Ia inceputul vea-
cului al Il-lea e.n. El a observat ci printre numerele de Ia 1 urmat de tOO de zerouri qi cX, in glumX, a bitut o monedi
1 la 10 existi un singur numXr perfect : 6, gi tot aga, 28 {u acest nume. Acest num5r se pare cX intrece num;rui ato-
milo*r
este singurul numdr perfect de doui cifre, 496 singurul nu- din sistemul saodlaaru.g[4c4i1,. cu ajutorul ordinatoarelor, s-au
mir peifect cu trei cifre;i B 128 e singurul numlr perfect cu
Pot si mai
calculat, dup5 1958, incX 11 numere prirne ale lui Mersenne,
patru cif re. trltimul descoperit pentru t:tI 213 are 3 376 de cifre, a$a-
Di-mi r.oie si te corectez ! Nicomah din Gherasa nu ,dar este mai mare decit un googol. Mi intreb de cite pagini
ar fi nevoie ca si se scrie numXrtrl perfect corespunzitor ?
auno$tea notalia zecimali, aEa ci el nu a vorbit de nwntere
.1rJ0e,c-aJopuoRdiecdcifeurnego,isrSuci,lanegaulmmaeavrieodlorebrpicaturdtpeerin! nsueminetrreecLu0prqinis1e00inetrtce. 1 9i $i acum, pinl ce voi preg5ti eu o cafelulX, te rog pe tine
s5-mi propui una dintie problemele cu care aveai de gind
-Tot si ne juc5m in dupi amiaza aceasta.
el a dedus cX, degi numirul ai'estor numere perfecte trebuie una din a lui Gardner:.
sX fie nesfirqit de mare, ele se vor distanla mult intre ele 'Este--DinatitcuXlatdv,re: i,A-ialbtX, aceeali carte, spune ci la o
gi ci toate ar trebui si se termine fie cu 6, fie cu 8 ! negrw $ castaniw. Se
'masi se aflau trei prieteni : profesorul M. Vhite (alb), pro-
o'ppuearte-ulcttdhedAf,eocdmremuoawpnsllstAatcr-auipmpecrneintsrunuurpstn'uewpnEmoetraieeetraeenleilecuxipii'desrladafecacuirttentp,uniinnus-imaarafiarpcruuP5tmeedar.leengcuaitscenisee-9aa-i fesorul L. Black (negru) 9i J. Brown (castaniu). Am pus eu
stabiliti de Euclid. Dar mai bine hai si ciutlm cind qi care "castaniu in loc de cat'eniu cici termenul mi se pare mai po-
trivit cu cele ce vrmeazi.
Nu-i doamna ci numele noastre de
4am-ilie interesant, zise Vhite, iar
sint Black, Brown 9i unul dintre noi are
pirul negru, altul castaniu qi cel5lalt alb ?
numere perfecte au mai fost stabilite. a remarcat persoana cu p;rul negru,
noi nu are culoarea care sI corespundX
pe n- p:U33ite5,5i0n3s3e6c, oalgual daalr,XaVa-lveuat, Regiomontanus I-a gisit nici-unAulddeivnitrraet dar
dreptate bietul Nicomah, nu-
q3 e departe mult de n7, cici el este de ordinul milioanelor. rnelui. Aga-i, exclamX Vhite. Ce culoare are pirul
In secolul urmXtor, Ja. Scheybel, cel care a tradus pe Euclid .rulu-i Black dac5 pXrul doamnei este castaniu ? profeso-
in limba german5, calculat qi urmXtoarele dou5 numere
perfecte : np gi n1e ; ultimul are 12 cifre, adicX este de ordi- Daci presupun ci femeie, pXrul ei nu
nul bilioanelor. Al optulea numir perfect se glseqte in car- poa-te fi castiniu 9i nici nJe.gBruro, wclncieslate observagia ei a rXs-
148 149
pvns persoana cw pAral negrw. Agadar, pirul ei ar trebui si in cartea sa Nwmber Tbeory and its History: In scrierile ma.
tie alb. Atunci rezultZ" ci profesorul Vhite trebuie si aibi.
pirul negru gi rXmine profesorui Biack cu pXrul castaniu.. tematice arabe, numerele prietene apar de mai multe ori. Ele
au,jucat un rol in magie qi asrrologie, in stabilirea horoscoa-
Dar fiindci se spune ci pirul castaniu il are femeia, inseam- pelor, in vrijitorie 9i in fabricarei talismanelor. Ca o ilus-
ni ci nurnele ei este Black, iar J. Brown este birbat Ei are
pXrul alb. E, bine ? trare vom cita din Historical Prolegomenoz a invXlatului
arab Ibn Khaldun (secolul al XIV-lea) :.,,practica artei talis-
ndee-ca-itmc$ebtliiuuintdeciucaa?fetlPeinaler,echacarXtied.sa[i1dg.iisctc,outputi.mE3i r4dael,isoipnr4ae2mn]e.unmDteuarlreelfeiinapdlrtcifeeX-l manelor ne-a ficut sa recunoagtem mrnunatele virtugi ale
ngmerelor
$tAetnniuuemcSXei ,snXcui-mni ldeisleclmidneevpnaewmlc-eaeiretinrpetrriieepbterainetetecsunemi sdXaatosrreetrgdeteebsucluui riscePi istfaiineggoudraroi..i prietene. Ele sint 220 Saiu2v84iz. u..t.Aaucteosrruela Ghaia-ei Si
alli mari confirmate
maeEtri declarX cX ei
de experienqX". in secolul al IX-lea, matematicianul gi astro-
nomul arab, stabilit la Bagdad, Tabit ibn Korra a gisit chiar
o formulX care ardta cum se pot calcula perechile de nu-
oameni ca sX se numeasci prieteni, el i-a rispuns fdrd ez,t- mere prietene, insi el nw a calcwlat, in mod pracric, nici o
tare :
niiie- ,,aga ccarendumcierceilnee2v2aAaSri 284 f' . in stare si dea o defi- altd perecbe decit d.ceeA cwnoscwtd de Pitag-ora. IatI for-
o mula : DacX se pot gisi trei numere p, Q, r, toate prime, de
Nu fi fost asemXna prietenie cu
mai perfectX decit aceea de a
doui numere construite in aqa fel ca unul dintre numere sX forma
(1) p:3.2-l; q:s')"-t; r:9.22n' , unde n esre un numlr
fie egal cu suma divizorilor celuilalt numir, adic5 sI cuprin-
di in el tot ce are celXlalt num;r mai intim. Tradus la oa- natural mai mare decit 1, atunci perechile
(2) A:2.p.q Si B:2.r sintnumereprietene.
meni, ar insemna c; toate gindurile, toate aspiratiile, toate
preocupXrile unuia si-gi giseasc5 loc in sufletul celuilalt, qi In cirgiie de
iceasta de o parte qi de alta, aqa dupi cum divizorii lui rite in Europa, Aritmetici traduse din limba arabi Ei tipi-
22A:22.5.11 prin adunare dau: L +2+4+5+10+11*20-y precum gi
in acelea compuse de matemati-
cienii din Europa apuseani prin secolele XV gi XVI, sint
+22+44+55+ 1.1.0:284 in timp ce divizorii lui 284 :22'7't" mentionate numerele prietene 220 Si 284, ca exemple in
dau prin adunare: legitur5 cu proprietatea divizorilor lor, insX formula lui
I+2+4 +7I+L42 -- 224. Tabit ibn Korra nu este menfionatlt,. Cind Mersenne a tip5-
nnoosu-ciutp;AecirneeacEhstuearodapeafonpsutminseiinreignupra1ri5ep3tee6rn,eecch,ineadnduFemenremumAaet r:ae24dper'2isec3toe'4pnee7rict:uo- tr rit in 1634 o carte a sa cu titlul les prdludes d.e l'harmonie
c:art1e7s2a96st$aibBili:t2q4i.eI1l 5oLn-o1u.85 4p1er6e,chieardepensutemderoei ani, Des-
1l uniaerselle, el vorbegte qi de aceste dou5 numere. Citind car-
prietene : tea, Fermat qi Descartes au aflat despre aceast; pereche de
il$r numere prietene gi doi ani mai tirziu Mersenne prime$te o
{ scrisoare de la Fermat in care ii comunici perechea de nu-
A: 27.1,9t.383 :9 363 584 qi Bd:e2M1er.s7e3n7n2e7in- 9 $7 a56. q mere ce a stabilit-o el.
Aceste perechi au fost publiiate anul L644, j form-ulaDsutpaibicliutimdeseIbvendKe,oprrearepcehenatruluviaFloearrmeaat satisface exact
in cartea sa Cogitata, fdrd si menlioneze cum au fost sta- dtrpX
' lui z:4,
cum numerele iui Descartes corespund aceleiagi formule in
bilite. De aitfel, se pare cX datoritl lui Mersenne au fost cazul n:7 !
descoperite aceste doui perechi noi de numere prietene. adevlrat, ins5 se pare ci nici Fermat qi nici
Cum datoriti lui Mersenne ? Des-cartAesstnau-i
--- au cunoscut aceast; forrnuli Si nici nu au apli-
Iati curn : primele dou5 nur:nere prietene erau cunos- cat-o. IatX cum descrie Fermat, metoda ce a folosit-o.
cute rJe matematicienii arabi, probabil din clrjile greceqti pe ,,Se incepe cu progresia geometricl 2, 4, 8, 1"6 ..., iar
care le traduseserX in limba lor. Iati ce scrie Ovstein Ore dedesubt se pun numerele triple corespunz5toare. Apoi din
150 151
fiecare num5r se scade 1 qi rezuitatele se scriu pe rihdul de Pitagora 1 (540 i.e.n.)
dersupra. in fine, in rindul de jos se scriu numerele obqinute I'er.rnat r t636
din produsui a doui numere consecurive din rindul trei, din Descartes |
Euler 59 1638
care se scirde r-rumXrul 1 : 1
Legendre I r747-V5A
5 11 23 47 ... 2
248 B. N. I. Paganini 18t0
16... 2
P. Seelhoff 1867
L. E. Dickson 1884
6 12 24 48 ... T. E. Mason 11
P. Poulet 65 T9II
7t 287 1 151 ...
1921
I)aci un numir din ultimul rind este prirn, ca de exem- A. Gerardin 5 1929
plu 7!, gi tot aga cleasupra lui, din iindul intii, ca 1. E. B. Escott 233 1929
gi cel precedent cel de 5, atunci aceste 1" B. H. Brown 1934
numere conduc t 1939
lui, ca la Poulet qi
numere prietene. Astfel, dacl se inmulleqte 7I ctt 4 se obline 1939
284, iar 5iairn2m3ul4lit7c2ua=1-1'J.79i2c9u6"4. di 220. La fel 1 151".2a: Gerardin 4
-18 416 Total 390
- Se gtie ce metodi a folosit Descartes ? ca_lc-ulatDe ecsuigaujrutcoirupl emreaqcihniilleor'gdeisitcealcinul.sDeceoaiulltfXelXgi au fosr
aflin-d
I)a, o scrisoare a lui citre Mersenne arati uimirea lui lor intrece cu mult pe num/rrtil
gisit perechea ltri cle numere prietene urrnind ace- fa;i de 66 de perechi al acelora din secolele trecute : J24
ci a r:ite au fost glsite pini ir-r secoiul
eaEi cale ca qi Fermar. Interesant esre ci formula lui Ibn
Korra nu mai furnizeazd" nici o alti pereche de numere prie- nostru ! Frumo:; rezuhat, imi place fclarte mtilt !
tene pentru vreo altX valoare mai mici decit z(20C"
_ l-uEi iGaatrudnncei,r ca sI ne rnai oclihnim, mai spune o tr5snaie
-- $i secoiul al XVIII-lea nu mai aduce nici o noutare ?,
"de-a !
sqioenn-atrleu,Udseietxrevteeurainracaatefeadaeusaas.tiuinlrladainer'eendodeseatiamcipou:renceutncsutirtnruugiiltru.drreei'rt,zricd"utinmiioescniun-t
a p-ublBicaa,t da, una fulminanti ! in 1,747, Leonhard Euler.
turi un
a te de cele articol despre numerele prietene ur"rde, ali-
30 de trei perechi cunoscure pfnl la el, adaugai
ll rll1're pfiltcne, prima fiinii i pvctreeraiacn^gfuicpn5da., etpirIs,ulaaigSncuaorzodlurl"uinz. ropipneaXtaletmrlacparu.rsibinD,uailcntrcei,Infastirlegucalrtricueluuncbei,vauelEuuritia,iscreaf..il-g"'uojiinn.r,dnined"orge.t.tpeniri:eurrndt,uga,rhc,iiiii
i;ere hi ,Je
i
A:2'z.23.5.137 ri B:2,.23.827. iar uitima A :3r.5,.59.17$
I
9i B:3'z.52.17 '19.158. Cum a stabilit el aceste perechi s-a.
aflat abia dupi moarrea sa, dintr-o brogurl rimasi nepublicatX, l. alungit.. I)ar
pini atunci, care dezvXluie incX gi alte perechi pe care le-a cal, dvaacif,rireuen-phleaxnarrgl oansrfreel.g..u?laSt.p'Creumsuraprifzoasftufiicu.izrtui
i ci secliunea
?
culat. Metoda generalS, care permite sX, se gi.seascl numerele "-secliunea ? DacX latura cub.rlui estele 1 cm, care va fi latura
hexagonului ?
prietene, stabiliti de Euler esre clescrisi in mod simpiificar:
de E. B" Esc<rrr in revista ,,Scripta Mathematica", dii 1,946,, -:qase diDn amcuI-ci hvioilerbcau.bd.eu_luuinqiheaxnaug",mrne,'ppiliannmulijtlroeb";u;iie; si taie
ir-rtr-un articol intitulat ,,I)espre numerele prierene". Aici ;.-";;
g;sim trecute, in ordine cronologici, numirui perechilor de nruchii. hHeaxiasgoi nf.urclueimsdeeasefnliuiu5gios{,i,rdeidn.mtriucnugmhieurledrj..fpft*fi?s,.gSi,rlli
Latura
ilunme1_9re43p.riIeatetni ea, caesdtesracbolpoeur,itopreilorcagriea-nl uclodnessidceoipdeeriorisloerbpiiindXe,
interesant : ABC : Iatura hexago'ululi1:12[;i :V].
152 153
t
I
\
I
\
,, \ ---
F
Fie. ti2
rntitulat : ,,Solu1ia unei probleme ce apartine geometriei de
pozi1ie". Euier a ardtat c5, in adevir problema aga cum se
prezenta ea, nu avea. solugie fiindc5 aceasta nu depindea de
lungimea, forma sau distanla podurilor, ci numai de poziSia,
adicl de sitwasia acestor poduri, unul fatri de altul. El a
Fig. 81 Ei a aritat ar pusl si
.analizat problema cum trebui ca poat5
Oar-e Perfect ! Acum, si vedem ce-mi mai propui mata ? fi rezolvatX.
daci tot am vorbit de Euler, ce-ar fi s\ ancdm pro' imi pare ci Euler a satisflcut in felul acest?, una
bcglueenot-a'mrateictNirenic-loaercr5;safaripiuitlneedimpedoiectde,uoRmrreiiraad:rieelaaaplpebeisli,rPiclnraeItguecelaual ?ipei$sto1teldudeleiemmguaultltteedeao.lrtreeiqleedleipslee- ,dint-re
Jar. le vom menliona la vremea lor. IatX povestea care- a dorinleie pe care Leibnrz le-a exprimat intr-o scrisoare
,din 1679 adresati iui Huygens : trebuie inci Ei
creat acest amuzament matematic. Pe la jumitatea secolului ,r alti analizi, una ge(rmetrici, ,,Cred cX ne
sX exprime direct
in stare
situm (pc:>zi1ia), aga cum dup5 aigebrl exprimi magnitwtlinea
(mirimea)". in articolul amintit el il citeaz5 pe Leibniz, tar
lucrare a lui Euler s-a
gia7ie"Xl.isX-oi.sKoVeednrIlX.IuelIa-riopliel.htdeaDoi,iiftndrlodtaroecceuul'ip^ieitnoetrdr.a.ireirvttsoue.tururlas,lPEad5urueel'pugbooierraKidlg.luieiicnnrleieaigdltsirr.ueibuccAeelernuagauiu,mpcadeeezi.,riesai.encKctoabjrlploi"ifnre,uriunerilnxcgiisnarsautsaudliuin-,, cu a-ceaDsat; inceput primul capitol al
Topologiei, ramuri a geometriei care ,ra rtucii" -pgrroepieiiletetiriilne-
sfiegaumrilnoirl.ogc,eopmozeitlireic)el.aceorriicme idnef^opremlaorec.
(topos in
'
"rper:rolrpsi"a.us,-aus$eaasTcamo arati figura (fig. 82). Locuitorii se indir- S-au- $i cind te gindegti eX totul a pornit de la o joacX.
stribat5 cele in au avut gusC si se joace traversind
modalitite ." i5 7 poduri gisit unii oameni care
si se in- ce fel qi chip p. Pregel qi s-au jucat atita pinX
i;;;-"" iir.,rit inchis adic5, pornind dintr-un loc l-au atras pgoi dpuerilEeu4le"r in
joc. Ci articoiul ltri Euler, a
pplfurloa1Xndrcacuueirtzildem"". u.IalCttXuomudnoavmepduoesEti\tEe/ uifnlaeppi tlpuurslocbcliaemasXaf,onscetaj'utsrcaX5d-miugs5E9si einaionsci Xl,i,m"desb-oaa-
toarcX din noosuinagcuor5lo,dadtuXp. iN.eLre"uuqint.d",.uditstpreasctleia cele 7 poduri
numai cite s--a
transfor-
mat in obsesie qi ,-" .".nt ajutorul matematicienilor, care ntr
a"builpigir.iasr.inftote*rtx,^pp^lAircecazalieda.e.tmtaAitesi itlfudeiilnEcXPuelpitrer.orsEbblleumragar(,eLzceoonnlvisnaidgt-eroaradit)nX imposi-
cea-maMi asiiminptliii, a ficut o schiji care si prezinte, in forma
1736 1r
articolull elementele esenliale ale p?oblemei (fig. g3),
1,54 155
toate poduriie numai o singuri datX, astfel ca pornind din-
tr-un punct si te pogi inroarce in acelaqi loc.
cnleln-tar-moDinsetrisnmigguu4rra9ctrpiagnsnudl"tpSuurTit,?emmdei oipnacerehceceiaareedaipsacitruaelgia5ornneooicadisiutorrii,pdfaeirsrXeenadsuei
ordinul patru (fig. 84), adici verifici reorema pe care nu o
cuno$teau.
-discDuatart-pdroebslperme apepnotaagteonfui l
am generalizatX. Am v5zut cind
ionvex cX pentagontrl stelat
se obqinea ducind diagonalele in acest pentlgon (fig. 85).
Fig. 8.1
adici insula *- reclursl la pr-rncttil C ..- Ei podurile' reduse
li ele ia ni,ite linii pe ('are le-a numerotat dupi.poziliile ce
i* : 2, 3, a, 5 ;i 6 erar-r acelea ce legau direct insuia
de "our*an;u,, iar 1;i 7 r.celea care treversau cite un bral al.riului
qi sp'bearriantetliealn.eaDace.euesae;riarucolur:aas6;r,t,rf--epluloi fidXnuclcuaptreeavcleiauarlefststeertdnaejasulnaugceneaea'i
ia care-deci
insuli din
in cele doui
acpueurlebeie.xtNinreucmhrnisiitetl'l,tildein,tLpreetlt5cpoiauntntiLcdltreuullccuituenrld'baeeias,resceai,nutlcnreumtsap.ieeilXmsedaesiptmrueniue, alctarderee-'
cl,trl arce qi distingind nodurile intre ele prin ordinul lor"
Fie. t4 Fig. 85
taivcl,icEi uplreirnancuorrnrsirtualt'a-at rccJelroerledairn-laP'luuni catvuel ad3e interseclie respec- dIaaturV,r.iiirn(f2untrofilae1te)l,updi-uodclieginovdainndeaiiaesgtocfenoalnlnveeioexd,euvrciirufculeurilnoerndlouinrmudlierpvaiimtnrr'-npr.oaAd.guJare_i
noduri de
ordinul
I ;i punctul C' ca un nod de ordinul 5, aEadar patrtr noduri
i-onie. Problema
era si stabileascX in ce condilii o relea
i"chiri poate fi strlbituti printr-o trisituri continuS.
a stabilit, urmltoarele trei teoreme : pare intr-o rrees1peeac,ti.ro.'erd, ifnourlmnaoteduprriilnordfuicinerdea2ndi.agDoencatleploolrigipooat-
O- ricSei atunci lruler
refel inchisi are un numXr pereche de noduri im- nele stelate
1) fj.,desenate_printr-o trisiturX conrinuS. Nu-i acilaqi lucru la
'pnr"aurr.e.".';in2p.)nh.Oits.i.'rdee.lle'"cerr*ifeiarriceomnmopadleiutmripuirmlitnp-tdarre-eoc. itesisdntegouuinriXcnhtoriisdsiui;t.ru3i r)iXmOpcaroricene,-' pd-eitruantd_esasueladuucn trn numir par de laturi, virfurile
prrlieon cu fiind atunci de ordin impar.
dirgonalele
tinui. [+sl Or, a treia ieoremX expiicX imposibilitatea pro- a i.m-preAs1ionnarat ii.mamaginintial$iai de pecetea lui Mahonted, care Ei ea
bogatl a musulmanilor atunci cind
blemei. Mahomed a arXtat ci putea desena ctr virful iataganului, firX
care- Euler le-a aritat locuitorilor din Kiinigsberg qt solwsia piana-dl-trcruidilaiacDtraeeardpu,eal $tcproieumanncpieosleadipstu,t:Xrdi eofdileugaluorserredimniniuniulmutlnrapiiiacidatnrroueu.asl$ceein,ienoastdqirueinrctuiiaiedtueeig1tiofo.imgrrid.ei,Snneifucyi-il.
sX-i mullumeascl,, aceea de a mai construi al o\twlea
pod, prin care doui dintre nodurile impare sX se transforme
in noduri pare. DacX locuitorii de atunci nu au folosit su-
gestia lui liuler, cei din secolul XX au adoptat-o 9i azi peste trei, aga ci se poate descrie tor printr-o trXsIturI conrinuX
riul Preqel trece un al S-lea pod, care permite si se stribati (fig. SZ). Grozav mi mai distra pe mine sX-l desenez, deve-
156 r5v
H aulusneimfDaerenaedoaan.l,,Dimeadraardel ulaepfliXueciul,at-roreh-g,ireceleicctiMsai5nlt-ofiesclodcniunsmtrCuariaerstafciiip-9aui tiouuotiruuucnnidc.eirtl
Tezeu Minotaurul 9i, totodati, inima Ariad".l i d-fl a/Jrr.
gruAgorhidtcmeaumctcaeudtimael mdpppeareloaismmnqfouitisniualieur.lngaipeiblgaeicru.ipisnn^frotoodualmel-suari-5scai,XiuecvnnadiegzeoaluediztsciXntsFoialrooaliveamav,rp.larcr.o!Tilnuye_aeazClzetocrfue,uuplrg:eetm;ld,?A_ld.ariaai?drtrnfarg"-qioa_e_.a
Fig. S6
nise o manie Ei toate caietele mele de notile aveau pe foile S5-l aducem, fiindcX-i slngurul pe care-l avem rroi la
lor labirint sint destul de
a-acceelFadsXetlsrpei ensccieetebti!neurieecErteiacpiovatae,vceunpiriondezai cind vei inlelege indemrna (trg. 89). lnsi modele de
ci in el o frumoasl
teoremi ! Dar, ca si incheiem aceaitX discuiie, i1i mai arit
o figurX (fig. 88) care are tot numai doui noduri impare 9i
Fig. il9
Fig. 87 Fig. 88 cricmniuenuntdol,tteir&Eur,elruclieltliaeecabri,qiarid5ninarcaitr.esupCneluiwmnaiduostirrdeirdiebpnrluueoismaeae.tciptinlorcg"liubdvlliseistaidellm,aXcfeiaitiInonI-rdedrleaxactarrideeaemegtlieiatit^Xpsiieqei-nsaiEiXuridedecalaio.'n"n.csiel.atiqribuir.isie.r-i
deci se poate desena dintr-o singurl trXsXturi. Ea este men- * nu ajung la contur, adic5 sint libere. Considerindu-le ca no-
duri de ordinul unu gi linind seami cX in retrea mai sint gi
lionatX in cartea de RecreaSii a lui W. Rouse Ball. ;+e1 I, alte noduri impare, rezultl ci nici un labirint nu Doare fi oar-
Ai ,c,Xcadsei-aibnicaheniee-mamacfeicaustt;
asta-? spus discuqie ? Cum vine 'I curs, stribltind fiecare cirare numai o singuri dari .a si poli
Eu cred
,,inci7zirea" ! Mi se t
pare cX problema podurilor de pe Pregel l-a ficut pe Euler iegi afard. Dar fiindci el ndoedmuornisitmraspearte"e, oaremavauctXidoeerael.esaX
l; caute ii dezlegaiea prablemei labirintwlai qi daci EL acon- este inchisi daci" nu are
transforme toate nodurile labirintului in noduri oare. faot
siderat c5-i demnl de atcnlie gi aceasti problemi, adic1 noi ce se putea efectua dacX se convenea ca fiecare ciiare'sa fie
o vom trece cu veCerea ? inci de la inceputul erei rloastre'
Pliniu cel BXtrin amintegte de labirintul pe care 9i l-a dorit parcwrsd, daeceds.ot wcdazo,rid, roumdautldpinritnr-wlanbsireinnsr's;iea'paosei ainrnsine5nsccuono-
trar. Ln
158 't,59
retea cu noduri pare si ie$irea din el este asiguratX. in mod de o coroani, desenul sa.u harta cere parru culori pentru a
Ipreirsrarorciuntilctii,e.ts, ecsaeinreidnseicesitaemfipenaciraccrueirrsacarireaga.rreatolestatraslgbi a9i'tiucsitnei ndcsuus-!e.oaD..isualngcgeie:aeltai di.nXo fi colorati. ln a doua (fig. 91) num5rul secroarelor esre pa-
o.rt. ,,r iir"t" ce a lost parcursi o dati, se parcurge numai-
he.it in sens invers, o.olindu-t. orice drum care are pe el
fliio*'Rni-iocrpdeihmic"i-ticur*iaetfaliiiia.rt)S.seEuiiiilIilnIa-e,.AttmrAeulraiub:sg*,iga'ceiaradullteArnuldf"theeilesdriles-,egenbicnci.sutrsu,mir.c-r,cimfu.Iaipeer3toioiaco8vsavrc,qriscneBict:eeiasdrp-p-ar:rs.ucoXmiIunvIfemn,iini-iemcipr-qei"nie.igitdfeu2satlen1.cidta5ddiia,f1n5niicnbrnoeInitduriaildonai-nlfid.taiufuarlflao-aas'lbnctepaeitlorii-esisadnricatiXt-enu,ti
ooriln"i cil celelalte. Cu aceasti poveste ;i-a tncept'-t cursui, Fig. 90 Fig. 91
in 1840, August Ferdinand M6bius, a$teptind ca. studellii lui
si-i risp.tndt ci aceastd impdrpire este imposil;ila! E.i? tru, ceea ce arat; cd. sint necesare nwmai trei cwlori ca harta
l.t.t, se pere tr"r li prins doi iepuri dirrtr-odati'.Pri- si fie colorati in condiliile cerure.
n1u-l, ltrrItlenta cclor patru culort, la care al {lntlt sa alurlgl
e,t problemi care imi place fittarte ntult, a$a ci-s -b_leAmritic9oi lfuolalrutei Cayley a trezit interesul pentru aceast; pro-
o",,.,'1,t. o di.cirtim, dar totodaiX mi-ai adus 9i un iepure curind Alfred
iiro.,, .ii Kempe a- stabilit o demon-
stralie oompleti a teoremei, care pXrea ci a satisficur toate
pi..,'ct,6, scd; cilitteerter scerzeedepaemmpainteXmaatclculmen.rcXcuprvorbeloemzeaceacaelallstmaaal condiliile. Din aceasti cauzi", mulji matemaricieni au reluat
inceout demonstralia lui Kempe, ciutind s5-i dea noi interpretlri.
tmci.iarozr.eniou,\tttrogneiit.rtat-e"unr)unhremamaretraatcic:uioi,cel,Daid'aliaincraif1opi8sma5t t0plra,uinarlsciatualtlriolitnrd'aietrse^Aingcuitiugnsnuuuisf.tfiaclDri.eiepntuceMtauocdtragodauesn-i;
dAeqacasl-caulfiicnutdecmi,oninstra1g8i9a0,luJi. P. Heawood a g5sit o-eroare
sa Teo-
Kempe qi in luciarea
rema despre colorarea hErSii el a corectat eroarea stabilitS,
domenii alSturate si aibX aieeagi culoare", deqi' geografii trigind de data aceasta o concluzie definitivS, anume ci
aolici acest Drocedeu intirnpi- ,pentru colorarea oricirei hirli plane sau sferice sint swfi-
in mod cwrent firi ca si fi ciente cinci cwlori". Desigur ci acest re,zultat nu a mullumit
nlt v.e,rdati'un neajuns ! Problema a fost pusi din-nou' in
1878, de Arthur Cayley, la Societatea matematici din Lon- Ei de atunci numXrul celor ce s-au legat de demonstrarea
dbor.a.a',.roiiealore.is*nt.e.aaimnhupllrdturiglromitrX"it,,ci,inr.taocarpircueebdlifecemalt,opinnsritmraeluatezl isatleuroiir,aermatciaceos:lte,,,a'DDpaeosc-ti teoremei celor- patru culori s-a mirit nespus de mult. Un
fi colorate numai ctl patru culoli, i,r a;a fel ca doul arii argument in favoarea acestei cercet;ri era- qi acela adus de
care se ating si aibX culori diferite". Iar mai departe con- Mpail6bab5niuios-, fcroIinnntiuecr5isneccpioodmaotumeneiimnciips, iartolsiatfoteelhccaearletfiliae-lctearspeaaudrrioun.trsPeupreirnalefatrjs5rX-
tinui aga r ,,lt"t t,rat. cazurile mare, rezulta de aici ci nu-s necesare cinci culori, ci numai
culari sint ;i saficiente. cunoscute gsedspiot aoted,evnetodne-astrcaE- patru ca si se coloreze orice hart;. Cu toare acestea se pare
patra
Dar n-ant.
;ie grnrrol;...". IatX gi dorri desene. fdcute de e[, care dore- c5, problema este intposibil de demonstrat, sub forma gene-
desc- ci sint necesare patru culori. ln primul desen. (fig" 90)' ral5,, pe calea logicX obiqnuiti in matematicS.
suprafaEa este impirlitX tn trei sectoare de cerc incon jurat
160 16r
sX s-e $i totugi, dupi cite qtiu insuEi Heawood a continuat patenr, purtind numirul 2.784834,-se referi la o band5 de
probiemi gi mai departe,
ocupe de aceait5 cXci demon-
stralia lui despre sut'icienla celor cinci cwlori nu dXdea decit caucru.c ru-rnat; peste dou5 ro1i, folositX la transportul sub-
o limit| swperioard a numirului de culori necesare ca si se stanlelor fierbinli sub abrazive. Atunci cind baniei i se di
coloreze o hart5, fXrX sX inchidi problema celor patru culori. familiara jumltate de rdsucire, ea se vzeazi in mod
ltri Ftreau'ood este foarte amuzant;, esal nc
-amPgoXvseist,teian 1949, un nou articol al fiindc5 -ambele fe1e, sau, mai co.eci, pe singura sa fa1X...
eu lui, avind
acelaEi La.pagina 201 gXsesc. un alt odartT ,,Compania Goodrich
titlu ca gi acela scris cu 60 de ani in urmi, Problema r)espre, Mnu6..b,ai.ufso.sLt apriLm6a.icaanruearaiebr1e,9v2e3ta, tLoeeinDsteaiaFloierebsitzaatdo" bpleinbuatnadalr
colorarea hdrgiLor, gi, bineinleles, ci in acegti 60 de ani el
nu a incetat sX publice Ei alte articole despre- acest subiect
indrXgit de el, pe care l-a privit din multe gi diferite puncte plMnrfegrijnb.yltiaruguts,2,o-p3peceanuurrcgreuauasreora.zbp1ur9ean4lzei9ictv,uui"lOllipwncueirnfenoeamrDmfa.itioHIdngaerrerabigfsiaicsanitrdfaoXitbMrpJiii"njsbufniiutr-gsub.ini,.AIdbm. rebef.evqtei,6pet,
de ve-dere. Printre altele, il a calculat cX probabilitatea ca
si se iveascl, la un moment dat, o hart5 imp54itd in 36
de regiuni, care sd nu poatA t'i colorat| ctu pdtru. cwlori,
mai micX decit 1 ' pot sX-1i mai spun este patente f_ieTi-E1i"a-ltfeolset."adEuis, ecelaspcuui,nio1gi tpinialci ede? cititori. S-ar putea
$i1010000. ci am sX mai
in revista ,,Science et Vie", citit
m.7t3 din februarie 1977, ur-
m5toarea notX in legituri cu teorema celor patru culori : mtuier_i!-cBaNaegnsidpaaucseluediaeMcmucuibflitou,lsoesaiirnefaoasdpieXcvtoriianstoeidlsoeurrrapmtriiazIgXaicdeoe aceeagi na-
t,,oTreoinremiuancieelo\9r7p6a"t.ruSci uialotlri a fost dernonstrati de ordina-
in agrono-
detaliile : ,,in 1"972, Volfgang
curiJzitate
Ei nu-i carte de recrea.tie matemaric5 in care sX nu o gXseqti
Haken gi Kenneth Appel au inceput sX cerceteze configyra- ucintaptSa.s.ioDneastigaumr actXor in_ginerul care a brevetat invenlia tiri
t1oiirnldeitn9tai7pt4o'$r.iausIXnfociaramuntaeuta-pruireon.1.pd9r7.oe6gi,r.ap.m*rog#prealnm.truruel dearrracfiiglaaatnapaalqitzirauitncduieulonuriien. era
de amuzamente matematice !
sMcqmriinneeagmdt-uruiorafElraclCiuiiupfli,rtnsizne-sefdotzdeiceul,oetrne5lcgudt.^tdaelXugtsf,eiocipna-iiartanedilrare!feX1oip-j8briIimX5irdnu8lae.e,t.9MaAInim,ccepaisabbrdeoiluetrpfriosmoriin,saeiiresutsXlinleiudm,urlaeeila'tsidSrnuciitlpnaioiprnmtrarrtoeefaep^bcSmla.ederdmiatleno.emrrilpbiiecciagLiwelreoiin,-sorr-i-,.,i
1976, dupd analiza a 10 OOO de configuralii, reduse la t 936
de tipuri elementare, aceste toate tipu,ri au fost reduse la
patt,t culori gi deci teorema a fost demonstrati. il
Au fost
i.."r"r" mai mult de 1 0OO de ore pentru ordinator' adic5 :]
au fost nevoie de mai mult decit trei mii de miiiarde de
l
operalii logice". l 9slseueigpgaartltaiteadgdoiineuaslletuaxcpturedalreofieodrqierescslueaapuot,s,bdIcigaaInrceeuSitdd-eiea',vococsXwrebbleadeoqcdwtoiedqloufireneaS'zcpeiu,latmirnne,a,tudoiiinenft"rg-iino;tdfeJo"rii.Xio"o_-,i
mai- o Desigur cX acea-sta nu-i chiar o dernonstralie, ci nu-
verificare valabilS pentru iO 000 de configuralii, dar
este fantastici ! Numai aicultind aceast; reiatare cred cX-i cvoiinasenrnucgunur_aetxefcaleqrgnagr!r,ic$1iidcpinuremltuinmadjeuean-gcneitrleoaaJgaeiia,e?cehIriaaisrtoadabocaXns-udi pi*urdaetf"ah-i"iirtdci-eu
deaiuns ca si afirmi cX viaia-i frumoasX $i meriti sX o tr5-
iesti ! Oamenii acestia au muncit patru ani aumai de dragul ABCD (fig. 92), o rXsuceqte qi ii, lipeste marginile, adici in
acestei teoreme cAre nu adwcea iici un tolos practic, dar Bc
care i-a innobilat sufletegte pe ei qi pe toli cei care au ur-
rnXrit-o. Afi5, B5die, cX sint fericit, qi fiindc5 mi-ai dat
aceastX mare bucurie am s5-ti citesc ceva foarte nostim, tot
dtiitnorciargtetiau,lusipGrearedxneemr ;pllau,pca5g,inianI91295s7c,iec.:o,m,Cpia1ni idain,t,r8e.
ci- 4D
F.
Fie. 92
Goodrich" a obtrinut un patent pentru banda Mtjbius ? Acsst
163
r62
loc ca punctul. ,4 si coincid5 cu D aSci eBasct;ujuCc,ireiel ,libpeuqntei '4 bius de-a lungul ei nu se objin doui benzi r5sucire, cum
lingi C si B lingi D (fig. 93) 9i de s-ar ar avea forma
cu obline dacX banda ar fi fost ner5sucitX qi
unui cilindru, ci se obline o singuri band5, de doul ori mai
lungi 9i f-unseers5esurceictSun, oasdcuictXi ,dpoeusitefe214e.dIearandi,u-puXn
Miibius ce banda lui
ah marema-
tician de. seam5, Felix Klein a realizat o alti suprafagi cu
o singuri fatX, dar de data aceasta inchisd, adiid, nemai-
4 avind, ca banda ltri Miibius <'t ntargine. Suprafaga care nu
mai are nici o margine s-a oblinut prin lipirea marginilor
unice ale doui suprafele Miibius egale. AceastX suprafagX
Fig. 9 i se numefte torwl wnilateral sau garat'a lwi Klein, fiindci are
adormit copiii, ei pretinde cX a descoperit o noui geometrie, oarecare asem5nare gi cu una gi cu alta dintre aceste doui
geometrDiaa,suBpXradfieeq,'eclorer dcucoi singuri. fali ! fi suprafele (fig. 95).
aga trebuie sX discutat' tn pri-
moreieleincalilpiiea,iepiindiescceosp-earuiridi.eAzmtuentciciitaotamveizn,iittqicXau, i.nrecuandre:svciur,t
dali ,rrei si colorezi trna dintre fele, nu poli folosi decit
ofirXsin"gsuXr-Xl culoare, cXci pensonul trece llestingherit. peste. tot
nu
are decit oo^psreinasgcuXrivmreaor-gminaer,gl,iinea,stffieinl dtecicobnavnidnagiricsiueciati.
lq
are decit o sinfurX fa1i.-De aceea a qi fost numitX banda lwi
Mijbiws. Banda"aceasta e ;i piini de surprize, cici nu asc-ulti
dldineiniainlXtmuriemildieaiaaoniibn, ii'gtcinaauip5itiit(cfdiagor.ueX-9mqbl .esnNpzuuin,aevdcianacdXdcataaciilibalia;mntdXeaiajyl-uroyiitd1Mu.16pe-i
Fig. 95
acee-a Acuma, dragi Nucule, mI duc si fac o cafea qi dupi
vedem noi ce m4! facem.
soc-otelFi opaertcedrbeinver,efaiiundscX51tirelebuaierits.i-Mm-iapiuinnvlXalaptuondcat tnXigtsei
socotesc, acum mi-a venit gi mie rindul si te-nvXg pe mata
sI socoteqti !
Con--sidMUeir;tSi rf-ortgae,cmptiraeagtleaX;6teagictedi-,atecc,iucmai ergutfiiiundfeoausti-tssXaglftaaata,c. simplificXrj :
2.6
anume
o5 6.5
simplificam 6 de Ia numlr5tor gi nr,nitor qi obgineam 2
e drept ?
!,ilr t
5
Fie. 94 t65
t64
- Chiar a$a de copillreEte vrei sI te joci ? frac- pentt1.] x:2, n3 ctc
;- Deloc, eu aplic^exact aceeagi metodi scriu m3
jie 9i la prima P€ntru x:-1,
tai pe 6 de la numirXtor 9i de la numitor Ei n8
ry-\.Procedez la fel ei cu fracliile H:;,".,I:1. A* tru -o.ric$e iailnli. acela5i mod. p_robiep.a
655 indici intrcgi""De piidi se rpoate generaliz-a pr";r_
greqit cumva ? Pot s5-f dau 9i alte exemple, dar mi opresc
:J3 :
aici. Cu asemenea glume s5-1i pXcilegti studenlii tii, dar n-Illilzt"r:y-91-2!\Fya'Utrl,?lll s* lY,r=1:5zl/?yl.s,,'u
mine. Problema se pune a$a : SX caut numerele care
nu -pe
lgjrj lt r' 55
10u*: : De aici tezukd' l|l/l-z, ::r :2lltl=''t
satisfac ecuaria z flsr ete . [{2, p.Tsl
tYxz{ yz:7vyx* xz satLr: g::xt'y*!-; clac:. Iac x:I ^* ': 9)9+.9Y , para-le fFaciien,dscniu-mnei-mcui ncoes-crn.iecuerbi iinne,.nfrel-p*oltuI l Ei gtiu cam cite
ecualie care trebuie rezolvatX in numere intregi t !:t se ex- -vaje_ Cr nimica toatl ! SI vorbim desprc p'taorodto"sJel.irosai.u*piua__
clude qi rimine deci y-6, de unde z:4 sau /:9, de unde
z:5. Am gisit cazurile pe care mi le-ai prezentat. Acum ornamentaie gi, bineinqeles, inainte d.
pot face, pe rind x-2, x:3, n:4. Pentru x)4 nu existi ppfpipcdrn,arurua1s.tr^mrtnicer-,r*-uti.uoli"elassmr.rXrsgeCdBl$ee;ulecairfvnfn.ienclrderieeersdo-euetei,aucraacpnacsdwl_ettsiacgrvqrseshriirrtinparieieeddoatorauwbecbercldliiulsunhadidifenecaiiXzeuiarb-,tvirpJt!eslXada.JXiicdeeaaXasoiipnnnca5arrecS-rriEjareemifuinisicpdptierseeaeTrpldmoeggoatcabeitll"iilciitiuedurceurtome.gd,-oesSger,imi.uirmlm,ireisnii,p-XicnstenaaoeeItpicllrdeieiievratnodoiest,dt-brert-aebouflc,ei;xriaiea.mni.cnjsalo"dtespqXu"tncdoe.d.cmifDiiur;'iadno.racIXerceece"-oheMrJu"cleesiai.nutnairrse;i_a_-"-.ii
rolulii posibile.
- Dar aceste expresii i1i Plac ?
v,?:u7 - ,v? sau l/*: , j/: 'v^+:^tf f;'
V;*:'VI vtptpereaarrc.laelerhet-.ienolpiS,brtlnurprOcaagb1em,tin,f2doerarqerQrnliuemft!i.pennac,9ueilqnifieei,dueisetip-'ircmdaraetneeaaeltstcwttdpmri,ssireaeeiaagdaeiaepiavcaxis6erpvsi,camiarhiipnjtmeeeeifdtrrgiioe1ciei.rocr'ciicisenAeencpviwaaoeaanzr-rmediobdaaaoc.idnnesi leeiaesalinimfpcue;pretmroclXi"peai,.osiFrrqeelAeiooedinmfce.aeh;_itio-:,
simetriei bilaterale, a fost cunoscurX din Anti.hita"i"...e-U."""
- Nostime gi ele. lnseamnl ci se cere rezoivati ecualia punct. sau^ orice figurS. planl sau din spaiirr se zice ci
srmetnca tala de este
+::.V: . m ,1f " adici r4.Lt-In- nn ^m de unde rezulti o axa, respectiv un plan (fig. 96), sau
fald
ry: n
n rz-t
pi daci dlm lui r valorile 2, 3, 4,5 gXsim expresiile de mai
6US :
L6V
0,66
(N/: _-_\^r sau-dinVrsepaauliusIseacccaernatcureezrizceXazdda"cpirsinitnteotrrtilkitautneeai fisuri olane
ti.rsfurm5-
Fis. 96 rilor care suprapun figura.respectiva pesre ea inslgi, priu
aceasta s-a ajuns Ia generalizarea noSiiinii de simetr:ie DiLa-
dir;io;ii"ilr:;"e";--i"iJi;goo""u,r'ei';;;nir;;gr"o;;'fJ;;p;eti"ati;;;itc;l-ii;t["rt;ltin.e"ti,,';ci-*i.td.c;i.oi"lr;et-dh,"g.'r.t3o;i're''a;6c*;"f,;l";0rqie.;,;;i'c,at;iird.l''c,;a.;'l'eeJ;r.e"".ap"tp'"t"".iffttrtta,inii"lgn"tgiiauti"'io"mrit'di."Xttd.iip-"ie.l';sleii(qd';lcnAd"m.r'o.ite'i)ub"i'nat"ilissiplli:"e"ai".c)dT.tt.l5'lite's,tlsIa"rudM"IaalIltpti-u-uo'nurelae1nip.tpcencal'eaaxenvgnndarizi'ceii-cenparsutit''taPapirneneueet'ng.u''rtdifirt-paelee!osirc.afsarn'entlecet-er'e-"iia-i-'i teraLd. pe care ai menlionat-o la inceput,
c"*i;Al;,I;esltz"7ir;aii;.r"a;i"eoieiin;e";r.5.t;.J";;;s"ia,r;-n.".ion;";'dc;iit"-,?,ftn;-ru.''t,;a"i..iji".g.";in.ma",'-,.;"."s';;"u,;,'"to;i;;"';e?a,';r*r,S;a;'id"n;"-ters;ui";"o;oier"]"lc.tig;n.e;c;^"f"'p,."irpioXt'lr"rte"ld'.ifra;e;'ar.'nili-,;t:g.;dm.,"t,nca;i.;;fi.tu"i.ofpninu;\-irrd;i"iii;riztrum;x".irrlni.i;ii.-ni'..t;gir;lfn,g,itl'ap.iit.rr^i,in'uee.rd.;odir,iei;ruioicnri';-emrgdfidm;t"-sgle;,*ob5iuaertaiii.i,h;e,rtmiilte;ci*'iie,m'ti'Tv.pinreauna"e'fi"*'eu"eoc"grti;t;pti'iirneial-.a"rdninlur:tic$It-*tttae"ipfgor'detiicl;feitesg"ceisnrlidoctitnorrafiead-ni"ttpiiigficue"rgslzirnutegegto"cet'du(fu-tinsopi.tuc'or'ai,ut"reld;ela"llncri.c.lln'iatlapitsile";mtelntliti')dn.reepra.ntl-1t'"lra$l'iougc'"seiXrpcster'miolOirecdxuelu'iuednto.na"ceiedn'nectn]grterzdrnrtparceseorutls:itbttettfctginleetlaeoit-ao*eresico"scerln!crrediose.pmeaiilca'1dottm^niierhetrpcnaei.ecrl:eoasieeotrlprt:roerd)filceltsaireid^r,erttue-ati^is-epiceabgdTnssdtntnceumaliltrtnpomgc:a,9i.-lltltcee:aleritortnqt'reatiagor"eolr'lllpi4:l.tlertisp.mTd,ur:ni:nlromiltilu-:rutsneaaenr'-l::n-la---:'i-l't exprimi pnn totaLitatea vnor anumite fiindcX simetria se
numai printr-o simplS reflectare. transformiri gi nu
suei). Ia8].
.. d.eD.s?in,teqtiriteotaalittiagteuariiarceessptoercttioraen. sZfoicremm5rciXrcbprefzigioutdr"i gra-
168
d,w.l iste
asintetricd dacl transformirile se reduc la tranlforntarea
id,enticd. Dar nu-i numai atit, mullimea acestor transforr.n5ri
nu-i arbitrari, ci formeaz\ un gtvp, grupnl de sitnetrie el
t'igwrii considerate.
AAffr:e:oceAEs,rrstm(r-epA-/ml1t)lXirC:,nnir4riAcdAC)i,,h_:e:t(inauEsAoeoddn.ttiBoaccctfrdtr.i)iaN€ac2hadlntACia)rrasem,ic,fdtordpasieaorrr,IuenmiofxclsCsiairlsapooAirtuE..enpcn..9ne.ee:ii"anrmf3{a.a1rve-e)"i)efirrlaimielfproidpseriiradoeeictzpeddXi,daa,rinesr1insetetu-icoistcin1ancfidtcotireategoareEasmir,niutm,ifsXdpilena.fue,rlocsilldllcraetti"mmrafsi.zeeocciielnrocriAitnidc,dmao4sItee,AEuivcilitwrAi-litriri1madataiErternc.eert:nosre:a----,:
gitat-ea se numette orclinwl grwpwlwi, in cazul nostru al grwpw-
lwi
d*.e simetrie.
rXmilre decit sX cercer;m gradele cle simetrie
Nu ne icnecle-pcinadreiumcieletemnteaai zsdim" pmlea,t
ale diferitelor form.e poligonale,
adicX triunghiurile. Desigur cX
mult. este triungtriul echilateral gi cie aceea am sX incep cu
A3ietnr6ilOse0u(,,f'gi.gBirine.pOz9jru.ui57lntr)iXu.CtiDrccOcu5einlnt:ririentiruadfulnpeliugoncihiirlOilplurimirl.in-eAilcEethraeoildluaigatirlre,io,nrcattdaraliirurleisiine(g(sORshinu)i)u-tpdlrdEaeeiup'1cauph,*n2iieleAaintd"epd,e2relal4sislmt0iema"ilreeeSe-li
$ase simetrii, care se pot nota in felul urmXtor :
Oaa, l Onn,, Occ,i R,ro. i ,Rrrn"l fi Rruo" := g.
DgpX,cllm se. constatX, transt'ormarea identicd, se obline
atit din dou5 oglindiri succesive fagd, de aceeagi axX, din.ro-
tajia de 360", din trei rotalii succesive de acelagi unghi gi,
de asr:meni, din douX roratii inverse una alteia.
159
AAr il#ffi
t{ce, considerind .,:-;1ry3Jl-''luu oro,,roare. rnsd,aceasri
l.itH;i r{i; trlil:T ti .11""
A \' A '::;i':i::!.un,"nim; 'i..i "u,o.,rui, ca,e con-
C ;{'.:",".ft ji
3,1:#tr :i
Ftg. 97 Fig. 98 u"*'J"',"*ni*i#:H,:i;,!:X;!;ii,':";I;;inccaturmrieeanaitararecdeaoI.turiti,udinu1ie,n., ght-rhie;i.urlt-".,t,iu'r,,ri;nt.yf;_:d:,;',-_^];f^.1ti,!,.;^""^,,7.r[re!l1, a#a1n,au,,dm,eeI,a?lxerag#a.v1tSer"rdi:_el
In triwnghiul isoscel (fig. eS) nu eristi decit o singuri
axi de simetrie (BI), avem deci o simetrie biiateralS. Cel*-
lalte doui forrne de tr:iunghir-rri sittt. asimetrice.
aces-torCtrrieudngchXiuarri, fi cazul si. discutim Ei latura estetic5 a fil,f il'il'ff #;t,!tdzettmcte*Uprieosaupas,atnmnrselreiidnti.oiuata,el.attbcsdl$rarcdueiprlieeuleeilnaz;eeneqnpXa;t,aa.urgi,rrluaniShcdpdilminnaieelie.it:nut;,,caeicL,pccslti,riiaao'or'eo,fnrarrsiozrureeuDcialXirz'nl_erar1isio\aali.ri"-nne,.ucs.attrtfue.aiicercm,",m.lgail;,iea.;";,!..lihi*tUoxs-;t.rr"obiaiifc,*f";si:u;;;?i;;cdtnOf.i.fe:luJt.it;'irli.r;i.;1i'io;ru"rii,ii,ibi7i.n-a*,iau;ii"r.igti.r-.i^lt.r,r;iZ;"".;u'-i'in.u.n*r.cnu).pl.ouuitu;n,rea.-.Tsacare.sai1r;ldrrie,c.rnmTete^.iaoctrre"eiiarot;l^ltib,l:prtii;,ariroaiifimt,:zla.prp)o:darp;ri;e*erior.rr!cerauI.lcoul,sXpulrrlJrieii,a€.ni-.
orienta dupi gradul
fiindc5 dac5 ne-am
lor de simetrie, ar trebui si admitern cI triunghiul echiiate-
ral este cei mai frumos dupi care ir ;urma cel isoscel ce-
lelalte douX nu mai prezinti nici rtn interes, estetic vor-
bind. lucrurile nu stau chiar a5a. Uite, tn
pildi, este citatX pirerea lui Platon,
lui -BirkChroefdf, cX cartea
de expri-
mmsmideaaaeitzrmldc.iunuiltnTcuetinmrliutmerniwwag:nihg,fi,rhDeuicmindhtorirelaseTtteettuosrantaelgt"eb.aiccAfo,egrlfaamldreiianlren, cildcuaeirieutPrndiluaugntbrogalnuhdiliudilreuip,ils5cifmcooenera---
trie, dar care are in schimb proprietatea de a fi jumitatea
unui triunghi echilateral. E vorba agadar de triunghiul drept-
C
unghic cu un unghi de 60' qi o catetl egalS iu jumitatea
ipotenuzei. E drept cX autorul explici aceast; preferinli
astfel : judecXm triunghi dupi capa-
,,Daci frumuselea trnui
citatea a forma alte figuri geome-
lui de prin combinare
trice interesante, atunci nu existX un altul comparabil cu
triunghiul favorit al lui Platon. Cici cu el se poatB forma
triunghiul echilateral, dreptunghiul, paralelogramul, rombul, ,
qi hexagonul regulat, dintre poiigoane (fig. 99), procum ci
trei
mai din cele-cinci poliedre regulate" foI1lo9s,epa.s2c2l1f.orTmoet_leBilai<iihmocff- Fig. 1oo
arati ci japonezii preferl si
t70 17,7
dreptunghiul qi trapezui isoscel, toate avind o axi verticalX if*:i.r;#j'"j:f;;#;i'";":"ffi;i:.tmlcsIatrnzoraaciatiraretzeraeeal,o,rgmleedeerctassrr3aluesltrreceeigertaatoriricsotdatenrXatepcumgalhirpeepuddiidte.a.oroliii.tn6tusr.Xiso"uriima,rj"u"dlreadrri,t'tvutoiuranei.l.nirrrgiic,s*,n",d,e_ii;tocnai.bp-uittraeor,i;muJzal"";dilluuiio.dlior."i,oOrrnoi..z..i",liotnii-*idlni.r1.o-e."l',1,r.i.1.'lig."ltg"'iuo,"0t1oo,.^".sil,.pTD.;iuoneccligsiau'gpHriaaonrcen'r"t:aela"parrlsXaeri"zuutjer!p;rcu:?iir..;:au_.
de simetrie. ln plus pdtratwl are o simetrie de gradnl opt,
aciFnneHunfm,itnreuaell,utdeipoaOdutoir.uuoDgirroloeintgpidrtliuiinrndidgefiarhi1ciu5fitaledalle9re0dm'en,eu1ddm.ii8aa0atgo"i,oaon2rea7lls0eei"lmela9etiAutr3riCei6lo0dEr' eiirnBgErDjaGudr,;un;i,ill *r ilff 'tn,r'# iilf,f::r;r
patrrt : doui oglindiri fagl de mediatoare qi doui rotagii de
cite 18Co ii 360' fajX, de_centrul de simetrie. Autorul nu di u,,n-_ghLii e^g_a-rl .r;-360" i (n:5, 6,7,
o prea mare importanli dreptunghiului de aur, degi il men-
1,ioneazi". ln al doilea tip de patrrl.ld,tere simetice (fig. 101) intoral 2nsimetrii
tfi i!',f,tffi?'
00v ^,
...). 2 360"
..-, ;-d
L n
*X ii,'$',%5i'-'i "lffin : l"'*:' uu,,*l''i' Ti'' :;.i:
" o'
Fig. 101 Ao-, BNo,imCicO,mDaoi ,simtb,pi.u i:f..c-eple.#cii'n.ic1iraXxei rdeeflescimtireitfraiesXsidnst
el consideri din nou pe acelea cu o axE d,e simetrie verticald,
insi aceste patrulatere au doud vi.rfwri sitaate pe dceastd. ax:t
$ nu o laturd care sd o intersecteze. Acestea sint : pitrattrl.
rombul, deltoidul convex qi deltoidul concav. El considerd
cI orientarea pXtratului cu laturile in pozigia verticali $i ori-
zonr.ald este spuopzeirjiioeaarX,ludi.ininpuallcdto4ilSeavetidperdeeepstaettricu,l.aftaerqei
de
aceast; noui si-
rnetri<'e este a$ezat paralelogramul 1fig. 102) care, ca qi triun"
ghiul isoscel are nwmai wn grad de simetrie, anume o sime-
NA 101
Fig. 102
t72
.fiiile,;"c;-a;59;re99ax,';2i;Ji3ni56;pyar;teo.,.,.c;faor5eim:l9ai5n9sid"- pentagrama neschimbatS' Aces- cfciervitacJcnarasrnrurerno{-uracilaurn"msctmeneinm,eiopretrtesoiipsp\u$rspclr.erdrecii.trnrfu,r,crniroi.n.c,ianaaulprrapuederctmr'aetldrui.tfX.ea-enrip-derenli.ocn.antc,te.ccceiitlCl\tcrniaeant^lrc,mnusoaierirlor-iroroaerennari-crdmronplruselieru.etldteo5larmroiaeteeirr-lrimcantda1lixbareeorxa.r^i.liriu.ii.anadslni.hdcTsieeniag.cetnadra,iesrulm.p'.ee1uuurcl;sae'e'cedinrnla.spuzuatrnrr.opiccl,"rrenrr:i,.r"reedrllcrtiruieranlfesiceoi1naamzfriirlain.irie-t.lpetlr-rler,a,g.Icr_rei-d$treu.nalSro."4wriirt"Csree".r.rie8esirnetnre;aetre,;ii"uaiar_pxteirf;solp."d-ircn^_,ogi,n,arnm-c;Esll[a.e"ui.toilr7ifxpir.tiq".qirnmOlra-cdiatrpii-srf;eicll;i?,.a;ir;"]c.nai,,A..ri"e'd;c;;r;c"r*",ld;im",c;Alojnl;;e-"lire'mlrlcu".ec;;i,l,";_;len;a;ril;n;e-r";itiaesr;rn#..e;r5se.io;ias:,;sn'ac"".n;nr1src.uat"n_t,;rs*ri::i.Iru;iI;dir;i,e;a.i-Jmme',;ti;sJi;Zi*rleina_-ocrn,,-.itr
..1. .l'.''i unghiuri de rotalie cle e(!r'rGrjsar:terreeu)tlf^p+^osul.ri^umli1-d.G"ea(:ontt"priadiitriLain:trseoip2anr.aa4't't[Gerrdrturreuirilrep-oorrurnotlaatteGarliteijv'i,)aiad,;elr;trisrreu;eimiiri;wr;eroiotrti1t;a;ar;dgjil.gii,,ii.,d;ir"p;eoU"scr;;;t"ii"t;ee;;"s.;ti1;ef;0ig,_fO;'.o;l"^r;,m;bfr;ba#iiri-
dfrreee,rceciitrr;ee1leg2too4r0"to;-pitunrqeejir. din"eat.rcrqJit.e;"rg2o)otaa;";i';i,ii.i1d"e;"",.c."irti,e1irr.1r*.u2*,01,. ogqeirsp.e.a.rr,ro',ut.a.r.ol'i.ir*ac-lliei
,care lasi pentagonul neschinr-
bat. Gradul de simetrie al pentagonului regulat sau stelat
e'"s"te--d-e'cCi 1;0J. ci nu ai de gind sX te opreqti aici' cic.i p-e lingi
io;r;oiiilie";io,;ra;ttenir.eels"ea-Jnretie,q''.iu"Dlraiteet.peixlpdiusXtet,imd$,iismcauletrenillelfoignsaauurEi crcoaprreoeaepnlreee,lzedrnecettair.cscutalmazrrcei-!
lor imi pare destul de banal. Primelc. car€ prezlnta",stn]Stl,1r
de roratii de orice unghi, chiar 5i infinitezimal, 9i reflectartl: ti
iC;iu;j..tne;-il;p'eiad;lta'fl."tla't^;e;cT.,;a;"zai.t,;.d---pi'cJfexlig*cur"x.oi"rrtie!iitlueu1n'l"'u;dnttiiunta".rlm'aadtteiesith1enet--urialgm-.aaninurruoiatmd4teaei)t,ccd^unitePm:s2ir'nram2cuge'imotirMrlriarraulcaipllseeedrsrpfioetneectlatiilemnlor.searX?''i
t;.ii;rzi;-,rrr--.;u;aTi"..-e;.lia-Jinr.i1ilteil'elt.ifggni,:wtteurdillloistre.g"plrdeluaapn?guei.riidlnodelironpiidrateiev'aosjieiim. 9elittdr'ieescoahrlniemabmp,oe.lniceireed'.r-dea.loclrli $
i
rl
tl
r':g;"e;ir"$;ea'1uif.;il;'ca'-;et;De", ""*n?;,*u.imnluaam'i,erca1leii,*amt.ct"eXltaespglXi.ngdripa.er.doa.e"bnlredmgedi Ei.lniabpnepuorl.tiaa,ontIea,m,daageqirouapapruceutciereimgl-ei.ittncrraarintssasptafaotlloori*--t
I - -----f,--_--*
I
I t
I I
I
.l--.- I
Fig. 104 Fie. 105 LI /
LV4
Fig. 1C6 Fis,. t07
175
cite 180" in jurul axelor ce unesc mijloacele muchiilor opuse faci cite o pauz6,, nu era pentru mine, ci pentru octaed.ru!
care ficea niqte piruete, sau ni;te rostogoliri, mai dihai decit
;iiilg.trtao.,zs;foersmte"rfoeramiadtendtiincSac. eGlerawliprwolt'arloiitacaliilqoi.rgroucptaueldG'rwluail o balerin5. Cred cX ar fi foarte odihnitor ;i agreabil un ase-
cuvint, nici o explica.gie, ci numai.
iimetriilor cubului in care este inscris. menea film firl nici un
miEcarea lentX qi continuX ale acestor transfc,rmXri congru-
poli-edrEe ,rgai gi de aqteptat, oincecraeazu-lreiccoipstaoecditrauteluai celor douX ente de simetrie, bine accentuate, aie tetraedrului, cubuluio
octaedrului, icosaedrului qi dodecaedrului. $i. inc5, dacX s-ar
ea se .r" i"p.t" 9i al dode- mai adXuga acestora gi toate poliedrele regulate stelate, pe
caedrului. rotapiilor icosaed,rwlwi (fig-
ur-X-toaGrreulpi aellemG'oenatle : transformarea identicX, 108) cuprinde care noi nici nu le-am amintit... Nu mX r.rir deloc de Arhi-
mede, de Pappus ori de Johann Kepler ci au fost aga de
qase rotalii de
2aa6cci8x0lt"de8etr"dloeo1euir2n7i0r.2o"ufi"'eugt,ralri.eEuizia,lieorscapeid.euxerrse.sodeipeo't,marreccliiiicjntcileoecadiarsu2eeipn4ereAcsleese"iztceeiapncvoe1idjar,u4frotuore4uu"rt,iaiallrqemlaXiaixtsouaedep-cleuohdc-srieciieci,otse2epziLnueu16ncts8"eeed0sE.ir;c'soisticgitnenaeacntsojittuebireerqddulie5eneli vrXjigi de farmecul acestor poliedre. CXci aqa cum Pappus a
continuat c,u pasiune cercet5rile asupra, poliedrelor rigulate
gi semiregularc ale lui Arhimede gi altor inaintaqi, cu tot
atita ardoare a continuat Kepler gi a dus mai departe, re-
zultatele stabilite de Pappus. IatX ce scrie H. Weyl intr-un
stragnic articol intitulat ,,Simetria" despre Kepler : ,,lnainte
reprezintd" io"te iotatiile (simetrii ale) icosaedrului. Grwpwl de a_ descoperi cele trei legi care ii poarti numele, Kepler
rira;iilor dodecaedrului pentagonal (fig. 109) rotaliile (sime-
tgroiinaall,e')pircionsauedrmrualuri€sinnuf saimpeatrreii qi ale dodecaedrului penta- a publicat, in 1.595, Mysterili.rrt. cosmograpbicnn:, rn care Tace
o incercare de a stabili o corespondenl5 intre distanjele pla-
un grup nou de rotalii. netelor sistemului solar gi polir:drele regulate pe care le- in-
148, p. t24-129f trie Ei circumscrie, in sfere. In figurJ 110 &te ptezentatd.
constructia prin care Kepler credea ci a pXtrunJ adinc in
secretele Universului. Cele liase sfere corespund la qase pla-
nete. iSnataucrena, sJt;ypoirtdgirn, eMd,aerfre:u,,bP, itmetirnate, dVrue,nudso,deMcaeercdurur,,
rate, sepa-
ocla-
edru gi icosaedru... El a incercat si glseasci motivul penrru
care natura a ales aceast;, 'ordine a corpurilor platoniCe gi e
stabilit o paralel5 intr,e proprietilile plinetelof Ei acelea ale
poliedrelor regulate." p. 72a]
intreb ce [51.,
nos-cut M; s-:rr fi intimplat dacX Kepler ar fi cir-
celelalte trei planete ce au
Ei fost descoperite ulte-
rior ? Probabil cX no ar mai fi ap5rut Mysteriwm cosmo-
grapbicwm !
Fig. 108 Fig. 109 a- lteAlei,cai te ingeli gi iati de ce :
fost tipXriti in 1864, AceastX lucrare, impreunX
cu
in cinci volume, cu titlul
mi-ai ficut-o, Harmonice Mundi gi cartea aceasra a avur destulS c;urare,
cine-maAtosgpiauftiecad,nufiminidaccieainst; enumerare pe care inaintea mea fiindci se glsesc i1'' ea multe idei ce au fost speculate de marii
geometri din secolul al XIX-lea. Dar nu despre asta vreau
timp ce-mi^citeai,
raionptefoiati,iiincup-juoiurliueleldaruulnal.erfleuaslgpxeee,rcutcilvau,i,s!a"exree"vc1ulntaca-ritsoatapnlooszutiXrliilaurocstiataodirne,i.lciaaDr.ieei
se s5-1i vorbesc, ci si r5spund I,a intrebarea ta. DupX 1930, adicd
se dupd ce toate planetele sistemwlwi nostrw solar^aw fost d.esco-
perite, s-a mai gisit un indrigostit de poliedre qi de lucrarea
gi
"...", ii.,d te-am gi rugat sI-mi citeqti mai rar 9i chiar sI
t76 177
simetrie din iumea anorganici il prezinti cristalele. Degi ele
au fost cunoscute gi admirate inii din Antichitate, nu s-a
intreprins nici un studiu sistematic asupra lor mai inainte de
secol'ui al XVII-lea. Iar peste un secol s-a ajuns la uimi-
,:\ ci intr-un cristal atomii se aflX la distanle
toarea descoperire a;adar ci
!t,:t,,::::i aceqti atomi formeazd in spalitr
:,i: il:..j regulate intie ei,
un" sistem regulat de puncte sau o rerea spaliaLA regulatZ.
Otr ri,rrduacctuXrXundcerirsetlaelassepdaelfiianel;q,tereczaultudnccXoirpseompoogtesnta9b1iLlie
tre
ele-
mentele lui de simetrii. Astfel, dupX ce s-au grupat in clasr'
cristaLine toat€ cristalele aie ciror simetrii aparlin aceluiaqi
grnp, s-a stabilit ci existi 32 d,e la rindul
ior, se pot grupa in 7 sistett'te clase cristaline care,
cristaLine' Riminea si se re-
zolve ultima qi iea mai grea problemi : cite .gi care sint toatc
modurile posibile, diferite unele de altele, de a qe repartiza
in spaliu,^in mod regulat, obiecte identice gi de formi arbi-
t,rati? Aceasti problem5 a fost rezolvati, mai-intii, in- 1885,
de matematicianul rus E. S. Fedorov, apoi, independent $i
prin metode diferite, de matematicianul german A. Schijn-
TIiess, in 1889, gi dg nratematicianul englez V. Barlow, in
1894. Toii trei au stabilit cI existi 23C cle grwprtri punctua!e
spaliaLe. Iar proba materiali a acestor rezultate teoretice a
fbst fXcuti ii t9tz, cind Max von Laue a gisit metoda de
a cerceta naturct internd a cristalelor cw aitttoruL razelor X.
Fig. 11C nriubdv--aXrdeFVauoinnamdereate-tqiaiiplneoet.ev.a.er,eFsnstaeawapnmttau5acleiaceccaide,ia,naqstimtr;m-udvanairruEectir"idss?etiasipeauatnomrlnia,iinisnuicmnetracaiaqcreek-
lui Kepler, care s-a hotirit si cluci nlei departe ideiie lui
Kepler, de acoio de unde le-a lisat el. Francis Varrain, clci
aqa il chema pe entuziastul nostru, a adiugat poliedrelor re-
z.agi in rnod regulat, formind o relea regulati de puncte, i-au
gulate convexe gi pe acelea srclate reqlllate qi asifel a iirtocmit intors pe unii matematicieni $i nu numai Pe unul I
tabele dupX tabele prin care a ciutat si clovedeasci posibi- doui milenii qi jumXtate in urm5, 7a nunterele lSuqi
t'igwrate ale
litatea de a arita prin aceeagi metod; a coresponclenf ei- d,intrd Pitagora, cici, te rog s5-mi spui, ce erau numerele spaiiale
poliedrele regwlate si toate planetele sistetnwlwi solar, inclusiv figuiate, altceva decit niEte ri;ele spasiale regwlate I Aceste
rnicile planete, ci existi armonia visatl ;-i c5utat! de Kepler. oFserv,alii le-am gXsit intr-un strSlucitor articol scris de
Philippe de Corbeiller l52l care observX cX prin aceast;,dis-
- $i a publicat aceast; lucrare ? tc,r,ocibnuufaolniretmizXraer(gesuealastsuippaaun.liau)tlogumei"oimloEeri tcrdi5eini,tlpru-ruiinnPictuarrigmsotaararle.s,G-a,,ecoarmijsutenatsrieia.lel.al-usoei
{at--o uEnlu.ipperrsieotneanl nu, clci.a,murit.in 1940, dar a. incredin-
care a tiplrit-o in 1942, cu titlul : Essal
swr l'Harmonices Mund,i or't. Musique dw X[onde de /, Kepler, Euclid este geometria liniilor continue ; a lui Pitagora a giru-
par Francisc Warrain.
rilor de puncte. DupX ce Euclid a formulat geometria s,a' s-a
cint5-toaEre, ,rinddacu5l meu s5-1i spun ;i eu o poveste la fel de in- renuntat la vechea geometrie a lui Pitagora. Savaniii de mai
nu qi mai
gi ! Aceea despre grnpw;.le cristalo-
grafice, fiindci mi se pare ci exernplul cel mai uimitor do
t79
178
ceaamtisodratazpeignvieunicunn.ertttt-rilrsoecnmcaa.,lluaAicgtlcarui,ehtoleuDairmsiluc.teadoin.idgmrdI,eeee,p,iorunnemsDenueedltuilsiratnciiieltma,iamrqgtiteliorasfi6griv,i5z0.iN.tsi.ac.idem.tieweaactaoIcunnocri,ren,ievMtoiaenarucs"xeua"wllrueX;eri'arqlgl*ici"_oiearnlueitlcisndtr_euoasu__u rnuzicX. Existi oare gi un ritm, ii in marile idei din mate-
rnaticl ?
nu -in Asta nu qtiu, dar eu voi considera acum un alt ritm,
care apare cind e vorba de
muzicd", ci in geometrie,
parcbetaje sau de ornarnente.
d.e -l qa, un foarte bun alurgitumteeonrriaca"r;e;rs;Xi;;ju-;sit-i'f*ic;;e;,;-a;lituri acop--eriCrTenuacaeulrtnceesciXusv-ulinpatreati,fneagfei. atins ultimul punct al ordinei de zi !
altele, avintul ce l-a DupI cum Etii mata foarte bine,
plane cu poligoane a$ezare in aqa
grupurilor discontinue. fel ca sX nu lase nici un gol intre ele se numeSte pardosire,
parchetare, pavare sau qi mozaicare. Cele mai vechi exemple
laDomtirrcniaaeetIotrt-iX,rgppioidilctaniciaunnanrgmitlsoir7,at-raaoerdrtleiuiicuncrgeeeopsu.lltleiaasDaectbidasnuip.tlmcteitl(tt,pfgriasodagiemseut.iXcbn1povil1ne5die1ii,zedxi)due,ii-eap,tmrucr5ceXpnraalccipusltiatXetelfraoitelenrleaoacw4r"gattruerrrsseal,e'ifcmfrpiluIpia-e-,mo"titiudrobir*,i)asXtl,ia;zr"pta,"a'"rro;iip,tn;pre"r;,Xo*-;cmt_ri,r;'a;a,eii_r.__oe se_gXsesc in.Egipt, Babilon
Ei la..grecii antici. Pitagoreicii-au
aratat ci existi numai trei jpi ods,iebailictZeplai;idte'eal,coapiuemriree
ale unui
plan cw poligoane regwlate cu triun-
ghiuri echilaterale, p5trate qi hexagoane. E ugor sX,stabilim
qi noi aceasti restriqie impusX pavdrii regwlate.' Fie z nu-
mXrul laturilor unui poligon regulat qi p numXrul poligoa-
l1
nelor regulate care trebuie sX se intilneasci intr-un punct-din
il planul de pavat. Suma unghiurilor interioare ale poligonului
|tE1
ii fiind (n-Z)n , inseamnX cX mirimea unui unghi al lui este
A_,/-,,_9-\t -'' qi el trebuie sX fie egal ,u4,d^, fiind cI sume
,l np
J
trnghiurilor din jurul unui punct este 2n. Avem de rezolvat
I
i
ecuatra :
rl (n-2\ n 2n
np
De aici r,ezult;" 3 (p{6. Pentru
60o, pentru p : 4, n: 4 $i A :
!:go'in numerein t,r-egi. p:3,
n:6qiA:
J8
Fig. 111 iar pentru p :6, n:3 $i A:L :. IZO". Alte valori penrru
ftiueluprioaprortlrieobnualieimcu_pnXurmlitei rienletrLe,ilf.zp5, rIj,i ale cXror lungimi sX p sint imposibile, cXci dau J n valori mai mici decit
agadar iat5 ci ,pare penrru
ditnraeri-c(acfruieg.csoe1nIf2do,il-loi1as,eI3cs,caImitn4a)i.fimePcuaaildrteeosvfieriilrufsreismdiierse"egpwogllaiilgteeoa,asnacdeXtcrdce.jgpauuclearliteleea,
unnuemi Xlartturlriira! liRoenzaul.ltlX/f printre cniumseimreelet.riiilnetroe.gLigaolne"lpiu;n;cte;;l;o_r afocesltorcaognis.idpeorliagtoeanmeulrtegmualai tteirzgiiul.nEaleceseianqti
de aici
buit excluse dintre grupurile spatiale regulate.
&dine ciclicX, au
tria-se DacX ne referim la. timp, gi nu la spatiu, atunci sime-
traduce prin repetigie Ia e ritm,wl din in num5r de g gi
interpale igate, cuprind combinajii de poligoane cu 3, 4, 6, 8 qi tZ latuii
180 181
Ftg. Il2 Fig.113 Fig.115
Fig.114
(fig. 115-119). Iar cazul cei mai general, cind planul se
acoperl c,g-ull model repetat, se compune dtn 17 giup'-rri dc
simetrie diferitS. Acest numir a fost dedus folosind aceleasi
metocie ca qi in cazul simetriilor cristaline. Rezultatele rnX
fac si mX intorc iar la articolul lui Le Corneiller, ca si-1i
mai citesc o observajie curioas5 pe care o face : ,in mate- Fig. 115
maticX existi teoreme care ne aiati ci sint numai anumirc cu un num;r oarecare de fele regulate egale ? Rlspunsul este
posibilitigi de a se combina anumire lucruri gi cX nu sint
mai multe. Pavajele regulate cu pitrate gi acelea cu hexa- iarXgi : nu. Sint posibile numai cinci poliedre regulate gi nu
goane sint_ un exemplu. Cu mult inainte de Euclid, geometrii mai multe... Matematicienii au do.reclit ci elementele de si-
merie ale cristalelor se pot grupa in 32 de moduri diferitc,
s-au intrebat : Pute,m pava o dugumea cu pl5ci -pfoolisgoi:nale dar ntr mai multe..., ci sint exact 23A de moduri diferite ds
ar avea ele ? R5spunsul a a distribui obiectele identice de formi diferitX in relele spa-
regulate, oricite laturi nu. giaie regulate..." Am mai putea adXuga qi noi ci sint numai
Numai trei feluri de pllci regulate por fi Tolosite : rriunghiu, 17 posibilit5li de pavare neregulati qi nu mai multe, cs
lare, p5trate gi hexagonale... Poate ci aceasti primi cor-rcluzie
sX nu fie chiar aga de surgrrinzXtoare, dar urmitoarea este
-mXcrgeilnpitudiien Platon a considerat-o aga. Un un solid zici de asta ?
gase fele pXtrate egale. Putem cub este
construi poliedre rea-favNoaimreicd. eLeaglienaptuutreaalecupneoac$atree matematicianul are ma-
prin calcule. S-ar pute,r
adiuga la acestea o mullime altele : O ecua;ie aigebrici dc
182
183
vestitele lor mo,schei din Orient sau maurii pe acelea din
gtmmcsSsleauoipaai;urvatitieoenlf,paoclqioarad'uiger.riclaileniAotinlunerct.drdsec,seiiPomlnse.abmeeaguefslpoliietteu-lleropicicrissrraetieeraontprseauacetc,i,nidtpsasiiiniinvrndum.tea,eDercnasarutvteaarlesiiel_in5elaispltpsetudoese.rrleimiiimlDogne-eroaeinnfaonteealrnuagnirmieill,nieitleioleognonnrpudtmatelliaild,roeg"n.eud.,rep'n,eunludnltpiue"i,"cruifr"gc.l^i1,*ua".""gior;i.ririr-de*i.t.s.oae*itmtlr;,"oleti";u.i.___l":i.
rMsYnima3foterrrttmrriii"teaslGiICeaa.crmdaErnoesezcarch,irecepruderaicciniaa^aprcerlaiecraeasmXrdmtrmeeupainlttiteerfeordelg"isoinu.srni.tci-oe,ful,ea,n"zLrJii7,i"rat*su?mrlunoog[".ila;r;rr-niird,iJe*zo.
lfuolioEsistechfeorrmreeprdeezinatndi"muanle.cUavnaulel rilipneucinailtuolarse5lue *"i"i."n""T"
(fig. iioj: i;
Fig.1L7 Fig.118 prima vedere, modelul cavalerului pare sx fie reiuliatur trans-
Fig.119
gradul n ate n r5dicini Ei nu mai multe, suma unghiurilor
unui triunghi plan este 180" gi nu mai mult q.a.m.d.
cu cine face filosofie, aqa ci mi
into-rc %d eu cX n-am
Orice figurX care prezintX elemente
la simetriile mele :
de simetrie sau care se poate repeta oricit de mult, este un
orna?nent. De pildi, ornamenrcle egiptene glsite in unele mor-
minte din Teba erau formate din spirale ce se reperau nede-
di{n!innaitfr,itgaaucrmoi pi.cgeeernoinimadneStpri.lcaGen,rupelec. iiCjuamounXftfiaogtlueorsaditliinimcvooezmgleipctauulsreei,ieipraegeuojumfmoelXtortisaciettee.
F'ig.120
Tot figuri geometrice au folosit 9i arabii cind iu decorat
L84 185
layiei unei configuralii de bazd de-.a lungul. unor axe verti-
cale qi orizontale : dar, la o examinare mai atenta' 's€ con-
gibse:arcnLzotedd.r.racfGitAgd.rruqerpai lufaioelqniadid-nenusulosmilemitistXeetetlerdicee,o,ornpeseiftnnlrevutxreiutirisdaaaicrlnueensaateccemaeacaoteEedsi"tee--cliaoenps6tfreiign,turdarreaneslfilf-eeaiaxpidiiaete, FRUMOSUL SE MASOARA ?
in ogli;d5. Rigtrtor'vorbind, aceasta. nu este o rnozaicare, de-
oaFece reglunea constitutivi de baz'd nu €ste un i.npocliagroe,n.foMrmoe-
delul apa"rgine unei clase curioase de mozaicuri,
neregr.tl*te, dar toate identice, se- intretes, umplind pianul...
Escher este un pictor cXruia ii p1a9e si se.joace-cP structu-
rile matematice.^Existi o respectabiiS gcoali estetic;' al cirui Am oprit cartea iui Birkhoff la mine, ca s-o citesc
cqrceozaelistme a,,taermtaa-tic;ocfeorcmoni sdiedejorlc"toqaitoe ia fel de respectabil5 pinX- ne vom intilni. Eram foarte curios si aflu cum a reuqit
autorul sI stabileascd" o wnitate d,e mdswrZ pentru acel ine-
sistemele matematice fabil ce caracterizeazd. t'rumoswl, gi ce unitate a folosit ? Cen-
drept nigte jocuri fXrX sens, jucate- cu anumite simboluri gi
stabilite." 144, p. t99f timetrw, ca pentru lungime (L), gramwl, ca pentru masX (M),
in io*ncoCredapnlrqe5recuariegg5udliiedidneasipnrtee irltimele rinduri ? secwnd,a, ca pentru timp (T) sau poate cI a stabilit o mXsuri
\,'t,oac-i, MX'bucur cX nu sintem numai noi care avem gust de compus5, aga cum este, si zicem, erg-ul (L'zM T-2) (cuvtnt ce
mai sint 9i algii ! derivi din ergon pi inseamnX mwncd.) pentru energie ?
vala-biiXTefo-armmulparriecaeppuet,cBarXedoie.dXPdiunsei ,
acum mata considerai
Leibniz artei
: ,,ca cea
mai inaltX expresie a'unei aritmetici interioare gi inconEtiente"
yi dintr-odati ai ingeles cX secolul nostru, lisind artei cali-
ta,tea de interioar7,, o consideri expresia unei aritmetici con-
$t[,ente. Da, BXdie, pentru ci in secolul nostru s-a v5zut cI
azbrtrgtraim, ipmlicitiindd,ibod.cpiea,soXrgrea,naizgaarecSuimsealeuctiivnictaetrec.aNt-ou
se poare
atilia in
tr€cit, pinX gi marele maesrru Leonardo da Vinci. Ca sX se
peoxpartXirnzabteurmaaateurntraetibc.uiLt acwfneolscEaitecuSif^rsutmd.pois.nuilt,e
stXpinit s-a creat, sau, mai bine zis se legile zborului
ca sX
cfoersmuul lne'umsa-taeminacthiceeia, tcainrecXsi-araote,teporrinie poati fi
cgrereiianzlXific- i cXci pro-
bazati pe
relagiile dintre formd
gi senzagie, care-i inlelesul percepliei estetice.
qtii cX rni-a
nea-m SX plXcut aceast; carte $i citind-o imi spu-
trebwie si-i accept ideile,
cX care, de fapt, li intr-o
oarecare m5surl, pluteau in aer incX din Antiihitate. CXci
ce a fXcut Pitagora cind a stabilit raporturile muzicale qi con..
sonanla,, sau cind a admis existenla acelui rapoft. inco?nen-
swrabil dintre segmente, pe care, peste secole, ln admiralia lui
nemSrginitS, Leonardo da Vinci l-a numit t\ietwra de awr ?
Sau, cind la sfirgitul veacului trecur, Fechner a clutat si
186
t87
stabil,eascS, pe cale smtistic;, printr-o anchet;, care, dintr-o ffiip;;;;;;:;;."1r"-,, ,T;;:rupoolcmsucdtlspiaifph'uibnornuoiuenusiarrudervinunrserneeftir.ididemimiisiesteinaccr.c-r-isinirormateiideiuediseuileold.boeeilpsncicbasdileDalrDnreroScteuoiteiieeitee,nsaerasrnlaua.ctcmtdas.msuecmi.icomnrtterac.niD.ee.aeeaitucdf-risaduplocnelebaiosrmdoai1surlioisimitiltlvauerar1tugeaiumrrainuin.rtcrilurzcitili"Xoiuumohile'notuil"n.aitrpirren"rmsieldesvr'tnai)F'maun.x.resi_sa,X,.v_.eiriartaw"iadrieasiai.al;.rfmnts.Veepr.ct9mriid..';idideillci.riioedrni.i.iisinI;,nqi5nai.cf;rHr^.i{neiiferterqil.i.ietieeer;,s.ao-ii'a;rlisn4J-r.tcZ-ne.ijtceet,tit;l;drrt;e.ao;.e'ti"ser.ip.i,,r,pii;mica^p.l';,ii""."oiote,;nift;$;o"p;r_._;io.r.st.;F"ri.;l".aet"_r,ll;rii-",lr,"bi;r*ie;i-,"'*'prna"ii;lEtd;X;Tlui;f,ij;g;i,l-;";"bis"E";..nri'',i;dutg;ifcs'f.e_c."1-,".e;Ue.;il.'l*"nfapat.t'nls"e;rri"fr,nrutJ-o,rie*a,i"va.rmiir..t.^;cieris"iIpmec;5..e."crx,i;arripeaeemrjrepilui,l*;o;rizt,n.""U"e"je"els.s,cas;a'*'.1r;lmDr,.'l,eiar'.lji;4";mun'cuee]'"iar;eirup.r,.;dnu4i,iiim*l_"^.ico;ot1]r,vlrl;ea;1Hic;dei"ntri,;',o;;iilUf.i.s;oela,vt;e;airrf;ro"yamipisrssirl';s-.pir;tuarra_dsai;eirbmifDvl,:'tr"a.d"ieeie,Xarni"rd.rlax,e]ra_l_";.ee__
serie de dreptunghiuri este cel mai frumo,s ? IatX motiveie
pentru care cred, dac5 egti de acord, sI' incepem disculia [ctEttepcS5Tbfeatiooapaaa,'cclahlrJace,turteehsed,tetsosd-ire-taelpbnrriplramaeliadrfia.nueuiimr_nzagmnlMa3Afceuenotdezos4pbcaqeiiX-n.ureu]reerta,rn.meit-beBmsectociitfFncirr5.aaeiueaeuiianrdrnerl3cAlkmeinreeientcodri1chrmcaiius-bveet,i.raoasreiatbse-cueclAsbffst,eoafauelnlit,ehiecea,tr,rma,,.,lvee'rto.,rloi..erea^picoie.,ir.".claAeexllo,ga.irrio.-iri,rp,p.nu,il'apir_arriodreorirlfeitir;."ori.rmeaa.rspa-ioi-etrcnr-t,-.;u.m.r*mlrl;iii*i;io*tiiiri,n.op;,en.pror;-g;'i"oriid..n"siri;t.-*.-pl;rmfiir;il"r"X"ginnc;"n,ii.i'-tae,;i.t.Xu'"r'iu;l,tui"-;il#.'eqir"-p'i;j;JJiini"irfi;o'li'*'id.imi,gr].i"tor.'iri;-Jo.;,'pnnrrxgr?"e.mh,".nri;"nuoerr.*;p",eini-.ifq'Jr,nninriu.iircrpim,nu;;"qi;.."tuXii.pt;i_';ri;.lt_a;r^eii.grt.u;tnii"id.ii'ti""i;.c#r.rer.^nie,r;e,*iri;lc'iii.;_is;f,u.rofaas;;;;r"ziu';eriip";im;niTn":afulijij.i"f;fds;c]b;;oo;fri;ti;atodc;itas"o'i;;;b;;ierellir;u;i.lJ;pia.c._;.l.rlii'hli.on:i__t'
noastrX, pe care o prevXd foarte strllucitoare dac5 mi iau r:9a..r1€._ru1rTa d,veorabuirr., rtearrmperinni'ptoritnarami o.nXi<.o.,ru,n"p-coorm, p,.lex"p'd.eog"riu*p.iurr*i
dupX vraful de c5rli cu care ai venit, pornind de la cartea
lui Birkhoff. 189
Cum sI nu fiu de acord ? Mai ales cI prin stilul lui
clar- qi
precis, autorul ne va indruma direct inspre locul ce-l
cXutXm. Dovadi cum incepe : ,,Multe perceplii auditive sau
vizuale sint intov5rXqite de un anumit siml intuitiv al va-
lorii, cu totul deosebit de sentimenrul senzual, emotional,
rnoral sau intelectual. Estetica se ocupi in special cu acest
sentiment estetic qi cu obiectele estetice care-l produc. Existi
numeroase feluri de obiecte estetice gi fiecare treze$te o sen-
zagie deosebit5 de frumos. Aceste obiecte se impart in doui
categorii, unele, ca apusul Soareiui, se gisesc in natur5, pe
cind celelalte sint create de arri$ri. CalitXlile primei
sau rnai pulin accidentale, pe cind categb-
rii sint, mai mult
a doua
categorie apare ca expresia liberX a idealurilor estetice. Din
cauza aceasta arta, mai mult dectt natura, procurX mate-
rialul principal al esteticii".
aclevirat ci pini acum lru a
nou-ta-Etea in spus nimic nou, dar
apare foarte curind, chiar paragraful
urmXtor,
cind examineazd. natwra experiensei estetice.
succ-esivtrea:t-o1): ,,O experienlS esterici tip cuprinde trei faze
o sforgare preliminatX a
atenliei, necesar5 a.cru-
lui de perceplie $i care creqte in raport cu ceea ce vom lumi
complexit"ttea (C) a obiectului ; 2) sentimentul valorii sao
mdswra esteticd (M) care risplXteEte acest eforr gi, in rfirgit,
3) realizarea cX obiectul prezinti o anumiti armonieo sime-
trie sau ord,ine (O), rnai mult sau mai pulin ascunsS, care
pare necesarX efectului esteric". De aici el stabilegte formuia
M: o care se poate traduce astfel : Cind se dX o clasX de
=C ,
obiecte estetice, mdswra esteticd a fiecXrui obiect se stabi-
leEte prin ord.inea elementelor expresive ale obiectului, qi este
cu atit mai mare cu cit qi densitatea relaliilor de ordine este
mai mare gi, totodatX, cu cir co?nplexitatea acehi obiect este
mai micX. Condilia esredc; : ,,lJnitarea in varietate", spune
Birkoff, este strtns legatX de aceasti formulS. [49, p. 4f
188
armonice, ca, de pildl : proportiiie care apartin spaliului pare- Te cred. Autorul esre bine informar "q;i ;a;r;eri-ta;;le;;n"t!.tl_m;j
rXu
ocupat de imaginea creat;, sau relaliile armonice care con' cX subiectui "..riu-"; ;;;;i" il
stituie distribuirea elementelor din imaginea insiqi, sau co- noastre.
relalia dintre relaqiiie armonice ale imaginii qi relaiiile armr)- tffi'ocera-ma-iinalfioDiunredmab!atihl,DioodanaocacaIliri..n!eE.;_ua"mcimpao,retJrciiv;it;ii,t piriiagul nostru s_ar trans_
tartea v.o"rb.re;$r1l "d"e-s"ppr*ere;;s;r:e.-
nice ale spaliului ocupat de imagine q.a.m,d. Toate aceste
mirimi, care au Ia baid gi nogiunea de uniformitate, au fost ;;_;i
cercetale gi calculate addeunJ.atSechgiillisnegegrX, steimscpindeac2e5stdeeaapnroi,apiaer s^a" m';asoDaerseigfruurm, o€saule. ste singura care are pretenria ci a reugit
rezultatele
au fost !: ;;:n;;';:, iji ;* jdmpmVc("l.:oae.eeiu."cnrnlte;-irtc-{nuoeo1ral*'rmn,xii,ln1nD,FatretftB:.aaosevd.ect5,ureM1oe.Xnurmtsrail:cmzesa5ilan,aiet:culioicuu:iknihsa:rfit[aaron,5uro.lrpud:t5mee.aep..d'raglnn1rn;aellrIi,aai,otns,*arecnr*r,idcuv"l"iilasur,,Lnrntslreaiqf.ri,Bj,ne5r-.i;A1,,"t.a-i.rgd-i-rad,nhactd.idisla?"".;"op.x"*r"Sr'u.,rppdi,,iiisi^i_r.-f,o..lsi,tri*ira;rttlI";_;;,lurp.rc.t.[.oei-9,t"'lon;i.Jat,r-afiXmso;.J;tc;il_n"rico;""ri;riiasrl,,";tp.ifi.b't"Ua;l;ui;r'fiila.i'.ni.';fs;i'ir;ra.,r;z,1ic;*a;e'i9Xo.l-."65a;zlr.i.._ii7.i
700 de pagini, tipXrite dupX moartea autorului. Desigur cX
gfilciinrt{aur5laiorm1er:eio,milsoxIbupara*l,el.z'i.or.pilinnm;e"dae.ulriene-Tsor,.€a.ialnlad.ieca;d"."tre^uea"ut."i-ss.-ti"rtici.a.;,I.i';-d;,;";;,;r.";,r;fJrr;;;,1,;1il;i"ii;;-:,"j,,,;';'rrlr;dpr'ei'e)**ci't;;ieeftlroa'cerL;:ira.;arr"pefr,ro;"ehbx;iaa;iicb;;r_iiX_;
noi nu li vom pircurge, fiindci nici nu intrl ln programul
ncoasstriu-1, idaarriatmcXlinpuirtesr5il-e1ilpurieBziinrkt haocfufm, aceasti carte numai
legate de misurarea
frumosului saLl a emoliei estetice, nu au fost unanim accep-
tate nici chiar de acei care erau in cXutarea unei baze mr-
tematice a artelor. ln locul formulei propusX de el, J. Schillin-
ger a preferat sI pun5 \a baza investigaliilor sale vechea m5-
ii-e a tiieturii de aur, pe care, in schimb, Birkhoff a inlltu-
rat-o din consideraliile sale.
disc--utaDOt ad,sepsnup-nareemsrXiimnsspeisitcrtaiailtte?apsaupirrualaatecerestlouir,ludcarur, atunci cind am
in cadrul acelei
probleme Birkhoff av€a un paragraf intitulat ,,Dreptunghiul
de aur qi altele" in care, dup5 ce defineqte tXietura de aur Ei
ii face ulr scurt istoric, unde intri gi cercet5rile experimentale
ale lui Fecl,ner legate de dreptunghiul cu dimensiunile in ra-
portul 1,618, amintegte despie dreptunghiul care-i pl5_cea lui p-e Cum ar mai fi putut
Pl"totl, in care raportul lalurilor este I,732, apoi de alte ca rXmine cintXre;te frumosui
un kilogram de zahi,r.
dreptunghiuri la fel de remarcabile Ei termini afirmind ci : s^c^nrl,m_b-aNmurlnelstaritedaepdaertme_adsuera_.adevir, numai cI ar trebui sI
dreptunfhiul de aur nu diferi in nici un chip de altele prin
"tu.egei,"re.iveanrinp8olsaediadeoil.prloupirgieitraktheogfef otrmeebturiieci
deosebitS." T,r- * :ciPn:udfv"e:i-:nptlieSnesualXx_sscaXt;ai.ihbtusiuxneinnt<qipc'o,iio,bsoacciit.hi"rn.i.etmioma;Jnbillsli"i;ito7t.a-u.,rrrgrb-,ai,t#iai^fr7rrr"ru+aifimt-i,iii+._;ro':moa;^s"yuif";;'lic-i'r,uia:r1m"". ti;'rd"Jise.etb;i(aur't'j.r"iut!tea:ni,;i,gur'r;e.r."e'-,YI,l"asi.#;a4e,"ra?;"!r:e-.?
si accentuez cd ilf llil, ; :::;;;:#Tjt':;:AIt.rnepebonuil,€i"e"rPrmes. baX:ut*epiFTeroilailsnaledids5reof,i"bi,lidinfi;ii;isX.;t.r,ri-nasi';eqci;daat"em'i;$,{a,r^is)u,irri;nui,"r'ea;rlie;ti,e,',i;'d",iin''i;:n;:,:-t"rrrpe"iJn',all"iicuY"e-;si:,tioieii""ic:'i-:)of'n"tdii;igin':)ii'il"r:l._:l
ac€stea aveau in ele originalitatea asupra cirora esteticienii
de mai tirziu au atras atenlia qi chiar le-au dez-voltat intr-un
mod surprinzXtor. ,,esteticienii de mai tirziu" eu a; fi spus
,,est-eticlandleocazdi" e. Asta fiindc5 aqa gi-a intitulat Marcel Pe-
trigor primul capitol din Curente estetice contem'porane 1541.
- Cu alte cuvinte, vrei sX-mi spui cX i-ai recitit cartea ?
pi;c-ere recitit-o cu aceea$i
Da, asear5, am terminat-o. $i am
$i interes ca acurl ciliva ani.
0a L9t
ceptoral std.rilor estetice gi ci procesul de comwntcare se rea- e.lapele esre.ticii informalionale, care o avem aici la pagina 73,
din cartea lui V. E. Magek ([ig. I2t) :
lizeazZ prin semne.
tnformottonola
sceamra-icotetiicrniizia-atecaestoet pouerlritaeimi mdecoadaplrrittnoiil,parcinustvermi-nontueinllofhor ro-m'tXariciietaoreresistietatbirceilievqicntoee-
dificatd,. $_i,..dupi cum a ardtit Max Bense:.,,inceputul-isto- Estetrco rnformctrya explicottvo Psthologio tnfornottonal teoretico
rinieiacecricreutiiriei satsepiiecci t'upluutiecmomguinsiicavteivritaalb'ailiritegi el-rmaefXnicupteHnterguelo,
semioticd estetici (teorie a semnelor), pentru o semantich este'
ticX (teorie a semnificagiilor) gi pentru o estetic; pragmatic,i Estetica t rtfor matton alo descrtpt t vo
(teoria comunicaliei este.tic-e)..." [55, p. 68]. Matemal tco ea.la semnelot Ps ihologto feorto
Si outomoteior
stab-ileaBsicniee.leAmceunmtelemdaei departe. Aceste semne permit si se tnf or rnotionol6
ordine care determini opera de sloltstico soci o c iberne !ica
artd, eft1Dtr,c6
adicX furnizeazd toate int'ormapiile posibile asupra ei. La urmd Fie. 121
aceste informalii se prelwcreazd cu.aiutorul^principiilor pc 1 noa-;t.eM.to; ateinrtereabli,zicreile-ardsinpudnoemBeennieudl eetstoteCticroii cinefodramcXaliaonraclue_
care se bazeazi atit teoria matematicd a informaliei, cit 9i .J
cibernetica gi astfel se ajunge la o caracterizare cantitativ7
a proceselor qi invarianlilor estetici respectivi. $i nu-i numai ir
atil : ,,Ca gi in cazul Etiinielor naturii, putem distinge qi pen implinite in intervalul ultimilor treizeci d" u,ii, d. ;ird ;i ;;
tru estetica informalionali (cel pulin programatic) un stadiu { mai. trliegte ? O jumitare de v,pseulaibccetaroeacteqericaaescrapuremc.,,tei.lhpe i""lru.i"i',.r1.a"'.gsi;c-ir""i_s"
d,escriptiv... care extrage din opera de art5 anumite mXrimi dir;rre probiema frumosului
{ atitea^ c5rti care se r:itesc cu
de cunoaEtere, de pildi mirimi medii, dispersiuni, valori in- astcoicX.ea1e-i,z,-aisfrciuanAZmtsfcordtursaeemu-aailolicusneounuirladanarluctraiLes1steeimtcoxpeiaionstaitXeneres,npSidmX5gariie,fsrizureicirlcxear\ee,,ic?du-uicbt,aXn5tli.a.d,,ed...Xocmua-al"ac;,ulol.avo*trio"tfu"r;i"ra"l..,:
formalionale, valoii de surprizi, de redundanli etc. Aceastl "t.
limitare la descriere prin mijloace controlabile (in special prirr
nHeeuxv.aitaacFutrerea,saeninnkesav-tdaalicunaXapbcruiielloneerca".t!c,id,iSeiniavntsegeedurmepiaerreneoeetbaisriieteleocntiirciue)..n.fp"aluocrseiibnpiuolXsaibauirleifmiepn-ourntldauunripllci,i i
I
I
4
t
In analogie cu progresele fizicri, H. Frank propune ,,...in- saassturirrttplasrbotuXtrtltrs,taeul-ibcrtnX)ur.ir.rrq1edl:(ei.lsmS6cd,zu.eaIiri:cieagnornrrtdeudl-.ai-ur5nr,i.l.ciucactunaulma;liiBiutsnecmeeanireiiennpdrteeiirumterbrsogpe"sloCuScnnr,oaaitdcratteeiert,A,lee.dp.l:r;iaci.,earl;r',"ei Ococuofc.ndrrete"-ians'g'tJu-uie-.ii
troducerea inui mod,el al subiectului consumator de arti. Un
asemenea model al esteticii informalionale va fi, in cea mai
mare parte, repr€zentat de psihologia informalionali, teoretic;i,
intregiti prin ipoteze gi consideralii speciale asupra percep- cu,lu.i A:. dreptate- 9in p-rimX qi normail consecintri a amesre_
tmieai,lsioi nrea{lilizedxaricitde.srteXtmicein. eTointuqpir,in9ci iopiauseamtaecnaebailei,satettiticai infor- ordinatorului
domeniul esteticii a fost lX i s_a in-
vreme trcrueardeltouddcrien.elmaMlatuil7,1'vsitefas;1ciprenaei1xrc1eealc5rwcemtianarjeuotaecvmuooalprteniscroeiisloaqrrcriucadeicepteata€rerlctadis-,ofiroulcrum,ocnsor,aissnirudt"leidrr;X..;;m-i;"a;bm;.i"a_-i
cit privim ca receptor intenglonal al operei de art5, omul.
CIci r5mine atuncf de lXmurit intrebarea, in ce m5sur5 mo-
,delul este adecvat subiectului. De aceea, estetica informalio-
indeaproape qi acest noll aspect al crealiei unei opere de artX ?
nalX exactX tinde spre o aproximare a consumatorului prin- Da" Problema insi cuprinde mai multe etape gi, ca
tr-un Eir de modele ale subiectului receptor." [55, p.69-7a1. sa I-e puteni sesiza nrai bine, voi incepe cu cireva 6br..,rurii
$i, ca si-1i fac plicere, privegte schema rezumatlvla relativ la
pe care lc am exrras din cele doui cXrti ce le-am dr.fi
t92
"1.,
t91
ghid : in ultimele trei decenii, dimensiunea estetic; ocupi tot papcrpceaacrrozeecrrateleieiietnoieGlrsstuuc.eoeleepcfaozleteehjmcu,nce9tntuud,9lgualcue.ipidcnisrXelode'auecreaaieirlan,eeld_reiaene-puhslpoizdipnaoaaeiigatrrreeatteieags-seeidatpnonaersipuebepelvcsi.ilrreitaaeedlgtico,eaieuaad,ltaoeqdsrmeiaciduuonc.lmaucarr.ibie.,ri,noi,vaalaoi."raiairibl",m,erriei.;a.;parigie.i,ii-i'rn*"icii.a;i;;i,r"i;eil
mai mult un loc important in existenta qi congtiinla omultri - Iati o noul schemi (fig. t22), intocmitX de A. Moles,
contemporan. Aceasta a ficut ca, ir-r rezolvarea problemelor
paolarrltatdoisriantiraaceetloleuadnreeeilreglioicrraturfosticin-ladiitcaeesraxu-utihndisieoctdrrudeeispenitsgaatntetotiainicnrduewllteso-.tarMitaeslaId-ifoitemifreeftoninnoloim,ilseeuitnteailriectzeaxalelorcemrua--:
arhitecturS, picturri, sculpturX, muzicS, poezie, artX drama-
tic5, etc. Dar, de'srpre folosirea cal'culatoarelc''r electronice irt
domeniul literaturii $i al teatrului rrici nLl erx nevoie sX mai
amintesc, fiindcX r'5d in biblioteca matale cartea lui Solomo'r dezvoll or e troducere
lVlarcus : Poetica matematici [57]. decodo r e
inclu-deOincdairstecuslciirleisXnocsustmreu. ltX miiestrie, pXcat cI rru o pr-ltem
de p-urXCr;eidsqtri iecuti! Cum si amestecim in jocril nostru, o carte
specialitate ? I{evenind la observaliiie care
le-am fXcut, trebuie si precizez cX prin introducerea ordir-ra-
toarelor in procesele de creaiie artisticX s-a ivit o noui ra-
murX a esteticii informalionale, numitX de Max Belrse esfetrc,z
gs,eenaemrnaativcdrr,cduemfisncirtl6e,retaottuderuerol,raostpfeelra: l-i,i,lEosr,tertiecgaugl.ileonreEraititve;oirne--
melor prin a cXror aplicare la o mullime de elemente mate- .codificote
alegereo semnelor
riale funcgionind ca semne, se poate obline in mod con$tient l:rg.122
gi metodic o stare estetici". [55, p. 1811. rolul de in- care arat; cum lunclioneazi o ,,asemenea ma;inX, :rmplifica_
term-ediAagr aindtar,re, estetica generativS qi-a asumat toare a inteligenlei umane". [55, p. t921.
artist gi opera sa ? Artistul are numai ideea,
vlrcfnrruzizrz"1riuiuarraraannrcttJrlrrt?lurud,r.teaeaaePielraiitatl,r.afolva"res;stm.rmiDbpa"i|inunalniiurefieaeelnltntgitnctid;rbugsecXuoamaaieXtasnparrriiniai.elraactrleale'recl,artypigc.llcrigcciiioo3aidmlnonSerco,:aSeinlgaa'areifslengi.aeasr.eatepuacsmctcrrcdDl;raipieoze:eoenelstcie.rasicuaiuRcvt-m-tdrelrahnioadn.epesclpenicezaurmBorleipuoaccrr-lerauuXeeoeacrrptaigri,arn,eano-d^psnisvnmdtca.erap,rtiieeutrrercs,.ercrleuiaamieetai,mrpsnnirruezacrrtreeeeie€osi(aopndulrsi_aneei,f.v5isote;mrcuzii-ltidtesd-eailue-ied;i"pinidartgronzDaerecenmtainiilTcrtipaao6;rpoeuaealdeonctprriripevar^siiiies.ntctlic.erainiu"eani.,ur.trenl.irx"get'lrilipelu..ztnLpci.ct.icrra.toarXIrcttiu"slrtdi.cru-pealette*iuo.r".ifpril!nlae.isipaaoJrimmib;icSeteb1ali;ooetl,claiurliiq_;__ri-_vi-i--il-i,-
alege semnele qi alcXtuiefte programul ?
g€n-eraDtiva; .eIsatetio cum rezumi Maqelt acest pr()ces : ,,estetica
teorie matematicl-tehnologici a transformS-
r:ii, trnui repertoriu. (de semne) in directiue, a directivelor in
procedee gt a procedeelor in realizd.ri concrete. Proceswl credtor
in sensul esteiicii generative deline, agadar, o fazir concepiio-
nalX si o fazd realizatoricd... Opera nu se mai afli in raport
nemijlocit cLr mijlociti de irtterventi'r
creatortrl ei, ci este
unui sistem de agregate semiotice gi maginale... intregul pro-
ces generatir- decurge, irr principiu, conform schemei urm5-
toare : program -> (comptrter f generator de numere alet-
toare) -> realizator".
crlc-ulatAogr," fiind, e clar cX in aceasti colaborare d;ntre om fi
omul este proprietarul operei sale. X'Ialina ii folo-
seqte doar ca Lul ajntor, desigur un ajutttr extraordinar de
t94 195
rarea unei opere, care r;m{ne un act eminamente irltelectual, ltg3axrttatirictu"pnoouazn$ittieg'ereir'a..daAeprreotxafpuendrdiematecXnarlaecucmraaerteocrannrueispmsre-eazlorinrp'tcxure,.iaro-lrie.t"ioJtqaii"r-i"*-
se condenseazi nemisurat, se esenlializeazX. Algoritmul este d.ams,setrrau.curn{-icp,tirrfuae<{..nSsAlrartn5icomrte.iiftts5prldeut,ruecro.niubaEisntlrues,iadc,tmbeeleuipelzvea,ciioneatda,rrberlf.enataieignimS,d.md..eic[Ni5imiii6"n-oe,raia.lpli.ret".vesrar1ce.€a,"6arlri3eneZ_af-so,$1ga'ria6Xm4np,-ae1"ec'rsre'mionolr'inputpar.:trl;rai6n'.n;;fuD"m;u";riitlune
germenele maternatic al unui intreg ansamblu de opere. cmmsssdmcetiateopaarabrucg5ati-teharciioelnnsatuaiuatrdi.lsulcrnulueccieJcorr.ep.riicmnserisanodteatarzdetsziltiudbi..ttrXuirieueinicprTsriaeiueiudevMcb_,lee*iasalnlur.poqinaXbie.elteNu.eslefkitrpcn.uriocio:ueuanor-lvdrrna,,inr,n,iereEzneetspoinstlseteeprboitaeranerrlimdoiiditl,cvinrcepenuoidiuncr5artmimreienub,tccuaa,ampclii;iilindedai-npaaenee.clusrnp,iemupre"rrrerorotrraass,u.curlirpeiiriz^ddeu,enNa.ueca,"nlr,egt,teiotl..,oo,ee,.*afri"ir,u*;p.iiiir.,;nlr,n.r-;,;.6c-j,i"..alers.i;cer-'"sio;naioitz;aJu_oru_ee-r.i
Concepirrrdu-l, autorul siu trebuie sX dea dovada unei ex- drn5oeiertpureenl.snrtttte1rpuiorargfnelpeergrireteeglde"ue-g.li.nazrefuacsl-ittmzr"i;tcsp.raivddgeierret5dpc,itouprd;gnbinn;1na,;wl1tgXt.oc.l.t;rf"iUi.romnnaacipfeiAs;.ir.;rp;r.[i.e*o;r;,gi;'cp.*-,,ii;m;l;"i__.
ceplionale puteri imaginative pentru a-i putea urmiri cit
mii departe dezvoltXrile qi implicagiile posibile in mullimea brnalrr drrr care ma5ina dezvolti apoi metodic toate posi_
c,puieprrdiesodseinclXi inin pri-
operelcr concrete rezultate. Ceea ce se cdlbti^ahiee'plgmiatamXab-tlaiii'vcllrXeeap..r.sie.Nai"qnutftioimenanlaeXtuleirmz,cueealiz,liaerercnvfeTiaresea$ctomlianrraeeaptvcordEaesi"gin,oXpbtrumtieolriatuemlrlalei ia.lipio;rDoapnort,.uea"itreea}aim.ir;.at'";r,g;er.;";ic;n;Ue;;a;.;'.i."*;"rp;ri_e,.
vinla dexterit5trilor manuale, se ciqtigi ca- ustr*eeamtmrarualtXiecnztaiduqtaperitie,Xuarp.mnretAiun'icsdttetraeiuacla.iesolranaceau_sinltleeest,eropiacnt5muiusnlnreXnaedoscipttiie,,eccavciadoe5rdreluebegsa*5nX"mids;ete.ex"t'p.p.r".ra";"i*m;.1i.;".;eit.;"i-,;-r"i.ril,-"."-r",-;i;-;:"u.;;r"rirr"6_1-,a',
drul Iazei cor-rceptuale. De altfel, unii dintre arti$tii de pselpt1liaetett1a,rsradtsrricyo3eeaentaeIa{lal^iiInlmrir.t'ear--balilm"ettwaieem^azanmlepaarpaauqbpelrmtiirrnoeioussiliro.ittnXgugeuermliguan.coimeE."saauau5llbaluiiscnidart5ceriraaecm^tlirrtlcseipXtciausdoazrrleruwLliailatilriarhse.irdtr,ienlmra,nrespot.siae.fditm.iecat'tn,tt'fpiiiircve;iu,;,;,rw",l.c.r,r*orr&"io"mDr'p;*.iper;.u"io;lu";lt;aae;.n;,,rup'r;rw-"i.r";r"1lue;.),t..:.il
calculator suslin iX r-roul si,stem de referinli a1 domeniulur,
opera cr,e artX constX in insuEi programui elaborat qi nu in t97
concretiziriie lui efective". ficut mi ia
Cirq-anC. eSleipcticrnmini-iaiinctriteitgmi a-a pe gindesc
mers sX si Badea
jos ca
el poati
vedea Columna lui Traian. Azi, dupX un veac un alt Badea
Cirgan ajunge cu avionul intr-,o or5 in faia ei. Timpu,l de
reahzare a dorinlei ca $i a unei de artX s-a scurtat
lor de opere
mult, numai sentimentul sfialX ;i admiralie a ri-
mas acelaqi. lui f-oCsirtqainnf,lu- ecnegladtee
si
acu-m S-ar putea ca sentimentele Badea
un veic qi al celui de azi, nu fi
de fantastica micqorare a intervalului de dmp dintre do-
rinlX si teahzarea ei, dar starea sufleteascX a artistului
de calculator a fost puternic influenlati de aceastl vit'ezd'
cu care-qi vede opera- lui realizatX I S-a schimbat intr-attt,
incit a ajuns sX cbnsidere cd programd"rea este opera lui de
artX 9i nu realizarea ei efe,ctin'i. $i dacl mi gindesc la ma-
rudpEurneiinpvniviltneelittaXocfcaa,art$-leeRli-gaapdicdueepun€ealpBirlrreaanogigairtndrctacatruhemsaaiau.rluprlcleouianrninsisoauliidnmartealii,srtlieXttaadtcmtuee;raaa:cncaaii,fl,erceimtssuitstle5aitrut,pioglarurd.reieelund-idnceadeXceaepimscae-usanantu--;l
gin"t ,rn artist dJ calculator care' pe lingi pregitirea sa
insituelticeix,psloIantXurdiiisCpaul'ncui la9tiodaereolort.eLmuecinruicrXi,leforsmeapgioetinintdimorpnlea-
gi invers : un i,nfor,mati'cian se poate exer'sa in domeniul
artei. Oricurn, profesiunile de bazZ ale autorilor de arti
de calculator sint tn mod $ocant altele de'ctt cele ale arti$-
tilor tradiSionali . Avem de-a face cu ingineri, compozitori,
matematicieni, rnediei, pictori, filozofi, poeqi, sculptori. O
emtistici pe profesiuni ar fi poate favorabilX celor cu pre-
t96
(gs:erie-baaesfticrea,.nirOsr^ppeuesseranidi1ieiXlee, adeiei,tdoeipeeacroliatmaliitbleeinnacuroemncgareii tcesIepleerclielniescneaudreessafeirstoi4sa.trouX:i ar p-ut€Naud"ccuemlavaoascaetausrraXrenceasrte5,vlialitlrindderz.lvl oeltia, rseX a arrelor
provoace
,,moartea informalionalX ?"
icdniinnfidnditipfeemrsitateeiieirnedipooermdmeea"n.liii[ii5ea6rtd,isePtsicp.er1,e9at8mo-t2s0.Xc4em1pMirivoaepirqedtseecpralearta:.lc,izi.td,etr{vi9lae- cialX- Pcsimiqtii cred &$?, optimiqtii nu. ,,Problema cru-
a artei moderne", scrie MaEek, ,"dar gi a artei in ge-
neral, este aceea daci civilizalia a,ctualX; caracrerizitl
consideralii generale, care sX stabileasci legXtura cu p.ro- printr-un sistem existential riguros qi dens strucrurar, rnai
oferX suficiente condigii de existenli a arrei, respectiv daci
oLbair,o-ol"egfo.mr.5ru..ali*.roAp.e"oia.t'.trtor."uin*sntii"vine.neSestr.tvrseauou,sileduelaiuadrpzeelstm:etae,aim,dFiocbo-,mai'laaoleunsslilrauaevmianapb-coeifoaainmnstilrtrenpruiitltdIeef'eeisriertteiolccotrt.irctuirepelmeaaqanpiitorrombumpuuuiinmalXlutt-,-ii aceasta se mai poate justifica. socialmenre, r€Lllin{ si_ tre-
zeasca un intere's vital, emolional sau intele,ctual, diferit
de un simplu efect de aparilie ? in perspectiva esteticii in-
formagionale, civilizalia, ca gi pro6le,mx dezvoltlrii arrei
"ftc*r;ifir;oira;lat""li*Gmelo..ne.r,c"r"sllata.suaaii,djreuuccrXtlaluoXbsdrdetielvislrcidiscuoeourrism)bleigpganucisetopeprvirreouoccdlauteur;dec.f-eelaorcvcreoaar5ta(ei)sttiiatra-mtiinps(aidfs'cr'.egc.a.rer1nieil,tpo"iutorXortIlppeiaeiitnnr-aadaaluciciesleIeaa-- in cadrul aoestei civilizalii, este o problemX a inovaliei.
Tradusi in termeni tradilionali, ." iidi.i intrebarea daci
mai poate exista arta in mod crearor sau doar in unul imi-
tativ (ceea ce ar fi echivalent cu o atrofiere gi in final cu
o expiere a ei). Am vl,zut cd realizarea informaliei estedce
se bazeazd pe producerea unor sfructuri improbabile. im-
rinleloi unei prolduclii irr conti,nu; cre;rere gi di'ersificare...
As"-rru*itu *ttX permutalionalX', crealie computerului, previzibile, pe nourate $i pe originalitate. Aici se iidicl
a dou5 probleme ; intii, fiind vorba de realizarea unei solulii,
va putea 'contribui' in chip
esenlial Ja satisfacerea acestei a unei organizdri imprevizibile a elementelor semnice, deci
nev6i cantitative de frumos si originalitate. E,a are de pro,ce'dee combinatorii, ar rezulta c5, oricit de mare ar fi
o con-
siderabili imut-iptifoorrtmaintalit,eaadaucceinludia;si oaiilegtoXrtiitimd'i.ve[5rs5it,apte.a 2in3d5i-- aria posibilitXlilor, repertoriul elementelor fiind fatalmente
Iimitat, num5rul co,mbinaliilor nu poate f i infinit, gama
viduali in
2381 in centitXli. industriale ac€storr eprriz.indu-se cu timpul. AjunSi aici, firul raliona-
a o-perDelaorr,'dperainrtai cdeeasctai l.ipurloa'dtource5rie, totodatX, ,prin nenumX- mentului rre impune sX ne gfndim c5, pe m;rsura trecerii
vremii, tabelul de incertitudini posibile, de configuralii de
,ut.iu t.,ptoduceri perfecte pe care le poate executa. magina semne inovatoare der-ine, prin repetaie, atit de normal,
dup5 operele clasiie, op€ro originali nu-qi pier'de din pre-
incit. ajunge. # fac5. parte dceeeadrc-Jptci.nddivna-peosraibiilnitfXogrmi, adliien
guire ? in tacit,
previziuni ;i, mod
favo-areParocbolepmieai. aceasta a fost pusl qi r5spu'nsul este in
Se consider5 cX 6opiile perfecte ale, ope- dimneavipirremerssupielmt'cpstilpv5aartresiudculundrgdeearnmiigalt.ni-mi Clep)suarlasuerie,mieanngleuaisntsetiitamuzapXlileX,d_tiondruecluen!e,ionpcoinciielt
relor origin"l., nqu cum sint astXzi executate de calcul'atoa-
rele electiorrice, nu ,au numai rolul de a t'ace cunoscute acel-e cind se ajunge Ia o situalie in care toate posibilitXtile artis-
creafii originale mareiui public care nu poate vizita muzeele
lumii unde se g5sesc acestea qi nici sXiile de concerte et'c., tultri de alegere liberi a unei comtinagii de senjne esrerice
sint epuizate. \d'oemdefciessailil1iaartteuin, cini t-rucpitreeznictreopBieanseei,
dar ci ele contribuie la prelnngirea viepii acestor opere ori- semn5m actui -redusX-
ginale, supuse oricum degradXrii. Ba. unii esteticieni au ajuns edciiinn'ddeue-gseeixprterreeg,psuitelai,rgpipr,dionedluccloatnmdzuuen-riscoea,roteo, t,cu,ienl geshi-aec1etararaenr"esfaocrammuaijrtlomainacreeoloror-
fLice"osnen.lsnulli,"cocni sindoetriiunndeua-sedecaonptieilnetidciutapte\ tinde sX-gi modi-
tablouri' discurile ,,moarte irrformalionald" a artei". [55, p. 240]
picup etc. tot a$a de awtentice ca ;t otiginalwl.
198 199
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Campan, Florica - Povestiri cu proportii si simetrii
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search